Fundamentos de Física 9a. Ed. Impreso. Raymond A. Serway & Chris Vuille

SERWAY VUILLE

Fundamentos de Física

N O V E N A E D I C I Ó N

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Singapur • Reino Unido

Raymond A. Serway | Emeritus, James Madison University

Chris Vuille | Embry-Riddle Aeronautical University

Traducción

Dra. Ana Elizabeth García Hernández

Universidad La Salle, Morelia.

Revisión técnica

Dr. Ernesto Filio López

Unidad Profesional en Ingeniería y Tecnologías AvanzadasInstituto Politécnico Nacional.

Fundamentos de Física

SERWAY/VUILLE

NOVENA EDICIÓN

Impreso en México1 2 3 4 5 6 7 15 14 13 12

Fundamentos de Física Novena edición

Raymond A. Serway y Chris Vuille

Presidente de Cengage Learning

Latinoamérica:

Fernando Valenzuela Migoya

Director Editorial, de Producción

y de Plataformas Digitales para

Latinoamérica:

Ricardo H. Rodríguez

Gerente de Procesos para

Latinoamérica:

Claudia Islas Licona

Gerente de Manufactura para

Latinoamérica:

Raúl D. Zendejas Espejel

Gerente Editorial de Contenidos

en Español:

Pilar Hernández Santamarina

Coordinador de Manufactura:

Rafael Pérez González

Editores:

Sergio R. Cervantes González

Abril Vega Orozco

Diseño de portada:

Anneli Daniela Torres Arroyo

Imagen de portada:

Andrey Tranchuck

Shutterstock

Composición tipográfica:

Foto Grafic & Diseño

Humberto Núñez Ramos

© D.R. 2012 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,

una Compañía de Cengage Learning, Inc.

Corporativo Santa Fe

Av. Santa Fe, núm. 505, piso 12

Col. Cruz Manca, Santa Fe

C.P. 05349, México, D.F.

Cengage Learning® es una marca registrada

usada bajo permiso.

DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de

este trabajo, amparado por la Ley Federal del

Derecho de Autor, podrá ser reproducida,

transmitida, almacenado o utilizada en

cualquier forma o por cualquier medio, ya sea

gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo,

pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado,

reproducción, escaneo, digitalización,

grabación en audio, distribución en internet,

distribución en redes de información o

almacenamiento y recopilación en sistemas

de información, a excepción de lo permitido

en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal

del Derecho de Autor, sin el consentimiento

por escrito de la Editorial.

Traducido del libro:

College Physics, Ninth Edition.

Raymond A. Serway and Chris Vuille

Publicado en inglés por Brooks & Cole, una compañía

de Cengage Learning ©2012

ISBN: 978-0-8400-6206-2

Datos para catalogación bibliográfica:

Serway, Raymond A. y Chris Vuille.

Fundamentos de Física, novena edición.

ISBN: 978-607-481-780-5

Visite nuestro sitio web en:

http://latinoamerica.cengage.com

v

■ Contenido

ACERCA DE LOS AUTORES viiiPREFACIO ixATRACTIVAS APLICACIONES xxivAL ESTUDIANTE xxviGUÍA DE PREPARACIÓN PARA EL EXAMEN MCAT xxx

PARTE 1 | Mecánica

CAPÍTULO 1 Introducción 1

1.1 Estándares de longitud, masa y tiempo 11.2 Elementos constitutivos de la materia 41.3 Análisis dimensional 51.4 Incertidumbre en la medición y cifras significativas 71.5 Conversión de unidades 101.6 Cálculos aproximados y de orden de magnitud 121.7 Sistemas de coordenadas 141.8 Trigonometría 151.9 Estrategia de solución de problemas 17Resumen 18

CAPÍTULO 2 Movimiento en una dimensión 25

2.1 Desplazamiento 262.2 Velocidad 272.3 Aceleración 332.4 Diagramas de movimiento 352.5 Movimiento en una dimensión con aceleración constante 362.6 Objetos en caída libre 43Resumen 47

CAPÍTULO 3 Vectores y movimientoen dos dimensiones 56

3.1 Vectores y sus propiedades 563.2 Componentes de un vector 583.3 Desplazamiento, velocidad y aceleración en dos dimensiones 623.4 Movimiento en dos dimensiones 633.5 Velocidad relativa 71Resumen 75

CAPÍTULO 4 Leyes de movimiento 86

4.1 Fuerzas 874.2 Primera ley de Newton 884.3 Segunda ley de Newton 894.4 Tercera ley de Newton 954.5 Aplicaciones de las leyes de Newton 984.6 Fuerzas de fricción 105Resumen 112

CAPÍTULO 5 Energía 124

5.1 Trabajo 1245.2 Energía cinética y el teorema trabajo-energía 1295.3 Energía potencial gravitacional 1325.4 Energía potencial elástico 1405.5 Sistemas y conservación de la energía 1455.6 Potencia 1475.7 Trabajo realizado por una fuerza variable 152Resumen 154

CAPÍTULO 6 Cantidad de movimientoy colisiones 167

6.1 Cantidad de movimiento e impulso 1676.2 Conservación de la cantidad de movimiento 172

6.3 Colisiones 1756.4 Colisiones tangenciales 1826.5 Propulsión de cohete 184Resumen 187

CAPÍTULO 7 Movimiento rotatorioy la ley de gravedad 198

7.1 Velocidad angular y aceleración angular 1987.2 Movimiento rotatorio con aceleración angular constante 2027.3 Relaciones entre cantidades angulares y lineales 2037.4 Aceleración centrípeta 2077.5 Gravitación newtoniana 2147.6 Leyes de Kepler 221Resumen 224

CAPÍTULO 8 Equilibrio y dinámica rotatorios 235

8.1 Torque 2358.2 Torque y las dos condiciones de equilibrio 2408.3 Centro de gravedad 2418.4 Ejemplos de objetos en equilibrio 2448.5 Relación entre el torque y la aceleración angular 2478.6 Energía cinética rotatoria 2548.7 Momento angular 257Resumen 261

CAPÍTULO 9 Sólidos y fluidos 277

9.1 Estados de la materia 277 9.2 Densidad y presión 279 9.3 Deformación de sólidos 282 9.4 Variación de la presión con la profundidad 288 9.5 Mediciones de la presión 292 9.6 Fuerzas de empuje y principio de Arquímedes 293 9.7 Fluidos en movimiento 299 9.8 Otras aplicaciones de la dinámica de fluidos 305 9.9 Tensión superficial, acción capilar y flujo de fluidos viscosos 3089.10 Fenómenos de transporte 315Resumen 319

PARTE 2 | Termodinámica

CAPÍTULO 10 Física térmica 331

10.1 Temperatura y la ley cero de la termodinámica 33210.2 Termómetros y escalas de temperatura 33310.3 Expansión térmica de sólidos y líquidos 33710.4 Descripción macroscópica de un gas ideal 34310.5 Teoría cinética de los gases 348Resumen 354

CAPÍTULO 11 Energía en procesos térmicos 362

11.1 Calor y energía interna 36211.2 Calor específico 36511.3 Calorimetría 36711.4 Calor latente y cambio de fase 36911.5 Transferencia de energía 37511.6 Calentamiento global y gases de efecto invernadero 385Resumen 386

vi Contenido

CAPÍTULO 12 Leyes de la termodinámica 395

12.1 Trabajo en procesos termodinámicos 39512.2 Primera ley de la termodinámica 39812.3 Procesos térmicos 40112.4 Máquinas térmicas y la segunda ley de la termodinámica 41012.5 Entropía 41812.6 Metabolismo humano 424Resumen 427

PARTE 3 | Vibraciones y ondas

CAPÍTULO 13 Vibraciones y ondas 437

13.1 Ley de Hooke 437 13.2 Energía potencial elástica 441 13.3 Comparación del movimiento armónico simple con el

movimiento circular uniforme 445 13.4 Posición, velocidad y aceleración como una función

del tiempo 449 13.5 Movimiento de un péndulo 451 13.6 Oscilaciones amortiguadas 454 13.7 Ondas 455 13.8 Frecuencia, amplitud y longitud de onda 458 13.9 Velocidad de ondas sobre cuerdas 45913.10 Interferencia de ondas 46113.11 Reflexión de ondas 462Resumen 463

CAPÍTULO 14 Sonido 473

14.1 Producción de ondas de sonido 473 14.2 Características de las ondas de sonido 474 14.3 La velocidad del sonido 476 14.4 Energía e intensidad de las ondas de sonido 478 14.5 Ondas esféricas y planas 481 14.6 El efecto Doppler 482 14.7 Interferencia de las ondas de sonido 488 14.8 Ondas estacionarias 489 14.9 Vibraciones forzadas y resonancia 49414.10 Ondas estacionarias en columnas de aire 49514.11 Pulsaciones 49914.12 Calidad del sonido 50014.13 El oído 502Resumen 503

PARTE 4 | Electricidad y magnetismo

CAPÍTULO 15 Fuerzas eléctricas y campos eléctricos 513

15.1 Propiedades de las cargas eléctricas 51415.2 Aislantes y conductores 51515.3 Ley de Coulomb 51715.4 El campo eléctrico 52215.5 Líneas de campo eléctrico 52615.6 Conductores en equilibrio electrostático 52915.7 El experimento de la gota de aceite de Millikan 53115.8 El generador Van de Graaff 53215.9 Flujo eléctrico y ley de Gauss 533Resumen 539

CAPÍTULO 16 Energía eléctrica y capacitancia 548

16.1 Diferencia de potencial y potencial eléctrico 54816.2 Potencial eléctrico y energía potencial debida a cargas

puntuales 55516.3 Potenciales y conductores cargados 55816.4 Superficies equipotenciales 559

16.5 Aplicaciones 56016.6 Capacitancia 56216.7 El capacitor de placas paralelas 56316.8 Combinaciones de capacitores 56516.9 Energía almacenada en un capacitor cargado 57116.10 Capacitores con dieléctricos 573Resumen 579

CAPÍTULO 17 Corriente y resistencia 590

17.1 Corriente eléctrica 59017.2 Visión microscópica: corriente y velocidad de deriva 59317.3 Medición de corriente y voltaje en circuitos 59517.4 Resistencia, resistividad y ley de Ohm 59617.5 Variación de la resistencia con la temperatura 59917.6 Energía eléctrica y potencia 60117.7 Superconductores 60417.8 Actividad eléctrica en el corazón 605Resumen 608

CAPÍTULO 18 Circuitos de corriente directa 616

18.1 Fuentes de fem 61618.2 Resistores en serie 61718.3 Resistores en paralelo 62018.4 Reglas de Kirchhoff y circuitos CD complejos 62518.5 Circuitos RC 62918.6 Circuitos domésticos 63318.7 Seguridad eléctrica 63418.8 Conducción de señales eléctricas por las neuronas 635Resumen 638

CAPÍTULO 19 Magnetismo 648

19.1 Imanes 64819.2 Campo magnético de la Tierra 65019.3 Campos magnéticos 65219.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador

de corriente 65519.5 Torque sobre una espira de corriente y motores eléctricos 65819.6 Movimiento de una partícula cargada en un campo

magnético 66119.7 Campo magnético de un alambre largo recto y ley

de Ampère 66419.8 Fuerza magnética entre dos conductores paralelos 66719.9 Campos magnéticos de espiras de corriente y solenoides 66919.10 Dominios magnéticos 673Resumen 675

CAPÍTULO 20 Voltajes inducidos e inductancia 688

20.1 Fem inducida y flujo magnético 68820.2 Ley de inducción de Faraday y ley de Lenz 69120.3 Fem de movimiento 69720.4 Generadores 70120.5 Autoinductancia 70520.6 Circuitos RL 70720.7 Energía almacenada en un campo magnético 711Resumen 712

CAPÍTULO 21 Circuitos de corriente alterna y ondas electromagnéticas 723

21.1 Resistores en un circuito CA 72321.2 Capacitores en un circuito CA 72721.3 Inductores en un circuito CA 72821.4 El circuito RLC en serie 73021.5 Potencia en un circuito CA 73421.6 Resonancia en un circuito RLC en serie 73521.7 El transformador 73721.8 Predicciones de Maxwell 739

| Prefacio vii

21.9 Confirmación de Hertz de las predicciones de Maxwell 74021.10 Producción de ondas electromagnéticas mediante una antena 74121.11 Propiedades de las ondas electromagnéticas 74221.12 El espectro de ondas electromagnéticas 74621.13 El efecto Doppler para ondas electromagnéticas 750Resumen 750

PARTE 5 | Luz y óptica

CAPÍTULO 22 Reflexión y refracción de la luz 761

22.1 La naturaleza de la luz 76122.2 Reflexión y refracción 76222.3 La ley de refracción 76722.4 Dispersión y prismas 77122.5 El arco iris 77422.6 Principio de Huygens 77522.7 Reflexión interna total 777Resumen 780

CAPÍTULO 23 Espejos y lentes 790

23.1 Espejos planos 79023.2 Imágenes formadas por espejos cóncavos 79323.3 Espejos convexos y convenciones de signo 79523.4 Imágenes formadas por refracción 80123.5 Refracción atmosférica 80323.6 Lentes delgadas 80423.7 Aberraciones de lentes y espejos 814Resumen 815

CAPÍTULO 24 Óptica ondulatoria 824

24.1 Condiciones para interferencia 82424.2 Experimento de doble rendija de Young 82524.3 Cambio de fase debido a reflexión 82924.4 Interferencia en películas delgadas 83024.5 Uso de interferencia para leer CD y DVD 83524.6 Difracción 83624.7 Difracción de una sola rendija 83724.8 La rejilla de difracción 83924.9 Polarización de ondas de luz 842Resumen 849

CAPÍTULO 25 Instrumentos ópticos 859

25.1 La cámara 85925.2 El ojo 86025.3 El amplificador simple 86525.4 El microscopio compuesto 86625.5 El telescopio 86825.6 Resolución de aperturas de una sola rendija y circulares 87125.7 El interferómetro Michelson 876Resumen 877

PARTE 6 | Física moderna

CAPÍTULO 26 Relatividad 885

26.1 Relatividad galileana 88526.2 La velocidad de la luz 88626.3 Principio de relatividad de Einstein 88826.4 Consecuencias de la relatividad especial 88926.5 Cantidad de movimiento relativista 89726.6 Velocidad relativa en la relatividad especial 89826.7 Energía relativista y equivalencia de masa y energía 89926.8 Relatividad general 903Resumen 905

CAPÍTULO 27 Física cuántica 911

27.1 Radiación de cuerpo negro e hipótesis de Planck 91127.2 El efecto fotoeléctrico y la teoría corpuscular de la luz 91327.3 Rayos X 91627.4 Difracción de rayos X mediante cristales 91827.5 El efecto Compton 92027.6 La naturaleza dual de la luz y la materia 92227.7 La función de onda 92527.8 El principio de incertidumbre 926Resumen 928

CAPÍTULO 28 Física atómica 934

28.1 Primeros modelos del átomo 93428.2 Espectros atómicos 93528.3 El modelo de Bohr 93728.4 Mecánica cuántica y el átomo de hidrógeno 94228.5 El principio de exclusión y la tabla periódica 94528.6 Rayos X característicos 94728.7 Transiciones atómicas y láseres 949Resumen 951

CAPÍTULO 29 Física nuclear 957

29.1 Algunas propiedades del núcleo 95729.2 Energía de enlace 96029.3 Radiactividad 96229.4 Los procesos de decaimiento 96529.5 Radiactividad natural 97129.6 Reacciones nucleares 97129.7 Aplicaciones médicas de la radiación 973Resumen 976

CAPÍTULO 30 Energía nuclear y partículas elementales 982

30.1 Fisión nuclear 98230.2 Fusión nuclear 98630.3 Partículas elementales y las fuerzas fundamentales 98930.4 Positrones y otras antipartículas 99030.5 Clasificación de partículas 99030.6 Leyes de conservación 99230.7 El método óctuple 99530.8 Quarks y color 99530.9 Teoría electrodébil y el modelo estándar 99730.10 La conexión cósmica 99930.11 Preguntas sin responder en cosmología 100030.12 Problemas y perspectivas 1003Resumen 1004

APÉNDICE A: Repaso matemático A.1

APÉNDICE B: Tabla abreviada de isótopos A.14

APÉNDICE C: Algunas tablas útiles A.19

APÉNDICE D: Unidades SI A.21

APÉNDICE E: Guía de estudio para adquirir habilidades MCAT A.22

Respuestas a los exámenes rápidos, preguntas de ejemplo, preguntas impares, preguntas de opción múltiple, preguntas conceptuales y problemas A.52

Índice I.1

4

86

© S

uzan

n Ju

lien.

Util

izad

o ba

jo li

cenc

ia d

e Sh

utte

rsto

ck.c

om

Por la aplicación de forma

intuitiva de las leyes de

Newton de movimiento, estos

dos borregos cimarrones

compiten para ser el macho

dominante. Cada uno de ellos

ejerce fuerzas contra la Tierra a

través de esfuerzos musculares

de sus piernas, con la ayuda de

las fuerzas de fricción que les

impiden el deslizamiento.

Las fuerzas de reacción de la

Tierra actúan de nuevo en los

borregos y hacen que se lancen

hacia adelante y se den un tope.

El objetivo es forzar al borrego

oponente a perder el equilibrio.

La mecánica clásica describe la relación entre el movimiento de objetos encontrados en nues-tro mundo cotidiano y las fuerzas que actúan en ellos. Siempre y cuando el sistema bajo estudio no involucre objetos comparables en tamaño a un átomo o viajando casi con la rapidez de la luz, la mecánica clásica proporciona una excelente descripción de la naturaleza.

