1. Linearno-elastični modeli kojima se u praksi može simulirati tlo u proračunu interakcije između tla i konstrukcije – objekta. Parametri modela. Određivanje parametara modela tla. Kritička ocena modela. Prednosti i nedostaci.

U predmetu se koristi metoda konačnih razlika, kao uobičajen postupakrešavanja ovih jednačina u inžinjerskoj praksi. U svakoj čvornoj tački diskretizacija pojavljujejedna nepoznata (ugib) što rezultuje relativno malim brojem algebarskih jednačina koje se mogu lako rešavati.

Postoji i drugi, znatno moćniji i fleksibilniji metod, koje se naziva metoda konačnih elemenata. Kod ove metode u čvornim tačkama se pojavljuje veći broj nepoznatih. Kod linijskih nosača dva (ugib i nagib), kod površinskih nosača tri (ugib i dva nagib).

Winklerov model:

Tlo kao deformabilna sredina tretira na tlo uprašćen način, kao sistem elastičnoh opruga (važi linearna elastičnost)

q (x , y )=k ∙W ( x , y )

Pošto su oslonci (opruge) međusobno nezavisni, sil na jednom osloncu izaziva sleganje samo tog oslonca, dok je sleganje ostalih oslonca jednako nuli. Ovo je osnovna radna hipoteya u konceptu modula reakcije tla.

Jednoparametarski modelElastičan poluprostor (model)Parametri Es – modul elastičnosti

– Poasonov koeficijentνInterakcija između elastičnoh tela, u principi se može podeliti u tri grupe. Mi

bavimo samo za INTERAKCIJE između elastičnog tela i strukturnih elemenata.Praktični problemi se mogu rešiti sam približno, koristeći numeričke metode.

2. Diferencijalna jednačina grede na Winklerovoj linearno-elastičnoj podlozi. Fizičko značenje modula reakcije tla. Faktori koji utiču na modul reakcije tla. Određivanje modula reakcije tla.

Određivanje modula reakcije tla zavisi od vrste tla, dimenzije, opterećenje, površine i dubine temelja.

Određivanje modula reakcije tla

X

X

(a)Q 1 '

p k

(b )w

Z

w i

0

x i

M 1 ' M k ' M n '

Q k ' Q n '1 '

k i

n '

w 1 '

p ilk li

x i 0i

k '

x k

Ako je ugib W(x) odnosno nagib W≠ (x) elastične linije grednog nosača, malaѲ veličina, zakrivljenost 1/R(x) elastične linije nosača je približno jednaka drugom izvodu ugiba nosača.

ds=R ∙dθ⟹ 1R

=|dθds |⟹

ds ≈dx

θ=tgθ=dW (x )dx

1R

−zakrivljenost elasti č ne linije nosač a

⟹−M (x )EbI

=d2W (x )

dx2

−M (x )=d2M (x)

dx2∙EbI / ∙ d

2

dx2

EbI ∙d4W (x)dx4

=−d2M (x)

dx2

Σy=0

T−T−dT−p ( x )dx+q ( x )dx=0/ ∙ 1dx

dT (x)dx

=q ( x )−p (x)

ΣM=0 M−M−dM+T ∙dx=0 /∙ 1

dx

dM (x)dx

=T (x)

d2M (x )dx2

=dT (x )dx

=q ( x )−p(x )

EbI ∙d4 ∙W ( x )

dx4=p (x )−q( x)

EbI – krutost temeljnog nosača na savijanje (MNm2)W(x) – sleganje (ugib) temeljnog nosača (m)p(x) – opterećenje temeljnog nosača (kN/m)q(x) – reaktivno opterećenje temeljnog nosača (kN/m)Veza reaktivnog opterećenja, sleganja podloge i elastične karakteristike Winklerove podlogeq ( x )=k ∙B ∙W (x)W(x) – sleganje podloge (m)k – modul reakcije podloge/tla/posteljice (MN/m3)B – širina temeljnog nosača (m)Veza između pomeranja i opterećenja je linearna

1R

=−d2W ( x)

dx2

M (x)EbI

= 1R

p ( x )=EbI ∙d 4W ( x )dx4

+k ∙B ∙W (x)

- Koeficijent apsolutne hrapavostik=

Eb I

E s ∙ L3 ako je k 0.4 – krut, a ako je k ≧ < 0,4 savitjiv E – modul elastičnosti- Opšte rešenje homogene diferencijalne jednačine

W ( p1 , p2)=W ( p1 )+W ( p2 )W ( x )=e λx ∙ (C1 ∙cos λx+C2 ∙ sin λx )+e−λx ∙(C3 ∙cos λx+C4 ∙ sin λx )

λ=4√ k ∙B4 ∙Eb I

– parametar krutosti nosača i podlogeC1, C2, C3, C4 – konstante koje se određuju prema graničnim uslovima za svako zadato opterećenje. Ove konstante zaže duž dela temeljnog nosača na kojem su ugib W(x) i njihovi izvodi neprekidni.k –karakteristična dužina ili karakterističan radijus sistema nosača i podlogeλx – karakterističan broj, parametarRačunamo sa metodom početnih parametara (analitička metoda)

W=e− λx ∙ (C3 ∙cos λx+C4 ∙ sin λx ) ,C1=C2=0⟹ x=∞ , x=−∞- Određivanje modula reakcije tlaModula reakcije tla predstavlja pritisak koji izaziva jedinično sleganje jedinične površine kontakta između temeljnog nosača i podloge. Može se definisati, kao količnik kontaktnog napona (q) i prouzrokovanog sleganje (W)k= q

