FUNDAMENTOS DE VISAO˜ COMPUTACIONAL - fct.unesp.br · Universidade Presbiteriana Mackenzie Presidente Prudente - SP, Brasil ... deve movimentar no ano de 2014 cifras da ordem de

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FUNDAMENTOS DE VISAO

COMPUTACIONAL

Marco Antonio Piteri

Jose Carlos RodriguesOrganizadores

Presidente Prudente2011

FUNDAMENTOS DE VISAO

COMPUTACIONAL

Alejandro Cesar Orgambide [email protected]

Departamento de Matematica,Instituto de Ciencias Exatas, UFALUniversidade Federal de Alagoas

Talita Perciano Costa [email protected] de Sao Paulo

Mauricio GaloAntonio Maria Garcia Tommaselli

{galo, tommaselli}@fct.unesp.brUNESP / Universidade Estadual PaulistaFCT / Faculdade de Ciencias e Tecnologia

Departamento de Cartografia

Denise StringhiniIlana de Almeida Souza

Leandro Augusto da SilvaMaurıcio Marengoni

{dstring, iasouza, prof.leandro.augusto, mmarengoni}@mackenzie.brUniversidade Presbiteriana Mackenzie

Presidente Prudente - SP, Brasil2010

Coordenacao Editorial: Marco Antonio Piteri e Jose Carlos Rodri-gues

Editora: Editora Grafica Viena

Impresso na Grafica: Editora Grafica Viena

Editoracao e Capa: Helder C. R. de Oliveira e Marco A. Piteri

Apoio: FAPESP, CNPq, CAPES e FUNDUNESP

Copyright c©2011 by UNESP - Faculdade de Ciencias e Tecnologia -Campus de Presidente Prudente

Direitos reservados. Essa publicacao nao impede os autores depublicarem parcialmente ou na sua totalidade, os respectivos capıtulosde sua autoria por outra editora, em qualquer meio, desde que faca acitacao a edicao original.

F977 Fundamentos de Visao Computacional/ Marco Antonio Piteri(coord.), Jose Carlos Rodrigues (coord.). - Presidente Prudente,SP : Grafica Viena, 2011

FCT/UNESP-PP, 2011189 p. : il.

ISBN 978-85-60554-04-1

1. Visao Computacional 2. Processamento de Imagens 3.Calibracao de Camaras 4. Software R 5. OpenCV I. Piteri,Marco Antonio. II. Rodrigues, Jose Carlos. III. UniversidadeEstadual Paulista. Faculdade de Ciencias e Tecnologia. IV.Tıtulo

CDD - 519.7637Ficha catalografica elaborada pela Bibliotecaria Claudia Adriana

Spindola - Secao Tecnica de Aquisicao e Tratamento da Informacao- Servico Tecnico da Biblioteca e Documentacao - UNESP, Campus

de Presidente Prudente

Sumario

Prefacio vii

1 Calibracao de Camaras 11.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Importancia da Calibracao . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Visao Geral dos Metodos de Calibracao . . . . . . 4

1.2 Modelo de Camara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Sistemas de Referencia Envolvidos . . . . . . . . . 101.2.2 Modelo Matematico Fundamental . . . . . . . . . 15

1.3 Modelos Matematicos para Correcao de Erros Sistematicos 191.3.1 Distorcao Radial Simetrica . . . . . . . . . . . . . 201.3.2 Distorcao Descentrada . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.3 Modelo de Afinidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.4 Modelos Baseados em Polinomios . . . . . . . . . . 26

1.4 Estimativa dos Parametros e Modelo Estocastico . . . . . 261.4.1 Modelo Estocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.5 Metodos de Calibracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.1 Calibracao Usando Equacoes de Colinearidade . . 331.5.2 Transformacao Linear Direta - DLT . . . . . . . . 361.5.3 Plumb Line Method - Metodo do Fio de Prumo . . 391.5.4 Metodo de Tsai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.6 Consideracoes Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Referencias Bibliograficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

v

Prefacio

E notorio o amadurecimento e as conquistas originadas a partir daspesquisas realizadas na area de Visao Computacional, tanto de umaperspectiva teorica, como pratica, ja que parte significativa do conheci-mento cientıfico gerado por essa disciplina nos ultimos 30, 40 anos temse transformado em tecnologia e esta, em grande parte, disponıvel emvarios segmentos do mercado.

Atualmente, e possıvel encontrar dezenas de produtos que embar-cam tecnologias desenvolvidas no ambito do corpo de conhecimentosgerado pela disciplina de Visao Computacional. Para ilustrar: em nı-vel mundial, o mercado de Biometria, segundo a empresa InternationalBiometric Group, deve movimentar no ano de 2014 cifras da ordem deuma dezena de bilhoes de dolares. Esta e apenas uma das faces maisvisıveis da Visao Computacional. Ela tambem encontra aplicacoes namedicina, em sistemas de manufatura e de inspecao industrial, navega-cao autonoma de veıculos aereos, terrestres e marıtimos, entre outrastantas. Em plena era da tecnologia da informacao, projetos como o Go-ogle MapsTM e Google Street ViewTM estao facilmente acessıveis e saocapazes de potencializar acoes educativas, de lazer e de cultura, literal-mente a milhoes de pessoas espalhadas pelo planeta. Como sabemos,esses softwares incorporam uma quantidade enorme de conhecimentos ede tecnicas desenvolvidas no ambito da area de Visao Computacional ede areas correlatas.

Um outro aspecto naturalmente intrınseco e associado a area de Vi-sao Computacional e sua interdisciplinaridade. No presente, um numero

vii

viii

expressivo de novas tecnologias e gerado na fronteira de conhecimentosprovenientes de diferentes areas do saber. Isso talvez ajude a explicar,em parte, o sucesso e os resultados alcancados a partir das pesquisasoriundas dessa tematica.

No Brasil, e visıvel o elevado interesse pela area de Visao Computaci-onal, em particular nas Universidades e Institutos Nacionais de Pesquisa.E facil encontrar minicursos, tutoriais e disciplinas sendo oferecidas tantono nıvel de graduacao quanto de pos-graduacao, em varias instituicoesbrasileiras. Entretanto, embora haja uma quantidade razoavel de livrosna lıngua inglesa, o mesmo nao se verifica em termos da lıngua portu-guesa, havendo carencia de tıtulos, seja de obras de autores nacionais,seja de um maior numero de traducoes de textos considerados classicosno assunto.

Entre as diferentes atividades realizadas no ambito do Workshopde Visao Computacional (WVC), nao ha duvidas de que o ofereci-mento de minicursos basicos voltados para a formacao complementar dosparticipantes tem uma enorme aceitacao. Nesse sentido, com o intuitode potencializar o material gerado e distribuıdo durante os tres mini-cursos do VI WVC, realizado na Faculdade de Ciencia e Tecnologia daUNESP - Campus de Presidente Prudente-SP, os autores foram convida-dos a desenvolverem um texto adicional, cujos resultados encontram-sesintetizados no presente compendio. Esperamos que essa iniciativa con-tribua para fomentar e ajudar a preencher a lacuna na producao detextos em nossa lıngua materna.

E preciso considerar ainda que, quando os autores foram convidadosa definirem os temas de seus respectivos minicursos, nao tinham a pri-ori quaisquer informacoes relacionadas as demais propostas. Contudo,verifica-se que o resultado final, obtido com a juncao dos tres capıtu-los que integram este livro, aponta para um dialogo estreito e bastantecoeso entre eles. Desse modo, consideramos que esta obra possa ser deextrema valia para estudantes de diferentes cursos da area de exatasinteressados na tematica de Visao Computacional e disciplinas congene-res, quer no nıvel da graduacao, quer em sua fase inicial em programasde pos-graduacao. Essa e a expectativa dos autores, corroboradas pelosorganizadores.

Em sıntese, o livro aborda topicos fundamentais no contexto da Vi-

ix

sao Computacional. Um dos capıtulos e mais teorico e introduz os con-ceitos e princıpios basicos associados ao tema de calibracao de cama-ras. Os dois outros capıtulos exploram as plataformas de softwares R eOpenCV, respectivamente. Ambas de domınio publico, consolidadas eamplamente utilizadas pela comunidade academica e cientıfica em nıvelmundial. Uma grande vantagem dessas bibliotecas, entre outras, e queelas possuem um conjunto de centenas de poderosas primitivas extrema-mente robustas, muitas delas encapsulando um alto nıvel de sofisticacaoe capazes de dar respostas em tempo real para variadas aplicacoes nasmais diferentes areas do conhecimento humano. Alem disso, tornampossıvel, de forma muito rapida, a realizacao da prototipagem de no-vas metodologias computacionais, assim como sua validacao, conferindoum ganho de produtividade significativo. Nesse sentido, constituem-seem ferramentas alternativas, disponıveis e relevantes a qualquer pessoainteressada nos domınios da Visao Computacional e areas correlatas.

Por fim, os organizadores gostariam de agradecer a todos que noultimo ano estiveram envolvidos no projeto deste livro e, em particular,ressaltar a colaboracao do aluno do curso de Ciencia da Computacao daFCT/UNESP - Campus de Presidente Prudente, Helder Cesar Rodriguesde Oliveira, que auxiliou de modo decisivo no processo de diagramacao.

Presidente Prudente, 26 de janeiro de 2011.

Marco Antonio PiteriJose Carlos Rodrigues

Organizadores

Capıtulo 1Calibracao de Camaras

Mauricio Galo

Antonio Maria Garcia Tommaselli

UNESP / Universidade Estadual PaulistaFCT / Faculdade de Ciencias e Tecnologia

Departamento de Cartografia

1.1 Introducao

Desde o trabalho do cientista alemao Johann Heinrich Schultze, que ob-servou o escurecimento do nitrato de prata quanto exposto a luz (1725),ate a apresentacao da primeira fotografia a Academia Francesa de Ar-tes e Ciencia (1837), pelo pintor e fısico frances Louis J. M. Daguerre(1789-1851), se passaram mais de 100 anos. Por volta de 1887, o efeitofotoeletrico foi apresentado pelo fısico alemao Heinrich Rudolf Hertz,que posteriormente tambem foi estudado e teve a contribuicao de outroscientistas, como Albert Einstein, em um trabalho apresentado em 1905,que inclusive lhe rendeu o premio Nobel em Fısica, no ano de 1921. Estedesenvolvimento, bem como o desenvolvimento da fısica dos semicondu-tores, apos este perıodo, permitiu a invencao do CCD na decada de 70,pelos cientistas Willard S. Boyle e George E. Smith, que foram dois dostres ganhadores do premio Nobel de Fısica de 2009. Essa evolucao per-mitiu o desenvolvimento de diferentes ramos da Fısica, que propiciou oaparecimento dos modernos sensores digitais de imageamento, utilizadosem inumeras aplicacoes.

1

2 Calibracao de Camaras

Gracas a esta evolucao, aproximadamente 280 anos apos a contri-buicao de Schultze, e possıvel contar com camaras digitais em aparelhoscelulares; camaras de vıdeo; camaras de amador; camaras profissionais;sensores de imageamento aerotransportados; sensores orbitais a bordode satelites artificiais de recursos naturais e satelites artificiais militares;dentre inumeros outros sistemas. Em todos estes dispositivos e siste-mas de imageamento, um elemento chave e o silıcio, fundamental naconstrucao de sensores do tipo CCD (Charge Couple Device), ou CMOS(Complementary Metal Oxide Semiconductor), que compoem as moder-nas camaras digitais.

Independente dos sistemas digitais citados, resultantes de desenvol-vimentos e esforcos na area da fısica dos semicondutores e estado solido;ou dos classicos filmes a base de nitrato de prata; nao pode-se esque-cer das contribuicoes de outra area da Fısica, a optica, essencial nodesenvolvimento dos sistemas opticos dos dispositivos de imageamentomencionados.

Todo este desenvolvimento, rapidamente mencionado, foi fundamen-tal para a evolucao de outras areas do conhecimento, como a VisaoComputacional e a Visao de Maquina, a Fotogrametria e o Sensoria-mento Remoto, e areas correlatas, que utilizam de imagens, nas maisdiversas formas, em termos de intervalo espectral, resolucao geometrica,etc. Estas imagens sao adquiridas por diferentes sensores, com caracte-rısticas especıficas, conforme a area do conhecimento, o que permite aaplicacao e uso de imagens, nos mais diversos campos do conhecimento.

Nestas disciplinas, que utilizam imagens adquiridas com sensores op-ticos, um problema fundamental e a Calibracao de Camaras, que permitedeterminar as caracterısticas geometricas e radiometricas do sensor.

Neste texto sao apresentados os aspectos introdutorios relacionadosa Calibracao de Camaras, sendo dada enfase a calibracao geometrica decamaras digitais. Com este proposito sao apresentados aspectos basicosimportantes para o entendimento do problema, como referenciais, mode-los matematicos usados no relacionamento entre os espacos envolvidos,modelos matematicos para a correcao dos erros sistematicos bem comoos principais metodos de calibracao. Para o aprofundamento em topi-cos especıficos sao recomendadas as referencias apresentadas ao final doCapıtulo.

