Upload
others
View
20
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
FUNGSI DAN LIMIT
2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Fungsi
Sebuah fungsi 𝑓 adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek 𝑥 dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik 𝑓(𝑥) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (jelajah) fungsi tersebut.
Notasi Fungsi
Untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti 𝑓 (atau 𝐹). Maka 𝑓(𝑥) yang dibaca “𝑓 dari 𝑥” atau “𝑓 pada 𝑥”, menunjukkan nilai yang diberikan oleh 𝑓 kepada 𝑥.
Jadi, jika 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 4.
𝑓 2 = 23 − 4 = 4
𝑓 −1 = (−1)3−4 = −5
𝑓 𝑎 = 𝑎3 − 4
𝑓 𝑎 + = (𝑎 + )3−4 = 𝑎3 + 3𝑎2 + 3𝑎2 + 3 − 4
Daerah Asal dan Daerah Hasil
Daerah Asal adalah himpunan elemen-elemen pada mana fungsi itu mendapat nilai.
Daerah Hasil adalah himpunan nilai-nilai yang diperoleh secara demikian.
Contoh :
Cari daerah asal mula (natural) 𝑓 𝑥 = 1/(𝑥 − 3)
Solusi :
Daerah asal mula untuk 𝑓 adalah 𝑥 ∈ ℝ . Ini dibaca “himpunan 𝑥 dalam ℝ (bilangan riil) sedemikian sehingga 𝑥 tidak sama dengan 3”. Kita kecualikan 3 untuk menghindari pembagian oleh 0.
Grafik Fungsi
Jika daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan riil, maka kita dapat menggambarkan grafiknya pada bidang koordinat. Grafik fungsi 𝑓 adalah grafik dari persamaan 𝑦 = 𝑓 𝑥 . Contoh :
Buatlah sketsa grafik dari 𝑥 = 2/(𝑥 − 1). Solusi :
Jika 𝑥 mendekati, nilai-nilai 𝑥 membesar tanpa batas (misalnya, 0,99 = −200 dan 1,001 = 2000).
Garis tegak putus-putus disebut asimtot, pada 𝑥 = 1 dan pada sumbu 𝑥. (Garis asimtot pada grafik tersebut bukan merupakan bagian dari grafik). Daerah asal fungsi *𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ≠ 1+, daerah hasil *𝑦 ∈ ℝ ∶ 𝑦 ≠ 0+.
Fungsi Genap dan Ganjil
Digunakan untuk memperkirakan kesimetrian
grafik dan fungsi.
Jika 𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥 Simetri thd sumbu 𝑦
(Fungsi Genap)
Jika 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥 Simetri thd titik asal
(Fungsi Ganjil)
Dua Fungsi Khusus
a. Fungsi Nilai Mutlak
𝑥 = 𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 0−𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 0
b. Fungsi Bilangan Bulat Terbesar
𝑥 = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil
atau sama dengan 𝑥
Jadi, −3,1 = 3,1 = 3,1, sedangkan
−3,1 = −4 dan 3,1 = 3
2.2 Operasi pada Fungsi
Jumlah, Selisih, Hasil Kali, Hasil Bagi,
Pangkat. Misal fungsi-fungsi 𝑓 dan 𝑔
dengan rumus-rumus
𝑓 𝑥 =𝑥 − 3
2, 𝑔 𝑥 = 𝑥
Komposisi Fungsi Jika 𝑓 bekerja pada 𝑥 untuk menghasilkan 𝑓(𝑥) dan kemudian 𝑔 bekerja pada
𝑓(𝑥) untuk menghasilkan 𝑔(𝑓 𝑥 ), dikatakan bahwa kita telah menyusun 𝑔
dengan 𝑓. Fungsi yang dihasilkan disebut komposit 𝑔 dengan 𝑓, dinyatakan
oleh
𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑓(𝑥))
Contoh :
Translasi (Penggeseran)
Contoh :
Katalog Sebagian dari Fungsi
a. Fungsi Konstan
Fungsi berbentuk 𝑓 𝑥 = 𝑘, dengan 𝑘 konstanta (bilangan riil).
b. Fungsi Identitas
Fungsi berbentuk 𝑓 𝑥 = 𝑥.
c. Fungsi Polinom
Fungsi yang diperoleh dari fungsi konstan dan dan fungsi identitas dengan memakai operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian. Fungsi ini berbentuk
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0
d. Fungsi Linear
Fungsi berderajat satu. Fungsi ini berbentuk
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏
e. Fungsi Kuadrat
Fungsi berderajat dua. Fungsi ini berbentuk
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
f. Fungsi Rasional
Fungsi yang diperoleh dari hasil bagi fungsi-fungsi polinom. Fungsi ini berbentuk
𝑓 𝑥 =𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1+⋯+𝑎1𝑥+𝑎0
𝑏𝑚𝑥𝑚+𝑏𝑚−1𝑥𝑚−1+⋯+𝑏1𝑥+𝑏0
g. Fungsi Aljabar Eksplisit
Fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstan dan fungsi identitas melalui lima operasi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar.
Contohnya : 𝑔 𝑥 =𝑥+2 𝑥
𝑥3+ 𝑥2−13
2.3 Fungsi Trigonometri
Kesamaan-Kesamaan Penting
2.4 Pendahuluan Limit Pemahaman Secara Intuisi
Pandang Fungsi yang ditentukan oleh rumus
𝑓 𝑥 =𝑥3 − 1
𝑥 − 1
Perhatikan bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisikan pada 𝑥 = 1 karena di titik ini 𝑓(𝑥) berbentuk
0
0 , yang tanpa arti. Tetapi kita masih dapat menanyakan apa yang
terjadi pada 𝑓(𝑥) bilamana 𝑥 mendekati 1.
Kesimpulannya :
𝑓(𝑥) mendekati 3
bilamana 𝑥
mendekati 1. Kita
tuliskan,
lim𝑥→1
𝑥3 − 1
𝑥 − 1= 3
Dibaca :
“limit dari 𝑥3 − 1 /𝑥 − 1 untuk 𝑥
mendekati 1 adalah
3.
Definisi Limit
(Pengertian limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa
lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝐿 berarti bahwa bilamana 𝑥 dekat tetapi berlainan dari 𝑐,
maka 𝑓(𝑥) dekat ke 𝐿.
Limit-Limit Sepihak
2.5 Pengkajian Mendalam Tentang
Limit Definisi Limit
(Pengertian persis tentang limit). Mengatakan bahwa
lim𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝐿 berarti bahwa untuk tiap > 0 yang diberikan (betapapun
kecilnya), terdapat 𝛿 > 0 yang berpadanan sedemikian sehingga
𝑓 𝑥 − 𝐿 < asalkan bahwa 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿; yakni,
0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 <
Contoh Bukti Limit
Limit-Limit Satu Pihak
2.6 Teorema Limit
2.7 Limit melibatkan Fungsi
Trigonometri
2.8 Limit-limit pada Tak
Berhingga, Limit-limit Tak Hingga
2.9 Kekontinuan Fungsi
Kekontinuan Fungsi yang Banyak
Dikenal
Kekontinuan Fungsi yang Banyak
Dikenal