G1.Guilcaso.tipn.Sandra.matematicas I 1

8/17/2019 G1.Guilcaso.tipn.Sandra.matematicas I 1

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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS

ESPE-L

MODALIDAD A DISTANCIA

CARRERA INGENIERIA COMERCIAL

ESOLUCIÒN G UIA N. -1

Tu nota es 15

Asignatura:

MAT MATICAS I

TEMAS:

Límites y !ntinui"a"

#eri$ai%n

C!st! margina&

'r!(ie"a"es "e &as "eri$a"as

Ingres! margina&

ALUMNA:

Gui&as! San"ra

TUTO :

Ing. )nge& U&&!a

'E *O#O:

A+ri& ,1-Ag!st! ,1


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ESPE-L



ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1.1

1. Resuelva los siguientes problemas sobre límites.

a) Utilice la gráfica de f para estimar cada límite, si es que existe.

lim x →−1

f ( x ) es 1

lim x→ 1

f ( x ) no existe

lim x→ 2

f ( x ) es 3

b) Use una calculadora para evaluar f ( x )=√ x+3−2

x−1 para valores de x =

0.9, 0.99, 0.999 y 0.9999 y para x = 1.1, 1.01,1.001 y 1.0001.

Valores 0.9 0.99 0.999 1.1 1.01 1.001 1.000

1

F(x) 0.2 0.2 0.2 0.2! 0.2! 0.2! 0.2!

"rue#e que lim x→ 1

f ( x )=1

4 $%e acercan los valores calculados a este límite&

%i estimamos el límite dado en la ta#la estimamos el valor del límite de 0.24

lim x →0.24

√ x+3−2 x−1


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¿ √ 0.24+3−20.24−1

¿0.2

• 'val(e el límitelim

x →−1

x2+4 x+3

x2+3 x+2

Desarrollo

( x+3)( x+1)( x+2)( x+1)

=( x+3)( x+2)

lim x →−1

( x+3)

( x+2)=

lim x →−1

( x+3)

lim x →−1

( x+2)

¿−1+3−1+2

=2

2. Del capítulo 10, roblemas 10.2 (p. 4!"#4!$), realice los problemas

2", "$, $2, $%.

'ncuentre los límites indicados. %i no existen, especifique o utilice el sím#olo

∞o−∞ donde sea apropiado.

2")lim

t →−∞

3 t 3+2 t 2+9 t −1

5 t 2−5

Desarrollo

limt →−∞

3 t 3+2 t 2+9 t −1

5 t 2−5

= limt →−∞

3 t 3

5 t 2


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¿ limt →−∞

3t 2

5

¿ limt →−∞

(3

5 t

2)

¿∞

2− x si x ≤3

"$) f ( x )=¿ −1+3 x− x2

si x>3

Desarrollo

a)

x →3+¿(−1+3 x− x2)=−1

x →3+¿

f ( x)=lim¿¿

lim¿ ¿

b)

x →3−¿ (2− x )=−1

x →3−¿

f ( x)=lim¿

¿

lim¿¿

) lim

x→ 3

f ( x )

x→3−¿ (2− x )

x→3+¿(−1+3 x− x2)=lim

¿¿

lim¿

¿

−1=−1 siexiste

!) lim x→∞

f ( x)= lim x→∞

(−1+3 x− x2)=lim x→ ∞

(− x2)=−∞


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e) lim

x →−∞f ( x)= lim

x →−∞(2− x)= lim

x→−∞(− x )=∞

$2) )emuestre quelim

x → ∞

(√ x2+ x− x)=12

Desarrollo

lim x → ∞

(√ x2+ x− x )(√ x2+ x+ x)

√ x2+ x+ x= lim

x→ ∞

( x2+ x)− x2

√ x2+ x+ x

¿ lim x→∞

x

√ x2(1+

1

x)+ x

¿ lim x → ∞

x

x √(1+1

x)+ x

¿

1

√ 1+0+1

¿1

2

$%) *elaci+n &u'spe#parsito para una relaci+n particular u-spedparásito,se determin+ que cuando la densidad del u-sped /n(mero de u-spedespor unidad de área es x, el n(mero de u-spedes parasitados en cierto

periodo es

y= 900 x

10+45 x %i la densidad del u-sped aumentaraindefinidamente, $a qu- valor se aproximaría y&

Desarrollo

lim

x → ∞

y= 900 x

10+45 x

= lim x→ ∞

900 x

45 x

= lim x →∞

20


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¿ lim x → ∞

20=20

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1.2

1. Del capítulo 10, roblemas 10.% (p. 4*1#4*2), realice los problemas

%, +, 2%, %%.

