Upload
others
View
14
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Capitolul IStructura algebric¼a si topologic¼a a multimii numerelor complexe
I.1. Multimea numerelor reale
Pe tot parcursul acestui curs vom considera binecunoscute informatiile es-entiale referitoare la multimea numerelor reale R, la structura sa algebric¼a sicea topologic¼a:Reamintim c¼a multimea numerelor reale R, împreun¼a cu adunarea si în-
multirea uzuale, formeaz¼a un corp comutativ.Pe acest corp se consider¼a relatia de ordine uzual¼a " � "; deci o relatie care
este:i) re�exiv¼a: x � x; pentru orice x 2 R;ii) antisimetric¼a: dac¼a x � y si y � x atunci x = y;iii) tranzitiv¼a: dac¼a x � y si y � x atunci x � z:Aceast¼a relatie este compatibil¼a cu operatiile algebrice de pe R : dac¼a a;
b 2 R astfe încât a � b; atunci a+ c � b+ c si a � d � b � d, pentru orice c; d 2 R;d � 0:Relatia este de total¼a ordine, adic¼a oricare ar � dou¼a numere reale a si b
avem �e a � b, �e b � a:
S-a obtinut astfel un corp comutativ total ordonat. În plus, R veri�c¼a axiomacompletitudinii (sau axioma Cantor-Dedekind): orice multime nevid¼a a lui Rcare este majorat¼a admite cel putin o margine superioar¼a.Pentru �ecare element a 2 R sistemul vecin¼at¼atilor V(a) este format din
toate multimile V � R care contin intervale deschise centrate în a; adic¼a multim-ile V pentru care exist¼a " > 0 cu (a� "; a+ ") � V:De�nirea sitemului vecin¼at¼atilor pentru �ecare punct a permis introducerea
urm¼atoarelor notiuni: sir convergent de numere reale, limit¼a si continuitate aunei functii reale într-un punct, functii reale derivabile si integrabile Riemann.Toate aceste de�nitii vor �utilizate în continuare si le vom considera cunoscute.
I.2. Forma algebric¼a a numerelor complexe
De�nitia I.1:Prin multimea numerelor complexe vom întelege multimeaC = f(a; b) ; a; b 2 Rg; dotat¼a cu dou¼a operatii:adunarea : " + " : C� C! C; (a; b) + (c; d) = (a+ c; b+ d);înmultirea : " � " : C� C! C; (a; b) � (c; d) = (ac� bd; ad+ bc):
Teorema I.1: Tripletul (C;+; �) formeaz¼a un corp comutativ.
Observatia I.1: Remarc¼am c¼a R poate � identi�cat cu un subcorp al lui Cprin aplicatia � : R �! C;
�(x) = (x; 0):
2
Astfel se poate considera x = (x; 0) pentru orice x 2 R: Deci 0C = 0R:Vom nota în continuare (0; 1) = i; are loc relatia i2 = (�1; 0), adic¼a i2 = �1:Astfel putem ajunge la urm¼atoarea scriere a numerelor complexe:
oricare ar � (a; b) 2 C avem (a; b) = (a; 0) + (b; 0) � (0; 1) = a+ bi:
De�nitia I.2: Aceast¼a scriere ( (a; b) = a+ib) se numeste scrierea algebric¼auzual¼a a numerelor complexe.Atunci când am �xat un sistem de coordonate ortogonal în plan , orice num¼ar
complex z = a+ ib se poate reprezenta în mod unic ca un punct având abscisaa si ordonata
b; numerele reale a si b sunt partea real¼a (Re z), respectiv partea imagi-nar¼a (Im z) a lui z. Reciproc, oric¼arui punct din plan îi corespunde un num¼arcomplex, numit a�xul punctului respectiv (�gura I.1).
Figura I.1
Acest plan, în care reprezent¼am numerele comlpexe z; îl vom numi plancomplex, iar axele orizontal¼a si vertical¼a vor �denumite axa real¼a, respectiv axaimaginar¼a a planului complex si le vom nota cu Ox, respectiv Oiy:De�nitia I.3: Prin functia modul se întelege aplicatia j �j : C! R;jzj = ja+ ibj def=
pa2 + b2:
Pentru un element dat z; num¼arul jzj are semni�catie geometric¼a si anumeel reprezint¼a lungimea segmentului determinat de origine si punctul din plan dea�x z = a+ ib:Din de�nitia de mai sus rezult¼a imediat urm¼atoarele trei propriet¼ati:
3
Propriet¼ati:1) jzj = 0R , z = 0C;2) jz1 � z2j = jz1j � jz2j ;3) jz1 + z2j � jz1j+ jz2j :
De�nitia I.4: Prin operatia de conjugare se întelege functia � : C! C;�z = a+ ib
def= a� ib:
În reprezentarea din plan a unui num¼ar complex z, conjugatul s¼au z estesimetricul lui z fat¼a de axa real¼a.
Se arat¼a usor c¼a au loc egalit¼atile:1) z1 + z2 = �z1 + �z2; 8z1; z2 2 C;2) z1 � z2 = �z1 � �z; 8z1; z2 2 C;3) �z = z; 8z 2 C;4) jzj2 = z � �z; 8z 2 C;5) z�1 = (z)�1 ; 8z 6= 0;6) z = z , Im z = 0:
I.3. Scrierea trigonometric¼a a numerelor complexe
Dac¼a z = a+ib este un num¼ar complex nenul, atunci este bine de�nit unghiul� 2 (��; �] format de directia pozitiv¼a a axei Ox cu raza vectoare a punctuluidin plan asociat lui z.Leg¼atura dintre � si z este dat¼a de relatiile trigonometrice în triunghiul bine
determinat de punctele O, z, a:
cos � =a
jzj ; sin � =b
jzj : (1)
Observatia I.2: Unghiul � care veri�c¼a relatiile (1) exist¼a si este unic.
Orice num¼ar complex z 6= 0 se poate scrie sub forma z = jzj�ajzj + i
bjzj
�sau
z = jzj (cos � + i sin �) : Din cele de mai sus se vede c¼a exist¼a o corespondent¼abijectiv¼a între numerele complexe nenule z si solutiile � ale de sistemului (1).
4
Figura I.2
De�nitia I.4: 1. Scrierea z = jzj (cos � + i sin �) a unui num¼ar complexz 6= 0 este numit¼a forma trigonometric¼a a num¼arului z (�gura I.2):2. Se poate de�ni functia bijectiv¼a
arg : Cnf0g ! (��; �] , arg z = �;
numit¼a argumentul redus al lui z:3. Dac¼a pentru sistemul (1) nu cerem ca solutiile s¼a se g¼aseasc¼a în inter-
valul (��; �]; atunci multimea solutiilor o vom nota cu Arg z si este numit¼aargumentul neredus al lui z.Deci Arg z = farg z + 2k�; k 2 Zg; iar dac¼a � 2 Arg z; atunciarg z = �(mod 2�) 2 (��; �]:În plus, dac¼a z = a+ ib si a 6= 0; atunci arctg ba 2 Arg z:Scrierea trigonometric¼a a num¼arului complex z 6= 0 devine:
z = jzj (cos arg z + i sin arg z):
Exemplul I.1: S¼a se calculeze modulul, conjugatul si argumentul num¼aruluicomplex z = 1 + i:
Evident jzj =p2; z = 1� i; cum z =
p2�p
22 +
p22
�; elementul � 2 (��; �]
pentru care cos � =p22 si sin � =
p22 este � = �
4 ; deci arg z =�4 :
Observati I.3: Cercetând scrierea numerelor complexe atât în forma loralgebric¼a, cât si cea geometric¼a, nu se observ¼a pe multimea C nici o relatie detotal¼a ordine adecvat¼a (compatibil¼a cu operatiile de pe C). Aceasta face s¼anu putem vorbi pe C de numere pozitive sau negative deoarece aceste notiuni
5
presupun compararea cu 0: Vom considera ca singura relatie de ordine pe C;ordinea uzual¼a între numerele reale.
I.4. Interpretarea geometric¼a a operatiilor uzuale pe C
Utilizând scrierea algebric¼a a numerelor complexe remarc¼am c¼a orice num¼arcomplex z = a + ib poate � identi�cat cu un vector din plan având originea înO si vârful în punctul M din plan de a�x z: Dac¼a vom nota versorii de pe axelereal¼a si imaginar¼a cu bx; respectiv by; putem scrie c¼a z �
��!OM = abx+ bby:
Fie acum punctele M1 si M2 de a�xe respectiv z1 = a1+ ib1 si z2 = a2+ ib2:
Atunci���!OM1 +
���!OM2 = (a1bx+ b1by) + (a2bx+ b2by) = (a1 + a2) bx + (b1 + b2) by =
z1+z2; deci adunarea numerelor complexe poate �privit¼a ca adunarea vectorilorcorespondenti din plan dup¼a regula binecunoscut¼a a paralelogramului (�guraI.3).
Figura I.3
Dac¼a acum vom utiliza scrierea trigonometric¼a a dou¼a numere complexez1 = r1 (cos �1 + i sin �1) si z2 = r2 (cos �2 + i sin �2) ; atunci, conform de�nitieiînmultirii numerelor complexe, avem z1z2 = r1r2[(cos �1 cos �2 � sin �1 sin �2) +i (cos �1 sin �2 + sin �1 cos �2)]; adic¼a z1z2 = r1r2[cos (�1 + �2) + sin (�1 + �2)]:Aceast¼a formul¼a ne indic¼a semni�catia vectorial¼a a produsului a dou¼a nu-
mere complexe: z1z2 este un vector cu vârful în origine, de lungime egal¼a cuprodusul lungimilor vectorilor z1 si z2; iar directia este dat¼a de semidreaptacare face axa Ox unghiul sum¼a orientat �1 + �2 (�gura I.4). Reamintim în�nal formula lui Moivre: dac¼a z = r (cos � + i sin �) si n 2 N�f0g atuncizn = rn (cosn� + i sinn�) ; care poate � dedus¼a din formula de înmultire adou¼a numere complexe puse sub form¼a trigonometric¼a:
6
Figura I.4
I.5. Ecuatii uzuale în planul complex
Vom rescrie în continuare în limbaj complex binecunoscutele ecuatii eledreptei si ale cercului.
Ecuatia dreptei prin dou¼a puncte date:Consider¼am M1 si M2 dou¼a puncte distincte din plan, de a�xe z1 si z2: S¼a
exprim¼am în functie de z1 si z2 a�xul z al unui punct M de pe dreapta M1M2:Deci dac¼a M 2M1M2 atunci z�z1
z2�z1 = t 2 R si reciproc.Deci ecuatia canonic¼a a drepteiM1M2 exprimat¼a în temeni de numere com-
plexe estez � z1z2 � z1
= t 2 R:
De aici se g¼aseste usor si ecuatia parametric¼a a dreptei M1M2 :
z = (1� t)z1 + tz2; t 2 R:
Se obtin de asemenea ecuatiile canonice si parametrice ale semidreptei jM1M2 :
M 2 jM1M2 ,z � z1z2 � z1
= t 2 R�+ , z = (1� t)z1 + tz2; t 2 R�+;
7
respectiv ale segmentului jM1M2j :
M 2 jM1M2j ,z � z1z2 � z1
= t 2 [0; 1], z = (1� t)z1 + tz2; t 2 [0; 1]:
Figura I.5
Distanta dintre dou¼a puncte date:Dac¼a M1 si M2 sunt dou¼a puncte distincte din plan, de a�xe z1 si z2; s¼a
exprim¼am distanta d dintre ele. Pentru aceasta �e z1 = x1+ iy1 si z2 = x2+ iy2scrierea lor algebric¼a. Atunci
d =p(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2 = jz2 � z1j :
Ecuatia cercului de centru si raz¼a date:S¼a presupunem c¼a avem un punctM0 de a�x z0 în planul complex si vrem s¼a
exprim¼am ecuatia cercului de centru M1 si raz¼a dat¼a r > 0 : dac¼a z este a�xulpunctului M si z = x+ iy; z0 = x0+ iy0; atunci M descrie cercul dac¼a si numaidac¼a distanta de la M si M0 este r (�gura I.6), adic¼a
jz � z0j = r:
8
Figura I.6
I.6. Topologizarea multimii numerelor complexe
De�nitia I.6: Prin vecin¼atate a unui punct z0 2 C întelegem orice multimeV � C cu proprietatea c¼a exist¼a D(z0; ") astfel încât: D(z0; ") � V; unde prinD(z0; ") s-a notat discul deschis de centru z0 si raz¼a " > 0; adic¼a D(z0; ") =fz 2 C j jz � z0j < "g (�gura I.7):Familia vecin¼at¼atilor unui punct arbitrar z0 2 C este V(z0) = fV � C;9 D(z0; ") astfel
încât D(z0; ") � V g:Observ¼am de asemenea c¼a familia U(z0) = fD(z0; ") j " > 0g formeaz¼a un
sistem fundamental de vecin¼at¼ati pentru punctul z0:
9
Figura I.7
Reamintim acum urm¼atoarele de�nitii, adaptate multimii C:De�nitia I.7:1. O multime D � C se numeste deschis¼a dac¼a �e D = ;,�e D 6= ; si
8 z0 2 D 9D(z0; ") � D:2. O multime F � C se numeste închis¼a dac¼a CnF este deschis¼a.3. O multime K � C se numeste compact¼a dac¼a este închis¼a si m¼arginit¼a:
9M > 0 astfel încât jzj �M;8 z 2 K:4. O multime D � C se numeste conex¼a dac¼a oricare ar �A � D; A 6= ;; A
simultan deschis¼a si închis¼a, rezult¼a c¼a A = D:5. Un punct z0 2 C se numeste punct de acumulare pentru o multime D � C
dac¼a orice vecin¼atate a lui z0 intersecteaz¼a multimeaD în m¼acar un punct diferitde
z0 : 8V 2 V(z0); (V 8 fz0g) \D 6= ? :
6. Un punct z0 este punct interior multimii D dac¼a exist¼a un disc D(z0; ") �D; unde " > 0:
S¼a vedem în cele ce urmeaz¼a la ce revine în aceast¼a topologie convergenta,respectiv conditia Cauchy pentru un sir de numere complexe.
