Funzioni a supporto compatto

Davide Boscaini

Queste sono le note da cui ho tratto il seminario del giorno 20 Dicembre 2011.

Per scriverle mi sono basato sul nono capitolo del testo Scattared Data Approxi-

mation di Holger Wendland. Invito chi trovasse eventuali errori a segnalarli presso

davide.boscaini@studenti.univr.it.

In Analisi Numerica il concetto di base composta da funzioni a supporto compatto e diimportanza cruciale. Molti spazi di funzioni usati per l’approssimazione posseggono basiformate da funzioni a supporto compatto. L’esempio piu importante nel caso unidimensio-nale e sicuramente quello delle B-splines. I vantaggi principali nell’avere a che fare conbasi formate da funzioni a supporto compatto sono due:

• da un lato, la matrice di interpolazione e sparsa;

• dall’altro, abbiamo la possibilita di una veloce valutazione dell’interpolante.

Sembra quindi naturale cercare funzioni a supporto compatto anche nel contestodell’interpolazione tramite funzioni radiali di base e l’obiettivo di questo seminario eproprio quello di introdurre questo argomento.

Prima di far cio, sottolineiamo una differenza cruciale rispetto alla teoria classicadell’interpolazione tramite splines. Mentre il raggio di supporto delle B-splines potevaesser scelto proporzionalmente alla massima distanza tra due centri vicini, una scelta similenon porterebbe ad un metodo convergente nella teoria delle funzioni radiali di base. Lascelta corretta del raggio di supporto e quindi una questione molto delicata e per questoverra trattata col giusto dettaglio piu avanti.

1 Osservazioni generali

La gaussianaf(x) = e−α‖x‖

22 , α ∈ R, α > 0,

la multiquadratica (inversa)

g(x) = (c2 + ‖x‖22)β, c ∈ R, c > 0, β ∈ R,

le potenzeh(x) = ‖x‖γ2 , γ ∈ R, γ > 0

e le thin-plate splines, come ad esempio

ϕ(x) = ‖x‖2σ2 log(‖x‖2), σ ∈ R, σ > 0

sono tutti esempi di funzioni che condividono due caratteristiche comuni: sono tuttefunzioni globali e sono definite positive su Rd, per ogni d ∈ N.

1

Figura 1: Grafici delle principali funzioni radiali di base in funzione del raggio r. Inalto a sinistra si trova il grafico della gaussiana per α = 1, in alto a destra quello dellamultiquadratica per c = 1 e β = 2, in basso a sinistra quello della funzione potenza perγ = 3/2 e in basso a destra quello della thin-plate spline ϕ(r) = r2 log r, quindi per σ = 1.

Al contrario, come visto nel teorema 6.20 del capitolo 6, le funzioni potenze troncate

ψ`(x) = (1− ‖x‖2)`+, ` ∈ N

hanno supporto compatto e sono definite positive su Rd se e soddisfatta la disuguaglianza

` ≤ bd/2c+ 1.

Nel corso dell’esposizione vedremo che queste due caratteristiche sono connesse, ma pri-ma analizziamo questo teorema che lega le funzioni a supporto compatto con quellecondizionatamente definite positive.

Teorema 1. Supponiamo che Φ: Rd → C sia continua e a supporto compatto. Se Φ econdizionatamente definita positiva di minimo ordine m ∈ N0, allora m = 0.

Questo teorema afferma cioe che, se una funzione continua e a supporto compattoe anche condizionatamente definita positiva, allora essa e definita positiva. Infatti, perquanto visto nelle precedenti lezioni, una funzione continua e pari e definita positiva se,per ogni N ∈ N fissato,

N∑j=1

N∑k=1

αjαkΦ(xj − xk) > 0 (1)

2

per ogni α ∈ RN \{0}. Abbiamo anche visto che una funzione e condizionatamente definitapositiva se l’equazione (1) e soddisfatta per ogni α ∈ RN \ {0} tale che

N∑j=1

αjp(xj) = 0 (2)

per ogni polinomio reale di grado minore stretto di m. Ora se m = 0, la condizione (2) ebanale e non ci sono condizioni aggiuntive sul vettore α, cioe Φ e definita positiva.

Questo teorema ha una conseguenza non da poco, ci dice infatti che, nell’affrontareun problema di approssimazione, se la nostra funzione e almeno continua e a supportocompatto, possiamo limitare la nostra attenzione alle funzioni radiali definite positive alposto di considerare funzioni condizionatamente definite positive.

Un altro vantaggio nell’usare funzioni di base a supporto compatto e che se si consideraun’approssimante ϕ a supporto compatto, automaticamente si avra ϕ ∈ L1 e quindipossiamo usare la trasformata di Fourier classica al posto di quella generalizzata.

