Upload
mr-wincool
View
373
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
1/31
1 GALAT DALAMKOMPUTASINUMERIK
i dalam praktek sehari-hari, misalnya dalam bidang teknik danbisnis, sering terdapat kasus gagalnya pencarian penyelesaian ek-sak suatu masalah matematika. Hal ini utamanya bukan dise-
babkan oleh cara mencari penyelesaian yang tidak diketahui, namunkarena adanya kenyataan bahwa penyelesaian yang diinginkan tidak da-pat dinyatakan secara elementer atau adanya fungsi-fungsi lain yang su-dah diketahui. Oleh karena itu komputasi numerik menjadi sangat pen-ting, khususnya dalam kaitannya dengan meningkatnya peranan metode-metode matematika dalam berbagai bidang sains dan teknologi sertahadirnya teknologi pendukung berupa komputer berkemampuan tinggi.
Komputasi numerik merupakan suatu pendekatan penyelesaian Pengertian komputasinumerik dan metode
numerikmasalah matematika dengan menggunakan beberapa metode numerik.Metode numerik adalah suatu metode untuk menyelesaikan masalah-masalah matematika dengan menggunakan sekumpulan operasi aritme-tika sederhana dan operasi logika pada sekumpulan bilangan atau datanumerik yang diberikan. Operasi-operasi tersebut biasanya merupakanoperasi-operasi yang dapat dilakukan oleh komputer. Metode kom-putasi yang digunakan disebut algoritma. Tergantung pada kekom-plekan masalah yang harus diselesaikan, tingkat keakuratan yang di-inginkan, metode yang dipakai, dan seterusnya, proses penyelesaianmungkin memerlukan beberapa puluh sampai jutaan operasi. Apabila
banyaknya operasi hitung yang diperlukan hanya beberapa puluh, maka
seseorang dapat menyelesaikan masalahnya secara manual atau menggu-nakan kalkulator. Akan tetapi jika penyelesaian suatu masalah memer-lukan jutaan operasi hitung, maka pemakaian komputer berkecepatantinggi merupakan kebutuhan yang tidak dapat dihindari. Di sinilahkemajuan teknologi komputer memegang peranan penting dalam kom-putasi numerik. Meskipun demikian, pemilihan metode yang efisien(memerlukan sesedikit mungkin operasi hitung) merupakan aspek lainyang menjadi perhatian dalam komputasi numerik. Hal ini akan se-
1
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
2/31
2 Bab 1. Galat dalam Komputasi Numerik
makin terasa di dalam menyelesaikan masalah-masalah berskala besar,yang melibatkan ribuan variabel misalnya.
CONTOH1.1.
Hitunglah
sampai empat angka desimal.
Penyelesaian:
Terdapat lebih daripada satu algoritma, yang hanya menggunakan empat operasiaritmetika dasar (penjumlahan/pengurangan dan perkalian/pembagian). Salahsatunya, yang cukup populer, adalahSuatu algoritma untuk
menghitung
dengan hanyamenggunakan operasiperkalian, pembagian
dan penjumlahan
untuk
Dengan menggunakan algoritma di atas kita peroleh, untuk
,
atau, dalam bentuk pecahan desimal
Jadi, hampiran sampai empat angka desimal untuk
adalah 1.4142.
Berikut adalah contoh pemakaian komputer (dalam hal ini denganmenggunakan program MATLAB) untuk menyelesaikan masalah di atas.Anda dapat mengubah batas nilai
untuk mendapatkan tingkat keaku-ratan yang diinginkan.Program MATLAB
untuk menghitunghampiran
>>x=1;e=1;
>>while e>0.00001,y=x;x=(y+2/y)/2
e=abs(x-y);
end
x =
1.5
x =
1.4166667
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
3/31
4 Bab 1. Galat dalam Komputasi Numerik
rapa parameter masukan. Efek galat data awal dapat diestimasikan de-ngan menggunakan cara-cara sederhana, misalnya dengan menggunakanvariasi data awal dalam batas-batas galatnya dan dengan menetapkan pe-nyelesaiannya. Apabila terdapat beberapa data awal yang memiliki galatyang sifatnya alami, maka pemakaian metode statistika akan bermanfaat.Dalam beberapa kasus, galat bawaan dapat dianggap sebagai galat suatufungsi yang diakibatkan oleh galat argumen (masukannya).
Dalam kebanyakan kasus, metode-metode numerik merupakanhampiran, sehingga sekalipun data awalnya tidak mengandung galat
dan semua operasi aritmetika dilakukan secara ideal, metode-metodetersebut menghasilkan penyelesaian masalah semula yang memuat be-
berapa galat yang disebut galat metode (yang dipakai). Hal ini dise-babkan karena suatu metode numerik biasanya digunakan untuk menye-lesaikan beberapa masalah lain, yang lebih sederhana, sebagai hampiranmasalah asli. Dalam sejumlah kasus, metode numerik yang dipilih disu-sun berdasarkan pada proses tak berhingga, yang limitnya menuju pe-nyelesaian yang diinginkan.1 Akan tetapi, dalam kenyataannya tidakmungkin melakukan semua proses tersebut, sehingga prosesnya harus di-hentikan pada langkah tertentu dan hasilnya adalah suatu hampiran pe-nyelesaian.
Suatu metode numerik biasanya tergantung pada beberapa para-meter yang dapat dikendalikan. Beberapa contoh parameter demikianadalah banyaknya iterasi di dalam menyelesaikan sistem persamaan dan
banyaknya suku yang harus dihitung di dalam menjumlahkan suatuderet, dan lebar interval yang digunakan untuk menghitung hampiransuatu integral tentu. Galat suatu metode numerik atau estimasinya bi-asanya tergantung pada parameter yang sesuai. Estimasi galat yangdiperoleh mungkin dinyatakan dalam kuantintas-kuantitas yang dike-tahui. Dengan estimasi galat ini, nilai-nilai parameter yang menentukangalat metode tersebut berada dalam batas-batas yang diinginkan dapatditentukan. Akan tetapi, dalam kebanyakan kasus estimasi galat memuat
pengali-pengali konstanta yang tidak diketahui nilainya, dan parametermetode berbentuk suatu fungsi pangkat atau fungsi eksponensial. De-ngan estimasi galat demikian laju penurunan galat dapat diatur denganmengubah parameter metode. Laju penurunan galat merupakan karak-
1Sebagai contoh adalah perhitungan nilai suatu fungsi dengan menggunakan beberapa
suku pertama deret tak berhingga, seperti
, hanya dihitung suku pertama, sisanya diabaikan.
