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Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
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Modello di trave composta acciaio-calcestruzzo con connessione deformabile ed ingobbamento della soletta per
effetto shear-lag
1 INTRODUZIONE
Nello spirito del metodo degli spostamenti il modello cinematico di Newmark [1951] viene arricchito definendo una o più funzioni di forma [Reissner, 1946] atte a descrivere l’ingobbamento della soletta (effetto shear-lag) dovuto alla presenza della connessione trave-soletta e di eventuali forze longitudinali in soletta. Il modello dapprima orientato all'analisi di una semplice trave composta viene poi generalizzato per descrivere un impalcato da ponte reale costituito da due travi parallele e una soletta molto larga, modificando opportunamente l’espressione della funzione di forma. L’equilibrio è espresso da un sistema di equazioni integro-differenziale con associate le condizioni al contorno. La risoluzione è ottenuta per via numerica con una discretizzazione dell’asse temporale, per applicare il metodo generale di step-by-step [Bazant, 1972] e dell’asse geometrico per risolvere le equazioni differenziali con il metodo delle differenze finite.
2 CINEMATICA
2.1 Geometria e sistema di riferimento
Si sceglie un sistema di riferimento globale zyx ,,,0 tale che l’asse della trave è parallelo alla direzione z e il piano di simmetria della trave giace sul piano coordinato yz. La figura 1 si riferisce al caso di impalcato monotrave.
0
0 X
Y
Z
i j
k
L
Gs
Gch
X
Y
yc
ys
(a) (b)
B
Fig. 1. Geometria della trave e sistema di riferimento: (a) trave composta; (b) sezione trasversale
Posizione di un generico punto P della trave
kjir zyxzyx ,, sc AAyx , e z [0, L] (1)
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
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2.2 Campo di spostamenti
Con riferimento alle tre direzioni indicate dai versori i j e k, si definiscono gli spostamenti della soletta di calcestruzzo, con il pedice ‘c’, e della trave di acciaio, con il pedice ‘s’:
Soletta in calcestruzzo
kju xt;zft;zvyyt;zwt;zvt;z,y,x cc
, ,,0 ,, 0ttLzAyx c (2a)
Trave in acciaio
kju tzvyytzwtzvtzyx ss ;;;;,, , ,,0 ,, 0ttLzAyx s (2b)
dove v è lo spostamento verticale, uguale per tutti i punti della sezione, wc e ws sono le componenti di spostamento longitudinale della soletta in cls. e della trave in acciaio rispettivamente, f è la funzione di intensità di shear-lag che modula la componente di ingobbamento descritto dalla funzione di forma , in accordo all’approccio alla Reissner; si fa notare che l’ingobbamento della soletta è considerato uniforme sullo spessore.
Scorrimento all’interfaccia trave-soletta
t;zft;zvht;zwt;zwt;z dcs (3)
dove si è definito dd x e cs yyh .
Zyc
vj
v'
v'
(a)
ys (wcdfc)k
wsk
vj
i, Z
X O
(b)
xd 0
Fig. 2. Componenti di spostamento della sezione trasversale
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
3/26
2.3 Deformazioni
In accordo con la teoria lineare, le uniche componenti di deformazione non nulle sono le seguenti:
Soletta in calcestruzzo
;,, vyywtzyx cccz , ,,0 ,, 0ttLzAyx c (4a)
f,t;z,y,x xcxz , ,,0 ,, 0ttLzAyx c (4b)
vyywtzyx sssz ;,, , ,,0 ,, 0ttLzAyx s (4c)
3 CONDIZIONE DI BILANCIO
La condizione di bilancio viene imposta tramite il principio dei lavori virtuali (P.L.V.), uguagliando il lavoro interno ed esterno compiuto per una variazione virtuale ammissibile del campo di spostamento introdotto in precedenza.
3.1 Lavoro interno e risultanti delle sollecitazioni interne
È il lavoro compiuto dalle tensioni interne per una generica deformazione virtuale compatibile con il campo di spostamento introdotto:
L
dcsz
L
A
ssz
L
A
xxzccz
LL
A
zz
L
A
xzxzzz
V
ijiji
zfvhwwqzavyyw
zaf,fvyyw
zqzaza
VL
s
c
sc
00
0
000
d d d
d d
d d d d d
d
(5)
L
dcsz
L
sss
L
ccci
zfvhwwq
zvMwNzffvMwNL
0
00
d
d d
(6)
L lunghezza dell’impalcato; Nc e Ns sollecitazione normale su soletta in calcestruzzo e trave in acciaio; Mc e Ms momento flettente su soletta in calcestruzzo e trave in acciaio; e bimomento e bitaglio sulla soletta; qz forza longitudinale per unità di lunghezza all’interfaccia trave-soletta, con direzione Z.
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
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3.2 Risultanti interne delle tensioni
cA
czc atzN d; cA
czcc ayytzM d; (7a,b)
sA
szs atzN d; sA
szss ayytzM d; (7c,d)
cA
z at;z d cA
xzx a,t;z d (7e,f)
dove: Ac dominio di integrazione della sezione trasversale della soletta; As dominio di integrazione della sezione trasversale della trave in acciaio.
