Fuzzymengen – Ein Modellansatz Frieder Jacobi Fuzzymengen Ein Modellansatz zur Beschreibung von Vagheiten

Fuzzymengen – Ein ModellansatzFrieder Jacobi

Fuzzymengen

Ein Modellansatz zur Beschreibung von Vagheiten


• Menge– Zuordnung von Werten zu Elementen x aus X einer Menge M durch

charakteristische Funktion:

• Problem– Anwendungen fordern „Übergänge“ zwischen Zugehörigkeit und

Nicht-Zugehörigkeit zu einer Menge• Zugehörigkeitswerte 0,1 werden erweitert zu reellem Einheitsintervall I

Fuzzymengen – Was ist das?

101,0 xxI

MMx

Mxxmx M ,

0

1)(:



• man erhält neue charakteristische Funktion

– scharfe Mengen sind spezielle unscharfe Mengen

• unscharfe Menge ist durch Zugehörigkeitsfunktion eindeutig bestimmt:

• wichtige Größen:– Träger:

– Höhe:

– Kern:

Axmx A ,1,0)(:

)()(:,, xmxmBAxBA BA

0)()supp( xmxA Adef

)(sup)hgt( xmA Ax

def

1)()ker( xmxA Adef



• weitere scharfe Mengen zuordenbar:– α-Schnitt:

– scharfer α-Schnitt:

– α-Komponente:

– A ist durch (scharfen) α-Schnitt eindeutig bestimmt und lässt sich in scharfe Mengen zerlegen

• Kern:

• Träger:

)(xmxA Adef

)(xmxA Adef

)(sup)(sup)(sup)(:

1,01,01,0xmxmxmxmx

AAAA

)(xmxA Adef

1)ker( AA0)supp( AA



• geltende Gesetze für :

– Inklusion als Halbordnung:

)()(: xmxmBAx BAdef

)hgt()hgt(

)supp()supp(

:1,0:1,0

BABA

BABA

BABABA

CACBBA

AA

BAABBA

A

BA,


Mengenoperationent-Norm-basierte Operationen

• t-Norm-basierte Operation:– ist eine binäre Operation t:

– kommutativ, assoziativ, monoton wachsend

– 1 als neutrales Element, 0 als Nullelement

– für beliebige muss gelten:

– nicht interaktiv heißt eine t-Norm, wenn gilt: und besonders: (Idempotenz)

1,01,0 2

1,0,,,, vuzyx

00t1t)4(T

tt)3(T

t)t()tt()2(T

tt)1(T

xundxx

vuyxvyux

zyxzyx

xyyx

vuvu ,t uuu t


Mengenoperationen t-Norm-basierte Operationen

• Durchschnitt ist definiert durch:

– übliche t-Normen ( ):• Durchschnitt t0:

• algebraisches Produkt t1:

• beschränktes Produkt t2:

• drastisches Produkt t3:

– es gilt:

t

)(t)()(::: t xmxmxmxBAD BAdefD

vuvu ,mint0

1,0, vu

vuvu 1t

1,0maxt2 vuvu

sonst

vuvuvu

0

11,mint3

vuvuvuvu 0123 tttt



• t-Conorm st ist eine zu t duale t-Conorm– Definition:

– binäre Operation

– kommutativ, assoziativ, monoton wachsend

– für beliebige muss gelten:

)1t()1(1s:1,0, t vuvuvu def

1,01,0 2

1,0u11s

0s

t

t

u

uu



• Vereinigung– wird aus Durchschnitt mittels Komplementbildung erzeugt:

–

– übliche t-Conormen ( ):• Vereinigung s0:

• algebraische Summe s1:

• beschränkte Summe s2:

• drastische Summe s3:

– es gilt:

t

CCCdef BABA )( tt

1,0, vu

vuvu ,maxs0 uvvuvu 1s

vuvu ,1mins2

sonst

vuvuvu

1

00,maxs3

vuvuvuvu 0123 ssss

)(s)()(::: tt xmxmxmxBAD BAdefD



• kartesisches Produkt:– heißt unscharfes, t-Norm-basiertes kartesisches Produkt:

– es gilt:

BA

)(t)()),((:,

::

bmambamba

BAC

BAC

)()()(

)()()(

,

)()(

ttt

ttt

tt

tttt

tttt

CABACBA

CABACBA

AA

BCACCBCABA

CBACBA


Mengenoperationen

• ZADEH (1965)– Verallgemeinerungen der elementaren mengenalgebraischen

Operationen für unscharfe Mengen• Vereinigung:

• Durchschnitt:

• Komplement:

– erkannte als einzige nicht-interaktive Verknüpfung, es gilt:

– deutete andere Varianten an

)(),(max)(::: xmxmxmxBAC BAdefC )(),(min)(:: xmxmxmBAD BAdefD

)(1)(::: xmxmxAK AdefKC

AAAAAA ,

maxsmin,t 00


Mengenoperationen

• geltende Gesetze:– α-Schnitte:

– für beliebige unscharfe Mengen A,B,C gelten:

• dabei kann durch ersetzt werden

1)()(

)(,)(1 xmxAA

BABABABA

AC

tt

tt

tt

tttt

tt

,

,

)()(

AAA

CBCABA

BABBAA

CBACBA

ABBA


Mengenoperationen

• geltende Gesetze:– Distributivgesetze

– Subdistributivgesetze

• Gleichheit statt Inklusion nur für

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

ttt

ttt

ttt

ttt

CABACBA

CABACBA

CABACBA

CABACBA

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

tt

tt

tt

tt

CBACABA

CBACABA

CBACABA

CBACABA

maxsmin,t 00


Mengenoperationen

• geltende Gesetze:– Komplementbildung

• ist idempotent

• kehrt Inklusionsbeziehung um

• deMorgansche Gesetze gelten

• nicht alle Eigenschaften des gewöhnlichen Komplements gelten

– und sind möglich, da

CCAACC ABBA

CCC

CCC

BABA

BABA

tt

tt

)(

)(

CAA t CAA t

)()(: amamaA CAA


Mengenoperationen

• Werteverlauf für t0, s0

Funktionswerte der Norm t0

00.2

0.40.6

0.81

u0

0.2

0.40.60.81

v0

0.250.5

0.751

t0

00.2

0.40.6

0.81

u

Funktionswerte der Norm s0

00.2

0.40.6

0.81

u0

0.2

0.40.60.81

v0

0.250.5

0.751

s0

00.2

0.40.6

0.81

u


Mengenoperationen


00.2

0.40.6

0.81

u0

0.20.40.60.81

v0

0.250.5

0.751

s1

00.2

0.40.6

0.81

u


00.2

0.40.6

0.81

u0

0.20.40.60.81

v0

0.250.5

0.751

s2

00.2

0.40.6

0.81

u


00.2

0.40.6

0.81

u0

0.20.40.60.81

v0

0.250.5

0.751

s3

00.2

0.40.6

0.81

u


00.2

0.40.6

0.81

u0

0.20.40.60.81

v0

0.250.5

0.751

t1

00.2

0.40.6

0.81

u


00.2

0.40.6

0.81

u0

0.20.40.60.81

v0

0.250.5

0.751

t2

00.2

0.40.6

0.81

u


00.2

0.40.6

0.81

u0

0.20.40.60.81

v0

0.250.5

0.751

t3

00.2

0.40.6

0.81

u


Mengenoperationen einparametrische t-Norm-basierte Operationen

• einparametrische Familien von t-Normen– Teilklassen der Menge der möglichen t-Normen

– für bestimmte Parameterwerte streben die Durchschnitte und Vereinigungen gegen die bereits definierten

– ausreichend umfangreich

– einfach handhabbar, überschaubar



• HAMACHER (1978)– Familie von t-Normen mit Parameterbereich

– duale t-Conormen

–

–

,tH 0

))(1(t , uvvu

uvvu defH

,sH

uv

uvuvvuvu defH )1(1

)1(s ,

3,11, tt,tt HH

3,11, ss,ss HH



• YAGER (1980)– Familie von t-Normen mit Parameterbereich


–

–

pY ,t 0p

ppp

defpY vuvu1

, ))1()1((,1min1t

pY ,s

ppp

defpY vuvu1

, )(,1mins

30,21,0, tt,tt,tt pYpYpY

30,21,0, ss,ss,ss pYpYpY



• WEBER (1983)– Familie von t-Normen mit Parameterbereich


–

–

,tW 1

1

1,0maxt ,

uvvuvu defW

,sW

1,1mins ,

uvvuvu defW

31,20,1, tt,tt,tt WWW

3,20,1, ss,ss,ss WWW


Mengenoperationen

• Erweiterungsprinzip:– sei g eine n-stellige Funktion in X:

– lässt sich g auf unscharfe Zahlen aus erweitern?

– soll sich aus ergeben

– Zugehörigkeitswerte sollen Zugehörigkeitswert bestimmen

– wird so zu erweitert, dass gilt:

– gilt auch α-Schnitt-weise:

ng :

)(XF

)( iA ami

))...(( 1 nB aagm

ng : )()(:ˆ FFg n

)(),...,(minsup)(:

:)...(::)(

1

)...(...

1

1

1

1

nAA

xxgyxx

defB

ni

xmxmymy

AAgBFA

n

n

n

),...,( 1 nAAgB

)supp(B )supp( iA


Zahlenarithmetik

• praktischer Ansatz:– Zugehörigkeitsfunktion sollte nur 1 Maxima haben, d.h. die Menge

ist konvex:

– Grundbereich sollte Menge der reellen Zahlen sein:

– unscharfe Zahl: , d.h. Kern ist Einermenge

– unscharfes Intervall:

– jede unscharfe Zahl ist ein unscharfes Intervall

– gewöhnliche Zahlen sind besondere unscharfe Zahlen

)(),(min)( bmamcmbca AAA

aA )ker(

21 ,)ker( aaA


Zahlenarithmetik

• Grundrechenarten:– Erweiterungsprinzip wird angewendet:

– für Summe, Differenz und Produkt sei # das entsprechende Operationszeichen (+,-,*)