Il prossimo teorema mostra poi che lo strumento corretto per maneggiare tali funzionie proprio la trasformata di Fourier e non quella di Laplace, come invece avveniva per lefunzioni completamente monotone.

Teorema 2. Supponiamo che la funzione continua e non identicamente nulla ϕ : [0,∞)→R sia tale che Φ sia definita positiva su Rd, per ogni d ∈ N. Allora ϕ(r) 6= 0 per ognir ∈ [0,∞).

Una conseguenza immediata di questo teorema e che, la dimensione d, su cui unafunzione ϕ a supporto compatto e definita positiva, e ristretta ad un insieme finito di valoripossibili. Se poi ϕ non e definita positiva su un fissato Rd0 allora essa non puo esseredefinita positiva su alcun Rd, d > d0.

Corollario 3. Sia ϕ una funzione continua, ad una variabile e a supporto compatto. AlloraΦ non puo essere definita positiva su Rd, per ogni d ∈ N.

Riassumendo con uno schema quanto appreso in questo primo paragrafo, si puo direche, se ϕ e una funzione ad una variabile continua, allora

definita positiva su ogni Rd ⇒ ¬ supporto compatto,

¬ definita positiva su ogni Rd ⇐ supporto compatto.

2 Passeggiata in piu dimensioni

Per i risultati del paragrafo precedente sappiamo quindi che, se vogliamo costruirefunzioni radiali, a supporto compatto e definite positive, dobbiamo lavorare con spazi didimensione fissata d. Grazie al teorema di Bochner, sappiamo poi che una funzione definitapositiva su Rd e caratterizzata da una trasformata di Fourier in d variabili non negativa.Nel caso di una funzione radiale Φ = ϕ(‖ · ‖2) ∈ L1(Rd), la trasformata di Fourier e a suavolta una funzione radiale Φ = Fdϕ(‖ · ‖2), dove

Fdϕ(r) = r−(d−2)/2∫ +∞

0ϕ(t)td/2J(d−2)/2(rt) dt

e

Jν(z) =∞∑m=0

(−1)m(z/2)2m+ν

m! Γ(ν +m+ 1),

3

con z ∈ C \ {0}, e la funzione di Bessel del primo tipo di ordine ν ∈ C. L’operatore Fdagisce quindi su funzioni ad una sola variabile e puo essere manipolato introducendo iseguenti due nuovi operatori:

• sia ϕ tale che la funzione t 7→ ϕ(t)t appartenga ad L1 [0,+∞), allora per ogni r ≥ 0poniamo

(Iϕ)(r) =

∫ +∞

rtϕ(t) dt;

• sia ϕ ∈ C2(R) e pari, allora per ogni r ≥ 0 definiamo

(Dϕ)(r) = −1

rϕ′(r).

In entrambi i casi le funzioni risultanti possono essere viste come estensioni pari dellefunzioni di partenza, quindi I e D mappano funzioni pari in una sola variabile nelleloro estensioni pari in una sola variabile. Inoltre entrambi gli operatori rispettano lacompattezza del supporto delle funzioni sulle quali sono valutati, con cio intendendo che,se ϕ ha supporto compatto, allora anche I(ϕ) e D(ϕ) hanno supporto compatto.

Osserviamo poi che la funzione Dϕ e continua in zero, infatti ϕ ∈ C2(R) e pari, quindiϕ′ e dispari, cioe ϕ′(t) = −ϕ′(−t). Ma allora ϕ′(0) = 0. Questo significa che ϕ′(t) = O(t)per t→ 0, quindi Dϕ(t) = O(1) per t→ 0. Inoltre gli operatori I e D sono uno l’inversodell’altro nel senso seguente

Lemma 4. Se ϕ e continua e soddisfa la condizione t 7→ tϕ(t) ∈ L1 [0,+∞), alloraDIϕ = ϕ. Viceversa, se ϕ ∈ C2(R) e pari e ϕ′ ∈ L1 [0,+∞), allora IDϕ = ϕ.

La relazione tra gli operatori Fd, I e D e l’argomento del prossimo teorema. Peraffrontarlo teniamo a mente che, se t 7→ ϕ(t)td−1 ∈ L1 [0,+∞), allora Φ = ϕ(‖ · ‖2) ∈L1(Rd).

Teorema 5. Supponiamo che ϕ sia continua, allora

(i) se t 7→ ϕ(t)td−1 ∈ L1 [0,+∞) e d ≥ 3, allora Fd(ϕ) = Fd−2(Iϕ) ;

(ii) se ϕ ∈ C2(R) e pari e t 7→ ϕ′(t)td ∈ L1 [0,+∞), allora Fd(ϕ) = Fd+2(Dϕ).

