G 6.1 - 6.1.8 Trigonometrijska mreza · 2015. 3. 11. · 6.1.2. OSNOVNI KONCEPT TRIGONOMETRIJSKE MREŽE Sva ra čunanja u trigonometrijskoj mreži vrše se, uglavnom, po pravilima

Glava 6. Geodetske dvodimenzionalne mreže

325

GLAVA 6

GEODETSKE DVODIMENZIONALNE MREŽE

6.0. UVOD

Geodetske dvodimenzionalne mreže služe kao osnova horizontalne predstave fizičke površi Zemlje, za izvoñenje radova u geodetskom premeru i drugim oblastima inženjerske prakse.

U konvencionalnom pozicioniranju ove mreže se nazivaju horizontalne, oslanjaju se na geodetski horizontalni datum a u njima se vrši odreñivanje pozicija tačaka u horizontalnoj ravni odnosno, u 2-D koordinatnom sistemu.

U geodetskom premeru najznačajnije 2-D mreže su: trigonometrijska, trilateraciona, poligonska i kombinovana.

U trigonometrijskim mrežama koje su referentne za razvijanje ostalih mreža geodetskog premera, mogu se kombinovati uglovna, linearna i GPS merenja u cilju pouzdanog i visoko tačnog relativnog pozicioniranja tačaka. U najnovije vreme primenjuju se metode globalnog pozicionog sistema za potrebe pozicioniranja trigonometrijskih tačaka. Relativna tačnost pozicioniranja ovim metodama je adekvatna tačnosti koja se postiže merenjima uglovnih i linearnih veličina.

U savremenim trilateracionim mrežama za odreñivanje koordinata tačaka koriste se merenja dužina koja se na efikasan način obavljaju pomoću elektromagnetskih daljinomera, totalnih stanica ili globalnim pozicionim sistemom i na ovaj način obezbeñuje se kvaltetna razmera i tačnost mreže u geodetskom premeru.

U poligonskoj mreži obavljaju se merenja pravaca ili uglova i dužina. Poligonske mreže razvijaju se za potrebe geodetskog premera i oslanjaju se na tačke postojeće trigonometrijske ili trilateracione mreže.

Sve ove mreže zajedno čine referentnu osnovu geodetskog premera.

KONCEPTI MREŽA U GEODETSKOM PREMERU

326

6.1. TRIGONOMETRIJSKA MREŽA

6.1.1. DEFINICIJA TRIANGULACIJE

Skup tačaka na fizičkoj površi Zemlje postavljenih po izvesnim pravilima tako da predstavljaju temena trouglova koji se jedan na drugi nadovezuju i na taj način čine odreñenu geometrijsku osnovu naziva se trigonometrijska mreža. Jednostavno, trigonometrijska mreža je mreža trouglova meñusobno povezanih (Sl. 6.1).

Temena ovih trouglova su trigonometrijske tačke koje se na terenu obeležavaju trajnim belegama, a na planovima i kartama odgovarajućim topografskim oznakama. Najkraće odstojanje izmeñu dve trigonometrijske tačke naziva se trigonometrijska strana.

Trigonometrijska mreža služi:

• za rešavanje problema naučnog dela geodezije koji se bavi odreñivanjem dimenzija, oblika i spoljašnjeg gravitacionog polja Zemlje;

• za rešavanje raznih inženjersko-tehničkih zadataka iz oblasti primenjene geodezije;

• kao geometrijska osnova za premer i kartografisanje Zemljine površi u cilju izrade planova i karata;

• kao geometrijska osnova na koju se oslanjaju druge geodetske mreže istog ili nižeg ranga u pogledu tačnosti.

Skup svih radova na terenu i u birou koji se obavljaju u cilju odreñivanja pozicija trigonometrijskih tačaka naziva se triangulacija.

Slika 6.1. Trigonometrijska mreža.

Osnovni zadatak triangulacije jeste da meñusobne odnose izmeñu pojedinih trigonometrijskih tačaka na Zemljinoj površi iskaže numerički ili grafički. Pod


327

odreñivanjem pozicija trigonometrijskih tačaka podrazumeva se odreñivanje njihovih koordinata.

Osnovna ideja triangulacije (Willebrand Snellius 1615.), proistekla je iz težnje da se trigonometrijske tačke odreñuju isključivo na osnovu uglovnih merenja. Predloženi metod imao je široku primenu u praksi i bio je osnovni geodetski metod za stvaranje geodetske osnove na većim područjima. Na taj način svedena su na minimum linearna merenja koja su tada bila teško izvodljiva i skupa, a služila su za odreñivanje razmere mreže i za sprečavanje njene znatnije deformacije na velikim prostranstvima.

