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Funzioni definite per casi in matematica
Daniela Valenti, Treccani Scuola 1
Un video per richiamare una funzione definita per casi che avete
già incontrato in matematica.
Daniela Valenti, Treccani Scuola 2
Video ‘Absolute value’
Modulo (o valore assoluto)
3 Daniela Valenti, Treccani Scuola
La nozione geometrica
indica il modulo di -2 �
€
−2
Modulo (o valore assoluto)
4 Daniela Valenti, Treccani Scuola
La definizione
È una funzione definita per casi. Il grafico illustra la definizione
€
x =x, se x ≥ 0−x, se x < 0
5 Daniela Valenti, Treccani Scuola
x 0 2 -2 0 2 2
€
y = x
Se x < 0 y = −x
Se x ≥ 0 y = x
Il grafico di y = IxI
€
x =x, se x ≥ 0−x, se x < 0
Uno sguardo alla storia
6 Daniela Valenti, Treccani Scuola
La storia del modulo è legata alla lunga e controversa storia dei numeri negativi.
I numeri negativi
7 Daniela Valenti, Treccani Scuola
Dei numeri negativi si trovano tracce a partire dal 2000 a.C., ma ancora nel 1500 matematici famosi come Stiefel o Viète li consideravano ‘Numeri assurdi’
M. Stifel 1487 - 1567 F. Viète 1540 - 1603
I numeri negativi
8 Daniela Valenti, Treccani Scuola
Altri matematici ‘progressisti’, come Stevin e Bombelli, a partire dalla fine del 1500, propongono di rappresentare i numeri su una retta. Così anche i numeri negativi hanno una visualizzazione geometrica.
S. Stevin 1548 - 1620
R. Bombelli 1526 - 1572
La scrittura dei numeri negativi
9 Daniela Valenti, Treccani Scuola
In questo panorama confuso, fra le ricerche dei matematici e le necessità delle applicazioni, si diffondono vari modi di intendere i numeri negativi e il valore assoluto. Ad esempio, nel 1821 in un famoso testo di analisi di Cauchy si trova:
Questo forse suggerisce l’idea di ‘togliere il segno a un numero’ e spiega alcune definizioni che si trovano talvolta ancora oggi.
‘il segno + o – messo davanti ad un numero ne modificherà il significato, pressappoco come un aggettivo modifica quello di un sostantivo' .
A. Cauchy 1789 - 1857
10 Daniela Valenti, Treccani Scuola
La scrittura dei numeri negativi Da fine del 1800 ai primi del 1900 ricerche su natura e scrittura dei numeri
il segno ‘−’è parte inseparabile di un numero negativo e va ben distinto dal simbolo di sottrazione.
Testo di matematica per l’università di Harvard (USA), 1917
I segni ‘−’ e ‘+’ nei numeri relativi sono esponenti davanti alle cifre
Questa ‘scomoda’ scrittura è stata abbandonata, ma è rimasto pienamente valido un concetto importante:
Perciò non si trova più la definizione: ‘valore assoluto = numero senza segno’
Valore assoluto, calcolo letterale e funzioni
11 Daniela Valenti, Treccani Scuola
“Valore assoluto = numero senza segno” può rimanere una ‘regola pratica’ per il calcolo numerico? E che succede quando passo a calcolo letterale e funzioni?
x è ‘un contenitore’ dove trovo numeri positivi e negativi. NON trovo il ‘segno da togliere’ ad x.
La funzione valore assoluto
12 Daniela Valenti, Treccani Scuola
x è ‘un contenitore’ dove trovo numeri positivi e negativi. NON trovo il ‘segno da togliere’ ad x.
Capisco allora che debbo ‘guardare i numeri contenuti in x’ e decidere come procedere. - Se il numero è positivo o 0 lo lascio inalterato. - Se il numero è negativo, debbo ‘trasformarlo in positivo’ e per questo ho il procedimento: la moltiplicazione per (-1).
€
x =x , se x ≥ 0−1( ) ⋅ x = −x, se x < 0
Ed ecco la funzione valore assoluto
Le funzioni ‘strane’ dell’Analisi Matematica
13 Daniela Valenti, Treccani Scuola
La funzione y = IxI è diventata una componente importante di vari rami della matematica, fra cui la geometria analitica e l’analisi matematica. Ma, proprio per trovare esempi e controesempi di proprietà caratteristiche dell’analisi matematica, i matematici ‘inventano’ e studiano tante funzioni. Ora ne vedremo alcuni esempi.