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
4/31
1.1 Sumber-sumber Galat 5
teristik penting suatu metode numerik.Galat yang paling rumit di dalam komputasi numerik adalah galat
pembulatan (round-off errors), yang diperoleh selama pemakaian operasi-operasi aritmetika. Apabila banyaknya operasi yang dilakukan tidak
besar, maka galat-galat pembulatan dalam kalkulasi manual dapat di-hitung dengan rumus-rumus perambatan galat yang akan dibahas di
belakang. Terdapat dua situasi yang mungkin terjadi dalam penyele-saian suatu masalah numerik dengan komputer. Pertama, jika banyaknyaoperasi aritmetika yang dilakukan sedikit, maka galat-galat pembulatan
mungkin dapat diabaikan, karena komputer menggunakan sepuluh ataulebih angka desimal signifikan, sementara hasil akhir biasanya diambilsampai lima angka signifikan. Kedua, jika masalah yang harus disele-saikan cukup rumit (misalnya masalah persamaan diferensial parsial),dan proses perhitungan hampiran penyelesaian yang diinginkan memer-lukan, katakan
operasi aritmetika, maka tidaklah realistik dalam halini untuk menghitung efek galat pembulatan pada setiap operasi. Dalamkasus seperti ini galat pembulatan dapat dikatakan bersifat acak. Na-mun, bagaimanapun juga galat pembulatan tidak dapat diabaikan dalammenyelesaikan masalah-masalah numerik yang rumit.
Suatu masalah numerik mungkin dapat diselesaikan dengan bebe-
rapa metode hampiran yang berbeda. Sensitivitas galat pembulatan padadasarnya tergantung pada metode numerik yang dipilih. Suatu metodenumerik dianggap berhasil jika galat yang diberikan merupakan pecahandari galat bawaan, dan galat karena pembulatan, disebut galat kom-putasi, lebih kecil daripada galat metode. Apabila tidak ada galat bawaan,maka galat metode haruslah kurang daripada tingkat keakuratan yangdiberikan.
Selain persyaratan tingkat keakuratan, metode numerik yang dipi-lih juga harus memenuhi sejumlah persyaratan lain. Utamanya, metodetersebut menggunakan seminimum mungkin operasi, memerlukan lebihsedikit unit penyimpanan (memori) pada komputer, dan akhirnya, se-
cara logika lebih sederhana, sehingga lebih cepat dijalankan oleh kom-puter. Sejumlah syarat yang diberikan mungkin saling menjadi kendala,sehingga pemilihan metode numerik boleh jadi memerlukan suatu kom-promi. Suatu algoritma yang menghasilkan galat kumulatif yang ter-
batas, sehingga hampiran yang diperoleh memenuhi tingkat keakuratantertentu, disebut algoritma stabil. Algoritma yang menghasilkan galat ku-mulatif yang merusak hampiran penyelesaian yang diperoleh, sehingga
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
5/31
1.2 Penyajian Bilangan 7
Dalam sistem biner, basis perpangkatan adalah 2, sebagai pengganti basis10 dalam sistem desimal. Jadi, bilangan 1454 dalam sistem biner dinyata-kan sebagai
Catatan:
Indeks dua atau 2 digunakan untuk membedakan denganpenulisan sistem desimal, sehingga 110 berarti seratus sepuluh, se-dangkan
dan
berarti enam.
Fungsi MATLAB dec2bin dapat digunakan untuk mendapatkanrepresentasi dalam sistem biner suatu bilangan bulat positif
.
>>dec2bin(1454)
ans =
10110101110
>>dec2bin(1563)
ans =
11000011011
Secara umum, jika
bilangan bulat positif yang dapat dinyatakandalam ekspansi berbasis pangkat dua sebagai Nilai tempat dalam
sistem biner
dengan
, maka dalam sistem biner
dapat dinyatakan sebagai
Jika diketahui bilangan bulat positif
(dalam bentuk desimal), makabentuk binernya dapat dicari dengan menggunakan algoritma sebagai
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
6/31
8 Bab 1. Galat dalam Komputasi Numerik
berikut
...
(
=0)
(1.1)
dengan
. Selanjutnya, dalam sistem biner
dapat dinyatakanAlgoritma untukmengubah bilangandesimal ke bilangan
binersebagai
CONTOH1.2.
Dengan menggunakan algoritma 1.1, diterapkan pada , didapatkan
sehingga
, seperti contoh sebelumnya.
1.2.2 Sistem Heksadesimal
Dalam sistem heksadesimal digunakan basis perpangkatan 16 dan semuabilangan dinyatakan dengan menggunakan maksimum 16 digit yang ber-beda, yang biasanya dinyatakan sebagai
dengan
,
,
,
,
, dan
.Sebagai contoh,
Algoritma untuk mengubah bilangan desimal ke bilangan heksade-simal analog dengan algoritma untuk mengubah bilangan desimal ke bi-langan biner. Dalam hal ini digunakan pembagi 16.
