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Integrales triplesIntegrales iteradas
Integrales triples sobre regiones generalesAplicaciones de las Integrales
Cambio de variables en integrales
Gilberto ARENAS DÍAZ
Escuela de MatemáticasUniversidad Industrial de Santander
Segundo Semestre de 2011
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 / 5 1
Integrales triples
Sea B una caja rectangular en R3B = f(x; y; z) j a � x � b; c � y � d; g � z � hg
y sea f : B �! R(x; y; z) 7�! f(x; y; z)
una función dada.
[a; b] se subdivide en l subintervalos [xi�1; xi]de ancho �x.[c; d] se subdivide en m subintervalos [yj�1; yj ]de ancho �y.[g; h] se subdivide en n subintervalos [zk�1; zk]de ancho �z.Así, B queda dividida en lmn cajitas Bijk devolumen �V = �x�y�z
Bijk = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ]� [zk�1; zk]
Sea (xijk; yijk; zijk) un punto de Bijk y formemos la suma triple de RiemannlXi=1
mXj=1
nXk=1
f (xijk; yijk; zijk)�V:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 / 5 1
Integrales triples
Sea B una caja rectangular en R3B = f(x; y; z) j a � x � b; c � y � d; g � z � hg
y sea f : B �! R(x; y; z) 7�! f(x; y; z)
una función dada.[a; b] se subdivide en l subintervalos [xi�1; xi]de ancho �x.
[c; d] se subdivide en m subintervalos [yj�1; yj ]de ancho �y.[g; h] se subdivide en n subintervalos [zk�1; zk]de ancho �z.Así, B queda dividida en lmn cajitas Bijk devolumen �V = �x�y�z
Bijk = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ]� [zk�1; zk]
Sea (xijk; yijk; zijk) un punto de Bijk y formemos la suma triple de RiemannlXi=1
mXj=1
nXk=1
f (xijk; yijk; zijk)�V:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 / 5 1
Integrales triples
Sea B una caja rectangular en R3B = f(x; y; z) j a � x � b; c � y � d; g � z � hg
y sea f : B �! R(x; y; z) 7�! f(x; y; z)
una función dada.[a; b] se subdivide en l subintervalos [xi�1; xi]de ancho �x.[c; d] se subdivide en m subintervalos [yj�1; yj ]de ancho �y.
[g; h] se subdivide en n subintervalos [zk�1; zk]de ancho �z.Así, B queda dividida en lmn cajitas Bijk devolumen �V = �x�y�z
Bijk = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ]� [zk�1; zk]
Sea (xijk; yijk; zijk) un punto de Bijk y formemos la suma triple de RiemannlXi=1
mXj=1
nXk=1
f (xijk; yijk; zijk)�V:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 / 5 1
Integrales triples
Sea B una caja rectangular en R3B = f(x; y; z) j a � x � b; c � y � d; g � z � hg
y sea f : B �! R(x; y; z) 7�! f(x; y; z)
una función dada.[a; b] se subdivide en l subintervalos [xi�1; xi]de ancho �x.[c; d] se subdivide en m subintervalos [yj�1; yj ]de ancho �y.[g; h] se subdivide en n subintervalos [zk�1; zk]de ancho �z.
Así, B queda dividida en lmn cajitas Bijk devolumen �V = �x�y�z
Bijk = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ]� [zk�1; zk]
Sea (xijk; yijk; zijk) un punto de Bijk y formemos la suma triple de RiemannlXi=1
mXj=1
nXk=1
f (xijk; yijk; zijk)�V:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 / 5 1
Integrales triples
Sea B una caja rectangular en R3B = f(x; y; z) j a � x � b; c � y � d; g � z � hg
y sea f : B �! R(x; y; z) 7�! f(x; y; z)
una función dada.[a; b] se subdivide en l subintervalos [xi�1; xi]de ancho �x.[c; d] se subdivide en m subintervalos [yj�1; yj ]de ancho �y.[g; h] se subdivide en n subintervalos [zk�1; zk]de ancho �z.Así, B queda dividida en lmn cajitas Bijk devolumen �V = �x�y�z
Bijk = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ]� [zk�1; zk]
Sea (xijk; yijk; zijk) un punto de Bijk y formemos la suma triple de RiemannlXi=1
mXj=1
nXk=1
f (xijk; yijk; zijk)�V:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 / 5 1
Integrales triples
Sea B una caja rectangular en R3B = f(x; y; z) j a � x � b; c � y � d; g � z � hg
y sea f : B �! R(x; y; z) 7�! f(x; y; z)
una función dada.[a; b] se subdivide en l subintervalos [xi�1; xi]de ancho �x.[c; d] se subdivide en m subintervalos [yj�1; yj ]de ancho �y.[g; h] se subdivide en n subintervalos [zk�1; zk]de ancho �z.Así, B queda dividida en lmn cajitas Bijk devolumen �V = �x�y�z
Bijk = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ]� [zk�1; zk]
Sea (xijk; yijk; zijk) un punto de Bijk y formemos la suma triple de RiemannlXi=1
mXj=1
nXk=1
f (xijk; yijk; zijk)�V:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 / 5 1
Integrales triples
Sea B una caja rectangular en R3B = f(x; y; z) j a � x � b; c � y � d; g � z � hg
y sea f : B �! R(x; y; z) 7�! f(x; y; z)
una función dada.[a; b] se subdivide en l subintervalos [xi�1; xi]de ancho �x.[c; d] se subdivide en m subintervalos [yj�1; yj ]de ancho �y.[g; h] se subdivide en n subintervalos [zk�1; zk]de ancho �z.Así, B queda dividida en lmn cajitas Bijk devolumen �V = �x�y�z
Bijk = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ]� [zk�1; zk]
Sea (xijk; yijk; zijk) un punto de Bijk y formemos la suma triple de RiemannlXi=1
mXj=1
nXk=1
f (xijk; yijk; zijk)�V:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 / 5 1
La integral triple de f sobre B esZZZB
f (x; y; z) dV = l��ml;m;n!1
lXi=1
mXj=1
nXk=1
f (xijk; yijk; zijk)�V
si este límite existe.
Si f es continua en B el límite existe, y la integral se calcula de acuerdo con elTeorema de FubiniZZZ
B
f (x; y; z) dV =
Z b
a
Z d
c
Z h
g
f (x; y; z) dz dy dx
Observe que hay 5 órdenes más para realizar la integral anterior.ZZZB
f (x; y; z) dV=
Z h
g|{z}Z b
a
dZ d
c
f (x; y; z) bdydx dz|{z} = � � �=Z h
g
Z d
c
Z b
a
f(x; y; z) dx dy dz:
Esta expresión también se conoce como integral iterada.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 / 5 1
La integral triple de f sobre B esZZZB
f (x; y; z) dV = l��ml;m;n!1
lXi=1
mXj=1
nXk=1
f (xijk; yijk; zijk)�V
si este límite existe.Si f es continua en B el límite existe, y la integral se calcula de acuerdo con elTeorema de FubiniZZZ
B
f (x; y; z) dV =
Z b
a
Z d
c
Z h
g
f (x; y; z) dz dy dx
Observe que hay 5 órdenes más para realizar la integral anterior.ZZZB
f (x; y; z) dV=
Z h
g|{z}Z b
a
dZ d
c
f (x; y; z) bdydx dz|{z} = � � �=Z h
g
Z d
c
Z b
a
f(x; y; z) dx dy dz:
Esta expresión también se conoce como integral iterada.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 / 5 1
La integral triple de f sobre B esZZZB
f (x; y; z) dV = l��ml;m;n!1
lXi=1
mXj=1
nXk=1
f (xijk; yijk; zijk)�V
si este límite existe.Si f es continua en B el límite existe, y la integral se calcula de acuerdo con elTeorema de FubiniZZZ
B
f (x; y; z) dV =
Z b
a
Z d
c
Z h
g
f (x; y; z) dz dy dx
Observe que hay 5 órdenes más para realizar la integral anterior.ZZZB
f (x; y; z) dV=
Z h
g|{z}Z b
a
dZ d
c
f (x; y; z) bdydx dz|{z}
= � � �=Z h
g
Z d
c
Z b
a
f(x; y; z) dx dy dz:
Esta expresión también se conoce como integral iterada.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 / 5 1
La integral triple de f sobre B esZZZB
f (x; y; z) dV = l��ml;m;n!1
lXi=1
mXj=1
nXk=1
f (xijk; yijk; zijk)�V
si este límite existe.Si f es continua en B el límite existe, y la integral se calcula de acuerdo con elTeorema de FubiniZZZ
B
f (x; y; z) dV =
Z b
a
Z d
c
Z h
g
f (x; y; z) dz dy dx
Observe que hay 5 órdenes más para realizar la integral anterior.ZZZB
f (x; y; z) dV=
Z h
g|{z}Z b
a
dZ d
c
f (x; y; z) bdydx dz|{z} = � � �=Z h
g
Z d
c
Z b
a
f(x; y; z) dx dy dz:
Esta expresión también se conoce como integral iterada.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 / 5 1
La integral triple de f sobre B esZZZB
f (x; y; z) dV = l��ml;m;n!1
lXi=1
mXj=1
nXk=1
f (xijk; yijk; zijk)�V
si este límite existe.Si f es continua en B el límite existe, y la integral se calcula de acuerdo con elTeorema de FubiniZZZ
B
f (x; y; z) dV =
Z b
a
Z d
c
Z h
g
f (x; y; z) dz dy dx
Observe que hay 5 órdenes más para realizar la integral anterior.ZZZB
f (x; y; z) dV=
Z h
g|{z}Z b
a
dZ d
c
f (x; y; z) bdydx dz|{z} = � � �=Z h
g
Z d
c
Z b
a
f(x; y; z) dx dy dz:
Esta expresión también se conoce como integral iterada.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 / 5 1
Ejemplo
CalcularZZZ
E
�x2 + yz
�dV , donde
E = f(x; y; z) j 0 � x � 2; � 3 � y � 0; � 1 � z � 1g :
ZZZE
�x2 + yz
�dV =
Z 2
0
Z 0
�3
Z 1
�1
�x2 + yz
�dz dy dx
=
Z 2
0
Z 0
�3
��x2z + y
z2
2
��z=1z=�1
dy dx
=
Z 2
0
Z 0
�32x2 dy dx
=
Z 2
0
�2yx2
�y=0y=�3 dx
=
Z 2
0
6x2 dx
=�2x3�x=2x=0
= 16:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 / 5 1
Ejemplo
CalcularZZZ
E
�x2 + yz
�dV , donde
E = f(x; y; z) j 0 � x � 2; � 3 � y � 0; � 1 � z � 1g :ZZZE
�x2 + yz
�dV
=
Z 2
0
Z 0
�3
Z 1
�1
�x2 + yz
�dz dy dx
=
Z 2
0
Z 0
�3
��x2z + y
z2
2
��z=1z=�1
dy dx
=
Z 2
0
Z 0
�32x2 dy dx
=
Z 2
0
�2yx2
�y=0y=�3 dx
=
Z 2
0
6x2 dx
=�2x3�x=2x=0
= 16:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 / 5 1
Ejemplo
CalcularZZZ
E
�x2 + yz
�dV , donde
E = f(x; y; z) j 0 � x � 2; � 3 � y � 0; � 1 � z � 1g :ZZZE
�x2 + yz
�dV =
Z 2
0
Z 0
�3
Z 1
�1
�x2 + yz
�dz dy dx
=
Z 2
0
Z 0
�3
��x2z + y
z2
2
��z=1z=�1
dy dx
=
Z 2
0
Z 0
�32x2 dy dx
=
Z 2
0
�2yx2
�y=0y=�3 dx
=
Z 2
0
6x2 dx
=�2x3�x=2x=0
= 16:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 / 5 1
Ejemplo
CalcularZZZ
E
�x2 + yz
�dV , donde
E = f(x; y; z) j 0 � x � 2; � 3 � y � 0; � 1 � z � 1g :ZZZE
�x2 + yz
�dV =
Z 2
0
Z 0
�3
Z 1
�1
�x2 + yz
�dz dy dx
=
Z 2
0
Z 0
�3
��x2z + y
z2
2
��z=1z=�1
dy dx
=
Z 2
0
Z 0
�32x2 dy dx
=
Z 2
0
�2yx2
�y=0y=�3 dx
=
Z 2
0
6x2 dx
=�2x3�x=2x=0
= 16:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 / 5 1
Ejemplo
CalcularZZZ
E
�x2 + yz
�dV , donde
E = f(x; y; z) j 0 � x � 2; � 3 � y � 0; � 1 � z � 1g :ZZZE
�x2 + yz
�dV =
Z 2
0
Z 0
�3
Z 1
�1
�x2 + yz
�dz dy dx
=
Z 2
0
Z 0
�3
��x2z + y
z2
2
��z=1z=�1
dy dx
=
Z 2
0
Z 0
�32x2 dy dx
=
Z 2
0
�2yx2
�y=0y=�3 dx
=
Z 2
0
6x2 dx
=�2x3�x=2x=0
= 16:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 / 5 1
Ejemplo
CalcularZZZ
E
�x2 + yz
�dV , donde
E = f(x; y; z) j 0 � x � 2; � 3 � y � 0; � 1 � z � 1g :ZZZE
�x2 + yz
�dV =
Z 2
0
Z 0
�3
Z 1
�1
�x2 + yz
�dz dy dx
=
Z 2
0
Z 0
�3
��x2z + y
z2
2
��z=1z=�1
dy dx
=
Z 2
0
Z 0
�32x2 dy dx
=
Z 2
0
�2yx2
�y=0y=�3 dx
=
Z 2
0
6x2 dx
=�2x3�x=2x=0
= 16:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 / 5 1
Ejemplo
CalcularZZZ
E
�x2 + yz
�dV , donde
E = f(x; y; z) j 0 � x � 2; � 3 � y � 0; � 1 � z � 1g :ZZZE
�x2 + yz
�dV =
Z 2
0
Z 0
�3
Z 1
�1
�x2 + yz
�dz dy dx
=
Z 2
0
Z 0
�3
��x2z + y
z2
2
��z=1z=�1
dy dx
=
Z 2
0
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�2yx2
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=
Z 2
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6x2 dx
=�2x3�x=2x=0
= 16:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 / 5 1
Ejemplo
CalcularZZZ
E
�x2 + yz
�dV , donde
E = f(x; y; z) j 0 � x � 2; � 3 � y � 0; � 1 � z � 1g :ZZZE
�x2 + yz
�dV =
Z 2
0
Z 0
�3
Z 1
�1
�x2 + yz
�dz dy dx
=
Z 2
0
Z 0
�3
��x2z + y
z2
2
��z=1z=�1
dy dx
=
Z 2
0
Z 0
�32x2 dy dx
=
Z 2
0
�2yx2
�y=0y=�3 dx
=
Z 2
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6x2 dx
=�2x3�x=2x=0
= 16:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 / 5 1
Integración triple sobre regiones más generales
Región del tipo A. E = f(x; y; z) j (x; y) 2 D; �1 (x; y) � z � �2 (x; y)gZZZE
f (x; y; z) dV =
ZZD
"Z �2(x;y)
�1(x;y)
f (x; y; z) dz
#dA:
Si D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g entoncesZZZE
f (x; y; z) dV =
Z b
a
Z g2(x)
g1(x)
Z �2(x;y)
�1(x;y)
f (x; y; z) dz dy dx:
Si D = f(x; y) j c � y � d; h1 (y) � x � h2 (y)g entoncesZZZE
f (x; y; z) dV =
Z d
c
Z h2(y)
h1(y)
Z �2(x;y)
�1(x;y)
f (x; y; z) dz dx dy:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 5 / 5 1
Integración triple sobre regiones más generales
Región del tipo A. E = f(x; y; z) j (x; y) 2 D; �1 (x; y) � z � �2 (x; y)gZZZE
f (x; y; z) dV =
ZZD
"Z �2(x;y)
�1(x;y)
f (x; y; z) dz
#dA:
Si D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g entoncesZZZE
f (x; y; z) dV =
Z b
a
Z g2(x)
g1(x)
Z �2(x;y)
�1(x;y)
f (x; y; z) dz dy dx:
Si D = f(x; y) j c � y � d; h1 (y) � x � h2 (y)g entoncesZZZE
f (x; y; z) dV =
Z d
c
Z h2(y)
h1(y)
Z �2(x;y)
�1(x;y)
f (x; y; z) dz dx dy:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 5 / 5 1
Integración triple sobre regiones más generales
Región del tipo A. E = f(x; y; z) j (x; y) 2 D; �1 (x; y) � z � �2 (x; y)gZZZE
f (x; y; z) dV =
ZZD
"Z �2(x;y)
�1(x;y)
f (x; y; z) dz
#dA:
Si D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g entoncesZZZE
f (x; y; z) dV =
Z b
a
Z g2(x)
g1(x)
Z �2(x;y)
�1(x;y)
f (x; y; z) dz dy dx:
Si D = f(x; y) j c � y � d; h1 (y) � x � h2 (y)g entoncesZZZE
f (x; y; z) dV =
Z d
c
Z h2(y)
h1(y)
Z �2(x;y)
�1(x;y)
f (x; y; z) dz dx dy:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 5 / 5 1
Integración triple sobre regiones más generales
Región del tipo A. E = f(x; y; z) j (x; y) 2 D; �1 (x; y) � z � �2 (x; y)gZZZE
f (x; y; z) dV =
ZZD
"Z �2(x;y)
�1(x;y)
f (x; y; z) dz
#dA:
Si D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g entoncesZZZE
f (x; y; z) dV =
Z b
a
Z g2(x)
g1(x)
Z �2(x;y)
�1(x;y)
f (x; y; z) dz dy dx:
Si D = f(x; y) j c � y � d; h1 (y) � x � h2 (y)g entoncesZZZE
f (x; y; z) dV =
Z d
c
Z h2(y)
h1(y)
Z �2(x;y)
�1(x;y)
f (x; y; z) dz dx dy:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 5 / 5 1
Ejemplo
CalcularZZZ
E
y dV , donde E está bajo el plano z = x+ 2y y encima de la
región del plano xy acotada por las curvas y = x2, y = 0 y x = 1.
E =�(x; y; z) j 0 � x � 1; 0 � y � x2; 0 � z � x+ 2y
:ZZZ
E
y dV =
Z 1
0
Z x2
0
Z x+2y
0
y dz dy dx
=
Z 1
0
Z x2
0
[yz]x+2y0 dy dx
=
Z 1
0
Z x2
0
y (x+ 2y) dy dx
=
Z 1
0
�xy2
2+2
3y3�x20
dx
=
Z 1
0
�1
2x5 +
2
3x6�dx =
�x6
12+2
21x7�10
=1
12+2
21=5
28:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 5 1
Ejemplo
CalcularZZZ
E
y dV , donde E está bajo el plano z = x+ 2y y encima de la
región del plano xy acotada por las curvas y = x2, y = 0 y x = 1.E =
�(x; y; z) j 0 � x � 1; 0 � y � x2; 0 � z � x+ 2y
:
ZZZE
y dV =
Z 1
0
Z x2
0
Z x+2y
0
y dz dy dx
=
Z 1
0
Z x2
0
[yz]x+2y0 dy dx
=
Z 1
0
Z x2
0
y (x+ 2y) dy dx
=
Z 1
0
�xy2
2+2
3y3�x20
dx
=
Z 1
0
�1
2x5 +
2
3x6�dx =
�x6
12+2
21x7�10
=1
12+2
21=5
28:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 5 1
Ejemplo
CalcularZZZ
E
y dV , donde E está bajo el plano z = x+ 2y y encima de la
región del plano xy acotada por las curvas y = x2, y = 0 y x = 1.E =
�(x; y; z) j 0 � x � 1; 0 � y � x2; 0 � z � x+ 2y
:ZZZ
E
y dV
=
Z 1
0
Z x2
0
Z x+2y
0
y dz dy dx
=
Z 1
0
Z x2
0
[yz]x+2y0 dy dx
=
Z 1
0
Z x2
0
y (x+ 2y) dy dx
=
Z 1
0
�xy2
2+2
3y3�x20
dx
=
Z 1
0
�1
2x5 +
2
3x6�dx =
�x6
12+2
21x7�10
=1
12+2
21=5
28:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 5 1
Ejemplo
CalcularZZZ
E
y dV , donde E está bajo el plano z = x+ 2y y encima de la
región del plano xy acotada por las curvas y = x2, y = 0 y x = 1.E =
�(x; y; z) j 0 � x � 1; 0 � y � x2; 0 � z � x+ 2y
:ZZZ
E
y dV =
Z 1
0
Z x2
0
Z x+2y
0
y dz dy dx
=
Z 1
0
Z x2
0
[yz]x+2y0 dy dx
=
Z 1
0
Z x2
0
y (x+ 2y) dy dx
=
Z 1
0
�xy2
2+2
3y3�x20
dx
=
Z 1
0
�1
2x5 +
2
3x6�dx =
�x6
12+2
21x7�10
=1
12+2
21=5
28:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 5 1
Ejemplo
CalcularZZZ
E
y dV , donde E está bajo el plano z = x+ 2y y encima de la
región del plano xy acotada por las curvas y = x2, y = 0 y x = 1.E =
�(x; y; z) j 0 � x � 1; 0 � y � x2; 0 � z � x+ 2y
:ZZZ
E
y dV =
Z 1
0
Z x2
0
Z x+2y
0
y dz dy dx
=
Z 1
0
Z x2
0
[yz]x+2y0 dy dx
=
Z 1
0
Z x2
0
y (x+ 2y) dy dx
=
Z 1
0
�xy2
2+2
3y3�x20
dx
=
Z 1
0
�1
2x5 +
2
3x6�dx =
�x6
12+2
21x7�10
=1
12+2
21=5
28:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 5 1
Ejemplo
CalcularZZZ
E
y dV , donde E está bajo el plano z = x+ 2y y encima de la
región del plano xy acotada por las curvas y = x2, y = 0 y x = 1.E =
�(x; y; z) j 0 � x � 1; 0 � y � x2; 0 � z � x+ 2y
:ZZZ
E
y dV =
Z 1
0
Z x2
0
Z x+2y
0
y dz dy dx
=
Z 1
0
Z x2
0
[yz]x+2y0 dy dx
=
Z 1
0
Z x2
0
y (x+ 2y) dy dx
=
Z 1
0
�xy2
2+2
3y3�x20
dx
=
Z 1
0
�1
2x5 +
2
3x6�dx =
�x6
12+2
21x7�10
=1
12+2
21=5
28:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 5 1
Ejemplo
CalcularZZZ
E
y dV , donde E está bajo el plano z = x+ 2y y encima de la
región del plano xy acotada por las curvas y = x2, y = 0 y x = 1.E =
�(x; y; z) j 0 � x � 1; 0 � y � x2; 0 � z � x+ 2y
:ZZZ
E
y dV =
Z 1
0
Z x2
0
Z x+2y
0
y dz dy dx
=
Z 1
0
Z x2
0
[yz]x+2y0 dy dx
=
Z 1
0
Z x2
0
y (x+ 2y) dy dx
=
Z 1
0
�xy2
2+2
3y3�x20
dx
=
Z 1
0
�1
2x5 +
2
3x6�dx =
�x6
12+2
21x7�10
=1
12+2
21=5
28:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 5 1
Ejemplo
CalcularZZZ
E
y dV , donde E está bajo el plano z = x+ 2y y encima de la
región del plano xy acotada por las curvas y = x2, y = 0 y x = 1.E =
�(x; y; z) j 0 � x � 1; 0 � y � x2; 0 � z � x+ 2y
:ZZZ
E
y dV =
Z 1
0
Z x2
0
Z x+2y
0
y dz dy dx
=
Z 1
0
Z x2
0
[yz]x+2y0 dy dx
=
Z 1
0
Z x2
0
y (x+ 2y) dy dx
=
Z 1
0
�xy2
2+2
3y3�x20
dx
=
Z 1
0
�1
2x5 +
2
3x6�dx
=
�x6
12+2
21x7�10
=1
12+2
21=5
28:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 5 1
Ejemplo
CalcularZZZ
E
y dV , donde E está bajo el plano z = x+ 2y y encima de la
región del plano xy acotada por las curvas y = x2, y = 0 y x = 1.E =
�(x; y; z) j 0 � x � 1; 0 � y � x2; 0 � z � x+ 2y
:ZZZ
E
y dV =
Z 1
0
Z x2
0
Z x+2y
0
y dz dy dx
=
Z 1
0
Z x2
0
[yz]x+2y0 dy dx
=
Z 1
0
Z x2
0
y (x+ 2y) dy dx
=
Z 1
0
�xy2
2+2
3y3�x20
dx
=
Z 1
0
�1
2x5 +
2
3x6�dx =
�x6
12+2
21x7�10
=1
12+2
21=5
28:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 5 1
Ejemplo
CalcularZZZ
E
y dV , donde E está bajo el plano z = x+ 2y y encima de la
región del plano xy acotada por las curvas y = x2, y = 0 y x = 1.E =
�(x; y; z) j 0 � x � 1; 0 � y � x2; 0 � z � x+ 2y
:ZZZ
E
y dV =
Z 1
0
Z x2
0
Z x+2y
0
y dz dy dx
=
Z 1
0
Z x2
0
[yz]x+2y0 dy dx
=
Z 1
0
Z x2
0
y (x+ 2y) dy dx
=
Z 1
0
�xy2
2+2
3y3�x20
dx
=
Z 1
0
�1
2x5 +
2
3x6�dx =
�x6
12+2
21x7�10
=1
12+2
21=5
28:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 5 1
Región del tipo B. E = f(x; y; z) j (y; z) 2 D; 1 (y; z) � x � 2 (y; z)gZZZE
f (x; y; z) dV =
ZZD
"Z 2(y;z)
1(y;z)
f (x; y; z) dx
#dA:
Si D = f(y; z) j c � y � d; �1 (y) � z � �2 (y)g entoncesZZZE
f (x; y; z) dV =
Z d
c
Z �2(y)
�1(y)
Z 2(y;z)
1(y;z)
f (x; y; z) dx dz dy:
Si D = f(y; z) j � � z � �; �1 (z) � y � �2 (z)g entoncesZZZE
f (x; y; z) dV =
Z �
�
Z �2(z)
�1(z)
Z 2(y;z)
1(y;z)
f (x; y; z) dx dy dz:
¿Cómo queda la integral cuandoE = f(x; y; z) j (x; z) 2 D; �1 (x; z) � y � �2 (x; z)g?