3.3 Lavoro esterno e risultanti delle sollecitazioni esterne
È il lavoro compiuto dalle azioni esterne per un generico spostamento virtuale compatibile con il campo di spostamento introdotto:
AVV
e aavL ddd ususub (8)
Lsscc
L
sszcczye fvMwNwNvTzfbvmwpwpvpL 00
d (9)
dove: b forze di volume; V volume dell’impalcato; s forze di superficie;
V superficie laterale dell’impalcato; A superficie delle sezioni trasversali per z = 0 e z = L; u campo degli spostamenti virtuali.
3.4 Risultanti delle azioni di volume e di superficie applicate lungo la trave composta
sscc A
y
A
y
A
y
A
ysycyy lsablsabtzptzptzp dddd;;; (10a)
cc A
z
A
zcz lsabtzp dd; (10b)
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
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ss A
z
A
zsz lsabtzp dd; (10c)
sscc A
zc
A
zs
A
zc
A
zcsc lsyyabyylsyyabyytzmtzmtzm dddd;;; (10d)
cc A
z
A
zc lsa bt;zb d d (10e)
py azione verticale (lungo y) distribuita sull’impalcato; pcz azione assiale longitudinale distribuita lungo la soletta in calcestruzzo; psz azione assiale longitudinale distribuita lungo la trave in acciaio; m azione flettente distribuita sulla trave; b azione bimomenti distribuiti sulla soletta.
3.5 Risultanti delle sollecitazioni esterne applicate sulle sezioni trasversali finali della trave
sc A
y
A
y asastT dd (11a)
cA
zc astN d (11b)
sA
zs astN d (11c)
sc A
zs
A
zc asyyasyytM dd (11d)
cA
z ast d ψμ (11e)
T è la risultante delle azioni di taglio applicate sulla sezione composta;
cN è la risultante delle forze assiali agenti sulla sezione della soletta in calcestruzzo;
sN è la risultante delle forze assiali agenti sulla sezione della trave in acciaio;
M è la risultante dei momenti flettenti agenti sulla sezione composta; è la risultante dei bimomenti agenti sulla sezione della soletta in calcestruzzo.
3.6 Equazione di bilancio
Il PLV fornisce
0uusubuS
ˆdˆdˆdˆVVV
avV (12a)
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
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congr.
d
d
d
0
0
0
0
f,w,w,vfvMwNwNvT
zfbvmwpwpvp
zfvhwwq
zffvMMwNwN
sc
L
sscc
L
csszcczy
L
dcsz
L
scsscc
(12b)
3.7 Equilibrio locale (in termini delle risultanti delle tensioni interne)
Integrando per parti e invocando il lemma fondamentale del calcolo variazionale si ottiene:
Equazioni differenziali
czzc pqN (13a)
szzs pqN (13b)
mpqhMM yzsc (13c)
cbqzd (13d)
Condizioni al contorno
0 ccc wNN cw , 0, L (14a)
0 sss wNN sw , 0, L (14b)
0 vMMM sc v , 0, L (14c)
0 vmThqMM zsc v , 0, L (14d)
0 αα f f , 0, L (14d)
Le equazioni di campo (13) esprimono l’equilibrio del concio di trave. Le prime due assicurano l’equilibrio alla traslazione longitudinale, in direzione Z, della soletta e della trave in acciaio considerate separatamente; la terza, l’equilibrio in direzione Y della trave composta; la quarta, coinvolgendo il bimomento ed il bitaglio sulla soletta relativi alla forma di ingobbamento, esprimono un bilancio tra le tensioni normali z e tangenziali xz indotte dall’effetto shear-lag. Le condizioni al contorno (14) descrivono in forma sintetica le condizioni essenziali e naturali nelle due sezioni di estremità della trave. Si ha la condizione essenziale nel caso di spostamento imposto, nella sezione di estremità, ovvero per variazione di spostamento nulla (sj 0, essendo sj uno degli spostamenti wc, ws, v', v, f). Viceversa, nel caso di spostamento libero, essendo la variazione di
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
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spostamento non nulla (sj 0), le condizioni naturali richiedono l’annullarsi del termine fra parentesi quadra, il quale esprime la reazione del vincolo nella direzione dello spostamento. Infatti, se la variazione dello spostamento è nulla il vincolo esercita una reazione diversa da zero, nella direzione del vincolo; viceversa se il vincolo non è idoneo ad esercitare reazione nella direzione del vincolo, può aversi una variazione non nulla dello spostamento in quella direzione.