Introducao 3

1.1.1 Importancia da Calibracao

As lentes das camaras provocam aberracoes, que prejudicam a quali-dade da imagem e provocam o deslocamento dos pontos projetados noplano imagem. Estas aberracoes podem ser provocadas por diferentesfatores tais como: curvatura e polimento nao uniforme das lentes quecompoem o sistema optico. Alem desses fatores pode-se tambem con-siderar a homogeneidade e pureza do material que compoe a lente, quetem influencia no ındice de refracao. Todos estes fatores afetam a quali-dade das imagens adquiridas por uma camara, independente da camaraser digital ou de filme.

Em funcao dos problemas inerentes ao sistema optico, em trabalhosligados a areas como Fotogrametria, Visao Computacional, Visao de Ma-quina, e outras, muitas vezes sao requeridas camaras com alta qualidadegeometrica. Em areas especıficas como a Fotogrametria, por exemplo, osparametros intrınsecos a camara, chamados de parametros de orientacaointerior (POI), que permitem a correcao dos erros sistematicos, devemser especificados em um certificado de calibracao. Com estes parame-tros disponıveis, as coordenadas medidas sobre as imagens podem sercorrigidas destes erros sistematicos, a fim de que os produtos gerados apartir das imagens atendam as especificacoes pre-estabelecidas. No en-tanto, nem todas as camaras disponıveis sao construıdas com finalidadesmetricas e, portanto, nao possuem certificado de calibracao, o que naoimplica que elas nao possam ser utilizadas com esta finalidade.

Para utilizar uma camara que nao tenha sido produzida original-mente com o proposito metrico, deve-se, inicialmente, realizar um pro-cedimento que permita determinar os parametros de orientacao inte-rior. Este procedimento denomina-se Calibracao de Camaras. No Bra-sil, diferentes grupos de pesquisa trabalham com o assunto, mas naoexiste, ate o momento, uma normatizacao especıfica estabelecida pororgaos oficiais. Na Europa, por exemplo, existem grupos de trabalhos,como o EuroSDR - European Spatial Data Research (EUROSDR [17];CRAMER [13]; HEIPKE e MOONEY [30]) no qual questoes relativasa calibracao, tanto em termos geometricos quando radiometricos, saotratadas, sendo realizados e comparados experimentos com diferentessensores e metodos, por diferentes instituicoes, visando a recomendacaode procedimentos.


Nos EUA o ASPRS Camera Calibration Panel [4] tambem discuteeste assunto. Alem destes dois exemplos pode-se tambem mencionar aexistencia de comissoes cientıficas especıficas para a discussao deste temaem sociedades cientıficas internacionais, como a ISPRS – InternationalSociety of Photogrammetry and Remote Sensing (ver http://www.isprs.org).Outro exemplo relevante, que merece ser destacado, foi desenvolvido naprovıncia de Columbia Britanica, no Canada, que estabeleceu criteriospara a calibracao de camaras digitais de pequeno e medio formato, comopode-se ver em ILMB [33]. Por estes poucos exemplos apresentadospode-se ver a importancia dada ao tema em alguns paıses.

Na sequencia sera dada uma visao geral dos metodos de calibracao.

1.1.2 Visao Geral dos Metodos de Calibracao

A calibracao de camaras pode ser realizada tanto considerando os as-pectos geometricos quanto os radiometricos.

Conceitualmente, a calibracao de camaras, em termos geometricos,pode ser entendida como sendo a determinacao de parametros que permi-tam a reconstrucao do feixe de raios que gera as imagens (ANDRADE [2]).Nesta calibracao procura-se determinar os parametros de orientacao in-terior (POI) tais como a distancia focal, a posicao do ponto principal(sera definido posteriormente) e os parametros que permitem modelaras distorcoes das lentes.

Na calibracao radiometrica ou espectral, essencialmente procura-seavaliar a resposta do sensor em funcao do sinal incidente no sistema. Deacordo com Mikhail, Bethel e McGlone [39] esta calibracao pode ser feitade modo relativo ou absoluto. Na calibracao relativa a ideia e avaliara resposta dos pixels da matriz de sensores, ou de um conjunto de ma-trizes de sensores, para uma mesma radiancia1 incidente. Na avaliacaoabsoluta e estabelecida a relacao entre o sinal incidente e o sinal resul-tante, de modo que, a partir da imagem de uma dada cena, seja possıvelinferir sobre sua radiancia. Para detalhes adicionais sobre a calibracaoradiometrica de sensores de imageamento sugere-se Honkavara [31].

No caso da calibracao geometrica de camaras, denominada neste tra-

1 Quantidade de radiacao que deixa determinada superfıcie, por unidade de area,em uma dada direcao.

Introducao 5

balho apenas como calibracao de camaras, diferentes metodos podem serconsiderados: Metodos de Laboratorio e Metodo de Campo.

Dentre os metodos de laboratorio os mais comuns sao o Metodo dosMulticolimarodes e o Metodo do Goniometro.

No Metodo dos Multicolimadores a ideia e utilizar dois conjuntos decolimadores2 (dois bancos de colimadores) de modo que a luz emitidapor cada colimador simule um objeto situado no infinito, a fim de que asimagens de todos os colimadores sejam projetadas no mesmo plano focal.Uma vez que os angulos entre os colimadores sao conhecidos a priori,por construcao, a partir destes angulos e de medidas feitas sobre os alvosprojetados na imagem, a distancia focal, a posicao do ponto principal eos parametros da distorcao radial simetrica podem ser determinados.

No Metodo do Goniometro, cujo princıpio e similar ao do metododescrito anteriormente, os angulos nao sao fixos, como os angulos entreos colimadores, sendo os angulos α (na Figura 1.1b) medidos pelo goni-ometro. A Figura 1.1 mostra o princıpio dos equipamentos usados nosdois metodos de laboratorio.

(a) Banco de colimadores. (b) Goniometro.

Figura 1.1: Principio dos equipamentos usados na calibracao em labo-ratorio.

2 Colimador: Projetor optico com uma cruz montada em seu plano de foco infi-nito [2].


Para detalhes adicionais sobre estes dois metodos sugere-se: [11, 39,2].

Na Figura 1.1a e possıvel notar os pontos nodais anterior (front node)e posterior (rear node). De acordo com Baker [5] estes pontos sao pontosaxiais nos quais, de acordo com a optica gaussiana, qualquer raio pas-sante por um deles emergira do segundo ponto numa direcao paralela aoraio original incidente.

Quanto aos Metodos de Campo, os mais comuns sao os Metodo Es-telar, dos Campos Mistos e das Camaras Convergentes.

Metodo Estelar

O Metodo Estelar de calibracao de camaras consiste na utilizacao deimagens estelares, adquiridas a partir de um ponto com coordenadasastronomicas, latitude (ϕ) e longitude (λ), conhecidas, bem como deobservacoes sobre as imagens. Uma vez fotografado um conjunto de es-trelas, identificadas com o auxılio de um mapa celeste, de medidas deangulos horizontais e verticais das estrelas observadas e do instante decoleta das imagens, pode-se obter, a partir de anuarios astronomicos,a ascensao reta, α(t), e a declinacao δ(t) para cada estrela observada.A partir destas coordenadas e das medidas realizadas sobre a imagem,bem como da correcao da refracao fotogrametrica, e possıvel escreverum modelo matematico que relaciona as coordenadas no sistema equa-torial (α(t),δ(t)), ascensao reta e declinacao, respectivamente, com ascoordenadas medidas sobre a imagem e estimar os parametros de orien-tacao interior da camara utilizada, pelo MMQ – Metodo dos MınimosQuadrados, que sera discutido posteriormente.

Um aspecto interessante deste metodo de calibracao e que as estrelasatuam como pontos de apoio e, de acordo com Livingston [36], este me-todo foi utilizado tanto para realizar a calibracao de camaras balısticasquanto para camaras aereas.

Este metodo foi utilizado de modo mais amplo a partir da metadedo seculo XX, tendo como requisito boas condicoes atmosfericas paraa coleta das imagens. Por esta razao nao e um metodo muito praticoe o seu uso e limitado, independente da alta qualidade dos parametrosestimados. Para detalhes adicionais sobre o metodo sugere-se: [36, 39, 2].

Introducao 7

Metodo dos Campos Mistos

Como sera visto na Secao 1.5.1, o modelo matematico usado na ca-libracao de camaras incorpora parametros intrınsecos ou de orientacaointerior, que sao inerentes a camara, bem como parametros como posicaoe orientacao, que sao responsaveis pela orientacao exterior da camara.

Em algumas situacoes onde o terreno fotografado e aproximadamenteplano e as fotos verticais, pode-se provar que existe elevada dependencialinear entre algumas colunas da matriz das derivadas parciais, na solucaopelo MMQ e, consequentemente, da matriz normal a ser invertida. Poresta razao alguns parametros estimados sao fortemente correlacionados,como por exemplo os POI e os parametros de orientacao exterior (POE),estes ultimos formados pela posicao e orientacao da camara no instanteda aquisicao das imagens. Deste modo esta dependencia linear deveser evitada ou minimizada e uma das maneiras e adquirir imagens deterrenos com certo desnıvel, da ordem de 20% da altura de voo, de acordocom Leigh (1973)3 apud Andrade e Olivas [3].

Com o proposito de reduzir a correlacao entre alguns parametros foidesenvolvido por Dean Charles Merchant, no inıcio da decada de 1970,no Departamento de Ciencias Geodesicas da The Ohio State University,um metodo de calibracao de camaras. Este metodo foi aperfeicoado peloProf. Jose Bittencourt de Andrade, da UFPR, sendo usado no Brasilpara a calibracao de camaras aerofotogrametricas (Andrade e Olivas [3]).Na solucao usada no Brasil foi usando um campo de teste montanhoso,sendo dadas injuncoes nas altitudes e em algumas distancias, de modo aeliminar a deficiencia de posto igual a 8, sendo 7 referentes a definicao doreferencial e a oitava relacionada a escala vertical. Detalhes adicionaisdeste metodo, conhecido como Metodo dos Campos Mistos ou Metododos Campos Misturados, podem ser obtidos em Olivas [43], Andrade eOlivas [3] e [2].

Atualmente, com a possibilidade de uso de receptores de sinais desatelites de posicionamento pelo GNSS (Global Navigation Satellite Sys-tem) como GPS (Global Positioning System), GLONASS (Global Orbi-ting Navigation Satellite System), GALILEO, dentre outros; a bordo daaeronave durante a missao de aquisicao das imagens aereas, este pro-

3 LEIGH, G. E. A study in improvement of one aspect of the metric camera system.The Ohio State University, 1973.


blema de correlacao entre os POI e POE e reduzido.

Metodo das Camaras Convergentes

Devido ao problema da dependencia linear entre alguns parametros deorientacao interior e outros de orientacao exterior, mencionado no Me-todo dos Campos Mistos, tambem surgiu o Metodo das Camaras Con-vergentes. Este metodo foi proposto por Duane C. Brown e uma dasprimeiras aplicacoes foi na calibracao de uma camara usada na MissaoApollo 14, ocorrida em 1971, devido a uma falha em uma das camarasprogramadas para aquisicao.

O princıpio deste metodo pode ser resumido a realizar a calibracaoda camara utilizando imagens adquiridas com grande convergencia (daordem de 90o), sendo que pelo menos uma das imagens deve ter umarotacao de um angulo kappa (em torno do eixo z), ortogonal as demais.Deste modo, segundo Andrade [2], a deficiencia de posto e reduzidade 8 para 7 e apenas 7 injuncoes relativas a fixacao do referencial saonecessarias.

Um aspecto interessante desta solucao e a possibilidade de fixar aposicao e orientacao de uma das estacoes e estimar a posicao e orienta-cao das demais em relacao ao feixe fixo. Esta solucao recebe tambemo nome self-calibration (auto-calibracao), pois e possıvel calibrar a ca-mara somente com suas proprias informacoes geometricas, sem controleexterno, exceto um fator de escala. Como referencias adicionais relativasa este metodo sugere-se: [43, 37, 2, 11].

1.2 Modelo de Camara

O modelo mais simples de camara e denominado Camara Escura, ouCamara de Orifıcio (pinhole camera) no qual um pequeno orifıcio emuma caixa fechada permite a projecao dos raios passantes pelo orifıcio ea formacao de uma imagem invertida, como mostrado na Figura 1.2.

Este modelo, embora seja o mais simples, tambem possibilita visu-alizar o princıpio do modelo matematico fundamental usado em Foto-grametria, que e o da colinearidade entre os pontos do espaco objeto,o orifıcio (que representa o CP - Centro de Perspectiva) e os pontos

Modelo de Camara 9

(a) Desenho de camara de orifıcio.

