A.FUNGSI MOBIUS

Definisi 7.4:

Apabila n suatu bilangan bulat positif, maka :

Dengan catatan:

1)Bilangan bebas kuadrat adalah bilangan yang tidak memiliki faktor suatu bilangan kuadrat. Contoh: 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 15, 17, 21, dsb.

2)Bilangan tak bebas kuadrat adalah bilangan yang memiliki faktor suatu bilangan kudrat. Contoh: 4, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27 dsb.

Contoh 7.16:

1)(9) = (32.) = 0,

2)(24) = (22.6) = 0

3)(6) = (2.3) = (1)2 = 1

4)(30) = (2.3.5) = (1)3 = 1

5)(120) = (23.3.5) = 0

6)Jika p suatu bilangan prima, maka (pk) = 0 untuk k 2

Teorema 7.6:

Fungsi adalah fungsi ganda

Bukti:

Akan ditunjukkan jika (m,n) = 1 maka (mn) = (m).(n).

Ambil dua bilangan bulat misalnya:

Karena (m,n) = 1, maka tidak ada pi yang sama dengan qj untuk i = 1, 2, r; dan j = 1, 2, s.

Jika hi 2 atau ki 2 maka (m) = 0 atau (n) = 0, (karena m atau n bilangan tak bebas kuadrat), yang menjadikan (m).(n) = 0. Sementara dapat dipastikan (mn) = 0, (karena kalau salah satu dari m atau n mengandung tak bebas kuadrat)

Jika semua h = 1 dan k = 1. Maka (m) = (1)r dan (n) = (1)s, yang menjadikan (m).(n) = (1)r+s. Sementara itu (mn) = (1)r+s. (karena mn merupakan hasil kali bilangan prima berpangkat satu)

Jika m = 1 maka (m).(n) =(n). dan (mn) = (n)

Jika m = 1 atau n =1 maka (m).(n) = (1).(1) = 1. Dan (mn) = (1) = 1

Dengan demikian telah ditunjukkan bahwa Akan ditunjukkan jika (m,n) = 1 maka (mn) = (m).(n).

Contoh:

1)(120) = (4). (30)

0= 0 . (1)

0= 0

2)(165)

= (3).(5).(11).

(3.5.11)= (3).(5).(11).

(1)3=(1). (1). (1)

(1)= (1)

Pada pembahasannya sebelumnya kita mengetahui lambang berarti jumlah semua faktor bulat positif dari 12. Sedangkan lambang berarti jumlah fungsi dari semua faktor bulat n. Dengan kata lain dapat ditulis:

= (1) + (2) + (3) + (4) + (6) + (12)

= 1 + (1) + (1) + 0 + 1 + 0

= 0

Lebih lanjut akan dijelaskan oleh teorema berikut ini:

Teorema 7.7

Untuk setiap bilangan bulat positif n, berlaku

Teorema 7.7

Untuk setiap bilangan bulat positif n, berlaku

Bukti:

Telah dibuktikan bahwa fungsi adalah fungsi ganda. Sehingga juga merupakan fungsi ganda.

Untuk n = 1, maka F(1) = (1) = 1

Untuk n > 1, misalkan bentuk kanonik n =

Karena F fungsi ganda maka

Ambil sembarang maka banyaknya pembagi positif dari adalah yang banyaknya ada ki + 1 buah.

=

=

=

= 1 + (1)

= 0

= (0).(0).(0) = 0

Maka terbukti

Contoh:

1)

=

= 1 + (1) + (1) + 0 + (1)2 + 0

= 0

2)

=

= 1 + (1)

= 0

Teorema 7.8 (Rumus Inversi Mobius)

Jika maka

Bukti:

=

=

Jika dn dan , maka secara aljabar mudah ditunjukkan cn dan

=

=

=

Berdasarkan teorema 7.7 jika sebuah bilangan yang bukan 1, maka = 0. Tetapi jika n = c maka = 1. Sehingga menjadi:

=

=f(n)