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 5 1
Región del tipo B. E = f(x; y; z) j (y; z) 2 D; 1 (y; z) � x � 2 (y; z)gZZZE
f (x; y; z) dV =
ZZD
"Z 2(y;z)
1(y;z)
f (x; y; z) dx
#dA:
Si D = f(y; z) j c � y � d; �1 (y) � z � �2 (y)g entoncesZZZE
f (x; y; z) dV =
Z d
c
Z �2(y)
�1(y)
Z 2(y;z)
1(y;z)
f (x; y; z) dx dz dy:
Si D = f(y; z) j � � z � �; �1 (z) � y � �2 (z)g entoncesZZZE
f (x; y; z) dV =
Z �
�
Z �2(z)
�1(z)
Z 2(y;z)
1(y;z)
f (x; y; z) dx dy dz:
¿Cómo queda la integral cuandoE = f(x; y; z) j (x; z) 2 D; �1 (x; z) � y � �2 (x; z)g?
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 5 1
Región del tipo B. E = f(x; y; z) j (y; z) 2 D; 1 (y; z) � x � 2 (y; z)gZZZE
f (x; y; z) dV =
ZZD
"Z 2(y;z)
1(y;z)
f (x; y; z) dx
#dA:
Si D = f(y; z) j c � y � d; �1 (y) � z � �2 (y)g entoncesZZZE
f (x; y; z) dV =
Z d
c
Z �2(y)
�1(y)
Z 2(y;z)
1(y;z)
f (x; y; z) dx dz dy:
Si D = f(y; z) j � � z � �; �1 (z) � y � �2 (z)g entoncesZZZE
f (x; y; z) dV =
Z �
�
Z �2(z)
�1(z)
Z 2(y;z)
1(y;z)
f (x; y; z) dx dy dz:
¿Cómo queda la integral cuandoE = f(x; y; z) j (x; z) 2 D; �1 (x; z) � y � �2 (x; z)g?
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 5 1
Región del tipo B. E = f(x; y; z) j (y; z) 2 D; 1 (y; z) � x � 2 (y; z)gZZZE
f (x; y; z) dV =
ZZD
"Z 2(y;z)
1(y;z)
f (x; y; z) dx
#dA:
Si D = f(y; z) j c � y � d; �1 (y) � z � �2 (y)g entoncesZZZE
f (x; y; z) dV =
Z d
c
Z �2(y)
�1(y)
Z 2(y;z)
1(y;z)
f (x; y; z) dx dz dy:
Si D = f(y; z) j � � z � �; �1 (z) � y � �2 (z)g entoncesZZZE
f (x; y; z) dV =
Z �
�
Z �2(z)
�1(z)
Z 2(y;z)
1(y;z)
f (x; y; z) dx dy dz:
¿Cómo queda la integral cuandoE = f(x; y; z) j (x; z) 2 D; �1 (x; z) � y � �2 (x; z)g?
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 5 1
Región del tipo B. E = f(x; y; z) j (y; z) 2 D; 1 (y; z) � x � 2 (y; z)gZZZE
f (x; y; z) dV =
ZZD
"Z 2(y;z)
1(y;z)
f (x; y; z) dx
#dA:
Si D = f(y; z) j c � y � d; �1 (y) � z � �2 (y)g entoncesZZZE
f (x; y; z) dV =
Z d
c
Z �2(y)
�1(y)
Z 2(y;z)
1(y;z)
f (x; y; z) dx dz dy:
Si D = f(y; z) j � � z � �; �1 (z) � y � �2 (z)g entoncesZZZE
f (x; y; z) dV =
Z �
�
Z �2(z)
�1(z)
Z 2(y;z)
1(y;z)
f (x; y; z) dx dy dz:
¿Cómo queda la integral cuandoE = f(x; y; z) j (x; z) 2 D; �1 (x; z) � y � �2 (x; z)g?
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 5 1
Región del tipo B. E = f(x; y; z) j (y; z) 2 D; 1 (y; z) � x � 2 (y; z)gZZZE
f (x; y; z) dV =
ZZD
"Z 2(y;z)
1(y;z)
f (x; y; z) dx
#dA:
Si D = f(y; z) j c � y � d; �1 (y) � z � �2 (y)g entoncesZZZE
f (x; y; z) dV =
Z d
c
Z �2(y)
�1(y)
Z 2(y;z)
1(y;z)
f (x; y; z) dx dz dy:
Si D = f(y; z) j � � z � �; �1 (z) � y � �2 (z)g entoncesZZZE
f (x; y; z) dV =
Z �
�
Z �2(z)
�1(z)
Z 2(y;z)
1(y;z)
f (x; y; z) dx dy dz:
¿Cómo queda la integral cuandoE = f(x; y; z) j (x; z) 2 D; �1 (x; z) � y � �2 (x; z)g?G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 5 1
EjemploEscriba la integral
I =
Z 1
0
Z 1
px
Z 1�y
0
f (x; y; z) dz dy dx
como una integral iterada equivalente en los otros 5 órdenes.
I =
Z 1
0
Z y2
0
Z 1�y
0
f (x; y; z) dz dx dy
=
Z 1
0
Z 1�y
0
Z y2
0
f (x; y; z) dx dz dy
=
Z Z Zf (x; y; z) d d d
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 5 1
EjemploEscriba la integral
I =
Z 1
0
Z 1
px
Z 1�y
0
f (x; y; z) dz dy dx
como una integral iterada equivalente en los otros 5 órdenes.
I =
Z 1
0
Z y2
0
Z 1�y
0
f (x; y; z) dz dx dy
=
Z 1
0
Z 1�y
0
Z y2
0
f (x; y; z) dx dz dy
=
Z Z Zf (x; y; z) d d d
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 5 1
EjemploEscriba la integral
I =
Z 1
0
Z 1
px
Z 1�y
0
f (x; y; z) dz dy dx
como una integral iterada equivalente en los otros 5 órdenes.
I =
Z 1
0
Z y2
0
Z 1�y
0
f (x; y; z) dz dx dy
=
Z 1
0
Z 1�y
0
Z y2
0
f (x; y; z) dx dz dy
=
Z Z Zf (x; y; z) d d d
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 5 1
EjemploEscriba la integral
I =
Z 1
0
Z 1
px
Z 1�y
0
f (x; y; z) dz dy dx
como una integral iterada equivalente en los otros 5 órdenes.
I =
Z 1
0
Z y2
0
Z 1�y
0
f (x; y; z) dz dx dy
=
Z 1
0
Z 1�y
0
Z y2
0
f (x; y; z) dx dz dy
=
Z Z Zf (x; y; z) d d d
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 5 1
EjemploEscriba la integral
I =
Z 1
0
Z 1
px
Z 1�y
0
f (x; y; z) dz dy dx
como una integral iterada equivalente en los otros 5 órdenes.
I =
Z 1
0
Z y2
0
Z 1�y
0
f (x; y; z) dz dx dy
=
Z 1
0
Z 1�y
0
Z y2
0
f (x; y; z) dx dz dy
=
Z Z Zf (x; y; z) d d d
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 5 1
Cálculo de volúmenes
Si f (x; y; z) = 1 para (x; y; z) 2 E, entonces
V ol (E) =
ZZZE
dV:
Observe que si E es del tipo A entonces
V ol (E) =
ZZZE
dV
=
ZZD
"Z �2(x;y)
�1(x;y)
dz
#dA
=
ZZD
[�2 (x; y)� �1 (x; y)] dA
Volumen del sólido localizado entre las super�cies z = �1 (x; y) y z = �2 (x; y).
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 9 / 5 1
Cálculo de volúmenes
Si f (x; y; z) = 1 para (x; y; z) 2 E, entonces
V ol (E) =
ZZZE
dV:
Observe que si E es del tipo A entonces
V ol (E) =
ZZZE
dV
=
ZZD
"Z �2(x;y)
�1(x;y)
dz
#dA
=
ZZD
[�2 (x; y)� �1 (x; y)] dA
Volumen del sólido localizado entre las super�cies z = �1 (x; y) y z = �2 (x; y).
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 9 / 5 1
Cálculo de volúmenes
Si f (x; y; z) = 1 para (x; y; z) 2 E, entonces
V ol (E) =
ZZZE
dV:
Observe que si E es del tipo A entonces
V ol (E) =
ZZZE
dV
=
ZZD
"Z �2(x;y)
�1(x;y)
dz
#dA
=
ZZD
[�2 (x; y)� �1 (x; y)] dA
Volumen del sólido localizado entre las super�cies z = �1 (x; y) y z = �2 (x; y).
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 9 / 5 1
Cálculo de volúmenes
Si f (x; y; z) = 1 para (x; y; z) 2 E, entonces
V ol (E) =
ZZZE
dV:
Observe que si E es del tipo A entonces
V ol (E) =
ZZZE
dV
=
ZZD
"Z �2(x;y)
�1(x;y)
dz
#dA
=
ZZD
[�2 (x; y)� �1 (x; y)] dA
Volumen del sólido localizado entre las super�cies z = �1 (x; y) y z = �2 (x; y).
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 9 / 5 1
Cálculo de volúmenes
Si f (x; y; z) = 1 para (x; y; z) 2 E, entonces
V ol (E) =
ZZZE
dV:
Observe que si E es del tipo A entonces
V ol (E) =
ZZZE
dV
=
ZZD
"Z �2(x;y)
�1(x;y)
dz
#dA
=
ZZD
[�2 (x; y)� �1 (x; y)] dA
Volumen del sólido localizado entre las super�cies z = �1 (x; y) y z = �2 (x; y).
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 9 / 5 1
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 16� 3x2 � y2.
Primero miramos donde coinciden las dos ecuaciones
x2 + 3y2 = 16� 3x2 � y2 =) x2 + y2 = 4:
V ol (E) =
ZZZE
dV =
ZZC
"Z 16�3x2�y2
x2+3y2dz
#dA
=
ZZC
��16� 3x2 � y2
���x2 + 3y2
��dA
=
ZZC
�16� 4
�x2 + y2
��dA =
Z 2�
0
Z 2
0
�16� 4r2
�r dr d�
=
Z 2�
0
�8r2 � r4
�20d� =
Z 2�
0
16 d� = [16�]2�0 = 32�:
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 9� x2. (Propuesto).
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 5 1
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 16� 3x2 � y2.Primero miramos donde coinciden las dos ecuaciones
x2 + 3y2 = 16� 3x2 � y2 =) x2 + y2 = 4:
V ol (E) =
ZZZE
dV =
ZZC
"Z 16�3x2�y2
x2+3y2dz
#dA
=
ZZC
��16� 3x2 � y2
���x2 + 3y2
��dA
=
ZZC
�16� 4
�x2 + y2
��dA =
Z 2�
0
Z 2
0
�16� 4r2
�r dr d�
=
Z 2�
0
�8r2 � r4
�20d� =
Z 2�
0
16 d� = [16�]2�0 = 32�:
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 9� x2. (Propuesto).
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 5 1
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 16� 3x2 � y2.Primero miramos donde coinciden las dos ecuaciones
x2 + 3y2 = 16� 3x2 � y2
=) x2 + y2 = 4:
V ol (E) =
ZZZE
dV =
ZZC
"Z 16�3x2�y2
x2+3y2dz
#dA
=
ZZC
��16� 3x2 � y2
���x2 + 3y2
��dA
=
ZZC
�16� 4
�x2 + y2
��dA =
Z 2�
0
Z 2
0
�16� 4r2
�r dr d�
=
Z 2�
0
�8r2 � r4
�20d� =
Z 2�
0
16 d� = [16�]2�0 = 32�:
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 9� x2. (Propuesto).
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 5 1
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 16� 3x2 � y2.Primero miramos donde coinciden las dos ecuaciones
x2 + 3y2 = 16� 3x2 � y2 =) x2 + y2 = 4:
V ol (E) =
ZZZE
dV =
ZZC
"Z 16�3x2�y2
x2+3y2dz
#dA
=
ZZC
��16� 3x2 � y2
���x2 + 3y2
��dA
=
ZZC
�16� 4
�x2 + y2
��dA =
Z 2�
0
Z 2
0
�16� 4r2
�r dr d�
=
Z 2�
0
�8r2 � r4
�20d� =
Z 2�
0
16 d� = [16�]2�0 = 32�:
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 9� x2. (Propuesto).
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 5 1
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 16� 3x2 � y2.Primero miramos donde coinciden las dos ecuaciones
x2 + 3y2 = 16� 3x2 � y2 =) x2 + y2 = 4:
V ol (E) =
ZZZE
dV
=
ZZC
"Z 16�3x2�y2
x2+3y2dz
#dA
=
ZZC
��16� 3x2 � y2
���x2 + 3y2
��dA
=
ZZC
�16� 4
�x2 + y2
��dA =
Z 2�
0
Z 2
0
�16� 4r2
�r dr d�
=
Z 2�
0
�8r2 � r4
�20d� =
Z 2�
0
16 d� = [16�]2�0 = 32�:
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 9� x2. (Propuesto).
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 5 1
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 16� 3x2 � y2.Primero miramos donde coinciden las dos ecuaciones
x2 + 3y2 = 16� 3x2 � y2 =) x2 + y2 = 4:
V ol (E) =
ZZZE
dV =
ZZC
"Z 16�3x2�y2
x2+3y2dz
#dA
=
ZZC
��16� 3x2 � y2
���x2 + 3y2
��dA
=
ZZC
�16� 4
�x2 + y2
��dA =
Z 2�
0
Z 2
0
�16� 4r2
�r dr d�
=
Z 2�
0
�8r2 � r4
�20d� =
Z 2�
0
16 d� = [16�]2�0 = 32�:
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 9� x2. (Propuesto).
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 5 1
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 16� 3x2 � y2.Primero miramos donde coinciden las dos ecuaciones
x2 + 3y2 = 16� 3x2 � y2 =) x2 + y2 = 4:
V ol (E) =
ZZZE
dV =
ZZC
"Z 16�3x2�y2
x2+3y2dz
#dA
=
ZZC
��16� 3x2 � y2
���x2 + 3y2
��dA
=
ZZC
�16� 4
�x2 + y2
��dA =
Z 2�
0
Z 2
0
�16� 4r2
�r dr d�
=
Z 2�
0
�8r2 � r4
�20d� =
Z 2�
0
16 d� = [16�]2�0 = 32�:
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 9� x2. (Propuesto).
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 5 1
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 16� 3x2 � y2.Primero miramos donde coinciden las dos ecuaciones
x2 + 3y2 = 16� 3x2 � y2 =) x2 + y2 = 4:
V ol (E) =
ZZZE
dV =
ZZC
"Z 16�3x2�y2
x2+3y2dz
#dA
=
ZZC
��16� 3x2 � y2
���x2 + 3y2
��dA
=
ZZC
�16� 4
�x2 + y2
��dA
=
Z 2�
0
Z 2
0
�16� 4r2
�r dr d�
=
Z 2�
0
�8r2 � r4
�20d� =
Z 2�
0
16 d� = [16�]2�0 = 32�:
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 9� x2. (Propuesto).
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 5 1
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 16� 3x2 � y2.Primero miramos donde coinciden las dos ecuaciones
x2 + 3y2 = 16� 3x2 � y2 =) x2 + y2 = 4:
V ol (E) =
ZZZE
dV =
ZZC
"Z 16�3x2�y2
x2+3y2dz
#dA
=
ZZC
��16� 3x2 � y2
���x2 + 3y2
��dA
=
ZZC
�16� 4
�x2 + y2
��dA =
Z 2�
0
Z 2
0
�16� 4r2
�r dr d�
=
Z 2�
0
�8r2 � r4
�20d� =
Z 2�
0
16 d� = [16�]2�0 = 32�:
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 9� x2. (Propuesto).
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 5 1
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 16� 3x2 � y2.Primero miramos donde coinciden las dos ecuaciones
x2 + 3y2 = 16� 3x2 � y2 =) x2 + y2 = 4:
V ol (E) =
ZZZE
dV =
ZZC
"Z 16�3x2�y2
x2+3y2dz
#dA
=
ZZC
��16� 3x2 � y2
���x2 + 3y2
��dA
=
ZZC
�16� 4
�x2 + y2
��dA =
Z 2�
0
Z 2
0
�16� 4r2
�r dr d�
=
Z 2�
0
�8r2 � r4
�20d�
=
Z 2�
0
16 d� = [16�]2�0 = 32�:
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 9� x2. (Propuesto).
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 5 1
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 16� 3x2 � y2.Primero miramos donde coinciden las dos ecuaciones
x2 + 3y2 = 16� 3x2 � y2 =) x2 + y2 = 4:
V ol (E) =
ZZZE
dV =
ZZC
"Z 16�3x2�y2
x2+3y2dz
#dA
=
ZZC
��16� 3x2 � y2
���x2 + 3y2
��dA
=
ZZC
�16� 4
�x2 + y2
��dA =
Z 2�
0
Z 2
0
�16� 4r2
�r dr d�
=
Z 2�
0
�8r2 � r4
�20d� =
Z 2�
0
16 d�
= [16�]2�0 = 32�:
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 9� x2. (Propuesto).
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 5 1
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 16� 3x2 � y2.Primero miramos donde coinciden las dos ecuaciones
x2 + 3y2 = 16� 3x2 � y2 =) x2 + y2 = 4:
V ol (E) =
ZZZE
dV =
ZZC
"Z 16�3x2�y2
x2+3y2dz
#dA
=
ZZC
��16� 3x2 � y2
���x2 + 3y2
��dA
=
ZZC
�16� 4
�x2 + y2
��dA =
Z 2�
0
Z 2
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�r dr d�
=
Z 2�
0
�8r2 � r4
�20d� =
Z 2�
0
16 d� = [16�]2�0 = 32�:
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 9� x2. (Propuesto).
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 5 1
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 16� 3x2 � y2.Primero miramos donde coinciden las dos ecuaciones
x2 + 3y2 = 16� 3x2 � y2 =) x2 + y2 = 4:
V ol (E) =
ZZZE
dV =
ZZC
"Z 16�3x2�y2
x2+3y2dz
#dA
=
ZZC
��16� 3x2 � y2
���x2 + 3y2
��dA
=
ZZC
�16� 4
�x2 + y2
��dA =
Z 2�
0
Z 2
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�16� 4r2
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Z 2�
0
�8r2 � r4
�20d� =
Z 2�
0
16 d� = [16�]2�0 = 32�:
EjemploHallar el volumen de la región acotada por las super�cies z = x2 + 3y2 yz = 9� x2. (Propuesto).G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 5 1
Aplicaciones de las integrales triples
Masa. Si � (x; y; z) es la densidad (unidad de masa / unidad de volumen) en(x; y; z) de un sólido que ocupa la región E de R3, su masa m es dada deforma análoga que en el caso de integrales dobles por
m =
ZZZE
� (x; y; z) dV;
y sus momentos respecto a los tres planos coordenados son
Myz =
ZZZE
x� (x; y; z) dV; Mxz =
ZZZE
y� (x; y; z) dV y
Mxy =
ZZZE
z� (x; y; z) dV;
y el centro de masa es (�x; �y; �z), donde
�x =Myz
m; �y =
Mxz
my �z =
Mxy
m:
Si la densidad es constante el centro de masa del sólido se llama centroide deE.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 5 1
Aplicaciones de las integrales triples
Masa. Si � (x; y; z) es la densidad (unidad de masa / unidad de volumen) en(x; y; z) de un sólido que ocupa la región E de R3, su masa m es dada deforma análoga que en el caso de integrales dobles por
m =
ZZZE
� (x; y; z) dV;
y sus momentos respecto a los tres planos coordenados son
Myz =
ZZZE
x� (x; y; z) dV;
Mxz =
ZZZE
y� (x; y; z) dV y
Mxy =
ZZZE
z� (x; y; z) dV;
y el centro de masa es (�x; �y; �z), donde
�x =Myz
m; �y =
Mxz
my �z =
Mxy
m:
Si la densidad es constante el centro de masa del sólido se llama centroide deE.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 5 1
Aplicaciones de las integrales triples
Masa. Si � (x; y; z) es la densidad (unidad de masa / unidad de volumen) en(x; y; z) de un sólido que ocupa la región E de R3, su masa m es dada deforma análoga que en el caso de integrales dobles por
m =
ZZZE
� (x; y; z) dV;
y sus momentos respecto a los tres planos coordenados son
Myz =
ZZZE
x� (x; y; z) dV; Mxz =
ZZZE
y� (x; y; z) dV
y
Mxy =
ZZZE
z� (x; y; z) dV;
y el centro de masa es (�x; �y; �z), donde
�x =Myz
m; �y =
Mxz
my �z =
Mxy
m:
Si la densidad es constante el centro de masa del sólido se llama centroide deE.
