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TEMA II. FUERZA El comportamiento de un objeto depende de las fuerzas que se ejercen sobre él.
Las leyes de la estática son las condiciones en las cuales permanece en reposo un objeto.
PROPIEDADES DE LAS FUERZAS La fuerza es una influencia que al actuar sobre un objeto le altera su estado de
movimiento. Primera propiedad .- La fuerza la aplica siempre un objeto material a otro.
Segunda propiedad .- Una fuerza se caracteriza por la magnitud, la dirección y el sentido en el que actúa.
Unidades : Sistema británico : la libra (lb) Sistema internacional : el Newton (N) Otro sistema : kilogramo-fuerza (kilopondio) (kp) 1 kp = 9.81 N 1 lb = 4.45 N
Tercera propiedad. (Tercera ley de Newton del movimiento) .- Siempre que un objeto A ejerza una fuerza F sobre otro objeto B, el objeto B ejerce simultáneamente sobre A una fuerza R. La fuerza R es de igual magnitud y dirección que la fuerza F pero de sentido opuesto
Las dos fuerzas de cualquier pareja de fuerzas reciben el nombre de acción y reacción.
Cuarta propiedad .- Si dos (o más) fuerzas se ejercen simultáneamente sobre un mismo cuerpo, su efecto es el mismo que ejercería una sola fuerza igual a la suma vectorial de las fuerzas individuales.
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Primera ley de Newton del movimiento .- Para que un objeto permanezca en
reposo, es decir, esté en equilibrio, es necesario que la suma vectorial de todas las fuerzas que se ejerzan sobre el objeto sea nula.
ALGUNAS FUERZAS CONCRETAS
Fuerza de gravedad Es la fuerza que ejerce la Tierra sobre todos los cuerpos próximos a su
superficie. La fuerza de la gravedad también se llama peso.
Fuerza de un resorte Fg = Kx donde : Fg = magnitud de la fuerza
K = constante de resorte
X = distancia de alargamiento del resorte.
El dinamómetro utiliza el alargamiento de un resorte para medir fuerzas.
Fuerza Normal Cuando se sitúa un bloque encima de una mesa se ejerce una fuerza normal Fn en
el sentido inverso a la fuerza de gravedad. Entonces tendremos que Fn = - Fg. Siempre que estén en contacto cuerpos sólidos, se ejercen fuerzas normales. Son
fuerzas reales y van acompañadas de pequeñas deformaciones de las superficies de los cuerpos que les dan origen.
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Fuerza de rozamiento El rozamiento, como fuerza normal, es una fuerza que una superficie aplica a un
cuerpo en contacto con ella. Sin embargo, mientras la fuerza normal es perpendicular a la superficie, el rozamiento es paralelo a ella
El rozamiento estático es la fuerza que se aplica sobre un cuerpo en reposo, mientras que el rozamiento cinético es el que se aplica en un cuerpo en movimiento,
La fuerza máxima de rozamiento estático depende de la naturaleza de las dos superficies de contacto.
Fuerza máxima de rozamiento estático = Ff,max = µs • Fn Donde : µs = coeficiente de rozamiento estático
Compresión y tracción Un cuerpo sólido sometido a fuerzas compresivas opuestas F1 y F2 = - F1 por uno
y otro lado permanecerá en reposo. El bloque estará en un estado de compresión En el caso contrario, cuando las fuerzas tiran del bloque, estará en un estado de
tracción.
Cuerdas flexibles Una cuerda flexibles posee algunas propiedades particulares: 1) Puede estar en estado de tracción, pero no es compresión. 2) Puede transmitir una fuerza según su longitud. 3) En ausencia de rozamiento, la tensión es la misma en todos los puntos de la
cuerda.
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SUMA DE VECTORES Definición .- Un vector es una cantidad física, tal como una fuerza, que tiene
magnitud, dirección y sentido. Método gráfico .- Cada fuerza se representa por una flecha cuya longitud
representa la magnitud de la fuerza de acuerdo con una escala elegida adecuadamente. La dirección y sentido de la flecha son iguales a la dirección y sentido de la
fuerza que representan. Cuando se colocan las flechas con el origen de una en el extremo de la otra, la suma de las fuerzas está representada por la flecha cuyo origen es el de la primera y cuyo extremo es el de la última.
Método trigonométrico .- La trigonometría se basa en el hecho de que los cocientes entre los lados correspondientes de triángulos semejantes son iguales.
Seno θsen==hipotenusa
opuesto
Coseno θcos==hipotenusacontiguo
Tangente θtangcontiguoopuesto
==
Hipotenusa2 = opuesto2 + contiguo2
22 bah +=
Método del teorema de los senos .- Primero se dibuja la representación gráfica
de las fuerzas y se determinan todos los ángulos interiores del triángulo de las fuerzas. El teorema de los senos dice que todo triángulo de lados F1, F2 y F3 cuyos ángulos sean
21 ,θθ y 3θ se cumplen las relaciones.
3
3
2
2
1
1
sensensen θθθFFF
==
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TEMA III. ANALISIS DE ESTRUCTURAS
EQUILIBRIO ROTATORIO La primera ley de Newton es condición necesaria para que un cuerpo
permanezca en reposo, es decir, la suma de las fuerzas debe ser nula. Ahora bien, las fuerzas pueden ser nulas y no estar en reposo. La tendencia de una fuerza a originar la rotación alrededor de un eje depende de
la magnitud de la fuerza y su distancia al eje. La regla del tablón se equilibra cuando el producto de la fuerza que ejerce en un
punto por su distancia al eje es igual al producto de la fuerza que ejerce el otro punto por su distancia al eje.
Definición : El momento τ de una fuerza F respecto a un punto O es igual al producto de la magnitud F por la distancia d del punto O a la recta soporte F.
τ = F•d τ será positivo cuando F origine un movimiento en sentido antihorario y
negativo cuando sea en el sentido horario. Unidades del momento:
Ø Sistema británico : libra • pié Ø Sistema técnico : Kilopondio • metro (Kp • m) Ø Sistema Internacional : Newton • metro (N•m)
El momento presenta dos características importantes: 1- La magnitud y signo del momento creado por una fuerza dada dependen del
punto O del que se calcula. 2- La distancia d es la longitud de la perpendicular trazada desde O a la recta
soporte de la fuerza. La recta soporte es la recta cuya dirección es la de la fuerza y que pasa por su punto de aplicación.
Un cuerpo que no tenga tendencia a iniciar rotación se dice que está en equilibrio rotatorio . La condición necesaria para el equilibrio rotatorio es que los momentos en sentido horario sean iguales que los momentos en sentido antihorario.
Condición del momento Para que un cuerpo esté en equilibrio rotatorio, debe ser nula la suma de los
momentos debidos a las fuerzas que ejercen sobre dicho cuerpo. Condiciones para el equilibrio estático Para que un cuerpo esté en equilibrio estático, debe ser nula la suma vectorial de
todas las fuerzas que se ejerzan sobre un cuerpo (primera ley de Newton), así como la suma de todos los momentos que se ejerzan respecto a un punto del cuerpo.
∑ = 0F
0=∑τ
CENTRO DE GRAVEDAD El centro de gravedad de un cuerpo es el punto en donde, a fines de cálculo del
momento gravitatorio gτ , puede considerarse que actúa la fuerza de gravedad total. En caso de un objeto uniforme, el centro de gravedad coincidirá con su centro
geométrico.
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Propiedades 1- La fuerza de la gravedad de un cuerpo da un momento nulo respecto a su
centro de gravedad. Esto es cierto porque, por definición, la recta soporte de la fuerza de la gravedad, pasa por el centro de gravedad, por lo que la distancia de este a la mencionada recta soporte es nula. Esta propiedad nos da un método para localizar el centro de gravedad de cuerpos sencillos.
2- El centro de gravedad de un cuerpo rígido es el punto de equilibrio. 3- Para un cuerpo rígido, el centro de gravedad es el punto fijo respecto al
cuerpo, si bien no se encuentra necesariamente en el cuerpo. 4- En el caso de un objeto flexible, la posición del centro de gravedad respecto
al objeto varía cuando varía la forma del objeto.
DEFORMACION ELASTICA DE SOLIDOS Cuando se aplican fuerzas a un sólido, siempre tiene pequeñas deformaciones
que se pueden medir con instrumentos especiales. Definición : El esfuerzo normal s en un sólido es el cociente entre la tensión T
en un sólido y el área A de su sección recta.
AT
s =
Definición : La deformación normal (o alargamiento unitario) e es el cociente entre la variación de longitud L∆ de un sólido y su longitud original Lo.
oLL
e∆
=
En función a estas cantidades, se puede decir que:
ES
e = y eES •=
donde E = la constante del módulo de Young e = deformación. Cizalladura Cuando una fuerza actúa paralelamente a una superficie sólida, se denomina
fuerza de cizalladura o fuerza cortante.
Cizalladura = oLL
tang∆
=θ
Las fuerzas aplican al sólido un esfuerzo cortante, el cual es, por definición, el cociente entre la magnitud de la fuerza tangente a una cara dividida por el área de dicha cara.
Esfuerzo cortante = AF1
Si el esfuerzo cortante no es demasiado grande, está relacionado con la cizalladura de la manera siguiente:
θtangGAF
•=1
Donde G = constante llamada módulo de rigidez. Generalmente G es de 1/2 a 1/3 de E.
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VIGAS
Una viga es un miembro estructural largo y estrecho que se utiliza para soportar esfuerzos normales y cortantes.
aWL
a
LWFmax 42
)21
(==
donde : W es la carga total L es la longitud de la viga a es el grosor de la viga La tracción o compresión media T es la mitad de la tracción o compresión
máxima.
aWL
FT max 821
==
aWL
AT
s8
==
La variación de la longitud de cada ala de la viga es:
AaEWL
EsL
L8
2
==∆
La flecha h o elasticidad central viene determinado por:
aLL
EAaWL
h3
)(24 2
3 ∆==
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TEMA IV . DINAMICA
SISTEMAS DE REFERENCIA Definición : Un sistema inercial es un sistema de referencia en el cual se cumple
la primera ley de Newton del movimiento. Es decir, la fuerza resultante que se ejerce sobre un cuerpo en reposo en un sistema inercial, es nula.
Principio de Galileo .- Todo sistema que se mueva con celeridad constante en línea recta respecto a un sistema inercial, es otro sistema inercial. El movimiento con celeridad constante a lo largo de una recta se llama movimiento rectilíneo uniforme.
Primera ley de Newton del movimiento .- Para que un cuerpo permanezca en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme respecto a un sistema inercial, es necesario que la suma vectorial de todas las fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo sea nulo.
Principio de la relatividad .- Todas las leyes de la Física son ciertas en todos los sistemas inerciales.
Según el principio de la relatividad, establece que todos los sistemas inerciales son los sistemas de referencia apropiados para describir las leyes de la Física.
VELOCIDAD Y ACELERACION
Celeridad y velocidad. Todo movimiento debe describirse relativamente a un sistema de referencia, el
cual tomaremos siempre inercial. Definición : Un objeto se mueve con celeridad constante v si la distancia x que
recorre en un tiempo t viene dada por txv •= , cualquiera que sea el valor de t. La constante v es la celeridad.
Unidades Sistema Británico ft/seg. Sistema Internacional m/seg Otras unidades km/h mill/h km/s Definición : La velocidad de un cuerpo móvil es una cantidad vectorial cuya
magnitud es la celeridad v del cuerpo y cuya dirección y sentido son la dirección y sentido del movimiento.
Definición : El movimiento rectilíneo uniforme es el movimiento de velocidad constante. Como la velocidad es un vector, velocidad constante quiere decir dos cosas:
1) la celeridad v no varía (celeridad constante) 2) la dirección y sentido del movimiento no varían (movimiento a lo largo de
una recta).
Aceleración Un cuerpo que no se mueve con celeridad constante se dice que está acelerado.
Un cuerpo acelerado, o no se mueve en línea recta, o no se mueve con celeridad constante, o ambas cosas a la vez.
Definición : Para un cuerpo cuya velocidad es v1 en el instante t1 y v2 en el
instante t2, la aceleración a durante el intervalo de tiempo 12 ttt −= es tv
ttvv
a∆∆
=−−
=12
12 ,
donde 12 vvv −=∆ y 12 ttt −=∆ Al igual que la velocidad, la aceleración también es una cantidad vectorial.
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Unidades Sistema Británico ft/seg2 Sistema Internacional m/seg2. Definición : El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es un
movimiento acelerado en el cual el móvil sigue una línea recta con aceleración a que es constante tanto en magnitud como en dirección y sentido. En este movimiento, la velocidad v del móvil tiene siempre la misma dirección pero es de magnitud variable.
En un instante t cualquiera, la magnitud v de la velocidad viene dada por tavv •+= 0 , donde v0 es la celeridad en el instante t = 0 y a es la magnitud de la
aceleración, la cual puede ser positiva o negativa, según que la celeridad del móvil aumente o disminuya.
La fórmula general de la distancia x recorrida en un tiempo t por un móvil que
parte de reposo y se acelera con aceleración constante es 2
21
atx = .
Si el cuerpo parte de una celeridad inicial v0, la distancia recorrida en el tiempo t
viene dado por : 20 2
1attvx += .
SEGUNDA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO Un cuerpo sobre el cual se ejerce una fuerza total F tiene una aceleración a de
igual dirección y sentido que F. La magnitud de a es F/m, donde F es la magnitud de la fuerza y m es la masa del cuerpo.
maF = o mF
a =
Unidades Sistema Internacional 1N = 1 Kg m/seg2 1 Kp = 9’8 N
CANTIDAD DE MOVIMIENTO Definición : La cantidad de movimiento p de una masa m es mvp = donde v es
la velocidad de la masa. El vector p tiene por magnitud mv y la dirección y sentido de v. vmvvmmvmvppp ∆=−=−=−=∆ )'(')'(
Si tv
mtp
∆∆
=∆∆
; matp
=∆∆
o lo que es lo mismo, Ftp
=∆∆
Principio de conservación de la cantidad del movimiento. La cantidad del
movimiento total de un sistema de masas permanece invariable mientras no actúen las fuerzas exteriores sobre el sistema.
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1
TEMA V . TRABAJO, ENERGIA Y POTENCIA
MAQUINAS SIMPLES Definición .- Una máquina simple es un dispositivo mecánico, tal como un
sistema de palancas o poleas, que cambia la magnitud o la dirección de una fuerza aplicada.
Definición .- El desarrollo mecánico real MA de una máquina simple es el cociente entre su fuerza de salida y su fuerza de entrada.
FF
M A'
=
Principio de las máquinas simples .- En toda máquina simple ideal, la distancia d a lo largo de la cual se mueve la fuerza F a la entrada y la distancia d’ a lo largo de la cual se mueve la fuerza F’ a la salida están relacionados por:
'' dFdF •=• o ''
dd
FF
=
El desarrollo mecánico ideal MI (también conocido como desarrollo mecánico teórico) es igual al cociente d/d’.
'dd
M I =
Cuando hay rozamiento, el producto F´d´ es menor que Fd. El rendimiento e de una máquina real es:
FddF
e''
=
En la máquina ideal el cociente será 1 y en la máquina real con rozamiento, el cociente será menor de 1.
I
A
MM
dd
FF
e =='
'
viene de I
A
MM
dd
FF
FddF
e ==='
:'''
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2
Prensa hidráulica .- Consiste en dos cilindros de distintos tamaños comunicados entre sí.
El volumen total del fluido no varía, pero una variación en el empuje del primer cilindro se transforma en una variación en el empuje del segundo, en la misma proporción del desarrollo MA de la máquina.
A= área del cilindro menor A’ = área del cilindro mayor
dAV •= (Volumen = Area del cilindro por distancia) aumento del cilindro menor.
'' dAV •= (Volumen = Area del cilindro por distancia) aumento del cilindro mayor.
'' dAAd =
AA
dd
M I
''
==
como la áreas de los cilindros es π r2 entonces:
2
2
2
2
''''
rr
rr
AA
M I ===ππ
TRABAJO ENERGIA Y POTENCIAL Definición .- El trabajo W que efectúa una fuerza constante F que actúa sobre un
objeto que sufre un desplazamiento d es :
θcos••= dFW donde θ es el ángulo que forman F y d. a)- Si F y d son paralelas, entonces 1=θ y
dFW •= b)- Si F es perpendicular a d, entonces 0cos =θ y
00 =⇒••= WdFW c)- Si F y d son paralelas pero de distinto sentido entonces 1cos −=θ y
dFW •−= Fuerza normal .- La fuerza normal que se ejerce sobre un objeto que desliza por
una superficie es la fuerza que ésta ejerce perpendicularmente a sí misma.
