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In collaborazione con
Gara nazionale di Elettrotecnica 2016
Pieve di Cadore, 6 maggio 2016
Seconda prova con soluzioni
Gara nazionale di Elettrotecnica 2016
Seconda prova
Quesito 1.
Dato il cubo resistivo di figura, costituito da dodici resistori di pari resistenza R, usando: la simme-tria, le conseguenti equipotenzialità e le sole semplificazioni serie parallelo (senza nessuna trasfor-mazione stella-triangolo),
R
R
R
1
2
8 R
R
R
4
7
5
R
RR
6
3
R
R
R
determinare le seguenti resistenze equivalenti:
(a) R18 fra i nodi 1 e 8
(b) R13 fra i nodi 1 e 3
(c) R16 fra i nodi 1 e 6
——————————————
Soluzione:
(a) Per la simmetria rispetto al piano passante per i punti 1,3,6,8, avremo le due coppie equipoten-ziali 2,4 e 7,5 che cortocircuitate permetteranno di "schiacciare" il cubo sul suddetto piano,riducendo il problema alla seguente rete bidimensionale,
R
R/2
R/2
R/2
1 2,4
8R/2
R/2
R
R/2
32,4
7,5 6
1
Gara nazionale di Elettrotecnica 2016 - I.I.S. "E.Fermi" Pieve di Cadore
che permette di ricavare
R18 = R||(R+R
2||2R) =
7
12R
(b) e così pure, dalla stessa semplificazione, notando che in questa condizione anche i nodi 2,4 e7,5 risultano equipotenziali, e di conseguenza eliminando il resistore centrale,
R13 = R||3R =3
4R
(c) In questo caso, pur potendo usare lo stesso circuito equivalente bidimensionale, al fine dievitare la trasformazione triangolo-stella, è conveniente osservare che, per la simmetria assialesulla diagonale 1,6 del cubo, la rete può essere ridotta ad una equivalente unidimensionale,cortocircuitando le due terne equipotenziali 2,4,8 e 3,5,7, per ottenere la resistenza fra i duevertici opposti dalla seguente serie
R16 =R
3+R
6+R
3=
5
6R
Quesito 2.
Data la rete di figura,
J2
E0
+
10 Ω
3 Ω
4 Ω
E1
V
+
+
2A
Ix
J0
A
4 Ω
+
note le indicazioni del voltmetro Vm = 5V e dell’amperometro Im = 1A, entrambi ideali, la tensioneE0 = 5 V e la corrente J0 = 3 A, determinare:
(a) la tensione ai morsetti del generatore di tensione E1,
(b) la corrente impressa dal generatore di corrente J2,
(c) l’intensità di corrente Ix,
(d) le potenze erogate dai generatori E0 e J0.
2
Gara nazionale di Elettrotecnica 2016 - I.I.S. "E.Fermi" Pieve di Cadore
——————————————
Soluzione:
(a) La tensione del generatore superiore può essere ricavata da una KVL all’anello centrale supe-riore,
E1 = 10Im + Vm − 3× 2 = 9V
(b) la corrente impressa dal generatore di corrente direttamente, via "taglio" dei tre rami oriz-zontali,
J2 − Im = 0 → J2 = Im = 1A
(c) la corrente Ix si potrà ottenere via KCL al nodo superiore destro, notando che una ugualecorrente scorrerà verso il basso nel resistore all’estrema destra,
2Ix + Im = J0 → Ix = 1A
(d) per le potenze basterà determinare la corrente erogata dal generatore di tensione sinistro viaKCL al nodo superiore sinistro, IE + 2 + Im = 0 → IE = −3A e la tensione ai morsetti delgeneratore di corrente destro dall’uguaglianza VJ = 4Ix → VJ = 4V; usando per entrambi la"convenzione dei generatori", avremo di conseguenza
PE = E0IE = 5× (−3) = −15W PJ = VJJ0 = 4× 3 = 12W
Quesito 3.
Nell’ipotesi di condensatori inizialmente scarichi, a partire dall’accensione del generatore idealeE = 12V, note R = 6 Ω, C12 = C34 = 2µF, C23 = C40 = 1µF,
1
2
3
C12
C23
C34
C40
4
R
E
+
q1
q3q2
determinare:
(a) la costante di tempo τ associata al transitorio di carica,
(b) il rapporto fra le quantità di carica q2 e q3, fluite nei collegamenti indicati a transitorio esaurito,
3
Gara nazionale di Elettrotecnica 2016 - I.I.S. "E.Fermi" Pieve di Cadore
(c) l’energia complessiva persa, per effetto Joule, nel resistore R.