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Aplicaciones de las integrales triples
Masa. Si � (x; y; z) es la densidad (unidad de masa / unidad de volumen) en(x; y; z) de un sólido que ocupa la región E de R3, su masa m es dada deforma análoga que en el caso de integrales dobles por
m =
ZZZE
� (x; y; z) dV;
y sus momentos respecto a los tres planos coordenados son
Myz =
ZZZE
x� (x; y; z) dV; Mxz =
ZZZE
y� (x; y; z) dV y
Mxy =
ZZZE
z� (x; y; z) dV;
y el centro de masa es (�x; �y; �z), donde
�x =Myz
m; �y =
Mxz
my �z =
Mxy
m:
Si la densidad es constante el centro de masa del sólido se llama centroide deE.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 5 1
Aplicaciones de las integrales triples
Masa. Si � (x; y; z) es la densidad (unidad de masa / unidad de volumen) en(x; y; z) de un sólido que ocupa la región E de R3, su masa m es dada deforma análoga que en el caso de integrales dobles por
m =
ZZZE
� (x; y; z) dV;
y sus momentos respecto a los tres planos coordenados son
Myz =
ZZZE
x� (x; y; z) dV; Mxz =
ZZZE
y� (x; y; z) dV y
Mxy =
ZZZE
z� (x; y; z) dV;
y el centro de masa es (�x; �y; �z),
donde
�x =Myz
m; �y =
Mxz
my �z =
Mxy
m:
Si la densidad es constante el centro de masa del sólido se llama centroide deE.
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Aplicaciones de las integrales triples
Masa. Si � (x; y; z) es la densidad (unidad de masa / unidad de volumen) en(x; y; z) de un sólido que ocupa la región E de R3, su masa m es dada deforma análoga que en el caso de integrales dobles por
m =
ZZZE
� (x; y; z) dV;
y sus momentos respecto a los tres planos coordenados son
Myz =
ZZZE
x� (x; y; z) dV; Mxz =
ZZZE
y� (x; y; z) dV y
Mxy =
ZZZE
z� (x; y; z) dV;
y el centro de masa es (�x; �y; �z), donde
�x =Myz
m; �y =
Mxz
my �z =
Mxy
m:
Si la densidad es constante el centro de masa del sólido se llama centroide deE.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 5 1
Aplicaciones de las integrales triples
Masa. Si � (x; y; z) es la densidad (unidad de masa / unidad de volumen) en(x; y; z) de un sólido que ocupa la región E de R3, su masa m es dada deforma análoga que en el caso de integrales dobles por
m =
ZZZE
� (x; y; z) dV;
y sus momentos respecto a los tres planos coordenados son
Myz =
ZZZE
x� (x; y; z) dV; Mxz =
ZZZE
y� (x; y; z) dV y
Mxy =
ZZZE
z� (x; y; z) dV;
y el centro de masa es (�x; �y; �z), donde
�x =Myz
m; �y =
Mxz
my �z =
Mxy
m:
Si la densidad es constante el centro de masa del sólido se llama centroide deE.G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 5 1
Los momentos de inercia alrededor de los tres ejes coordenados son
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�� (x; y; z) dV;
Iy =
ZZZE
�x2 + z2
�� (x; y; z) dV;
Iz =
ZZZE
�x2 + y2
�� (x; y; z) dV:
La carga eléctrica de un sólido que ocupa una región E y tiene densidad de carga� (x; y; z) es
Q =
ZZZE
� (x; y; z) dV:
EjemploEncontrar Ix para un cubo de densidad constante k y longitud L, si uno de susvertices está en el origen y tres de sus aristas se localizan a lo largo de los ejescoordenados.
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�k dV = k
Z L
0
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dx dy dz
= k
Z L
0
Z L
0
��y2 + z2
�x�L0dy dz = kL
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dy dz
= kL
Z L
0
�y3
3+ z2y
�L0
dz = kL
Z L
0
�L3
3+ z2L
�dz
= kL
�L3
3z + L
z3
3
�L0
= kL
�L4
3+L4
3
�=2k
3L5:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 5 1
Los momentos de inercia alrededor de los tres ejes coordenados son
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�� (x; y; z) dV; Iy =
ZZZE
�x2 + z2
�� (x; y; z) dV;
Iz =
ZZZE
�x2 + y2
�� (x; y; z) dV:
La carga eléctrica de un sólido que ocupa una región E y tiene densidad de carga� (x; y; z) es
Q =
ZZZE
� (x; y; z) dV:
EjemploEncontrar Ix para un cubo de densidad constante k y longitud L, si uno de susvertices está en el origen y tres de sus aristas se localizan a lo largo de los ejescoordenados.
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�k dV = k
Z L
0
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dx dy dz
= k
Z L
0
Z L
0
��y2 + z2
�x�L0dy dz = kL
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dy dz
= kL
Z L
0
�y3
3+ z2y
�L0
dz = kL
Z L
0
�L3
3+ z2L
�dz
= kL
�L3
3z + L
z3
3
�L0
= kL
�L4
3+L4
3
�=2k
3L5:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 5 1
Los momentos de inercia alrededor de los tres ejes coordenados son
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�� (x; y; z) dV; Iy =
ZZZE
�x2 + z2
�� (x; y; z) dV;
Iz =
ZZZE
�x2 + y2
�� (x; y; z) dV:
La carga eléctrica de un sólido que ocupa una región E y tiene densidad de carga� (x; y; z) es
Q =
ZZZE
� (x; y; z) dV:
EjemploEncontrar Ix para un cubo de densidad constante k y longitud L, si uno de susvertices está en el origen y tres de sus aristas se localizan a lo largo de los ejescoordenados.
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�k dV = k
Z L
0
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dx dy dz
= k
Z L
0
Z L
0
��y2 + z2
�x�L0dy dz = kL
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dy dz
= kL
Z L
0
�y3
3+ z2y
�L0
dz = kL
Z L
0
�L3
3+ z2L
�dz
= kL
�L3
3z + L
z3
3
�L0
= kL
�L4
3+L4
3
�=2k
3L5:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 5 1
Los momentos de inercia alrededor de los tres ejes coordenados son
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�� (x; y; z) dV; Iy =
ZZZE
�x2 + z2
�� (x; y; z) dV;
Iz =
ZZZE
�x2 + y2
�� (x; y; z) dV:
La carga eléctrica de un sólido que ocupa una región E y tiene densidad de carga� (x; y; z) es
Q =
ZZZE
� (x; y; z) dV:
EjemploEncontrar Ix para un cubo de densidad constante k y longitud L, si uno de susvertices está en el origen y tres de sus aristas se localizan a lo largo de los ejescoordenados.
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�k dV = k
Z L
0
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dx dy dz
= k
Z L
0
Z L
0
��y2 + z2
�x�L0dy dz = kL
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dy dz
= kL
Z L
0
�y3
3+ z2y
�L0
dz = kL
Z L
0
�L3
3+ z2L
�dz
= kL
�L3
3z + L
z3
3
�L0
= kL
�L4
3+L4
3
�=2k
3L5:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 5 1
Los momentos de inercia alrededor de los tres ejes coordenados son
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�� (x; y; z) dV; Iy =
ZZZE
�x2 + z2
�� (x; y; z) dV;
Iz =
ZZZE
�x2 + y2
�� (x; y; z) dV:
La carga eléctrica de un sólido que ocupa una región E y tiene densidad de carga� (x; y; z) es
Q =
ZZZE
� (x; y; z) dV:
EjemploEncontrar Ix para un cubo de densidad constante k y longitud L, si uno de susvertices está en el origen y tres de sus aristas se localizan a lo largo de los ejescoordenados.
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�k dV = k
Z L
0
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dx dy dz
= k
Z L
0
Z L
0
��y2 + z2
�x�L0dy dz = kL
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dy dz
= kL
Z L
0
�y3
3+ z2y
�L0
dz = kL
Z L
0
�L3
3+ z2L
�dz
= kL
�L3
3z + L
z3
3
�L0
= kL
�L4
3+L4
3
�=2k
3L5:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 5 1
Los momentos de inercia alrededor de los tres ejes coordenados son
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�� (x; y; z) dV; Iy =
ZZZE
�x2 + z2
�� (x; y; z) dV;
Iz =
ZZZE
�x2 + y2
�� (x; y; z) dV:
La carga eléctrica de un sólido que ocupa una región E y tiene densidad de carga� (x; y; z) es
Q =
ZZZE
� (x; y; z) dV:
EjemploEncontrar Ix para un cubo de densidad constante k y longitud L, si uno de susvertices está en el origen y tres de sus aristas se localizan a lo largo de los ejescoordenados.
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�k dV = k
Z L
0
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dx dy dz
= k
Z L
0
Z L
0
��y2 + z2
�x�L0dy dz = kL
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dy dz
= kL
Z L
0
�y3
3+ z2y
�L0
dz = kL
Z L
0
�L3
3+ z2L
�dz
= kL
�L3
3z + L
z3
3
�L0
= kL
�L4
3+L4
3
�=2k
3L5:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 5 1
Los momentos de inercia alrededor de los tres ejes coordenados son
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�� (x; y; z) dV; Iy =
ZZZE
�x2 + z2
�� (x; y; z) dV;
Iz =
ZZZE
�x2 + y2
�� (x; y; z) dV:
La carga eléctrica de un sólido que ocupa una región E y tiene densidad de carga� (x; y; z) es
Q =
ZZZE
� (x; y; z) dV:
EjemploEncontrar Ix para un cubo de densidad constante k y longitud L, si uno de susvertices está en el origen y tres de sus aristas se localizan a lo largo de los ejescoordenados.
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�k dV
= k
Z L
0
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dx dy dz
= k
Z L
0
Z L
0
��y2 + z2
�x�L0dy dz = kL
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dy dz
= kL
Z L
0
�y3
3+ z2y
�L0
dz = kL
Z L
0
�L3
3+ z2L
�dz
= kL
�L3
3z + L
z3
3
�L0
= kL
�L4
3+L4
3
�=2k
3L5:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 5 1
Los momentos de inercia alrededor de los tres ejes coordenados son
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�� (x; y; z) dV; Iy =
ZZZE
�x2 + z2
�� (x; y; z) dV;
Iz =
ZZZE
�x2 + y2
�� (x; y; z) dV:
La carga eléctrica de un sólido que ocupa una región E y tiene densidad de carga� (x; y; z) es
Q =
ZZZE
� (x; y; z) dV:
EjemploEncontrar Ix para un cubo de densidad constante k y longitud L, si uno de susvertices está en el origen y tres de sus aristas se localizan a lo largo de los ejescoordenados.
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�k dV = k
Z L
0
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dx dy dz
= k
Z L
0
Z L
0
��y2 + z2
�x�L0dy dz = kL
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dy dz
= kL
Z L
0
�y3
3+ z2y
�L0
dz = kL
Z L
0
�L3
3+ z2L
�dz
= kL
�L3
3z + L
z3
3
�L0
= kL
�L4
3+L4
3
�=2k
3L5:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 5 1
Los momentos de inercia alrededor de los tres ejes coordenados son
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�� (x; y; z) dV; Iy =
ZZZE
�x2 + z2
�� (x; y; z) dV;
Iz =
ZZZE
�x2 + y2
�� (x; y; z) dV:
La carga eléctrica de un sólido que ocupa una región E y tiene densidad de carga� (x; y; z) es
Q =
ZZZE
� (x; y; z) dV:
EjemploEncontrar Ix para un cubo de densidad constante k y longitud L, si uno de susvertices está en el origen y tres de sus aristas se localizan a lo largo de los ejescoordenados.
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�k dV = k
Z L
0
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dx dy dz
= k
Z L
0
Z L
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��y2 + z2
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Z L
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Z L
0
�y2 + z2
�dy dz
= kL
Z L
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�y3
3+ z2y
�L0
dz = kL
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�L3
3+ z2L
�dz
= kL
�L3
3z + L
z3
3
�L0
= kL
�L4
3+L4
3
�=2k
3L5:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 5 1
Los momentos de inercia alrededor de los tres ejes coordenados son
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�� (x; y; z) dV; Iy =
ZZZE
�x2 + z2
�� (x; y; z) dV;
Iz =
ZZZE
�x2 + y2
�� (x; y; z) dV:
La carga eléctrica de un sólido que ocupa una región E y tiene densidad de carga� (x; y; z) es
Q =
ZZZE
� (x; y; z) dV:
EjemploEncontrar Ix para un cubo de densidad constante k y longitud L, si uno de susvertices está en el origen y tres de sus aristas se localizan a lo largo de los ejescoordenados.
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�k dV = k
Z L
0
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dx dy dz
= k
Z L
0
Z L
0
��y2 + z2
�x�L0dy dz = kL
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dy dz
= kL
Z L
0
�y3
3+ z2y
�L0
dz = kL
Z L
0
�L3
3+ z2L
�dz
= kL
�L3
3z + L
z3
3
�L0
= kL
�L4
3+L4
3
�=2k
3L5:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 5 1
Los momentos de inercia alrededor de los tres ejes coordenados son
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�� (x; y; z) dV; Iy =
ZZZE
�x2 + z2
�� (x; y; z) dV;
Iz =
ZZZE
�x2 + y2
�� (x; y; z) dV:
La carga eléctrica de un sólido que ocupa una región E y tiene densidad de carga� (x; y; z) es
Q =
ZZZE
� (x; y; z) dV:
EjemploEncontrar Ix para un cubo de densidad constante k y longitud L, si uno de susvertices está en el origen y tres de sus aristas se localizan a lo largo de los ejescoordenados.
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�k dV = k
Z L
0
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dx dy dz
= k
Z L
0
Z L
0
��y2 + z2
�x�L0dy dz = kL
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dy dz
= kL
Z L
0
�y3
3+ z2y
�L0
dz
= kL
Z L
0
�L3
3+ z2L
�dz
= kL
�L3
3z + L
z3
3
�L0
= kL
�L4
3+L4
3
�=2k
3L5:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 5 1
Los momentos de inercia alrededor de los tres ejes coordenados son
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�� (x; y; z) dV; Iy =
ZZZE
�x2 + z2
�� (x; y; z) dV;
Iz =
ZZZE
�x2 + y2
�� (x; y; z) dV:
La carga eléctrica de un sólido que ocupa una región E y tiene densidad de carga� (x; y; z) es
Q =
ZZZE
� (x; y; z) dV:
EjemploEncontrar Ix para un cubo de densidad constante k y longitud L, si uno de susvertices está en el origen y tres de sus aristas se localizan a lo largo de los ejescoordenados.
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�k dV = k
Z L
0
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dx dy dz
= k
Z L
0
Z L
0
��y2 + z2
�x�L0dy dz = kL
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dy dz
= kL
Z L
0
�y3
3+ z2y
�L0
dz = kL
Z L
0
�L3
3+ z2L
�dz
= kL
�L3
3z + L
z3
3
�L0
= kL
�L4
3+L4
3
�=2k
3L5:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 5 1
Los momentos de inercia alrededor de los tres ejes coordenados son
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�� (x; y; z) dV; Iy =
ZZZE
�x2 + z2
�� (x; y; z) dV;
Iz =
ZZZE
�x2 + y2
�� (x; y; z) dV:
La carga eléctrica de un sólido que ocupa una región E y tiene densidad de carga� (x; y; z) es
Q =
ZZZE
� (x; y; z) dV:
EjemploEncontrar Ix para un cubo de densidad constante k y longitud L, si uno de susvertices está en el origen y tres de sus aristas se localizan a lo largo de los ejescoordenados.
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�k dV = k
Z L
0
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dx dy dz
= k
Z L
0
Z L
0
��y2 + z2
�x�L0dy dz = kL
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dy dz
= kL
Z L
0
�y3
3+ z2y
�L0
dz = kL
Z L
0
�L3
3+ z2L
�dz
= kL
�L3
3z + L
z3
3
�L0
= kL
�L4
3+L4
3
�=2k
3L5:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 5 1
Los momentos de inercia alrededor de los tres ejes coordenados son
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�� (x; y; z) dV; Iy =
ZZZE
�x2 + z2
�� (x; y; z) dV;
Iz =
ZZZE
�x2 + y2
�� (x; y; z) dV:
La carga eléctrica de un sólido que ocupa una región E y tiene densidad de carga� (x; y; z) es
Q =
ZZZE
� (x; y; z) dV:
EjemploEncontrar Ix para un cubo de densidad constante k y longitud L, si uno de susvertices está en el origen y tres de sus aristas se localizan a lo largo de los ejescoordenados.
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�k dV = k
Z L
0
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dx dy dz
= k
Z L
0
Z L
0
��y2 + z2
�x�L0dy dz = kL
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dy dz
= kL
Z L
0
�y3
3+ z2y
�L0
dz = kL
Z L
0
�L3
3+ z2L
�dz
= kL
�L3
3z + L
z3
3
�L0
= kL
�L4
3+L4
3
�
=2k
3L5:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 5 1
Los momentos de inercia alrededor de los tres ejes coordenados son
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�� (x; y; z) dV; Iy =
ZZZE
�x2 + z2
�� (x; y; z) dV;
Iz =
ZZZE
�x2 + y2
�� (x; y; z) dV:
La carga eléctrica de un sólido que ocupa una región E y tiene densidad de carga� (x; y; z) es
Q =
ZZZE
� (x; y; z) dV:
EjemploEncontrar Ix para un cubo de densidad constante k y longitud L, si uno de susvertices está en el origen y tres de sus aristas se localizan a lo largo de los ejescoordenados.
Ix =
ZZZE
�y2 + z2
�k dV = k
Z L
0
Z L
0
Z L
0
�y2 + z2
�dx dy dz
= k
Z L
0
Z L
0
��y2 + z2
�x�L0dy dz = kL
Z L
0
Z L
0
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�dy dz
= kL
Z L
0
�y3
3+ z2y
�L0
dz = kL
Z L
0
�L3
3+ z2L
�dz
= kL
�L3
3z + L
z3
3
�L0
= kL
�L4
3+L4
3
�=2k
3L5:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 5 1
EjemploHallar el centro de masa del sólido acotado por el cilindro z = 1� y2 y losplanos x+ z = 1, x = 0, z = 0 y tiene densidad constante � (x; y; z) = 4.
m =
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4 dx dz dy
=
Z 1
�1
Z 1�y2
0
[4x]x=1�zx=0 dz dy =
Z 1
�1
Z 1�y2
0
4 (1� z) dz dy
= 4
Z 1
�1
�z � z2
2
�z=1�y2z=0
dy = 4
Z 1
�1
"�1� y2
���1� y2
�22
#dy
= 2
Z 1
�1
�1� y4
�dy = 2
�y � y5
5
�1�1
= 2
��1� 1
5
����1�
��15
���=16
5:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 3 / 5 1
EjemploHallar el centro de masa del sólido acotado por el cilindro z = 1� y2 y losplanos x+ z = 1, x = 0, z = 0 y tiene densidad constante � (x; y; z) = 4.
m =
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4 dx dz dy
=
Z 1
�1
Z 1�y2
0
[4x]x=1�zx=0 dz dy =
Z 1
�1
Z 1�y2
0
4 (1� z) dz dy
= 4
Z 1
�1
�z � z2
2
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dy = 4
Z 1
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Z 1
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5
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= 2
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5
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5:
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EjemploHallar el centro de masa del sólido acotado por el cilindro z = 1� y2 y losplanos x+ z = 1, x = 0, z = 0 y tiene densidad constante � (x; y; z) = 4.
m =
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4 dx dz dy
=
Z 1
�1
Z 1�y2
0
[4x]x=1�zx=0 dz dy
=
Z 1
�1
Z 1�y2
0
4 (1� z) dz dy
= 4
Z 1
�1
�z � z2
2
�z=1�y2z=0
dy = 4
Z 1
�1
"�1� y2
���1� y2
�22
#dy
= 2
Z 1
�1
�1� y4
�dy = 2
�y � y5
5
�1�1
= 2
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5
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5:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 3 / 5 1
EjemploHallar el centro de masa del sólido acotado por el cilindro z = 1� y2 y losplanos x+ z = 1, x = 0, z = 0 y tiene densidad constante � (x; y; z) = 4.
m =
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4 dx dz dy
=
Z 1
�1
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0
[4x]x=1�zx=0 dz dy =
Z 1
�1
Z 1�y2
0
4 (1� z) dz dy
= 4
Z 1
�1
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2
�z=1�y2z=0
dy = 4
Z 1
�1
"�1� y2
���1� y2
�22
#dy
= 2
Z 1
�1
�1� y4
�dy = 2
�y � y5
5
�1�1
= 2
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5
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5:
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EjemploHallar el centro de masa del sólido acotado por el cilindro z = 1� y2 y losplanos x+ z = 1, x = 0, z = 0 y tiene densidad constante � (x; y; z) = 4.
m =
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4 dx dz dy
=
Z 1
�1
Z 1�y2
0
[4x]x=1�zx=0 dz dy =
Z 1
�1
Z 1�y2
0
4 (1� z) dz dy
= 4
Z 1
�1
�z � z2
2
�z=1�y2z=0
dy
= 4
Z 1
�1
"�1� y2
���1� y2
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#dy
= 2
Z 1
�1
�1� y4
�dy = 2
�y � y5
5
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= 2
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5
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5:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 3 / 5 1
EjemploHallar el centro de masa del sólido acotado por el cilindro z = 1� y2 y losplanos x+ z = 1, x = 0, z = 0 y tiene densidad constante � (x; y; z) = 4.
m =
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4 dx dz dy
=
Z 1
�1
Z 1�y2
0
[4x]x=1�zx=0 dz dy =
Z 1
�1
Z 1�y2
0
4 (1� z) dz dy
= 4
Z 1
�1
�z � z2
2
�z=1�y2z=0
dy = 4
Z 1
�1
"�1� y2
���1� y2
�22
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= 2
Z 1
�1
�1� y4
�dy = 2
�y � y5
5
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= 2
��1� 1
5
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5:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 3 / 5 1
EjemploHallar el centro de masa del sólido acotado por el cilindro z = 1� y2 y losplanos x+ z = 1, x = 0, z = 0 y tiene densidad constante � (x; y; z) = 4.
