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Apoio às aulas MAT II 18-04-2016
2015/2016 1
INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO
DE LISBOA
LICENCIATURA EM GESTÃO
MATEMÁTICA II
APOIO ÀS AULAS DE FUNÇÕES REAIS DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
2015/2016
Manuel Martins Carla Martinho Ana Jorge 1
18-04-2016 CI/2 FR2
FUN
ÇÕ
ES D
E M
AIS
DE
UM
A V
AR
IÁV
EL R
EAL
CI/2
Chama-se função real de � variáveis reais a toda a aplicação de um
conjunto � ⊂ ℝ� → ℝ. Ao conjunto � chama-se domínio da função.
Sejam = �, , … , � ∈ � e � = � ∈ ℝ.
As variáveis �, , … , � são as variáveis independentes e � é a
variável dependente.
Ao conjunto � ∈ ℝ: � = � , ∈ � chama-se contradomínio de �.
Chama-se gráfico de � ao subconjunto de ℝ���:
�, , … , � , � : = �, , … , � ∈ � ∧ � = �
Funções reais de n variáveis reais
Apoio às aulas MAT II 18-04-2016
2015/2016 2
18-04-2016 CI/3 FR3
FUN
ÇÕ
ES D
E M
AIS
DE
UM
A V
AR
IÁV
EL R
EAL
CI/3
Notas:
1- Se a função for definida por uma expressão analítica, o seu domínio
é o conjunto de pontos onde a expressão analítica estará definida.
2- � = 1, o gráfico de � é uma curva de ℝ . Se � = 2, o gráfico de � é
uma superfície de ℝ�.
Por simplificação, todo o capítulo terá por base funções de 2
variáveis, podendo facilmente ser generalizado para as n variáveis.
Funções reais de n variáveis reais
18-04-2016 CI/4 FR4
FUN
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AR
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EL R
EAL
CI/4
Domínio
Exemplo 1 - Determine o domínio da função
A primeira equação representa o exterior de uma circunferência de raio
1; a segunda equação representa o interior de uma circunferência de
raio 2; a terceira equação representa a bissetriz dos quadrantes
impares.
( ) ( )xy
yxlnyxy,xf
−−−
−−+=22
22 41
( ) ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ) ( ){ }xyyxyxIRyxD
xyyxyxIRyxD
f
f
≠∧<+∧≥+∈=
⇔≠−∧>−−∧≥−+∈=
41:,
00401:,
22222
22222
Apoio às aulas MAT II 18-04-2016
2015/2016 3
CI/518-04-2016 CI/518-04-2016 CI/5 FR5
FUN
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A V
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EL R
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CI/5
Domínio
Exemplo 1 - Representação geométrica: É considerada válida a área
marcada a amarelo e a circunferência interior fechada com a exceção dos
pontos da bissetriz.
18-04-2016 CI/6 FR6
FUN
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EL R
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CI/6
Domínio
Exemplo 2- Determine o domínio e represente-o geometricamente, da
seguinte função
( ) 22 1 xylny,xf −+=
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) [ ]( ){ }110
10010
2
22222
;xy:IRy,xD
xy:IRy,xxy:IRy,xD
f
f
−∈∧≠∈=
⇔≤∧≠∈=≥−∧>∈=
Representação geométrica:
Apoio às aulas MAT II 18-04-2016
2015/2016 4
18-04-2016 CI/7 FR7
FUN
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CI/7
Domínio
Exemplo 3 - Determine o domínio e represente-o geometricamente da
função
( ) 21 yxy
xlny,xf −++=
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( ){ }xyyxyx:IRy,xD
yxy
x:IRy,xD
f
f
+<∧<∧≤∨>∧≥∈=
⇔
≥−+∧
>∈=
10000
010
2
22
Representação geométrica:
18-04-2016 CI/8 FR8
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EL R
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CI/8
Limite e continuidade
Diz-se que L é o limite da função � �, � quando �, � tende para
�, � e representa-se por
( ) ( )( )y,xfLimL
b,ay,x →=
quando
NOTA: Em ℝ , as vizinhanças de um ponto �, � são círculos definidos
no plano, sendo as distâncias medidas pela fórmula euclidiana
(exceto se houver indicação expressa em contrário) e
representam-se da forma apresentada.
