FUNGSI LINIER

FUNGSI FUNGSI LINIELINIERR

Chairul A.S.

PENGERTIAN DAN UNSUR PEMBENTUK FU:ngsi

PENGERTIANPENGERTIANFungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan antara suatu variabel dengan variabel lain.

UNSUR PEMBENTUK FUNGSI:UNSUR PEMBENTUK FUNGSI:VariabelVariabelKoefisienKoefisienKonstantaKonstanta

UNSUR PEMBENTUK FUNGSI

VariabelVariabel adalah unsur pembentuk fungsi yang melambangkan faktor tertentu dinyatakan dengan huruf atau simbol yang lain Ada 2 jenis variabel:

1. variabel terikat/dependent variable. 2. variabel bebas/independent variable.

KoefisienKoefisien adalah bilangan yang melekat pada variabel

KonstantaKonstanta adalah bilangan yang berdiri sendiri tidak melekat pada variabel

Contoh: Y = f(X)Y = 3 + 0,2 X

FUNGSI LINIER

FUNGSI LINIER

FUNGSI LINIER

FUNGSI LINIER

FUNGSI LINIER

Soal latihan Bentuklah dan gambarkan persamaan linier

yang garisnya lewat titik-titik dengan koordinat berikut ini:

(-1,4) dan (1,0) (-1,-2) dan (-5,-3) (0,0) dan (1,5) (1,4) dan (2,3)

Bentuklah dan gambarkan persamaan linier yang garisnya lewat titik dengan koordinat (4,3) dan memiliki slope sebesar: –1 2 5

HUBUNGAN DUA GARIS LURUS

SejajarSejajar apabila persamaan garis yang satu memiliki slope yang sama besarnya dengan garis-garis yang lain, meskipun konstantanya tidaklah sama.

Y = aY = a1 1 + b+ b11X sejajar Y = aX sejajar Y = a22 + b + b22X X jika:jika: b b11 = b = b22

BerhimpitBerhimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari persamaan garis yang lain.

Y = aY = a + bX berhimpit nY = n(a+ bX berhimpit nY = n(a22 + b + b22X) X)

BerpotonganBerpotongan apabila persamaan garis yang satu memiliki slope yang berbeda besarnya dengan garis-garis yang lain.

Y = aY = a1 1 + b+ b11X berpotongan X berpotongan dengandengan :: Y = a Y = a22 + b + b22X X jikajika :: b b11 ≠ b ≠ b22

Berpotongan secara tegak lurus Berpotongan secara tegak lurus apabila slope persamaan garis yang satu merupakan lawan kebalikan slope garis-garis yang lain.

Y = aY = a1 1 + b+ b11X berpotongan tegak lurus X berpotongan tegak lurus dengandengan :: Y = a Y = a22 + b + b22X X

jikajika b b11 = - 1/b = - 1/b2 2 atau atau bb11 . b . b2 2 = - 1= - 1

Soal latihan

Selidiki hubungan antara garis Y + 3X – 6 = 0 dengan

garis-garis berikut ini: Y/2 – X/6 = 1 X/3 + Y/9 = 1 2Y + 6X – 12 = 0 Y + 2X – 3 = 0

PENCARIAN AKAR-AKAR FUNGSICara Substitusi: Cara Substitusi:

Selesaikan salah satu persamaan, lalu substitusikan ke dlm persamaan yg lain

Jika persamaan 1: Y = 7 - 2/3X dalam bentuk lain : 2X + 3Y = 21

persamaan 2: Y = 23/4 -1/4X dalam bentuk lain : X + 4Y = 23selesaikan persamaan 2 (boleh juga persamaan 1 dulu): X + 4Y = 23

X = 23 – 4YKemudian mensubstitusikannya dalam persamaan 1: 2X + 3Y = 21

2(23 – 4Y) + 3Y = 21

46 – 8Y + 3Y = 21

–5Y = –25

Y = 5Substitusikan nilai Y = 5 kedalam persaman 2: X + 4Y = 23

X + 4(5) = 23

X = 3

FUNGSI LINIER Cara eliminasi Cara eliminasi dilakukan dengan jalan

mengeliminir/menghilangkan salah satu bilangan unknown-nya (bisa X atau Y) terlebih dahulu. Perhatikan contoh yang sama berikut ini.