——————————————
Soluzione:
(a) Ricavata la capacità equivalente dalla serie di C12 con il parallelo dei restanti tre condensatori,Ceq = 4/3µF, la costante di tempo
τ = RCeq = 8µs
(b) dato che il parallelo fra C23 e C34 presenta una capacità tripla rispetto a C40, ne segue che,essendo sottoposte alla stessa tensione, anche le cariche staranno nello stesso rapporto
q2
q3= 3
(c) L’energia persa nel resistore sarà pari alla differenza fra quella erogata dal generatore e quellaimmagazzinata nel condensatore equivalente
WR = WE −WCeq = Eq1 −1
2E2Ceq = E2Ceq −
1
2E2Ceq =
1
2E2Ceq = 96µJ
Quesito 4.
Data la rete trifase di figura, alimentata dalla terna simmetrica diretta di tensioni di seguito indicata,ricordando il teorema di Thévenin e il principio della sovrapposizione degli effetti,
30Ω
P
1
2
3
Q
V12 = 400 e−j 2π3 V
30Ω
30Ω
V23 = 400 e−j 4π3 V
V31 = 400V
I0 5Ω
10Ω
10Ω
I2
determinare:
(a) il valore efficace della corrente I0 nel resistore R0 = 5 Ω,
(b) la potenza attiva P complessivamente assorbita dalla rete,
(c) la corrente I2 in ingresso alla seconda fase.
4
Gara nazionale di Elettrotecnica 2016 - I.I.S. "E.Fermi" Pieve di Cadore
——————————————
Soluzione:
(a) La corrente I0 può essere ricavata via circuito equivalente secondo Thévenin; spenti i tregeneratori di tensione (che implicitamente insistono sui tre ingressi), il calcolo dell’impedenzaequivalente è immediato in quanto pari alla serie fra il parallelo delle tre reattanze e il parallelodelle due resistenze, ZTh = (5 + j10) Ω.
Per la tensione equivalente basta notare che fra il punto Q, al centro del sistema, e il punto Pintermedio fra i punti 1 e 3 nel diagramma fasoriale, esiste una tensione VQP = (j200/
√3)V,
e quindi
I0 =ETh
ZTh +R0=
VQPZTh +R0
=j200√
3(10 + j10)≈ (5,77 + j5,77)A ⇒ |I0| ≈ 8,16A
(b) nota la corrente I0 potremo (per il teorema di sostituzione) andare a sostituire R0 con ungeneratore di corrente J0 = I0, al fine di determinare la corrente nei due resistori R = 10 Ωvia sovrapposizione dello stesso J0 e di un generatore di tensione V31, ne segue che
I1P =V13
2R− I0
2≈ (−22.89− j2.89)A, I3P =
V31
2R− I0
2≈ (17,11− j2,89)A
e infineP = R0|I0|2 +R|I1P |2 +R|I3P |2 ≈ 8667W
(c) parimenti per I2, per la quale si potrà sovrapporre la rete con i soli tre generatori di tensione(e quindi Q coincidente con il centro del sistema O) a quella con il solo generatore di correnteJ0, ottenendo
I2 =V20
j30+I0
3≈ (9,62 + j1,92)A ⇒ |I2| ≈ 9,81A
Quesito 5.
Data la rete in regime sinusoidale di figura, nota la pulsazione ω = 100 rad/s del generatore,l’indicazione dei voltmetri: V1 = V3 = 200V, V2 = 240V e l’induttanza L = 120mH,
CE
+L
V1
V2
V3
A B
O
R
5
Gara nazionale di Elettrotecnica 2016 - I.I.S. "E.Fermi" Pieve di Cadore
(a) tracciare il diagramma fasoriale,
(b) determinare la resistenza R e la capacità C.
——————————————
Soluzione:
(a) Per tracciare il diagramma fasoriale, possiamo partire scegliendo la VBO = V3 a fase nulla enotare sia che la somma dei fasori VBO e VAB dovrà essere pari al fasore VAO = E, sia cheil fasore della corrente IL nell’induttore (da A verso B) dovrà essere in quadratura ritardo suVL = VAB
O
A
B
IL
IR
IC
HC
D
(b) di conseguenza le correnti nel resistore e nel condensatore (da B verso O) risulteranno rispet-tivamente uguali alla componente reale e immaginaria della corrente nell’induttore, avremoquindi,
IL = |IR|+ j|IC |
con |IL| = |V2|/ωL = 20A e con componenti ricavabili via similitudine fra i triangoli OCD eOBH:
|IL||IC |
=|VOB||VHB|
=200
120=
5
3→ |IC | = 12A, → |IR| = 16A
R =|V3||IR|
= 12,5 Ω C =|IC |ω|V3|
= 600µF
6
Gara nazionale di Elettrotecnica 2016 - I.I.S. "E.Fermi" Pieve di Cadore
Quesito 6.