Utilice la definici+n de continuidad para demostrar que la funci+n dada es

continua en el punto indicado.

%)g ( x )=√ 2−3 x ; x=0

Desarrollo

)e#e cumplir las condiciones de continuidad

• f ( a )existe

g (0 )=√ 2−3 (0 )=√ 2

•

lim x→ a

f ( x) existe

lim x→ 0

√ 2−3 x=√ 2

•

lim x→ a

f ( x )=f (a)

√ 2=√ 2 Es una funciòncontinua

11) )etermine si la funci+n es continua en los puntos dados.

g ( x )= x−3

x2−9

;3,−3

Desarrollo

•g (3 )=

3−3

(3)2

−9=0


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•g (−3 )=

−3−3

(−3)2−9=0

•lim x→ 3

x−3

x2−9

=0

•lim

x →−3

x−3

x2−9

=0

• 0=0 No es funciòn continua

'ncuentre todos los puntos de discontinuidad

2%)f ( x )= x

2+6 x+9 x

2+2 x−15

Desarrollo

actoramos el denominador

( x+5 ) ( x−3 )=0

x=−5 x=3

untos e iscontinuia /,

x2+1 si x>2

%%) f(x)= 8 x si x


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%ol3 4omo F(x) no está definida en x=2 es discontinua en 2

x →2+¿

x2+1=5

lim¿

¿ Funcin contin-a

x →2−¿8 x=−16

lim¿

¿ Funcin ontin-a

2. )el capítulo 10, "ro#lemas 10.! /p. !56, realice los pro#lemas 11 y2!.

*esuelva las desigualdades por medio de la t-cnica estudiada en

esta secci+n

11) − x ( x−5)( x+4 )>0

Desarrollo

x ( x−5)( x+4)


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os intervalos ue se encuentran entro e la esiguala

x ( x−5)( x+4)


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%ol3 %i existe discontinuidad y se da en el punto /0,

42) f ( x )= 2 x+3

x2+4 x−21

Denominador

( x+7 ) ( x−3 )=0

x1=−7 x2=3

%ol3 %i existe discontinuidad y se da en el punto /,

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1.

1. ncuentre la erivaa e las siguientes 3unciones, meiante la

e3inicin e erivaa.

a) f ( x )= 5

√ x

Desarrollo

f ' ( x )=(5 )' (√ x )−5(√ x) '

(√ x )2

f ' ( x )=

−5

2√ x

x

f ' ( x )=

−5

2 x √ x

b) f ( x )= x

2

x−1

Desarrollo

x

(¿¿ 2)' ( x−1)− x2( x−1) '

( x−1)2

f

'

( x )=¿


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f '

( x )=2 x ( x−1 )− x2

( x−1)2

f ' ( x )=2 x

2−2 x− x2

( x−1)2

f ' ( x )=

x2−2 x

( x−1)2

f ' ( x )=

x ( x−2)

( x−1)2

2. ncuentre la ecuacin e la recta tangente a la curva en el punto

ao.

f ( x )=√ x−1en x=5

Desarrollo

Calculo de la pendiente

f ' ( x )= 1

2√ x−1

Cuando x=5

f ' ( x )= 1

2√ 5−1

f ' ( x )=1

4

Reemplazo x=5 en la función original

f ( x )=√ 5−1

f ( x )=2

Punto (5!2)

Ecuación de la recta tangente a la curva


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y− y1=m( x− x1)

y−2=14( x−5)

4 y−8= x−5

x−4 y+3=0

%. Del capítulo 11, roblemas 11.2 (p. "0!), realice los problemas !2,!4

!2) f ( x )= x2( x−2)( x+4)

