FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES - Argentina · 1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Cátedra: ANÁLISIS MATEMÁTICO Idea y elaboración: Ing. Eusebio Martín Colaboración: Licenciada Socia

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FUNCIONES DE VARIAS

VARIABLES

Cátedra: ANÁLISIS MATEMÁTICO

Idea y elaboración:

Ing. Eusebio Martín

Colaboración:

Licenciada Socia Acinas.- Ing. María Fernada Altolaguirre.- CPN Fabricio Giganti.- Ing. Mabel Gómez.- Licenciada Mei Yi Lee .-CPN

Pamela Loustanau.- MG. CPN Marta Elisa Paz.- Licenciado Fabio Prieto.- CPN Paola Roggero.- CPN Nicolás San Juan Fiol.- CPN Cecilia

Subelet.- MG. CPN Fabiana E. Veralli.-

2010

Análisis Matemático

Facultad de Ciencias Económicas y Jurídicas.- UNLPam

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Índice

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES............................................................................3

Entorno, recinto y dominio de una función ......................................................................12

Curvas de nivel .................................................................................................................14

Límite y Continuidad........................................................................................................15

Definición de límite doble o simultáneo...........................................................................16

Límites sucesivos o reiterados..........................................................................................18

Propiedades de los límites ................................................................................................20

Continuidad ......................................................................................................................20

Funciones discontinuas.....................................................................................................21

DERIVADAS...................................................................................................................21

Derivadas parciales. Definición........................................................................................22

DERIVACIÓN DE ORDEN SUPERIOR........................................................................24

Teorema del valor medio para funciones de dos variables...............................................26

DIFERENCIAL TOTAL..................................................................................................28

Funciones compuestas ......................................................................................................29

Diferenciales totales de orden superior ............................................................................30

Desarrollo de Taylor para funciones de dos variables......................................................32

Ejercicios prácticos...........................................................................................................33

Bibliografía.......................................................................................................................44



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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Funciones de una variable

En general toda la primer parte de la matemática trabajamos en funciones de una variable independiente, o sea por ejemplo: y =f( )x donde x es

la variable independiente, y se puede representar en el eje de las abscisas e y es la variable dependiente, y se puede representar en el eje de las ordenadas, por lo tanto es una representación en el plano.

Recordaremos brevemente el concepto general de funciones ( )oo yx ; de una variable o sea aquella que su representación gráfica estaría en el plano de coordenadas cartesianas; a modo de ejemplo tomemos (Fig.1) una función )(xfy = y en el tomemos un punto P de coordenadas ( )oo yx ; , en este caso lo tomamos en el primer cuadrante.

Fig.1

Si ahora a su vez tomamos una función cualquiera 322 +−= xxy , y le asignamos valores a x obtenemos diversos puntos que unidos “de la mejor manera posible” nos representa la función en un plano y en este caso es la función parábola. Por otra parte a esa función le puedo aplicar diversos conceptos como ser encontrarle el límite cuando x tiende a 2 y su resultado será 3 según vemos en la (Fig.1a). Además si queremos encontrar la derivada

P( )oo yx ;

x-x

y

-y

x0

y0



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que será y’=2x-2 y encontrar su valor para x igual a 2 su valor será 2 y tendrá la recta tangente en ese punto un ángulo de 63º26’6’’ respecto a la horizontal (Fig.1b). Si a la misma función la queremos integrar entre 1 y 3

..66.632(3

1

2 =+−∫ xx ) según vemos en la (Fig.1c)

Fig. 1a

Fig. 1b

L=3

x

y

x

y



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Fig. 1c

Pero en este capitulo trataremos funciones de muchas variables que pueden ser w = f( ),....,,, uzyx , y es muy frecuente en economía ya que no

siempre una cosa es función exclusivamente de otra, sino de muchas, por ejemplo el precio de un producto como puede ser la carne, está en función de varios factores tales como: la utilidad del carnicero, del abastecedor, del frigorífico, de los impuestos municipales, provinciales y nacionales, del valor del vacuno en pie, el cual se ve afectado por las condiciones climáticas (lluvia o sequía), entre otros muchos factores.

De acuerdo a lo comentado, sólo podría representarse en el plano si un factor es lo que influye a la variable, pero no es el caso descrito, por ello, veremos como resolvemos el problema.

Funciones de dos variables

Ahora tomaremos dentro de las funciones de más de una variable; la de dos, o sea z = f( )), yx .

Recapitulemos: Cuando nosotros representábamos a una función de

una variable independiente lo hacíamos en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, o sea de dos ejes perpendiculares, uno horizontal (el



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de las abscisas) y otro vertical (el de las ordenadas). Pero ahora al tener dos variables independientes necesitamos un nuevo eje que a su vez al ser perpendicular nos lleva a tener un sistema en el espacio. Luego veremos las gráficas, pero imaginemos dos ejes en la superficie de la tierra perpendiculares entre si que por convención le llamaremos ejes de las variables independientes y perpendicular a ellos subiendo hacia el espacio tendremos el eje de la función o sea de z o sea de la variable dependiente.