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Rozamiento .- La fuerza de rozamiento que se ejerce sobre un objeto que desliza por una superficie es la fuerza que ésta ejerce paralela a sí misma. Suele tener sentido contrario al deslizamiento.
sFW gf •−= W rozamiento = F rozamiento • distancia de aplicación Gravedad .- Cuando se desciende verticalmente desde un punto A hasta el C la
masa m , el trabajo que sobre ella efectúa:
hgmhFW gAC ••=•=
Cuando el cuerpo se mueve diagonalmente deslizándose por un plano inclinado:
θcos•••= dgmWAB
y por tanto d
dh
gmWAB •••=
Definición .- Una fuerza que efectúa el mismo trabajo WAB sobre un cuerpo que
vaya de A a B cualquiera que sea el camino seguido, se denomina fuerza conservativa.
hgmhhgmhgmhgmW BABAAB ••=−••=••−••= (
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4
Definición .- para toda fuerza conservativa se puede definir en cada punto una unidad U, llamada energía potencial, tal que el trabajo efectuado por la fuerza al mover el cuerpo de A a B a lo largo de un camino cualquiera que sea.
BAAB UUW −= donde UA = m • g • hA y, donde hA es la altura de A sobre la superficie de
referencia. El trabajo total efectuado sobre un cuerpo es la suma de todas las fuerzas
aplicadas que se ejercen sobre él.
gfATOTAL WWWW ++=
WA = trabajo de las fuerzas aplicadas Wf = trabajo de las fuerzas de rozamiento. Wg = trabajo de las fuerzas de gravedad.
Si hay una fuerza de rozamiento Ff que actúe a lo largo de una distancia s, será:
sFW f •−= Si el cuerpo se mueve de A a B será:
BAg UUW −= luego el trabajo total será:
)( BAfATOTAL UUsFWW −+•−= Si el cuerpo está en equilibrio o casi equilibrio tendremos
0)( =−+•−= BAfATOTAL UUsFWW
ENERGIA CINETICA Teorema de las fuerzas vivas .- El trabajo total WTOTAL efectuado sobre un
cuerpo que se mueve desde una cierta posición inicial A hasta una cierta posición final B es igual a la variación de energía cinética del cuerpo.
ABTOTAL KKW −= donde , por definición , la energía cinética K de un cuerpo de masa m que se
mueve con celeridad v es:
2
21
vmK ••=
)()( ABABfTOTAL KKUUWW −+−+−=
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CONSERVACION DE LA ENERGIA La temperatura es una manifestación de los movimientos de los átomos y
moléculas que componen toda materia. Los átomos y moléculas de un cuerpo se hallan en movimiento constante, por lo que cada partícula tiene energía cinética. La suma de todas esas energías se denomina energía térmica It del cuerpo. Además de su energía cinética, las partículas también tienen energía potencial resultante de las fuerzas atómicas que mantienen unidas las moléculas. La suma de dichas energías se denomina energía química Iq . La suma de las energías química y térmica de un cuerpo es su energía interna I.
qt III += La elevación de la temperatura de un cuerpo está asociada a un aumento de su
energía térmica y por tanto a un aumento de su energía interna. Todo el trabajo que se pierde en los rozamientos puede interpretarse por un
incremento de energía interna.
IsFW ff ∆=•= entonces:
KUIWa ∆+∆+∆= Todo el trabajo aplicado efectuado sobre un sistema pasa a una u otra forma de
energía. Sea E la energía total del sistema, entonces:
KUIE ++= Si sobre el sistema no se efectúa ningún trabajo aplicado, entonces 0=∆E . Conservación de la energía .- La energía no puede crearse ni destruirse, sino
transformarse de una forma en otra. En un sistema aislado, en el cual ni entra ni sale energía, la energía total es constante. El trabajo es un medio por el cual se cede energía a un sistema o se toma de él. Así pues , el trabajo (y el calor) puede considerarse como energía en tránsito.
El rendimiento e de un motor es el cociente entre el trabajo aplicado producido y la energía interna utilizada para producirlo.
.COMB
a
IW
e = rendimiento =
ecombustiblenergíatotaltrabajo
__
entonces:
AMBIENTEaECOMBUSTIBL IWI ∆+=∆
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6
Entonces:
AMBCOMB IEI ∆+∆=∆ ,o bien 0=∆+∆+∆ AMBCOMB IIE
POTENCIA Definición .- La potencia P de un ingenio es el trabajo que efectúa por segundo.
Así, si se efectúa un trabajo Wa en un tiempo T, la potencia será:
tWa
P = 1 Newton = 1 Julio /segundo
La cantidad de combustible consumido por unidad de tiempo por un ingenio es:
eP
te
Wa
Rt
IR COMB ==⇒
∆−=
La potencia de un ingenio es igual a la fuerza que ejerce multiplicada por la velocidad con que se mueve esta fuerza.
Para una potencia dad, un ingenio puede mover lentamente una gran fuerza o mover rápidamente una pequeña fuerza.
tvd •= ; entonces tvFdFWa ••=•= y
vFt
WaP •==
En vez de escribir la potencia en función de la fuerza, la podemos escribir en función de su momento τ y de su velocidad angular ω
rnd •••= π2
y la velocidad ωππ
•••=•••
== rt
rntd
v 22
donde tn=ω velocidad angular =
tiempovueltasden _º
Por tanto con vFP •= , entonces ωπ ••••= rFP 2
Si decíamos que rF •=τ , entonces tendremos ωπτ •••= 2P En toda máquina ideal la potencia de entrada tiene que ser igual a la potencia de
salida
'' vFvF •=• , entonces ''22 ωτπωτπ •••=•••
y '' ωτωτ •=•
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7
En un freno motor, el momento se mediría por rTT •−= )( 12τ Energía hidroeléctrica acumulada por bombeo La energía de una central generadora de potencia hidroeléctrica convencional
proviene de la energía potencial del agua almacenada detrás de una presa alta.
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TEMA VI . MOVIMIENTOS COMPLEJOS La segunda ley de Newton del movimiento determina por completo el
movimiento de un cuerpo en función de las fuerzas que actúan sobre él.
MOVIMIENTO PARABOLICO Cuando se lanza un proyectil según cierto ángulo con la vertical, no se mueve en
línea recta arriba y abajo, sino que sigue una trayectoria curva llamada parábola. Una vez lanzado el proyectil, la única fuerza que se ejerce sobre él es la fuerza
de la gravedad Fg y por tanto, su aceleración será:
gm
Fa g == donde g es la aceleración de la gravedad constante
como g está dirigida verticalmente hacia abajo , los componentes x e y de a serán:
0=xa y 28.9seg
mga y −=−=
Si la velocidad inicial Vo del proyectil forma un ánguloθ con el eje x, las componentes x e y de Vo serán:
θcos•= oox VV θsen•= ooy VV La componente x será constante para la velocidad y para un tiempo t
determinado.
tVx ox •= La aceleración de la componente y también será constante. En un instante t la velocidad vertical del proyectil será:
tgVV oyy •−== y su posición será:
2
21 tgtVy oy ••−•=
El movimiento del proyectil es, pues, una combinación de movimiento uniforme en la dirección x y de uniformemente acelerado (aceleración constante) en la dirección y.
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME El movimiento circular uniforme es un movimiento a lo largo de una
circunferencia de radio r con una celeridad constante v. Aún cuando la celeridad se mantiene constante, la aceleración no es nula porque
la dirección del vector velocidad varía continuamente. En caso del movimiento circular uniforme, la aceleración se denomina
aceleración centrípeta porque en todo momento está dirigida hacia el centro de la circunferencia.
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2
La magnitud de la aceleración está relacionada con la celeridad v y el radio r por:
rv
a2
=
Como la celeridad v es constante, la distancia s que recorre el cuerpo a lo largo de la circunferencia en un tiempo t viene dada por:
tvs •= Para que un cuerpo permanezca en movimiento circular uniforme, la segunda ley
de Newton exige que sobre él actúe una fuerza de magnitud:
rvmamF
2
•=•=
dirigida hacia el centro de la circunferencia. Periodo es el tiempo que tarda un objeto en dar una revolución completa. Se
verifica por :
vs
=τ
y la frecuencia es las veces que se produce una revolución por unidad de tiempo.
sf
ω= τ
1=f
La aceleración centrípeta, también puede venir dada en función del coeficiente de rozamiento y de la gravedad.
gsa •= µ
MOVIMIENTO EN PRESENCIA DE UNA FUERZA GRAVITATORIA
Ley universal de gravitación Entre dos cuerpos cualquiera de masas m1 y m2 existe una fuerza atractiva
proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de las distancias que las separa.
221
rmm
GF•
=
donde r es la distancia que las separa y G es una constante universal de la naturaleza. En unidades del Sistema Internacional:
G = (6’673 ± 0’003 • 10-11 N•m2/Kg2.
Energía potencial Cuando una masa m está próxima a la superficie terrestre, la fuerza gravitatoria
que se ejerce sobre ella es m•g y su energía potencial es
hgmU ••=
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Cuando la masa se mueve lejos de la tierra, la fuerza gravitatoria que se ejerce sobre ella viene dada por la ecuación:
2
••=
rR
gmF Tg cuando r > RT .
Y la energía potencial por
−•••=
rR
RgmU TT 1
Velocidad de escape
TRgv ••= 2
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE La fuerza total que se ejerce en una masa suspendida entre dos fuerzas opuestas,
se denomina como fuerza del oscilador armónico simple y viene dada por:
xkF •−= Donde k es una constante y x es la distancia de la posición de la masa hasta su
posición de equilibrio. Cualquiera que sea la posición de la masa, la fuerza tiende a llevarla a su
posición de equilibrio. Esta fuerza se denomina fuerza restauradora. Una masa sometida a una fuerza restauradora oscilará en torno a su posición de equilibrio.
Cuando la fuerza restauradora sea la fuerza del sea la fuerza del oscilador armónico, el movimiento resultante se denomina movimiento armónico simple.
La posición x en cualquier instante t de una masa que ejecute un movimiento armónico simple viene dada por:
••= tAx
τπ2
cos
donde
km••= πτ 2
τ es el periodo y A es la amplitud del movimiento. La velocidad y la aceleración de la masa vienen dadas por:
••−= tAv
τπ
τπ 2sen2
vMAX à cuando x = 0
=
τπA
vMAX
2
•••
−= tAa
τπ
τπ 2
cos2
2
aMAX à cuando x = A AaMAX •
=
22τπ
NOTA : t•
τπ2 normalmente se da en radianes. 360º = 2π rad. = 1 rev.
La energía potencial de una masa sometida a la fuerza de oscilador armónico es :
2
21
xkU •=
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4
Al girar la masa en uno u otro sentido en torno a su posición de equilibrio, la suma de sus energías cinética y potencial se mantiene constante.
EkxmvUKE =+=∆+∆=∆ 22
21
21
En el caso de un péndulo simple, una masa m está suspendida de un hilo de longitud L. Cuando tiramos de la masa hacia un lado y la soltamos, oscila recorriendo un arco en torno a su posición más baja (posición de equilibrio).
Cuando se tira de la masa un distancia horizontal x respecto a su posición de equilibrio, se eleva una distancia vertical h, con lo que la energía potencial se hace igual a :
mghU = Se puede comprobar que L es la
hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos x e y, entonces:
222 yxL += Pues hLy −= , por lo que podemos
escribir:
222
222
2
)(
hLhLx
hLxL
+−+=
=−+=
de donde : 222 hxLh +=
Así pues, la energía potencial será:
2
21
xL
mgmghU ••==
En consecuencia, el periodo del péndulo será:
gL
Lmg
mππτ 22 ==
MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO Llamaremos cuerpo rígido a un objeto extenso que no altera su forma de
moverse. Al girar el cuerpo, cada uno de sus puntos describe una circunferencia centrada
en A. El radio de la circunferencia es igual a la distancia r de A al punto. Como el cuerpo es rígido, todos los puntos girarán el mismo ángulo en un mismo tiempo t.
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5
Definición : La velocidad angular ω de un punto que se mueve sobre una circunferencia es :
tθ
ω =
donde θ es el ángulo que ha girado el objeto en un tiempo t. Los ángulos pueden medirse en grados, radianes y revoluciones. Una circunferencia completa corresponde a 360º, 2π radianes o 1 revolución. La unidad del sistema internacional son radianes/segundo.
rsrs
•=→= θθ
Si tr
ts •
=θ
tendremos que rv •= ω
Donde v será la velocidad lineal y tθ
ω = es la velocidad angular en radianes
por segundo. La energía cinética del elemento de superficie i-ésimo es :
( )22
21
21
iiiii rmvmK •== ω
La energía cinética total del cuerpo rígido es la suma de las energía cinéticas de todos los elementos de superficie.
iKK ∑=
22
21
iirmK ∑•= ω à 2
21
ω•= IK
siendo:
2iirmI ∑=
donde I será la constante llamada momento de inercia del cuerpo rígido. Docum
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TEMA VII. MECANICA DE FLUIDOS Un fluido es una sustancia no rígida (gas o líquido) que no conserva su forma al
aplicarle fuerzas deformadoras. La mecánica de fluidos es el estudio de los fluidos en reposo y en movimiento.
HIDROSTATICA La Hidrostática es la rama de la mecánica de fluidos que trata de los fluidos en
reposo. Este fluido permanecerá en reposo siempre y cuando no se apliquen sobre él fuerzas deformadoras.
Propiedad fundamental de los fluidos. Toda fuerza ejercida por un fluido en reposo o sobre él, debe ser
perpendiculares a la superficie sobre la cual actúa. En caso de aplicarse una fuerza paralela, esta provocará un desplazamiento en el fluido. Definición .- La presión p es la fuerza por unidad de superficie que se ejerce
perpendicularmente sobre un superficie. Así pues, la presión que ejerce una fuerza F sobre la superficie A.
La fuerza F es perpendicular a la superficie. Como todas las fuerzas que se aplican son perpendiculares a las superficies sobre las que actúan, se puede escribir:
AF
P =
Unidades = La unidad de presión en el Sistema Internacional es el Pascal 1 Pascal = 1 Newton / metro2 1 Pa = 1 N/m2.
PRINCIPIO DE PASCAL En ausencia de gravedad, es decir, si se desprecia el peso del fluido, la presión
en un fluido, la presión en un fluido en reposo es la misma en todos los puntos. Para ver como se aplican en la práctica las propiedades de los fluidos,
consideremos un fluido contenido en un cilindro cuya sección recta tenga un área A. Si se aplica una fuerza F sobre el émbolo móvil del cilindro, el fluido deberá aplicar una fuerza opuesta F’ sobre el émbolo cuando esté en reposo.
Supongamos que se conectan dos cilindros de distinta sección. El equilibrio de las presiones vendrá determinado por:
''
AF
AF
P ==
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PRESION HIDROSTATICA
El principio de Pascal solo es válido si se desprecia la fuerza de la gravedad que se ejerce sobre el fluido.
Se aplica una fuerza F perpendicularmente al émbolo de área A, con lo que la presión directamente bajo el émbolo es:
AF
Po =
La presión Po será la que existe en la parte superior del fluido. En la parte inferior del fluido, existirá una presión Ph, que en caso de despreciar la fuerza de gravedad del fluido, Po = Ph.
A causa de la gravedad, la fuerza total hacia abajo que se ejerce sobre el fluido es F + Fg. Como está en equilibrio, existirá una Fn = -(F + Fg) que la base del cilindro ejerce sobre el fluido. La reacción a Fn es la fuerza Rn = - Fn = F + Fg. Por tanto la presión Ph de la base será:
AF
PA
FAF
AFF
P go
ggh +=+=
+=
La presión en la parte inferior del fluido es mayor que en la parte superior a
causa del peso del propio fluido. El aumento de la presión con la profundidad, está relacionado con la densidad
del fluido. La densidad es:
Vm
=ρ volumen
masa densidad =
Así pues, como el volumen contenido es hAV •= , entonces la masa será:
hAm ••= ρ y el peso del fluido será:
ghAgmFg •••=•= ρ En consecuencia, el incremento de la presión en la base del cilindro debido al
peso del fluido es:
hgA
Fg ••= ρ
Este incremento se llama presión hidrostática. Entonces, la presión total en la base del cilindro será:
hgPP oh ••+= ρ
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Ley de la presión hidrostática La presión en un fluido en reposo es la misma en todos los puntos que estén a
igual nivel y la diferencia de presión entre dos puntos A y B situadas a profundidades hA y hB es:
)( BABABA hhghghgPP −••=••−••=− ρρρ donde hA y hB son positivas cuando se miden hacia abajo desde la superficie
INSTRUMENTOS DE MEDIDA DE LA PRESION BAROMETRO El barómetro es un instrumento para medir la presión atmosférica. Consta de un
tubo de vidrio recto, de longitud superior a 76 cm, cerrado por un extremo. Se llena el tubo de mercurio y luego se invierte introduciéndolo en una cubeta de mercurio. La columna de mercurio desciende a partir de su extremo cerrado creando una cámara de vacío en su parte superior.
La presión Po en un punto O de la superficie de la columna es la presión atmosférica.
