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Bremsstrahlung
Carlos Alexandre WuenscheProcessos Radiativos I - 2010
segunda-feira, 26 de abril de 2010
IntroduçãoRadiação de carga em movimento devido ao campo Coulombiano de outra carga, com as seguintes combinações:
Elétron-íonElétron-pósitronElétron-elétron, íon-íon não produzem bremsstrahlung (momento de dipolo é ZERO).
Momento de dipolo (e.r) é proporcional ao centro de massa (m.r), uma constante de movimento! Elétrons são os emissores primários (a ∼ 1/m) e consideramos o e- movendo-se no campo Coulombiano do íon fixo.
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segunda-feira, 26 de abril de 2010
IntroduçãoSignificado: radiação de freiamentoTambém conhecida como emissão livre-livre (free-free emission)Como de praxe, tratamento completo envolve efeitos quânticos, mas o tratamento clássico justifica-se em muitos e a dependência funcional do efeito com os parâmetros físicos é a mesma que no caso quântico.Tratamento quântico: essencial para derivar a distribuição de fótons em altas energiasO tratamento inicial para os casos clássico e quântico é idêntico, de modo que podemos começar tratando ambos simultaneamente.
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segunda-feira, 26 de abril de 2010
Metodologia
Bremsstrahlung clássico, derivado a partir da Força de Lorentz (Coulombiana), adicionando os termos de correção conforme necessárioAceleração do e- é conhecida... calculamos o par de Fourier para determinar o espectro de radiação emitidaIntegramos o resultado sobre o parâmetro de colisão (bmax e bmin)No caso relativístico, temos que transformar o resultado para o sistema de coordenadas do laboratório
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Metodologia II Uma análise semiquantitativa deve fornecer as seguintes quantidades, nessa ordem:
energia radiativa emitida por um único e-relação entre ve, b e ωpotência emitida, no intervalo ν e ν+dν, por todos os e- de diferentes velocidades (dist. M-B) que colidem com um único íonpotência emitida, na frequência ν, por todas as colisões em um dado volume, que é a emissividade jv(v,T)emissividade integrada em frequência j(T)intensidade específica I(v,T) em termos da espessura da linha de visada do plasma
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6Astrophysical Processes (Bradt, 2008)
segunda-feira, 26 de abril de 2010
a|| = −eEx
me=
γZe2vt
me[b2 + (γvt)2]3/2
a⊥ = −eEx
me=
γZe2b
me[b2 + (γvt)2]3/2
Aceleração do elétron
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Note que, para vt >> b, o efeito do campo sobre o e- desaparece e a emissão bremsstrahlung também!
segunda-feira, 26 de abril de 2010
a||(ω) =12π
Ze2
meγbv
� +∞
−∞
x
(1 + x2)3/2e
iωvγvt xdx =
12π
Ze2
meγbvI1(y)
a⊥(ω) =12π
Ze2
mebv
� +∞
−∞
x
(1 + x2)3/2e
iωvγvt xdx =
12π
Ze2
meγbvI2(y)
Transformadas de Fourier
Trocando as variáveis: x = γvt/b e y = ωb/γv
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I1(y) = 2iyK0(y) e I2(y) = 2yK1(y) K são as funções modificadas de Bessel
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O espectro de radiação O espectro de radiação do elétron com o núcleo carregado pode, então, ser escrito como:
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Esse é o espectro resultante de uma única interação de 1 e- com um núcleo, com parâmetro de impacto b.
I(ω) =2e2
3πc3[|a||(ω)|2 + |a⊥(ω)|2]
=2e2
3πc3(
12π
)2(Ze2
mebv)2[
1γ2
I21 (y) + I2
2 (y)]
=Z2e6
6π3c3m2ev
2b2[1γ2
I21 (ωb/γv) + I2
2 (ωb/γv)]
segunda-feira, 26 de abril de 2010
Espectro no limite assintótico
Sabemos que y = ωb/γv é um parâmetro adimensional, com o numerador e denominador tendo unidades de velocidadePodemos definir os limites de validade para os argumentos das funções de Bessel (ver, p. ex., Abramowitz e Stegun) em termos do tempo de interação do elétron com o núcleo:
y << 1 → K0(y) = -ln(y); K1(y)=1/y
y >> 1 → K0(y) = K1(y)=(π/2y)½exp(-y)
Para frequências altas (y >> 1) temos um corte exponencial no espectro
Para frequencias baixas (y << 1), o espectro é praticamente plano
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y >> 1:
o corte exponencial mostra que a potência emitida cai rapidamente para frequencias maiores que ω ≈ γvb
y << 1:
Como, para ωb << γv, o segundo tempo no colchete desaparece, I(ω) reduz-se a uma constante (praticamente produzido pela emissão perpendicular à linha de visada, que não varia)
Aproximacão “ótima”: espectro plano para frequencias menores que ω = γv/b, e com queda exponencial a partir daí.