¿Cómo representábamos en el plano? En la Fig.1 podemos advertir que el punto P ),( 00 yx se obtiene

dándole valores en una escala preestablecida, por lo tanto es un punto en el cuadrante positivo de las x y de las y, el cual podría estar en cualquiera de los cuatro cuadrantes.

¿Cómo representaremos en el espacio? En la Fig.2 podemos ver la representación gráfica de un sistema de

coordenadas cartesianas ortogonales, en un octante los tres ejes ortogonales positivos pero en base a los valores puede estar ubicado en cualquiera de los ocho octantes.

Fig. 2

x-y

z-y z-x

x

y

z



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Fig. 3

A su vez en la figura 3 podemos apreciar la representación de un punto en el espacio P( )cba ,, que en este caso está en el primer octante o sea donde los tres son positivos.

De la misma manera podemos tomar muchos puntos en el espacio y con la “armoniosa” unión de los mismos podemos representar una figura o función, aunque ello no es tan fácil como en el plano ya que esa palabra armoniosa involucra conocer cómo se unen puntos que están en distintos planos.

Veremos casos simples para poderlos representar en el espacio; imaginando una representación en el plano, y buscando una fácil veremos que la ecuación de una recta es de las mas sencillas, dándole valores a x obtenemos valores de y, además por dos puntos sabemos que pasa una recta. Veremos que sucede ahora en el espacio, tomaremos la ecuación de la recta Ax+By+Cz+D = 0 , o en un ejemplo numérico 3x+2y+4z-6 = 0 despejando z tendremos: 4z=-3x-2y+6 por lo tanto z=-3/4x-2/4y+6/4 , y ha cemos x=0 tendremos z = -1/2y+3/2 que es la ecuación de la recta en el plano z-y, y dándole valores a y obtenemos valores de z; en y = 0, z=1,5 y en z=0 y=3 y si unimos esos dos puntos obtenemos la ecuación de la recta en el plano z-y como vemos en la Fig. 4, de la misma manera hacemos manteniendo y=0 y z=0 respectivamente, como vemos en la grafica nos marca un plano en el primer octante o sea en el espacio.



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Fig. 4

Más adelante cuando trabajemos con el sistema informático DERIVE veremos todas las graficas que por supuesto ya o son tan simple de representar como si fueran lineales.

Veremos algunas figuras en general comparando lo que vimos en el plano con lo espacial, para ello elegiremos la ecuación de una parábola, la de una elipse y la de una circunferencia y en el espacio será la de un paraboloide, elipsoide y de una esfera.

y=x2 y en el espacio será z = x2 +y 2

Fig. 5



9

1169

22

=+ yx y en el espacio será 125169

222

=++ zyx

Fig. 6

1622 =+ yx y en el espacio será 16222 =++ zyx

Fig. 7 Comentario general

Cuando representábamos en el plano una función habíamos expresado que una de las formas de realizarlo es marcando algunos puntos y unirlos de la “mejor manera posible”, ¿Cuál es esta mejor manera posible?.



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Cuando uno conoce la forma general se hace más fácil, como por ejemplo si la ecuación es lineal ya se que con dos puntos basta. Si es de segundo grado por lo tanto es una parábola, encontrando el vértice resulta sencillo. Generalmente uno no conoce mucho la forma de las funciones hasta que no adquiere mucha experiencia y generalmente eso sucede cuando está terminando el curso, por lo tanto para resolver bien la grafica se necesitan varios puntos.

Para graficar una función de dos variables se requiere además de lo anterior, o sea de encontrar los puntos y unirlos pero tomando una de las variables constantes, repetir el método según va variando esa variable para distintos valores ya que para cada valor de esa constante estaremos en presencia de un plano distinto, pero para aclarar esto tomaremos la función del paraboloide visto anteriormente: 22 yxz += (ver Fig.8)

Si por puntos realizamos la gráfica haciendo y = constante = 0, tenemos: z = 2x = A, si hacemos: y =1 tenemos: z = 12 +x = B

De la misma manera si tomamos x = constante = 0, tenemos: z = 2y = a, si hacemos: x = constante =1, tenemos: z = 2y +1 = b, como vemos hay infinitas parábolas con vértice en el centro de coordenadas cartesianas, realizamos todas las trazas con intersección en el plano: xy en z=0 , xz en y=0 e zy en x=0, es evidente que son infinitas parábolas con vértice en el origen de coordenadas cartesianas y eje en el eje de las z (función).

Fig. 8 Fig. 9

y-x

y-z

x

z

y

-y

-x



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Analizaremos ahora la función: 3x + 6y = 12 (ver Fig.9) La Ι con el eje y para x = z = 0 es 6y = 12 oy = 2 La Ι con el eje x para y = z = 0 es 3x = 12 ox = 4 La Ι con el eje z para y = x = 0 es 0 = 12 por lo tanto no pertenece.

Para ir familiarizando al alumno con el sistema informático derive veremos alguna gráficas de figuras clásicas para luego poderlas comentar en el tema “curvas de nivel”

Esfera: 25222 =++ zyx Elipsoide:

136169

222

=++ zyx

Fig.10 Fig.11 Cono elíptico: 0222 =−+ zyx Hiperboloide elíptico 4222 =−+ zyx de una hoja Fig. 12 Fig. 13



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Hiperboloide elíptico 4222 =+−− zyx Paraboloide - zyx =+369

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de dos hojas hiperbólico Fig. 14 Fig. 15

Entorno, recinto y dominio de una función

Todos los conceptos aplicados de entorno y recinto no difieren mayormente de lo visto para funciones de una variable.