Sistem heksadesimal memiliki hubungan erat dengan sistem biner.Konversi bilangan biner ke bilangan heksadesimal dan sebaliknya dapat
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
7/31
1.2 Penyajian Bilangan 9
dilakukan secara mudah. Untuk mengkonversi bilangan heksadesimal kebilangan biner, ganti setiap digit dengan representasi binernya. Sebagaicontoh,
karena
Sebaliknya, untuk mengubah bilangan biner ke bilangan heksadesi-
mal, kelompokkan setiap empat bit dari kanan ke kiri, dan ganti setiapempat bit tersebut dengan nilai heksadesimalnya. Sebagai contoh,
karena
1.2.3 Bilangan Pecahan dan Deret
Dalam komputasi numerik, nilai-nilai pecahan dinyatakan dalam bentukdesimal. Setiap bilangan pecahan rasional
,
, dinyatakan sebagaipecahan desimal yang terdiri atas berhingga digit atau tak berhingga digit
berulang. Berikut adalah beberapa contoh
Ekspansi desimal pecahan
memuat tak berhingga digit 3 secara
berulang, sedangkan ekspansi desimal pecahan memuat beberapadigit yang diulang tak berhingga kali, yakni 142857. Apabila ekspansidesimal ditulis hanya sampai beberapa digit berhingga, maka digit-digitterakhir yang berulang diberi garis atas. Dalam contoh ekspansi
di atas
artinya digit 3 berulang tak berhingga kali, sedangkan pada
,
artinya 142857 berulang tak berhingga kali. Notasi tersebutberlaku juga untuk ekspansi pecahan biner (akan dijelaskan nanti).
Dalam praktek kita hanya mengambil beberapa digit untuk meng-
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
8/31
1.2 Penyajian Bilangan 11
1. Perhatikan bahwa
.
Oleh karena itu, dalam sistem biner
.
2. Perhatikan deret geometri yang konvergen ke nilai :
Jadi, dalam sistem biner
dinyatakan sebagai
Dari contoh di atas, ternyata pecahan biner juga dapat memuat takberhingga digit berulang. Cara menyingkat digit-digit yang berulangsama dengan cara penulisan pada sistem desimal, yakni dengan memberigaris di atas digit-digit yang berulang.
Algoritma berikut dapat digunakan untuk mencari penyajian binersuatu pecahan
. Algoritma untukmengubah pecahandesimal ke pecahan
biner
... ...
...
......
...
(1.2)
dengan
adalah bagian bulat
dan
adalah bagian pecahan . Proses tersebut mungkin berhenti setelah langkah ke- (jika didapat-kan
), mungkin berlanjut terus. Selanjutnya, representasi biner
adalah
CONTOH1.4.Nyatakan pecahan
dalam bentuk pecahan biner!
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
9/31
1.2 Penyajian Bilangan 13
biner dengan perpangkatan 2 akan menggeser titik (koma) pemisahbagian bulat dan bagian pecahan. Misalnya,
Aturan pergeseran titik tersebut benar, karena memang
.(Silakan diperiksa!)
1.2.5 Notasi Ilmiah (Scientific Notation)
Cara baku untuk menyajikan bilangan riil, disebut notasi ilmiah(scientificnotation), dapat dinyatakan dalam bentuk Notasi Ilmiah
(Scientific Notation)
dengan
. Bilangan
disebutmantisdan disebuteksponen.Berikut adalah contoh-contoh penyajian bilangan dengan notasi ilmiah.
1.
2.
3.
4.
(bilangan Avogadro dalam kimia)
5.
(pengertian kilo dalam ilmu komputer)
6.
(konstanta dielektrik)
7.
(permiabilitas).
1.2.6 Titik-Mengambang Normal (Normalized Floating-Point)
Misalkan
adalah suatu bilangan desimal bukan nol. Kita dapat menya-takan
dalam bentuk
(1.3)
dengan
atau
, dan
. Besaran
,
, dan
berturut-turut disebut tanda,mantis, daneksponenatau pangkat. Seba-gai contoh,
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
10/31
1.2 Penyajian Bilangan 15
bit pangkat, bernilai
, dan sebuah bit tanda. Skemapenyajian titik-mengambang ini dijelaskan pada Gambar 1.1.
pangkat (
)
mantis (
)
Gambar 1.1: Alokasi bit tanda (
), mantis (
) dan pangkat (
) pada komputerCDC dengan 60-bit titik-mengambang
2. Komputer DEC VAX menggunakan penyajian titik-mengambang 32-bit,seperti skema pada Gambar 1.2. Mantis terdiri atas 24 bit (bernilai
), pangkat terdiri atas 8 bit (bernilai
), dan satu bittanda. Oleh karena
, maka
Bit pertama 1 tidak disimpan secara eksplisit di dalam memori, hanya bit
,
, ..., dan
yang disimpan di dalam memori. Bit pertama 1 selaludisisipkan ke dalam penyajian tersebut setiap kali dilakukan operasi hitung
yang melibatkan .
pangkat (
)
mantis (
)
Gambar 1.2: Alokasi bit tanda ( ), mantis ( ) dan pangkat ( ) pada komputerDEC VAX dengan 32-bit titik-mengambang
3. Pada koprosesor aritmetika yang digunakan pada komputer-komputer
mikro, misalnya keluarga Intel 80X87 dan Motorola 6888X, digunakanAritmetika Titik-Mengambang IEEE Baku. Dalam standard ini, yangmerupakan notasi IEEE baku presisi tunggal, mantis dinormalkan se-hingga memenuhi
, menggunakan 24 bit, sebuah bit disem-
bunyikan seperti pada DEC VAX. Pangkat
memiliki nilai-nilai
. Dalam sistem ini terdapat penyajian untuk
, misal-
nya untuk menyatakan 1/0, dannan, yang berartibukan bilangan(nota number), misalnya untuk menyatakan 0/0.
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
11/31
1.2 Penyajian Bilangan 17
but adalah
, yakni bilangan yang memiliki mantis terbe-sar (
) dan eksponen terbesar (=+7). Jadi bilangan tersebutadalah
=
=
. Bilangan-
bilangan yang lebih besar daripada nilai tersebut tidak dapat disajikandengan notasi di atas, dan disebut nilaioverflow.
CONTOH1.8.Misalkan digunakan mantis
pada (1.4) yang memuat 32 bit. Dalam hal ini,
dapat dituliskan sebagai
. Nilai pecahan
oleh komputer tersebut disimpan sebagai hampiran
Galat hampiran tersebut sebesar
Jika komputer harus menghitung
hasilnya bukan 10000, melainkanhampirannya yang memiliki galatlebih besardaripada
. Silakan Anda coba sendiri dengan kalkulator 10digit untuk mendapatkan berapa besar galat yang sesungguhnya!