W [ kNm3 ]Uglavnom je uočeno da (K)nije konstanta za određene tlo, već da zavisi od veličine i oblika opterećene površine, dubine fundiranja, vrsta tla, njegove vlažnosti, zbijenosti i nivoa kontaktnog napona.K=K 0 ∙

0.305B

∙L+0.1521.5 ∙ L

– za prekonsolidovano gline

K=( 0.305+B2∙ B )2

– za pesak i šljunakK0 – modul reakcije MN/m3Granični uslovi, odnosno presečnih sila i pomeranja M, T, W, θ = W’ na levom i desnom kraju temeljnog nosača.Ako je kraj nosača slobodan, onda M = 0, T = 0.Ako je kraj nosača slobodno oslonjen M = 0, W = 0.Za uklješten kraj nosača granični uslovi se mogu izraziti po pomeranjima W = 0, θ = 0.θ ( x )=dW ( x )

dx

M (x )=−Eb I ∙d2W ( x )dx2

T ( x )=−Eb I ∙d3W (x )

dx3

3. Analitičko rešenje diferencijalne jednačine bezkonačne grede na Winklerovoj linearno-elastičnoj podlozi (koncentrisana sila, spreg sila, jednako-podeljeno opterećenje). Granični uslovi.

Odrediće se analitički izraz za uticaje u preseku bezkonačnog nosača metodom početnih parametara.Opterećenje vertikalnom koncentrisanom silom

Da bi se zadovoljili granični uslovi odnosno da bi sleganje nosača u x = -∞ bili jednaki nuli. C⟹ 1 i C2, uz član e C⟹ 1, C2 = 0

W=e− λx ∙ (C3 ∙cos λx+C4 ∙ sin λx )Ispod koncentrisane sile u tački x = 0 ⟹ = 0θ

θ=dWdx

=−λe− λx ∙ (C3 ∙cos λx+C4∙ sin λx )+e− λx ∙ (−λC3 ∙cos λx+λC 4 ∙ sin λx )=0

x=0⟹ λ ∙ [C3 ∙ (−1+0 )+C4 ∙ (0+1 ) ]=0⟹C3=C4

W=C3 ∙ e−λx ∙ (cos λx+sin λx )=C3 ∙ A (λx )

θ=dWdx

=−2 λ ∙C3 ∙e− λx ∙ sin λx=−2 λC3 ∙B (λx)

d2Wdx2

=−2λ2C3 ∙ e− λx ∙ (cos λx−sin λx )=−2 λ2C3 ∙C ( λx )

d3Wdx3

=4 λ3C3 ∙ e− λx ∙cos λx=4 λ3C3 ∙ D(λx )

U tački T sila 0 – dx i 0 + dx = T = P/2 i -P/2

T (−dx )=Td (0 )=P2

T (dx )=Td (−0 )=−P2

T=−Eb I ∙d3Wdx3

=−Eb I ∙4 λ3C3 ∙ e

− λx ∙cos λx

Td (0 )=−P2

=−Eb I ∙4 λ3C3

C3=P

8 λ3 ∙Eb I

W= P2 Bk

∙ A ( λx )

W= P

8λ3 ∙ Eb I∙ A ( λx )⟹

θ=−2 λ ∙ P

8 λ3 ∙Eb I∙ B ( λx )⟹ θ=−P λ2

Bk∙B ( λx )

M=−Eb I ∙(−2 λ2 ∙ P8 λ3 ∙Eb I

∙C ( λx ))⟹

T=−Eb I ∙(4 λ2 ∙ P8 λ3 ∙Eb I

∙ D ( λx ))⟹

Spreg sila bezkonačnom nosaču

±P na odstojanje x = MΔ 0/PW (x ,M 0 )=W ( x , P )−W (x+∆ x ,−P)

W=M 0 λ

2

Bk∙ B(λx )

θ=M 0 λ

3

Bk∙C (λx)

M=M 0

2∙D (λx)

T=−M 0 λ

2∙ A (λx )

Linijsko opterećenje na bezkonačnom nosaču

dP=pdx

dW= λdP2Bk

∙ A ( λx )= P2 Bk

∙ A (λx) ∙ d (λx)

W= P2 Bk

∙ [2−D ( λr )−D(λs )]

θ=dWdx

= pλ2 Bk

∙ [A ( λr )−A( λs)]

M=−Eb Id2Wdx2

=−P4 λ2

∙ [B ( λr )−B (λs)]

T=−Eb Id3Wdx3

=−Pλ

∙ [C ( λr )−C (λs) ]

M= P4 λ

∙C ( λx )

T=−P2

∙ D ( λx )

4. Analitičko rešenje diferencijalne jednačine konačne grede na Winklerovoj liearno-elastičnoj podlozi, metodom početnih parametara i metodom superpozicije. Granični uslovi.