(b) Trajeto dos raios dentro da camara e relacao en-tre o tamanho da imagem e distancia a partir doorifıcio C.

Figura 1.2: Princıpio da camara escura. Fonte: Balikar [6].

imagens correspondentes.

A camara de orifıcio representa o modelo de uma camara de quadro(ou frame), como ilustra a Figura 1.3, onde sao vistos mais dois modelosde camara: linear de varredura ou sensor linear pushbroom e o sensor devarredura pontual, ou sensor whiskbroom.

O modelo de sensor pushbroom e usual tanto em plataformas aero-transportadas quanto orbitais e o sensor de varredura pontual foi usadonas primeiras plataformas orbitais. Para mais detalhes sobre mode-los de camara as seguintes referencias sao sugeridas: Livingston [36],Schenk [47], Mikhail, Bethel e McGlone [39] e Graham e Koh [27].

Nos topicos seguintes serao discutidos alguns aspectos relacionados aCalibracao de Camaras, sendo os modelos desenvolvidos especificamentepara camaras de quadro (ou frame). No entanto, varios dos modelosdescritos, com pequenas adaptacoes, podem ser aplicados aos demais


(a) Sensor de quadro ouframe.

(b) Sensor linear pushbroom.

(c) Sensor de varredura pontual whiskbroom.

Figura 1.3: Geometria dos principais sensores de imageamento. Fonte:Mikhail, Bethel e McGlone [39].

tipos de modelos de camaras.

1.2.1 Sistemas de Referencia Envolvidos

Para a realizacao da calibracao de camaras devem ser feitas diversasmedidas sobre o plano imagem, sendo envolvidos neste processamento

Modelo de Camara 11

diferentes sistemas de referencia.

Antes de definir os sistemas e importante resgatar o conceito de ima-gem digital, que pode ser definida como uma matriz na qual, a cadaelemento de imagem (pixel), cuja posicao e dada por um par ordenado(coluna,linha) ou (x, y), e associado um tom de cinza, ou brilho, expressogenericamente por g(x, y) ou g(c, l), para o caso de imagens em tons decinza. Para o caso de imagens coloridas, nas quais os intervalos espec-trais correspondem as bandas vermelha (R), verde (G) e azul (B) doespectro eletromagnetico, a cada pixel sera associado um terno de coor-denadas (R(c, l),G(c, l),B(c, l)). Neste sistema (denominado sistema deimagem) normalmente a origem e definida no centro do pixel situadono canto superior esquerdo, com o eixo x coincidente com a direcao daslinhas e o eixo y coincidente com a direcao das linhas, como ilustra aFigura 1.4.

Figura 1.4: Sistema de imagem.

No caso de fotografias adquiridas por camaras aereas metricas, quepossuem marcas fiduciais, utiliza-se o sistema fiducial. Neste sistema aorigem e situada no Centro Fiducial (CF), obtido pelo cruzamento daslinhas que unem marcas fiduciais opostas, sendo o eixo xF orientado nadirecao das marcas mais proximas a direcao de voo. Este sistema e ilus-trado na proxima figura onde pode-se ver que o eixo yF forma um angulode 90o com o eixo xF . Em funcao do modo como o sistema e definido,e como nao ha simetria perfeita entre as marcas, nao necessariamente o


eixo yF passa pelos pontos 2 e 4.

Figura 1.5: Marcas fiduciais, centro fiducial e sistema fiducial.

Na figura anterior foi mostrada uma situacao no qual sao disponıveis4 marcas fiduciais nas laterais do quadro da foto. Outras situacoes saopossıveis, como 4 marcas nos cantos e 8 marcas fiduciais (4 nos cantos e4 nas laterais). Mais detalhes sobre este sistema podem ser obtidos emSchenk [47] e Lugnani [37].

Na Figura 1.6 e mostrada uma imagem com oito marcas fiduciais eduas marcas destacadas, uma no canto e outra em uma das laterais.

Considerando uma imagem adquirida diretamente a partir de umacamara digital, na qual o sensor pode ser do tipo CCD (Charge Cou-ple Device), ou CMOS (Complementary Metal Oxide Semiconductor), osistema equivalente ao fiducial, descrito anteriormente, pode ser conside-rado como sendo o sistema com origem no centro geometrico da matrizde sensores, cuja posicao e representada por (Cx, Cy) como ilustra aFigura 1.7.

Assumindo que a imagem adquirida possua W colunas e H linhas, aposicao do centro geometrico da matriz de sensores (Cx, Cy) podera sercalculada por:

Cx = W−12

Cy = H−12

(1.1)

Uma vez medido um pixel na posicao (coluna,linha)=(c, l), paratransforma-lo para o sistema (x′, y′), deve-se fazer translacoes em c e

Modelo de Camara 13

(a) Imagem aerea com 8 marcas fidu-ciais.

(b) Detalhes deuma marca nocanto.

(c) Detalhes deuma marca nalateral.

Figura 1.6: Exemplo de imagem aerea e localizacao das marcas fiduciais.

Figura 1.7: Sistemas de imagem (x, y) e sistema com origem no centrogeometrico da imagem (x′, y′).

l e uma reflexao no eixo y. Deste modo, as coordenadas (x′, y′), na uni-dade pixel, de um ponto situado na posicao (c, l) poderao ser obtidaspor:


[x′

y′

]

=

[c − Cx

−(l − Cy)

]

(1.2)

As coordenadas obtidas pela Equacao 1.2 estao na unidade pixel epara transforma-las para grandezas no sistema metrico e necessario co-nhecer as dimensoes dos pixels em x e y. Considerando que as dimensoesem x e y sao representadas respectivamente por Sx e Sy, as coordenadas(x′, y′) podem ser calculadas por:

[

xF

yF

]

=

[

Sx

(c −

(W−1

2

))

−Sy

(l −

(H−1

2

))

]

=

[

Sx 0

0 −Sy

] [

c − W−12

l − H−12

]

(1.3)

A partir da Equacao 1.3 pode-se obter a equacao inversa, que permiteo calculo das coordenadas (c, l) a partir de (x′, y′), W , H, Sx e Sy, ouseja:

[

c

l

]

=

[ 1Sx

0

0 − 1Sy

] [

x′

y′

]

+

[W−1

2

H−12

]

(1.4)

Os sistemas apresentados ate este ponto sao sistemas cartesianos bi-dimensionais (2D). Considerando o plano imagem e o centro perspectivo(CP), a projecao ortogonal do CP sobre o plano imagem define o pontoprincipal (pp) que nao coincide necessariamente com o centro fiducial,no caso de imagens obtidas por camaras metricas, ou com o centro geo-metrico da imagem, no caso de camaras digitais. A partir do CP, pode-seconsiderar um sistema cartesiano tridimensional (3D) onde o eixo z tema direcao da normal ao plano imagem e os eixos (x, y) sao paralelos aossistemas fiducial (xF , yF ), ou equivalente (x′, y′), para o caso de ima-gens digitais, como mostrado na Figura 1.8. Este sistema e denominadoSistema Fotogrametrico.

Pode-se observar na Figura 1.8a, que a componente z de qualquerponto que esta sobre o plano imagem possui coordenada igual a −f ,onde f e a distancia focal (ou constante da camara). Considerando quea posicao do ponto principal no sistema (x′, y′) seja (x0, y0) e assumindoque sao conhecidas as coordenadas de um ponto qualquer sobre o quadro

Modelo de Camara 15

fotografico, no sistema (x′, y′), pode-se determinar as coordenadas desteponto no sistema fotogrametrico por:

x = x′ − x0

y = y′ − y0

z = −f

(1.5)

Pode-se observar que os sistemas fotogrametrico e o sistema comorigem centro da imagem sao dextrogiros, ou de mao direita, como osistema fiducial.

Alem dos sistemas descritos tambem e necessario ter um sistemacartesiano 3D associado ao espaco objeto, onde as coordenadas sao re-presentadas por (X, Y, Z). Para mais detalhes sobre sistemas de re-ferencia utilizados em Fotogrametria sao sugeridas as seguintes leitu-ras: [37, 52, 39, 2].

1.2.2 Modelo Matematico Fundamental

Na secao anterior foram apresentados alguns sistemas de coordenadas e oproximo passo e estabelecer uma relacao que envolve os espacos imageme o objeto. As coordenadas no espaco objeto e espaco imagem podem

(a) Sistema Fotogrametrico(x, y, z).

(b) Projecao dos eixos (x, y) sobre o planoimagem.

Figura 1.8: Sistema Fotogrametrico.


ser relacionadas pelas equacoes de colinearidade.

As equacoes de colinearidade podem ser consideradas como sendo asequacoes fundamentais da Fotogrametria e tambem da Visao 3D. Elaspodem ser deduzidas baseando-se na condicao de colinearidade envol-vendo um ponto imagem, o centro perspectivo e o ponto objeto corres-pondente.

Considerando como sistema de coordenadas do espaco objeto umsistema cartesiano local, representado por (X, Y, Z), o plano imagem e osistema fotogrametrico, bem como o ponto P(X, Y, Z) no espaco objeto,o ponto imagem (p), imagem de P , e o CP , cujas coordenadas no espacoobjeto sao (Xcp, Ycp, Zcp), podem ser definidos os vetores mostrados naFigura 1.9b.

(a) Sistemas do espaco objeto e foto-grametrico.

(b) Vetores ligando os pontos O (ori-gem do sistema do espaco objeto), CP ,P e p.

Figura 1.9: Sistema do espaco objeto, sistema fotogrametrico e a condi-cao de colinearidade.

Para a deducao das equacoes de colinearidade pode-se considerar arelacao vetorial, entre os vetores da Figura 1.9, podendo-se escrever aseguinte igualdade vetorial:

−−→OP =

−−−→O CP +

−−−→CP P (1.6)

Modelo de Camara 17

Por outro lado, pode-se escrever o vetor que liga os pontos CP e P

como sendo o produto de um escalar k pelo vetor definido por CP e p,

ou seja,−−−→CP P = k

−−−→CP p. Deste modo, a Equacao 1.6 pode ser escrita

como:

−−→OP =

−−−→O CP + k

−−−→CP p (1.7)

Dos vetores presentes na Equacao 1.7,−−→OP e

−−−→O CP podem ser ex-

pressos em funcao das coordenadas no sistema do espaco objeto e o vetor−−−→CP p pode ser escrito em funcao das coordenadas no sistema fotograme-

trico. Assim, isolando k−−−→CP p pode-se escrever:

k−−−→CP p =

−−→OP −

−−−→O CP. (1.8)

Portanto, para que os componentes dos vetores sejam incorporados atodos os elementos da Equacao 1.8, deve-se aplicar rotacoes no sistemade coordenadas do espaco objeto, de modo que eles se tornem paralelos.Assumindo as matrizes de rotacao em torno dos eixos X, Y e Z e aaplicacao sucessiva das seguintes rotacoes:

- ω - em torno de X;

- φ - em torno de Y ;

- κ - em torno de Z;

pode-se escrever a seguinte matriz de rotacao:

M =[

mc1 mc2 mc2

], (1.9)

nas quais mci, com i∈{1,2,3}, sao as colunas da matriz M, calculadaspor:


mc1 =

cos φ cos κ

− cos φ sinκ

sinφ

mc2 =

sinω sinφ cos κ + cos ω. sin κ,

− sinω sinφ sin κ + cos ω cos κ

− sinω cos φ

mc3 =

− cos ω sinφ cos κ + sinω sinκ

cos ω sinφ sin κ + sinω cos κ

cos ω cos φ

que podem ser obtidas pelo produto M = Rz(κ)Ry(φ)Rx(ω).Considerando a matriz M , os componentes de cada um dos vetores

descritos e substituindo-os na Equacao 1.8, obtem-se:

k

x

y

z

= M

X − Xcp

Y − Ycp

Z − Zcp

=

=

m11 m12 m13

m21 m22 m23

m31 m32 m33

X − Xcp

Y − Ycp

Z − Zcp

(1.10)

Desenvolvendo o produto matricial na equacao anterior, podem serobtidas as seguintes equacoes para (x, y, z):

x = k−1 [m11(X − Xcp) + m12(Y − Ycp) + m13(Z − Zcp)]

y = k−1 [m21(X − Xcp) + m22(Y − Ycp) + m23(Z − Zcp)]

z = k−1 [m31(X − Xcp) + m32(Y − Ycp) + m33(Z − Zcp)]

(1.11)

Dividindo as duas primeiras equacoes pela terceira, fazendo as devi-das simplificacoes e lembrando ainda da Equacao 1.5, pode-se finalmente

Modelos Matematicos para Correcao de Erros Sistematicos 19

escrever as equacoes de colinearidade:

x′ = x0 − f(

m11(X−Xcp)+m12(Y −Ycp)+m13(Z−Zcp)m31(X−Xcp)+m32(Y −Ycp)+m33(Z−Zcp)

)

y′ = y0 − f(

m21(X−Xcp)+m22(Y −Ycp)+m23(Z−Zcp)m31(X−Xcp)+m32(Y −Ycp)+m33(Z−Zcp)

) (1.12)

No desenvolvimento apresentado nao foram consideradas as influen-cias da refracao atmosferica e nem das distorcoes inerentes ao sensor(camara). Deste modo, a Equacao 1.12 reflete um caso ideal, no qualapenas a posicao do ponto principal e considerada e as demais influenciassao desprezadas.

