Funciones Sensibilidad T y S

Ignacio Díaz Blanco. Diciembre 2003 1

Tema 4

Funciones de SensibilidadSistemas Automáticos

EPSIG, 4º Ingeniería Industrial (Plan 2001)

Marzo de 2004


Situación del tema en la Asignatura

BT IEl Problema del

Control

BT IIDiseño de

Reguladores

BT IIIAspectos

Tecnológicosdel Control

BT IVAutomatización

Industrial

T1Sistemas

Automáticos

T2Metodología de

diseño de sistemasde control

T3Realimentación

(prácticas)

T4Sensibilidad

(3h)

Titulación de Ingeniero Industrial (Plan 2001)

Análisis Dinámicode Sistemas

2º

SistemasAutomáticos

4º


Indice de la exposición• La sensibilidad en el proceso de diseño• Noción de sensibilidad• Funciones de sensibilidad• Rechazo a perturbaciones• Seguimiento de referencias• Acción de control• Análisis de las acciones P, PI, PD• Robustez

• Incertidumbres en el proceso• Sensibilidad y estabilidad• Teorema de Estabilidad Robusta

• Integral de Bode y limitaciones en el control• Conclusiones






Síntesis• Síntesis directa• Técnicas basadas en LR• Técnicas frecuenciales• Técnicas EE (Asig. polos, LQG, etc.)

Análisis

Objetivos• Estabilidad• Seguimiento de referencias• Perturbaciones de carga• Ruido de medida• Incertidumbres en el modelo

Problemade

ControlSoluciónSatisfactoria


El proceso de diseñose asemeja a un bucle de control...

el éxito en el diseñono sólo depende de las técnicas de síntesis

sino también

de un buen ANÁLISISdel diseño realizado

en definitiva...

diseño realizado, prototipo

técnicas de análisistécnicas de síntesisespecificaciones

proceso

medidaacción de control

referencia


... pero también• Acción de control• Ruido de medida• Incertidumbres en el modelo

¿Qué analizar?Grado de cumplimientode los objetivos:• Estabilidad• Seguimiento de referencias• Efecto de las perturbaciones

Funciones de Sensibilidad






Noción de SensibilidadDefiniciones

Definición de la RAE:Capacidad de respuesta a muy pequeñas excitaciones,estímulos o causas.

Definición más utilizada en Control:Variación relativa de una función de transferenciafrente a variaciones relativas de uno o más parámetros


Noción de Sensibilidad

• Respuesta ante cambios en la consigna• Respuesta ante perturbaciones• El efecto del ruido de medida• La estabilidad relativa (muy sensible=fácil de inestabilizar)• La robustez (muy sensible=poco robusto)

Intuitivamente,la sensibilidad tiene relación con:






PLANTAo

PROCESOActuadorRegulador

Captador

Σ+

-

e(t) u(t) y(t)

w(t)

r(t)

pi(t)

Acciónde

controlReferencia

Perturbaciones

Señal deerror

Variablecontrolada

VariableRealimentada

Selectorde

Referencia

u(t)

Señal deMando

pi(t) Perturbaciones

pi(t)

Funciones de sensibilidadBucle básico de control


C G Σ

Σ

Σr e u

do

y

n++

+

-

++Σ

di

++ x

referencia

pert.de carga

pert.de salida

salida

ruidode medida

controlador proceso

acc.de control



C G Σ

Σ

Σr e u

do

y

n++

+

-

++Σ

di

++ x



sensibilidad

sensibilidad complementaria

sensibilidad de entrada

sensibilidad de control

Funciones de sensibilidadLas 4 funciones de sensibilidad


• El sistema realimentado está caracterizado por4 funciones de transferencia (S, T, Su, Si)

• Estas 4 funciones condensan toda lainformación sobre la respuesta del sistema

• Sus propiedades pueden mostrarse mediantesu respuesta frecuencial o mediante surespuesta temporal

Funciones de sensibilidadObservaciones






C G ΣΣr=0 e u

do

y+

-

++Σ

di

++ x

Rechazo a perturbacionesBucle abierto


C G ΣΣr=0 e u

do

y+

-

++Σ

di

++ x

Rechazo a perturbacionesBucle abierto


C G ΣΣr=0 e u

do

y

+Σn=0+

+

-

++Σ

di

++ x

Rechazo a perturbacionesBucle cerrado


C G ΣΣr=0 e u

do

y

+Σn=0+

+

-

++Σ

di

++ x

Rechazo a perturbacionesBucle cerrado


Rechazo a perturbacionesInterpretación de S(s)

Bucle abierto �

Bucle cerrado �


• La función de sensibilidad describe la atenuación en lasperturbaciones que proporciona la realimentación