La presión PA en un punto A del interior del tubo es:
hgPP BA ••+= ρ donde la presión PB es la presión en la parte superior de la columna, ρ es la
densidad del mercurio y h es la altura de la columna de mercurio. MANOMETRO El manómetro consiste en un tubo en forma de U parcialmente lleno de líquido
que suele ser mercurio o agua. Se monta el tubo en posición vertical con una regla graduada detrás. Un extremo del tubo se une a un recipiente cuya presión P queremos medir y el otro extremo está abierto a la atmósfera. Como la presión de la parte abierta del tubo es la presión atmosférica, la presión PA en un punto A del líquido del manómetro que se halla a una distancia h del extremo superior vendrá dada por:
hgPP OA ••+= ρ donde ρ es la densidad del líquido del tubo. Definición : Se llama presión manométrica Pm a la diferencia entre la presión P
en un fluido y la presión atmosférica Po existente.
om PPP −= donde Pm = presión manométrica P = presión absoluta P0 = presión atmosférica
EMPUJE Todo fluido ejerce una fuerza de empuje Fb sobre cualquier objeto sumergido en
él. A dicha fuerza se le da el nombre de empuje. Principio de Arquímedes .- El empuje que ejerce un fluido sobre un cuerpo es
igual al peso del fluido que desaloja el cuerpo. Si el cuerpo está sumergido totalmente, el volumen del fluido desalojado es igual
al volumen del cuerpo. Si este está parcialmente sumergido, el volumen desalojado es igual al volumen
de la parte sumergida del cuerpo.
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El volumen VS será la parte del bloque sumergida en el fluido. Teniendo en cuenta que el volumen del objeto es igual al volumen del fluido
desalojado y, conociendo la densidad del fluido, podemos calcular su masa:
Sff Vm •= ρ El empuje es igual al peso del fluido desalojado.
gmF fb •= Si el bloque se halla en equilibrio estático, entonces, el empuje hacia arriba
tendrá igual magnitud que el peso Wo del bloque.
bo FW = gmgm fo •=•
por lo que fo mm = Un objeto flotará cuando su densidad sea menor que la del fluido en que se
coloca. La fuerza FB que ejerce el fluido sobre la cara superior está dirigida hacia abajo
y su magnitud es APF BB •= , donde A es el área de dicha cara y PB es la presión del fluido a dicha profundidad.
La fuerza FA que se ejerce sobre la cara inferior está dirigida hacia arriba y su
magnitud es APF AA •= , donde A es el área de dicha cara y PA . La suma de estas fuerzas tiene por magnitud:
APAPFF BABA •−•=− y esta dirigida hacia arriba ya que FA > FB, entonces :
hgAhhgAFF fBAfBA •••=−•••=− ρρ )(
donde fρ es la densidad del fluido y h la altura del bloque. Teniendo en cuenta que el volumen del bloque es igual a A * h, tendremos que
el empuje es igual a:
gmgVFFF ffBAB •=••=−= ρ La aceleración en un fluido viene determinada por:
m
mfgaρ
ρρ −•=
DENSIDAD RELATIVA Definición : La densidad relativa S de un cuerpo es el cociente entre la densidad
oρ del cuerpo y la densidad wρ del agua.
w
oSρρ
=
Cuando se trata de medir la densidad relativa de un objeto sumergido en otro fluido que no sea agua, se mide con un dinamómetro en el aire y luego en el fluido. Entonces tendremos:
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babw
oa
FTFgmTgVgmT−=−•=
••=•= ρ
Entonces tendremos que
a
w
w
o
TT
−= 1ρρ
o sea:
wa
a
a
ww
o
TTT
TT
S−
=−
==1
1ρρ
La densidad de un líquido se mide con un areómetro. Sea VS el volumen del areómetro sumergido y W el peso total del areómetro. En
equilibrio, el empuje es igual al peso, luego:
WFb = o WgVSf =••ρ Así pues la densidad del líquido es inversamente proporcional al volumen
sumergido.
gVW
Sf •
=ρ
La densidad relativa se puede también calcular en base a la masa del cuerpo medido en el exterior y en el interior de un fluido por:
ac
c
mmm
S−
=
mc = masa medida en el exterior. ma = masa medida en el fluido.
HIDRODINAMICA La Hidrodinámica es el estudio del movimiento de los fluidos. Movimiento estacionario La velocidad y la presión del fluido en cada punto varían de manera rápida e
imprevisible. En el movimiento estacionario, podemos considerar que el fluido se mueve
siguiendo líneas fijas, llamadas líneas de corriente. En cada punto, la dirección de la velocidad del fluido es tangente a la línea de
corriente que pasa por dicho punto. Dos líneas de corriente no pueden cortarse nunca, por que ello significaría que el fluido tendría dos velocidades en un mismo punto.
El volumen de fluido que atraviesa una superficie en un tiempo t vendrá dado por:
AtvAdV ••=•= donde A es igual al área de la sección y d es igual a la distancia. Si la cantidad total de fluido que circula entre las dos secciones de un mismo
conducto permanece invariable, el volumen que ha penetrado en la sección mayor por
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unidad de tiempo, debe ser igual al que ha salido por el de menor sección. A esto se le llama condición de continuidad.
Según esta condición de continuidad, supondremos:
''' AtvAtvVV ••=••⇒= luego:
'' AvAv •=• velocidad x área Definición : El caudal Q de un fluido es el volumen de fluido que atraviesa por
segundo una superficie dada. El caudal a través de la superficie S es:
tAtv
tV
Q••
== o sea AvQ •=
Ecuación de Bernoulli La masa m del fluido del volumen V es:
Vm •= ρ Como el fluido de este volumen tiene una velocidad v, la energía cinética de esta
masa es:
22
21
21
vVvmK •••=••= ρ
Cuando la masa pasa a V’ su energía cinética K’ se convierte en :
22 '21
'21
' vVvmK •••=••= ρ
Como v’ es mayor que v, al pasar de V a V’ aumenta la energía cinética de la masa. La variación K – K’ de la energía cinética es igual al trabajo total efectuado por las masas.
Las fuerzas que efectúan trabajo sobre un fluido son las de rozamiento, gravedad y la debida a la presión del propio fluido.
Tendremos que en la primera sección del conducto:
AFP =
y en la otra:
''
'AF
P =
En este caso, la presiones no son iguales puesto que el fluido no está en reposo.
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Como el fluido del volumen V recorre una distancia d hacia la derecha, la fuerza APF •= , efectúa el trabajo :
VPdAPdFW •=••=•= Al mismo tiempo el fluido de volumen V’ recorre una distancia d’ hacia la
derecha, la fuerza ''' APF •= , efectúa el trabajo :
VPVPdAPdFW •−=•−=••−=•−= ''''''''' Entonces el trabajo total será:
VPPWWWp •−=+= )'(' Teniendo en cuenta que el trabajo es igual a la variación de energía cinética,
tendremos:
22
21
'21
)'( vVvVVPP •••−•••=•− ρρ
22
21
'21
)'( vvPP ••−••=− ρρ
por tanto:
PvPv +••=+•• 22
21
''21
ρρ
Si la tubería no es horizontal, además de la presión del fluido, también efectúa
trabajo la fuerza de gravedad
'' hgVhgVhgmhgmWg •••−•••=••−••= ρρ Entonces, la ecuación de Bernoulli quedará:
hgPvhgPv ••++••=••++•• ρρρρ 22
21
'''21
Teorema de Torricelli La cantidad de líquido que sale por unidad de tiempo a través de un orificio
practicado en la pared de un depósito se puede calcular mediante la ecuación de Bernoulli.
)'(2'2 hhgv −••= Nos dice que la velocidad de salida es igual a la de una masa que caiga desde
una altura vertical 'hhh −=∆ El caudal de salida del líquido es:
hgAvvAvQ ∆•••=•= 2' donde h∆ es la distancia que separa el orificio de la superficie libre del líquido y
Av es la vena contracta, que es la mínima área de la sección del chorro que sale a través del orificio. La vena contracta se encuentra un poco más allá del orificio. En caso de un orificio de área A, la vena contracta Av será:
65.0•= AAv
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Tubo de Venturi La diferencia de presiones, está relacionada con la diferencia de alturas por:
hgPP ••=− ρ'
El caudal es el mismo en la tubería principal que en el tubo de Venturi, y viene dado por:
'' vAvAQ •=•= entonces tendremos
vAAv •='
'
y:
PvPvAA
+••=+•
•• 22
2
21
''2
1ρρ
de donde:
−•
−=
1'2
1'
2
22
AAPP
vρ
Así pues, la velocidad del fluido en la tubería principal será:
−•
−=
1'2
1'
2
2
AAPP
vρ
y el caudal:
−•
−•=•=
1'2
1'
2
2
AAPP
AvAQρ
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VISCOSIDAD La propiedad fundamental de los fluidos, señala que un fluido en reposo no
ejerce fuerzas paralelas a una superficie. En cambio, un fluido que se mueve sobre una superficie ejerce una fuerza FII paralela a ella de dirección y sentido de movimiento.
La reacción FV a FII es una fuerza que la superficie ejerce sobre el fluido y cuyo sentido es opuesto al del movimiento.
Esta llamada fuerza viscosa, desempeña en el movimiento del fluido un papel semejante al del rozamiento de un sólido sobre otro.
Como el fluido ejerce una fuerza FII paralela a S1, habrá que aplicar a esta superficie una fuerza exterior Fa = FII para mantenerla en reposo. La fuerza viscosa FV, que es la fuerza que la superficie S1 aplica al fluido, es la reacción a FII. Por lo que:
aaIIV FFFF =−−=−= )( La magnitud de FV es directamente proporcional a la celeridad v de S2 y al área
A de S1 e inversamente proporcional a la distancia d que separa dichas superficies.
dvA
FV••
=η
donde η es una constante, llamada coeficiente de viscosidad, que es característica del fluido.
CIRCULACION DE UN FLUIDO POR UN TUBO En la circulación de un fluido por un tubo, el fluido que circula sobre el eje del
tubo, lleva una aceleración máxima y, si hiciéramos capas concéntricas, la velocidad iría descendiendo hasta llegar a la superficie de contacto con el tubo, donde la velocidad es 0.
El área del tubo se determinará por:
LrA •••= π2 Entonces, si se sustituye en la ecuación de la viscosidad tendremos:
mm
V vLr
vLrF ••••=
•••••= ηπ
πη 4
4
Si se desprecia la gravedad y se introduce un fluido en un tubo de área A a una presión P1, tendremos a la salida una presión P2 y quedará:
2212121 )()()( rPPAPPAPAP ••−=•−=•−• π
e igualando ecuaciones tendremos: 2
21 )(4 rPPvL m ••−=•••• πηπ
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Por tanto la celeridad de un fluido en un tubo teniendo en cuenta la diferencia de presiones vendrá dada por:
LrPPvm ••
•−=η4
)( 221
Sabiendo que el caudal es:
mvrQ •••= 2
21
π
tendremos que:
LPPr
Q••
−••=
ηπ
8)( 21
4
Si tenemos una bomba que bombea el líquido, necesitaremos una potencia de bombeo que de una fuerza:
APPF adex •−= )( donde: Pex = Potencia de expulsión Pad = Potencia de admisión El trabajo efectuado por la bomba para mover un fluido una distancia d será:
dFW •= y la potencia entregada a la bomba será:
vFt
dFt
WP •=
•==
donde v es la velocidad media del fluido. Entonces tendremos que:
vAPPvFP adex ••−=•= )( o sea
QPPP adex •−= )(
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TEMA VIII. ESTRUCTURA DE LA MATERIA ATOMOS Y MOLECULAS
Definición: Llamamos elemento químico a una cualquiera de las 104 sustancias conocidas que no pueden descomponerse en sustancias más simples por métodos químicos.
Un elemento se compone de un gran número de unidades iguales llamadas átomos.
Definición: Una molécula es un ente microscópico compuesto de dos o más átomos unidos por fuerzas atómicas. Los átomos pueden ser de elementos iguales o de elementos distintos.
Definición: Un compuesto químico es una sustancia constituida por moléculas iguales formadas por átomos de dos o más elementos.
Masas atómicas: La masa de un átomo puede medirse con gran precisión por medio de un
instrumento llamado espectrómetro de masas. La masa de un átomo se suele referenciar a la del átomo de carbono (12), y se
suele medir en unidades de masa atómica (u). La masa de una molécula, a la que llamamos peso molecular, es igual a la suma
de las masas de todos sus átomos. uuummm OHOH 01.18)00.16)(1()008.1)(2(2
2=+=+=
Para convertir las unidades de masa atómica en gramos, es necesario tener en cuenta esta relación:
uNg A=1 o bien gN
uA
11 =
Donde AN es el número de Avogadro y equivale a 2310022.6 x . Definición: Un mol es una cantidad de sustancia que contiene AN moléculas. Ejemplo: ¿Cuál es la masa en gramos de un mol de agua?
gN
gN
umAA
OH1818
)18(182
=
==
por lo que la masa de AN moléculas de agua será:
ggN
NmNA
AOHA 1818
2=
=
Ejemplo: ¿Cuál es el número n de moles de 50 g de oxígeno?
56.13250
32)0.16)(2()2(2
==
===
ggn
uumm OO
LAS TRES FASES DE LA MATERIA La materia se presenta normalmente en una de estas tres fases: gaseosa, líquida o
sólida. Muchas sustancias pueden pasar de una fase a otra mediante cambios de temperatura y presión
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Un sólido se caracteriza por tener un volumen y una forma definidos. Su forma solo puede cambiar al aplicarle una presión considerable. Las moléculas del sólido están fuertemente agrupadas en posiciones fijas.
Un líquido se caracteriza por tener un volumen definido, pero no una forma definida. Los líquidos fluyen para adoptar la forma del recipiente que los contiene. Su volumen permanece constante a pesar de las variaciones de su forma. Las moléculas de un líquido están casi tan juntas como las de un sólido.
Un gas se caracteriza por no tener ni un volumen definido ni una forma definida. El gas se dilata para llenar cualquier recipiente cerrado que lo contenga y, si fuera abierto, el gas escaparía por la abertura. En un gas diluido, las moléculas están tan separadas unas de otras que solo ejercen fuerzas cuando chocan. Las moléculas del gas se moverán en línea recta hasta que choquen unas con otras o con las paredes del recipiente.
TEMPERATURA Un instrumento que mide temperaturas se denomina termómetro. El termómetro
es una columna de mercurio introducida en un tubo cerrado. El mercurio se dilata o contrae más que el vidrio en función del calor o frío aplicado.
Esta forma de medir la temperatura, dependerá del líquido contenido en el tubo de vidrio. Para ser más precisos convendrá utilizar un termómetro lleno de un gas enrarecido, conectado a un manómetro de mercurio.
Definición: La temperatura fundamental o absoluta T es, por definición:
hPP
aT =
donde P es la presión en el depósito a esa temperatura, a es una constante arbitraria y hP es la presión absoluta midiendo en una mezcla de agua y hielo. La constante se elegirá de manera que haga que la diferencia entre la temperatura del vapor de agua vT y la temperatura del hielo hT sea exactamente igual a 100 unidades de temperatura, o Kelvin (K)
Cero absoluto Th Tv Kelvin 0k 273.15k 372.15k Celsius 0º 100º
GAS IDEAL
Ley de los gases perfectos Definición: Llamamos gas ideal o gas perfecto a un gas cuyas moléculas estén
tan separadas que permanezcan en contacto una contra otra un tiempo relativamente pequeño. La separación aumenta cuando disminuye la densidad de las moléculas. Esta densidad es el cociente N/V (numero de moléculas / volumen que éste ocupa).
Así pues, la presión hP de un gas perfecto en el punto de hielo será:
VNbPh =
donde b es una constante independiente de la composición química del gas.
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3
Ta
bNpV =
El número N de moléculas de un gas es:
AnNN = donde n es el número de moles de gas. Según esto, podremos escribir:
Ta
bNnpV A=
La cantidad a
bNA es una constante de los gases perfectos R. Sus dimensiones
son (energía / kelvin). Y su magnitud es
KJa
bNR A /8314==
Entonces, en función de R tendremos:
nRTpV = que constituye la ley de los gases perfectos. Ejemplo : ¿Cuál es la densidad del oxígeno en
condiciones normales de presión y temperatura? (0º y 1 atm) Se usa la ley de los gases nobles para calcular la cantidad de moles n en una
unidad de volumen V = 1 m3, a una presión p = 1 atm. = 1,01 x 105 Pa Y a una temperatura T = 273 º K.
molKKJmPa
RTpV
n 5,44)273)(/31,8()1)(1001,1( 35
=•
==
Si 3425,1
425,11425)325,44(322
mkgd
kgggmolmgmol mO
=⇒
⇒==•=⇒=
Presión, temperatura y energía cinética La presión que ejerce un gas sobre las paredes del recipiente que lo contiene es
el resultado de los choques de las moléculas del gas contra las paredes. La presión puede calcularse en función de la energía cinética media de las moléculas de un gas perfecto y relacionar esta energía con la temperatura.