persamaan 1: Y = 7 - 2/3X 2X + 3Y = 21

persamaan 2: Y = 23/4 -1/4X X + 4Y = 23

misal menghilangkan bilangan X terlebih dahulu (boleh juga bilangan Y dulu) sebagai berikut:

2X + 3Y = 21 x1 2X + 3Y = 21

X + 4Y = 23 x2 2X + 8Y = 46 (-)

-5Y = -25

Y = 5

Masukkan nilai Y = 5 kedalam persaman 2: X + 4Y = 23

X + 4(5) = 23

X = 3

FUNGSI LINIER Cara DeterminanCara Determinan

Secara umum determinan dituliskan dengan notasi sbb: a b

c d

Prinsip mengerjakan : mengalikan unsurnya secara diagonal dari kiri atas ke kanan bawah dikurangi dengan perkalian unsurnya secara diagonal dari kiri bawah ke kanan atas.

Untuk determinan berderajad dua (2x2): a b a b = ad – cb c d c d (–) (+) Untuk determinan berderajad tiga (3x3): a b c a b c a b d e f d e f d e = aei + bfg + cdh – gec –

hfa – idb g h i g h i g h (–) (–) (–) (+) (+) (+)

FUNGSI LINIER Cramers rule: Apabila ada dua persamaan dengan dua bilangan un-known:

Persamaan 1: aX + bY = c

Persamaan 2: dX + eY = f

Secara matriks dapat dituliskan a b X c

=

d e Y f

FUNGSI LINIER Apabila ada tiga persamaan dengan tiga bilangan un-known:

Persamaan 1: aX + bY + cZ = k

Persamaan 2: dX + eY + fZ = l

Persamaan 3: gX + hY + iZ = m

Secara matriks dapat dituliskan a b c X k

d e f Y = l

g h i Z m

FUNGSI LINIER

FUNGSI LINIERpersamaan 1: Y = 7 - 2/3X 2X + 3Y = 21

persamaan 2: Y = 23/4 -1/4X X + 4Y = 23

Secara matriks dapat dituliskan 2 3 X 21

=

1 4 Y 23

Soal latihanCarilah akar-akar fungsi berikut ini:A. 2X + 3Y = 21 dan 8X – 4Y – 4 = 0

B. 2X + 2Y = 30 dan 4X – 8Y = -24

C. X + Y + Z = 3 dan 5X – 9Y –2Z = 8 dan 3X + 5Y – 3Z = 45

TUGAS Tentukan persamaan garis yang

melewati titik dengan koordinat (4,2) dan tegak lurus dengan garis yang melewati titik-titik berkoordinat (1,0) dan (9,16)

APLIKASI FUNGSI LINIERAPLIKASI FUNGSI LINIER

Chairul A.S.

APLIKASI MIKRO : Permintaan, Penawaran Dan Keseimbangan Pasar

Fungsi PermintaanFungsi Permintaan

Fungsi permintaan menunjukkan hubungan negatif antara jumlah barang yang diminta dengan harganya

Secara umum bentuk fungsi permintaan dituliskan:

Q = -aP + b atau P = -1/a Q + b/a Secara grafis hubungan tersebut dapat digambarkan:


Fungsi PenawaranFungsi Penawaran

Fungsi penawaran menunjukkan hubungan positif antara jumlah barang yang diminta dengan harganya

Secara umum bentuk fungsi penawaran dituliskan:

Q = aP – b atau P = 1/a Q + b/a Secara grafis hubungan tersebut dapat digambarkan:


Keseimbangan PasarKeseimbangan Pasar

Pada keadaan ini jumlah yang diminta konsumen sama dengan jumlah yang ditawarkan produsen dan harga yang ditawarkan sama dengan harga yang diminta

Secara grafis keseimbangan (Equilibrium) ini ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva permintaan dengan kurva penawaran.