( ) 20 0, : x, y D ( x, y ) ( a,b ) f ( x, y ) Lδ ε ε δ∀ > ∃ > ∈ ⊂ ∧ − < ⇒ − <�
Apoio às aulas MAT II 18-04-2016
2015/2016 5
18-04-2016 CI/9 FR9
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UM
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EL R
EAL
Limite e continuidade
As propriedades operatórias dos limites e o teorema da unicidade
conhecidos para funções reais de uma variável real são igualmente
válidos para funções de n variáveis independentes.
Diz-se que uma função � , � é contínua no ponto , � = �, � se
1. � , � está definida no ponto �, � com �, � �
2. � , � tem limite no ponto �, � e esse limite é igual a � � , �
� é "#�$%�&� '( �, � )' ' )ó )'
lim(/,0)→(2,3)
� , � = �(�, �)
18-04-2016 CI/10 FR10
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CI/10
Derivadas parciais
Dada a função � , � de duas variáveis independentes, é possível
derivar em função de cada uma delas.
Designa-se por derivada parcial em ordem a � da função
� �, � num ponto �, � e representa-se por 45
4/�, � = �′/(�, �)
Como sendo ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h
b,afb,hafLim
ax
b,afb,xfLimb,a
x
f
hax
−+=
−−
=∂∂
→→ 0
Designa-se por derivada parcial em ordem a y da função� , � num ponto �, � e representa-se por 45
40�, � = �′0(�, �)
Como sendo ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h
b,afhb,afLim
by
b,afy,afLimb,a
y
f
hax
−+=
−−
=∂∂
→→ 0
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2015/2016 6
18-04-2016 CI/11 FR11
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EL R
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CI/11
Derivadas parciais
Chamam-se derivadas parciais da função � , � às funções 45
4/(, �) e
45
40(, �) que têm por domínio o conjunto dos pontos onde �(, �) tem as
respetivas derivadas parciais finitas e, em cada ponto �, � desse
domínio, toma os valores 45
4/(�, �) e 45
40(�, �).
Exemplo 1 - Determine, usando a definição, as derivadas parciais da
função definida por � , � = + � + � no ponto (2,1)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) 532
32
2
6
2
71
71211
2
12112
22
2
2
2
2
222
2
=+=−
+−=
−−+
=−
−++=∗
=∧++=⇒++=
∗=−−
=∂∂
→→→→
→
xLimx
xxLim
x
xxLim
x
xxLim
,fxx,xfyxyxy,xf
x
,f,xfLim,
x
f
xxxx
x
18-04-2016 CI/12 FR12
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CI/12
Derivadas parciais
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) 44
44721224
71124121212
0
0
2
0
2
0
2
00
=+=
=+
=+
=−+++++
=
=−++++
=−+
=∂∂
→
→→→
→→
hLim
h
hhLim
h
hhLim
h
hhhLim
h
hhLim
h
,fh,fLim,
y
f
h
hhh
hh
Exemplo 1 – Continuação
NOTA: As regras de derivação mantêm-se verdadeiras.