De�nitia I.8: Un sir (zn)n2N� � (C; j �j) se numeste convergent dac¼a exist¼az0 2 C cu proprietatea c¼a 8V 2 V(z0) 9nV 2 N astfel încât 8n � nV ; xn 2 V:Vom nota zn ! z0:
10
Teorema I.2: 1. Un sir (zn)n2N� � C este convergent la z0 2 C dac¼a:8" > 0 9n" 2 N astfel încât 8n � n"; jzn � z0j < "2. Un sir (zn)n2N� � C; zn = xn + iyn;8n 2 N�; este convergent la z0 =
x0 + iy0 dac¼a si numai dac¼a xn ! x0 si yn ! y0 în R:
Observatia I.4: De fapt convergenta unui sir de numere complexe revine laconvergenta a dou¼a siruri de numere reale; acestea pot � si sirurile modulelor,respectiv a argumentelor, atunci când sirul este nenul.De�nitia I.9: Un sir (zn)n2N� � C se numeste sir Cauchy dac¼a:8" > 09n" 2 N� astfel încât 8n � n";8p 2 N avem jzn+p � znj < ":
Teorema I.3: Un sir (zn)n2N� � C; zn = xn + iyn este sir Cauchy dac¼a sinumai dac¼a sirurile reale (xn)n2N� ; (yn)n2N� sunt siruri Cauchy.
Teorema I.5: Pe spatiul (C; j �j) orice sir Cauchy este convergent..
De�nitia I.11:1. Se numeste serie de numere complexe un culpu de siruri (zn)n2N ; (Sn)n2N,
unde zn 2 C si Sn = z0+z1+ :::+zn pentru orice n 2 N: zn se numeste temenulgeneral al seriei, iar Sn se numeste sirul sumelor pertiale. Vom nota seria cu1Xn=0
zn:
2. O serie de numere comlpexe1Xn=1
zn se numeste convergent¼a dac¼a sirul
sumelor sale partiale Sn = z1 + z2 + ::: + zn este convergent în C: În mod
echivalent (în virtutea faptului c¼a C este un spatiu Banach) avem
Teorema I.6: Seria1Xn=1
zn este convergent¼a dac¼a si numai dac¼a este în-
deplinit¼a conditia de tip Cauchy:8" > 09n" 2 N astfel încât 8k 2 N si 8n � n" avem jzn+1 + zn+2 + :::zn+kj <
":
Observatia I.5: Scriind, de exemplu, �ecare termen zn în forma algebric¼azn = xn + yn; putem descompune sirul sumelor partiale a seriei sub forma
Sn = (x1 + x2 + :::xn) + i(y1 + y2 + :::yn); deci studiul seriei complexe1Xn=1
zn
revine la studiul seriilor reale1Xn=1
xn si1Xn=1
yn: În caz de convergent¼a avem
1Xn=1
zn =1Xn=1
xn + i1Xn=1
yn:
11
I.7. Punctul de la in�nit. Sfera lui Riemann
Multimea R a numerelor reale se completeaz¼a prin dou¼a puncte, anume �1si +1; obtinându-se dreapta real¼a încheiat¼a. În mod similar putem completamultimea C; dar printr-un singur punct, notat 1, obtinându-se planul complexextins sau planul lui Gauss.Vom nota C1 = C [ f1g:Aceasta se poate topologiza la rândul ei.De�nitia I.12: Prin vecin¼atate a punctului 1 vom întelege orice multime
V � C1 care contine exteriorul unui disc, deciV 2 V(1) dac¼a exist¼a " > 0 astfel încât V � C8D(0; ") (�gura I.8):
Figura I.8
În cele ce urmeaz¼a vom exprima faptul c¼a un sir de numere complexe arelimita 1:De�nitia I.13: Un sir (zn)n2N � C are limita 1 (sau diverge la 1) dac¼a:8V 2 V(1) 9nV 2 N astfel încât 8n � nV ; xn 2 V:Vom nota zn !1.Teorema I.8: Un sir (zn)n2N � C are limita 1 dac¼a si numai dac¼a
jznjR! +1 sau, echivalent,
zn 6= 0;8n 2 N�( sau începând cu un rang n0) si1
zn! 0:
12
Asa cum pentru multimea numerelor complexe am g¼asit o imagine geome-tric¼a, anume planul complex, am dori s¼a punem în evident¼a un model geometricsi pentru multimea C1: Vom ar¼ata c¼a pentru aceasta poate � aleas¼a o sfer¼adin R3: Pentru usurinta calculelor vom considera sfera cu centrul în origine side raz¼a 1; adic¼a sfera unitate, pe care o vom nota cu S3 (0; 1) (aceast¼a alegereîns¼a nu este esential¼a, demonstratia putându-se adapta si pentru alte sfere dinR3). Vom descrie aceast¼a corespondent¼a bijectiv¼a dintre C1 si S3 (0; 1) maiîntâi printr-o constructie geometric¼a: �e sistemul de coordonate în R3 dat deoriginea O si axele de cooronate x1; x2; x3: Not¼am cu N punctul de coordonate(0; 0; 1) ; pe care îl vom numi polul nord al sferei. Vom identi�ca planul x1Ox2cu planul complex, deci orice punct de coordonate (x1; x2; 0) poate � identi�catcu punctul de a�x z = x1+ix2: Fie acumM (x1; x2; x3) un punct oarecare de peS3 (0; 1) ; diferit de N: Dreapta MN intersecteaz¼a planul x1Ox2 într-un punctP de a�x z (�gura I.9): Consider¼am aplicatia de�nit¼a geometric astfel:
� : S3 (0; 1)! C1; � (M) =�P; dac¼a M 6= N;
1; dac¼a M = N:
Vom numi aceast¼a aplicatie proiectia stereogra�c¼a.
Figura I.9
Teorema I.7: Aplicatia proiectie stereogra�c¼a este un bijectie între sferaunitate S3 (0; 1) si planul complex extins C1.
Vom reveni asupra multimii C1 în capitolul urm¼ator.
13
Capitolul al II-leaFunctii complexe de o variabil¼a complex¼a
II.1. Limit¼a si continuitate pentru functii complexe
O functie complex¼a este o functie f : D � C ! C; deci pentru orice z 2 Davem f(z) 2 C; astfel f(z) = u(z) + iv(z); unde u; v : D ! R: Prin identi�-carea lui C cu R2 (adic¼a f¼acând identi�carea x+ iy � (x; y)), putem consideramultimea D ca �ind o submultime a lui R2 :Deci f(x + iy) = u(x; y) + iv(x; y); cu u; v : D � R2 ! R: Rezultatele de
baz¼a referitoare la functiile reale de dou¼a variabile reale se consider¼a stiute.Vom adapta în continuare unele de�nitii cunoscute din cazul real în contextul
functiilor complexe.
De�nitia II.1: Fie f : D � C ! C si z0 punct de acumulare pentrumultimea D: Spunem c¼a functia f are limita l în punctul z0 dac¼a pentru oricesir (zn)n2N� � D; zn 6= z0 cu zn ! z0 avem f(zn)! l: Scriem lim
z!zof(z) = l:
D¼am unele reguli de calcul, similare cu cele din R:Propriet¼ati (operatii cu limite):I. Fie f; g : D � C! C; z0 punct de acumulare pentru D:Dac¼a exist¼a lim
z!z0f(z) = l1; lim
z!z0g(z) = l2 cu l1; l2 2 C atunci:
1) Exist¼a limz!z0
(�f + �g)(z) = �l1 + �l2; oricare ar � scalarii �,� 2 C;2) Exist¼a lim
z!z0(f � g)(z) = l1 � l2;
3) Dac¼a g(z) 6= 0 pe o vecin¼atate a lui z0 si l2 6= 0;atunci exist¼a limz!z0
�fg
�(z) =
l1l2:II. Dac¼a f : D � C ! E � C; g : E ! C; z0 este punct de acumulare
pentru D si exist¼a limz!z0
f(z) = l; iar l este punct de acumulare pentru multimea
f(D); cu f (z) 6= l pe o vecin¼atate a lui z0 si exist¼a limw!l
g(w) = l1; atunci functia
g � f : D ! C are limit¼a în z0 si limz!z0
(g � f)(z) = l1:
Limitele din proprietatea de mai sus sunt �nite; facem conventia a+1 =1pentru orice a 2 C; iar cazul1+1 este nedeterminat. Deasemenea1�1 =1;a �1 =1 dac¼a a 6= 0; iar 0 �1 este caz de nedeterminare. Convenim ca a
0 =1dac¼a a 6= 0 si 1a =1 pentru a 6=1. Cazul 00 este nedeterminat.De�nitia II.2: Fie f : D � C; z0 2 D: f se numeste continu¼a în z0 dac¼a
pentru orice sir (zn)n � D; zn ! z0 avem f(zn)! f(z0):
Observatia II.1: Dac¼a z0 este punct de acumulare pentru D, atunci f estecontinu¼a in z0 dac¼a si numai dac¼a exist¼a lim
z!z0f(z) = f(z0):
Dac¼a z0 este punct izolat pentru D, atunci f este în mod sigur continu¼a înz0:
Propriet¼ati (operatii cu functii continue):1. Dac¼a f; g : D ! C; z0 2 D si f; g sunt continue în z0; atunci f + g si
f � g sunt continue în z0:
14
Dac¼a în plus g( z0) 6= 0; atunci este bine de�nit¼a functia fg pe o vecin¼atate
a lui z0 si este continu¼a în z0:2. Dac¼a f : D � C ! E � C; g : E ! C; z0 2 D; f continu¼a în z0 si g
continu¼a în w0 = f( z0); atunci g � f : D ! C este continu¼a în z0:
În mod speci�c are loc urm¼atoarea teorem¼a:Teorema II.1 (caracterizarea limitei si continuit¼atii în C):Fie f : D � C! C; f(x+ iy) = u(x; y) + iv(x; y):1) Dac¼a z0 = x0+iy0 este punct de acumulare pentru D; atunci exist¼a lim
z!z0f(z) =
l1 + il2 dac¼a si numai dac¼a exist¼alim
(x;y)!(x0;y0)u(x; y) = l1 si lim
(x;y)!(x0;y0)v(x; y) = l2:
2) Dac¼a z0 2 D; f este continu¼a în z0 dac¼a si numai dac¼a u; v sunt continueîn (x0; y0):.
Teorema II:2: Proiectia streogra�c¼a de�nit¼a în paragraful I.7 este un home-omor�sm între sfera lui Riemann S3 (0; 1) si planul complex extins C1:Observatia II.2: Dac¼a dou¼a multimi D si E sunt homeomorfe (adic¼a dac¼a
exist¼a între ele un homeomor�sm �) atunci structura topologic¼a de pe una dintremultimi se trasport¼a prin � în structura topologic¼a a celeilalte. Astfel multimiledeschise, închise, compacte, conexe ale lui D sunt duse prin � în multimi deacelasi tip ale lui E:
II.2. Derivabilitatea si diferentiabilitatea functiilor complexe
Vom considera în cele ce urmeaz¼a multimea deschis¼a si conex¼a D � C . Dac¼aD nu este conex¼a, se realizeaz¼a studiul pe �ecare component¼a conex¼a a lui D:
De�nitia II.3: Fie f : D � C! C; z0 2 D:1) Prin derivata functiei f în punctul z0 întelegem �num¼arul� (unic) din
C [ f1g; notat cu f 0(z0); unde f 0(z0) = limz!z0
f(z)�f(z0)z�z0 ; atunci când aceast¼a
limit¼a exist¼a.2) Functia f se numeste derivabil¼a în z0 dac¼a f 0(z0) 2 C:3) Spunem c¼a f este olomorf¼a pe D dac¼a f este derivabil¼a în orice punct al
lui D:4) f se numeste diferentiabil¼a în z0 dac¼a exist¼a � 2 C si ! : D ! C;cu lim
z!z0!(z) = !(z0) = 0; astfel încât
f(z) = f(z0) + �(z � z0) + !(z)(z � z0);8z 2 D:
Observatia II.3: Ideea de baz¼a în de�nitia functiilor diferentiabile este dea aproxima, atunci când este posibil, functiile complexe prin functii mai simplesi anume prin functii a�ne. Cu notatiile de mai sus, o asemenea functie a�n¼aeste df (z; z0) = f(z0) + �(z � z0):
15
Teorema II.3: Fie f : D � C ! C; z0 2 D: Functia f este derivabil¼a înz0 dac¼a si numai dac¼a f este diferentiabil¼a în z0:În plus, constanta � din de�nitia diferentiabilit¼atii este A = f 0(z0):
Leg¼atura dintre derivabilitate si continuitate este similar¼a cu cea din R:Teorema II.4: Fie f : D � C ! C derivabil¼a în z0 2 D: Atunci f este
continu¼a în z0:
Proprietatea II.1 (operatii cu functii derivabile):I. Fie f; g : D � C! C; z0 2 D; f; g derivabile în z0: Atunci:1) f + g este derivabil¼a în z0 cu (f + g)0(z0) = f 0(z0) + g
0(z0);2) f � g este derivabil¼a în z0 si (f � g)0(z0) = f 0(z0) � g(z0) + f(z0) � g0(z0);3) Dac¼a în plus g(z0) 6= 0; atunci f
g este derivabil¼a în z0 unde�f
g
�0(z 0) =
f 0(z0) � g(z0)� f(z0) � g0(z0)g2(z0)
:
II. Fie f : D ! E; g : E ! C; D;E � C multimi deschise, z0 2 D siw0 = f(z0): Dac¼a f este derivabil¼a în z0 si g este derivabil¼a în w0; atunci g �feste derivabil¼a în z0 cu (g � f)0(z0) = g0(f(z0)) � f 0(z0):III. Fie D; E multimi deschise din C; f : D ! E bijectie, z0 2 D si inversa
f�1 : E ! D continu¼a astfel încât f 0 (z0) 6= 0:Dac¼a f este derivabil¼a în z0; atunci f�1 este derivabil¼a în w0 = f(z0) si
are loc:(f�1)0(w0) =
1
f 0(z0)=
1
f 0 (f�1 (w0)):
Reamintim c¼a o functie � : D � R2 ! R este diferentiabil¼a într-un punct(x0; y0) 2 D dac¼a exist¼a �1 si �2 2 R si exist¼a !k : D ! R; k = 1; 2; cu
lim(x;y)!(x0;y0)
!k(x; y) = !k(x0; y0) = 0 astfel încât:
�(x; y) = �(x0; y0) + �1(x� x0) + �2(y � y0) ++!1(x; y)(x� x0) + !2(x; y)(y � y0); 8 (x; y) 2 D:
Constantele reale �1 si �2 sunt de fapt derivatele partiale ale functiei � înraport cu x; respectiv y : �1 =
@�@x (x0; y0); �2 =
@�@y (x0; y0):
Urm¼arim s¼a stabilim în continuare o caracterizare a derivabilit¼atii unei functiicomplexe prin intermediul p¼artii ei reale si a p¼artii imaginare. Rezultatul difer¼aesential de cel g¼asit în cazul continuit¼atii:Teorema II.5 (teorema lui Riemann de caracterizare a derivabil-
it¼atii):Fie f : D � C ! C ,f = u + iv;o functie complex¼a si z0 2 D:Functia
f este derivabil¼a în z0 dac¼a si numai dac¼a functiile u; v : D � R2 ! C suntdiferentiabile în (x0; y0) si în plus au loc conditiile Cauchy-Riemann:(
@u@x (x0; y0) =
@v@y (x0; y0)
@u@y (x0; y0) = �
@v@x (x0; y0)
:
16
În acest caz f 0(z0) = @u@x (x0; y0)� i
@u@y (x0; y0) .