La funzione ‘parte intera’
14 Daniela Valenti, Treccani Scuola
Definizione Per un numero reale x la parte intera y è il più grande numero intero che non supera x. Simboli y = [x] o y = int(x)
1 non supera 1,9999 1 è a sinistra di 1,9999
-1 non supera -0,001 -1 è a sinistra di -0,001
Il grafico della funzione ‘parte intera’
15 Daniela Valenti, Treccani Scuola
Definizione Per un numero reale x la parte intera y è il più grande numero intero che non supera x. Simboli y = [x] o y = int(x)
x y = [x]
1,999 1 1 1
0,999 0 0 0
-0,001 -1 -1 -1
-1,001 -2
A(3, 2) NON fa parte del grafico
B(3, 4) fa parte del grafico
A B
La funzione fa corrispondere ad ogni x una sola y
Funzioni ottenute con polinomi 1
16 Daniela Valenti, Treccani Scuola
Ecco due funzioni da confrontare
Dove trovo la diversità di queste due funzioni? Solo in un punto: - il punto A(1, 1) fa parte del grafico di f(x) - nella funzione definita per casi g(x) il punto A(1, 1) è stato ‘spostato’
in A’(1, 2) e ha lasciato ‘un foro vuoto’ sulla curva.
f(x) = x2
€
g(x) = x2 , se x ≠1
2 , se x = 1
⎧ ⎨ ⎩
A(1, 1) fa parte del grafico
A(1, 1) NON fa parte del grafico
A’(1, 2) fa parte del grafico
Funzioni ottenute con polinomi 2
17 Daniela Valenti, Treccani Scuola
Ecco altre due funzioni da confrontare
f(x) = x + 2
A(2, 4) NON fa parte del grafico
€
f (x) = x2 − 4x − 2
= x + 2( ) x − 2x − 2
Dominio : x ≠ 2
A(2, 4) fa parte del grafico
Ancora diversità solo in un punto e attenzione nel ‘semplificare’ quozienti di polinomi!
La funzione di Dirichlet
18 Daniela Valenti, Treccani Scuola
€
D(x) =1 , se x è un numero razionale 0 , se x è un numero irrazionale⎧ ⎨ ⎩
La funzione ha come dominio e come codominio l’insieme R dei numeri reali ed è definita per casi nel modo seguente:
P. Dirichlet 1805 - 1859
La funzione è ben definita, … ma non riesco disegnarne il grafico: posso forse immaginare una polvere di punti che fa intravedere le rette d’equazione y = 0 e y = 1.
Attività 2. funzioni definite per casi in matematica
Daniela Valenti, Treccani Scuola
Avete 20 minuti di tempo
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Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone. Ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro per esaminare altre funzioni definite per casi tratte dalla realtà.
Che cosa abbiamo ottenuto
Daniela Valenti, Treccani Scuola 20
Problema 1
Daniela Valenti, Treccani Scuola 21
Ricorda Non si può
dividere per 0
Ricorda R0 è l’insieme dei
numeri reali escluso 0
Problema 2
Daniela Valenti, Treccani Scuola 22
Ricorda Non si può
dividere per 0
Ricorda R0 è l’insieme dei
numeri reali escluso 0
Una riflessione
Daniela Valenti, Treccani Scuola 23
Posso creare varie funzioni a partire dalla formula
€
x 3 − xx
Ecco alcuni esempi, con il loro grafico. Con le funzioni definite per casi posso ‘scatenare la fantasia’.
Scrittura più semplice: y = x2 − 1
Problema 3
Daniela Valenti, Treccani Scuola 24
Quesito a
€
x + x =x + x = 2x , se x ≥ 0x + −x( ) = 0 , se x < 0⎧ ⎨ ⎩
€
x ⋅ x =x ⋅ x = x2 , se x ≥ 0x ⋅ −x( ) = −x2 , se x < 0⎧ ⎨ ⎩
Problema 3
Daniela Valenti, Treccani Scuola
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Quesito b
In matematica si trovano due definizioni equivalenti della ‘funzione segno’:
Geogebra non mostra i ‘punti vuoti’ , qui visibili per sottolineare l’assenza dei punti (0, 1) e (0, -1). Ma, in geometria, quanto è grande un punto?
Problema 3
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Quesito c
Anche in questo grafico e in quello seguente Geogebra non mostra i ‘punti pieni e punti vuoti’
Problema 3
Daniela Valenti, Treccani Scuola
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Quesito c