La ecuación diferencial de Chebyshev tiene una importancia fundamental en la deducción de fórmulas para expresar las funciones trigonométricas de ángulos múltiples cos(nθ) y sen(nθ) en términos de cos(θ) o sen(θ).

(1- x2) d2 y

d x2 - xdydx

+ α2 y = 0 para |x|<1.

La ecuación diferencial de Chebyshev puede ser solucionada por el método de la serie de potencias

y =∑n=0

∞

an xn

y ' =∑n=1

∞

¿¿

y '' =∑n=1

∞

(n + 1 )nan +1 xn -1 =∑n= 0

∞

( n + 2 ) ( n + 1 ) an +2 xn

Reemplazando las sumatorias en la ecuación original

(1- x2)∑n=0

∞

( n + 2 ) ( n + 1 )an+2 xn - x∑n=0

∞

(n + 1 ) an+1 xn + α2∑n=0

∞

an xn = 0

∑n=0

∞

( n + 2 ) ( n + 1 ) an+2 xn -∑n=0

∞

( n + 2 ) (n + 1 ) an+2 xn+2 - ∑n=0

∞

(n + 1 ) an+1 xn+1 + α2∑n=0

∞

an xn = 0

∑n=0

∞

( n + 2 ) ( n + 1 ) an+2 xn -∑n=2

∞

n (n - 1) an xn - ∑n= 1

∞

n an xn + α2∑n=0

∞

an xn = 0

2∙1∙ a2 + 3∙2∙ a3 x -a1 x + α2a0 + α2a1 x +∑n=2

∞

[ ( n + 2 ) (n + 1 ) an+2 - n (n - 1 )an - n an + α2 an ] xn = 0

2 a2 + α2 a0 + [6 a3 + ( α2 -1) a1 ] x +∑n=2

∞

[ ( n + 2 ) ( n + 1 ) an+2 - (n2- α2 ) an ] xn = 0

Obteniendo así las relaciones entre los coeficientes

2 a2 + α2 a0 = 0

[6 a3 + (α2 -1) a1 ] = 0

an+2 = ( n2 -α2 ) an

(n + 2 ) (n + 1 ) para n = 2,3,4,…

Las dos primeras relaciones son realmente casos especiales de la tercera relación, la cual es una relación de recurrencia, que puede ser reescrita como

an+2 = ( n2- α2 )

(n + 2 ) (n + 1 ) an para n = 0 , 1, 2 ,…

La solución general en serie de potencias de la ecuación diferencial de Chebyshev es entonces

y = a0 [1 -α2 x2

2!+

α2 ( α2 -22 ) x4

4!-α2 ( α2 -22 ) (α2 -42 ) x6

6!+

α2 (α2 -22 ) ( α2- 42) (α2 -62) x8

8!-… ]+

a1 [x -(α2- 12) x3

3!+

(α2 -12 ) ( α2-32) x5

5!-

(α2-12) (α2 -32 ) (α2 -52 ) x7

7!+

( α2-12 ) (α2 -32 ) (α2 -52 ) (α2 -72 ) x9

9!-… ]

La cual puede expresarse como

y = a0 F (x ) + a1 G (x )

donde

F ( x ) = 1 -α2 x2

2!+

α2 (α2 -22 ) x4

4!-α2 (α2 -22 ) (α2- 42 ) x6

6!+

α2 ( α2- 22) (α2 - 42 ) (α2 -62 ) x8

8!-…

G (x ) = x -( α2-12 ) x3

3!+

(α2- 12) ( α2 -32 ) x5

5!-

( α2-12 ) (α2 -32 ) (α2 -52 ) x7

7!+

( α2 -12 ) (α2 -32 ) (α2 -52 ) (α2- 72 ) x9

9!-…

Cualquier solución de la ecuación diferencial será una combinación lineal de las funciones F(x) y G(x).

La ecuación diferencial

(1- x2) d2 y

d x2 - xdydx

+ α2 y = 0

puede ser reescrita como

(1−x2 )1 /2∙ddx [(1−x2)1/2

∙dydx ] + α2 y = 0

y puede también resolverse por el método de sustitución haciendo x = sen(z),

se tiene

dxdz

= cos z dzdx

= 1cos z

(1- x2)1/2= ( 1-sen2 z)1 /2

= cos z

dydx

= dydz∙dzdx

= 1cosz

dydz

reemplazando en la ecuación diferencial

cos z ∙d dx [cos z ∙(1cos z

dydz )] + α2 y = 0

cos z ∙[ddx (dydz )] + α2 y = 0

cos z ∙[ddz (dydz )∙dz

dx ] + α2 y = 0

cos z ∙[d2 yd z2 ∙(1cos z )] + α2 y = 0

d2 yd z2 + α2 y = 0

cuya solución es

y = A cos (αz ) + B sen (αz )

z = sen-1 x →

y = A cos (α sen-1 x ) + B sin ( αsen-1 x )

Las funciones cos ( αsen-1 x ) y sin (α sen-1 x ) son soluciones de la ecuación diferencial de Chebyshev, por lo tanto deben ser combinaciones lineales de las funciones F(x) y G(x) dadas anteriormente.

