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Função de Transferência
Definição
Definindo o operador derivativo p = d/dt, temos: Operacional: L(p) = Numerador(p)/Denominador(p) = N(p)/D(p) Ex: Senoidal: u(t) = Aejωt (excitação exponencial) y(t) = L(jω)Aejωt (solução exponencial) ejωt = cos(ωt)+j*sen(ωt) [função exponencial complexa]
u(t) y(t) L(p)
Aplicação
Para o sistema elétrico: Temos:
D(p) N(p)
Definição
Da Função de Transferência Operacional L(p): Onde: Aplica-se a Transformada de Laplace para condições iniciais nulas: E então a função de transferência em s (domínio complexo) é:
Entrada Saída
Caso elétrico
FT no domínio complexo
D(p) N(p)
Caso genérico
No domínio do tempo
Caso genérico
No domínio complexo
Pólos e Zeros
Pólos: São as raízes do polinômio característico, ou seja, do denominador da Função de Transferência (D(s)). Zeros: São as raízes do numerador da Função de Transferência (N(s)). O comportamento do sistema irá depender da posição dos pólos e zeros no plano complexo.
Caso genérico
Pólos utilizados para análise de estabilidade
Em termos de pólos e zeros.
Pólos e Zeros
Grau do polinômio do numerador = m Grau do polinômio do denominador = n Sistema próprio: m ≤ n Sistema bi-próprio: m = n Sistema estritamente próprio: m < n
Exemplos
Exemplo -‐ Solução
Encontrar a FT da EDO de ordem 3, sendo nulas as CIs.
Zeros da FT: não há zeros finitos (m = 0) Pólos da FT: p1 = -3, p2 = -2, p3 = -1 (n = 3) Grau relativo da FT = n-m = 3
Pg9 – 1aEd Pg12 – 3aEd
Exemplo
Pg113 – 1aEd Pg77 – 3aEd
Solução
Associando a EDO de segunda ordem do circuito RLC em série com a equação característica dada no enunciado em termos de fator de amortecimento ξ e frequência natural ωn.
Alternativa A
Exemplo
Pg11 – 1aEd Pg13 – 3aEd
Solução
Alternativa C