m =
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4 dx dz dy
=
Z 1
�1
Z 1�y2
0
[4x]x=1�zx=0 dz dy =
Z 1
�1
Z 1�y2
0
4 (1� z) dz dy
= 4
Z 1
�1
�z � z2
2
�z=1�y2z=0
dy = 4
Z 1
�1
"�1� y2
���1� y2
�22
#dy
= 2
Z 1
�1
�1� y4
�dy
= 2
�y � y5
5
�1�1
= 2
��1� 1
5
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5:
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EjemploHallar el centro de masa del sólido acotado por el cilindro z = 1� y2 y losplanos x+ z = 1, x = 0, z = 0 y tiene densidad constante � (x; y; z) = 4.
m =
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4 dx dz dy
=
Z 1
�1
Z 1�y2
0
[4x]x=1�zx=0 dz dy =
Z 1
�1
Z 1�y2
0
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= 4
Z 1
�1
�z � z2
2
�z=1�y2z=0
dy = 4
Z 1
�1
"�1� y2
���1� y2
�22
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= 2
Z 1
�1
�1� y4
�dy = 2
�y � y5
5
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= 2
��1� 1
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5:
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EjemploHallar el centro de masa del sólido acotado por el cilindro z = 1� y2 y losplanos x+ z = 1, x = 0, z = 0 y tiene densidad constante � (x; y; z) = 4.
m =
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4 dx dz dy
=
Z 1
�1
Z 1�y2
0
[4x]x=1�zx=0 dz dy =
Z 1
�1
Z 1�y2
0
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= 4
Z 1
�1
�z � z2
2
�z=1�y2z=0
dy = 4
Z 1
�1
"�1� y2
���1� y2
�22
#dy
= 2
Z 1
�1
�1� y4
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�y � y5
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= 2
��1� 1
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=16
5:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 3 / 5 1
EjemploHallar el centro de masa del sólido acotado por el cilindro z = 1� y2 y losplanos x+ z = 1, x = 0, z = 0 y tiene densidad constante � (x; y; z) = 4.
m =
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4 dx dz dy
=
Z 1
�1
Z 1�y2
0
[4x]x=1�zx=0 dz dy =
Z 1
�1
Z 1�y2
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= 4
Z 1
�1
�z � z2
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�z=1�y2z=0
dy = 4
Z 1
�1
"�1� y2
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�22
#dy
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Z 1
�1
�1� y4
�dy = 2
�y � y5
5
�1�1
= 2
��1� 1
5
����1�
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���=16
5:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 3 / 5 1
Ejemplo
�x =Myz
m
=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4x dx dz dy =5
16� 87=5
14
�y =Mxz
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4y dx dz dy =5
16� 0 = 0
�z =Myx
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4z dx dz dy =5
16� 3235=2
7
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 5 1
Ejemplo
�x =Myz
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4x dx dz dy
=5
16� 87=5
14
�y =Mxz
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4y dx dz dy =5
16� 0 = 0
�z =Myx
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4z dx dz dy =5
16� 3235=2
7
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 5 1
Ejemplo
�x =Myz
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4x dx dz dy =5
16� 87=5
14
�y =Mxz
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4y dx dz dy =5
16� 0 = 0
�z =Myx
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4z dx dz dy =5
16� 3235=2
7
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 5 1
Ejemplo
�x =Myz
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4x dx dz dy =5
16� 87=5
14
�y =Mxz
m
=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4y dx dz dy =5
16� 0 = 0
�z =Myx
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4z dx dz dy =5
16� 3235=2
7
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 5 1
Ejemplo
�x =Myz
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4x dx dz dy =5
16� 87=5
14
�y =Mxz
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4y dx dz dy
=5
16� 0 = 0
�z =Myx
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4z dx dz dy =5
16� 3235=2
7
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 5 1
Ejemplo
�x =Myz
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4x dx dz dy =5
16� 87=5
14
�y =Mxz
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4y dx dz dy =5
16� 0 = 0
�z =Myx
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4z dx dz dy =5
16� 3235=2
7
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 5 1
Ejemplo
�x =Myz
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4x dx dz dy =5
16� 87=5
14
�y =Mxz
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4y dx dz dy =5
16� 0 = 0
�z =Myx
m
=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4z dx dz dy =5
16� 3235=2
7
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 5 1
Ejemplo
�x =Myz
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4x dx dz dy =5
16� 87=5
14
�y =Mxz
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4y dx dz dy =5
16� 0 = 0
�z =Myx
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4z dx dz dy
=5
16� 3235=2
7
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 5 1
Ejemplo
�x =Myz
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4x dx dz dy =5
16� 87=5
14
�y =Mxz
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4y dx dz dy =5
16� 0 = 0
�z =Myx
m=5
16
Z 1
�1
Z 1�y2
0
Z 1�z
0
4z dx dz dy =5
16� 3235=2
7
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 5 1
Cambio de variables e integrales múltiples
Sustitución �Cambio de variablesZ b
a
f (u (x)) u0 (x) dx =
Z u(b)
u(a)
f (u) du
Cambio de variables a coordenadas polares
La región en el plano r� corresponde a la región R del plano xyZZR
f (x; y) dA =
ZZP
f (r cos �; r sen �) r dr d�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 5 / 5 1
Cambio de variables e integrales múltiples
Sustitución �Cambio de variablesZ b
a
f (u (x)) u0 (x) dx =
Z u(b)
u(a)
f (u) du
Cambio de variables a coordenadas polares
La región en el plano r� corresponde a la región R del plano xyZZR
f (x; y) dA =
ZZP
f (r cos �; r sen �) r dr d�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 5 / 5 1
Cambio de variables e integrales múltiples
Sustitución �Cambio de variablesZ b
a
f (u (x)) u0 (x) dx =
Z u(b)
u(a)
f (u) du
Cambio de variables a coordenadas polares
La región en el plano r� corresponde a la región R del plano xyZZR
f (x; y) dA =
ZZP
f (r cos �; r sen �) r dr d�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 5 / 5 1
Más generalmente, si un cambio de variables está dado por unatransformación T del plano uv en el plano xy, es decir,
T (u; v) = (x; y) = (g (u; v) ; h (u; v)) ; x = g (u; v) ; y = h (u; v)
entonces T transforma una región S del plano uv en una R del plano xy.
Si (x; y) = T (u; v) ; (x; y) se denomina imagen de (u; v) y R se denominaimagen de S (R = T (S)).T es 1�1 si puntos distintos de S tienen imágenes distintas en R. En este casoT tiene una transformación inversa y podemos despejar a u y v en términos dex y y.Trabajaremos con transformaciones T tales que T y T�1 son de clase C1.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 6 / 5 1
Más generalmente, si un cambio de variables está dado por unatransformación T del plano uv en el plano xy, es decir,
T (u; v) = (x; y) = (g (u; v) ; h (u; v)) ; x = g (u; v) ; y = h (u; v)
entonces T transforma una región S del plano uv en una R del plano xy.Si (x; y) = T (u; v) ; (x; y) se denomina imagen de (u; v) y R se denominaimagen de S (R = T (S)).
T es 1�1 si puntos distintos de S tienen imágenes distintas en R. En este casoT tiene una transformación inversa y podemos despejar a u y v en términos dex y y.Trabajaremos con transformaciones T tales que T y T�1 son de clase C1.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 6 / 5 1
Más generalmente, si un cambio de variables está dado por unatransformación T del plano uv en el plano xy, es decir,
T (u; v) = (x; y) = (g (u; v) ; h (u; v)) ; x = g (u; v) ; y = h (u; v)
entonces T transforma una región S del plano uv en una R del plano xy.Si (x; y) = T (u; v) ; (x; y) se denomina imagen de (u; v) y R se denominaimagen de S (R = T (S)).T es 1�1 si puntos distintos de S tienen imágenes distintas en R. En este casoT tiene una transformación inversa y podemos despejar a u y v en términos dex y y.Trabajaremos con transformaciones T tales que T y T�1 son de clase C1.G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 6 / 5 1
Ejemplo. Encuentre la imagen del triángulo con vertices en (0; 0), (2; 0) y(0; 2) mediante la transformación lineal u = y � x; v = y + x.
�u = y � xv = y + x
=)
8>>>><>>>>:
�y = u+ xy = v � x =) y =
u+ v
2�x = y � ux = v � y =) x =
v � u2
(>) 0 � x � 2; y = 0 =)�u = 0� xv = 0 + x
=)�v = �u ;�2 � u � 0
(�) 0 � x � 2; x+ y = 2 =)�u = (2� x)� xv = (2� x) + x
=)�u = 2� 2xv = 2
=)��2 � u � 2v = 2
(o) x = 0; 0 � y � 2 =)�u = y � 0v = y + 0
=)�v = u ; 0 � u � 2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 5 1
Ejemplo. Encuentre la imagen del triángulo con vertices en (0; 0), (2; 0) y(0; 2) mediante la transformación lineal u = y � x; v = y + x.
�u = y � xv = y + x
=)
8>>>><>>>>:
�y = u+ xy = v � x =) y =
u+ v
2�x = y � ux = v � y =) x =
v � u2
(>) 0 � x � 2; y = 0 =)�u = 0� xv = 0 + x
=)�v = �u ;�2 � u � 0
(�) 0 � x � 2; x+ y = 2 =)�u = (2� x)� xv = (2� x) + x
=)�u = 2� 2xv = 2
=)��2 � u � 2v = 2
(o) x = 0; 0 � y � 2 =)�u = y � 0v = y + 0
=)�v = u ; 0 � u � 2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 5 1
Ejemplo. Encuentre la imagen del triángulo con vertices en (0; 0), (2; 0) y(0; 2) mediante la transformación lineal u = y � x; v = y + x.
�u = y � xv = y + x
=)
8>>>><>>>>:
�y = u+ xy = v � x =) y =
u+ v
2�x = y � ux = v � y =) x =
v � u2
(>) 0 � x � 2; y = 0 =)�u = 0� xv = 0 + x
=)�v = �u ;�2 � u � 0
(�) 0 � x � 2; x+ y = 2 =)�u = (2� x)� xv = (2� x) + x
=)�u = 2� 2xv = 2
=)��2 � u � 2v = 2
(o) x = 0; 0 � y � 2 =)�u = y � 0v = y + 0
=)�v = u ; 0 � u � 2:
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Ejemplo. Encuentre la imagen del triángulo con vertices en (0; 0), (2; 0) y(0; 2) mediante la transformación lineal u = y � x; v = y + x.
�u = y � xv = y + x
=)
8>>>><>>>>:
�y = u+ xy = v � x =) y =
u+ v
2�x = y � ux = v � y =) x =
v � u2
(>) 0 � x � 2; y = 0 =)�u = 0� xv = 0 + x
=)�v = �u ;�2 � u � 0
(�) 0 � x � 2; x+ y = 2 =)�u = (2� x)� xv = (2� x) + x
=)�u = 2� 2xv = 2
=)��2 � u � 2v = 2
(o) x = 0; 0 � y � 2 =)�u = y � 0v = y + 0
=)�v = u ; 0 � u � 2:
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Ejemplo. Encuentre la imagen del triángulo con vertices en (0; 0), (2; 0) y(0; 2) mediante la transformación lineal u = y � x; v = y + x.
�u = y � xv = y + x
=)
8>>>><>>>>:
�y = u+ xy = v � x =) y =
u+ v
2�x = y � ux = v � y =) x =
v � u2
(>) 0 � x � 2; y = 0 =)�u = 0� xv = 0 + x
=)�v = �u ;�2 � u � 0
(�) 0 � x � 2; x+ y = 2 =)�u = (2� x)� xv = (2� x) + x
=)�u = 2� 2xv = 2
=)��2 � u � 2v = 2
(o) x = 0; 0 � y � 2 =)�u = y � 0v = y + 0
=)�v = u ; 0 � u � 2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 5 1
Ejemplo. Determine las curvas u y v de las transformaciones lineales T cuyainversa T�1 está dada por u = xy; v = x2 � y2.
�xy = u = c1
x2 � y2 = v = c2
=)(
y =c1x
x2 � y2 = c2
Ejemplo. Las ecuaciones x = u2 � v2, y = 2uv de�nen una transformación T .Encuentre T (S) si S = f(u; v) j 0 � u � 1; 0 � v � 1g :
Si 0 � u � 1; v = 0 entonces x = u2, y = 0.
Si u = 0; 0 � v � 1 entonces x = 1� v2, y = 2v,al reemplazar se obtiene x = 1� 1
4y2:
Si 0 � u � 1; v = 1 entonces x = u2 � 1, y = 2u,al reemplazar se obtiene x = 1
4y2 � 1:
Si u = 0; 0 � v � 1 entonces x = �v2, y = 0.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 5 1
Ejemplo. Determine las curvas u y v de las transformaciones lineales T cuyainversa T�1 está dada por u = xy; v = x2 � y2.�
xy = u = c1x2 � y2 = v = c2
=)(
y =c1x
x2 � y2 = c2
Ejemplo. Las ecuaciones x = u2 � v2, y = 2uv de�nen una transformación T .Encuentre T (S) si S = f(u; v) j 0 � u � 1; 0 � v � 1g :
Si 0 � u � 1; v = 0 entonces x = u2, y = 0.
Si u = 0; 0 � v � 1 entonces x = 1� v2, y = 2v,al reemplazar se obtiene x = 1� 1
4y2:
Si 0 � u � 1; v = 1 entonces x = u2 � 1, y = 2u,al reemplazar se obtiene x = 1
4y2 � 1:
Si u = 0; 0 � v � 1 entonces x = �v2, y = 0.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 5 1
Ejemplo. Determine las curvas u y v de las transformaciones lineales T cuyainversa T�1 está dada por u = xy; v = x2 � y2.�
xy = u = c1x2 � y2 = v = c2
=)(
y =c1x
x2 � y2 = c2
Ejemplo. Las ecuaciones x = u2 � v2, y = 2uv de�nen una transformación T .Encuentre T (S) si S = f(u; v) j 0 � u � 1; 0 � v � 1g :
Si 0 � u � 1; v = 0 entonces x = u2, y = 0.
Si u = 0; 0 � v � 1 entonces x = 1� v2, y = 2v,al reemplazar se obtiene x = 1� 1
4y2:
Si 0 � u � 1; v = 1 entonces x = u2 � 1, y = 2u,al reemplazar se obtiene x = 1
4y2 � 1:
Si u = 0; 0 � v � 1 entonces x = �v2, y = 0.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 5 1
Ejemplo. Determine las curvas u y v de las transformaciones lineales T cuyainversa T�1 está dada por u = xy; v = x2 � y2.�
xy = u = c1x2 � y2 = v = c2
=)(
y =c1x
x2 � y2 = c2
Ejemplo. Las ecuaciones x = u2 � v2, y = 2uv de�nen una transformación T .Encuentre T (S) si S = f(u; v) j 0 � u � 1; 0 � v � 1g :
Si 0 � u � 1; v = 0 entonces x = u2, y = 0.
Si u = 0; 0 � v � 1 entonces x = 1� v2, y = 2v,al reemplazar se obtiene x = 1� 1
4y2:
Si 0 � u � 1; v = 1 entonces x = u2 � 1, y = 2u,al reemplazar se obtiene x = 1
4y2 � 1:
Si u = 0; 0 � v � 1 entonces x = �v2, y = 0.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 5 1
Ejemplo. Determine las curvas u y v de las transformaciones lineales T cuyainversa T�1 está dada por u = xy; v = x2 � y2.�
xy = u = c1x2 � y2 = v = c2
=)(
y =c1x
x2 � y2 = c2
Ejemplo. Las ecuaciones x = u2 � v2, y = 2uv de�nen una transformación T .Encuentre T (S) si S = f(u; v) j 0 � u � 1; 0 � v � 1g :
Si 0 � u � 1; v = 0 entonces x = u2, y = 0.
Si u = 0; 0 � v � 1 entonces x = 1� v2, y = 2v,al reemplazar se obtiene x = 1� 1
4y2:
Si 0 � u � 1; v = 1 entonces x = u2 � 1, y = 2u,al reemplazar se obtiene x = 1
4y2 � 1:
Si u = 0; 0 � v � 1 entonces x = �v2, y = 0.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 5 1
Ejemplo. Determine las curvas u y v de las transformaciones lineales T cuyainversa T�1 está dada por u = xy; v = x2 � y2.�
xy = u = c1x2 � y2 = v = c2
=)(
y =c1x
x2 � y2 = c2
Ejemplo. Las ecuaciones x = u2 � v2, y = 2uv de�nen una transformación T .Encuentre T (S) si S = f(u; v) j 0 � u � 1; 0 � v � 1g :
Si 0 � u � 1; v = 0 entonces x = u2, y = 0.
Si u = 0; 0 � v � 1 entonces x = 1� v2, y = 2v,al reemplazar se obtiene x = 1� 1
4y2:
Si 0 � u � 1; v = 1 entonces x = u2 � 1, y = 2u,al reemplazar se obtiene x = 1
4y2 � 1:
Si u = 0; 0 � v � 1 entonces x = �v2, y = 0.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 5 1
Ejemplo. Determine las curvas u y v de las transformaciones lineales T cuyainversa T�1 está dada por u = xy; v = x2 � y2.�
xy = u = c1x2 � y2 = v = c2
=)(
y =c1x
x2 � y2 = c2
Ejemplo. Las ecuaciones x = u2 � v2, y = 2uv de�nen una transformación T .Encuentre T (S) si S = f(u; v) j 0 � u � 1; 0 � v � 1g :
Si 0 � u � 1; v = 0 entonces x = u2, y = 0.
Si u = 0; 0 � v � 1 entonces x = 1� v2, y = 2v,al reemplazar se obtiene x = 1� 1
4y2:
Si 0 � u � 1; v = 1 entonces x = u2 � 1, y = 2u,al reemplazar se obtiene x = 1
4y2 � 1:
Si u = 0; 0 � v � 1 entonces x = �v2, y = 0.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 5 1
Ejemplo. Determine las curvas u y v de las transformaciones lineales T cuyainversa T�1 está dada por u = xy; v = x2 � y2.�
xy = u = c1x2 � y2 = v = c2
=)(
y =c1x
x2 � y2 = c2
Ejemplo. Las ecuaciones x = u2 � v2, y = 2uv de�nen una transformación T .Encuentre T (S) si S = f(u; v) j 0 � u � 1; 0 � v � 1g :
Si 0 � u � 1; v = 0 entonces x = u2, y = 0.
Si u = 0; 0 � v � 1 entonces x = 1� v2, y = 2v,al reemplazar se obtiene x = 1� 1
4y2:
Si 0 � u � 1; v = 1 entonces x = u2 � 1, y = 2u,al reemplazar se obtiene x = 1
4y2 � 1:
Si u = 0; 0 � v � 1 entonces x = �v2, y = 0.G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 5 1
Ejemplo. Determine las curvas u y v de las transformaciones lineales T cuyainversa T�1 está dada por u = xy; v = x2 � y2.�
xy = u = c1x2 � y2 = v = c2
=)(
y =c1x
x2 � y2 = c2
Ejemplo. Las ecuaciones x = u2 � v2, y = 2uv de�nen una transformación T .Encuentre T (S) si S = f(u; v) j 0 � u � 1; 0 � v � 1g :
Si 0 � u � 1; v = 0 entonces x = u2, y = 0.
