Funções de varias variáveis ou Funções reais de variável vetorial

)x,..,x,F(xw )x,...,x,(x

:

321n21

RRF n

nRSFDom )( S é um subconjunto de Rn

Exemplo 1: Seja F tal que

1w y)(x,

:

22

2

yx

RRF

Identifique o domínio e a imagem de F

Exemplos

221 yxz Gráfico de função

Exemplos

Domínio f : semi-plano superior a y=x Imagem f : toda reta real.

Observações importantes Disco aberto, disco fechado

Identifique o domínio e a imagem de F

Seja : z = f(x,y), logo G(f)={(x,y,f(x,y)) C R3 } superfície Curva nível = { (x,y,c) C R3 , c=f(x,y)} curvas

Seja : w = f(x,y,z), logo G(f)={(x,y,z,f(x,y,z) )C R4 } hiper-superf. Curva nível = { (x,y,z,c) C R4 , c=f(x,y,z)} superfícies

Curvas de nível: c=f(x,y); c = cte.

Gráfico: = {(x,y, z) ϵ R3 , (x,y) ϵ D(f)}, z=f(x,y))

1),( 22 yxyxfw

22

4y

xz

22

22

1

,11

yxc

yxc

Curva de nível

z= ln(y-x)

Curvas de nível :

cc exyxye

)ln( xyc

z: R2 R, z(x,y)= -5x/(x2 + y2 + 1)

A gráfica da função z, se da no espaço R3

(é uma superfície ). Qual é a equação das curvas de nível ???

f: R3 R w= f(x,y,z) = z-x2-y2, Gráfico (f) = {(x,y,z,w) ϵ R4, (x,y,z) ϵ Domin(f) ϵ R3} não da para ver, só podemos visualizar as superf. De nível

Superfície de nível: c = z-x2-y2

Limite e continuidade de funções reais com variável vetorial (varias variáveis)

Exemplo: Seja provar que 1L y)f(x, lim )0,0(),( yx

1),( 22 yxyxf

lim

L y)f(x, lim ),(),( 00 yxyx

2

0

2

0 )()(0 yyxx disco de radio δ

L Imagem de f

)(

Limite e continuidade

Continuidade de funções reais de variável vetorial

Exemplo 1.- A função f(x,y)= x2+y2+1, é continua para todo ponto (x,y) do domínio de f =R2

Exemplo 2.- f(x,y) = (x+y)/(x-y), domínio(f) = R2 - {a reta x=y}

Exemplo 3

Exemplo 4. verifique se a função e continua no ponto (1,1/4)

2),( xyyxf

Limite e continuidade: exercícios

Exercício 1.- Analise a continuidade da função z= f(x,y) = ln(x2+y2+1) no ponto (0,0); Reposta: a função f(x,y) é continua no ponto (0,0).

Exercício 2.- Em que ponto do espaço R3 a função é continua? Resposta: em qualquer lugar exceto no cilindro x2+y2=1

1

1),,(

22

yxzyxh

Exercícios

1.- Identifique o domínio e a imagem da função w = w(x,y) definida assim 2.-Desenhe a superfície definida pela equação

122 yxw

41

22 yxz

3.- encontre as curvas de nível da equação z=16-x2-y2

3.-Calcule se a) b)

),(lim )0,0(),( yxfyx

yx

yyxyxf

2

22

),(22

),(yx

xyxf

4.- A função z=f(x,y) esta definida como quando para (x,y)≠(0,0), e seria 0 para (x,y)=(0,0). Mostre se ela não é continua no ponto (x,y)=(0,0). 5.- utilize o teste dos caminhos para mostrar que não existe, sendo

42

22

yx

xyz

),(lim )0,0(),( yxfyx

24

42

),(yx

xyxyxf

Derivada parcial

Derivada parcial em relação a x

Desde que o limite exista.

h

yxfyhxf

x

fhyx

),(),(lim| 0000

0),( 00

Derivada parcial em relação a y

h

yxfhyxf

y

fhyx

),(),(lim| 0000

0),( 00

Desde que o limite exista

Derivada parcial : interpretação geométrica

Derivada parcial : interpretação geométrica: f(x,y)

),()( 0 yxy

fyh

),()( 0yx

x

fxg

Coef. angular das retas tangentes as curvas vermelhas

)1ln( 22 yxf

)1(

222

yx

y

y

fh

)1(

222

yx

x

x

fg

Derivada parcial como taxa de variação.