Dato il seguente mutuo induttore, ipotizzando una permeabilità relativa µr infinita del nucleo fer-romagnetico, e indicata con R0 la riluttanza di un traferro di spessore δ,
I2
I1
N1
N2
µr ≈ ∞
δδ
2δ
µr ≈ ∞
assunti i morsetti di riferimento coincidenti con quelli di ingresso per le due correnti, determinare iseguenti coefficienti di auto e mutua induzione:
(a) L11
(b) L22
(c) M12 = M21
——————————————
Soluzione:
Per rispondere basta ricordare le definizioni dei coefficienti, a partire dalle equazioni costitutive delmutuo induttore:
ΦC1 = L11I1 +M12I2
ΦC2 = M21I1 + L22I2
(a) Osservando che la riluttanza vista dal primo avvolgimento risulta
R1 = 2R0 +R0
2=
5R0
2
avremo che, alimentando solo il primo avvolgimento,
L11 =ΦC1
I1
∣∣∣I2=0
=N1Φ1
I1=N2
1 I1
R1I1=
2N21
5R0
(b) In questo caso la riluttanza vista dal secondo avvolgimento è
R2 = R0 + 2R0||R0 =5R0
3
e quindi, alimentando solo il secondo avvolgimento,
L22 =ΦC2
I2
∣∣∣I1=0
=N1Φ2
I2=N2
2 I2
R2I2=
3N22
5R0
7
Gara nazionale di Elettrotecnica 2016 - I.I.S. "E.Fermi" Pieve di Cadore
(c) Per la mutua induttanza potranno essere seguite diverse strade che portano comunque allostesso risultato; supponendo di alimentare solo il primo avvolgimento, vista la simmetria,solo metà del flusso andrà a concatenarsi (positivamente) con il secondo avvolgimento e diconseguenza
M21 =ΦC2
I1
∣∣∣I2=0
=N2Φ21
I1=N2Φ1
2I1=N2N1
2R1=N1N2
5R0
Quesito 7.
Considerata la seguente parziale implementazione di un contatore a due bit con flip-flop T , per lasequenza 0, 2, 3, 1, 0,
T2 Q2
MSB
T1 Q1
LSB
CLK
X
determinare una adatta rete logica combinatoria per pilotare l’ingresso X del circuito sequenziale.
——————————————
Soluzione:
Partendo dalla tabella delle transizioni di stato associata alla sequenza di conteggio, e ricavate lecolonne relative ai due ingressi T2 e T1 dalla tabella di eccitazione del flip-flop di tipo T ,
Q2 Q1 Q+2 Q+
1 T2 T1
0 0 1 0 1 00 1 0 0 0 11 0 1 1 0 11 1 0 1 1 0
possiamo sia controllare la funzione logica per l’ingresso del flip-flop T2 relativo al bit più significativoT2 = Q2 ⊕Q1, sia ricavare quella richiesta per l’ingresso del flip-flop relativo al bit meno significativo,per il quale direttamente dall’ultima colonna
X = T1 = Q2 ⊕Q1
e di conseguenza lo schema completo della rete sequenziale sarà il seguente,
8
Gara nazionale di Elettrotecnica 2016 - I.I.S. "E.Fermi" Pieve di Cadore
T2 Q2
MSB
T1 Q1
LSB
CLK
X
semplificabile via sostituzione della porta XNOR con una NOT che ha per ingresso X.
Quesito 8.
Si realizzi un contatore sincrono modulo tre bidirezionale via macchina a stati finiti secondo Moore,che faccia uso di flip-flop di tipo JK, descrivendo i seguenti passi:
(a) rappresentazione con diagramma degli stati (STD)
(b) codifica degli stati e stesura della tabella delle transizioni
(c) sintesi circuitale.