Teorema II.6: Fie D un domeniu (multime deschis¼a si conex¼a) si f : D !C olomorf¼a astfel încât Re f sau Im f este constant¼a. Atunci rezult¼a c¼a f esteconstant¼a.
Observatia II.4: La baza demonstratiei de mai sus au stat conditiile @v@x = 0si @v@y = 0, deci enuntul se poate reformula în felul urm¼ator:
Corolar II.1: Dac¼a pe o multime deschis¼a conex¼a D au loc relatiile @v@x = 0
si @v@y = 0 (sau, echivalent, @u
@x = 0 si @u@y = 0) atunci f este constant¼a. În
particular, dac¼a f 0 = 0 pe D atunci f este constant¼a.Corolar II.2: Fie D o multime deschis¼a si conex¼a si f : D ! C olomorf¼a
astfel încât una din urm¼atoarele functii este constant¼a: jf j sau arg f (în cazulîn care f(z) 6= 0; pentru orice z 2 D). Atunci f este constant¼a.
II.3 Functii armonice
Vom stabili în continuare leg¼atur¼a care exist¼a între functiile armonice u :D � R2 ! R si functiile olomorfe f : D � C! C:De�nitia II.4: O functie u : D � R2 ! R de clas¼a C2(D) se numeste
functie armonic¼a dac¼a veri�c¼a ecuatia lui Laplace: �u = 0; unde
�u =@2u
@2x+@2u
@2y:
Expresia �u se numeste laplace-ianul functiei u; iar conditia �u = 0 se
numeste conditia de armonicitate pentru functia u:Teorema II.7: Fie D � C un domeniu (multime deschisa si conex¼a) si
f : D ! C olomorf¼a, f = u+ iv: Dac¼a u; v 2 C2(D) atunci u si v sunt functiiarmonice.
Vom folosi acest rezultat în diverse aplicatii.Reciproca Teoremei II.7 nu are loc, asa cum se poate vedea în Problema
II.13. Totusi, impunând conditii mai tari pentru domeniul D; proprietatea areloc. Vom avea nevoie, pentru demonstratie, de urmatoarea de�nitie:
De�nitia II.5: O multime D � C este convex¼a dac¼a pentru orice dou¼apuncte z1; z2 2 D segmentul cu capetele în z1 si z2 este continut în întregime înD (adic¼a z = tz2 + (1� t)z1 2 D;oricare ar � t 2 [0; 1]):Teorema II.8: Consider¼am D o multime convex¼a din plan si u : D ! R
armonic¼a. Atunci exist¼a o functie f : D ! C olomorf¼a cu f = u+ iv:
Observatia II.5: 1. O asemenea functie armonic¼a v se numeste conjugataarmonic¼a a lui u: În general aceasta nu este unic¼a; stiind v; urmeaz¼a c¼a si functiav + c (unde c este o constant¼a real¼a) este o conjugat¼a armonic¼a a lui u.2. Teorema II.8 are loc pe multimi mai generale (multimi simplu conexe, pe
care le vom de�ni în capitolul al III-lea). Deoarece în demonstratia teoremei din
17
acest caz este nevoie s¼a de�nim integrala complex¼a l¼asam acest rezultat pentrucapitolul IV, ca exercitiu (Problema IV. 16).3. Demostratia f¼acut¼a în cazul multimilor convexe (teorema II.8 de mai sus)
familiarizeaz¼a cititorul cu metoda care ne permite g¼asirea unei functii olomorfecunoscându-i partea real¼a (a se vedea problemele II.6 - II.9). In esent¼a ea serefer¼a la a integra partial conditiile Cauchy-Riemann.
II.5. Functii elementare
1. Functia exponential¼a
De�nitia II.6: Prin functia complex¼a exponential¼a se întelege functia exp :C! C; exp(x+ iy) = ex(cos y + i sin y):Aceast¼a functie se noteaz¼a de asemenea si prin ez; unde z = x+ iy:
Motivatie: În R , sirul xn =�1 + x
n
�neste convergent cu limita ex ;sirul
complex zn =�1 + z
n
�neste de asemenea covergent, iar limita sa este ex(cos y+
i sin y) (a se vedea si Problema I.11):
Proprietatea II.2:1. exp jR coicide cu functia exponentiala real¼a;2. exp este periodic¼a de perioad¼a principal¼a 2�i;3. exp(2�i) = 1, exp (�i) = �1;4. exp(z1 + z2) = exp z1 � exp z2;5. exp este functie olomorf¼a pe C cu exp
0= exp :
2.Functia logaritm
Urm¼arim, în cele ce urmeaz¼a,s¼a introducem o functie similar¼a logaritmuluinatural din R:Functia exponential¼a în complex, �ind periodic¼a, nu este injectiv¼a, deci nu
admite invers¼a. Dar dac¼a vom restrânge functia la o band¼a paralel¼a cu axaimaginar¼a, de l¼atime 2� (perioada principal¼a a functiei este 2�i), vom obtine ofunctie injectiv¼a, deci inversabil¼a. De exemplu, s¼a consider¼am
D0 = fz 2 C j � � < Im z < �g
siDk = D0 + 2k�i = fz + 2k�i; z 2 D0g ; k 2 Z:
Vom nota în continuare Cn(�1; 0] = Cn fz 2 C; Re z � 0g :
18
Figura II.1
De�nitia II.7: Numim determinarea principal¼a a functiei logaritm functia f0 :Cn(�1; 0]! D0; f0(z)
not= ln z = ln jzj+ i arg z:
Mai general, prin determinare a functiei logaritm vom întelege orice functiefk : Cn(�1; 0]! Dk; fk(z)
not= ln z = ln jzj+ i arg z + 2k�i; k 2 Z:
Proprietatea II.3:1. Restrictia functieif0 la semiaxa real¼a pozitiv¼a f0 : (0;+1)! D0 coincide
cu logaritmul natural real .2. Are loc egalitatea efk(z) = z ( adic¼a exp �fk = 1Cn(�1;0]):3. Totusi fk(ez) = z+2m�i; k;m 2 Z; în particular pentru k = 0 si z 2 D0
are loc f0 � exp = 1D0 :4. Pentru orice k 2 Z; functiile fk sunt olomorfe cu f 0k(z) = 1
z :
Observatia II.6: Proprietatea II.3 ne spune c¼a functia logaritm complexnu veri�c¼a toate propriet¼atile cunoscute ale logaritmului real ( de exempluln � exp = 1R asa cum se poate vedea în Problema II.12). Semnal¼am, de aseme-
nea, c¼a în general, în complex,�ln z1z2 6= ln z1 + ln z2n ln z 6= ln zn; n 2 N: :
Fie z1 = �p32 + i 12 si z2 = � 1
2 + ip32 : Scriem numerele z1 si z2 sub form¼a
trigonometric¼a si g¼asim
z1 = cos7�
6+ i sin
7�
6; z2 = cos
4�
3+ i sin
4�
3; :
deci jz1j = jz2j = 1, arg z1 = 7�6 si arg z2 = 4�
3 ; de unde
ln z1 + ln z2 = ln 1 + i7�
6+ ln 1 + i
4�
3= i
5�
2: (1)
Produsul lor este
z1z2 = cos15�
6+ i sin
15�
6= cos(2� +
�
2) + i sin(2� +
�
2) = cos
�
2+ i sin
�
2
19
si astfelln z1z2 = ln 1 + i
�
2: (2)
Confruntând (1) cu (2) g¼asim rezultate diferite. În general, dac¼a arg z1 +arg z2 2 (��; �] egalitatea are loc, în caz contrar, nu.
3. Functia putere
De�nitia II.8: Pentru �ecare a 2 C se poate de�ni functia f : Cn(�1; 0]!C; f(z) = ea ln z
not= za; numit¼a functia putere, unde prin ln s-a notat o deter-
minare oarecare a logaritmului complex.
Proprietatea II.4:1. Restrictia la R a functiei putere complexe în cazul a 2 R coincide cu
functia putere real¼a.2. Dac¼a a = n 2 N; avem o singur¼a determinare a functiei putere, iar
în cazul a = mn (unde m si n sunt numere naturale prime între ele) avem n
determin¼ari ale sale.3. Functia putere complex¼a este olomorf¼a cu derivata (za)0 = a � za�1;8 z 2
Cn(�1; 0] (a �xat în C):
Observatia II.7: Datorit¼a propriet¼atilor speciale ale functiei logaritm com-plex va rezulta c¼a unele dintre relatiile veri�cate de functia putere din R nu auloc si în C; de exemplu (za)b 6= zab si (za)b 6= (zb)a (în general). L¼as¼am aceasta
ca un exercitiu pentru cititor.
4. Functiile trigonometrice
De�nitia II.9: Vom de�ni functiile sinus si cosinus în complex prin for-mulele:
sin : C! C; sin z =eiz � e�iz
2i;
cos : C! C; cos z =eiz + e�iz
2:
Proprietatea II.5:1. Restrictiile functiilor sin jR si cos jR sunt tocmai functiile cunoscute din
R:2. sin si cos sunt olomorfe pe C cu sin0 = cos; cos0 = � sin :3. Au loc formulele cunoscute în R pentru sin si cos; de exemplu:
sin2 z + cos2 z = 1;
sin(z1 + z2) = sin z1 cos z2 + sin z2 cos z1;
cos(z1 + z2) = cos z1 cos z2 � sin z1 sin z2;
20
Observatia II.8: F¼ar¼a a necesita o de�nire special¼a, dar cu un rol importantîn teoria functiilor de o variabil¼a complex¼a, sunt functiile:-polinomial¼a: P : C ! C; P (z) = a0z
n + a1zn�1 + ::: + an�1z + a0; cu
a0; :::; an 2 C si-rational¼a : R : Cn fz1; :::; zkg ! C; R(z) = P (z)
Q(z) ;unde P;Q sunt functiipolinomiale, iar z1; :::; zk sunt r¼ad¼acinile lui Q : Q(z1) = ::: = Q(zk) = 0 siQ(z) 6= 0 pentru z 6= z1; :::; zk:
21
Capitolul al III-leaIntegrale curbilinii în Rn
III.1. Drumuri si curbe în Rn
Pentru a de�ni integralele curbilinii de speta întâi si de speta a doua, vomintroduce mai întâi notiunile de drum si curb¼a.
De�nitia III.1: Numim drum parametrizat în Rn o functie : [a; b] !Rn continu¼a. Pentru t 2 [a; b]; not¼am (t) = ( 1(t); :::; n(t)): Ecuatiile
:
8<: x1 = 1(t)::::::::::
xn = n(t); t 2 [a; b] (1)
de�nesc reprezentarea parametric¼a a drumului :
Cazuri particulare: a) n = 2: Atunci un drum în R2 se poate scrie subforma (t) = (f (t) ; g (t)) ; t 2 [a; b] ; unde f; g sunt functii continue pe [a; b] :Putem de asemenea scrie pentru orice t 2 [a; b] ;
:
�x = f (t)y = g (t) :
(2)
b) n = 3: Un drum în R3 se poate scrie în forma (t) = (f (t) ; g (t) ; h (t)) ;t 2 [a; b] sau
:
8<: x = f (t)y = g (t)z = h (t) ;
(3)
unde functiile f; g; h sunt continue pe [a; b] :De�nitia III.2: Dac¼a : [a; b] ! Rn este un drum, atunci multimea
([a; b]) = f (t) ; t 2 [a; b]g (imaginea intervalului [a; b] prin functia ) se nu-meste imaginea drumui (sau traiectorie sau hodograf ).Exemplul III.1:1) Consider¼am drumul de�nit parametric prin
1 :
�x = cos ty = sin t;
unde t 2 [0; �] : Imaginea acestui drum este semicercul de centru O si raz¼a 1a�at în semilpanul superior,parcurs în sens trigonometric.2) Fie drumul dat prin ecuatia implicit¼a y =
p1� x2; x 2 [�1; 1]:El poate
� paremetrizat prin
2 :
�x = t
y =p1� t2;
t 2 [�1; 1]: Se constat¼a c¼a acest drum are aceeasi imagine ca si drumul precedent,dar este parcurs invers.
22
De�nitia III.3: Numim opusul drumului : [a; b] ! Rn; drumul notat � : [a; b] ! Rn; de�nit prin � (t) = (a+ b� t) ; (8) t 2 [a; b] : Observ¼am c¼a �(a) = (b) ; � (b) = (a) :De�nitia III.4: Dac¼a 1 : [a; b] ! Rn si 2 : [b; c] ! Rn sunt drumuri
cu proprietatea c¼a 1 (b) = 2 (b) ;numim juxtapunerea lui 1 cu 2 drumul 1 [ 2 : [a; c]! Rn;
( 1 [ 2) (t) =�
1 (t) ; t 2 [a; b] 2 (t) ; t 2 [b; c] :
De�nitia III.5: Un drum : [a; b] ! Rn = ( 1; :::; n) se numeste drumneted, dac¼a functiile 1; :::; n 2 C1 ([a; b]) : Un drum : [a; b]! Rn se numesteneted pe portiuni dac¼a se poate scrie ca o juxtapunere a unui num¼ar �nit dedrumuri netede.Vom de�ni în cele ce urmeaz¼a notiunile de drum recti�cabil si lungimea unui
drum si vom da o metod¼a de calcul a lungimii unui drum din Rn: Idea de baz¼aîn de�nirea lungimii unei curbe este o idee fundamental¼a în matematic¼a, anumeaceea de aproximare, asa cum se va vedea mai jos.
Figura III.1
Fie : [a; b] ! Rn un drum dat de reprezentarea parametric¼a (1) : Consid-er¼am o diviziune � 2 D ([a; b]), � : a = t0 < t1 < � � � < tp = b si � drumulpoligonal (reuniunea segmentelor) cu vârfurile în puncteleAk ( 1(tk); :::; n(tk)) 2 , (8 )k = 1; p: Atunci lungimea segmentului de dreapt¼a cu vârfurile în puncteleAk�1( 1(tk�1); :::; n(tk�1)) si Ak( 1(tk); :::; n(tk)) estep
[ 1(tk)� 1(tk�1)]2 + [ 2(tk)� 2(tk�1)]2:::+ [ n(tk)� n(tk�1)]2
si deci lungimea drumului poligonal � este
l( �) =
pXk=1
jAk�1Akj =
=
pXk=1
p[ 1(tk)� 1(tk�1)]2 + :::+ [ n(tk)� n(tk�1)]2: (4)
Linia poligonal¼a înscris¼a A1A2:::Ap �aproximeaz¼a�curba dat¼a.
