ACTIVIDAD Nª 4 – EDUCACIÓN MATEMÁTICA – TERCER AÑO

FUNCIONES: Constituyen una herramienta para describir fenómenos en los que se relacionan dos variables. Como, por

ejemplo: tiempo que tardo en pintar una pared y superficie de la pared. En las funciones se verifica que una

variable depende de la otra, y a cada valor de una variable le corresponde un único valor de la otra Dicha

relación puede establecerse con una gráfica, una tabla de valor., o una expresión algebraica. Que veremos en

las siguientes situaciones de la vida cotidiana que te permitirán comprender para que sirven las funciones.

Situación nº 1: “Una empresa de telefonía lanzo una promoción para llamadas de larga distancia. Por cada

minuto de llamada cobra 0,25$”. Registremos en la siguiente tabla la relación entre las variables.

X: Tiempo Y: Precio

0 0

1 0,25

2 0,50

3 1,50

4 2

5 2,5

Mirando el gráfico: ¿Cuál es el precio de una llamada de un minuto y medio? ...............

¿Cuánto tiempo podemos hablar por 1,75$?..............................

Como a cada minuto “ x” le corresponde uno y solo un precio “ Y” , decimos que “y es función de x”

Por otro lado el precio depende de los minutos hablados .Por ello diremos que “x” es la variable independiente

e “y” es la variable dependiente. Si llamamos “f” a esta función podemos escribir Y = f (x) .Las variables de

este problema están vinculadas por la siguiente fórmula : y = 0,25.x

Situación nº 2: “Una persona toma un taxi para ir a trabajar. El taxista le cobra 40$, por el solo hecho de

llevarla (bajada de bandera), y 5 $ por cuadra recorrida. ¿Cuánto le cobrará por 5, 10, 15 y 20 cuadras?

Cuadras ( x ) Precio ( y )

5 65

10 90

15 115

20 140

En esta clase vamos a estudiar que es una función, su uso, las distintas formas de expresarla:

Tabla de valor ,expresión algebraica, gráfico. Para luego estudiar específicamente a la Función

Lineal , sus características , las rectas paralelas y perpendiculares su diferencia gráfica y en su

fórmula

Expresión algebraica que vincula las variables del problema: y = 5.x + 40

Luego de analizar las situaciones 1 y 2 podemos ver que tienen características en común que resumiremos a

continuación:

Por ejemplo:

Y = -3x + 2 Es Función Lineal y = √𝑥3

+ 1 No es Función Lineal

Y =1

3 x – 5 Es Función Lineal y =

𝑥2−5

𝑥 No es función Lineal

“ Ahora que aprendimos a distinguir cuando una expresión algebraica es una función lineal o no. Veremos

que pasa con el grafico de la función lineal y que nombre toma cuando cuando algunos de sus elementos es

cero.

Si a= 0 la expresión se reduce y este nombre:

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO CERO: y = b

Es una función que a todo número real le hace corresponder el número real “b” por eso la llamamos función

constante. La representación gráfica de una función constante es una recta paralela al eje x. A “b” la

llamaremos ordenada al origen. “La ordenada al origen es el valor de y cuando x vale cero.

Ejemplos:

Y = -3 Y = 1/ 4

Si y = 0 recibe el nombre de función nula.

Cuando en la función lineal el valor de b= 0 toma este nombre:

FUNCIÓN POLINOMICA DE GRADO UNO : y = a.x

La situación nº 1 es un ejemplo de función polinómica de grado uno. Decimos que “a” es la pendiente de la

recta y= a.x .

“ Las funciones estudiadas tienen como gráfico una recta por ello diremos que son

funciones lineales.Su fórmula general es : Y = a.x + b .Esto es lo mismo que decir que para

que una función sea una función lineal , la x (variable independiente) debe estar multiplicada

por un número cualquiera al que llamaremos “a” y puede estar sumada o restada a otro

número llamado “b” para obtener un valor y(variable dependiente)

Ejercicio obligatorio n° 1:Determina cual de las siguientes expresiones es una función lineal, en caso

que lo sea indica cual es la pendiente y la ordenada al origen.

a) Y = 1

𝑥 + 8 b) y = -5 + 4x c) y = 𝑥3 + 6 d) y =

𝑥

9 -1

Si “a” es positiva significa que cuando x aumenta una unidad, la ordenada aumenta “a” unidades dicho de otra

manera, la función es creciente.