U novije vreme sa pojavom elektrooptičkih daljinomera trigonometrijske strane mogu se neposredno meriti sa zadovoljavajućom tačnošću. Time se menja i princip odreñivanja trigonometrijskih tačaka. U trigonometrijskim mrežama najčešće se obavljaju uglovna i linearna merenja u cilju odreñivanja koordinata tačaka.

U najnovije vreme primenjuju se metode globalnog pozicionog sistema za potrebe pozicioniranja trigonometrijskih tačaka. Relativna tačnost pozicioniranja ovim metodama je adekvatna tačnosti koja se postiže merenjima uglovnih i linearnih veličina. U trigonometrijskim mrežama mogu se kombinovati uglovna, linearna i GPS merenja u cilju pouzdanog i visoko tačnog relativnog pozicioniranja tačaka.

6.1.2. OSNOVNI KONCEPT TRIGONOMETRIJSKE MREŽE

Sva računanja u trigonometrijskoj mreži vrše se, uglavnom, po pravilima sferne i ravne trigonometrije. Odatle potiče i naziv trigonometrijska mreža. Osnovni parametri trigonometrijske mreže su: oblik, razmera i pozicija.

Slika 6.2. Oblik, razmera i pozicija trigonometrijske mreže.


328

Oblik trigonometrijske mreže definisan je ako su poznati svi neophodni uglovi u mreži. Znači, oblik svake trigonometrijske mreže, bez obzira na njenu veličinu, odreñen je na osnovu uglovnih merenja (Sl. 6.2).

Razmera trigonometrijske mreže definisana je poznatom dužinom jedne trigonometrijske strane. Ako je merena dužina trigonometrijske strane AB onda se na osnovu nje i poznatih uglova u trouglu primenom sinusne teoreme mogu odrediti strane AC i BC. Na osnovu ovih strana i uglova u trouglu 2 i 3 mogu da se odrede strane BE, CE, AD i CD. Ovaj način odreñivanja može se primeniti u celoj mreži odnosno, mogu se odrediti dužine svih trigonometrijskih strana. Prema tome, za odreñivanje oblika i razmere trigonometrijske mreže neophodno je i dovoljno meriti dužinu jedne (bilo koje) trigonometrijske strane i neophodne uglove u celoj mreži.

Pozicija trigonometrijske mreže odreñena je sa jednim parametrom rotacije i dva parametra translacije. Oko tačke A mreža se može rotirati. Zato se ona orijentiše u odnosu na strane sveta odnosno, potrebno je odrediti geodetski azimut jedne trigonometrijske strane BAα (Sl. 6.2). Parametri translacije definišu se elipsoidnim koordinatama jedne trigonometrijske tačke, geodetskom longitudom λA i geodetskom latitudom ϕA.

Klasično pozicioniranje trigonometrijskih mreža obavlja se metodama geodetske astronomije, tako što se na osnovu astronomskih merenja odreñuje astronomski azimut

BAΑ , astronomska longituda ΛA i astronomska latituda ΦA, a zatim pomoću redukcionih

elemenata ove veličine se transformišu sa fizičke površi Zemlje na računsku površ elipsoida

u geodetski azimut BAα , geodetsku longitudu Aλ i geodetsku latitudu Aϕ . Kod pozicioniranja trigonometrijskih tačaka metodama globalniog pozicionog

sistema, za sve tačke mreže odreñuju se elipsoidne koordinate tačaka iλ , iϕ i ih u Svetskom geodetskom sistemu.

Važno je napomenuti, da se elipsoidne koordinate tačaka transformišu u koordinate tačaka projekcije, Gauss-Krigerove, Transferzalne Merkatorove ili neke druge. U premeru ili za potrebe inženjersko tehničkih radova, najčešće se koriste koordinate tačaka u nekoj od navedenih projekcija.

6.1.3. VRSTE I OBLICI TRIGONOMETRIJSKIH MREŽA

Trigonometrijska mreža najblje će odgovarati svojoj nameni ako je njome prekrivena teritorija cele države, kao što je slučaj u našoj i nekim drugim zemljama. Takva mreža ima opšti značaj i poseban tretman u zemlji na čijoj se teritoriji nalazi pa se zato naziva osnovna ili državna trigonometrijska mreža. Osnovu za izradu planova i karata čine tačke te mreže (Sl. 6.3).


329

Slika 6.3. Osnovna trigonometrijska mreža.

Zemlje sa velikim teritorijama (SSSR, SAD i druge) državnu trigonometrijsku mrežu razvijaju u obliku lanaca trouglova koji se postavljaju duž meridijana i paralela, a mogu imati i proizvoljan položaj (sl. 6.4).

Slika 6.4. Osnovna trigonometrijska mreža - lanac trouglova.


330

Pored osnovne trigonometrijske mreže postoje trigonometrijske mreže specijalnog i lokalnog karaktera. Lokalne ili samostalne mreže mogu biti slobodne ili neslobodne.

