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CAPITULO 2ºFUNCIONES DE VECTORES Y
MATRICES_01
Ing. Diego Alejandro Patiño G. M.Sc, Ph.D.
2
Funciones de Vectores y MatricesLos operadores lineales son funciones en un espacio vectorial, que transforman un vector desde un espacio a otro espacio:
nnA ℜ→ℜ:
o posiblemente de un espacio hacia si mismo.
Dentro de este último grupo se encuentran los Operadores Funcionales Lineales, los cuales transforman vectores dentro del campo de los números reales.
Se estudiarán tres tipos especiales de operadores: • El Funcional Multilinear• La Forma Cuadrática• Funciones de Matrices
3
Funciones de Vectores y MatricesUn Operador Funcional Lineal (OFL) es una función lineal de un vectorUn OFL f(x) ∈ ℜ transforma un vector x ∈ X al conjunto de los números reales tales que
f(cx) = cf(x)f(x+y) = f(x) + f(y)
donde c es un escalar en el campo de X y y ∈ X.
Si el espacio vectorial X, de dimensión n, tiene definida una base {ej}, entonces
( ) ( )∑∑==
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
n
iii
n
iii fxxff
11eex
Se puede determinar el efecto de un funcional lineal sobre un vector determinando primero su efecto sobre los vectores de la base.
4
Funciones de Vectores y MatricesPara determinar el efecto de un funcional lineal sobre la base
o en forma matricial
Base Nueva :ˆ ,ˆ1
i
n
iiijj b eee ∑
=
=
[ ] [ ]Beeeeee nn ˆˆˆ 2121 LL =
respecto a la nueva base:
( ) )(1
∑=
=n
jjj fxf ex
5
Funciones de Vectores y Matrices
( ) ∑ ∑= =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
n
j
n
iiijj bfxf
1 1ex
( ) ( )∑ ∑= =
=n
j
n
iiijj fbxf
1 1ex
( ) ( )
( ) ( )∑
∑ ∑
=
= =
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
n
iii
n
ii
n
jjij
ff
fbf
1
1 1
ˆˆ
ˆ
exx
exx
Respecto a la nueva base
6
Funciones de Vectores y Matricesdonde
son los componentes del funcional en la nueva base, o en forma matricial
∑=
=n
jjiji b
1
ˆ xx
Bxx =ˆ
Que corresponde a la misma formula para el cambio de base de vectores en un espacio lineal.
7
Funcionales MultilinealesEs un funcional que es lineal en varios vectores diferentes:
A(x1,x2,…,xk).la mas común de las formas es la bilineal.Una forma bilineal B es un funcional que actúa sobre dos vectores del espacio X, de tal forma que si x, y, z ∈ X y α es un escalar en el campo de X:
8
Forma Bilineal
Si la última condición se reemplaza por
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )yx,yx,
yx,yxyx,zx,yzx,zy,zx,zy,x
BBBB
BBBBBB
αααα
==
+=++=+
,
( ) ( )yx,yx, BB αα =
se dice que B está en la Forma Sesquilineal
9
Forma BilinealEn un espacio lineal las formas bilineales se especifican por medio de un conjunto de n2 componentes, porque cada vector x, y se puede expandir en máximo n componentes independientes.
Estos n2 números se pueden escribir como una matriz de n × n donde el (i,j)–esimo elemento de la matriz es
( )ji e,eB=ijby la forma bilineal se puede escribir como
( ) [ ] Byxyxyx, Tij
T bB ==La forma B es simétrica si
( ) ( )xy,yx, BB =y es hermitiana si
( ) ( )xy,yx, BB =
10
Forma BilinealCuando cambia la base del espacio vectorial la matriz que describe la forma bilineal también cambiara. Sea B la matriz que describe la forma bilineal respecto a la base original {ei} y sea la forma respecto a la nueva base {ej}, si la relación entre bases se conoce
B
∑=
=n
kkkii
1ee β
Sustituyendo en la expresión para el elemento (i,j)–esimo de la representación matricial de B:
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=→= ∑∑
==
n
mmmi
n
llliijij BbBb
11
ˆ,ˆ eee,e ji ββ
( ) ∑ ∑∑ ∑= == =
=→=n
l
n
mijmiliij
n
l
n
mmmiliij bbBb
1 11 1
ˆˆˆ ββββ e,el
11
Forma Bilineal
Si los coeficientes βij se ordenan en una matriz β, entonces en general tenemos que
βBβB T ˆ=
La anterior expresión tiene la forma de transformación similar previamente definida. Si la matriz de cambio de base es ortonormal (βT = β-1), la transformación en la forma bilineal es igual a la transformación similar.
