Funciones matematicas05

FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES Marcelo Romo Proaño, M.Sc.

Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador

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Capítulo V APLICACIONES DE LAS FUNCIONES A LA

ADMINISTRACIÓN 5.1 INTRODUCCIÓN:

Muchos problemas relacionados con la administración, la economía y las ciencias afines, además de la vida real, requieren la utilización de funciones lineales y otros tipos de funciones para su modelamiento, su comprensión, y fundamentalmente para la toma de decisiones.

En muchas ocasiones, la sola comparación entre las funciones tipo y el comportamiento de las variables en un problema administrativo, económico o similar permite obtener los modelos más apropiados.

El crecimiento poblacional, la propagación de una epidemia y las áreas afectadas por un derrame petrolero contaminante en el mar crecen aproximadamente como lo hacen las funciones exponenciales de potencia positiva. Un producto de reciente introducción, al inicio, incrementa su mercado también en forma similar.

El impacto sobre la economía de un país de un alza de salarios mínimos decrece como una función exponencial de potencia negativa.



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Cuando se rotan 45º las ecuaciones clásicas de las hipérbolas se consiguen funciones amortiguadas similares a la función exponencial de potencia negativa, con tendencias asintóticas tanto horizontales como verticales.

El crecimiento de las ventas de un producto que ya ha logrado un nicho de mercado, la variación poblacional de una universidad que ya lleva algunos años de funcionamiento, la clientela consolidada de un banco probablemente deba modelarse mediante una función logarítmica.



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A veces una sola función no es suficiente para modelar el comportamiento de una variable económica o financiera, por lo que puede requerirse operar con dos o más funciones simultáneamente (sumándolas o multiplicándolas, por ejemplo). Las fluctuaciones mensuales de las ventas de un almacén podrían requerir la combinación de una función lineal que refleje el crecimiento anual o a largo plazo, más una función sinusoidal o cosenoidal que refleje las variaciones a corto plazo.



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5.2 MODELOS MATEMÁTICOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE LA ADMINISTRACIÓN:

Problema Resuelto 1:

El promedio de clientes mensuales de un local de venta de comida rápida, que empezó a funcionar en 1999, ha variado de acuerdo a la siguiente tabla de datos.

Año Promedio Clientes Mensuales

1999 650 2000 1120 2001 1414 2002 1612 2003 1730 2004 1810

Encontrar una función que describa aproximadamente el comportamiento de la clientela, y en base a ella estimar la clientela mensual promedio esperada para los años 2005, 2006 y 2007.

Solución:

Se dibujan los puntos en un diagrama de coordenadas cartesianas.

Se traza una curva que se aproxime a los puntos dibujados y que revele una geometría de tendencia.



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Si se compara la curva obtenida con las curvas tipo que se han estudiado previamente, se encuentra una gran similitud con las funciones logarítmicas, pero los valores en el eje de las “x” requieren ser corregidos mediante la introducción de una variable que corra paralela pero que esté desfasada. Una primera aproximación podría consistir en que el año “1997” coincida con el “0”, el año “1998” coincida con el “1”, el año “1999” coincida con el “2”, etc.

La forma general de la ecuación de ajuste podría tener la siguiente forma:

)x.Bln(.Ay =



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Mediante una hoja electrónica se pueden probar diversos valores de “A” y “B”, lo que nos proporcionaría gráficos como los siguientes:

Del gráfico se deduce que una de las funciones que mejor se ajusta a los datos es:

)x75.2ln(.655y =

El número de clientes esperado para los años “7” (2005), “8” (2006) y “9” (2007) son respectivamente “1937”, “2025” y “2102”. El gráfico correspondiente es:



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Es importante notar que los datos reales se acercan mucho a la curva propuesta, pero no coinciden exactamente, pues los procesos reales no responden milimétricamente a ecuaciones específicas. Problema Resuelto 2:

Una pequeña empresa tiene costos mensuales de producción de basureros de plástico definidos por la siguiente expresión:

N2.2750C +=

Donde:

C: Costo mensual de funcionamiento de la empresa (se mide en dólares) N: Número de basureros fabricados en el mes

Encontrar una función que describa el costo unitario de los basureros en función de la producción mensual, y representarlo gráficamente.

