Fundamentos de Processos Dinâmicos

Capıtulo III - Fundamentos de Processos Dinamicos

ANALISE LINEAR DE SISTEMAS

JOSE C. GEROMEL

DSCE / Faculdade de Engenharia Eletrica e de ComputacaoUNICAMP, CP 6101, 13083 - 970, Campinas, SP, Brasil,

[email protected]

Campinas, Novembro de 2006

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NOTA AO LEITOR

Este material foi preparado como suporte as aulas e einteiramente baseado no livro texto :

Jose C. Geromel e Alvaro G. B. Palhares, Analise Linear de

Sistemas Dinamicos : Teoria, Ensaios Praticos e Exercıcios,ISBN 85-212-0335-7, Editora Edgard Blucher Ltda, Sao Paulo,SP, 2004.

onde o leitor podera encontrar maiores informacoes e detalhesa respeito dos topicos aqui abordados.

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Conteudo

1 Capıtulo III - Fundamentos de Processos DinamicosModelagem de processos dinamicosMecanica translacionalMecanica rotacionalEletricidadeEletromagnetismo

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Modelagem de processos dinamicos


A construcao de um modelo matematico normalmentebaseia-se em quatro atributos :

Leis basicasSimplicidadePrecisaoValidacao

Os tres primeiros podem ser adotados varias vezes natentativa de atender o ultimo. Note a dificuldade para atingiro paradigma caracterizado por maxima simplicidade e maximaprecisao. E claro que particular cautela deve ser adotada aoaplicar-se as leis basicas que regem o comportamento de umdeterminado fenomeno fısico. As hipoteses para aplicacao decada uma delas devem ser absolutamente observadas.

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Para ilustrar estas consideracoes a figura abaixo mostra omovimento de um corpo sob a acao da gravidade.

R

M

m

y

v0

em t = 0 o corpo menor, de massa m << M, encontra-se nasuperfıcie e parte com velocidade v0. Deseja-se obter omodelo matematico para o seu deslocamento vertical.

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A lei basica a ser aplicada e a Lei Universal da Gravitacao queestabelece que o corpo de massa m estara sob a acao de umaforca radial com intensidade

f (y) =MmG

(R + y)2= m

g

(1 + y/R)2

onde f (0) = mg e o seu peso em repouso na superfıcie docorpo maior. Invocando a Segunda Lei de Newton quesegundo a qual a variacao do momento linear do corpo menore, em todo instante de tempo, e igual a forca externa :

y(t) +g

(1 + y(t)/R)2= 0

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Trata-se de uma equacao diferencial nao linear cuja solucao, apartir das condicoes iniciais y(0) = 0 e y(0) = v0, nao e facilde ser determinada. Entretanto, para deslocamentos verticaistais que |y(t)| << R podemos adotar a aproximacao

y(t) + g = 0

que e uma equacao diferencial linear bastante simples de serresolvida. E importante saber decidir sob quais condicoes aaproximacao pode ser adotada. No presente caso, integrandoa equacao original obtemos a velocidade da massa m a umaaltura y :

v(y)2 = v20 − 2g

y

1 + y/R

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Notamos que a velocidade pode se anular desde quev0 ≤ ve :=

√2gR onde ve e denominada velocidade de escape

pois se v0 > ve o corpo de massa m escapa da acaogravitacional do corpo maior com massa M.

Com a equacao aproximada, a conclusao e diversa. Avelocidade em funcao da altura e dada por

v(y)2 = v20 − 2gy

e, portanto, para qualquer velocidade inicial v0 o corpo demassa m atinge uma certa altura em que a velocidade seanula. No modelo aproximado nao ha possibilidade de escapeda acao gravitacional. Em situacoes extremas os modelos saodiversos mas para |y | << R ambos fornecem resultados muitoparecidos.

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Em conclusao, para movimentos tais que |y(t)| << R , omodelo aproximado deve ser adotado. Porem, quando estahipotese nao se verifica e mandatorio considerar o modelooriginal.

Considere entao o modelo aproximado para descrever a quedado corpo de massa m de uma altura h0 << R com velocidadeinicial nula. Resolvendo a equacao diferencial obtemos

y(t) = h0 −1

2gt2 , v(t) = −gt

Portanto o corpo cai e atinge o solo com velocidade nomomento do impacto igual a vi = −

√2gh0 que aumenta

segundo a altura inicial aumenta. Se isto fosse verdade naohaveria nenhum paraquedista vivo !!!

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O modelo nao leva em conta a existencia de atrito viscosoentre o ar e o corpo de massa m. No ar, a aceleracao de umcorpo em queda nao e constante mas sim diminui conforme avelocidade aumenta. Este fenomeno e melhor descrito por

y(t) +

(b

m

)

y(t) + g = 0

onde b e denominado coeficiente de atrito viscoso. Parav(t) = y(t) obtemos

v(t) =mg

b

(

e−(b/m)t − 1)

A velocidade no impacto independe de h0 como observamosna pratica!!!