Grazie all’interazione tra questi tre operatori possiamo quindi esprimere le trasformatedi Fourier delle funzioni radiali in dimensione piu alta tramite trasformate in dimensionepiu bassa e viceversa. Dal momento che le funzioni integrabili definite positive sonocaratterizzate da una trasformata di Fourier non negativa e non identicamente nulla,possiamo formulare la seguente conclusione:

Corollario 6. Sia ϕ continua, allora

• se t 7→ ϕ(t)td−1 ∈ L1 [0,+∞) e d ≥ 3 allora ϕ e definita positiva su Rd se e solo seIϕ e definita positiva su Rd−2 ;

• se ϕ ∈ C2(R) e pari e t 7→ ϕ′(t)td ∈ L1 [0,+∞), allora ϕ e definita positiva su Rd see solo se Dϕ e definita positiva su Rd+2.

Gli operatori I e D appena introdotti variano la dimensione degli spazi su cui agisconodi passi di lunghezza 2, e quindi non possono essere utilizzati se abbiamo a che fare conuna successione in cui compaiono sia spazi di dimensione pari che spazi di dimensionedispari. Una generalizzazione degli operatori I e D ad un intera famiglia di operatori Iν

4

con ν ∈ R, dove I1 = I e I−1 = D, e stata fatta da Schaback e Wu. Sfortunatamente peroquesti operatori non hanno una forma semplice e quindi sono difficili da utilizzare.

Riassumendo in questo paragrafo abbiamo visto che:

• possiamo scrivere Fd tramite gli operatori I e D che sono, in un opportuno senso,uno l’inverso dell’altro;

• tali operatori ci permettono di esprimere le trasformate di Fourier in dimensione altatramite quelle in dimensione piu bassa;

• grazie al teorema di Bochner possiamo ricondurre il problema di stabilire se unacerta funzione ϕ e definita positiva verificando se Iϕ o Dϕ sono definite positive sugliopportuni spazi.

3 Funzioni polinomiali a tratti con supporto compatto

Una base formata da funzioni a supporto compatto rappresenta solo un piccolo passosulla via di un efficiente metodo numerico per il problema dell’approssimazione. Il prossimopasso sara quello di assicurarsi che le funzioni di base scelte si possano valutare velocemente.E questo il motivo per cui d’ora in poi ci concentreremo su funzioni della forma seguente

ϕ(r) =

{p(r), se 0 ≤ r ≤ 1,

0, se r > 1,(3)

dove p rappresenta un polinomio in una sola variabile. Ovviamente tali funzioni si possonoestendere all’intera retta reale tramite estensioni pari.

Possiamo poi restringere la nostra attenzione alle funzioni con supporto in [0, 1] oin [−1, 1], rispettivamente. Gli altri intervalli, infatti, possono essere ottenuti tramiteriscalamento, infatti la proprieta di positiva definitezza e invariante per cambi di scala: latrasformata di Fourier d-variata di ϕ(·/δ), δ > 0, e δd(Fdϕ)(δ ·), che e non negativa se esolo se la trasformata di Fourier di ϕ e non negativa.

Per quanto visto nel capitolo 6 noi gia conosciamo una funzione definita positiva dellaforma (3): la funzione

ϕ`(r) = (1− r)`+, ` ∈ N (4)

e tale che Φ e definita positiva su Rd se ` ≥ bd/2c+ 1.Queste funzioni, se opportunamente estese tramite un’estensione pari e per valori

di ` grandi, sono solo continue. Infatti una funzione pari di classe C1 ha la proprietache f ′(0) = 0, e ϕ′`(r) = ` 6= 0, quindi ϕ` non puo essere di classe C1, nemmeno per `grande. Dal momento che dalla regolarita delle funzioni di base dipende la regolarita delleapprossimanti, e necessario avere funzioni della forma (3) piu regolari di (4). D’altrondeconsiderazioni di tipo numerico ci portano a cercare un polinomio del grado minimopossibile. E quindi abbastanza naturale cercare delle funzioni che soddisfino entrambi irequisiti, e cioe che siano della forma (3) con p di grado minimo possibile nello spazio difunzioni di dimensione e regolarita prescritte. Risponderemo a questa questione con ladovuta precisione nel prossimo paragrafo, nel frattempo diamo dei risultati di caratteregenerale riguardanti le funzioni della forma (3).

Per prima cosa notiamo che e ovvio che ogni funzione pari ϕ della forma (3) ha unnumero pari di derivate continue in zero e che questo numero dipende dal primo coefficientedi indice dispari del polinomio p che non si annulla. Inoltre ϕ e ovviamente C∞ sia in (0, 1)che in (1,+∞), quindi l’unico punto critico e 1.