• La realimentación atenúa perturbaciones a frecuencias enlas que |S(jw)|<1

• La realimentación amplifica perturbaciones a frecuenciasen las que |S(jw)|>1



wcs=0.86 rads/s

wms=1.36 rads/s

Rechazo a perturbacionesInterpretación de S(s). Regulador PI (kp=1, ki=0.3)

mejor queBA

peor queBA

atenúa perturbacioneslentas hasta unos0.86 rads/s

bloquea las perturbacionesen continua (reg. perm)

se muestra especialmentesensible ante perturbacionesa ciertas frecuencias



S(s) describe cuánto atenúala realimentación las perturbacionesen comparación con bucle abierto

informa también sobre:• Estabilidad relativa• Robustez• etc.

(a continuación...)

Puede también representarseen el tiempo

permite dar esa informaciónen frecuencia (frecuencias vulnerables,frecuencias robustas ...)






Seguimiento de referenciasFactores que afectan al seguimiento de referencias

T(s)seguimiento

de referencias

T(s)sensor

Si(s)perturbaciones

de carga

S(s)perturbacióna la salida

del proceso


Seguimiento de referenciasFunción de sensibilidad complementaria

• Dinámica del seguimiento de referencias

• Efecto de ruido e incertidumbres en el sensor


ancho de banda

gananciaen régimenpermanente

Seguimiento de referenciasinterpretación gráfica de T(s) resonancia

(tendencia a oscilar,estabilidad relativa...)


Seguimiento de referenciasError de seguimiento

En régimen permanente...

La función de sensibilidad guarda una estrecha relacióncon el error de seguimiento de referencias

En ausencia de perturbaciones...

0 0 0


Seguimiento de referenciasRelación con la función de sensibilidad

ST

... esto supone una restricción en el problema de control

Ejemplo: este sistema tieneun buen rechazo a perturbacionesde bajas frecuencias

...pero un error de baja frecuenciaen el sensor se transmiteíntegramente a la salida


Seguimiento de referenciasRequisitos típicos para C(jw)G(jw)

Perturbaciones y referencias�dominadas por BF�|S| pequeña

Ruido en el sensor�dominado por AF�|T| pequeña

log10|w|

20 log10|·|

|CG| ↑↑

↑|S| pequeña

|T| pequeña

↓|CG| ↓↓

|C(jw).G(jw)|

wcg






Acción de controlFunción de sensibilidad de control

Su(s) Su(s) Su(s)

La acción de control está dominada por Su(s)


Matemáticamentese verifican las siguientes relaciones...

Acción de controlFunción de sensibilidad de control


Acción de controlObservaciones prácticas

Incrementar el ancho de banda del procesoacarrea acciones de control elevadas

Su(jw) describe la intensidad de la acción de controlpara perturbaciones o referencias a distintas frecuencias

1

Dado que:

La acción de control será elevada en frecuencias en las queel bucle cerrado tenga más ganancia que el proceso.

2


Acción de controlEjemplo: ancho de banda / acción de control

Proceso:

Controlador (PID):

Ancho de bandadel proceso

Ancho de banda conseguidocon el controlador PID

Incremento de la acción de controlen las frecuencias amplificadas






Análisis de las acciones P, PI, PDAcción Proporcional (P)

e(t)

u(s) = Kp·e(s)e(t)

t

Kp

Propiedades• La acción de control es directamente

proporcional al error e(t) cometido• Esta acción surte efecto de forma

instantánea a la aparición del error• Reduce el error, tanto en seguimiento de

referencias como el originado porperturbaciones, pero no lo anula en régimenpermanente

• Valores elevados de Kp originan menoserror y respuestas más rápidas, aunque unaacción P excesiva pueden producirrespuestas sobreosciladas o inclusoinestables

u(t) = Kp·e(t)


Análisis de las acciones P, PI, PDAcción Proporcional-Integral (PI)

e(t)

u(s) = Ki·(1/s) e(s)e(t)

t

u(t)

Ki1/s

Propiedades• Se basa en la integral del error• Mientras el error persiste en régimen

permanente, la acción de control seincrementa (el integrador sigue integrando)

• En régimen permanente, el error se hacecero (si no, tendríamos un sistemainestable)

• La acción se basa en la “historia” del error,por tanto conlleva cierto retraso (noconfundir con retraso puro)

• Este retraso origina dinámicas lentas, másoscilatorias y a veces inestabilidad

• La acción integral siempre suele iracompañada de una acción proporcional(Kp) � ACCIÓN Proporcional-Integral (PI)

Kp

Ki1/s

+

+

e(s) u(s)