1.3 Modelos Matematicos para Correcao de Er-

ros Sistematicos

No modelo matematico mostrado na Equacao 1.12 os parametros de ori-entacao interior que aparecem de forma explicita sao a distancia focal ea posicao do ponto principal (x0, y0). Alem destes, os parametros ine-rentes ao sistema optico devem ser incorporados. Dentre as distorcoesque podem ser incorporadas pode-se mencionar: distorcao radial sime-trica, distorcao descentrada e parametros de afinidade. Alem destasdistorcoes pode-se tambem incluir deformacoes relacionadas a planurado sensor (out-of plane distortion) e outras no plano imagem (in planedistortion).

Nas secoes seguintes serao apresentados alguns dos modelos mate-maticos usuais para a solucao deste problema. E relevante destacar quea modelagem destes efeitos pode ser tanto baseada em modelos fısicos,quanto em modelos nos quais os parametros nao necessariamente apre-sentam um significado fısico.

Alem destes modelos, varios outros podem ser considerados, taiscomo modelos baseados em polinomios ortogonais, como apresentadospor El-Hakim e Faig [16], Ebner [15] e Brown [8], dentre outros. Maisdetalhes sobre alguns destes modelos podem ser vistos em Santos e Dal-molin [46] e Ruy et al [45].


1.3.1 Distorcao Radial Simetrica

A distorcao radial simetrica pode ser considerada, conforme descrito porAndrade e Olivas [3], como sendo a refracao sofrida por um raio de luzincidente ao atravessar o sistema optico. A Figura 1.10 mostra, de formaesquematica, o deslocamento δ(r) provocado pela modificacao do anguloα por um valor δα.

Figura 1.10: Distorcao radial simetrica. Fonte: Andrade e Olivas [3].

A modelagem deste efeito foi proposta por A. E. Conrady em 1919,sendo feita por um polinomio impar dado por:

δr = K1r3 + K2r

5 + K3r7 + ..., (1.13)

nos quais K1, K2 e K3 sao os coeficientes deste polinomio e r e a distanciade um ponto imagem (x′, y′), no sistema com origem no centro da matrizde sensores ao ponto principal, ou seja, r =

√

(x′ − x0)2 + (y′ − y0)2.

A Equacao 1.13 permite o calculo do valor de δr para cada valor der. No entanto, na pratica e necessario calcular a influencia para cadauma das componentes, como ilustrado na Figura 1.11.

Considerando a funcao δr e a semelhanca de alguns triangulos pre-sentes na Figura 1.11 pode-se mostrar que as correcoes nas componentesx e y podem ser obtidas por:

δrx = (x′ − x0)(K1r

2 + K2r4 + K3r

6 + · · ·)

δry = (x′ − x0)(K1r

2 + K2r4 + K3r

6 + · · ·) (1.14)


Figura 1.11: Decomposicao da distorcao radial simetrica em x e y.

A Figura 1.12 mostra os efeitos desta distorcao no plano imagem,para duas camaras diferentes.

(a) Distorcao na forma de barril(barrel distortion).

(b) Distorcao na forma de almo-fada (pincushion distortion).

Figura 1.12: Distorcao radial simetrica.

Ao observar a Figura 1.12 pode-se notar em (a) que, a medida que r

aumenta, os pontos sofrem um deslocamento no sentido do ponto prin-cipal, ou seja, os valores de δr (Equacao 1.13) sao negativos. Em (b) ospontos se afastam do ponto principal a medida que r aumenta.

O modelo apresentado e o mais usado e alguns modelos variantespodem ser considerados, como por exemplo:


δxr = (x′ − x0)[K1

(r2 − r2

0

)+ K2

(r4 − r4

0

)+ K3

(r6 − r6

0

)]

δyr = (y′ − y0)[K1

(r2 − r2

0

)+ K2

(r4 − r4

0

)+ K3

(r6 − r6

0

)] (1.15)

Neste modelo, a unica diferenca em relacao ao anterior se refere ao termor0, que corresponde a um valor arbitrario de r para o qual as compo-nentes (δxr, δyr) simultaneamente se anulam. Deste modo, a partir dadefinicao de um valor adequado para r0, a curva de distorcao pode serbalanceada, como ilustrado na Figura 1.13.

(a) Curva de distorcao e superfıcie de distorcao para r0=0 mm.

(b) Curva de distorcao e superfıcie de distorcao para r0=15 mm.

Figura 1.13: Curvas de distorcao radial simetrica para o modelo dadopela Equacao 1.15 e respectivas superfıcies de distorcao.. Fonte: [22].

A partir destes graficos pode-se notar que as curvas de distorcao seanulam para r = 0 mm (em a e b) e em r = 15 mm (em b), que saojustamente os valores arbitrados para r0. Nas superfıcies mostradas adireita podem ser vistas as magnitudes das distorcoes, para estes doiscasos. E relevante ressaltar que a mudanca no valor de r0 nao elimina adistorcao, mas apenas redistribui e diminui a separacao entre as distor-coes mınima e maxima, provocando, em contrapartida, uma mudanca


no valor da distancia focal. Mais detalhes sobre o modelo dado pelaEquacao 1.15 podem ser obtidos em ILMB [33] e Galo et al [22].

Para detalhes adicionais sobre a modelagem da distorcao radial si-metrica as seguintes referencias sao sugeridas: Andrade e Olivas [3] eAndrade [2].

1.3.2 Distorcao Descentrada

Os sistemas opticos das camaras de melhor qualidade sao formados porum conjunto de lentes, como mostra o exemplo da Figura 1.14. Em fun-cao do numero de lentes que compoe o sistema, o alinhamento perfeitodos eixos opticos das lentes individuais, ou seja, dos centros de curvatu-ras de todas as lentes do sistema, de modo que eles sejam rigorosamentecolineares, e muito difıcil de ser realizado na pratica.

Figura 1.14: Exemplo de um sistema optico composto por 8 lentes. Estesistema, Zeiss Biogon T 4.5/38 CF, e usado em uma das camaras Has-selblad. Fonte: www.zeiss.de.

Deste modo, devido a dificuldade no alinhamento dos centros decurvatura das diversas lentes pode-se ter uma distorcao, denominadadescentrada. Pode-se tambem admitir que devido ao uso da camara, emsituacoes adversas, se tenha o deslocamento de uma ou mais lentes dosistema, provocando tambem esta distorcao.

A distorcao descentrada pode ser modelada pelas seguintes equacoes:

δxd =[P1

(r2 + 2(x′ − x0)

2)

+ 2P2(x′ − x0)(y

′ − y0)] (

1 + P3r2 + · · ·

)

δyd =[2P1(x

′ − x0)(y′ − y0) + P2

(r2 + 2(y′ − y0)

2)] (

1 + P3r2 + · · ·

)

(1.16)nas quais P1, P2 e P3 sao os coeficientes que podem ser estimados paradiferentes camaras. De acordo com Fryer e Brown [20] o termo P3 e


raramente significante e por esta razao o modelo frequentemente usadose reduz a:

δxd = P1

(r2 + 2(x′ − x0)

2)

+ 2P2(x′ − x0)(y

′ − y0)

δyd = 2P1(x′ − x0)(y

′ − y0) + P2

(r2 + 2(y′ − y0)

2) (1.17)

Este modelo e conhecido por modelo de Conrady-Brown, uma vez quefoi proposto por A. E. Conrady em 1919 e posteriormente modificadopor D. C. Brown em 1966. Na Figura 1.15 pode-se ver o comportamentodesta distorcao para uma camara digital.

Figura 1.15: Vetores mostrando o comportamento da distorcao descen-trada para uma camara digital.

Por esta figura e possıvel notar que esta distorcao nao possui sime-tria, como na distorcao radial simetrica. A distorcao descentrada narealidade pode ser considerada como composta pelas componentes tan-gencial e radial assimetrica. Para detalhes adicionais sobre a distorcaodescentrada sugere-se: Livingston [36], Andrade e Olivas [3], Fryer eBrown [20] e Andrade [2].

1.3.3 Modelo de Afinidade

Outro modelo usado em Fotogrametria e o modelo de afinidade, quepermite modelar a nao ortogonalidade dos eixos do sistema de referenciae diferenciais de escala entre os eixos. Este modelo nao esta ligado aosistema de lentes da camara, ao contrario dos anteriores. O modelo


originalmente proposto por Moniwa [41] foi desenvolvido para aplicacoesa curta distancia e e dado pela seguinte equacao:

δxa = A(y′ − y0)

δya = B(y′ − y0)(1.18)

em que A e B sao parametros que podem ser relacionados com o angulode nao ortogonalidade (β) e com um diferencial de escala em y (dy) porA = dy.senβ e B = dy.cos(β)−1 (ver [41, 42]).

Este modelo foi modificado de modo a incorporar o diferencial deescala em x, ao inves do diferencial de escala em y, para o caso deuso com imagens adquiridas com camara digital, como pode-se ver emTommaselli e Tozzi [50]. Deste modo, o modelo passa a ser escrito por:

δxa = A(x′ − x0)

δya = B(x′ − x0)(1.19)

Os modelos descritos sao usados em alguns aplicativos, mas outrasversoes sao utilizadas com o mesmo proposito, como por exemplo:

δxa = −A1(x′ − x0) + A2(y

′ − y0)

δya = −A1(y′ − y0)

(1.20)

que e utilizado por Habib e Morgan [28, 29], e como pode ser visto emILMB [33], por exemplo.

Outro modelo, que tambem e utilizado, considera as distorcoes noplano, sendo por isso denominado in-plane distortion. Este modelo eescrito por:

δxf = b1(x′ − x0) + b2(y

′ − y0)

δyf = 0(1.21)

De acordo com Fraser [18] e Dorstel, Jacobsen e Stallmann [14] o para-metro b1 e um parametro de escala, que incorpora eventuais diferencas deescala nas direcoes x e y e o parametro b2 compensa a nao ortogonalidadeda matriz de sensores, ou entre os eixos x e y.


1.3.4 Modelos Baseados em Polinomios

Os modelos apresentados nas secoes anteriores, relativos a modelagemdas distorcoes do sistema optico, sao, em sua maioria, baseados em equa-coes nas quais os parametros possuem um significado fısico.

Outros modelos foram propostos, com o mesmo objetivo, mas saobaseados em modelos matematicos nos quais nem todos os parametrospossuem significado fısico. Um destes modelos e o proposto por Brown,como pode-se ver em Moniwa [42]:

δx = a1x + a2y + a3x2 + a4xy + a5y

2 + a6x2y + a7xy2

+xc

[c1x

2 + c2xy + c3y2 + c4x

3 + c5x2y + c6xy2 + c7y

3]

δy = b1x + b2y + b3x2 + b4xy + b5y

2 + b6x2y + b7xy2

+xc

[c1x

2 + c2xy + c3y2 + c4x

3 + c5x2y + c6xy2 + c7y

3]

(1.22)

em que ai, bi, ci, com i∈{1, ...,7} sao os 21 coeficientes dos polinomiose c e a constante da camara (distancia focal calibrada).

Em funcao do grande numero de parametros, um problema nestetipo de abordagem e a possibilidade de ocorrencia de elevadas correla-coes entre estes parametros. Como alternativas, outros modelos foramsugeridos, como os modelos de Ebner [15], Kolbt, Bauer e Muller, Ja-cobsen, dentre outros. O modelo de Ebner [15], por exemplo, considerafuncoes ortogonais. Alem desse, tem-se tambem os modelos ortogonaisbaseados no desenvolvimento de harmonicos esfericos, como pode-se verem El-Hakim e Faig [16].

Para detalhes relativos aos modelos apresentados, bem como paraoutros modelos, as seguintes referencias sao sugeridas: Moniwa [42], El-Hakim e Faig [16], Santos e Dalmolin [46] e Ruy et al [45].

1.4 Estimativa dos Parametros e Modelo Esto-

castico

Como foi visto anteriormente, os parametros dos modelos matematicosque permitem a correcao dos erros sistematicos devem ser estimados.Deste modo, deve-se adquirir as imagens, selecionar os pontos ou feicoes

Estimativa dos Parametros e Modelo Estocastico 27

a serem utilizadas, medı-los (ou medı-las) e posteriormente escrever umsistema de equacoes que deve ser resolvido de modo que os parametrospossam ser estimados e posteriormente usados, no caso do uso de outrasimagens com a mesma camara. Em todo esse processo existe uma etapade estimativa da solucao de um sistema de equacoes, normalmente su-perabundante, que resulta nos valores numericos dos POI, bem como suamatriz de covariancia, que indica a qualidade dos parametros estimados.