5

Lemma 7. Sia ϕ una funzione pari della forma (3) con 2k derivate continue in r = 0 e `derivate continue in r = 1. Allora

• Iϕ possiede 2k + 2 derivate continue in 0 e `+ 1 derivate continue in 1;

• se k, ` ≥ 1, allora Dϕ possiede 2k− 2 derivate continue in 0 e `− 1 derivate continuein 1.

Il risultato precedente rimane vero anche per una funzione ϕ generica, purche siasufficientemente liscia fuori da 0 e 1 e ammetta l’applicazione dei funzionali I e D.

Esempio 1. Definiamo f`(r) = (1 − r2)`+ per ` ∈ N. Allora g` := f` ∗ f`(2 ·) e definitapositiva su R, poiche la sua trasformata di Fourier e il quadrato della trasformata di Fourierdi f`. Inoltre g` e della forma (3) con polinomio p di grado 4` + 1 e appartiene a C2`.Quindi gk,` := Dkg` e definita positiva su R2k+1, e della forma (3) con un polinomio digrado 4`− 2k + 1 e appartiene in C2`−2k se ` ≥ k. Piu avanti vedremo che tali funzioninon hanno grado minimo per certe regolarita fissate.

Il primo passo nel caratterizzare funzioni della forma (3) di grado minimo in terminidella loro regolarita e positiva definitezza (ovvero in termini della dimensione dello spazio)consiste nel mostrare che nessuna di esse ha un numero dispari di derivate continue. Perfar questo diamo prima un’occhiata alla regolarita di ϕ in un intorno di 1.

Teorema 8. Sia ϕ una funzione pari della forma (3) tale che Φ sia definita positiva suRd. Allora ϕ ∈ Cbd/2c(0,+∞).

Anche in questo caso il risultato del precedente teorema si presta bene a generalizzazioniin spazi di dimensione dispari con funzioni ϕ generiche tali che t 7→ ϕ(t)td−1 ∈ L1 [0,+∞)ed e semplicemente una conseguenza della radialita. Per spazi di dimensione pari il risultato,come ha mostrato Gneiting, e in generale falso. Riassumendo, abbiamo quindi che, per spazidi dimensione arbitraria e funzioni generiche, la generalizzazione del teorema precedentediventa

ϕ ∈ Cb(d−1)/2c(0,+∞).

Teorema 9. Supponiamo che ϕ sia continua, pari e della forma (3) e tale che Φ siadefinita positiva su Rd. Allora esistono interi k, ` ∈ N0 tali che ϕ possieda 2k derivatecontinue in r = 0 e 2k + `+ bd/2c derivate continue in r = 1.

4 Funzioni a supporto compatto di grado minimo

Per quanto visto nel paragrafo precedente sappiamo che le funzioni della forma (3) devonecessariamente avere un numero pari di derivate continue. L’obiettivo di questo paragrafoe quello di cercare quelle funzioni che sono di grado minimo rispetto ad una assegnatadimensione d e ad una fissata regolarita 2k, dove per grado della funzione ϕ intendiamo ilgrado del polinomio p.

Definizione 1. Sia ϕ`(r) = (1− r)`+, definiamo

ϕd,k = Ikϕbd/2c+k+1.

Dal momento che l’operatore I ha supporto compatto e mappa polinomi in polinomi,le funzioni ϕd,k sono ancora della forma (3). Nel prossimo teorema troviamo un possibilemetodo iterativo per la valutazione dei polinomi.

6

Teorema 10. Se ci limitiamo al supporto [0, 1] possiamo rappresentare ϕd,k come

pd,k(r) =

`+2k∑j=0

d(`)j,kr

j

con ` = bd/2c+k+1. I coefficienti possono essere calcolati ricorsivamente per 0 ≤ s ≤ k−1nel seguente modo:

d(`)j,0 = (−1)j

(`

j

), 0 ≤ j ≤ `,

d(`)0,s+1 =

`+2s∑j=0

d(`)j,k

j + 2, d

(`)1,s+1 = 0, s ≥ 0,

d(`)j,s+1 = −

d(`)j−2,kj

, s ≥ 0, 2 ≤ j ≤ `+ 2s+ 2.

Inoltre i primi k coefficienti di indice dispari d(`)j,k si annullano.

Queste funzioni non sono solo della forma (3) ma hanno anche grado minimo e quindirispondono alla nostra richiesta iniziale.

Teorema 11. Le funzioni ϕd,k della forma

ϕd,k(r) =

{pd,k(r), 0 ≤ r ≤ 1,

0, r > 1,(5)

dove pd,k e un polinomio in una variabile di grado bd/2c + 3k + 1, sono tali che lecorrispondenti Φ sono definite positive su Rd. Tali funzioni soddisfano le seguenti proprieta:

(i) possiedono derivate continue fino all’ordine 2k ;

(ii) sono di grado minimo tra le funzioni appartenenti ad uno spazio di dimensione dfissata e regolarita 2k ;

(iii) sono univocamente determinate a meno di una costante.