Una molécula que choca contra una pared a una velocidad v rebotará a una velocidad –v, por tanto
mvp I = y mvvmpF −=−= )( con lo que la variación de la cantidad de movimiento será:
mvmvmvppp IF 2)()( −=−−=−=∆
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entonces la fuerza que la pared ejerce sobre la molécula vendrá dada por:
tmv
tp
Fm ∆−
=∆∆
=2
donde t∆ es el tiempo que la molécula está en contacto con la pared. Y la fuerza de reacción será:
tmvFF mw ∆
=−= 2
El número de moléculas contenidas en un recipiente viene dado por:
ANnV
tvAN •∆••=
En un cilindro, se supone que 1/3 de las moléculas se mueven en una de las tres direcciones perpendiculares a las paredes, así pues, la fuerza que ejercen estas moléculas sobre las paredes vendrá dada por:
2
31 mv
VAnN
F A=
y la presión que se ejerce por:
2
31
mvV
nNAF
p A
==
en función de la energía cinética media K , la presión será:
VKnN
p A
32
=
recordemos que la energía cinética media viene dada por: 2
vmK •= (masa por velocidad media al cuadrado)
La presión también se puede relacionar con la temperatura por:
VnRT
p =
Si se igualan las dos ecuaciones de presión, tendremos la relación entre temperatura y energía cinética:
kTNRT
KV
KnNV
nRT
A
A
23
23
32
==⇒=
Donde ANRk = se denomina constante de Boltzmann, que es igual a J/K 1,38x10-23
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GASES REALES La presión y el volumen de un gas real solo está relacionados con los gases
perfectos cuando su densidad es muy pequeña. Al aumentar la presión de un gas disminuye su volumen pero aumenta su densidad.
Definición : La temperatura crítica de un gas es la temperatura por encima de la cual todas las isotermas (curva que da la variación de presión de un gas a una temperatura fija) son curvas lisas sin puntos angulosos.
Un tramo horizontal en la isoterma indica que se puede reducir el volumen ocupado por un gas sin aumentar la presión. Ello es posible porque al comprimir el gas, parte de él se condensa pasando a fase líquida. Esto sólo podrá hacerse si la temperatura es inferior a la temperatura crítica del gas.
Definición : La presión de vapor pv es la presión correspondiente al tramo horizontal de una isoterma. Es la presión en la cual pueden coexistir el vapor y el líquido a la temperatura de la isoterma.
Definición: El punto de ebullición de un líquido es la temperatura a la cual la presión de vapor se hace igual a la presión atmosférica. A esta temperatura se forman burbujas de vapor en el interior del líquido.
Ley de Dalton de la presión parcial. En una mezcla de gases perfectos, cada gas componente ejerce una presión parcial proporcional a su concentración molecular. La presión total de la mezcla será, pues, igual a la suma de las presiones parciales de todos los gases componentes.
Definición: Se llama humedad relativa del aire al cociente entre la presión parcial real del H2O en el aire y la presión parcial del H2O máxima posible a la temperatura existente en el aire. Se expresa en %.
Definición: El punto de rocío del aire es la temperatura a la cual el aire tendría una humedad relativa del 100 %.
SOLIDOS Las moléculas de un sólido, como las de un líquido están tan próximas entre sí
que se ejercen fuerzas intensas. En un sólido, las moléculas tienen posiciones fijas que no pueden variar.
Definición: Un cristal es un sólido en el cual las moléculas están distribuidas según una red tridimensional regular que se repite por todo el sólido. La distribución de las moléculas determina la forma exterior del cristal.
Definición: Un sólido cristalino es el que está constituido por un monocristal o por muchos microcristales fundidos juntos
L propiedad más característica de un sólido cristalino es la existencia de una temperatura definida Tf, llamada temperatura de fusión, a la cual el sólido se transforma en líquido
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TEMA IX. CALOR El calor es energía que pasa espontáneamente de un cuerpo más caliente a otro
más frío.
PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA
Calor y trabajo La energía puede pasar del sistema al ambiente, o recíprocamente, de dos
maneras esencialmente distintas. Definición: El calor es energía que pasa de un objeto a otro a causa de existir
entre ambos una diferencia de temperatura. Definición: El trabajo es energía que pasa de un cuerpo a otro a causa de que
una fuerza F desplace su punto de aplicación una distancia d.
VppAdFdW ∆=== donde:
AdVVV inicialfinal =−=∆
Primer principio de la termodinámica La variación de energía SE∆ de un sistema es igual al calor Q que penetra en él
menos el trabajo W que efectúa:
WQES −=∆ El calor es positivo cuando penetra en el sistema y negativo cuando sale de él El trabajo es positivo cuando hace disminuir la energía del sistema (cuando el
trabajo lo hace el sistema) y negativo cuando hace aumentar la energía del sistema.
Calor específico Definición: El calor específico cv es el cociente entre su capacidad calorífica y
su masa.
mC
c vv =
El calor específico es una propiedad de la sustancia. Depende de la temperatura, pero en un intervalo pequeño de temperaturas se puede considerar constante.
Tendremos:
TmcQE vS ∆==∆ Cuando los proceso tienen lugar a una presión constante, (transformación
isobárica) tendremos:
TmcVpE pS ∆=∆+∆ donde cp es el calor específico a presión constante.
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El calor absorbido en una transformación isobárica viene dado por:
TmcVpEQ pS ∆=∆+∆=
Ejemplo: a) ¿cual es la capacidad calorífica de un vaso de 75 g de vidrio flint que
contiene 250 g de agua? b) ¿Cuánto calor hay que tomar de ese sistema para rebajar su temperatura de
50 a 30 º C? a)
CJCkgJkgcmC vidriovidriovaso º37)º(490)075,0( =
••==
CJCkgJkgcmC aguaaguaagua º1045)º(4180)250,0( =
••==
CJCCC aguavidrioTOTAL º1082=+=
b)
CCCT º30º50º20 −=−=∆ 41025,3)º30(º1082 xCC
JTCQ −=−•=∆=
Calorimetría El calor se mide con un calorímetro, que es un recipiente aislado del exterior,
que contiene agua , en el cual se encuentra sumergido un termómetro para medir la temperatura del agua. Esta variará dependiendo de la temperatura de la muestra que se sumerja en el agua.
Ejemplo: En un calorímetro que contiene 2,5 kg. de agua a una
temperatura inicial de 15,00 º C se colocan 50 g de etanol a una temperatura de 30 º C. Al irse enfriando el etanol, eleva la temperatura del agua hasta 15,17 º C. ¿Cuál es el calor específico del etanol?
CCCT º17,0º00,15º17,15 =−=∆ El calor absorbido del sistema (alcohol) será:
JCCkgJkgTmcQ p 1780)º17,0)(º4186)(50,2( =•=∆=β
El calor absorbido por el sistema será: CCCT º83,14º30º17,15 −=−=∆
pppS cCkgCckgTmcQ )º74,0()º83,14)()(050,0( •−=−=∆= Como el calor absorbido es igual a calor cedido, tendremos:
Docum
ento
desc
argad
o de
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ceso
.com
3
CkgJ
CkgJ
cJcCkg pp º2400º74,0
17801780)º74,0( •=
•−=⇒=•−
COEFICIENTES DE TEMPERATURA
Ejemplo: A 20ºC la densidad del mercurio vale 13546 kg/m3 y el
coeficiente de temperatura es 1,8x10-4 º C . ¿Cuál será la densidad del mercurio a 35 º C?
14201
3201
º108,1
13546
º15)º2035(
−−−==
==
=−=∆
Cxm
kgZ
CCT
αα
ρ
la variación de la densidad será:
314
3
2020
37)º15)(º108,1)(13546(m
kgCCxm
kgT
−=−=
=∆=∆−−
αρρ
y la densidad a 35 º C será:
33
2035
13509)3713546(m
kgm
kg =−=
=∆+= ρρρ
Ejemplo: ¿A qué temperatura tendremos que poner el agua para
que la celeridad del sonido sea 1500 m/s? Velocidad del sonido en agua a 20 º C = 1486 m/s
Cs
ms
mx
Cxvv
T
sm
smvvv T
º9,51486
14
º1061,1(11
14)14861500(
132020
20
==∆
=∆
=−=−=∆
−−α
CTCT º9,25º20 =∆+=
Dilatación térmica Sean L1 y L2 los valores de la longitud de un cuerpo, a las temperaturas T1 y T2.
La variación de longitud será:
12 LLL −=∆ está relacionada con la variación de temperatura por:
12 TTT −=∆ mediante la ecuación:
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4
TLL ∆=∆ α1
donde α es el coeficiente de dilatación térmica.
Ejemplo: La caldera de acero de una central eléctrica tiene una
altura de 30 m. Cuando se enciende, su temperatura sube desde 20 º C hasta 500 º C . ¿Cuánto variará su longitud durante el proceso?
Sustancia Dominio de temp. º C Coef. Dilatación térmica 0 a100 10,5x10-6 º C-1
90 a 200 11,5x10-6 º C-1
200 a 300 13x10-6 º C-1
Acero
300 a 600 15x10-6 º C-1
mxCCxmTLL
mxCCxmTLL
mxCCxmTLL
mxCCxmTLL
d
c
b
a
2161
2161
2161
2161
109)º200)(º1015)(30(
109,3)º100)(º1013)(30(
1045,3)º100)(º105,11)(30(
1052,2)º80)(º105,10)(30(
−−−
−−−
−−−
−−−
==∆=∆
==∆=∆
==∆=∆
==∆=∆
α
α
α
α
cmmxmxmx
mxmxLLLLL dcba
9,18109,18)109()109,3(
)1045,3()1052,2(222
22
==++
++=∆+∆+∆+∆=∆−−−
−−
Relación entre dilatación y esfuerzo.
TLL
e ∆=∆
= α donde e es el coeficiente de deformación
eES = , donde S es el esfuerzo y E el módulo de Young
CALOR LATENTE Definición: El calor latente es la energía necesaria para transformar un
kilogramo de sustancia de una fase a otra a temperatura constante. El calor de fusión Hf es el calor latente para la transformación de sólido a líquido; el calor de evaporación Hv es el calor latente para la transformación de líquido a gas; el calor de sublimación Hs es el calor latente para la transformación de sólido a gas directamente, sin pasar por fase líquida.
En el caso del agua, al empezar a fundir el hielo, no aumentará la temperatura de este, aunque aumentemos la temperatura, hasta que se haya fundido totalmente.
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5
Ejemplo: ¿Cuánto calor hay que extraer de 200 g de agua a 15 º
C para producir 200 g de hielo a –15 º C? Para enfriar el agua a 0º, hay que extraer:
kcalCCCkgkcalkgTmcQ p 3)º15º0(º1)2,0(1 −=−
•=∆=
Para congelar el agua: kcalkg
kcalkgmHQ f 16)7,79)(2,0(2 −=−=−=
Para enfriar el hielo hasta –15 º C:
kcalCCCkgkcalkgTmcQ p 5,1)º0º15(º492,0)2,0(3 −−=−−
•=∆=
La cantidad de calor a extraer es: kcalQQQQ 5,20321 −=++=
Refrigeración El calor pasa espontáneamente de una región a temperatura elevada a otra de
temperatura más baja. Un refrigerador es un dispositivo que rebaja la temperatura de un compartimento
aislado por debajo de la del ambiente, transportando calor del compartimento a baja temperatura al ambiente de temperatura más elevada. Un refrigerador es análogo a una bomba que transporta un fluido desde una región a presión baja a otra a presión superior.
Definición: El rendimiento e de una máquina frigorífica es el cociente entre el calor 1Q extraído del compartimento y el trabajo W efectuado por el compresor:
12
11
Q
W
Qe
−==
TRANSMISIÓN DE CALOR El calor es energía que pasa de un objeto a otro a consecuencia de una diferencia
de temperatura existente entre ellos. El sentido natural de la circulación espontánea del calor es siempre del objeto de mayor temperatura al de menor
Existen tres mecanismos básico mediante los cuales el calor circula espontáneamente de una región de mayor temperatura a otra de menor temperatura: conducción , convección y radiación.
Conducción: La conducción es la transmisión de energía a través de un medio material por los
choques sucesivos de las moléculas vecinas. Las moléculas, al chocar, van cediendo parte de su energía cinética a las que tienen menor, y esta, a su vez, cederán a las que tengan menor que ellas, y así hasta que las energías cinéticas de todas las moléculas se compensen.
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6
Definición: El caudal calorífico P es el calor que pasa de una cara a otra en una unidad de tiempo. Así pues, si circula una cantidad de calor Q en un tiempo t, el caudal P será:
tQ
P =
entonces:
dTA
KP∆
=
donde K será la constante de conductividad térmica, característica del material;
A será la superficie de la lámina y d su grosor.
Ejemplo: ¿Cuál es el caudal calorífico que atraviesa el vidrio
de una ventana de 0,5 cm de grosor, cuando la cara externa se halla a 6 º C y la interior a 6,8 º C? (las dimensiones de la ventana son 2x3m
Wmx
CmCmW
dTA
KP 768105,0
)º8,0)((6)(º8,0(2
2
=•=∆
= −
Definición: La conductividad C de una lámina de material de conductividad
térmica K , grosor d y área A es:
dKA
C =
La resistencia R de una lámina de material de conductancia C es:
KAd
CR ==
1
El caudal calorífico, se puede expresar en función de la conductancia o la
resistencia por:
TCP ∆= y RT
P∆
=
Definición: La resistencia eficaz Ref de una barrera es la suma de la resistencia R de la barrera más la resistencia superficial Rs.
Sef RRR +=
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7
Definición: El coeficiente de transmisión U, o valor U de una barrera de área A es:
)(11
Sef RRAARU
+==
El caudal calorífico a través de una barrera es
TAUR
TP
ef
∆=∆
=
Convección: La convección es la transmisión de energía en un líquido o gas por medio del
tránsito real de fluido caliente de una región a temperatura elevada a otra de temperatura más baja. El fluido caliente tiene más energía interna que el fluido frío, al cual desplaza, con lo cual se lleva junto con el fluido energía a la región de temperatura inferior.
Radiación: La radiación es energía electromagnética que se propaga por el vacío a la
velocidad de la luz. Todos los cuerpos emiten una radiación. La energía radiante que por unidad de tiempo emite un cuerpo cuya superficie
tenga un área A y cuya temperatura absoluta sea Te la representaremos por Pe y se cumple:
4ee ATP εσ= emisión
4
aa ATP εσ= absorción
)( 44aeae TTAPPP −=−= εσ pérdida neta
donde 4281067,5
KmWx
•= −σ es una constante universal llamada constante de
Stephan – Boltzmann y ε es un parámetro adimensional denominado emisividad, cuyo valor va de 0 a 1 y depende de la naturaleza de la superficie.
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1
TEMA X. TERMODINAMICA La termodinámica estudia la relación entre calor, trabajo y energía y en
particular, la transformación de energía en trabajo El primer principio de la termodinámica dice que una máquina no puede
desarrollar un trabajo superior a la energía liberada por el combustible. El segundo principio de la termodinámica dice que no toda la energía liberada
puede convertirse en trabajo.
TRANSFORMACIONES TERMODINAMICAS El estado termodinámico de un sistema queda especificado por unas pocas
variables termodinámicas, tales como la presión p, el volumen V y la temperatura T. Transformación adiabática es toda transformación durante la cual no pueda
entrar ni salir calor del sistema. Según el primer principio de la termodinámica WQES −=∆ , como en una
transformación adiabática Q = 0 entonces tendremos
WES −=∆ En la dilatación adiabática de un gas, el trabajo efectuado es:
VW ∆= ρ W es positivo cuando el sistema efectúa un trabajo sobre el ambiente y SE∆ es
negativo. En la compresión adiabática de un gas, W será negativo, mientras que SE∆ es
positivo. Transformación isotérmica es toda transformación en la cual se mantenga
constante la temperatura. Transformación isocora es toda transformación en la cual se mantiene
constante el volumen del sistema. Transformación isobárica es toda transformación en la cual se mantenga fija la
presión del sistema.
MAQUINAS TERMICAS Y FRIGORIFICAS Una máquina térmica es un dispositivo que convierte calor en trabajo. Una
máquina frigorífica o refrigerador, es un dispositivo que utiliza trabajo para extraer calor.
