GA18-Algoritmos Geneticos No MATLAB

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Algoritmos genéticos (Matlab)

MATLAB Optimization Toolbox

Iury Steiner de Oliveira Bezerra

Optimization Toolbox


Tópicos

• Introdução

• Otimização de funções

• Optimization Toolbox

• Rotinas / Algoritmos Disponíveis

• Problemas de minimização

• Sem restrições

• Com Restrições

• Exemplos

• Descrição do algoritmo



Otimização se refere basicamente a maximização ou

minimização de funções

Problema típico de otimização:

~

~min

xf x

~

0jg x

~

0ih x

L U

k k kx x x

Restrições de igualdadeSubject to:

Restrições de desigualdade

Restrições de fronteira

~

f x é a função objetivo, o que medir e avaliar o desempenho de um sistema. Em um problema padrão, estamos minimizando a função. Para maximização, é equivalente à minimização função objetivo multiplicada por -1.

Where:

~x é um vetor coluna de variáveis consideradas, que pode

afetar o desempenho da otimização.

Otimização de Funções



~

0ih x

L U

k k kx x x

Restrições de igualdade

Restrições de desigualdades

Restrições de fronteira ou domínio

~

0jg x

Muitos algoritmos necessitam dessa condição

Restrições – Delimitação do espaço de soluções viávies .

Podem ser basicamente lineares e não lineares

Function Optimization (Cont.)



É uma coleção de funções que estendem a capacidade de MATLAB.

As rotinas incluem:

•Otimização sem restrições

•Otimização com restrições lineares e não-lineares.

• Programação Quadrática e programação linear

• Nonlinear least squares and curve fitting

• Nonlinear systems of equations solving

• Constrained linear least squares

•Algoritmos para large scale problems




Algoritmos de minimização



Algoritmos de minimização(Cont.)



Algoritmos para resolver equações



Algoritmos de mínimimosquadrados



A maioria destas rotinas de otimização exigem a definição de um M- arquivo que contém a função , f, a ser minimizada.

A maxização de funções é conseguida minimizando –f.

Opções de otimização são passadas para os algoritmos do Opt.

Toolbox.

Os parâmetros default da otimização podem ser mudados em uma

estrutura propria .

Trabalhando com o Opt. Toolbox



Considere o problema de encontrar um conjunto de valores [x1 x2]T que

resolva

1

~

2 2

1 2 1 2 2~

min 4 2 4 2 1x

xf x e x x x x x

1 2~

Tx x x

Passos:

• Criar um M-file que retorna o valor da função(Objective Function). Chame-a de objfun.m

• Então chamar a rotina de minimização. Use fminunc, fminsearch, etc…

Unconstrained Minimization



Passo 1 – Obj. Function

function f = objfun(x)

f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);

1 2~

Tx x x

Objective function



Passo 2 – a rotina

x0 = [-1,1];

options = optimset(‘LargeScale’,’off’);

[xmin,feval,exitflag,output]=

fminunc(‘objfun’,x0,options);

Argumentos de SáidaArgumentos de entrada

Ponto Inicial

Configuração de parametros na variável option



xmin =

0.5000 -1.0000

feval =

1.3028e-010

exitflag =

1

output =

iterations: 7

funcCount: 40

stepsize: 1

firstorderopt: 8.1998e-004

algorithm: 'medium-scale: Quasi-Newton line search'

Minimum point of design variables

Objective function value

Exitflag tells if the algorithm is converged.If exitflag > 0, then local minimum is found

Some other information

Resultados



[xmin,feval,exitflag,output,grad,hessian]=

fminunc(fun,x0,options,P1,P2,…)

Mais sobre a entrada da fminunc

fun : A função objetivo.

x0 : Um ponto de partida. Deve ser um vetor que possuí o mesmo número de variaveis consideradas na otimização.

Option : Configura a otmização

P1,P2,… :Passando a parâmetros adicionais.



[xmin,feval,exitflag,output,grad,hessian]=

fminunc(fun,x0,options,P1,P2,…)

xmin : Vector of the minimum point (optimal point). The size is the number of design variables.

feval : The objective function value of at the optimal point.

exitflag : A value shows whether the optimization routine is terminated successfully. (converged if >0)

Output : This structure gives more details about the optimization

grad : The gradient value at the optimal point.

hessian : The hessian value of at the optimal point

More on fminunc – Output



Options =

optimset(‘param1’,value1, ‘param2’,value2,…)

Options Setting – optimset

The routines in Optimization Toolbox has a set of default

optimization parameters.