Definíamos como entorno de un punto P y de radio r: E(Po ,r) al conjunto de puntos que se encuentran a una distancia de 0≥oP y < r Para 1 dimensión: oo xP =

≤↔∈ 0);( rPEx o rxx o <−

Para 2 dimensiones: );( ooo yxP = y para un entorno circular de radio r será:

ryyxxrPEyx ooo <−+−↔∈ 22 )()(0);();( Dominio de una función



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Considerando una función de dos variables: z=);( yxf puede estar

definida o no para valores de x e y ; el dominio está formado por todo el conjunto de valores en pares (x;y) para los cuales existe imagen real de z. Todas las restricciones son las mismas que para funciones de una variable, o sea: a) Denominadores distintos de cero b) Radicando de raíces de índice par 0≥ c) Argumento de logaritmo > 0 (ver Fig.16)

Fig. 15 Dominio = ( )[ ]

);(2 ^;

yxfzRIzRyx =∈∈

Veamos un ejemplo: z = 2216

3

yx −−

Este es un caso de dos restricciones que son:

a) 016 22 ≠−− yx por ser denominador, y además:

b) 016 22 ≥−− yx por ser el radicando de una raíz cuadrada. En base a esto el dominio está formado por todos los puntos del plano xy para los cuales el valor 016 22 >−− yx por lo tanto 1622 <+ yx o sea todos los puntos interiores de una circunferencia de radio 4 y con centro en el origen de coordenadas. Dominio = { 16/),( 222 <+∈ yxRyx }



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Curvas de nivel

Supongamos que tenemos una superficie en el espacio (z = )( , yxf ) y

a la misma la interceptamos con un plano paralelo al plano (x,y) o sea una distancia z = k del origen, se obtienen curvas que se pueden proyectar sobre el plano (x,y) y que reciben el nombre de curvas de nivel que se puede observar en la Fig.17 para distintos valores de z.

Si analizamos la función vista anteriormente 22 yxz += (Fig. 18) vemos que asignándole valores a z = 1, 4, 9, 16, 25,… tendremos: 1 22 yx += o sea es una circunferencia de radio 1, en el segundo de radio 2, el tercero de radio 3, el cuarto de radio 4 y así sucesivamente obtendremos las curvas en la Fig. 18a que son circunferencias concéntricas.

Fig.17 Fig.18 Fig. 18a

En general podemos decir que las curvas de nivel se dan sobre el plano xy ya que son las “figuras” sobre dicho plano para un único valor de z.



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Fig. 19

Límite y Continuidad

Límite de una función en un punto

El concepto no varía de lo visto para funciones de una variable. Como concepto general podemos expresar que el límite L es el valor numérico al que se aproxima la función cuando nos acercamos al punto, cualquiera sea el camino elegido para llegar a dicho punto.

Para funciones de una variable se puede llegar al punto por derecha o por izquierda y deben coincidir para que se tenga existencia de límite, en el punto considerado la función debe ser finita y continua:

ax

LxfLim

→=)(

(ver Fig. 20)

Fig. 20

Límite para funciones de dos variables

En estos casos el punto se encuentra en un plano y existen infinitos caminos para llegar a el (en esto radica la diferencia entre los límites de una y dos variables), la forma de la tendencia al límite se puede desarrollar de diversas maneras y puede ser doble o simultaneo o reiterado o sucesivo. Esto lo podemos expresar:



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Lim f (x,y) = L (ver Fig. 21) (x,y) ),( ba→

Fig. 21

Definición de límite doble o simultáneo

Antes de desarrollar el concepto de estos límites aclararemos la diferencia sustancial que existen con los límites para funciones de una variable. Una de las condiciones para la existencia del límite es que la función sea continua en el punto considerado y en el intervalo de existencia, como el camino es único en una variable al cumplir esas condiciones es válido su límite como podemos ver en la figura 20.

En cuanto buscamos el límite para funciones de dos variables y expresamos que el tendido al límite es según diversos “caminos” podría ser que en uno de ellos la función este “agujereada”, o sea en algún lugar tenga alguna discontinuidad por lo tanto no se llegue al límite como vemos en la figura 22.



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Fig. 22

Si tomamos una función ),( yxfz = que contiene un límite finito L

alrededor de un punto de su dominio cuando los valores de (x,y) tiendan a un valor ( oo yx , ), los valores que adopta la función se aproximan a L , por cualquiera

de los caminos que elija. En la misma forma que cuando tratamos para una variable, podemos expresar que la diferencia en valor absoluto entre los valores de la función y su límite se pueden hacer tan pequeños como se quiera en la medida que se tomen valores de (x,y) suficientemente próximos al punto en cuestión, o sea en el entorno reducido de ese punto P para un radio R, (ver Fig.23). Lím ),( yxf = L 0>∀ε DfyxR ∈∀>∃ ∈ );(/0)( );();( oo yxyx →

0 < ε<−⇔<−+− LfRyyxx yxoo ),(

22 )()(

En general podemos expresar que por más pequeño que se haga ε (diferencia en el entorno [x )], yLyoo , siempre existe un R (radio del entorno reducido) dentro del cual están cumpliendo con la condición de que la diferencia en valor absoluto entre los valores de la función y el límite se pueden hacer tan pequeños como se quieran. El radio R depende de ε .