Independente da estimativa de parametros ser realizada a partir deum sistema de equacoes lineares, ou nao lineares, quando se tem umconjunto superabundante de observacoes e necessario adotar um criteriopara obter uma solucao unica e representativa do(s) parametro(s) queestao sendo estimados. Considerando um conjunto de equacoes e umvetor V no qual cada elemento representa o resıduo de uma observacao,o criterio da soma mınima dos quadrados dos resıduos, proposto porGauss e Legendre, pode ser escrito como:

‖V ‖2 → min (1.23)

Este criterio norteia o desenvolvimento do Metodo dos QuadradosMınimos (MQM) ou Metodo dos Mınimos Quadrados (MMQ), introdu-zido ha aproximadamente dois seculos por C. F. Gauss e A. M. Legendre,como pode-se ver em Gemael [25] e Mikhail [38].

Admitindo que as observacoes tenham sido obtidas com diferentesprecisoes, pode-se fazer uma ponderacao na Equacao 1.23, associandoum peso a cada um dos elementos do vetor V . Designando a varianciada unidade de peso a priori por σ2

0 e a matriz variancia-covariancia(MVC) das observacoes por ΣLb, a matriz dos pesos pode ser calculadapor:

P = σ20

−1∑

Lb

(1.24)

Deste modo, o criterio dos quadrados mınimos pode ser rescrito como:

V tPV → min (1.25)

Segundo Gemael [25], sao basicamente tres os metodos de solucao doMMQ: o metodo parametrico (ou das observacoes indiretas), o metodo


dos correlatos (ou das equacoes de condicao) e o metodo combinado. Nometodo parametrico as observacoes podem ser escritas em funcao dosparametros, na forma explıcita. No metodo dos correlatos as observacoessao relacionadas funcionalmente, e no metodo combinado as observacoese os parametros sao relacionados por um modelo implıcito. Na sequenciae feito o desenvolvimento do Metodo Parametrico, mostrando como podeser obtido o vetor das correcoes aos parametros, a partir do criterio daminimizacao dos quadrados dos resıduos.

Considerando a notacao utilizada por Gemael [25] no Metodo Parame-trico, ou Metodo dos Parametros ou das Observacoes Indiretas, o modelofuncional basico pode ser escrito da seguinte forma:

La = F (Xa), (1.26)

no qual La e o vetor das observacoes ajustadas e Xa e o vetor dosparametros ajustados.

Fazendo,

La = Lb + V, (1.27)

sendo Lb o vetor das observacoes, e escrevendo o vetor dos parame-tros ajustados como sendo composto pela soma do vetor dos parametrosaproximados (X0) com o vetor das correcoes aos parametros (X), ouseja:

Xa = X0 + X, (1.28)

pode-se reescrever a Equacao 1.26 da seguinte forma

Lb + V = F (X0 + X) (1.29)

Caso a funcao ou conjunto de funcoes F nao seja(m) linear(es), pode-se expandir o termo F (X0 + X) por serie de Taylor em torno do pontode expansao da serie em X0 . Desprezando os termos de ordem ≥ 2tem-se:

Lb + V ∼= F (X0) +∂F

∂Xa

∣∣∣∣Xa=X0

X (1.30)


A partir desta equacao, fazendo A = ∂F/∂Xa|Xa=X0e isolando o vetor

V , tem-se o modelo linearizado do metodo dos parametros, ou seja:

V ∼= F (X0) + AX − Lb = AX + L, (1.31)

com L = L0 − Lb, sendo L0 = F (X0).

Considerando o valor de V dado pela Equacao 1.31 pode-se escrever afuncao φ(X) = V tPV e aplicar uma condicao que garanta o atendimentodo criterio estabelecido pela Equacao 1.25, ou dos Quadrados Mınimos.Para tanto, os pontos crıticos da funcao φ(X) podem ser obtidos fazendo-se ∂φ

∂X = 0, ou seja:

∂φ

∂X=

∂(V tPV )

∂X=

∂((AX + L)tP (AX + L))

∂X= 0 (1.32)

Desenvolvendo as derivadas parciais acima e igualando a zero chega-se a uma equacao na qual se tem apenas uma incognita (X), sendo asolucao dada por:

∂φ

∂X= 2AtPAX + 2AtPL = 0 ⇒ X = −(AtPA)−1AtPL (1.33)

A partir do resultado acima tem-se o valor das correcoes aos pa-rametros aproximados X0. No desenvolvimento em serie de Taylor, ostermos de ordem maior ou igual a 2 foram desprezados. Portanto, enecessario um processo iterativo no qual o vetor dos parametros aproxi-mados e atualizado a cada iteracao, ate que as correcoes se aproximemde zero, ou de um limiar (ǫ) preestabelecido. No momento em que todasas correcoes forem menores que este limiar a solucao e encontrada. Destemodo, a cada iteracao o vetor dos parametros ajustados e recalculado econsiderando uma iteracao generica i (com i≥1) pode-se escrever:

Xai= Xai−1

− N−1i−1Ui−1, (1.34)

sendo Xa0 = X0, N = AtPA e U = AtPL.

Uma vez obtido o vetor solucao (Xa), a MVC dos parametros ajus-tados ΣXa pode ser calculada por:


∑

Xa

=⌢σ

2

0 N−1, (1.35)

em que⌢σ

2

0 e a variancia da unidade de peso a posteriori, que pode sercalculada em funcao dos resıduos, da matriz peso, e do numero de grausde liberdade por:

⌢σ

2

0=V tPV

no − np, (1.36)

sendo no o numero de observacoes e np o numero de parametros.A Figura 1.16 apresenta, na forma de um fluxograma, o algoritmo

do MMQ, sendo mostradas as etapas de todo o procedimento, desde aleitura das observacoes, ate o calculo da Matriz Variancia-Covariancia -MVC dos parametros ajustados.

Figura 1.16: Fluxograma mostrando as principais fases do MMQ peloMetodo Parametrico. Fonte: [21].

No desenvolvimento apresentado nao foram consideradas restricoesou injuncoes. Para tanto, pode-se considerar relacoes adicionais envol-


vendo parametros e que estas relacoes possam ser representadas por umafuncao analoga a Equacao 1.26, sendo expressas aqui com o sobrescritoI, de injuncao, ou seja:

LIa = F I(Xa) (1.37)

Por analogia ao MMQ sem injuncoes ter-se-a os elementos LI , VI ,PI , NI e UI . Admitindo-se que nao haja correlacao entre as observacoesL e LI , o sistema formado pelas equacoes

{

La = F (Xa)

LIa = F I(Xa)

,

tera a seguinte solucao:

X = −(AtPA + AItP IAI)−1(AtPL + AItP ILI) =

− (N + N I)−1(U + U I)(1.38)

sendo a matriz variancia-covariancia dos parametros ajustados dada por

∑

Xa

=⌢σ

2

0 (N + N I)−1, (1.39)

e a variancia da unidade de peso a posteriori igual a

⌢σ

2

0=V tPV + V ItP IV I

no + nI − np, (1.40)

como pode ser visto em Lugnani [37] e Gemael [25].

Deste modo, uma vez escolhido o modelo matematico que sera uti-lizado na solucao do problema tratado, Calibracao de Camaras no pre-sente caso, o ajustamento pelo MMQ podera ser realizado e possibilitarao calculo dos parametros de interesse.

1.4.1 Modelo Estocastico

Na subsecao anterior foi apresentado o princıpio do Metodo dos Mıni-mos Quadrados, sendo considerada a solucao pelo Metodo Parametrico,


em que o modelo funcional e do tipo La = F (Xa). Ao observar a Equa-cao 1.24, ou seja, P = σ2

0

∑−1Lb pode-se notar que a matriz P e funcao

da variancia da unidade de peso a priori (σ20) bem como da matriz

variancia-covariancia (MVC) das observacoes, representada por ΣLb. Amatriz MVC das observacoes possui a dimensao noxno onde no e o nu-mero de observacoes. Esta matriz deve conter na diagonal principal avariancia de cada uma das observacoes e os elementos ij (com i6=j, ouseja, fora da diagonal) a covariancia das observacoes ij.

A matriz MVC das observacoes contem informacoes sobre as pro-priedades estatısticas das observacoes, ou seja, ela representa o ModeloEstocastico das observacoes, que e importante no processo, uma vez quea MVC das observacoes e usada para estimar a matriz peso P , e este,por consequencia, afeta as correcoes aos parametros, bem como a MVCdos parametros estimados.

Em termos praticos o modelo estocastico pode ser simplificado, de-pendendo das informacoes disponıveis relacionadas as observacoes. Aofazer a repeticao de uma mesma medida pode-se estimar o seu desviopadrao e consequentemente a variancia. A determinacao da covarianciaentre diferentes observacoes nao e imediata, mas pode ser feita. O queocorre muitas vezes em aplicacoes reais e a simplificacao do modelo es-tocastico, ao considerar as covariancias nulas, por exemplo. Alem disso,para simplificar ainda mais a solucao algumas vezes adota-se o mesmopeso para diferentes observacoes, embora nao seja possıvel garantir queelas sejam iguais, devido a diferentes fatores. Deste modo, e importanteconsiderar que ao simplificar o modelo estocastico deve-se ter a consci-encia de que tanto os parametros estimados quando a MVC podem serafetados.

Outro aspecto importante se refere ao vetor dos parametros, queno caso da Calibracao de Camaras depende dos modelos matematicosutilizados para a correcao dos erros sistematicos (descritos na Secao 1.3).Para detalhes adicionais sobre ajustamento de observacoes as seguintesreferencias sao sugeridas: Lugnani [37], Mikhail [38] e Gemael [25].

Metodos de Calibracao 33

1.5 Metodos de Calibracao

Como visto na Secao 1.1.2, sao diversos os metodos de solucao da calibra-cao de camaras. Foram apresentados os princıpios gerais de alguns dessesmetodos e nas secoes seguintes alguns deles serao detalhados. Para in-formacoes adicionais das diferentes solucoes, bem com para exemplos deaplicacoes, sao indicadas referencias em cada subsecao.

1.5.1 Calibracao Usando Equacoes de Colinearidade com

Parametros Adicionais

Na Equacao 1.12, que representa o modelo de colinearidade, ou equacoesde colinearidade, aparece apenas a correcao da posicao do ponto princi-pal. Considerando os dois primeiros termos da Equacao 1.5, compostopor (x, y), pode-se escrever estas coordenadas, na forma matricial por:

[x

y

]

=

[x′

y′

]

−

[x0

y0

]

−

[∆x

∆y

]

(1.41)

O vetor composto pelas componentes (∆x,∆y) nao aparece na Equa-cao 1.5 e pode incorporar as funcoes capazes de modelar as distorcoes emx e y respectivamente. Em funcao disso o vetor composto por (∆x,∆y)recebe a denominacao modelo de erros.

Para o caso de camaras metricas analogicas o modelo de erros e com-posto pela distorcao radial simetrica e distorcao descentrada, como sepode ver em Andrade e Olivas [3] e Mitishita e Olivas [40], por exemplo.Neste caso o modelo de erros se resume a:

[∆x

∆y

]

=

[δxr

δyr

]

+

[δxd

δyd

]

, (1.42)

que incorpora as Equacoes 1.14 e 1.17.Em algumas aplicacoes em que sao usadas camaras digitais, os se-

guintes modelos sao utilizados:

[∆x

∆y

]

=

[δxr

δyr

]

+

[δxd

δyd

]

+

[δxa

δya

]

, (1.43)

[∆x

∆y

]

=

[δxr

δyr

]

+

[δxd

δyd

]

+

[δxf

δyf

]

. (1.44)


No caso de uso da Equacao 1.43, algumas vezes sao considerados osmodelos dados pelas Equacoes 1.14, 1.17 e 1.19 e em outras as Equa-coes 1.20 ao inves da 1.19. Na solucao usada para a calibracao da camaraDMC (Digital Mapping Camera) da Z/I Imaging, por exemplo, o modelobaseado na Equacao 1.44, que incorpora as Equacoes 1.14, 1.17 e 1.21,e utilizado.

As equacoes de colinearidade, escritas fazendo a incorporacao destascorrecoes, podem ser expressas por:

x′ = x0 + ∆x − fNX

NZ= x0 + ∆x−

− fm11(X − Xcp) + m12(Y − Ycp) + m13(Z − Zcp)

m31(X − Xcp) + m32(Y − Ycp) + m33(Z − Zcp)

y′ = y0 + ∆y − fNY

NZ= y0 + ∆y−

− fm21(X − Xcp) + m22(Y − Ycp) + m23(Z − Zcp)

m31(X − Xcp) + m32(Y − Ycp) + m33(Z − Zcp)

(1.45)

Uma vez definido o modelo de erro, o proximo passo e fazer a coletade dados, a medicao dos pontos bem como fazer a solucao pelo Metododos Mınimos Quadrados.