Este capítulo introduce las tres leyes de movimiento de Newton y de la gravedad. Las tres leyes son naturales y razonables. La primera ley establece que debe aplicarse una fuerza a un objeto con la finalidad de cambiar su velocidad. Cambiar la velocidad de un objeto significa ace-lerarlo, lo que da a entender una correspondencia entre fuerza y aceleración. Ésta, la segunda ley, establece que la fuerza neta sobre un objeto es igual a la masa del objeto por su aceleración. Por último, la tercera ley menciona que tan pronto como se empuja algo, este impulso regresa con igual fuerza en la dirección opuesta. En pocas palabras, éstas son las tres leyes.

Las tres leyes de Newton, junto con su invención del cálculo, abren rutas de investigación y descubrimiento que se aplican habitualmente hoy en día en todas las áreas de las matemáti-cas, ciencias, ingeniería y la tecnología. La teoría de la gravitación universal de Newton tiene un impacto parecido, inicia una revolución en la mecánica del espacio y en la astronomía que continúa hasta nuestros días. Con el surgimiento de esta teoría, podrían ser calculadas con gran precisión las órbitas de todos los planetas y comprender las mareas. Incluso la teoría conduce a la predicción de “estrellas negras”, ahora conocidos como hoyos negros, se observó hace más de dos siglos antes de cualquier evidencia de su existencia.1 Las tres leyes de movimiento de Newton, junto con su ley de la gravitación, se consideran entre los logros más grandes de la mente humana.

Leyes de movimiento4.1 Fuerzas

4.2 Primera ley de Newton

4.3 Segunda ley de Newton

4.4 Tercera ley de Newton

4.5 Aplicaciones de las leyes

de Newton

4.6 Fuerzas de fricción

1 En 1783, John Michell combinó la teoría de Newton de la luz y la teoría de la gravitación, vaticinando la existencia de

“estrellas negras” de las que la luz misma no podría escapar.

4.1 | Fuerzas 87

4.1 FuerzasUsualmente imaginamos una fuerza como empujar o jalar un objeto, tal vez rápidamente,

como cuando se golpea una pelota de tenis con una raqueta. (Véase la figura 4.1.) Pode-

mos golpear la pelota, con diferentes magnitudes de velocidad, y dirigirla a diferentes

partes de la cancha del oponente. Esto significa que se puede controlar la magnitud de la

fuerza aplicada y también su dirección, de tal manera que la fuerza es una cantidad vecto-

rial, parecida a la velocidad y aceleración.

Si usted jala un resorte (figura 4.2a), el resorte se deforma. Si jala un carro lo suficiente

(figura 4.2b), éste se mueve. Cuando patea un balón (figura 4.2c), se deforma por corto

tiempo y se pone en movimiento. Todos éstos son ejemplos de fuerzas de contacto, llama-

das así porque resultan del contacto físico entre dos objetos.

Otra clase de fuerzas no implica contacto físico directo alguno. Los primeros cientí-

ficos, incluido Newton, se inquietaron con el concepto de fuerzas que actúan entre dos

objetos desconectados. Con todo, Newton aplicó el concepto “acción a distancia” en su

ley de la gravedad, mientras que una masa con determinada ubicación, por ejemplo el

Sol, afecta el movimiento de un objeto distante, como la Tierra, a pesar de que no existe

conexión física evidente entre los dos objetos. Para vencer la dificultad conceptual aso-

ciada con la acción a distancia, Michael Faraday (1791-1867) introduce el concepto de

campo. Las fuerzas correspondientes se conocen como campos de fuerza. De acuerdo con

este planteamiento, un objeto de masa M, como el Sol, crea una influencia invisible que

se extiende en todo el espacio. Un segundo objeto de masa m, como la Tierra, interactúa

con el campo del Sol, no directamente con el Sol mismo. De esta manera la fuerza de atrac-

ción gravitacional entre los dos objetos, que se ilustra en la figura 4.2d, es un ejemplo de

un campo de fuerza. La fuerza de gravedad mantiene objetos unidos a la Tierra, además

de originar lo que conocemos como peso de esos objetos.

Otro ejemplo común de un campo de fuerza es la fuerza eléctrica que ejerce una carga

eléctrica sobre otra (figura 4.2e). Un tercer ejemplo es la fuerza ejercida por un imán de

barra en una pieza de hierro (figura 4.2f).

Todas las fuerzas fundamentales conocidas en la naturaleza son campos de fuerza.

Éstas son, en orden de intensidad decreciente, 1) la fuerza nuclear fuerte entre partículas

subatómicas, 2) las fuerzas electromagnéticas entre cargas eléctricas, 3) la fuerza nuclear

débil que surge en ciertos procesos de decaimiento radiactivo y 4) la fuerza gravitacional

entre objetos. La fuerza fuerte mantiene el núcleo de un átomo en vuelo separado debido

a la fuerza eléctrica repulsiva de los protones. La fuerza débil se incluye en la mayoría de

los procesos radiactivos y juega un papel importante en las reacciones nucleares que gene-

ra la emisión energética del Sol. Las fuerzas fuerte y débil funcionan sólo a escala nuclear,

con un alcance muy corto del orden de 10215 m. Fuera de este alcance, no tienen influen-

cia. De cualquier modo, la física clásica sólo se relaciona con las fuerzas gravitacional y

electromagnética, que tienen un alcance infinito.

Figura 4.1 Una jugadora de

tenis aplica una fuerza de con-

tacto de la bola con la raqueta,

acelerando y dirigiendo la pelota

hacia la cancha.

Figura 4.2 Ejemplo de fuerzas

aplicadas a diferentes objetos. En

cada caso, una fuerza actúa en el

objeto al que rodea la línea disconti-

nua. Algo en el ambiente externo al

área en la caja ejerce la fuerza.

b c

M

Campos de fuerza

d

�qm �Q

e

Hierro N S

f

Fuerzas de contacto

a

Juer

gen

Hase

nkop

f/Al

amy

88 CAPÍTULO 4 | Leyes de movimiento

Las fuerzas ejercidas en un objeto pueden cambiar la forma del mismo. Por ejemplo,

el golpear una pelota de tenis con una raqueta, como en la figura 4.1, deforma la pelota

en cierto grado. Incluso objetos que por lo general se consideran rígidos e inflexibles se

deforman bajo la acción de fuerzas externas. Con frecuencia las deformaciones son per-

manentes, como el caso de un choque entre automóviles.

4.2 Primera ley de NewtonConsidere un libro sobre una mesa. Es evidente que el libro permanece en reposo si se

deja solo. Ahora piense que lo empuja con una fuerza horizontal lo suficientemente gran-

de para vencer la fuerza de fricción entre el libro y la mesa, poniendo el libro en mo-

vimiento. Ya que la magnitud de la fuerza aplicada supera la magnitud de la fuerza de

fricción, el libro acelera. Cuando la fuerza aplicada es retirada, en breve la fricción retrasa

el libro hasta detenerlo.

Ahora piense en empujar el libro a lo largo de un piso suave y encerado. Una vez más

el libro llega al reposo una vez que la fuerza deja de aplicarse, pero no tan rápido como

antes. Por último, si el libro se mueve sobre una superficie sin fricción horizontal (figura

4.3b), continúa moviéndose en una línea recta con velocidad constante hasta que golpea

una pared o algún otro obstáculo.

Antes del año 1600, los científicos pensaban que el estado natural de la materia era

el estado de reposo. No obstante, Galileo concibió experimentos (como un objeto móvil

sobre una superficie sin fricción, recién descrito) y concluyó que no es la naturaleza de

un objeto detenerse, una vez que se pone en movimiento, sino que continúa en su estado

original de movimiento. Este planteamiento después se formalizó como la primera ley de

movimiento de Newton:

Un objeto se mueve con una velocidad que es constante en magnitud y en dirección,

a no ser que actúe en él una fuerza resultante diferente de cero.

La fuerza neta sobre un objeto se define como la suma vectorial de todas las fuerzas ex-

ternas ejercidas sobre el objeto. Las fuerzas externas vienen del ambiente del objeto. Si

una velocidad del objeto no está cambiando ya sea en magnitud o dirección, entonces la

aceleración y la fuerza neta que actúan sobre él deben ser cero.

Las fuerzas internas se originan dentro del objeto mismo y no pueden cambiar la ve-

locidad del objeto (aunque pueden alterar la rapidez de rotación, como se describe en el

Primera ley de Newton c

Física Física FísicaFísicavS

fS

Física vS

a

b

Física Física

Primera ley: no hay fuerza neta,

no hay cambio en la velocidad.

Primera ley: cuando una fuerza neta

es aplicada, la velocidad cambia.

Figura 4.3 La primera ley del

movimiento. a) Un libro se mueve a

una velocidad inicial vS

en una super-

ficie de fricción. Debido a que hay

una fuerza de fricción en dirección

horizontal, el libro se desacelera

hasta el reposo. b) Un libro se mueve

a una velocidad vS

sobre una super-

ficie sin fricción. En la ausencia de

una fuerza neta, el libro se sigue

moviendo a una velocidad v.

4.3 | Segunda ley de Newton 89

capítulo 8). Como resultado, las fuerzas internas no están incluidas en la segunda ley de

Newton. En realidad no es posible que se “jale usted mismo hacia arriba sin ayuda”.

Una consecuencia de la primera ley es la factibilidad de viajar en el espacio. Después

de unos momentos de potentes impulsos, la nave se desliza por meses o años, su velocidad

sólo disminuye cambiando con el tiempo bajo la influencia relativamente débil del Sol y

los planetas distantes.

Masa e inerciaPiense que golpea una pelota de golf desde el punto de partida, con un palo de golf. Si es

un buen golfista, la pelota viajará más de 200 yardas sobre el campo de golf. Ahora piense en

levantar una bola de boliche y golpearla con el mismo palo (un experimento que no se reco-

mienda). Probablemente el palo se rompa, podría dislocarse la muñeca, y la bola de boliche,

en el mejor de los casos, caería del soporte de la pelota, medio girará y llegará al reposo.

A partir de este experimento mental, concluimos que aunque ambas pelotas resisten

cambios en su estado de movimiento, la bola de boliche ofrece mucha más resistencia efec-

tiva. La tendencia de un objeto a continuar en su estado original de movimiento o reposo

se conoce como inercia.

Aunque la inercia es la tendencia de un objeto a continuar su movimiento en ausencia de

una fuerza, la masa es una medida de la resistencia de un objeto a cambiar en su movimiento

debido a una fuerza. A mayor masa de un cuerpo, menor es la aceleración bajo la acción

de una fuerza aplicada determinada. La unidad SI de la masa es el kilogramo. Masa es una

cantidad escalar que obedece las reglas de la aritmética ordinaria.

La inercia se puede usar para explicar la operación de una clase de cinturón de segu-

ridad. En un accidente, el propósito del cinturón de seguridad es mantener de manera

firme al pasajero en el lugar relativo al automóvil, para evitar lesiones serias. La figura 4.4

explica cómo funciona una clase de tirantes de sujeción. Bajo condiciones normales, la

rueda dentada da vueltas libremente, lo que permite que la montura se enrolle o desenro-

lle desde la polea cuando se mueve el pasajero. En un accidente, el automóvil se somete a

una aceleración considerable y rápidamente llega al reposo. Debido a su inercia, el bloque

grande bajo el asiento continua deslizándose hacia adelante a lo largo del carril. El pasa-

dor de unión entre el bloque y la varilla ocasiona que ésta gire alrededor de su centro y

encajar la rueda dentada. En este punto, la rueda dentada se traba en el lugar, y la montura

no se desenrolla.

4.3 Segunda ley de NewtonLa primera ley de Newton explica qué le sucede a un objeto que no tiene fuerza neta que

actúe en él, ya sea que el objeto permanezca en reposo o continúe moviéndose en línea

recta con rapidez constante. La segunda ley de movimiento de Newton responde a la pre-

gunta de qué le sucede a un objeto que tiene una fuerza neta que actúa en él.

Piense en empujar un bloque de hielo a lo largo de una superficie horizontal sin fric-

ción. Cuando ejerce una fuerza horizontal sobre el bloque, éste se mueve con una acele-

ración de, digamos, 2 m/s2. Si aplica una fuerza dos veces más grande, la aceleración se

duplica a 4 m/s2. Empujando tres veces tan firme, triplica la aceleración, y así sucesivamen-

te. De tales observaciones, se concluye que la aceleración de un objeto es directamente

proporcional a la fuerza neta que actúa en él.

La masa también afecta a la aceleración. Suponga que coloca bloques idénticos de

hielo uno sobre otro mientras empuja con fuerza constante la pila de ellos. Si la fuerza

aplicada a un bloque produce una aceleración de 2 m/s2, entonces la aceleración cae a

la mitad de ese valor, 1 m/s2, cuando dos bloques son empujados; a un tercio de su valor

inicial cuando son empujados tres bloques, y así sucesivamente. Podemos concluir que la

aceleración de un objeto es inversamente proporcional a su masa. Estas observaciones son

resumidas en la segunda ley de Newton:

La aceleración aS

de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que

actúa en él e inversamente proporcional a su masa.

b Segunda ley de Newton

A no ser que actúe una fuerza

externa en él, un objeto en reposo

permanecerá en reposo y un

objeto en movimiento continuará

en movimiento con velocidad

constante. En este caso, la pared

del edificio no ejerció una fuerza

lo suficientemente grande sobre

el tren en movimiento para

detenerlo.

Stud

io L

évy

and

Sons

Figura 4.4 Un arreglo mecánico

para un cinturón de seguridad de

un automóvil.

Polea

Rueda

dentada

Pasador

de unión

Bloque

grande

Cinturón

de

seguridad

Varilla

Pivote

Carril

APLICACIÓNCinturón de seguridad

Tip 4.1 La fuerza ocasiona cambios en el movimiento El movimiento se puede presentar

incluso en ausencia de fuerzas.

Éstas ocasionan cambios en el

movimiento.


La constante de proporcionalidad es igual a uno; de este modo, en términos matemáticos

el enunciado anterior puede ser rescrito

5o F

m

S

aS

donde aS

es la aceleración del objeto, m es la masa y oFS

es la suma vectorial de todas las

fuerzas que actúan en él. Multiplicando por m, se tiene

oFS

5 maS

[4.1]

Generalmente los físicos se refieren a esta ecuación como ‘F 5 ma’. La figura 4.5 mues-

tra la relación entre la masa, la aceleración y la fuerza neta. La segunda ley es una ecuación

vectorial, equivalente a las tres ecuaciones por componente siguientes:

o Fx 5 max o Fy 5 may o Fz 5 maz [4.2]

Cuando no existe fuerza neta en un objeto, su aceleración es cero, lo que significa que

la velocidad es constante.

Unidades de fuerza y masaLa unidad SI de la fuerza es el newton. Cuando 1 newton de fuerza actúa sobre un objeto

que tiene una masa de 1 kg, produce una aceleración de 1 m/s2 en el objeto. A partir de

esta definición y la segunda ley de Newton, se ve que el newton puede expresarse en térmi-

nos de las unidades básicas de masa, longitud y tiempo como

1 N ; 1 kg ? m/s2 [4.3]

En el sistema estandarizado de Estados Unidos, la unidad de fuerza es la libra. La con-

versión de newtons a libras está dada por

1 N 5 0.225 lb [4.4]

Las unidades de masa, aceleración y fuerza en el SI y el sistema estandarizado en Esta-

dos Unidos se resumen en la tabla 4.1.

Isaac NewtonFísico y matemático inglés

(1642-1727)

Newton fue uno de los más talen-

tosos científicos. Antes de cumplir

30 años, estableció los conceptos

básicos y las leyes de la mecánica,

descubrió la ley de la gravitación

universal e inventó los métodos

matemáticos del cálculo. Como una

consecuencia de sus teorías, Newton

fue capaz de explicar los movimien-

tos de los planetas, el retroceso y

flujo de las mareas y muchas caracte-

rísticas especiales de los movimien-

tos de la Luna y la Tierra. Además,

interpretó muchas observaciones

fundamentales relacionadas con la

naturaleza de la luz. Sus contribucio-

nes a las teorías físicas dominaron el

pensamiento científico por dos siglos

y siguen siendo importantes hoy.

Brid

gem

an-G

iraud

on/A

rt R

esou

rce,

NY

maS

�FS

Figura 4.5 La segunda ley del movimiento. Para el blo-

que de masa m, la fuerza neta SFS

actúa sobre el bloque es

igual a la de masa m multiplicada por la aceleración de un

vector aS

.

Tip 4.2 maS no es una fuerza

La ecuación 4.1 no dice que

el producto maS

es una fuerza.

Todas las fuerzas ejercidas en un

objeto se suman como vectores

para generar la fuerza neta del

lado izquierdo de la ecuación.

En este caso esta fuerza neta es

igual al producto de la masa y la

aceleración resultante del objeto.

No incluye una “fuerza maS

” en su

análisis.

■ Examen rápido

4.1 ¿Cuál de los enunciados que siguen son verdaderos? a) Un objeto puede moverse

incluso cuando ninguna fuerza actúa sobre él. b) Si un objeto no está en movimiento,

ninguna fuerza externa actúa en él. c) Si una fuerza simple actúa en un objeto, el

objeto acelera. d) Si un objeto acelera, una fuerza está actuando en él. e) Si un objeto

no está acelerando, ninguna fuerza externa está actuando en él. f) Si la fuerza neta

que actúa en un objeto está en la dirección x positiva, el objeto sólo se mueve en la

dirección x positiva.