Dimostrazione. Alle funzioni ϕd,k corrispondono funzioni Φ che sono definite positive suRd poiche, per la definizione 1, ϕd,k = Ikϕbd/2c+k+1, con ϕ`(r) = (1 − r)`+. Ora, per ilteorema 5 sappiamo che

Fd(ϕd,k) = Fd+2k(Dkϕd,k) = Fd+2k(DkIkϕbd/2c+k+1) = Fd+2k(ϕbd/2c+k+1).

Applicando quindi il teorema 6.20, sappiamo che ϕ`(r) e definita positiva su Rd+2k se` ≥ bd/2c+ 1 e nel nostro caso ` = (bd/2c+ 1) + k, k > 0.

Per il lemma 7 sappiamo poi che ϕd,k possiede 2k derivate continue, mentre il gradodel polinomio pd,k e dato dal teorema 10.

Infine supponiamo che esista una funzione ψ definita positiva su Rd, della forma (3)e con 2k derivate continue. Assumiamo poi che ψ sia di grado minimo. Allora possiamocostruire una funzione ψ = Dϕ, che e ancora della forma (3) e per il lemma 7 e almenocontinua. Inoltre ψ deve possedere almeno bd/2c+ k derivate continue in 1, cioe

ψ(r) = (1− r)bd/2c+k+1+ q(r),

con q polinomio. Ma allora, visto che per ipotesi ψ e di grado minimo, q dev’essere unacostante. A questo punto la funzione ψ = Ikψ differisce da ϕd,k solo per una costante.

7

Per semplicita riportiamo nella tabella seguente i casi piu semplici di funzioni ϕd,k enella seguente figura alcune loro rappresentazioni.

Dimensione Funzione Regolarita

ϕ1,0(r) = (1− r)+ C0

d = 1 ϕ1,1(r) = c (1− r)3+(3r + 1) C2

ϕ1,2(r) = c (1− r)5+(8r2 + 5r + 1) C4

ϕ3,0(r) = (1− r)2+ C0

ϕ3,1(r) = c (1− r)4+(4r + 1) C2

d ≤ 3 ϕ3,2(r) = c (1− r)6+(35r2 + 18r + 3) C4

ϕ3,2(r) = c (1− r)8+(32r3 + 25r2 + 8r + 1) C6

ϕ5,0(r) = (1− r)3+ C0

d ≤ 5 ϕ5,1(r) = c (1− r)5+(5r + 1) C2

ϕ5,2(r) = c (1− r)7+(16r2 + 7r + 1) C4

Figura 2: In alto a sinistra si trova il grafico di ϕ1,0(r), in alto a destra quello di ϕ1,1(r),in basso a sinistra quello di ϕ1,2(r) e in basso a destra quello di ϕ3,0(r). Nei primi tre siriesce chiaramente a vedere l’aumento di regolarita preannunciato dalla tabella precedente.

Mentre nel prossimo corollario diamo le forme esplicite delle piu importanti funzioniradiali di base a supporto compatto della forma (5) .

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Corollario 12. Le funzioni ϕd,k, k = 0, 1, 2, 3 hanno le seguenti forme

ϕd,0(r) = (1− r)bd/2c+1+ ,

ϕd,1(r) = c (1− r)`+1+ [(`+ 1)r + 1],

ϕd,2(r) = c (1− r)`+2+ [(`2 + 4`+ 3)r2 + (3`+ 6)r + 3],

ϕd,3(r) = c (1− r)`+3+ [(`3 + 9`2 + 23`+ 15)r3 + (6`2 + 36`+ 45)r2 + (15`+ 45)r + 15],

dove abbiamo usato ` = bd/2c+ k + 1, c ∈ R.

Dimostrazione. Per k = 0 la dimostrazione e ovvia, per definizione infatti

ϕd,0(r) = I0ϕbd/2c+0+1,

= ϕbd/2c+1,

= (1− r)bd/2c+1+ .

Per k = 1 dobbiamo solo applicare una volta l’operatore I, ottenendo

ϕd,1(r) = I0ϕ`(r),

=

∫ +∞

rtϕ`(t) dt,

=

∫ 1

rt(1− t)` dt+

∫ +∞

1t · 0 dt,

= −

[(1− t)`+1

`+ 1t

]1r

+

∫ 1

r

(1− t)`+1

`+ 1dt

=(1− r)`+1

`+ 1r −

[(1− t)`+2

(`+ 1)(`+ 2)

]1r

=(1− r)`+1

(`+ 1)(`+ 2)[r(`+ 1) + 1]

= c (1− r)`+1[r(`+ 1) + 1].