Ejemplo: Una central nuclear de 850 MW tiene un rendimiento
del 28 %. Refrigera su condensador admitiendo agua del mar a 10 º C y la descarga a 18 º C. ¿Cuánta agua se necesita?
sJxWxMWP 86 105,810850850 === por lo que el trabajo que realiza en un segundo es
sJxW 8105,8= El calor tomado de la caldera en 1 segundo es:
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2
JJ
eW
Q 88
1 104,3028,0105,8
•=•
==
El calor cedido en el condensador será: JWQQ 888
12 109,21105,8104,30 •=•−•=−= El aumento de temperatura es de 10 º a 18 º, por tanto º8=∆T y, teniendo en cuenta que el calor específico del
agua es )º/(18,4 CkgkJcP = , tendremos:
[ ] kgCCkgkJ
kJTc
Qm
P
45
2 105,6º8)º(18,4
109,21•
••
=∆
=
entonces tendremos un volumen de agua tal que: 3
3
4
651000
105,6m
mkgkgm
V =•
==ρ
Motor de gasolina El rendimiento de un motor está relacionado con los volúmenes máximo y
mínimo, V1 y V2 del cilindro mediante la expresión:
4,0
4,0
2
1 11 −
−
−=
−= r
VV
e
donde 2
1V
Vr = es la razón de compresión.
Máquina frigorífica Una máquina térmica es un artefacto que convierte calor en trabajo. Una
máquina frigorífica es una máquina que utiliza un trabajo para extraer calor de un compartimento frío.
La máquina frigorífica absorbe una cantidad de calor Q1 de un foco frío y cede una cantidad de calor Q2 a un foco caliente. Hay que efectuar sobre el sistema un trabajo
12 QQW −= . En una máquina frigorífica, el beneficio es el calor Q1 extraído del foco frío y el
costo es el trabajo W efectuado sobre el sistema, por lo que el rendimiento de una máquina frigorífica es:
12
11
QQQ
WQ
e−
==
Ciclo de Carnot El ciclo de Carnot posee las siguientes propiedades: • La máquina de Carnot es la de mayor rendimiento de las que operan entre
dos temperaturas T1 y T2. • El rendimiento de una máquina de Carnot es independiente de cuál sea la
sustancia evolutiva. Es decir, el rendimiento es el mismo si el sistema es un gas perfecto, un gas real e incluso un líquido.
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3
• El rendimiento de la máquina de Carnot que opere entre las temperaturas absolutas T1 y T2 es:
1
21TT
e −=
• Una máquina de Carnot puede funcionar en sentido inverso, convirtiéndose en máquina frigorífica de Carnot. Entonces la máquina frigorífica de mayor rendimiento que puede extraer el calor Q1 del foco frío T1 y ceder calor Q2 al foco caliente T2. El rendimiento de la máquina frigorífica de Carnot es:
12
11
TTT
WQ
e−
==
Ejemplo: La temperatura de la caldera de una turbina de vapor
es 550º C y la temperatura del condensador es de 10º C . ¿Cuál es el rendimiento de la máquina de Carnot que opere entre esas temperaturas?
Las temperaturas absolutas de los focos caliente y frío son:
KCCTy
KCCT
º283º10º273
º823º550º273
2
1
=+=
=+=
y el rendimiento
66,0823283
111
2 =−=−=TT
e
SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA El segundo principio de la termodinámica dice que la energía del universo (Eu),
que es la suma de la energía del sistema (ES) más la energía del ambiente (Ee), ( εδ EEEu += ) se conserva, es decir, en toda transformación termodinámica 0=∆ υE
Enunciado estadístico del segundo principio de la termodinámica. El desorden total del universo no disminuye nunca.
Hay procesos que son irreversibles. Un objeto, lo normal, es que caiga. Ese mismo objeto no puede elevarse por sí solo.
ENTROPIA Definición: La entropía S es una variable termodinámica que mide el desorden
de un estado termodinámico. Esto significa que cada estado tiene una entropía definida y que la entropía de un estado será mayor que la del otro cuando el desorden del primero sea mayor que el del segundo
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TEMA XI. CUERDAS VIBRANTES
ONDAS DE UNA CUERDA TENSA Definición: Una onda es una perturbación de un medio que se propaga por él con
una celeridad constante v característica del medio. En el ejemplo de una cuerda, la cuerda es el medio y la perturbación es el
movimiento de los puntos de la cuerda que se desplaza frente a los punto de la cuerda que no se perturban.
Se establece un eje de coordenadas para poder comprender los movimientos de una cuerda vibrante.
En estado de equilibrio, para cualquier magnitud en el eje x, se establece que el eje y = 0.
Cuando ya la cuerda no está en equilibrio, se establecerá para un valor en x un valor en y.
Cada punto de la cuerda, solo se mueve hacia arriba y hacia abajo, mientras que la perturbación se moverá longitudinalmente a lo largo de la cuerda con una celeridad v.
La celeridad hacia arriba y hacia abajo no es constante. La celeridad en la cuerda vendrá determinada por
tABv −=
Ejemplo: Supongamos que el
intervalo de tiempo entre las figuras b y c es de 0,2 seg. En ese tiempo, el punto de la cuerda cuyo desplazamiento es de 0,3 cm ha pasado de A (en x = 4,0 m) a B (en x=5,0 m), con lo que la celeridad v de la onda es:
sms
mmv 5
2,00,40,5
=−
=
Por otra parte, el desplazamiento de A ha pasado a ser cmy 3,00,4 = a cmy 6,00,5 = , con lo que la celeridad (media) transversal, o arriba y abajo, de dicho punto durante ese intervalo de tiempo es:
scms
cmcmv 5,1
2,03,06,0
=−
=
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2
La celeridad transversal v está relacionada con la energía que transporta la onda mientras que la celeridad v de la onda, es la celeridad con la cual se transmite la energía a lo largo de la cuerda.
Para un medio dado, la celeridad de la onda es constante, mientras que la celeridad transversal varía de una onda a otra e incluso de un punto a otro y de un instante a otro dentro de una onda dada.
Ejemplo: a) Dibujar el desplazamiento de la cuerda 0,2 s
después de que esté en la posición representada en la figura c.
b) ¿Cuál es el desplazamiento del punto A en ese instante?
c) ¿Cuál es la celeridad transversal (media) del punto A durante dicho intervalo de 0,2 s?
a) Como la celeridad v de la onda es de 5 m/s, en
0,2 s la onda recorre una distancia mssmvtd 1)2,0()5( =•==
esto sitúa el punto A en x=5m.
b) En la figura observamos que el antiguo punto A tiene ahora un valor cmy 2,00,4 = .
d) Durante este intervalo de tiempo, la posición de A pasa de cmy 6,00,4 = a cmy 2,00,4 = , por lo que su celeridad media será:
scms
cmcmv 0,2
2,06,02,0
−=−
=
El signo menos indica que A se mueve en el sentido de las y negativas durante ese intervalo de tiempo.
Definición: Se llama onda transversal aquella onda en la cual los puntos del
medio se mueven perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. Las
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ondas de una cuerda son transversales porque los puntos de la cuerda se mueven perpendicularmente a la cuerda mientras la onda se propaga a lo largo de ella
Definición: Se llama onda longitudinal aquella onda en la cual los puntos del medio se mueven en uno otro sentido en la dirección de la propagación de la onda. Ejemplo. Un muelle cuando se contrae y se expande.
FISICA DE LAS ONDAS MECANICAS La propagación de una onda se comprende si al someter a un punto del medio
una fuerza, esta hace que el medio cambie su condición de equilibrio y luego, los puntos cercanos al de aplicación, hacen que el original vuelva a su estado de equilibrio y así sucesivamente.
Celeridad de una onda en una cuerda Viene determinada por la masa de la cuerda, la longitud de esta y su tensión por:
LmT
v =
La cantidad m/L es la masa por unidad de longitud, o densidad lineal, de la cuerda. Así pues:
Lm
=µ
Entonces la celeridad en la cuerda será:
µT
v =
Ejemplo: ¿Cuál es la celeridad de una onda en una cuerda de
guitarra sometida a una tensión de 30 N y cuya masa por unidad de longitud es de 0,015 kg./m?
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4
smsmkgmNmkg
Nv /7.44/2000/2000
/015,030 22 ==•==
SUPERPOSICION Cuando en el mismo punto
existen varias ondas, se conoce como ondas en superposición. Por ejemplo, cuando una onda va hacia la otra, éstas se cruzan y se atraviesan sin alteración. Por tanto, se puede decir que una onda no es un cuerpo material sino un sistema de desplazamiento de puntos.
Principio de superposición Si en un instante cualquiera existen simultáneamente en un punto dos o más
ondas, el desplazamiento del punto es la suma de los desplazamientos que tendría al estar afectado por cada onda por separado. Al aplicar este principio, los desplazamientos hacia un lado se toman positivos y los desplazamientos hacia otro se toman negativos.
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También ocurre lo mismo si las ondas están desfasadas 180º:
Superposición de las ondas transversales de los dos puntos.
ONDAS SINUSOIDALES
Longitud de onda y frecuencia Una onda sinusoidal es una onda en la cual se alternan semiciclos o pulsos
positivos y negativos Definición: La longitud de onda λ de una onda sinusoidal es la distancia que
separa los dos picos positivos contiguos. Para una onda sinusoidal, los picos positivos y cualquier punto respecto a su imagen tienen la misma separación.
Se dice que es una onda periódica porque la forma se repite exactamente a intervalos iguales a λ .
Definición: La amplitud A de una onda sinusoidal es la elongación máxima de la onda. Es igual en la elongación del pulso positivo y la elongación del pulso negativo.
También se conoce como amplitud de pico. Si la amplitud se toma sumando las dos amplitudes de pico (pulso positivo mas
pulso negativo) se conoce como amplitud de pico a pico. La longitud de onda de una onda sinusoidal se toma en función de una
circunferencia trigonométrica (dividiendo la longitud de onda en 360 partes), por tanto se puede calcular la elongación en un punto cualquiera en función del seno de la inclinación de la onda.
360360
•=⇒=λ
θθ
λxx
donde x es la posición en la queremos calcular el ángulo, λ es la longitud de onda y θ es el ángulo que describe la onda en esa posición.
Entonces la elongación en el punto x será igual a:
••=•= 360sensenλ
θx
AAAx
Donde Ax es la amplitud o elongación en el punto x. Si la medida de los ángulos se expresan en radianes entonces tendremos:
••=•= π
λθ 2sensen
xAAAx
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6
Ejemplo: Una onda sinusoidal tiene una amplitud A = 0,5 cm y
una longitud de onda cm30=λ ¿Cuál es su elongación en x = 6 cm?
cmcm
cmcmcm
cmx
Ay
475.0)951.0)(5.0(
)º72)(sen5.0(º360306
sen)5.0(º360sen
==
==
=
=
λ
Definición: Llamamos periodo τ de una onda sinusoidal al tiempo una onda
sinusoidal en completar una longitud de onda.
vλ
τ = o bien τλ
=v
está relacionado con la velocidad de propagación de la onda. Definición: La frecuencia f de una onda sinusoidal es las veces que se repite esa
onda por unidad de tiempo. Viene dada por:
τ1
=f
Teorema de Fourier Toda onda, cualquiera que sea su forma, puede expresarse de manera única
como superposición (suma) de ondas sinusoidales de longitudes de onda y amplitudes de onda definidas
Una onda compleja siempre se puede descomponer en ondas más sencillas.
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7
Energía de una onda sinusoidal Cuando se propaga por un medio una onda sinusoidal de frecuencia f y amplitud
A, cada punto del medio oscila con movimiento armónico simple. La energía de una masa puntual es:
22
21
21
kymvE +=
La energía total será igual a la suma de su energía cinética más la energía potencial.
La constante k es una medida de la intensidad de la fuerza que ejerce el medio sobre el punto desplazado. Está relacionada con el periodo τ de oscilación del punto por la ecuación:
km
πτ 2= de donde mfm
k 222
2
44
πτπ
==
Así pues, la energía en un punto del medio será:
2222 221 AmfkAE π==
En una cuerda de densidad lineal µ , la masa de un tramo de cuerda de longitud
igual a una longitud de onda es λµ=m . Entonces, la energía en el tramo de la cuerda será:
22222 22 vfAAfE µπµλπ == donde fv λ= es la velocidad de propagación de la onda por la cuerda. La energía que pasa por un punto por unidad de tiempo viene dada por:
2222 AvffEP µπ==
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8
ONDAS ESTACIONARIAS Cuando dos ondas sinusoidales de igual amplitud, frecuencia y fase, aunque de
sentido opuesto, se cruzan y forman ondas estacionarias.
Ejemplo: Un cable de alta tensión de 120 m de longitud está
suspendido entre dos torres. La densidad lineal del cable es de 1.6 kg./m y la tensión mecánica del cable es de
Nx 4106.3 a) ¿Cuál es la menor frecuencia con que puede oscilar el cable? b) ¿cuál es la separación entre nodos igual a 1.5 m?
a) la celeridad de propagación de una onda transversal será:
smmkgNxT
v /150/6.1
106.2 4
===µ
la frecuencia de oscilación más baja será la fundamental a la cual corresponde la longitud de onda:
mmL 240)120(221 ===λ y la frecuencia:
Hzm
smvf
nn 625.0
240/150
===λ
b) los nodos de una onda estacionaria están separados cada dos consecutivos (media longitud de onda) entonces la longitud de onda nλ de las ondas estacionarias cuyos nodos estén separados 1,5 m será:
mmn 0.3)5.1(2 ==λ y su frecuencia:
Hzm
smvf
nn 50
0.3/150
===λ
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9
Definición: El valor de la frecuencia accionante fa que origina la amplitud de vibración máxima se denomina frecuencia de resonancia. Un sistema que se accione a su frecuencia de resonancia se dice que está en resonancia. Si un sistema es pequeño o no tiene casi rozamiento, la frecuencia de resonancia es igual a la frecuencia característica.
Ejemplo: El cable del ejemplo anterior tiene un diámetro de 2.8
cm. a) ¿Cuál es la frecuencia de la fuerza accionante que ejerce sobre este cable un viento de 25 km./h? b) ¿Qué celeridad el viento haría que el cable resonara a la frecuencia característica n = 80?
a) la celeridad del viento es:
smsm
hkmv /94.63600
25000/25 ===
el radio del cable es:
mm
dr 014.02
028.021
===
la frecuencia de la fuerza accionante será:
Hzm
sms
rv
cf d 8.45014.0
/94.60923.0 2 === −
Constante de análisis con cables reales
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10
b) Sabemos que la frecuencia característica del cable es:
80625.050
1
===Hz
Hzff
n n , entonces Hzf 5080 =
La resonancia tiene lugar cuando la fuerza accionante es igual a la frecuencia característica. Por tanto la celeridad del viento a esta frecuencia vendrá dada por:
Hzfrv
cf d 5080 ===
entonces:
sKmsmsm
Hzcr
Hzv /3.27/58.70923.0
014.0)50()50( 2 ==== −
Docum
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argad
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1
TEMA XII. SONIDO El sonido es una onda mecánica longitudinal que se propaga por el aire, el agua
y otros medios materiales
FISICA DEL SONIDO El altavoz consiste en un cono de plástico unido a un electroimán. Cuando se
manda a este una corriente eléctrica alterna de frecuencia f, el cono vibra en un sentido y en otro según esa frecuencia f.
El cono ejecuta un movimiento armónico simple. La elongación de las moléculas de aire que mueve el cono viene dada por:
)2cos( ftAy π= donde A es la amplitud del movimiento del cono. La onda se propaga con una celeridad v característica del medio. La longitud de onda λ de una onda sinusoidal de frecuencia f viene dada por:
vf =λ
Ejemplo: ¿Cuál es la longitud de onda en el aire de una onda
sonora generada por un altavoz que oscila con una frecuencia de 1000 Hz?
mHz
smfv
34.01000
/340===λ
La longitud de onda del sonido está comprendida entre 2 cm y 20 m, según sea
la frecuencia (de 20 Hz a 20 KHz). El sonido genera unos cambios de presión en el medio. Esta presión, en un punto
viene determinada para una elongación determinada según:
0ppp −= Si en un instante la elongación de la onda viene dada por:
)2cos(λ
πx
Ay =
en ese mismo instante la diferencia de presión p viene dada por
=
λπ
xAp p 2sen
sonde Ap es el valor máximo de p La amplitud de la presión Ap está relacionada con la amplitud de la elongación A
por:
vAfAp ρπ2= donde ρ es la densidad del medio y v la celeridad del sonido en el medio. Al la cantidad vρ se le da el nombre de impedancia acústica.
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2
Ejemplo: La amplitud de la presión del sonido de una
conversación normal es, aproximadamente de 0.02 Pa ¿Cuál es la amplitud de la elongación de este sonido si su frecuencia es de 1000 Hz?
La impedancia acústica del aire a 20 º C es 411.6 Kg./(m2s), entonces:
[ ] mxsmkgHz
mNvf
AA p 9
2
2
107.7)//(6.411)1000(2
/02.02
−=+
==πρπ
Celeridad del sonido en gases y líquidos La celeridad del sonido en gases ideales viene dada por
ργ 0p
v = GAS
donde ρ es la densidad del gas, 0p es la presión en ausencia de perturbaciones y γ es la razón vp CC del calor específico de un gas a presión constante al calor específico del gas a volumen constante.