Si u = 0; 0 � v � 1 entonces x = 1� v2, y = 2v,al reemplazar se obtiene x = 1� 1
4y2:
Si 0 � u � 1; v = 1 entonces x = u2 � 1, y = 2u,al reemplazar se obtiene x = 1
4y2 � 1:
Si u = 0; 0 � v � 1 entonces x = �v2, y = 0.G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 5 1
Deducción de la fórmula de cambio de variable
~ru=fu(u0;v0) {̂+gu(u0;v0) |̂;~rv=fv(u0; v0) {̂+gv(u0;v0) |̂;
~a=~r(u0+�u; v0)�~r(u0; v0) � ~ru(u0; v0)��u~b=~r(u0; v0+�v)�~r(u0; v0) � ~rv(u0; v0)��v
�A � ~a�~b = k(~ru (u0; v0) ��u)� (~rv (u0; v0) ��v)k
= k~ru (u0; v0)� ~rv (u0; v0)k�u ��v:
~ru � ~rv =
������{̂ |̂ k̂@ux @uy 0@vx @vy 0
������ =���� @ux @uy@vx @vy
���� k̂
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 5 1
Deducción de la fórmula de cambio de variable
~ru=fu(u0;v0) {̂+gu(u0;v0) |̂;~rv=fv(u0; v0) {̂+gv(u0;v0) |̂;
~a=~r(u0+�u; v0)�~r(u0; v0) � ~ru(u0; v0)��u~b=~r(u0; v0+�v)�~r(u0; v0) � ~rv(u0; v0)��v
�A � ~a�~b = k(~ru (u0; v0) ��u)� (~rv (u0; v0) ��v)k
= k~ru (u0; v0)� ~rv (u0; v0)k�u ��v:
~ru � ~rv =
������{̂ |̂ k̂@ux @uy 0@vx @vy 0
������ =���� @ux @uy@vx @vy
���� k̂
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 5 1
Deducción de la fórmula de cambio de variable
~ru=fu(u0;v0) {̂+gu(u0;v0) |̂;~rv=fv(u0; v0) {̂+gv(u0;v0) |̂;
~a=~r(u0+�u; v0)�~r(u0; v0) � ~ru(u0; v0)��u~b=~r(u0; v0+�v)�~r(u0; v0) � ~rv(u0; v0)��v
�A � ~a�~b
= k(~ru (u0; v0) ��u)� (~rv (u0; v0) ��v)k
= k~ru (u0; v0)� ~rv (u0; v0)k�u ��v:
~ru � ~rv =
������{̂ |̂ k̂@ux @uy 0@vx @vy 0
������ =���� @ux @uy@vx @vy
���� k̂
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 5 1
Deducción de la fórmula de cambio de variable
~ru=fu(u0;v0) {̂+gu(u0;v0) |̂;~rv=fv(u0; v0) {̂+gv(u0;v0) |̂;
~a=~r(u0+�u; v0)�~r(u0; v0) � ~ru(u0; v0)��u~b=~r(u0; v0+�v)�~r(u0; v0) � ~rv(u0; v0)��v
�A � ~a�~b = k(~ru (u0; v0) ��u)� (~rv (u0; v0) ��v)k
= k~ru (u0; v0)� ~rv (u0; v0)k�u ��v:
~ru � ~rv =
������{̂ |̂ k̂@ux @uy 0@vx @vy 0
������ =���� @ux @uy@vx @vy
���� k̂
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 5 1
Deducción de la fórmula de cambio de variable
~ru=fu(u0;v0) {̂+gu(u0;v0) |̂;~rv=fv(u0; v0) {̂+gv(u0;v0) |̂;
~a=~r(u0+�u; v0)�~r(u0; v0) � ~ru(u0; v0)��u~b=~r(u0; v0+�v)�~r(u0; v0) � ~rv(u0; v0)��v
�A � ~a�~b = k(~ru (u0; v0) ��u)� (~rv (u0; v0) ��v)k
= k~ru (u0; v0)� ~rv (u0; v0)k�u ��v:
~ru � ~rv =
������{̂ |̂ k̂@ux @uy 0@vx @vy 0
������ =���� @ux @uy@vx @vy
���� k̂
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 5 1
Deducción de la fórmula de cambio de variable
~ru=fu(u0;v0) {̂+gu(u0;v0) |̂;~rv=fv(u0; v0) {̂+gv(u0;v0) |̂;
~a=~r(u0+�u; v0)�~r(u0; v0) � ~ru(u0; v0)��u~b=~r(u0; v0+�v)�~r(u0; v0) � ~rv(u0; v0)��v
�A � ~a�~b = k(~ru (u0; v0) ��u)� (~rv (u0; v0) ��v)k
= k~ru (u0; v0)� ~rv (u0; v0)k�u ��v:
~ru � ~rv =
������{̂ |̂ k̂@ux @uy 0@vx @vy 0
������ =
���� @ux @uy@vx @vy
���� k̂
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 5 1
Deducción de la fórmula de cambio de variable
~ru=fu(u0;v0) {̂+gu(u0;v0) |̂;~rv=fv(u0; v0) {̂+gv(u0;v0) |̂;
~a=~r(u0+�u; v0)�~r(u0; v0) � ~ru(u0; v0)��u~b=~r(u0; v0+�v)�~r(u0; v0) � ~rv(u0; v0)��v
�A � ~a�~b = k(~ru (u0; v0) ��u)� (~rv (u0; v0) ��v)k
= k~ru (u0; v0)� ~rv (u0; v0)k�u ��v:
~ru � ~rv =
������{̂ |̂ k̂@ux @uy 0@vx @vy 0
������ =���� @ux @uy@vx @vy
���� k̂G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 5 1
De�niciónEl jacobiano de la transformación lineal T dada por x = f (u; v) e y = g (u; v)es
J (u; v) =@ (x; y)
@ (u; v)=
���� @ux @uy@vx @vy
���� :
Observe que [J (x; y)]�1 = J (u; v) :
�A � jJ (u; v)j ��v ��u
ZZR
F (x; y) dA = l��mn;m!1
nXi=0
mXj=0
F (xij ; yij)�A
= l��mn;m!1
nXi=0
mXj=0
F (f (uij ; vij) ; g (uij ; vij)) jJ (u; v)j ��v ��u
=
ZZS
F (f (u; v) ; g (u; v)) jJ (u; v)j dv du
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 0 / 5 1
De�niciónEl jacobiano de la transformación lineal T dada por x = f (u; v) e y = g (u; v)es
J (u; v) =@ (x; y)
@ (u; v)=
���� @ux @uy@vx @vy
���� :Observe que [J (x; y)]�1 = J (u; v) :
�A � jJ (u; v)j ��v ��u
ZZR
F (x; y) dA = l��mn;m!1
nXi=0
mXj=0
F (xij ; yij)�A
= l��mn;m!1
nXi=0
mXj=0
F (f (uij ; vij) ; g (uij ; vij)) jJ (u; v)j ��v ��u
=
ZZS
F (f (u; v) ; g (u; v)) jJ (u; v)j dv du
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 0 / 5 1
De�niciónEl jacobiano de la transformación lineal T dada por x = f (u; v) e y = g (u; v)es
J (u; v) =@ (x; y)
@ (u; v)=
���� @ux @uy@vx @vy
���� :Observe que [J (x; y)]�1 = J (u; v) :
�A � jJ (u; v)j ��v ��u
ZZR
F (x; y) dA = l��mn;m!1
nXi=0
mXj=0
F (xij ; yij)�A
= l��mn;m!1
nXi=0
mXj=0
F (f (uij ; vij) ; g (uij ; vij)) jJ (u; v)j ��v ��u
=
ZZS
F (f (u; v) ; g (u; v)) jJ (u; v)j dv du
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 0 / 5 1
De�niciónEl jacobiano de la transformación lineal T dada por x = f (u; v) e y = g (u; v)es
J (u; v) =@ (x; y)
@ (u; v)=
���� @ux @uy@vx @vy
���� :Observe que [J (x; y)]�1 = J (u; v) :
�A � jJ (u; v)j ��v ��u
ZZR
F (x; y) dA = l��mn;m!1
nXi=0
mXj=0
F (xij ; yij)�A
= l��mn;m!1
nXi=0
mXj=0
F (f (uij ; vij) ; g (uij ; vij)) jJ (u; v)j ��v ��u
=
ZZS
F (f (u; v) ; g (u; v)) jJ (u; v)j dv du
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 0 / 5 1
De�niciónEl jacobiano de la transformación lineal T dada por x = f (u; v) e y = g (u; v)es
J (u; v) =@ (x; y)
@ (u; v)=
���� @ux @uy@vx @vy
���� :Observe que [J (x; y)]�1 = J (u; v) :
�A � jJ (u; v)j ��v ��u
ZZR
F (x; y) dA = l��mn;m!1
nXi=0
mXj=0
F (xij ; yij)�A
= l��mn;m!1
nXi=0
mXj=0
F (f (uij ; vij) ; g (uij ; vij)) jJ (u; v)j ��v ��u
=
ZZS
F (f (u; v) ; g (u; v)) jJ (u; v)j dv du
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 0 / 5 1
De�niciónEl jacobiano de la transformación lineal T dada por x = f (u; v) e y = g (u; v)es
J (u; v) =@ (x; y)
@ (u; v)=
���� @ux @uy@vx @vy
���� :Observe que [J (x; y)]�1 = J (u; v) :
�A � jJ (u; v)j ��v ��u
ZZR
F (x; y) dA = l��mn;m!1
nXi=0
mXj=0
F (xij ; yij)�A
= l��mn;m!1
nXi=0
mXj=0
F (f (uij ; vij) ; g (uij ; vij)) jJ (u; v)j ��v ��u
=
ZZS
F (f (u; v) ; g (u; v)) jJ (u; v)j dv du
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 0 / 5 1
TeoremaSea F : R � R2 �! R una función continua de dos variables x e y de�nidasobre R2. Sea G : S � R2 �! R2, G (u; v) = (x; y) = (f (u; v) ; g (u; v)) unafunción que manda de manera inyectiva los puntos (u; v) de S del plano uv enlos puntos (x; y) de R2 del plano xy. Suponga que G es de clase C1 (S) y quela derivada G0 (u; v) = J (u; v) es una matriz invertible para todo (u; v) 2 S.Entonces se tiene la fórmula de cambio de variables en integrales doblesZZ
R
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (f (u; v) ; g (u; v)) jJ (u; v)j dv du:
Cambio a coordenadas polares�x = r cos �y = r sen �
=)J (r; �)=@ (x; y)
@ (r; �)=
���� cos � sen ��r sen � r cos �
���� =r�cos2 �+sen2 ��=rZZ
R
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (r cos �; r sen �) jJ (r; �)j dr d�
=
ZZS
F (r cos �; r sen �) r dr d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 1 / 5 1
TeoremaSea F : R � R2 �! R una función continua de dos variables x e y de�nidasobre R2. Sea G : S � R2 �! R2, G (u; v) = (x; y) = (f (u; v) ; g (u; v)) unafunción que manda de manera inyectiva los puntos (u; v) de S del plano uv enlos puntos (x; y) de R2 del plano xy. Suponga que G es de clase C1 (S) y quela derivada G0 (u; v) = J (u; v) es una matriz invertible para todo (u; v) 2 S.Entonces se tiene la fórmula de cambio de variables en integrales doblesZZ
R
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (f (u; v) ; g (u; v)) jJ (u; v)j dv du:
Cambio a coordenadas polares�x = r cos �y = r sen �
=)J (r; �)=@ (x; y)
@ (r; �)=
���� cos � sen ��r sen � r cos �
���� =r�cos2 �+sen2 ��=rZZ
R
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (r cos �; r sen �) jJ (r; �)j dr d�
=
ZZS
F (r cos �; r sen �) r dr d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 1 / 5 1
TeoremaSea F : R � R2 �! R una función continua de dos variables x e y de�nidasobre R2. Sea G : S � R2 �! R2, G (u; v) = (x; y) = (f (u; v) ; g (u; v)) unafunción que manda de manera inyectiva los puntos (u; v) de S del plano uv enlos puntos (x; y) de R2 del plano xy. Suponga que G es de clase C1 (S) y quela derivada G0 (u; v) = J (u; v) es una matriz invertible para todo (u; v) 2 S.Entonces se tiene la fórmula de cambio de variables en integrales doblesZZ
R
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (f (u; v) ; g (u; v)) jJ (u; v)j dv du:
Cambio a coordenadas polares�x = r cos �y = r sen �
=)J (r; �)=@ (x; y)
@ (r; �)
=
���� cos � sen ��r sen � r cos �
���� =r�cos2 �+sen2 ��=rZZ
R
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (r cos �; r sen �) jJ (r; �)j dr d�
=
ZZS
F (r cos �; r sen �) r dr d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 1 / 5 1
TeoremaSea F : R � R2 �! R una función continua de dos variables x e y de�nidasobre R2. Sea G : S � R2 �! R2, G (u; v) = (x; y) = (f (u; v) ; g (u; v)) unafunción que manda de manera inyectiva los puntos (u; v) de S del plano uv enlos puntos (x; y) de R2 del plano xy. Suponga que G es de clase C1 (S) y quela derivada G0 (u; v) = J (u; v) es una matriz invertible para todo (u; v) 2 S.Entonces se tiene la fórmula de cambio de variables en integrales doblesZZ
R
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (f (u; v) ; g (u; v)) jJ (u; v)j dv du:
Cambio a coordenadas polares�x = r cos �y = r sen �
=)J (r; �)=@ (x; y)
@ (r; �)=
���� cos � sen ��r sen � r cos �
����
=r�cos2 �+sen2 �
�=r
ZZR
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (r cos �; r sen �) jJ (r; �)j dr d�
=
ZZS
F (r cos �; r sen �) r dr d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 1 / 5 1
TeoremaSea F : R � R2 �! R una función continua de dos variables x e y de�nidasobre R2. Sea G : S � R2 �! R2, G (u; v) = (x; y) = (f (u; v) ; g (u; v)) unafunción que manda de manera inyectiva los puntos (u; v) de S del plano uv enlos puntos (x; y) de R2 del plano xy. Suponga que G es de clase C1 (S) y quela derivada G0 (u; v) = J (u; v) es una matriz invertible para todo (u; v) 2 S.Entonces se tiene la fórmula de cambio de variables en integrales doblesZZ
R
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (f (u; v) ; g (u; v)) jJ (u; v)j dv du:
Cambio a coordenadas polares�x = r cos �y = r sen �
=)J (r; �)=@ (x; y)
@ (r; �)=
���� cos � sen ��r sen � r cos �
���� =r�cos2 �+sen2 ��=r
ZZR
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (r cos �; r sen �) jJ (r; �)j dr d�
=
ZZS
F (r cos �; r sen �) r dr d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 1 / 5 1
TeoremaSea F : R � R2 �! R una función continua de dos variables x e y de�nidasobre R2. Sea G : S � R2 �! R2, G (u; v) = (x; y) = (f (u; v) ; g (u; v)) unafunción que manda de manera inyectiva los puntos (u; v) de S del plano uv enlos puntos (x; y) de R2 del plano xy. Suponga que G es de clase C1 (S) y quela derivada G0 (u; v) = J (u; v) es una matriz invertible para todo (u; v) 2 S.Entonces se tiene la fórmula de cambio de variables en integrales doblesZZ
R
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (f (u; v) ; g (u; v)) jJ (u; v)j dv du:
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@ (r; �)=
���� cos � sen ��r sen � r cos �
���� =r�cos2 �+sen2 ��=rZZ
R
F (x; y) dx dy
=
ZZS
F (r cos �; r sen �) jJ (r; �)j dr d�
=
ZZS
F (r cos �; r sen �) r dr d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 1 / 5 1
TeoremaSea F : R � R2 �! R una función continua de dos variables x e y de�nidasobre R2. Sea G : S � R2 �! R2, G (u; v) = (x; y) = (f (u; v) ; g (u; v)) unafunción que manda de manera inyectiva los puntos (u; v) de S del plano uv enlos puntos (x; y) de R2 del plano xy. Suponga que G es de clase C1 (S) y quela derivada G0 (u; v) = J (u; v) es una matriz invertible para todo (u; v) 2 S.Entonces se tiene la fórmula de cambio de variables en integrales doblesZZ
R
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (f (u; v) ; g (u; v)) jJ (u; v)j dv du:
Cambio a coordenadas polares�x = r cos �y = r sen �
=)J (r; �)=@ (x; y)
@ (r; �)=
���� cos � sen ��r sen � r cos �
���� =r�cos2 �+sen2 ��=rZZ
R
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (r cos �; r sen �) jJ (r; �)j dr d�
=
ZZS
F (r cos �; r sen �) r dr d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 1 / 5 1
TeoremaSea F : R � R2 �! R una función continua de dos variables x e y de�nidasobre R2. Sea G : S � R2 �! R2, G (u; v) = (x; y) = (f (u; v) ; g (u; v)) unafunción que manda de manera inyectiva los puntos (u; v) de S del plano uv enlos puntos (x; y) de R2 del plano xy. Suponga que G es de clase C1 (S) y quela derivada G0 (u; v) = J (u; v) es una matriz invertible para todo (u; v) 2 S.Entonces se tiene la fórmula de cambio de variables en integrales doblesZZ
R
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (f (u; v) ; g (u; v)) jJ (u; v)j dv du:
Cambio a coordenadas polares�x = r cos �y = r sen �
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@ (r; �)=
���� cos � sen ��r sen � r cos �
���� =r�cos2 �+sen2 ��=rZZ
R
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (r cos �; r sen �) jJ (r; �)j dr d�
=
ZZS
F (r cos �; r sen �) r dr d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 1 / 5 1
Ejemplo. CalcularZZ
R
(x+ y + 1) dA, donde R es la región acotada por las
rectas y � x = 1; y � x = �1; y + x = 1 e y + x = 2:(CuadriláteroABCD, A (0; 1) ; B (1; 0) ; C (3=3; 1=2) ; D (1=2; 3=2)).
�u = y � xv = y + x
=)
8<: x =v � u2
y =u+ v
2
J (x; y) =
���� �1 11 1
���� = �2;J (u; v) =
���� �1=2 1=21=2 1=2
���� = �12 :ZZR
(x+ y + 1) dA =
Z 1
�1
Z 2
1
(v + 1)
�1
2
�dv du
=1
2
Z 1
�1
�v2
2+ v
�21
du =1
2
Z 1
�1
5
2du =
5
4u
�1�1
=5
2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 2 / 5 1
Ejemplo. CalcularZZ
R
(x+ y + 1) dA, donde R es la región acotada por las
rectas y � x = 1; y � x = �1; y + x = 1 e y + x = 2:(CuadriláteroABCD, A (0; 1) ; B (1; 0) ; C (3=3; 1=2) ; D (1=2; 3=2)).
�u = y � xv = y + x
=)
8<: x =v � u2
y =u+ v
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J (x; y) =
���� �1 11 1
���� = �2;J (u; v) =
���� �1=2 1=21=2 1=2
���� = �12 :ZZR
(x+ y + 1) dA =
Z 1
�1
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(v + 1)
�1
2
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2
Z 1
�1
�v2
2+ v
�21
du =1
2
Z 1
�1
5
2du =
5
4u
�1�1
=5
2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 2 / 5 1
Ejemplo. CalcularZZ
R
(x+ y + 1) dA, donde R es la región acotada por las
rectas y � x = 1; y � x = �1; y + x = 1 e y + x = 2:(CuadriláteroABCD, A (0; 1) ; B (1; 0) ; C (3=3; 1=2) ; D (1=2; 3=2)).
�u = y � xv = y + x
=)
8<: x =v � u2
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���� �1 11 1
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J (u; v) =
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Z 1
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�1
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=1
2
Z 1
�1
�v2
2+ v
�21
du =1
2
Z 1
�1
5
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5
4u
�1�1
=5
2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 2 / 5 1
Ejemplo. CalcularZZ
R
(x+ y + 1) dA, donde R es la región acotada por las
rectas y � x = 1; y � x = �1; y + x = 1 e y + x = 2:(CuadriláteroABCD, A (0; 1) ; B (1; 0) ; C (3=3; 1=2) ; D (1=2; 3=2)).
�u = y � xv = y + x
=)
8<: x =v � u2
y =u+ v
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J (x; y) =
���� �1 11 1
���� = �2;J (u; v) =
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ZZR
(x+ y + 1) dA =
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Z 2
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�1
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=1
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Z 1
�1
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�1
5
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5
4u
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=5
2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 2 / 5 1
Ejemplo. CalcularZZ
R
(x+ y + 1) dA, donde R es la región acotada por las
rectas y � x = 1; y � x = �1; y + x = 1 e y + x = 2:(CuadriláteroABCD, A (0; 1) ; B (1; 0) ; C (3=3; 1=2) ; D (1=2; 3=2)).
�u = y � xv = y + x
=)
8<: x =v � u2
y =u+ v
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(x+ y + 1) dA
=
Z 1
�1
Z 2
1
(v + 1)
�1
2
�dv du
=1
2
Z 1
�1
�v2
2+ v
�21
du =1
2
Z 1
�1
5
2du =
5
4u
�1�1
=5
2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 2 / 5 1
Ejemplo. CalcularZZ
R
(x+ y + 1) dA, donde R es la región acotada por las
rectas y � x = 1; y � x = �1; y + x = 1 e y + x = 2:(CuadriláteroABCD, A (0; 1) ; B (1; 0) ; C (3=3; 1=2) ; D (1=2; 3=2)).
�u = y � xv = y + x
=)
8<: x =v � u2
y =u+ v
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���� �1 11 1
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���� �1=2 1=21=2 1=2
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Z 1
�1
Z 2
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(v + 1)
�1
2
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=1
2
Z 1
�1
�v2
2+ v
�21
du =1
2
Z 1
�1
5
2du =
5
4u
�1�1
=5
2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 2 / 5 1
Ejemplo. CalcularZZ
R
(x+ y + 1) dA, donde R es la región acotada por las
rectas y � x = 1; y � x = �1; y + x = 1 e y + x = 2:(CuadriláteroABCD, A (0; 1) ; B (1; 0) ; C (3=3; 1=2) ; D (1=2; 3=2)).
�u = y � xv = y + x
=)
8<: x =v � u2
y =u+ v
2
J (x; y) =
���� �1 11 1
���� = �2;J (u; v) =
���� �1=2 1=21=2 1=2
���� = �12 :ZZR
(x+ y + 1) dA =
Z 1
�1
Z 2
1
(v + 1)
�1
2
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=1
2
Z 1
�1
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2+ v
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=1
2
Z 1
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5
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5
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2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 2 / 5 1
Ejemplo. CalcularZZ
R
(x+ y + 1) dA, donde R es la región acotada por las
rectas y � x = 1; y � x = �1; y + x = 1 e y + x = 2:(CuadriláteroABCD, A (0; 1) ; B (1; 0) ; C (3=3; 1=2) ; D (1=2; 3=2)).
�u = y � xv = y + x
=)
8<: x =v � u2
y =u+ v
2
J (x; y) =
���� �1 11 1
���� = �2;J (u; v) =
���� �1=2 1=21=2 1=2
���� = �12 :ZZR
(x+ y + 1) dA =
Z 1
�1
Z 2
1
(v + 1)
�1
2
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=1
2
Z 1
�1
�v2
2+ v
�21
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2
Z 1
�1
5
2du
=5
4u
�1�1
=5
2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 2 / 5 1
Ejemplo. CalcularZZ
R
(x+ y + 1) dA, donde R es la región acotada por las
rectas y � x = 1; y � x = �1; y + x = 1 e y + x = 2:(CuadriláteroABCD, A (0; 1) ; B (1; 0) ; C (3=3; 1=2) ; D (1=2; 3=2)).
�u = y � xv = y + x
=)
8<: x =v � u2
y =u+ v
2
J (x; y) =
���� �1 11 1
���� = �2;J (u; v) =
���� �1=2 1=21=2 1=2
���� = �12 :ZZR
(x+ y + 1) dA =
Z 1
�1
Z 2
1
(v + 1)
�1
2
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=1
2
Z 1
�1
�v2
2+ v
�21
du =1
2
Z 1
�1
5
2du =
5
4u
�1�1
=5
2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 2 / 5 1
Ejemplo. CalcularZZ
R
(x+ y + 1) dA, donde R es la región acotada por las
rectas y � x = 1; y � x = �1; y + x = 1 e y + x = 2:(CuadriláteroABCD, A (0; 1) ; B (1; 0) ; C (3=3; 1=2) ; D (1=2; 3=2)).
