Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 - wiki.math ...19 Inverse funksjoner Deﬁnisjon (Den inverse til en funksjon) 1 La f(x) være en 1 −1-funksjon. 2 Reﬂekter grafen

FunksjonerForelesning i Matematikk 1 TMA4100

Hans Jakob RivertzInstitutt for matematiske fag

19. august 2011

www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner

2

Stigende og avtagende funksjonerDefinisjonEn funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis f (x1) < f (x2) nårx1 < x2 i I

f (x) = |x |er stigende på [0,∞ >

1−1

1


2

Stigende og avtagende funksjonerDefinisjonEn funksjon f kalles stigende på intervallet I hvis f (x1) < f (x2) nårx1 < x2 i I

DefinisjonEn funksjon f kalles avtagende på intervallet I hvis f (x1) > f (x2)når x1 < x2 i I

f (x) = |x |er avtagende på < −∞, 0]

1−1

1


3

Jevne og odde funksjoner

Definisjon (Odde)En funksjon f (x) kalles for enodde funksjon hvis

f (−x) = −f (x)

for alle x idefinisjonsmengden.

EksempelPotensfunksjonen:

f (x) = x3

1−1

1

−1


4

Jevne og odde funksjoner

Definisjon (Jevn)En funksjon f (x) kalles for enjevn funksjon hvis

f (−x) = f (x)

for alle x idefinisjonsmengden.

EksempelPolynomet:

f (x) = x4 + x2 − 1

1−1

1

−1


5

Horisontal og vertikal forskyvning

1 Horisontal forskyvningmot høyre

2 Horisontal forskyvningmot venstre

3 Vertikal forskyvning opp4 Vertikal forskyvning ned

1 2−1−2

1

−1

f (x − 1)


5





1 2−1−2

1

−1

f (x + 1)


5





1 2−1−2

1

−1

f (x) + 1


5





1 2−1−2

1

−1

f (x) − 1


6

Skalering og refleksjon

1 Vertikal krymping2 Horisontal krymping3 Vertikal ekspansjon4 Horisontal ekspansjon5 Vertikal refleksjon6 Horisontal refleksjon

1 2−1−2

1

−1

12 f (x)


6



1 2−1−2

1

−1

f (2 x)


6



1 2−1−2

1

−1

2 f (x)


6



1 2−1−2

1

−1

f (12x)


6



1 2−1−2

1

−1

−f (x)


6



1 2−1−2

1

−1

f (−x)


7

Vinkler

Grader

90◦


7

Vinkler

Grader

90◦

og Radianerθ = π/2 ≈ 1,5708

r = 1


8

Trigonometriske funksjoner

1 2−1−2−3

1

−1

−2

f (x) = cos(x)

1 2−1−2−3

1

−1

f (x) = cos(x)

1 2−1−2−3

1

−1

f (x) = sin(x)

1 2−1−2−3

1

−1

−2

f (x) = tan(x)

xa

bh

cos x = a/hsin x = b/htan x = b/a


8


1 2−1−2−3

1

−1

f (x) = cos(x)

1 2−1−2−3

1

−1

−2

f (x) = sin(x)

1 2−1−2−3

1

−1

f (x) = sin(x)

1 2−1−2−3

1

−1

−2

f (x) = tan(x)

xa

bh



8


1 2−1−2−3

1

−1

f (x) = cos(x)

1 2−1−2−3

1

−1

f (x) = sin(x)

1 2−1−2−3

1

−1

−2

f (x) = tan(x)

1 2−1−2−3

1

−1

−2

f (x) = tan(x)

xa

bh



9


1 2−1−2−3

1

−1

−2

f (x) = sec(x)

1 2−1−2−3

1

−1

f (x) = sec(x)

1 2−1−2−3

1

−1

f (x) = csc(x)

1 2−1−2−3

1

−1

−2

f (x) = cot(x)

xa

bh

sec x = h/bcsc x = h/bcot x = a/b


9


1 2−1−2−3

1

−1

f (x) = sec(x)

1 2−1−2−3

1

−1

−2

f (x) = csc(x)