CONTOH1.9.
Perhatikan rumus untuk menghitung nilai
Jika dan cukup besar, maka mungkin menyebabkan overflow, sekalipun
nilai
berada dalam jangkauan titik-mengambang. Untuk menghindari hal inidapat digunakan rumus alternatif
Di sini, nilai di dalam tanda akar berbentuk
dengan
. Perhitungan
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
12/31
1.2 Penyajian Bilangan 19
bilangan-bilangan biner
Gunakan fungsi MATLAB dec2bin untuk mengecek hasil perhi-tungan Anda!
6. Konversikan pecahan-pecahan desimal di bawah ini ke dalampecahan-pecahan biner berbentuk
Cobalah Anda gunakan fungsi MATLAB dec2bin untuk mengu-bah pecahan-pecahan desimal tersebut ke dalam pecahan-pecahanbiner!
7. Gunakan algoritma yang dijelaskan pada persamaan (1.2) untuk me-nunjukkan bahwa
Tuliskan fungsi MATLAB dec2binp, yang mengimplementasikan al-goritma yang dijelaskan pada persamaan (1.2), untuk mengubah pe-cahan desimal ke pecahan biner. Gunakan fungsi tersebut untukmengerjakan soal-soal di atas!
8. Dengan mengubah pecahan biner ke dalam pecahan desimal, hi-tunglah galat hampiran-hampiran di bawah ini.
9. Misalkan
,
, ditulis dalam bentuk biner,
Jelaskan makna geometris koefisien-koefisien
,
,
, ...!
10. Samakah bilangan-bilangan biner
dan
? Je-laskan!
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
13/31
1.3 Galat Hampiran 21
Galat relatif pada nilai hampiran 1.414 untuk nilai
sekitar
sedangkan hampiran yang lebih kasar 1.41 mempunyai galat relatif 0.003.Hampiran lain yang cukup terkenal adalah
. Nilai
, sehingga
CONTOH1.11.
Tentukan galat dan galat relatif pada nilai-nilai hampiran di bawah ini jika nilaieksaknya diketahui:
1. Hampiran
untuk nilai eksak
.
2. Hampiran
untuk nilai eksak
.
3. Hampiran untuk nilai eksak .
Jawab:
1.
dan
.
2.
dan
.
3.
dan
.
Pada nomor 1, selisih
dan
tidak terlalu besar, sehingga masing-masing dapatdigunakan untuk menentukan tingkat keakuratan
. Pada nomor 2, nilai
cukupbesar. Sekalipun
relatif besar tetapi
kecil, sehingga
dapat dikatakan sebagaihampiran yang cukup baik untuk
. Pada nomor 3, nilai
terkecil dibandingdengan dan , meskipun galat
kecil, tetapi galat relatif
cukup besar, yakni25%. Jadi merupakan hampiran yang jelek untuk .
Perhatikan, dari ketiga contoh terakhir, jika
nilainya semakin jauhdari 1, baik semakin besar atau semakin kecil, galat relatif
merupakanindikator keakuratan hampiran
daripada galat
. Galat relatif lebihbanyak dipakai pada penyajian bilangan riil dengan titik-mengambang(floating-point representation), karena galat relatif berkaitan langsung de-ngan nilai mantis.
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
14/31
22 Bab 1. Galat dalam Komputasi Numerik
DEFINISI1.2 (ANGKA SIGNIFIKAN).Pengertian angka
signifikan
1. Misalkan suatu hampiran bilangan
dinyatakan sebagai
Jika
dan
untuk , maka digit-digit
,
dikatakan angka signifikan.
2. Suatu digit
dikatakanbenarjika
.
3. Misalkan
adalah nilai eksak. Hampiran
untuk
dikatakan mengham-piri
sampai
angka signifikan jika
adalah bilangan bulat positif terbesaryang memenuhi
CONTOH1.12.
1. Bilangan 25.047 memiliki 5 angka siginitkan.
2. Bilangan -0.00250 memiliki 3 angka signifikan, yakni 2, 5, 0.
3. Bilangan 0.000068 memiliki 2 angka signifikan, yakni 6 dan 8.
4. Bilangan 0.100068 memiliki 6 angka signifikan.
5. Jika dan , maka
.Jadi
menghampiri
sampai 3 angka signifikan.
6. Jika
dihampiri oleh
, maka
=
. Jadi, menghampiri sampai lima angka signifikan.
7. Jika
dihampiri oleh
, maka
=
. Jadi hampiran tidak memiliki angka signifikan.
Jika suatu nilai hampiran ditulis tanpa menyebutkan galat mut-laknya, maka hanya digit-digit yang benar yang ditulis. Dalam hal ini,digit nol di sebelah kanan tidak dihilangkan. Sebagai contoh, bilangan0.0344 dan 0.034400 adalah dua hampiran yang berbeda. Bilangan 0.0344memiliki galat mutlak tidak melebihi 0.0001, sedangkan bilangan 0.034400memiliki galat mutlak tidak lebih daripada
.
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
15/31
1.3 Galat Hampiran 23
Jika bagian bulat suatu bilangan hampiran memiliki lebih banyakangka signifikan daripada cacah digit benar, maka seyogyanya digu-nakan notasi normal, misalnya
. Dari notasi ini jelasbahwa
memiliki tiga angka signifikan. Dalam hal ini, notasi
tidak disarankan. Bilangan-bilangan hampiran sebelumnya ditulis seba-gai
dan
.Notasi yang sering digunakan untuk menuliskan suatu hampiran
adalah
yang berarti nilai
memenuhi ketidaksamaan
Di sini besaran
ditulis dengan cacah digit signifikan yang kurangdaripada cacah digit signifikan pada
. Sebagai contoh,
.
Perlu dibedakan antara cacah digit signifikan benar dan cacah digitbenar di sebelah kanan titik pecahan pada suatu nilai hampiran. Misal-
kan, hampiran
memiliki lima digit signifikan dan tiga digitbenar di sebelah kanan titik pecahan, sedangkan hampiran
memiliki tiga digit signifikan benar dan lima digit benar di sebelah kanantitik pecahan.