Analitičko rešenje nehomogene diferencijalne jednačine temeljnog nosača na Winklerovoj podlozi može se odrediti metodom počtnih parametara i metodom superpozicije.Metoda početnih parametaraU metodi početnih parametara interakcione konstante C1, C2, C3, C4 se određuje na osnovu graničnih uslova, odnosno presečnih sila i pomeranja M, T, W, θ na levom i desnom kraju temeljnog nosača. Ako je kraj nosača slobodan, granični uslovi se mogu izraziti po silama M = 0 i T = 0. Ako kraj nosača slobodno oslonjen, granični uslovi mogu izraziti mešovito po silama M = 0 i pomeranju W = 0. Uklješten kraj nosača, granični uslovi se mogu izraziti i po pomeranjima W = 0 i θ = 0.Postupak će se prikazati samo za nosač bezkonačne dužine, opterećen koncentrisanom silom P, spregom M0, ili jednolikom opterećenjem p na konačnoj dužini.W ( x)=eλx ∙ (C1∙cos λx+C2 ∙ sin λx )+e−λx ∙ (C3 ∙cos λx+C4 ∙ sin λx )

θ(x )=dW ( x)dx

M (x)=−Eb I

d2W (x)dx2

T (x)=−Eb I

d3W (x)dx3

Metoda superpozicije:Osnovu metode pretpostavljaju pojedinačna rešenja za bezkonačnu gredu, opterećenu vertikalnom silom, spregom i jednako podeljenom opterećenjem. Konačna greda se posmatra samo kao deo bezkonačne grede.Da bi se zadovoljili granični uslovi za temeljni nosač konačne dužine, treba dodati nepoznate granične sile (Moment, transverzalne sile) u tačke koje odgovaraju krajevima konačne grede. Tačne vrednosti graničnih sila se određuju na osnovu četiri uslovne jednačine, postavljene po graničnim uslovima.

Temeljni nosač konačne dužine:

Krajevima konačnog nosača u tačkama A i B su slobodni, što znaši da moment savijanja i transverzalna sila moraju biti jednaki nuli (M = T = 0). Presečne sile na bezkonačnom nosaču, usled zadatog opterećenja u tački A blisko desno i u tački B blisko levo, iznose MA, TA, MB, TB. Da bi se zadovoljili granični uslovi na slobodnom kraju konačnog nosača, pored zadatog opterećenja u tačke A i B bezkonačnog nosača, treba dodati nepoznate granične sile M0A, T0A, M0B i T0B.Ukupan moment savijanja u bezkonačnom nosaču na Winklerovoj podlozi u tački A blisko desno, usled dejstva opterećenja i nepoznatih graničnih sila, mora biti nula.T0 A4 λ

∙C (0 )+T0 B4 λ

∙C ( λL )+M 0 A

2∙D (0 )−

M 0 B

2∙D ( λL )+M A=0 Sve četiri uslovne jednačine, za konačan nosač na Winklerovoj podlozi koji ima slobodne krajeve, pregledno se mogu napisati u matričnom obliku:

[C(0)4 λ

C (λL )4 λ

D (0)2

− D ( λL )2

C( λL)4 λ

C (0 )4 λ

D( λL)2

− D (0)2

− D (0 )2

D ( λL)2

− λA(0)2

− λA( λL )2

− D ( λL )2

D (λ0 )2

− λA( λL)2

− λA (0)2

]⋅[ T0 AT 0BM 0 A

M 0B]+[M A

M B

T A

T B]=[0000]

5. Rešenje

diferencijalne jednačine konačne grede na Winklerovoj linearno-elastičnoj podlozi metodom konačnih razlika. Ekvivalentno čvorno opterećenje. Granični uslovi.

Metoda konačnih razlika predstavlja približni „numerički“ postupak rešavanja diferencijalne jednačine u određenoj tački odnosno tačkama. Postupak u suštini predstavlja zamenu izvoda funkcije u posmatranoj tački, preko pomeranja W susednih simetričnih tačka.Tačnost rešenja zavisi od gustine mreže, broja podele nosača i izbora interpolacione funkcije između tačaka. Za praktične proračune, kao interpolaciona funkcija se uglavnom koristi polinom drugog reda. Kod kvadratne parabole je nagib tangente u tački „i“ paralelno sa sečicom kroz dve simetrične tačke u odnosu na tački „i“.Granični uslovi (M0 = 0, T0 = 0, Mn = 0, Tn = 0)

( dWdx )≅ −W i−1+W i+1

2C

Eb I ∙d2Wdx2

=p ( x )−q (x )

Eb I ∙W i−2−4W i−1+6W i−4W i−1+W i+2

C4 =p i−q iAko se diferencijalna jednačina izpiše za sve tačke od 0 do n, vodeći računa o izrazima za fiktivne ugibe, dobija se sistem algebarskih jednačina, koji u matričnom obliku glasi:Eb I

C4 ∙ [ D ] ∙ {W }={p }− {q }

{W} – vektor pomeranja{p} – vektor aktivnog opterećenja{q} – vektor reaktivnog opterećenja {q }=B ∙[k ] ∙ {W }[D] – matrica diferencijalnog opterećenjaMatrica [D] diferencijalnog operatora, kod koje su elementi uz nepoznate u sistemu algebarskih jednačina

[ D ]=[2 −4 2

−2 5 −4 11 −4 6 −4 1

1 −4 6 −4 11 −4 6 −4 1

1 −4 6 −4 11 −4 6 −4 1

1 −4 6 −4 11 −4 6 −4 1

1 −4 5 −22 −4 2

]{W }=[K t ]

−1∙ {p }=[F t ] ∙{p }

[K t ]=Eb I

C3 ∙( [D ]+B ∙C4

Eb I∙[k ])

Efektivno čvorno opterećenje:

{ p }={00P1

P2(c−r)

cP2 rc00

} 01ijkn−1n [kN ]

{p} – vektor kolona ekvivalentnog čvornog opterećenja[ K ] ∙ {W }={p }

6. Rešenje diferencijalne jednačine grede na linearno-elastičnom poluprostoru metodom konačnih razlika. Princip proračuna uticajnih funkcija sleganja. Ekvivalentno čvorno opterećenje. Matrica fleksibilnosti i matrica krutosti temeljnog nosača i tla. Određivanje parametara modela tla.