Contoh : Fungsi permintaan: Q = -P + 15 P = -Q + 15

Fungsi penawaran : Q = 2P – 6 P = 0,5Q + 3

Equilibrium:Equilibrium:

QPERMINTAAN = Q PENAWARAN

-P + 15 = 2P – 6

21 = 3P

PE = 7

Q = -P + 15 Q = 2P – 6

Q = -(7) + 15 atau Q = 2(7) – 6

Q = 8 Q = 8


Secara grafis keseimbangan tersebut digambarkan:


Pengaruh Pajak Dan Subsidi Terhadap Keseimbangan PasarPengaruh Pajak Dan Subsidi Terhadap Keseimbangan Pasar Pajak menjadikan harga jual lebih mahal (menambahi harga jual)

merubah fungsi penawaran Contoh : Fungsi permintaan : P = -Q + 15 Q = -P

+ 15

Fungsi penawaran : P = 0,5Q + 3 Q = 2P – 6 + 3

pajak sebesar 3 perunit barang

Fungsi penawaran sebelum pajak : Q = 2P – 6

Berarti harga jual sebelum pajak : P = 0,5Q + 3

Setelah pajak harga jual menjadi : P = 0,5Q + 3 + 3

P = 0,5Q + 6

0,5Q = P – 6

Fungsi penawaran setelah pajak : Q = 2P – 12

Sementara permintaan tetap : Q = -P + 15


Dengan demikian keseimbangan setelah pajak:


-P + 15 = 2P – 12

27 = 3P

PE = 9

Pada harga keseimbangan ini jumlah yang ditransaksikan:

Q = -P + 15 Q = 2P – 12

Q = -(9) + 15 atau Q = 2(9) – 12

Q = 6 Q = 6


Secara grafis seluruh permasalahan di atas tersebut digambarkan:


Besarnya beban pajak yang ditanggung masing-masing pihak:

Beban pajak yang ditanggung konsumenBeban pajak yang ditanggung konsumen

Per unit barang = 9 – 7 = 2

Total = 6 x 2 = 12

Beban pajak yang ditanggung produsenBeban pajak yang ditanggung produsen


Total = 6 x 1 = 6

Pajak yang diterima pemerintahPajak yang diterima pemerintah

Per unit barang = 3

Total = 6 x 3 = 18


Subsidi menjadikan harga jual lebih murah (mengurangi harga jual) merubah fungsi penawaran

Contoh : Fungsi permintaan : P = -Q + 15 Q = -P + 15

Fungsi penawaran : P = 0,5Q + 3 Q = 2P – 6 – 1,5

pajak sebesar 1,5 perunit barang

Fungsi penawaran sebelum subsidi : Q = 2P – 6

Berarti harga jual sebelum subsidi : P = 0,5Q + 3

Setelah subsidi harga jual menjadi : P = 0,5Q + 3 – 1,5

P = 0,5Q + 1,5

0,5Q = P – 1,5

Fungsi penawaran setelah subsidi : Q = 2P – 3

Sementara permintaan tetap : Q = -P + 15


Dengan demikian keseimbangan setelah subsidi:


-P + 15 = 2P – 3

18 = 3P

PE = 6

Pada harga keseimbangan ini jumlah yang ditransaksikan:

Q = -P + 15 Q = 2P – 3

Q = -(6) + 15 atau Q = 2(6) – 3

Q = 9 Q = 9


Secara grafis seluruh permasalahan di atas tersebut digambarkan:


Besarnya subsidi yang diterima masing-masing pihak:

Besar subsidi yang diterima konsumenBesar subsidi yang diterima konsumen


Total = 9 x 1 = 9

Besar subsidi yang diterima produsenBesar subsidi yang diterima produsen

Per unit barang = 1,5 – 1 = 0,5

Total = 9 x 0,5 = 4,5

subsidi yang diberikan pemerintahsubsidi yang diberikan pemerintah

Per unit barang = 1,5

Total = 9 x 1,5 = 13,5

APLIKASI MIKRO : Keseimbangan Pasar Kasus Banyak Barang

Dalam kasus dua barang yang berhubungan, permintaan dapat dituliskan:

Qx = f(Px, Py) sementara Qy = f(Px, Py)

= a – bPx + cPy = k + lPx – mPy

Dimana: Qx = jumlah barang x yang diminta

Qy = jumlah barang y yang diminta

Px = harga barang x

Py = harga barang y Jika koefisien dari harga barang lain positif artinya kedua

barang saling substitutif (mengganti) sebaliknya jika tanda koefisien negatif maka kedua barang saling komplementer (melengkapi).