Jadi, galat mutlak suatu nilai hampiran seutuhnya ditentukan olehcacah digit benar di sebelah kanan titik pecahan, sedangkan galat relatif-nya ditentukan oleh cacah digit signifikan.
1.3.1 Galat Pembulatan (Rounding Off Error)
Pembulatan bilangan sering dilakukan di dalam proses komputasi. Pem-
bulatan artinya mengurangi cacah digit pada suatu nilai hampiran de-ngan cara membuang beberapa digit terakhir. Cara melakukan pembu-latan suatu nilai hampiran menggunakan aturan sebagai berikut. Aturan Pembulatan
Jika digit pertama yang dibuang kurang daripada 5, digit di depan-nya tidak berubah.
Jika digit pertama yang dibuang lebih atau sama dengan 5, makadigit di depannya ditambah 1 nilainya.
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
16/31
1.3 Galat Hampiran 25
dibulatkan sampai enam angka desimal
Galat hampiran tersebut sebesar
dan galat rela-tifnya senilai
. Jadi nilai hampiraan tersebut benarsampai 1 angka signifikan.
1.3.3 Pemangkasan dan Pembulatan
Perhatikan bahwa setiap bilangan riil
dapat dinyatakan dalam bentukdesimal normal:
dengan
untuk
(1.9)
Misalkan
adalah maksimum banyaknya digit desimal yang dipergu-
nakan oleh komputer untuk melakukan komputasi titik-mengambang.Dalam hal ini, bilangan
disajikan sebagai
, yang didefinisikansebagai penyajian
titik-mengambangterpangkas(chopped
floating-pointrepresentation)
dengan
untuk
(1.10)
Bentuk (1.10) disebut penyajian titik-mengambang terpangkas (choppedfloating-point representation)
. Dalam hal ini, digit ke-
pada
sama dengan digit ke-
pada
. Cara lain penyajian digit ke-
adalah seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, yakni penyajian titik-mengambang pembulatan(rounded floating-point), ditulis
, yangdidefinisikan sebagai titik mengambang
pembulatan(rounded
floating-point)
(1.11)
dengan
,
, untuk
dan digit
diperolehdari pembulatan
ke bilangan bulat terdekat, sebagaimanadijelaskan sebelumnya, pada aturan pembulatan.
Misalnya, bilangan riil
memiliki
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
17/31
26 Bab 1. Galat dalam Komputasi Numerik
penyajian enam digit dalam bentuk terpangkas
sedangkan pembulatannya adalah
Secara umum kita biasanya menuliskan keduanya sebagai 3.14285 dan3.14286.
CONTOH1.15.
Misalkan nilai
disajikan dengan menggunakan notasi titik-mengambangbiner normaldengan mantis yang disajikan dalam
bit sebagai
. Berapakahbatas-batas galat mutlak dan galat relatif
jika
1. digunakan pemangkasan mantis pada bit ke-(
), yakni bit ke-(
)dan di belakangnya dibuang?
2. digunakan pembulatan mantis sampai bit ke-
?
Jawab:
1. Pemangkasan mantis pada bit ke-( ) menghasilkan galat mutlak kurangatau sama dengan nilai tempat digit ke-
. Jadi,
Untuk menghitung galat relatif, kita ingat bahwa normalisasi mantis ber-arti nilai mantis tidak kurang dari
. Jadi,
Jika dimisalkan
, maka
, sehingga diperolehhubungan
dengan
. Hubungan di atas dapat dituliskan sebagai
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
18/31
1.3 Galat Hampiran 27
dengan
.
2. Galat pembulatan sampai
digit signifikan tidak lebih daripada nilai tem-pat digit satuan ke-
, atau separuh nilai tempat digit satuan ke-
.Jadi,
Galat relatifnya adalah
Jika dimisalkan
, maka diperoleh hubungan
dengan
.
Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa, pada penyajian titik-mengambang biner normal yang menggunakan mantis
-bit untuk bi-langan
, ditulis
, memenuhi Hubungan antara galatrelatif dan penyajian
titik-mengambang
dengan
pada pemangkasan
pada pembulatan.(1.12)
Oleh karena
kecil, maka hubungan (1.12) menyatakan bahwa
merupakanpertubasi(perubahan) kecil nilai
.Hubungan (1.12) dapat diperumum untuk sebarang sistem bilangan
basis
. Jika
adalah penyajian bilangan
dalam bentuk titik-mengambang basis
(
adalah suatu bilangan bulat genap) yang meng-gunakan
digit mantis, maka
dengan
pada pemangkasan
pada pembulatan.
(1.13)Penyajian bilangan titik-mengambang yang sudah dijelaskan se-
belumnya biasanya dikenal sebagai bilangan dengan presisi tunggal.Dalam beberapa bahasa pemrograman, misalnya Pascal dan FORTRAN,
bilangan-bilangan tersebut dikenal sebagai jenis REAL. Dalam melakukanbanyak perhitungan aritmetika dengan bilangan-bilangan berpresisi tung-
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
19/31
1.3 Galat Hampiran 29
buah bilangan yang nilainya hampir sama akan menyebabkan pengu-rangan angka signifikan. Fenomena ini disebutkehilangan signifikansi(loss of significance) atau pembatalan pengurangan (substractive cancella-tion). Di sinilah perlunya kehati-hatian di dalam komputasi numerik yang Pengurangan dua buah
bilangan yang hampirsama nilainya dapat
menyebabkanhilangnya beberapa
angka signifikan.
melibatkan pengurangan.
CONTOH1.17.Fungsi
dan
secara matema-tis sama. (Buktikan!). Hitunglah
dan
dengan menggunakan enam
digit dan pembulatan. Bandingkan hasilnya!Jawab:
Untuk fungsi
kita hitung
Untuk fungsi
kita hitung
Perhitungan dengan fungsi menghasilnya nilai yang lebih mendekati nilai sebe-
narnya, dan sama dengan hasil pembulatan sampai enam digit nilai yang sebe-narnya, yakni 11.174755300747198... . Mengapa terjadi demikian?
