-
8/6/2019 Fundamentos de Cinematic A y Dinamica de Fluidos
1/15
U n i v e r s i d a d d e C h i l e P r o f e s o r L e a n d r
o V o i s i n
F a c u l t a d d e C i e n c i a s F s i c a s y M a t e m t i
c a s
D e p a r t a m e n t o d e I n g e n i e r a d e M i n a s
A u x i l i a r E x e q u i e l M a r a m b i o
M I 3 0 1 0 - F e n m e n o s d e T r a n s p o r t e e n M e t
a l u r g i a E x t r a c t i v a A y u d a n t e s V i v i a n a P
a v e z
S e m e s t r e - O t o o 2 0 1 1 K a s a n d r a P a v e z
F u n d a m e n t o s G e n e r a l e s d e
C i n e m t i c a y D i n m i c a d e F l u i d o s
1 . C l a s i c a c i n d e T i p o s d e E s c u r r i m i e n
t o
F l u j o L a m i n a r y F l u j o T u r b u l e n t o
D e n i d o p o r e l n u m e r o d e R e y n o l d s :
Re =D v
D o n d e :
-
D: D i m e t r o d e l a c a e r a d i m e t r o e q u i v a l e
n t e e n o t r o t i p o d e g e o m e t r a .
- v : V e l o c i d a d M e d i a d e l u i d o .
- : V i s c o s i d a d c i n e m t i c a d e l u i d o .
L u e g o :
R g i m e n C a e r a P l a c a P l a n a
L a m i n a r
Re < 2100 Re < 3 105
R g i m e n d e T r a n s i c i n
T u r b u l e n t o Re > 4000 Re > 3 106
F l u j o P e r m a n e n t e e I m p e r m a n e n t e
F l u j o p e r m a n e n t e s e d e n e c o m o a q u e l e n
q u e l a s c o n d i c i o n e s d e u j o e n c u a l q u i e r p
u n t o d e l e s p a c i o
p e r m a n e c e n c o n s t a n t e s e n e l t i e m p o , l
u e g o :
N
t= 0
D o n d e :
- N: E s u n a p r o p i e d a d d e l u i d o ( g e n e r a l m
e n t e v e l o c i d a d , t e m p e r a t u r a o m a s a ) .
F l u j o I m p e r m a n e n t e s e d e n e d e f o r m a c o
n t r a r i a .
F l u j o U n i f o r m e o V a r i a d o
U n u j o e s u n i f o r m e s i s u s p r o p i e d a d e s n
o c a m b i a n e n e l e s p a c i o ( o d i r e c c i n d e l e s
p a c i o ) , d e l o c o n t r a r i o
s e d e n o m i n a v a r i a d o .
P o r e j e m p l o , p a r a e l u j o e n t r e p l a c a s p
l a n a s p a r a l e l a s e x i s t e u n p e r l l i n e a l d e
v e l o c i d a d l o n g i t u d i n a l , y
p o r l o t a n t o l a v e l o c i d a d e s v a r i a d a ( n
o u n i f o r m e ) s i c o n s i d e r a m o s l a d i r e c c i n
p e r p e n d i c u l a r a l a s p l a c a s ,
p e r o u n i f o r m e e n l a d i r e c c i n l o n g i t u d
i n a l p a r a l e l a a l a s p l a c a s ( p l a n o p a r a l e
l o ) , y a q u e c l a r a m e n t e n o
v a r a e n e s a d i r e c c i n .
1
-
8/6/2019 Fundamentos de Cinematic A y Dinamica de Fluidos
2/15
F l u j o C o m p r e s i b l e e I n c o m p r e s i b l e
F l u j o I n c o m p r e s i b l e s e d e n e c o m o a q u e
l e n q u e l a d e n s i d a d e s u n a c o n s t a n t e , l u e
g o :
= cte
F l u j o C o m p r e n s i b l e s e d e n e d e f o r m a c o
n t r a r i a .
F l u j o R o t a c i o n a l e I r r o t a c i o n a l
F l u j o I r r o t a c i o n a l s e d e n e c o m o a q u e l
e n q u e l a v o r t i c i d a d d e l u i d o e s n u l a , l u e
g o :
= v = 0
D o n d e :
- v : E s e l v e c t o r d e v e l o c i d a d e s d e l u i d
o .
- : E s l a v o r t i c i d a d d e l u i d o .
F l u j o R o t a c i o n a l s e d e n e d e f o r m a c o n t
r a r i a .
F l u j o I d e a l y R e a l
F l u j o I d e a l e s a q u e l q u e s u v i s c o s i d a d
e s n u l a , e s d e c i r :
= 0
F l u j o R e a l s e d e n e d e f o r m a c o n t r a r i a
.
2 . C a r a c t e r i z a c i n d e l M o v i m i e n t o d e u
n F l u i d o
2 . 1 . M t o d o d e L a g r a n g e
S e b a s a e n l a d e s c r i p c i n d e l m o v i m i e n t
o d e c a d a p a r t c u l a d e l u i d o , a s l a v a r i a b l
e r e l e v a n t e e s l a
p o s i c i n r = xpi + ypj + zpk d e c a d a u n a e n e l t i
e m p o .
L u e g o l a v e l o c i d a d , v , e s t a d a d a p o r
:
v =dr
dt=
dxp
dti +
dyp
dtj +
dzp
dtk
y p o r e n d e , l a a c e l e r a c i n ,
a, q u e d a c o m o :
a =dv
dt=
d2r
dt2=
d2xp
dt2i +
d2yp
dt2j +
d2zp
dt2k
2 . 2 . M t o d o d e E u l e r
S e b a s a e n l a a s i g n a c i n d e u n c a m p o d e v e
l o c i d a d e s a l e s p a c i o , i n d e p e n d i e n t e d e
l n m e r o d e p a r t c u l a s
d e l u i d o . L u e g o , l a v a r i a b l e r e l e v a n t
e e s l a v e l o c i d a d v = ui + vj + wk , l a c u a l d e p e
n d e d e l e s p a c i o x = xi + yj + zk y d e l t i e m p o t
.
A h o r a , e s c l a r o q u e e l c a m p o d e u j o e s e l
m i s m o i n d e p e n d i e n t e d e l m t o d o u s a d o , p o
r l o q u e c u a n d o
s e o b s e r v a u n p u n t o d e l e s p a c i o s e g n e l
m t o d o d e E u l e r , l a v e l o c i d a d q u e d e b i e r a
o b t e n e r s e e n u n i n s t a n t e
d e t i e m p o t d e b i e r a s e r l a m i s m a d e l a p a
r t c u l a d e u i d o q u e , s e g n L a g r a n g e , e n e s e
i n s t a n t e e s t a p a s a n d o
p o r e l p u n t o d e l e s p a c i o o b s e r v a d o .