4 ANALISI VISCO-ELASTICA
4.1 Legame costitutivo (tensioni e forze di connessione in funzione degli spostamenti)
Si ipotizza: comportamento elastico lineare per la connessione a taglio, con rigidezza , legame elastico lineare per la trave di acciaio con modulo di Young sE ; legame viscoelastico
lineare per la soletta in calcestruzzo con ,tR e
,tR,tRG 12
1 funzioni di rilassamento
normale e tangenziale; quest’ultima valida in ipotesi di coefficiente di Poisson costante nel tempo. Le tensioni attive sono solo le seguenti:
Soletta in calcestruzzo
t
t
ccc
t
t
cczcz fvyyw,tR,tRt;z,y,x00
d d
(15a)
t
t
x
t
t
xzGxz f,,tR,tRt;z,y,x00
d12
1d (15b)
Trave in acciaio
vyywEEtzyx sssssszssz )(;,, (16)
Connessione flessibile
fvhwwt;zt;zq dcsz (17)
4.2 Risultanti interne delle tensioni (in funzione degli spostamenti)
t
t
ccc
A
czc fSwA,tRat;zNc 0
d d (18a)
t
t
c
A
czc vItRaytzMc 0
d ,d ; (18b)
t
t
cc
A
zc fIwS,tRat;zc 0
d d (18c)
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
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t
t
d
A
xzxc fI,tRa,t;zc 0
d 12
1d (18d)
)(d ; ssss
A
szs wAEatzNs
(18e)
vIEaytzM ss
A
szs
s
d ; (18f)
4.3 Inerzie
cA
c a yI d2 sA
s ayI d 2 (19a,b)
cA
aS d
cA
T aI d
cA
Txxd a,,I d (19c,d,e)
4.4 Equilibrio locale (in funzione degli spostamenti)
Equazioni differenziali
czdcs
t
t
ccc pfvhwwfSwA,tR
0
d (20a)
szdcsssss pfvhww)w(AE (20b)
mpvItRvIEhvwwh y
t
t
csscs 0
d, (20c)
cc bfI
fIwS,tRt
t
dcc
012
d (20d)
Condizioni al contorno
0d 0
cc
t
t
ccc wNfSwA,tR cw , 0, L (21a)
0)( ssssss wNwAE sw , 0, L (21b)
0d,0
vMvIEvItR ss
t
t
c v , 0, L (21c)
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
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0d0
vmTfhvwwhvIEvI,tR dcsss
t
t
c v , 0, L (21d)
0d 0
ffIwS,tRt
t
cc f , 0, L (21e)
4.5 Condizione di equilibrio locale (in funzione degli spostamenti e della funzione di viscosità)
Utilizzando l’equivalenza che caratterizza gli integrali di Volterra [CEB, 1984]:
t
t
GtRtH0
d, t
t
HtJtG0
d, (22a)
dove i nuclei J e R devono soddisfare la relazione integrale
t
t
dtJ
tRttRttJ0
0000
,,,,1 (22b)
il problema può essere riformulato in funzione della funzione di viscosità invece di quella di Rilassamento. Equazioni differenziali
t
t
cz
t
t
dcsccc p,tJfvhww,tJfSwA00
d d c (23a)
szdcsssss pfvhww)w(AE (23b)
t
t
y
t
t
dcs
t
t
ssc mp,tJfhvww,tJhv,tJIEvI000
ddd (23c)
t
t
dcsc b,tJ
fIfIwS
0
d 12 c (23d)
Condizioni al contorno
0d0
c
t
t
cccc wN,tJfSwA cw , 0, L (24a)
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
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0)( ssssss wNwAE sw , 0, L (24b)
0d,0
vMvIEtJvIt
t
ssc v , 0, L (24c)
0d0
vmTfhvwwhvIE,tJvIt
t
dcsssc v , 0, L (24d)
0d 0
f,tJfIwSt
t
csc v , 0, L (24d)
4.6 Tensioni attive (espresse in funzione delle caratteristiche di sollecitazione)
Le tensioni possono essere espresse in funzione delle risultanti interne. Dalle espressioni delle sollecitazioni in funzione degli spostamenti (18) si ricava
t;z
t;zN
t;zf
t;zt;zw,tR c
t
t
csc
c
A 1
0
d (25a)
t;zIt;zf,tR d
t
t
c
1
0
d 12
1 (25b)
c
ct
t I
t;zMv,tR
0
d (25c)
ss
ss AE
t;zNw (25d)
ss
s
IE
t;zMv (25e)
dove
IS
SA TcA (26)
Sostituendo le (25) nelle (15, 16, 17) si ottengono le espressioni delle tensioni in funzione delle caratteristiche della sollecitazione
Soletta in calcestruzzo
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
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c
cc
cTcz I
t;zMyy
t;z
t;zN
xt;z,y,x
11A (27a)
t;zIx,t;z,y,x dxxz 1 (27b)
Trave in acciaio
ss
s
s
ssz yy
I
M
A
N (27c)
Connessione flessibile
sszz Npq (27d)
5 ANALISI ELASTICA
5.1 Legame costitutivo
Oltre al comportamento elastico della connessione con rigidezza e della trave di acciaio con modulo elastico Es si considera che si comporti in modo elastico lineare anche la soletta in calcestruzzo con modulo di Young cE . Quanto segue può essere desunto semplicemente dal caso
viscoelastico considerando t = t0. Risulta:
cEttR 00 , (28)
Soletta in calcestruzzo
fvyywEEz,y,x ccccczccz (29a)
f,E
,tRt;z,y,x xc
t
t
xzGxz
12d
0
(29b)
Trave in acciaio
vyywEEzyx ssssszssz )(,, (30)
Connessione flessibile
fvhwwt;zt;zq dcsz (31)
5.2 Risultanti interne delle tensioni (in funzione degli spostamenti)
fSwAEat;zN cccc
A
czc
c
d (32a)
vIEayzM cc
A
czc
c
d (32b)
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
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fIwSEat;z ccc
A
zc
c
d (32c)
fIE
a,t;z dc
A
xzxc
c
12
d (32d)
)(d ssss
A
szs wAEazNs
(32e)
vIEayzM ss
A
szs
s
d (32f)
5.3 Equilibrio locale (in funzione degli spostamenti)
Equazioni differenziali
czdcscccc pfvhwwwAE (33a)
szdcsssss pfvhww)w(AE (33b)
mpvIEIEhvwwh yccsscs (33c)
cc bfI
fIwSE dccc
12 (33d)
Condizioni al contorno
0 cccccc wNfSwAE cw , 0, L (34a)
0)( ssssss wNwAE sw , 0, L (34b)
0 vMvIEIE ccss v , 0, L (34c)
0 vmTfhvwwhvIEIE dcsccss v , 0, L (34d)
0 ffIEwSE ccscc v , 0, L (34d)
5.4 Tensioni reattive
Generalmente, a causa della non completezza del campo di spostamenti, le tensioni attive sopra ricavate non sono sufficienti a garantire l’equilibrio globale per il quale sono necessarie anche le tensioni reattive. Mentre per una trave generica le condizioni di equilibrio locale non sono sufficienti per calcolare le tensioni reattive ed il problema rimane indeterminato, nel caso di travi in parete sottile, è possibile calcolare lo stato tensionale reattivo partendo dall’espressione delle
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
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tensioni assiali z date dal legame costitutivo, secondo una procedura che costituisce una generalizzazione del metodo di Jourawski.