A derivada parcial é a taxa de variação de f ao longo da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e1 = (1, 0),

),( 00 yxx

f

A derivada parcial é a taxa de variação de f ao longo da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e2 = (0, 1),

),( 00 yxy

f

Isto é, as derivadas parciais medem a velocidade da variação parcial da função em relação a cada variável, quando as outras estão fixadas.

Derivada parcial de segunda ordem.

xyyxyyxx fxy

ff

yx

ff

y

ff

x

f

22

2

2

2

2

;; ;

)();( 22

y

f

xf

yx

f

x

f

yf

xy

fyxxy

notação

yx fy

ff

x

f

;Notação

Teorema das derivadas mistas. Se f(x,y) e suas derivadas parciais fx,fy,fxy

forem definidas em uma região contendo o ponto (a,b) e todas forem contínuas em (a,b) então

),(

2

),(

2

|| babaxy

f

yx

f

Exemplo 1.- Seja a função z=f(x,y)= ex+2y , verifique que o teorema anterior se verifica.

Diferenciabilidade de uma função z=f(x,y). A função z=f(x,y) é diferenciável em (x0,y0) se fx, fy sejam definidas em uma região que contenha o ponto (x0,y0) e que

),(),( 0000 yxfyyxxfz

yxyyxfxyxfz yx 210000 ),(),(

satisfaz

Na qual quando 0,0 21 0,0 yx

Continuidade de derivadas parciais implica Diferenciabilidade. Dada a função e , z=f(x,y) se fx, fy existirem e são contínuas no domínio D, então f é diferenciável nesta ponto (x,y). Diferenciabilidade implica continuidade

Importante: Dada a função diferenciável

f(x,y) , logo a diferencial de f, em (x,y), relativa aos acrescimos dx, dy é indicada por dz ou df

Exemplo: análise a diferenciabilidade da função z = f(x,y) =y x2+y2

, : 2 RRDf Dyx ),(

dyyxfdxyxfdz yx ),(),( 0000

Plano tangente a uma superfície no espaço R3

Plano tangente a uma superfície.

O plano tangente ao gráfico de uma função f(x,y) num ponto é o plano que contem todas as retas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto. Se todas as retas tangente a esse ponto não são co-planares, então dizemos que o plano tangente não existe. Seja uma função diferençável no ponto (x0,y0) RRAf 2:

Equação do plano tangente a o gráfico G(f) no ponto (x0,y0,z0), z0=f(x0,y0)

0)0.(1)()(00 00 zzfyyfxx yx

),( 000yx

x

ff x

),( 000

yxy

ff y

Plano tangente a uma superfície.

A interseção do plano e a curva z=f(x,y) é justamente o ponto (x0,y0), que é o ponto de intercepto das duas superfícies. O plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (x0,y0,z0) só é definida se a função f(x,y) for diferenciável neste ponto. Casso a função for diferenciável o plano conterá todas as retas tangentes ao gráfico de f(x,y) no ponto (x0,y0). Se não for diferenciável em (x0,y0) , mas admitir derivadas parciais neste ponto, então o plano existirá mas não será plano tangente.

http://www.mat.uc.pt/~picado/geomdif/anima/planotangente.html http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t6-PlanoTangente/software/planoTangente-con-normal.html

exemplos

• Determine a equação do plano tangente á superfície

, no ponto Q=(1,2,6). Determine também a equação da reta perpendicular ao plano que passa pelo ponto Q.

• Determine a equação do plano tangente à superfície S definida pela equação z = ln(y-x) , no ponto Q=(1,2,0). Encontre também um vetor unitário perpendicular a dita superfície S no mesmo ponto.