1 2−1−2−3

1

−1

f (x) = csc(x)

1 2−1−2−3

1

−1

−2

f (x) = cot(x)

xa

bh



9


1 2−1−2−3

1

−1

f (x) = sec(x)

1 2−1−2−3

1

−1

f (x) = csc(x)

1 2−1−2−3

1

−1

−2

f (x) = cot(x)

1 2−1−2−3

1

−1

−2

f (x) = cot(x)

xa

bh



10

Periodisitet

En funksjon er periodisk med periode T hvis

f (x + T ) = f (x)


10

Periodisitet

En funksjon er periodisk med periode T hvis

f (x + T ) = f (x)

Eksempel:

1 2 3 4−1−2−3−4−5

1

−1

f (x) = sin(x)


11

Trigonometriske identiteter

1−1

1

−1

b(cos θ, sin θ)

cos2 θ + sin2 θ = 1

cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B

sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B


12

Cosinus-loven

c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ

C A

B

ca

b

θ


13

Eksponensiell oppførsel

Eksponensiell endring kjenetegnes at endringen til en størrelse erproposjonal med størrelsen

1 2−1−2−3

1

−1

−2

f (x) = 2x


14

EksponensialfunkjsonerDefinisjonEn funksjon på formen y = ax kalles for en eksponensialfunksjon .

1 2 3−1−2−3

1

2

3

y = 2x

y = 4x

y = (12 )x

y = (14)x y = ex

Tangenten til ex

igjennom punktet(0,1) har stignings-grad 1.


15

Egenskaper til eksponensial funksjoner

1 axay = ax+y

2 ax/ay = ax−y

3 (ax )y = axy

4 axbx = (ab)x

5 ax/bx = (a/b)x


15


1 axay = ax+y

2 ax/ay = ax−y

3 (ax )y = axy

4 axbx = (ab)x

5 ax/bx = (a/b)x


15


1 axay = ax+y

2 ax/ay = ax−y

3 (ax )y = axy

4 axbx = (ab)x

5 ax/bx = (a/b)x


15


1 axay = ax+y

2 ax/ay = ax−y

3 (ax )y = axy

4 axbx = (ab)x

5 ax/bx = (a/b)x


15


1 axay = ax+y

2 ax/ay = ax−y

3 (ax )y = axy

4 axbx = (ab)x

5 ax/bx = (a/b)x


16

En-entydige funksjoner (en-til-en)

Definisjon (En-entydighet)En funksjon kalles en-entydig hvis det for hver y i vedimengdenfinnes en og bare en x i definisjonsmengden som har verdienf (x) = y .


17

Vertikal linjetestHorisontal linjetestEn funksjon er en-til-en hvis og bare hvis ingen horisontal linje harmer enn ett punkt felles med grafen.

f (x) = x2 er ikke 1-1


17

Vertikal linjetestHorisontal linjetestEn funksjon er en-til-en hvis og bare hvis ingen horisontal linje harmer enn ett punkt felles med grafen.

f (x) = x2 er ikke 1-1 Eksponensialfunksjonen ex

er en-entydig


18

Speiling av graf om linjen y = xSpeiling av grafen til 1 − 1-tydig funksjon om x = y .

Om vi speiler grafen til en 1 − 1-tydig funksjon f (x) om linjen x = yfår vi grafen til en funksjon

1 2−1−2

1

2

−1

−2

18



1 2−1−2

1

2

−1

−2

Hor. linjetest

18



1 2−1−2

1

2

−1

−2

Hor. linjetest

Ver

.lin

jete

st


19

Inverse funksjoner

Definisjon (Den inverse til en funksjon)1 La f (x) være en 1 − 1-funksjon.


19

Inverse funksjoner

Definisjon (Den inverse til en funksjon)1 La f (x) være en 1 − 1-funksjon.2 Reflekter grafen y = f (x) om linjen y = x


19

Inverse funksjoner

Definisjon (Den inverse til en funksjon)1 La f (x) være en 1 − 1-funksjon.2 Reflekter grafen y = f (x) om linjen y = x3 Den reflekterte grafen er en graf til en funksjon.