2
-
8/6/2019 Fundamentos de Cinematic A y Dinamica de Fluidos
3/15
A p l i c a n d o l a c o n d i c i n a n t e r i o r , e s p o
s i b l e o b t e n e r u n a e x p r e s i n p a r a l a a c e l e
r a c i n , a , s e g n e l
m t o d o d e E u l e r :
a =dv
dt=
v
t+
v
x
dx
dt+
v
y
dy
dt+
v
z
dz
dt
P e r o , d e l m t o d o d e L a g r a n g e s a b e m o s q u
e :
u =
dx
dt , v =
dy
dt , w =
dz
dt
a =dv
dt=
v
t+ u
v
x+ v
v
y+ w
v
z
D e r i v a d a M a t e r i a l
D e n i m o s e l o p e r a d o r D e r i v a d a M a t e r i a
l c o m o :
D
Dt=
t+ u
x+ v
y+ w
z=
t+ v
L u e g o , l a a c e l e r a c i n s e g n e l m t o d o d e E
u l e r q u e d a :
a =Dv
Dt=
v
t+ (v )v
G e n e r a l i z a c i n d e l R e s u l t a d o
E n g e n e r a l , e l c a m b i o t o t a l t e m p o r a l d
e c u a l q u i e r p r o p i e d a d d e l u i d o N(x, t) q u e d
a d a d o p o r :
DN
Dt=
N
t+ (v )N
3 . T e o r e m a d e l T r a n s p o r t e d e R e y n o l d
s
3 . 1 . D e n i c i o n e s B s i c a s
V o l u m e n d e C o n t r o l
D e n i m o s e l v o l u m e n d e c o n t r o l c o m o u n v
o l u m e n d e u i d o , c o n v e n i e n t e m e n t e i d e n t
i c a d o , j o e n
e l e s p a c i o ( M t o d o d e E u l e r ) , q u e c o n c e
p t u a l m e n t e a i s l a r e m o s d e l m e d i o c i r c u n
d a n t e a t r a v s d e l a
s u p e r c i e S q u e d e l i m i t a d i c h o v o l u m e n
. L u e g o , v e m o s q u e e l u i d o p u e d e a t r a v e s a
r l a s u p e r c i e S d e l
v o l u m e n d e c o n t r o l , p r o d u c i e n d o a s u n
r e c a m b i o d e l u i d o d e n t r o d e l v o l u m e n d e c
o n t r o l .
S i s t e m a M a t e r i a l
D e n i m o s e l s i s t e m a m a t e r i a l c o m o u n c o
n j u n t o j o d e p a r t c u l a s t a l q u e e l v o l u m e n
q u e o c u p a n e n
e l e s p a c i o e s f u n c i n d e l t i e m p o , y a q u e
p u e d e s e r a f e c t a d o y / o d e f o r m a d o p o r e l u
j o . S e c a r a c t e r i z a
u n s i s t e m a m a t e r i a l p o r q u e s u s p a r t c u
l a s s i e m p r e s o n l a s m i s m a s , s a l v o q u e l a s
p r o p i e d a d e s d e s t a s
p u e d e n v a r i a r e n e l t i e m p o .
3
-
8/6/2019 Fundamentos de Cinematic A y Dinamica de Fluidos
4/15
3 . 2 . E n f o q u e I n t e g r a l
C o n s i d e r e m o s u n s i s t e m a m a t e r i a l y u n
v o l u m e n d e c o n t r o l
V. C o n s i d e r e m o s , a d e m s , u n a p r o p i e d a
d
e x t e n s i v a d e l u j o ( d e p e n d e d e l a c a n t i
d a d d e m a t e r i a ) ,
N. V e a m o s e n t o n c e s l a v a r i a c i n t o t a l , e
n e l t i e m p o ,
d e N d e n t r o d e l v o l u m e n d e c o n t r o l . T o m
a n d o c o m o r e f e r e n c i a d o s i n s t a n t e s d e t i
e m p o t y t + t. E n t o n c e s , l a t a s a d e c a m b i o d
e l a p r o p i e d a d N e n V e s t a d a d a p o r :
N
t = limt0
N(t + t) N(t)
t
l o q u e e s e q u i v a l e n t e a :
N
t= limt0
NII(t + t) NII(t)t
R
+NI(t + t)
t A
NIII(t)
t B
D o n d e :
- R : C o r r e s p o n d e a l o s c a m b i o s e n e l v a l
o r d e l a p r o p i e d a d N d e n t r o d e l v o l u m e n d e
c o n t r o l ( s i s t e m a
m a t e r i a l
II) . P u e d e s e r n u l o o n o .
-
A: C o r r e s p o n d e a l a t a s a d e e n t r a d a d e
Na
V( s i s t e m a m a t e r i a l
I) .
- B : C o r r e s p o n d e a l a t a s a d e s a l i d a d e N
d e V ( s i s t e m a m a t e r i a l III) .
A h o r a , c o m o l a s t a s a s d e e n t r a d a y s a l i
d a e s t n d e n i d a s e n t r m i n o s d e s i s t e m a s m a
t e r i a l e s , p o d e m o s
d e c i r q u e s t a s s e d e b e n a l a v e l o c i d a d d
e l u j o q u e a f e c t a l o s s i s t e m a s m a t e r i a l e
s I y III. L u e g o , d i r e m o s
q u e V c o n t e m p l a d o s s u p e r c i e s , S1 y S2 , p
o r d o n d e e n t r a n y s a l e n l a s p a r t c u l a s d e V
r e s p e c t i v a m e n t e .
E n t o n c e s , s i t o m a m o s e l e m e n t o s d e r e
a
dS1 y dS2 , r e s p e c t i v a m e n t e , v e m o s q u e l a
s t a s a s a l a c u a l e s s o n
a t r a v e s a d a s p o r p a r t c u l a s d e u i d o q u e
d a n d e t e r m i n a d a s p o r
v1 n1dS1 y v2 n2dS2 , r e s p e c t i v a m e n t e . A s , l a
s t a s a s a l a s c u a l e s l a m a s a d e u i d o a t r a v i
e s a e s t o s e l e m e n t o s d e s u p e r c i e e s : 1v1
n1dS1 y 2v2 n2dS2 ,r e s p e c t i v a m e n t e .