Expresar las funciones cos ( αsen-1 x ) y sin (α sen-1 x ) como combinaciones lineales de F(x) y G(x) puede ser conseguido a través sus desarrollos en series de Taylor, alrededor del punto x=0.

Por la teoría de funciones de variable compleja, una función f(z) se puede representar en serie de Taylor alrededor de un punto z=a si la función f(z) es analítica en un círculo centrado en ese punto. La serie de Taylor es:

f(z) = f(a) + f '(a)(z-a) + f ''(a)2!

(z-a)2 + f ''' (a)3!

(z-a)3 +…

Las funciones cos (z ) y sen (z ) son analíticas en todo el plano complejo, sus

inversas cos-1 z y sen-1 z son analíticas en una región que incluye al círculo |z|<1.

Y así lo será la composición de estas funciones, por lo tanto cos ( αsen-1 z ) y sin (α sen-1 z ) son analíticas en la región |z|<1.

Obteniendo la serie de Taylor para cos ( αsen-1 x ) alrededor del punto x=0:

f(x) = cos ( αsen-1 x )

f'(x) = -sen (α sen-1 x ) α(1- x2 )1/2

f''(x) = - cos (α sen-1 x ) α2

(1- x2 ) - sen (α sen-1 x ) αx

(1- x2 )3 /2

f'''(x) = sen ( αsen-1 x ) x2 (-α3 -2α)+α3 -α

(1- x2 )5 /2 + cos (α sen-1 x ) -3α2 x

(1- x2 )2

f iv(x) = cos (α sen-1 x ) x2(- α4 -11α2 )+α4 -4 α2

(1- x2 )3+ sen (α sen-1 x ) x

3(-6 α3-6α) +x(6α3 -9α)

(1- x2 )7/2

f(0)=1 f’(0)=0 f’’(0)=- α2 f’’’(0)=0 fiv (0)= α4 -4 α2

f ( x ) = f (0 ) + f ' (0 ) x + f '' (0 ) x2

2! + f ''' (0 ) x

3

3! + f iv(0)

x4

4! + …

cos ( αsen-1 x ) = 1 - α2 x2

2! + α2 (α2 -22 )

x4

4! - …

Los primeros términos de la serie obtenida coinciden con los de F(x), y como cualquier solución de la ecuación diferencial de Chebyshev debe ser una

combinación lineal de las funciones F(x) y G(x) entonces cos ( αsen-1 x ) es justamente F(x).

cos ( αsen-1 x ) = 1 -α2 x2

2!+

α2 (α2- 22 ) x4

4!-α2 (α2- 22 ) ( α2 - 42 ) x6

6!+

α2 (α2 -22 ) (α2 -42 ) ( α2- 62 ) x8

8!-… ,-1<x<1

Obteniendo la serie de Taylor para sen (α sen-1 x ) alrededor del punto x=0:

f(x) = sen (α sen-1 x )

f'(x) = cos ( αsen-1 x ) α(1-x2 )1 /2

f''(x) = - sen (α sen-1 x ) α2

(1- x2 )+ cos (α sen-1 x ) αx

(1- x2 )3/2

f'''(x) = cos (α sen-1 x ) x2( α3 +2α)- α3+α

(1- x2 )5/2 + sen (αsen -1 x ) -3α2 x

(1- x2 )2

f iv(x) = sen ( αsen-1 x ) x2 (-α4 -11 α2)+α 4-4 α2

(1- x2 )3+ cos (α sen-1 x ) x

3(6 α3 +6α)+x(-6α3+9α)

(1-x2 )7 /2

f(0)=0 f’(0)=α f’’(0)=0 f’’’(0)= -α 3+α f iv(0)= 0

f ( x ) = f (0 ) + f ' (0 ) x + f '' (0 ) x2

2! + f ''' (0 ) x

3

3! + fiv (0)

x4

4! + …

sen (α sen-1 x ) = αx - α( α2 -12)x3

3! + …

Los primeros términos de la serie obtenida son proporcionales a los de G(x), y como cualquier solución de la ecuación diferencial de Chebyshev debe ser una

combinación lineal de las funciones F(x) y G(x) entonces sen (α sen-1 x ) es justamente G(x) multiplicado por una constante.

sen (α sen-1 x )= α x -α (α2 -12 ) x3

3!+

α (α2 -12 ) (α2- 32 ) x5

5!-α ( α2-12 ) (α2 -32 ) (α2 -52 ) x7

7!+

α (α2 -12 ) (α2- 32 ) ( α2-52) ( α2 -72) x9

9!-…

donde -1<x<1.

Ahora es posible hallar fórmulas para sen(nθ) en términos de sen(θ)

sen (α sen-1 x )= α x -α (α2 -12 ) x3

3!+… , -1<x<1

La serie es finita si α es un entero impar, en este caso se tiene que las funciones que están en ambos lados de la igualdad son continuas en el intervalo

-1≤ x ≤1, así tenderán al mismo límite cuando x→

1, entonces cuando α es un

entero impar se cumple

sen (α sen-1 x )= α x -α (α2 -12 ) x3

3!+… , -1≤ x ≤ 1

Haciendo θ=sen-1 x, entonces x=senθ

sen (αθ ) = αsenθ -α (α2 -12 ) sen3θ3!