Gli altri casi sono del tutto analoghi.

5 Generalizzazioni

L’esempio 1, dovuto a Wu, esibisce un’altra classe di funzioni radiali di base a supportocompatto che sono ancora della forma (3). Tuttavia si possono considerare anche funzionidi base che non hanno una rappresentazione polinomiale all’interno del loro supporto. Laragione che ci aveva spinto a scegliere i polinomi in una variabile era quella di avere unavalutazione facile della funzione di base, ma ovviamente una valutazione facile puo avvenireanche in altri casi.

Nonostante il fatto che c’e voluto molto tempo per trovare la prima funzione radiale dibase a supporto compatto, ora e abbastanza semplice costruirne un gran numero graziea diversi strumenti. Oltre agli operatori I e D esistono anche altri strumenti. In questoparagrafo vogliamo approfondirne due in particolare. Entrambi usano funzioni definitepositive note per costruirne di nuove.

La prima idea e di applicare un operatore T alle funzioni di base Φ. Questo operatoredev’essere non negativo nel dominio di Fourier, ovvero deve soddisfare la condizione

TΦ ≥ 0 se Φ ≥ 0.

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Se questo avviene, anche la funzione risultante e definita positiva. Se siamo interessatia funzioni con supporto compatto, allora dovremo accertarci che l’operatore T rispetti isupporti compatti delle funzioni a cui e applicato. L’esempio piu importante e l’operatoredi Laplace classico.

Lemma 13. Supponiamo che Φ ∈ C2(Rd) ∩ L1(Rd) sia definita positiva. Indichiamo con∆ l’operatore di Laplace

∆ =

d∑j=1

∂2

∂x2j.

Se −∆Φ e integrabile, allora e anche definito positivo. Se Φ e radiale, allora anche ∆Φ losara. Se Φ ha supporto compatto, anche ∆Φ lo avra.

La seconda tecnica e una specializzazione della prima ed e particolarmente utile perle caratterizzazioni di Bochner e Schoenberg. Essa si basa sul fatto che se una funzionedefinita positiva e integrata contro una misura non negativa, allora la funzione risultantesara ancora definita positiva.

Proposizione 14. Supponiamo che f ∈ L1 [0,+∞) sia non negativa e che sia positiva suun insieme di misura di Lebesgue positiva. Supponiamo poi che il nucleo K : [0,+∞) ×[0,+∞)→ R sia limitato e che

(i) K(·, r) sia misurabile per ogni r ≥ 0;

(ii) K(t, ·) sia semi-definito positivo su Rd per ogni t > 0 e definito positivo su Rd perogni t ∈ U .

Allora la funzione

ϕ(r) :=

∫ +∞

0K(t, r)f(t) dt (6)

e tale che Φ sia definita positiva su Rd.

Una scelta tipica per K e K(t, r) = ψ(r/t), dove ψ e una funzione a supporto compatto.Il supporto compatto rende K ben definito. Una possibile scelta di ψ e una delle funzioniϕd,k.

La proposizione 14 non vale solo per nuclei K tali che K(t, ·) sia definito positivo. Eanche possibile rilassare questa condizione se la scelta delle funzioni f e successivamenteristretta. Per esempio Buhmann in alcuni suoi lavori ha operato la scelta K(t, r) =(1 − r2/t)λ+ e f(t) = tα(1 − tδ)ρ+, discutendo le possibili scelte dei parametri α, δ, λ e ρaffinche la funzione ϕ, costruita secondo la (6) e cioe

ϕ(r) =

∫ +∞

0(1− r2/t)λ+tα(1− tδ)ρ+ dt, (7)

sia definita positiva, arrivando al seguente risultato

Teorema 15. Siano 0 < δ ≤ 1/2, ρ ≥ 1 numeri reali e supponiamo che sia λ 6= 0 e αsiano numeri reali tali che

λ ∈

(−1/2,+∞), −1 < α ≤ min{1/2, λ− 1/2} se d = 1[1,+∞) , −1/2 < α ≤ λ/2 se d = 1(−1/2,+∞), −1 < α ≤ min{(λ− 1/2)/2, λ− 1/2} se d = 2[0,+∞) , −1 < α ≤ (λ− 1)/2, se d = 3((d− 5)/2,+∞), −1 < α ≤ (λ− 1/2(d− 1))/2, se d > 3.

Per questi valori dei parametri λ ed α alle funzioni radiali di base della forma (7)corrispondono funzioni Φ definite positive su Rd.