Na Secao 1.4 foi apresentado o criterio dos mınimos quadrados e asolucao pelo MMQ, com base no modelo funcional La = F (Xa). Con-siderando o vetor das observacoes, composto pela coordenadas medidasna imagem e os parametros de OI (f, x0, y0, K1, K2, K3, P1, P2), bemcomo os parametros de orientacao exterior (OE) das imagens como in-cognitas, alem dos pontos no espaco objeto, os vetores La e Xa serao,respectivamente:

Lb = [ x11 y11 x21 y21 · · ·︸︷︷︸

Foto 1

· · · xkj ykj · · · · · · · · ·︸︷︷︸

Foto j

]T (1.46)


Xa =[

f x0 y0 K1 K2 K3 P1 P2

κ1 ϕ1 ω1 Xcp1 Y cp1 Zcp1 · · ·· · · κj ϕj ωj Xcpj Y cpj Zcpj

X1 Y1 Z1 · · · Xn Yn Zn

]T

(1.47)

Deste modo, a solucao pelo MMQ podera ser obtida. Considerandoos vetores acima e resgatando as Equacoes 1.34, pode-se ver que deveraoser montadas as matrizes A, P e L. A matriz A sera composta pelas de-rivadas parciais das Equacoes 1.45, em relacao aos parametros presentesna Equacao 1.47. A matriz P sera composta pelos pesos das observacoese o vetor L sera calculado por L = F (X0) − Lb, no qual X0 e o vetordos parametros aproximados e Lb o vetor das observacoes.

Alem da solucao brevemente discutida, usando o modelo funcionalLa = F (Xa), pode-se tambem considerar o modelo funcional:

F (La, Xa) = 0, (1.48)

que e conhecido como modelo combinado.

Este modelo e utilizado quando as observacoes nao puderem ser es-critas como um modelo explıcito dos parametros, como ocorre no modeloLa = F (Xa). Em trabalhos vistos na literatura podem ser vistas as duassolucoes para o problema da calibracao. Ao observar as Equacoes 1.45pode-se notar que as coordenadas medidas no sistema com origem nocentro do quadro (x′, y′) sao escritas como funcao dos demais parame-tros, indicando que o modelo parametrico pode ser utilizado. Deve-se observar que, admitindo-se (x′, y′) como observacoes, estas variaveistambem aparecem no modelo de erro (∆x,∆y). Deste modo, algumasconsideracoes sobre o modelo estocastico devem ser feitas para a solucaopelo metodo parametrico.

Outra possibilidade e a solucao pelo modelo dado pela Equacao 1.48.Usando as mesmas notacoes usadas na Equacao 1.45 pode-se escrever:

x′ − x0 − ∆x + fNX

NZ= 0

y′ − y0 − ∆y + fNY

NZ= 0

(1.49)


Considerando o modelo matematico dado pela Equacao 1.49, o vetorLb podera ser escrito por:

Lb = [ x11 y11 x21 y21 · · ·︸︷︷︸

Foto 1

x21 y21 · · ·︸︷︷︸

Foto 2

· · · · · ·︸︷︷︸

Foto j

X1 Y1 Z1 · · · Xn Yn Zn︸︷︷︸

Pontos do espaco objeto

]T(1.50)

e o vetor dos parametros pela Equacao 1.47. A partir destas conside-racoes a solucao pode ser formulada. Para maiores detalhes sobre ometodo combinado sugere-se Gemael [25], Andrade [2] e Mikhail [38].

1.5.2 Transformacao Linear Direta - DLT

A Transformacao Linear Direta (DLT) foi desenvolvida em 1971, naUniversidade de Illinois por Abdel-Aziz e Karara [1], com o objetivo depermitir o uso de camaras de amador (nao-metricas) para aplicacoes acurta distancia. O conceito basico da DLT e a realizacao da transfor-macao direta de coordenadas de maquina para coordenadas no espacoobjeto, eliminando passos intermediarios.

O modelo matematico e obtido agrupando-se parametros a partir domodelo de colinearidade. O modelo final e linear e nao exige iteracoespara o calculo dos parametros. Apos modificacoes posteriores a DLTincorporou o parametro K1.

Partindo-se das Equacoes de colinearidade 1.49 (ou 1.45), multipli-cando os termos dos numeradores de ambas as equacoes por −f , e iso-lando os termos que dependem das coordenadas X, Y, Z, chega-se a:

x + ∆x =−fm11X−fm12Y −fm13Z+(fm11Xcp+fm12Ycp+fm13Zcp)

m31X+m32Y +m33Z−(m31Xcp+m32Ycp+m33Zcp)

y + ∆y =−fm21X−fm22Y −fm23Z+(fm21Xcp+fm22Ycp+fm23Zcp)

m31X+m32Y +m33Z−(m31Xcp+m32Ycp+m33Zcp)

, (1.51)

nas quais (x, y) sao as coordenadas no sistema fotogrametrico, isto e,reduzidas ao ponto principal e ∆x, ∆y sao os componentes do modelode erros, que incorpora os efeitos sistematicos.


Fazendo L−1 = −(m31Xcp + m32Ycp + m33Zcp) e multiplicando ostermos, tanto do numerador quanto do denominador por L, de modoque a igualdade seja mantida, chega-se a:

x + ∆x =−fm11LX−fm12LY −fm13LZ+Lf(m11Xcp+m12Ycp+m13Zcp)

m31LX+m32LY +m33LZ+1

y + ∆y =−fm21LX−fm22LY −fm23LZ+Lf(m21Xcp+m22Ycp+m23Zcp)

m31LX+m32LY +m33LZ+1

(1.52)

Pode-se, entao, definir novos parametros a partir do agrupamentodos parametros originais, da seguinte forma:

L1 = −fm11L

L2 = −fm12L

L3 = −fm13L

L4 = Lf (m11Xcp + m12Ycp + m13Zcp)L5 = −fm21L

L6 = −fm22L

L7 = −fm23L

L8 = L (m21Xcp + m22Ycp + m23Zcp)L9 = m31L

L10 = m32L

L11 = m33L

(1.53)

Reescrevendo as equacoes anteriores e incorporando os elementosL1, ...L11 e os termos ∆x e ∆y, correspondentes aos erros sistematicos,tem-se o modelo da DLT:

x + ∆x =L1X + L2Y + L3Z + L4

L9X + L10Y + L11Z + 1

y + ∆y =L5X + L6Y + L7Z + L8

L9X + L10Y + L11Z + 1

(1.54)

Assumindo um modelo de erros sistematicos simplificado, com des-locamento do ponto principal nulo e apenas o coeficiente K1 para asdistorcoes das lentes tem-se:

∆x = xK1r2

∆y = yK1r2 . (1.55)


Introduzindo as Equacoes 1.55 nas 1.54 chega-se a:

L1X + L2Y + L3Z + L4 = L9xX + L10xY + L11xZ + x + xK1r2A

L5X + L6Y + L7Z + L8 = L9yX + L10yY + L11yZ + y + yK1r2A

A = L9X + L10Y + L11Z + 1(1.56)

Utilizando-se as Equacoes 1.56 e admitindo que n pontos possuam co-ordenadas no espaco objeto bem como suas homologas no espaco imagemconhecidas, pode-se montar um sistema de 2n equacoes a 12 incognitas:

x1

y1...

xn

yn

= 2nB12

L1

L2...

L10

L11

K1A

=[

2nB18 2nB24

]

L1

L2...

L10

L11

K1A

(1.57)

sendo B uma matriz que pode ser montada a partir de B1 e B2 por4:

2nB18 =

X1 Y1 Z1 1 0 0 0 00 0 0 0 X1 Y1 Z1 1...

......

......

......

...Xn Yn Zn 1 0 0 0 00 0 0 0 Xn Yn Zn 1

2nB24 =

−x1X1 −x1Y1 −x1Z1 −x1r21

−y1X1 −y1Y1 −y1X1 −y1r21

......

......

−xnXn −xnYn −xnZn −xnr2n

−ynXn −ynYn −ynZn −ynr2n

Pode-se associar um vetor dos resıduos as coordenadas imagem me-didas e estimar os parametros pelo Metodo dos Mınimos Quadrados,

4 A matriz B da Equacao 1.57 pode ser montada diretamente e a divisao nos blocosB1 e B2 foi feita apenas para adequacao de espaco neste texto.


desde que haja um conjunto de, no mınimo, 7 pontos de controle. Comoo modelo e linear, nao ha necessidade de parametros aproximados nemde um processo iterativo.

Uma recomendacao importante e a de que os pontos de controlenao devam estar em um mesmo plano, ou entao de que a camara sejacolocada em uma posicao oblıqua, em relacao ao espaco objeto, paraeliminar as correlacoes entre os parametros.

Uma das restricoes a este metodo e a de que os parametros gera-dos nao tem significado fısico, pois sao resultado de agrupamento deparametros originais.

Este metodo e muito parecido ao descrito em Gonzalez e Wintz [26],utilizando transformacoes homogeneas. A diferenca basica e que Kararae Abdel-Aziz, ao deduzir o modelo da DLT, partiram do modelo de coli-nearidade original procurando agrupar parametros. E possıvel, a partirdos parametros L calcular alguns dos parametros originais, que possuemsignificado fısico, como o ponto principal e os fatores de escala.

Supondo que duas imagens tenham sido tomadas com uma super-posicao adequada e que os 12 parametros da DLT para cada imagemtenham sido estimados a partir de pontos de controle, pode-se utilizaras Equacoes 1.56 para calcular as coordenadas (X, Y, Z) de pontos me-didos em ambas as imagens, montando-se um sistema de 4 equacoes a 3incognitas (X, Y, Z).

1.5.3 Plumb Line Method - Metodo do Fio de Prumo

Assim como os pontos de controle, linhas retas tambem podem ser uti-lizadas para realizar a calibracao de camaras. Segundo alguns autores,uma das vantagens da utilizacao de retas e que, em geral, na imagem,tanto a deteccao automatica, quanto a visualizacao destas entidades emais simples quando comparadas a pontos de controle. Existem metodosque usam retas para relacionar o espaco objeto com o espaco imagem eoutros que utilizam apenas a imagem destas feicoes para a determinacaode alguns parametros de orientacao interior.

Um dos primeiros metodos de calibracao que utiliza entidades do tipolinhas foi o metodo plumb-line (metodo do fio de prumo), desenvolvidopor Brown [8]. Este metodo e assim denominado, pois sao utilizadosvarios fios de prumo como fonte de informacao de controle, o que per-


mite o calculo dos parametros de distorcao das lentes (distorcao radialsimetrica e descentrada). Este metodo parte do princıpio que, em umaprojecao perspectiva, nao havendo distorcoes, a imagem de uma linhareta do espaco objeto sera tambem uma linha reta na imagem. Assim,os desvios da colinearidade dos pontos da linha na imagem sao atribuı-dos as distorcoes radial simetrica e descentrada. Neste metodo nao haa necessidade de correspondencia com o espaco objeto, isto e, nao ha anecessidade que as retas sejam conhecidas no espaco objeto, bem comoa posicao da camara no instante da tomada das fotos.

O modelo matematico usado no metodo plumb-line e a equacao dareta no plano. Para o calculo dos parametros, devem ser observados va-rios pontos sobre a reta projetada na imagem. A vantagem desse metodoe que nao ha a necessidade do uso de equipamentos de laboratorio, oucampos de calibracao, sendo necessarias apenas linhas retas, muito co-muns em ambientes antropicos. Porem, este metodo nao pode ser usadopara recuperar os parametros de orientacao exterior, bem como a distan-cia principal. Alem disso, as coordenadas do ponto principal, nao saorecuperadas facilmente, e estas, quando mal determinadas, provocamerros significativos na estimacao das distorcoes das lentes.

Metodo de Prescott e McLean

Prescott e McLean [44] apresentaram um processo de otimizacao, se-melhante ao metodo plumb-line, para a obtencao dos parametros dedistorcao das lentes da camara usando linhas retas.

Admitindo que as curvaturas das retas na imagem sejam causadasapenas pela distorcao das lentes, os parametros das distorcoes radialsimetrica e descentrada podem ser calculados atraves de um processoiterativo usando um modelo de distorcao. Este processo pode ser reali-zado sem o conhecimento das coordenadas tridimensionais das retas noespaco objeto.

As Equacoes 1.58 apresentam as coordenadas imagem, com o efeitodas distorcoes radial simetrica e descentrada:


x = x′ + x(K1r2 + K2r

4 + ··) +[P1(r

2 + 2x2) + 2P2xy] [

1 + P3r2 + ··

]

y = y′ + y(K1r2 + K2r

4 + ··) +[P2(r

2 + 2y2) + 2P1xy] [

1 + P3r2 + ··

] ,

(1.58)

nas quais:

(x, y) sao as coordenadas dos pontos pertencentes a reta, corrigidasdas distorcoes;

x = (x′ − x0)

y = (y′ − y0),

(x′, y′) sao as coordenadas dos pontos com o efeito das distorcoes.