En general podemos efectuar una regla práctica para calcular el límite doble y para ello procedemos de la misma manera que si operamos con una sola variable, o sea reemplazamos los valores x e y por las coordenadas del punto cuyo límite queremos calcular.



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Fig.23

Realizaremos algún ejemplo práctico:

a) )3( 2

)12();(

yxxLimyx

−−→

= 2-3*4(-1) = 14 = L o sea que cuando nos

acercamos al punto )1;2( −P y L, por cualquier camino, los valores de la función

se aproximan a 14. Este límite de esta manera calculado recibe el nombre de “límite doble o simultáneo”, ya que ambas variables tienden simultáneamente al punto, debemos recordar que hay infinitos caminos de acercarse al punto. Veamos otro ejemplo:

b) 00

0032

2

)0;0();( ++=

++

→ yx

yxLim

yx

, o sea que se llega a una indeterminación

que es insalvable, como se ve este procedimiento no siempre da buenos resultados; por lo tanto utilizaremos una manera que será la de desplazarse por los infinitos recorridos que pueden realizar las variables las que por ser infinitas nunca se agotarán. Analizaremos esos “nuevos caminos”, si la función se aproxima a distintos valores, estamos en condiciones de asegurar que la función no tiene límite en ese punto, ya que el límite en el caso que exista debe ser único; pero si al recorrer esos distintos caminos siempre se llega al mismo valor no se pueden asegurar ni la existencia ni la no existencia de límite.

Límites sucesivos o reiterados

En estos casos se hace tender primero a su límite una variable dejando fija la otra y con ese nuevo valor se hace tender la variable que quede, sea por ejemplo:



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=1L lim [limf(x,y)]= Lim xφ (ver Fig. 26) oo yyxx →→ oxx →

θLímxx

fL

o

yx =

→= );(

2

limlim (ver Fig. 27)

y oy→

Si ≠1L 2L por lo que ya vimos, no existe el límite doble L

=1L 2L aun no se sabe que ocurre; se deben recorrer otros caminos. Si por esos otros caminos el límite sigue dando igual, seguiremos sin saber que ocurre con el límite doble de la función en ese punto. Pero si por alguno de esos otros caminos llegamos a un valor distinto, podemos asegurar que el límite doble no existe. Fig. 26 Fig. 27 Resumen: Si analizamos recorriendo los distintos caminos podemos llegar a concluir la no ∃ del límite doble, nunca se podrá afirmar la existencia, ya que no se pueden agotar los infinitos caminos.

Veamos como se aplican los límites reiterados al ejemplo anterior:

x

xLím

yxy

yxLímLímL

3

)(0

)3(2

2

1 =+→+= =3 como vemos que 21 LL ≠ no existe

x 0→ y 0→ límite doble

x0

y0

x0

y0



20

2

2

2

2

2 )(0

)3(

y

yLím

yxy

yxLímLímL =

+→+= =1

y 0→ y 0→

Si bien sobre límites hay mucho para profundizar, podría intentarse bajo otros caminos como ser el límite radial pero a diferencia de funciones de una variable, en dos variables no se asegura la existencia del límite doble. Simplemente en el tema límite se pretende dar una idea del tema.

Propiedades de los límites Las propiedades de los límites para funciones de una variable se repiten para funciones de dos variables, las cuales ayudan a determinar la existencia o no del límite doble. Las relaciones que se verifican entre ellas son:

1) Si existe L; rLyLL 21, deben ser iguales.

2) Si ∃⇔≠ 21 LL L o sea si los límites reiterados son distintos, el límite

doble no existe.

3) Sí ∃⇔≠= rLLL 21 L si los límites reiterados son iguales pero difieren del límite radial, entonces no existe el límite doble L.

4) rLLL == 21 no se sabe si existe el límite doble L.

5) Puede existir L y no existir los iL

Nota: sobre este tema quién quiera ampliar consultar bibliografía sugerida.

Continuidad

Las condiciones a cumplir de continuidad para funciones de dos variables son las mismas que para una función de una variable, o sea:



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1) );/ 00 yxf∃

2) ∃ L finito en el punto );/ 00 yxf 3) );/ 00 yxf = L

Estas tres condiciones se pueden resumir en: Lim

);( YoXof = );( 00 yxf

(x,y) )( , oo yx→

Una función es continua en un determinado conjunto si lo es para todos los puntos pertenecientes de ese conjunto.

Funciones discontinuas Si la función no cumple con alguna de las condiciones anteriores se dice que es discontinua en el punto en cuestión. Clasificación de discontinuidades

Si existe el límite doble de la función en el punto, la discontinuidad es evitable. Si la función no tiene límite doble en el punto la discontinuidad es esencial.