�u = y � xv = y + x
=)
8<: x =v � u2
y =u+ v
2
J (x; y) =
���� �1 11 1
���� = �2;J (u; v) =
���� �1=2 1=21=2 1=2
���� = �12 :ZZR
(x+ y + 1) dA =
Z 1
�1
Z 2
1
(v + 1)
�1
2
�dv du
=1
2
Z 1
�1
�v2
2+ v
�21
du =1
2
Z 1
�1
5
2du =
5
4u
�1�1
=5
2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 2 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x2y2 dA, donde R es la región acotada por xy = 2,
xy = 1, x = 2y y 3x = y:
�u = xyv = x=y
J (x; y) =
���� y 1=yx �x=y2
����= �2x
y= �2v
J (u; v) = � 1
2v
ZZR
x2y2 dA =
Z 2
1
Z 2
1=3
u2�1
2v
�dv du
=1
2
Z 2
1
u2�ln v�21=3
du =1
2[ln 2� ln (1=3)]
�u3
3
�21
=7
6ln 6:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 3 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x2y2 dA, donde R es la región acotada por xy = 2,
xy = 1, x = 2y y 3x = y:
�u = xyv = x=y
J (x; y) =
���� y 1=yx �x=y2
����= �2x
y= �2v
J (u; v) = � 1
2v
ZZR
x2y2 dA =
Z 2
1
Z 2
1=3
u2�1
2v
�dv du
=1
2
Z 2
1
u2�ln v�21=3
du =1
2[ln 2� ln (1=3)]
�u3
3
�21
=7
6ln 6:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 3 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x2y2 dA, donde R es la región acotada por xy = 2,
xy = 1, x = 2y y 3x = y:
�u = xyv = x=y
J (x; y) =
���� y 1=yx �x=y2
����= �2x
y= �2v
J (u; v) = � 1
2v
ZZR
x2y2 dA =
Z 2
1
Z 2
1=3
u2�1
2v
�dv du
=1
2
Z 2
1
u2�ln v�21=3
du =1
2[ln 2� ln (1=3)]
�u3
3
�21
=7
6ln 6:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 3 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x2y2 dA, donde R es la región acotada por xy = 2,
xy = 1, x = 2y y 3x = y:
�u = xyv = x=y
J (x; y) =
���� y 1=yx �x=y2
����
= �2xy= �2v
J (u; v) = � 1
2v
ZZR
x2y2 dA =
Z 2
1
Z 2
1=3
u2�1
2v
�dv du
=1
2
Z 2
1
u2�ln v�21=3
du =1
2[ln 2� ln (1=3)]
�u3
3
�21
=7
6ln 6:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 3 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x2y2 dA, donde R es la región acotada por xy = 2,
xy = 1, x = 2y y 3x = y:
�u = xyv = x=y
J (x; y) =
���� y 1=yx �x=y2
����= �2x
y= �2v
J (u; v) = � 1
2v
ZZR
x2y2 dA =
Z 2
1
Z 2
1=3
u2�1
2v
�dv du
=1
2
Z 2
1
u2�ln v�21=3
du =1
2[ln 2� ln (1=3)]
�u3
3
�21
=7
6ln 6:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 3 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x2y2 dA, donde R es la región acotada por xy = 2,
xy = 1, x = 2y y 3x = y:
�u = xyv = x=y
J (x; y) =
���� y 1=yx �x=y2
����= �2x
y= �2v
J (u; v) = � 1
2v
ZZR
x2y2 dA =
Z 2
1
Z 2
1=3
u2�1
2v
�dv du
=1
2
Z 2
1
u2�ln v�21=3
du =1
2[ln 2� ln (1=3)]
�u3
3
�21
=7
6ln 6:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 3 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x2y2 dA, donde R es la región acotada por xy = 2,
xy = 1, x = 2y y 3x = y:
�u = xyv = x=y
J (x; y) =
���� y 1=yx �x=y2
����= �2x
y= �2v
J (u; v) = � 1
2v
ZZR
x2y2 dA
=
Z 2
1
Z 2
1=3
u2�1
2v
�dv du
=1
2
Z 2
1
u2�ln v�21=3
du =1
2[ln 2� ln (1=3)]
�u3
3
�21
=7
6ln 6:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 3 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x2y2 dA, donde R es la región acotada por xy = 2,
xy = 1, x = 2y y 3x = y:
�u = xyv = x=y
J (x; y) =
���� y 1=yx �x=y2
����= �2x
y= �2v
J (u; v) = � 1
2v
ZZR
x2y2 dA =
Z 2
1
Z 2
1=3
u2�1
2v
�dv du
=1
2
Z 2
1
u2�ln v�21=3
du =1
2[ln 2� ln (1=3)]
�u3
3
�21
=7
6ln 6:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 3 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x2y2 dA, donde R es la región acotada por xy = 2,
xy = 1, x = 2y y 3x = y:
�u = xyv = x=y
J (x; y) =
���� y 1=yx �x=y2
����= �2x
y= �2v
J (u; v) = � 1
2v
ZZR
x2y2 dA =
Z 2
1
Z 2
1=3
u2�1
2v
�dv du
=1
2
Z 2
1
u2�ln v�21=3
du
=1
2[ln 2� ln (1=3)]
�u3
3
�21
=7
6ln 6:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 3 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x2y2 dA, donde R es la región acotada por xy = 2,
xy = 1, x = 2y y 3x = y:
�u = xyv = x=y
J (x; y) =
���� y 1=yx �x=y2
����= �2x
y= �2v
J (u; v) = � 1
2v
ZZR
x2y2 dA =
Z 2
1
Z 2
1=3
u2�1
2v
�dv du
=1
2
Z 2
1
u2�ln v�21=3
du =1
2[ln 2� ln (1=3)]
�u3
3
�21
=7
6ln 6:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 3 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x2y2 dA, donde R es la región acotada por xy = 2,
xy = 1, x = 2y y 3x = y:
�u = xyv = x=y
J (x; y) =
���� y 1=yx �x=y2
����= �2x
y= �2v
J (u; v) = � 1
2v
ZZR
x2y2 dA =
Z 2
1
Z 2
1=3
u2�1
2v
�dv du
=1
2
Z 2
1
u2�ln v�21=3
du =1
2[ln 2� ln (1=3)]
�u3
3
�21
=7
6ln 6:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 3 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x�3 dA, donde R es la región acotada por y = 2x2,
y = x2, x = y2 y x = 2y2:
�u = y=x2
v = y2=x
J (x; y) =
���� �2y=x3 �y2=x21=x2 2y=x
����= �3y
2
x4= �3u2
J (u; v) = � 1
3u2
ZZR
x�3 dA =
ZZR
� yx2
�2� x
y2
�dA =
Z 2
1
Z 1
1=2
u2
v
�1
3u2
�dv du
=1
3
Z 2
1
du
Z 1
1=2
dv
v=1
3(2� 1)
�ln 1� ln 12
�=1
3ln 2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 4 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x�3 dA, donde R es la región acotada por y = 2x2,
y = x2, x = y2 y x = 2y2:
�u = y=x2
v = y2=x
J (x; y) =
���� �2y=x3 �y2=x21=x2 2y=x
����= �3y
2
x4= �3u2
J (u; v) = � 1
3u2
ZZR
x�3 dA =
ZZR
� yx2
�2� x
y2
�dA =
Z 2
1
Z 1
1=2
u2
v
�1
3u2
�dv du
=1
3
Z 2
1
du
Z 1
1=2
dv
v=1
3(2� 1)
�ln 1� ln 12
�=1
3ln 2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 4 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x�3 dA, donde R es la región acotada por y = 2x2,
y = x2, x = y2 y x = 2y2:
�u = y=x2
v = y2=x
J (x; y) =
���� �2y=x3 �y2=x21=x2 2y=x
����= �3y
2
x4= �3u2
J (u; v) = � 1
3u2
ZZR
x�3 dA =
ZZR
� yx2
�2� x
y2
�dA =
Z 2
1
Z 1
1=2
u2
v
�1
3u2
�dv du
=1
3
Z 2
1
du
Z 1
1=2
dv
v=1
3(2� 1)
�ln 1� ln 12
�=1
3ln 2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 4 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x�3 dA, donde R es la región acotada por y = 2x2,
y = x2, x = y2 y x = 2y2:
�u = y=x2
v = y2=x
J (x; y) =
���� �2y=x3 �y2=x21=x2 2y=x
����
= �3y2
x4= �3u2
J (u; v) = � 1
3u2
ZZR
x�3 dA =
ZZR
� yx2
�2� x
y2
�dA =
Z 2
1
Z 1
1=2
u2
v
�1
3u2
�dv du
=1
3
Z 2
1
du
Z 1
1=2
dv
v=1
3(2� 1)
�ln 1� ln 12
�=1
3ln 2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 4 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x�3 dA, donde R es la región acotada por y = 2x2,
y = x2, x = y2 y x = 2y2:
�u = y=x2
v = y2=x
J (x; y) =
���� �2y=x3 �y2=x21=x2 2y=x
����= �3y
2
x4= �3u2
J (u; v) = � 1
3u2
ZZR
x�3 dA =
ZZR
� yx2
�2� x
y2
�dA =
Z 2
1
Z 1
1=2
u2
v
�1
3u2
�dv du
=1
3
Z 2
1
du
Z 1
1=2
dv
v=1
3(2� 1)
�ln 1� ln 12
�=1
3ln 2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 4 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x�3 dA, donde R es la región acotada por y = 2x2,
y = x2, x = y2 y x = 2y2:
�u = y=x2
v = y2=x
J (x; y) =
���� �2y=x3 �y2=x21=x2 2y=x
����= �3y
2
x4= �3u2
J (u; v) = � 1
3u2
ZZR
x�3 dA =
ZZR
� yx2
�2� x
y2
�dA =
Z 2
1
Z 1
1=2
u2
v
�1
3u2
�dv du
=1
3
Z 2
1
du
Z 1
1=2
dv
v=1
3(2� 1)
�ln 1� ln 12
�=1
3ln 2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 4 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x�3 dA, donde R es la región acotada por y = 2x2,
y = x2, x = y2 y x = 2y2:
�u = y=x2
v = y2=x
J (x; y) =
���� �2y=x3 �y2=x21=x2 2y=x
����= �3y
2
x4= �3u2
J (u; v) = � 1
3u2
ZZR
x�3 dA
=
ZZR
� yx2
�2� x
y2
�dA =
Z 2
1
Z 1
1=2
u2
v
�1
3u2
�dv du
=1
3
Z 2
1
du
Z 1
1=2
dv
v=1
3(2� 1)
�ln 1� ln 12
�=1
3ln 2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 4 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x�3 dA, donde R es la región acotada por y = 2x2,
y = x2, x = y2 y x = 2y2:
�u = y=x2
v = y2=x
J (x; y) =
���� �2y=x3 �y2=x21=x2 2y=x
����= �3y
2
x4= �3u2
J (u; v) = � 1
3u2
ZZR
x�3 dA =
ZZR
� yx2
�2� x
y2
�dA
=
Z 2
1
Z 1
1=2
u2
v
�1
3u2
�dv du
=1
3
Z 2
1
du
Z 1
1=2
dv
v=1
3(2� 1)
�ln 1� ln 12
�=1
3ln 2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 4 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x�3 dA, donde R es la región acotada por y = 2x2,
y = x2, x = y2 y x = 2y2:
�u = y=x2
v = y2=x
J (x; y) =
���� �2y=x3 �y2=x21=x2 2y=x
����= �3y
2
x4= �3u2
J (u; v) = � 1
3u2
ZZR
x�3 dA =
ZZR
� yx2
�2� x
y2
�dA =
Z 2
1
Z 1
1=2
u2
v
�1
3u2
�dv du
=1
3
Z 2
1
du
Z 1
1=2
dv
v=1
3(2� 1)
�ln 1� ln 12
�=1
3ln 2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 4 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x�3 dA, donde R es la región acotada por y = 2x2,
y = x2, x = y2 y x = 2y2:
�u = y=x2
v = y2=x
J (x; y) =
���� �2y=x3 �y2=x21=x2 2y=x
����= �3y
2
x4= �3u2
J (u; v) = � 1
3u2
ZZR
x�3 dA =
ZZR
� yx2
�2� x
y2
�dA =
Z 2
1
Z 1
1=2
u2
v
�1
3u2
�dv du
=1
3
Z 2
1
du
Z 1
1=2
dv
v
=1
3(2� 1)
�ln 1� ln 12
�=1
3ln 2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 4 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x�3 dA, donde R es la región acotada por y = 2x2,
y = x2, x = y2 y x = 2y2:
�u = y=x2
v = y2=x
J (x; y) =
���� �2y=x3 �y2=x21=x2 2y=x
����= �3y
2
x4= �3u2
J (u; v) = � 1
3u2
ZZR
x�3 dA =
ZZR
� yx2
�2� x
y2
�dA =
Z 2
1
Z 1
1=2
u2
v
�1
3u2
�dv du
=1
3
Z 2
1
du
Z 1
1=2
dv
v=1
3(2� 1)
�ln 1� ln 12
�
=1
3ln 2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 4 / 5 1
Ejemplo. CalculeZZ
R
x�3 dA, donde R es la región acotada por y = 2x2,
y = x2, x = y2 y x = 2y2:
�u = y=x2
v = y2=x
J (x; y) =
���� �2y=x3 �y2=x21=x2 2y=x
����= �3y
2
x4= �3u2
J (u; v) = � 1
3u2
ZZR
x�3 dA =
ZZR
� yx2
�2� x
y2
�dA =
Z 2
1
Z 1
1=2
u2
v
�1
3u2
�dv du
=1
3
Z 2
1
du
Z 1
1=2
dv
v=1
3(2� 1)
�ln 1� ln 12
�=1
3ln 2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 4 / 5 1
Ejemplo. Se quiere calcular el área del anillo elíptico acotado por
x2 + 4y2 = 4 y x2 + 4y2 = 16:
�x = 2r cos �y = r sen �
J (r; �) =@ (x; y)
@ (r; �)=
���� 2 cos � sen ��2r sen � r cos �
���� = 2r �cos2 � + sen2 �� = 2rA =
Z 2�
0
Z 2
1
2r dr d� = 2� (4� 1) = 6�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 5 / 5 1
Ejemplo. Se quiere calcular el área del anillo elíptico acotado por
x2 + 4y2 = 4 y x2 + 4y2 = 16:
�x = 2r cos �y = r sen �
J (r; �) =@ (x; y)
@ (r; �)=
���� 2 cos � sen ��2r sen � r cos �
���� = 2r �cos2 � + sen2 �� = 2rA =
Z 2�
0
Z 2
1
2r dr d� = 2� (4� 1) = 6�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 5 / 5 1
Ejemplo. Se quiere calcular el área del anillo elíptico acotado por
x2 + 4y2 = 4 y x2 + 4y2 = 16:
�x = 2r cos �y = r sen �
J (r; �) =@ (x; y)
@ (r; �)=
���� 2 cos � sen ��2r sen � r cos �
���� = 2r �cos2 � + sen2 �� = 2rA =
Z 2�
0
Z 2
1
2r dr d� = 2� (4� 1) = 6�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 5 / 5 1
Ejemplo. Se quiere calcular el área del anillo elíptico acotado por
x2 + 4y2 = 4 y x2 + 4y2 = 16:
�x = 2r cos �y = r sen �
J (r; �) =@ (x; y)
@ (r; �)
=
���� 2 cos � sen ��2r sen � r cos �
���� = 2r �cos2 � + sen2 �� = 2rA =
Z 2�
0
Z 2
1
2r dr d� = 2� (4� 1) = 6�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 5 / 5 1
Ejemplo. Se quiere calcular el área del anillo elíptico acotado por
x2 + 4y2 = 4 y x2 + 4y2 = 16:
�x = 2r cos �y = r sen �
J (r; �) =@ (x; y)
@ (r; �)=
���� 2 cos � sen ��2r sen � r cos �
����
= 2r�cos2 � + sen2 �
�= 2r
A =
Z 2�
0
Z 2
1
2r dr d� = 2� (4� 1) = 6�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 5 / 5 1
Ejemplo. Se quiere calcular el área del anillo elíptico acotado por
x2 + 4y2 = 4 y x2 + 4y2 = 16:
�x = 2r cos �y = r sen �
J (r; �) =@ (x; y)
@ (r; �)=
���� 2 cos � sen ��2r sen � r cos �
���� = 2r �cos2 � + sen2 �� = 2r
A =
Z 2�
0
Z 2
1
2r dr d� = 2� (4� 1) = 6�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 5 / 5 1
Ejemplo. Se quiere calcular el área del anillo elíptico acotado por
x2 + 4y2 = 4 y x2 + 4y2 = 16:
�x = 2r cos �y = r sen �
J (r; �) =@ (x; y)
@ (r; �)=
���� 2 cos � sen ��2r sen � r cos �
���� = 2r �cos2 � + sen2 �� = 2rA =
Z 2�
0
Z 2
1
2r dr d�
= 2� (4� 1) = 6�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 5 / 5 1
Ejemplo. Se quiere calcular el área del anillo elíptico acotado por
x2 + 4y2 = 4 y x2 + 4y2 = 16:
�x = 2r cos �y = r sen �
J (r; �) =@ (x; y)
@ (r; �)=
���� 2 cos � sen ��2r sen � r cos �
���� = 2r �cos2 � + sen2 �� = 2rA =
Z 2�
0
Z 2
1
2r dr d� = 2� (4� 1) = 6�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 5 / 5 1
Cambio a coordenadas polares generalizadas
�x = ar cos �y = br sen �
J (r; �) =@ (x; y)
@ (r; �)=
���� a cos � b sen ��ar sen � br cos �
���� = abr
ZZR
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (ar cos �; br sen �) abr dr d�:
Ejemplo. Encuentre el área de la elipsex2
a2+y2
b2= 1.
A =
ZZR
dx dy =
Z 2�
0
Z 1
0
abr dr d� = ab�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 6 / 5 1
Cambio a coordenadas polares generalizadas
�x = ar cos �y = br sen �
J (r; �) =@ (x; y)
@ (r; �)
=
���� a cos � b sen ��ar sen � br cos �
���� = abr
ZZR
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (ar cos �; br sen �) abr dr d�:
Ejemplo. Encuentre el área de la elipsex2
a2+y2
b2= 1.
A =
ZZR
dx dy =
Z 2�
0
Z 1
0
abr dr d� = ab�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 6 / 5 1
Cambio a coordenadas polares generalizadas
�x = ar cos �y = br sen �
J (r; �) =@ (x; y)
@ (r; �)=
���� a cos � b sen ��ar sen � br cos �
����
= abr
ZZR
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (ar cos �; br sen �) abr dr d�:
Ejemplo. Encuentre el área de la elipsex2
a2+y2
b2= 1.
A =
ZZR
dx dy =
Z 2�
0
Z 1
0
abr dr d� = ab�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 6 / 5 1
Cambio a coordenadas polares generalizadas
�x = ar cos �y = br sen �
J (r; �) =@ (x; y)
@ (r; �)=
���� a cos � b sen ��ar sen � br cos �
���� = abr
ZZR
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (ar cos �; br sen �) abr dr d�:
Ejemplo. Encuentre el área de la elipsex2
a2+y2
b2= 1.
A =
ZZR
dx dy =
Z 2�
0
Z 1
0
abr dr d� = ab�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 6 / 5 1
Cambio a coordenadas polares generalizadas
�x = ar cos �y = br sen �
J (r; �) =@ (x; y)
@ (r; �)=
���� a cos � b sen ��ar sen � br cos �
���� = abr
ZZR
F (x; y) dx dy
=
ZZS
F (ar cos �; br sen �) abr dr d�:
Ejemplo. Encuentre el área de la elipsex2
a2+y2
b2= 1.
A =
ZZR
dx dy =
Z 2�
0
Z 1
0
abr dr d� = ab�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 6 / 5 1
Cambio a coordenadas polares generalizadas
�x = ar cos �y = br sen �
J (r; �) =@ (x; y)
@ (r; �)=
���� a cos � b sen ��ar sen � br cos �
���� = abr
ZZR
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (ar cos �; br sen �) abr dr d�:
Ejemplo. Encuentre el área de la elipsex2
a2+y2
b2= 1.
A =
ZZR
dx dy =
Z 2�
0
Z 1
0
abr dr d� = ab�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 6 / 5 1
Cambio a coordenadas polares generalizadas
�x = ar cos �y = br sen �
J (r; �) =@ (x; y)
@ (r; �)=
���� a cos � b sen ��ar sen � br cos �
���� = abr
ZZR
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (ar cos �; br sen �) abr dr d�:
Ejemplo. Encuentre el área de la elipsex2
a2+y2
b2= 1.
A =
ZZR
dx dy =
Z 2�
0
Z 1
0
abr dr d� = ab�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 6 / 5 1
Cambio a coordenadas polares generalizadas
�x = ar cos �y = br sen �
J (r; �) =@ (x; y)
@ (r; �)=
���� a cos � b sen ��ar sen � br cos �
���� = abr
ZZR
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (ar cos �; br sen �) abr dr d�:
Ejemplo. Encuentre el área de la elipsex2
a2+y2
b2= 1.
A =
ZZR
dx dy =
Z 2�
0
Z 1
0
abr dr d� = ab�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 6 / 5 1
Cambio a coordenadas polares generalizadas
�x = ar cos �y = br sen �
J (r; �) =@ (x; y)
@ (r; �)=
���� a cos � b sen ��ar sen � br cos �
���� = abr
ZZR
F (x; y) dx dy =
ZZS
F (ar cos �; br sen �) abr dr d�:
Ejemplo. Encuentre el área de la elipsex2
a2+y2
b2= 1.