However, the toolbox allows you to alter some of those

parameters, for example: the tolerance, the step size, the gradient

or hessian values, the max. number of iterations etc.

There are also a list of features available, for example: displaying

the values at each iterations, compare the user supply gradient or

hessian, etc.

You can also choose the algorithm you wish to use.



Options =


LargeScale - Use large-scale algorithm if

possible [ {on} | off ]

The default is with { }

Parameter (param1)

Value (value1)

Options Setting (Cont.)

Type help optimset in command window, a list of options

setting available will be displayed.

How to read? For example:



LargeScale - Use large-scale algorithm if

possible [ {on} | off ]

• Since the default is on, if we would like to turn off, we just type:

Options = optimset(‘LargeScale’, ‘off’)

Options =


Agora as entradas da fminuc.

Options Setting (Cont.)



Display - Level of display [ off | iter | notify | final ]

MaxIter - Maximum number of iterations allowed [ positive integer ]

TolCon - Termination tolerance on the constraint violation [

positive scalar ]

TolFun - Termination tolerance on the function value [ positive

scalar ]

TolX - Termination tolerance on X [ positive scalar ]

Highly recommended to use!!!

Useful Option Settings



fminunc and fminsearch

fminunc uses algorithm with gradient and hessian information.

Two modes:

• Large-Scale: interior-reflective Newton

• Medium-Scale: quasi-Newton (BFGS)

Not preferred in solving highly discontinuous functions.

This function may only give local solutions..

fminsearch is generally less efficient than fminunc for

problems of order greater than two. However, when the problem is highly discontinuous, fminsearch may be more robust.

This is a direct search method that does not use numerical or analytic gradients as in fminunc.

This function may only give local solutions.



[xmin,feval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]

=

fmincon(fun,x0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,options,

P1,P2,…)

Multiplicadores de

Lagrange

Minimização com restrições



~

1 2 3~

minx

f x x x x

2

1 22 0x x

1 2 3

1 2 3

2 2 0

2 2 72

x x x

x x x

1 2 30 , , 30x x x

Sujeito à:

1 2 2 0,

1 2 2 72A B

0 30

0 , 30

0 30

LB UB

function f = myfun(x)

f=-x(1)*x(2)*x(3);

Exemplo



2

1 22 0x x Para

Crie um função nonlcon que retorna dois vetores [C,Ceq]

function [C,Ceq]=nonlcon(x)

C=2*x(1)^2+x(2);

Ceq=[];Remember to return a nullMatrix if the constraint doesnot apply

Example (Cont.)



x0=[10;10;10];

A=[-1 -2 -2;1 2 2];

B=[0 72]';

LB = [0 0 0]';

UB = [30 30 30]';

[x,feval]=fmincon(@myfun,x0,A,B,[],[],LB,UB,@nonlcon)

1 2 2 0,

1 2 2 72A B

Initial guess (3 design variables)

CAREFUL!!!

fmincon(fun,x0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,options,P1,P2,…)

0 30

0 , 30

0 30

LB UB

Example (Cont.)



Warning: Large-scale (trust region) method does not currently solve this type of problem, switching to medium-scale (line search).

>

Optimization terminated successfully:

Magnitude of directional derivative in search direction less than 2*options.TolFun and maximum constraint violation is less than options.TolCon

Active Constraints:

2

9

x =

0.00050378663220

0.00000000000000

30.00000000000000

feval =

-4.657237250542452e-035

2

1 22 0x x

1 2 3

1 2 3

2 2 0

2 2 72

x x x

x x x

1

2

3

0 30

0 30

0 30

x

x

x

Const. 1

Const. 2

Const. 3

Const. 4

Const. 5

Const. 6

Const. 7

Sequence: A,B,Aeq,Beq,LB,UB,C,Ceq

Const. 8

Const. 9

Exemplo(Cont.)



Set Fitness function to @rastriginsfcn.

Set Number of variables to 2.

Select Best fitness in the Plot functions pane.

Select Distance in the Plot functions pane.

Set Initial range to [1; 1.1].



A = [1,1;-1,2;2,1]; b = [2;2;3]; lb = zeros(2,1);

options = gaoptimset('PlotFcns',@gaplotshowpopulation2);

[x,fval] = ga(@lincontest6,2,A,b,[],[],lb,[],[],options);





Fim.

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