19

Inverse funksjoner

Definisjon (Den inverse til en funksjon)1 La f (x) være en 1 − 1-funksjon.2 Reflekter grafen y = f (x) om linjen y = x3 Den reflekterte grafen er en graf til en funksjon.4 Denne funksjonen kalles for den inverse til f (x).


19

Inverse funksjoner

Definisjon (Den inverse til en funksjon)1 La f (x) være en 1 − 1-funksjon.2 Reflekter grafen y = f (x) om linjen y = x3 Den reflekterte grafen er en graf til en funksjon.4 Denne funksjonen kalles for den inverse til f (x).5 Vi skriver den inverse til f som

f−1(x)


20

Inverse funksjoner

Definisjon (Presis definisjon av den inverse til en funksjon)1 La f (x) være en 1 − 1-funksjon.


20

Inverse funksjoner

Definisjon (Presis definisjon av den inverse til en funksjon)1 La f (x) være en 1 − 1-funksjon.2 Den inverse til f er funksjonen f−1 med egenskapen:


20

Inverse funksjoner

Definisjon (Presis definisjon av den inverse til en funksjon)1 La f (x) være en 1 − 1-funksjon.2 Den inverse til f er funksjonen f−1 med egenskapen:3 Hvis f (a) = b så er f−1(b) = a


21

LogaritmefunksjonerDefinisjon (Logaritmer)

Den inverse funksjonen til ax kalles for logaritmen med grunntall aav x . Vi skriver

loga x


21



loga x

Løsning av likninger

Løsningen av likningen ax = b er

x = loga b


21



loga x



x = loga b

Regneregler1 loga bc = loga b + loga c


21



loga x



x = loga b

Regneregler1 loga bc = loga b + loga c2 loga bc = c loga b


21



loga x



x = loga b

Regneregler1 loga bc = loga b + loga c2 loga bc = c loga b3 loga b/c = loga b − loga c


22

Den naturlige logaritmen

Definisjon (Den naturlige logaritmen)Den naturlige logaritmen er logarimen med e = 2,71828 . . . somgrunntall.


23

Tilpassing av funksjonerFunksjoner som ikke er 1 − 1-tydige kan bli det ved å forandre pådefinisjonsmengden

Eksempel

Funksjonen f (x) = x2 , x ≥ 0 er 1 − 1.Den inverse er f−1(x) =

√x

1 2−1

1

2

−1www.ntnu.no H.J. Rivertz, Funksjoner

24

Om å finne den inverseAlgoritme: å finne den inverse

Å finne den inverse til f (x)

1 Bytt om x og y i y = f (x)


24




2 Løs likningen x = f (y) med hensyn på y

Eksempel (Finne den inverse)

Vi vil finne den inverse til f (x) = x2 ,x ≥ 0.


24




2 Løs likningen x = f (y) med hensyn på y3 Løsningen vi får er y = f−1(x).




24








24






Vi vil finne den inverse til f (x) = x2 ,x ≥ 0.1 Bytt om x og y : x = y2.


24






Vi vil finne den inverse til f (x) = x2 ,x ≥ 0.1 Bytt om x og y : x = y2.2 Løs likningen x = y2 ⇔ y =

√x .


24






Vi vil finne den inverse til f (x) = x2 ,x ≥ 0.1 Bytt om x og y : x = y2.2 Løs likningen x = y2 ⇔ y =

√x .

3 Løsningen vi får er f−1(x) =√

x .