Lokalne mreže služe za snimanje manjih površina (do 150 ha) i za izvoñenje inženjersko-tehničkih radova primenjene geodezije. One se sastoje od tačaka istog ranga u pogledu tačnosti, koje su na jednostavan način povezane i čine mrežu sledećih oblika: geodetski četvorougao, centralni sistem, lanac trouglova, kombinacije geodetskih četvorouglova, centralnih sistema ili jednih i drugih (Sl.6.5). Oblik ovih mreža zavisi od terenskih uslova, a položaj tačaka odgovara nameni i zahtevu tačnosti koja se apriori utvrñuje.

Geodetski četvorougao.

Centralni sistem.

Četvorougao i centrali sistem.

Lanac trouglova i četvorouglova.

Slika 6.5. Oblici lokalnih geodetskih mreža.

6.1.4. KLSIFIKACIJA OSNOVNE TRIGONOMETRIJSKE

MREŽE

Da bi se izbeglo nagomilavanje neminovnih grešaka koje nastaju u procesu merenja, osnovna trigonometrijska mreža, razvija se po opšte poznatom principu "od većeg ka manjem". To znači: polazi se od radova većeg obima i veće tačnosti ka radovima manjeg obima i manje tačnosti. Dosledno sprovoñenje ovog principa u delo obezbeñeno je podelom osnovne trigonometrijske mreže u četiri osnovna i dva popunjavajuća reda (tabela 6.1).


331

Dužine pojedinih strana mogu biti nešto kraće, odnosno duže, ali prosečna strana kod svake tačke ako se odreñuje posebno, ili grupe tačaka ako se odreñuju zajedno, mora biti u navedenim granicama.

Tabela 6.1.

Red mreže Dužina strana

1. red d > 20 km

2. red - osnovni 15 km < d < 25 km

2. red - popunjavajući 9 km < d < 18 km

3. red - osnovni 5 km < d < 13 km

3. red - popunjavajući 3 km < d < 7 km

4. red 1 km < d < 4 km

Dužine strana u trigonometrijskoj mreži.

Slika 6.6. Klasifikacija osnovne trigonometrijske mreže.


332

Pri računanju koordinata trigonometrijskih tačaka koje pripadaju mreži 1. reda, osnovnoj i popunjavajućoj mreži 2. reda i osnovnoj mreži 3. reda uzima se u obzir zakrivljenost Zemljine površi i one se nazivaju tačkama viših redova.

Pri računanju koordinata trigonometrijskih tačaka koje pripadaju popunjavajućoj mreži 3. reda i mreži 4. reda zanemaruje se zakrivljenost Zemljine površi pa se one nazivaju tačkama nižih redova.

Za svaki red mreže propisana je tačnost sa kojom treba izvršiti uglovna merenja i

definisano je maksimalno odstupanje opažanih pravaca posle izravnanja ∆≤maxυ , gde je ∆ dozvoljeno odstupanje (tabela 6.2).

Tabela 6.2.

Red mrže Dozviljeno odstupanje ∆

2. red - osnovni 4''

2. red - popunjavajući 6''

3. red - osnovni 9''

3. red - popunjavajući 13''

4. red 20''

Maksimalne vrednosti popravaka pravaca.

Trigonometrijska mreža 1. reda zajedno sa astronomsko-gravimetrijskim radovima, pored ostalog, služi za rešavanje naučnih zadataka iz oblasti geodezije, te stoga ona ima specifičnu ulogu i obrañuje se po posebno utvrñenim propisima. U mreži 1. reda merenja se vrše sa najvećom tačnošću koja se postepeno umanjuje u mrežama nižih redova. Zato se prilikom postavljanja nove mreže poštuje osnovno pravilo: trigonometrijska tačka ma kog reda može da se odredi od drugih tačaka samo istog ili većeg ranga u pogledu tačnosti.

6.1.5. OSNOVIČKE MREŽE

Sa teorijske tačke gledišta, u jednoj trigonometrijskoj mreži, ma koliko ona bila velika, dovoljno je da se odredi dužina jedne trigonometrijske strane. Zbog nagomilavanja grešaka merenja, potrebno je da se na svakih 200-300 km meri po jedna dužina trigonometrijske strane u mreži 1. reda. U mrežama ostalih redova trigonometrijske tačke mogu se odrediti isključivo na osnovu uglovnih merenja.


333

Slika 6.7. Osnovička mreža.

Ako dužine trigonometrijskih strana nije moguće meriti direktno onda se one mere idirektnim putem preko sistema trouglova koji uspostavljaju geometrijsku vezu izmeñu osnovice, koja se meri neposredno na terenu, i strane u mreži koju treba odrediti. Ovaj sistem trouglova se naziva osnovička mreža.

Oblik osnovičke mreže u znatnoj meri utiče na tačnost odreñivanja trigonometrijske strane. Najpovoljnija je osnovička mreža koja se sastoji iz najmanjeg broja povoljnih trouglova koji čine mrežu oblika romba.