La celeridad del sonido en un líquido viene dada por:
ρB
v = LIQUIDO
donde el módulo de compresibilidad se define de la manera siguiente: Definición: El módulo de compresibilidad constituye una medida de la
resistencia del líquido a la compresión. Es el equivalente al módulo de Young en los sólidos.
Si un líquido ocupa un volumen V a una presión 0p el volumen se reducirá a un volumen VV ∆− cuando la presión se incrementa en 00 pp ∆+ .
El módulo de compresibilidad de un líquido es:
VV
pB∆
∆=
Ejemplo: a) Calcular el módulo de compresibilidad del agua
teniendo en cuenta que la velocidad del sonido en agua es 1498 m/s, y su densidad es de 998 Kg./m3. b) ¿Cuánto disminuye un volumen de 104 cm3 de agua cuando se somete a una presión de 200 atm.?
293222 /102.2)/998()/1498( mNxmkgsmBvB ==⇒= ρ b)
27 /1002.2200 mNxatmp ==∆
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3
329
3427 8.91
/102.210
)/1002.2( cmmNx
cmmNx
BV
pV ==∆=∆
Ondas extensivas Se llama onda extensiva a una onda longitudinal que se propaga a lo largo del
eje de una varilla larga cuyo diámetro d es pequeño frente a la longitud de onda λ . Las pequeñas variaciones de presión se propagan a lo largo de la varilla produciendo deformaciones en el diámetro de la varilla.
La celeridad de una onda extensiva viene dada por:
ρE
vex =
donde E es el módulo de Young.
Ondas longitudinales puras o compresivas La onda longitudinal pura a diferencia de la onda extensiva no tiene movimiento
transversal y se desplaza a través de un medio extenso. La velocidad de propagación v de una onda longitudinal pura está relacionada
con la de las ondas extensivas por:
exvv •−+
−=
)21)(1(1
µµµ
donde µ es la constante de Poisson. (para toda sustancia esta está comprendida entre 0 y 0,5).
Ondas transversales o cortantes En una onda transversal, las moléculas del medio se mueven perpendicularmente
a la dirección de propagación de la onda. Las ondas transversales se pueden propagar por sólidos, pero no por gases y líquidos, ya que los fluidos no pueden soportar esfuerzos cortantes.
La celeridad en las ondas cortantes viene dada por:
ρGvt =
donde G es el módulo de rigidez del sólido NOTA. El módulo de Young E, el módulo de rigidez G y el coeficiente de
Poisson µ están relacionados por:
)1(2 µ+=
EG
INTENSIDAD Y NIVEL DE INTENSIDAD Una onda sonora que se desplaza por una columna de aire de longitud d y
sección recta de área a. La masa m de la columna de aire es:
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adVm ρρ == La densidad lineal µ es la masa por unidad de longitud de la columna:
dm
=µ
Al propagarse una onda por un medio, las energías cinética y potencial de las moléculas móviles se transportan desde una región del espacio a otra con una celeridad v de la onda. En el caso de una cuerda de densidad lineal µ , la energía transportada por unidad de tiempo o potencia P viene dada por:
2222 AvfP µπ= o lo que es lo mismo 2222 AavfP ρπ=
Definición: La intensidad I de una onda es la energía que, por unidad de tiempo, transporta la onda a través de la unidad de superficie. Así pues, si es P la potencia que transporta una onda a través de un área a, la intensidad de la onda será:
aP
I =
entonces tendremos que:
222222
22
Avfa
AavfI ρπ
ρπ==
por tanto
v
AI p
ρ2
2
=
donde Ap es la amplitud de la presión.
Ejemplo: a) El diafragma de un micrófono tiene una superficie
de 3 cm2 . Si la potencia del sonido que incide sobre el diafragma es P = 6 x 10-10 W ¿Cuál es la intensidad I del sonido?. b) ¿Cuál es la amplitud de la presión del sonido Ap?
a) 2624
10
/102103106
mWxmxWx
aP
I −−
−
===
b) v•ρ es la Impedancia acústica = 412 Kg./(m2s)
[ ] PaxmWxsmkgvIAp2262 1006.4)/102()/(41222 −− =•== ρ
Definición: El nivel de Intensidad β (en decibelios) de un sonido de intensidad I
es:
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5
oII
dB log)10(=β
donde 212 /10 mWI o−= que es la intensidad de referencia.
En la escala de decibel, el dominio de audibilidad humana está entre:
dBdBmW
mWdB
y
dBdBmWmW
dB
120)10log()10(/10
/1log)10(
0)1log()10(/10/10
log)10(
120212
2
212
212
===
===
−
−
−
β
β
ONDAS ESTACIONARIAS Se basan en los mismos principios que para las cuerdas vibrantes.
Ejemplo: ¿Cuál es la longitud de un tubo de órgano abierto cuya
frecuencia fundamental sea 440 Hz?
mHz
smf
nvL
n
386.0)440(2)/340(1
2===
EFECTO DOPPLER Y PULSACIONES Cuando se emite una frecuencia hacia un objeto estático, este devolverá la
misma frecuencia que la emitida. Si el objeto está en movimiento, este devolverá una variación en la frecuencia según la velocidad de desplazamiento del objeto o del foco.
Foco en movimiento La longitud de onda de la onda será:
s
s
s
s
fvv
TfTvv −
=−
=)(
λ
y la frecuencia:
ss
fvv
vvf
−==
λ
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6
Ejemplo: Una sirena de ambulancia oscila a una frecuencia de
1200 Hz ¿Cuál es la frecuencia del sonido que llega a un detector en reposo cuando la ambulancia se mueve hacia él a 25 m/s?
HzHzsmsm
smf
vvv
f ss
1295)1200(/25/340
/340=
−=
−=
si la ambulancia se alejara del detector sería –25 m/s:
HzHzsmsm
smf
vvv
f ss
1118)1200(/25/340
/340=
+=
−=
Detector en movimiento Cuando el detector es el que se mueve hacia el foco sonoro con una velocidad
vd, la onda en el aire tendrá la misma frecuencia fs que el foco sonoro y su longitud de onda ss fv /=λ , aunque el detector no percibirá esta frecuencia .
En el intervalo de tiempo entre t = 0 y t = T, al detector le llegará una onda de longitud:
TvvT d+ El número de longitudes de onda de ese tres de frecuencias es:
sd
s
d
s
d Tfvvv
fvTvvTTvvT +
=+
=+λ
y la frecuencia percibida vendrá dada por:
sd
sd f
vvv
fTfvvv
fT+
=⇒+
=
Ejemplo: El foco de una alarma antirrobo genera ondas de
frecuencia 2500 Hz. ¿Cuál será la frecuencia de las ondas reflejadas por un cuerpo que se mueve hacia el foco con una celeridad de 1 m/s?
HzHzHzHz
fvvvv
f s 2515)2500(339341
0
0 ==−+
=
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Pulsaciones La superposición de dos ondas sinsusoidales cuyas frecuencias f1 y f2 sean casi
iguales, da lugar a una onda pulsátil. La frecuencia f de esa onda es la media aritmética de las frecuencia de las ondas componentes.
)(21
21 fff +=
y la amplitud de la onda oscila con la frecuencia de las pulsaciones f∆ , que es igual a la diferencia entre las frecuencias f1 y f2.
12 fff +=∆
CONTROL DE RUIDO
Variación de la intensidad con la distancia La intensidad del ruido varía dependiendo del alejamiento del detector al foco. La potencia sonora a una determinada distancia del foco viene dada por:
12
1111 4 IrIaP π== Análogamente, la potencia P2 que atraviesa una superficie esférica de radio r2
será:
22
2222 4 IrIaP π== La energía por segundo que atraviesa las dos zonas es igual según:
22
212
1 44 IrIr ππ = o sea:
22
12
12 r
IrI =
Transmisión y reflexión por una barrera Definición: La reducción de ruido nrβ∆ de una barrera es la diferencia entre los
niveles de intensidad de los sonidos incidente y transmitido:
t
itinr I
Idb log)10(=−=∆ βββ
Definición: El coeficiente de reflexión r de una barrera es la razón de la intensidad reflejada a la incidente.
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8
i
r
II
r =
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TEMA XII. SONIDO El sonido es una onda mecánica longitudinal que se propaga por el aire, el agua
y otros medios materiales
FISICA DEL SONIDO El altavoz consiste en un cono de plástico unido a un electroimán. Cuando se
manda a este una corriente eléctrica alterna de frecuencia f, el cono vibra en un sentido y en otro según esa frecuencia f.
El cono ejecuta un movimiento armónico simple. La elongación de las moléculas de aire que mueve el cono viene dada por:
)2cos( ftAy π= donde A es la amplitud del movimiento del cono. La onda se propaga con una celeridad v característica del medio. La longitud de onda λ de una onda sinusoidal de frecuencia f viene dada por:
vf =λ
Ejemplo: ¿Cuál es la longitud de onda en el aire de una onda
sonora generada por un altavoz que oscila con una frecuencia de 1000 Hz?
mHz
smfv
34.01000
/340===λ
La longitud de onda del sonido está comprendida entre 2 cm y 20 m, según sea
la frecuencia (de 20 Hz a 20 KHz). El sonido genera unos cambios de presión en el medio. Esta presión, en un punto
viene determinada para una elongación determinada según:
0ppp −= Si en un instante la elongación de la onda viene dada por:
)2cos(λ
πx
Ay =
en ese mismo instante la diferencia de presión p viene dada por
=
λπ
xAp p 2sen
sonde Ap es el valor máximo de p La amplitud de la presión Ap está relacionada con la amplitud de la elongación A
por:
vAfAp ρπ2= donde ρ es la densidad del medio y v la celeridad del sonido en el medio. Al la cantidad vρ se le da el nombre de impedancia acústica.
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Ejemplo: La amplitud de la presión del sonido de una
conversación normal es, aproximadamente de 0.02 Pa ¿Cuál es la amplitud de la elongación de este sonido si su frecuencia es de 1000 Hz?
La impedancia acústica del aire a 20 º C es 411.6 Kg./(m2s), entonces:_
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TEMA XIII. LA LUZ
NATURALEZA DE LA LUZ
Naturaleza ondulatoria de la luz La naturaleza de la luz se estableció a través de una serie de experimentos que
ponían de manifiesto que la luz cumple el principio de superposición.
Naturaleza electromagnética de la luz Maxwell estableció que la luz era una forma de radiación electromagnética. Estableció que el espectro de luz visible va de 400 nm. (nanometros) a 700 nm.
(4x10-7 a 7x10-7).
Celeridad de la luz La celeridad de la luz se establece en vacío como:
smxc /1000.3 8= Definición: El índice de refracción n de una sustancia es el cociente entre la
celeridad de la luz en vacío y la celeridad de la luz v en la sustancia en cuestión:
vcn =
REFLEXION Y REFRACCIÓN Definición: Onda plana es aquella en la cual su elongación es la misma en todos
los puntos de un plano perpendicular a la dirección de propagación. Dichos planos, llamados frentes de onda, se mueven con la celeridad v de la onda
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2
Cuando una onda viaja por un medio, al chocar con la superficie de otro medio, parte de la onda se ve reflejada por la superficie hacia el mismo medio (reflexión) y, parte atraviesa el otro medio sufriendo una variación (refracción) en su ángulo de incidencia.
Reflexión
Ley de la reflexión. El ángulo de reflexión 1'θ es igual al ángulo de incidencia
1θ .
11' θθ = De la ley de reflexión se deduce que la velocidad de la onda incidente es igual a
la velocidad de la onda reflejada.
Refracción Ley de la refracción. El ángulo de incidencia 1θ está relacionado con el ángulo
de refracción 2θ mediante la relación:
2211 sensen θθ nn = donde n1 y n2 son los índices de refracción de los medios primero y segundo De la ley de la refracción se deduce que las velocidades de la onda incidente y la
refractada son distintas, ya que el índice de refracción es distinto según:
11 n
cv = y
22 n
cv =
luego las distancias recorridas por ambas ondas serán distintas también
2
1
' vv
dd
=
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3
Luego, según la figura tendremos que:
CAd'
sen 1 =θ y CAd''
sen 2 =θ
luego
1
2
2
1
'sensen
nn
dd
==θθ
entonces:
2211 sensen θθ nn =
Ejemplo: Un haz de luz incide bajo
un ángulo 1θ sobre una cara de lámina de vidrio de caras paralelas. ¿Cuál es el ángulo 1θ con que emerge por la otra cara de la lámina?
12
12 sensen θθ
nn
=
como las caras del vidrio son paralelas, entonces 22 φθ = y por tanto:
112
1
1
22
1
22
1
21 sensensensensen θθθφφ ====
nn
nn
nn
nn
Por tanto si 11 sensen θφ = entonces significa que el ángulo incidente y el emergente son paralelos, pero desplazados. Esto ocurre siempre en caso de superficies paralelas
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4
Ejemplo Un rayo de luz incide
bajo un ángulo º401 =θ sobre una cara de un prisma de vidrio cuyo ángulo del prisma o ángulo refringente es º60=A y cuyo índice de refracción es 5.12 =n . ¿Cuál es el ángulo de desviación
Dθ que forma el rayo emergente con el incidente?
º4.25429.0sen429.0º40sen5.1
1sensen 221
2
12 =⇒=⇒=== θθθθ
nn
según las leyes de la geometría: 22 90º- y º90 ;180 φβθαβα =−==++A
entonces º6.34º4.25º60º180)º90()º90( 22222 =−=⇒−=⇒=−+−+ φθφφθ AA
por tanto:
6.58853.0º6.34sen5.1sensen 121
21 =⇒=== φφφ
nn
entonces el ángulo de desviación Dθ será:
º6.38º60º6.58º40)() 112121
=−+=−+=−+−=
D
D Aθ
φθφφθθθ
Reflexión total interna Cuando un rayo de luz pasa de un medio a otro de mayor índice de refracción, se
refracta acercándose a la normal (recta perpendicular a la cara de incidencia) y cuando el segundo medio tenga un índice de refracción menor que el primero, se refractará alejándose de la normal.
Toda la luz que incide en la superficie de separación vidrio – aire se refleja hacia el interior del vidrio. Este fenómeno se llama reflexión total interna y esto ocurre cuando:
1sen 12
1 >θnn
La reflexión total interna solo se cumple cuando 21 nn > . El ángulo crítico C1θ es el menor ángulo para el cual hay reflexión total y se
obtiene cuando:
1
21 n
nC =θ
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INTERFERENCIAS Y DIFRACCION
Interferencias Cuando se mezclan dos ondas de distintas frecuencias, según el principio de
superposición, la frecuencia de la onda resultante tiene variaciones y en algún punto determinado llega a anularse.
Ejemplo: Un láser de neón – helio forma un sistema de franjas
sobre una pantalla situada a 3.00 m de otra que contiene dos rendijas separadas 0,02 cm. La separación de franjas brillantes contiguas en la pantalla es de 0.95 cm. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz láser?
nmcmxcmx
cmcmnD
dxn 630103.6)100,3)(1(
)02,0)(95,0( 52
==== −λ
Difracción Cuando una onda plana atraviesa una rendija, se producen a partir de ahí unas
difracciones relacionadas con la abertura de la rendija y la longitud de onda de la luz que atraviesa la rendija. Cuando la rendija sea mucho más ancha que la longitud de onda, el ángulo de la difracción será pequeño.
La relación del ángulo de difracción y el tamaño de la rendija con la longitud de onda se da en:
dλ
θ =sen
Resolución Definición: El poder separador, o de resolución, de un instrumento óptico es una
medida del grado hasta el cual puede separar el instrumento la luz procedente de dos puntos diferentes.
El tamaño de la mancha de enfoque depende del diámetro d de la pupila, de la distancia f del cristalino a la retina y de la longitud de ondaλ de la luz.
El diámetro máximo de la pupila es de unos 7 mm, por
lo que con nm550=λ el ángulo de difracción dado será:
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6
radxxxmxmx
d535
3
9
108º1052.4109.710710550
sen −−−−
−
==⇒=== θλ
θ
La distancia f entre el cristalino y la retina es de 1,7 cm, por lo que el radio de la mancha de enfoque será:
mcmxcmxfr µθ 4,1104,1)7,1)(108( 45 ==== −−
POLARIZACION Una onda longitudinal solo puede vibrar en una dirección, mientras que una
onda transversal puede vibrar en cualquier dirección contenida en un plano perpendicular a la dirección de propagación. En un haz de luz polarizada, todos los trenes de ondas vibran en la misma dirección transversal, por lo que el haz se podrá representar por una sola amplitud A. La amplitud de la luz polarizada se trata como una magnitud vectorial porque está caracterizada por su magnitud y su dirección.