DERIVADAS

Antes de entrar al tema específico es conveniente recordar el concepto de derivadas por incremento para funciones de una variable visto anteriormente. Dada la función y = )(xf y un punto 0P de coordenadas )( 0,0 yx , y

tomamos un punto próximo Q de coordenadas (x,y) vemos que )( 0xx − es igual a x∆ e )( 0yy − es igual a y∆ según vemos en la figura 28, entonces



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recordando que por definición: x

xfxxf

x

y

∆−∆+

=∆∆ )()( 00 y en el límite cuando

x∆ tiende a cero, y∆ también tiende a cero y se define como la derivada de la función en el punto 0P , siempre descontando que para que ello se cumpla la función debe ser finita continua y acotada. A esa derivada la definíamos como y´; )´;(xf D )(xf ;….

Fig.28

Derivadas parciales. Definición

El concepto general para funciones de dos variables es el mismo, pero se debe recordar que siempre cuando se incrementa una variable la otra permanece constante y la derivada es respecto a la variable que se incrementa, por ello se llaman derivadas parciales o sea respecto a x y respecto a y. Dada una función z =f);( yx y los puntos ( 00 ; yx ) y ( 00 ; yxx ∆+ ) pertenecientes a su dominio, se llama derivada parcial de f respecto a la variable independiente x, a:

x

f

x

yxfyxxf

x

Lím yoxo

∂∂

=∆

−∆+→∆

),(0000 );();(

0 donde el numerador del primer

miembro no es otra cosa que Z∆ y su derivada parcial respecto de x se puede expresar como puntos xZ∆ (o sea que es la derivada de z respecto de x cuando la variable y se mantiene constante) según vemos en la figura 29 que es la interpretación geométrica del problema.



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De la misma manera se define la derivada parcial de Z respecto de la variable independiente y, siempre manteniendo la x constante con valor

0xx = , e incrementando la variable y, de modo que:

Fig. 29

y

f

y

yxfyyxf

y

Lím

y

fZ yoxoyoxo

y ∂∂

=∆

−∆+→∆

=∂

∂= ),(0000),( );();(

0 y de la misma manera

que en el caso anterior podemos apreciar en la figura 30 la representación geométrica respecto al eje de las ies.

Fig.30

x=x0

x0

y0

Z’ y

P (x0;y0;z0)

y=y0

P (x0;y0;z0)

x0

y0



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En ambos dibujos si tomamos en cuenta la parte sombreada vemos

que tiene similitud con el gráfico de una variable (Fig. 28). Debemos destacar que si bien no tienen representación geométrica

cuando son más de dos las variables independientes (una variable representada en el plano, dos variables en el espacio), el procedimiento es el mismo independientemente de la cantidad de variables en cuestión.

Como en los casos anteriores se pueden interpretar las derivadas realizándolas por incremento o bien aplicando las tablas correspondientes como lo realizamos para una variable, ya que todas las variables menos la que se toma permanecen constantes. Veremos un ejemplo: Z = 423 yx al derivar respecto a x mantenemos constante y: Z x = 3(2x) 4y y al derivar respecto de y mantenemos constante x: Z y = 3 )4( 32 yx .

Relación entre la derivabilidad y la continuidad

Para funciones de una variable se demostraba que todas las

funciones derivables son continuas, en cambio para funciones de dos variables la misma puede ser derivable pero no ser continua (recordar para ello en límite el concepto según el camino recorrido).

DERIVACIÓN DE ORDEN SUPERIOR

Derivadas sucesivas

Si recordamos que en una variable la derivada de una derivada no es otra cosa que volver a derivar, para más variables el concepto no cambia, lo único que se requiere recordar que son parciales por lo tanto si una función tiene dos variables la derivada primera tendrá dos derivadas, y si tiene tres variables la derivada primera tendrá tres derivadas, por lo tanto las sucesivas se irán duplicando o triplicando según las variables que tengan. Vimos que:

Z x = x

f

∂∂ y Zy =

y

f

∂∂ por lo tanto si lo volvemos a derivar

obtendremos:



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Z xx =

∂∂

∂∂

xx=

( )2

2

x

f

∂∂ Z yy =

∂∂

∂∂

yy=

( )2

2

y

f

∂∂ Z xy =

∂∂

∂∂

xy=

xy

f

∂∂∂ 2

Z yx =

∂∂

∂∂

yx=

yx

f

∂∂∂ 2

que después veremos que respecto a ciertas condiciones

estas dos últimas son iguales. Bajo este mismo concepto se pueden realizar las derivadas terceras, cuartas, etc. Por lo tanto armaremos un esquema con las sucesivas: A modo de ejemplo tomaremos una función y realizaremos la derivada tercera:

352 yxZ = 34 )5(2 yxZx = )3(2 25 yxZ y =

33)4(10 yxZ xx = )3)(5(2 24 yxZxy = )3)(5(2 24 yxZ yx = )6(2 5 yxZ yy =

32 )3(40 yxZ xxx = )3)(40( 23 yxZxyx = )6(10 4 yxZ yyx = )6)(2 5xZ yyy =

Existen otras derivadas cruzadas que las omitimos porque son iguales por el teorema siguiente. Teorema de SCHWARZ

El mismo demostró que dada una función Z = f(x,y), si las derivadas parciales Zx, Zy y Zxy existen en un entorno del punto P );( 00 yx , y además

xxxZ xxZ

xxyZ

xyxZ

xZ

xyZ

xyyZ

yxxZ yxZ

yxyZ

yyxZ

Z= ),( yxf

zZ

yyZ

yyyZ



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Zxy es continua en ese punto. La derivada cruzada Zyx también existirá en dicho punto y será igual Zxy. Por lo tanto las derivadas cruzadas al ser iguales simplifica un poco el trabajo ya que no es necesario realizar todas las cruzadas y solamente se pueden hacer como control.