23
De�nitia III.6: Spunem c¼a drumul are lungime �nit¼a sau c¼a este rec-ti�cabil dac¼a multimea fl( �); � 2 D ([a; b])g este m¼arginit¼a. În acest caz,lungimea l ( ) a drumului se de�neste prin
l( ) = sup�2D[a;b]
l( �):
Prezent¼am mai jos cîteva propriet¼ati ale lungimii unui drum.Propozitia III.1: a) Pentru orice drum recti�cabil ; avem l ( ) = l ( �) ;b) Dac¼a 1; 2 sunt drumuri juxtapozabile recti�cabile, atunci 1 [ 2 este
recti�cabil si l ( 1 [ 2) = l ( 1) + l ( 2) :
Teorema III.1: (de reprezentare integral¼a a lungimii unui drum) Fie :[a; b] ! Rn un drum neted reprezentat parametric prin relatiile (1). Atuncidrumul este recti�cabil, iar lungimea sa este
l( ) =
bZa
q[ 01(t)]
2 + :::[ 0n(t)]2dt: (5)
Analiz¼am acum un caz particular important pentru aplicatii, anume cazuldrumurilor date implicit: y = f (x) ; el se poate paremetriza considerând x caparametru.Corolar III.1: Presupunem c¼a : [a; b] ! R2 este un drum de�nit para-
metric prin
:
�x = x;
y = f (x) ;(6)
pentru x 2 [a; b] ; unde f 2 C1 ([a; b]) : Atunci este drum recti�cabil, iarlungimea sa este
l ( ) =
Z b
a
q1 + f 0 (x)
2dx: (7)
Vom de�ni în continuare notiunea de drumuri echivalente. Fie : [a; b]! Rnun drum si t = ' (�) : [c; d]! [a; b] o bijectie continu¼a strict cresc¼atoare. Atunci � ' este tot un drum si se numeste drum obtinut din prin schimbarea deparametru t = ' (�) :De�nitia III.7: Spunem c¼a drumurile 1 : [a; b] ! Rn si 2 : [c; d] ! Rn
sunt drumuri echivalente prin relatia s de schimbare de parametru (si not¼am 1s 2) dac¼a exist¼a o functie ' : [c; d]! [a; b] bijectiv¼a, continu¼a si strict cresc¼a-toare astfel încât 2 = 1 � ':Un exemplu de drumuri echivalente este dat de 1 si
�2 din exemplul III.1.
Se poate demonstra cu usurint¼a urm¼atorul rezultat:Teorema III.2: Relatia s mai sus de�nit¼a este o relatie de echivalent¼a pe
multimea drumurilor din Rn:De�nitia III.8:. Numim curb¼a orientat¼a o clas¼a de drumuri echivalente în
raport cu relatia s de schimbare de parametru.Observatia III.1: Se poate ar¼ata c¼a lungimea unei curbe nu depinde de
parametrizare.
24
Spunem c¼a o curb¼a este de clas¼a C1 (sau curb¼a neted¼a) dac¼a un reprezen-tant al clasei de echivalent¼a care este curba este drum de clas¼a C1 (neted).Analog se de�neste o curb¼a neted¼a pe portiuni. De altfel, vom identi�ca clasade echivalent¼a (curba) cu un reprezentant (drum).Se poate ar¼ata c¼a dac¼a 1s 2; atunci l ( 1) = l ( 2) :
III.2: Integrale curbilinii de speta I
Pentru a introduce integrala curbilinie de speta I, s¼a lu¼am un exemplu din
�zic¼a: �e_
AB un arc de curb¼a (de exemplu în plan), pe care ni-l imagin¼am cape un �r material (�gura III.1). Presupunem c¼a stim densitatea � (M) a �rului
în punctul M al arcului_
AB.
Consider¼am o diviziune a arcului_
AB: A = A0, A1, . . . , Ak�1, Ak, . . . , An =
B (în aceast¼a ordine) si punctele intermediare_
Mk 2 Ak�1Ak; (ceea ce revine la considerarea unei diviz¼ari a intervalului de de�nitie al curbei si la un sistem de puncte intermediare pentru:
aceast¼a divizare). Calcul¼am masa portiunii de �r_
Ak�1Ak: Ea se aproximeaz¼acu
� (Mk) � l� _
Ak�1Ak
�; unde l
� _
Ak�1Ak
�este lungimea arcului
_
Ak�1Ak: Deci,
masa_
AB tnXk=1
� (Mk) � l� _
Ak�1Ak
�:
De aici rezult¼a c¼a masa_
AB = limjj�jj!0
nXk=1
� (Mk) � l� _
Ak�1Ak
�; unde jj�jj =
maxnl� _
Ak�1Ak
�; k = 1; n
o: Aceasta este o prezentare intuitiv¼a a unei prob-
leme practice care a condus la introducerea notiunii de integral¼a curbilinie despeta întâi.
Fie : [a; b]! Rn un drum recti�cabil, = ( 1; 2; :::; n) si F : ([a; b])!R o functie dat¼a. Vom de�ni integrala curbilinie a lui F în raport cu lungimeade arc. Pentru aceasta, �e � : a = t0 < t1 < ::: < tp = b diviziune a intervalului[a; b] si �k 2 [tk�1; tk] ; k = 1; p un sistem de puncte intermediare. Not¼amPk = (tk) si sk lungimea segmentului de dreapt¼a de extremit¼ati Pk�1 si Pk;adic¼a
sk = l ([Pk�1Pk]) =
q[ 1 (tk)� 1 (tk�1)]
2+ :::+ [ n (tk)� n (tk�1)]
2:
25
Figura III.2
Atunci suma Riemann atasat¼a functiei F în raport cu lungimea curbei ;diviziunii � si sistemului de puncte intermediare � = f�kgk=1;p este
S (F;�; �) =
pXk=1
F ( (�k)) sk =
=
pXk=1
F ( 1 (�k) ; :::; n (�k))
q[ 1 (tk)� 1 (tk�1)]
2+ :::+ [ n (tk)� n (tk�1)]
2:
Reamintim c¼a prin norma diviziunii � întelegem num¼arul
jj�jj = max�tk � tk�1; k = 1; p
:
De�nitia III.9: Spunem c¼a functia F este integrabil¼a în raport cu lungimeacurbei dac¼a exist¼a un num¼ar real I cu proprietatea c¼a (8) " > 0; (9) � = � (") >0 astfel încât (8) � 2 D ([a; b])(=multimea diviziunilor intervalului [a; b]) cujj�jj < � (") si oricare ar � sistemul de puncte intermediare � = f�kgk=1;p ; s¼aavem
jS (F;�; �k)� Ij < ":
În acest caz, num¼arul I se numeste integrala curbilinie (pe curba ) a functiei
F si se noteaz¼a I =Z
F (x) dl:
Demonstr¼am în cele ce urmeaz¼a un rezultat care asigur¼a, în anumite ipotezesuplimentare, existenta integralei curbilinii si în plus ne d¼a o formul¼a de calcula acestei integrale cu ajutorul integralei Riemann.
Teorema III.3 (Teorema de reducere a integralei curbilinii de spetaI la o integral¼a Riemann):Fie : [a; b]! Rn,
:
8<: x1 = 1 (t):::::::::::
xn = n (t) ;(8)
t 2 [a; b] ; o reprezentare parametric¼a a curbei netede (de clas¼a C1) sau netedepe portiuni si F : D � Rn ! R (D domeniu ce contine curba ) o functie
26
continu¼a. Atunci exist¼a integrala curbilinieZ
F (x) dl si avem
Z
F (x1; :::; xn) dl =
Z b
a
F ( (t))
q( 01 (t))
2+ :::+ ( 0n (t))
2dt: (9)
Din de�nitie rezult¼a cu usurint¼a urm¼atoarele propriet¼ati ale integralelor cur-bilinii de speta I. Demonstratiile lor le l¼as¼am în seama cititorului.Propozitia III.2: a) Dac¼a 1s 2 si F este integrabil¼a pe 1; atunci F este
integrabil¼a si pe 2 siR 1
Fdl =R 2
Fdl:
b) Dac¼a F este integrabil¼a pe ; atunci F este integrabil¼a si pe � siR
Fdl =
�R �
Fdl:
c) Dac¼a 1 si 2 sunt drumuri juxtapozabile si F este o functie integrabil¼ape 1 [ 2; atunci F este integrabil¼a pe 1 si pe 2 siZ
1[ 2
Fdl =
Z 1
Fdl +
Z 2
Fdl:
d) Dac¼a F;G sunt dou¼a functii integrabile pe si �; � sunt doi scalari reali,atunci �F + �G este o functie integrabil¼a pe si avemZ
(�F + �G)dl = �
Z
Fdl + �
Z
Gdl:
III.3: Integrale curbilinii de speta a II-a
De�nitia III.10: Numim form¼a diferential¼a pe domeniul D � Rn o expresiede tipul ! = P1dx1 + ::: + Pndxn; unde P1; :::; Pn : D ! R sunt functii datedepinzând de n variabile. Aceste functii Pj ; j = 1; n se numesc coe�cientiiformei diferentiale !.De�nitia III.11: Dou¼a forme diferentiale ! = P1dx1 + :::+ Pndxn si e! =fP1dx1 + :::+ fPndxn se numesc egale dac¼a Pj = fPj ; pentru orice j = 1; n:Cazuri particulare: a) Pentru n = 2; not¼am variabilele independente cu
x; y si astfel o form¼a diferential¼a ! de�nit¼a pe un domeniu D din R2 se va scrieîn forma
! = P (x; y) dx+Q (x; y) dy:
a) Pentru n = 3; not¼am variabilele independente cu x; y; z: O form¼a diferential¼a! de�nit¼a pe un domeniu D din R3 va avea forma
! = P (x; y; z) dx+Q (x; y; z) dy +R (x; y; z) dz:
27
Vom de�ni în continuare integralele curbilinii de speta a doua sau dintr-oform¼a diferential¼a !: Pentru aceasta, �e : [a; b]! Rn un drum dat parametricprin
:
8<: x1 = 1 (t):::::::::::
xn = n (t) ;(10)
si P1; :::Pn : ([a; b]) ! R functii date. Not¼am ! = P1dx1 + ::: + Pndxn: Fiediviziunea � : a = t0 < t1 < ::: < tp = b a intervalului [a; b] si � = f�kgk=1;p ;�k 2 [tk�1; tk] ; k = 1; p un sistem de puncte intermediare. Construim sumaRiemann asociat¼a formei diferentiale !; diviziunii � si sistemului de puncteintermediare � în raport cu :
S (!;�; �) =
pXk=1
fP1 ( (�k)) [ 1 (tk)� 1 (tk�1)]+
+:::+ Pn ( (�k)) [ n (tk)� n (tk�1)]g:
De�nitia III.12: Spunem c¼a forma diferential¼a ! este integrabil¼a pe dac¼a exist¼a un num¼ar real I astfel încât (8) " > 0; (9) � (") > 0 astfel ca (8)� 2D ([a; b]) cu jj�jj < � (") si (8) � = f�kgk=1;p un sistem de puncte intermediare,s¼a avem
jS (!;�; �)� Ij < ": (11)
Num¼arul real I; dac¼a exist¼a, se numeste integrala formei diferentiale ! pe
si se noteaz¼a I =Z
!:
Propozitia III.3: 1) Dac¼a !1; !2 sunt forme diferentiale integrabile pecurba si �1; �2 sunt scalari reali, atunci
R
(�1!1 + �2!2) = �1R
!1 + �2R
!2
(liniaritatea integralei curbilinii de speta a doua în raport cu forma diferential¼a).2) Dac¼a 1; 2 sunt drumuri juxtapozabile si forma diferential¼a ! este in-
tegrabil¼a pe curba 1 [ 2; atunci ! este integrabil¼a atât pe 1; cât si pe 2si
R 1[ 2
! =R 1
! +R 2
!:
3) Dac¼a ! este o form¼a diferential¼a integrabil¼a pe ; iar � este opusul lui ; atunci ! este integrabil¼a si pe � si
R �
! = �R
!:
D¼am si în acest caz o metod¼a de calcul a integralei cu ajutorul integralelorRiemann.
Teorema III.4 (Teorema de reducere la o integral¼a Riemann): Con-sider¼am un drum recti�cabil : [a; b] ! Rn, neted sau neted pe portiuni, datparametric prin relatiile (5:10) si ! = P1dx1+ :::+Pndxn o form¼a diferential¼a,unde P1; :::; Pn : D � Rn ! R sunt functii continue si � D (D �ind dome-
niu). Atunci ! este integrabil¼a pe si are loc relatia
28
Z
! =
bZa
[P1( (t)) � 0
1(t) + :::+ Pn( (t)) � 0
n(t)]dt: (12)
Observatia III.2: Se stie c¼a lucrul mecanic al unei forte conservative Fcare se deplaseaz¼a parcurgând arcul
_
AB este dat de L =R_AB
F � dr; deci el se
exprim¼a cu ajutorul unei integrale curbilinii de speta a doua:
L =
Z_AB
P1dx1 + P2dx2 + P3dx3;
unde (P1; P2; P3) sunt componentele fortei F ; iar r = (x1; x2; x3) este deplasarea.Este stiut faptul c¼a lucrul mecanic al fortei conservative F care îsi deplaseaz¼apunctul de aplicare, nu depinde de drumul parcurs, ci doar de doar de extrem-it¼atile drumului.Acest exemplu �zic ne sugereaz¼a introducerea notiunii de independent¼a de
drum a unei integrale curbilinii de speta a doua.De�nitia III.13: Fie ! = P1dx1 + ::: + Pndxn o form¼a diferential¼a, unde
P1; :::; Pn : D � Rn ! R si 1; 2 dou¼a curbe din domeniul D având aceleasicapete. Integrala formei ! se numeste independent¼a de drum dac¼a
R 1
! =R 2
!:
De�nitia III.14: Forma diferential¼a ! = P1dx1+ :::+Pndxn; cu P1; :::; Pn :D � Rn ! R; se numeste exact¼a dac¼a exist¼a o functie f : D ! R diferentiabil¼aîncât
df = !: (13)
În acest caz ; f se numeste primitiv¼a pentru forma diferential¼a !; iar conditiadf = ! revine la urm¼atoarele egalit¼ati:
@f
@x1= P1;
@f
@x2= P2; :::;
@f
@xn= Pn: (14)
Vom da în continuare o generalizare a Teoremei Leibniz-Newton pentru in-tegralele curbilinii de speta a II-a.Teorema III.5: Fie forma diferential¼a exact¼a ! având coe�cientii continui
pe D � Rn si curba neted¼a : [a; b] ! D: Dac¼a f este o primitiv¼a pentru!; atunci: Z
! = f( (b))� f( (a)): (15)
Observatia III.3: Proprietatea r¼amâne valabil¼a si pentru drumuri netedepe portiuni. Într-adev¼ar, dac¼a = 1 [ ::: [ m;unde 1; :::; 2 sunt netede,
29
atunciZ
! =
Z 1
! + :::+
Z m
! = f( (b1))� f( (a)) + :::+ f( (bm))� f( (bm�1));
unde bm = b si (a; b1) ; (b1; b2) ; :::; (bm�1; b) sunt extremit¼atile drumurilor 1; 2; ..., m: Deci
R
! = f( (b))� f( (a)):
Observatia III.4: Aproximând drumurile recti�cabile prin linii poligonaleînscrise (care sunt drumuri netede pe portiuni), putem aplica Observatia III.3pentru a deduce c¼a Teorema III.5 se mentine si pentru drumuri recti�cabile.
