Funciones

Introduccin a las Funciones

Prof. Evelyn Dvila1 Una funcin es una relacin entre dos conjuntos de tal manera que para cada elemento del primer conjunto corresponde un solo elemento del segundo conjunto.2Ejemplos reales de relaciones que envuelven funciones:Un individuo y su seguro socialUn vehculo de motor y su tablilla.

Por lo contrario, no es una funcin la relacin de madre e hijos. Explica por qu.

Al primer conjunto, de donde tomamos los elementos para la regla, se le llama Dominio y al segundo conjunto se le llama Recorrido o Campo de Valores.

a bc

avin carro barcoDOMINIORECORRIDO4Ejemplo 1Cmo describes esta relacin? Cmo se relacionan los dos conjuntos?a bcavincasabarco5 Observa que la relacin anterior produce un conjunto cuyos elementos son pares ordenados, stos son: { ( a, avin) , (b, barco) , ( c , carro ) }

Cul es el Dominio en esta relacin? Cul es el Recorrido ?6RESPUESTAS Ejemplo 1DOMINO { a, b, c }

Recorrido {avin, barco, carro}7Ejemplo 2 1 2 3 4 6 2 8 4

Cul es el Dominio en esta relacin?

b. Cul es el Recorrido ?

8RESPUESTAS Ejemplo 2a. { 1, 2, 3, 4 } Dominio

b. { 2, 4, 6, 8 } Recorrido9Continuamos - Ejemplo 2Indica cules son los elementos de esta relacin.

1 2 3 4 6 2 8 4

10RESPUESTAS- Ejemplo 2{ ( 1,2) , ( 2,4) , ( 3,6 ) , ( 4,8) }

Observa que los elementos de este conjunto son pares ordenados donde el primer elemento corresponde a un elemento del DOMINIO y el segundo elemento corresponde a uno del RECORRIDO. 11Continuamos - Ejemplo 2Cmo describiras esta relacin? Qu regla la describe?

1 2 3 4 6 2 8 4

RESPUESTAS- Ejemplo 2Observamos que en esta relacin multiplicamos cada elemento del Dominio por dos. 2 x 1 = 2 2 x 2 = 4 2 x 3 = 6 2 x 4 = 813 Si representamos a los elementos del DOMINIO con una x , y a los elementos del RECORRIDO con una y , entonces podemos representar la relacin dada de la siguiente forma: y = 2x

14Decimos que y = 2x es la regla que describe la relacin dada en el Ejemplo 2 .

Observa, que esta ecuacin nos indica que de acuerdo al valor que se le asigne a la variable x , ser el valor que se obtiene para y. 15PrcticaSegn la definicin de funcin, cules de los siguientes dibujos representan a una funcin.abc123

abc

III

III123

16RESPUESTASSISINOabc123

abc

III

III123

17RESPUESTAObserva que para el elemento I en el DOMINIO corresponden dos elementos distintos en el RECORRIDO, por lo tanto no responde a la definicin de funciones.III123

NO18PrcticaCules de las siguientes relaciones son funciones? Indica su Dominio y su Recorrido.

a. { (2,6), (4,12), (6,18) , (8,24) } ___________________b. { (1,1), (2,2), (3,3) } ___________________c. { (3,6), ( 5, 8), (7,10), (3,9)} ____________________d. { (4, 1) , (1,4), ( 2, 5) , (5, 3) , (1, 4) }_______________19Respuestas a la PrcticaCules de las siguientes relaciones son funciones? Indica su Dominio y su Recorrido.

a) { (2,6), (4,12), (6,18) , (8,24) } SI Dominio { 2,4,6,8} Recorrido { 6,12,18,24 }b) { (1,1), (2,2), (3,3) } SI Dominio {1,2,3} Recorrido {1,2,3}c) { (3,6), ( 5, 8), (7,10), (3,9)} NO Observa que el 3 tiene dos elementos distintos en el RECORRIDOd) { (4, 1) , (1,4), ( 2, 5) , (5, 3) , (1, 4) SI Dominio { 4, 1, 2, 5 } Recorrido {1,4,5,3}20Identificar funciones mediante la observacin de tabla de valoresIdentifica cules de las siguientes tablas de valores representa a una funcin. En las siguientes tablas la primera columna representa a la variable independiente y la segunda columna a la variable dependiente.

ab-510005-1040cd-11001124ef48211224Notacin de Funciones f X ------> Y Dominio Recorrido

y = f(x)

f es el nombre que se le asign a la funcin, se lee "y es funcin f de x , las variables son x y y.22Ejemplos

ImportanteObserva: El valor de y , depende del valor que se le asigne a x, en la regla correspondiente.

Llamamos a y ,la variable dependiente y a x la variable independiente.24AplicacinIdentifica para cada situacin la variable dependiente y la variable independiente.