Teorema del valor medio

El teorema del valor medio para funciones de dos variables no

difiere demasiado que el visto para funciones de una variable como vemos en la Fig.31, tal que si f es una función continua y derivable en el intervalo ( )10; xx , entonces existirá un punto θ ∈ [ ]10; xx en el que se verifica que:

01

)()(, 01)(xx

fff

xx

−−

=θ por lo tanto xfy ∆=∆ ).´(θ y si hacemos xx ∆+= .0 αθ

siendo 0< 1<α nos dará: xxxfy ∆∆+=∆ ).´( 0 α , lo que nos lleva a ver que el incremento de la función al pasar de un punto 0x a otro 1x se puede expresar como la derivada de la función en un punto interior θ y el incremento de la variable independiente; veamos ahora para funciones de dos variables.

Fig. 31

Teorema del valor medio para funciones de dos varia bles Si consideramos ahora el incremento Z∆ de una función Z = ),( yxf derivable en un punto );( 00 yxP y en algún entorno de el, puede expresarse así: Tesis:

f(x1)

f(x0)

x0 x1

θ



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);´();( 0000´ yyxxyfyxxxfZ ∆+∆+∆+∆+∆=∆ αα siendo 10 1 << α

10 2 << α y trabajando en base a la figura 32 dichas derivadas están calculadas en algún punto del lado AB y BD, siempre considerando el rectángulo de los incrementos ABCD. Demostración: Por definición de incremento Z∆ es la diferencia entre el valor final y el valor inicial que toma la función: f( yyxx ∆+∆+ 00 ; ) y f( 00; yx ) por lo tanto Z∆ = f( yyxx ∆+∆+ 00 ; ) - f( 00; yx ) si ahora analizamos en la figura 33 vemos que los pares ordenados: ( yyxx ∆+∆+ 00 ; ) y ( 00; yx ) son los puntos D y A situados en el plano xy.

Fig. 32

Si a su vez sumamos y restamos el valor de la función en B o sea f( 00 ; yxx ∆+ ) queda: Z∆ = [f( yyxx ∆+∆+ 00 ; ) - f( 00 ; yxx ∆+ )]+[ f( 00 ; yxx ∆+ )], en donde el primer corchete representa el incremento de f al pasar de B a D, donde x mantiene fijo su valor xx ∆+0 , y solo actúa la y como variable. El segundo corchete es el incremento de f al pasar de A a B, donde solo x es variable mientras que y es constante.

Por lo expuesto podemos aplicar a ambos corchetes el teorema del valor medio o de los incrementos finitos de Lagrange, quedando:

);();( 200010 yyxxyfyxxxfZ yx ∆+∆+∆+∆+∆=∆ θθ con 0< 11 <θ

x0 x0+∆x

y0

y0+∆y



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0< 12 <θ

Fig. 33

DIFERENCIAL TOTAL

No debemos perder de vista el concepto de diferencial visto para una variable, ya que el procedimiento es similar para más variables pero recordando que ahora se llama diferencial total “porque serían las sumas de las diferenciales parciales”. Antes habíamos visto que dada una función y=f(x) su diferencial era: dy = f’ (x) dx y surgía de xxxfy ∆+∆=∆ .).(´ ε y si 0,0 →→∆ ε la primer parte de la función se la llama se la llama diferencial de y. Recordando el teorema anterior y si le agregamos que sean continuas las derivadas xf y yf en el rectángulo de los incrementos y sus valores se

pueden tomar en el punto );( yoxoA adicionándole sendos infinitésimos 1ε y 2ε .

( )oox yxxf ,1∆+θ = ( ) 1, ε+oox yxf

( ) ];[ 2 yyxxf ooy ∆+∆+ θ = 200 );( ε+yxf y :

xx ∆+ 10 θ

yy ∆+ 20 θ



29

=∆z ( ) +∆xyxf oox , ( ) yxyyxf ooy ∆+∆+∆ 21, εε a los dos primeros términos se lo

denomina diferencial total. dz= ( ) +∆xyxf oox , ( ) yyxf ooy ∆, el incremento queda como suma de dos

términos que es la dz y yx ∆+∆= 21 εεε

ε+=∆ dzz dz = dyfdxf yx + una función f es diferenciable en ( )oo yx ;

cuando el incremento z∆ se puede expresar como ε+=∆ dzz para ello es suficiente que la función sea continua, derivable y sus derivadas continuas en ( )oo yx ; .

Funciones compuestas

a) Una variable independiente

Este caso considerado es cuando z =);( yxf donde las variables dependen de una nueva variable t.