——————————————
Soluzione:
(a) Codificati gli stati con la rappresentazione binaria del conteggio, e scelto un ingresso X = 0per il conteggio "up" e X = 1 per un conteggio "down", potrà essere tracciato il diagrammadegli stati,
00
01
10
11
start
01
11
0, 1
0
0
(b) dal quale, ricordando la tabella di eccitazione del flip-flop JK, potremo ricavare la seguente
9
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X Q1 Q0 Q+1 Q+
0 J1 K1 J0 K0
0 0 0 0 1 0 x 1 x0 0 1 1 0 1 x x 10 1 0 0 0 x 1 0 x0 1 1 0 0 x 1 x 11 0 0 1 0 1 x 0 x1 0 1 0 0 0 x x 11 1 0 0 1 x 1 1 x1 1 1 0 0 x 1 x 1
ottenendo direttamente dalla settima e dalla nona colonna,
K1 = 1 K0 = 1
mentre, per il controllo degli ingressi J, la rete logica potrà essere ricavata dalle due seguentimappe di Karnaugh
Q1Q0 Q1Q0
X X00 01 11 10 00 01 11 10
0
1
0
1
0
0 0
0x
x
x
x
x
xx
x1
1
1
1
J1 J0
(c) e di conseguenzaJ1 = Q0 ⊕X J0 = Q1 ⊕X
Q1 J0 Q0
CLK
X
K01
J1
K0
1
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Gara nazionale di Elettrotecnica 2016 - I.I.S. "E.Fermi" Pieve di Cadore
Quesito 9.
Per il sistema rappresentato dal seguente schema a blocchi con K > 0,
1s
1s+ 2
s
K
X(s) Y (s)+
−+
−
determinare:
(a) la funzione di trasferimento W (s) = Y (s)/X(s), ricavando i poli in funzione del parametroK,
(b) la risposta nel dominio del tempo per un ingresso a gradino unitario, per K = 2,
——————————————
Soluzione:
(a) Semplificando lo schema a blocchi ricordando la classica relazione
W (s) =Y (s)
X(s)=
G(s)
1 +G(s)H(s)
iterativamente, con due successivi passi, avremo
W (s) =Y (s)
X(s)=
1
s2 + 3s+K(1)
e quindi, dalle radici del denominatore, i due poli
s1 =−3 +
√9− 4K
2, s2 =
−3−√
9− 4K
2
(b) Per K = 2 avremo i due poli in s1 = −1, s2 = −2 e quindi, scomponendo la trasformata diLaplace dell’uscita in frazioni parziali, avremo
Y (s) = X(s)W (s) =1
s(s+ 1)(s+ 2)=
0,5
s− 1
s+ 1+
0,5
s+ 2
dalla quale, antitrasformando
y(t) =1
2− e−t +
e−2t
2
11
Gara nazionale di Elettrotecnica 2016 - I.I.S. "E.Fermi" Pieve di Cadore
Quesito 10.
Supponendo che in un defibrillatore un’energia ∆W = 200 J, fornita dall’impulso monofasico dicorrente al paziente, sia ottenuta scaricando un condensatore di capacità C = 400µF, carico allatensione V0 = 2000V, attraverso la serie di una resistenza transtoracica RT = 80 Ω e di unaresistenza addizionale interna Radd, inserita automaticamente dal defibrillatore stesso e necessariaper limitare la corrente di picco a 20 ampere,
t/s
i/A
0
20
∆t
imin
determinare:
(a) il valore di Radd e la corrente imin dell’impulso,
(b) l’intervallo ∆t di applicazione dello stesso.
——————————————
Soluzione:
(a) Al fine di ottenere una corrente iniziale di 20 ampere, con una tensione di 2000 volt, laresistenza complessiva del circuito di scarica dovrà evidentemente essere pari a V/imax =2000V/20A = 100 Ω e quindi, nota la resistenza transtoracica di 80 Ω, la resistenza addizionalesarà Radd = 100− 80 = 20 Ω. Per quanto riguarda la corrente minima, l’energia fornita dallascarica dovrà risultare superiore di un fattore (RT + Radd)/RT = 10/8 a quella fornita alpaziente, ne segue che l’energia finale presente nel condensatore dopo l’impulso di scarica sarà
Wf =1
2CV 2
0 −10
8∆W = 550 J
e la tensione finale sul condensatore
Vf =
√2Wf
C=
√2× 550
4 · 10−4≈ 1658V → imin =
VfRT +Radd
≈ 16,6A
(b) Dalla funzione del tempo relativa alla corrente di scarica i(t) = imaxe−t/τ , l’intervallo di
applicazione dell’impulso sarà
∆t = −RC ln( iminimax
)≈ 7,5ms
12
Gara nazionale di Elettrotecnica 2016 - I.I.S. "E.Fermi" Pieve di Cadore
Quesito 11.