Pomoću osnovičkih mreža odreñuju se dužine strana u trigonometrijskoj mreži 1. reda ili u lokalnim, odnosno nekim specijalnim mrežama.

6.1.6. MERENJA HORIZONTALNIH UGLOVA

6.1.6.1. METODE MERENJA UGLOVA

Za merenja horizontalnih uglova u trigonometrijskoj mreži primenjuju se sledeće metode: girusna, šrajberova, zatvaranja horizonta, sektorska (švajcarska), francuska i metod dvostrukih kombinacija.

U trigonometrijskim mrežama uglavnom se koriste prva tri metoda: šrajberova metoda u mreži 1. reda i delimično u mreži 2. reda, girusna metoda u mrežama svih redova sem mreže 1. reda i metoda zatvaranja horizonta u gradskim trigonometrijskim mrežama. Kod lokalnih mreža slobodan je izbor metoda merenja horizontalnih uglova, ali se najčešće koristi girusna i metoda zatvaranja horizonta. U poligonskim mrežama primenjuje se girusni metod.


334

6.1.6.2. GIRUSNA METODA

Po girusnoj metodi opažaju se pravci čije razlike daju neophodne uglove (Sl. 6.8). U prvom girusu, u prvom položaju durbina opažaju se pravci u smeru kretanja kazaljke na časovniku redom od početne tačke 1 do poslednje N, a na kraju se uzima završna vizura na početnoj tački 1 u cilju kontrole. U drugom položaju durbina, opažanja se obavljaju suprotno kretanju kazaljke na časovniku, polazeći od početne tačke 1 na kojoj se obavlja merenje u cilju kontrole a zatim slede redom opažanja pravaca ka ostalim tačkama od N do 1. Tačka koja je izabrana kao početna opaža se na početku i na kraju prvog odnosno drugog polugirusa.

Za svaki pravac obrazuju se aritmetičke sredine iz vrednosti opažanja u prvom i drugom položaju durbina a zatim se redukuju srednje vrednosti pravaca na vrednost

početnog pravca ( 01 =α ). U trigonometrijskim mrežama uglovi se opažaju u većem broju girusa, od 3 do 10 girusa, zavisno od reda mreže.

T

1

2

34

5

N

N 1=0

2

3

4

5

Slika 6.8. Girusna metoda.

6.1.6.3. ŠRAJBEROVA METODA

Kod ove metode uglovi se mere u svim kombinacijama, i to posebno izmeñu dva odgovarajuća pravca.

Svaki ugao se meri posebno po girusnoj metodi bez završne vizure. Broj girusa zavisi od neophodne tačnosti merenja uglova.

Na osnovu n pravaca može se obrazovati broj uglova


335

2

)1(

2

−=

nnn .

Ako je broj pravaca n=4 onda je potrebno meriti 6 uglova (Sl.6.9).

Slika 6.9. Šrajberova metoda.

6.1.6.4. METODA ZATVARANJA HORIZONTA

Po ovoj metodi izmeñu dva susedna pravca posebno se mere svi uglovi koji zatvaraju horizont α12 , α23 , α34 i α41 (Sl. 6.10).

Slika 6.10. Metoda zatvaranja horizonta.


336

Nezatvaranje horizonta mora da se nalazi u granicama dozvoljenih odstupanja fα


337

gde je:

D merena dužina,

V brzina prostiranja signala, t∆ proteklo vreme.

D

Slika 6.11. Merenje dužine elektronskim daljinomerom.

Proteklo vreme ∆t ne meri se neposredno pomoću časovnika već indirektnim putem u cilju odreñivanja dužine D izmeñu dve tačke. U zavisnosti kako se vreme odreñuje postoje različiti načini merenja dužina: impulsni, fazni i frekventni.

Principi rada elektronskih daljinomera pokazani su u Geodeziji II, I deo (Mihailović, K. 1974.). Detaljna analiza metoda merenja dužina elektronskim daljinomerima prikazana je u Geodetskoj metrologiji (Mrkić, R. 1991.).

6.1.8. METODE ODREðIVANJA KOORDINATA

TRIGONOMETRIJSKIH TA ČAKA

6.1.8.1. ORIJENTACIJA PRAVACA

Ako se spoljni pravac orijentiše tako da se početni (nulti) pravac nalazi u pravcu paralele sa x-osom koordinatnog sistema, onda se on naziva orijentisani pravac i obeležava se sa ϕ (Sl. 6.12). Orijentisani pravac (ugao ϕ) definiše pravac sa poznate tačke (PT) na nepoznatu (NT).

Sa poznate tačke T opažane su nepoznate A, B, ..., N i poznate tačke 1, 2, ..., n (Sl. 6.13). Vrednosti opažanih pravaca redukovane su na početni pravac (tačka 1)

α1 =00, α2 , ..., αn , αA , αB , ..., αN .