L u e g o , l a t a s a n e t a d e s a l i d a d e N d e V ( B
A) e s :
S
v ndS =
S2
22v2 n2dS2 +
S1
11v1 n1dS1
R e e m p l a z a n d o e s t e r e s u l t a d o e n l a e c u
a c i n a n t e r i o r , s e t i e n e :
N
t= R
S
v ndS
y , e x p r e s a n d o
Ne n t r m i n o s d e s u p r o p i e d a d i n t e n s i v
a
:
N
t=
t
V
dV
S e o b t i e n e e l c o n o c i d o t e o r e m a d e t r a n
s p o r t e d e R e y n o l d s , q u e d a c u e n t a d e l a v a
r i a c i n d e N e n e l
v o l u m e n d e c o n t r o l V :
t
V
dV +
S
v ndS = R
4
-
8/6/2019 Fundamentos de Cinematic A y Dinamica de Fluidos
5/15
3 . 3 . E n f o q u e D i f e r e n c i a l
E s t u d i e m o s l a v a r i a c i n d e l a d e n s i d a
d
e n u n v o l u m e n d e c o n t r o l i n n i t e s i m a
l
dV, a p l i c a n d o e l
t e o r e m a d e t r a n s p o r t e d e R e y n o l d s . C o
n s i d e r e m o s
= 1 y R = 0 . L u e g o , e l t e o r e m a d e t r a n s p o r
t e d e R e y n o l d s s e e s c r i b e c o m o :
t VdV +
Sv ndS = 0
P e r o , a p l i c a n d o e l t e o r e m a d e l a d i v e r
g e n c i a , e l s e g u n d o t r m i n o s e r e d u c e a :
S
v ndS =
V
(v)dV
A h o r a , u s a n d o e s t e r e s u l t a d o y e l h e c h
o d e q u e V n o d e p e n d e d e l t i e m p o , l a p r i m e r
a e c u a c i n q u e d a :
V
t+ (v)
dV = 0
L o q u e n o s i n d i c a q u e e l t r m i n o d e n t r o d
e l a i n t e g r a l e s u n a c o n s t a n t e , q u e n o p u e
d e s e r o t r a q u e 0.
E c u a c i n d e C o n t i n u i d a d d e M a s a
E l t r m i n o d e n t r o d e l a i n t e g r a l a n t e r i
o r s e c o n o c e c o m o e c u a c i n d e c o n t i n u i d a d
d e m a s a :
t+ (v) =
D
Dt+ ( v) = 0
E c u a c i n d e C o n t i n u i d a d o C o n s e r v a c i n
d e V o l u m e n
E n e l c a s o d e q u e e l u i d o s e a i n c o m p r e s i
b l e ( = cte) , l a e c u a c i n d e c o n t i n u i d a d d e m
a s a s e t r a n s f o r m a e n l a e c u a c i n d e c o n t i n
u i d a d :
v =u
x+
v
y+
w
z= 0
G e n e r a l i z a c i n d e l R e s u l t a d o
S i h a c e m o s e l m i s m o a n l i s i s p a r a u n a p r
o p i e d a d g e n r i c a N, t a l q u e :
N =
V
dV
O b t e n e m o s q u e :
()
t+ (v) = Rv
D
Dt= Rv
D o n d e Rv e s u n a t a s a d e r e a c c i n q u e e x p r e
s a l a v a r i a c i n d e l a p r o p i e d a d N p o r u n i d a
d d e v o l u m e n
y d e t i e m p o , e s d e c i r , d i c h a p r o p i e d a d
N e s n o c o n s e r v a t i v a .
5
-
8/6/2019 Fundamentos de Cinematic A y Dinamica de Fluidos
6/15
4 . S e g u n d a L e y d e N e w t o n A p l i c a d a a l M o
v i m i e n t o d e F l u i d o s
4 . 1 . P r i n c i p i o d e C o n s e r v a c i n d e M o m e
n t u m
P o d e m o s e x p r e s a r l a s e g u n d a l e y d e N e w
t o n s o b r e u n v o l u m e n d e c o n t r o l i n n i t e s i
m a l dV c o m o :
dm a = d F
D o n d e , dm = dV e s l a m a s a d e u n e l e m e n t o d e
u i d o , y a e s l a a c e l e r a c i n q u e e x p r e s a m o s
a p a r t i r d e l m t o d o d e E u l e r :
a =Dv
Dt=
v
t+ (v )v
L u e g o , e l t e r m i n o i z q u i e r d o d e l a p r i m
e r a e c u a c i n l o p o d e m o s r e e s c r i b i r c o m o
:
dm a = Dv
DtdV =
v
t+ (v )v
dV
A h o r a , s i s u m a m o s l a e c u a c i n d e c o n t i n
u i d a d d e m a s a ( e s t a m o s s u m a n d o 0 ) a l a e c u
a c i n a n t e r i o r , o b t e n e m o s :
dm a =
Dv
Dt+ v
D
Dt+ ( v)
dV =
v
t+ (vv)
dV
D a d o q u e e l r e s u l t a d o a n t e r i o r n o e s m a
s q u e e x p r e s a r e l t e o r e m a d e l t r a n s p o r t e
d e R e y n o l d s a l a
p r o p i e d a d e x t e n s i v a m o m e n t u m v , c o n c
l u i m o s q u e l a s e g u n d a l e y d e N e w t o n e s e q u
i v a l e n t e a l p r i n c i p i o d e
c o n s e r v a c i n d e m o m e n t u m .
P o r o t r o l a d o ,
d Fe s l a r e s u l t a n t e d e l a s f u e r z a s e x t e r
n a s a c t u a n d o s o b r e e l v o l u m e n d e c o n t r o l
, e l c u a l
l o p o d e m o s d e s c o m p o n e r e n d o s g r u p o s p
r i n c i p a l e s :
d F = d Fm + d Fs
D o n d e , d Fm e s e l v e c t o r q u e d a c u e n t a d e l
a s f u e r z a s m a s i c a s s o b r e e l v o l u m e n d e c o
n t r o l , g e n e r a l m e n t e
d a d o ( s a l v o c a s o s p a r t i c u l a r e s ) p o r e
l c a m p o g r a v i t a t o r i o t e r r e s t r e . E n t o n c
e s :
d Fm = gdV
y , d Fs s o n l a s f u e r z a s s u p e r c i a l e s s o b r
e e l v o l u m e n d e c o n t r o l , d a d a s p o r e l t e n s
o r d e e s f u e r z o s ij d e
9 c o m p o n e n t e s , e l q u e a d e m s e s s i m t r i c
o t a l q u e ij = ji . L u e g o , l a r e s u l t a n t e d e l a
s f u e r z a s s u p e r c i a l e s
e n l a d i r e c c i n
i,
dFsi
, e s t a d a d a p o r :
d Fsi =
n
j=1
ji
xj
dV
E n t o n c e s , l a s e g u n d a l e y d e N e w t o n q u e
d a e s c r i t a c o m o :
Dv
Dt= g +
d Fs
dV
6
-
8/6/2019 Fundamentos de Cinematic A y Dinamica de Fluidos
7/15
o b i e n :
DuDt = gx +xxx +
yxy +
zxz
DvDt = gy +
xyx +
yyy +
zyz
DwDt = gz +
xzx +
yzy +
zzz
4 . 2 . L e y e s C o n s t i t u t i v a s
N e c e s i t a m o s c o n o c e r l a s l e y e s c o n s t i
t u t i v a s q u e p e r m i t a n r e l a c i o n a r e l t e n s
o r d e e s f u e r z o s c o n a l g u n a
d e l a s v a r i a b l e s d e l u j o , e n p a r t i c u l a
r , c o n l a p r e s i n y e l t e n s o r d e d e f o r m a c i o
n e s ij . P a r a e l l o i m p o n d r e m o s
c o n d i c i o n e s s o b r e e l u i d o c o m o :
1 . E l u i d o e s u n c o n t i n u o .