12
Forma BilinealLa forma bilineal escrita como
también se puede escribir como
Formas bilineales y productos internos son equivalentes
Pero no es válido para espacios de funciones de dimensión infinita.
( ) Byxyx, T=B
( ) yxyx, BB ,=
13
Forma Bilineal
[ ]1,0∈t
( ) ∫ ×=1
0
)()()(),( dtttttB gfgf
Es un productos interno si B(x,x) > 0 para x ≠ 0 y B(x,x) = 0 para x = 0. Si se considera el campo de los complejos el producto interno tiene la forma sesquilineal:
Por ejemplo para el espacio de las funciones de valores reales definidas en el intervalo una forma bilineal válida:
( ) ∫ ×=1
0
)()()(),( dtttttB gfgf
14
Formas CuadráticasSe definen las formas cuadráticas en la misma forma que las formas bilineales con la diferencia que se utiliza el mismo vector dos veces.
Dada una matriz A, una forma cuadrática puede escribirse como
( ) Axx,Axxxx,AQ T ===
Es conveniente definir formas simétricas o hermitianas, ya que si está definida sobre los reales, es un escalarAxxT
xAxAxxAxx TTT
TT ==
xAAxxAxAxxAxxTTTT
T
43421OA
T⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
+=
22
15
Formas CuadráticasLa matriz AO cumple la condición
( ) ( )AAAAAAA TTT +=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +=+= 5.05.05.0
TTTT
O
EntoncesHermitiana Matriz T
OO AA =
Simétrica Matriz TOO AA =
Si A está definida sobre los reales
En general cuando se habla de formas cuadráticas se asume que se está trabajando con matrices simétricas. La forma cuadrática se puede usar en el sentido de “norma” pero se debe tener en cuenta que no siempre cumple con todas las propiedades de una norma. Por ejemplo, el requisito de no negatividad y de cero solo cuando x = 0no siempre se cumple. De hecho se tiene cinco posibilidades:
16
Formas Cuadráticas• Si para todo x ≠ 0, la forma cuadrática A (simétrica) se
dice que es positiva definida. 0>AxxT
• Si para todo x ≠ 0, la forma cuadrática A (simétrica) se dice que es positiva semidefinida.
0≥AxxT
• Si para todo x ≠ 0, la forma cuadrática A (simétrica) se dice que es negativa definida.
0<AxxT
• Si para todo x ≠ 0, la forma cuadrática A (simétrica) se dice que es negativa semidefinida.
0≤AxxT
• Si para algunos x ≠ 0 y para otros x ≠ 0, la forma cuadrática A (simétrica) se dice que es indefinida.
0>AxxT 0<AxxT
Existen varias pruebas para determinar si una matriz es positiva, negativa o indefinida:
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Formas Cuadráticas
TEOREMA: Una forma cuadrática o la matriz A simétrica que la define, es positiva (negativa) definida si TODOS los valores propios de A son positivos (negativos) o tienen parte real positiva (negativa). La forma cuadrática es positiva (negativa) semidefinida si TODOS los valores propios de A son no negativos (no positivos) o tienen parte real no negativa (no positiva).
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Sea A una matriz n × n con valores propios λi, se definen los menores principales de A como
Aaaaaaaaaa
aaaa
a n =Δ=Δ=Δ=Δ
333231
232221
131211
32221
12112111
Positiva definida: todos los menores principales son positivos.Positiva semidefinida: todos los menores principales son no negativosNegativa definida: los menores principales se alternan en signo, empezando con un signo negativo para el menor 1x1.Negativa semi definida: los menores principales son alternadamente no positivo, no negativo ….
Formas Cuadráticas
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La tabla resume dos métodos para determinar la “definición” de una matriz A hermitiana
Ninguno de los Anteriores
AlgunosAlgunos
Indefinida
Negativa SemidefinidaNegativa DefinidaPositiva SemidefinidaPositiva Definida
Menores de AValores PropiosClase
0>iλ0≥iλ0<iλ0≤iλ
0>iλ0<iλ
0>Δ i
0≥Δ iL000 321 <Δ>Δ<Δ
L000 321 ≤Δ≥Δ≤Δ
Formas Cuadráticas
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Las formas cuadráticas se pueden emplear para representar las ecuaciones de objetos geométricos conocidos como “quadrics”.
Geometría formas cuadráticas
Por ejemplo, sea x ∈ ℜn y la matriz A (n × n) simétrica positiva definida, entonces
1=AxxT
es la ecuación de un elipsoide en ℜn.