Considerando a reta escrita na forma parametrica (ρ = x cos θ + ysenθ),os parametros θ e ρ podem ser determinados em conjunto com as dis-torcoes.

Prescott e McLean [44] propuseram um metodo de otimizacao noqual minimiza-se a somatoria dos quadrados das distancias entre cadaponto da linha e sua reta correspondente, ou seja,

F =M∑

m=1

Nm∑

k=1

(xk cos θm + yksenθm − ρm)2, (1.59)

na qual:

ρ e a menor distancia entre o ponto principal e a linha reta;

θ e o angulo entre ρ e o eixo horizontal;

M e o numero de linhas;

Nm e o numero de pontos na linha m.

1.5.4 Metodo de Tsai

O metodo de Tsai [51], baseia-se na condicao geometrica de alinhamentoentre as coordenadas imagem (ideais), coordenadas sob o efeito da dis-torcao radial e o ponto principal. Esta condicao geometrica nao e nova,pois o proprio modelo da distorcao considera a propriedade de deslo-camento radial da imagem. Para evitar o problema de otimizacao nao


linear (MMQ) do metodo de calibracao classico, Tsai usou esta condi-cao geometrica (Radial Alignment Constraint - RAC) para desacoplaros parametros de calibracao em dois grupos e, assim, obter a calibracaoem tempo real e com precisao comparavel aos metodos tradicionais. Ometodo de Tsai utiliza um conjunto de pontos coplanares e uma unicaimagem, podendo ser estendido para conjuntos nao coplanares e multi-plas imagens.

As transformacoes geometricas usadas por Tsai [51], adaptadas parapossibilitar o desenvolvimento do metodo em dois estagios, sao ligeira-mente diferentes das adotadas normalmente. A principal diferenca, e quesao realizadas em primeiro lugar as rotacoes, e, depois, as translacoesentre o referencial objeto e o referencial imagem. Com isto as translacoesobtidas estao no referencial rotacionado, paralelo ao referencial imagem.Alem disto, o eixo z do sistema fotogrametrico aponta do CP da camara,para o espaco objeto, passando pelo ponto principal. Deve-se destacarque a definicao do ponto principal pode diferir, em algumas situacoes.Por exemplo, o ponto principal, na concepcao de Tsai e a interseccaodo eixo optico com o plano imagem e no conceito apresentado na Se-cao 1.2.2 e a projecao ortogonal do CP no plano imagem. Para outrasdefinicoes de ponto principal sugere-se Fryer [19], Cooper e Robson [12]e Andrade [2].

As equacoes a serem desenvolvidas a seguir sofreram algumas adap-tacoes, de modo a seguir a estrutura dos metodos anteriores.

Distorcao das Lentes, Fator de Escala em x e Centro da Imagem

O metodo de Tsai utiliza um modelo de distorcao das lentes simplificado,que despreza a distorcao descentrada e considera apenas o parametro K1

para a distorcao radial simetrica (Equacoes 1.60).

Adotando a nomenclatura de Tsai [51], as coordenadas fotogrametri-cas serao obtidas a partir das coordenadas imagem“distorcidas” (xd, yd)por meio das expressoes:

x = xd + δxr = xd + K1r2xd

y = yd + δyr = yd + K1r2yd

, (1.60)

nas quais: r2 =(x2

d + y2d

). As coordenadas ”distorcidas” estao refe-


renciadas ao ponto principal da imagem, mas ainda sao afetadas peladistorcao.

Como ja foi discutido na Secao 1.2.1, o sistema de coordenadas ima-gem e baseado na posicao de um pixel na memoria, ou seja, as coordena-das sao expressas em pixels. A transformacao do sistema de coordenadasda imagem (c, l) para o sistema de coordenadas fotogrametricas envolve,no mınimo, duas translacoes, uma escala e uma reflexao de eixos. Aescala em y e dada pela distancia entre linhas adjacentes, enquanto quea escala em x e dada pela distancia entre colunas adjacentes. Se forconsiderada uma distancia fixa para y, a escala em x deve ser calibrada,para absorver pequenas diferencas entre as dimensoes de um pixel em x

e y.

Normalmente a origem do referencial da imagem e adotada no cantosuperior esquerdo da imagem. Mesmo que esta origem fosse estabelecidano centro geometrico da imagem nao haveria coincidencia com a origemdo referencial fotogrametrico (ponto principal), dada a dificuldade de es-tabelecer fisicamente este alinhamento. Os parametros de translacao cx

e cy modelam esta discrepancia entre as origens dos referenciais imageme fotogrametrico.

A transformacao de coordenadas fotogrametricas, apos o acrescimodo efeito da distorcao, para coordenadas imagem, pode ser feita atravesdas Expressoes 1.61:

c =sxxd

dx+ cx

l = −yd

dy+ cy

, (1.61)

nas quais:

c e l sao a coluna e linha do pixel correspondente ao ponto xd, yd;

cx e cy sao as coordenadas do ponto principal, no sistema de coor-denadas imagem;

dx e dy sao os fatores de escala nominais (distancia entre os pixelsna camara, ou tamanho do pixel), nas direcoes x e y, respectivamente; e

sx e o fator de escala horizontal.

O fator de escala vertical (dy) nao precisa ser calibrado, ao se consi-derar que existe uma correspondencia entre linhas na matriz de sensorese linhas na imagem. Como o espacamento real entre sensores adjacentes,


no plano focal da camara, e conhecido com precisao a partir das especi-ficacoes dos fabricantes, o fator de escala horizontal e o unico elementoa ser calibrado, para a transformacao de coordenadas da imagem paracoordenadas fotogrametricas (mais as coordenadas do ponto principal).Pode-se usar um unico valor para estes fatores (dx e dy) e usar umfator de escala em sx para absorver as pequenas diferencas de dimen-soes. Este fator pode ser descrito como parte do modelo de afinidadenas Equacoes 1.19, 1.20 e 1.21, por exemplo.

Nas camaras digitais atuais nao ha variacao no numero de pixels emcoluna, pois ha uma correspondencia entre o numero de sensores e onumero de pixels na imagem digitalizada.

Nas imagens digitalizadas de sinais analogicos de TV, ha uma incer-teza no valor do fator de escala horizontal, oriunda da diferenca entre onumero de sensores na camara e o numero de pixels digitalizados. Du-rante a aquisicao de imagens neste modo, os sinais discretos, captadospor cada linha da matriz de sensores, sao convertidos inicialmente paraum sinal analogico, que e, entao, amostrado pelo sistema de aquisicaode imagens em amostras discretas e colocados em uma linha da imagem.

Ainda segundo [51], o fator de escala sx e usado para parametrizardiferencas residuais na determinacao de dx e dy.

No primeiro estagio da calibracao, Tsai [51] considerou, inicialmente,que o ponto principal e coincidente com o centro geometrico da imagem.Deste modo, uma vez medidas as coordenadas de um ponto de controlena imagem, estas coordenadas sao transformadas para coordenadas fo-togrametricas “distorcidas”, pelas equacoes:

xd =(c − cx)dx

sx

yd = −(l − cy)dy

(1.62)

Na proxima secao, apresenta-se o desenvolvimento do modelo paracalculo da matriz de rotacao e das translacoes, tambem com pequenasadaptacoes para manter a compatibilidade com a notacao apresentadaao longo do texto.


Calibracao dos Parametros Extrınsecos e Intrınsecos

Considere inicialmente as Equacoes 1.51, isolando-se os termos depen-dentes da posicao do centro perspectivo da camara, e considerando anotacao usada em [51] para o modelo de distorcao:

xd + K1r2xd = −f

m11X+m12Y +m13Z−(m11Xcp+m12Ycp+m13Zcp)m31X+m32Y +m33Z−(m31Xcp+m32Ycp+m33Zcp)

yd + K1r2yd = −f

m21X+m22Y +m23Z−(m21Xcp+m22Ycp+m23Zcp)m31X+m32Y +m33Z−(m31Xcp+m32Ycp+m33Zcp)

(1.63)

Denominando:

Tx = − (m11Xcp + m12Ycp + m13Zcp)

Ty = − (m21Xcp + m22Ycp + m23Zcp)

Tz = − (m31Xcp + m32Ycp + m33Zcp) ,

estes elementos corresponderao as translacoes a serem aplicadas paracoincidir o referencial da imagem com o referencial do espaco objeto,mas no sistema de coordenadas do espaco imagem. As equacoes decolinearidade, apos inclusao destes termos, podem ser reescritas como:

xd + K1r2xd = −f

m11X + m12Y + m13Z + Tx

m31X + m32Y + m33Z + Tz

yd + K1r2yd = −f

m21X + m22Y + m23Z + Ty

m31X + m32Y + m33Z + Tz

(1.64)

Tsai, baseado na condicao de alinhamento radial, usou uma estrate-gia para eliminar o parametro de distorcao K1. Dividindo as Equacoesde colinearidade 1.64 obtem-se a equacao:

xd

yd=

m11X + m12Y + m13Z + Tx

m21X + m22Y + m23Z + Ty(1.65)

Escolhendo um conjunto de pontos de calibracao coplanares, pode-sefazer Z = 0, o que elimina os termos m13 e m23 nas Equacoes 1.65, quepodem ser reordenadas, levando a Equacao 1.66.


ydm11X + ydm12Y + ydTx − xdm21X − xdm22Y − xdTy = 0 (1.66)

As incognitas nesta equacao passam a ser:

[m11 m12 m21 m22 Tx Ty

]T

Tsai [51] tambem apresenta uma estrategia para reduzir as incognitaspara 5, dividindo-se a Equacao 1.66 por Ty, chegando a Equacao 1.67:

ydXm11

Ty+ ydY

m12

Ty+ yd

Tx

Ty− xdX

m21

Ty− xdY

m22

Ty− xd = 0 (1.67)

As 5 incognitas passam a ser:

[m11Ty−1 m12Ty−1 m21Ty−1 m22Ty−1 TxTy−1

]T

O MMQ pode ser aplicado para estimar os parametros agrupados,caso haja um numero de pontos maior que 5.

O passo seguinte e calcular os parametros a partir dos valores es-timados pela resolucao do sistema de equacoes lineares. O primeiro aser calculado e Ty e Tsai [51] demonstrou que este parametro pode sercalculado pela Equacao 1.69.

Inicialmente Tsai [51] define uma submatriz C, com os elementosestimados a partir das Equacoes 1.67, que consistem de elementos damatriz de rotacao divididos pela translacao em y, Ty:

C =

[m′

11 m′

12

m′

21 m′

22

]

=

[m11Ty−1 m12Ty−1

m21Ty−1 m22Ty−1

]

(1.68)

Ty2 =Sr −

[S2

r − 4(m′

11m′

22 − m′

21m′

12)2]1/2

2 (m′

11m′

22 − m′

21m′

12)(1.69)

na qual: Sr = m′211 + m′2

12 + m′222 + m′2

22

Para determinar o sinal de Ty, Tsai [51] propoe utilizar um ponto deapoio na periferia da imagem. Estabelecendo, inicialmente, o sinal de


Ty como positivo, sao calculados os elementos apresentados nas Equa-coes 1.70, considerando que os valores entre parentesis foram estimadospela resolucao do sistema de Equacoes 1.67:

[m11 m12

m21 m22

]

=

[(m11Ty−1)Ty (m12Ty−1)Ty

(m21Ty−1)Ty (m22Ty−1)Ty

]

Tx = (TxTy−1)Ty

x = m11X + m12Y + Tx

y = m21X + m22Y + Ty

(1.70)

Caso x e X e y e Y tenham o mesmo sinal, entao Ty sera positivo;caso contrario o sinal de Ty sera negativo e os valores das Equacoes 1.70devem ser recalculados.

Calcula-se, entao a matriz de rotacao:

M =

m11 m12 (1 − m211− m2

12)1/2

m21 m22 s(1 − m221− m2

22)1/2

m31 m32 m33

(1.71)

na qual s = −sinal(m11m21 + m12m22). Usando as propriedades relati-vas a ortogonalidade da matriz de rotacao M pode-se calcular os demaisparametros mij por:

m31 =√

(1 − m211 − m2

21)

m32 =√

(1 − m212 − m2

22) × sinal(m11m12 + m21m22)(1.72)

O segundo estagio envolve a resolucao de um sistema de equacoeslineares para calcular as incognitas f, K1, T z, considerando-se que jaforam calculados os 6 parametros do primeiro estagio. Cada observacaogera duas equacoes e, quando o sistema for superabundante pode seraplicado o MMQ.