2 . E x i s t e u n a r e l a c i n l i n e a l e n t r e l o s
e s f u e r z o s t a n g e n c i a l e s ij y l a t a s a d e d e
f o r m a c i n a n g u l a r ij .
3 . E l u i d o e s i s o t r p i c o d e m a n e r a q u e l a
s l e y e s s o n i n d e p e n d i e n t e s d e l a d i r e c c i
n o s i s t e m a d e c o o r d e -
n a d a s q u e s e u t i l i c e .
4 . C u a n d o l a s t a s a s d e d e f o r m a c i n a n g u
l a r s o n n u l a s , l o s e s f u e r z o s t a n g e n c i a l
e s d e b e n a n u l a r s e m i e n t r a s
q u e l o s e s f u e r z o s n o r m a l e s s e r e d u c e n
a l a p r e s i n h i d r o s t t i c a . L u e g o :
ij = pij
D o n d e , e l s i g n o n e g a t i v o e s p o r d e n i c i
n d e p r e s i n ( e s f u e r z o d e c o m p r e s i n ) y ij e
s e l d e n o m i n a d o
d e l t a d e K r o n e c k e r , d e n i d o c o m o :
ij =
1 i = j0 i = j
A s , c o n e s t a s d e n i c i o n e s y l a s p r o p i e d
a d e s d e l o s t e n s o r e s d e d e f o r m a c i n y d e e s
f u e r z o s , t e n e m o s :
ij = 2ij + ij(p + v)
D o n d e
e s l a v i s c o s i d a d d i n m i c a y
e s e l s e g u n d o c o e c i e n t e d e v i s c o s i d a d
, e l q u e e s u n a p r o p i e d a d
d e l u i d o r e l a c i o n a d a c o n l a e x p a n s i n y
c o m p r e s i n ( d e f o r m a c i n ) d e l o s e l e m e n t o
s d e l u i d o v.
U n a c o n c l u s i n q u e s e o b t i e n e e s q u e e n u
i d o s r e a l e s e n m o v i m i e n t o , e l p r o m e d i o d
e l o s e s f u e r z o s
n o r m a l e s , d e n o m i n a d o p r e s i n m e d i a p ,
d i e r e d e l a p r e s i n t e r m o d i n m i c a y a q u e
:
p =1
3ii = p + v +
2
3 v
D e m a n e r a q u e e n g e n e r a l
p = p. S i n e m b a r g o , p a r a u i d o s i n c o m p r e s
i b l e s q u e c u m p l e n c o n l a
e c u a c i n d e c o n t i n u i d a d , e l p r o m e d i o d
e l o s e s f u e r z o s n o r m a l e s e f e c t i v a m e n t e
e s i g u a l a l a p r e s i n t e r m o d -
i n m i c a , y p o r l o t a n t o :
ij = pij + 2ij = pij +
ui
xj+
uj
xi
7
-
8/6/2019 Fundamentos de Cinematic A y Dinamica de Fluidos
8/15
4 . 3 . E c u a c i o n e s d e N a v i e r - S t o k e s p a r
a F l u i d o s I n c o m p r e s i b l e s
F i n a l m e n t e , r e e m p l a z a n d o l o s r e s u l t
a d o s a n t e r i o r e s e n l a s e g u n d a l e y d e N e w t
o n , o b t e n e m o s l a s d e -
n o m i n a d a s e c u a c i o n e s d e N a v i e r - S t o k
e s p a r a u i d o s i n c o m p r e s i b l e s :
ui
t+ uj
ui
xj
= gi
xj(pij + 2ij)
S u p o n i e n d o a d e m s q u e e s h o m o g n e o , y n o
t a n d o q u e :
ij
xj=
p
xi
ui
t+ uj
ui
xj
= gi
p
xi+
2ui
xjxj+
2uj
xjxi
e n d o n d e e l l t i m o t r m i n o d e l a m a n o d e r e
c h a e s n u l o d a d a l a c o n t i n u i d a d (
ujxj
= 0 ) . P o r l o t a n t o :
uit
+ uj ui
xj= gi 1
p
xi+
2
uixjxj
o b i e n :
ut + u
ux + v
uy + w
uz = gx
1
px +
2ux2 +
2uy2 +
2uz2
vt + u
vx + v
vy + w
vz = gy
1
py +
2vx2 +
2vy2 +
2vz2
wt + u
wx + v
wy + w
wz = gz
1
pz +
2wx2 +
2wy2 +
2wz2
v
t+ (v )v = g
1
p + 2v
F i n a l m e n t e , l a e c u a c i n g e n e r a l d e N a v
i e r - S t o k e s p a r a u i d o s i n c o m p r e s i b l e s q
u e d a :
Dv
Dt= g
1
p + 2v
P r e s i n M o t r i z
S u p o n g a m o s q u e d a d o u n s i s t e m a d e c o o r
d e n a d a s , l a a c e l e r a c i n d e g r a v e d a d g n o e
s p a r a l e l a a l e j e z ,
s i n o q u e a u n e j e h o r i e n t a d o v e r t i c a l m
e n t e h a c i a a r r i b a q u e d i s c r e p a e n u n n g u l
o d e l e j e z . E n e s t e
c a s o , s e t i e n e q u e :
g = gh
y , p o r l o t a n t o :
uit
+ uj uixj
= 1
xi
(p + gh) + 2
uixjxj
D o n d e , e l t e r m i n o p + gh e s l a d e n o m i n a d a
p r e s i n m o t r i z q u e d e n o m i n a r e m o s c o m o p.
C u y o n o m b r e s e d e b e a q u e l a a c c i n c o n j u n t
a d e l a g r a v e d a d y e l g r a d i e n t e d e p r e s i o n
e s p u e d e g e n e r a r e l m o v i m i e n t o ,
y n o l o s t r m i n o s v i s c o s o s q u e t i e n d e n a
f r e n a r l o .