338

Slika 6.12. Orijentisani pravac.

Na osnovu redukovanih pravaca odreñuju se orijentisani pravci

oii +=αϕ (i=A, B, ..., N). (6.1) Ugao o koji omogućuje orijentisanje pravaca, naziva se orijentacioni ugao. Za

njega se mogu odrediti n vrednosti, odnosno onoliko vrednosti koliko je poznatih tačaka opažano sa tačke T

iiio αν −= (i=1, 2, ..., n). (6.2)

Slika 6.13. Orijentisanje pravaca.


339

Usled neminovnih grešaka opažanih pravaca iα (i=1, 2, ..., n), i ograničene tačnosti poznatih direkcionih uglova iν (i=1, 2, ..., n), vrednosti orijentacionog ugla meñusobno će se razlikovati.

Pod pretpostavkom da su opažani pravci iste tačnosti i da se greške poznatih

direkcionih uglova mogu zanemariti ( iν =const), za definitivnu vrednost orijentacionog ugla usvaja se aritmetička sredina

. )(1...

1

21 ∑=

−⋅=+++

=n

iii

n

nn

oooo αν (6.3)

sa eksperimentalnom standardnom devijacijom opažanih pravaca

1

)(

11

2

−

−=

−⋅=

∑=

n

oo

ns

n

iivvT

α (6.4)

i eksperimentalnom standardnom devijacijom orijentacionog ugla o

n

sso

α= . (6.5)

Za kontrolu računanja orijentacionog ugla primenjuje se svojstvo aritmetičke sredine

0)()()(1111

=−=+−−=−= ∑∑∑∑====

n

iii

n

iiiii

n

ii

n

ii oo ϕναϕανυ .

Popravke pravaca iii ϕνυ −= karakterišu tačnost merenja, odnosno tačnost odreñivanja trigonometrijskih tačaka, i one se moraju nalaziti u granicama dozvoljenih odstupanja. Pri tome direkcioni uglovi smatraju se uslovno tačnim veličinama.

Tačnost orijentisanog pravca odreñuje se uz pretpostavke da su opažani pravci iste tačnosti i da su dati direkcioni uglovi konstantne veličine. Dovoljno je razmatrati samo jedan orijentisani pravac prema traženoj tački A

.oAA += αϕ (6.6) Ako se uvrsti (6.3) u (6.6) biće

( )∑=

−+=n

iiiAA n 1

1 αναϕ (6.7)

odnosno, diferencijalne promene orijentisanog pravca su


340

∑=

−=n

iiAA dn

dd1

1 ααϕ

i eksperimentalna varijansa

∑=

+=n

iiAA

sn

ss1

22

22 1ααϕ

ili, s obzirom na homogenu tačnost

ααααα s sss nA ==== s ... 21

eksperimentalna varijansa postaje

11 2222

αααϕ sn

ns

nss

A⋅+=+= (6.8)

odnosno, eksperimentalna standardna devijacija orijentisanog pravca

n

nss

A

1+⋅= αϕ . (6.9)

Ako se eksperimentalna varijansa orijentisanog pravca napiše u obliku

A

A p

ss

ϕϕ

202 =

i eksperimentalna varijansa opažanog pravca

αα p

ss

202 =

onda prema (6.8 ) sledi

αϕ p

s

n

n

p

s

A

20

20 1 ⋅+=

ili

αϕ pn

np

A⋅

+=

1

odnosno, za težinu opažanog pravca

1=αp

dobija se težina orijentisanog pravca


341

. 1+

=n

np

Aϕ (6.10)

Težina orijentisanih pravaca zavisi od broja datih tačaka opažanih sa tačke T (Tabela 6.3).

Tabela 6.3.

n 1 2 3 ... ∞

pϕ 2 2/3 3/4 ... 1

Težine orijentisanih pravaca.

Ako je n veće, onda će težina orijentisanih pravaca biti bliža težini opažanih pravaca

11

lim =

+∞→ nn

n .

Pri praktičnim računanjima za n≥3 može se smatrati da su težine opažanih i orijentisanih pravaca identične i jednake jedinici

1== ϕα pp .

Izuzetno, kada postoje opravdani razlozi, orijentacioni ugao o može da se odredi iz jednog odnosno iz dva pravca ka datim tačkama.

6.1.8.2. ODREðIVANJE KOORDINATA TA ČAKA PRESECANJEM NAPRED

Ovim metodom mogu da se odrede nepoznate koordinate tačke ) ,( xyT ako su

poznate koordinate dve tačke A i B sa orijentisanim pravcima Aϕ i Bϕ (Sl. 6.14). U preseku orijentisanih pravaca nalazi se tražena tačka ) ,( xyT . Odreñivanje koordinata na osnovu navedenih podataka naziva se metod presecanja napred.