Sebagai ilustrasi untuk menjelaskan penggunaan fungsi sigma yang rangkap tersebut, misalkan n = 10 seperti berikut:

=(1) [f(1) + f(2) + f(5) + f(10)] + (2) [f(1) + f(5)] + (5) [f(1) + f(2)] + (10)f(1)

=f(1) [(1) + (2) + (5) + (10)] + f(2) [(1) + (5)] + f(5) [(1) + (2)] + f(10) (1)

=

Untuk melihat bagaimana peranan rumus inversi Mobius ini, kita perhatikan kembali fungsi dan yang dinyatakan sebagai berikut :

Maka dengan menggunakan rumus inversi Mobius, rumus dan tersebut dapat ditentukan inversnya yaitu :

dan untuk setiap bilangan asli n.

Konvers dari teorema 7.5 dinyatakan sebagai teorema berikut ini:

Teorema 7.9

Jika F suatu fungsi ganda dan untuk semua bilangan asli n, maka f adalah fungsi ganda pula.

Bukti:

Ambil dua bilangan bulat positif m dan n dengan (m,n) = 1. Apabila dmn dan d = d1d2, karena (m,n) = 1, maka d1d dan d2d dan (d1,d2) = 1. Dengan menerapkan rumus inversi mobius, maka :

f(mn)=

=

=

=

=f(m).f(n)

Jadi f adalah fungsi ganda

B.FUNGSI BILANGAN BULAT TERBESARFungsi bilangan bulat terbesar atau fugsi kurung [ ] bukan memrupakan fungsi aritmetik (fungsi teori bilangan) sebab daerah asal/domainnya adalah himpunan semua bilangan real, tetapi daerah hasil/rangenya adalah himpunan bilangan bulat.

Definisi 7.5:

Untuk suatu bilangan real x, [x] adalah suatu bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan xyaitu, [x] adalah bilangan bulat tunggal yang memnuhi x-1 < [x] x

Contoh 7.18

[ -1 ] = -2, [ ] = 1 , [ ] = 0 , [ ] = 3 ,[ - ] = -4

Jadi [x] jika dan hanya jika x suatu bilangan bulat sehingga untuk suatu bilangan real x dapat ditulis sebagai :

X = [x] + dengan 0 1

Salah satu penggunaan fungsi bilangan bulat terbesa ini adalah meentukan banyaknya factor prima p yang muncul membagi n!. Sebagai contoh : berapa kalikah bilangan 3 uncul sebagai pembagi dari 9 ?

9 ! = 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9

= 27 . 34 . 5 7

Ini berarti 3 muncul sebagai pembagi 9 ! sebanyak 4 kali, yang ditunjukkan oleh eksponen dari 3 dalam bentuk kanonk dari 9!. Sekarang kita menginginkan suatu rumus untuk menghitungnya tanpa menyatakan dalam bentuk kanonik.Rumus itu dinyatakan dalam teoema berikut ini :Teorema 7. 10 :

Jika n suatu bilangan bulat positip dan p suatu bilanga prima, maka eksponen tertinggi dari p yang membagi n ! adalah : (deret ini bukan deret tak hingga, karena [ ] = 0 untuk pk > n

Bukti :

Pertama, bilangan-bilangan bulat positip n yang dapat dibagi oleh p adalah : p, 2p, 3p, , tp dengan t adalah bilangan bulat terbesar sedemikian hingga tp n < (t+1)p. Atau dengan kata lain, t adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan yaitu t = [ ]. Jadi terdapat [ ]. Factor dari n ! yang faktor lainnya adalah p, yaitu :

p, 2p, 3p, , [ ]p

Selanjutnya dicacah banyaknya bilangan-bilangan bulat positip 1, 2, 3, , n yang tepat terbagi oleh p2 seperti paragraph pertama, maka banyaknya factor dari n ! yang tepat terbagi oleh p2 adalah yaitu : p2, 2p2, 3p2, , [ ]p2

Demikian seterusnya dicacah banyaknya bilangan-bilangan bulat positif 1, 2, 3, , n yang tepat dibagi oleh p3, p4, , [ ]

Proses ini hanya berhingga banyaknya, karena mesti ada pk dengan pk > n sehingga banyaknya factor p dari n ! adalah :

Hasil ini dapat dinyatakan sebagai persamaan berikut ini, yang biasanya disebut dengan rumus Legendre :

n ! = Contoh 7.19 :

Berapakah banyaknya angka nol dari representasi decimal 50! ?