A =
ZZR
dx dy =
Z 2�
0
Z 1
0
abr dr d� = ab�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 6 / 5 1
Cambio de variables en integrales triples
8<: x = f (u; v; w)y = g (u; v; w)z = h (u; v; w)
=) J (u; v; w) =
������@ux @uy @uz@vx @vy @vz@wx @wy @wz
������ZZZ
R
F (x; y; z) dx dy dz =
ZZZS
G (u; v; w) jJ (u; v; w)j du dv dw
Ejemplo. Coordenadas cilíndricas8<: x = r cos �y = r sen �z = z
J (r; �; z) =
������cos � sen � 0�r sen � r cos � 00 0 1
������ = r
ZZZR
F (x; y; z) dV =
ZZZS
G (r; �; z) r dz dr d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 7 / 5 1
Cambio de variables en integrales triples
8<: x = f (u; v; w)y = g (u; v; w)z = h (u; v; w)
=) J (u; v; w) =
������@ux @uy @uz@vx @vy @vz@wx @wy @wz
������
ZZZR
F (x; y; z) dx dy dz =
ZZZS
G (u; v; w) jJ (u; v; w)j du dv dw
Ejemplo. Coordenadas cilíndricas8<: x = r cos �y = r sen �z = z
J (r; �; z) =
������cos � sen � 0�r sen � r cos � 00 0 1
������ = r
ZZZR
F (x; y; z) dV =
ZZZS
G (r; �; z) r dz dr d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 7 / 5 1
Cambio de variables en integrales triples
8<: x = f (u; v; w)y = g (u; v; w)z = h (u; v; w)
=) J (u; v; w) =
������@ux @uy @uz@vx @vy @vz@wx @wy @wz
������ZZZ
R
F (x; y; z) dx dy dz =
ZZZS
G (u; v; w) jJ (u; v; w)j du dv dw
Ejemplo. Coordenadas cilíndricas8<: x = r cos �y = r sen �z = z
J (r; �; z) =
������cos � sen � 0�r sen � r cos � 00 0 1
������ = r
ZZZR
F (x; y; z) dV =
ZZZS
G (r; �; z) r dz dr d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 7 / 5 1
Cambio de variables en integrales triples
8<: x = f (u; v; w)y = g (u; v; w)z = h (u; v; w)
=) J (u; v; w) =
������@ux @uy @uz@vx @vy @vz@wx @wy @wz
������ZZZ
R
F (x; y; z) dx dy dz =
ZZZS
G (u; v; w) jJ (u; v; w)j du dv dw
Ejemplo. Coordenadas cilíndricas8<: x = r cos �y = r sen �z = z
J (r; �; z) =
������cos � sen � 0�r sen � r cos � 00 0 1
������ = r
ZZZR
F (x; y; z) dV =
ZZZS
G (r; �; z) r dz dr d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 7 / 5 1
Cambio de variables en integrales triples
8<: x = f (u; v; w)y = g (u; v; w)z = h (u; v; w)
=) J (u; v; w) =
������@ux @uy @uz@vx @vy @vz@wx @wy @wz
������ZZZ
R
F (x; y; z) dx dy dz =
ZZZS
G (u; v; w) jJ (u; v; w)j du dv dw
Ejemplo. Coordenadas cilíndricas8<: x = r cos �y = r sen �z = z
J (r; �; z) =
������cos � sen � 0�r sen � r cos � 00 0 1
������ = r
ZZZR
F (x; y; z) dV =
ZZZS
G (r; �; z) r dz dr d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 7 / 5 1
Cambio de variables en integrales triples
8<: x = f (u; v; w)y = g (u; v; w)z = h (u; v; w)
=) J (u; v; w) =
������@ux @uy @uz@vx @vy @vz@wx @wy @wz
������ZZZ
R
F (x; y; z) dx dy dz =
ZZZS
G (u; v; w) jJ (u; v; w)j du dv dw
Ejemplo. Coordenadas cilíndricas8<: x = r cos �y = r sen �z = z
J (r; �; z) =
������cos � sen � 0�r sen � r cos � 00 0 1
������ = r
ZZZR
F (x; y; z) dV =
ZZZS
G (r; �; z) r dz dr d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 7 / 5 1
Ejemplo.Coordenadas esféricas8<: x = � sen� cos �y = � sen� sen �z = � cos�
J (�; �; �) =
������sen� cos � sen� sen � cos�
�� sen� sen � � sen� cos � 0� cos� cos � � cos� sen � �� sen�
������ = ��2 sen�ZZZ
R
F (x; y; z) dV =
ZZZS
G (�; �; �) �2 sen�d� d� d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 8 / 5 1
Ejemplo.Coordenadas esféricas8<: x = � sen� cos �y = � sen� sen �z = � cos�
J (�; �; �) =
������sen� cos � sen� sen � cos�
�� sen� sen � � sen� cos � 0� cos� cos � � cos� sen � �� sen�
������ = ��2 sen�
ZZZR
F (x; y; z) dV =
ZZZS
G (�; �; �) �2 sen�d� d� d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 8 / 5 1
Ejemplo.Coordenadas esféricas8<: x = � sen� cos �y = � sen� sen �z = � cos�
J (�; �; �) =
������sen� cos � sen� sen � cos�
�� sen� sen � � sen� cos � 0� cos� cos � � cos� sen � �� sen�
������ = ��2 sen�ZZZ
R
F (x; y; z) dV
=
ZZZS
G (�; �; �) �2 sen�d� d� d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 8 / 5 1
Ejemplo.Coordenadas esféricas8<: x = � sen� cos �y = � sen� sen �z = � cos�
J (�; �; �) =
������sen� cos � sen� sen � cos�
�� sen� sen � � sen� cos � 0� cos� cos � � cos� sen � �� sen�
������ = ��2 sen�ZZZ
R
F (x; y; z) dV =
ZZZS
G (�; �; �) �2 sen�d� d� d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 8 / 5 1
Ejemplo. Determine el volumen del toro T obtenido al girar alrededor del ejez el disco circular (y � b)2 + z2 � a2, 0 < a < b:
0 � � � a; 0 � � 2�; 0 � � � 2�x = (b+ � cos ) cos �; y = (b+ � cos ) sen �; z = � sen :
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 9 / 5 1
Ejemplo. Determine el volumen del toro T obtenido al girar alrededor del ejez el disco circular (y � b)2 + z2 � a2, 0 < a < b:
0 � � � a; 0 � � 2�; 0 � � � 2�x = (b+ � cos ) cos �; y = (b+ � cos ) sen �; z = � sen :
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 9 / 5 1
Ejemplo. Determine el volumen del toro T obtenido al girar alrededor del ejez el disco circular (y � b)2 + z2 � a2, 0 < a < b:
0 � � � a; 0 � � 2�; 0 � � � 2�x = (b+ � cos ) cos �; y = (b+ � cos ) sen �; z = � sen :
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 9 / 5 1
Ejemplo. Determine el volumen del toro T obtenido al girar alrededor del ejez el disco circular (y � b)2 + z2 � a2, 0 < a < b:
0 � � � a; 0 � � 2�; 0 � � � 2�x = (b+ � cos ) cos �; y = (b+ � cos ) sen �; z = � sen :
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 2 9 / 5 1
J (�; ; �) =
������cos cos � cos sen � sen
�� sen cos � �� sen sen � � cos � (b+ � cos ) sen � (b+ � cos ) cos � 0
������
= �� (b+ � cos ) :
V =
ZZZR
dV =
Z 2�
0
Z 2�
0
Z a
0
� (b+ � cos ) d� d d�
=
Z 2�
0
Z 2�
0
�b�2
2+�3
3cos
�a0
d d�
=
�ba2
2 +
a3
3sen
�2�0
[�]2�0
= a2b� � [2�] = 2�2a2b = (2�b)��a2�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 0 / 5 1
J (�; ; �) =
������cos cos � cos sen � sen
�� sen cos � �� sen sen � � cos � (b+ � cos ) sen � (b+ � cos ) cos � 0
������= �� (b+ � cos ) :
V =
ZZZR
dV =
Z 2�
0
Z 2�
0
Z a
0
� (b+ � cos ) d� d d�
=
Z 2�
0
Z 2�
0
�b�2
2+�3
3cos
�a0
d d�
=
�ba2
2 +
a3
3sen
�2�0
[�]2�0
= a2b� � [2�] = 2�2a2b = (2�b)��a2�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 0 / 5 1
J (�; ; �) =
������cos cos � cos sen � sen
�� sen cos � �� sen sen � � cos � (b+ � cos ) sen � (b+ � cos ) cos � 0
������= �� (b+ � cos ) :
V =
ZZZR
dV =
Z 2�
0
Z 2�
0
Z a
0
� (b+ � cos ) d� d d�
=
Z 2�
0
Z 2�
0
�b�2
2+�3
3cos
�a0
d d�
=
�ba2
2 +
a3
3sen
�2�0
[�]2�0
= a2b� � [2�] = 2�2a2b = (2�b)��a2�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 0 / 5 1
J (�; ; �) =
������cos cos � cos sen � sen
�� sen cos � �� sen sen � � cos � (b+ � cos ) sen � (b+ � cos ) cos � 0
������= �� (b+ � cos ) :
V =
ZZZR
dV =
Z 2�
0
Z 2�
0
Z a
0
� (b+ � cos ) d� d d�
=
Z 2�
0
Z 2�
0
�b�2
2+�3
3cos
�a0
d d�
=
�ba2
2 +
a3
3sen
�2�0
[�]2�0
= a2b� � [2�] = 2�2a2b = (2�b)��a2�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 0 / 5 1
J (�; ; �) =
������cos cos � cos sen � sen
�� sen cos � �� sen sen � � cos � (b+ � cos ) sen � (b+ � cos ) cos � 0
������= �� (b+ � cos ) :
V =
ZZZR
dV =
Z 2�
0
Z 2�
0
Z a
0
� (b+ � cos ) d� d d�
=
Z 2�
0
Z 2�
0
�b�2
2+�3
3cos
�a0
d d�
=
�ba2
2 +
a3
3sen
�2�0
[�]2�0
= a2b� � [2�] = 2�2a2b = (2�b)��a2�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 0 / 5 1
J (�; ; �) =
������cos cos � cos sen � sen
�� sen cos � �� sen sen � � cos � (b+ � cos ) sen � (b+ � cos ) cos � 0
������= �� (b+ � cos ) :
V =
ZZZR
dV =
Z 2�
0
Z 2�
0
Z a
0
� (b+ � cos ) d� d d�
=
Z 2�
0
Z 2�
0
�b�2
2+�3
3cos
�a0
d d�
=
�ba2
2 +
a3
3sen
�2�0
[�]2�0
= a2b� � [2�] = 2�2a2b = (2�b)��a2�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 0 / 5 1
Coordenadas cilíndricas 8<: x = r cos �y = r sen �z = z
E = f(x; y; z) : (x; y) 2 D; u1 (x; y) � z � u2 (x; y)g ;D = f(r; �) : � � � � �; h1 (�) � r � h2 (�)g
J (r; �; z) = r
ZZZR
F (x; y; z) dV =
Z �
�
Z h2(�)
h1(�)
Z u2(r cos �;r sen �)
u1(r cos �;r sen �)
F (r cos �; r sen �; z) r dz dr d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 1 / 5 1
Coordenadas cilíndricas 8<: x = r cos �y = r sen �z = z
E = f(x; y; z) : (x; y) 2 D; u1 (x; y) � z � u2 (x; y)g ;D = f(r; �) : � � � � �; h1 (�) � r � h2 (�)g
J (r; �; z) = r
ZZZR
F (x; y; z) dV =
Z �
�
Z h2(�)
h1(�)
Z u2(r cos �;r sen �)
u1(r cos �;r sen �)
F (r cos �; r sen �; z) r dz dr d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 1 / 5 1
Coordenadas cilíndricas 8<: x = r cos �y = r sen �z = z
E = f(x; y; z) : (x; y) 2 D; u1 (x; y) � z � u2 (x; y)g ;D = f(r; �) : � � � � �; h1 (�) � r � h2 (�)g
J (r; �; z) = r
ZZZR
F (x; y; z) dV =
Z �
�
Z h2(�)
h1(�)
Z u2(r cos �;r sen �)
u1(r cos �;r sen �)
F (r cos �; r sen �; z) r dz dr d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 1 / 5 1
Ejemplo. Encuentre la masa del sólido acotado por �=6 � � � �=3, r = cos �,z = 0 y z = r, si la densidad es dada por � (r; �; z) = 3r.
m =
Z �=3
�=6
Z cos �
0
Z r
0
(3r) � r dz dr d� =Z �=3
�=6
Z cos �
0
3r2 � [z]r0 dr d�
=
Z �=3
�=6
Z cos �
0
3r3 dr d� =
Z �=3
�=6
�3
4r4�cos �0
d� =3
4
Z �=3
�=6
cos4 �d�
=3
4
�3
8� +
1
4sen 2� +
1
32sen 4�
��=3�=6
=3
128
�2� �
p3�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 2 / 5 1
Ejemplo. Encuentre la masa del sólido acotado por �=6 � � � �=3, r = cos �,z = 0 y z = r, si la densidad es dada por � (r; �; z) = 3r.
m =
Z �=3
�=6
Z cos �
0
Z r
0
(3r) � r dz dr d� =Z �=3
�=6
Z cos �
0
3r2 � [z]r0 dr d�
=
Z �=3
�=6
Z cos �
0
3r3 dr d� =
Z �=3
�=6
�3
4r4�cos �0
d� =3
4
Z �=3
�=6
cos4 �d�
=3
4
�3
8� +
1
4sen 2� +
1
32sen 4�
��=3�=6
=3
128
�2� �
p3�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 2 / 5 1
Ejemplo. Encuentre la masa del sólido acotado por �=6 � � � �=3, r = cos �,z = 0 y z = r, si la densidad es dada por � (r; �; z) = 3r.
m =
Z �=3
�=6
Z cos �
0
Z r
0
(3r) � r dz dr d�
=
Z �=3
�=6
Z cos �
0
3r2 � [z]r0 dr d�
=
Z �=3
�=6
Z cos �
0
3r3 dr d� =
Z �=3
�=6
�3
4r4�cos �0
d� =3
4
Z �=3
�=6
cos4 �d�
=3
4
�3
8� +
1
4sen 2� +
1
32sen 4�
��=3�=6
=3
128
�2� �
p3�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 2 / 5 1
Ejemplo. Encuentre la masa del sólido acotado por �=6 � � � �=3, r = cos �,z = 0 y z = r, si la densidad es dada por � (r; �; z) = 3r.
m =
Z �=3
�=6
Z cos �
0
Z r
0
(3r) � r dz dr d� =Z �=3
�=6
Z cos �
0
3r2 � [z]r0 dr d�
=
Z �=3
�=6
Z cos �
0
3r3 dr d� =
Z �=3
�=6
�3
4r4�cos �0
d� =3
4
Z �=3
�=6
cos4 �d�
=3
4
�3
8� +
1
4sen 2� +
1
32sen 4�
��=3�=6
=3
128
�2� �
p3�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 2 / 5 1
Ejemplo. Encuentre la masa del sólido acotado por �=6 � � � �=3, r = cos �,z = 0 y z = r, si la densidad es dada por � (r; �; z) = 3r.
m =
Z �=3
�=6
Z cos �
0
Z r
0
(3r) � r dz dr d� =Z �=3
�=6
Z cos �
0
3r2 � [z]r0 dr d�
=
Z �=3
�=6
Z cos �
0
3r3 dr d�
=
Z �=3
�=6
�3
4r4�cos �0
d� =3
4
Z �=3
�=6
cos4 �d�
=3
4
�3
8� +
1
4sen 2� +
1
32sen 4�
��=3�=6
=3
128
�2� �
p3�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 2 / 5 1
Ejemplo. Encuentre la masa del sólido acotado por �=6 � � � �=3, r = cos �,z = 0 y z = r, si la densidad es dada por � (r; �; z) = 3r.
m =
Z �=3
�=6
Z cos �
0
Z r
0
(3r) � r dz dr d� =Z �=3
�=6
Z cos �
0
3r2 � [z]r0 dr d�
=
Z �=3
�=6
Z cos �
0
3r3 dr d� =
Z �=3
�=6
�3
4r4�cos �0
d�
=3
4
Z �=3
�=6
cos4 �d�
=3
4
�3
8� +
1
4sen 2� +
1
32sen 4�
��=3�=6
=3
128
�2� �
p3�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 2 / 5 1
Ejemplo. Encuentre la masa del sólido acotado por �=6 � � � �=3, r = cos �,z = 0 y z = r, si la densidad es dada por � (r; �; z) = 3r.
m =
Z �=3
�=6
Z cos �
0
Z r
0
(3r) � r dz dr d� =Z �=3
�=6
Z cos �
0
3r2 � [z]r0 dr d�
=
Z �=3
�=6
Z cos �
0
3r3 dr d� =
Z �=3
�=6
�3
4r4�cos �0
d� =3
4
Z �=3
�=6
cos4 �d�
=3
4
�3
8� +
1
4sen 2� +
1
32sen 4�
��=3�=6
=3
128
�2� �
p3�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 2 / 5 1
Ejemplo. Encuentre la masa del sólido acotado por �=6 � � � �=3, r = cos �,z = 0 y z = r, si la densidad es dada por � (r; �; z) = 3r.
m =
Z �=3
�=6
Z cos �
0
Z r
0
(3r) � r dz dr d� =Z �=3
�=6
Z cos �
0
3r2 � [z]r0 dr d�
=
Z �=3
�=6
Z cos �
0
3r3 dr d� =
Z �=3
�=6
�3
4r4�cos �0
d� =3
4
Z �=3
�=6
cos4 �d�
=3
4
�3
8� +
1
4sen 2� +
1
32sen 4�
��=3�=6
=3
128
�2� �
p3�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 2 / 5 1
Ejemplo. Encuentre la masa del sólido acotado por �=6 � � � �=3, r = cos �,z = 0 y z = r, si la densidad es dada por � (r; �; z) = 3r.
m =
Z �=3
�=6
Z cos �
0
Z r
0
(3r) � r dz dr d� =Z �=3
�=6
Z cos �
0
3r2 � [z]r0 dr d�
=
Z �=3
�=6
Z cos �
0
3r3 dr d� =
Z �=3
�=6
�3
4r4�cos �0
d� =3
4
Z �=3
�=6
cos4 �d�
=3
4
�3
8� +
1
4sen 2� +
1
32sen 4�
��=3�=6
=3
128
�2� �
p3�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 2 / 5 1
Ejemplo. Encuentre la región acotada por el cilindro x2 + y2 = 4x y por laesfera x2 + y2 + z2 = 16:
V =
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
�p16�r2
r dz dr d�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 3 / 5 1
Ejemplo. Encuentre la región acotada por el cilindro x2 + y2 = 4x y por laesfera x2 + y2 + z2 = 16:
V =
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
�p16�r2
r dz dr d�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 3 / 5 1
Ejemplo. Encuentre la región acotada por el cilindro x2 + y2 = 4x y por laesfera x2 + y2 + z2 = 16:
V =
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
�p16�r2
r dz dr d�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 3 / 5 1
Ejemplo. Encuentre la región acotada por el cilindro x2 + y2 = 4x y por laesfera x2 + y2 + z2 = 16:
V =
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
�p16�r2
r dz dr d�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 3 / 5 1
V =
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
�p16�r2
r dz dr d�
= 2
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
0
r dz dr d�
= 2
Z �
0
Z 4 cos �
0
rp16� r2 dr d� = 2
Z �
0
��13
�16� r2
�3=2�4 cos �0
d�
=2
3
Z �
0
h64�
�16� 16 cos2 �
�3=2id�
=128
3
Z �
0
h1�
�1� cos2 �
�3=2id� =
128
3
Z �
0
�1� sen3 �
�d�
=128
3
�� +
3
4cos � � 1
12cos 3�
��0
=128
9(3� � 4) :
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 4 / 5 1
V =
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
�p16�r2
r dz dr d�
= 2
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
0
r dz dr d�
= 2
Z �
0
Z 4 cos �
0
rp16� r2 dr d� = 2
Z �
0
��13
�16� r2
�3=2�4 cos �0
d�
=2
3
Z �
0
h64�
�16� 16 cos2 �
�3=2id�
=128
3
Z �
0
h1�
�1� cos2 �
�3=2id� =
128
3
Z �
0
�1� sen3 �
�d�
=128
3
�� +
3
4cos � � 1
12cos 3�
��0
=128
9(3� � 4) :
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 4 / 5 1
V =
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
�p16�r2
r dz dr d�
= 2
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
0
r dz dr d�
= 2
Z �
0
Z 4 cos �
0
rp16� r2 dr d�
= 2
Z �
0
��13
�16� r2
�3=2�4 cos �0
d�
=2
3
Z �
0
h64�
�16� 16 cos2 �
�3=2id�
=128
3
Z �
0
h1�
�1� cos2 �
�3=2id� =
128
3
Z �
0
�1� sen3 �
�d�
=128
3
�� +
3
4cos � � 1
12cos 3�
��0
=128
9(3� � 4) :
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 4 / 5 1
V =
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
�p16�r2
r dz dr d�
= 2
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
0
r dz dr d�
= 2
Z �
0
Z 4 cos �
0
rp16� r2 dr d� = 2
Z �
0
��13
�16� r2
�3=2�4 cos �0
d�
=2
3
Z �
0
h64�
�16� 16 cos2 �
�3=2id�
=128
3
Z �
0
h1�
�1� cos2 �
�3=2id� =
128
3
Z �
0
�1� sen3 �
�d�
=128
3
�� +
3
4cos � � 1
12cos 3�
��0
=128
9(3� � 4) :
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 4 / 5 1
V =
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
�p16�r2
r dz dr d�
= 2
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
0
r dz dr d�
= 2
Z �
0
Z 4 cos �
0
rp16� r2 dr d� = 2
Z �
0
��13
�16� r2
�3=2�4 cos �0
d�
=2
3
Z �
0
h64�
�16� 16 cos2 �
�3=2id�
=128
3
Z �
0
h1�
�1� cos2 �
�3=2id� =
128
3
Z �
0
�1� sen3 �
�d�
=128
3
�� +
3
4cos � � 1
12cos 3�
��0
=128
9(3� � 4) :
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 4 / 5 1
V =
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
�p16�r2
r dz dr d�
= 2
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
0
r dz dr d�
= 2
Z �
0
Z 4 cos �
0
rp16� r2 dr d� = 2
Z �
0
��13
�16� r2
�3=2�4 cos �0
d�
=2
3
Z �
0
h64�
�16� 16 cos2 �
�3=2id�
=128
3
Z �
0
h1�
�1� cos2 �
�3=2id�
=128
3
Z �
0
�1� sen3 �
�d�
=128
3
�� +
3
4cos � � 1
12cos 3�
��0
=128
9(3� � 4) :
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 4 / 5 1
V =
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
�p16�r2
r dz dr d�
= 2
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
0
r dz dr d�
= 2
Z �
0
Z 4 cos �
0
rp16� r2 dr d� = 2
Z �
0
��13
�16� r2
�3=2�4 cos �0
d�
=2
3
Z �
0
h64�
�16� 16 cos2 �
�3=2id�
=128
3
Z �
0
h1�
�1� cos2 �
�3=2id� =
128
3
Z �
0
�1� sen3 �
�d�
=128
3
�� +
3
4cos � � 1
12cos 3�
��0
=128
9(3� � 4) :
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 4 / 5 1
V =
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
�p16�r2
r dz dr d�
= 2
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
0
r dz dr d�
= 2
Z �
0
Z 4 cos �
0
rp16� r2 dr d� = 2
Z �
0
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�16� r2
�3=2�4 cos �0
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=2
3
Z �
0
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�16� 16 cos2 �
�3=2id�
=128
3
Z �
0
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�1� cos2 �
�3=2id� =
128
3
Z �
0
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�d�
=128
3
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3
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12cos 3�
��0
=128
9(3� � 4) :
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 4 / 5 1
V =
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
�p16�r2
r dz dr d�
= 2
Z �
0
Z 4 cos �
0
Z p16�r2
0
r dz dr d�
= 2
Z �
0
Z 4 cos �
0
rp16� r2 dr d� = 2
Z �
0
��13
�16� r2
�3=2�4 cos �0
d�
=2
3
Z �
0
h64�
�16� 16 cos2 �
�3=2id�
=128
3
Z �
0
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�3=2id� =
128
3
Z �
0
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�d�
=128
3
�� +
3
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12cos 3�
��0
=128
9(3� � 4) :
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 4 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el momento de inercia Iz del sólido acotadoinferiormente por el plano xy, superiormente por la esfera de radio a ylateralmente por el cilindro r = a cos �.
Iz
=
Z �
0
Z a cos �
0
Z pa2�r2
0
�x2 + y2
�r dz dr d�
=
Z �
0
Z a cos �
0
Z pa2�r2
0
r3 dz dr d�
=
Z �
0
Z a cos �
0
r3pa2 � r2dr d�
=
Z �
0
Z a cos �
0
r�r2 � a2 + a2
� �a2 � r2
�1=2dr d�
=
Z �
0
Z a cos �
0
rha2�a2 � r2
�1=2 � �a2 � r2�3=2i dr d�=
Z �
0
��13a2�a2 � r2
�3=2+1
5
�a2 � r2
�5=2�a cos �0
d�
=
Z �
0
��13a2�a2�a2cos2�
�3=2+1
5
�a2�a2cos2�
�5=2+1
3a2�a2�3=2� 1
5
�a2�5=2�
d�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 5 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el momento de inercia Iz del sólido acotadoinferiormente por el plano xy, superiormente por la esfera de radio a ylateralmente por el cilindro r = a cos �.
Iz =
Z �
0
Z a cos �
0
Z pa2�r2
0
�x2 + y2
�r dz dr d�
=
Z �
0
Z a cos �
0
Z pa2�r2
0
r3 dz dr d�
=
Z �
0
Z a cos �
0
r3pa2 � r2dr d�
=
Z �
0
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0
r�r2 � a2 + a2
� �a2 � r2
�1=2dr d�
=
Z �
0
Z a cos �
0
rha2�a2 � r2
�1=2 � �a2 � r2�3=2i dr d�=
Z �
0
��13a2�a2 � r2
�3=2+1
5
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=
Z �
0
��13a2�a2�a2cos2�
�3=2+1
5
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3a2�a2�3=2� 1
5
�a2�5=2�
d�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 5 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el momento de inercia Iz del sólido acotadoinferiormente por el plano xy, superiormente por la esfera de radio a ylateralmente por el cilindro r = a cos �.