Prezent¼am acum o teorem¼a de caracterizare a independentei de drum a in-tegralelor curbilinii de speta a doua.Teorema III.6: Fie ! o form¼a diferential¼a având coe�cientii continui pe
D. Integrala lui ! este independent¼a de drum dac¼a si numai dac¼a pentru oricedrum inclus în D; : [a; b]! D � Rn; închis ( (a) = (b)), avem
R
! = 0:
Figura III.3
De�nitia III.15: Multimea deschis¼a D � Rn se numeste multime conex¼a(prin arce) dac¼a orice dou¼a puncte ale sale pot � unite printr-o linie poligonal¼ainclus¼a în multimea D:
Teorema III.7: 1) Orice form¼a diferential¼a exact¼a cu coe�cienti continuipe o multime D are integrala independent¼a de drum.2) Dac¼a D este deschis¼a si conex¼a (prin arce), are loc si reciproca.
Urm¼arim în cele ce urmeaz¼a s¼a stabilim conditii (necesare si su�ciente) cares¼a asigure faptul c¼a o form¼a diferential¼a este exact¼a.De�nitia III.16: Fie ! o form¼a diferential¼a, ! = P1(x1; :::; xn)dx1 + ::: +
Pn(x1; :::; xn)dxn; cu Pi : D � Rn ! R de clasa C1: Forma diferential¼a ! senumeste închis¼a dac¼a
@Pk@xj
=@Pj@xk
; (8) k; ; j = 1; n ; k 6= j: (15)
Teorema III.8: Fie ! = P1dx1 + ::: + Pndxn; Pi : D � Rn ! R; i =1; n de clasa C1 pe D. Dac¼a forma diferential¼a ! este exact¼a, atunci ! esteînchis¼a.
30
Reciproca Teoremei III.8 nu este în general adevarat¼a. Ea are loc totusi pemultimi cu o structura mai special¼a, numite multimi simplu conexe.De�nitia III.17: O multime D � Rn se numeste simplu conex¼a dac¼a este
conex¼a si orice dou¼a curbe 1; 2 : [a; b]! D pot � deformate în mod continuuuna în alta, deform¼arile r¼amânând în multimea D: (sau, echivalent, orice curb¼aînchis¼a : [a; b]! D poate �restâns¼a la un punct din D f¼ar¼a a iesi din multimeaD).Observatia III.5: Din punt de vedere intuitiv, un domeniu simplu conex
este o multime f¼ar¼a "g¼auri".De exemplu, orice curb¼a simpl¼a : [a; b] ! Rn (adic¼a injectiv¼a pe [a; b)) si
închis¼a, � D; delimiteaz¼a un domeniu simplu conex inclus în D:De asemenea orice bil¼a din spatiul Rn este o multime simplu conex¼a.Formul¼am acum reciproca teoremei III.8 pe multimi simplu conexe:Teorema III.9: Fie ! = P1dx1+ :::+Pndxn; Pi : D � Rn ! R; i = 1; n de
clasa C1 pe multimea simplu conex¼a D. Dac¼a forma diferential¼a ! este închis¼a,atunci ! este exact¼a.
Corolar III. 2: Dac¼a D este o multime simplu conex¼a din Rn; iar ! =P1dx1 + ::: + Pndxn este o form¼a diferential¼a închis¼a cu coe�cientii Pi : D �Rn ! R; Pi 2 C1 (D) ; i = 1; n; atunci integrala lui ! pe orice curb¼a închis¼ainclus¼a în D este zero.
31
Capitolul al IV-leaIntegrala functiilor complexe
IV.1 De�nitia si propriet¼atile integralei complexe
De�nitia IV.1: Fie f : ( )! C;unde : [a; b]! C este un drum din planulcomplex. Pentru a de�ni integrala functiei f pe curba ( ) consider¼am o divizarea intervalului [a; b]:� : a = t0 < t1 < ::: < tn = b care induce pe curba o divizare prin
punctele zk = (tk); 8 k = 1; n:Fie si sistemul de puncte intermediare (s.p.i.) (�k); unde �k = (�k) 2
( );8 k = 1; n; �k 2 [tk�1; tk]:Norma diviz¼arii � este k�k = maxfjtk � tk�1j ; k = 1; ng; iar suma Rie-
mann atasat¼a functiei f pe divizarea � si sistemului de puncte intermediare(s.p.i.) � este
S�;�(f) =
nXk=1
f(�k)(zk � zk�1)
Functia f se numeste integrabil¼a pe curba ( ) dac¼a:exist¼a I 2 C încât pentru orice " > 0 exist¼a �" > 0 cu proprietatea c¼a oricare
ar � divizarea �; cu k�k < �" si oricare ar � sistemul de puncte intermediare(�) avem jS�;�(f)� Ij < ":În cazul în care num¼arul I exist¼a, îl vom nota cu
R
f(z)dz si îl vom numi
integrala functiei f pe curba ( ).Observatia IV.1: I este limita sumelor Riemann luate pe toate diviziunile
� cu norma k�k ! 0: Rezult¼a c¼a num¼arul I de�nit mai sus, atunci când exist¼a,este unic (ca limita unei sir din R).
Teorema IV.1: Fie f : D � C ! C; f(x + iy) = u(x; y) + iv(x; y) si( ) � D o curb¼a. Dac¼a f este integrabil¼a pe ( ); atunci:Z
f(z)dz =
Z
u(x; y)dx� v(x; y)dy + iZ
v(x; y)dx+ u(x; y)dy:
Vedem astfel c¼a integrala unei functii complexe se reduce la dou¼a integralecurbilinii de specia a II-a. Aplicând rezultatele cunoscute pentru integralele cur-bilinii de specia a II-a (a se vedea formula (12) din teorema III.4) , obtinemurm¼atoarea teorem¼a:
Teorema IV.2: Dac¼a f : ( ) ! C este o functie continu¼a, iar : [a; b] !C este o curb¼a neted¼a, atunci f este integrabil¼a pe ( ) si are loc:
Z
f(z)dz =
bZa
f( (t)) � 0(t)dt (1)
32
sau, echivalent,
Z
f(z)dz =
bZa
[u(�(t); (t)) � �0(t)� v(�(t); (t)) � 0(t)]dt+
+i
bZa
[v(�(t); (t)) � �0(t)� u(�(t); (t)) � 0(t)]dt; (2)
unde (t) = �(t) + i (t):
Teorema IV.3: Dac¼a f este integrabil¼a pe ( ) atuci are loc inegalitatea:������Z
f(z)dz
������ � l( ) � supz2
jf(z)j ;
unde l( ) este lungimea curbei ( ):
În cele ce urmeaz¼a intention¼am s¼a d¼am o formul¼a de tip Leibniz-Newtonpentru integrelele functiilor complexe.
De�nitia IV.2: O functie f : D � C ! C admite primitive dac¼a exist¼aF : D ! C olomorf¼a încât F 0 = f: Functia F se numeste primitiv¼a pentrufunctia f:
Observatia IV.2: Dac¼a F = U + iV; iar f = u+ iv; conditia ca F s¼a �eprimitiv¼a pentru f se scrie ( din teorema lui Riemann ):
@U@x + i
@V@x = u+ iv;adic¼a
8<: u = @U@x
v = @V@x
:
Pe de alt¼a parte, asa cum am vazut în teorema IV.1, calculul oric¼arei integralecomplexe revine la calculul a dou¼a integrale curbilinii de specia a doua.Aceasta ne sugereaz¼a c¼a pentru a stabili o formul¼a de tip Leibniz-Newton
am putea utiliza primitivele pentru forme diferentiale asa ca în Capitolul III(De�nitia III.13). Teorema urm¼atoare d¼a leg¼atura dintre cele dou¼a maniere dea de�ni primitivele.
Teorema IV.4: În cazul în care functia f : D � C ! C este continu¼a,f = u + iv; functia F = U + iV este primitiv¼a a lui f dac¼a si numai dac¼a Ueste primitiv¼a pentru forma diferential¼a !1 = udx � vdy;iar V este primtiv¼apentru !2 = vdx+ udy:
Dac¼a not¼am cu !1 = udx � vdy; !2 = vdx + udy; teorema IV.4 a�rm¼a c¼aformele diferentiale !1si !2 sunt exacte.Atunci, particularizând rezultatele în ceea ce priveste independenta de drum
a integralelor curbilinii de specia a II-a, obtinem:
33
Teorema IV.5 (formula Leibnitz-Newton): Dac¼a f : D � C ! C esteo functie continu¼a si admite primitiva F; atunci pentru orice drum recti�cabil : [a; b]! D are loc: Z
f(z)dz = F ( (b))� F ( (a)):
Teorema IV.6: Functia continu¼a f : D � C! C admite primitiv¼a dac¼a sinumai dac¼a , pentru orice dou¼a curbe recti�cabile ( 1); ( 2) � D având aceleasicapete, avem c¼a Z
1
f(z)dz =
Z 2
f(z)dz
sau, echivalent, dac¼a si numai dac¼aR
f(z)dz = 0 pe orice curb¼a închis¼a din D:
În continuare ne vom ocupa de integralele functiilor olomorfe.
Teorema IV.7 (teorema fundamental¼a a lui Cauchy): Fie D � C undomeniu simplu conex, f : D ! C o functie olomorf¼a cu f 0 continu¼a si ( ) � Do curb¼a închis¼a. Atunci
R
f(z)dz = 0:
Observatia IV.3 (referitoare la teoremele IV.4 - IV.7): Fie D un domeniusimplu conex, f : D ! C olomorf¼a. Din demonstratia teoremei IV.7 urmeaz¼a c¼aformele diferentiabile !1 = udx � vdy si !2 = vdx + udy sunt închise. Atunci,conform teoremei III.9, !1 si !2 sunt exacte, adic¼a adimit primitive. TeoremaIV. 4 spune c¼a si f admite primitive. O primitiv¼a se poate g¼asi, conform teoremeiIV.5, l¼asând arbitrar cap¼atul (b) = w al curbei si notând (a) = z0; astfelF (w) =
Rz0w
f(z)dz este primitiv¼a pentru f; unde prin z0w întelegem orice curb¼a
recti�cabil¼a având aceste capete (integrala unei functii care admite primitive nudepinde de drumul ales: teorema IV.6).Deci dat¼a o functie olomorf¼a f pe un domeniu simplu conex D ; o primitiv¼a
pentru f poate � calculat¼a prin formula
F (w) =
Zz0w
f(z)dz; z0w �ind un drum recti�cabil cu capetele z0 si w:
Vom da f¼ar¼a demonstratie o variant¼a a teoremei IV.7 care are loc în conditiimai generale.De�nitia IV.3: Fie D � C un domeniu. O curb¼a închis¼a ( ) � D se nu-
meste omotop¼a cu un punct în D dac¼a, pentru orice z0 2 ( ); ( ) se poatedeforma în mod continuu la curba degenerat¼a z0; deform¼arile r¼amânând înmultimea D:
Observatia IV:4:
34
1) Se vede usor c¼a un domeniu D este simplu conex dac¼a si numai dac¼a oricecurb¼a închis¼a din D este omotop¼a cu un punct în D:2) Dac¼a D este deschis¼a si ( ) este omotop¼a cu un punct în D, atunci dome-
niul D determinat de curba ( ) este simplu conex.
Teorema IV.8 (teorema fundamental¼a a lui Cauchy - forma gener-al¼a):Fie D � C deschis¼a, f : D ! C olomorf¼a si ( ) � D curb¼a închis¼a omotop¼a
cu un punct în D:Atunci
R
f(z)dz = 0:
Exemplul IV.1: Consider¼am ( ) � C o curba simpl¼a (f¼ar¼a autointersectii)închis¼a si a 2 Cn( ):S¼a calcul¼am
R
dzz�a :
Functia f : Cnfag ! C; f(z) = 1z�a este olomorf¼a (cu derivat¼a continu¼a).
Distingem dou¼a situatii:1) a =2 D ;unde D este domeniul determinat de curba închis¼a ( ):
Figura IV.1
Multimea Cnfag nu este simplu conex¼a, dar dac¼a not¼am cu s semidreaptacu vârful în a, paralel¼a cu axa real¼a, ce nu interscteaz¼a ( );multimea Cns estedomeniu simplu conex în care f este olomorf¼a (�gura IV.1).Aplicând teorema fundamental¼a a lui Cauchy functiei f pe Cns rezult¼a c¼aR
dzz�a = 0:
2) a 2 intD :
35
Figura IV.2
Ar¼at¼am în acest caz c¼aR
dzz�a =
Rjw�aj=r
dzz�a :
Realiz¼am o t¼aietur¼a ce uneste curba ( ) cu cercul C(a; r) de ecuatie jw � aj =r ( unde alegem r > 0 astfel încâtC(a; r) � D ) prin dou¼a segmente paralelela distanta " una de alta, notate I1 si I2 (vezi �gura IV.2).