Tabla 4.1 Unidades de masa, aceleración y fuerza

Sistema Masa Aceleración Fuerza

SI

Habitual en Estados Unidos

kg

slugm/s2

pies/s2

N 5 kg ? m/s2

lb 5 slug ? pies/s2

■ EJEMPLO 4.1 Aerobote

OBJETIVO Aplicar la segunda ley de Newton en una dimensión, junto con las ecuaciones de cinemática.

PROBLEMA Un aerobote con masa 3.50 3 102 kg, incluyendo pasajeros, tiene un motor que produce una fuerza horizontal

neta de 7.70 3 102 N después de considerar las fuerzas de resistencia (véase la figura 4.6). a) Hallar la aceleración del aerobote.


b) Partiendo desde el reposo, ¿cuánto tiempo le toma al aerobote alcanzar

una rapidez de 12.0 m/s? c) Después de alcanzar esta rapidez, el piloto

apaga el motor, y el aerobote se desliza hasta detenerse en una distancia de

50.0 m. Encontrar la fuerza de resistencia, suponiendo que es constante.

ESTRATEGIA En el inciso a), aplique la segunda ley de Newton para

hallar la aceleración, y en el inciso b) utilice esta aceleración en la ecua-

ción cinemática en una dimensión para la velocidad. Cuando se apaga el

motor en el inciso c), sólo las fuerzas de resistencia actúan en el bote, de

tal modo que su aceleración neta puede ser encontrada a partir de v2 2

v02 5 2a x. En tal caso la segunda ley de Newton proporciona la fuerza

de resistencia.

SOLUCIÓNa) Halle la aceleración del aerobote.

Aplique la segunda ley de Newton y resuelva para la

aceleración:

b) Encuentre el tiempo necesario para alcanzar una rapidez

de 12.0 m/s.

Aplique la ecuación de velocidad cinemática: v 5 at 1 v0 5 (2.20 m/s2)t 5 12.0 m/s S t 5 5.45 s

c) Halle la fuerza de resistencia después de apagar el

motor.

Utilizando la cinemática, determine la aceleración neta

debido a las fuerzas de resistencia:

Sustituya la aceleración en la segunda ley de Newton,

encontrando la fuerza de resistencia:

v2 2 v02 5 2a Dx

0 2 (12.0 m/s)2 5 2a(50.0 m) S a 5 21.44 m/s2

Fresistencia 5 ma 5 (3.50 3 102 kg)(21.44 m/s2) 5 2504 N

COMENTARIOS El propulsor ejerce una fuerza en el aire, empujándolo detrás del bote.

Al mismo tiempo, la fuerza del aire ejerce una fuerza en los impulsores y, en consecuen-

cia, en el aerobote. Las fuerzas siempre vienen en pares de esta clase, las cuales se forma-

lizan en la siguiente sección como la tercera ley de movimiento de Newton. La respuesta

negativa para la aceleración en el inciso c) significa que el aerobote está disminuyendo

su velocidad.

PREGUNTA 4.1 ¿Qué otras fuerzas actúan en el aerobote? Descríbalas.

EJERCICIO 4.1 Considere que el piloto, iniciando desde el reposo, abre parcialmente

el estrangulamiento. Con una aceleración constante, el aerobote cubre una distancia de

60.0 m en 10.0 s. Determine la fuerza neta que actúa en el bote.

RESPUESTA 4.20 3 102 N

ma 5 Fneta S a 5Fneta

m5

7.70 3 102 N3.50 3 102 kg

5 2.20 m/s2

Fpropulsión

S

Fresistencia

S

Propela

Figura 4.6 (Ejemplo 4.1)

Tip 4.3 La segunda ley de Newton es una ecuación vectorialAl aplicar la segunda ley de

Newton, suma todas las fuerzas

sobre el objeto como vectores y

entonces determine el vector de

aceleración resultante al dividir

entre m. No encuentre las magni-

tudes individuales de las fuerzas y

las sume como escalares.

■ EJEMPLO 4.2 Caballos jalando una barcaza

OBJETIVO Aplicar la segunda ley de Newton en un problema

de dos dimensiones.

PROBLEMA Dos caballos están jalando una barcaza con

masa de 2.00 3 103 kg a lo largo de un canal, como se mues-

tra en la figura 4.7. El cable conectado al primer caballo hace

un ángulo de u1 5 30.0° con respecto a la dirección del canal,

mientras que el cable conectado al segundo caballo hace un

ángulo de u2 5 45.0°. Determine la aceleración inicial de la

barcaza, empezando desde el reposo, si cada caballo ejerce

una fuerza de magnitud 6.00 3 102 N sobre la barcaza. Despre-

cie las fuerzas de resistencia en la barcaza.

ESTRATEGIA Aplicando trigonometría, determine el vector

fuerza ejercido por cada caballo sobre la barcaza. Sume las

y

x

F1

S

F2

S

u1

u2

Figura 4.7 (Ejemplo 4.2)

(continúa)


La fuerza gravitacionalLa fuerza gravitacional es la fuerza de atracción recíproca entre dos objetos cualesquiera

en el Universo. Aunque la fuerza gravitacional puede ser muy intensa entre dos objetos

muy grandes, es la más débil de las fuerzas fundamentales. Se puede realizar una buena de-

mostración de qué tan débil es, con un globo pequeño. Frote el globo contra su cabello, lo

que le proporciona una carga eléctrica diminuta. A través de las fuerzas eléctricas, en este

caso el globo se adhiere a la pared, ¡resistiendo el jaloneo gravitacional de toda la Tierra!

Además de la contribución a la comprensión del movimiento, Newton estudió amplia-

mente la gravedad. La ley de gravitación universal de Newton establece que cualquier par-

tícula en el Universo atrae a cualquier otra partícula, con una fuerza que es proporcional

al producto de las masas de las partículas e inversamente proporcional al cuadrado de la

Ley de gravitación universal c

componentes x juntas para obtener la componente x de la fuerza resultante y después haga lo mismo con la componente y. Divida entre la masa de la barcaza para obtener la aceleración en las direcciones x y y.

SOLUCIÓNDetermine los componentes x de las fuerzas ejercidas por

los caballos.F1x 5 F1 cos u1 5 (6.00 3 102 N) cos (30.0°) 5 5.20 3 102 N

F2x 5 F2 cos u2 5 (6.00 3 102 N) cos (245.0°) 5 4.24 3 102 N

Encuentre la fuerza total en la dirección x, sumando las

componentes x: Fx 5 F1x 1 F2x 5 5.20 3 102 N 1 4.24 3 102 N

5 9.44 3 102 N

Determine las componentes y de las fuerzas ejercidas por

los caballos: F1y 5 F1 sen u1 5 (6.00 3 102 N) sen 30.0° 5 3.00 3 102 N

F2y 5 F2 sen u2 5 (6.00 3 102 N) sen (245.0°)

5 24.24 3 102 N

Encuentre la fuerza total en la dirección y sumando las

componentes y:Fy 5 F1y 1 F2y 5 3.00 3 102 N 2 4.24 3 102 N

5 21.24 3 102 N

Determine los componentes de la aceleración, dividiendo

los componentes de la fuerza entre la masa:

Halle la magnitud de la aceleración:

Determine la dirección de la aceleración:

COMENTARIOS Observe que el ángulo está en el cuarto cuadrante, en el rango de la función tangente inversa; así que no

es necesario sumar 180° a la respuesta. Los caballos ejercen una fuerza sobre la barcaza a través de la tensión en los cables,

mientras la barcaza ejerce una fuerza igual y opuesta en los caballos, una vez más a través de los cables. Si esto no fuera

cierto, los caballos se moverían fácilmente hacia adelante, como si no tuvieran carga. Este ejemplo es otra ilustración de

fuerzas que actúan en pares.

PREGUNTA 4.2 Verdadero o Falso: En general, la aceleración neta siempre está dirigida hacia los caballos que ejercen la

fuerza de mayor magnitud.

EJERCICIO 4.2 Repita el ejemplo 4.2, pero considere que el caballo de arriba jala en un ángulo de 40.0°, y el caballo de

abajo, a 20.0°.

RESPUESTA 0.520 m/s2, 10.0°

ax 5Fx

m5

9.44 3 102 N

2.00 3 103 kg5 0.472 m/s2

ay 5Fy

m5

21.24 3 102 N

2.00 3 103 kg5 20.062 0 m/s2

a 5 "ax2 1 ay

2 5 "10.472 m/s2 22 1 120.062 0 m/s2 22

5 0.476 m/s2

tan u 5 ay

ax5

20.062 0 m/s2

0.472 m/s25 20.131

u 5 tan21(20.131) 5 27.46°


distancia entre ellas. Si las partículas tienen masas m1 y m2 y están separadas mediante una

distancia r, como en la figura 4.8, la magnitud de la fuerza gravitacional, Fg, es

Fg 5 G m 1m 2

r 2 [4.5]

donde G 5 6.67 3 10211 N ? m2/kg2 es la constante de gravitación universal. La fuerza de

gravitación la estudiaremos en más detalle en el capítulo 7.

PesoLa magnitud de la fuerza gravitacional que actúa en un objeto de masa m cerca de la

superficie de la Tierra se le conoce como peso, w, del objeto, dada por

w 5 mg [4.6]

donde g es la aceleración de la gravedad.

Unidades SI: newton (N)

De la ecuación 4.5, otra definición del peso de un objeto con masa m puede ser rescrita

como

w 5 G MTm

r 2 [4.7]

donde MT es la masa de la Tierra y r es la distancia desde el objeto al centro de la Tierra.

Si el objeto está en reposo sobre la superficie de la Tierra, entonces r es igual al radio de

la Tierra RT. Ya que r2 está en el denominador de la ecuación 4.7, el peso disminuye

conforme r aumenta. De tal modo que el peso de un objeto en la parte superior de una

montaña es menor que el peso del mismo objeto a nivel del mar.

Al comparar las ecuaciones 4.6 y 4.7, vemos que

g 5 G MT

r 2 [4.8]

A diferencia de la masa, el peso no es una propiedad inherente de un objeto a causa

de que puede tomar valores diferentes, dependiendo del valor de g en una ubicación de-

terminada. Por ejemplo, si un objeto tiene una masa de 70.0 kg, entonces su peso en una

ubicación donde g 5 9.80 m/s2 es mg 5 686 N. En un globo a una gran altura, donde g podría ser 9.76 m/s2, el peso del objeto sería 683 N. Además el valor de g varía ligeramente

debido a la densidad de la materia en un lugar determinado. En este texto, a menos que

se indique lo contrario, el valor de g se entiende que es 9.80 m/s2, su valor cerca de la

superficie de la Tierra.

La ecuación 4.8 es un resultado general que se puede utilizar para calcular la acelera-

ción de un objeto cayendo cerca de la superficie de cualquier objeto pesado si el radio y la

masa del objeto más pesado son conocidos. Utilizando los valores en la tabla 7.3 (página

223) se puede demostrar que gSol 5 274 m/s2 y gLuna 5 1.62 m/s2. Un hecho importante es

que, para cuerpos esféricos, las distancias son calculadas desde los centros de los objetos,

una consecuencia de la ley de Gauss (se explica en el capítulo 15), que se cumple para

ambas fuerzas gravitacional y eléctrica.

Figura 4.8 La fuerza gravitacional

entre dos partículas es de atracción.

Fg

�Fg

m1

m 2

r

S

S

■ Examen rápido

4.2 ¿Qué tiene mayor valor, un newton de oro pesado en la Tierra o un newton de oro

pesado en la Luna? a) El newton de oro en la Tierra. b) El newton de oro en la Luna.

c) El valor es el mismo, a pesar de todo.

4.3 Responda a cada declaración, con Verdadero o Falso: a) Ninguna fuerza de

gravedad actúa sobre un astronauta en una estación espacial en órbita. b) A una

distancia de tres radios terrestres a partir del centro de La Tierra, la aceleración de

la gravedad es 1/9 de su valor superficial. c) Si dos planetas son idénticos, cada

uno con gravedad de superficie g y volumen V, se unen formando un planeta con

volumen 2V y gravedad superficial 2g. d) Un kilogramo de oro puede tener mayor

valor en la Tierra que en la Luna.

La unidad de soporte de vida

atada a la espalda del astronauta

Harrison Schmitt pesaba 300 lb

en la Tierra y tenía una masa de

136 kg. Durante su entrenamiento,

se utilizó una maqueta de 50 libras

con una masa de 23 kg. Aunque la

maqueta tenía el mismo peso que

la unidad real tendría en la Luna, la

menor masa significaba que tam-

bién tendría una baja inercia.

El peso de la unidad es causado

por la aceleración del campo de

gravedad local, pero el astronauta

también debe acelerar todo lo

que transporta a fin de moverlo.

En consecuencia, la unidad real

utilizada en la Luna, con el mismo

peso, pero una mayor inercia, fue

más difícil de manejar para el

astronauta que la maqueta de la

unidad en la Tierra.

NAS

A/E

ugen

e Ce

rnan


■ EJEMPLO 4.3 Fuerzas de mundos distantes

OBJETIVO Calcular la magnitud de una fuerza gravitacional, utilizando la ley de gravitación de Newton.

PROBLEMA a) Halle la fuerza gravitatoria ejercida por el Sol sobre un hombre de 70.0 kg situado en el Ecuador de la

Tierra al mediodía, cuando el hombre está más cercano al Sol. b) Calcule la fuerza gravitatoria del Sol sobre el hombre

a la medianoche, cuando está más alejado del Sol. c) Calcule la diferencia en la aceleración del Sol, entre el mediodía y la

medianoche. (Para valores, véase la tabla 7.3 en la página 223.)

ESTRATEGIA Para obtener la distancia del Sol al hombre al mediodía, reste el radio de la Tierra de la distancia al Sol. A la

medianoche, agregue el radio de la Tierra. Mantenga suficientes cifras para que el redondeo no elimine la pequeña diferen-

cia entre las dos respuestas. Para el inciso c), reste la respuesta de b) de a) y divida entre la masa del hombre.

SOLUCIÓNa) Halle la fuerza gravitatoria ejercida por el Sol sobre

el hombre en el Ecuador de la Tierra al mediodía.

Escriba la ley de la gravitación, ecuación 4.5, en términos

de la distancia desde el Sol a la Tierra, rS, y del radio de la

Tierra, RT:

Sustituya valores en la ecuación (1) y mantenga

dos dígitos extra:

b) Calcule la fuerza gravitatoria del Sol sobre el hombre a la

medianoche.

Escriba la ley de la gravitación, sumando esta vez el radio

de la Tierra:

Sustituya valores en la ecuación (2):

c) Calcular la diferencia en la aceleración solar del hombre,

entre el mediodía y la medianoche.

Escriba una expresión para la diferencia en la aceleración

y sustituya valores:

COMENTARIOS La atracción gravitacional entre el Sol y los objetos sobre la Tierra se mide fácilmente y se le ha sacado

provecho en experimentos, para establecer si la atracción gravitacional depende de la composición del objeto. Como el

ejercicio lo muestra, la fuerza gravitacional sobre la Tierra debido a la Luna es mucho más débil que la fuerza gravitacional

sobre la Tierra debido al Sol. Paradójicamente, los efectos de la Luna en las mareas son dos veces más que del Sol, ya que

las mareas dependen de las diferencias en la fuerza gravitacional a través de la Tierra, y aquellas diferencias son más grandes

para la fuerza gravitacional de la Luna debido a que la Luna está más cerca de la Tierra que del Sol.

PREGUNTA 4.3 Marte se encuentra a 1.5 veces más lejos del Sol que la Tierra. Sin realizar algún cálculo explícito, para

una cifra significativa, cuál es la fuerza gravitacional del Sol en un hombre de 70.0 kg, de pie sobre Marte.

EJERCICIO 4.3 Durante la luna nueva, la Luna se encuentra directamente sobre la cabeza al mediodía. a) Determine la

fuerza ejercida por la Luna sobre un hombre de 70.0 kg en el Ecuador de la Tierra al mediodía. b) Calcule la fuerza gravi-

tacional de la Luna sobre el hombre a la medianoche. c) Calcule la diferencia entre la aceleración del hombre debida a la

Luna entre el mediodía y la medianoche. Nota: La distancia de la Tierra a la Luna es 3.84 3 108 m. La Luna tiene una masa

de 7.36 3 1022 kg.

RESPUESTAS a) 2.41 3 1023 N b) 2.25 3 1023 N c) 2.3 3 1026 m/s2

(1) F mediodíaSol 5

mMSG

r 25

mMSG1rS 2 RT22

F mediodíaSol 5

170.0 kg 2 11.991 3 1030 kg 2 16.67 3 10211 kg21m3/s2 211.496 3 1011 m 2 6.38 3 106 m 22

5 0.415 19 N

(2) F mediodíaSol 5

mMSG

r 25

mMSG

rS 1 R T2

F mediodíaSol 5

170.0 kg 2 11.991 3 1030 kg 2 16.67 3 10211 kg21m3/s2 211.496 3 1011 m 1 6.38 3 106 m 22

5 0.415 12 N

a 5F mediodía

Sol 2 F medianocheSol

m5

0.415 19 N 2 0.415 12 N

70.0 kg

> 1 3 1026 m/s2

4.4 | Tercera ley de Newton 95

4.4 Tercera ley de NewtonEn la sección 4.1 determinamos que se ejerce una fuerza sobre un objeto cuando se pone

en contacto con algún otro. Por ejemplo, considere la tarea de introducir un clavo dentro

de un bloque de madera, como se ilustra en la figura 4.9a (página 96). Para acelerar el

clavo y conducirlo hacia dentro del bloque, el martillo debe ejercer una fuerza neta sobre

el clavo. De cualquier modo, Newton se dio cuenta que una sola fuerza aislada (como

la fuerza que ejerce el martillo sobre el clavo) no podría existir. Más bien, las fuerzas en la

naturaleza siempre existen en pares. De acuerdo con Newton, cuando el clavo es impulsa-

do dentro del bloque por la fuerza ejercida por el martillo, éste disminuye su velocidad y

se detiene por la fuerza ejercida por el clavo.