Solución:

De la función de costos totales se deduce directamente que los Costos Fijos de la empresa son de US 750 mensuales, y los costos variables son de US$ 2.20 por cada basurero.

Para conocer la función de costo unitario se debe dividir el costo total para el número de basureros fabricados en el mes.

NN2.2750

CU+

= Función de Costo Unitario

Para representar gráficamente la función se prepara una tabla con valores de “N” y “CU”.

Número de Basureros Fabricados

(N)

Costo Unitario

(CU)

0 ∞ 100 9.70 200 5.95 300 4.70 400 4.075 500 3.70

1000 2.95 2000 2.575

El gráfico correspond iente es:



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Problema Resuelto 3:

El precio unitario de fabricación de robots para el hogar, en una empresa, se describe mediante la siguiente función:

870e15300CU N015.0 += −

Donde: CU: Costo Unitario de Fabricación de los robots, en dólares N: Número de robots fabricados en cada año, que no puede ser menor que 50 para

validar la función

El precio unitario de venta de los robots depende del número de unidades que se ponen en el mercado en cada año, y responde a la siguiente expresión:

420e4100PUV N004.0 += −

Donde:

PUV: Precio Unitario de Venta de los robots, en dólares N: Número de robots fabricados en cada año

Primera Parte:

Dibujar en un único gráfico las 2 funciones, de modo que pueda realizarse un análisis comparativo.

Segunda Parte:

Tomando como base el gráfico de la Primera Parte, definir los rangos de producción que generan utilidades y los que generan pérdidas.

Tercera Parte:

Encontrar la función que define la utilidad total de la empresa para los rangos apropiados y encontrar cuál es la producción que genera la mayor ganancia por unidad vendida y cual es la producción que produce la mayor ganancia total.



261

Solución Primera Parte:

Se puede preparar una tabla, con el auxilio de una hoja electrónica, con distintos valores de Número de Robots fabricados y comercializados, y se evalúan las 2 funciones.

N (# Robots)

Costo Unitario de Fabricación

(US$)

Precio Unitario de Venta

(US$) 50 8097,21 3776,80

100 4283,89 3168,31 150 2482,61 2670,13 200 1631,74 2262,25 250 1229,82 1928,31 300 1039,97 1654,90 350 950,29 1431,05 400 907,92 1247,78 450 887,91 1097,73 500 878,46 974,87 550 874,00 874,29 600 871,89 791,94 650 870,89 724,52 700 870,42 669,32

El grafico correspondiente es:

Solución Segunda Parte:

De la observación directa del gráfico anterior, que contiene una función de oferta y una función de demanda, se concluye que existen tres rangos con comportamiento claramente diferenciado.

Ø Para una producción inferior a unos 140 robots anuales, los costos de fabricación son demasiado altos comparados con el precio de venta, debido a que la eficiencia de producción es muy baja, por lo que se producen pérdidas económicas en el negocio.

Ø Para una producción comprendida entre 140 y 550 robots anuales, los costos de fabricación son inferiores al precio de venta correspondiente, ya que se ha



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mejorado la productividad y el precio de venta no ha disminuido demasiado a causa de la mayor oferta, por lo que se producen ganancias.

Ø Por último, para una producción superior a 550 robots anuales, en que se inunda el mercado con robots, la mejora que se obtiene en la productividad no compensa la disminución de costos provocada por la sobreoferta del artículo, por lo que nuevamente los costos de fabricación son más altos que los precios de venta y el negocio genera pérdidas.

Para ajustar esos valores estimados de 140 y 550 robots anuales, se introducen nuevos valores en la tabla de datos (135, 139, 145, 545, 555).