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I(ω) =Z2e6
3π2c3
ω
m2eγbv3
[1− 1γ2
]exp(−2ωb
γv)
I(ω) =2Z2e6
3π3c3
ω2
m2eγ
2v4[1y2− ln2(y)
γ2]
=2Z2e6
3π3c3
1m2
eb2v2
= cte.
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Dependência com os parâmetros de impacto
Até agora, a análise é geral, não particularizando para casos não-relativísticos, uma vez que ela foi feita no sistema de referência do elétronSe o e- move-se relativisticamente, a densidade de núcleos aumenta de um fator γ (N’= γN), devido à contração relativística do espaço e o número de encontros por segundo é N’νO espectro de radiação no sistema de referência do e- é calculado integrando-se I(ω), para um e-, vezes o número de encontros (N’ν) pelos diversos íons no plasma (N’= γN) em torno do parâmetro de impacto
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I(ω�) =� b�
max
b�min
2πb�γNvKdb�
= 2πγNv(23
Z2e6
π3c3m2ev
2b2)� b�
max
b�min
b�db�
=4Z2e6γNv
3π2c3m2ev
2
� b�max
b�min
db�
b�
=4Z2e6
3π2
γN
c3m2ev
ln(b�max
b�min
)
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O cenário astrofísico...
Regiões emissoras de bremsstrahlung são, em geral, plasmas quentes.e- sofrem grandes acelerações nas colisões Coulombianas, emitem muitos fótons e escapam da nuvem, caso esta seja opticamente fina.Energia irradiada em uma única colisão pode ser aproximada por emissão de dipolo (fórmula de Larmor)Frequência característica da emissão é função do tempo de colisão, velocidade do e- e parâmetro de impacto
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O cenário astrofísico...Frequência característica da emissão é função do tempo de colisão, velocidade do e- e parâmetro de impactoEnergia total emitida é função da densidade iônica da integração sobre o intervalo de velocidades de uma distribuição Maxwelliana (emissividade volumétrica jv(v))Maior parte da emissão em frequências hν ≤ kT!!!!Integração de jv(v) sobre todas as frequências e sobre o volume do plasma nos dá a luminosidade da nuvemIntegrando essa luminosidade ao longo da linha de visada obtemos a intensidade específica (diretamente mensurável).
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O cenário astrofísico...A intensidade específica é proporcional à medida de emissão (emission measure - EM) que é a integral na linha de visada do produtos das densidades de e- e íons.A integração da intensidade específica sobre todo o ângulo sólido da fonte fornece a densidade de fluxo espectral SMedidas do espectro produzem dois parâmetros físicos essenciais para caracterizar a região emissora: a temperatura e a medida de emissão, independente da distância à nuvem.
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Onde observamos isso? Associação imediata com regiões quentes!
Atmosferas estelares
Regiões centrais de AGNs
Objetos acretando matéria
Regiões HII, em que o gás circundante é ionizado pelos
fótons UV da estrela (emissão do óptico até rádio)
Aglomerados de galáxias (bremsstrahlung em raios X)
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Por construção, esse é um caso NÃO-RELATIVÍSTICOPodemos desprezar o fator γ na equação
e definir bmax e bmin. Não vamos resolver a eq. para valores de bmax que caiam na região exponencial; ficaremos no “platô”...
bmax=v/ω para não entrar na exponencialbmin=Ze2/mv2, limite para velocidades baixas (vale a aproximação de pequenos ângulos)
Bremsstrahlung térmico
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I(ω�) =4Z2e6
3π2
γN
c3m2ev
ln(b�max
b�min
)
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Linhas do Fe (6,7 e 7,9 keV)
HEAO-A2
Emissão bremsstrahlung
(∝exp(-2ωb/γv))
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Para calcular a emissão de um gás à temperatura T, ponderamos a distribuição de velocidades dos e-
em que 4πv2dv é o elemento de volume no espaço de velocidades. Uma solução correta, somente em termos de ordens de grandeza, pode ser obtida se substituirmos (1/2)mev2=3/2κT na expressão para I(ω) obtida em função dos parâmetros de impacto.