Koordinate tačaka mogu se odrediti primenom sinusne, tangensne ili kotangensne funkcije.


342

b

a

y =y-y

x =

x-x

y =y-y

x =

x-x

A A

B B

AA

BB

A

A

BBA

B

D

(y, x)

Y

X

Slika 6.14. Presecanje napred.

PRIMENA SINUSNE FUNKCIJE

Iz trougla ABT (Sl. 6.14) odreñuju se uglovi BAAA

BA νϕϕνα −=−−= )(360

0 ; BAB ϕνβ −= ; AB ϕϕγ −=

sa kontrolom .1800=++ γβα Primenom sinusne funkcije u trouglu ABT odreñuju se dužune

βγ

sinsin

⋅= Da i αγ

sinsin

⋅= Db .

Koordinate tačke ) ,( xyT su:

• u odnosu na poznatu tačku A

AA

AA

axx

ayy

ϕϕ

cos

sin

⋅+=⋅+=

(6.11)

• ili u odnosu na poznatu tačku B


343

. cos

sin

BB

BB

bxx

byy

ϕϕ

⋅+=⋅+=

(6.12)

Napomena: Ako se ne raspolaže sa orijentisanim pravcima Aϕ i Bϕ mogu se odrediti uglovi α i β iz razlika vrednosti odgovarajućih pravaca, a zatim ugao

)(180 βαγ +−= .

PRIMENA TANGENSNE FUNKCIJE

Sa slike 6.14 slede tangensne funkcije

A

A

A

AA xx

yy

x

ytg

−−

=∆∆

=ϕ i B

B

B

BB xx

yy

x

ytg

−−

=∆∆

=ϕ (6.13)

ili

AAA tgxxyy ϕ⋅−=− )( (6.14)

BBB tgxxyy ϕ⋅−=− )( (6.15) odnosno u obliku sistema jednačina

. BBBB

AAAA

tgxyxtgy

tgxyxtgy

ϕϕϕϕ

⋅−=⋅−⋅−=⋅−

(6.16)

U sistemu jednačina (6.16) nepoznate su koordinate tačke ) ,( xyT . Rešenja sistema su koordinate y i x

)(1

)(1

)()(

)()(

B

A

BBBB

AAAA

tg

tg

tgtgxy

tgtgxy

y

ϕϕ

ϕϕϕϕ

−−

−⋅−−⋅−

= ,

)(1

)(1

)(1

)(1

B

A

BBB

AAA

tg

tg

tgxy

tgxy

x

ϕϕ

ϕϕ

−−

⋅−⋅−

= (6.17)

ili

BA

ABBABABA

tgtg

tgytgytgtgxxy

ϕϕϕϕϕϕ

−⋅+⋅−⋅⋅−

=)(

(6.18)

BA

BBAAAB

tgtg

tgxtgxyyx

ϕϕϕϕ

−⋅−⋅+−

=)(

. (6.19)


344

Koordinate tačke ) ,( xyT mogu se odrediti na drugi način, indirektno preko koordinatnih razlika u odnosu na tačke A i B . Ako se od izraza (6.14) oduzme (6.15) onda se dobija rešenje identično (6.19). Oduzimanjem od (6.19) koordinate Ax a zatim Bx dobijaju se koordinatne razlike po x osi oblika

BA

BABABAA tgtg

tgxxyyxxx

ϕϕϕ

−⋅−−−

=−=∆)()(

(6.20)

BA

AABABBB tgtg

tgxxyyxxx

ϕϕϕ

−⋅−−−

=−=∆)()(

. (6.21)

Koordinatne razlike po y osi odreñuju se iz (6.13)

AAAAAA tgxtgxxyyy ϕϕ ⋅∆=⋅−=−=∆ )( (6.22)

BBBBBB tgxtgxxyyy ϕϕ ⋅∆=⋅−=−=∆ )( . (6.23)

Koordinate tačke ) ,( xyT su:

• u odnosu na poznatu tačku A

AA

AA

xxx

yyy

∆+=∆+=

(6.24)

• ili u odnosu na poznatu tačku B

. BB

BB

xxx

yyy

∆+=∆+=

(6.25)

PRIMENA KOTANGENSNE FUNKCIJE

Kada je vrednost ugla Aϕ ili Bϕ bliska 90O, odnosno 270O, može se dogoditi da se koordinate tačke T, odreñene preko tačaka A i B, u izvesnim slučajevima razlikuju i do nekoliko metara. Za vrednosti rgumenata ϕA=ϕB=90O ili ϕA=ϕB=270O vrednosti tangensne funkcije su tgϕA=tgϕB=±∞.