10

6 Alcune applicazioni all’interpolazione

In questo paragrafo vogliamo fornire alcuni esempi di confronto tra l’interpolazionetramite funzioni funzioni radiali di base (RBF) globali e l’interpolazione tramite RBF asupporto compatto. In particolare esibiremo due casi, uno in cui si interpola una funzioneliscia e uno in cui si interpola una funzione continua ma non derivabile. Il codice MATLAButilizzato e il seguente

function [A,error] = RBF_integration(f,a,N,RBF_kind)

% -------------------------------------------------------

% INPUTS:

% f = funzione da integrare (e.g. f = @(x) sin(pi*x/a))

% a = estremo destro dell’intervallo di integrazione

% N = numero di centri

% RBF_kind = tipo di RBF scelta

% OUTPUTS:

% A = matrice di interpolazione

% error = errore in norma infinito tra l’interpolante e

% la funzione f

% -------------------------------------------------------

x = linspace(-a,a,N); % centri

u = f(x)’; % valori assunti dalla funzione f sui centri

switch(RBF_kind)

case{’G’}

alpha = 200;

phi = @(r) exp(-(alpha*(r.^2)));

case{’MQ’}

c = 2;

beta = -1/2;

phi = @(r) (c.^2+(r.^2)).^beta;

case{’TS’}

sigma = 5;

phi = @(r) rbf_log(r,sigma);

case{’SC’}

d = 3;

k = 0;

phi = @(r) phi_supporto_compatto(r,d,k);

otherwise

error(’Tipologia di RBF non consentita’);

end

% Costruzione della matrice di interpolazione:

A = zeros(N+2,N+2);

for i = 1:N

for j = 1:N

A(i,j) = phi(abs(x(i)-x(j)));

end

end

11

for i = 1:N

A(i,N+1) = 1;

A(i,N+2) = x(i);

A(N+1,i) = 1;

A(N+2,i) = x(i);

end

y = [u;0;0]; % vettore dei termini noti (valori da interpolare)

c = A\y; % ricavo i coefficienti di interpolazione

m = 200; % numero di punti di valutazione

t = linspace(-a,a,m); % modello discreto dell’interpolante

z = zeros(m,1);

for i = 1:m

s = 0;

for j =1:N

s = s + c(j)*phi(abs(t(i)-x(j)));

% combinazione lineare delle funzioni RBF di base

end

z(i) = s + c(N+1)+ c(N+2)*t(i); % aggiungo l’offset

end

error = norm(z-f(t)’,Inf);

figure;

plot(x,u,’o’,linspace(-a,a,10*m),f(linspace(-a,a,10*m)),’--b’,t,z,’xr’);

Esempio 2. Interpoliamo la funzione f(x) = sin(πxa

)sull’intervallo [−a, a] con N centri

equispaziati usando come funzioni radiali di base delle gaussiane di parametro α. Sescegliamo a = 1, N = 10 e α = 0.2 otteniamo il risultato riportato in figura 3.

Figura 3: A sinistra, tramite croci rosse si e indicato il grafico dell’interpolante ottenutatramite RBF gaussiane di parametro α = 0.2, con cerchi blu si sono rappresentati i centrie in linea tratteggiata blu la funzione f(x) = sin

(πxa

). A destra si trova il grafico della

RBF gaussiana usata per l’interpolazione.

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Se manteniamo costante l’ampiezza dell’intervallo di integrazione e il numero di centrima aumentiamo il parametro di tre ordini di grandezza scegliendo α = 200, otteniamo ilrisultato riportato in figura 4.

Figura 4: A sinistra, tramite croci rosse si e indicato il grafico dell’interpolante ottenutatramite RBF gaussiane di parametro α = 200, con cerchi blu si sono rappresentati i centrie in linea tratteggiata blu la funzione f(x) = sin

(πxa

). A destra si trova il grafico della

RBF gaussiana usata per l’interpolazione.

Come si intuisce confrontando i grafici delle gaussiane al variare del parametro α, nelsecondo caso il supporto della funzione radiale di base scelta e drasticamente diminuito equesto causa problemi per l’interpolante nell’approssimare la funzione assegnata fuori daun intorno dei centri.

Nella seguente tabella si riporta l’errore in norma infinito commesso dall’interpolantenell’approssimare f usando diverse RBF a supporto globale al variare del loro parametro.Nella stessa tabella si riportano anche informazioni riguardo alla forma della matrice delledistanze Ai,j = (ϕ(|xi − xj |)).

RBF Parametro Errore Matrice distanze

Gaussiana (G) α = 0.2 2.2326e− 006 pienaα = 200 0.5784 diagonale

Multiquadratica (MQ) β = −1/2 3.0931e− 004 pienaβ = −10 0.0018 nulla

Thin-plate spline (TS) σ = 5 0.0067 pienaσ = 7 0.6616 piena

Se al posto di RBF gaussiane usassimo le RBF a supporto compatto contenute in tabellaa pagina 8 otterremo le interpolanti mostrate in figura 5. Come si puo osservare in questocaso a = 1 e il numero N di centri usato risulta sufficiente per una buona approssimazionedella funzione assegnata.