25

Andre trigonometriske funksjoner1 Tangens: tan x = sin x

cos x

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7

1

2

−1

−2

y = tan x


25


cos x2 Cotangens:cot x = cos x

sin x

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7

1

2

−1

−2

y = cot x


25



sin x3 Secant: sec x = 1

cos x

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7

1

2

−1

−2

y = sec x


25



sin x3 Secant: sec x = 1

cos x4 Cosecant: csc x = 1

sin x

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7

1

2

−1

−2

y = csc x


26

Inverse trigonometriske funksjoner1 arccos x

1 2 3 4−1−2−3

1234

−1−2−3

y = cos x

1 2 3 4−1−2−3

1234

−1−2−3

y = cos−1 x


26

Inverse trigonometriske funksjoner1 arccos x2 arcsin x

1 2 3 4−1−2−3

1234

−1−2−3

y = sin x

1 2 3 4−1−2−3

1234

−1−2−3

y = sin−1 x


26

Inverse trigonometriske funksjoner1 arccos x2 arcsin x3 arctan x

1 2 3 4−1−2−3

1234

−1−2−3

y = tan x

1 2 3 4−1−2−3

1234

−1−2−3

y = tan−1 x


26

Inverse trigonometriske funksjoner1 arccos x2 arcsin x3 arctan x4 arccot x

1 2 3 4−1−2−3

1234

−1−2−3

y = cot x

1 2 3 4−1−2−3

1234

−1−2−3

y = cot−1 x


26

Inverse trigonometriske funksjoner1 arccos x2 arcsin x3 arctan x4 arccot x5 arcsec x

1 2 3 4−1−2−3

1234

−1−2−3

y = sec x

1 2 3 4−1−2−3

1234

−1−2−3

y = sec−1 x


26

Inverse trigonometriske funksjoner1 arccos x2 arcsin x3 arctan x4 arccot x5 arcsec x6 arccsc x

1 2 3 4−1−2−3

1234

−1−2−3

y = csc x

1 2 3 4−1−2−3

1234

−1−2−3

y = csc−1 x


27

Sammensatte funksjonerDefinisjonLa f og g være to funksjoner. Den sammensatte funksjonen g ◦ f erdefinert ved g ◦ f (x) = g(f (x)).

Definisjonsmengden er alle x i definisjonsmengden i x slik at f (x)er i definisjonsmengden til g.


27

Sammensatte funksjonerDefinisjonLa f og g være to funksjoner. Den sammensatte funksjonen g ◦ f erdefinert ved g ◦ f (x) = g(f (x)).

Definisjonsmengden er alle x i definisjonsmengden i x slik at f (x)er i definisjonsmengden til g.

Eksempel

La f (x) = 1 − ex og g(x) =√

x .Definisjonsmengden til g er x ≥ 0.Definisjonsmengden til g ◦ f er derfor bestemt av f (x) ≥ 0.Dvs 1 − ex ≥ 0.Dvs x ≤ 0.


28

Transendentale funksjoner

DefinisjonFunksjoner som ikke er algebraiske kalles for transendentalefunksjoner.

Eksempler er de trigonometriske funksjonene og deres inverse,eksponentsial funksjoner og logaritmer.


29

Gjenomsnitlig endring∆x = b − a

∆y = f (b)− f (a)

Gjennomsnittlig endringav f (x) på intervallet [a, b]:

∆y∆x

=f (b)− f (a)

b − a

b

b

∆x

∆y

a b

Eksempel: Gjennomsnittlig fart

v̄ =tilbakelagt vei

brukt tid


30

Sekanters stigningstall

b

b

P

Q

Stigningstallet til sekantentil y = f (x) igjennom punktene

P(a, f (a)) og Q(b, f (b))er lik gjennomsnittlig endringsrate

til f (x) på [a, b]


31

Stigningstallet til en kurve

b

b

P

Q

Stigningstallet til kurven i Per lik stigningstallet til tangenten i P


32

Momentan endringsrate

Den momentane endringsraten tilf (x) i x = a

er likstigningstallet til tangenten til

y = f (x) i P(a, f (a))


32




y = f (x) i P(a, f (a))

y = x2

Eksempel: f (x) = x2


32




y = f (x) i P(a, f (a))

y = x2

b

b

P

Q


Sekanten igjennom P(1, 1) og Q(1 + h, 1 + 2h + h2)


32




y = f (x) i P(a, f (a))

y = x2

b

b

P

Q

1 1 + h

2h + h2

h



Har stigningstall2h + h2

h= 2 + h.


32




y = f (x) i P(a, f (a))

y = x2

b

b

P

1 1 + h

2h + h2

h



Har stigningstall2h + h2

h= 2 + h.