)(txx = )(tyy = Por lo tanto z = [ ])()( ; tt yxf

Esta expresión se debe derivar en z respecto de t en ott =

dt

dz en t = to será igual al límite t

z

∆∆ cuando 0→∆z

Suponiendo que la función f sea diferenciable en xo=x(to) e yo=y(to)

=∆z ( ) +∆xyxf oox , ( ) yxyyxf ooy ∆+∆+∆ 21, εε si ambos miembros

los dividimos por t∆ y suponiendo que las funciones x(t) e y(t) son derivables en t = to , tendremos al pasar al límite:

dt

dz = ( ) +∆→∆

∆tt

xlímiteyxf oox 0

, ( ) +∆→∆

∆tt

ylímiteyxf ooy 0

, +∆→∆∆tt

xlím

0

lim.1ε

tt

ylím

∆→∆∆

0

lim.2ε



30

tottot dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

==

∂∂+

∂∂= en dicha fórmula no solo es válido para dos variables

independientes sino además para un número n de variables.

Diferenciales totales de orden superior

Como ya vimos que la diferencial total de una función es:

dz = dyfdxf yx + siendo fx = x

z

∂∂ y fy =

y

z

∂∂ y además:

dx = x∆ = h e dy = y∆ = k que son los incrementos en las variables independientes y a su vez los consideramos como constantes.

Como esta diferencial total primera está también en función del punto [x,y] que en si es derivable, se le puede calcular su diferencial total que como vemos será: d(dz) = d2z y que por otra parte la podemos llamar diferencial segunda de la función z =f(x,y). Si además seguimos el mismo razonamiento anterior podemos definir a las diferenciales sucesivas enésimas: d3z = d(d2z) d4z = d(d3z) d5z = d(d4z) d6z = d(d5z) ………….. dnz = d(dn-1z)

Todo esto quiere decir que la diferencial que la d2z = d( )dyfdxf yx +

= ( dxdyfdxf xyxx )+ + ( dydyfdxf yyxy )+ = d2z = d( )dyfdxf yx + = ( dxdyfdxf xyxx )+ + ( dydyfdxf yyxy )+ = zxx dx2 + 2zxy dxdy + zyy dy2 y a su vez todo esto lo podemos expresar como:



31

zdyy

dxx

2

∂∂+

∂∂ = zddy

y

zdxdy

yx

zdx

x

z 222

222

2

2

2 =

∂∂+

∂∂∂+

∂∂ por lo tanto podemos

concluir desarrollando a la tercera, a la cuarta, etc. y expresar a la enésima de la siguiente manera:

dnz = zdyy

dxx

n

∂∂+

∂∂ =

Desarrollo en series de potencia de Taylor para funciones de una variable

Habíamos visto que para funciones y = f (x) o sea de una variable independiente Teníamos:

no

xoo

xoo

xoo

xoxox xx

n

fxx

fxx

fxx

fffy )(

!........)(

!3)(

!2)(

!1)(3)(2)()(

)()( −++−+−+−+== +

Tn(x).

Fig. 34

En la Fig. 34 podemos apreciar las distintas aproximaciones a la función ex



32

Podríamos realizar ahora el mismo desarrollo demostrándolo para muchas variables como lo hicimos para una para llegar a la fórmula final pero lo demostraremos a partir de la fórmula anterior ya demostrada.

Debemos recordar un concepto sin profundizar demasiado que es el del término complementario (Tn(x)), para ello recordemos que para una función que admite derivadas de orden (n+1), puede expresarse según la forma de Lagrange:

Tn(x) = siendoxxn

fn

o1)( )(

)!1(+−

+φ xo < φ < x

Desarrollo de Taylor para funciones de dos variable s

Tomaremos el caso de una función z = f(x;y) y queremos efectuar un desarrollo Tayloriano similar al de una variable. Haremos la aclaración que mencionaremos siempre a Taylor, pero ya sabemos que cuando x=0 estamos hablando de Mac Laurin. Como para una variable tomaremos valores de x = a y un intervalo h y en y = b y un intervalo k. Recordemos que cuando para una variable decíamos derivada ahora será derivada parcial respecto a x y derivada parcial respecto a y y de la misma manera cuando desarrollamos las derivadas sucesivas. De ahí obtendremos las dos fórmulas generales, cuando (x;y) = (0;0) y cuando (x;y) = (a;b) En (x;y) = (0;0) será:

2;0()0;0(2)0;0()0;0()0;0()0;0();( )(

!2)(

!22)(

!2)(

!1)(

!1y

fxy

fx

fy

fx

fffy yyxyxxyx

yx +++++== +

+ ),(3)0;0(2)0;0(2)0;0(3)0;0( ...........)(

!3)(

!33)(

!33)(

!3 yx

yyyxyyyxxxxxTny

fxy

fyx

fx

f+++++ +

y si tomamos en (x;y) = (a;b) será:

2);();(2);();();();();( )(

!2))((

!22)(

!2)(

!1)(

!1by

fbyax

fax

fby

fax

fffy bayybaxybaxxbaybax

bayx −+−−+−+−+−+==



33

),(3);(2);(2);(3);( ...........)(

!3))((

!33)()(

!33)(

!3 yxbayyybaxyybayxxbaxxx

Tnbyf

byaxf

byaxf

axf

++−+−−+−−+−

Ejercicios prácticos 1°) Representar por curvas de nivel la función: z = x2 + y 2

2°) Encontrar la derivada parcial de la función: z = 2

ln

24 senxy

x

eyxy +−

3°) Encontrar la segunda derivada parcial de la función: u = f(x,y,z) = 5x2y3z – z2senxy

4°) Dada la función: z = yeyxy

x x ln3cos2log 22

+− encontrar la diferencial total.