Newton describe tales pares de fuerzas con su tercera ley:

Si interactúan el objeto 1 y el objeto 2, la fuerza FS

12 ejercida por el objeto 1 en el

objeto 2 es igual en magnitud, pero opuesta en dirección a la fuerza FS

21 ejercida por

el objeto 2 en el objeto 1.

Esta ley que se ilustra en la figura 4.9b: establece que no puede existir una simple

fuerza aislada. La fuerza FS

12 ejercida por el objeto 1 sobre el objeto 2 en ocasiones es

denominada fuerza de acción, y la otra fuerza FS

21 ejercida por el objeto 2 sobre el objeto 1

es conocida como fuerza de reacción. En realidad, la fuerza puede ser etiquetada por cual-

quiera de las dos fuerzas de acción o de reacción. La fuerza de acción es igual en magnitud

a la fuerza de reacción y opuesta en dirección. En todos los casos, las fuerzas de acción y

reacción actúan en diferentes objetos. Por ejemplo, la fuerza que actúa en un proyectil en

caída libre es la fuerza ejercida por la Tierra sobre el proyectil, FS

g , y la magnitud de esta

fuerza es el peso mg. La reacción a la fuerza FS

g es la fuerza ejercida por el proyectil sobre la

Tierra, FS

g9 2 FS

g. La fuerza de reacción FS

g9 puede acelerar la Tierra hacia el proyectil justo

b Tercera ley de Newton

■ EJEMPLO 4.4 Peso en el Planeta X

OBJETIVO Comprender el efecto de la masa y el radio de un planeta sobre el peso de un objeto, en la superficie del mismo.

PROBLEMA Un astronauta en una misión espacial aterriza sobre un planeta con tres veces la masa y dos veces el radio de

la Tierra. ¿Cuál es su peso wX en este planeta como un múltiplo de su peso en la Tierra wT?

ESTRATEGIA Escriba MX y rX, la masa y el radio del planeta, en términos de MT y RT, la masa y radio de la Tierra, respecti-

vamente, y sustituya en la ley de la gravitación.

SOLUCIÓNA partir del enunciado del problema, se tiene la correspon-

dencia que sigue:MX 5 3MT rX 5 2RT

Sustituya las expresiones anteriores en la ecuación 4.5 y

simplifique, asocie algebraicamente los términos que dan

el peso sobre la Tierra:

COMENTARIOS Este problema muestra la influencia recíproca entre la masa y el radio de un planeta al determinar el

peso de objetos sobre su superficie. Debido al radio mucho más pequeño de la Tierra, el peso de un objeto en Júpiter es sólo

2.64 veces su peso en la Tierra, a pesar del hecho de que Júpiter tiene más de 300 veces más masa.

PREGUNTA 4.4 Un volumen de piedra tiene una masa aproximada de tres veces un volumen similar de hielo. Considere

que un mundo está hecho de hielo, mientras que otro con el mismo radio está hecho de roca. Si g es la aceleración de la gra-

vedad en la superficie del mundo de hielo, ¿cuál es la aceleración aproximada de gravedad en el mundo de roca? (Sugerencia: Establezca la masa de una roca en términos de la masa de un cubo de hielo que tiene el mismo tamaño.)

EJERCICIO 4.4 Un astronauta aterriza en Ganímedes, una luna gigante de Júpiter que es más grande que Mercurio.

Ganímedes tiene una cuadragésima parte de la masa de la Tierra y dos quintos de su radio. Determine el peso del astron-

auta de pie en Ganímedes en términos de su peso en la Tierra wT.

RESPUESTA wG 5 (5/32)wT

wX 5 GMXm

rX2

5 G3MT m12R T22

53

4G

MTm

R T2

53

4wT

Tip 4.4 Pares acción-reacciónAl aplicar la tercera ley de

Newton, recuerde que una fuerza

de acción y su fuerza de reac-

ción actúan siempre en diferentes objetos. Dos fuerzas externas

actuando en el mismo objeto,

incluso si son de igual magnitud

y en dirección opuesta, no pueden ser un par acción-reacción.


como la fuerza de acción FS

g acelera al proyectil hacia la Tierra. De cualquier modo, a causa

de que la Tierra tiene mucho más masa, su aceleración debido a su fuerza de reacción es

insignificantemente pequeña.

La tercera ley de Newton afecta continuamente nuestras actividades cotidianas. Sin

ella, ninguna clase de locomoción sería posible, ya fuera a pie, en una bicicleta o en un

vehículo motorizado. Por ejemplo, al caminar se ejerce una fuerza de fricción contra la su-

perficie de la tierra. La fuerza de reacción de la superficie de la tierra contra nuestros pies

nos impulsa hacia adelante. De la misma manera, los neumáticos de una bicicleta ejercen

una fuerza de fricción contra la superficie de la tierra, y la reacción de ésta empuja a la

bicicleta hacia adelante. Como se verá brevemente, la fricción juega un papel principal en

tales fuerzas de reacción.

Como otro ejemplo de la tercera ley de Newton, considere los helicópteros. La mayo-

ría de ellos tiene un conjunto de grandes aspas giratorias en un plano horizontal arriba

del cuerpo del aparato y otro conjunto giratorio más pequeño en un plano vertical en la

cola del mismo. Otros helicópteros tienen dos conjuntos de grandes aspas arriba del cuerpo

girando en direcciones opuestas. ¿Por qué los helicópteros siempre tienen dos conjuntos

de aspas? En la primera clase de helicóptero, el motor aplica una fuerza a las aspas, ocasio-

nando que cambien su movimiento rotacional. Sin embargo, de acuerdo con la tercera ley

de Newton las aspas deben ejercer una fuerza en el motor de igual magnitud y en dirección

opuesta. Esta fuerza ocasionaría que el cuerpo del helicóptero dé vueltas en la dirección con-

traria a las aspas. Un helicóptero rotatorio sería imposible de controlar, de tal modo que

se utiliza un segundo conjunto de aspas. Las aspas pequeñas en la cola del aparato propor-

cionan una fuerza opuesta a la que tiende a girar al cuerpo del helicóptero, manteniendo

el aparato dirigido en una posición estable. En helicópteros con dos conjuntos de grandes

aspas que giran en sentidos opuestos, los motores aplican fuerzas en direcciones opuestas,

de tal modo que no existe fuerza neta rotatoria del helicóptero.

Como ya se mencionó, la Tierra ejerce una fuerza FS

g sobre cualquier objeto. Si el obje-

to es un monitor en reposo sobre una mesa, como en la figura 4.10a, la fuerza de reacción

a FS

g es la fuerza que ejerce el monitor sobre la Tierra, FS

g9. El monitor no se acelera hacia

APLICACIÓNVuelo de un helicóptero

Figura 4.9 La tercera ley de

Newton. a) La fuerza ejercida por

el martillo sobre el clavo es igual en

magnitud y opuesta en dirección a

la fuerza ejercida por el clavo sobre

el martillo. b) La fuerza FS

12 ejercida

por el objeto 1 sobre el objeto 2 es

igual en magnitud y opuesta en

dirección a la fuerza FS

21 ejercida por

el objeto 2 sobre el objeto 1.

Tip 4.5 Igual y opuesta pero no es una fuerza de reacción Un error común en la figura

4.10b es considerar la fuerza

normal sobre el objeto como la

fuerza de reacción a la fuerza de

la gravedad, porque en este caso,

estas dos fuerzas son iguales en

magnitud y opuestas en dirección.

Sin embargo, esto es imposible,

debido a que actúan en el mismo

objeto.

Figura 4.10 Cuando se coloca un

monitor sobre una mesa, las fuer-

zas que actúan en el aparato son la

fuerza normal nS

ejercida por la mesa

y la fuerza de gravedad, FS

g, como se

ilustra en b). La reacción a nS

es la

fuerza ejercida por el monitor sobre

la mesa, nS

9. La reacción a FS

g es la

fuerza ejercida por el monitor sobre

la Tierra, FS

g9.

nS

n�S

nS

FgS

Fg�S

FgS

a b

2

1

F12

S

F12 �S

F21

S

�F21

S

b

Fhn

S Fnh

S

aJi

m G

illm

oure

/cor

biss

tock

mar

ket.c

om

4.4 | Tercera ley de Newton 97

abajo ya que la sostiene la mesa. Por lo tanto, la mesa ejerce una fuerza hacia arriba nS, cono-

cida como la fuerza normal, sobre el monitor. (Normal, un término técnico de matemáticas,

que en este contexto significa “perpendicular”.) La fuerza normal es una fuerza elásti-

ca que surge a causa de la cohesión de la materia y es de origen electromagnético. Equilibra

la fuerza de gravitación que actúa sobre el monitor, evitando que este caiga a través de la

mesa y puede tener cualquier valor necesario, hasta el punto de romper la mesa. La reac-

ción a nS

es la fuerza ejercida por el monitor sobre la mesa, nS. Debido a eso,

FS

g 5 2FS

g9 y nS

5 2nS

9

Las fuerzas nS y nS

9 tienen la misma magnitud que FS

g. Observe que las fuerzas de acción

sobre el monitor son FS

g y nS

, como se muestra en la figura 4.10b. Las dos fuerzas de reac-

ción, FS

g9 y nS

9, son ejercidas por el monitor en objetos diferentes a este. Recuerde que las

dos fuerzas en un par acción-reacción siempre actúan en dos objetos diferentes.

Debido a que el monitor no está acelerando en ninguna dirección (aS

5 0), de la se-

gunda ley de Newton tenemos que maS

5 0 5 FS

g 1 nS. Sin embargo, Fg 5 2mg, así que n 5

mg, un resultado útil.

■ Examen rápido

4.4 Un pequeño automóvil deportivo colisiona de frente contra un camión. La enorme

fuerza de impacto (en magnitud) actúa sobre a) el automóvil, b) el camión, c) ninguno,

la fuerza es la misma en ambos. ¿Cuál es el vehículo que se somete a la mayor acelera-

ción en magnitud? d) el automóvil, e) el camión, f) las aceleraciones son las mismas.

APLICACIÓNColisión de vehículos

■ EJEMPLO 4.5 Acción-reacción y el patinaje sobre hielo

OBJETIVO Ilustrar la tercera ley de Newton del movimiento.

PROBLEMA Un hombre de masa M 5 75.0 kg y una mujer de la masa de m 5 55.0 kg están de pie uno frente al otro en una

pista de hielo, usando patines de hielo. La mujer empuja al hombre con una fuerza horizontal de F 5 85.0 N en la dirección

x positiva. Suponga que no hay fricción contra el hielo. a) ¿Cuál es la aceleración del hombre? b) ¿Cuál es la fuerza de reac-

ción que actúa sobre la mujer? c) Calcular la aceleración de la mujer.

ESTRATEGIA Los incisos a) y c) son aplicaciones sencillas de la segunda ley. Una aplicación de la tercera ley resuelve el

inciso b).

SOLUCIÓNa) ¿Cuál es la aceleración del hombre?

Escriba la segunda ley para el hombre: MaH 5 F

Resuelva para la aceleración del hombre y sustituya valores:

b) ¿Cuál es la fuerza de reacción que actúa sobre la mujer?

Aplique la tercera ley de Newton del movimiento, encon-

trando que la fuerza de reacción R que actúa sobre la mujer

tiene la misma magnitud y dirección contraria:

R 5 2F 5 285.0 N

c) Calcule la aceleración de la mujer.

Escriba la segunda ley de Newton para la mujer: maM 5 R 5 2F

Resuelva para la aceleración de la mujer y sustituya valores:

COMENTARIOS Tenga en cuenta que las fuerzas son iguales y opuestas entre sí, pero las aceleraciones no, ya que las dos

masas difieren entre sí.

PREGUNTA 4.5 Nombre otras dos fuerzas que actúan sobre el hombre y las dos fuerzas de reacción que se combinan con

ellos.

aH 5FM

585.0 N

75.0 kg5 1.13 m/s2

aM 52Fm

5285.0 N

55.0 kg5 21.55 m/s2

(continúa)


4.5 Aplicaciones de las leyes de NewtonEsta sección aplica las leyes de Newton a objetos en movimiento bajo la influencia de

fuerzas externas constantes. Suponemos que los objetos se comportan como partículas,

de manera que no es necesario considerar la posibilidad de movimiento rotacional. Ade-

más, despreciamos cualquier efecto de la fricción y las masas de cualquier cuerda o lazo

incluidos. Con estas aproximaciones, la magnitud de la fuerza ejercida a lo largo de una

cuerda, conocida como tensión, es la misma en todos los puntos en la cuerda. Esto se acla-

ra por la cuerda en la figura 4.11, que muestra las fuerzas TS

y TS

9 que actúan en ella. Si la

cuerda tiene masa m, entonces la segunda ley de Newton aplicada a la cuerda proporciona

T 2 T 9 5 ma. De cualquier modo, si despreciamos la masa m, como en los próximos ejem-

plos, entonces T 5 T 9.Cuando se aplican las leyes de Newton a un objeto, sólo nos interesan aquellas fuerzas

que actúan sobre el objeto. Por ejemplo, en la figura 4.10b, las únicas fuerzas externas que

actúan sobre el monitor son nS

y FS

g. Las reacciones a estas fuerzas, nS

9 y FS

g9, actúan sobre

la mesa y sobre la Tierra, respectivamente, y no aparecen aplicadas en la segunda ley de

Newton para el monitor.

Considere una caja que se está jalando a la derecha sobre una superficie horizontal,

sin fricción, como en la figura 4.12a. Suponga que quiere encontrar la aceleración de la

caja y la fuerza que ejerce la superficie en ella. La fuerza horizontal ejercida sobre la caja

actúa a través de la cuerda. La fuerza que la cuerda ejerce sobre la caja se indica mediante

TS

(debido a que es una fuerza de tensión). La magnitud de TS

es igual a la tensión en la

cuerda. Lo que se intenta mediante las palabras “tensión en la cuerda” es precisamente

la fuerza leída en una balanza de resorte cuando la cuerda en el problema ha sido cortada

e insertada la balanza entre los extremos que se cortaron. Se dibuja una circunferencia

discontinua alrededor de la caja en la figura 4.12a, para destacar la importancia de aislar

la caja de sus alrededores.

Ya que nos interesa sólo el movimiento de la caja, se debe tener la capacidad para iden-

tificar todas las fuerzas que actúan sobre ella. Estas fuerzas se ilustran en la figura 4.12b.

Además de la exhibición de la fuerza TS

, el diagrama de fuerza para la caja incluye la fuerza

de gravedad FS

g ejercida por la Tierra y la fuerza normal nS

ejercida por el piso. Tal diagra-

ma de fuerza se conoce como diagrama de cuerpo libre ya que el ambiente se sustituye

por una serie de fuerzas relacionadas en un cuerpo libre de otra manera. La construcción

correcta de un diagrama de cuerpo libre es una fase esencial en la aplicación de las leyes

de Newton. ¡Un diagrama inexacto muy probablemente nos conducirá a respuestas inco-

rrectas!

Las reacciones a las fuerzas que hemos mencionado —específicamente, la fuerza ejer-

cida mediante la cuerda en la mano que está jalando, la fuerza ejercida por la caja sobre

la Tierra y la fuerza ejercida por la caja sobre el piso— no se incluyen en el diagrama de

cuerpo libre debido a que actúan en otros objetos, y no sobre la caja. En consecuencia, no

influyen directamente en el movimiento de ésta. Sólo se incluyen las fuerzas que actúan

directamente sobre ella.

Ahora apliquemos la segunda ley de Newton a la caja. Primero, elegimos un sistema

coordenado adecuado. En este caso es conveniente utilizar uno que se muestra en la figura

4.12b, con el eje x horizontal y el eje y vertical. Se puede aplicar la segunda ley de Newton

en la dirección x, en la dirección y, o en ambas, dependiendo de lo que se esté pidiendo

determinar en el problema. La segunda ley de Newton aplicada a la caja en las direcciones

x y y produce las dos ecuaciones siguientes:

max 5 T may 5 n 2 mg 5 0

EJERCICIO 4.5 Un astronauta de 148 kg de masa total en el espacio ejerce una fuerza de 265 N en un satélite de libre flo-

tación de masa 635 kg, empujándolo en la dirección x positiva. a) ¿Cuál es la fuerza de reacción ejercida por el satélite sobre

el astronauta? Calcule las aceleraciones de b) el astronauta y c) el satélite.

RESPUESTAS a) 2265 N b) 21.79 m/s2 c) 0.417 m/s2

Figura 4.11 La segunda ley de

Newton aplicada a una cuerda pro-

porciona T 2 T 9 5 ma. Sin embargo,

si m 5 0, entonces T 5 T 9. Así, la

tensión en una cuerda sin masa es la

misma en todos los puntos en la cuerda.