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Outro ponto fundamental em modelagem diz respeito ashipoteses que devemos observar para aplicar determinadas leisbasicas. Ilustramos este aspecto com a Segunda Lei deNewton e referenciais inerciais. A figura abaixo mostra umartista tentando equilibrar um pendulo de comprimento ℓ emassa m na posicao vertical (φ = 90o).

x

y

p

q

φ

mao

mg

Tm

ℓ

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O referencial (x , y) e inercial. Com a mao parada o mesmoocorre com o referencial (p, q). Em relacao a este referencialaplicamos a Segunda Lei de Newton para obter :

Na direcao horizontal

md2

dt2(ℓcos(φ)) − T cos(φ) = 0

Na direcao vertical

md2

dt2(ℓsen(φ)) − T sen(φ) + mg = 0

Eliminando T obtemos o modelo para o deslocamento angularφ(t) do pendulo na forma

ℓφ(t) + gcos(φ(t)) = 0

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Com a mao em movimento o referencial (p, q) deixa de serinercial e, portanto, a Segunda Lei de Newton deve seraplicada ao referencial (x , y). Considerando que a mao so sedesloca na horizontal em uma posicao x(t), temos

Na direcao horizontal

md2

dt2(x + ℓcos(φ)) − T cos(φ) = 0

Na direcao vertical

md2

dt2(ℓsen(φ)) − T sen(φ) + mg = 0

Eliminando T obtemos o modelo para o deslocamento angularφ(t) do pendulo na forma

ℓφ(t) + gcos(φ(t)) = sen(φ(t))x(t)

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O deslocamento angular do pendulo e descrito por umaequacao diferencial nao linear de 2a ordem.Para x(t) = 0 ela admite solucoes de equilıbrio φ(t) = φ0

para todo t ≥ 0 com φ0 = ±90o . Definindo θ(t) := φ(t) − φ0

podemos determinar modelos lineares aproximados, a saber :

Valido entorno a φ0 = +90o:

ℓθ(t) − gθ(t) = x(t)

Valido entorno a φ0 = −90o:

ℓθ(t) + gθ(t) = −x(t)

Na figura seguinte as trajetorias pontilhadas se referem aosmodelos linearizados obtidos acima.

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A figura mostra a simulacao do modelo para ℓ = 1 [m],g = 9.8 [m/s2] e condicoes iniciais φ(0) = 45o , φ(0) = 0.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−250

−200

−150

−100

−50

0

50

100

150

t [s]

Com a mao parada, o pendulo oscila em torno de φ = −90o .Com a mao em movimento e x(t) definida em funcao de(φ(t), φ(t)), o pendulo se equilibra em φ = 90o .

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Mecanica translacional


As leis de Newton sao fundamentais para a modelagem desistemas mecanicos. O deslocamento de uma massa m sob aacao de uma forca externa F (t) obedece a equacao

p(t) = F (t)

onde p(t) := mr(t) e o momento linear e r(t) e o vetor quedefine a posicao da massa em um referencial inercial. Sendom constante obtem-se

mr(t) = F (t)

Deve ser enfatizado que esta equacao so e valida para umreferencial inercial. Este aspecto foi ilustrado anteriormentecom o problema do equilıbrio do pendulo.

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Quando estamos diante de um conjunto de partıculas oseguinte conceito e pertinente :

Definicao (Centro de massa)

O centro de massa rc de um conjunto de N massas mi , situadas

nas posicoes ri para i = 1, · · · ,N e dado por

rc :=1

m

N∑

i=1

mi ri

onde m =∑N

i=1 mi e a massa total.

Para um corpo com massa distribuıda

rc =1

m

∫

corpo

rdm , m =

∫

corpo

dm

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A importancia do centro de massa torna-se aparente quandoconsideramos o movimento de N partıculas, cada uma delascom massa mi , sob a acao de uma forca externa Fi(t) paratodo i = 1, · · · ,N. Temos entao

mrc(t) =

N∑

i=1

mi ri(t)

=N∑

i=1

Fi(t)

Ou seja, o calculo da resultante das forcas Fi(t), como se elasatuassem no centro de massa, permite obter a equacao quedescreve o seu movimento.

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Algumas forcas e seus modelos :Forca peso : Forca produzida pela acao gravitacional

fp(t) = mg

onde g = 9.8 [m/s2] e a aceleracao da gravidade.Forca de deformacao : Forca produzida por molas de extensao

fκ(t) = κd(t)

onde κ [N/m] e o coeficiente de elasticidade e d(t) adeformacao.Forca de atrito viscoso : Forca produzida pelo contato docorpo com fluidos, com efeitos analogos aos dos amortecedores

fb(t) = bv(t)

onde b [Ns/m] e o coeficiente de atrito viscoso e v(t) avelocidade relativa entre o corpo e o meio viscoso.