E n t o n c e s , l a e c u a c i n d e N a v i e r - S t o k e
s p a r a u i d o s i n c o m p r e s i b l e s s e r e d u c e a
:
Dv
Dt=
1
p + 2v
8
-
8/6/2019 Fundamentos de Cinematic A y Dinamica de Fluidos
9/15
C a u d a l V o l u m t r i c o
E l C a u d a l V o l u m t r i c o Q d e n o t a l a t a s a d
e c a m b i o d e u j o q u e p a s a p o r u n p l a n o p e r p e
n d i c u l a r a
l p o r u n i d a d d e t i e m p o , d o n d e , g e n e r a l
m e n t e e l p l a n o p e r p e n d i c u l a r a l u j o , e s t
a d a d o p o r e l r e a
m o j a d a d e l p e r l t r a n s v e r s a l p o r d o n d e
a t r a v i e s a e l u i d o . E n t o n c e s , s u p o n g a m o
s q u e t e n e m o s e l p e r l
d e v e l o c i d a d e n l a d i r e c c i n x ( n i c a d i r
e c c i n d e m o v i m i e n t o ) d e u n u i d o ux(z), e l c u
a l v a r i a c o n l a a l t u r a z , a d e m s s u p o n g a m o
s q u e e l u i d o s e m u e v e d e n t r o d e u n a c a n a l a
b i e r t a d e s e c c i n t r a n s v e r s a l
c u a d r a d a , l u e g o e l c a u d a l v o l u m t r i c o
e s :
Q =
z0
y0
ux(z)dydz
D o n d e , y e s e l a n c h o d e l a c a n a l y z e s l a p
r o f u n d i d a d d e l u i d o , n o n e c e s a r i a m e n t e
i g u a l a l a a l t u r a d e l a c a n a l d e s e c c i n c u a
d r a d a y ( z y ) .
C a u d a l o G a s t o M a s i c o
E l C a u d a l M a s i c o m d e n o t a l a t a s a d e c a m
b i o d e m a s a d e u j o q u e p a s a p o r u n p l a n o p e r
p e n d i c u l a r
a l p o r u n i d a d d e t i e m p o . P a r a u n u j o i n c
o m p r e s i b l e , s e r e l a c i o n a c o n e l c a u d a l v
o l u m t r i c o d e l a
s i g u i e n t e f o r m a :
m = Q
D o n d e , e s l a d e n s i d a d d e l u i d o .
V e l o c i d a d M e d i a
L a V e l o c i d a d M e d i a v d a c u e n t a d e u n a v e
l o c i d a d g e n e r a l c o n l a q u e s e m u e v e e l u i d
o , i g n o r a n d o d e
c i e r t o m o d o e l p e r l d e v e l o c i d a d e s d a d
o . P a r a e l m i s m o e j e m p l o a n t e r i o r , l a v e l
o c i d a d m e d i a s e r a :
v =
z0
y0
ux(z)dydzz0
y0
dydz
T a m b i n , o c u p a n d o e s t a d e n i c i n , s e t i e
n e e l c a u d a l v o l u m t r i c o m e d i o Q y e l c a u d a
l m a s i c o m e d i o m, d o n d e e s c l a r o q u e s e t i e
n e l a r e l a c i n :
Q = vA
d o n d e A e s e l r e a d e l a s e c c i n t r a n s v e r s
a l d e l u i d o , o p o r d o n d e a t r a v i e s a e l u i d o
.
C a p a L m i t e
L a c a p a l m i t e e s u n c o n c e p t o q u e d a c u e n
t a d e l a s e p a r a c i n e n t r e u n r g i m e n r o t a c i
o n a l y u n o i r r o t a -
c i o n a l d e u n u i d o q u e e s t a e n c o n t a c t o c
o n a l g n o b j e t o . A s , d e n t r o d e e s t a c a p a l m
i t e ( t o c a n d o e l
o b j e t o ) e l u i d o e s r o t a c i o n a l y p o r e n d
e e x i s t e n e s f u e r z o s d e c o r t e , p e r o f u e r a
d e e s t a c a p a l m i t e , d o n d e
l a v e l o c i d a d e s l a m i s m a q u e l a q u e v e n i
a e l u i d o a n t e s d e t o c a r e l o b j e t o , e l u i d o
e s i r r o t a c i o n a l , y p o r
e n d e , n o e x i s t e n e s f u e r z o s d e c o r t e . E
s t a c a p a l m i t e ( e s p e s o r ) a u m e n t a a l o l a r
g o d e l o b j e t o , l l e g a n d o
a u n p u n t o d o n d e e s p o s i b l e d i f e r e n c i a
r e n t r e u n a c a p a l m i t e l a m i n a r y u n a t u r b u
l e n t a ( g e n e r a l m e n t e
s u p o n d r e m o s q u e e s t a m o s s o l o e n r g i m e
n l a m i n a r ) . D e e s t a f o r m a t e n e m o s :
(x) 5
x
U
P a r a u n r g i m e n l a m i n a r e n u n a p l a c a p l a
n a , y :
(x) 0,37x
U x
1/5P a r a u n r g i m e n t u r b u l e n t o e n u n a p l a c
a p l a n a , d o n d e x d a c u e n t a d e l l a r g o d e l a p
l a c a , e s l a
v i s c o s i d a d c i n e m t i c a d e l u i d o y U e s l a
v e l o c i d a d m e d i a d e l u i d o a n t e s q u e t o q u e
l a p l a c a o f u e r a
d e l a c a p a l i m i t e .
E n e l c a s o d e t u b e r a s , e l c r e c i m i e n t o d
e l a c a p a l m i t e q u e d a c o n n a d o e n e l a n c h o d
e l a t u b e r a
( d i m e t r o D ) , p o r e n d e , d a d o u n c i e r t o x
= L ( l a r g o d e l a t u b e r a ) , l a c a p a l m i t e ( l a
m i n a r o t u r b u l e n t a ) q u e d a c o m p l e t a m e n t
e d e s a r r o l l a d a y e l p e r l d e v e l o c i d a d e s s
e p u e d e c a l c u l a r d i r e c t o d e l a s e c u a c i o n
e s
d e N a v i e r - S t o k e s .
9
-
8/6/2019 Fundamentos de Cinematic A y Dinamica de Fluidos
10/15
R a d i o H i d r u l i c o
E s u n p a r m e t r o i m p o r t a n t e e n e l d i m e n s
i o n a d o d e c a n a l e s , t u b o s y o t r o s c o m p o n e
n t e s e n o b r a s
h i d r u l i c a s , c o n e l n d e s i m p l i c a r e l a n
l i s i s d e p r o b l e m a s . S e d e n e c o m o :
Rh =Am
Pm
D o n d e ,
Ame s e l r e a m o j a d a e n
[m2
]y
Pme l p e r m e t r o m o j a d o e n
[m].