Ipotizzando che le tensioni tangenziali yz e le forze di massa bz e di superficie fz sono nulle, l’equazione di equilibrio locale in direzione Z fornisce
0
zxzxz
zz
xz Cxz
t;z,y,xt;z,y,x
d (35)
Analogamente, ipotizzando che le tensioni tangenziali xy e le forze di massa by e di superficie fy siano nulle, l’equazione di equilibrio locale in direzione X fornisce
0
zxxzx
xxz
x Cxz
t;z,y,xt;z,y,x
d (36)
Le costanti di integrazione Cx e Cz dipendono dalle condizioni al contorno lungo i bordi laterali. Nel caso di bordi laterali liberi le condizioni al contorno sono
0 bxxz t;z,y,x (37a)
0 bxx t;z,y,x (37b)
Per la trave in acciaio la tensione normale longitudinale sz è costante nella direzione X. Pertanto la tensione tangenziale xz è lineare e la tensione normale trasversale sx è una funzione parabolica. Per la soletta in calcestruzzo la tensione normale longitudinale cz non è costante in direzione X a causa dell’effetto shear-lag. Se si sceglie una funzione di ingobbamento parabolica, la tensione tangenziale cxz è una funzione di terzo grado e la tensione normale trasversale cx è una funzione di quarto grado.
Nel caso in esame, anche l’interazione trave-soletta è composta, oltre che dalla parte attiva qz, anche da una parte reattiva qy che può essere dedotta attraverso condizioni di equilibrio.
dz
qy
qz
ms
psz
MsdMs
NsdNs
TsdTs
Ns
Ms
Ts
psyh
Fig. 3. Forze sull’elemento di trave in acciaio
Pertanto, considerando l’elemento di trave in acciaio, le condizioni di equilibrio alla
traslazione verticale e alla rotazione forniscono la relazione
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
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szsysy mhqpMq (38)
che può essere espressa in termini di funzioni di spostamento come
ssydcsssy mpfhvwwhvIEq (39)
5.5 Procedimento per valutare le funzioni di forma
Definire a priori una funzione di forma x significa introdurre un vincolo interno nella cinematica della trave e, di conseguenza, un certo grado di approssimazione dei risultati. L’ipotesi di mantenimento di sezione piana si trasforma, in sostanza, in ipotesi di deformazione secondo la forma . La bontà dei risultati dipende dalla capacità di prevedere la forma del reale ingobbamento della sezione e quindi di definire una funzione di forma adeguata.
Una forma approssimata dell'ingobbamento può essere ricavata tramite integrazione dell'equazione di equilibrio locale della soletta considerata come un elemento di trave in parete sottile.
dz
0
B2
B
si
NdN
N qzi
O
YX
Z
s
t
Fig. 4. Soletta con una linea di carico longitudinale
Per cogliere solo gli effetti di carichi longitudinali, si considera la soletta isolata dal resto della trave, e caricata solo da una linea di forze longitudinali qz applicata in si (fig. 4). In ipotesi di forze di massa nulle (bz 0) e trascurando le tensioni tangenziali sulla soletta in direzione Y (yz 0) l’equazione di equilibrio locale della soletta fornisce la tensione tangenziale xz sul piano medio della stessa
zxb
zyxzxz
zzyzxz
(40)
Inoltre, dall’equilibrio in direzione longitudinale Z, di una striscia di soletta dz, discende
0d 0
zqa
z
z,y,xzqzN z
A
zzc
c
(41)
Considerando, in prima approssimazione, la tensione normale z costante sulla sezione della soletta (ipotesi di mantenimento della sezione piana) la condizione di equilibrio (41) diventa
c
zz
A
zq
z
z
(42)
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
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e, sostituendo la (42) nella (40), si ottiene
c
izxz
A
zq
x
z,x
(43)
da cui risulta l’andamento lineare, in direzione trasversale X, delle tensioni tangenziali sulla soletta. L’equazione di congruenza, ricordando l’ipotesi di spostamenti trasversali u nulli, fornisce la relazione
z,xGx
z,xw
x
w
z
uGG xzxzxz
1
(44)
che, derivata rispetto a x e sostituita nella (43) stabilisce il legame tra gli spostamenti e la linea di forze applicate
zqGAx
z,xwz
c
12
2
(45)
Pertanto, la sezione retta, per effetto di una linea di carico qz, si deforma assumendo un andamento parabolico in direzione trasversale X. L'espressione delle tensioni tangenziali si ricava integrando la (43) ed imponendo la condizione di tensione nulla ai bordi della soletta, per motivi di equilibrio locale.