Teorema: Se uma função tem derivadas parciais contínuas num
ponto, ela é contínua nesse ponto
Apoio às aulas MAT II 18-04-2016
2015/2016 7
18-04-2016 CI/13 FR13
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CI/13
Derivadas parciais
Exemplo 2 - Determine a derivada parcial em ordem a x da função
� , � = + �
Usando a definição:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 22
0
2
0
22
0
222222
0
2222
00
222
22
yxyhxLimh
yhxhLim
h
hyhxhLim
h
xyxhyxyhxhxLim
h
xyxyhxhxLim
h
y,xfy,hxfLimy,x
x
f
hh
hh
hh
+=++=++
=
=++
=−−++++
=
=−−+++
=−+
=∂∂
→→
→→
→→
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CI/14
Derivadas parciais
Usando as regras de derivação (em ordem a x, esta comporta-se como
variável e y como uma qualquer constante):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22222222 yxxyxxyxxyxy,x
x
f ''''+=+=+=+=
∂∂
Apoio às aulas MAT II 18-04-2016
2015/2016 8
18-04-2016 CI/15 FR15
FUN
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CI/15
Derivadas parciais
Exemplo 3 - Determine as derivadas parciais da função
� , � = ' 0 + ln/
0+ �
Usando as regras de derivação em ordem a , esta comporta-se como
variável e � como uma qualquer constante:
( ) ( )( )
( )
( )22222
1
22
1
2
2222
11y
xey
x
y
yeyey
xe
yxexxyy
xlnxey,x
x
f
yy
yx
yy
yx
'
yy
'
yx
'
yx
y'
'
y
++=++=++=++=
=++=
+
+=
∂∂
18-04-2016 CI/16 FR16
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CI/16
Derivadas parciais
Continuação do Exercício 3 - Em ordem a y, esta comporta-se como
variável e x como uma qualquer constante:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
yxy
exyxx
y
y
xexyxex
yxeyxxyy
xlnxey,x
y
f
yy
yx
y
xyyx
y
'
yx
'
yx
y'
'
y
''
21
22222
2
2
2
22
2222
2
+−=+−
+=++=
=++=
+
+=
∂∂
−
Apoio às aulas MAT II 18-04-2016
2015/2016 9
18-04-2016 CI/17 FR17
FUN
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CI/17
Derivada da Função composta
Considere-se a função � , � e sejam = 9 $ e � = Ψ $ . Num ponto a,
sejam ; = 9 � e �; = Ψ � .
Então a derivada da função � em ordem a $ num ponto � é dada por
( ) ( ) ( ) ( ) ( )at
yy,x
y
fa
t
xy,x
x
fa
t
f
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
0000
Considere-se a função � , � e sejam = 9 <, $ e � = Ψ <, $ . Num ponto
�, � sejam ; = 9 �, � e �; = Ψ �, � . Então as derivadas parciais da
função � em ordem a < e < num ponto �, � são dadas por
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )b,at
yy,x
y
fb,a
t
xy,x
x
fb,a
t
f
b,ar
yy,x
y
fb,a
r
xy,x
x
fb,a
r
f
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
0000
0000
18-04-2016 CI/18 FR18
FUN
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CI/18
Derivada da Função composta
Exemplo 1 - Seja � , � = + 2� e sejam = $ e � = =
. Calcule 45
4=.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 232
2
2 344444
2
12222
2
12222
ttttttxtytx
xtyxtt
yy,x
y
ft
t
xy,x
x
ft
t
f
;tt
y;tt
t
x;xy,x
y
f;yxy,x
x
f
t +=+⋅+⋅=++=
=⋅++=∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
+=∂∂
Apoio às aulas MAT II 18-04-2016
2015/2016 10
18-04-2016 CI/19 FR19
FUN
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EL R
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CI/19
Derivada da Função composta
Exemplo 2 - Seja � , � = + 2� e sejam = $' > e � = ln $ + 3@.
Calcule 45
4=e 45
4>.
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( )( ) wwww
www
www
ww
eewtlntet
teewtlnete
t
xyexe
txeyx
w,tt
yy,x
y
fw,t
t
xy,x
x
fw,t
t
f
;w,tw
y;tew,t
w
x;t
w,tt
y;ew,t
t
x
;xy,xy
f;yxy,x
x
f
2242
222
222
22
23222
322
222
1222
321
222
+++=+++=
=++=⋅++=
=∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
+=∂∂
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( ) www
www
tetewtlnet
xytextexteyx
w,tw
yy,x
y
fw,t
w
xy,x
x
fw,t
w
f
2242
222
6344
64432222
+++=
=++=⋅++=
=∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
18-04-2016 CI/20 FR20
FUN
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CI/20
Função Implícita
Dada a equação do tipo Φ , �, B = 0 onde a cada par de valores de e �
do domínio da equação corresponde um e um só valor de z, diz-se que a
equação define de forma implícita a função B = � , � .
Teorema da Função Implícita
Seja D ⊂ ℝ × ℝ um aberto, �, �, " ∈ D ' �: D ⟶ ℝ uma função tal que:1. � �, �, " = 0,
2. � ∈ G� (a função e respetivas derivadas de 1ª ordem são continuas)
3. 45
4H�, �, " ≠ 0.