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A elaboracao de um modelo torna-se mais simples se :

O sistema for decomposto em partes, identificando asinteracoes entre elas (forcas e momentos).As forcas externas forem identificadas e modeladas.As forcas produzidas pelos dispositivos basicos (molas eamortecedores) forem consideradas dissipativas segundo osreferenciais inerciais adotados.O Princıpio de D’Alembert for adotado :

Fato (Princıpio de D’Alembert)

Em cada instante de tempo, incluıda a forca de inercia com intensidade

mrc(t) como dissipativa, a resultante das forcas que agem no centro de

massa e nula.

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Exemplos

No sistema abaixo uma forca externa com intensidade F eaplicada na massa M. Deseja-se determinar o deslocamentoda massa m a partir do repouso.

x y

κ1κ2

b m M

F

Com o procedimento anterior obtemos :

m : mx + bx + κ1x + κ2(x − y) = 0

M : My + κ2(y − x) = F

Duas equacoes diferenciais lineares de 2a ordem acopladas.21 / 71



Exemplos

No sistema abaixo deseja-se determinar a posicao horizontaldo pendulo de comprimento ℓ que se encontra no interior deum carro de massa M.

x

y

κ

θb

mg

T F

Em relacao ao referencial inercial, sendo x a posicao do carro,a posicao do pendulo sera (x + ℓsen(θ), ℓcos(θ)).

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Exemplos

Com o procedimento anterior obtemos as equacoes domovimento :

Carro :Mx + bx + κx = T sen(θ) + F

Pendulo - horizontal :

md2

dt2(x + ℓsen(θ)) + T sen(θ) = 0

Pendulo - vertical :

md2

dt2(ℓcos(θ)) + T cos(θ) = mg

Se nao tivermos interesse em determinar a forca de tracao T ,estas equacoes podem ser simplificadas.

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Exemplos

Explicitando as derivadas indicadas obtemos :

Com as duas primeiras equacoes :

(M + m)x + bx + κx + mℓcos(θ)θ − mℓsen(θ)θ2 = F

Com as duas ultimas equacoes :

cos(θ)x + ℓθ + gsen(θ) = 0

Estas equacoes podem ser linearizadas considerando-sepequenos deslocamentos em torno de (θ, θ) = (0, 0) :

(M + m)x + mℓθ + bx + κx = F

x + ℓθ + gθ = 0

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Exemplos

Vale a pena obter a representacao de estado do sistemalinearizado a partir da definicao das variaveis de estadoξ1 = x , ξ2 = θ, ξ3 = x e ξ4 = θ, de entrada F e de saıda

y = x + ℓsen(θ) ≈[

1 ℓ 0 0]

︸︷︷︸

C

ξ

⇓

1 0 0 00 1 0 00 0 (M + m) mℓ0 0 1 ℓ

︸︷︷︸

E

ξ =

0 0 1 00 0 0 1−κ 0 −b 00 −g 0 0

︸︷︷︸

A0

ξ+

0010

︸︷︷︸

B0

F

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Exemplos

Como E e sempre uma matriz nao singular, podemos obter arepresentacao de estado na forma padrao ja estudada, isto e(A,B ,C ,D) com A = E−1A0, B = E−1B0 e D = 0.

Com M = 10 [Kg], m = 1 [Kg], g = 9.8 [m/s2], ℓ = 1 [m],κ = 10 [N/m] e b = 4 [Ns/m] determinamos a funcao detransferencia entre y(s) e F (s) como sendo

H(s) =0.98

s4 + 0.4s3 + 11.78s2 + 3.92s + 9.8

e com perıodo de amostragem 0.5 [s] a funcao de transferenciapulsada com um segurador de ordem zero na entrada

R(z) = 10−2 0.22z3 + 1.99z2 + 1.91z + 0.20

z4 − 1.48z3 + 1.57z2 − 1.47z + 0.82

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Exemplos

A figura abaixo mostra a posicao horizontal do pendulo emrelacao ao referencial inercial adotado, a partir do repouso,com F = 10 [N].

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t, kT [s]

Observe a perfeita concordancia entre os modelos a tempocontınuo e a tempo discreto.

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Mecanica rotacional

Mecanica rotacional

Considere uma massa m sob a acao de uma forca externaF (t). A grandeza H(t) := r(t) × p(t) onde p(t) = mr(t) er(t) e o vetor posicao da massa em um referencial inercial edenominada momento angular relativo a origem O do sistemade referencia adotado. A partir de

H(t) = r(t) × p(t) + r(t) × p(t)

= r(t) × F (t)

obtemos a relacao fundamental

H(t) = τ(t)

indicando que a variacao do momento angular e igual aotorque τ(t) := r(t) × F (t) produzido pela forca externa.

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Mecanica rotacional

Mecanica rotacional

Para um sistema constituıdo por N massas, obtemos

H(t) =

N∑

i=1

ri (t) × pi(t)

=

N∑

i=1

τi(t)

ou seja, a variacao do momento angular total e igual a somados torques produzidos pelas forcas externas. Portanto, eessencial individualizar as forcas aplicadas em cada massa mi

para calcular o torque total. Apenas em casos especiais, adeterminacao da forca resultante aplicada no centro de massae relevante para o calculo do torque total.