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
16/26
6 SOLUZIONE NUMERICA PER L’ANALISI VISCOELASTICA: METODO STEP-BY-STEP E METODO DELLE DIFFERENZE FINITE
6.1 Introduzione
Il sistema integro-differenziale (23) con associate le condizioni al contorno (24) descrive con rigore matematico il problema fisico in esame. La sua integrazione in forma chiusa, tuttavia, è particolarmente complicata, se non impossibile nel caso di funzioni di viscosità generiche. Pertanto risulta conveniente dare una veste completamente numerica al problema definendo due discretizzazioni standard: la prima, dell’asse temporale per applicare il metodo generale di step-by-step [Bazant, 1972]; la seconda, dell’asse geometrico per risolvere numericamente le equazioni differenziali col metodo delle differenze finite.
6.2 Discretizzazione temporale
La discretizzazione dell’intervallo temporale [t0, tf] in nt parti consente l’applicazione del ben noto metodo generale di step-by-step. Gli integrali di sovrapposizione nel tempo vengono approssimati con serie finite di somme utilizzando la regola dei trapezi
tn
iiii
t
t
t,tJt,tJHH,tJ1
12
1d
0
(2.1)
dove è la variabile di integrazione nel tempo, H è una generica funzione del tempo t e iH Hti Hti1 è l’incremento della funzione H valutata fra gli istanti ti e ti1.
Sottraendo termine a termine le equazioni (23) e (24) calcolate all’istante tk1 da quelle relative all’istante tk, si ottiene un sistema differenziale, con le associate condizioni al contorno, che permette di determinare l’incremento di ciascuna funzione di spostamento nell’intervallo di tempo tk – tk1. Il sistema risolvente discretizzato rispetto al tempo assume la seguente forma:
Equazioni di campo ( k 1,…, nt)
1
1
11
1
k
icziidicisi
icczk
kkc
kdkcksk
kkckcskckc
pfvhwwE
pE
vhwwE
fSwA f
(2.2a)
szkkdkckskskss pfvhwwwAE (2.2b)
1
1
1
1
1
k
iiyii
Tdicisiiss
ic
kyk
kkck
Tdkckskkss
kkckc
mpfvhwwhvIEE
mpE
fvhwwhvIEE
vI
(2.2c)
1
1
11
12
k
ii
ick
kkc
kdkcskck b
Eb
E
fIfIwS cc (2.2d)
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
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Condizioni al contorno (k 1,…, nt)
011 1
1
c
k
ici
icck
kkckkcskckc wN
EN
EwA fS
cw , 0, L (2.3a)
0 sskskss wNwAE sw , 0, L (2.3b)
011
1
1
vMvIE
EMvIE
EvI
k
iiiss
ickkss
kkckc
v , 0, L (2.3c)
0 1
1
1
1
vTmvIEfvhwwh
E
TmvIEfvhwwhE
vI
k
iiiissidicisi
ic
kkksskdkcksk
kkckc
v , 0, L (2.3d)
011
1
1
f
EEfIwS
k
ii
ick
kkckcskck
f , 0, L (2.3e)
dove
1
2
ikikkic t,tJt,tJ
E (2.4)
1111
2
ikikikikic t,tJt,tJt,tJt,tJ
E (2.5)
Se il carico viene applicato all’istante iniziale t0 e mantenuto costante, il sistema integro-differenziale (23), con le condizioni al contorno (24), si trasforma in una successione di nt + 1 sistemi differenziali; il primo sistema, per t t0, coincide con quello del problema elastico (33) e (34) con Ec0 1 Jt0, t0; i successivi, all’istante generico tk con k 1,…, nt, presentano termini che tengono conto della completa storia di deformazione della struttura fino a quell’istante, ossia termini che dipendono dalle soluzioni dei precedenti sistemi, rendendo così necessaria una soluzione a cascata.
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
18/26
Poiché gli integrali presenti nelle equazioni sono integrali di Stieltjes, gli effetti di discontinuità della generica funzione H sono colti automaticamente scegliendo una suddivisione dell’intervallo temporale in modo da far coincidere un istante ti con l’istante in cui si verifica la discontinuità e, successivamente, imponendo ti1 ti. In tal modo è possibile cogliere automaticamente gli incrementi elastici degli spostamenti incogniti dovuti ad un carico applicato all’istante generico tk, con k 0,…, nt, essendo
kkc t,tJ
Ekk
1 (2.6)
01
icE (2.7)
La discretizzazione dell’intervallo di tempo t0, tf in nt parti, viene eseguita secondo i criteri fissati da Bazant (1972) con una successione esponenziale caratterizzata da istanti molto ravvicinati all’inizio dell’analisi. Ciò consente di cogliere al meglio gli effetti della viscosità e del ritiro che nei primi periodi sono particolarmente accentuati. Si può utilizzare la seguente successione di istanti temporali:
fn
tmm
k
tt
n,...,ktttt
.tt
tt
t
12 10
010
001
01
00
(2.8)
con
01
0101
1
tt
ttlog
nmm f
t
(2.9)
dove il tempo è espresso in giorni.