Então � , �, B = 0 define implicitamente a variável B como função das
variáveis ' � numa vizinhança do ponto (�, �, ").
4H
4/(�, �) = −
KL
KM(2,3,N)
KL
KO (2,3,N)
e 4H
40(�, �) = −
KL
KP(2,3,N)
KL
KO (2,3,N)
Apoio às aulas MAT II 18-04-2016
2015/2016 11
18-04-2016 CI/21 FR21
FUN
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A V
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EL R
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CI/21
Função Implícita
Exemplo 1 Considere a função � , �, B = � + ln 2 − �B − B� . Mostre
que a equação φ , �, B = 0 define implicitamente � como função das
variáveis e B, numa vizinhança do ponto R(−1, −1, 1) e calcule, para esse
ponto, 40
4/e 40
4H.
1º Passo: Verificar que o ponto P pertence à curva φ , �, B = 0
( ) ( ) 01121111 =+−+−=−− ln,,ϕ
2º Passo – A função, assim como as suas 1ª derivadas são continuas(função polinomial e função logarítmica) logo a função é de classeG�.
3º Passo: ( ) ( )
( ) ( ) 0212
11111
2111
20111
2
2
≠=−−
−=−−
−−=−−
∂∂
−−=
∂∂
→=−−∂∂
,,xyz
xzx,,
y
xyz
xzx
y?,,
y
ϕ
ϕϕ
Então a função define implicitamente � como função das variáveis e B, numa vizinhança do ponto R(−1, −1, 1)
18-04-2016 CI/22 FR22
FUN
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ES D
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UM
A V
AR
IÁV
EL R
EAL
CI/22
Função Implícita
( )( )
( )
( )1
2
112
2
1112
2
111
111
11
3
−=−+
−=
−−
−
−−
−=−−
∂∂
−−∂∂
−=−∂∂
,,zxyz
yzxy
,,y
,,x,
x
y
ϕ
ϕ
Então:
( )( )
( )
( )1
2
31
2
11132
111
111
11
2
−=+−
−=
−−
−
−−
−=−−
∂∂
−−∂∂
−=−∂∂
,,xzxyz
xy
,,y
,,z,
z
y
ϕ
ϕ
Apoio às aulas MAT II 18-04-2016
2015/2016 12
18-04-2016 CI/23 FR23
FUN
ÇÕ
ES D
E M
AIS
DE
UM
A V
AR
IÁV
EL R
EAL
CI/23
Função Homogénea
Uma função �(, �) diz-se homogénea de grau ∝ se e só se
∀ , � ∈ �5 , ∀ $ ∈ ℝ, ∀ $, $� ∈ �5 , ∃ ∝∈ ℝ ∶ � $, $� = $∝�(, �)
Exemplo 1- Mostre que a função � , � =/
/W�0W é homogénea e
descubra o seu grau de homogeneidade.
Logo a função é homogénea de grau ∝ = −1.
( )( ) ( ) ( )
( )y,xftyx
xt
yxt
tx
ytxt
tx
tytx
txty,txf
1
22
1
222222222
−− ==+
=
=+
=+
=+
=
18-04-2016 CI/24 FR24
FUN
ÇÕ
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UM
A V
AR
IÁV
EL R
EAL
CI/24
Função Homogénea
Exemplo 2 – Relativamente à função do exemplo 1, verifique a seguinte
igualdade (de Euler)
X�
X, � + �
X�
X�, � = ∝ � , �
Onde � é uma função homogénea de grau ∝
( )( )
( )( )
( ) ( )( )( )( )
( )y,xfyx
x
yx
yxx
yx
xyy
yx
xyx
y
fy
x
fx
yx
xy
yx
xy,x
y
f
yx
xy
yx
xy,x
x
f
'
'
⋅−=+
−=+
+−=
+−
+
−=
∂∂
+∂∂
+−=
+=
∂∂
+
−=
+=
∂∂
12
2
22222
22
222222
22
22222
222
22
22
Apoio às aulas MAT II 18-04-2016
2015/2016 13
18-04-2016 CI/25 FR25
FUN
ÇÕ
ES D
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AIS
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UM
A V
AR
IÁV
EL R
EAL
CI/25
Derivadas Parciais de Ordem Superior à 1ª
Dada a função � , � se existirem 45
4/, � e 45
40, � num ponto � ∈ � e se
estas admitirem derivada em ordem, respetivamente, a e a �, num ponto
� , a essa derivada chama-se derivada de segunda ordem de � em
ordem a � ou a � respetivamente. Representam-se por
X �
X � '
X �
X� �
Se 45
4/ admitir derivada em ordem a � , num ponto � ∈ D, a essa derivada
chama-se derivada de segunda ordem de Z em ordem a [ e a \. De
igual modo se define a derivada de segunda ordem de a � em ordem a .