Luz polarizada parcialmente La luz polarizada parcialmente es una mezcla de luz polarizada y luz no
polarizada que puede presentar una polarización comprendida entre el 0% y el 100%. Los trenes de ondas polarizados parcialmente pueden vibrar en todas las direcciones pero su máxima amplitud la logran en la dirección de la polarización. La luz no polarizada se polariza parcialmente cuando la refleja una superficie no metálica, siendo la dirección de polarización paralela a la superficie reflectora.
Luz polarizada elípticamente La luz polarizada elípticamente resulta de la superposición de dos ondas
polarizadas linealmente de igual longitud de onda pero cuyos planos de polarización sean mutuamente ortogonales y cuyas elongaciones pasen por sus valores máximos en instantes diferentes
VISION DEL COLOR
Primera ley del color El ojo humano normal sólo percibe tres atributos de la luz, que suelen
denominarse brillo, pureza y matiz.
Segunda ley del color Todo color que puede obtenerse mezclando dos colores específicos
corresponderá a un punto de la recta que une los de dichos colores en un diagrama de cromaticidad.
Tercera ley del color Colores iguales tienen efectos iguales en las mezclas, aun cuando sean diferentes
sus composiciones espectrales.
RADIOMETRIA Y FOTOMETRIA La radiometría es la medida de la energía electromagnética (energía radiante)
emitida por un foco o incidente sobre un detector. La radiación puede estar entre las radiaciones infrarroja o ultravioleta incluyendo la luz visible.
La fotometría es la medida de la luz visible tal como aparece a un ser humano de visión normal.
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Radiometría Definición: Poder radiante, o flujo radiante, eP es la energía electromagnética
que emite un foco por unidad de tiempo. Su unidad es el Joule por segundo (J/s) o watt (W). El poder radiante espectral eP es el poder radiante por longitud de onda a una longitud de onda particular λ . Su unidad es el watt por nanometro (W/nm).
Definición: La irradiancia Ee es la energía electromagnética que incide sobre la unidad de una superficie normal al flujo en una unidad de tiempo. Su unidad es el watt por metro cuadrado (W/m2). La irradiancia espectral λ'eE es la irradiancia por longitud de onda a una longitud de onda particular λ . Su unidad es el Watt por metro cuadrado y por nanometro. [W/(m2.nm)]. La irradiancia es la expresión radiométrica de lo que llamamos intensidad.
El poder radiante y la irradiancia guardan proporcionalidad como sigue:
24 rP
aP
E eee π
==
Fotometría Definición: El poder luminoso, o flujo luminoso, vP es la cantidad de luz visible
emitida por un foco en unidad de tiempo, Su unidad es el lumen (lm). El poder luminoso espectral λvP es el poder luminoso por longitud de onda a una longitud de onda particular λ . Su unidad es el lumen por nanometro (lm/nm).
Definición: La eficacia luminosa K de un foco luminoso es la razón de su poder luminoso vP a su poder radiante eP .
e
v
PP
K =
Definición: La iluminancia vE es el poder luminoso que incide por unidad de área sobre una superficie. Su unidad SI es el lumen por metro cuadrado (olm/m2), que recibe el nombre de lux (lx). Otras unidades son el lumen por pie cuadrado (lm/pie2), llamado pie – candela y el lumen por centímetro cuadrado (lm/cm2), llamado phot (ph). Doc
umen
to de
scarg
ado d
e
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1
TEMA XIV. OPTICA
LENTES Hay fundamentalmente dos tipos convergentes (positivas) y divergentes
(negativas) Las lentes convexas son siempre convergentes. Las lentes cóncavas son siempre divergentes. Las lentes menisco pueden ser convergentes o divergentes dependiendo de la
curvatura relativa de sus superficies cóncava y convexa.
Definición: La distancia focal f de una lente es la distancia del centro C de la lente al foco de imagen F’. Es la característica principal de la lente.
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2
Imágenes reales Una lente positiva (convergente) da una imagen real de un objeto lejano situado
en el plano focal
Fórmula de las lentes 1 Como los triángulos rectángulos CAB y CA’B’ son semejantes, tenemos:
ss
hh ''
=
2 Como los triángulos rectángulos F’CP y F’A’B’ son semejantes, tenemos:
''''
CFAF
hh
=
Pero la distancia 'CF es la distancia focal f y la distancia '' AF es fs −' , por lo que podemos escribir la última ecuación en la forma
ffs
hh −
=''
3 Entonces, según la primera ecuación tendremos:
ffs
ss −= ''
y despejando:
fss1
'11
=+ Fórmulas de las lentes
Cuando la distancia al objeto s sea muy grande, tendremos:
fsfs
=⇒= '1
'1
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3
Ejemplo: ¿Cuál es la distancia imagen de un objeto que esté a
100 cm frente a una lente convergente de distancia focal 10 cm?
cmsscmcmscmscm
1.11'9
100100
110'
1100
110
1'
110
1'
1100
1==⇒
−=⇒−=⇒=+
Definición: El aumento m de una imagen es la razón de la altura h’ de la imagen
a la altura h del objeto:
ss
mhh
m''
=⇒=
La relación entre las distancias objeto e imagen se puede presentar gráficamente introduciendo las distancias reducidas s y 's , que son las distancias objeto e imagen divididas por la distancia focal.
fs
s = y fs
s'
' =
Entonces, según la fórmula de las lentes tendremos:
1'
111'11
=+⇒=+ssffsfs
lo que nos da una relación universal para lentes positivas.
INSTRUMENTOS DE UNA SOLA LENTE
Proyector
Ejemplo: Un proyector de diapositivas tiene una lente de
distancia focal f = 15 cm y proyecta una imagen sobre una pantalla situada a una distancia s’ = 4 m de la lente. a) ¿A qué distancia de la lente ha de estar la diapositiva?. b) ¿Cuál será el aumento de la imagen formada por el proyector?
a)
cmcmscmcmcmsfs
6.1577
1200120077
4001
151
'111 1 ==⇒=−=−= −
b)
7.2615400'
===cmcm
fs
m
Docum
ento
desc
argad
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4
Cámara fotográfica
Ejemplo: ¿Cuál es el tamaño de la imagen de una mujer de 1,6 m
de estatura que se halle de pie a 4 m de una cámara fotográfica cuyo objetivo tiene una distancia focal de 50 mm?
El aumento es:
0125.0400
5===
cmcm
sf
m
entonces, la altura de la imagen será: cmcmhmh 0.20125.0160´ =•==
Definición: El campo de visión de una cámara fotográfica es el ángulo θ
subtenido por la escena proyectada sobre la película. Si w es la anchura de la película:
fw
f
wtan
2arctg22
1
21
=⇒= θθ
Definición: Se llama abertura relativa de una lente a la razón d/f de su diámetro a su distancia focal. La iluminación que llega a la imagen es proporcional al cuadrado de la abertura relativa. El recíproco de la abertura relativa se denomina número f y es:
Definición: La velocidad de obturación de una cámara fotográfica es el tiempo que permanece abierto el obturador mientras se toma una fotografía.
Definición: La profundidad de campo es la gama de distancias a la cual estará un objeto en condiciones de enfoque satisfactorias para un ajuste de la cámara dado.
Telescopio El telescopio refractor es un anteojo que utiliza una lente para enfocar la luz
procedente de un objeto lejano, mientras que el telescopio reflector utiliza un espejo curvo.
Una medida útil del poder de reunión de luz L de un telescopio es la razón del área de la lente (o espejo) del telescopio al área de la pupila del ojo humano.
22
2
5.2)63.0(
dcm
dL ==
donde d es el área de la lente y (0.63 cm)2 es el área de la pupila del ojo humano. Una medida útil del poder de ampliación M de un telescopio es la razón del
aumento del telescopio al aumento del ojo humano.
fcmf
M )59,0()7,1(
==
donde f es la distancia focal del telescopio y 1,7 cm es la distancia focal del ojo humano.
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IMÁGENES VIRTUALES Una lente positiva no forma una imagen real de un objeto cuando la distancia del
objeto s sea menor que la distancia focal f.
Cuando la imagen sea virtual, la fórmulas de las lentes que se aplicará será:
fss1
'11 =−
Lupa La lupa es una lente convergente que se utiliza para examinar objetos pequeños. El objeto se coloca entre el foco y la lente, con lo que se crea un imagen virtual
derecha y agrandada. A efectos de cálculo suele suponerse que la imagen se forma a 25 cm de la lente. Tomando s’ = 25 cm, tendremos:
)25)((251
2511
cmfcmf
fcms+
=+=
y por tanto:
fcm
fcmf
scm
ss
m25
12525'
+=+
===
Ejemplo: a) ¿Cuál es el aumento de una lente de distancia focal
de 5 cm? b) ¿A qué distancia de la lente debe colocarse el objeto para conseguir ese aumento?
a)
65
251 =+=
cmcm
m
b)
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6
cmcm
s
entonces
cmcmcmcmcm
s
16.424.0
1:
25.0)25)(5(
2551
1
1
==
=+
=
−
−
entonces el objeto deberá colocarse a: cmcmcmsfd 84.016.45 =−=−=
Gafas para lectura Las gafas para lectura crean una imagen virtual a una distancia focal en el que el
ojo pueda acomodar la distancia del cristalino a la retina. Por tanto, el tratamiento de estas imágenes será igual que para el caso de las imágenes virtuales.
Definición: La potencia de una lente es el valor inverso de su distancia focal. La unidad de potencia es el inverso del metro (m-1) y se denomina dioptría
Lentes negativas Una lente negativa (divergente) aumenta siempre la divergencia de los rayos que
la atraviesan. Sus prolongaciones en sentido opuesto se cortan en un punto F del eje óptico que será el foco de la lente negativa. La distancia F al centro de la lente es la distancia focal, la cual se considera negativa.
Una lente negativa forma siempre una imagen virtual de un objeto situado a una distancia s cualquiera de la lente.
Se utiliza la fórmula de las lentes para imágenes virtuales, pero tomando como negativa la distancia focal.
ESPEJOS
Espejos planos Un espejo plano es un espejo cuya superficie es plana. El espejo plano devuelve una imagen que está situada a la misma distancia que
el objeto de origen.
ss ='
Espejos parabólicos Los espejos parabólicos devuelven y proyectan la luz igual que las lentes.
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INSTRUMENTOS DE DOS LENTES
Microscopio El microscopio tiene en la parte inferior una lente que forma una imagen real del
objeto. En la parte superior tiene otra lente que actúa como lupa
Ejemplo: Las distancias focales del objetivo y del ocular de un
microscopio son respectivamente, f1 = 0.5 cm y f2 = 3.0 cm y dichas lentes están separadas una distancia d = 18 cm. Localizar las posiciones de la imagen real y virtual y determinar el aumento del microscopio.
3.90.3
251
251
22 =+=+=
cmcm
fcm
m aumento del ocular
El ocular produce una imagen virtual a s’2 = 25 cm de la imagen real situada a s2 del ocular. Entonces s2 será:
cmcm
scmcmcmfss
68.2373.0
1373.0
0.31
2511
'11
121
222
==⇒=+=+= −−
La imagen real que da el objetivo debe hallarse a 2,68 cm por debajo del ocular. Como las distancia entre el ocular y el objetivo es de 18 cm entonces, la distancia s’1 de la imagen real al objetivo será:
cmcmcmsds 32.1568.200.18' 21 =−=−= Por tanto la distancia objeto será:
cmcm
scmcmcmsfs
517.0935.1
1935.1
32.151
5.01
'111
111
1112
==⇒=+=−= −−
El aumento de la imagen real será:
7.305.034.15'
1
11 ===
cmcm
fs
m
La imagen virtual será M veces mayor que el objeto según:
+==
21
121
251
'fcm
fs
mmM
Por lo tanto el aumento del microscopio será: 285)3.9)(7.30(21 === mmM
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Telescopio El telescopio posee una gran lente primaria (objetivo) y una pequeña lente
secundaria (ocular)
Cuando la distancia focal f del ocular sea menor que la distancia focal f1 del objetivo, el ángulo de emergencia 'α de esos rayos será mayor que el ángulo α con que incidieron. Esto tiene como consecuencia que la imagen vista a través del instrumento parezca más próxima que el objeto visto a ojo desnudo.
El cociente αα ' de esos ángulos es aproximadamente igual al cociente αα tg'tg . Por tanto tendremos:
1
tgf
DC=α y
22
'''tg
fDC
fCD
==α
En consecuencia, el cociente de las tangentes, llamado aumento angular a del telescopio es:
2
1
1
2
tg'tg
ff
fDCfDC
a ===αα
Un aumento grande requiere un objetivo de larga distancia focal, hecho al que se debe que los telescopios sean tan largos.
Lentes compuestas Dos lentes puestas juntas actúan como una sola lente.
Ejemplo: ¿Cuál es la distancia focal de la combinación de una
lente de 0,50m con otra de 0,75m?
mfmmmmmffff
30.033.333.10.275.01
50.011111 111
21
=⇒=+=+=⇒+= −−−
ABERRACIONES
Lentes esféricas El radio de curvatura r de una superficie esférica es el radio de la esfera de la
cual es un casquete la cara; es positivo si la cara es convexa y negativo si es cóncava.
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9
La distancia focal de una lente simétrica de curvatura r es:
)1(2 −=
nrf
Donde n es el índice de refracción del vidrio.
Ejemplo: ¿Cuál es el radio de curvatura de una lente simétrica
de distancia focal 50 mm, cuyo vidrio tiene un índice de refracción de 1.55?
cmcmfnr 5.5)0.5)(55.0)(2()1(2 ==−=
Aberraciones cromáticas La aberraciones cromáticas son defectos de la lente que impiden que se
enfoquen en un mismo punto luces de colores diferentes. Se deben a la variación del índice de refracción n con la longitud de onda λ , fenómeno llamado dispersión.
La aberración cromática se corrige utilizando un par de lentes que funcionan como una sola.
Aberraciones monocromáticas Existen cinco aberraciones monocromáticas que no se deben a la dispersión del
vidrio, sino a que la lente esférica no puede formar una imagen ideal - Esfericidad (un punto se mostrará como un círculo) - Coma (en vez de formarse un círculo se formará una coma) - Astigmatismo - Curvatura de campo (lentes que alargan más la imagen ) como los
espejos del circo. - Distorsión. (de una rejilla cuadrada sale una imagen esférica).
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TEMA XVII. MAGNETISMO El magnetismo es una fuerza fundamental de la naturaleza estrechamente
relacionada con la electricidad.
CAMPO MAGNETICO El ejemplo más conocido de magnetismo es la atracción de pedacitos de hierro
por los extremos, o polos de un imán. En todo imán aparece un polo norte y un sur. Si se parte un imán por la mitad, automáticamente, en los extremos de ruptura
aparecen un polo norte y uno sur, quedando por tanto, dos imanes completos. Los polos opuestos se atraen y los iguales se repelen. En un imán se puede definir un campo magnético que irá desde el polo norte al
sur. En este campo magnético existe unas líneas de fuerza, que estarán más apretadas
en las regiones donde sea más fuerte el campo magnético. Un imán no es otra cosa que un dipolo con sus polos separados una distancia d.
ELECTROMAGNETISMO
Campo creado por una corriente rectilínea. Ampere demostró que cuando se hace pasar una corriente a través de un
conductor se generan unas líneas de fuerza magnéticas. Regla de la mano derecha. Cuando se ase el hilo conductor con la mano
derecha, de manera que el pulgar señale el sentido de la corriente, los otros dedos rodean al hilo en el mismo sentido que el campo magnético.
La magnitud B del campo magnético en un punto próximo a un hilo muy largo que transporte una corriente, es proporcional a la intensidad I de ésta e inversamente proporcional a la distancia r del punto al hilo
rI
kB =
donde k es una constante de proporcionalidad La unidad en el sistema internacional es la Tesla (T).
mANT •= 11
El Gauss es otra unidad de campo magnético TG 4101 −=
La constante k es:
AmTxk •== −70 102
2πµ
donde amT /104 70 ••= −πµ , es la llamada permeabilidad magnética del vacío.
Entonces:
rI
Bπ
µ2
0=
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2
Ejemplo: ¿Cuál es el campo magnético en un punto a 5 cm de un
hilo que conduce una corriente de intensidad 3A?
GTm
AAmTrI
B 12.01020.1)05.0(2
)3)(/1042
57
0 =•=••
== −−
ππ
πµ
Campo de una bobina circular El campo magnético creado por un hilo que conduce una corriente se incrementa
mucho al dar al hilo la forma de la bobina circular de muchas espiras. Cada espira crea un campo proporcional a la intensidad I de la corriente que circula por la espira, por tanto:
aIn
B•
••=
20µ
Ejemplo: Una bobina de radio 5 cm tiene 100 espiras. ¿Cuál es
el campo magnético en el centro de la bobina cuando la corriente que circula por ella tenga una intensidad de 3 A?