Pasar barang xPasar barang x Pasar barang yPasar barang y

Permintaan: Qx = 10 – 4Px + 2Py Permintaan: Qy = 9 + 4Px – 3Py

Penawaran : Qx = 6Px – 6 Penawaran : Qy = 7Py – 3

Keseimbangan pasar barang xKeseimbangan pasar barang x Keseimbangan pasar barang yKeseimbangan pasar barang y

QPERMINTAAN = Q PENAWARAN QPERMINTAAN = Q PENAWARAN

10 – 4Px + 2Py = 6Px – 6 9 + 4Px – 3Py = 7Py – 3

–10Px + 2Py = –16 4Px – 10Py = –12

Secara simultan keseimbangan harga dan jumlah dapat dicari:

–10Px + 2Py = –16 x5 –50Px + 10Py = –80

4Px – 10Py = –12 4Px – 10Py = –12

------------------------- --------------------------- (+)

–46Px = –92

Px = 2


Substitusikan dalam: 4Px – 10Py = –12

4(2) – 10Py = –12

Py = 2

Substitusikan Px = 2 dan Py = 2 dalam:

Qx = 10 – 4Px + 2Py Qy = 9 + 4Px – 3Py

Qx = 10 – 4(2) + 2(2) Qy = 9 + 4(2) – 3(2)

Qx = 6 Qy = 11

Atau dan Atau

Qx = 6Px – 6 Qy = 7Py – 3

Qx = 6(2) – 6 Qy = 7(2) – 3

Qx = 6 Qy = 11

APLIKASI MIKRO : Biaya Dan Penerimaan

Fungsi BiayaFungsi Biaya

fixed cost (FC)

Biaya variabel cost (VC)

total cost (TC)

TFC = k

TVC = f (Q) = aQ + 0

TC = f (Q) = TFC + TVC = k + aQ

TFCAFC = ------ Q TVCAVC = ------- Q TCAC = ----- Q


Fungsi PenerimaanFungsi Penerimaan

Penerimaan merupakan hasil kali harga jual dengan jumlah yang terjual.

TR = f(Q) = P.Q


Keuntungan PerusahaanKeuntungan Perusahaan


contoh kasus, apabila menjual produknya seharga 1000, biaya tetap yang dipikul, TFC = 60.000, dan biaya variabel per produk sebesar 500 (TVC = 500Q).

Total Revenue TR = P Q Total Cost TC = TFC + TVC

= 1000 Q = 60.000 + 500Q

bila memproduksi dan menjual produk sebesar 100 maka

TR = 1000 Q TC = 60.000 + 500Q

= 1000 (100) = 60.000 + 500(100)

= 100.000 = 110.000

Maka keuntungan atau kerugian dapat dihitung:

= TR- TC

= 100.000 – 110.000

= -10.000 (selisih negatif berarti rugi)


Apabila perusahaan menjual produk sebesar 120

TR = 1000 Q TC = 60.000 + 500Q

= 1000 (120) = 60.000 + 500(120)

= 120.000 = 120.000

Maka : = TR- TC

= 120.000 – 120.000

= 0 (selisih nol berati break even) Apabila perusahaan menjual produk sebesar 150

TR = 1000 Q TC = 60.000 + 500Q

= 1000 (150) = 60.000 + 500(150)

= 150.000 = 135.000

Maka : = TR- TC

= 150.000 – 135.000

= 15.000 (selisih positif berarti untung)