TS

TS

9

a

b

nS

TS

FgS

x

y

Figura 4.12 a) Una caja está

siendo jalada hacia la derecha sobre

una superficie sin fricción. b) El

diagrama de cuerpo libre que repre-

senta las fuerzas ejercidas sobre la caja.

Tip 4.6 Diagramas de cuerpo libre

La etapa más importante en la solu-

ción de un problema por medio de

la segunda ley de Newton es dibu-

jar el diagrama de cuerpo libre

correcto. Incluya sólo aquellas

fuerzas que actúan directamente

sobre el objeto bajo estudio.

Tip 4.7 Una partícula en equilibrioUna fuerza neta igual a cero

sobre una partícula no signi-

fica que la partícula no se esté

moviendo. Significa que la partí-

cula no se está acelerando. Si la par-

tícula tiene una velocidad inicial

diferente de cero y una fuerza neta

igual a cero está actuando sobre

ella, continúa moviéndose con la

misma velocidad.

4.5 | Aplicaciones de las leyes de Newton 99

A partir de estas ecuaciones, tenemos que la aceleración en la dirección x es constante,

proporcionada por ax 5 T/m y que la fuerza normal está dada por n 5 mg. Ya que la ace-

leración es constante, las ecuaciones de cinemática pueden ser aplicadas para obtener

información adicional acerca de la velocidad y el desplazamiento del objeto.

■ ESTRATEGIA PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Segunda ley de NewtonLos problemas que involucran la segunda ley de Newton pueden ser muy complejos. El siguiente protocolo rompe el proceso de solución en objetivos intermedios, más pequeños:

1. Lea el problema esmeradamente por lo menos una vez.

2. Trace una imagen del sistema, identifique el objeto de interés básico e indique las

fuerzas con flechas.

3. Etiquete cada fuerza en la imagen de cierta manera que inducirá a pensar lo que

las cantidades físicas representan (digamos, T para la tensión).

4. Trace un diagrama de cuerpo libre del objeto de interés, en función de la imagen

etiquetada. Si se incluyen objetos adicionales, dibuje diagramas de cuerpo libre por

separado para ellos. Elija coordenadas convenientes para cada objeto.

5. Aplique la segunda ley de Newton. Los componentes x y y de la segunda ley de

Newton se toman de la ecuación vectorial y se rescriben individualmente. Esto por

lo general da como resultado dos ecuaciones y dos incógnitas.

6. Resuelva para la cantidad desconocida deseada y sustituya los números.

En el caso especial de equilibrio, el proceso anterior se simplifica ya que la aceleración

es cero.

Objetos en equilibrioLos objetos que están ya sea en reposo o moviéndose con velocidad constante se dice

que están en equilibrio. Ya que aS

5 0, al aplicar la segunda ley de Newton a un objeto en

equilibrio, tenemos

a FS

5 0 [4.9]

Este enunciado establece que la suma vectorial de todas las fuerzas (la fuerza neta) que

actúa sobre un objeto en equilibrio es cero. La ecuación 4.9 es equivalente al conjunto de

ecuaciones por componente dadas por

a Fx 5 0 y a Fy 5 0 [4.10]

En este libro no se consideran problemas en tres dimensiones, pero la extensión de la

ecuación 4.10 para un problema de este tipo puede hacerse mediante la adición de una

tercera ecuación: o Fz 5 0.

■ Examen rápido

4.5 Piense en las dos situaciones que se muestran en la figura 4.13 en las que no existe

aceleración. En ambos casos el hombre jala con una fuerza de magnitud F. La lectura

en la balanza del inciso i) de la figura a) ¿es mayor que, b) menor que, o bien c) igual a

la lectura en el inciso ii)?

Figura 4.13 (Examen rápido 4.5)

i) Una persona jala una balanza de

resorte unida a un muro con una

fuerza de magnitud F. ii) Dos per-

sonas jalan una balanza de resorte

colocada entre dos cuerdas con fuer-

zas de magnitud F en direcciones

opuestas.

i

ii


■ EJEMPLO 4.6 Semáforos en reposo

OBJETIVO Aplicar la segunda ley a un problema de equilibrio

que necesita dos diagramas de cuerpo libre.

PROBLEMA Un semáforo pesa 1.00 3 102 N cuelga de un

cable vertical atado a otros dos que están unidos a un soporte,

como en la figura 4.14a. Los cables superiores forman un

ángulo de 37.0° y 53.0° con la horizontal. Determine la tensión

en cada uno de los tres cables.

ESTRATEGIA Existen tres incógnitas, de tal manera que nece-

sitamos generar tres ecuaciones que las relacionen, que después

podamos resolver. Se puede obtener una ecuación aplicando

la segunda ley de Newton al semáforo, que tiene fuerzas sólo

en la dirección y. Dos ecuaciones más se pueden determinar al

aplicar la segunda ley en el nudo que une los cables: una ecua-

ción para la componente x y otra para la componente y.

SOLUCIÓNEncuentre T3 a partir de la figura 4.14b, utilizando la condi-

ción de equilibrio:o Fy 5 0 S T3 2 Fg 5 0

T3 5 Fg 5 1.00 3 102 N

Utilizando la figura 4.14c, resuelva las tres tensiones en las

componentes y, por conveniencia, construya una tabla: Fuerza Componente x Componente y

TS

1

TS

2

TS

3

2T1 cos 37.0°

T2 cos 53.0°

0

T1 sen 37.0°

T2 sen 53.0°

21.00 3 102 N

Aplique la condición de equilibrio para el nudo, utilizando

las componentes en el cable:(1) o Fx 5 2T1 cos 37.0° 1 T2 cos 53.0° 5 0

(2) o Fy 5 T1 sen 37.0° 1 T2 sen 53.0° 2 1.00 3 102 N 5 0

Existen dos ecuaciones y dos incógnitas. Resuelva la

ecuación (1) para T2:

Sustituya el resultado para T2 en la ecuación (2): T1 sen 37.0° 1 (1.33T1)(sen 53.0°) 2 1.00 3 102 N 5 0

T1 5 60.1 N

T2 5 1.33T1 5 1.33(60.1 N) 5 79. 9 N

COMENTARIOS Es muy fácil tener errores de signo en esta clase de problemas. Una manera de evitarlos es medir siempre

el ángulo de un vector desde la dirección x positiva. En tal caso las funciones trigonométricas del ángulo automáticamente

darán el signo correcto para los componentes. Por ejemplo, TS

1 forma un ángulo de 180° 2 37° 5 143° con respecto al eje x positivo y su componente x, T1 cos 143°, es negativo, como debe ser.

PREGUNTA 4.6 ¿Cómo cambiaría la respuesta si un segundo semáforo se une debajo del primero?

EJERCICIO 4.6 Considere que el semáforo está colgado de tal manera que las tensiones T1 y T2 son iguales a 80.0 N.

Hallar los nuevos ángulos que se forman con respecto al eje x. (Por simetría, estos ángulos serán los mismos.)

RESPUESTA Los dos ángulos son de 38.7°.

T2 5 T1 acos 37.0°

cos 53.0°b 5 T1 a0.799

0.602b 5 1.33T1

FgS

a b c

T2T1

T3

53.0�37.0�

53.0�37.0� x

y

TS

3

TS

3

TS

1

TS

2

Figura 4.14 (Ejemplo 4.6) a) Un semáforo suspendido

mediante cables. b) Diagrama de cuerpo libre para el semáforo.

c) Diagrama de cuerpo libre para el nudo en la unión de los cables.

513

15

Luke

Ada

ms/

Alam

y

Ésta es una vista nocturna

de los múltiples destellos de

relámpagos cayendo en el

observatorio de Kitt Peak en

Tucson, Arizona. Durante una

tormenta eléctrica, una alta

concentración de carga eléctrica

en una nube crea un campo

eléctrico mayor al normal entre

la nube y la superficie terrestre

con carga negativa. Este fuerte

campo eléctrico crea una

descarga eléctrica, una enorme

chispa, entre la nube cargada y

la tierra. Otras descargas que

se observan en el cielo incluyen

descargas nube a nube y las más

frecuentes descargas intranube.

La electricidad es el alma de la civilización tecnológica y la sociedad moderna. Sin ella, se regre-saría a mediados del siglo XIX: no teléfonos, no televisión, ninguno de los aparatos electrodo-mésticos que se dan por sentado. La medicina moderna sería una fantasía y, debido a la falta de equipo experimental sofisticado y computadoras rápidas, y especialmente la lenta diseminación de la información, la ciencia y la tecnología crecerían a un ritmo glacial.

En lugar de ello, con el descubrimiento y dominio de las fuerzas y campos eléctricos, se pueden ver arreglos de átomos, sondear el funcionamiento interior de una célula y enviar naves espaciales más allá de los límites del sistema solar. Todo esto fue posible sólo en las últimas generaciones de la vida humana; un parpadeo en comparación con los millones de años que la especie pasó forrajeando en las sabanas de África.

Alrededor de 700 a.C., los antiguos griegos realizaron el primer estudio conocido de la elec-tricidad. Todo comenzó cuando alguien notó que un material fósil llamado ámbar atraía peque-ños objetos después de frotarse con lana. Desde entonces se sabe que este fenómeno no se restringe al ámbar y la lana, sino que ocurre (en cierto grado) cuando casi cualesquiera dos sustancias no conductoras se frotan una con otra.

En este capítulo utilizamos el efecto de cargar mediante fricción para comenzar una investi-gación de las fuerzas eléctricas. Luego estudiamos la ley de Coulomb, que es la ley fundamental de fuerza entre cualesquiera dos partículas cargadas estacionarias. Se introduce el concepto de campo eléctrico asociado con cargas y se describen sus efectos sobre otras partículas cargadas. Se finaliza con discusiones del generador Van de Graaff y de la ley de Gauss.

Fuerzas eléctricas y campos eléctricos

15.1 Propiedades de las cargas

eléctricas

15.2 Aislantes y conductores

15.3 Ley de Coulomb

15.4 El campo eléctrico

15.5 Líneas de campo eléctrico

15.6 Conductores en equilibrio

electrostático

15.7 El experimento de la gota

de aceite de Millikan

15.8 El generador Van de Graaff

15.9 Flujo eléctrico y ley de Gauss

514 CAPÍTULO 15 | Fuerzas eléctricas y campos eléctricos

15.1 Propiedades de las cargas eléctricasDespués de pasar un peine de plástico por el cabello, descubrirá que el peine atrae trozos

de papel. A menudo, la fuerza de atracción es lo suficientemente fuerte como para sus-

pender el papel del peine, lo que desafía el jalón gravitacional de toda la Tierra. El mismo

efecto ocurre con otros materiales que se frotan, como vidrio y caucho duro.

Otro experimento simple es frotar un globo inflado contra lana (o en el cabello).

En un día seco, el globo frotado se pegará a la pared de una habitación, con frecuencia

durante horas. Estos materiales quedaron cargados eléctricamente. Usted puede dar a su

cuerpo una carga eléctrica si frota sus zapatos vigorosamente sobre un tapete de lana o al

deslizarse a través del asiento de un automóvil. Luego puede sorprender y molestar a un

amigo o compañero de trabajo con un toque de luz en el brazo, lo que entrega un ligero

choque tanto a usted como a su víctima. (Si el compañero de trabajo es su jefe, ¡no espere

un ascenso!) Estos experimentos funcionan mejor en un día seco porque la humedad ex-

cesiva puede facilitar la fuga de la carga.

Los experimentos también demuestran que existen dos tipos de carga eléctrica, que

Benjamín Franklin (1706–1790) nombró positiva y negativa. La figura 15.1 ilustra la inte-

racción de las dos cargas. Una barra dura de caucho (o plástico) que se frotó con piel se

suspende mediante un trozo de cuerda. Cuando se le acerca una barra de vidrio que se frotó

con seda, la barra de caucho es atraída hacia la barra de vidrio (figura 15.1a). Si dos barras

de caucho cargadas (o dos barras de vidrio cargadas) se acercan una a la otra, como en la

figura 15.1b, la fuerza entre ellas es repulsiva. Estas observaciones se pueden explicar al

suponer que las barras de caucho y vidrio adquirieron diferentes tipos de exceso de carga.

Se usa la convención sugerida por Franklin, donde el exceso de carga eléctrica en la barra

de vidrio se denomina positiva y la de la barra de caucho se llama negativa. Sobre la base de

tales observaciones, concluimos que cargas iguales se repelen y cargas distintas se atraen.

Por lo general, los objetos contienen igual cantidad de carga positiva y negativa; las fuerzas

eléctricas entre los objetos surgen cuando dichos objetos tienen cargas netas negativa o

positiva.

Los portadores básicos de carga positiva de la naturaleza son los protones, que junto

con los neutrones, se ubican en los núcleos de los átomos. Los núcleos, aproximadamente

de 10215 m de radio, están rodeados por una nube de electrones con carga negativa aproxi-

madamente 10 mil veces más grande. Un electrón tiene la misma magnitud de carga que

un protón, pero con signo opuesto. En un gramo de materia existen alrededor de 1023

protones con carga positiva e igual número de electrones con carga negativa, de modo

que la carga neta es cero.

Cargas iguales se repelen; ccargas diferentes se atraen

Benjamín Franklin(1706-1790)

Franklin fue impresor, escritor, cien-

tífico físico, inventor, diplomático

y uno de los padres fundadores de

Estados Unidos. Su obra acerca

de la electricidad a finales de 1740

transformó una madeja de observacio-

nes no relacionadas en una ciencia

coherente.

ba

CauchoCaucho

Caucho

–– –

––

– ––– –

––

+ + + ++

+Vidrio+

–– – ––

Una barra de vidrio con carga

positiva atrae una barra de

caucho con carga negativa

suspendida mediante un hilo.

Una barra de caucho con

carga negativa repele a otra

barra de caucho con carga

negativa.

FS

FS

FS F

S

Figura 15.1 Un sistema experi-

mental para la observación de la

fuerza eléctrica entre dos objetos

cargados.

. A

mer

ican

Phi

loso

phic

al S

ocie

ty/A

IP

15.2 | Aislantes y conductores 515

Puesto que el núcleo de un átomo se mantiene firmemente en su lugar dentro de un

sólido, los protones nunca se mueven de un material a otro. Los electrones son mucho más

ligeros que los protones y por lo tanto se aceleran más fácilmente mediante fuerzas. Más

aún, ocupan las regiones exteriores del átomo. En consecuencia, los objetos se cargan al

ganar o perder electrones.

La carga se transfiere fácilmente de un tipo de material a otro. Frotar los dos mate-

riales uno con otro sirve para aumentar el área de contacto, lo que facilita el proceso de

transferencia.

Una característica importante de la carga es que la carga eléctrica siempre se conserva.

La carga no se crea cuando dos objetos neutros se frotan uno con otro; en vez de ello, los

objetos se cargan porque la carga negativa se transfiere de un objeto al otro. Un objeto

gana una carga negativa mientras el otro pierde una cantidad igual de carga negativa y

por lo tanto se queda con una carga positiva neta. Cuando una barra de vidrio se frota

con seda, como en la figura 15.2, los electrones se transfieren de la barra a la seda. Como

resultado, la barra de vidrio porta una carga positiva neta, la seda una carga negativa neta.

Del mismo modo, cuando el caucho se frota con piel, los electrones se transfieren de la

piel al caucho.

En 1909, Robert Millikan (1886–1953) descubrió que si un objeto está cargado, su car-

ga siempre es un múltiplo de una unidad fundamental de carga, que se designa mediante

el símbolo e. En términos modernos, decimos que la carga está cuantizada, lo cual significa

que la carga ocurre en paquetes discretos que no se pueden subdividir más. Un objeto

puede tener una carga de 6e, 62e, 63e, etc., pero nunca1 una carga fraccional de 60.5e o

60.22e. Otros experimentos en la época de Millikan demostraron que el electrón tiene una

carga de 2e y el protón tiene una carga igual pero opuesta de 1e. Algunas partículas, como

un neutrón, no tienen carga neta. Un átomo neutro (un átomo sin carga neta) contiene

tantos protones como electrones. Ahora sabemos que el valor de e es 1.602 19 3 10219 C.

(La unidad SI de carga eléctrica es el coulomb o C.)

15.2 Aislantes y conductoresLas sustancias se pueden clasificar en términos de su habilidad para conducir carga eléctrica.

En los conductores, las cargas eléctricas se mueven libremente en respuesta a una

fuerza eléctrica. Todos los otros materiales se llaman aislantes.

El vidrio y el caucho son aislantes. Cuando tales materiales se cargan mediante frotación,

sólo el área frotada queda cargada y no hay tendencia de que la carga se mueva hacia otras

regiones del material. En contraste, los materiales como cobre, aluminio y plata son bue-

nos conductores. Cuando tales materiales se cargan en alguna pequeña región, la carga se

distribuye por sí misma con facilidad sobre toda la superficie del material. Si sostiene una

barra de cobre en su mano y frota la barra con lana o piel, no atraerá un trozo de papel.

Esto puede sugerir que un metal no se puede cargar. Sin embargo, si sostiene la barra de

cobre con un aislante y luego la frota con lana o piel, la barra permanece cargada y atrae

al papel. En el primer caso, las cargas eléctricas producidas por la frotación se movieron

fácilmente desde el cobre a través de su cuerpo y finalmente a tierra. En el segundo caso,

el mango aislante evita el flujo de carga a tierra.

Los semiconductores son una tercera clase de materiales y sus propiedades eléctricas es-

tán en algún lugar entre las de los aislantes y los conductores. Silicio y germanio son semi-

conductores bien conocidos que se usan ampliamente en la fabricación de una variedad

de dispositivos electrónicos.