+…, la serie es finita si α es un entero impar.

Cuando α es un entero par, la serie es infinita. Para resolver este caso se

deriva término a término la ecuación de cos ( αsen-1 x )

cos ( αsen-1 x ) = 1 -α2 x2

2!+

α2 (α2 -22 ) x4

4!- … ,-1<x<1

-sen (α sen-1 x ) α(1- x2 )1 /2 = - α2 x+

α2 (α2 -22 ) x3

3!- …

Haciendo θ=sen-1 x, entonces x=senθ

-sen (αθ ) α(1- sen2θ )1 /2 = -α2 senθ+

α2 (α2 -22 ) sen3θ3!

-…

sen ( αθ ) = cosθ [αsenθ-α (α2 -22 ) sen3θ3!

+…] , la serie es finita si α es un entero par.

Para hallar las fórmulas para cos(nθ) en términos de cos(θ) se necesita la

serie de potencias de la función cos ( αcos-1 x )

cos-1 x + sen-1 x = π2

, -1≤x≤1

cos ( αcos-1 x ) = cos [α(π2

-sen-1 x)]= cos (α π2 )cos (αsen-1 x ) + sen(α π

2 )sen (α sen-1 x )

Cuando α es un entero par, se obtiene

cos ( αcos-1 x ) = (-1 )α /2cos (α sen-1 x )

cos ( αcos-1 x ) = (-1 )α /2[1 -α2 x2

2!+

α2 (α2- 22 ) x4

4!-…] , la serie es finita para α entero par.

Haciendo θ=cos-1 x, entonces x=cosθ

cos (αθ )= (-1 )α /2[1 -α2 cos2 θ2!

+α2 ( α2-22 ) cos4 θ4!

-…] , α entero par.

Cuando α es un entero impar en la ecuación

cos ( αcos-1 x ) = cos(απ2 )cos ( αsen-1 x ) + sen (α π

2 )sen (α sen-1 x )

se obtiene

cos ( αcos-1 x ) = (-1 )α-12 sen (α sen-1 x )

cos ( αcos-1 x ) = (-1 )α-12 [α x -

α (α2- 12 ) x3

3!+…] , la serie es finita para α entero impar.

Haciendo θ=cos-1 x, entonces x=cosθ

cos (αθ )= (-1 )α-12 [αcosθ -

α (α2 -12 ) cos3 θ3!

+…] , α entero impar.

Resumiendo los resultados:

sen (nθ ) = { n senθ -n ( n2-12 ) sen3 θ3!

+n ( n2-12 ) ( n2 -32 ) sen5θ5!

-…, n impar.

cosθ [n senθ-n ( n2 -22 ) sen3 θ3!

+n ( n2-22 ) ( n2 -42 ) sen5θ5!

-…] , n par.

cos (nθ )= { (-1)n-12 [n cosθ -

n (n2- 12 )cos3 θ3!

+n ( n2-12 ) ( n2 -32 ) cos

5θ

5!-…] , n impar.

(-1)n /2[1 -n2 cos2θ2!

+n2 (n2- 22 ) cos4 θ4!

-n (n2- 22 ) ( n2- 42 ) cos6θ6!

+…] , n par.

Aplicando estas fórmulas para varios valores de n, se obtiene:

sen (2θ )= 2senθcosθ

sen (3θ )= 3senθ – 4 sen3θ

sen (4θ ) = [4senθ – 8 sen3θ ] cosθ

sen (5θ )= 5senθ – 20 sen3 θ + 16sen5θ

sen (6θ )= [ 6senθ – 32 sen3θ + 32sen5θ ] cosθ

sen (7θ )= 7senθ – 56 sen3 θ + 112sen5 θ – 64 sen7 θ

sen (8θ )= [ 8senθ – 80 sen3 θ + 192sen5 θ – 128sen7 θ ] cosθ

sen (9θ )= 9senθ – 120 sen3 θ + 432sen5θ – 576 sen7 θ + 256sen9 θ

sen (10θ )= [ 10senθ – 160 sen3θ + 672sen5θ – 1024 sen7 θ + 512sen9 θ ]cosθ

cos (2θ ) = 2cos2θ – 1

cos (3θ ) = 4cos3 θ – 3cosθ

cos (4θ )= 8 cos4 θ – 8 cos2 θ + 1

cos (5θ ) = 16 cos5θ – 20 cos3θ + 5cosθ

cos (6θ ) = 32cos6θ – 48 cos4θ + 18 cos2θ – 1

cos (7θ ) = 64 cos7 θ – 112cos5 θ + 56cos3 θ – 7 cosθ

cos (8θ )= 128cos8θ – 256 cos6θ + 160 cos4 θ – 32 cos2θ + 1

cos (9θ )= 256 cos9 θ – 576cos7 θ + 432cos5θ – 120 cos3 θ + 9cosθ

cos (10 )= 512 cos10θ – 1280 cos8 θ + 1120cos6θ – 400 cos4θ + 50 cos2θ – 1