Análisis de las acciones P, PI, PDAcción Proporcional-Diferencial (PD)

e(t)

Td

ê(t+T)u(s) = K·[e(s) + Td·s e(s)] = K(1+Tds)e(s)

parteproporcional

partediferencial

u(t) = K·ê(t+Td) = e(t) + Td·de/dt

parteproporcional

partediferencial

1

Tds

K

e(t)

t

Propiedades• Se basa en la predicción lineal del valor del

error dentro de Td segundos � esANTICIPATIVA

• Esta predicción se basa en la pendiente delerror (derivada)

• Su carácter anticipativo hace que, engeneral, mejore la dinámica de la respuesta

+

+

e(s) u(s)

u(t) = K·e(t+Td)


Análisis de las acciones P, PI, PDAcción Proporcional-Integral-Diferencial (PID)

Kp

Ki1/sK

Propiedades• Combina las tres acciones• Bien diseñado puede reunir las ventajas de

las tres• Las tres acciones básicas P, PI, PD, son

casos particulares de ésta• La gran mayoría de los reguladores

utilizados en la industria son PID’s

+

+

e(s) u(s)

Kds


Análisis de las acciones P, PI, PD

C G Σ

Σ

Σr e u y

n++

+

-

++Σ

++ x

Controlador:

Proceso:


Análisis de las acciones P, PI, PD






Incertidumbres en el procesoEn ausencia de incertidumbres en el modelola relación entre salida y referencia es:

El proceso, G, puede sufrirvariaciones dG

debidas a causas externas,errores de modelado, etc.

El impacto en la respuesta debido a una variación dG es:

función de sensibilidad

derivando...


Estabilidad y sensibilidad

Re

Im

-1+0j α1

α2

α

Los márgenes clásicos puedenestablecerse en términos de α1 y α2

αsustituyendo α1 y α2 por αse obtienen versiones conservadorasde los dos márgenes:

MF(º)

aMG = 1/a

La distancia del punto –1 al punto L(jw)es precisamente la inversa

del módulo de la sensibilidad

punto dedistanciamínima:


Estabilidad y sensibilidadVisualizando la curva de sensibilidadpuede obtenerse información muy útilsobre la estabilidad

6.89 dB

wms = 0.9 rads/s

Re

Im

-1

Márgenes robustos:

wcs

wcs

α =α =α =α = 1/Ms wms


Estabilidad y sensibilidadEjemplo anterior (acciones P, PI, PD)

El PI muestrael comportamientomás inestablede las tres acciones

El regulador PDes el más estable(tiene el Ms más pequeño)

Funciones de Sensibilidad P, PI, PD

Márgenes de estabilidad

márgenesrobustos

mas conservadorespermiten compararlos 3 reguladores

El regulador proporcionalmuestra una leve inestabilidad

márgenesclásicos

no permiten compararlos reguladores


Respuestas al escalón P, PI, PD



P PI PDMapas Polo-Cero de los sistemas realimentados


El más estableEl más inestable

Muestra inestabilidadrelativa en la región

en torno aw= 1.3 rads/s

Muestra menor inestabilidadrelativa que el PI

a frecuencias algo mayores


Impacto de la incertidumbreen la estabilidad

En ocasioneslos modelos utilizados durante el diseñono coinciden con la realidad

Retardos de transporte

Dinámicas lentas en sensores y/o actuadores

Variaciones en los parámetros del proceso(efecto de la temperatura, envejecimiento, derivas)

Errores en el modelado (ej. aproximación lineal)

C GΣr e u+

-

x

controlador proceso



En ocasioneslos modelos utilizados durante el diseñono coinciden con la realidad

Retardos de transporte

Dinámicas lentas en sensores y/o actuadores

Variaciones en los parámetros del proceso(efecto de la temperatura, envejecimiento, derivas)

Errores en el modelado (ej. aproximación lineal)

C GΣr e u+

-

xActua-dor

retardosdinámicas errores de modelado

variación de parametros

retardosdinámicas

controlador proceso G’

Sensor


Problema de laimplementación


idealelementos:+ caros+ rápidos+ precisos

realelementos:

+ baratos+ lentos

- precisos

?

Es necesario conocer cómo afectala tecnología en nuestro diseño


G(s)C(s) original:

G(s)C(s) + dinámica:

G(s)C(s) + retardo:Original

con retardo ττττ = 0.2dinámica lenta1/(s+1)

La dinámica adicionaldel captador o del actuadororigina mayor sensibilidad

y mayor inestabilidad relativa

Impacto de la incertidumbreen la estabilidadEjemplo: efecto de dinámicas adicionales


Impacto de la incertidumbreen la estabilidadTeorema de Estabilidad Robusta

En ocasiones el modelo nominal del proceso, Gno coincide con el modelo real, G’

Esta disparidad puede modelarse de dos formas:

Fácilmente se comprueba queambos errores están relacionados por:

Error aditivoErrormultiplicativo


el radio de modificaciónno debe alcanzar el punto –1+0j:

Re

Im

-1

Impacto de la incertidumbreen la estabilidadTeorema de Estabilidad Robusta

Si hay una incertidumbre en el proceso...