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Mecanica rotacional

Mecanica rotacional

Este e precisamente o caso da forca peso. A forca peso queage em uma massa dm e −gdmj , portanto para um corpocom massa total m temos

τ =

∫

corpo

r × (−gdmj)

=

(∫

corpo

rdm

)

× (−gj)

= mrcm × (−gj)

= rcm × (−mgj)

ou seja, o torque devido a forca peso pode ser calculado comose toda a massa do corpo estivesse concentrada no seu centrode massa.

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Mecanica rotacional

Mecanica rotacional

A figura abaixo mostra o movimento circular de uma massa m

em um plano.

i

j

k

mr(t)φ

O

No referencial indicado r(t) = ℓcos(φ)i + ℓsen(φ)j e portantoo vetor velocidade e dado por

r = −ℓφsen(φ)i + ℓφcos(φ)j

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Mecanica rotacional

Mecanica rotacional

O qual permite calcular o momento angular relativo ao centrode rotacao O :

H = r × mr

= mℓ2φ det

i j k

cos(φ) sen(φ) 0−sen(φ) cos(φ) 0

= mℓ2φ k

como sendo um vetor ortogonal ao plano do movimento comintensidade proporcional a velocidade angular. O coeficientede proporcionalidade J = mℓ2 ou, para sistemas com massadistribuıda

J =

∫

corpo

r2dm

e denominado momento de inercia.32 / 71


Mecanica rotacional

Mecanica rotacional

Com os resultados anteriores, chegamos entao a equacaobasica que permite modelar sistemas rotacionais :

Jφ(t) = τ(t)

Os seguintes aspectos sao relevantes :A equacao acima tem importancia equivalente a da equacaomr(t) = F (t) para a translacao.Nao ha dificuldades para enunciar o Princıpio de D’ Alembertpara a rotacao : Em cada instante de tempo, incluıdo o torquede inercia com intensidade Jφ como dissipativo, o torqueresultante relativo ao centro de rotacao e nulo.Para corpos rıgidos o calculo de J e bastante simplificado pelochamado teorema dos eixos paralelos : Os momentos deinercia relativos a dois eixos paralelos, distantes d e, com umdeles passando pelo centro de massa se relacionam por :

J = Jcm + md2

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Mecanica rotacional

Mecanica rotacional

A equacao fundamental da translacao mr(t) = F (t) so evalida para um referencial inercial. A equacao fundamental darotacao Jφ(t) = τ(t) tambem so se aplica para um centro derotacao que e fixo em relacao a um referencial inercial, comuma notavel excecao : o centro de massa. Ou seja, apenaspara o centro de massa vale a equacao

Hcm = τcm

e por conseguinte Jcmφ(t) = τcm(t) independentemente dofato do centro de massa estar ou nao em movimento emrelacao ao referencial inercial.

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Mecanica rotacional

Mecanica rotacional

Alguns torques e seus modelos :

Torque de deformacao : Torque dissipativo produzido pelareacao a um deslocamento angular θ(t) com intensidade

τκ(t) = κθ(t)

que ocorre na direcao do eixo de rotacao, onde κ [Nm/rad] eo coeficiente de elasticidade torcional.Torque de atrito viscoso : Torque dissipativo devido aomovimento de rotacao em meio viscoso - fluido.

τb(t) = bθ(t)

que ocorre na direcao do eixo de rotacao, onde b [Nms/rad] eo coeficiente de atrito viscoso torcional.

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Mecanica rotacional

Exemplos

A figura abaixo mostra um cilindro com momento de inerciaJc e raio c que se move quando a massa m cai. A corda passapor uma roldana com momento de inercia Jr e raio r .Deseja-se determinar o modelo para a rotacao do cilindro.

φ

θ

y

f

F

b

Parte do cilindro esta imerso em um lıquido que produz umatrito viscoso torcional com coeficiente b.

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Mecanica rotacional

Exemplos

As equacoes dos movimentos dos quatro corpos sao :Cilindro :

Jc φ + bφ = fc

Roldana :Jr θ + fr = Fr

Massa :my + F = mg

Corda : considerada inextensıvel leva a

cφ = rθ = y

Eliminado as variaveis f , F , θ e y obtemos o modelo para odeslocamento angular do cilindro :

(

Jc +c2

r2Jr + mc2

)

φ + bφ = mgc

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Mecanica rotacional

Exemplos

A figura abaixo mostra dois pendulos, como o mesmocomprimento ℓ, que estao acoplados atraves de uma mola. Amola esta presa na metade do comprimento de cada penduloe, durante o movimento, permanece na horizontal.

φ

OM Om

θmg

Mg

κ

Supondo que os pendulos estejam imersos em um ambientedesprovido de atrito, deseja-se determinar os seusdeslocamentos angulares segundo os referenciais adotados.