1 Existe fuerte evidencia de la existencia de partículas fundamentales llamadas quarks que tienen cargas de 6e/3

o 62e/3. La carga todavía está cuantizada, pero en unidades de 6e/3 en lugar de ±e. En el capítulo 30 se presenta un

análisis más completo de los quarks y sus propiedades.

b La carga se conserva

��

��

��

��

��

��

Cada electrón (carga negativa)

transferido desde la barra a la

seda deja una carga equivalente

positiva en la barra.

Figura 15.2 Cuando una barra

de vidrio se frota con seda, los elec-

trones se transfieren del vidrio a

la seda. Debido a la conservación

de carga, cada electrón agrega

carga negativa a la seda y una carga

positiva igual queda en la barra.

Además, puesto que las cargas se

transfieren en paquetes discretos,

las cargas en los dos objetos son 6e, 62e, 63e, etcétera.


Carga mediante conducción Considere una barra de caucho con carga negativa que se pone en contacto con una esfera

conductora neutra aislada. El exceso de electrones en la barra repele a los electrones en

la esfera, lo que crea cargas positivas locales en la esfera neutra. En contacto, algunos elec-

trones en la barra ahora son capaces de moverse hacia la esfera, como en la figura 15.3, lo

que neutraliza las cargas positivas. Cuando la barra se retira, la esfera queda con una carga

negativa neta. A este proceso se le conoce como carga mediante conducción. El objeto que

se carga por tal proceso (la esfera) siempre queda con una carga que tiene el mismo signo

que el objeto que efectúa la carga (la barra de caucho).

Carga mediante inducciónDecimos que un objeto está aterrizado cuando se conecta a un alambre conductor o tu-

bería de cobre introducida en la tierra. La tierra se puede considerar como un depósito

infinito de electrones; en efecto, puede aceptar o suministrar un número ilimitado de elec-

trones. Con esta idea en mente, es posible comprender la carga de un conductor mediante

un proceso conocido como inducción.

Considere una barra de caucho con carga negativa que se acerca a una esfera conduc-

tora neutra (no cargada) aislada, de modo que no hay ruta de conducción a tierra (figura

15.4). Inicialmente, la esfera es eléctricamente neutra (figura 15.4a). Cuando la barra con

carga negativa se acerca más a la esfera, la fuerza repulsiva entre los electrones en la barra

y los de la esfera provoca que algunos electrones se muevan hacia el lado de la esfera más

alejado de la barra (figura 15.4b). La región de la esfera más cercana a la barra con carga

negativa tiene un exceso de carga positiva debido a la migración de electrones lejos de

dicha ubicación. Si un alambre conductor aterrizado se conecta a la esfera, como en la fi-

gura 15.4c, entonces algunos de los electrones dejan la esfera y viajan a tierra. Si el alambre a

tierra se retira (figura 15.4d), entonces la esfera conductora queda con un exceso de carga

positiva inducida. Finalmente, cuando la barra de caucho se remueve de la vecindad de la

esfera (figura 15.4e), la carga positiva inducida permanece en la esfera no aterrizada. Aun

cuando los núcleos atómicos con carga positiva permanecen fijos, este exceso de carga

positiva se distribuye uniformemente sobre la superficie de la esfera no aterrizada debido

a las fuerzas repulsivas entre las cargas iguales y la enorme movilidad de los electrones en

un metal.

En el proceso de inducir una carga sobre la esfera, la barra de caucho cargada no pier-

de parte de su carga negativa porque nunca entra en contacto con la esfera. Más aún, la

esfera queda con una carga opuesta a la de la barra de caucho. Cargar un objeto mediante

inducción no requiere contacto con el objeto que induce la carga.

Un proceso similar para cargar mediante inducción en conductores también tiene

lugar en los aislantes. En la mayoría de los átomos o moléculas neutras, el centro de carga

positiva coincide con el centro de carga negativa. Sin embargo, en presencia de un objeto

cargado, estos centros pueden separarse ligeramente, lo que resulta en más carga positiva

sobre un lado de la molécula que en el otro. Este efecto se conoce como polarización. El

realineamiento de carga dentro de moléculas individuales produce una carga inducida en

la superficie del aislante, como se muestra en la figura 15.5a. Esta propiedad explica por

qué un globo cargado mediante frotación se pegará a una pared eléctricamente neutra o

por qué el peine que acabas de usar en el cabello atrae pequeños trozos de papel neutro.

a

b

c

��

� �

��

�

��

��

��

�

�

��

��

��

��

� � � ��

��

� ��

�

Justo antes del contacto, la barra

negativa repele los electrones

de la esfera, lo que induce una

carga positiva localizada.

Cuando la barra se retira,

la esfera queda con una

carga negativa.

Después del contacto,

los electrones de la barra

fluyen hacia la esfera,

lo que neutraliza las

cargas positivas locales.

Figura 15.3 Carga de un objeto

metálico mediante conducción.

■ Examen rápido

15.1 Una pared neutra atrae un objeto suspendido A. Éste también es atraído por

un objeto con carga positiva B. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero acerca

del objeto A? a) No está cargado. b) Tiene carga negativa. c) Tiene carga positiva.

d) Puede estar cargado o no cargado.

15.3 | Ley de Coulomb 517

15.3 Ley de CoulombEn 1785, Charles Coulomb (1736–1806) estableció experimentalmente la ley fundamental

de la fuerza eléctrica entre dos partículas cargadas estacionarias.

Una fuerza eléctrica tiene las siguientes propiedades:

1. Está dirigida a lo largo de una recta que une las dos partículas y es inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia de separación r entre ellas.

2. Es proporcional al producto de las magnitudes de las cargas, 0 q1 0 y 0 q2 0, de las dos

partículas.

3. Es atractiva si las cargas son de signo opuesto y repulsiva si las cargas tienen el

mismo signo.

A partir de estas observaciones, Coulomb propuso la siguiente forma matemática para la

fuerza eléctrica entre dos cargas:

La magnitud de la fuerza eléctrica F entre las cargas q1 y q2 separada por una distan-

cia r está dada por

F 5 k e

0 q1 0 0 q2 0r 2

[15.1]

donde ke es una constante llamada constante de Coulomb.

La ecuación 15.1, conocida como ley de Coulomb, se aplica exactamente sólo a cargas

puntuales y a distribuciones esféricas de cargas, en cuyo caso r es la distancia entre los dos

centros de carga. Las fuerzas eléctricas entre cargas inmóviles se llaman fuerzas electrostá-ticas. Las cargas en movimiento, además, crean fuerzas magnéticas, que se estudian en el

capítulo 19.

El valor de la constante de Coulomb en la ecuación 15.1 depende de la elección de

unidades. La unidad SI de carga es el coulomb (C). A partir del experimento, sabemos que

la constante de Coulomb en unidades SI tiene el valor

ke 5 8.987 5 3 109 N ? m2/C2 [15.2]

Este número se puede redondear, dependiendo de la exactitud de otras cantidades en un

problema dado. En el texto emplearemos dos o tres dígitos significativos, como siempre.

Los electrones en una esfera

neutra se redistribuyen cuando

una barra de caucho cargada se

coloca cerca de la esfera.

Cuando la conexión a tierra se

retira, la esfera tiene exceso de

carga positiva que no se distribuye

uniformemente.

Cuando la esfera está aterrizada,

algunos de sus electrones salen a

través del alambre de tierra.

Una esfera metálica neutra,

con igual número de cargas

positivas y negativas.

Cuando la barra se retira, los

electrones restantes se redistribuyen

uniformemente y hay una

distribución uniforme neta de

carga positiva sobre la esfera.

b

a

c

d

e

�

�

�

�

�

��

�

��

�

�

�

��

�

��

�

�

�

��

�

� � �

� � �

� � �

�

� �

�

�

�

��

��

�

�

�

��

�

�

��

�

��

�

��

�

�

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

� �

�

Figura 15.4 Carga de un objeto

metálico mediante inducción. a) Una

esfera metálica neutra b) una barra

de caucho cargada se coloca cerca de

la esfera c) la esfera está aterrizada

d) la conexión a tierra se retira

e) la barra se retira.

Pared

Globo

cargadoCargas

inducidas

�

�

�

�

�

�

�

�

��

��

��

��

��

El globo cargado

positivamente induce

una migración de

cargas negativas en la

superficie de la pared.

a

La barra cargada atrae el papel porque

una separación de carga es inducida en

las moléculas del papel.

b

Figura 15.5 a) Un globo cargado es acercado a una pared aislante. b) Una barra de carga es acercada

a trozos de papel.

. C

harle

s D.

Win

ters

/Cen

gage

Lea

rnin

g


Tabla 15.1 Carga y masa de electrón, protón y neutrón

Partícula Carga (C) Masa (kg)

Electrón

Protón

Neutrón

21.60 3 10219

11.60 3 10219

0

9.11 3 10231

1.67 3 10227

1.67 3 10227

La carga sobre el protón tiene una magnitud de e 5 1.6 3 10219 C. Por lo tanto, se

necesitarían 1/e 5 6.3 3 1018 protones para crear una carga total de 11.0 C. Del mismo

modo, 6.3 3 1018 electrones tendrían una carga de 21.0 C. Compare esta carga con el

número de electrones libres en 1 cm3 de cobre, que está en el orden de 1023. Aún así, 1.0

C es una cantidad muy grande. En experimentos electrostáticos típicos en los que una

barra de caucho o vidrio se carga mediante fricción, hay una carga neta en el orden

de 1026 C (5 1 mC). Sólo una fracción muy pequeña de la carga total disponible se trans-

fiere entre la barra y el material que frota. La tabla 15.1 menciona las cargas y masas de

electrón, protón y neutrón.

Cuando use la ley de fuerza de Coulomb, recuerde que la fuerza es una cantidad vecto-

rial y se debe tratar en concordancia. La figura activa 15.6a muestra la fuerza de repulsión

eléctrica entre dos partículas con carga positiva. Como otras fuerzas, las fuerzas eléctricas

obedecen la tercera ley de Newton; por lo tanto, las fuerzas FS

12 y FS

21 son iguales en magni-

tud pero opuestas en dirección. (La notación FS

12 denota la fuerza que ejerce la partícula

1 sobre la partícula 2; del mismo modo, FS

21 es la fuerza que ejerce la partícula 2 sobre la

partícula 1.) A partir de la tercera ley de Newton, F12 y F21 siempre son iguales sin importar

si q1 y q2 tienen la misma magnitud.

■ Examen rápido

15.2 El objeto A tiene una carga de 12 mC y el objeto B una carga de 16 mC. ¿Cuál

enunciado es verdadero?

a) FS

AB 5 23FS

BA b) FS

AB 5 2FS

BA c) 3FS

AB 5 2FS

BA

La fuerza de Coulomb es similar a la fuerza gravitacional. Ambas actúan a una distancia

sin contacto directo. Ambas son inversamente proporcionales a la distancia al cuadrado,

con la fuerza dirigida a lo largo de una recta que conecta los dos cuerpos. La forma ma-

temática es la misma, con las masas m1 y m2 en la ley de Newton sustituidas por q1 y q2 en

la ley de Coulomb y con la constante ke de Coulomb en sustitución de la constante G de

Newton. Existen dos diferencias importantes: 1) las fuerzas eléctricas pueden ser atractivas

o repulsivas, pero las fuerzas gravitacionales siempre son atractivas y 2) la fuerza eléctrica

entre partículas elementales cargadas es mucho más intensa que la fuerza gravitacional en-

tre las mismas partículas, como lo demuestra el siguiente ejemplo.

r

q1

q2

Cuando las cargas son del mismo

signo, la fuerza es repulsiva.

ba

F12

S

F21

S

�

�

q1

q2

Cuando las cargas son de signo

opuesto, la fuerza es atractiva.

F12

S

F21

S

�

�

Figura activa 15.6 Dos cargas

puntuales separadas una distancia r ejercen una fuerza mutua dada por

la ley de Coulomb. La fuerza sobre

q1 es igual en magnitud y opuesta

en dirección a la fuerza sobre q2.

Charles Coulomb(1736-1806)

La principal contribución de Coulomb

a la ciencia fue en el campo de la elec-

trostática y el magnetismo. Durante

su vida, también investigó las resis-

tencias de los materiales e identificó

las fuerzas que afectan a los objetos

en vigas y, por lo tanto, contribuyó al

campo de la mecánica estructural.

AIP

Emili

o Se

gre

Visu

al A

rchi

ves,

E. S

cott

Bar

r Col

lect

ion


El principio de superposiciónCuando un número de cargas separadas actúa sobre la carga de interés, cada una ejerce

una fuerza eléctrica. Estas fuerzas eléctricas se pueden calcular por separado, una a la vez,

■ EJEMPLO 15.1 Fuerzas en un átomo de hidrógeno

OBJETIVO Contrastar las magnitudes de una fuerza eléctrica y una fuerza gravitacional.

PROBLEMA El electrón y el protón de un átomo de hidrógeno están separados (en promedio) por una distancia de aproxi-

madamente 5.3 3 10211 m. a) Determine las magnitudes de la fuerza eléctrica y la fuerza gravitacional que cada partícula

ejerce sobre la otra y la razón de la fuerza eléctrica Fe a la fuerza gravitacional Fg. b) Calcule la aceleración causada por

la fuerza eléctrica del protón sobre el electrón. Repita para la aceleración gravitacional.

ESTRATEGIA Resolver este problema sólo es cuestión de sustituir cantidades conocidas en las dos leyes de fuerza y luego

encontrar la razón.

SOLUCIÓNa) Calcule las magnitudes de las fuerzas eléctrica y gravita-

cional, y encuentre la razón Fe/Fg.

Sustituya 0q1 0 5 0q2 0 5 e y la distancia en la ley de

Coulomb para encontrar la fuerza eléctrica:

Sustituya las masas y la distancia en la ley de gravedad

de Newton para encontrar la fuerza gravitacional:

Encuentre la razón entre las dos fuerzas:

b) Calcule la aceleración del electrón causada por la

fuerza eléctrica. Repita para la aceleración gravitacional.

Use la segunda ley de Newton y la fuerza eléctrica que

encontró en el inciso a):

Use la segunda ley de Newton y la fuerza gravitacional

que encontró en el inciso a):

COMENTARIOS La fuerza gravitacional entre los constituyentes cargados del átomo es despreciable en comparación con

la fuerza eléctrica entre ellos. Sin embargo, la fuerza eléctrica es tan intensa que cualquier carga neta sobre un objeto atrae

rápidamente cargas opuestas cercanas, lo que neutraliza el objeto. Como resultado, la gravedad juega un mayor papel en la

mecánica de los objetos en movimiento de la vida diaria.

PREGUNTA 15.1 Si la distancia entre dos cargas se duplica, ¿en qué factor cambia la magnitud de la fuerza eléctrica?

EJERCICIO 15.1 a) Encuentre la magnitud de la fuerza eléctrica entre dos protones separados por 1 femtómetro (10215 m),

aproximadamente la distancia entre dos protones en el núcleo de un átomo de helio. b) Si los protones no se mantienen

unidos por la fuerza nuclear fuerte, ¿cuál sería su aceleración inicial debido a la fuerza eléctrica entre ellos?

RESPUESTAS a) 2 3 102 N b) 1 3 1029 m/s2

Fe 5 ke

0 e 0 2r 2

5 a8.99 3 109 N # m2

C2 b 11.6 3 10219 C 22

15.3 3 10211 m 22

5 8.2 3 1028 N

Fg 5 Gm em p

r 2

5 a6.67 3 10211 N # m2

kg2 b 19.11 3 10231 kg 2 11.67 3 10227 kg 215.3 3 10211 m 22

5 3.6 3 10247 N

Fe

Fg5 2.3 3 1039

m eae 5 Fe S ae 5Fe

m e5

8.2 3 1028 N

9.11 3 10231 kg5 9.0 3 1022 m/s2

m eag 5 Fg S ag 5Fg

m e5

3.6 3 10247 N

9.11 3 10231 kg5 4.0 3 10217 m/s2


y luego sumarse como vectores. Éste es otro ejemplo del principio de superposición. A

continuación se ilustra este procedimiento en una dimensión.

■ EJEMPLO 15.2 Encontrar equilibrio electrostático

OBJETIVO Aplicar la ley de Coulomb en una dimensión.

PROBLEMA Tres cargas yacen a lo largo del eje x, como en la figura

15.7. La carga positiva q1 5 15 mC está en x 5 2.0 m, y la carga positiva

q2 5 6.0 mC está en el origen. ¿Dónde debe colocarse una carga nega-tiva q3 sobre el eje x, de modo que la fuerza eléctrica resultante sobre

ella sea cero?

ESTRATEGIA Si q3 está a la derecha o a la izquierda de las otras dos

cargas, la fuerza neta sobre q3 no puede ser cero porque entonces

FS

13 y FS

23 actúan en la misma dirección. En consecuencia, q3 se debe

encontrar entre las otras dos cargas. Escriba FS

13 y FS

23 en términos

de la posición coordenada desconocida x, luego súmelas e iguale a

cero y resuelva para la incógnita. La solución se puede obtener con

la fórmula cuadrática.