Ipotizzando che un estensimetro a resistenza (autocompensato) venga usato per la misura delladeformazione in una prova a trazione di materiali metallici, inserendolo come quarto lato di unponte di Wheatstone insieme ad altri tre resistori di pari resistenza,
∆LL
Estensimetro
∆RR
k
note: la sua resistenza nominale Rn = 120 Ω, la corrente massima Imax = 20mA e il fattore ditaratura k = ∆R%
∆L% = 2, ricordando che la deformazione relativa ε = ∆LL per materiali metallici
è dell’ordine di alcune parti per mille, e indicata con Vr la tensione di alimentazione del ponte,determinare:
(a) una relazione simbolica per la stima della tensione ∆V (ε, Vr) disponibile sulla diagonale dirivelazione del ponte ("a vuoto"),
(b) l’ordine di grandezza della suddetta tensione.
——————————————
Soluzione:
(a) A partire da un ponte equilibrato, una variazione ∆R in una delle resistenze R del ponte,alimentato da una tensione di riferimento Vr, porta sulla diagonale di rivelazione ad unadifferenza di potenziale
|∆V | = VrR
2R− Vr
R
2R+ ∆R= Vr
(1
2− 1
2 + ∆R/R
)= Vr
∆R/R
4 + 2∆R/R
relazione che, conoscendo dal testo l’ordine di grandezza della variazione relativa, si puòapprossimare come
|∆V | ≈ Vr∆R
4R
(b) L’ordine di grandezza di detta d.d.p potrà essere ricavato andando a stimare il valore massimodella tensione di riferimento che alimenta il ponte; Vr < 2RImax = 2× 120 Ω× 20 · 10−3 A =4,8V, ottenendo dalla
|∆V | ≈ Vrkε
4
per allungamenti dell’ordine di alcune parti per mille e per fattore di trasduzione di alcuneunità, una tensione dell’ordine del millivolt.
13
Gara nazionale di Elettrotecnica 2016 - I.I.S. "E.Fermi" Pieve di Cadore
Quesito 12.
Dato il seguente doppio bipolo, indicate con τ1 = R1C1 e con τ2 = R2C2 le due costanti di tempoassociate ai due paralleli R-C,
C1
+
R2vi voC2
+R1
(a) ricavare la funzione di trasferimento H(s) = Vo(s)/Vi(s),
(b) tracciare il diagramma di Bode asintotico qualitativo, per il guadagno, distinguendo i tre casiτ1 > τ2, τ1 < τ2, e τ1 = τ2, e commentando i risultati ottenuti.
——————————————
Soluzione:
(a) La funzione di trasferimento può chiaramente essere ricavata attraverso un partitore di tensionefra le due impedenze dei due paralleli R-C
H(s) =Z2(s)
Z1(s) + Z2(s)
che semplificata porta a
H(s) =C1
C1 + C2
s+ 1R1C1
s+ R1+R2R1R2(C1+C2)
=C1
C1 + C2
s+ 1R1C1
s+ 1R1||R2(C1+C2)
funzione che presenta un unico polo, a causa della presenza di una maglia con soli condensatorie generatori di tensione (rete degenere).
(b) L’andamento del guadagno evidenzia come, da un iniziale H(0) = R2R1+R2
, si vada a salire oscendere a H(∞) = C1
C1+C2, a seconda che τ1 > τ2 o τ1 < τ2, mentre risulta invece costante
per τ1 = τ2.
Dalla funzione di trasferimento notiamo infatti che nella condizione di uguaglianza fra polo ezero
1
R1C1=
R1 +R2
R1R2(C1 + C2)→ τ1 = τ2
la funzione di trasferimento si semplifica nella
H(s) =R2
R1 +R2=
C1
C1 + C2
14
Gara nazionale di Elettrotecnica 2016 - I.I.S. "E.Fermi" Pieve di Cadore
portando il sistema ad essere istantaneo, ovvero privo di dinamica ("partitore compensato");qualitativamente, per particolari valori dei parametri, le tre condizioni potrebbero corrispon-dere ai tre andamenti di figura
H(0) = R2
R1+R2
H(∞) = C1
C1+C2
10−2 10−1 100 101 102
−20
−15
−10
−5
ω (rad/s)
τ1 > τ2
τ1 = τ2
τ2 > τ1
Guadagno (dB)
Quesito 13.