Si “a” es negativa, cuando x aumenta una unidad la ordenada disminuye “a” unidades, luego diremos que la

función es decreciente.

Ej nº 1: Y = 6.x (función creciente) Ej nº 2 : Y = −1

3 . x ( función decreciente)

x y Punto

0 6.0= 0 (0,0)

1 6.1=6 (1,6)

-1 6.(-1)= -6 (-1,-6)

Finalmente si tanto el valor “a” (pendiente) como el de “b”(ordenada al origen) son distintos de cero la función

Lineal se llamará Afin y su grafico estará desplazado a izquierda o derecha a diferencia de función constante y

la de grado uno que simple pasa por el origen de coordenadas(0,0)

FUNCIÓN AFÍN O FUNCIÓN LINEAL : f(x) = a.x + b a,b ∈ R

Pendiente ordenada al origen

Ej nº 1 : y = -3.x +2 Ej nº 2 : y =2

5 .x - 3

X Y = 2

5 .x - 3 Punto

0 25

. 0 − 3= 0 – 3 = -3 ( 0, -3)

5 25

. 5 − 3= 2– 3 = -1 ( 5 ; -1)

-5 25

. (−5) − 3= -2 – 3 = -5 (-5; -5)

x y Punto

0 −13

. 0= 0 (0,0)

3 −13

. 3= -1 (3,-1)

-3 −13

.(-3)=1 (-3;1)

X Y =-3.x +2 Punto

1 -3.1+ 2 = -3 +2 = -1 (1,-1)

0 -3.0 + 2= 0 + 2= 2 (0,2)

-1 -3.(-1) + 2 = 3 + 2= 5 (-1;5)

3a)

.

Para sintetizar esta parte del apunte podemos resumir lo siguiente: La pendiente va a

determinar la inclinación de la recta( crece, decrece o es horizontal) y la ordenada al

origen va a determinar el valor en el que la recta corta al eje de la ordenadas (y).

Pueden notar que la recta del ejemplo 1 de la función afín es decreciente y su grafico

corta al eje y en 2. Mientras que la recta del ejemplo 2 es creciente y corta al eje y en -

3

Actividad obligatoria n° 2 : Graficar por tabla las siguientes funciones lineales y determina

pendiente y ordenada al origen de las siguientes funciones:

a) y= 2.x b) y= -1/4. x + 1 c) y= -1. x d) Y = 4x -3 e) y= -1/6.x +2 f) y= 1/3

g) y =3/7.x h) y = -2/5 . x - 3 i) y = -7/4.x j) Y = 2/9 x + 3 k) y = 3x – 7

Si tienes dudas de como graficar por tabla de valor puedes mirar este video

Actividad obligatoria n° 3: Resuelve las siguientes situaciones problemáticas. .Puedes

basarte en las situaciones 1 y 2 de la página 1 donde se elabora para cada caso estudiado

una tabla de valor, su gráfica y formula específica

b) Para alquilar una carpa en la playa, una persona debe pagar un valor fijo de $ 300

y 50 $ por cada hora que la ocupe ( o la parte proporcional, si el tiempo es menos que una

hora) cuanto le cobrará por 2, 3 , 5 y 7 horas elabore una tabla de valor , escribe la fórmula

que relaciona el precio del alquiler y las horas de alquiler. Luego grafica la situación.

c) Un tanque de 50 litros de agua tiene una filtración constante, de forma tal que por cada hora

que pasa pierde 2 litros. Grafica la situación y escribe la fórmula para calcular la altura del

agua de acuerdo a las horas transcurridas

https://youtu.be/PD45s3U9WA0

Para seguir avanzando en el estudio de la función lineal tenemos que saber que no siempre en su fórmula la

pendiente y ordenada al origen estarán a disposición (forma explícita) a veces la formula se encuentra

desordenada y sus elementos ocultos(implícita). A continuación, te explicaré la diferencia:

ECUACIONES DE LA RECTA

EXPLICITA IMPLICITA

Y= a.x+ b cx + dy = a

Su diferencia esta que en la forma explícita la pendiente y la ordenada al origen pueden distinguirse a simple

vista mientras que en la forma implícita no podemos distinguirlos, debe despejarse “y” para encontrar dichos

elementos . Veamos un ejemplo:

-4x + 8y = -24 es una recta en forma implícita para encontrar el valor de “ a” y

8y = 4x – 24 “b” se debe despejar “ y” para llegar a la forma explicita

Y = (4x -24) : 8

Y = 4

8 x – 3 → y =

1

2 𝑥 − 3 ( la pendiente sería a = ½ y la ordenada al

origen b= -3

Ahora que conocemos la forma que puede tomar la expresión algebraica de una recta, que sabemos graficarla y

reconocer su dirección y corte a sus ejes, pasaremos a estudiar qué comportamiento tiene el gráfico y la formula

de dos rectas graficadas en un mismo sistema coordenado

RECTAS PARALELAS

Mostramos tres funciones lineales en el mismo sistema de coordenadas cartesianas.

Actividad obligatoria n° 4: Determina si las siguientes rectas están en forma explícita o implícita y

determina su pendiente y ordenada al origen. Grafica las rectas del inciso a),b) y e)

a) y = -2x + 3 b) 5x -2y = 1 c) y + 5x = -3 d) y = 4𝑥−2

3

e) 1

2y - 3x + 2 = 0(vas a tener que recordar división de fracciones)

Actividad obligatoria n° 5: ¿Que característica puedes observar en las tres rectas? Mira su

inclinación y donde corta al eje Y

Efectivamente, las pendientes de las tres rectas coinciden, son iguales.

Si observamos las ecuaciones de cada recta:

y1 = 2 . x + 3, y2 = 2 . x , y3= 2 . x - 4 , en los tres casos, tenemos a = 2.

Esto permite escribir la siguiente...

Recién descubriste que dos o tres rectas graficadas juntas pueden no intersectarse entre ellas, pero también

pueden ocurrir que si lo hagan, este el caso de las rectas perpendiculares y las oblicuas. :

Como puedes observar en la imagen de la izquierda las rectas se cortan formando ángulo de 90° por eso se las

llama perpendiculares , mientras que las rectas de la imagen derecha se intersectan formando otro ángulo

diferente a 90° por eso se las llama oblicuas. Ahora te pedimos que observes sus pendientes que son

importantes para las siguientes definiciones:

RECTAS PERPENDICULARES

Para que dos rectas sean perpendiculares, sus pendientes están invertidas y cambiadas de signo, por ejemplo:

dada h: y = = 5.x + 1 , su .perpendicular será m: y = -(1/5).x o que es lo mismo, m : y = -x/5 por que h y m

tienen pendientes invertidas y cambiadas de signo.Otro ejemplo lo constituye las rectas f y g de la imagen

izquierda.

RECTAS OBLICUAS:

Dos rectas son oblicuas cuando sus pendientes son distintas. Por ejemplo : w: y = 4x + 8 e t: y = -9x+1

Como sus pendientes son totalmente diferentes eso me garantiza que cuando las grafique se corten formando un

ángulo diferente a 90°.

Conclusión: dos o más rectas son paralelas si coinciden sus pendientes y las ordenadas al

origen son diferentes

Actividad obligatoria n° 6: Dada la ecuación de una recta y1 = 4 . x – 4, escriba la ecuación de una

recta que sea paralela a ella.Si tienes dudas sobre cómo se fabrica una recta paralela puedes ver el

siguiente video.

……………………………………...........................................................................................................

........

https://youtu.be/PqIy7k0IFY0

Finalizamos aquí la clase n° 4 espero que consultes todo lo que no entiendas, que

puedas resolver las ejercitaciones y que la entregues para poder hacerte la

devolución. Recordá que en dos semanas vamos a estar subiendo la actividad n° 5.

Actividad obligatoria n° 7:

a)Sabiendo lo anterior, encuentre la recta perpendicular a y1 = - 3.x -2

……………………………………………………………………………………………………………

b)Dada la recta y1 = (x/5) +1 encuentre su perpendicular y grafique ambas rectas en los ejes

cartesianos para verificar gráficamente.

Si tienes dudas de cómo fabricar una recta perpendicular puedes ver el siguiente video

1

2x +

1

2 e) x+ 2y = 2

1

2 𝑥 + 1 h) –x + 1 = 2y

https://youtu.be/Htb4qomYzNM