X �
XX�� '
X �
X�X]�
Estas últimas derivadas chamam-se derivadas cruzadas.
18-04-2016 CI/26 FR26
FUN
ÇÕ
ES D
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AIS
DE
UM
A V
AR
IÁV
EL R
EAL
CI/26
Derivadas Parciais de Ordem Superior à 1ª
}...
y
f
xy
f
y
f
yx
fx
f
x
f
)y,x(f
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂∂∂∂
∂∂
2
2
2
2
2
2
Assim, as derivadas parciais de 2ª ordem da função f , � são
representadas por:
O desenvolvimento anterior mostra que o número de derivadas parciais
cresce exponencialmente em função da ordem, ou seja:
• Derivadas parciais de 1ª ordem = 2;
• Derivadas parciais de 2ª ordem = 4 = 2 ;
• Derivadas parciais de 3ª ordem = 8 =2�; etc.
Apoio às aulas MAT II 18-04-2016
2015/2016 14
18-04-2016 CI/27 FR27
FUN
ÇÕ
ES D
E M
AIS
DE
UM
A V
AR
IÁV
EL R
EAL
CI/27
Derivadas Parciais de Ordem Superior à 1ª
Exemplo 1 - Determine as derivadas parciais de 2ª ordem da função
� , � = + 2� + ' 0
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
=∂∂
+=∂∂
∂
+=∂∂
+=∂∂
∂
=∂∂
++=∂∂
++=
y
y
y
y
y
y
xey,xy
f
ey,xxy
f
xexy,xy
f
ey,xyx
f
y,xx
f
eyxy,xx
f
xexyxy,xf
2
2
2
22
2
22
2
2
2
22
4
22
22
22
2
22
2
18-04-2016 CI/28 FR28
FUN
ÇÕ
ES D
E M
AIS
DE
UM
A V
AR
IÁV
EL R
EAL
CI/28
Derivadas Parciais de Ordem Superior à 1ª
Teorema de Schwartz
Seja � ∶ D ⊂ ℝ ⟶ ℝ e �, � um ponto interior a D. Se as derivadas
parciais 45
4/,
45
40e 4W5
4/40 estão definidas numa vizinhança do ponto �, � e se
4W5
4/40é contínua em �, � então 4W5
404/também está definida em �, � e
X �
XX�a, b =
X �
X�X(�, �)
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2015/2016 15
18-04-2016 CI/29 FR29
FUN
ÇÕ
ES D
E M
AIS
DE
UM
A V
AR
IÁV
EL R
EAL
Derivadas Parciais de Ordem Superior à 1ª
CI/29
Dada a função � , � designa-se por Matriz Hessiana a matriz
Visto tratar-se de uma matriz quadrada, é possível falar no seu
determinante, ` designado por Hessiano.
Teorema
Se a função � , � verifica o teorema de Schwartz, a matriz Hessiana é
uma matriz simétrica.
( ) ( )
( ) ( )
∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂
=y,x
y
fy,x
xy
f
y,xyx
fy,x
x
f
H
2
22
2
2
2
18-04-2016 CI/30 FR30
FUN
ÇÕ
ES D
E M
AIS
DE
UM
A V
AR
IÁV
EL R
EAL
Extremos relativos
CI/30
Seja � , � : � ⊂ ℝ ⟶ ℝ , e �, � um ponto interior a �.
i) � �, � diz-se um máximo relativo de f se existir uma vizinhança b
de a, b tal que � , � ≤ � �, � .