– Negatives

– Quotient: nur für unscharfes Intervall

– Kehrwert

– Quotient

)(),(minsup)(:,, ymxmamyxa BAyxa

S

)()(::: amamaAN AN

)supp(0 B

sonst

BaamamBK B

K 0

)supp()/1()/1()(:: 1

)(),(minsup)(::

/,

1 ymxmamBABAQ BA

yxayx

Qdef


Zahlenarithmetik

• Maximumbildung:

– da gilt besser:

• Mimimumbildung analog

)(),(minsup)(:

:),max(:

,max,

ymxmzmz

BAC

BA

yxzyx

C

)(),(supmin,)(sup),(minmax

)(),(minsup,)(),(minsupmax)(

zmxmymzm

zmxmymzmzm

BAzx

Bzy

A

BAzx

BAzy

C

yzxzyxz ,max


Zahlenarithmetik

• geltende Gesetze:– Kommutativ- und Assoziativgesetze gelten

– Distributivgesetz nur bedingt:

• nur, wennoder A eine unscharfe Einermenge ist

– -A nur bedingt additives Inverses von A

• da nur für , aber i.A.

)()()( CABACBA

)()()( CABACBA )supp(0)supp(0 CBA

AA

00

01)(

x

xxm )( AA


Zahlenarithmetik

• für Rechnen mit unscharfen Zahlen können folgende Vereinbarungen vorteilhaft sein:–

– Intervall ist monoton steigend, Intervall monoton fallend

– beide Intervalle sind einem bestimmten Funktionstyp zuzuordnen

• falls – die Einschränkungen der Zugehörigkeitsfunktion interessieren nur

auf und

– werden genannt

1)( 0 amA

),( 0a ),( 0 a

),()supp( 21 aaA

),( 01 aa ),( 20 aaRA

LA mm ,


ZahlenarithmetikL/R-Darstellung unscharfer Zahlen

• Definition– eine L/R-Darstellung einer unscharfen Zahl liegt vor, falls A durch

seiner Zugehörigkeitsfunktion angegeben wird

– sind lineare Funktionen, heißt A unscharfe Zahl mit linearer L/R-Zerlegung oder dreiecksförmig

• gilt zusätzlich und , dann heißt A trapezförmig

– man schreibt genau dann, wennund

RA

LA mm ,

RA

LA mm ,

),()ker( 00 aaA ),()supp( 21 aaA

210 ,; aaaA),()supp( 21 aaA

1)( 0 amA



• seien und unscharfe Zahlen mit linearer L/R-Darstellung– Summe

– Differenz

– Negatives

– Multiplikation mit Skalar

– Produkt und Quotient unscharfer Zahlen mit linearer L/R-Darstellung sind i.A. keine unscharfer Zahlen mit linearer L/R-Darstellung mehr

– Beispiel:

210 ,; aaaA 210 ,; bbbB

221100 ,; bababaBA

122100 ,; bababaBA

120 ,; aaaA

210 ,; aaaA

-2 2 4 6 8 10 12

0.5

1x y xyyxxy

6,3;5,5,1;3 YX



• es existieren Näherungsformeln ( ):

– Produkt:

– Quotient:

– Kehrwert:

• Multiplikation ohne Einschränkung der Träger

– man setzt und findet:

und erhält als Näherungsformel:

)supp(),supp( BA),()supp( rl ccBA

22122111

22122111

,,,max

,,,,min

babababac

babababac

r

l

rl ccbaBA ,;00

221100 ,; bababaBA0,/,/;/ 1122100 bbababaBA

)supp(00, 11 Aba

0,/1,/1;/1 11201 bbbbB



• statt linearer Funktionstypen für auch andere möglich– können verschiedene Funktionstypen haben

– Ansatz von DUBOIS/PRADE (1987):• Funktionen sind durch Hilfsfunktionen L,R bestimmt:

–

–

– L,R monoton fallend für positive Argumente

• mit Parametern werden dann definiert als:

• man schreibt dann

• sind L,R lineare Funktionen und , ergeben sich folgende Beziehungen:

RA

LA mm ,

RA

LA mm ,

RA

LA mm ,

1,0:, RL1)0()0( RL

RA

LA mm ,

)/)(()(:

)/)(()(:

00

00

paxRxmax

qxaLxmaxRA

LA

0,,,,0 qppqa

RLpqaA /0 ,; bxxL 1)( cxxR 1)(

)(,)( 0210 aacpaabq



• seien und unscharfe Zahlen mit L/R-Zerlegung– Summe

– Negatives• man beachte, dass L und R die Rollen vertauscht haben

• Differenz ist nur für L=R eine einfache L/R-Darstellung

– Produkt ( ) nur mit Näherungsformel

– Kehrwert ( ) ähnlich:• L und R haben wieder Rollen vertauscht

RLpqaA /,; RLpqbB /,;

RLppqqbaBA /,;

LRqpaA /,;

BABA )supp(0,)supp(0,0, BAba

RLppbppaqqbqqaabBA /,;

)supp(0 B LRbqbpbB /221 /,/;/1


• Quellen:– BANDEMER/GOTTWALD

• Einführung in Fuzzy-Methoden (Akademie Verlag, 1992)

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