Consider¼am acum curba � obtinut¼a prin parcurgerea curbei de la A la Bîn sens trigonometric, apoi I1, apoi cercul C(a; r) în sens invers trigonometric,apoi I2 (în sens opus lui I1).Curba � este simpl¼a închis¼a si putem alege un domeniu simplu conex D în
Cnfag încât � � D: AtunciR�
f(z)dz = 0: Pe de alt¼a parte avem c¼aR�
f(z)dz =R
f(z)dz +RI1
f(z)dz �R
C(a;r)
f(z)dz �RI2
f(z)dz si pentru " ! 0RI1
f(z)dz �RI2
f(z)dz = 0; de undeR
f(z)dz �R
C(a;r)
f(z)dz = 0:
Acum, pentru calculul integralei pe cerc, parametriz¼am cercul:
C(a; r) : z � a = r(cos t+ i sin t); t 2 [0; 2�]:
AtunciR
C(a;r)
dzz�a =
RC(a;r)
r(� sin t+i cos t)r(cos t+i sin t) dt =
2�R0
idt = 2�i: DeciR
dzz�a = 2�i:
În sintez¼a,R
dzz�a =
�0; dac¼a a =2 D
2�i; dac¼a a 2 intD :
Aplicatie:R
C(0;r)
dzz2�1 pentru r = 1=2 si r = 2:
D¼am urm¼atoarea variant¼a a teoremei fundamentale a lui Cauchy, util¼a îndemonstrarea unor formule integrale, cît si în unele aplicatii:
Teorema IV.9: Fie D � C un deschis, iar ( ); o curb¼a simpl¼a închis¼aomotop¼a cu un punct în D; z0 2 D n si f : D ! C continu¼a, olomorf¼a peD nfz0g:Atunci
R
f(z)dz = 0:
36
IV.3. Integrale complexe parametrice
De�nitia IV.4: Prin integral¼a parametric¼a vom întelege o expresie (caredepinde de z) de tipul
R
f(w; z)dw; unde f : ( )�D ! C; cu D � C un domeniu
si ( ) o curb¼a plan¼a.Teorema IV.10: Fie D � C un domeniu si ( ) o curb¼a recti�cabil¼a din
planul complex. Dac¼a functia f : ( ) � D ! C este continu¼a, atunci F (z) =R
f(w; z)dw este de asemena continu¼a în D:
Teorema IV.11: 1. Dac¼a functia gw : D ! C; gw(z) = f(w; z) esteolomorf¼a pentru orice w 2 ( ); iar g0w(z) = @ f
@ z (w; z) este continu¼a de ansamblulvariabilelor pe �D; atunci si functia F este olomorf¼a în D cu
F 0(z) =
Z
@ f
@ z(w; z)dw:
2. Fie g : ( )! C functie continu¼a si
F (z) =
Z
g(w)
w � z dw;
unde z 2 C n ( ):Atunci F este olomorf¼a pe C n( ) si admite derivate de orice ordin:
F (n)(z) = n!
Z
g(w)
(w � z)n+1 dw:
Teorema IV.12 (formula integral¼a a lui Cauchy): Fie D � C undeschis, ( ) � D curb¼a simpl¼a închis¼a, omotop¼a cu un punct în D; z0 2intD ; f : D ! C olomorf¼a.Atunci
f(z0) =1
2�i
Z
f(z)
z � z0dz:
Are loc, de asemenea, si urm¼atorul rezultat important:
Teorema IV.13 (formula integral¼a a lui Cauchy generalizat¼a): Con-sider¼am D � C un deschis, ( ) � D o curb¼a simpl¼a închis¼a omotop¼a cu un punctîn D;iar f : D ! C o functie olomorf¼a. Atunci, oricare ar � z0 2 intD ; fadmite derivat¼a de orice ordin în z0;iar derivata sa de ordin n este:
f (n)(z) =n!
2�i
Z
f(w)
(w � z)n+1 dw::
37
Observatia IV:5: 1) Fie D � C; ( ) � D: Teorema IV.12 ne spune c¼aeste su�cient s¼a cunoastem valorile unei functii olomorfe pe o curb¼a ( ) simpl¼a,închis¼a, omotop¼a cu un punct în D; pentru a obtine valorile ei în orice punctz 2 intD ; anume f(z) = 1
2�i
R
f(w)(w�z)n+1 dw ; acelasi lucru este valabil si pentru
valorile derivatelor sale f (n)(z) (teorema IV.13).Deci putem �reface� functia f cunoscând doar valorile pe o curb¼a simpl¼a
închis¼a ( ):2) Functiile olomorfe pe multimi deschise admit derivate de orice ordin n si
acestea sunt date de formula din teorema IV.13.
Teorema IV.14 (formula integral¼a a lui Cauchy pentru dou¼a curbe):Fie f : D ! C o functie olomorf¼a, unde D este o multime care contine cercurileC(0; R1) si C(0; R2): Dac¼a z 2 C încât R1 < jzj < R2; are loc formula
f(z) = 12�i
Rjwj=R2
f(w)w�z dw �
12�i
Rjwj=R1
f(w)w�z dw:
Iat¼a în continuare o �reciproc¼a�a teoremei fundamentale a lui Cauchy:
Teorema IV.15 (teorema lui Morera): Fie f : D � C ! C o functiecontinu¼a, unde D este multime deschis¼a. Dac¼a
R
f(z)dz = 0 pe orice curb¼a
simpl¼a închis¼a omotop¼a cu un punct în D; atunci f este olomorf¼a pe D:Corolar IV.1: Fie f : D � C ! C continu¼a si olomorf¼a pe Dnfz0g; unde
D este multime deschis¼a si z0 2 D: Atunci f este olomorf¼a pe D:
Aceast¼a consecint¼a a teoremei lui Morera are un rol important atât în unelerezultate teoretice,cât si în rezolvarea unor probleme.
Formul¼am în continuare o aplicatie la formula integral¼a generalizat¼a a luiCauchy :
Teorema IV.16 (teorema lui Liouville): Dac¼a f : C! C este o functieolomorf¼a si m¼arginit¼a atunci este constant¼a.
38
Capitolul al V-leaSerii Taylor si serii Laurent
V.1. Serii de functii
În acest capitol vom prezenta dou¼a tipuri speciale de serii de functii, anumeseriile Taylor si seriile Laurent. Ele se vor dovedi deosebit de importante atuncicând vom introduce notiunea de singularitate izolat¼a a unei functii complexe side reziduu.Vom reaminti la început câteva de�nitii referitoare la seriile de functii reale
(convergent¼a punctual¼a, absolut¼a si uniform¼a), cât si enuntul unor criterii deconvergent¼a. Vom puncta apoi care dintre aceste rezultate se mentin si în cazulfunctiilor complexe.Pentru o abordare unitar¼a vom nota în acest capitol prin � corpul R sau C:De�nitia V.1: Fie fn : D � �! �;8 n 2 N: Se numeste serie de functii
de termen general fn cuplul format din sirurile (fn)n2N si (Sn)n2N; unde Sn estesirul sumelor partiale:
Sn = f0 + f1 + :::+ fn;8 n 2 N: Vom nota aceast¼a serie cu1Pn=0
fn:
De�nitia V.2: Seria1Pn=0
fn se numeste convergent¼a în z0 dac¼a seria1Pn=0
fn(z0)
de numere din � este convergent¼a.
De�nitia V.3: Seria1Pn=0
fn se numeste punctual convergent¼a pe o multime
A � D dac¼a seria1Pn=0
fn(z) este convergent¼a în orice z 2 A:Deoarece pe � sirurile convergente coincid cu sirurile Cauchy, de�nitia de
mai sus este echivalent¼a cu conditia Cauchy:
8 z 2 A 8" > 0 9 nz;" 2 N astfel încât 8n � nz;";8p 2 N )
) jfn+1(z) + :::+ fn+p(z)j < ":
De�nitia V.4: Seria1Xn=0
fn se numeste absolut convergent¼a în punctul z 2
D dac¼a seria1Xn=0
jfn (z)j este convergent¼a ca serie de numere reale pozitive.
De�nitia V.5: Multimea punctelor în care o serie de functii este conver-gent¼a punctual se numeste multime de convergent¼a .
În baza conditiei Cauchy putem formula si alte de�nitii în mod convenabil:
De�nitia V.6: Serie1Pn=0
fn este uniform convergent¼a pe o multime K � �dac¼a
8" > 0 9 n" 2 N a:i:8n � n" ;8 p 2 N )
) jfn+1(z) + :::+ fn+p(z)j < ";8 z 2 K:
39
De�nitia V.7: Seria1Pn=0
fn este uniform convergent¼a pe compactele din D
dac¼a oricare ar � un compact K � D ,1Pn=0
fn este uniform convergent¼a pe K:
8K � D compact,8" > 0 9 nK;" 2 N astfel încât8n � nK;";8 p 2 N )
) jfn+1(z) + :::+ fn+p(z)j < ";8 z 2 K:
Uniforma convergent¼a pe compactele dintr-o multime asigur¼a convergentapunctual¼a pe acea multime. De asemenea convergenta uniform¼a treansfer¼a unelepropriet¼ati (continuitate, integrabilitate) de la termenii seriei la suma seriei:Propozitia V.1: Fie fn : D � � ! � un sir de functii astfel încât seria
1Pn=0
fn este uniform convergent¼a la f pe compactele din multimea de convergent¼a
D1:
1) Atunci1Pn=0
fn este si punctual convergent¼a pe D1:
2) Presupunem c¼a fn sunt continue pe D1; atunci f este de asemenea con-tinu¼a.3) Dac¼a � = R si fn sunt integrabile Riemann, atunci f este integrabil¼a
Riemann.4) Consider¼am � = C:
Dac¼a fn sunt continue pe o curb¼a neted¼a � D1 atunciZ
1Pn=0
fn(z)dz
converge uniform laZ
f(z)dz:
Presupunem c¼a fn sunt olomorfe. Atunci f este olomorf¼a si în plus seria
derivatelor de orice ordin k;1Pn=0
f(k)n este uniform convergent¼a pe compactele
din D1 la f (k):
Un rezultat de uniform¼a convergent¼a a unei serii de functii reale sau complexeeste:Teorema V.1 (criteriul lui Weierstrass): Dac¼a fn : D � �! � este un
sir de functii astfel încât
9(�n)n2N � [0;+1) cu jfn(t)j � �n; 8n 2 N;8 t 2 D
si1Pn=0
�n este convergent¼a, atunci seria1Pn=0
fn este absolut si uniform conver-
gent¼a pe D.Vom reaminti înc¼a dou¼a rezultatei de uniform¼a convergent¼a speci�ce seriilor
de functii reale:
40
Teorema V.2 (criteriul lui Abel de uniform¼a convergent¼a): Fie
fn; gn : D � R ! R dou¼a siruri de functii. Dac¼a seria1Xn=0
fn este uniform
convergent¼a pe D, iar sirul de functiile gn este monoton descresc¼ator si uni-form m¼arginit pe D (exist¼a M > 0 astfel încât jgn (t)j �M; pentru orice t 2 D),
atunci seria1Xn=0
fngn este uniform convergent¼a pe D:
Teorema V.3 (criteriul lui Dirichlet de uniform¼a convergent¼a): Fie
fn; gn : D � R! R dou¼a siruri de functii. Dac¼a seria1Xn=0
fn are sirul sumelor
partiale Sn = f1+f2+:::+fn uniform m¼arginit pe D, iar sirul de functiile gn este
monoton descresc¼ator si uniform convergent la 0 , atunci seria1Xn=0
fngn este
uniform convergent¼a pe D:
V.2. Serii Taylor complexe
Cele mai multe rezultate din paragraful precedent se pot transpune si pen-tru serii complexe. În continuare le vom formula pe cele mai importante si,acolo unde exist¼a deosebiri semni�cative de în demonstratii, vom indica ration-amentele respective.De�nitia V.8: Se numeste serie de puteri în panul complex (sau serie
Taylor) o serie de functii de variabila z 2 C de forma1Xn=0
an(z � z0)n (5)
unde z0 2 C este un num¼ar �xat, iar (an)n2N este un sir de numerecomplexe.În acest caz functiile termen sunt fn : C ! C; fn(z) = an(z � z0)
n: Luândz0 = 0 obtinem seria
1Xn=0
anzn: (5�)
Pentru seriile (5) si (50) suntem interesati s¼a r¼aspundem la aceleasi problemeca în paragreful anterior referitor la structura multimii de convergent¼a, tipulde convergent¼a a serii (50) si propriet¼atile functiei sum¼a. Informatiile esentialeobtinute pentru seria (50) se vor transfera print-o translatie de pas z0 la seria(5) :
41
Exemplul V.2: Seria geometric¼a1Pn=0
zn este convergent¼a pe discul unitate
deschis jzj < 1 si are suma
f(z) =1
1� z pentru jzj < 1:
Pentru jzj � 1; seria nu este convergent¼a.
Cercet¼am structura de convergent¼a a seriei de puteri (50). Similar cazuluiseriilor de puteri reale avem si în complex urm¼atoarea teorem¼a:
Teorema V.4 (teorema lui Abel în planul complex):
1) Dac¼a exist¼a z0 2 C; z0 6= 0; astfel încât1Pn=0
anzn0 converge, atunci
1Pn=0
anzn converge pentru orice z 2 C cu jzj < jz0j :
Mai mult, convergenta este absolut¼a si uniform¼a pe compactele din disculD(0; jz0j):2) Dac¼a exist¼a z1 2 C încât
1Pn=0
anzn1 diverge, atunci
1Pn=0
anzn diverge
pentru orice z 2 C cu jzj < jz1j :
Teorema V.5 (teorema razei de convergent¼a): Pentru seria de puteri
(50)1Pn=0
anzn exist¼a si este unic elementul r 2 [0;+1] astfel încât:
1) Dac¼a r = 0; convergenta seriei (50) are loc numai în z0 = 0:
2) Dac¼a r 2 (0;1); seria1Pn=0
anzn converge absolut si uniform pe compactele
din D(0; r) si diverge pe Cn D(0; r); pe cercul jzj = r convergenta se studiaz¼ade la caz la caz.
3) Daca r = +1; atunci1Pn=0
anzn converge absolut si uniform pe compactele
din C:
De�nitia V.9: Vom numi raz¼a de convergent¼a pentru seria (50) elementul(unic) r 2 [0;+1] a c¼arui existent¼a este asigurat¼a de teorema precedent¼a.
Teorema V.6(formule de calcul pentru raza de convergent¼a în C):
1) Formula lui Hadamard: Raza de convergent¼a r pentru seria (50) estedat¼a de
r =1
l; unde l = lim sup
n!1npjanj
(unde s-a f¼acut conventia r = +1 pentru l = 0 si r = 0 pentru l = +1).2) Dac¼a exist¼a lim
n!1npjanj = l1;atunci raza de convergent¼a a seriei consid-
erate este r = 1l1:
42
3) Dac¼a exist¼a lim supn!1
jan+1jjanj = l2;atunci raza c¼autat¼a este 1
l2:
Informatiile referitoare la functia sum¼a a unei serii de puteri complexe levom enunta sintetic în urm¼atorul rezultat:Teorema V.8: Dac¼a r > 0 este raza de convergent¼a pentru seria de puteri
1Pn=0
anzn; atunci functia f : D(0; r)! C; f(z) =
1Pn=0
anzn este olomorf¼a.:
Observatia V.6: Seria1Pn=0
an(z� z0)n este absolut si uniform convergent¼a
pe compactele din D(z0; r); iar suma sa este olomorf¼a pe D(z0; r) .De�nitia V.10: O functie f : D � C! C (unde multimea D este deschis¼a)
se numeste analitic¼a pe D dac¼a:Oricare ar � z0 2 D exist¼a discul D(z0; r); r > 0 si exist¼a (an)n2N � C
astfel încât f(z) =1Pn=0
an(z � z0)n; pentru orice z 2 D(z0; r):
Folosind teorema V.8�pe �ecare disc D(z0; r) � D obtinem:
Teorema V.10: Orice functie analitic¼a este o functie olomorf¼a.