CONTOH1.18.Fungsi
, untuk
, dapat dideretkan ke dalam deretTaylor di sekitar
(Tunjukkan!)
Misalkan polinomial
digunakan sebagai hampiran fungsi
. Hitunglah
dan
dengan menggunakan enam digit dan pembu-latan. Bandingkan hasilnya!
Jawab:
Dengan menggunakan fungsi
:
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
20/31
1.3 Galat Hampiran 31
dengan
dan
adalah konstanta-konstanta positif. Jelaskanperbedaan model ini dengan model sebelumnya, dengan melihatperilaku
untuk
cukup besar. Berikan makna fisik konstanta
.
3. Hitunglah galat
dan galat relatif
dan banyaknya angka sig-nifikan pada masing-masing nilai hampiran.
(a) Nilai
dihampiri dengan
.(b) Nilai
dihampiri dengan
.
(c) Nilai
dihampiri dengan
.
(d) Nilai
dihampiri dengan
.
(e) Nilai
dihampiri dengan
.
4. Hitunglah hampiran integral
.Sebutkan jenis-jenis galat yang ada pada hampiran tersebut!Bandingkan hampiran yang Anda peroleh dengan nilai yang sebe-
narnya .
5. (a) Diberikan data
dan
, yang masing-masingmempunyai empat angka signifikan. Dengan menggunakanempat angka signifikan, hitunglah
dan
.
(b) Diberikan data
dan
, yang masing-masing memiliki lima angka signifikan. Hitunglah jumlah
dan hasil kali
dengan menggunakan lima angkasiginifikan.
6. Lengkapilah perhitungan-perhitungan di bawah ini dan sebutkanjenis-jenis galat yang ada.
(a)
.
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
21/31
1.4 Perambatan Galat 33
dan
adalah nilai-nilai eksak (yang tidak diketahui) dan
dan
berturut-turut adalah hampiran untuk
dan
sedemikian hingga
dan
. Galat
(1.14)
dengan
menyatakan salah satu operasi aritmetika +, -,
, atau
, disebutgalat rambatan. Galat rambatan suatu
operasi aritmetikaDalam praktek komputasi, nilai-nilai
dan
mungkin tidak dike-tahui. Hanya hampiran-hampirannya, yakni
dan
yang diketahui, se-hingga besar galat (1.14) tidak dapat diketahui secara eksak. Dalam hal iniperlu diketahui batas-batas galat
. Teknik untuk menentukan batas-batas
dikenal sebagaiaritmetika interval. Jika batas-batas dan
diketahui, maka dapat ditentukan sebuah interval yang memuat
.
CONTOH1.19.
Misalkan diberikan hampiran-hampiran
dan
yang memilikiangka signifikan sebagaimana ditunjukkan. Maka
,
, atau , .Untuk penjumlahan diperoleh , ,sehingga
, atau
.
Untuk pembagian diperoleh
sehingga
,atau
.
Cobalah Anda lanjutkan contoh di atas dengan menghitung interval-
interval yang memuat dan .Teknikaritmetika interval tersebut sangat berguna dan telah diim-
plementasikan pada beberapa komputer, baik secara hardware maupunsoftware. Akan tetapi, untuk perhitungan yang lebih luas, aritmetika in-terval harus diterapkan secara hati-hati karena jika tidak, dapat meng-hasilkan perkiraan galat yang jauh di luar galat sesungguhnya. Karenaalasan inilah, pada saat ini teknik tersebut belum digunakan secara luasdalam komputasi-komputasi praktis (Atkinson, 1993:49).
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
22/31
1.4 Perambatan Galat 35
1.4.1 Galat Penjumlahan dan Pengurangan
Dari hubungan antara nilai eksak, hampiran dan galat di atas,
Jadi, galat penjumlahan sama dengan jumlah galat suku-suku yang di-jumlahkan, atau dapat dituliskan
(1.17)
Galat relatif penjumlahan adalah
(1.18)
Untuk pengurangan,
Jadi, analog dengan penjumlahan, galat pengurangan sama dengan selisihgalat, atau dapat dituliskan
(1.19)
Galat relatif pengurangan adalah
(1.20)
Dari (1.20) dapat dipahami bahwa, apabila
maka galat relatifpengurangan kedua hampiran akan semakin besar. (Mengapa?) Akibat-nya adalah hilangnya beberapa angka signifikan pada hasil pengurangan.Hal ini persis seperti yang sudah dibahas sebelumnya.
CONTOH1.20.Misalkan nilai-nilai
digunakan sebagai hampiran untuk
dengan maksimum galat yang mungkin untuk masing-masinghampiran adalah
. Dengan kata lain,
untuk
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
23/31
1.4 Perambatan Galat 37
Jadi galat yang sesungguhnya adalah sekitar 0.017, lebih kecil daripada maksi-mum galatnya, 0.5.
Catatan:
Pemakaian MATLAB yang lebih cerdas/baik adalah tanpaloop, yakni
>> format long g
>> barisan=1:100;s1=sum(round(100*sqrt(barisan)))/100,
s2=sum(sqrt(barisan))s1 =
671.48
s2 =
671.462947103148
CONTOH1.22.
Hitunglah
dengan menggunakan tiga angka signifikan padamasing-masing akar. Bandingkan hasilnya dengan perhitungan menggunakanrumus kesamaan
Jawab:
Dengan perhitungan langsung,
Dengan menggunakan rumus ekivalennya,
Hasil kedua memberikan galat yang lebih kecil, karena nilai yang sesungguhnya(dengan menggunakan lebih banyak angka signifikan), adalah 0.0644603.
Bagaimanakah batas galat penjumlahan dua buah bilangan titik-mengambang biner normal? Misalkan
dan
dengan
. Untuk menjumlahkan
dan
, bit-bit mantis
harusdigeser
tempat ke kanan (untuk meratakan titik pecahan biner).
Kedua mantis kemudian dijumlahkan dan dibulatkan. Terdapat dua ke-mungkinan hasil penjumlahan tersebut.
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
24/31
1.4 Perambatan Galat 39
latan pengurangan dua buah bilangan titik-mengambang biner normal.