GTm
AAmTa
InB 7.371077.3
)05.0(2)3)(/104(
23
70 =•=
••=
••= −
−πµ
Electroimán En muchas aplicaciones del magnetismo, se refuerza el campo magnético creado
por una espira utilizando una propiedad peculiar llamada ferromagnetismo. El ferromagnetismo es la tendencia de los dipolos magnéticos de los electrones
más externos de un átomo a orientarse paralelamente a los dipolos magnéticos de los electrones correspondientes de un átomo vecino.
En un hierro sin imantar, los dipolos están igualmente orientados dentro de un pequeño volumen, o dominio, si bien la dirección de orientación cambia de un dominio a otro.
El electroimán consiste en una bobina devanada en torno a un cilindro de hierro. El campo magnético que circula por la bobina hace aumentar el tamaño de los dominios del hierro que estén imanados en la dirección del campo. De esta manera el hierro desarrolla su propio campo magnético que se suma al campo desarrollado por la corriente en la bobina.
Relé eléctrico. Un relé eléctrico es un interruptor que se puede gobernar mediante otro circuito.
Timbre eléctrico. El timbre eléctrico consta de una placa (martillo) y un electroimán que la atrae cuando se cierra el circuito. Lleva un circuito realimentado por el cual cuando la placa se acerca al electroimán, se abre el circuito de alimentación de la bobina, con lo cual por el efecto del muelle, la placa vuelve a su posición inicial volviendo a cerrar el circuito de alimentación de la bobina.
Motor eléctrico. El motor de corriente continua, consiste en un electroimán (inducido) montado sobre un eje que gira entre los polos de un imán. Este eje está conectado a una pila mediante unos colectores a unas escobillas.
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FUERZAS MAGNETICAS
Fuerzas que se ejercen sobre una corriente El descubrimiento de Oersted del electromagnetismo puso de manifiesto que una
corriente eléctrica ejerce, a través de su campo magnético, una fuerza sobre un imán La fuerza magnética que se ejerce sobre un hilo conductor vendrá dada por:
θsenBILFm = Donde: B = campo magnético uniforme I = corriente que atraviesa el hilo L = longitud del hilo θ = ángulo que forma el hilo con el campo magnético. La fuerza magnética que se ejerce sobre una corriente es normal al plano en que
se encuentran el campo magnético y la corriente. Para hallar el sentido de la fuerza se utiliza la siguiente regla.
Regla de la mano izquierda. Cuando se dirige el pulgar en el sentido del campo y el índice en el de la corriente, el dedo mayor señala el sentido de la fuerza.
Ejemplo: Una bobina plana de 6 cm. de longitud y 2 cm de
anchura está situada en un campo magnético de 0,02 T. Si la bobina contiene 200 espiras y conduce una corriente de intensidad 50 mA, ¿qué momento se ejerce sobre ella?
mN
mATmATnBIAm
•×=
=••×=××==−
−−−
4
24243
104.2
104,2)1012)(1050)002.0)(200(τ
Instrumentos de medida Galvanómetro. Es un instrumento destinado a la medida de las intensidades de
corriente muy débiles Amperímetro. Es un instrumento portátil que se usa para medir intensidades de
corriente. Voltímetro. Es un instrumento para la medida de la diferencia de –potencial
entre dos puntos.
Fuerzas que se ejercen sobre una carga en movimiento Sobre una partícula cargada que se mueva en un campo magnético se ejerce una
fuerza magnética. La partícula recorre la distancia L del punto P al punto Q en un tiempo
vL
t =
con lo que la intensidad de corriente entre P y Q durante ese tiempo será:
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Lqv
vLq
tqI ===
y la fuerza magnética que se ejerce durante ese tiempo será:
BqvFLLqv
BBILF mm =⇒==
Así pues, una partícula cargada situada en un campo magnético uniforme describirá una circunferencia de radio r dada por:
Bqrmvr
mvBqv =⇒=2
Espectrómetro de masas Es un instrumento que mide las masas de los distintos átomos y moléculas de un
gas desviando las partículas en un campo magnético. La celeridad de un ion de masa m y carga q al llegar a la pantalla será:
mqV
v2
=
la masa de la partícula vendrá dada por:
vqrB
mBqrmqV
m2
2 22
=⇒=
INTRODUCION A LA ELECTROMAGNETICA Después del descubrimiento de Oersted, Faraday comenzó sus investigaciones
sobre el electromagnetismo. Faraday pensaba que si una corriente eléctrica da origen a un campo magnético, también un campo magnético podría dar lugar a una corriente eléctrica. Así Faraday descubrió el principio de inducción electromagnética, que es la creación de un campo eléctrico por medio de un campo magnético.
Otros experimentos demostraron que en la bobina se induce una fem ε no sólo cuando se acerca o se aleja el imán sino cuando se cera o interrumpe la corriente en otra bobina próxima. Esta y otras observaciones demuestran que la magnitud de la fem inducida está relacionada con la magnitud del flujo magnético.
Definición: El flujo magnético Φ que atraviesa una bobina es el producto de la componente Bn del campo magnético normal de la bobina, por el área A que ésta limita y por el número n de espiras:
AnBn=Φ ó θcosnBA=Φ donde θ es el ángulo que forma el campo magnético B con la normal a la
bobina.
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El flujo magnético viene determinado en Weber (Wb) que equivale a 1 Tesla por metro cuadrado.
La magnitud de la fem ε inducida en una bobina viene dada por la ley siguiente: Ley de Faraday de la inducción electromagnética. La fem ε inducida en una
bobina en un intervalo de tiempo corto t∆ es
t∆∆Φ
=ε
donde ∆Φ es la variación de flujo durante este intervalo de tiempo Ley de Lenz. El sentido de la corriente inducida en una bobina es tal que su
campo magnético Bi se opone a la variación de flujo ∆Φ que la produce.
Ejemplo: La componente normal a un circuito constituido por una
bobina de 10 espiras de radio 5 cm, del campo magnético exterior, varía de 0 a 18 T en 0,3 seg. a) Si la resistencia de la bobina es de 2 Ω , ¿cuál será la intensidad de la corriente inducida?. b) ¿cuál es el sentido de la corriente?
a) El flujo inicial 1Φ es nulo y, el flujo final 2Φ será: WbmTAnBn 41,1)1025)(18)(10( 24
2 =×==Φ −π luego
Wb41,112 =Φ−Φ=∆Φ entonces, la fem inducida será:
Vs
Wbt
7,403,0
41,1==
∆∆Φ
=ε
y la intensidad inducida será:
AV
RIi 35,2
27,4
=Ω
==ε
b) Para calcular la dirección del campo magnético se comprueba según la regla de la mano derecha.
Generador eléctrico Un generador eléctrico dinámico es un generador de fem que utiliza el
movimiento de una bobina en un campo magnético para crear una corriente. El flujo que atraviesa la bobina viene dado por:
θcosnABAnBn ==Φ Si la bobina gira con velocidad angular constante (en radianes), tendremos que el
ángulo en radianes será:
tωθ = y el flujo quedará como :
tnAB ωcos=Φ entonces el periodo de oscilación del flujo vendrá dado por:
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6
ωπ
τ2
=
Ondas electromagnéticas El concepto de campo eléctrico y campo magnético lo desarrollo Faraday en
forma descriptiva para visualizar los fenómenos electromagnéticos. Fue Maxwell el que formuló las llamadas ecuaciones de Maxwell constituyen
del punto de partida de los modernos estudios de electromagnetismo. 1) Las cargas eléctricas crean campos eléctricos (ley de Coulomb) 2) Los polos magnéticos aislados no existen. 3) Las corrientes crean campos magnéticos (electromagnetismo) 4) Un flujo magnético variable crea un campo eléctrico (inducción
electromagnética). 5) La carga total de un sistema aislado no puede variar 6) Un campo eléctrico variable crea un campo magnético. Maxwell demostró que una tal perturbación electromagnética actúa como onda
que se propaga por el vacío con una celeridad:
00
1µ∈
=v
donde 0∈ es la permitividad eléctrica y 0µ es la permeabilidad magnética. Que coincide con la celeridad medida de la luz.
BOBINAS DE AUTOINDUCCION Definición: Una bobina de autoinducción es un elemento de circuito constituido
por un hilo conductor aislado arrollado sobre un núcleo de aire o hierro.
Circuito resistencia – autoinducción (RL) La intensidad máxima Im de la corriente que circula por el circuito será:
RIm
ε=
que es la que existiría en ausencia de autoinducción. Definición: El coeficiente de autoinducción L de una bobina es el cociente entre
el flujo Φ que la atraviesa y la intensidad de la corriente que por ella circula.
IL
Φ=
El coeficiente de autoinducción tiene un valor característico que es independiente de la intensidad de al corriente.
La unidad de autoinducción es el Weber por amperio o Henrio
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Antes de cerrar el circuito el flujo en la bobina es 0. Cuando se cierra el circuito según la ley de Lenz se crea una fem que se opone al aumento de flujo momentáneamente. Entonces la intensidad de la corriente en un tiempo t posterior al cierre del circuito vendrá dado por:
−=
−=
−− τε t
mtL
ReIe
RI 11
)(
donde
RI
ε= es la intensidad en es estado estacionario, intensidad máxima
y
RL
=τ
es la constante de tiempo
Bobinas en serie NOTA: Igual que resistencias en serie
Bobinas en paralelo NOTA: Igual que resistencias en paralelo.
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1
TEMA XVIII. CORRIENTE ALTERNA
GENERACION DE CORRIENTE ALTERNA Un generador eléctrico dinámico es un dispositivo que convierte energía
mecánica en energía eléctrica. La variación de flujo se debe o a la rotación de la bobina respecto al campo
magnético o a la rotación del campo magnético con respecto a la bobina. Las bobinas que generan la fem están montadas en una estructura denominada
inducido. Las bobinas que crean el campo magnético están montadas en el inductor. La estructura que gira se llama rotor y la estructura fija se llama estátor.
En la mayoría de los alternadores el inducido constituye el estátor y el inductor el rotor.
La rotación del electroimán rotor crea un flujo alterno a través de la bobina del inducido, generando una fem alterna. Esta fem viene dada por:
tfVp 2cos πε =
CORRIENTE ALTERNA EN CIRCUITOS PURAMENTE RESISTIVOS La intensidad instantánea Ix de la corriente que circula por la resistencia viene
dada por la ley de Ohm.
tfIRR
VI p
xx 2cos πε ===
donde
R
VI p
p =
Potencia La potencia Px que se disipa en un circuito de CA es:
xxx IVP = Definición: La intensidad eficaz Ief es la raíz cuadrada del valor medio del
cuadrado de la intensidad:
2II ef =
entonces:
2p
ef
II =
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2
Definición: La tensión eficaz Vef es:
2p
ef
VV =
Ejemplo: a) ¿Cuál es la resistencia de un tostador de pan
americano de potencia nominal 1200 W?. b) ¿Cuál será la potencia disipada en este tostador si se enchufara en Inglaterra?
a) Ω=== 121200
)120( 22
WV
P
VR ef
b) WV
RV
P ef 480012
)240( 22
=Ω
==
Fasores Definición: Llamaremos fasor a un vector bidimensional que utilizaremos para
representar una cantidad alterna tal como una intensidad o una tensión. El módulo del fasor es igual al valor de pico de la cantidad y el ángulo que forma el fasor con el eje x es igual al factor temporal ft 2π
En la figura se puede ver la representación de la tensión:
tf p2cospx VV = Mediante el fasor V de módulo Vp y
argumento tf 2p=θ . La componente x de este fasor es igual a la tensión en el instante t.
tf 2coscos πθ ppx VVV == Si imaginamos que el fasor gira
alrededor del origen en sentido antihorario con la celeridad angular constante
f 2? π= la componente x será igual a la tensión en cada instante. En un circuito resistivo puro, la intensidad y la tensión son proporcionales.
ft 2cos πRV
I pp =
por lo que los fasores tendrán la misma dirección y sentido. En la conexión en estrella la tensión entre línea y neutro entre los conductores a
y o es ft 2cos πaoV
y está representada en la figura por el fasor Vbo .
a
b
o
c
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3
Del mismo modo, la tensión entre línea y neutro entre los conductores b yo es
)3
2ft 2cos(π
π +boV
y está representada por el fasor Vao. El fasor Vbo tiene el mismo módulo que Vao
pero está siempre adelantado respecto a éste radianes3
2π
, o sea 120º
Y así ocurrirá lo mismo con el otro fasor, sumándole la diferencia de ángulo en radianes.
AUTOINDUCCION Y CAPACIDAD EN UN CIRCUITO DE CA Una bobina de autoinducción que ofrece una resistencia nula a una corriente
continua de intensidad constante, obstaculiza el paso de corriente alterna porque ésta induce en la bobina una fem que se opone a la circulación de dicha CA.
Al condensador le ocurre lo mismo que a las bobinas pero en sentido inverso. Resistencia nula a la CA y oposición al paso de la CC.
Circuito resistivo La intensidad de la corriente en un circuito resistivo puro viene dada por:
RV
I =
En un circuito resistivo de CA, la intensidad y la tensión están en fase La potencia instantánea viene dada por:
xxx IVP = y la potencia media por:
RV
RIVIP2
2
21
21
21
===
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Circuito Inductivo Definición: La reactancia inductiva XL de una bobina de coeficiente de
autoinducción L en un circuito de CA de frecuencia f es:
fL 2π=LX La unidad de reactancia inductiva es el Ω La intensidad en un circuito inductivo puro esta 90º desfasada con la tensión
(adelantada). La corriente en un circuito inductivo puro viene dada por:
LXV
I =
La corriente instantánea vendrá dada por:
−= ππ
21
ft 2cosII x
La tensión instantánea vendrá dada por:
ft 2cos πVVx =
Circuito capacitivo Definición: La reactancia capacitiva XC de un condensador de capacidad C en
un circuito de CA de frecuencia f es:
fC 21
π=CX
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La unidad de reactancia capacitiva es el Ω La intensidad en un circuito capacitivo puro esta 90º desfasada con la tensión
(atrasada). La corriente viene dada por:
CXV
I =
La tensión instantánea por:
ft 2cos πVVx = y la corriente instantánea por:
+= ππ
21
ft 2cosII x
Circuito RLC El vector impedancia Z de un circuito RLC es un vector cuya componente x es
igual a la resistencia R del circuito y cuya componente y es igual a la diferencia entre las inductancias capacitiva e inductiva del circuito. La impedancia Z de un circuito RLC es el módulo del vector impedancia:
22 )( LC XXRZ −+= El ángulo de fase Φ , es el que forma Z con el eje x:
RXX LC −
=Φ arctg
La corriente viene dada por
ZV
I =
La tensión instantánea viene dada por:
ft 2cos πVVx =
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6
La corriente instantánea por:
( )Φ+= ft 2cos πII x La potencia instantánea por:
xxx IVP = La potencia media la da:
Φ=Φ= coscos21
efef IVVIP
Resonancia Definición: Un circuito RLC se encuentra en resonancia cuando la reactancia
inductiva XL sea igual a la reactancia capacitiva XC. La frecuencia de resonancia de un circuito vendrá dada por:
LCf
121π
=
TRANSFORMADOR Un transformador consiste en dos bobinas devanadas sobre un núcleo de hierro
común. La primera de ellas, o devanado primario, tiene N1 espiras y se conecta a un generador de CA de fem.
ft 2cos1 πε V= La otra, llamada devanado secundario, tiene N2 espiras y se conecta a una
resistencia R a través de un interruptor S. Cuando el interruptor esté abierto, por el devanado primario circulará una
corriente llamada corriente magnetizante.
fLV
Imag 21
π=
y está desfasada 90º respecto a la tensión. En consecuencia, no se entrega potencia alguna al primario.
La corriente magnetizante alterna establece en el hierro un campo magnético alterno B. El flujo de ese campo a través del devanado 1 es:
111 )(BAN=Φ donde (BA)1 es el producto del campo por el área de la sección recta del
devanado 1. La fem ε en éste está relacionada con el flujo por la ley de Faraday.
t∆∆Φ
= 1ε
Docum
ento
desc
argad
o de
www.curso
deac
ceso
.com
7
o sea
tBA
NftV∆
∆= 1
11
)( 2cos π
y la fem del secundario es:
tBA
Nt
ftV∆
∆=
∆∆Φ
= 22
22
)( 2cos π
La relación de transformación entre el primario y el secundario viene dada por:
11
22 V
NN
V = y 1
2
12 I
NN
I =
Corrientes de Foucault La variación del flujo en el interior del núcleo de hierro de un transformador
induce una corriente no sólo en el hilo del secundario, sino también en el propio hierro. A esas corrientes inducidas en el cuerpo de un conductor se les da el nombre de corrientes de Foucault.
MOTORES Definición: El rendimiento e de un motor es el cociente entre la potencia
mecánica útil que entrega Pútil y la potencia eléctrica que consume Pel.
el
útil
PP
e =
Docum
ento
desc
argad
o de
www.curso
deac
ceso
.com