1),( 22 yxyxfw

Regra da cadeia:funções de 2 variáveis independes Dada a função w=f(x,y), e se fx, fy são contínuas e se x=g(t), y=h(t) forem funções diferenciáveis de t então a função composta w(t)=f(g(t),h(t)) será uma função diferençável de t, logo

dt

dy

y

f

dt

dx

x

f

dt

df..

Exemplo 1: Seja f(x,y)= x2 y; e seja x= cos(t), y= t, determine

dt

df

dt

df é chamada de derivada total

,

dt

df Esta derivada total indica como esta variando a função f ao longo da curva r(t) = (cos(t),t, cos(t)2 t) que descansa na superfície z=f(x,y)

Taxa de variação da função z=f(x,y) ao longo da curva r(t) = (cos(t), t, cos(t)2 t)

dt

df

Determine ao longo da curva r(t)=(-t, 2 t ). A curva r(t) = (-t , 2 t, ln(3 t)) que descansa na superfície z = f(x,y)= ln (y-x) se observa na figura anterior. A derivada solicitada daria a taxa de variação de f conforme nos movimentamos Alo longo da curva horizontal r(t)=(-t,2t).

Exemplo 2

Regra da cadeia

,...

...

ds

dz

z

f

ds

dy

y

f

ds

dx

x

f

s

f

t

f

z

f

dt

dy

y

f

dt

dx

x

f

t

f

,

Regra da cadeia:funções de 3 variáveis independes Dada a função w=f(x,y,z), e se fx, fy , fz são contínuas e se x=g(t,s), y=h(t,s),z=k(t,s) forem funções diferenciáveis de t e s então a função composta w(t,s) = f(h(t,s),h(t,s),k(t,s)) será uma função diferençável de t e s, logo

Exemplos

1.- Seja a função z= f(u,v) = sin(u v) + cos (u v) , e considere as seguinte parametrizações. u= x - c t, e v= x +ct. Sendo c uma constante, a) Determine

b) Determine , 2.- seja a função w= x2+ 2 y2+z , e consideremos as parametrizações x= t+s, y = t-s, z= t s; a) Determine as derivadas parciais

b) Determine a diferencial total da função w(x,y,z), “dw”.

x

f

t

f

,

s

w

t

w

,

ttft

f

2

2

xxfx

f

2

2

Derivada implícita O teorema da função implícita afirma que se F(x,y) é definida num disco aberto contento o ponto (a,b), onde F(a,b)=0, Fy (a,b) ≠ 0, Fx, Fy são funções continuas então dy/dx esta definida.

yF

Fx

dx

dyyxF ,0),(

Exemplo: Seja x3+y3 = 6xy, calcular dy/dx

Exercícios

1.- Dados a) f(x,y)= x2y + 2y, b) f(x,y,z) = cos(x+y)z+ zy determine fx, fxx, fy, fyy , fxz, fzzy

2.- Seja determine fxy e fyx em que parte do domínio são iguais.

3.- Mostrar a diferenciabilidade de f(x,y) = y2 + 4x em qualquer ponto do seu domínio. 4.- calcular a diferencial de a) z= x3y, b) sin(x y) 5.- determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada por a) f(x,y)= x2+4y2+1, b) ln(x2-y) c) f(x,y)= 5x/(x2 + y2 + 1) nos

pontos (x,y,z)=(1,1,6), (x,y,z)=(2,3,0), (x,y,z)=(1,1,5/3) respectivamente.

yx

xyxf

),(

Exercícios

6) Uma caixa em forma de paralelepípedo de lados x y e z estão variando de volume, de tal forma que num instante dado esses 3 lados medem x0=1m, y0=2m, z0=3m respectivamente. No mesmo instante a taxa de variação dos lados x, y e z em relação ao tempo é respectivamente 1, 1 e -3. Determine a taxa de variação do volume e da superfície total da caixa em relação ao tempo no mesmo instante.

7) Seja f uma função duas vezes diferençável na reta real ; seja u(x, t) = a f(x+c t) + b f(x-c t) sendo a, b, c constantes reais e c ≠ 0. Mostre que

01

2

2

22

2

t

u

cx

uEquação de onda