i) � �, � diz-se um máximo absoluto de � , � se
∀ , � ∈ � ⇒ � , � ≤ � �, �
iii) � �, � diz-se um mínimo relativo de � , � se existir uma vizinhança
b de �, � tal que � , � ≥ � �, � .
iv) � �, � diz-se um mínimo absoluto de � , � se
∀ , � ∈ � ⇒ � , � ≥ � �, �
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18-04-2016 CI/31 FR31
FUN
ÇÕ
ES D
E M
AIS
DE
UM
A V
AR
IÁV
EL R
EAL
Extremos relativos
CI/31
Sejam � ∶ � ⊂ ℝ ⟶ ℝ e �, � ∈ %�$ (�). Se 45
4/�, � =
45
40�, � = 0, diz-se que
�, � é um ponto critico ou um ponto de estacionaridade de �.
Teorema
Seja � ∶ � ⊂ ℝ ⟶ ℝ e suponhamos que � tem um extremo relativo no
ponto �, � pertencente ao interior de � e que todas as derivadas parciais
de � existem no ponto (�, �). Então �, � é um ponto crítico de �.
18-04-2016 CI/32 FR32
FUN
ÇÕ
ES D
E M
AIS
DE
UM
A V
AR
IÁV
EL R
EAL
Extremos relativos
CI/32
Teorema
Dada a função, � , � seja �, � ponto crítico da função e seja H matriz
Hessiana associada. Então:
i. Se 4W5
4/W �, � < 0 e ` �, � > 0 então �(�, �) é um máximo relativo
de �.
ii. Se 4W5
4/W �, � > 0 e ` �, � > 0 então � �, � é um mínimo relativo
de �.
iii. Se ` �, � < 0 então � �, � é um ponto de sela de �.
iv. Se ` �, � = 0 nada se pode concluir sobre o ponto �, � .
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2015/2016 17
18-04-2016 CI/33 FR33
FUN
ÇÕ
ES D
E M
AIS
DE
UM
A V
AR
IÁV
EL R
EAL
Extremos relativos
CI/33
Exemplo 1 - Determine e classifique os extremos relativos da função
definida por � , � = 3� − � −0W
.
Pontos críticos:
( )
−=∂∂
=∂∂
∂
−=∂∂
=∂∂
∂
−=∂∂
−=∂∂
−−=
1
3
3
3
6
33
23
2
2
2
2
2
2
2
23
y
f
xy
f
yxy
f
yx
f
xx
f
xyx
f
yxxyy,xf
( )
=∨=
=∨=⇔
−
=−⇔
=
=−⇔
=−=
=−=
∂∂∂∂
90
30033
3
039
03
033 22
yy
xxxx
xy
xx
yx
xy
y
f
x
f
18-04-2016 CI/34 FR34
FUN
ÇÕ
ES D
E M
AIS
DE
UM
A V
AR
IÁV
EL R
EAL
Extremos relativos
CI/34
Exemplo 1 – Continuação – Os pontos (0,0) e (3,9) são pontos críticos
da função;
� Ponto 0, 0
O ponto 0, 0 é um ponto de sela.
� Ponto (3,9)
Logo � 3, 9 = 13,5 é um máximo da função � , � .
( )( )
0913
30
13
36
00
00 <−=−
=
−
−=
,
,
xH
( ) 00913
3182
2
93 <∂∂
∧>=−
−=
x
fH ,
Apoio às aulas MAT II 18-04-2016
2015/2016 18
18-04-2016 CI/35 FR35
FUN
ÇÕ
ES D
E M
AIS
DE
UM
A V
AR
IÁV
EL R
EAL
Extremos relativos
CI/35
Exemplo 2 - Seja � a função definida por � , � = − � − k − �k.
Verifique que a função tem extremos relativos e classifique-os.