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Mecanica rotacional

Exemplos

Os momentos de inercia das massas M e m em relacao a OM

e Om sao dados por Mℓ2 e mℓ2, respectivamente. A forcaproduzida pela mola e ±κ((ℓ/2)sen(φ) − (ℓ/2)sen(θ)) e, porconseguinte, a equacao dos momentos fornece :

Pendulo M :

Mℓ2φ + κℓ2

4cos(φ)(sen(φ) − sen(θ)) + Mgℓsen(φ) = 0

Pendulo m :

mℓ2θ + κℓ2

4cos(θ)(sen(θ) − sen(φ)) + mgℓsen(θ) = 0

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Mecanica rotacional

Exemplos

Nao ha dificuldades para linearizar estas equacoes em tornodos pontos de equilıbrio (φ, φ) = (0, 0) e (θ, θ) = (0, 0) :

Mℓ2φ + κℓ2

4(φ − θ) + Mgℓφ = 0

mℓ2θ + κℓ2

4(θ − φ) + mgℓθ = 0

e determinar a sua representacao de estado a partir dasvariaveis x1 = φ, x2 = φ, x3 = θ e x4 = θ :

x =

0 1 0 0−κ/4M − g/ℓ 0 κ/4M 0

0 0 0 1κ/4m 0 −κ/4m − g/ℓ 0

︸︷︷︸

A

x

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Mecanica rotacional

Exemplos

Na figura abaixo vemos uma simulacao dos dois pendulosacoplados com ℓ = 10 [m], M = 10 [Kg], m = 3 [Kg],κ = 15 [N/m] e g = 9.8 [m/s2]. Os pendulos partem dorepouso nas posicoes −φ(0) = θ(0) = 30o . Para comparacao,note nos mesmos graficos os pendulos oscilando semacoplamento (κ = 0).

−50

0

50

0 5 10 15 20 25 30−100

−50

0

50

100

t [s]41 / 71


Mecanica rotacional

Exemplos

A figura abaixo mostra uma haste rıgida com duas massas nassuas extremidades. O pendulo esta imerso em um meio queproduz em cada massa uma forca de atrito viscoso comcoeficiente de atrito b.

θ

mg

Mg

p

q

O

ij

Deseja-se determinar o modelo matematico que descreve odeslocamento angular do pendulo.

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Mecanica rotacional

Exemplos

Para usar a equacao de equilıbrio de momentos e precisocalcular o torque produzido pela forca de atrito. Para a massaM a sua posicao e dada por rM = psen(θ)i − pcos(θ)j . Comoforca de atrito e dada por brM , o torque por ela produzido emO sera :

τM = rM × brM

= bp2θk

A posicao da massa m e rm = −qsen(θ)i + qcos(θ)j e, porconseguinte, τm = bq2θk. O torque total produzido pela forcade atrito em ambas as massas, que e dissipativo, temintensidade

τatr = b(p2 + q2)θ

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Mecanica rotacional

Exemplos

Aplicando a equacao de equilıbrio de momentos chega-se a

(Mp2 + mq2)θ + b(p2 + q2)θ + (Mp − mq)gsen(θ) = 0

A figura abaixo mostra duas simulacoes a partir de condicoesiniciais θ(0) = 0 e θ(0) > θ(0).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−2

0

2

4

6

8

10

t [s]

Observe o fenomeno nao linear : Na segunda situacao opendulo da uma volta completa antes de parar!!!

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Eletricidade

Eletricidade

O modelamento de circuitos eletricos planares aqui propostobaseia-se na determinacao de uma base para o espaco nulo :

Espaco nulo : Seja A ∈ Rn×m com m > n. Determina-se uma

matriz T ∈ Rm×r tal que AT = 0 e T ′T = I . A dimensao

r ≥ m − n faz com que todas as solucoes de Ax = 0 comx ∈ R

m sejam expressas na forma

x = T ξ , ξ ∈ Rr

Considere os seguintes exemplos ilustrativos :

A =

[1 2 11 2 1

]

=⇒ T =

0.9129 0−0.3651 −0.4472−0.1826 0.8944

A =

[1 2 11 1 1

]

=⇒ T =

−0.7071−0.0000

0.7071

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Eletricidade

Eletricidade

E a determinacao da decomposicao de uma matriz em valoressingulares :

Valores singulares : Seja A ∈ Rn×n. Esta matriz pode ser

escrita na forma A = RZS ′ onde R , S ∈ Rn×n sao matrizes

unitarias (RR ′ = I , SS ′ = I ) e Z = diag(σ1, . . . , σn) comσi ≥ σi+1 ≥ 0 para todo i = 1, . . . , n − 1. Se σi = 0 parai = r + 1 . . . , n temos :

Z =

[

Z1/2+ 00 I

] [Ir×r 00 0

]

︸︷︷︸

Σ

[

Z1/2+ 00 I

]

com Z+ = diag(σ1, . . . , σr ). Portanto podemos fatorar

A = VΣU

onde V e U sao matrizes nao singulares.