U ovim slučajevima primenjuju se kotangensne funkcije oblika

A

A

A

AA yy

xx

y

xctg

−−

=∆∆

=ϕ i B

B

B

BB yy

xx

y

xctg

−−

=∆∆

=ϕ . (6.26)

Rešenja se dobijaju na isti način kao prethodno kod tangensne funkcije i ona su:


345

• direktno rešenje

BA

BBAAAB

ctgctg

ctgyctgyxxy

ϕϕϕϕ

−⋅−⋅+−

=)(

(6.27)

BA

ABBABABA

ctgctg

ctgxctgxctgctgyyx

ϕϕϕϕϕϕ

−⋅+⋅−⋅⋅−

=)(

(6.28)

• indirektno rešenje

- koordinatne razlike poy osi

BA

BABABA ctgctg

ctgyyxxy

ϕϕϕ

−⋅−−−

=∆)()(

(6.29)

BA

AABABB ctgctg

ctgyyxxy

ϕϕϕ

−⋅−−−

=∆)()(

(6.30)

- koordinatne razlike pox osi

AAAAA ctgyctgyyx ϕϕ ⋅∆=⋅−=∆ )( (6.31)

BBBBB ctgyctgyyx ϕϕ ⋅∆=⋅−=∆ )( . (6.32) - koordinatne tačaka se odreñuju prema (6.24) i (6.25).

TAČNOST PRESECANJA NAPRED

Metoda presecanja napred ima masovnu primenu u inženjerskoj geodeziji. Za praktične primene važno je da se odredi položajna tačnost tačke, čije su koordinate odreñene metodom presecanja napred (Sl. 6.15), u obliku (Mihailović, K., 1974.)

γβα

ρσσσσ

2

2222

sin

sinsin +⋅⋅=+= DyxT (6.33)

gde je:

Tσ standardna devijacija položaja tačke,

βα σσσ == standardna devijacija uglova α i β ,

D dužina izmeñu datih tačaka.


346

D

Y

X

=30o

=60o

=90o

=120o

=150o

Slika 6.15. Položajna tačnost tačke odreñene presecanjem napred.

Položajna tačnost odreñivanja tačke metodom presecanja napred zavisi od tačnosti merenja uglova α i β , kao i od geometrijskog oblika odnosno, od dužine D i ugla γ pod kojim se seku pravci. Na sl. 6.15 i sl. 6.16 prikazane su elipse za različite položaje tražene tačke T . Na njima se jasno vidi da su elipse grešaka manje za tupe nego za oštre uglove, pod kojima se pravci seku. Dakle, kod oštrih uglova veći je stepen smanjenja tačnosti u

odnosu na tupe uglove. Zato pravci ne bi trebalo da se seku pod uglom o30


347

Tačnost odreñivanja tačke je najveća ako je minimalna vrednost standardne

devijacije Tσ odnosno, kada se pravci seku pod uglom od ''28109o=γ .

6.1.8.3. ODREðIVANJE KOORDINATA TA ČAKA PRESECANJEM NAZAD

Kada su poznate koordinate tri tačke A , M i B , mereni uglovi α i β , nepoznate koordinate tačke ) ,( xyT , odreñuju se metodom presecanja nazad (Sl. 6.17).

Odreñivanje koordinata po ovoj metodi privlačilo je pažnju mnogih geodetskih stručnjaka. Smatra se da ima oko sto različitih rešenja. Pokazaće se samo tri metoda koji su pogodni za praktičnu primenu.

b

a

A

BD

A

B

M

M

Y

X

Slika 6.17. Presecanje nazad.

METOD POTENOT-SNELIJUSA

Pri notaciji tačaka polazi se od nepoznate tačke T i u smeru kazaljke na satu obeležavaju se poznate tačke redom A , M i B (Sl. 6.17). Ovaj metod se svodi na metod presecanja napred tako što se odrede orijentisani pravci Aϕ i Bϕ

.ψνϕϕνϕ

−=

+=MBB

MAA

(6.34)

odnosno uglovi ϕ i ψ.


348

Iz trouglova AMT i BTM primenom sinusne teoreme dobija se dužina D

ψβ

ϕα

sinsin

sinsin

baD == . (6.35)

Odavde je

µαβ

ϕψ

tgb

a =⋅⋅=sin

sin

sin

sin (6.36)

gde se vrednost tangensne funkcije nalazi u intervalu tgµ∈(-∞, +∞). Jednačini (6.36) dopiše se jednakost 1=1 pa sistem jednačina postaje

µϕψ

tg=sin

sin

1=1

gde je njihov zbir i razlika

µϕψ

tg+=+ 1sin

sin1

µϕψ

tg−=− 1sin

sin1

ili

µϕ

ψϕtg+=+ 1

sin

sinsin

µϕ

ψϕtg−=− 1

sin

sinsin

odnosno nakon deljenja ove dve jednačine sledi

)45(451

45

2sin

2cos2

2cos

2sin2

o

o

o

tgtgtg

tgtg +=⋅−

+=−⋅+

−⋅+

µµ

µψϕψϕ

ψϕψϕ

.