Desarrollo

f ( x )= x2( x2+4 x−2 x−8)

f ( x )= x4+4 x3−2 x3−8 x2

f ( x )= x4+2 x3−8 x2

f ' ( x )=4 x3+6 x2−16 x

f ' ( x )=2 x (2 x2+3 x−8)

!4) f ( x )=7 x

3+ x6√ x

Desarrollo

f ( x )=1

6(7 x

3+ x

√ x)

f ( x )=16(7 x

3

x

1

2

+ x

x1 /2 )


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f ( x )=16(7 x3 x

−12 + x x

−12 )

f ( x )=16(7 x

5

2+ x1

2)

f ' ( x )=16(7 x

5

2+ x1

2) '

f

'

( x )=

1

6 (

35

2 x

3

2

+

1

2 x

−12

)

f ' ( x )=

1

6∗1

2 (35 x

3

2+ x−12 )

f ' ( x )= 1

12(35 x

3

2+ x−12 )

f ' ( x )= 1

12 x

1 /2(35 x+ x−1)

4. sano las reglas e proucto 5 cociente, i3erencie las 3unciones

e los siguientes problemas6

a) f ( x )=(3 x2+2)3(2 x2+3 x+1)

Desarrollo

f ( x )=(27 x6+36 x2+54 x4+8)(2 x2+3 x+1)

f ' ( x )=(27 x6+36 x2+54 x4+8 ) (2 x2+3 x+1) ' +(2 x2+3 x+1 ) (27 x6+36 x2+54 x4+8)'

f ' ( x )=(27 x6+36 x2+54 x4+8 ) (4 x+3 )+(2 x2+3 x+1 ) (162 x5+72 x+216 x3 )

f ' ( x )=108 x7+81 x6+144 x3+108 x2+216 x5+162 x4+32 x+24+324 x7+144 x3+432 x5+486 x6+2


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f ' ( x )=432 x7+567 x6+810 x5+810 x4+504 x3+324 x2+104 x+2

b) f ( t )=(2 t +3)2−(2 t −3)2

4 t

Desarrollo

f ( t )=(4 t 2+12 t +9 )−(4 t 2−12 t +9)

4 t

f ( t )=24t

4 t

f ( t )=6 t

f ' (t )=¿

"# 'ncuentre una ecuaci+n de la recta tangente a la curva en el punto

dado.

y= x2+ 1

x2

; (−1,2)

Desarrollo

Calculo de la pendiente

x

(¿¿ 2)' +(

1

x2 ) ' y

' =¿

y' =2 x−2 x−3

y' =2 x−

2

x3

Cuando x=-1


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y' =2 (−1 )− 2

(−1)3

y' =−2+2

y' =0

Ecuación de la recta

y− y1=m( x− x1)

y−2=0( x+1)

y=2

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1."

1. /ngresos e tauilla6 7os ingresos totales de taquilla en todo el mundo

de una película de larga duraci+n son aproximados por la funci+n

T ( x )=120 x2

x2+4 donde :/x se mide en millones de d+lares y ;x< es el

n(mero de meses desde el lanamiento de la película.a $4uál es el ingreso total de taquilla despu-s del primero, el

segundo y el tercer mes&rimer mes

lim x→ 1

120 x2

x2+4

=120(1)2

(1)2+4=

120

5

¿24

7eguno mes

lim x→ 2

120 x2

x2+4

=120(2)2

(2)2+4=

480

8

¿60

8ercer mes

lim

x→3

120 x2

x

2

+4

=120(3)2

(3)

2

+4

=1080

13


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¿86.07

# $4uál será el ingreso #ruto de la película a largo plao

/cuando x es muy grande&

T ( x )=120 x

2

x2+4

2. )el capítulo 10, "ro#lemas 10., /p. !51!52, realice el pro#lema .

%!) /nventario >osque?e la gráfica de

−100 x+600si0≤ x


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192 pulg3

. 'ncuentre las dimensiones de la o?a de aluminio

más peque8a que pueda utiliarse.