Kod proračuna temeljnih nosača na elastičnoj podlozi, podloga se tretira, kao homogen, izotropan i linearno deformabilan poluprostor, znatno složeniji od prethodno prikazanog Winklerovog modela. Analitičko rešenje, sleganja nosača na elastičnom poluprostoru je složeno i svodi se na integralno-diferencijalne jednačine:

Eb I ∙d2Wdx2

=p ( x )−q (x )

Eb I

C4 ∙ [ D ] ∙ {W }={p }− {q }

Eb I

C4 ∙ [ D ] ∙ {W }+B ∙ [k ] ∙ {W }= {p }

W ij=1−νs

2

π ∙E s

∙ f ij ∙q j

Uticajna funkcija sleganja fij se određuje za elementarne površine dobijene podelom nosača dužine L na n jednakih delova. C = L/n

{W }=1−ν s

2

π ∙ Es

∙ [ f ] ∙ {q }⟹1−νs

2

π ∙E s

∙ [ f ]−1 ∙{W }

Smenom jednačine Eb I

C4 ∙ [ D ] ∙ {W }+ {q }= {p } dobija se sistem od n+1 linearnih

algebarskih jednačina po nepoznatim čvorovima pomeranja.Eb I

C4 ∙ [ D ] ∙ {W }+1−νs

2

π ∙E s

∙ [ f ]−1 ∙{W }={p }/ ∙C⟹

( Eb I

C4∙ [ D ]+ 1−ν s

2

π ∙ Es

∙ [ f ]−1) ∙ {W }=C ∙ {p }

{P }=C ∙ { p } [K t] ∙ {W }={W }

[K t ]=Eb I

C4 ∙( [D ]+ C4

Eb I∙π ∙E s

1−νs2 ∙ [ f ]−1)

{W }=[K t]−1∙ {P }=[F t ] ∙ {P }

Jednačina za nosač na elastičnom poluprostoru, ima identičan oblik kao jednačina za nosač na Winklerovoj podlozi. U principu konačna jednačina ima isti oblik, nezavisno od vrste deformabilne podloge. Razlika je samo u elementima matrice krutosti [Kt], odnosno matrice fleksibilnosti [Ft] = [Kt]-1 temeljnog nosača i tla.

GKi=S2−2m∙ ln (2m )+(2m−1)∙ ln (2m−1)

FKi=S−(2m+1 ) ∙ ln (2m+1 )+(2m−1)∙ ln (2m−1)

[ f ]=[G00 F01 F0 i G0 nG10 F11 F1 i G1 nGi 0 F i1 F ii Gin

Gn 0 Fn1 Fni Gnn]01in

m = X/C

Elementi [ f ] matrice su uticajne funkcije FKi i GKi.[ f ] – matrica uticajnih funkcija sleganjaS=2∙¿ Određivanje modula elastičnosti tla:Parametri koji opisuju homogen, izotropan i elastičan poluprostor su: modul

elastičnosti Es i Poissonov koeficijent ili koeficijent poprečne dilatacije υs.Veliki broj faktura utične na izmerene vrednosti parametara elastičnosti.

Materijalni parametri zavise od poremećenosti uzorka, naponske istorije, uslova dreniranja, brzine opterećenja i fizičkih karakteristika.

Poissonov koeficijent se može odrediti kao odnos radijalne i aksijalne deformacije uzorka u opitu triaksijalne kompresije.

pesak Zasićena glina Ne zasićena glinaυs 0,3 – 0,35 0,4 – 0,5 0,2 – 0,3

Modul elastičnosti Es se može odrediti laboratorijski, opitom na neporemećenim uzorcima tla, pomoću aparata sa jednoaksijalne ili triaksijalne kompresije ili približnom korekcijom sa modulom stišljivosti.

υs=0,3⟹ E s=23∙ MV

7. Princip proračun interakcije gornje konstrukcije, temelja i tla. Matrica krutosti konstrukcije u oslonačkim tačkama. Matrica fleksibilnosti i matrica krutosti tmeljnog nosača i tla u oslonačkim tačkama konstrukcije. Direktna i iterativna metoda.

Kada se statički neodređena konstrukcija fundira na temeljnim nosačima, veličina njenog opterećenja zavisi od sleganja temeljnog nosača. Njihov proračun se ne može vršiti kao kod statilkih određenih nosača.