Tangentens stigningstall får vi ved å sette h = 0. Hvorfor???Stigningstallet i x = 1 er lik 2


33

Grensen av en funksjon

1 2−1

1

2

1 2−1

1

2

1 2−1

1

2


34

Når grenser ikke eksisterer

1 Brudd2 Vokser for

mye3 Svinger for

mye


34


1 Brudd2 Vokser for

mye3 Svinger for

mye


34


1 Brudd2 Vokser for

mye3 Svinger for

mye


35

Grenselover

L = limx→c

f (x) M = limx→c

g(x)

1 limx→c

(f (x) ± g(x)) = L ± M

2 limx→c

(f (x)g(x)) = LM

3 limx→c

(k f (x) = k L

4 limx→c

(f (x)/g(x)) = L/M

5 limx→c

(f (x)r/s) = Lr/s


35

Grenselover

L = limx→c

f (x) M = limx→c

g(x)

1 limx→c

(f (x) ± g(x)) = L ± M

2 limx→c

(f (x)g(x)) = LM

3 limx→c

(k f (x) = k L

4 limx→c

(f (x)/g(x)) = L/M

5 limx→c

(f (x)r/s) = Lr/s


35

Grenselover

L = limx→c

f (x) M = limx→c

g(x)

1 limx→c

(f (x) ± g(x)) = L ± M

2 limx→c

(f (x)g(x)) = LM

3 limx→c

(k f (x) = k L

4 limx→c

(f (x)/g(x)) = L/M

5 limx→c

(f (x)r/s) = Lr/s


35

Grenselover

L = limx→c

f (x) M = limx→c

g(x)

1 limx→c

(f (x) ± g(x)) = L ± M

2 limx→c

(f (x)g(x)) = LM

3 limx→c

(k f (x) = k L

4 limx→c

(f (x)/g(x)) = L/M , når M 6= 0

5 limx→c

(f (x)r/s) = Lr/s


35

Grenselover

L = limx→c

f (x) M = limx→c

g(x)

1 limx→c

(f (x) ± g(x)) = L ± M

2 limx→c

(f (x)g(x)) = LM

3 limx→c

(k f (x) = k L

4 limx→c

(f (x)/g(x)) = L/M , når M 6= 0

5 limx→c

(f (x)r/s) = Lr/s Når s er odde må L ≥ 0


36

Polynomer og rasjonale funksjoner

Grensen til et polynom P(x) = anxn + · · · + a1x + a0

limx→c

P(x) = P(c) = ancn + · · · + a1c + a0.

Grensen til en rasjonal funksjon P(x)/Q(y) er

limx→c

P(x)/Q(x) = P(c)/Q(c).


37

Algebraiske metoder for grensen tilrasjonale funksjoner

limx→1

x2 − xx2 − 1

=

Faktoriser teller og nevner

Forkort brøken

Finn grensen av teller og nevner


37


limx→1

x2 − xx2 − 1

=


Forkort brøken



37


limx→1

x2 − xx2 − 1

= limx→1

x(x − 1)

(x + 1)(x − 1)=


Forkort brøken



37


limx→1

x2 − xx2 − 1

= limx→1

x(x − 1)

(x + 1)(x − 1)=


Forkort brøken



37


limx→1

x2 − xx2 − 1

= limx→1

x(x − 1)

(x + 1)(x − 1)= lim

x→1

x(x + 1)

=


Forkort brøken



37


limx→1

x2 − xx2 − 1

= limx→1

x(x − 1)

(x + 1)(x − 1)= lim

x→1

x(x + 1)

=


Forkort brøken



37


limx→1

x2 − xx2 − 1

= limx→1

x(x − 1)

(x + 1)(x − 1)= lim

x→1

x(x + 1)

=12


Forkort brøken



38

Sandwich-teoremet

1 2 3−1−2−3

1

A g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) i nærheten av x = c

B limx→c

g(x) = limx→c

h(x) = L

Ergo limx→c

f (x) = L


Documents

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 - wiki.math ...19 Inverse funksjoner Deﬁnisjon (Den inverse til en funksjon) 1 La f(x) være en 1 −1-funksjon. 2 Reﬂekter grafen