Desarrollo

3( x−3)2 ≥192

( x−3)2

≥64

x2−6 x−55≥0

( x−11)( x+5)≥0

x1=11 x2=−5

7ol6 x911

*eemplaando compro#amos la igualdad

3( x−3)2 ≥192

3(11−3)2≥192

3(64)≥192

192≥192

x-

3

3

3

3

x-x

3

3

3

3


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4. Resuelva los siguientes problemas e costo

a 'l costo total semanal /en d+lares en que incurre )iscos7incoln en el prensado de discos compactos es3

C (q )=2000+2q−0,0001q2 ;(0≤ q ≤6000)

• $4uál es el costo real en que incurre en el prensado del

disco n(mero 1001 y 2001&

C (1001 )=2000+2 (1001 )−0,0001(1001)2

C (1001 )=2101.80

C (2001 )=2000+2 (2001 )−0,0001(2001)2

C (2001 )=3801.60

• $4uál es el costo marginal cuando q = 1000 y 2000&

costo marginal=dc

dq

dc

dq=2−0,0002q

Para #=1$$$

dc

dq=2−0,0002(1000)

dc

dq

=1,8

Para #=2$$$

dc

dq=2−0,0002(2000)

dc

dq=1,6


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ESPE-L



# 4ustom Affice, fa#rica una línea de escritorios e?ecutivos. %e

estima que el costo total de fa#ricaci+n de q unidades de su

modelo '?ecutivo es3

C (q )=100q+200000dòlares por ao

• )etermine la funci+n del costo promedioć

ć=c

q

osto marginal c' (q )=100

ć=100q+200000

100

ć=100q

100 +

200000

100

ć=q+200

• )etermine la funci+n del costo marginal promedio ć '

ć ' =1

• $Bu- le sucede ać cuando q es muy grande& Cnterprete

sus resultados.

4uando el costo promedio es grande el costo total de la

producci+n aumenta.

's decir con respecto al costo marginal que nos proporciona

de 100 al reemplaar en la ecuaci+n del costo total da como

resultadoc= ć q

c=200(100)

c=2000


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%+) Funcin e costo6 "ara la funci+n de costo c=0,3q2

+3,5q+9

a $Bu- tan rápido cam#ia c con respecto a q cuando q = 10&

c ' (q )=0,6q+3,5

%=1$

c ' (q )=0,6(10)+3,5

c ' (q )=9,5

# )etermine la ra+n de cam#io porcentual de c, con respecto a q

cuando q=10.

f ' ( x )f ( x ) ∗100

c=0,3 (10)2+3,5 (10)+9

c=74

c ' (q)c ∗100

9.5

74 ∗100=12,83

". Del capítulo 11, roblemas 11.4 (p. "1%), realice el problema $$.

66 7a ecuaci+n representa una funci+n de consumo. 'ncuentre la

propensi+n marginal al consumo y al aorro para el valor dado de C

C =6+3 !

4 −√ !

3 ; ! =25


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Desarrollo

c ' ( ! )=3

' ∗ ! 1

2−3∗( ! )' 1/2

32

c ' ( ! )= 1

6√ !

c ' ( ! )=34−

1

6√ !

4uando /92"

c ' ( ! )=3

4−

1

6√ 25

c ' ( ! )=3

4− 1

30

c ' ( ! )=4360

:&orro

d"

d! =1−

dC

d!

d"

d! =1−

43

60

d"

d! =

17

60

$. Del capítulo 11, roblemas e repaso (p. "24), realice el

problema "2.


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ESPE-L



2 Un fa#ricante determina que m empleados producirá un

total de q unidades por día, donde

q=m(50−m). %i la funci+n de

demanda está dada por p=−0,01q+9 , encuentre el producto del

ingreso marginal cuando m=10.

Desarrollo

Utilizando la regla de la cadena

dr

dm=

dr

dq∗dq

dm

r= pq

r=(−0,01q+9 ) q

r=−0,01q2+9q

r'

(q)=−0,02q+9

7i m910 entonces reempla;amos en q=m(50−m)

q=10(50−10)

q=400

Reempla;amos en r


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ESPE-L



q ' (m )=50−2(10)

q ' (m )=30

Reempla;o en la ecuacin e la regla e la caena

dr

dm=1∗30

dr

dm=30

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