U principu postoje dva načina za rešavanje problema: DIREKTNA i ITERATIVNA metoda.Direktna metoda proračuna interakcije:

Veza generalisanih pomeranja U (sleganja i obitanja) i reakcija oslonaca R (sile i momenti) temeljnog nosača na deformabilnoj podlozi može se prikazati sledećim izrazom:

[K t ] ∙ {U }= {R }⟹ {U }= [K t ]−1∙ {R }=[F t] ∙ {R }

[ Kt ] – matrica krutosti temelja i tla u oslonačkim tačkama konstrukcije[ Ft ] – matrica fleksibilnosti temelja i tla u oslonačkim tačkama konstrukcije{ U } – generalisana pomeranja temelja u oslonačkim tačkama konstrukcije{ R } – generalisane reakcije promenljivih oslonaca konstrukcijePolazna predpostavka da su u osloncima, sile i sleganja konstrukcije i temeljnog

nosača ista. Postupak je moguć samo ako je konstrukcija zglobno oslonjena na temelji nosač. [ Kt ] je u zavisnosti od vrste podloge:

- Winklerov model: [K t ]=Eb I

C3 ∙( [D ]+B ∙C4

Eb I∙[K ])

- Model elastičnog poluprostora: [K t ]=Eb I

C3 ∙( [D ]+ C4

Eb I∙π ∙ Es

1−υs2 ∙[ f ]

−1){R }={R0 }−[KK ] ∙ {U } [ KK ] – matrica krutosti konstrukcije u oslonačkim tačkama{ R0 } – generalisane reakcije nepomerljivih oslonaca konstrukcijeSmenom izraza dobija se uslovna jednačina po nepoznatim pomeranjima

oslonačkih tačaka koja su kompatibilna i za temeljni nosač i za konstrukcie.{U }=[K t ]

−1∙ {R }=[K t ]

−1∙( {R0 }−[K K ] ∙ {U })

( [ I ]+[K t ]−1∙ [K K ] )∙ {U }=[K t ]

−1∙ {R0 }/ ∙[K t]

( [K t ]+[K K ] ) ∙ {U }={R0 } [ K ]=[K t ]+ [KK ] [ K ] ∙ {U }={R0 } [ K ] – matrica krutosti temeljnog nosača i konstrukcije u oslonačkim tačkamaEliminacijom pomeranja jednačina se može alternativnoj izraziti preko

oslonačkih reakcija{U }=[K t ]

−1∙ {R }

{R }={R0 }−[KK ] ∙ {U }= {R0 }−[K K ] ∙ [K t ]−1∙ {R }

{R }=([ I ]+ [K K ] ∙ [F t ])−1∙ {R0 } Iterativna metoda proračuna interakcije:

Prvom iteraciji odrede reakcije nepomerljivih oslonaca {R0} = {R}1 iz prve iteracije se zatim nanesu na temeljni nosač i odrede se pomeranja oslonačkih tačaka {U}1 u prvoj iteraciji.

Drugom iteraciji osim datog sleganja na konstrukciji se nanosi i sleganja oslonaca iz prve iteracije i odrede se nove reakcije oslonaca {R}2. Dobijene reakcije se zatim nanesu na nosač i odrede se nova pomeranja oslonačkih tačaka {U}2.

{R }1= {R0 }⟹ {U }1=[K t ]−1∙ {R }1⟹ {R }2={R0 }+[KK ]−1 ∙ {U }1

⟹ {U }2=[K t ]−1∙ {R }2⟹ {R }3={R0 }+ [K F ]−1 ∙ {U }2

{U }m=[K t ]−1∙ {R }m⟹ {R }m+1= {R0 }+[K K ]−1∙ {U }m

8. Proračun priboja i savitljivih opterećenih zidova u Winklerovoj linearno-elastičnoj sredini metodom konačnih razlika. Ekvivalentno čvorno opterećenje. Horizontalni modul reakcije tla. Analiza pasivnog otpora.

Za proračun horizontalni modul reakcije tla se uglavnom prikazuje jednačinom:za pesak za glinu

k n=ln( ZD ) k n=knl( 0,305D )ln – konstanta horizontalnog modula reakcije peska (MN/m3)knl – horizontalni modul reakcije tvrde gline na 0,305 m od dna iskopa (MN/m3)Z – dubina merena od dna iskopa (m)D – dubina dna zaštitnog zida priboja merena od dna iskopa (m)

Kod tvrdih glina horizontalni modul reakcije tla približno jednak vertikalnom.Priboji predstavljaju konstrukviju, tj. zid koji se sastoji od talpi vezanih na pero u

žljeb, čiji je zadatak osiguranje bočne strane temeljne jame od urušivanja i da obezbedi rad u suvom. Mogu se raditi od drveta, čelika i od armiranog betona.

Proraéun pomeranja zaštitnog zida u tlu, prema metodi Winklera, može se izvršiti MKR (ili MKE). Proračunski model zaštitnog zida se dobija tako što se u tlo u pasivnoj zoni u čvornim tačkama zameni sistemom elastičnih opruga odgovarajuće krutosti. U MKR, zidni nosač se po visini podeli na n jednakih delova, a opterećenje se zamenjuje ekvivalentnim čvornim silama. U čvornim tačkama iznad iskopa , krutost opruga je jednaka nuli. Na aktivnoj strani zida, po celoj dužini deluje prit tla. Utical razupirača se zamenjuje oprugom odgovarajućeg prutosti.

[K t] ∙ {U }= {P }

[K t ]=Eb I

C3 ∙( [D ]+B ∙C4

Eb I∙[kn]) {P }=C ∙{p }

q=B ∙[kn] ∙ {U } {U }={P }∙ [KT ]

−1 Pritisci u pasivnoj zoni:

q ( z )=PP ( z )FSP

9. Diferencijalna jednačina šipa u Winklerovoj linearno-elastičnoj sredini, opterećenog aksijalnom silom. Sila duž omotača i u bazi šipa. Modul reakcije tla duž omotača i ispod baze šipa. Krutost šipa za aksijalno opterećenje – pomeranje. Primena rezultata probnog opterećenja šipa.