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Eletricidade

Eletricidade

Os seguintes exemplos ilustram a decomposicao em valoressingulares :

Exemplo 1 : A matriz A =

[1 21 2

]

e fatorada na forma

A =

[−1.2574 −0.7071−1.2574 0.7071

]

︸︷︷︸

V

[1 00 0

]

︸︷︷︸

Σ

[−0.7953 −1.5905−0.8944 0.4472

]

︸︷︷︸

U

Exemplo 2 : A matriz A =

[1 22 2

]

e fatorada na forma

A =

[−1.1614 −0.5907−1.4875 0.4612

]

︸︷︷︸

V

[1 00 1

]

︸︷︷︸

Σ

[−1.1614 −1.4875

0.5907 −0.4612

]

︸︷︷︸

U

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Eletricidade

Eletricidade

Considere um conjunto de b bipolos, cada um deles definidopor uma relacao entre corrente ik(t) e tensao vk(t) para todok = 1, · · · , b e uma fonte externa g(t). Definindo os vetoresde corrente e tensao

i(t) :=

i1(t)...

ib(t)

, v(t) :=

v1(t)...

vb(t)

e considerando a convencao gerador para as fontes e receptorpara os elementos passivos tais como resistores, indutores ecapacitores, as equacoes dos b bipolos se escrevem na forma

Cdv

dt(t) − Gv(t) + L

di

dt(t) − Ri(t) = Fg(t)

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Eletricidade

Eletricidade

Onde e importante notar que :

As matrizes C , G , L e R tem dimensoes b × b e geralmentesao diagonais.O vetor F tem dimensao b × 1.

Um circuito planar especıfico com n nos, construıdo com os b

bipolos ja modelados, e definido atraves das equacoes

Ni(t) = 0 , Mv(t) = 0

onde :

N ∈ R(n−1)×b e denominada matriz de incidencia e expressa a

lei das correntes em n − 1 nos.M ∈ R

b−(n−1)×b e denominada matriz de malha e expressa alei das malhas em b − (n − 1) malhas.

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Eletricidade

Eletricidade

O objetivo e determinar as tensoes e correntes em todos osbipolos para todo t ≥ 0 a partir de condicoes iniciais dadas.Sabemos calcular, atraves da determinacao do espaco nulo,todas as solucoes do sistema com b equacoes e 2b incognitas :

[N 00 M

] [i(t)v(t)

]

=

[00

]

na forma [i(t)v(t)

]

= T ξ(t) =

[Ti

Tv

]

ξ(t)

onde T ∈ R2b×b, Ti ∈ R

b×b, Tv ∈ Rb×b e ξ ∈ R

b

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Eletricidade

Eletricidade

Com a equacao diferencial anterior obtemos

(CTv + LTi )ξ(t) = (GTv + RTi)ξ(t) + Fg(t)

A dificuldade e que a matriz CTv + LTi geralmente naoadmite inversa. Basta existir um resistor no circuito e istoacontece ! Aplicando a decomposicao em valores singularesestabelecemos CTv + LTi = V ΣU com V e U nao singulares e

Σ =

[I 00 0

]

Observe que a dimensao da matriz indentidade e determinadapela propria decomposicao em valores singulares.

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Eletricidade

Eletricidade

Multiplicando a equacao diferencial anterior a esquerda porV−1 e definindo x(t) := Uξ(t) temos

Σx(t) = Φx(t) + Γg(t)

ondeΦ := V−1(GTv + RTi)U

−1 , Γ := V−1F

que pode ser escrita na forma particionada

[x1(t)

0

]

=

[Φ11 Φ12

Φ21 Φ22

] [x1(t)x2(t)

]

+

[Γ1

Γ2

]

g(t)

Fica claro que a segunda equacao acima nao e diferencial massim algebrica (de fato, linear) e pode ser resolvida desde queΦ22 seja nao singular !

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Eletricidade

Eletricidade

Φ22 e uma matriz nao singular. Verifica-se que esta hipotesenao e satisfeita apenas em casos considerados patologicos.Com

x2(t) = −Φ−122 Φ21x1(t) − Φ−1

22 Γ2g(t)

a equacao do circuito assume a forma final

x1(t) = A1x1(t) + B1g(t)

onde

A1 := Φ11 − Φ12Φ−122 Φ21 , B1 = Γ1 − Φ12Φ

−122 Γ2

Mais uma vez e imperativo observar que as dimensoes dasmatrizes A1 e B1 sao determinadas pela decomposicao emvalores singulares.

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Eletricidade

Eletricidade

Com x1(t) e g(t) podemos determinar as correntes e tensoesem todos os bipolos :

[i(t)v(t)

]

= T

ξ(t)︷︸︸︷

U−1x(t)

= C1x1(t) + D1g(t)

onde

C1 := TU−1

[I

−Φ−122 Φ21

]

, D1 := TU−1

[0

−Φ−122 Γ2

]

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Eletricidade

Eletricidade

Para completar o modelo, e preciso impor as condicoesiniciais. Em t = 0 as correntes nos indutores e as tensoes noscapacitores sao conhecidas. Ou seja, o vetor c0 e a matriz E

que seleciona as correntes e tensoes sao conhecidos esatisfazem

c0 = E

[i(0)v(0)

]

Portantox1(0) = (EC1)

−1c0

Note que a validade das condicoes iniciais que se deseja imporrequer que a matriz EC1 seja quadrada e nao singular. Omodelo obtido tem representacao de estado (A1,B1,C1,D1) econdicao inicial x1(0).