P o r e j e m p l o , p a r a u n a c a e r a d e s e c c i n t
r a n s v e r s a l c u a d r a d a d e l a d o a , c u y o n i v e
l d e a g u a e s b , c o n
b < a, e l r a d i o h i d r u l i c o e s :
Rh =Am
Pm=
a b
(a + 2b)
D i m e t r o H i d r u l i c o
E s u n t r m i n o c o m u n m e n t e u t i l i z a d o e n h
i d r u l i c a c u a n d o s e m a n e j a n u i d o s e n c a n a
l e s y t u b o s n o
c i r c u l a r e s . U t i l i z a n d o s t e t r m i n o s e
p u e d e e s t u d i a r e l c o m p o r t a m i e n t o d e l u j
o d e l a m i s m a f o r m a
c o m o s i f u e r a u n a t u b e r a d e s e c c i n c i r c
u l a r . S e d e n e c o m o :
Dh =4 A
Pm
D o n d e , A e s e l r e a d e l a s e c c i n t r a n s v e r
s a l d e l c o n d u c t o e n [m2] y Pm e l p e r m e t r o m o j
a d o e n [m].
P o r e j e m p l o , p a r a u n a c a e r a d e s e c c i n t
r a n s v e r s a l c u a d r a d a d e l a d o a , c u y o n i v e
l d e a g u a e s b , c o n
b < a , e l d i m e t r o h i d r u l i c o e s :
Dh =4 A
Pm=
4a2
(a + 2b)
P e s e a q u e s e t i e n d e a p e n s a r q u e e l d i m e
t r o y e l r a d i o h i d r u l i c o t i e n e n a l g u n a r e
l a c i n , e s f c i l v e r
q u e a m b o s s o n c o n c e p t o s d i s t i n t o s , y q
u e p o r e n d e , n o g u a r d a n a l g n g r a d o d e r e l a
c i n .
4 . 4 . E c u a c i o n e s d e E u l e r
C o n s i d e r e m o s e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e
s d e N a v i e r - S t o k e s p a r a u n u j o i n c o m p r e s
i b l e , t a l q u e :
v
t+ (v )v =
1
p + 2v
A h o r a , c o n s i d e r e m o s q u e e l u i d o e s I d e
a l ( = 0) , l u e g o :
v
t+ (v )v =
1
p
A d e m s , c o n s i d e r e m o s q u e e l u i d o e s i r r
o t a c i o n a l ( = v = 0 ) , p o r l o t a n t o , l a s i g u i
e n t e i g u a l d a d :
(v )v =1
2(v v) v ( v)
s e r e d u c e a :
(v )v =1
2(v v)
1 0
-
8/6/2019 Fundamentos de Cinematic A y Dinamica de Fluidos
11/15
D e e s t a f o r m a , l a s e c u a c i o n e s d e m o m e n
t u m p a r a u n u j o i r r o t a c i o n a l d e u n u i d o i d
e a l q u e d a n
r e d u c i d a s a :
v
t+
1
2(v v) =
1
p
R e o r g a n i z a n d o l a e c u a c i n a n t e r i o r , y
r e c o r d a n d o q u e e s t a m o s c o n s i d e r a n d o u n
u j o i n c o m p r e s i b l e , s e
o b t i e n e :
v
t + g 1
2g v v +p
+ h = 0
D o n d e e s e l p e s o e s p e c i c o d e l u i d o , t a l
q u e = g .
E c u a c i n d e B e r n o u l l i
D e n i m o s e l t e r m i n o e n t r e p a r n t e s i s d e
l a e c u a c i n a n t e r i o r c o m o :
B =1
2gv v +
p
+ h
T e r m i n o q u e e s c o n o c i d o c o m o e c u a c i n d
e B e r n o u l l i , s u m a d e B e r n o u l l i o e n e r g a p
o r u n i d a d d e p e s o .
A h o r a , s i e l u j o e s p e r m a n e n t e s e o b t i e
n e :
B = 0
L o q u e i n d i c a q u e B e s c o n s t a n t e e n e l e s
p a c i o . L u e g o , s i e l u j o d e u n u i d o i d e a l e s
i r r o t a c i o n a l y
p e r m a n e n t e , e n t o n c e s e l B e r n o u l l i e s
c o n s t a n t e y h o m o g n e o e n t o d o e l e s p a c i o d
e l u i d o . E l m i s m o
r e s u l t a d o s e p u e d e o b t e n e r s i e l u j o e s
r o t a c i o n a l y p e r m a n e n t e .
5 . T e o r e m a G e n e r a l d e l a E n e r g a
A n a l i c e m o s e l c a s o d e u n u i d o r e a l , e l c
u a l p r e s e n t a e s f u e r z o s v i s c o s o s , y p o r e
n d e , p a r t e d e l a e n e r g a
m e c n i c a p r e s e n t e e n e l u j o s e d i s i p a e n
f o r m a d e c a l o r , l o q u e s e t r a d u c e e n u n B e r
n o u l l i q u e d i s m i n u y e a
l o l a r g o d e l e s c u r r i m i e n t o . P a r a a n a l
i z a r e s t e p r o b l e m a , c o n s i d e r a m o s l a e n e
r g a t o t a l d e l u j o :
e = u + gh +v2
2
D o n d e e d e n o t a l a e n e r g a e s p e c c a t o t a l
d e l u j o , u l a e n e r g a e s p e c c a i n t e r n a y l o s
d o s l t i m o s
t r m i n o s r e p r e s e n t a n l a e n e r g a p o t e n c
i a l y c i n t i c a , r e s p e c t i v a m e n t e . S i
Ee s l a e n e r g a c o n t e n i d a e n u n
v o l u m e n d e c o n t r o l
V, e n t o n c e s :
E = V edVL a p r i m e r a l e y d e l a t e r m o d i n m i c a
a p l i c a d a a u n s i s t e m a d e u i d o s e e x p r e s a c
o m o :
DE
Dt=
dQ
dt
dW
dt
D o n d e Q e s e l c a l o r e n t r e g a d o e x t e r n a m
e n t e a l s i s t e m a y W e l t r a b a j o m e c n i c o r e a
l i z a d o p o r e l
s i s t e m a s o b r e e l m e d i o e x t e r n o .
