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Funcoes Trigonometricas
Funcoes Trigonometricas
(13-03-08)
Funcoes Trigonometricas Matematica II 2008/2009
Funcoes Trigonometricas
Funcoes periodicas
Muitos dos fenomenos correntes tem um comportamento periodico,isto e, um comportamento que se repete em perıodos de tempoiguais. Entre outros exemplos temos, o comportamento das mares,as contraccoes da musculatura do coracao, o ciclo respiratorio(inspiracao e expiracao), o movimento do pendulo de um relogio,etc. Para estabelecermos modelos que descrevam este tipo decomportamento necessitamos de estudar funcoes periodicas, isto e,funcoes cujo valor se repete em intervalos regulares.
Uma funcao f diz-se periodica se existir um numero T tal que
f(x + T ) = f(x)
qualquer que seja o x. O numero T designa-se por perıodo dafuncao f .
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Funcoes Trigonometricas
Observe que se uma funcao tem perıodo T entaof(x + nT ) = f(x) para todo n inteiro, ou seja, e tambemperiodica de perıodo nT .
Dada uma funcao periodica f chamamos perıodo fundamental def ao menor dos T > 0 (se existir) para o qual f e periodica deperıodo T .
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Seno e cosseno de angulos
Consideremos uma circunferencia centrada na origem do planocartesiano e com raio r conforme ilustra a figura seguinte.
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Designemos por α o angulo definido pelas semi-rectas OA e OP .Se as coordenadas do ponto P forem (x, y) entao definimos duasquantidades a custa destas coordenadas (x, y) e do raio r:
sin(α) =y
r
(designada seno do angulo α)
cos(α) =x
r
(designada cosseno do angulo α)
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A partir de posicoes de pontos na circunferencia podemos marcartodo o tipo de angulos. A tabela seguinte indica os valores do senoe do cosseno de quatro angulos tıpicos.
posicao de P tipo de angulo seno cosseno
P ≡ A angulo nulo 0 1
P ≡ B angulo recto 1 0
P ≡ C angulo raso 0 −1
P ≡ D – −1 0
P ≡ A angulo giro 0 1
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Designemos por β o angulo que resulta de dividirmos um angulorecto ao meio.
Determinemos o seno e o cosseno deste angulo.Pelo Teorema de Pitagoras temos
r2 = x2 + y2
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r2 = x2 + y2
Como x = y entaor2 = x2 + x2
r2 = 2x2
r =√
2.|x|Como x > 0 (pois P esta no primeiro quadrante) entao |x| = x e
r =√
2x
Assim
sin(β) =y
r=
x√2x
=1√2
=
√2√
2√
2=
√2
2
logo (como x = y entao sinβ = cos β),
cos(β) =
√2
2
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Medida de angulos
A unidade de medida de angulos mais usada e o grau. Contudo, nateoria que iremos desenvolver a seguir, a unidade mais adequada eo radiano.
Conversao de graus em radianos e de radianos em graus
graus radianos
0 0
45 π
4
90 π
2
180 π
270 3π
2
360 2π
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Conversao de graus em radianos e de radianos em graus
Para sabermos quanto mede em radianos, um angulo de a graus,fazemos uma regra de tres simples:
180 graus −−− π radianos
a graus −−− x radianos
logo x = πa
180Para sabermos quanto mede em graus, um angulo de a radianos,fazemos uma regra de tres simples:
180 graus −−− π radianos
x graus −−− a radianos
logo x = 180a
π
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Funcoes Seno e Cosseno
Seja x um numero tal que 0 ≤ x ≤ 2π. Podemos marcar sobre acircunferencia a posicao de P que corresponde ao angulo commedida x e considerar o seno e o cosseno deste angulo.
Assim, fazemos corresponder ao numero x um numero designadopor sin(x) e outro numero designado por cos(x). Assim, definimosduas funcoes, designadas seno e cosseno embora, por enquanto, oargumento esta compreendido entre 0 e 2π.