Data la rete trifase simmetrica ed equilibrata, nota l’indicazione dell’amperometro Im = 14,4A,P1 = 8 kW, cosϕ1 = 0,8 , P2 = 4 kW, Q2 = −3 kvar.
1 Ω
A
W
P1
cosϕ1
P2 Q2
1
2
3
V
1 Ω
1 Ω 1 Ω
1 Ω 1 Ω
determinare:
(a) il valore efficace dell’intensità di corrente I in ingresso alla rete,
(b) la tensione V alla partenza,
(c) l’indicazione del wattmetro, Wm.
——————————————
15
Gara nazionale di Elettrotecnica 2016 - I.I.S. "E.Fermi" Pieve di Cadore
Soluzione:
(a) Dall’indicazione dell’amperometro possiamo ricavare la tensione ai morsetti dei carichi trifasi
VL =P1√
3Im cosϕ1
≈ 401V
con la quale, una volta determinata la potenza apparente complessivamente assorbita dalcarico 1 e 2, potremo determinare la corrente di linea richiesta
I =S√3VL
=
√(P1 + P2)2 + (Q1 +Q2)2
√3VL
≈ 17,8A
(b) per la tensione in ingresso, ancora con Boucherot (vista l’elevata caduta di tensione), andremoa ripetere il calcolo ad inizio linea sommando alle precedenti anche la potenza attiva Pl =3RLI
2L ≈ 952W e reattiva Ql = 3XLI
2L ≈ 952 var assorbite dalla linea
V =
√P 2tot +Q2
tot√3I
≈ 439V
(c) Per l’indicazione del wattmetro basterà osservare che si tratta di un wattmetro in quadraturacon voltmetrica invertita e di conseguenza
Wm = −Qtot√3≈ −2,28 kW
Quesito 14.
Ipotizzando che nel seguente circuito i tre amplificatori operazionali siano ideali,
v1
v2
v0
R2 R3R1
R0R2
R3
R1
x
y
determinare:
(a) la relazione simbolica per la tensione di uscita v0 in funzione di v1, v2, R0, R1.R2, R3,
16
Gara nazionale di Elettrotecnica 2016 - I.I.S. "E.Fermi" Pieve di Cadore
(b) il ruolo fondamentale del resistore R0,
——————————————
Soluzione:
(a) La tensione d’uscita può essere ricavata osservando che i due ingressi invertenti dei due AO diingresso si verranno a trovare allo stesso potenziale dei rispettivi non invertenti. Ai morsettidi R0 sarà quindi applicata la differenza di potenziale vd = v1 − v2 e scorrerà una correntei0 = vd/R0 che, attraversando anche i due resistori R1, permetterà di calcolare i potenzialivx = v1 +R1i0 e vy = v2 −R1i0 dei punti x e y di figura.
Detti potenziali rappresentano gli ingressi dell’amplificatore differenziale d’uscita, e quindi
v0 = −R3
R2(vx − vy) = −R3
R2(v1 − v2 + 2R1i0) =
R3
R2(1 + 2
R1
R0)(v2 − v1)
(b) la precedente relazione evidenzia la possibilità di regolare l’amplificazione agendo su un soloresistore, R0.
Quesito 15.
Dato il doppio bipolo di figura, supponendo che i diodi siano ideali,
10 kΩ
+ +D1
--
D2
i1 i2
5V 5Vvi vo
10 kΩ 10 kΩ
determinare:
(a) la transcaratteristica ingresso-uscita v0 = f(vi) ,
——————————————
Soluzione:
(a) La simmetria dei due rami in parallelo permette di affermare che anche la transcaratteristicasarà simmetrica rispetto all’origine; basterà quindi studiare il comportamento per tensioni diingresso positive, notando come in questo caso il diodo D1 sia sempre inversamente polariz-zato e quindi interdetto, visto che il suo potenziale anodico risulta sempre inferiore a quellocatodico.
17
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Per D2 avremo che per 0 < vi < 5V, risulterà inversamente polarizzato, in quanto il suopotenziale anodico risulta inferiore a quello catodico, mentre per vi > 5V, D2 risulterà polariz-zato direttamente.
Ne segue che per 0 < vi < 5V, avremo entrambi i diodi interdetti e quindi vo = vi, nonessendoci c.d.t. sui 10 kiloohm in serie all’ingresso, mentre per vi > 5V avremo
v0 = 5 +vi − 5
2=
(vi + 5
2
)V
in quanto l’eccedenza (vi−5)V viene a ripartirsi ugualmente sui due resistori in serie; grafica-mente, ricordando che il ramo della transcaratteristica per vi < 0V si può ricavare dal ramoper vi > 0V, via simmetria rispetto all’origine
vi
vo
5
5 10
7.5
Quesito 16.