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Eletricidade

Exemplo

A figura abaixo mostra uma fonte controlada alimentandouma carga indutiva RL. Deseja-se determinar o modelo para atensao y(t) = v9(t) no resistor R9, em funcao da tensao deentrada v1(t) = g(t).

g 2 3

4

5

67

8

y

+−

Sao indicados os numeros dos bipolos. O bipolo 4 e umafonte de tensao v4 = µ(v2 − v3). Note os pontos + e −.

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Eletricidade

Exemplo

Em um sistema de unidades coerentes os seguintes valoresforam adotados R2 = 1, R3 = 2, R5 = 1, C6 = 1, R7 = 1,L8 = 1, R9 = 1 e µ = 1.5. Com o procedimento discutidoanteriormente obtemos

A1 =

[−0.3333 0.6305

0.3525 −1.6667

]

, B1 =

[−1.8057−0.0000

]

C1 =[

0.0000 −0.7856]

, D1 =[

0.0000]

que corresponde a funcao de transferencia

H(s) =0.5

s2 + 2s + 0.3333

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Eletricidade

Exemplo

A figura abaixo mostra duas simulacoes em linhas tracejadaspara as entradas g(t) = 0.9 e g(t) = 0.5 para todo t ≥ 0,respectivamente. As simulacoes em linhas contınuascorrespondem a entradas chaveadas entre os nıveis0 ≤ g(t) ≤ 1 com fator de ocupacao de 90% e 50% e perıodode 2 e 5 segundos, respectivamente.

0 5 10 15 20 25 30 35−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

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Eletromagnetismo

Eletromagnetismo

A seguir ilustramos interacoes eletromagneticas. Em ambos oscasos um fio condutor de comprimento ℓ esta imerso em umcampo magnetico, sendo B o vetor inducao magnetica.

Fm

(a) (b)

ℓ

BB

v

+

−

i

Importante : Uma partıcula com carga eletrica q evelocidade v , imersa em um campo magnetico, sofre a acaode uma forca dada por F = qv × B .

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Eletromagnetismo

Eletromagnetismo

Acao motora (a) : Ao ser percorrido por uma correnteeletrica de intensidade i o fio condutor sofre a acao de umaforca Fm. Devido a corrente, a velocidade das cargas emmovimento e definida pelo fio que e ortogonal a B .Lembrando que idℓ = vdq entao

dFm = vdq × B = idℓ × B

Portanto, integrando entre 0 e ℓ obtemos a intensidade daforca como sendo

Fm = ℓB︸︷︷︸

K

i

Mantendo a ortogonalidade entre o condutor e o campomagnetico, a forca e maxima e e proporcional a corrente. Sobsua acao, o condutor se move !

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Eletromagnetismo

Eletromagnetismo

Acao geradora (b) : Ao movimentar o fio condutor emaberto, com velocidade v ortogonal ao campo magnetico, ascargas no seu interior sofrem a acao da forca Fm = qv × B .Um campo eletrico E se desenvolve de tal forma que a forcaeletrostatica Fe = qE se iguale a Fm. Isto e necessario paraque as cargas atinjam uma situacao de repouso e assimE = v × B . Como em um comprimento dℓ temos a diferencade potencial de = vBdℓ, integrando entre 0 e ℓ obtemos

e = ℓB︸︷︷︸

K

v

Mantendo a ortogonalidade entre o condutor e o campomagnetico, a diferenca de potencial entre os seus terminais emaxima e e proporcional a velocidade.

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Eletromagnetismo

Motor de corrente contınua

Um motor de corrente contınua e esquematizado abaixo. Oestator e fixo e produz um campo magnetico radial. O rotor emovel e e constituıdo por N espiras em serie com largura d ecomprimento ℓ. O comutador mantem os sentidos dascorrentes de forma apropriada a gerar um torque lıquido a seraplicado na carga com momento de inercia Jc e coeficiente deatrito viscoso torcional b.