Pontos críticos:
( ) ( )
( )
( )
−=∂∂
−=∂∂
∂
−−−=∂∂
−=∂∂
∂
−=∂∂
−−=∂∂
−−−=
2
2
2
2
3
2
2
2
2
3
442
122
2
42
2
122
42
yy
f
xy
f
yyxy
f
yx
f
xx
f
xyxx
f
yxyxy,xf
( )( )
( ) ( )
−=∨=∨=
−=⇔
=−
−=⇔
=+−
−=⇔
⇔
−
−=⇔
−
=−−⇔
=−−−=
=−−=
∂∂∂∂
110010422
044
042
042
23
3333
3
3
xxx
yx
xx
yx
xx
yx
yxxy
yyx
xyx
y
f
x
f
18-04-2016 CI/36 FR36
FUN
ÇÕ
ES D
E M
AIS
DE
UM
A V
AR
IÁV
EL R
EAL
Extremos relativos
CI/36
Exemplo 2 – Continuação - Os pontos (1,–1), (–1,1) e (0,0) são pontos
críticos da função.
� Ponto (1,–1)
Logo � 1, −1 = 2 é um máximo relativo da função �.
� Ponto (–1,1):
Então � −1, 1 = 2 é um máximo relativo da função �.
( )( )
010096102
210
1222
21222
2
11
2
2
11 <−=∂∂
>=−−
−−=
−−
−−=
−
−x
f e
y
xH
,
,
( )( )
010096102
210
1222
21222
2
11
2
2
11 <−=∂∂
>=−−
−−=
−−
−−=
−
−x
f e
y
xH
,
,
Apoio às aulas MAT II 18-04-2016
2015/2016 19
18-04-2016 CI/37 FR37
FUN
ÇÕ
ES D
E M
AIS
DE
UM
A V
AR
IÁV
EL R
EAL
Extremos relativos
CI/37
Exemplo 2 – Continuação
Ponto (0,0):
Estudo direto - Efetuando o estudo por aproximação do ponto ao
longo das retas
y=0:
y=x:
Os limites direcionais têm sinais contrários logo existem valores
maiores e menores que a função em torno do ponto (0,0);
Assim, (0,0) é um ponto de sela da função.
( )( )
022
22
1222
2122
00
2
2
00 =−
−=
−−
−−=
,
,y
xH
( ) +→→− 00
42
xxx
( ) −→→−− 00
44
xxx
18-04-2016 CI/38 FR38
FUN
ÇÕ
ES D
E M
AIS
DE
UM
A V
AR
IÁV
EL R
EAL
Extremos relativos
CI/38
Exemplo 3 - Seja � a função definida pela seguinte expressão
� , � =l
/+
/
0+ � . Verifique que tem extremos relativos e classifique-os
( ) ( ) ( ){ }002 ≠∧≠∈= yx:IRy,xD f
( )
=∂∂
−=∂∂
∂
+−=∂∂
−=∂∂
∂
=∂∂
+−=∂∂
++=
32
2
2
2
2
2
2
32
2
2
2
1
1
1
16
18
8
y
x
y
f
yxy
f
y
x
y
f
yyx
fxx
f
yxx
f
yy
x
xy,xf
( )
( )
=∨∉=
=⇔
=−
−⇔
⇔
=−
−⇔
=−
−⇔
=−
=⇔
=+−=
=+−=
∂∂∂∂
4 ) ( 0
2
064
0640001
0
3
42
82
8
18
2
2
2
2
xDx
y
xx
xxxxy
y
f
x
x
y
xy
f
yxx
f
Apoio às aulas MAT II 18-04-2016
2015/2016 20
18-04-2016 CI/39 FR39
FUN
ÇÕ
ES D
E M
AIS
DE
UM
A V
AR
IÁV
EL R
EAL
Extremos relativos
CI/39
Exemplo 3 – Continuação
Como x = 0 não pertence ao domínio, o ponto (4,2) é o único ponto
crítico da função.
Logo � 4, 2 = 6 é um mínimo relativo da função � , � .
( )
( )
04
1 e 0
16
3
1 2
2
41
41
41
24
21
116
2432
23
>=∂∂
>=−
−=
−
−=
x
fH
,y
x
y
yx
,
18-04-2016 CI/40 FR40
FUN
ÇÕ
ES D
E M
AIS
DE
UM
A V
AR
IÁV
EL R
EAL
Bibliografia
CI/40
1. Ana Sá, Bento Louro. 2010. Cálculo Diferencial em ℝ� −Uma introdução. Departamento de Matemática. FCT/UNL .
2. Larson, Hostetler, Edwards. 2006. Cálculo. Volume 2. Oitava Edição. McGraw- Hill.
