11/12/11 

1 

Game theory 

Lecture 4  

Sherlock Holmes and prof. Moriarty 

11/12/11 

2 

Sherlock Holmes and prof. Moriarty 

•  „Sherlock Holmes, pursued by his opponent, Moriarty, leaves London for Dover.  The train stops at a staDon on the way, and he alights there rather than travelling on to Dover.  He has seen Moriarty at the railway staDon, recognizes that he is very clever and expects that Moriarity will take a faster special train in order to catch him in Dover.  Holmes' anDcipaDons turns out to be correct.  But what if Moriarity had been sDll more clever, had esDmated Holmes' mental abiliDes beKer and had foreseen his acDons accordingly?  Then, obviously, he would have travelled to the intermediate staDon [Canterbury].  Holmes again would have had to calculate that, and he himself would have decided to go on to Dover.  Whereupon, Moriarity would again have “reacted” differently.”, Morgenstern 1935 

Sherlock Holmes and prof. Moriarty 

M D(q) C(1-q) H

D(p) 4,25 12,5 C(1-p) 16,10 8,15

Holmes: Moriarty knows,  that I want to go to Dover, so I should get off in Canterbury. But Moriarty is very cunning and smart. He may well predict my move and go to Canterbury. Hence I should go all the way to Dover. However, Moriarty may predict this as well, … 

11/12/11 

3 

Sherlock Holmes and prof. Moriarty So no maKer how I reason, Moriarty may predict that and catch me??? 

Sherlock Holmes and prof. Moriarty The soluDon: If I myself do not know my desDnaDon, then Moriarty cannot guess what I will do no maKer how smart he is. Ignorance is a bliss 

11/12/11 

4 

Sherlock Holmes and prof. Moriarty  M D(q) C(1-q) H

D(p) 4,25 12,5 C(1-p) 16,10 8,15

Mixed strategy equilibrium: •   Moriarty chooses q in a way to make Holmes indifferent between going to Dover and Canterbury:      • Holmes chooses p to make Moriarty indifferent between the two: 

Sherlock Holmes and prof. Moriarty 

BHolmes(q)

BMoriarty(p)

p

q

1/4 

1/5  

 

1

1

11/12/11 

5 

Sherlock Holmes and prof. Moriarty 

M D(q) C(1-q) 1/4D+3/4C H

D(p) (4, 25) (12, 5) (10, 10) C(1-p) (16, 10) (8, 15) (10, 13.75)

1/5D+4/5C (13.6, 13) (8.8, 13) (10, 13)

Sherlock Holmes and prof. Moriarty 

M D(q) C(1-q) 1/4D+3/4C H

D(p) (4, 25) (12, 5) (10, 10) C(1-p) (16, 10) (8, 15) (10, 13.75)

1/5D+4/5C (13.6, 13) (8.8, 13) (10, 13)

11/12/11 

6 

Why people in a crowd do not react to a crime? 

•  20 people sees a crime comiKed on the street and decides whether to call the police: –  If I don’t bother and nobody else does: 0 –  If don’t bother but somebody else does: 10 –  If I call the police: 10‐5=5  

•  There is N Nash equilibria in pure strategies –  In every equilibrium exactly one person makes a call.  –  But how to decide who? (social norm) 

•  Consider a symmetric equilibrium (everybody chooses the same strategy) 

InsensiDve to a crime •  Symmetric equilibria: 

•  Nobody calls the police – cannot be equilibrium •  Everybody calls the police – cannot be equilibrium •  The only opDon lee – symmetric mixed strategy equilibrium.  

•  In mixed strategy equilibrium, every person has to be indifferent between calling and not calling: 

 where p – probability that another person calls •  Every person calls with probability α                                                                            = 0.0358 •  That  means that with two people only probability that 

somebody calls the police is 0,75. With 20 people it is 0,5177. 

11/12/11 

7 

A mixed strategy dominance 

Mixed strategy dominance 

•    T is a strategy that is never best response •    Hence, there exists a probability p,  so that: U1(pM+(1‐p)B,i)>U1(T,i), for every strategy i of a Column player. 