Untuk menjawab soal tersebut menghitung banyaknya factor 10 dari hasilkali 50 !. Hal ini cukup menghitung eksponen tertinggi dari 2 dan 5 dlam faktorisasi prima dari 50 ! dan memilih eksponennya yang terkecil.

Eksponen tertinggi dari 2 dalam 50 ! adalah : , yaitu :

= [ ] + [ ] + [ ] + [ ] + [ ]

= 25 + 12 + 6 + 3 +1 = 47

Ini berarti bahwa 247 merupakan faktor dari 50 ! sedangkan 248 bukan faktor dari 50 !. Eksponen tertinggi dari 5 yang menjadi faktor ari 50 ! adalah : = [ ] + [ ] = 10 + 2 =12

Jadi pangkat tertinggi dari 5 yang membagi 50 ! adalah 12. Sehingga banyaknya angka nol dalam representasi decimal dari 50 ! adalah 12. Teorema berikut ini mengkaitkan fungsi bilangan bulat terbesar dengan fungsi-fungsi aritmetik.

Teorema 7.11 :

Misalkan f dan Fadalah fungsi-fungsi aritmetik sedemikian hingga :

F(n) =

Maka untuk sembarang bilangan bulat positip N, berlaku:

I

Bukti :

Dari ketentuan diperoleh bahwa

(1)

Kita akan mengumpulkan suku-suku yang nilainya sama dari f(d) dalam jumlahan rangkap tersebut. Untuk suatu bilangan bulat positip tertentu k N, suku f(k) muncul dalam jika dan hanya jika k sebagai pembagi dari n. (Karena setiap bilangan bulat mempunyai pembagi dirinya sendiri), maka ruas kanan dari persamaan (1) memuat f(k) sekurang-kurangnya sebuah suku). Selanjutnya untuk menghitung jumlahan dimana f(k) hanya sebuah suku, cukup menentukan banyaknya bilangan-bilangan bulat diantara 1, 2, 3, , N yang terbagi oleh k. Terdapat tepat [], yaitu :

k, 2k, 3k, , []k

Jadi untuk setiap k dengan 1 k N adalah suatu suku dari jumlahan untuk [] bilangan-bilangan bulat berbeda yang lebih kecil atatu sama dengan N.Hal ini dapat ditulis jumlahan rangkap dalam (1) sebagai :

Sebagai penerapan teorema ini kita ambil fungsi aritmetik ( dan (, yaitu : ((n)= dan ((n)= Apabila N suatu bilangan bulat posiitip, maka :

dan Contoh 7.20 :

Hitunglah : a) dan b)

Jawab :

a) QUOTE

= [6] + [3] + [2] + [] + [] + [1] = 6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 14

b) = 1.[6] + 2.[3] + 3.[2] + 4.[] + 5.[] + 6.[1] = 1.6 +2. 3 +3. 2 + 4.1 + 5.1 + 6.1 = 33

PEMBAHASAN SOAL LATIHAN 1.Untuk setiap bilangan bulat positif n, tunjukkan bahwa:

(n) (n+1) (n+2) (n+3) = 0

Jawab: Karena fungsi adalah fungsi ganda, maka berlaku

(n) (n+1) (n+2) (n+3) = [(n) (n+1) (n+2) (n+3)]

Jika n bilangan ganjil, maka bentuk (n+1) dan (n+3) adalah bilangan genap yang dapat ditulis [(n) 2p (n+2) 2q], p & q Bulat positif. Sehingga bentuk tersebut menjadi [4pq (n) (n+2)]. Dapat dilihat dengan mudah bentuk tersebut adalah bentuk tak bebas kuadrat sehingga