( )
( ) ( ) ( ) 1
1
100
010
001
2
2
2
2
2
2
0
0
0
2
2
2
000
=−
+−
+−
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
czz
byy
axx
zzyyxx
c
b
azzyyxx
ooo
21
Geometría formas cuadráticas
Cuales son las direcciones de los ejes principales?Que tan lejos se extiende la superficie en cada dirección?
Elipsoide
22
Geometría formas cuadráticas
Maximizar la ecuación del elipsoide sujeta a la restricción establecida por un tamaño normalizado.
Derivando:)1( xxAxx TT −−= γH
01
022
=−=∂∂
=−=∂
∂
xx
xAx
T
γ
γ
HxHT
23
Geometría formas cuadráticas
El multiplicador de LaGrange es igual a un valor propio y x es el vector propio correspondiente.Los extremos del elipsoide se presentan en los vectores propios.El valor extremo esta dado por:
γγ
γ
γ
2
=
=
=
=
x
xxxxAxxT
T T
24
Geometría formas cuadráticas
El valor extremo a lo largo de los ejes principales está dado por los vectores propios.Este resultado es cierto para una matriz simétrica, positiva definida.Para matrices no simétricas los ejes principales están dados por los vectores singulares izquierdos y las longitudes están dadas por los valores singulares.
25
Funciones de Matrices
El resultado de una función de matrices es una matriz.Ejemplos básicos:
AdiciónMultiplicación
26
Sea A una matriz cuadrada y k un entero positivo, se define
Funciones de Matrices
( )( )
( )IAAA
AAAAA
AkAAAAA
nn
mnmn
nmmn
k
==
==
==
−−
+
0
1
2
veces)( L
27
Si A es diagonal por bloques, A = diag(A1 , A2), es fácil verificar que
Funciones de Matrices
( ) ( )( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2
1
2
1
00
y 0
0A
AA
AA
Af
ffk
kk
Dada la transformación de semejanza Ā = Q-1AQ o A = QĀQ-1, como
121112 −−−− === QAQQAAQQAQQAQA
y en general1−= QAQA kk
se tiene:( ) ( ) ( ) ( )QAfQAfQAQfAf 11 o −− ==
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Funciones de Matrices
Dado un polinomio de orden n mónico:
El polinomio se puede evaluar sobre la matriz A:
( )( )( ) ( ) .....p- 21
011
1
IAIAIAIAAAA
n
nn
n
ppaaap
−−=++++= −
− L
( )( ) ( )n
nn
n
ppaaap
−−=++++= −
−
λλλλλλλ
.....p- ....)(
21
011
1
29
El Teorema de Cayley – Hamilton establece que toda matriz satisface su propio polinomio característico.
Funciones de Matrices
Teorema ( Cayley – Hamilton). Sea φ(λ) = det(λI – A) = λn + αn-1 λn-1 +…+ α1A + α0I el polinomio caraterístico de A. Entonces
( ) 0011
1 =++++=Δ −− IAAAA n
nn ααα L
El teorema de Cayley – Hamilton implica que An se puede escribir como una combinación lineal de las potencias de A de 0 a n – 1. Si se multiplica Δ(A) por A se obtiene que An+1 se puede escribir como combinación lineal de {A, A2, . . . , An}, que a su vez se puede escribir en términos de {I, A, . . . , An-1}.
30
Funciones de Matrices
Todas las matrices relacionadas por una transformación similar tienen el mismo polinomio característico:
El teorema de Cayley – Hamilton implica que An se puede escribir como una combinación lineal de las potencias de A de 0 a n – 1. Si se multiplica Δ(A) por A se obtiene que An+1 se puede escribir como combinación lineal de {A, A2, . . . , An}, que a su vez se puede escribir en términos de {I, A, . . . , An-1}.
0)ˆ(0)( =Δ↔=Δ AA
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Evaluación de Funciones Matriciales:
Una forma de calcular f(A) conociendo Δ(λ) es empleando la fórmula de división de polinomios:
donde q(λ) es el polinomio cociente y h(λ) el polinomio residuo.
todo se reduce a determinar los coeficientes del polinomio h(λ)
Funciones de Vectores y Matrices
La división de polinomios es útil si el grado de f(λ) no es mucho mayor que el de Δ(λ).
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REFERENCIAS
1. CHEN C.T. Linear Systems Theory and Design. 3rd Edition. New York: Oxford University Press. 1999
2. BAY J.S. Fundamentals of Linear State Space Systems, New York: McGraw Hill International Edition,. 1999.