Iz prethodnog izraza dobija se polurazlika uglova ϕ i ψ

)45(22

octgtgtg +⋅+=− µψϕψϕ . (6.37)


349

Iz četvorougla AMBT dobija se poluzbir uglova ϕ i ψ

2180

2

δβαψϕ ++−=+ o (6.38)

Na osnovu polurazlike (6.37) i poluzbira (6.38) dobijaju se uglovi ϕ i ψ u zavisnosti od veličine ugla µ:

• za µ450

22

22ψϕψϕψ

ψϕψϕϕ

−++=

−−+= . (6.40)

Kada se uglovi ϕ i ψ uvrste u (6.34), dobijaju se orijentisani pravci i dalje se primenjuje metod presecanja napred.

METOD MITI ĆA

Ideja profesora Mitića je da se prvo odredi direkcioni ugao TMν i dužina D (Sl. 6.18) a zatim na osnovu njih odrede koordinate nepoznate tačke ) ,( xyT . Dužina D odreñuje se iz trougla AMT i MBT (Sl. 6.18)

( )[ ]αννα

+−−⋅= TMAM

aD 0180sin

sin (6.41)

( )[ ]βννβ

+−−⋅= BMTM

bD 0180sin

sin (6.42)

odnosno

( )[ ] ( )[ ]βννναν −−⋅=−+⋅ BMTMbTMAMa mm sinsin ili


350

( ) ( )[ ]=⋅+−⋅+ TMAMTMAMam νανναν sincoscossin ( ) ( )[ ]βννβνν −⋅−−⋅= BMTMBMTMbm sincoscossin

gde je

βα sin i

sin

bm

am ba == .

b

a

D

A

B

M

M

Y

XM

MM M

M B

A

Slika 6.18. Presecanje nazad - metod Mitića.

Kada se prethodna jednačina podeli sa TMνcos dobija se

. )cos()cos(

)sin()sin(

βνανβνανν

−⋅++⋅−⋅++⋅

=BMb

AMa

BMb

AMaT

Mmm

mmtg (6.43)

Iz ove jednačine odreñuje se direkcioni ugao TMν zatim, dužina D prema (6.41) ili (6.42) a kordinate tačke ) ,( xyT prema

. cos

sinTMM

TMM

Dxx

Dyy

νν

⋅+=

⋅+= (6.44)


351

JEDNOSTAVAN METOD

Neposredno sa slike 6.17 sledi

o360=++++ δβαψϕ odnosno

)(360 ωϕψ +−= o (6.45) gde je

δβαω ++= , BMAM ννδ −= .

Dužina D odreñuje se iz trougla AMT i MBT

ψβ

ϕα

sinsin

sinsin

baD ==

odnosno

ψϕ sinsin ba mm = . (6.46) Zamenom (6.45) u (6.46)

)sincoscos(sin

)]sin[()](360sin[sin

ωϕωϕωϕωϕϕ

+−==+−=+−=

b

bo

ba

m

mmm

i deljenjem sa ϕcos

ωωϕϕ sincos bba mtgmtgm −−= a odavde sledi

ωωϕ

cossin

ba

b

mm

mtg

+−= .

Ugao ψ može se odrediti iz (6.45) ili

ωωψ

cossin

ab

a

mm

mtg

+−= .

Kada su odreñeni uglovi ϕ i ψ problem se svodi na presecanje napred, ili se koordinate tačke T mogu odrediti po formulama

)](180sin[ ψβν +−+⋅+= oBMM Dyy


352

)](180cos[ ψβν +−+⋅+= oBMM Dxx .

Napomena: Rešenja neće biti ako je izraz (6.43) neodrñen

00=TMtgν

odnosno

0 )sin()sin( =−⋅++⋅ βναν BMbAMa mm

0)cos()cos( =−⋅++⋅ βναν BMbAMa mm

ili

)180()()( 0 βνβναν −+=−=+ BMBM

AM tgtgtg

a odavde sledi

. 1800=++− βανν BMAM

U ovom slučaju sve tri date tačke i nepoznata tačka se nalaze na krugu. Tada postoji beskonačno mnogo rešenja (Sl. 6.19). Zadatak je neodreñen pa se samim tim ne mogu odrediti ni koordinate nepoznate tačke T. Srednja tačka M treba da se nalazi što dalje od periferije kruga opisanog oko tačaka A, B i T. Treba težiti da se zbir uglova

0180≠++ δβα razlikuje od 1800 najmanje za ±50

00 5180 >−++ δβα .

b

a

D

Y

X

Slika 6.19. Presecanje nazad - neodreñen zadatak.

Documents

G 6.1 - 6.1.8 Trigonometrijska mreza · 2015. 3. 11. · 6.1.2. OSNOVNI KONCEPT TRIGONOMETRIJSKE MREŽE Sva ra čunanja u trigonometrijskoj mreži vrše se, uglavnom, po pravilima