Uglavnom šip prenosi opterećenje u manjoj ili većoj grupi, koja je međusobno povezano naglavnicom koja obezbeđuje ravnomerno prenošenje opterećenje na sve šipove. Najjednostavniji model proračuna grupe šipova, koji je zasnovan u Winklerovoj hipotezi. Na osnovu navedenih proračuna, može se formirati matrica krutosti šipa. Postupak proračuna pomeranja grupe šipova povezanih idealno krutom (nedeformabilnom) naglavnicom.

Vertikalan šip izložen aksijalnom opterećenjem.Šipovi mogu biti i zakošeni jednačine pomeranja će se odrediti u lokalnom

sistemu sa koordinatnim početkom na glavi šipa i koordinatnim osom koja se poklapa sa osom šipa.

Diferencijalna jednačina aksijalno opterećenog šipa:

A ∙E p∙d2Wdz2

+S ∙ kτ ∙W=0⟹ d2Wdz2

−λτ ∙W

λ τ=√ S ∙ k τ

Ep A

λτ – parametar krutosti šipa i tlaS, A – obim i površina poprečnog preseka šipaEp – modul elastičnosti šipakτ – Šmičući modul reakcije tla uz omotač šipaW ( z )=C1∙ e

− λτ z+C2 ∙ eλ τ z

A ∙E p∙dWdz

=A ∙ Ep ∙ λ τ ∙(C1 ∙ e−λ τ z−C2 ∙e

λτ z)

Sila u bazi šipa se može izraziti preko modula reakcije tla kb i sleganje baze šipa Wb kao:

Qb=A ∙k b ∙W b⟹Qb=A ∙kb ∙¿ ) Prema jednačini i

integracionim konstantamam sleganje glave šipa S = W(0) iznosi:

S= QKQ S

, KQS=λτ ∙ Ep A

f

KQ S – aksijalni krutost šipa

f – zavisi od dužine šipa L

k b=k s≈GS

2d=

E s

4d (1+υs)

10. Diferencijalna jednačina šipa u Winklerovoj linearno-elastičnoj sredini, koja je na glavi opterećena momentom i poprečnim silom. Horizontalni modul reakcije tla. Krutost šipa za poprečno pomeranje glave bez obrtanja i obrtanje glave bez poprečnog pomeranja. Primena rezultata probnog opterećenja šipa.

Analitičko rešenje poprečnog pomeranja glave šipa bez obrtanja, može se indirektno odrediti na osnovu rešenja grede konačne dužine koja je u sredini raspona opterećena vertikalnom i koncentrisanom silom.

U sredini grede odnosno na glavi šipa deluje T sila i moment savijanja M. Metodom početnih parametara može se dobiti analitičko rešenje problema.

T=KT t∙ t , KT t

=K h ∙ d

λh

∙ A ∙ λhL

M=KM t∙ t ,KM t

=Kh ∙d

2 λh2 ∙ B ∙ λhL

λh=√ k n ∙ d4 Ep I

λh – parametar krutosti šipa i tlaI – moment inercije šipa oko ose na pravcu pomera t⫠Ep, d – modul elastičnosti šipa i dimenzije šipa u pravcu na pravac po t⫠kτ – horuzontalni modul reakcije tla uz omotač šipaKT t

i KM t – zavisi od geometrije, krutosti šipa, krutosti tla

A, B – koeficijent krutosti zavisi od karakterističnog broja λhL

λhL>4⟹KT t=k n∙ d

λh, KM t

=Kh∙ d

2 λh2

Kh=E s

d

Analitičko rešenje obrtanja glave šipa bez poprečnog pomeranja, može se kao i u prethodnom slučaju, indirektno odrediti na osnovu rešenja grede konačne dužine koja je u sredini raspona opterećen spregom Ma.

T=−KT θ∙ θ=

Knd

2λh2 ∙B (λh L)

M=−KM θ∙θ=

K nd

2 λh3 ∙C (λhL)

λhL>4⟹KTθ=Knd

2 λh2 KM θ

=Knd

2 λh3

Veličine KQ s, KT t

, KM t, KT θ

i KM θ su izvedene za tlo koji ima konstantan modul

reakcije po dubini (duž omotača)

k h=nh( zd )

k h=khl( 0,305d ) 11. Matrica krutosti šipa u lokalnom koordinatnom sistemu. Primena rezultata probnog opterećenja šipa. Pomeranje glave šipa u lokalnom koordinatnom sistemu i veza sa pomeranjem idealno krute naglavice. Transformacija matrice krutosti šipa (lokalni – globalni koordinatni sistem).

Pomeranje glave šipa u ravni ima tri stepena slobode, dve translaciju i rotaciju. U lokalnom koordinatnom sistemu, pomeranje glave šipa je definisano vektorom { s, t, }.θ Na osnovu izvedenih veličina KQ s

, KT t, KM t

, KT θi KM θ

može se odrediti matrica krutosti šipa u lokalnom sistemu, koja povezuje pomeranja glave šipa sa silama na glavi šipa.