1 1
-
8/6/2019 Fundamentos de Cinematic A y Dinamica de Fluidos
12/15
A h o r a , s i c o n s i d e r a m o s u n v o l u m e n d e c
o n t r o l , e l t e o r e m a d e t r a n s p o r t e d e R e y n
o l d s p e r m i t e r e e s c r i b i r
l a e c u a c i n a n t e r i o r c o m o :
E
t+
S
ev ndS =dQ
dt
dW
dt
D o n d e S r e p r e s e n t a l a s u p e r c i e d e l v o l
u m e n d e c o n t r o l y n e l v e c t o r u n i t a r i o p e r
p e n d i c u l a r a l e l e m e n t o
d e s u p e r c i e dS.
E l t r a b a j o W p u e d e s e r d e s c o m p u e s t o e n
u n t r a b a j o e x t e r n o , We ( b o m b a o t u r b i n a )
, y u n t r a b a j o
a s o c i a d o a l e s c u r r i m i e n t o , l l a m a d o t
r a b a j o d e u j o , Wf ( t r a b a j o r e a l i z a d o p o r
l a s f u e r z a s d e s u p e r c i e ) , e l
q u e p o d e m o s e x p r e s a r c o m o :
dWf
dt=
d
dt
V
ntdV
Y a q u e l o s e l e m e n t o s d e t r a b a j o dW = d F dr
= d (dSdr). nt r e p r e s e n t a l o s e s f u e r z o s n o r m
a l e s y t a n g e n c i a l e s d e l u i d o . L u e g o , s i d
e s c o m p o n e m o s e l t r a b a j o d e l u j o e n t r m i n
o s n o r m a l e s y t a n g e n c i a l e s
Wf = Wn + Wt , r e c o n o c e m o s q u e dr = vdt, e n t o n c
e s :
dW
dt= Sp(v n)dS+
dWt
dt+
dWe
dt
D o n d e p e s l a p r e s i n , y p o r l o t a n t o :
E
t+
S
e +
p
(v n)dS =
dQ
dt
dWt
dt
dWe
dt
P a r a u n u j o p e r m a n e n t e o b t e n e m o s : S
(u + B )(v n)dS =dQ
dt
dWt
dt
dWe
dt
Y , s i c o n s i d e r a m o s u n t u b o d e u j o c o m o v
o l u m e n d e c o n t r o l , c o n s u p e r c i e s h o m o g n
e a s , d o n d e e x i s t e
u n c a u d a l m a s i c o m, y c o m o e l u j o e s p e r m a
n e n t e , e n t o n c e s l a e c u a c i n a n t e r i o r s e e
s c r i b e c o m o :
m(g(B2 B1) + (u2 u1)) =dQ
dt
dWt
dt
dWe
dt
Q u e e s e l p r i n c i p i o g e n e r a l d e c o n s e r v
a c i n d e l a e n e r g a e n t r e l o s p u n t o s 1 y 2, d o
n d e m e s e l c a u d a l o g a s t o m a s i c o , B1 y B2 s o n
l o s B e r n o u l l i a l a e n t r a d a y s a l i d a d e l t u
b o d e u j o , r e s p e c t i v a m e n t e . u1 y u2 s o n
l a s e n e r g a s i n t e r n a s d e e n t r a d a y s a l i
d a , r e s p e c t i v a m e n t e . Q e s e l c a l o r e n t r e
g a d o e x t e r n a m e n t e a l s i s t e m a ,
We e l t r a b a j o e x t e r n o ( b o m b a s o t u r b i n a
s ) , y Wt e l t r a b a j o a s o c i a d o a e s f u e r z o s v
i s c o s o s d e l u i d o .
1 2
-
8/6/2019 Fundamentos de Cinematic A y Dinamica de Fluidos
13/15
6 . E s c u r r i m i e n t o e n T u b e r a s
6 . 1 . D e l T e o r e m a G e n e r a l d e l a E n e r g a a
l a A p l i c a c i n
C o n s i d e r e m o s e l c a s o s i m p l e d e u n u i d o
i d e a l t a l q u e l o s e s f u e r z o s v i s c o s o s n o e
x i s t e n , y a d e m s
c o n s i d e r e m o s q u e Q e s n u l o ( s i s t e m a a d
i a b t i c o ) . C o m o n o e x i s t e f r i c c i n n i f u e n
t e s e x t e r n a s q u e p u e d a n
c a m b i a r l a t e m p e r a t u r a d e l u i d o , t e n e
m o s q u e l a e n e r g a i n t e r n a u s e c o n s e r v a , y
p o r e n d e , s u g r a d i e n t e
t a m b i n e s n u l o . P o r o t r o l a d o , c o n s i d e
r e m o s q u e e x i s t e t r a b a j o e x t e r n o , e l c u a
l d e n o m i n a r e m o s c o m o :
dWe
dt= P
D o n d e P > 0 i n d i c a q u e e l t r a b a j o e s h e c
h o p o r e l u j o , e s d e c i r , l a e n e r g a d e l u j o e
s t r a n s f o r m a d a e n o t r o t i p o d e e n e r g a , p o
r e j e m p l o e l c t r i c a e n e l c a s o d e u n a t u r b i
n a ; m i e n t r a s q u e P < 0 i n d i c a q u e e l t r a b
a j o e s e n t r e g a d o p o r e l m e d i o a l s i s t e m a (
b o m b a ) . L u e g o , c o n l a s c o n s i d e r a c i o n e s
h e c h a s c o n a n t e r i o r i d a d ,
t e n e m o s q u e e l t e o r e m a g e n e r a l d e l a e n
e r g a s e r e d u c e a :
m(g(B2 B1)) = P
L u e g o , d a d o q u e m = Q, o b t e n e m o s :
B2 B1 = P
Q
C a s o T u r b i n a , d o n d e
P > 0 , e n t o n c e s :
B2 = B1 |P|
Q
D o n d e
Pe s l a p o t e n c i a g e n e r a d a , y s e t i e n e q u
e
B2 < B1 , l o q u e s e t r a d u c e e n q u e p2 < p1 p
a r a e l
c a s o e n q u e e l d i m e t r o d e l a t u b e r a s e a c
o n s t a n t e .
C a s o B o m b a , d o n d e
P < 0 , e n t o n c e s :
B2 = B1 +|P|
Q
D o n d e
Pe s l a p o t e n c i a e n t r e g a d a , y s e t i e n e q u
e
B2 > B1 , l o q u e s e t r a d u c e e n q u e p2 > p1 p
a r a e l
c a s o e n q u e e l d i m e t r o d e l a t u b e r a s e a c
o n s t a n t e .
E l t e r m i n o
|P|Q s u e l e l l a m a r s e c o m o a l t u r a d e e l e v a
c i n d e l a b o m b a .