N (# Robots)


(US$)


(US$) 50 8097 3777

100 4284 3168 135 2890 2809 139 2772 2771 145 2608 2716 150 2483 2670 200 1632 2262 250 1230 1928 300 1040 1655 350 950 1431 400 908 1248 450 888 1098 500 878 975 545 874 883 550 874 874 555 874 865 600 872 792 650 871 725 700 870 669 750 870 624

El rango de producción que vuelve rentable el negocio está entre 139 y 550 robots anuales (se obtuvieron estos valores más exactos por tanteo en la hoja electrónica), mientras que la producción inferior a 139 genera pérdidas por falta de productividad, y una producción superior a 550 robots anuales también provoca pérdidas pero por efecto de una sobreoferta.

Solución Tercera Parte:

La utilidad unitaria (o la pérdida unitaria) en función del número de robots producidos se obtiene restando el precio unitario de venta menos el costo unitario de fabricación.

CUPUVUU −= Función Genérica de Utilidad Unitaria

Donde:

UU: Utilidad Unitaria (por cada robot fabricado y vendido)



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PUV: Precio Unitario de Venta CU: Costo Unitario de Fabricación

Reemplazando las funciones que describen el Precio Unitario de Venta y el Costo Unitario de Fabricación se tiene:

( ) ( )870e15300420e4100UU N015.0N004.0 +−+= −−

Simplificando:

870e15300420e4100UU N015.0N004.0 −−+= −−

450e15300e4100UU N015.0N004.0 −−= −− Función de la Utilidad Unitaria

La tabla correspondiente es:

N (# Robots)

Utilidad Unitaria

(US$) 50 -4320

100 -1116 135 -80 139 -1 145 107 150 188 200 631 250 698 300 615 350 481 400 340 450 210 500 96 545 9 550 0 555 -8 600 -80 650 -146 700 -201 750 -246

Se representa gráficamente la función anterior (la tabla anterior):



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La zona sombreada representa el rango de producción y comercialización que genera utilidades, rango que está comprendido entre 139 y 550 robots anuales. La mayor ordenada del gráfico corresponde a la producción que produce la mayor ganancia por unidad producida y vendida. Del gráfico se deduce que alrededor de los 250 robots producidos en cada año se tiene una utilidad de aproximadamente US$ 700 por cada robot, lo que produce una utilidad total de alrededor de US$ 175000 (700 x 250).

Se completa la tabla anterior para ajustar esos valores:

N (# Robots)

Utilidad Unitaria

(US$) 50 -4320

100 -1116 139 -1 150 188 200 631 240 702 250 698 300 615 350 481 400 340 450 210 500 96 550 0 600 -80 650 -146 700 -201 750 -246

De la tabla se deduce que la mayor utilidad unitaria se logra con una producción de 240 robots anuales, y esa utilidad es de US$ 702 por robot. La utilidad total es de US$ 168480 (240 x 702).



265

Para calcular la Función de Utilidad Total, se debe multiplicar la función de utilidad unitaria por el número de robots. La expresión correspondiente es:

NUUUT ×=

NUUUT ×= Función Genérica de Utilidad Total

Donde:

UT: Utilidad Total UU: Utilidad Unitaria N: Número de robots fabricados y vendidos

Reemplazando en la expresión anterior la función de Utilidad Unitaria se tiene:

( ) N450e15300e4100UT N015.0N004.0 ×−−= −− Función de Utilidad Total

Se prepara una tabla para la función previa:

N (# Robots)

Utilidad Unitaria

(US$)

Utilidad Total (US$)

50 -4320 -216021 100 -1116 -111558 139 -1 -77 150 188 28128 200 631 126101 240 702 168434 250 698 174621 300 615 184479 350 481 168266 400 340 135940 450 210 94415 500 96 48206 550 0 163 600 -80 -47967 650 -146 -95141 700 -201 -140770 750 -246 -184554

Se representa gráficamente la función previa:



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La zona sombreada constituye el rango de producción con utilidades para la empresa. La magnitud de las ordenadas es el valor de la utilidad total para el número de robots fabricados y vendidos que aparece sobre el eje de las “x”.

Del gráfico y de la tabla correspondiente se desprende que para una producción de aproximadamente 285 robots anuales se consigue la mayor utilidad total, y el monto de esta utilidad es alrededor de US$ 185000; para ese caso la utilidad unitaria es aproximadamente de US$ 650 (185000/285) por robot.