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Estando o ponto P na posicao indicada, se der uma voltacompleta a partir dessa posicao, entao o novo angulo mede α + 2πradianos. Os valores do seno e do cosseno deste novo angulo saoiguais aos do angulo inicial, isto e,
sin(α + 2π) = sin(α)
cos(α + 2π) = cos(α)
Este raciocınio pode ser feito para todo o angulo x, assim
sin(x + 2π) = sin(x)
cos(x + 2π) = cos(x)
para todo o x.
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Ou ainda,sin(x + 2kπ) = sin(x)
cos(x + 2kπ) = cos(x)
para k ∈ Z.
As funcoes seno e cosseno sao ambas periodicas de perıodo(fundamental) 2π.
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Os graficos das funcoes seno e cosseno demonstram bem o seucaracter periodico.
Grafico da funcao seno (y = sin(x))
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Grafico da funcao cosseno (y = cos(x))
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
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Valores do seno e do cosseno a saber
graus radianos sin(x) cos(x)
0 0 0 1
30 π
612
√3
2
45 π
4
√2
2
√2
2
60 π
3
√3
212
90 π
2 1 0
180 π 0 −1
270 3π
2 −1 0
360 2π 0 1
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Algumas propriedades das funcoes seno e cosseno
1 −1 ≤ sin(x) ≤ 1−1 ≤ cos(x) ≤ 1
2 sin2(x) + cos2(x) = 1
3 sin(x + 2π) = sin(x)cos(x + 2π) = cos(x)
4 sin(x + y) = sin(x). cos(y) + cos(x) sin(y)
5 cos(x + y) = cos(x). cos(y) − sin(x) sin(y)
6 sin(x − y) = sin(x). cos(y) − cos(x) sin(y)
7 cos(x − y) = cos(x). cos(y) + sin(x) sin(y)
A partir destas propriedades podemos deduzir outras.
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Por exemplo:Fazendo x = π
2 obtemos
1 sin(π
2 + y) = cos(y)
2 cos(π
2 + y) = − sin(y)
3 sin(π
2 − y) = cos(y)
4 cos(π
2 − y) = sin(y)
Fazendo x = π obtemos
1 sin(π + y) = − sin(y)
2 cos(π + y) = − cos(y)
3 sin(π − y) = sin(y)
4 cos(π − y) = − cos(y)
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Derivadas
Derivada de f(x) = sin(x)
f ′(x) = limh→0
f(x + h) − f(x)
h
= limh→0
sin(x + h) − sin(x)
h
= limh→0
sin(x) cos(h) + cos(x) sin(h) − sin(x)
h
= limh→0
sin(x)[cos(h) − 1] + cos(x) sin(h)
h
= limh→0
[sin(x)[cos(h) − 1]
h+
cos(x) sin(h)
h]
= limh→0
[sin(x)cos(h) − 1
h+ cos(x)
sin(h)
h]
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Derivada de f(x) = sin(x) (cont.)
Demonstra-se que
limh→0
cos(h) − 1
h= 0 e lim
h→0
sin(h)
h= 1
Assim,
f ′(x) = limh→0
[sin(x)cos(h) − 1
h+ cos(x)
sin(h)
h]
= sin(x) limh→0
cos(h) − 1
h+ cos(x) lim
h→0
sin(h)
h= sin(x) × 0 + cos(x) × 1= cos(x)
Assim,[sin(x)]′ = cos(x)
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Derivada de f(x) = cos(x)
f ′(x) = limh→0
f(x + h) − f(x)
h
= limh→0
cos(x + h) − cos(x)
h
= limh→0
cos(x) cos(h) − sin(x) sin(h) − cos(x)
h
= limh→0
cos(x)[cos(h) − 1] − sin(x) sin(h)
h
= limh→0
[cos(x)[cos(h) − 1]
h− sin(x) sin(h)
h]
= limh→0
[cos(x)cos(h) − 1
h− sin(x)
sin(h)
h]
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