Data la seguente rete logica combinatoria,
A
B
C
D
Y
determinare:
(a) la funzione logica Y di uscita ,
(b) semplificarla via algebra di Boole o mappa di Karnaugh.
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Soluzione:
(a) Direttamente dalla rete si ricava facilmente
Y = BC(AD +A+BC)
(b) che può anche essere riscritta e semplificata come segue
Y = BC(AD +ABC) = ABCD +ABC
e a questo punto, optando per Karnaugh, andando a contrassegnare con uno zero i tre mintermsrelativi alla funzione negata, e scelti gli implicanti primi essenziali per la Y ,
CDAB 00 01 11 10
00
01
11
10
1
1
1
1
0
1
0
1
1
01
11
1
1
1
avremo
Y = C +B +AD
Quesito 17.
In un impianto di sollevamento il serbatoio in quota è alimentato attraverso l’uso di una pompache pesca in una vasca a quota inferiore. La pompa ha il compito di tenere il serbatoio in quota allivello A2 e entra in funzione solo se il livello della vasca inferiore è superiore a B1. L’elettrovalvolaY1 ha il compito di mantenere la vasca inferiore sopra la soglia B1, mentre l’elettrovalvola Y2 potràessere azionata indipendentemente, in ogni condizione.
M
A1
Y2
A2
B1
B2
P
Y1
Y0
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Assumendo le seguenti convenzioni,
Ai=1 Bi=0
Ai=0 Bi=0
Ai=0 Bi=1
(a) tracciare lo schema funzionale di base per il controllo automatico.
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Soluzione:
(a) una possibile soluzione di base potrebbe essere la seguente
B2 B1
P
P
B1
A2 A1
Y1
FRM
U
U B1
A1
B2
A2
FRM
RD
HL1
YE
HL2
SB
Y2
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Quesito 18.
Data la seguente configurazione per i collegamenti degli ingressi e delle uscite del PLC
COM2
I0.2 I0.7 I1.1I0.1 I0.6
COM3
COM1
I0.4 I1.0I0.3 I0.5I0.0
Q0.6Q0.0 Q0.1 Q0.3 Q0.4 Q0.5 Q0.7 Q1.0Q0.2 Q1.1
H0 H1 H2 H324V
....
S7S1 S5 S6S2 S4S3
24V
PLC 224 AC/DC/RELAY
S0
tracciare, per il seguente circuito,
24V
0V
H0
S0S2
S7
H2
S5
S3
S1
S3
S6
S1 S2
S0
S5
H3
S6
S7
H1
S4 S4
(a) il programma del plc nella versione ladder (KOP), a rami distinti.
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Soluzione:
(a) Una possibile soluzione è la seguente
I0.0
I0.2
Q0.0I0.0
I0.1
I0.1
Q0.3
I0.1
I0.3
I0.3
I0.4
I0.5
I0.6
I0.1
I0.2
I0.7 Q0.1
I0.0
I0.3
I0.2 I0.4
I0.5
Q0.2
Segmento 1
Segmento 2
Segmento 3
I0.0
Segmento 4
I0.2
I0.3
I0.5I0.4 I0.6
I0.7
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Quesito 19.
Mettendo in cortocircuito i morsetti di una linea monofase e alimentandola all’altra estremità conuna tensione V = 40V, si sono misurate una corrente di I = 160A e una potenza di P = 2240W.
(a) Determinare l’angolo ϕ del carico da allacciare ai morsetti terminali della linea, affinché latensione alla partenza sia uguale alla tensione all’arrivo.
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Soluzione:
(a) Ricavata l’impedenza della linea ZL = V/I = 40/160 = 0,25 Ω e il suo fattore di potenza
cosϕL =P
V I=
2240
40× 160= 0,35
sarà possibile determinare sia la resistenza che la reattanza di linea,
RL = ZL cosϕL = 0, 0875 Ω XL = ZL sinϕL ≈ 0,234 Ω
Ricordando la relazione per la caduta di tensione industriale, avremo che la tensione all’arrivosarà pari a quella a inizio linea quando sia soddisfatta la seguente equazione
RL cosϕ+XL sinϕ = 0
ovvero per un angolo caratteristico del carico
ϕ = arctan
(−RLXL
)≈ −20,5
Quesito 20.