SOLUCIÓNEscriba la componente x de F

S

13:

Escriba la componente x de FS

23:

Iguale la suma a cero:

Cancele ke, 1026 y q3 de la ecuación y reordene términos

(las cifras significativas explícitas y las unidades se suspen-

den temporalmente por claridad):

(1) 6(2 2 x)2 5 15x2

Escriba esta ecuación en forma cuadrática estándar,

ax2 1 bx 1 c 5 0:6(4 2 4x 1 x2) 5 15x2 S 2(4 2 4x 1 x2) 5 5x2

3x2 1 8x 2 8 5 0

Aplique la fórmula cuadrática:

Sólo la raíz positiva tiene sentido: x 5 0.77 m

COMENTARIOS Advierta que se requirió razonamiento físico para elegir entre dos posibles respuestas para x, que casi

siempre es el caso cuando se involucran ecuaciones cuadráticas. Podría evitarse el uso de la fórmula cuadrática al tomar la

raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación (1); sin embargo, con frecuencia este atajo no está disponible.

PREGUNTA 15.2 Si q1 tiene la misma magnitud que antes, pero es negativa, ¿en qué región a lo largo del eje x sería posi-

ble que la fuerza eléctrica neta sobre q3 sea cero? a) x , 0 b) 0 , x , 2 m c) 2 m , x

EJERCICIO 15.2 Tres cargas se encuentran a lo largo del eje x. Una carga positiva q1 5 10.0 mC está en x 5 1.00 m, y una

carga negativa q2 5 22.00 mC está en el origen. ¿Dónde se debe colocar una carga positiva q3 sobre el eje x de modo que la

fuerza resultante sea cero?

RESPUESTA x 5 20.809 m

F13x 5 1ke 115 3 1026 C 2 0 q3 0

12.0 m 2 x 22

F23x 5 2ke 16.0 3 1026 C 2 0 q3 0

x2

ke 115 3 1026 C 2 0 q3 0

12.0 m 2 x 222 ke

16.0 3 1026 C 2 0 q3 0x2

5 0

x 528 6 !64 2 14 2 13 2 128 2

2 # 35

24 6 2!10

3

x

q1

x

y

q3q2

��

F13

SF23

S

2.0 m

2.0 � x

Figura 15.7 (Ejemplo 15.2) Tres cargas puntuales se colo-

can a lo largo del eje x. La carga q3 es negativa, mientras que

q1 y q2 son positivas. Si la fuerza resultante sobre q3 es cero, la

fuerza FS

13 ejercida por q1 sobre q3 debe ser igual en magnitud

y opuesta a la fuerza FS

23 ejercida por q2 sobre q3.

■ EJEMPLO 15.3 Un triángulo de carga

OBJETIVO Aplicar la ley de Coulomb en dos dimensiones.

PROBLEMA Considere tres cargas puntuales en las esquinas

de un triángulo, como se muestra en la figura 15.8, donde

q1 5 6.00 3 1029 C, q2 5 22.00 3 1029 C y q3 5 5.00 3 1029 C.

a) Encuentre los componentes de la fuerza FS

23 ejercida por q2

sobre q3. b) Encuentre las componentes de la fuerza FS

13 ejer-

cida por q1 sobre q3. c) Encuentre la fuerza resultante sobre

q3, en términos de las componentes y también en términos de

magnitud y dirección.

ESTRATEGIA La ley de Coulomb da la magnitud de cada

fuerza, que se puede separar con trigonometría de triángulo

recto en componentes x y y. Sume los vectores en forma de

componentes y luego encuentre la magnitud y dirección del

vector resultante.

SOLUCIÓNa) Determine las componentes de la fuerza ejercida por q2

sobre q3.

Encuentre la magnitud de FS

23 con la ley de Coulomb:

Puesto que FS

23 es horizontal y apunta en la dirección

negativa, el negativo de la magnitud proporciona

la componente x, y la componente y es cero:

F23x 5 25.62 3 1029 N

F23y 5 0

b) Determine las componentes de la fuerza ejercida por

q1 sobre q3.

Encuentre la magnitud de FS

13:

Use el triángulo dado para encontrar las componentes

de FS

13:F13x 5 F13 cos u 5 (1.08 3 1028 N) cos (36.9°)

5 8.64 3 1029 N

F13y 5 F13 sen u 5 (1.08 3 1028 N) sen (36.9°)

5 6.48 3 1029 N

c) Determine las componentes del vector resultante.

Sume las componentes x para encontrar la resultante Fx: Fx 5 25.62 3 1029 N 1 8.64 3 1029 N

5 3.02 3 1029 N

Sume las componentes y para encontrar la resultante Fy: Fy 5 0 1 6.48 3 1029 N 5 6.48 3 1029 N

Encuentre la magnitud de la fuerza resultante sobre

la carga q3, con el uso del teorema de Pitágoras:

Determine el ángulo que la fuerza resultante forma

con respecto al eje x positivo:

F23 5 ke

0 q2 0 0 q3 0r 2

5 18.99 3 109 N # m2/C2 2 12.00 3 1029 C 2 15.00 3 1029 C 214.00 m 22

F23

5 5.62 3 1029 N

F13 5 ke

0 q1 0 0 q3 0r 2

5 18.99 3 109 N # m2/C2 2 16.00 3 1029 C 2 15.00 3 1029 C 215.00 m 22

F13

5 1.08 3 1028 N

0 FS 0 5 "Fx2 1 Fy

2

5 "13.01 3 1029 N 22 1 16.50 3 1029 N 22

5 7.15 3 1029 N

u 5 tan21aFy

Fxb 5 tan21a6.48 3 1029 N

3.02 3 1029 Nb 5 65.0°


13

F sen 36.9�13

F cos 36.9�13

23

5.00 m

q3

q1

q2

3.00 m

y

x

36.9�4.00 m� �

�

FS

FS

Figura 15.8 (Ejemplo 15.3) La fuerza ejercida por q1 sobre q3 es

FS

13. La fuerza ejercida por q2 sobre q3 es FS

23. La fuerza resultante FS

3 ejercida sobre q3 es la suma vectorial F

S13 1 F

S23.

(continúa)


15.4 El campo eléctricoLa fuerza gravitacional y la fuerza electrostática son capaces de actuar a lo largo del es-

pacio, lo que produce un efecto incluso cuando no hay algún contacto físico entre los

objetos involucrados. Las fuerzas de campo se pueden estudiar en varias formas, pero

un enfoque desarrollado por Michael Faraday (1791–1867) es el más práctico. En este

enfoque, se dice que existe un campo eléctrico en la región de espacio alrededor de un

objeto cargado. El campo eléctrico ejerce una fuerza eléctrica sobre cualquier otro objeto

cargado dentro del campo. Esto difiere del concepto de la ley de Coulomb de una fuerza

ejercida a una distancia en que la fuerza ahora se ejerce por algo, el campo, que está en la

misma posición que el objeto cargado.

La figura 15.9 muestra un objeto con una pequeña carga positiva q0 colocada cerca de

un segundo objeto con una carga positiva mucho más grande Q.

El campo eléctrico ES

producido por una carga Q en la posición de una pequeña

carga “de prueba” q0 se define como la fuerza eléctrica FS

ejercida por Q sobre q0,

dividida entre la carga de prueba q0:

ES

;FS

q0

[15.3]

Unidad SI: newton por coulomb (N/C)

Conceptual y experimentalmente, se requiere que la carga de prueba q0 sea muy pequeña

(arbitrariamente pequeña, de hecho), de modo que no cause reordenamiento significati-

vo de la carga que crea el campo eléctrico ES

. Sin embargo, matemáticamente, el tamaño

de la carga de prueba no hace diferencia: el cálculo resulta el mismo, sin importar lo

anterior. En vista de esto, el uso de q0 5 1 C en la ecuación 15.3 puede ser conveniente, si

no riguroso.

Cuando se usa una carga de prueba positiva, el campo eléctrico siempre tiene la misma

dirección que la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba, lo que se sigue a partir de la

ecuación 15.3. Por lo tanto, en la figura 15.9, la dirección del campo eléctrico es horizontal

y hacia la derecha. El campo eléctrico en el punto A de la figura 15.10a es vertical y hacia

abajo, porque en dicho punto una carga de prueba positiva se atraería hacia la esfera con

carga negativa.

COMENTARIOS Los métodos utilizados aquí son como los empleados con la ley de gravedad de Newton en dos dimensiones.

PREGUNTA 15.3 Sin calcular realmente la fuerza eléctrica sobre q2, determine el cuadrante hacia donde apunta el vector

de fuerza eléctrica.

EJERCICIO 15.3 Con el mismo triángulo, encuentre las componentes vectoriales de la fuerza eléctrica sobre q1, así como

la magnitud y dirección del vector.

RESPUESTAS Fx 5 28.64 3 1029 N, Fy 5 5.52 3 1029 N, F 5 1.03 3 1028 N, u 5 147°

APq0P

�

��

�

�

��

�

�

��

��

��

��

��

�

ES

ES

a b c

Figura 15.9 Un pequeño objeto

con una carga positiva q0, colocado

cerca de un objeto con una carga

positiva mayor Q , experimenta un

campo eléctrico ES

dirigido como se

muestra. La magnitud del campo

eléctrico en la posición de q0 se

define como la fuerza eléctrica

sobre q0 dividida entre la carga q0.

Q

Carga de prueba

Carga fuente

q0

� �

� �

� �

� ��

� �

�

�

�

� ES

Figura 15.10 a) El campo eléctrico

en A debido a la esfera con carga

negativa es hacia abajo, hacia la

carga negativa. b) El campo eléctrico

en P debido a la esfera conductora

con carga positiva es hacia arriba,

alejándose de la carga positiva. c) Una

carga de prueba q0 colocada en P causará un reordenamiento de carga

sobre la esfera, a menos que q0 sea

muy pequeña en comparación con

la carga sobre la esfera.

15.4 | El campo eléctrico 523

Una vez que se conoce el campo eléctrico debido a un ordenamiento dado de cargas

en algún punto, la fuerza sobre cualquier partícula con carga q colocada en dicho punto se

puede calcular a partir de un reordenamiento de la ecuación 15.3:

FS

5 qES

[15.4]

Aquí, q0 se sustituyó con q, que no necesita ser una simple carga de prueba.

Como se muestra en la figura activa 15.11, la dirección de ES

es la dirección de la fuerza

que actúa sobre una carga de prueba positiva q0 colocada en el campo. Se dice que en un

punto existe un campo eléctrico si en dicho lugar una carga de prueba experimenta una

fuerza eléctrica.

Considere una carga puntual q ubicada a una distancia r de una carga de prueba q0.

De acuerdo con la ley de Coulomb, la magnitud de la fuerza eléctrica de la carga q sobre la

carga de prueba es

F 5 k e

0 q 0 0 q0 0r 2

[15.5]

Puesto que la magnitud del campo eléctrico en la posición de la carga de prueba se defi-

ne como E 5 F/q 0, vemos que la magnitud del campo eléctrico debido a la carga q en la

posición de q0 es

E 5 k e 0 q 0r 2 [15.6]

La ecuación 15.6 puntualiza una importante propiedad de los campos eléctricos que los

convierte en cantidades útiles para describir los fenómenos eléctricos. Como la ecuación

indica, un campo eléctrico en un punto dado depende sólo de la carga q sobre el objeto

que establece el campo y la distancia r desde dicho objeto hacia un punto específico en el

espacio. Como resultado, se puede decir que en el punto P de la figura activa 15.11 existe

un campo eléctrico haya o no una carga de prueba en P.

El principio de superposición se sostiene cuando se calcula el campo eléctrico debido a

un grupo de cargas puntuales. Primero use la ecuación 15.6 para calcular el campo eléctrico

producido por cada carga individualmente en un punto y luego sume los campos eléctri-

cos como vectores.

También es importante explotar cualquier simetría de la distribución de carga. Por

ejemplo, si en x 5 a y x 5 2a se colocan cargas iguales, el campo eléctrico es cero en el

origen, por simetría. De igual modo, si el eje x tiene una distribución uniforme de carga

positiva, se puede suponer por simetría que el campo eléctrico apunta alejándose del eje

x y es cero paralelo a dicho eje.

Si q es negativa, el campo eléctrico

en P apunta radialmente hacia

adentro, hacia q.

q

q0

r

q

P

P

�

�

ES

ES

a

b

Si q es positiva, el campo eléctrico

en P apunta radialmente hacia

afuera desde q.

q0

Figura activa 15.11 Una carga de prueba q0 en P está

a una distancia r de una carga

puntual q.

■ Examen rápido

15.3 Una carga de prueba de 13 mC está en un punto P donde el campo eléctrico

debido a otras cargas se dirige hacia la derecha y tiene una magnitud de 4 3 106 N/C.

Si la carga de prueba se sustituye con una carga de 23 mC, el campo eléctrico en P a) tiene la misma magnitud que antes, pero cambia de dirección, b) aumenta en mag-

nitud y cambia de dirección, c) permanece igual, d) disminuye en magnitud y cambia

de dirección.

15.4 Un anillo circular de carga, con radio b, tiene una carga total q distribuida uni-

formemente a su alrededor. Determine la magnitud del campo eléctrico en el centro

del anillo. a) 0 b) keq/b2 c) keq2/b2 d) keq

2/b e) ninguna de las anteriores respuestas es

correcta.

15.5 Un electrón “libre” y un protón “libre” se colocan en un campo eléctrico idén-

tico. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero? a) Sobre cada partícula actúa

la misma fuerza eléctrica y tiene la misma aceleración. b) La fuerza eléctrica sobre

el protón es mayor en magnitud que la fuerza eléctrica sobre el electrón, pero en

la dirección opuesta. c) La fuerza eléctrica sobre el protón es igual en magnitud a la

fuerza eléctrica sobre el electrón, pero en la dirección opuesta. d) La magnitud de

la aceleración del electrón es mayor que la del protón. e) Ambas partículas tienen la

misma aceleración.


■ EJEMPLO 15.4 Aceite electrificado

OBJETIVO Usar las fuerzas y campos eléctricos, junto con la segunda ley de Newton, en un problema unidimensional.

PROBLEMA En un experimento, diminutas gotas de aceite adquieren una pequeña carga negativa mientras caen a través

de un vacío (presión 5 0). Un campo eléctrico de magnitud 5.92 3 104 N/C apunta en línea recta hacia abajo. a) Se observa

que una gotita en particular permanece suspendida contra la gravedad. Si la masa de la gotita es 2.93 3 10215 kg, determine

la carga que porta la gotita. b) Otra gotita de la misma masa cae 10.3 cm desde el reposo en 0.250 s, de nuevo moviéndose a

través de un vacío. Determine la carga que porta la gotita.

ESTRATEGIA Use la segunda ley de Newton con las fuerzas gravitacional y eléctrica. En ambas partes el campo eléctrico ES

apunta hacia abajo, que se toma como la dirección negativa, como es usual. En la parte a), la aceleración es igual a cero. En el

inciso b), la aceleración es uniforme, de modo que las ecuaciones cinemáticas dan la aceleración. Entonces la ley de Newton

se puede resolver para q.

SOLUCIÓNa) Determine la carga sobre la gotita suspendida.

Aplique la segunda ley de Newton a la gotita en la dirección

vertical:

(1) ma 5 o F 5 2mg 1 Eq

E apunta hacia abajo, por lo tanto es negativo. Sea a 5 0

en la ecuación (1) y resuelva para q:

b) Determine la carga sobre la gotita que cae.

Use la ecuación de desplazamiento cinemático para

encontrar la aceleración:

Sustituya y 5 20.103 m, t 5 0.250 s y v0 5 0:

Resuelva la ecuación (1) para q y sustituya:

COMENTARIOS Este ejemplo muestra características similares al experimento de la gota de aceite de Millikan que se estu-

dió en la sección 15.7 y que determinó el valor de la carga eléctrica fundamental e. Observe que, en ambas partes del

ejemplo, la carga casi es un múltiplo de e.

PREGUNTA 15.4 ¿Cuál sería la aceleración de la gota de aceite en el inciso a), si el campo eléctrico súbitamente invierte su

dirección sin cambiar su magnitud?

EJERCICIO 15.4 Suponga que una gota de masa desconocida permanece suspendida contra la gravedad cuando E 5 22.70 3

105 N/C. ¿Cuál es la masa mínima de la gota?

RESPUESTA 4.41 3 10215 kg

q 5mg

E5

12.93 3 10215 kg 2 1 29.80 m/s2

25.92 3 104 N/C

5 24.85 3 10219 C

D 5 12aty 2 1 v0t

20.103 m 5 12 a 10.250 s 22 S a 5 23.30 m/s2

q 5m 1a 1 g 2

E

512.93 3 10215 kg 2 123.30 m/s2 1 9.80 m/s2 2

25.92 3 104 N/C

5 23.22 3 10219 C

■ ESTRATEGIA PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Cálculo de fuerzas y campos eléctricosEl siguiente procedimiento se utiliza para calcular fuerzas eléctricas. El mismo se puede usar para calcular un campo eléctrico, simplemente sustituyendo la carga de interés, q, con una carga de prueba conveniente y al final dividir entre la carga de prueba:

1. Dibuje un diagrama de las cargas en el problema.

2. Identifique la carga de interés, q, y enciérrela en un círculo.

3. Convierta todas las unidades a SI, con cargas en coulombs y distancias en metros,

para ser consistente con el valor SI de la constante de Coulomb k e.

4. Aplique la ley de Coulomb. Para cada carga Q, determine la fuerza eléctrica sobre la

carga de interés, q. La magnitud de la fuerza se puede encontrar a partir de la ley de

Coulomb.

15.4 | El campo eléctrico 525

La dirección vectorial de la fuerza eléctrica es a lo largo de la recta de las dos cargas,

con dirección alejándose de Q si las cargas tienen el mismo signo y hacia Q si las car-

gas tienen el signo opuesto. Determine el ángulo u que este vector forma con el eje x positivo. La componente x de la fuerza eléctrica ejercida por Q sobre q será F cos u, y

la componente y será F sen u.