Os valores aproximados para f e Tz sao obtidos admitindo-se K1 = 0e resolvendo-se um sistema de equacoes lineares pelo MMQ.

Partindo-se da segunda equacao do Grupo 1.64, define-se:


v = m21X + m22Y + Ty

w = m31X + m32Y(1.73)

Como estes valores sao conhecidos, ou foram calculados no primeiro esta-gio, e possıvel calcula-los para cada ponto com coordenadas conhecidas.A segunda equacao do Grupo 1.64 pode ser, entao, escrita como:

yd + K1r2yd = −f

v

w + Tz(1.74)

Considerando K1 = 0 tem-se:

ydw + ydTz + fv = 0. (1.75)

A partir desta equacao, um sistema de equacoes pode ser estabelecidopara determinar Tz e f , com a ressalva de que o plano que contem osalvos nao pode ser paralelo ao plano imagem.

Uma vez determinados os valores aproximados para Tz e f , pode-seresolver um sistema de equacoes nao lineares, a partir das Equacoes 1.74,considerando-se tambem K1 como incognita, alem de Tz e f , cujos va-lores aproximados foram determinados no passo anterior.

O metodo de Tsai [51] tambem pode ser utilizado com conjuntos depontos nao-coplanares ([51], p. 369) ou com varias imagens ([51], p.367).

Lenz e Tsai [35] apresentaram uma versao ligeiramente modificadadeste segundo estagio, tornando o sistema de equacoes lineares por meiodo agrupamento dos parametros f e K1.

Para isto, entretanto, definiram o modelo de distorcao de modo di-ferente daquele apresentado originalmente por Tsai [51] e que seguia omodelo tradicional. As equacoes apresentadas por Lenz e Tsai ([35], p.925) para o modelo de distorcao, sao:

x =xd

(1 + K1r

2d

)

y =yd

(1 + K1r

2d

)

, (1.76)

e as inversas:


xd =2x

1 + (1 − 4K1r2)1/2

yd =2y

1 + (1 − 4K1r2)1/2

, (1.77)

nas quais: r2d =

(x2

d + y2d

)e r2 =

(x2 + y2

).

Com este novo modelo de distorcao, Lenz e Tsai [35] fizeram algumasmudancas no desenvolvimento das equacoes para o segundo estagio.

Agrupando-se os valores conhecidos e fazendo-se:

Hx = m11X + m12Y + Tx

Hy = m21X + m22Y + Ty, (1.78)

e considerando os pontos de apoio coplanares, bem como o modelo dedistorcao definido, as Equacoes 1.76 e 1.64 podem ser reescritas como:

xd

(1 + K1r2d)

= −fHx

m31X + m32Y + Tz

yd

(1 + K1r2d)

= −fHy

m31X + m32Y + Tz

, (1.79)

fHx + fK1Hxr2d − xdTz = xd(m31X + m32Y )

fHy + fK1Hyr2d − ydTz = yd(m31X + m32Y )

, (1.80)

no qual as incognitas serao:[

f fK1 Tz].

O sistema de equacoes resultante e linear e nao sao necessarias apro-ximacoes nem iteracoes, ao contrario da versao anterior do metodo, maso modelo de distorcoes e diferente do modelo padrao.

O metodo de calibracao em duas etapas, proposto por Tsai [51], eque faz uso da injuncao de alinhamento radial, utiliza uma correcao apriori do fator de escala em x e considera que as coordenadas foramreduzidas ao ponto principal.

Para utilizar o metodo de Tsai devem ser conhecidos a priori as co-ordenadas do ponto principal (cx e cy) e o fator de escala em x calibrado.

Lenz e Tsai [34] apresentaram tecnicas para a calibracao do fatorde escala em x, para imagens de camaras eletronicas digitalizadas, com


base na relacao entre a frequencia de digitalizacao e a frequencia dacamara. Esta mesma tecnica permitia detectar o deslocamento relativoentre cada linha, devido aos erros de sincronizacao. Atualmente, comas camaras digitais, este fator tende a ser usado para absorver pequenasdiferencas entre as dimensoes do pixel em x e y e pode ser determinadoem conjunto com os demais parametros.

Calibracao do Centro da Imagem (Ponto Principal)

Como ja foi mencionado, a posicao do ponto principal (ou centro daimagem) e definida, conforme mencionado na Secao 1.5.4, como a in-terseccao do eixo optico do sistema de lentes da camara com o planoimagem, e e medido em coordenadas imagem (linha e coluna) ou em re-lacao ao centro geometrico da imagem. Para aplicacoes de baixa precisaocostuma-se adotar o centro geometrico da imagem como coincidente como ponto principal. Este tipo de aproximacao pode causar erros de grandemagnitude em problemas de Visao 3D e em Fotogrametria. De acordocom os experimentos de Tsai [51], foram observadas diferencas de 30pixels entre o ponto principal e o centro geometrico. Estas diferencasprovocam um aumento no erro das medidas 3D, de cerca de 10 vezes.

Varios metodos tem sido propostos para calibrar o ponto principalisoladamente. Lenz e Tsai [34] dividiram estes metodos em tres grupos:

Grupo I: Metodo Optico Direto: Neste metodo sao usados instrumen-tos, como o LASER, para realizar a determinacao do centro da imagem;

Grupo II: Metodo da Variacao da Distancia Focal: Este metodo ebastante simples, embora nao produza resultados muito precisos. Quandoa distancia focal e alterada a imagem sofre um efeito de “zoom”, masmantendo o ponto principal estacionario. O ponto principal sera calcu-lado atraves da intersecao das retas formadas pelos pontos antes e depoisda alteracao da distancia focal;

Grupo III: Metodo da Restricao de Alinhamento Radial. No metodousando a restricao de alinhamento radial Lenz e Tsai [34] desenvolveramuma expressao para o erro residual na restricao de alinhamento radial,mostrando que este erro e uma funcao quadratica do deslocamento docentro.

Com base nesta restricao Lenz e Tsai [34] apresentaram uma maneirade estimar o centro, usando tecnicas de otimizacao. A Equacao 1.66 tem


erro residual mınimo quando as coordenadas sao previamente corrigidasdo erro devido ao deslocamento do centro da imagem. Portanto, o pro-blema e calcular as coordenadas do centro que minimizem o erro residualda Equacao 1.66.

Considerando as coordenadas ja corrigidas do fator de escala hori-zontal, pode-se reescrever o sistema de equacoes formado pelas Equa-coes 1.66, considerando agora como incognitas as coordenadas do pontoprincipal como:

(y − cy)m11X + (y − cy)m12Y + (y − cy)Tx−

(x − cx)m21X − (x − cx)m22Y − (x − cx)Ty = rs

(1.81)

O erro residual rs deve ser minimizado para calcular as coordenadasdo ponto principal. Isto e um problema de otimizacao nao linear comduas incognitas. O Metodo dos Mınimos Quadrados pode ser usado,considerando-se a Equacao 1.81 como uma equacao de condicao e apli-cando o metodo dos correlatos. Esta tecnica so funciona na presenca dedistorcao das lentes e para erros observacionais pequenos.

Outra tecnica apresentada por Lenz e Tsai [34] preve o uso dasEquacoes 1.80 do segundo estagio, com uma abordagem de minimizacaoanaloga a apresentada para o metodo anterior. Este metodo deve serempregado para camaras cujas lentes possuam pequeno coeficiente dedistorcao e como uma tecnica para verificar os resultados obtidos.

O metodo de Tsai representou um avanco significativo em relacaoaos metodos de calibracao tradicional, que usam o Metodo dos Mıni-mos Quadrados para equacoes linearizadas, com respeito ao tempo deprocessamento. O metodo em dois estagios de Tsai e linear, e siste-mas de pequena ordem sao resolvidos a cada estagio. Contudo, o fatode ser um procedimento sequencial, faz com que os erros se propaguementre os estagios consecutivos. Isto e visto claramente, uma vez queos parametros calculados no primeiro estagio sao usados para calcularoutros parametros ainda no primeiro estagio e, posteriormente, no se-gundo estagio. Algumas restricoes existem no metodo de Tsai. A maismarcante e a necessidade de um conjunto de pontos de apoio coplanaresnos dois primeiros estagios. Para o calculo do ponto principal exige-seum dispositivo que movimente o conjunto de pontos em planos paralelos


(z-stage), alem da restricao de que deva existir distorcao das lentes paraque o metodo funcione. A restricao de que deva ser usado um conjuntode pontos coplanares pode ser eliminada usando um modelo mais com-pleto, que leve em consideracao a coordenada Z de cada ponto de apoio.Neste caso, o sistema de equacoes no primeiro estagio tera ordem 7 (7incognitas).

1.6 Consideracoes Finais

Como foi possıvel notar, sao diversos os modelos e diversas as possibili-dades de solucao do problema de Calibracao de Camara. Este problemase torna cada vez mais relevante na medida em que as imagens adquiri-das a partir de camaras de diferentes naturezas e caracterısticas sejamutilizadas em aplicacoes de natureza metrica, independente do ramo deaplicacao, seja em Visao Computacional, Fotogrametria, SensoriamentoRemoto, etc.

Uma vez estabelecida a necessidade de calibracao deve-se inicial-mente escolher o metodo de solucao apropriado, bem com o conjuntode parametros que irao compor o modelo de erros, que sera responsa-vel pela compensacao dos erros sistematicos. Definidos os parametrosde OI que farao parte da solucao, e importante ter em mente que nemtodos sao necessariamente significativos para a camara utilizada. Destemodo recomenda-se que, apos o processamento, seja feita alguma analise,com o proposito de avaliar se os parametros estimados sao significativos.Como exemplo de procedimentos para este tipo de analise sugere-se:Silva [48], Chandler, Fryer e Jack [9], Habib e Morgan [29] e Galo etal [24].

Alem da analise da significancia dos parametros, outros aspectosrelevantes tambem devem ser discutidos, como por exemplo: a geometriada aquisicao e o processo de medicao de coordenadas no espaco imagem.

As imagens a serem utilizadas com este proposito devem ser adquiri-das com a distancia focal fixa, de modo que os parametros de OI sejamunicos para o conjunto de imagens utilizadas.

Como mencionado na Secao 1.1.2, quando se tem uma forte conver-gencia entre as imagens a correlacao entre alguns parametros e reduzida,sendo esta configuracao possıvel no caso de aquisicao de imagens a curta

Consideracoes Finais 53

distancia. Em aerolevantamentos isso nem sempre pode ser realizado ea aquisicao de imagens em terrenos acidentados tambem contribui coma reducao da correlacao. Alem dessas alternativas, a possibilidade deuso de um receptor GNSS (Global Navigation Satellite System) a bordodo aviao contribui de modo efetivo para a solucao do problema de cor-relacao, uma vez que a posicao do CP pode ser estimada a priori. Paradetalhes sobre alguns destes aspectos sugere-se Honkavaara et al [32] eRuy et al [45], por exemplo.

Outro aspecto importante se refere a qualidade das medidas das co-ordenadas. A qualidade do resultado final depende de varios fatores eum deles se refere a qualidade das medidas realizadas, tanto dos pontosde apoio, quanto dos pontos na imagem. Sao inumeras as possibilidadede medicao de coordenadas de pontos ou de feicoes lineares, podendo osmetodos serem enquadrados nas categorias: manuais, semi-automaticose automaticos. Independente da categoria e das feicoes utilizadas, variostrabalhos indicam que para algumas aplicacoes, a medida de pontos comqualidade subpixel possibilita a solucao com qualidade superior, comopode-se ver em [10], [49] e [53]. Essa afirmacao tambem e valida para ocaso de feicoes retas, como pode-se ver em Bazan, Tommaselli e Galo [7],por exemplo.

Embora para alguns seja estranho o termo subpixel, sao varios osmetodos de medicao de pontos e linhas que podem fornecer qualidadeneste nıvel. Na Figura 1.17 sao mostrados dois graficos e dois conjuntosde parametros de OI, onde e possıvel ver o comportamento dos resıduosem duas situacoes: sem (Figura 1.17a) e com (Figura 1.17b) a utilizacaode uma tecnica com qualidade subpixel. Alem dos resıduos visivelmentereduzidos em (b) pode-se observar que os respectivos desvios-padraotambem foram menores na situacao (b), indicando que houve uma me-lhoria na solucao, no segundo caso.

Embora diversos outros aspectos possam ser aprofundados e discu-tidos, os principais aspectos relacionados a solucao da Calibracao deCamaras foram apresentados e analisados, esperando-se que o leitor in-teressado tenha conseguido, com este material, entender os conceitosbasicos, bem como os principais metodos de Calibracao de Camaras.


(a) Resıduos e parametros para medidassem qualidade subpixel.

(b) Resıduos e parametros para medidascom qualidade subpixel.

Figura 1.17: Comportamento dos resıduos nas componentes (x, y) noespaco imagem e os POI estimados para medidas com diferentes quali-dades. Fonte [23].

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