APLIKASI MAKRO : Fungsi Konsumsi Dan Penabungan

Consumsi Pendapatan Nasional

Tabungan

Y = C + SDimana: Y = Pendapatan Nasional C = Besarnya konsumsi masyarakat S = Besarnya tabungan masyarakat

Fungsi KonsumsiFungsi KonsumsiC = f(Y) C = a + bY

Dimana: a = autonomous consumption = konsumsi otonom

b = Marginal Propensity to Consume = MPC = C/Y


Fungsi PenabunganFungsi PenabunganY = C + S S = Y- C

S = Y – (a + bY)

= Y – a – bY

= –a +(1–b)Y

Dimana: S = Besarnya penabungan masyarakat

–a = autonomous saving = penabungan otonom

1–b = Marginal Propensity to Save = MPS

= S/Y

= 1–MPC

MPC + MPS = 1


APLIKASI MAKRO : Fungsi Investasi

Fungsi InvestasiFungsi Investasi

I = f(i) = I = Io – pi

Dimana: Io = autonomous investment/investasi otonom

p = proporsi investasi terhadap tingkat bunga

APLIKASI MAKRO : Fungsi Pajak

Fungsi PajakFungsi Pajak

Pajak tetap : Tx = t

Pajak progresif : Tx = hY

Pajak campuran : Tx = t + hY

Dimana: Tx = Besarnya pajak

t = autonomous pajak

h = proporsi pajak terhadap pendapatan

APLIKASI MAKRO : Pendapatan Siap Pakai

Pendapatan Siap PakaiPendapatan Siap Pakai

Yd = Y – Tx + Tr

Dimana: Yd = Pendapatan siap pakai/disposable income

Y = Pendapatan Nasional

Tx = Pajak/Tax

Tr = Pembayaran alihan/Transfer Payment

Yd = C + SYd = C + S

C = f(Yd) dan S = f(Yd)

C = a + bYd S = -a + (1-b)Yd

APLIKASI MAKRO : Fungsi Impor

Fungsi ImporFungsi Impor

M = f(Y) = M0 + mY

Di mana:M0 = impor otonom/autonomous import

m = marginal propensity to impor = M/Y

Y = Pendapatan nasional

APLIKASI MAKRO : Analisis Pendapatan Nasional

Analisis Pendapatan NasionalAnalisis Pendapatan NasionalY = C + I + G + (X – M) Contoh diketahui:

Konsumsi masyarakatnya : C = 2.000 + 0,75 Yd

Investasi : I = 1.500 – 400i

Pengeluaran pemerintah : G = 700

Pembayaran alihan : Tr = 100

Pajak : Tx = 300 + 0,2Y

Ekspor : X = 1.600

Impor : M = 900 + 0,1Y

Jika tingkat bunga (i) adalah 15 persen, maka pendapatan nasional perekonomian tersebut dapat dihitung sebagai berikut:


Sektor Rumah tanggaSektor Rumah tangga

C = 2.000 + 0,75Yd sementara Yd = Y – Tx + Tr

= Y – (300 + 0,2Y) + 100

= Y – 300 – 0,2Y + 100

C = 2.000 + 0,75(0,8Y – 200) = 0,8Y – 200

C = 2.000 + 0,6Y – 150

C = 1.850 + 0,6Y

Sektor perusahaanSektor perusahaan

I = 1.500 – 400i dimana i = 15% = 0,15

I = 1.500 – 400(0,15)

I = 1.500 – 60

I = 1.440


Sektor pemerintahSektor pemerintah

G = 700

Tr = 100

Tx = 300 + 0,2Y

Sektor luar negeriSektor luar negeri

X = 1.600

M = 900 + 0,1Y

Pendapatan nasional:Pendapatan nasional:

Y = C + I + G + X – M

Y = (1.850 + 0,6Y) + (1.440) + (700) + (1.600) – (900 + 0,1Y)

Y = 1.850 + 0,6Y + 1.440 + 700 + 1.600 – 900 – 0,1Y

Y – 0,6 Y + 0,1Y = 1.850 + 1.440 + 700 + 1.600 – 900

0,5Y = 4690

Y = 9.380

Documents

FUNGSI LINIER