All’aumentare dell’ampiezza dell’intervallo considerato, prendendo ad esempio a = 4,le distanze dai centri sono strettamente maggiori del supporto delle RBF considerate equindi, come si puo osservare in figura 6 l’interpolante e una buona approssimazione solonell’intorno dei centri.

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Figura 5: Interpolazione usando come RBF rispettivamente ϕ1,0, ϕ1,1, ϕ1,2 e ϕ3,0 cona = 1. Si puo notare come, al crescere della regolarita della RBF scelta, migliori anchel’approssimazione di f tramite la relativa interpolante.

Infine nella seguente tabella si riporta l’errore in norma infinito commesso dall’in-terpolante nell’approssimare f usando le diverse RBF a supporto compatto al variaredell’ampiezza dell’intervallo di interpolazione. Nella stessa tabella si riportano ancheinformazioni riguardo alla forma della matrice delle distanze Ai,j = (ϕ(|xi − xj |)) (nelnumero di bande non si e tenuto conto della diagonale).

RBF Intervallo Errore Matrice distanze

ϕ1,0 a = 1 0.0269 4 bandea = 4 0.0814 1 banda

ϕ1,1 a = 1 0.0300 4 bandea = 4 0.1879 1 banda

ϕ1,2 a = 1 0.0336 4 bandea = 4 0.3669 1 banda

ϕ3,0 a = 1 0.0583 4 bandea = 4 0.3057 1 banda

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Figura 6: Interpolazione usando come RBF rispettivamente ϕ1,0, ϕ1,1, ϕ1,2 e ϕ3,0 cona = 4. Si puo notare come, in un intorno dei centri, il grafico dell’interpolante “assomigli”al grafico della RBF scelta (si confronti questa figura con la figura 2).

Esempio 3. Interpoliamo la funzione g(x) = |x| sull’intervallo [−a, a] con N centriequispaziati usando come funzioni radiali di base delle gaussiane di parametro α. Sescegliamo a = 1, N = 11 e α = 2 otteniamo il risultato riportato in figura 7 a sinistra, semanteniamo costante l’ampiezza dell’intervallo di integrazione e il numero di centri maaumentiamo il parametro di due ordini di grandezza scegliendo α = 200, otteniamo ilrisultato riportato in figura 7 a destra. Osserviamo che questa volta prendiamo N dispariperche vogliamo che il punto di non derivabilita sia uno dei nostri centri.

Figura 7: A sinistra si trova grafico dell’interpolante della funzione g(x) corrispondenteall’utilizzo di RBF gaussiane di parametro α = 2, a destra quello ottenuto usando RBFgaussiana di parametro α = 200.

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Se al posto di RBF gaussiane usassimo le RBF a supporto compatto dell’esempioprecedente, otterremo le interpolanti mostrate in figura 8. Come si puo osservare in questocaso a = 1 e il numero N di centri usato risulta sufficiente per una buona approssimazionedella funzione assegnata.

Figura 8: Interpolazione usando come RBF rispettivamente ϕ1,0, ϕ1,1, ϕ1,2 e ϕ3,0 cona = 1. Si puo notare come, al crescere della regolarita della RBF scelta, peggiori anchel’approssimazione di f tramite la relativa interpolante in un intorno del punto di nonderivabilita.

All’aumentare dell’ampiezza dell’intervallo considerato, prendendo ad esempio a = 4,le distanze dai centri sono strettamente maggiori del supporto delle RBF considerate equindi, come si puo osservare in figura 9 l’interpolante e una buona approssimazione solonell’intorno dei centri.

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Figura 9: Interpolazione usando come RBF rispettivamente ϕ1,0, ϕ1,1, ϕ1,2 e ϕ3,0 cona = 4. Si puo notare come, in un intorno dei centri, il grafico dell’interpolante “assomigli”al grafico della RBF scelta (si confronti questa figura con la figura 2).

Infine nella seguente tabella si riporta l’errore in norma infinito commesso dall’inter-polante nell’approssimare f usando RBF a supporto globale o a supporto compatto e alvariare rispettivamente del parametro e dell’intervallo di integrazione.

Supporto RBF Parametro Errore

Globale Gaussiana α = 2 0.1418α = 200 0.3232

Compatto ϕ1,0 a = 1 3.8858e− 016a = 4 0.2585

ϕ1,1 a = 1 0.0336a = 4 0.1714

ϕ1,2 a = 1 0.0364a = 4 0.6090

ϕ3,0 a = 1 0.0041a = 4 0.5772

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