Se ajusta la tabla para obtener valores más exactos.

N (# Robots)

Utilidad Unitaria

(US$)


50 -4320 -216021 100 -1116 -111558 139 -1 -77 150 188 28128 200 631 126101 240 702 168434 250 698 174621 285 648 184795 290 638 184968 295 627 184858 300 615 184479 350 481 168266 400 340 135940 450 210 94415 500 96 48206 550 0 163 600 -80 -47967 650 -146 -95141 700 -201 -140770 750 -246 -184554



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Para una producción ajus tada de 290 robots anuales se logra una utilidad total de US$ 184968, que corresponde a una utilidad unitaria del producto de US$ 638 por robot (la utilidad unitaria proviene de un costo de producción de US$ 1067, y un precio unitario de venta de US$ 1705).

Uno de los aspectos importantes que surge de este ejemplo, es el hecho de que la mayor utilidad unitaria no coincide con la mayor utilidad total. Se ha sacrificado algo de la utilidad unitaria, lo que ha sido compensado y superado por un mayor volumen de ventas. Problema Resuelto 4:

El valor unitario de venta de gafas con protección contra los rayos ultravioletas está definido por la siguiente función hiperbólica:

4100N

2000CU +

−=

Donde: CU: Costo Unitario de Fabricación de las gafas, en dólares N: Número de gafas fabricadas en cada mes, que no puede ser menor que 200 para

validar la función

Primera Parte:

Dibujar en un gráfico la Función de Costos Unitarios de Producción.

Segunda Parte:

Si el precio unitario de venta de las gafas es de US$ 14, para una producción de 200 gafas, y decrece US$ 0.50 por cada 100 gafas adicionales producidas (se está trabajando con una función lineal decreciente cuya ecuación debe determinarse), encontrar y dibujar la función que describe la utilidad unitaria.

Tercera Parte:

Encontrar y dibujar la función que define la utilidad total de la empresa para los rangos apropiados y encontrar cuál es la producción que genera la mayor ganancia total.

Solución Primera Parte:

Se prepara una tabla para dibujar la Función de Costos Unitarios de Producción:

4100N

2000CU +

−=

N (# Gafas)


(US$) 200 24,00 250 17,33 300 14,00 400 10,67 500 9,00



268

600 8,00 800 6,86

1000 6,22 1200 5,82 1400 5,54 1600 5,33 1800 5,18 2000 5,05

La representación gráfica de la función es:

Solución Segunda Parte:

La Utilidad Unitaria se obtiene restando el Precio Unitario de Venta menos el Costo Unitario de Producción.

( )

+

−−

×

−

−= 4100N

200050.0

100200N

14UU

Simplificando:

4100N

2000200

200N14UU −

−−

−

−=

4100N

20001

200N

14UU −−

−+−=

100N2000

200N

11UU−

−−=

100N2000

200N

11UU−

−−= Función de Utilidad Unitaria



269

Donde:

UU: Utilidad unitaria N: Número de gafas fabricadas y vendidas mensualmente

Se prepara una tabla con valores representativos para poder generar un gráfico de la función.

N (# Gafas)

Utilidad Unitaria

(US$) 200 -10,00 250 -3,58 300 -0,50 400 2,33 500 3,50 600 4,00 800 4,14

1000 3,78 1200 3,18 1400 2,46 1600 1,67 1800 0,82 2000 -0,05 2200 -0,95 2400 -1,87

La representación gráfica de la Función de Utilidad Unitaria es:

La zona sombreada constituye el rango de producción con utilidades para la empresa (entre 280 y 2000 gafas mensuales.