Bremsstrahlung térmico
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Ne(v)dv = 4πNe(me
2πκT)3/2v2e−
mev22κT dv
I(ω�) ≈ Z2e6NNe
3√
3c3m2e
(me
κT)1/2 g(ω, T )
Fator de Gaunt: substitui, adequada//, o termo ln(bmax/bmin) integrado sobre as velocidades
segunda-feira, 26 de abril de 2010
Em altas frequências (hv >> kT) , o corte no espectro ocorre devido à queda exponencial , refletindo a pequena população de e- na cauda MaxwellianaA integração de I(ω’) nos dá a emissividade do plasma em bremsstrahlung (erg.s-1.cm-3.Hz-1):
Para frequências muito baixas, o fator de Gaunt tem uma dependência logarítmica com a frequência,
Bremsstrahlung térmico
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exp− (�ω/κT )
�ν =32πe6
3mec2(
2π
3κme)1/2T−1/2Z2NNeg(ν, T )e−hν/κT
= 6, 8× 10−38 T−1/2Z2NNeg(ν, T )e−hν/κT
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Em altas frequências (hv >> kT) , o corte no espectro ocorre devido à queda exponencial , refletindo a pequena população de e- na cauda MaxwellianaA integração de I(ω’) nos dá a emissividade do plasma em bremsstrahlung (erg.s-1.cm-3.Hz-1):
Para frequências muito baixas, o fator de Gaunt tem uma dependência logarítmica com a frequência,
Bremsstrahlung térmico
23
exp− (�ω/κT )
�ν =32πe6
3mec2(
2π
3κme)1/2T−1/2Z2NNeg(ν, T )e−hν/κT
= 6, 8× 10−38 T−1/2Z2NNeg(ν, T )e−hν/κT
Raios X →
Rádio →
g(ν, T ) =√
3π
[ln(32κ3T 3
πmee4ν2Z2)− γ1/2
Euler]
g(ν, T ) =√
3π
[ln(κT
hν)]
segunda-feira, 26 de abril de 2010
Para frequências altas (hv >> kT), o fator de Gaunt é da ordem de (hv/kT)1/2, derivado das aproximações assintóticas feitas para as funções de BesselA taxa total de perda de energia pelo plasma por emissão bremsstrahlung é dada por
-(dE/dt) = 1,435x10-27 Z2T1/2g(v,T)NNe
Valores aproximados para o fator de Gaunt situam-se entre 1 e 1,5 (gmédio~1,2)
Bremsstrahlung térmico
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Figura 3.2 - Fórmulas analíticas aproximadas para o fator de Gaunt <gff(ν, T)> utilizadas em Bremsstrahlung térmico. <gff(ν, T)> é denominado Ĝ na figura e a unidade de energia é o Ry=13,6 eV. Fonte: G. Ribicki & A. Lightman, “Radiative Processes in Astrophysics”, Wiley(1979).
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Espectro corrigido por g(v,T)
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Log
e(ν)
(J.m
-3. H
z-1)
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τ≈1
Iv∼constante
τ > 1
Figura 3.6 - Efeito da profundidade óptica no espectro Bremsstrahlung. A auto-absorção modifica o espectro em baixas frequências, com um comportamento obdecendo à lei de Rayleigh-Jeans para uma curva de corpo negro. Este é um espectro típico de gás denso e ionizado, tal como encontrado em regiões de formação estelar.
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Emissão BMST em altas energiasAglomerado de Coma: BMST emitido por gás quente na região intra-aglomerado e causado pelo campo elétrico dos prótons agindo sobre os e-
L ~ 1036 a 1038 W erg.s (1011 - 1012 LSol)
T ~ 107 - 108 K
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Óptico
Raios X
Emissão Bremsstrahlung
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