5. Sume todas las componentes x, y obtenga la componente x de la fuerza eléctrica

resultante.

6. Sume todas las componentes y, y obtenga la componente y de la fuerza eléctrica

resultante.

7. Use el teorema de Pitágoras y trigonometría para encontrar la magnitud y direc-

ción de la fuerza resultante si se desea.

■ EJEMPLO 15.5 Campo eléctrico debido a dos cargas puntuales

OBJETIVO Usar el principio de superposición para

calcular el campo eléctrico debido a dos cargas

puntuales.

PROBLEMA La carga q1 5 7.00 mC está en el ori-

gen y la carga q2 5 25.00 mC está en el eje x, 0.300 m

del origen (figura 15.12). a) Encuentre la magnitud y

dirección del campo eléctrico en el punto P, que tiene

coordenadas (0, 0.400) m. b) Encuentre la fuerza

sobre una carga de 2.00 3 1028 C colocada en P.

ESTRATEGIA Siga la estrategia para solución de

problemas, encuentre el campo eléctrico en el punto P debido a cada carga individual en términos de las com-

ponentes x y y, luego sume las componentes de cada

tipo para obtener las componentes x y y del campo

eléctrico resultante en P. La magnitud de la fuerza en

el inciso b) se puede encontrar al simplemente multi-

plicar la magnitud del campo eléctrico por la carga.

SOLUCIÓNa) Calcule el campo eléctrico en P.

Encuentre la magnitud de ES

1 con la ecuación 15.6:

El vector ES

1 es vertical y forma un ángulo de 90° con res-

pecto al eje positivo x. Use este hecho para encontrar sus

componentes:

E1x 5 E1 cos (90°) 5 0

E1y 5 E1 sen (90°) 5 3.93 3 105 N/C

A continuación, encuentre la magnitud de ES

2, de nuevo

con la ecuación 15.6:

Obtenga la componente x de ES

2, a partir del triángulo

en la figura 15.12 para encontrar cos u:

Obtenga la componente y de la misma forma, pero se tiene

que proporcionar un signo menos para sen u porque esta

componente se dirige hacia abajo:

E1 5 ke

0 q1 0r1

25 18.99 3 109 N # m2/C2 2 17.00 3 1026 C 2

10.400 m 22

5 3.93 3 105 N/C

E2 5 ke

0 q2 0r2

25 18.99 3 109 N # m2/C2 2 15.00 3 1026 C 2

10.500 m 22

5 1.80 3 105 N/C

cos u 5ady

hip5

0.300

0.5005 0.600

E2x 5 E

2 cos u 5 (1.80 3 105 N/C)(0.600)

5 1.08 3 105 N/C

sen u 5op

hip5

0.400

0.5005 0.800

E2y 5 E

2 sen u 5 (1.80 3 105 N/C)(20.800)

5 21.44 3 105 N/C

Figura 15.12 (Ejemplo 15.5) El

campo eléctrico resultante ES

en P es

igual a la suma vectorial ES

1 1 ES

2,

donde ES

1 es el campo debido a la

carga positiva q1 y ES

2 es el campo

debido a la carga negativa q2.

0.400 m

u

u

f

P

2

0.500 m

1

y

x

q2q1

0.300 m� �

ES

ES

ES

(continúa)


15.5 Líneas de campo eléctricoUn conveniente auxiliar para visualizar los patrones de campo eléctrico es dibujar líneas

que apuntan en la dirección del vector de campo eléctrico en cualquier punto. Estas lí-

neas, que introdujo Michael Faraday y llamó líneas de campo eléctrico, se relacionan con

el campo eléctrico en cualquier región del espacio en la siguiente forma:

1. El vector de campo eléctrico ES

es tangente a las líneas del campo eléctrico en cada

punto.

2. El número de líneas por unidad de área a través de una superficie perpendicular a

las líneas es proporcional a la intensidad del campo eléctrico en una región dada.

Observe que ES

es grande cuando las líneas de campo están juntas y pequeño cuando las

líneas están separadas.

La figura 15.13a muestra algunas líneas de campo eléctrico representativas para una

sola carga puntual positiva. Este dibujo bidimensional contiene sólo las líneas de campo

que yacen en el plano que contiene la carga puntual. En realidad, las líneas se dirigen

radialmente hacia afuera desde la carga en todas direcciones, un poco como las púas de

un puerco espín enojado. Puesto que una carga q repelería una carga de prueba positiva co-

locada en este campo, las líneas se dirigen radialmente alejándose de la carga positiva. Las

líneas de campo eléctrico para una sola carga puntual negativa se dirigen hacia la carga

(figura 15.13b) porque una carga de prueba positiva es atraída por una carga negativa.

En cualquier caso, las líneas son radiales y se extienden hacia el infinito. Observe que las

Sume las componentes x para obtener la componente x del vector resultante:

Ex 5 E1x 1 E2x 5 0 1 1.08 3 105 N/C 5 1.08 3 105 N/C

Sume las componentes y para obtener la componente y del

vector resultante:Ey 5 E1y 1 E2y 5 3.93 3 105 N/C 2 1.44 3 105 N/C

Ey 5 2.49 3 105 N/C

Use el teorema de Pitágoras para encontrar la magnitud

del vector resultante:

La función tangente inversa produce la dirección del vector

resultante:

b) Determine la fuerza sobre una carga de 2.00 3 1028 C

colocada en P.

Calcule la magnitud de la fuerza (la dirección es la misma

que la de ES

porque la carga es positiva):

F 5 Eq 5 (2.71 3 105 N/C)(2.00 3 1028 C)

5 5.42 3 1023 N

COMENTARIOS En este problema hubo muchos pasos, pero cada uno fue muy corto. Cuando se atacan tales problemas,

es importante enfocarse en un pequeño paso a la vez. La solución no proviene de un salto de genialidad, sino del ensamble

de algunas partes relativamente sencillas.

PREGUNTA 15.5 Suponga que q2 se mueve lentamente hacia la derecha. ¿Qué ocurriría con el ángulo f?

EJERCICIO 15.5 a) Coloque una carga de 27.00 mC en el punto P y encuentre la magnitud y dirección del campo eléc-

trico en la ubicación de q2 debido a q1 y la carga en P. b) Determine la magnitud y dirección de la fuerza sobre q2.

RESPUESTAS a) 5.84 3 105 N/C, f 5 20.2 ° b) F 5 2.92 N, f 5 200 °.

E 5 "Ex2 1 Ey

2 5 2.71 3 105 N/C

f 5 tan21aEy

Exb 5 tan21a2.49 3 105 N/C

1.08 3 105 N/Cb 5 66.6°

Tip 15.1 Las líneas de campo eléctrico no son trayectorias de partículasLas líneas de campo eléctrico no son objetos materiales. Se usan

solamente como una representa-

ción visual del campo eléctrico

en varias posiciones. Excepto en

casos especiales, no representan

la trayectoria de una partícula

cargada liberada en un campo

eléctrico.

15.5 | Líneas de campo eléctrico 527

líneas están más juntas conforme se acercan a la carga, lo que indica que la intensidad del

campo aumenta. La ecuación 15.6 verifica que, de hecho, éste es el caso.

Las reglas para dibujar líneas de campo eléctrico para cualquier distribución de carga

se siguen directamente de la relación entre líneas de campo eléctrico y vectores de campo

eléctrico:

1. Las líneas para un grupo de cargas puntuales deben comenzar en las cargas posi-

tivas y terminar en las cargas negativas. En el caso de un exceso de carga, algunas

líneas comenzarán o terminarán infinitamente lejos.

2. El número de líneas dibujadas que salen de una carga positiva o terminan en una

carga negativa es proporcional a la magnitud de la carga.

3. Dos líneas de carga no pueden cruzarse una a otra.

La figura 15.14 muestra la hermosa simetría de las líneas de campo eléctrico para dos

cargas puntuales de igual magnitud pero signo opuesto. Esta configuración de carga se

llama dipolo eléctrico. Observe que el número de líneas que comienzan en la carga po-

sitiva debe ser igual al número de las que terminan en la carga negativa. En puntos muy

cercanos a cualquier carga, las líneas son casi radiales. La alta densidad de las líneas entre

las cargas indica un intenso campo eléctrico en esta región.

La figura 15.15 muestra las líneas de campo eléctrico en la vecindad de dos cargas pun-

tuales positivas iguales. De nuevo, cerca de cualquier carga las líneas son casi radiales. El

mismo número de líneas surge de cada carga porque las cargas son iguales en magnitud. A

Figura 15.13 a), b) Líneas de campo eléctrico para una carga puntual. Observe que las figuras sólo

muestran aquellas líneas de campo que yacen en el plano de la página.

q –q

Para una carga puntual

positiva, las líneas radian

hacia afuera.

Para una carga puntual

negativa las líneas

convergen hacia adentro.

a b

� �

El número de las líneas que salen

de la carga positiva es igual al

número de las que terminan

en la carga negativa.

� �

Figura 15.14 Líneas de campo

eléctrico para dos cargas puntua-

les iguales y opuestas (un dipolo

eléctrico).

C

A

B

� �

Figura 15.15 Líneas de campo

eléctrico para dos cargas puntuales

positivas. Los puntos A, B y C se ana-

lizan en la pregunta rápida 15.6.


grandes distancias de las cargas, el campo es aproximadamente igual al de una sola carga

puntual de magnitud 2q. La protuberancia de las líneas de campo eléctrico entre las cargas

refleja la naturaleza repulsiva de la fuerza eléctrica entre cargas iguales. Además, la baja

densidad de las líneas de campo entre las cargas indica un campo débil en esta región, a

diferencia del dipolo.

Finalmente, la figura activa 15.16 es un bosquejo de las líneas de campo eléctrico aso-

ciado con la carga positiva 12q y la carga negativa 2q. En este caso, el número de líneas

que salen de la carga 12q es el doble del número de las que terminan en la carga 2q. Por

lo tanto, sólo la mitad de las líneas que salen de la carga positiva terminan en la carga

negativa. La mitad restante termina en las cargas negativas que se supuso se ubican en el

infinito. A grandes distancias de las cargas (grande en comparación con la separación de

las cargas), las líneas de campo eléctrico son equivalentes a las de una sola carga 1q.

�2q �q

Dos líneas salen de la carga �2q

para cada línea que termina en �q.

� �

Figura activa 15.16 Líneas de

campo eléctrico para una carga pun-

tual de 12q y una segunda

carga puntual de 2q.

■ Examen rápido

15.6 Clasifique las magnitudes del campo eléctrico en los puntos A, B y C en la figura

15.15, de mayor a menor.

a) A, B, C b) A, C, B c) C, A, B d) La respuesta no se puede determinar mediante ins-

pección visual.

■ FÍSICA APLICADA 15.1 Medición de los campos eléctricos atmosféricos

El campo eléctrico cerca de la superficie de la Tierra con

buen clima es de aproximadamente 100 N/C hacia abajo.

Bajo una nube de tormenta, el campo eléctrico puede ser

muy grande, del orden de 20 000 N/C. ¿Cómo se midieron

estos campos eléctricos?

EXPLICACIÓN Un dispositivo para medir estos campos se

llama molino de campo. La figura 15.17 muestra las compo-

nentes fundamentales de un molino de campo: dos placas

metálicas paralelas al suelo. Cada placa se conecta a tierra

con un alambre, con un amperímetro (un dispositivo de

baja resistencia para medir el flujo de carga, que será ana-

lizado en la sección 17.3) en la ruta. Considere primero

sólo la placa inferior. Puesto que se conecta a tierra y la

tierra porta una carga negativa, la placa tiene carga nega-

tiva. Por lo tanto, las líneas de campo eléctrico se dirigen

hacia abajo y terminan en la placa como en la figura 15.17a.

Ahora imagine que la placa superior se mueve súbitamente

sobre la placa inferior, como en la figura 15.17b. Esta placa

se conecta a tierra y también tiene carga negativa, de modo

que las líneas de campo ahora terminan en la placa supe-

rior. Las cargas negativas en la placa inferior se repelen por

las de la placa superior y deben pasar a través del amperí-

metro, que registra un flujo de carga. La cantidad de carga

que estaba en la placa inferior se relaciona con la intensidad del

campo eléctrico. De esta forma, el flujo de carga a través

del amperímetro se puede calibrar para medir el campo

eléctrico. Por lo general, las placas se diseñan como las

aspas de un ventilador y la placa superior gira de modo que

la placa inferior alternativamente se cubre y descubre. Como

resultado, las cargas fluyen de ida y vuelta de manera conti-

nua a través del amperímetro y la lectura se puede relacionar

con la intensidad del campo eléctrico. ■

A A

a b

Las líneas de campo eléctrico

terminan en cargas negativas

sobre la placa inferior.

La segunda placa se mueve

sobre la placa inferior. Ahora

las líneas del campo eléctrico

terminan en la placa superior

y las cargas negativas en la placa

inferior se repelen a través

del amperímetro.

Figura 15.17 Configuración expe-

rimental para física aplicada 15.1.

15.6 | Conductores en equilibrio electrostático 529

15.6 Conductores en equilibrio electrostáticoUn buen conductor eléctrico como el cobre, aunque eléctricamente neutro, contiene car-

gas (electrones) que no están ligadas a átomo alguno y tienen libertad de moverse dentro

del material. Cuando no ocurre movimiento neto de carga dentro de un conductor, se dice

que el conductor está en equilibrio electrostático. Un conductor aislado (aquel que está

aislado de tierra) tiene las siguientes propiedades:

1. El campo eléctrico es cero en todas partes dentro del material conductor.

2. Cualquier exceso de carga en un conductor aislado reside por completo en su

superficie.

3. El campo eléctrico justo afuera de un conductor cargado es perpendicular a la

superficie del conductor.

4. En un conductor con forma irregular, la carga se acumula en los puntos agudos,

donde el radio de curvatura de la superficie es más pequeño.

La primera propiedad se puede entender al examinar lo que ocurriría si no fuese cier-

ta. Si hubiese un campo eléctrico dentro de un conductor, la carga libre se movería y crea-

ría un flujo de carga, o corriente. Sin embargo, si hubiese un movimiento neto de carga,

el conductor ya no estaría en equilibrio electrostático.

La propiedad 2 es un resultado directo de la repulsión 1/r 2 entre cargas iguales des-

crita por la ley de Coulomb. Si por algún medio un exceso de carga se coloca dentro de

un conductor, las fuerzas repulsivas entre las cargas iguales las empuja tan lejos como sea

posible, lo que hace que rápidamente migren hacia la superficie. (Aquí no se demostrará,

pero el exceso de carga reside en la superficie porque la ley de Coulomb es una ley de

cuadrado inverso. Con cualquier otra ley de potencia, en la superficie existiría un exceso

de carga, pero habría una distribución de carga, o del mismo o de signo opuesto, dentro del

conductor.)

La propiedad 3 se puede entender al considerar nuevamente lo que ocurriría si no

fuese cierta. Si el campo eléctrico en la figura 15.18 no fuese perpendicular a la superficie,

tendría una componente a lo largo de la superficie, que haría que las cargas libres del con-

ductor se muevan (hacia la izquierda en la figura). Sin embargo, si las cargas se mueven,

se crearía una corriente y el conductor ya no estaría en equilibrio electrostático. Por lo

tanto, ES

debe ser perpendicular a la superficie.

Para ver por qué la propiedad 4 debe ser cierta, considere la figura 15.19a (página 530),

que muestra un conductor que es bastante plano en un extremo y relativamente afilado en

el otro. Cualquier exceso de carga colocada en el objeto se mueve hacia su superficie. La

figura 15.19b muestra las fuerzas entre dos de tales cargas en el extremo más plano del

objeto. Estas fuerzas se dirigen predominantemente paralelas a la superficie, de modo que

b Propiedades de un conductor aislado

� � �

FS

ES

Figura 15.18 Esta situación es imposible

si el conductor está en equilibrio electros-

tático. Si el campo eléctrico ES

tenían una

componente paralela a la superficie,

una fuerza eléctrica que se ejerce sobre

las cargas a lo largo de la superficie y que

se trasladaría a la izquierda.

Mientras que la física puede parecer difícil, su verdadera calidad es la simplicidad de las teorías físicas fundamentales,

las teorías y conceptos que pueden enriquecer la perspectiva del mundo que te rodea. Fundamentos de Física, novena

edición, ofrece una estrategia clara para la conexión de esas teorías con una constante de resolución de problemas,

cuidando reforzar esta metodología a lo largo del texto y la conexión a ejemplos del mundo real.

Características

añadieron o revisaron ejemplos finales, preguntas y ejercicios. Las preguntas por lo general requieren una respuesta

conceptual o determinación, pero también incluir los conocimientos que requieren estimaciones de las relaciones

entre conceptos. Las respuestas a las preguntas de ejemplo se pueden encontrar en la parte final del libro.

-

lución de los tipos de problemas que aparecen en ambos ejemplos resueltos y en los problemas de final de capítulo.

Exámenes rápidos dan a los estudiantes oportunidades para

probar su comprensión del concepto físico presentado en el texto. Recuadros con TIPs o consejos ayudan a los estu-

diantes a evitar malentendidos comunes. Secciones de Física aplicada

-

BIO para ayudar a motivar a los estudiantes a domi-

nar el contenido.

http://latinoamerica.cengage.com

Documents

Fundamentos de Física 9a. Ed. Impreso. Raymond A. Serway & Chris Vuille