1.4.2 Galat Perkalian dan Pembagian
Perambatan galat pada perkalian dan pembagian lebih rumit daripadayang terjadi pada penjumlahan dan pengurangan. Hasil kali
dan
adalah
Jadi, galat hasil kali
dan
adalah
(1.22)
Apabila harga mutlak
dan
lebih besar daripada satu, maka suku-suku
dan
menunjukkan adanya kemungkinan peningkatan galataslinya,
dan
. Galat relatif hasil kali tersebut dapat dihitung sebagaiberikut. Jika
dan
, maka
(1.23)
Selanjutnya, jika galat hampiran
dan
cukup kecil dibandingkan nilai-nilai hampiran tersebut, maka
,
dan
.Akibatnya, galat relatif (1.23) menjadi
(1.24)
Jadi, galat relatif hasil kali dua buah hampiran mendekati jumlah galatrelatif masing-masing hampiran.
Seringkali suatu galat awal akan merambat selama suatu proses yangterdiri atas serangkaian kalkulasi dalam sebuah algoritma. Dalam hal inidiinginkan agar algoritma yang dipakai memberikan hasil akhir dengan
galat kumulatif kecil apabila galat awalnya kecil. Algoritma demikiandisebut algoritma stabildan algoritma sebaliknya disebut algoritma tidakstabil. Apabila mungkin, komputasi numerik dilakukan dengan menggu-nakan algoritma stabil.
DEFINISI1.3.
Misalkan adalah galat awal dan menyatakan galat yang terjadi setelah
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
25/31
40 Bab 1. Galat dalam Komputasi Numerik
langkah. Jika
, maka algoritma tersebut dikatakan memiliki pe-rambatan galat linier. Jika
, maka algoritma tersebut dikatakanmemiliki perambatan galateksponensial. Jika
, galat eksponensial tum-buh semakin besar tak terbatas jika
semakin besar, dan jika
, galateksponensial akan semakin mengecil jika semakin besar.
Untuk menghitung batas galat perkalian dua buah bilangan titik-mengambang biner normal, misalkan
dan
.Selanjutnya,
dengan
, karena
. Dengan tetap memperhatikan normalisasi, maka
jika
jika
jika
jika
dengan
.
CONTOH1.23.
Tunjukkan bahwa ketiga algoritma di bawah ini dapat digunakan untuk meng-hasilkan barisan
secara eksak.
untuk (1.25a)
untuk
(1.25b)
untuk (1.25c)
Penyelesaian:
Barisan yang dimaksud adalah
. Rumus (1.25a)
jelas menghasilkan barisan tersebut. Pada rumus (1.25b) persamaan selisih
memiliki penyelesaian umum
. Hal
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
26/31
42 Bab 1. Galat dalam Komputasi Numerik
Galat awal
pada(1.26a)adalah 0.00004, dan galat awal
dan
pada(1.26b)dan (1.26c) adalah 0.000013333. Kode MATLAB berikut menghasilkan ketigahampiran barisan tersebut sampai suku ke-
(
).
>>a=[];
>>a0=0.99996;a1=a0/3;b0=1;b1=0.33332;c0=1;c1=0.33332;
>>a=[a0 b0 c0; a1 b1 c1]; idx=[0;1];
>>for n=2:25,
an=a1/3;a1=an;bn=4/3*b1-b0/3;b0=b1;b1=bn;
cn=10/3*c1-c0;c0=c1;c1=cn;a=[a;an bn cn]; idx=[idx;n];
end
>>[idx a]
ans =
0. 0.99996 1. 1.
1. 0.33332 0.33332 0.33332
2. 0.1111067 0.1110933 0.1110667
3. 0.0370356 0.0370178 0.0369022
4. 0.0123452 0.0123259 0.0119407
5. 0.0041151 0.0040953 0.0029002
6. 0.0013717 0.0013518 - 0.00227337. 0.0004572 0.0004373 - 0.0104778
8. 0.0001524 0.0001324 - 0.0326526
9. 0.0000508 0.0000308 - 0.0983642
10. 0.0000169 - 0.0000031 - 0.2952281
11. 0.0000056 - 0.0000144 - 0.8857294
12. 0.0000019 - 0.0000181 - 2.6572031
13. 6.272E-07 - 0.0000194 - 7.9716144
14. 2.091E-07 - 0.0000198 - 23.914845
15. 6.969E-08 - 0.0000199 - 71.744535
16. 2.323E-08 - 0.0000200 - 215.2336
17. 7.743E-09 - 0.0000200 - 645.7008118. 2.581E-09 - 0.0000200 - 1937.1024
19. 0. - 0.0000200 - 5811.3073
20. 0. - 0.0000200 - 17433.922
21. 0. - 0.0000200 - 52301.766
22. 0. - 0.0000200 - 156905.3
23. 0. - 0.0000200 - 470715.89
24. 0. - 0.0000200 - 1412147.7
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
27/31
1.4 Perambatan Galat 43
25. 0. - 0.0000200 - 4236443.
Seperti terlihat pada hasil keluaran MATLAB di atas, matriksa merupakanketiga hampiran 26 suku pertama barisan
. Kolom pertama matriks di
atas adalah indeks (nilai-nilai
). Kolom kedua, ketiga, dan keempat berturut-turut adalah
,
, dan
. Terlihat bahwa barisan
bersifat menurun se-
cara eksponensial. Barisan
bersifat menurun secara eksponensial sampai
suku ke-10 dan setelah suku ke-16 suku-sukunya hampir konstan dan kehilan-gan angka signifikan. Barisan
tidak stabil dan mulai suku ke-15 naik secara
eksponensial, sehingga jauh dari barisan yang hendak dihampiri.Galat ketiga hampiran tersebut dapat dihasilkan dengan kode MATLAB se-
bagai berikut. Tampak bahwa galat hampiran
semakin mengecil secara eks-
ponen, galat hampiran
semakin konstan, sedangkan galat hampiran
cukup besar dibandingkan nilai-nilai yang dihampiri. Jadi dapat disimpulkanbahwa barisan
memberikan hampiran terbaik.