V.3. Serii Laurent
Vom studia în continuare un alt tip de serii de functii, speci�ce spatiului C; cese vor dovedi ulterior deosebit de importante în clasi�carea singularit¼atilor
izolate ale functiilor.
De�nitia V.11: 1) Se numeste serie Laurent o serie de forma:
1Xn=�1
an(z � z0)n; z0 2 C �xat, an 2 C;8n 2 N; (6)
unde prin sumarea de la �1 la +1 se întelege
1Xn=�1
an(z � z0)n =�1X
n=�1an(z � z0)n +
1Xn=0
an(z � z0)n
sau1X
n=�1an(z � z0)n =
1Xm=1
a�m(z � z0)�m +1Xn=0
an(z � z0)n:
Prima dintre cele dou¼a serii în care se descompune seria Laurent se numestepartea principal¼a, iar a doua se numeste partea analitic¼a (sau partea taylorian¼a)a seriei Laurent.2) O serie Laurent se numeste convergent¼a dac¼a atât partea principal¼a, cât
si partea sa taylorian¼a sunt convergente.
43
Pentru o serie Laurent ne vor interesa aceleasi probleme ca în cazul seriilorde puteri: structura multimii de convergent¼a, tipul de convergent¼a a seriei sipropriet¼atiile functiei sum¼a.
Teorema V.11: Multimea de convergent¼a pentru o serie Laurent1P
n=�1an(z�
z0)n este o coroan¼a circular¼a centrat¼a în z0:
D(z0; r1; r2) = fz 2 C j r1 < jz � z0j < r2g; 0 < r1 < r2:
Convergenta este absolut¼a si uniform¼a pe compactele din D(z0; r1; r2), iarsuma seriei este olomorf¼a.
V.4. Functii olomorfe pe multimi deschise
În continuare vom urm¼ari s¼a studiem problema reciproc¼a: în ce conditii ofunctie complex¼a se poate dezvolta în serie Taylor sau Laurent?Abord¼am mai întâi cazul seriilor Taylor.Dat¼a o functie f : D � C ! C; unde D este un deschis, ne întreb¼am ce
proprietate a lui f asigur¼a analiticitatea sa (adic¼a posibilitatea de a se dezvoltaîn serie de puteri în jurul �ec¼arui punct z0 2 D) :
f(z) =1Xn=0
an(z � z0)n; 8 z 2 D(z0; r):
De asemenea, ne întreb¼am ce relatie exist¼a între coe�cientii an si functia f, dar si cum s¼a g¼asim raza de convergent¼a r f¼ar¼a (eventual) a face dezvoltarealui f în serie de puteri. R¼aspunsul este dat de urm¼atoarea teorem¼a:
Teorema V.12 (analiticitatea functiilor olomorfe): Dac¼a f : D � C!C este olomorf¼a, iar D un deschis, atunci f este analitic¼a, anumepentru orice z0 2 D exist¼a r = d(z0; F r D) astfel încât 8 z 2 D(z0; r) are
loc dezvoltarea:
f(z) =
1Xn=0
f (n) (z0)
n!(z � z0)n:
Observatia V.7: Teoremele V.10 si V.12 ne spun c¼a, în cazul complex,functiile derivabile si cele analitice coincid (în R, functiile analitice nu sunt totuna cu functiile derivabile, nici m¼acar cu cele de clas¼a C1).
Exemplul V.3:: S¼a dezvolt¼am în serie de puteri în jurul originii functiileelementere:
I. f : C! C; f(z) = ez: Stabilim întâi multimea de convergent¼a:z0 = 0) r = d(0; F rC) = +1:
44
Apoi an =f(n)(0)n! = 1
n! (f (n)(z) = ez;8n 2 N): Atunci
ez =1Xn=0
1
n!� zn;8 z 2 C:
II. f : C n [�1;�1]! C; f (z) = ln (1 + z) :Raza de convergent¼a este r = d (0; [�1;�1]) = 1; deci dezvoltarea va avea
loc în D(0; 1):Derivatele succesive ale logaritmului sunt
f 0 (z) = 11+z ; f
00(z) = � (1 + z)�2 ; f 000 (z) = 1 � 2 � (1 + z)�3 ; ::::;f (n) (z) = (�1)n�1 (n� 1)! (1 + z)�n ; :::;de unde a0 = 0; a1 = 1; a2 = � 1
2 ; a3 =13 ; ::: ; an = (�1)
n�1 1n ; ::: .
Deducem c¼a dezvoltarea în serie Taylor a lui f este
ln(1 + z) =1Xn=0
(�1)n�1 1n� zn;8 z 2 D (0; 1) :
III. f; g : C! C; f (z) = sin z; g (z) = cos z:Dezvoltarea are loc pentru ambele functii în tot planul complex.Calcul¼am derivatele functiei f :
f 0 (z) = cos z; f 00 (z) = � sin z; f 000 (z) = � cos z; f IV (z) = sin z si apoiderivatele se repet¼a din patru în patru; urmeaz¼a c¼a
a4k = 0; a4k+1 =1
(4k+1)! ; a4k+2 = 0; a4k+3 = �1
(4k+3)! ; k 2 Z si dezvoltareaîn serie de puteri a functiei f este
sin z =1Xn=0
(�1)n 1
(2n+ 1)!� z2n+1;8 z 2 C:
În mod similar pentru g derivatele se repet¼a din patru în patru si va avealoc dezvoltarea
cos z =1Xn=0
(�1)n 1
(2n)!� z2n;8 z 2 C:
V.5. Functii olomorfe într-o coroan¼a circular¼a
Putem formula acum problema reciproc¼a pentru dezvolt¼ari Laurent: dat¼a ofunctie pe o coroan¼a circular¼a D(z0; r1; r2);s¼a g¼asim conditii care s¼a ne asiguredezvoltarea ei în serie Laurent dup¼a puterile (pozitive si negative) ale lui (z�z0):Teorema V.13: Dac¼a f : D(z0; r1; r2) ! C este olomorf¼a, atunci f se
poate dezvolta în serie Laurent dup¼a puterile lui z � z0:De�nitia V.12: Se numeste disc punctat coroana circular¼a D(z0; 0; r); cu
r > 0:
45
Observatia V.8: Seriile de puteri sunt în leg¼atur¼a cu discurile si functiileolomorfe pe disc, iar seriile Laurent sunt asociate coroanelor circulare si functi-ilor olomorfe în coroane circulare . Mai exact pentru D o multime deschis¼a si
z0 2 D; dac¼a f : D � C ! C este olomorf¼a, atunci f se dezvolt¼a în seriede puteri în jurul lui z0 pe un disc D(z0; r); iar dac¼a f : D nfz0g ! C esteolomorf¼a, atunci f este dezvoltabil¼a în serie Laurent în jurul lui z0 pe disculpunctat D(z0; r)nfz0g = D(z0; 0; r):
46
Capitolul al VI-leaReziduuri
VI.1. Singularit¼ati izolate.
De�nitia VI.1: Se numeste punct singular izolat pentru o functie f un
punct z0 dintr-o multime deschis¼a D � C astfel încât f : D nfz0g ! C esteolomorf¼a.Observatia VI.1: Dac¼a z0 este un punct izolat singular pentru f; rezult¼a
c¼a f admite dezvoltare Laurent pe discul punctat 0 < jz � z0j < r :
f(z) =1Xn=0
an(z � z0)n +1Xn=1
a�n(z � z0)�n:
În functie de felul cum se prezint¼a partea principal¼a din aceast¼a dezvoltare,putem avea urm¼atoarele tipuri de singularit¼ati izolate:De�nitia VI.2:1. z0 este punct singular aparent dac¼a partea principal¼a în dezvoltarea de
mai sus lipseste:a�n = 0; 8n � �1:
2. z0 este pol (de ordin n0) dac¼a partea principal¼a este o sum¼a �nit¼a:
9 n0 � 1 încât a�n0 6= 0, iar a�n = 0; 8 n > n0:
3. z0 este singularitate esential¼a dac¼a partea principal¼a este o serie efectiv¼a(multimea coe�cientilor nenuli din partea principal¼a este in�nit¼a):
cardfn 2 N�; a�n 6= 0g = �o:
Exemplul VI.1:
f(z) =ez � 1z
; z 2 C n f0g este functie olomorf¼a.
Se observ¼a c¼a punctul z0 sete singulsritate izolat¼a pentru functia f:
ez =1Xn=0
zn
n!) f(z) =
1
z�1Xn=1
zn
n!=
1Xm=0
zm
(m+ 1)!; care este serie de puteri efectiv¼a,
de unde rezult¼a c¼a z0 = 0 este singularitate aparent¼a.Exemplul VI.2:
f(z) =1
zn; z 2 Cnf0g
este gata dezvoltat¼a în serie Laurent în jurul punctului singular izolat z0 = 0 cupartea taylorian¼a 0, iar partea principal¼a 1
zn , de unde rezult¼a c¼a z0 = 0 este polde ordin n:
47
Exemplul VI.3:
f(z) = sin1
z; z 2 C n f0g;
având singularitatea izolat¼a z0 = 0:Folosind dezvoltarea functiei sinw în serie de puteri, f¼acând w = 1
z avem:
f(z) =1Xn=0
(�1)n(2n+ 1)!
�1
z
�2n+1având partea principal¼a chiar seria
1Xn=0
(�1)n(2n+ 1)!
1
z2n+1; de unde rezult¼a c¼a z0 = 0 este singularitate esential¼a.
Pentru o functie f : D n fz0g ! C olomorf¼a urm¼arim în continuare s¼a carac-teriz¼am tipurile de singularit¼ati izolate cu ajutorul limitei functiei f în punctulz0. Un prim rezultat, referitor la singularit¼ati aparente, este:
Teorema VI.1 (teorema de caracterizare a singularit¼atilor aparente):Fie f : D n fz0g ! C olomorf¼a, unde D � C este un deschis si z0 2 D: Atunciau loc echivalentele:1. z0 este singularitate aparent¼a;2. 9 lim
z!z0f(z) 2 C;
3. f este m¼arginit¼a într-o vecin¼atate V (z0) n fz0g;4. (caracterizarea lui Riemann) 9 lim
z!z0(z � z0) � f(z) = 0:
De�nitia VI.3: O functie g are un zerou de ordin n în z0 dac¼a exist¼a ofunctie olomorf¼a g1 având acelasi domeniu de de�nitie ca g încât g1(z0) 6= 0 sig(z) = (z � z0)n � g1(z) pe o vecin¼atate a lui z0.
Teorema VI.2: Fie f : D n fz0g ! C olomorf¼a, unde D � C un deschis siz0 2 D: Urm¼atoarele a�rmatii sunt echivalente:1. z0 este pol de ordin n pentru f ;2. Functia (z � z0)nf(z) are în z0 singularitate aparent¼a, culimz!z0
(z � z0)nf(z) 2 C n f0g3. Functia 1
f are în z0 un zerou de ordin n:
Teorema VI.3 (teorema de caracterizare a polilor): Fie f : D n fz0g !C olomorf¼a, unde D � C este multime deschis¼a si z0 2 D:
f are în z0 pol dac¼a si numai dac¼a 9 limz!z0
f(z) =1:
Exemplu VI.4: Fie f(z) = sin zz3 ; z 2 C n f0g; punctul z0 = 0 este singular-
itate izolat¼a pentru f: Pentru a stabili tipul singularit¼atii calcul¼amlimz!z0
f(z) = limz!0
sin zz � 1
z2 = 1; (deoarecesin zz ! 1 si 1
z2 ! 1 atunci când
z ! z0 ), deci z0 este pol.G¼asim ordinul polului: c¼aut¼am n 2 N� astfel încât 9 lim
z!z0(z � z0)f(z) 2
C n f0g:
48
limz!0
zn � sin zz3
= limz!0
zn�2 � sin zz
= 1 2 C n f0g pentru n = 2;
deci z0 = 0 este pol de ordin 2.
Teorema VI.4 (teorema de caracterizare a singularit¼atilor esentiale):Fie f : D n fz0g ! C olomorf¼a, unde D � C este deschis si z0 2 D: Urm¼a-
toarele a�rmatii sunt echivalente:1. f are în z0 singularitate esential¼a;2. Nu exist¼a lim
z!z0f(z) în C1;
3. Exist¼a dou¼a siruri (zn); (wn) � D n fz0g; cu zn; wn ! z0 încât f(zn) !A; f(wn)! B; iar A 6= B (A;B 2 C1):
VI.2. Reziduuri
De�nitia IV.4: Fie f : D n fz0g ! C olomorf¼a, unde D � C este deschissi z0 2 D: Atunci f admite pe un disc punctat 0 < jz � z0j < r o dezvoltareLaurent:
f(z) = :::+a�n
(z � z0)n+ :::+
a�1z � z0
+ a0 + a1(z � z0) + :::
Se numeste reziduul functiei f în z0 coe�cientul a�1 din aceast¼a dezvoltare.Vom nota a�1 = rez(f; z0):Motivarea notiunii: S¼a presupunem c¼a avem o curb¼a simpl¼a închis¼a ( ) �
D n fz0g încât z0 2 intD : AtunciZ
f(z)dz = :::+a�n
Z
dz
(z � z0)n+:::+a�1
Z
dz
z � z0+
Z
[a0 + a1(z � z0):::] dz:
Functia a0+ a1(z� z0) + ::: �ind olomorf¼a pe D(z0; r) � va avea integrala0 (conform teoremei fundamentale a lui Cauchy).Pentru n > 1; functia
1
(z � z0)n= (z � z0)�n are pe D n fz0g primitiva
(z � z0)�n+1�n+ 1 si deci
integrala sa pe curba închis¼a ( ) va � 0.Pentru n = 1 stim c¼a
R
dzz�z0 = 2�i (exemplul din paragraful III.2).