11/12/11 

8 

Mixed strategy dominance 

StaDc vs dynamic games Sta9c game: 

•   Players move simultaneously •   They are not informed about previously taken acDons •   There is no order in which players move •   It most naturally presented in a table (game in standard form) 

Dynamic game with perfect informa9on: •   Players move sequenDally •   They are perfectly informed about previously taken acDons •   The order at which players move is given •   It is most naturally represented in a tree form (game in extensive form) 

11/12/11 

9 

Perfect vs complete informaDon 

•  Perfect vs imperfect informa9on – Do the players have all possible knowledge about previous moves (their own, their opponents, nature)? 

•  Complete vs incomplete informa9on – Are all elements of a game (players, acDon and strategy sets, payoffs) common knowledge for the players? 

•  Three important words: –  strategy – a complete plan of acDons for each decision node –  acDon – what to do in a given decision node –  move – acDon actually taken 

Marshall Kane vs Frank Miller 

p1(d6) 

1‐p1(d6) 

W 

L 

W 

W 

W 

p1(d2) 

p2(d5) 

1‐p2(d5) 

L 

L 

L 

L 

W 

W 

L 

L 

W 

p2(d3) 

p1(d4) 

1‐p1(d2) 

1‐p2(d3) 

1‐p1(d4) 

1‐p1(d0) 

1‐p2(d1) 

p1(d0) 

p2(d1) 

11/12/11 

10 

Marshall Kane vs Frank Miller 

p1(d6) 

1‐p2(d5) 

1‐p2(d3) 

1‐p2(d1) 

p1(d0) 

p1(d2) 

p1(d4) 

Prisoners’ dilemma – a dynamic version 

11/12/11 

11 

Prisoners’ dilemma – a dynamic version 

Biedronka and Lidl •  Lidl decides 

whether to build a supermarket on Szadkowski Street in Warsaw close to Biedronka 

•  If Lidl builds a shop, Biedronka will decide, whether to engage in price war (war of aKriDon) 

11/12/11 

12 

Biedronka and Lidl – strategic form 

•   Two Nash equilibria – selec9on problem •   Some Nash equilibria may involve non‐credible threats – irraDonal behavior off the equilibrium path  

Subgame perfect Nash equilibrium and backwards inducDon 

•  Backward inducDon eliminates „bad” equilibrium which involves non‐credible threat 

11/12/11 

13 

Three firms 

•   Subgame Perfect Nash Equilibrium: (OUT; OUT; AAF) •   There is however a lot more Nash equilibria, e.g.  (IN; IN; AFA) – non‐credible threat by Tesco.  

Subgame Perfect Nash equilibrium 

•  The set of SPNE is a subset of NE •  SPNE requires sequen9al ra9onality •  SPNE is NE in every subgame 

–  Subgame is a conDnuaDon of game aeer some of moves were already taken 

– AcDon is a possible decision in a decision node –  Strategy is a complete plan of acDons for all possible situaDons in a game (Tesco has two acDons in each of its decision node but 8 strategies AAA, AAF, …, FFF)  

11/12/11 

14 

Extensive form games (tree) vs strategic form games (table) 

•  Strategic form game has three components: – A set of players – For each player: 

•  Set of acDons •  Payoff funcDon for every profile of acDons  

•  Extensive form game contains more informaDon: – The order of moves – AcDons available at different stages of the game –  InformaDon available during the game  

A tree 

•  Nodes: – Decision nodes and nature nodes – A root and leaves 

•  Edges (branches) •  Player labels •  AcDon labels •  Payoffs •  InformaDon sets 

11/12/11 

15 

Strategies in extensive form games 

•  Pure strategy of a player is a plan of acDons in every decision node of this player  

•  In backward inducDon equilibrium every player plays opDmally in every decision node W równowadze indukcji wstecznej każdy gracz (plays a sequenDally raDonal strategy) 

•  Equilibrium versus equilibrium outcome of a game. 

Dr Strangelove •  A U.S. Air force commander 

orders thirty B‐52’s to launch a nuclear aKack on Soviet Union.  

•  He shuts off all communicaDons with the planes and with the base 

•  U.S. president invites the Russian ambassador to the war room and explains the situaDon  

•  They decide to call the Russian president Dimitri 

11/12/11 

16 

Dr Strangelove 

•  What is the outcome if U.S. does not know about doomsday device? 

•  What is the outcome if they know? 

•  Commitment must be observable •  What is Soviet Union has an 

opDon to deacDvate doomsday device? 

•  Commitment must be irreversible 

Thomas Schelling: The power to constrain an adversary depends upon the power to bind oneself