FmFm

B

V

R

L

J, bθ

i

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Eletromagnetismo


Torque : A forca produzida em cada metade da espira eFm = ℓBi e, portanto, o torque total sera

Ttot = N

(

Fmd

2+ Fm

d

2

)

= NℓdB︸︷︷︸

K

i

Tensao : Em contra-partida, sendo θ a velocidade angular dorotor, a velocidade linear e v = (d/2)θ com o mesmo sentidoe direcao de Fm, fazendo com que a tensao produzida em cadametade da espira seja e = ℓBv e, portanto, a tensao total sera

etot = N (ℓBv + ℓBv) = NℓdB︸︷︷︸

K

θ

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Eletromagnetismo


O modelo final do motor de corrente contınua com campoconstante (B) fica na forma :

Parte eletrica : As espiras do estator podem ser modeladascomo uma resistencia R em serie com uma indutancia L,alimentadas pela fonte de tensao V (t), ou seja

Ld

dti(t) + Ri(t) = V (t)−K

d

dtθ(t)

Observe a tensao etot produzida pelo movimento do rotor, emoposicao a tensao da fonte.Parte mecanica : Sendo J = Jc + Jr o momento de inercia dacarga e do rotor em relacao ao eixo de rotacao temos

Jd2

dt2θ(t) + b

d

dtθ(t) = Ki(t)

Observe o torque Ttot gerado para deslocar a carga e o rotor.

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Eletromagnetismo

Exemplo

O diagrama de blocos mostra o controle da velocidade angularν(t), em regime permanente, de um motor de correntecontınua com a fonte de tensao estudada anteriormente (Σ).Para o motor e a carga foram adotados, em um sistemacoerente de unidades, os seguintes valores numericos J = 10,b = 2, L = 3, R = 1 e k = 10.

ΣgV

R

L

J, b

ν

i

+

−

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Eletromagnetismo

Exemplo

Circuito Σ : Como se trata de um circuito linear, aplicandoLaplace vem

g(s) = Hgi (s)I (s) + Hgv (s)V (s)

O procedimento ja introduzido para a modelagem de circuitoseletricos se aplica :

Com I (s) = 0 obtemos

V (s) =0.50

s + 0.3333︸︷︷︸

Hgv (s)−1

g(s)

Com V (s) = 0 obtemos

I (s) =0.75

s︸︷︷︸

Hgi (s)−1

g(s)

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Eletromagnetismo

Exemplo

Motor : Lembrando que ν(t) = θ(t), com Laplace calculamos

[I (s)

V (s)

]

=

[s + 0.2

3.0s2 + 1.6s + 10.2

]

ν(s)

Com as relacoes anteriores determinamos a funcao detransferencia desejada

ν(s) =9.549

6s3 + 6.533s2 + 21.73s + 6.8︸︷︷︸

Hν(s)

g(s)

sendo Hν(s) expressa em [rpm/volt].

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Eletromagnetismo

Exemplo

Como Hν(s) e uma funcao de transferencia estavel, adotadog(t) como um degrau de amplitude Va [volts], em regimepermanente teremos

νperm(t) ≈ Hν(0)Va = 1.40Va

A figura a seguir mostra em linhas tracejadas a velocidade domotor ν(t) [rpm] para Va = 50, Va = 75 e Va = 95 volts.

A mesma figura mostra em linhas contınuas a velocidade domotor para a entrada chaveada (em volts)

g(t) =

{100 kT ≤ t ≤ (k + foc)T0 (k + foc)T < t < (k + 1)T

onde k ∈ N, T = 2 [s] e o perıodo de chaveamento efoc ∈ [0, 1] e o fator de ocupacao. Consideramos foc = 50%,foc = 75% e foc = 95%.

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Eletromagnetismo

Exemplo

E importante salientar que com uma fonte de tensao chaveadapodemos estudar a evolucao da velocidade do motor atravesde um modelo a tempo discreto. De fato, como g(t) econstante por partes para todo t ≥ 0, com a representacao deestado de Hν(s) definida pelas matrizes (A,B ,C ,D)determinamos

x((k + 1)T ) = Fx(kT ) + Jg(kT )

ν(kT ) = Cx(kT ) + Dg(kT )

valida para todo k ∈ N, onde

F = eAT , J =

∫ T

(1−foc )TeAτBdτ

podem ser calculadas com o procedimento baseado emexponenciais de matrizes aumentadas.

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Eletromagnetismo

Exemplo

Finalmente, aplicando a transformada Z obtemos a funcao detransferencia pulsada

ν(z) =(C (zI − F )−1J + D

)

︸︷︷︸

Hν(z)

g(z)

Com os dados numericos do motor determinamos a funcao detransferencia pulsada Hν(z) = Nν(z)/Dν(z) onde

Dν(z) = z3 + 0.3377z2 − 0.2107z − 0.1133

depende de T mas nao depende de foc e

foc = 50% =⇒ Nν(z) = 0.5113z2 + 0.2097z + 0.0334

foc = 75% =⇒ Nν(z) = 0.6568z2 + 0.3405z + 0.1043

foc = 95% =⇒ Nν(z) = 0.6844z2 + 0.4875z + 0.1853

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Eletromagnetismo

Exemplo

Na figura abaixo os pontos • correspondem a resposta deHν(z) para a entrada g(kT ) = 100 [volts] que sao asamostras da tensao de entrada da fonte g(t) em t = kT paratodo k ∈ N. Note a perfeita concordancia, mesmo durante otransitorio, entre os modelos a tempo contınuo e a tempodiscreto !

0 5 10 15 20 250

50

100

150

t, kT [s]

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Documents

Fundamentos de Processos Dinâmicos