DeciR
f(z)dz = 2�i�a�1; ceea ce justi�c¼a interesul nostru pentru coe�cientul
a�1 dintre toti coe�cientii dezvolt¼arii.Metode de calcul a reziduurilor:I. Dac¼a z0 este singularitate aparent¼a pentru f; atunci (partea principal¼a
lipsind) avem:rez(f; z0) = 0:
49
II. a) Dac¼a z0 este pol pentru f , s¼a presupunem mai întâi c¼a z0 este pol deordin 1:
f(z) =a�1z � z0
+ a0 + a1(z � z0) + ::: ; pe 0 < jz � z0j < r:
) (z � z0)f(z) = a�1 + a0(z � z0) + :::;trecâd la limit¼a pentru z ! z0 în aceast¼a egalitate va rezulta c¼a
rez(f; z0) = a�1 = limz!z0
(z � z0)f(z):
Aplicatie: Fie f(z) = g(z)h(z) ; unde g; h : D � C! C olomorfe, z0 2 D încât
g(z0) 6= 0 si h(z0) = 0; h0(z0) 6= 0; h va avea în z0 un zerou de ordin 1 :
h(z) = (z � z0)h1(z) ; h1 olomorf¼a cu h1(z) 6= 0: Atunci
(z�z0)f(z) =g(z)
h1(z); functia
g
h1�ind olomorf¼a pe un disc D(z0; r);
g
h1(z0) 6= 0;
adic¼a f are în z0 un pol de ordin 1:
rez(f; z0) = limz!z0
(z � z0)f(z) = limz!z0
z � z0h(z)
� g(z) = g(z0)
h0(z0):
b) Dac¼a f are în z0 un pol de ordin n > 1; vom avea
(z � z0)nf(z) = a�n + a�n+1(z � z0) + :::+ a�1(z � z0)n�1 + a0(z � z0)n + :::;
derivând relatia succesiv de (n� 1) ori g¼asim:
[(z � z0)nf(z)](n�1) = (n� 1)!a�1 + n!a0(z � z0) + :::
obtinem rez(f; z0) = a�1 =1
(n� 1)! limz!z0[(z � z0)nf(z)](n�1):
III. Dac¼a z0 este singularitate esential¼a pentru f , neavând o formula decalcul pentru reziduu, modalitatea de a-l g¼asi este s¼a realiz¼am în jurul lui z0pentru f; pe un disc punctat, dezvoltarea Laurent.
50
VI.3. Teorema reziduurilor
Vom da în continuare rezultatul esential legat de calculul integralelor cur-bilinii pentru functii care au singularit¼ati izolate în interiorul domeniului deter-minat de curb¼a.
Teorema VI.5 (teorema reziduurilor): Fie f : D n fz1; :::; zng ! Colomorf¼a cu D � C multime deschis¼a si z1; :::; zn 2 D: Dac¼a � D n fz1; :::; zngeste o curb¼a simpl¼a închis¼a omotop¼a cu un punct în D; atunciZ
f(z)dz = 2�iX
zk2intD
rez(f; zk):
Figura VI.1
O extensie a acestei teoreme este asa numit¼a teorema a semireziduurilor:
Teorema VI.6 (teorema semireziduurilor): Fie un contur simpluînchis dintr-un domeniu D si f : Dn(fa1; a2; :::; amg [ fz1; z2; :::; zng) ! Co functie olomorf¼a, unde a1; a2; :::; am 2 intD sunt singularit¼ati izolate siz1; z2; :::; zn 2 sunt poli de ordin 1.i) Dac¼a adimte tangent¼a unic¼a în z1; z2; :::; zn; atunciZ
f(z)dz = 2�imXj=1
rez(f; aj) + �inXk=1
rez(f; zk):
51
ii) Dac¼a �k este unghiul dintre semitangente în zk la ; atunciZ
f(z)dz = 2�imXj=1
rez(f; aj) + inXk=1
(� � �k) rez(f; zk):
Figura VI.2
VI.4. Aplicatii ale teoremei reziduurilor în calculul unor integralereale
I. Ne propunem s¼a calcul¼am integrala
I =
2�Z0
R(cos t; sin t)dt;
unde R este o functie rational¼a al c¼arei numitor în cos t si sin t se anuleaz¼a.C¼aut¼am o curb¼a ( ) simpl¼a închis¼a (t) = x(t)+ iy(t) � C cu t 2 [0; 2�] si o
functie complex¼a f încât I s¼a se poat¼a exprima cu ajutorul integralei complexeR
f(z)dz:
O alegere convenabil¼a este cercul unitate (la fel de bine poate � luat oricealt cerc cu centrul în origine)
: jzj = 1, z = cos t+ i sin t; t 2 [0; 2�]:Cum �z = cos t� i sin t rezult¼a
cos t =z + �z
2; sin t =
z � �z2i
;
52
Înlocuim �z = jzj2z = 1
z si tinem cont c¼a dz = (� sin t+i cos t)dt = izdt; adic¼adt = dz
iz :Functia complex¼a de integrat va �
f(z) = R
�z + 1
z
2;z � 1
z
2i
�� 1iz:
Atunci, din teorema reziduurilor
I = 2�iXjzkj<1
rez
�R
�z + 1
z
2;z � 1
z
2i
�� 1iz; zk
�:
II. Fie R o functie rational¼a si vrem s¼a calcul¼am1R�1
eiax �R(x)dx: Pentru a
avea asigurat¼a convergenta la +1 si �1; conform criteriului de convergent¼a în� (vezi criteriile de convergent¼a a integralelor generalizate din functii pozitive);pentru R = P
Q va trebui s¼a presupunem c¼a:
În cazul a = 0; 1 + gradP < gradQ; adic¼a 2 + gradP � gradQ;În cazul a > 0; 1 + gradP � gradQ:Ne vom situa în prima ipotez¼a. În plus mai presupunem c¼a Q(x) 6= 0 8 x 2
R: Asigurati de convergenta integralei I =1R�1
eiax � R(x)dx avem c¼a I =
limr!1
rR�reiax � R(x)dx: Vom considera o curb¼a = 1 [ 2; unde 1 este seg-
mentul [�r; r] de pe axa real¼a; vom completa cu un semicerc 2 asa ca în�gura VI.3.
Figura VI.3
Functia pe care o alegem este f(z) = eiax �R(z):În toate exemplele, ideea general¼a este de a calcula, pentru o curb¼a si o
functie f convenabil alese,R
f(z)dz prin dou¼a metode: prin teorema rezidu-
urilor si prin teorema III.2, alegând o parametrizare a curbei ( ):Putem alege r > 0 su�cient de mare încât D s¼a contin¼a toate singularit¼atile
izolate ale lui f a�ate în semiplanul superior.
53
Cum R este functie rational¼a, singularit¼atile lui f vor � în num¼ar �nit ( vor� printre r¼ad¼acinile lui Q) si vor � poli (anulând numitorul, vor face ca limitafunctiei s¼a �e 1).Deci Z
f(z)dz = 2�iX
Im zk>0
rez(f; zk):
Parametrizând curba ( 1) avem z = t+ i � 0; t 2 [�r; r]; de unde dz = dt siR 1
f(z)dz =rR�rf(t)dt:
Ar¼at¼am c¼a limr!1
R 2
f(z)dz = 0 :
������Z 2
f(z)dz
������ � l( 2) � supz2 2
jf(z)j � �r � supz2 2
��eiaz�� � jR(z)j��eiaz�� = ��eiax�ay�� = e�ay � 1 pentru y = Im z > 0:
Rezult¼a ������Z 2
f(z)dz
������ � �r � supjzj=r
jR(z)j � �r � Mr2
r!1! 0:
Obtinem, prin trecere la limit¼a pentru r !1;
limr!1
Z
f(z)dz =
1Z�1
f(x)dx; adic¼a I = 2�iX
Im zk>0
rez(f; zk):
III. S¼a calcul¼am integrala real¼a generalizat¼a I =0R
�1R(x)dx; unde R este o
functie rational¼a R(x) = P (x)Q(x) cu Q(x) 6= 0 pentru x � 0:
Pentru a avea asigurat¼a convergenta la �1; conform criteriului în �, vomcere ca 2 + gradP � gradQ: Vom integra functia complex¼a f(z) = R(z) � ln zpe curba din �gura VI.4, ocolind partea de pe semiaxa real¼a negativ¼a prinsegmentele I1 si I2 paralele cu aceasta.
54
Figura VI.4
AvemZ
f(z)dz =
ZC(0;r)
f(z)dz +
ZI1
f(z)dz �Z
C(0;�)
f(z)dz �ZI2
f(z)dz: (1)
Parametriz¼am segmentele I1; I2 :I1 : z = x+ i"; x 2 [�r;��]; dz = dxI2 : z = x� i"; x 2 [�r;��]; dz = dxAtunci
ZI1
f(z)dz �ZI2
f(z)dz =
��Z�r
[R(x+ i") ln(x+ i")�R(x� i") ln(x� i")] dx
Pentru a calcula ln z pe cele dou¼a segmente observ¼am c¼a argumentul s¼audinspre semiplanul superior este �; iar dinspre semiplanul inferior este ��:
55
Explicit¼am logaritmul complex pe I1; I2:
ln(x+ i") = lnpx2 + "2 + i arg(x+ i") !
"!0ln jxj+ i�;
ln(x� i") = lnpx2 + "2 + i arg(x� i") !
"!0lnx� �i:
Atunci
ZI1
f(z)dz �ZI2
f(z)dz = 2�i
��Z�r
R(x)dxr!1!�!0
2�i �0Z
�1
R(x)dx: (2)
Integralele pe cele dou¼a cercuri tind la 0:�������Z
C(0;r)
f(z)dz
������� � 2�r � supjzj=rjR(z)j � jln zj � 2�r � sup
jzj=rjR(z)j � jln jzj+ i arg zj �
� 2�r � Mr2� (jln rj+ �) r!1! 0
�������Z
C(0;�)
f(z)dz
������� � 2�� � supjzj=�jR(z)j � (jln jzjj+ jarg zj) �
� 2�� �M � (� ln � + �) �!0! 0:
Pentru r > 0 su�cient de mare si "; � > 0 mici toate r¼ad¼acinile numitorului(adic¼a singularit¼atile lui f) s¼a se g¼aseasc¼a în intD :Aplicând teorema reziduurilor pe g¼asimZ
f(z)dz = 2�iX
zk2intD
rez(f; zk): (3)
Combinând acest rezultatele din (1) ; (2) si (3) deducem
limr!1;"!0;�!0
Z
f(z)dz ! 2�iI; de unde I =Xzk2C
rez(f; zk):
IV. S¼a calcul¼am integrala real¼a generalizat¼a I =1R0
R(x)dx; unde R este o
functie rational¼a R(x) = P (x)Q(x) cu Q(x) 6= 0 pentru x � 0:
Pentru a avea asigurat¼a convergenta la +1 vom presupune 2 + gradP �gradQ:Curba pe care o vom alege este cea din �gura VI.5 , iar functia de integrat
f(z) = R(z) � ln z;
56
Figura VI.5
unde vom presupune pentru functia ln c¼a argumentul ia valori în (0; 2�](deci z 2 C n [0;+1); ln z = ln jzj+ i arg z):Observ¼am c¼a pe semiaxa pozitiv¼a Ox, dinspre semiplanul superior argumen-
tul este 0, iar dinspre semiplanul inferior argumentul este 2�:Putem alege r > 0 su�cient de mare si "; � > 0 su�cient de mici încât toate
r¼ad¼acinile lui Q (adic¼a singularit¼atile lui f) s¼a se g¼aseasc¼a în intD :Atunci Z
f(z)dz = 2�iX
zk2intD
rez(f; zk):
Pe de alta parteZ
f(z)dz =
ZC(0;r)
f(z)dz +
ZI1
f(z)dz �Z
C(0;�)
f(z)dz �ZI2
f(z)dz:
Parametriz¼am I1 si I2 similar ca în cazul III anterior:I1 : z = x+ i"; x 2 [�; r]; dz = dx
57
I2 : z = x� i"; x 2 [�; r]; dz = dx si g¼asim
ln(x+ i") = lnpx2 + "2 + i arg(x+ i") !
"!0ln jxj+ i0 = lnx
ln(x� i") = lnpx2 + "2 + i arg(x� i") !
"!0lnx+ 2�i:
AtunciZI1
f(z)dz �ZI2
f(z)dz = �2�irZ�
R(x)dxr!1!�!0
�2�i �1Z0
R(x)dx:
Analog ca în cazul III,
����� RC(0;r)
f(z)dz
����� � 2�r � Mr2 � (jln rj+ 2�)r!1! 0 si����� R
C(0;�)
f(z)dz
����� � 2�� �M � (� ln � + 2�) �!0! 0:
Atunci1Z0
R(x)dx = �X
zk2intD
rez(f; zk):
V. S¼a presupunem acum c¼a dorim s¼a calcul¼am integrala real¼a I =1R0
R(x) lnxdx;
unde R este o functie rational¼a R(x) = P (x)Q(x) cu Q(x) 6= 0 pentru x � 0:
Pentru a avea asigurat¼a convergenta la +1 vom presupune din nou c¼a 2 +gradP � gradQ:Curba pe care o vom alege este tot cea din �gura VI.5 , iar functia de integrat
f(z) = R(z) � ln2 z:Facem aceeasi conventie ca la cazul IV si anume c¼a functia argument ia valori
în (0; 2�] (deci ln z = ln jzj+ i arg z; z 2 C n [0;+1) ):AvemZ
f(z)dz =
ZC(0;r)
f(z)dz +
ZI1
f(z)dz �Z
C(0;�)
f(z)dz �ZI2
f(z)dz:
Utilizând calculul f¼acut în exemplul precedent avem c¼a
����� RC(0;r)
f(z)dz
����� r!1! 0
si
����� RC(0;�)
f(z)dz
����� �!0! 0:
Dar
ln2(x+ i") !"!0
(lnx+ i0)2 = ln2 x;
ln2(x� i") !"!0
(lnx+ 2�i)2;
58
de undeZI1
f(z)dz �ZI2
f(z)dz = �2�irZ�
R(x) lnxdx+ 4�2rZ�
R(x)dxr!1!�!0
r!1!�!0
�2�i1Z�
R(x) lnxdx+ 4�2 �1Z0
R(x)dx:
Aceasta âmpreun¼a cu teorema reziduurilorZ
f(z)dz = 2�iX
zk2intD
rez(f; zk):
ne conduce la relatia
Xzk2intD
rez(f; zk) = �1Z�
R(x) lnxdx� 2�i �1Z0
R(x)dx:
Identi�când p¼artile reale din cele doi membri g¼asim
1Z�
R(x) lnxdx = �Re[X
zk2intD
rez(f; zk)]:
59