Una linea trifase realizzata con cavo multipolare in rame, isolato in PVC, su passerella, è lungaL = 40m e alimenta al suo arrivo, con una tensione V = 400V, un carico trifase equilibrato.
Due wattmetri in Aron, appena a monte del carico, segnano WA = 40 kW e WB = 0W.
La temperatura di lavoro è θa = 40 C.
(a) Dimensionare la linea, usando le tabelle allegate, al fine di avere una caduta di tensione∆V% ≤ 2% .
(b) Stabilire, motivando la risposta, se l’ente fornitore può costringere a effettuare o no il rifasa-mento.
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Soluzione:
(a) Dato che con un’inserzione Aron in un sistema equilibrato l’annullarsi dell’indicazione delwattmetro a "ponte minore" implica un fattore di potenza del carico cosϕ = 0,5, avremo che
I =P√
3V cosϕ=
40 000√3× 400× 0,5
≈ 115,5A
Dalla prima tabella B, per un cavo trifase su passerella in PVC, si ricava
IZ(30) = 126A ⇒ S = 35mm2
mentre dalla seconda si ottiene il coefficiente correttivo per la temperatura K1(40) = 0,87.
Ne segue cheIZ(40) = 126× 0,87 ≈ 110A
che risulta insufficiente e di conseguenza bisogna passare alla sezione superiore S = 50mm2 equindi ricontrollare
IZ(40) = 153× 0,87 ≈ 133A
Non rimane che valutare la resistenza e la reattanza della linea usando le tabelle A, dallaprima delle quali: r(20) = 0,379 Ω/km, mentre dalla seconda l = 0,248mH/km e quindi,considerando la temperatura massima ammissibile per il conduttore di 70 C, la resistenza ela reattanza della linea
RL = r(70)L = r(20)kθL = 0,379× 235 + 70
235 + 20× 40 · 10−3 ≈ 18,1mΩ
XL = ωlL = 100π × 0,248 · 10−3 × 40 · 10−3 ≈ 3,12mΩ
verificando infine che il vincolo sulla cdt sia soddisfatto
∆V ≈√
3IZ(RL cosϕ+XL sinϕ) ≈√
3× 115,5× (18,1× 0,5 + 3,12× 0,866) · 10−3 ≈ 2,4V
∆V% =2,4
400× 100 = 0,6% < 2%
(b) Essendo chiaramente in presenza di un contratto per potenza disponibile superiore ai 16,5kW, nell’ipotesi di condizioni di carico costanti, l’ente fornitore potrà costringere il cliente aeffettuare il rifasamento in quanto il fattore di potenza medio mensile risulta inferiore a 0,7.
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Tabelle A
Resistenza unitaria di conduttori unificati per cavi, a 20 °C
Sezione nominale
[mm2]
Filo unico Corda
Rame Alluminio Rame Alluminio
[Ω/km] [Ω/km] numero fili [Ω/km] numero fili [Ω/km]
1,52,546
10162535507095
120150185240300
11,97,144,472,97
2,941,851,17
7777
1919193737376161
1,771,12
0,7100,5140,3790,2620,1890,1500,1220,0970,0740,059
77
19193737373737
0,8400,6280,4350,3130,2480,2020,1610,1220,097
Nota. Il riporto della resistenza alla temperatura di servizio si effettua utilizzando il fattore Kθ .
Induttanza unitaria di servizio per cavi tripolari BT e MT
U0/U [kV] 0,6/1 2,3/3 3,6/6 6/10 8,7/15 12/20 15/20
Sezione[mm2]
Induttanza di servizio per fase [10 - 3 H/km]
1,52,546
10162535507095
120150185240300
0,3760,3470,3220,3040,2740,2600,2590,2490,2480,2420,2390,2360,2360,2360,2350,235
0,3980,3760,3540,3340,3180,3030,2870,2830,2770,2740,2640,2580,255
0,4240,4080,3890,3660,3440,3220,3060,2960,2870,2800,2740,264
0,4360,4140,3820,3570,3380,3220,3090,2960,2870,2800,274
0,4710,4360,4040,3890,3660,3470,3310,3180,3090,302
0,4870,4550,4360,4200,3950,3820,3630,3440,3250,312
0,5060,4840,4620,4460,4200,3980,3820,3500,3450,341
Nota. La reattanza di servizio unitaria, in Ω/km, si calcola moltiplicando i valori della tabella per lapulsazione ω = 2π f.
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Tabelle B
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Durata massima della prova: 5 ore.E’ consentito l’uso di calcolatrici non programmabili.Non è consentito l’uso di manuali tecnici.
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