6.3 Discretizzazione geometrica e metodo delle differenze finite
Discretizzazione geometrica significa considerare un insieme discreto di punti scelti opportunamente nello spazio continuo di origine, in questo caso l’asse monodimensionale della trave; ogni grandezza del problema viene calcolata solo in tali punti ed il grado di approssimazione dipende dalla scelta dell’insieme di punti.
La discretizzazione dell’asse geometrico consente l’utilizzo, tra gli altri, del metodo delle differenze finite. Con tale metodo il valore assunto in una generica sezione zj dalla funzione derivata viene approssimato con una relazione lineare tra i valori della funzione in quel punto e in alcuni punti adiacenti. Valutando l’equazione in ciascun punto j, ciascuna equazione differenziale diviene un sistema di equazioni algebriche lineari di semplice risoluzione.
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
19/26
Sia gz una funzione qualsiasi di classe C4. Per determinare le espressioni approssimate delle derivate prima, seconda, terza e quarta, calcolate in zj, si tronca lo sviluppo della funzione in serie di Taylor nell’intorno dell’ascissa zj trascurando gli infinitesimi del quinto ordine. Calcolando tale espressione approssimata in quattro sezioni adiacenti zj si ottiene un sistema lineare di quattro equazioni in quattro incognite che fornisce le espressioni di g'zj, g''zj, g'''zj, g''''zj, in funzione dei valori di g calcolata in zj e nei quattro punti adiacenti.
L’applicazione del metodo richiede due fasi preliminari: la scelta dell’insieme di punti con cui discretizzare la trave (maglia di discretizzazione) e la definizione delle espressioni approssimate delle derivate.
Scelta dell’insieme di sezioni della trave
Il grado di approssimazione dipende dalla maglia di discretizzazione. Riducendo l’ampiezza del passo aumenta la precisione ma anche il numero delle incognite del problema. A parità del numero di punti, il passo regolare assicura una migliore approssimazione. Comunque è conveniente adottare un passo ridotto, cioè raffittire la maglia, in corrispondenza dei tratti in cui le funzioni hanno maggiore variabilità, in genere vicino agli estremi della trave. Fissata la discretizzazione, la migliore approssimazione si ottiene considerando i quattro punti più vicini alla sezione zj.
La trave viene discretizzata considerando np sezioni zj, per j 0,…, np1 (fig. 2.1a). Per valutare le derivate della funzione vz si utilizzano anche due punti esterni, in z1 e znp (fig. 2.1b).
Z 0 L
0 j1 2 np2np3wc, ws, f (a)
0 j 1 2 np np2np3v (b)
1
np1
trave
asse della trave
np1
Fig. 2.1. Discretizzazione della trave: (a) funzioni wc, ws, f; (b) funzione v
Il numero totale delle incognite uguaglia così il numero delle equazioni. Le incognite sono i
valori delle quattro funzioni di spostamento valutate nei punti considerati per ciascuna funzione; complessivamente si hanno
2423 ppp nnn incognite.
Le equazioni di campo forniscono 4 equazioni algebriche lineari in ogni sezione zj interna alla trave, con j 1,…, np2; quelle al contorno, 4 n equazioni algebriche lineari nei due estremi della trave; in totale si hanno
245224 pp nn equazioni.
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
20/26
Si sono assegnati i punti esterni alla funzione vz poiché è la funzione che viene derivata al massimo grado rispetto alle altre. Il punto esterno consente di considerare un insieme più raccolto attorno al punto di estremità e quindi di ottenere una migliore approssimazione delle derivate calcolate nei punti estremi.
Derivate delle funzioni nei punti interni della maglia di discretizzazione
Fissata la maglia di discretizzazione, il grado di approssimazione del metodo dipende dalle espressioni utilizzate per approssimare le derivate delle funzioni. Si ottiene una migliore approssimazione considerando più termini dello sviluppo in serie, cioè prendendo in considerazione derivate di ordine superiore. Per determinarle occorre considerare più punti attorno al punto di riferimento zj, in modo da avere a disposizione tante equazioni quante sono le incognite. A parità di termini considerati, la migliore approssimazione si ottiene considerando l’insieme di punti più raccolto possibile attorno a zj. In questa sede si utilizzano cinque punti.