5°) Dada la siguiente función encontrar la diferencial total y el valor para el punto de coordenadas P(1;2) :

z = 2

2 4ln24

2

x

yetagxy xy +−

6°) Encontrar la diferencial total de la siguiente función compuesta: xo = t + 1 z = )ln(64 32 xyyx − para yo = t3 zo = -2 7°) Encontrar desarrollando según Taylor La función: Z = 2ln(3xy+4) alrededor del punto (2;-1) hasta la derivada segunda. Resolución Ejercicio 1°

Cuando pedimos curvas de nivel estamos solicitando la representación de la gráfica en planos que pueden ser xy y que se verán cortados para distintos valores de z (como se vería la planta de su casa si se la cortaría a 0, 1, 2, 3 , 4 … metros a partir del piso). Nuestra función es: z = x2 + y 2



34

Pondremos a y como función de x manteniendo constante a z

2xzy −±= y tomaremos cinco curvas de nivel que serán para: z => constante z = 0; z = 1; z = 3; z = 4; z = 16; z = 25 como vemos para el primer valor nos da 20 xy −±= o sea un valor imaginario para cualquier valor de x y es porque la función ahí no está definida.

21 xy −±= es una circunferencia concéntrica con radio igual a 1. 24 xy −±= es una circunferencia concéntrica con radio igual a 2. 29 xy −±= es una circunferencia concéntrica con radio igual a 3.



35

Ejercicio 2°

Encontrar la derivada parcial de la función: z = 2

ln

24 senxy

x

eyxy +−

La determinación de las derivadas parciales es similar al de las derivadas de una sola variable, ya que se deriva en base a la variable que se tome manteniendo constante las otras. La resolución mediante el uso del Derive es:



36

Ejercicio 3° Encontrar la segunda derivada parcial de la función: u = f(x,y,z) = 5x2y3z – z2senxy Primero encontraremos:

z

u

y

u

x

u

∂∂

∂∂

∂∂

;;

La resolución mediante el uso del Derive es:



37

Luego volvemos a derivar:

x

u

∂∂

respecto a x; y; z

y

u

∂∂ respecto a x; y; z



38

z

u

∂∂ respecto a x; y; z

Ejercicio 4°

Dada la función: z = yeyxy

x x ln3cos2log 22

+− encontrar la diferencial total.

No difiere de los casos anteriores puesto que lo que se realiza son derivadas parciales.



39

A continuación se transcriben las derivadas parciales calculadas con el Derive:

dz = dyfdxf yx + siendo fx =

x

z

∂∂ y fy =

y

z

∂∂

Ejercicio 5° Dada la siguiente función encontrar la diferencial total y el valor para el punto

de coordenadas P(1;2) : z = 2

2 4ln24

2

x

yetagxy xy +−

Primero se deben encontrar las derivadas parciales y luego deben sustituirse los valores antepuestos por las constantes asignadas. A continuación se transcriben las derivadas parciales calculadas con el Derive y posteriormente la sustitución de variables.



40



41

Ejercicio 6° Encontrar la diferencial total de la siguiente función compuesta: xo = t + 1 z = )ln(64 32 xyyx − para yo = t3 zo = -2 Se debe efectuar la derivada parcial respecto a x y respecto a y, luego efectuar la diferencial de x y diferencial de y respecto a t, y luego sustituir los valores para el punto asignado (-2). A continuación se transcriben las derivadas parciales calculadas con el Derive.



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Ejercicio 7° Encontrar desarrollando según Taylor La función: Z = 2ln(3xy+4) alrededor del punto (2;-1). Se debe sustituir los valores encontrados en las derivadas parciales en la fórmula general y luego asignarle los valores a a y a b respectivamente (2:-1). A continuación se transcribe el cálculo de las derivadas parciales mediante el uso del Derive:



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Bibliografía

� http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t3-DerivadaParcial/node2.html

� http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/6-superficiescuadraticas/index.html

� http://licmoralesvidea.files.wordpress.com/2009/02/funciones-varias-

variables.pdf � http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada � http://www.ugr.es/~santimo/optica/dvarias.pdf � http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/derivadas2.ht

m � http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html � http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/SupSegOrden.htm � El cálculo – Leithold.- Editorial: Oxford University Press. Edición:7 � Cálculo – Ayres y Mendelson.- Editorial: Mc Graw Hill. Edición 4

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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES - Argentina · 1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Cátedra: ANÁLISIS MATEMÁTICO Idea y elaboración: Ing. Eusebio Martín Colaboración: Licenciada Socia