Solución Tercera Parte:

Para calcular la Función de Utilidad Total, se debe multiplicar la Función de Utilidad Unitaria por el número de gafas fabricadas y vendidas mensualmente. La expresión correspondiente es:



270

NUUUT ×= Función Genérica de Utilidad Total

Donde:

UT: Utilidad Total UU: Utilidad Unitaria N: Número de gafas fabricadas y vendidas

Reemplazando en la expresión anterior la Función de Utilidad Unitaria se tiene:

N100N

2000200N

11UT ×

−−−= Función de Utilidad Total

Se prepara una tabla para la función previa:

N (# Gafas)


200 -2000,00 250 -895,83 300 -150,00 400 933,33 500 1750,00 600 2400,00 800 3314,29

1000 3777,78 1200 3818,18 1400 3446,15 1600 2666,67 1800 1482,35 2000 -105,26 2200 -2095,24 2400 -4486,96

La representación gráfica de la Función de Utilidad Total es:



271

La mayor ordenada positiva corresponde a la máxima utilidad total, y de acuerdo al gráfico y a la tabla está en aproximadamente US$ 3820 mensuales, lo que corresponde a una producción de aproximadamente 1100 gafas mensuales.

Para obtener valores más ajustados se modifica la hoja electrónica original, incluyendo datos adicionales.

N (# Gafas)

Costo Unitario de Producción

(US$)


(US$)

Utilidad Unitaria

(US$)


200 24,00 14,00 -10,00 -2000,00 250 17,33 13,75 -3,58 -895,83 300 14,00 13,50 -0,50 -150,00 400 10,67 13,00 2,33 933,33 500 9,00 12,50 3,50 1750,00 600 8,00 12,00 4,00 2400,00 800 6,86 11,00 4,14 3314,29

1000 6,22 10,00 3,78 3777,78 1120 5,96 9,40 3,44 3851,92 1200 5,82 9,00 3,18 3818,18 1400 5,54 8,00 2,46 3446,15 1600 5,33 7,00 1,67 2666,67 1800 5,18 6,00 0,82 1482,35 2000 5,05 5,00 -0,05 -105,26 2200 4,95 4,00 -0,95 -2095,24 2400 4,87 3,00 -1,87 -4486,96

Para una producción y venta mensual de 1120 gafas, se tiene un Costo Unitario de Producción de US$ 5.96, un Precio Unitario de Venta de US$ 9.40, y una Utilidad Total de US$ 3851.92 mensuales.

El gráfico es básicamente el mismo que el anterior. 5.3 PROBLEMAS PROPUESTOS: Problema Propuesto 1:

El promedio de clientes mensuales de un cine ha variado en los siguientes términos:

Año Promedio Clientes Mensuales

2000 1510 2001 1885 2002 2012 2003 2040 2004 2150



272

Primera Parte:

Encontrar una función lineal y una función logarítmica que describan aproximadamente el comportamiento de la clientela ; graficar las 2 funciones.

Segunda Parte:

Mediante las 2 funciones encontrar la proyección de ventas para los años 2006, 2008 y 2010, y comparar los resultados.

¿Cuál de las proyecciones considera más adecuada para describir el comportamiento del negocio, y por qué? Problema Propuesto 2:

El precio unitario de fabricación de bicicletas de niños para cross country, se describe mediante la siguiente función:

1120e14320CU N031.0 += −

Donde: CU: Costo Unitario de Fabricación de las bicicletas, en dólares N: Número de bicicletas fabricadas en cada año, que no puede ser menor que 60

para validar la función

El precio unitario de venta de las bicicletas depende del número de unidades que se ponen en el mercado en cada año, y responde a la siguiente expresión:

N2.43100PUV −=

Donde:

PUV: Precio Unitario de Venta de las bicicletas, en dólares N: Número de bicicletas fabricadas en cada año

Primera Parte:

Dibujar en un único gráfico las 2 funciones, de modo que pueda realizarse un análisis comparativo.

Segunda Parte:

Tomando como base el gráfico de la Primera Parte, definir los rangos de producción que generan utilidades y los que generan pérdidas.

Tercera Parte:

Encontrar la función que define la utilidad total de la empresa para los rangos apropiados y encontrar cuál es la producción que genera la mayor ganancia por unidad vendida y cual es la producción que produce la mayor ganancia total.

Cuarta Parte:

Comparar los tipos de funciones propuestas en este problema con aquellas detalladas en los Problemas Resueltos 3 y 4.

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