6 . 2 . P r d i d a s d e E n e r g a
C o n s i d e r e m o s a h o r a l a s p r d i d a s d e e n e
r g a p o r f r i c c i n , p e r o s i n c o n s i d e r a r t r a
b a j o e x t e r n o . E n e s t e
c a s o e l t e o r e m a g e n e r a l d e l a e n e r g a s e
e x p r e s a c o m o :
B2 B1 = 1g 1
mdWt
dt dQ
dt + (u2 u1)
L l a m a n d o :
=1
g
1
m
dWt
dt
dQ
dt
+ (u2 u1)
B2 = B1
1 3
-
8/6/2019 Fundamentos de Cinematic A y Dinamica de Fluidos
14/15
D o n d e e s l a p e r d i d a d e e n e r g a p o r u n i d a
d d e p e s o q u e e x i s t e e n t r e l o s p u n t o s 1 y 2.
S i e s t a s p e r d i d a s f r i c c i n a l e s o c u r r e n u
n i f o r m e m e n t e e n e l t r a m o c o m p r e n d i d o e n
t r e 1 y 2 ( u j o u n i f o r m e ) , e n t o n c e s d e n i m o
s J c o m o l a p e r d i d a d e e n e r g a p o r u n i d a d d e
l o n g i t u d , t a l q u e :
B2 = B1 JL
D o n d e L e s l a d i s t a n c i a e n t r e 1 y 2. J t a m b
i n e s c o n o c i d o c o m o l a p e n d i e n t e d e l p l a n
o d e c a r g a o e n e r g a , y d a d o q u e l a s c o n d i c i
o n e s d e u j o s o n u n i f o r m e s , s e c u m p l e q u e
:
J = B
x=
1
p
x
P e r o , J t a m b i n p u e d e s e r c a l c u l a d o a p a
r t i r d e l a e c u a c i n o l e y d e D a r c y - W e i s b a c
h :
J =f v2
D2g
D o n d e f e s e l f a c t o r d e f r i c c i n y D e l d i m
e t r o d e l a t u b e r a .
A d e m s d e l a s p e r d i d a s f r i c c i n a l e s q u e
o c u r r e n u n i f o r m e m e n t e d i s t r i b u i d a s a l
o l a r g o d e l a t u b e r a ,
e x i s t e n l a s p e r d i d a s s i n g u l a r e s s a s o
c i a d a s a e x p a n s i o n e s o c o n t r a c c i o n e s b r
u s c a s d e l u j o , l a s q u e s e d e n e n c o m o :
s = ksv2
2g
D o n d e ks e s e l c o e c i e n t e d e p e r d i d a s i n g
u l a r .
6 . 3 . E c u a c i n G l o b a l d e E n e r g a e n T u b e r
a s
D a d o s l o s r e s u l t a d o s a n t e r i o r e s , l a s
i g u i e n t e e c u a c i n d e e n e r g a p e r m i t e l i g a
r l a d i n m i c a g e n e r a l e n t r e
d o s s e c c i o n e s d e u n t u b o d e u j o :
B1 = B2 + f + s |P|
Q
D o n d e B e s e l B e r n o u l l i p r o m e d i o , e x p r
e s a d o e n t r m i n o s d e l a v e l o c i d a d p r o m e d i
o v d e l a s e c c i n ,
f d e n o t a l a s p e r d i d a s d e e n e r g a q u e e x p
r e s a m o s c o m o :
f = J L =fv2
D2gL
s l a s p e r d i d a s p o r s i n g u l a r i d a d e s , l a
c u a l e x p r e s a m o s c o m o :
s = ksv2
2g
Y , n a l m e n t e |P| d e n o t a l a p o t e n c i a d e l a
b o m b a o t u r b i n a .
1 4
-
8/6/2019 Fundamentos de Cinematic A y Dinamica de Fluidos
15/15
6 . 4 . F a c t o r d e F r i c c i n y S i n g u l a r i d a d
e s
F a c t o r d e F r i c c i n
E l f a c t o r d e f r i c c i n
fs e d e n e a p a r t i r d e l t i p o d e r g i m e n d e u j
o (
Re) y d e l a r u g o s i d a d
d e l l u g a r
p o r d o n d e s e m u e v e e l u j o . A s , p a r a t u b e
r a s s e h a n d e n i d o l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n
e s d e f r i c c i n :
R g i m e n R u g o s i d a d F a c t o r d e F r i c c i n
L a m i n a r H i d r o d i n m i c a m e n t e L i s a
f =16
Re
H i d r o d i n m i c a m e n t e L i s a
1f
= 2 logRef
2,51
T u r b u l e n t o H i d r o d i n m i c a m e n t e T r a n s
i c i n
1f
= 2log
2,51Ref
+ 3,7D
H i d r o d i n m i c a m e n t e R u g o s a
1f
= 2 log
3,7D
F i g u r a 1 : D i a g r a m a d e M o o d y .
D o n d e , D e s e l d i m e t r o d e l a t u b e r a y e l t
e r m i n o D s e c o n o c e c o m o r u g o s i d a d r e l a t i
v a .
T o d o s e s t o s v a l o r e s s e h a n t a b u l a d o e n
e l c o n o c i d o D i a g r a m a d e M o o d y , d e s d e e l c
u a l s e p u e d e o b t e n e r
e l f a c t o r d e f r i c c i n s o l o s a b i e n d o e l n
u m e r o d e R e y n o l d s y l a r u g o s i d a d r e l a t i v
a .
S i n g u l a r i d a d e s
S e c o n o c e n c o m o s i n g u l a r i d a d e s a l a s s
e c c i o n e s d e l r e c o r r i d o d e u n u j o d o n d e p i
e r d e e n e r g a p o r
c o n c e p t o s d e e x p a n s i n , c o m p r e s i n o c u
r v a t u r a , l o q u e s e t r a d u c e g e n e r a l m e n t e
e n u n a d i s m i n u c i n
d e l a e n e r g a c i n t i c a d e l u j o y u n a e v e n t
u a l c a d a d e p r e s i n .
E n u n a t u b e r a c o m n , e s t a s s i n g u l a r i d a
d e s e s t n d a d a s g e n e r a l m e n t e p o r c o d o s , v
l v u l a s o c o n e x i o n e s
e n t r e t u b e r a s d e d i s t i n t o d i m e t r o , l a
s q u e g e n e r a n u n c a m b i o b r u s c o e n e l u j o , y
p o r e n d e , u n a
d i s m i n u c i n e n s u e n e r g a .
L a s p e r d i d a s d e e n e r g a p o r s i n g u l a r i d
a d e s g e n e r a l m e n t e s e m o d e l a n a p a r t i r d e
l a e n e r g a c i n t i c a d e l
u j o
v2
2g , l a c u a l s e m u l t i p l i c a p o r a l g n f a c t o
r ks o c o e c i e n t e d e p e r d i d a s i n g u l a r , q u e
d e p e n d e d e l a
g e o m e t r a d e l a s i n g u l a r i d a d .
1 5