{QTM}=[KQS 0 00 KTt KTθ

0 KMt KMθ]⋅{STθ }

ili

{RL }=[K L] ∙ {U L }

{ RL } – vektor opterećenja glave šipa u lokalnom sistemu[ KL ] – matrica krutosti šipa i tla u lokalnom sistemu{ UL } – vektor pomeranja glave šipa u lokalnom sistemuU zavisnosti od graničnih uslova na krajevima stuba (glava i baza šipa) mogu se

pojaviti sledeći oblici matrice krutosti šipa i stuba.

[E p A

L0 0

012E p I

L36 E p I

L2

06 E p I

L2A⋅Ep I

L](u)(u) [

E p A

L0 0

03 E p I

L33 Ep I

L2

03 E p I

L23 Ep I

L](u )

( z )

[E p A

L0 0

03 E p I

L30

0 0 0]( z )(u )

[ E p A

L0 0

0 0 00 0 0

](z )

( z )

Šapovi se uvek moraju upustiti u naglavnicu, kako bi se osigurala dobra konstruktivna veza, zbog čega se može smatrati da je šip uklješten u naglavnicu.

Globalni sistem:Šipovi se retko prenose opterećenje samostalno, već se uglavnom radi o grupi

šipova povezanih krutom naglavnicom. Kada su u grupi, neki šipovi moraju biti zakošeni da bi bolje preneli horizontalne sile. Za proračun grupe šipova u deformabilnoj sredini, potrebno je sve pojedinačne matrice krutosti šipa i tla prevesti u globalni koordinatni sistem.

Pošto je grupa šipova uklještena u naglavnica, pomeranja glave svakog šipa je potpuno određeno pomeranjem naglavnice kao idealno krutog tela. Veza između pomeranja glave šipa u lokalnom i naglavnice u globalnom sistemu.

Ukupno pomeranje glave šipa usled pomeranja naglavice kao krutog tela, može se dobiti superpozicijom pomeranja.

U matričnom obliku ukupna pomeranja su:

{stθ}=[cosα sinα −x sinα+zcos αsinα −cos α xcos α+z sinα0 0 1 ] ∙ {UWθ }

{U L }=[T ] ∙{U } – vektor pomeranje naglavnica u globalnom sistemuNakon množenja matrice krutosti šipa i tla u lokalnom sistemu [ KL ] sa vektorom

pomeranja glave šipa u lokalnom sistemu { UL } jednačina postaje:

{QMT }=[KQs cosα KQs sinα KQs(−x sinα+z cosα )KTt sinα −KTtcos α K Tt ( xcos α+z sinα )+KTθ

KMt sinα −KMt cosα KMt ( xcos α+z sinα )+KMθ] ∙ {UWθ }

{RL }=[K L] ∙ {U L }=[K L] ∙ [T ] ∙ [U ]⟹ {RL}=[KG ] ∙{U } [ T ] – matrica transformacije pomeranja iz lokalnog u globalni sistem[ KG ] – matrica krutosti šipa i tla u globalnom sistemu

12. Matrica krutosti šipa u globalnom koordinatnom sistemu. Uslovne jednačine ravnoteže između sila na glavi šipa i opterećenja naglavice. Matrica krutosti sistema tlo-šipovi-naglavica. Uslovne jednačine za proračun pomeranja krute naglavice za grupu šipova (ravanski problem). Mogućnost primene uprošćenih metoda proračuna. Kritična ocena metoda Winklera i uprošćene metode.

Matrica krutosti šipa u globalnom koordinatnom sistemu:{RL }=[KG ] ∙{U }

{QMT }=[KQs cosα KQs sinα KQs(−x sinα+z cosα )KTt sinα −KTtcos α K Tt ( xcos α+z sinα )+KTθ

KMt sinα −KMt cosα KMt ( xcos α+z sinα )+KMθ] ∙ {UWθ }

Sile na glavi svakog šipa izrežene sa tri nepoznate veličine koje pretstavljaju komponente pomeranja naglavnice { U, W, }.θ

Nepoznate komponente pomeranja se mogu odrediti iz uslovnih jednačina ravnoteže u ravni X = 0, Z = 0, M = 0. Kada se sve swpoljne (aktivne) sile i momentiΣ Σ Σ redukuju u koordinatni početak (ili težište naglavice) i zatim razlože u smeru koordinatnih osa, dobiće se sile PX, PZ i spreg sila M0 oko tačke 0. Sile koje deluje na šipove, po zakonu akcije i reakcije su istog intenziteta i suprotnog smera od sila koje deluje na naglavicu.

∑ X=0⟹∑i=1

n

Qi cosα i+T i sinα i=PX

∑ Z=0⟹∑i=1

n

Qi sinαi−T i cosα i=PZ

∑M=0⟹∑i=1

n

[M i+(Q icos αi+T isinα i )Z i−(Q isinα i−T icos αi ) X i ]=M 0

Sistem uslovnih jednačina po pomeranjima:

[k11 k12 k13k22 k23

k33]⋅{UWθ }={PX

PZ

M 0}

ili

[ K ] ∙ {U }={P }

{ U } – vektor pomeranja naglavice u globalnom sistemu{ P } – matrica transformacije pomeranja iz lokalnog u globalni sistem

[ K ] – matrica krutosti grupe šipova i tla u globalnom sistemuNakon što se odredi { U } mogu se preko jednačina odrediti pomeranja i sile u

glavama svih šipova.

13. Primena metode konačnih razlika na proračun vertikalno i horizontalno opterećenog šipa. Granični uslovi za šip sa slobodnom i uklještenom glavom.