Quando è possibile, ossia nei punti interni della maglia di discretizzazione, si utilizzano i due punti immediatamente a destra ed i due a sinistra della sezione zj (fig. 2.2).
zj2
gz
Zzj1zj2 zj1 zj
gzjgj
Fig. 2.2. Discretizzazione della zona centrale della trave
Valutando la funzione g, approssimata con lo sviluppo in serie di Taylor, nei quattro punti
zj2, zj1, zj1, zj2, si ottiene il seguente sistema algebrico lineare
423
22
222 !4!3!2 jjj
jjj
jjj
jjjjj zzg
zzg
zzg
zzggg
(2.10a)
413
12
111 !4!3!2 jjj
jjj
jjj
jjjjj zzg
zzg
zzg
zzggg
(2.10b)
413
12
111 !4!3!2 jjj
jjj
jjj
jjjjj zzg
zzg
zzg
zzggg
(2.10c)
423
22
222 !4!3!2 jjj
jjj
jjj
jjjjj zzg
zzg
zzg
zzggg
(2.10d)
in cui si è posto gzj gj. Il sistema ha la soluzione
jgjjgjgj gCgBAd 1 (2.11)
in cui i pedici g e j indicano che la grandezza è relativa alla funzione g calcolata nel punto j, e dove
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
21/26
T
jjjjgj zgzgzgzg d (2.12)
423
22
22
41
31
211
41
31
211
42
32
222
24
1
6
1
2
1
24
1
6
1
2
1
24
1
6
1
2
1
24
1
6
1
2
1
jjjjjjjj
jjjjjjjj
jjjjjjjj
jjjjjjjj
gj
zzzzzzzz
zzzzzzzz
zzzzzzzz
zzzzzzzz
A (2.13)
10100
01100
00110
00101
B (2.14)
T
jjjjjj zgzgzgzgzg 2112 g (2.15)
Si ottengono così le espressioni delle derivate in un generico punto zj espresse come combinazione lineare dei valori della funzione calcolata in cinque punti secondo i coefficienti dati da
BAC 1 gjgj (2.16)
Derivate delle funzioni nel punto di estremità e in quello adiacente Come già detto, stabilita la maglia di discretizzazione, la migliore approssimazione delle
derivate si ottiene considerando i quattro punti più vicini alla sezione zj. Per calcolare le derivate di wc, ws e f si utilizzano i risultati del paragrafo precedente per
j 2,…, np3. Per j 0 si considerano i punti 1, 2, 3, 4. La matrice Agj ed il vettore gj del sistema algebrico lineare (2.11) diventano
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
22/26
4043
042
0404
403
303
20303
402
302
20202
401
301
20101
0
24
1
6
1
2
1
24
1
6
1
2
1
24
1
6
1
2
1
24
1
6
1
2
1
zzzzzzzz
zzzzzzzz
zzzzzzzz
zzzzzzzz
g
A (2.17a)
Tzgzgzgzgzg 430210 g (2.17b)
dove, g indica una delle funzioni di spostamento incognite wc, ws e f. Per j 1 si considerano i punti 0, 2, 3, 4 e si ha
4143
142
1414
413
313
21313
412
312
21212
410
310
21010
1
24
1
6
1
2
1
24
1
6
1
2
1
24
1
6
1
2
1
24
1
6
1
2
1
zzzzzzzz
zzzzzzzz
zzzzzzzz
zzzzzzzz
g
A (2.18a)
Tzgzgzgzgzg 431201 g (2.18b)
Analogamente, nel secondo estremo, per j np1 e j np2, occorre considerare rispettivamente i punti np2, np3, np4, np5 e np1, np3, np4, np5. Si ha, nei due casi,
4123
122
1212
413
313
21313
414
314
21414
415
315
21515
1
24
1
6
1
2
1
24
1
6
1
2
1
24
1
6
1
2
1
24
1
6
1
2
1
pppppppp
pppppppp
pppppppp
pppppppp
p
nnnnnnnn
nnnnnnnn
nnnnnnnn
nnnnnnnn
ng
zzzzzzzz
zzzzzzzz
zzzzzzzz
zzzzzzzz
A (2.19a)
T
nnnnnn ppppppzgzgzgzgzg 231451 g (2.19b)
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
23/26
4213
212
2121
423
323
22323
424
324
22424
425
325
22525
2
24
1
6
1
2
1
24
1
6
1
2
1
24
1
6
1
2
1
24
1
6
1
2
1
pppppppp
pppppppp
pppppppp
pppppppp
p
nnnnnnnn
nnnnnnnn
nnnnnnnn
nnnnnnnn
ng
zzzzzzzz
zzzzzzzz
zzzzzzzz
zzzzzzzz
A (2.20a)
T
nnnnnn ppppppzgzgzgzgzg 132452 g (2.20b)
Per calcolare le derivate di v si utilizzano i risultati del paragrafo precedente per j 1,…, np2. Si ricorda che la discretizzazione riguardante v (fig. 2.1b) prevede anche un punto esterno ai due estremi della trave. Per j 0 si considerano i punti 1, 1, 2, 3. La matrice Agj ed il vettore gj del sistema algebrico lineare (2.11) diventano
4033
032
0303
402
302
20202
401
301
20101
401
301
20101
0
24
1
6
1
2
1
24
1
6
1
2
1
24
1
6
1
2
1
24
1
6
1
2
1
zzzzzzzz
zzzzzzzz
zzzzzzzz
zzzzzzzz
v
A (2.21a)
Tzvzvzvzvzv 320110 v (2.21b)
Per j np1 si considerano i punti np, np2, np3, np4 e si ottiene
41
31
211
412
312
21212
413
313
21313
414
314
21414
1
24
1
6
1
2
124
1
6
1
2
124
1
6
1
2
124
1
6
1
2
1
pppppppp
pppppppp
pppppppp
pppppppp
p
nnnnnnnn
nnnnnnnn
nnnnnnnn
nnnnnnnn
nv
zzzzzzzz
zzzzzzzz
zzzzzzzz
zzzzzzzz
A (2.22a)
T
nnnnnn ppppppzvzvzvzvzv 21341 v (2.22b)
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
24/26
6.4 Sistema risolvente discretizzato
Ciascuna equazione di campo (2.2) deve essere valutata nei punti interni della trave, ovvero nei punti zj con j 1,…, np2; le equazioni al contorno (2.3) si utilizzano per i due punti estremi, j 0, L. Le derivate delle funzioni si approssimano secondo la (2.11). Il procedimento va ripetuto per ciascun istante di calcolo tk con k 1,…, nt.