>>x=[1];
>>for k=1:25, x=[x;1/3^k];end
>>e_a=[x x x]-a;
>>[idx e_a]
ans =
0. 0.00004 0. 0.1. 0.0000133 0.0000133 0.0000133
2. 0.0000044 0.0000178 0.0000444
3. 0.0000015 0.0000193 0.0001348
4. 4.938E-07 0.0000198 0.0004049
5. 1.646E-07 0.0000199 0.0012150
6. 5.487E-08 0.0000200 0.0036450
7. 1.829E-08 0.0000200 0.0109350
8. 6.097E-09 0.0000200 0.0328050
9. 2.032E-09 0.0000200 0.098415
10. 0. 0.0000200 0.295245
11. 0. 0.0000200 0.88573512. 0. 0.0000200 2.657205
13. 0. 0.0000200 7.971615
14. 0. 0.0000200 23.914845
15. 0. 0.0000200 71.744535
16. 0. 0.00002 215.23361
17. 0. 0.00002 645.70082
18. 0. 0.00002 1937.1024
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
28/31
46 Bab 1. Galat dalam Komputasi Numerik
Sistem Biner Jika bilangan bulat positif yang dapat dinyatakan dalamekspansi berbasis pangkat dua sebagaiNilai tempat dalam
sistem biner
dengan
, maka dalam sistem biner
dapat dinyatakansebagai
Konversi Desimal ke Biner Jika diketahui bilangan bulat positif
Algoritma untukmengubah bilangandesimal ke bilangan
biner
(dalam bentuk desimal), maka bentuk binernya dapat dicari denganmenggunakan algoritma sebagai berikut.
...
(
=0)
dengan
. Selanjutnya, dalam sistem biner
dapat dinya-
takan sebagai
Sistem Heksadesimal Dalam sistem heksadesimal digunakan basis per-pangkatan 16 dan semua bilangan dinyatakan dengan menggu-nakan maksimum 16 digit, yang biasanya dinyatakan sebagai
dengan
,
,
,
,
, dan
.
Pecahan Biner Jika adalah bilangan riil dan
sedemikian hingga
maka dalam sistem biner pecahan tersebut dinyatakan sebagai
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
29/31
48 Bab 1. Galat dalam Komputasi Numerik
komputer akan disimpan sebagai hampirannya, yakniTitik-MengambangNormal (Normalized
Floating-Point)
dengan
disebut tanda, disebut mantis bernilai
, yang dinyatakan sebagai pecahan biner, dan
disebuteksponenatau pangkat.
Galat Hampiran Misalkan
adalah suatu nilai hampiran numerik untuknilai numerik eksak
, yang tidak diketahui. Nilai
disebutgalat,
disebutgalat mutlak, dan nilai
asalkan
, disebutgalat relatif.Nilai-nilai
dan
, yang sudah diketahui, dan memenuhi
dan
disebut berturut-turut batas galat mutlak dan batas galat relatif,dan jika
, hubungan keduanya didefinisikan sebagai
Angka Signifikan Pengertian angka signifikan dapat dijelaskan sebagaiberikut.
1. Misalkan suatu hampiran bilangan
dinyatakan sebagai
Jika
dan
untuk
, maka digit-digit
, dikatakan angka signifikan.
2. Suatu digit
dikatakanbenarjika
.
3. Misalkan
adalah nilai eksak. Hampiran
untuk
dikatakan
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
30/31
1.5 Rangkuman 49
menghampiri
sampai
angka signifikan jika
adalah bi-langan bulat positif terbesar yang memenuhi
Aturan Pembulatan Cara melakukan pembulatan suatu nilai hampiranmenggunakan aturan sebagai berikut.
Jika digit pertama yang dibuang kurang daripada 5, digit didepannya tidak berubah.
Jika digit pertama yang dibuang lebih atau sama dengan 5,maka digit di depannya ditambah 1 nilainya.
Pembulatan dan Pemotongan Mantis Misalkan bilangan riil dapat di-nyatakan dalam bentukdesimal normal:
dengan
untuk
Misalkan
adalah maksimum banyaknya digit desimal yang
dipergunakan oleh komputer untuk melakukan komputasi titik-mengambang. Penyajian
dalam bentuk titik-mengambang ter-pangkas(chopped floating-point representation), ditulis
, dide-finisikan sebagai
dengan
untuk
Dalam hal ini, digit ke-
pada
sama dengan digit ke-
pada
. Cara lain penyajian digit ke-
adalah seperti yang sudah di-jelaskan sebelumnya, yakni penyajian titik-mengambang pembu-
latan (rounded floating-point), ditulis
, yang didefinisikansebagai
dengan
,
, untuk
dan digit
diperoleh dari pembulatan
ke bilangan bulat terdekat.
Titik-Mengambang Sebarang Basis Jika adalah penyajian bilangan
dalam bentuk titik-mengambang basis
(
adalah suatu bilangan
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)
8/11/2019 Galat Dalam Komputasi
31/31
50 Bab 1. Galat dalam Komputasi Numerik
bulat genap) yang menggunakan
digit mantis, maka
dgn
pada pemangkasan
pada pembulatan.
Perambatan Galat Misalkan
dan
adalah nilai-nilai eksak (yang tidakdiketahui) dan
dan
berturut-turut adalah hampiran untuk
dan
sedemikian hingga
dan
. Jika
menyatakansalah satu operasi aritmetika +, -,
, atau
, maka galat
rambatandidefinisikan sebagai
1. Galat Penjumlahan dan Pengurangan
(a)
(b)
(c) Jika
dan
adalah bilangan-bilangan dalam bentuk titik-mengambang biner normal dengan mantis yang terdiriatas
bit, maka
dengan
.2. Galat Perkalian
(a)
(b) Jika
dan
, maka
.
(c) Jika galat hampiran
dan
cukup kecil dibandingkannilai-nilai hampiran tersebut, maka
,
dan
, sehingga
.
(d) Jika
dan
adalah bilangan-bilangan dalam bentuk titik-mengambang biner normal dengan mantis yang terdiriatas
bit, maka
, dengan
.
Pengantar Komputasi Numerik c Sahid (2004 2012)