(n) (n+1) (n+2) (n+3) = [4pq (n) (n+2)]

= 0

Jika n bilangan genap, maka bentuk (n) dan (n+2) adalah bilangan genap yang dapat ditulis [2r (n+1) 2s (n+3)], r & s Bulat positif. Sehingga bentuk tersebut menjadi [4rs (n+1) (n+3)]. Dapat dilihat dengan mudah bentuk tersebut adalah bentuk tak bebas kuadrat sehingga

(n) (n+1) (n+2) (n+3) = [4rs (n+1) (n+3)]

= 0

Maka terbutki (n) (n+1) (n+2) (n+3) = 0 untuk setiap n bilangan bulat positif baik ganjil maupun genap.

2.Untuk suatu bilangan bulat n 3, tunjukkan bahwa ;

Jawab: Akan dibuktikan dengan induksi matematika

i)Akan ditunjukkan benar untuk n = 3, yaitu

=

=

= 1 + (1) + (1)2

= 1, terbukti benar

ii)Anggap benar untuk n = p, yaitu benar untuk:

= = 1

Akan ditunjukkan benar untuk n = P +1, yaitu benar untuk . Dengan cara:

= = 1

=

=

=

= 1 + 0

= 1

Terbukti benar untuk n = p + 1

Dengan demikian telah terbukti untuk n 3 dengan induksi matematika.

3.Fungsi mangold didefenisikan sebagai berikut :

Buktikan bahwa

Jawab :Pertama akan dibuktikan bahwa

Misal bentuk kanonik dari

Kedua ruas diambil logaritmanya, menjadi :

log n =

=

=

log n=

log n =

log n =

log n =

log n =

Setelah dapat dibuktikan bahwa , kemudian digunan rumus fungsi inversi mobius. Yaitu Jika maka

Maka :

=

=

=

= akan mempunyai nilai untuk

=

=

=

Maka terbukti

Sudah dianggap benar

11

_1205239413.unknown

_1205378447.unknown

_1205395555.unknown

_1205396997.unknown

_1205397492.unknown

_1205397739.unknown

_1334577472.unknown

_1334577753.unknown

_1205397846.unknown

_1334477392.unknown

_1205397962.unknown

_1205397772.unknown

_1205397596.unknown

_1205397690.unknown

_1205397531.unknown

_1205397332.unknown

_1205397433.unknown

_1205397058.unknown

_1205396444.unknown

_1205396754.unknown

_1205396826.unknown

_1205396565.unknown

_1205395695.unknown

_1205396201.unknown

_1205379119.unknown

_1205394286.unknown

_1205394440.unknown

_1205394604.unknown

_1205379325.unknown

_1205378845.unknown

_1205379025.unknown

_1205378809.unknown

_1205378820.unknown

_1205378621.unknown

_1205240785.unknown

_1205377602.unknown

_1205378334.unknown

_1205378426.unknown

_1205377984.unknown

_1205241253.unknown

_1205241693.unknown

_1205377467.unknown

_1205240929.unknown

_1205239749.unknown

_1205240118.unknown

_1205240374.unknown

_1205239978.unknown

_1205239571.unknown

_1205239585.unknown

_1205217880.unknown

_1205237249.unknown

_1205237462.unknown

_1205237760.unknown

_1205239398.unknown

_1205237476.unknown

_1205237357.unknown

_1205236932.unknown

_1205237130.unknown

_1205237193.unknown

_1205237050.unknown

_1205236794.unknown

_1205224367.unknown

_1205224948.unknown

_1205217885.unknown

_1205190658.unknown

_1205216659.unknown

_1205217574.unknown

_1205217656.unknown

_1205216880.unknown

_1205205077.unknown

_1205216440.unknown

_1205205026.unknown

_1205190899.unknown

_1205191193.unknown

_1205189140.unknown

_1205189267.unknown

_1205190421.unknown

_1205189164.unknown

_1205186311.unknown

_1205186397.unknown

_1205183255.unknown