Equazioni di campo (j 1,…, np2), (k 1,…, nt)
jczk
kkc
k
ijczijidvjicjisji
ic
jkdvjkcjksjk
kkcfjkjkjwkc
pE
pfdhwwE
fdhwwE
dSddAcsc
1
1
1
1
1
1
1212
(2.23a)
jszkjkdvjkcjksjkjwkss pfdhwwdAEs
12 (2.23b)
jkjyk
kkc
k
ijijyifjidvjijwijwivjiss
ic
fjkdvjkjwkjwkvjkss
kkcvjkc
mpE
mpddhddhdIEE
ddhddhdIEE
dI
cs
cs
1
1
1
1
1
12114
121144
(2.23c)
jk
kkc
k
i ic
jijkdfjkjkjwk b
EE
bfIdIddS
csc c
c
1
12
1
1
212 (2.23d)
Condizioni al contorno (j 0, np1), (k 1,…, nt)
0 1
1
11
jc
k
i ic
jci
kkc
jck
fjkjcskjwkc wE
N
E
NdSdA
c
jcw , j 0, L (2.24a)
0 1 jsjskjwkss wNdAEs
jsw , j 0, L (2.24b)
0 1
1
1
222
vj
k
i ic
jivjiss
kkc
jkvjkssvjkc d
E
MdIE
E
MdIEdI
1 vjd , j 0, L (2.24c)
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
25/26
0
1
1
31
31
3
j
k
i ic
jijivjissjidvjijcijsi
kkc
jkjkvjkssjkdvjkjckjsk
vjkc
vE
TmdIEfdhwwh
E
TmdIEfdhwwhdI
jv , j 0, L (2.24d)
0 1
1
11
j
k
i ic
ji
kkc
jkfjkjcskjwk f
EEdIdS
c
jf , j 0, L (2.24e)
dove: k g gtk gtk1 indica la differenza di una generica funzione g valutata agli istanti tk e tk1; igjd è la componente i-esima del vettore colonna dgj, ossia la derivata i-esima della funzione g
calcolata nel punto j, col metodo delle differenze finite; ijfc
d è il vettore colonna le cui componenti
sono i valori ijfcr
d per r 1,…, n. Si osserva che il termine igjd , dato dalla (6.11), contiene una
combinazione lineare dei valori assunti dalla funzione g in cinque punti attorno a zj, ovvero alcune incognite del problema.
6.5 Espressioni discretizzate delle caratteristiche della sollecitazione
Risolto il problema tramite le (6.23) e (6.24), sono noti gli spostamenti nelle sezioni zj (j 0,…, np1) della trave agli istanti di calcolo tk (k 0,…, nt). Per conoscere le caratteristiche della sollecitazione in quei punti e in quegli istanti è sufficiente discretizzare le espressioni (3.19) e sostituirvi gli spostamenti determinati.
La discretizzazione nel tempo, eseguita secondo i criteri del paragrafo 6.2, fornisce le seguenti espressioni delle caratteristiche della sollecitazione all’istante generico tk (k 0,…, nt):
1
111
k
ii,kicici,kkckkcskcckkckc JNNJNwAEN cfS (2.25a)
1
111
k
ii,kicici,kkckckkckc JMMJMvIEM (2.25b)
1
111
k
ii,kicici,kkckkcskckkckc JJwE cfIS (2.25c)
1
11112
1 k
ii,kicici,kkckdkkckc JJE cfI (2.25d)
Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta
26/26
ksssks wAEN (2.25e)
kssks vIEM (2.25f)
dove
2
1 ikik
i,kt,tJt,tJ
J (2.26)
La discretizzazione geometrica e l’applicazione del metodo delle differenze finite, eseguite secondo i criteri del paragrafo 6.3, forniscono le seguenti espressioni delle caratteristiche della sollecitazione all’istante generico tk (k 0,…, nt), nella sezione zj (j 0,…, np1):
1
111
1
1k
ii,kicjicji,kkcjkjfkjcskjwckkckcj JNNJNdAEN
ccdS
(2.27a)
1
111
2k
ii,kicjicji,kkcjkvjckkckcj JMMJMdIEM (2.27b)
1
111
1
1k
ii,kicjicji,kkcjkjfkjcskjw
Tkkckcj JJdE
cc dIS (2.27c)
1
11112
1 k
ii,kicjicji,kkcjkjdkkckcj JJE cfI (2.27d)
kjwssks s
dAEN 1 (2.27e)
kvjssks dIEM 2 (2.27f)