U opštem slučaju kada je horizontalni modul reakcije tla proizvoljno promenljiva veličina po dubini, može se primeniti neka od približnih numeričkih metoda, kao npr. MKR ili MEE. Osim promenljivog modula reakcije tla po dubini numeričke metode omogućavaju uvođenje nelinearne zavise između kontinualnog napona i pomeranja.

Vertikalno opterećen šip:Ako se diferencijalna jednačina aksijalno opterećenog šipa napiše u

diferencijalnom obliku za prazvojnu tačku i dobija se sledeći izraz:

Ep A ∙d2Wdz2

−S ∙ kτ ∙W=0

Ako se diferencijalna jednačina napiše za sve čvorove tačke i = 0, 1, ..., n grupisanjem koeficijenata uz nepoznata pomeranja dobija se sledeća matrična jednačina

[K p ]=E p A ∙¿ [K p ] ∙ {W }={P }[ Kp ] – krutost šipa i tla[ kξ τ ] – dijagonalna matrica sa prizvoljnim vrednostimaVertikalni šip opterećen horizontalnom silom i momentom:Ako je glava šipa slobodna, tada su granični uslovi po silama, odnosno

transverzalna sila i moment savijanja na glavi šipa moraju biti jednaki horizontalnoj sili i momentu koji deluje na glavi šipa.

Ako je obrtanje, glave šipa sprečeno (uklješ), tada su granični uslovi mešoviti, po silama i pomeranjima, odnosno transverzalna sila je jednaka horizontalnoj sili koja deluje na glavi šipa a obrtanje glave šipa je nula.

Diferencijalna jednačina šipa ⟹ glavu opterećujemo H silom i M

Ep I ∙d4Udz4

=−q (z) q ( z )=d ∙ kn(z )∙U

Vertikalni šip – slobodna glavaMoment savijanja i granični uslov na glavi šipa glasi:

M (z )=−Ep I ∙d2Udz2

M (0 )=M 0

Transverzalna sila i granični uslov na glavi šipa glasi:

T ( z )=−Ep I ∙d3Udz3

T (0 )=H

U matričnom obliku, jednačina savijanja šipa glasi:Ep I

C3∙( [D ]+ dC2

Ep I∙ [K n ]) ∙ {U }={P }

[K p ]=Ep I

C3 ∙([ D ]+ dC2

E p I∙ [Kn ]) [K p ] ∙ {U }={P }

Vertikalan šip – uklještena glavaNagib elastične linije i granični uslov na glavi šipa glasi:

θ ( z )=dndz

θ (0 )=0

Transverzalna sila i granični uslov na glavi šipa glasi:

T ( z )=−Ep I ∙d3Udz3

T (0 )=H

Konstanti element uz nepoznata horizontalna pomeranja šipa, formiraju elemente matrice diferencijalnog operatora [ D ].

U matričnom obliku, jednačina savijanja šipa glasi:

[K p ]=Ep I

C3 ∙([ D ]+ dC2

E p I∙ [Kn ])

14. Efekat grupe šipova. Sleganje male grupe vertikalnih šipova sa krutom naglavicom pod centričnim i ekscentričnim vertikalnim opterćenjem. Moduli reakcije tla za grupu šipova.

Šipovi retko prenise opterećenje pojedinačno, već u grupi u kojoj pojedini šipovi ili grupe mogu imati različite pravce. Da bi se obezbedili zajednički rad, glave šipova su međusobno povezane krutom armiranobetonskom konstrukcijom koja se naziva naglavica.

Zbog malog rastojanja, postoji mođusoban uticaj šipova na pomeranje cele grupe, koje se naziva efekat grupe.

Sleganje grupe šipova, ne može se sračunati na osnovu Winklerovog modela.Za grupu šipova, krutost svakog šipa se redukuje zbog efekta interakcije,

definisanog faktorom interakcije .α

α=ξ ∙ln ( rmρ )ln( 2 rmα )

rm – radijus dejstveFaktori interakcije za grupu šipova, mogu se pregledno prikazati u matričnom

obliku, preko natrice faktora interakcije [ ]:α

Sii=d2

Sij=√ (x i−x j )2+( yi− y j )

2

Sleganje šipa „i“ u grupi od n šipova, opterećenih vertikalnim silama Q1.........Qn, može se napisati u sledećem oblik:

W i=∑i=1

n Q i

KQ Si

∙ αij

{W }=[α ] ∙ [K QS ] ∙{Q} – sleganje grupe šipovaGrupa šipova opterećena vertikalnom silom:

Sleganje šipa: W (QSP )=QSP

KQS

= Vn ∙KQ S

QSP – prosečno opterećenje grupe šipovaW(QSP) – sleganje šipa usled prosečnog opterećenja grupe šipovaV – ukupno vertikalno opterećenje grupe šipovan – ukupan broj šipova u grupi

W g=QSP

KQS

∙n

ΣΣ [α ]−1⟹W g=W (Q SP) ∙

n

ΣΣ [α ]−1

Faktor sleganje grupe šipova RS:

RS=W g

W (Q SP)⟹ n

ΣΣ [α ]−1

Sleganje naglavice:

W g=RS ∙QSP

KQS

=RS ∙

VnKQS

{Q }=W g ∙K QS ∙ [α ]−1 ∙ [ I ]=RS ∙V

n∙ [α ]−1 ∙ [ I ]

Krutost šipa usled interakcije:

{KQS }= 1W g

∙ {Q }