Se investiga la relacin entre el diametro del tronco de un rbol y la edad de ste en trminos de aos de vida.

CONTINUACION -AplicacinSe desea conocer cmo se reproducen los mosquitos durante los doce meses del ao.

La relacin entre la estatura de las mujeres y el tamao de sus pies.

La cantidad de horas que dedican los estudiantes a estudiar para un examen y la puntuacin que obtienen en ste.EVALUAR UNA FUNCIN Evaluar una funcin consiste en seleccionar un valor del Dominio de esa funcin y sustiturlo en la regla de la funcin.27Ejemplo 1Sea f(x) = 2x +1 , una funcin cuyo Dominio es { 1, 3, 5, 7 }.

Hallar f(3) consiste en evaluar la funcin f en x = 3, sustituimos este valor en la regla de la siguiente forma f(3) = 2 ( 3 ) + 1 = 7.

Luego de evaluar la funcin decimos que f(3)=7.

28Cada vez que evaluamos una funcin obtenemos dos valores, uno para la variable independiente y el valor correspondiente para la variable dependiente.

Por tanto, obtenemos un par ordenado de la forma ( x, y) .

Para el Ejemplo 1, tenemos que f(3) =7 , por tanto el par ordenado es ( 3, 7).

29Sea f(x) = 2x +1 , una funcin cuyo Dominio es { 1, 3, 5, 7 }.

Evala la funcin f , en los valores indicados

f(5) = 2 ( 5 ) + 1 = 11 par ordenado ( 5 , 11)

Prctica f(1) = ______f(7) = ______f(4) = ______Continuamos con el Ejemplo 130

Respuesta

f(1) = 3 ( 1, 3 )

f(7) = 15 ( 7, 15 )f(4) = No existeEl 4 no pertenece al Dominio de esta funcin.31Cules son los elementos de esta relacin ?

Cul es el RECORRIDO ?32Sea f(x) = 2x +1 , una funcin cuyo Dominio es { 1 , 3 , 5 , 7 }.

Cules son los elementos que describen a la funcin f ? { ( 1,3) , (3,7) , (5,11) , (7,15) }

Cul es el RECORRIDO ?{ 3, 7, 11, 15 }33Ejemplo 2Sea h(x) = x2 + 2 y su Dominio dado por {1,2,3}

a) Es el par ordenado ( 2, 4 ) elemento de esta relacin?

b) Indica cules son los elementos de esta relacin.

c) Indica el Recorrido34Respuesta - Ejemplo 2Sea h(x) = x2 + 2 y su Dominio dado por { 1, 2, 3 }a. Es el par ordenado ( 2, 4 ) elemento de esta relacin. NO h(2) = 6b. Halla los elementos de esta relacin.{ (1,3), (2,6) , (3,11) }c. Indica el Recorrido{ 3, 6, 11 }35PrcticaSean f(x) = 5x , g(x) = x - 3 , h(x) =x2 + 2x , q(x) = -x ; funciones cuyo Dominio es dado por el conjunto que incluye a todo nmero real que produzca numeros reales en el Recorrido.

Evala en los valores indicados:

a) f(-3) =f(0) =b) g(15) = g(-5)=c) h( 3) =h( -2) =d) q(4) =q(-7) =36Respuestas - Prcticaf(x) = 5x , g(x) = x - 3 , h(x) =x2 + 2x , q(x) = -x

a. f(-3) = -15 f(0) = 0b. g(15) = 12g(-5)=-8 c. h( 3) = 15h( -2) = 0d.. q(4) = -4 q(-7) = 737 Cuando no nos indican cul es el Dominio de la funcin entonces es implcito que consiste en el conjunto de todo nmero real para el cual est definida la funcin en los nmeros reales.

Al evaluar una funcin el resultado obtenido en y , debe ser un nmero real.

38 Ejemplo en el que se debe tener cuidado:

g(1) = 1 g(16) = 4 g(-4) = 2i El resultado NO es un nmero real por lo tanto -4 no puede ser parte del DOMINIO.

39Dada una grfica identificar si la relacin corresponde a una funcin. PRUEBA DE LA LINEA VERTICALDada una grfica, si para toda lnea verticalque pase por cada uno de los valores del Dominio de la relacin sta toca (cruza)slo un punto de la grfica, entonces corresponde a una funcin.Para cada grfica indica si sta es una funcinFUNCIONES BASICASFUNCION IDENTIDADxyy = x

FUNCION CON VALOR ABSOLUTOxy

FUNCION CUADRATICAxy

y

FUNCION CUBICA

x

FUNCIONES QUE ENVUELVEN RADICALES

FUNCION RACIONAL

1xy1xyFUNCION EXPONENCIAL

CASO b>1CASO 0