Curva de Nyquist real


dividiendopor CG...

...en términos delerror multiplicativo

δG...

...otraexpresión

Impacto de la incertidumbreen la estabilidadTeorema de Estabilidad Robusta(distintas expresiones)


Impacto de la incertidumbreen la estabilidadEjemplo

• Con vistas al control, el sistemadebe estar bien modelado entorno a wcg

T

1/T• A frecuencias muy altas o muybajas son admisiblesvariaciones ∆G/G mayores δGmax

δGmax

zonacrítica

Consecuencias del T.E.R.:


Impacto de la incertidumbreen la estabilidadEjemplo

G

G

∆G

G’θ

En el peor caso son admisibles:

∆G

G’

T

1/T

• Variaciones puras de fase dehasta unos 35º

• Variaciones puras de gananciade hasta el 59%


Hτ (s)

¿cómo afecta el sensora la estabilidad?

Se supone el siguiente diseñobasado en realimentación unitaria:

Impacto de la incertidumbreen la estabilidadEjemplo: Elección del sensor basada en el T.E.R.


Impacto de la incertidumbreen la estabilidadEjemplo: Elección del sensor basada en el T.E.R.

ττττmax ~ 2.2

estabilidad garantizada






Integral de Bodey limitaciones en el control

Hipótesis:• El sistema realimentado es estable• L = CG decae al menos tan rápido como 1/s2

(ej. el controlador y la planta tienen anchos de banda limitados)

Para plantas estables:

Para plantas inestables:


A-

A+

A- =A+

Planta estable:



A-

A+

A- << A+

Planta inestable:




Durante el diseñobuscamos reducir lafunción de sensibilidad

• Reducir impacto deperturbaciones

• Mejorar márgenes deestabilidad

• etc.

! Pero lo que hacermoses mover “area” de unsitio hacia otro !


Integral de Bodey limitaciones en el controlEjemplo


Si la implementación tecnológicadel controlador o la plantano permite asegurarlo que ocurre más allá deuna frecuencia wmaxel problema se agrava...

wmax

S(jw)=1, para w>wmax

Integral de Bodey limitaciones en el controllimitaciones tecnológicas (ancho de banda disponible)






Conclusiones Generales del TemaPapel de la sensibilidad en el diseño

• El diseño de un sistema de control debe tener encuenta múltiples objetivos, además del seguimiento dereferencias...

• Es esencial disponer de herramientas de análisis quepermitan evaluar esos objetivos.

• Las funciones de sensibilidad aportan informaciónglobal sobre esos objetivos, incluyendo: rechazo aperturbaciones, seguimiento de referencias, acción decontrol, estabilidad relativa y robustez.


• Las funciones de sensibilidad permiten determinarinstantáneamente gran cantidad de información sobre elsistema de control (perturbaciones, estabilidad,robustez...)

• Pueden visualizarse en frecuencia y en el tiempo

Conclusiones Generales del TemaFunciones de sensibilidad

Frecuencia Tiempo


• Función de sensibilidad S(s) :• Capacidad de rechazo a perturbaciones del bucle• Errores de seguimiento de referencias• Estabilidad relativa (Ms, márgenes robustos MG* y MF* ...)• Efecto de incertidumbres sobre la respuesta


• Función de sensibilidad complementaria T(s) :• Seguimiento de referencias• Efecto del ruido del sensor• Efecto de incertidumbres sobre la estabilidad (estab. robusta).• Pone límites a las alteraciones admisibles en el proceso


• Función de sensibilidad de control Su(s):• Impacto sobre la acción de control de perturbaciones y

referencia• Ganar ancho de banda exige acciones de control elevadas

• Función de sensibilidad de entrada Si(s):• Efecto de perturbaciones de carga (a la entrada del proceso)



• Las funciones de sensibilidad están algebraicamenterelacionadas

Conclusiones Generales del Temalimitaciones del control

... y no pueden moldearse arbitrariamente, lo queconstituye serias limitaciones en el control


• La integral de Bode introduce una severa restricciónadicional sobre la morfología de S(s), de importantesconsecuencias que debe ser tenida en cuenta de cara aun diseño realista

Conclusiones Generales del TemaLimitaciones del control

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Funciones Sensibilidad T y S