Iz =
Z �
0
Z a cos �
0
Z pa2�r2
0
�x2 + y2
�r dz dr d�
=
Z �
0
Z a cos �
0
Z pa2�r2
0
r3 dz dr d�
=
Z �
0
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0
r3pa2 � r2dr d�
=
Z �
0
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=
Z �
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0
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�1=2 � �a2 � r2�3=2i dr d�=
Z �
0
��13a2�a2 � r2
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=
Z �
0
��13a2�a2�a2cos2�
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5
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5
�a2�5=2�
d�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 5 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el momento de inercia Iz del sólido acotadoinferiormente por el plano xy, superiormente por la esfera de radio a ylateralmente por el cilindro r = a cos �.
Iz =
Z �
0
Z a cos �
0
Z pa2�r2
0
�x2 + y2
�r dz dr d�
=
Z �
0
Z a cos �
0
Z pa2�r2
0
r3 dz dr d�
=
Z �
0
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0
r3pa2 � r2dr d�
=
Z �
0
Z a cos �
0
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=
Z �
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0
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Z �
0
��13a2�a2 � r2
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d�
=
Z �
0
��13a2�a2�a2cos2�
�3=2+1
5
�a2�a2cos2�
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5
�a2�5=2�
d�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 5 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el momento de inercia Iz del sólido acotadoinferiormente por el plano xy, superiormente por la esfera de radio a ylateralmente por el cilindro r = a cos �.
Iz =
Z �
0
Z a cos �
0
Z pa2�r2
0
�x2 + y2
�r dz dr d�
=
Z �
0
Z a cos �
0
Z pa2�r2
0
r3 dz dr d�
=
Z �
0
Z a cos �
0
r3pa2 � r2dr d�
=
Z �
0
Z a cos �
0
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� �a2 � r2
�1=2dr d�
=
Z �
0
Z a cos �
0
rha2�a2 � r2
�1=2 � �a2 � r2�3=2i dr d�=
Z �
0
��13a2�a2 � r2
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5
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=
Z �
0
��13a2�a2�a2cos2�
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5
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5
�a2�5=2�
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G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 5 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el momento de inercia Iz del sólido acotadoinferiormente por el plano xy, superiormente por la esfera de radio a ylateralmente por el cilindro r = a cos �.
Iz =
Z �
0
Z a cos �
0
Z pa2�r2
0
�x2 + y2
�r dz dr d�
=
Z �
0
Z a cos �
0
Z pa2�r2
0
r3 dz dr d�
=
Z �
0
Z a cos �
0
r3pa2 � r2dr d�
=
Z �
0
Z a cos �
0
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� �a2 � r2
�1=2dr d�
=
Z �
0
Z a cos �
0
rha2�a2 � r2
�1=2 � �a2 � r2�3=2i dr d�
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Z �
0
��13a2�a2 � r2
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=
Z �
0
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5
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5
�a2�5=2�
d�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 5 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el momento de inercia Iz del sólido acotadoinferiormente por el plano xy, superiormente por la esfera de radio a ylateralmente por el cilindro r = a cos �.
Iz =
Z �
0
Z a cos �
0
Z pa2�r2
0
�x2 + y2
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=
Z �
0
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0
Z pa2�r2
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=
Z �
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0
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=
Z �
0
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0
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� �a2 � r2
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=
Z �
0
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Z �
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��13a2�a2 � r2
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=
Z �
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d�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 5 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el momento de inercia Iz del sólido acotadoinferiormente por el plano xy, superiormente por la esfera de radio a ylateralmente por el cilindro r = a cos �.
Iz =
Z �
0
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Z �
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Z �
0
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Z �
0
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=
Z �
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0
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Z �
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��13a2�a2 � r2
�3=2+1
5
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�5=2�a cos �0
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Z �
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d�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 5 / 5 1
=
Z �
0
��a
5
3
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�3=2+a5
5
�1�cos2 �
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5
�a2�5=2�
d�
=
Z �
0
��a
5
3sen3 � +
a5
5sen5 � +
1
3a5 � 1
5a5�d�
=a5
15
Z �
0
�3 sen5 � � 5 sen3 � + 2
�d�
=a5
15
�2� +
Z �
0
�3 sen4 � � 5 sen2 �
�sen �d�
�=
a5
15
�2� +
Z �
0
h3�1� cos2 �
�2 � 5 (1� cos �)i sen �d��=
a5
15
�2� +
Z �
0
�3�1� 2 cos2 � + cos4 �
�� 5
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��sen �d�
�=
a5
15
�2� +
Z �
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�sen �d�
�=
a5
15
�2� +
�2 cos � +
1
3cos3 � � 3
5cos5 �
��0
�=2a5
15
�� � 26
15
�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 6 / 5 1
=
Z �
0
��a
5
3
�1�cos2 �
�3=2+a5
5
�1�cos2 �
�5=2+1
3a2�a2�3=2� 1
5
�a2�5=2�
d�
=
Z �
0
��a
5
3sen3 � +
a5
5sen5 � +
1
3a5 � 1
5a5�d�
=a5
15
Z �
0
�3 sen5 � � 5 sen3 � + 2
�d�
=a5
15
�2� +
Z �
0
�3 sen4 � � 5 sen2 �
�sen �d�
�=
a5
15
�2� +
Z �
0
h3�1� cos2 �
�2 � 5 (1� cos �)i sen �d��=
a5
15
�2� +
Z �
0
�3�1� 2 cos2 � + cos4 �
�� 5
�1� cos2 �
��sen �d�
�=
a5
15
�2� +
Z �
0
��2� cos2 � + 3 cos4 �
�sen �d�
�=
a5
15
�2� +
�2 cos � +
1
3cos3 � � 3
5cos5 �
��0
�=2a5
15
�� � 26
15
�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 6 / 5 1
=
Z �
0
��a
5
3
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5
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5
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d�
=
Z �
0
��a
5
3sen3 � +
a5
5sen5 � +
1
3a5 � 1
5a5�d�
=a5
15
Z �
0
�3 sen5 � � 5 sen3 � + 2
�d�
=a5
15
�2� +
Z �
0
�3 sen4 � � 5 sen2 �
�sen �d�
�=
a5
15
�2� +
Z �
0
h3�1� cos2 �
�2 � 5 (1� cos �)i sen �d��=
a5
15
�2� +
Z �
0
�3�1� 2 cos2 � + cos4 �
�� 5
�1� cos2 �
��sen �d�
�=
a5
15
�2� +
Z �
0
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�sen �d�
�=
a5
15
�2� +
�2 cos � +
1
3cos3 � � 3
5cos5 �
��0
�=2a5
15
�� � 26
15
�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 6 / 5 1
=
Z �
0
��a
5
3
�1�cos2 �
�3=2+a5
5
�1�cos2 �
�5=2+1
3a2�a2�3=2� 1
5
�a2�5=2�
d�
=
Z �
0
��a
5
3sen3 � +
a5
5sen5 � +
1
3a5 � 1
5a5�d�
=a5
15
Z �
0
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�d�
=a5
15
�2� +
Z �
0
�3 sen4 � � 5 sen2 �
�sen �d�
�
=a5
15
�2� +
Z �
0
h3�1� cos2 �
�2 � 5 (1� cos �)i sen �d��=
a5
15
�2� +
Z �
0
�3�1� 2 cos2 � + cos4 �
�� 5
�1� cos2 �
��sen �d�
�=
a5
15
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Z �
0
��2� cos2 � + 3 cos4 �
�sen �d�
�=
a5
15
�2� +
�2 cos � +
1
3cos3 � � 3
5cos5 �
��0
�=2a5
15
�� � 26
15
�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 6 / 5 1
=
Z �
0
��a
5
3
�1�cos2 �
�3=2+a5
5
�1�cos2 �
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3a2�a2�3=2� 1
5
�a2�5=2�
d�
=
Z �
0
��a
5
3sen3 � +
a5
5sen5 � +
1
3a5 � 1
5a5�d�
=a5
15
Z �
0
�3 sen5 � � 5 sen3 � + 2
�d�
=a5
15
�2� +
Z �
0
�3 sen4 � � 5 sen2 �
�sen �d�
�=
a5
15
�2� +
Z �
0
h3�1� cos2 �
�2 � 5 (1� cos �)i sen �d��
=a5
15
�2� +
Z �
0
�3�1� 2 cos2 � + cos4 �
�� 5
�1� cos2 �
��sen �d�
�=
a5
15
�2� +
Z �
0
��2� cos2 � + 3 cos4 �
�sen �d�
�=
a5
15
�2� +
�2 cos � +
1
3cos3 � � 3
5cos5 �
��0
�=2a5
15
�� � 26
15
�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 6 / 5 1
=
Z �
0
��a
5
3
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5
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�5=2+1
3a2�a2�3=2� 1
5
�a2�5=2�
d�
=
Z �
0
��a
5
3sen3 � +
a5
5sen5 � +
1
3a5 � 1
5a5�d�
=a5
15
Z �
0
�3 sen5 � � 5 sen3 � + 2
�d�
=a5
15
�2� +
Z �
0
�3 sen4 � � 5 sen2 �
�sen �d�
�=
a5
15
�2� +
Z �
0
h3�1� cos2 �
�2 � 5 (1� cos �)i sen �d��=
a5
15
�2� +
Z �
0
�3�1� 2 cos2 � + cos4 �
�� 5
�1� cos2 �
��sen �d�
�
=a5
15
�2� +
Z �
0
��2� cos2 � + 3 cos4 �
�sen �d�
�=
a5
15
�2� +
�2 cos � +
1
3cos3 � � 3
5cos5 �
��0
�=2a5
15
�� � 26
15
�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 6 / 5 1
=
Z �
0
��a
5
3
�1�cos2 �
�3=2+a5
5
�1�cos2 �
�5=2+1
3a2�a2�3=2� 1
5
�a2�5=2�
d�
=
Z �
0
��a
5
3sen3 � +
a5
5sen5 � +
1
3a5 � 1
5a5�d�
=a5
15
Z �
0
�3 sen5 � � 5 sen3 � + 2
�d�
=a5
15
�2� +
Z �
0
�3 sen4 � � 5 sen2 �
�sen �d�
�=
a5
15
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Z �
0
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�2 � 5 (1� cos �)i sen �d��=
a5
15
�2� +
Z �
0
�3�1� 2 cos2 � + cos4 �
�� 5
�1� cos2 �
��sen �d�
�=
a5
15
�2� +
Z �
0
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�sen �d�
�
=a5
15
�2� +
�2 cos � +
1
3cos3 � � 3
5cos5 �
��0
�=2a5
15
�� � 26
15
�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 6 / 5 1
=
Z �
0
��a
5
3
�1�cos2 �
�3=2+a5
5
�1�cos2 �
�5=2+1
3a2�a2�3=2� 1
5
�a2�5=2�
d�
=
Z �
0
��a
5
3sen3 � +
a5
5sen5 � +
1
3a5 � 1
5a5�d�
=a5
15
Z �
0
�3 sen5 � � 5 sen3 � + 2
�d�
=a5
15
�2� +
Z �
0
�3 sen4 � � 5 sen2 �
�sen �d�
�=
a5
15
�2� +
Z �
0
h3�1� cos2 �
�2 � 5 (1� cos �)i sen �d��=
a5
15
�2� +
Z �
0
�3�1� 2 cos2 � + cos4 �
�� 5
�1� cos2 �
��sen �d�
�=
a5
15
�2� +
Z �
0
��2� cos2 � + 3 cos4 �
�sen �d�
�=
a5
15
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�2 cos � +
1
3cos3 � � 3
5cos5 �
��0
�
=2a5
15
�� � 26
15
�
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 6 / 5 1
=
Z �
0
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5
3
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�3=2+a5
5
�1�cos2 �
�5=2+1
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5
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d�
=
Z �
0
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5
3sen3 � +
a5
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1
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5a5�d�
=a5
15
Z �
0
�3 sen5 � � 5 sen3 � + 2
�d�
=a5
15
�2� +
Z �
0
�3 sen4 � � 5 sen2 �
�sen �d�
�=
a5
15
�2� +
Z �
0
h3�1� cos2 �
�2 � 5 (1� cos �)i sen �d��=
a5
15
�2� +
Z �
0
�3�1� 2 cos2 � + cos4 �
�� 5
�1� cos2 �
��sen �d�
�=
a5
15
�2� +
Z �
0
��2� cos2 � + 3 cos4 �
�sen �d�
�=
a5
15
�2� +
�2 cos � +
1
3cos3 � � 3
5cos5 �
��0
�=2a5
15
�� � 26
15
�G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 6 / 5 1
Coordenadas esféricas 8<: x = � sen� cos �y = � sen� sen �z = � cos�
� 2 I� � [0;1) ; � 2 I� � [0; 2�] ; � 2 I� � [0; �]
�Vijk � (��) (�i��) (�i sen�k��)
J (�; �; �) = ��2 sen�ZZZR
F (x; y; z) dV =
ZZZE
G (�; �; �) �2 sen�d� d� d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 7 / 5 1
Coordenadas esféricas 8<: x = � sen� cos �y = � sen� sen �z = � cos�
� 2 I� � [0;1) ; � 2 I� � [0; 2�] ; � 2 I� � [0; �]
�Vijk � (��) (�i��) (�i sen�k��)
J (�; �; �) = ��2 sen�ZZZR
F (x; y; z) dV =
ZZZE
G (�; �; �) �2 sen�d� d� d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 7 / 5 1
Coordenadas esféricas 8<: x = � sen� cos �y = � sen� sen �z = � cos�
� 2 I� � [0;1) ; � 2 I� � [0; 2�] ; � 2 I� � [0; �]
�Vijk � (��) (�i��) (�i sen�k��)
J (�; �; �) = ��2 sen�
ZZZR
F (x; y; z) dV =
ZZZE
G (�; �; �) �2 sen�d� d� d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 7 / 5 1
Coordenadas esféricas 8<: x = � sen� cos �y = � sen� sen �z = � cos�
� 2 I� � [0;1) ; � 2 I� � [0; 2�] ; � 2 I� � [0; �]
�Vijk � (��) (�i��) (�i sen�k��)
J (�; �; �) = ��2 sen�ZZZR
F (x; y; z) dV =
ZZZE
G (�; �; �) �2 sen�d� d� d�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 7 / 5 1
Ejemplos
Ejemplo. Determine el volumen y elcentroide del cono de helado C queestá acotado por el cono � = �=6 ypor la esfera � = 2a cos�.
V =
Z 2�
0
Z �=6
0
Z 2a cos�
0
�2 sen� d� d� d�
=8
3a3Z 2�
0
Z �=6
0
cos3 � sen� d� d�
=8
3a3Z 2�
0
��14cos4 �
��=60
d� =8
12a3
0@1� p32
!41AZ 2�
0
d�
=8
12a3�1� 9
16
�[2�] =
7
12�a3
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 8 / 5 1
Ejemplos
Ejemplo. Determine el volumen y elcentroide del cono de helado C queestá acotado por el cono � = �=6 ypor la esfera � = 2a cos�.
V =
Z 2�
0
Z �=6
0
Z 2a cos�
0
�2 sen� d� d� d�
=8
3a3Z 2�
0
Z �=6
0
cos3 � sen� d� d�
=8
3a3Z 2�
0
��14cos4 �
��=60
d� =8
12a3
0@1� p32
!41AZ 2�
0
d�
=8
12a3�1� 9
16
�[2�] =
7
12�a3
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 8 / 5 1
Ejemplos
Ejemplo. Determine el volumen y elcentroide del cono de helado C queestá acotado por el cono � = �=6 ypor la esfera � = 2a cos�.
V =
Z 2�
0
Z �=6
0
Z 2a cos�
0
�2 sen� d� d� d�
=8
3a3Z 2�
0
Z �=6
0
cos3 � sen� d� d�
=8
3a3Z 2�
0
��14cos4 �
��=60
d� =8
12a3
0@1� p32
!41AZ 2�
0
d�
=8
12a3�1� 9
16
�[2�] =
7
12�a3
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 8 / 5 1
Ejemplos
Ejemplo. Determine el volumen y elcentroide del cono de helado C queestá acotado por el cono � = �=6 ypor la esfera � = 2a cos�.
V =
Z 2�
0
Z �=6
0
Z 2a cos�
0
�2 sen� d� d� d�
=8
3a3Z 2�
0
Z �=6
0
cos3 � sen� d� d�
=8
3a3Z 2�
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��14cos4 �
��=60
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12a3
0@1� p32
!41AZ 2�
0
d�
=8
12a3�1� 9
16
�[2�] =
7
12�a3
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 8 / 5 1
Ejemplos
Ejemplo. Determine el volumen y elcentroide del cono de helado C queestá acotado por el cono � = �=6 ypor la esfera � = 2a cos�.
V =
Z 2�
0
Z �=6
0
Z 2a cos�
0
�2 sen� d� d� d�
=8
3a3Z 2�
0
Z �=6
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cos3 � sen� d� d�
=8
3a3Z 2�
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=8
12a3
0@1� p32
!41AZ 2�
0
d�
=8
12a3�1� 9
16
�[2�] =
7
12�a3
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 8 / 5 1
Ejemplos
Ejemplo. Determine el volumen y elcentroide del cono de helado C queestá acotado por el cono � = �=6 ypor la esfera � = 2a cos�.
V =
Z 2�
0
Z �=6
0
Z 2a cos�
0
�2 sen� d� d� d�
=8
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0
Z �=6
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12a3
0@1� p32
!41AZ 2�
0
d�
=8
12a3�1� 9
16
�[2�] =
7
12�a3
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 8 / 5 1
Ejemplos
Ejemplo. Determine el volumen y elcentroide del cono de helado C queestá acotado por el cono � = �=6 ypor la esfera � = 2a cos�.
V =
Z 2�
0
Z �=6
0
Z 2a cos�
0
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Z �=6
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12a3
0@1� p32
!41AZ 2�
0
d�
=8
12a3�1� 9
16
�[2�]
=7
12�a3
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 8 / 5 1
Ejemplos
Ejemplo. Determine el volumen y elcentroide del cono de helado C queestá acotado por el cono � = �=6 ypor la esfera � = 2a cos�.
V =
Z 2�
0
Z �=6
0
Z 2a cos�
0
�2 sen� d� d� d�
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3a3Z 2�
0
Z �=6
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3a3Z 2�
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d� =8
12a3
0@1� p32
!41AZ 2�
0
d�
=8
12a3�1� 9
16
�[2�] =
7
12�a3
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 8 / 5 1
�x = �y = 0,
�z =1
V
Z 2�
0
Z �=6
0
Z 2a cos�
0
(� cos�) �2 sen� d� d� d�
=12
7�a3
Z 2�
0
Z �=6
0
Z 2a cos�
0
�3 cos� sen� d� d� d�
=12
7�a3
Z 2�
0
Z �=6
0
�1
4�4�2a cos�0
cos� sen� d� d�
=12 � 4a47�a3
Z 2�
0
Z �=6
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cos5 � sen� d� d�
=48a4
7�a3
Z 2�
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��16cos6 �
��=60
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7�a3
241� p32
!635Z 2�
0
d�
=8a4
7�a3
�1� 27
64
�2� =
37
28a
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 9 / 5 1
�x = �y = 0,
�z =1
V
Z 2�
0
Z �=6
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Z 2a cos�
0
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=12
7�a3
Z 2�
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Z 2a cos�
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=12
7�a3
Z 2�
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=12 � 4a47�a3
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7�a3
241� p32
!635Z 2�
0
d�
=8a4
7�a3
�1� 27
64
�2� =
37
28a
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 9 / 5 1
�x = �y = 0,
�z =1
V
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=12
7�a3
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=12
7�a3
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241� p32
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=8a4
7�a3
�1� 27
64
�2� =
37
28a
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 9 / 5 1
�x = �y = 0,
�z =1
V
Z 2�
0
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241� p32
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d�
=8a4
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�1� 27
64
�2� =
37
28a
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 9 / 5 1
�x = �y = 0,
�z =1
V
Z 2�
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7�a3
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=12
7�a3
Z 2�
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=12 � 4a47�a3
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=48a4
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d� =8a4
7�a3
241� p32
!635Z 2�
0
d�
=8a4
7�a3
�1� 27
64
�2� =
37
28a
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 9 / 5 1
�x = �y = 0,
�z =1
V
Z 2�
0
Z �=6
0
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=12
7�a3
Z 2�
0
Z �=6
0
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=12
7�a3
Z 2�
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0
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=12 � 4a47�a3
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Z �=6
0
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=48a4
7�a3
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241� p32
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0
d�
=8a4
7�a3
�1� 27
64
�2� =
37
28a
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 9 / 5 1
�x = �y = 0,
�z =1
V
Z 2�
0
Z �=6
0
Z 2a cos�
0
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=12
7�a3
Z 2�
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Z 2a cos�
0
�3 cos� sen� d� d� d�
=12
7�a3
Z 2�
0
Z �=6
0
�1
4�4�2a cos�0
cos� sen� d� d�
=12 � 4a47�a3
Z 2�
0
Z �=6
0
cos5 � sen� d� d�
=48a4
7�a3
Z 2�
0
��16cos6 �
��=60
d� =8a4
7�a3
241� p32
!635Z 2�
0
d�
=8a4
7�a3
�1� 27
64
�2� =
37
28a
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 9 / 5 1
�x = �y = 0,
�z =1
V
Z 2�
0
Z �=6
0
Z 2a cos�
0
(� cos�) �2 sen� d� d� d�
=12
7�a3
Z 2�
0
Z �=6
0
Z 2a cos�
0
�3 cos� sen� d� d� d�
=12
7�a3
Z 2�
0
Z �=6
0
�1
4�4�2a cos�0
cos� sen� d� d�
=12 � 4a47�a3
Z 2�
0
Z �=6
0
cos5 � sen� d� d�
=48a4
7�a3
Z 2�
0
��16cos6 �
��=60
d� =8a4
7�a3
241� p32
!635Z 2�
0
d�
=8a4
7�a3
�1� 27
64
�2�
=37
28a
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 9 / 5 1
�x = �y = 0,
�z =1
V
Z 2�
0
Z �=6
0
Z 2a cos�
0
(� cos�) �2 sen� d� d� d�
=12
7�a3
Z 2�
0
Z �=6
0
Z 2a cos�
0
�3 cos� sen� d� d� d�
=12
7�a3
Z 2�
0
Z �=6
0
�1
4�4�2a cos�0
cos� sen� d� d�
=12 � 4a47�a3
Z 2�
0
Z �=6
0
cos5 � sen� d� d�
=48a4
7�a3
Z 2�
0
��16cos6 �
��=60
d� =8a4
7�a3
241� p32
!635Z 2�
0
d�
=8a4
7�a3
�1� 27
64
�2� =
37
28a
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 3 9 / 5 1
Ejemplo. Halle la masa de una esfera de radio R si la densidad en cada puntoes inversamente proporcional a su distancia desde el centro de la esfera.(Esto es � (�; �; �) = k=�).
m =
Z 2�
0
Z �
0
Z R
0
k
��2 sen� d� d� d�
= 2�k
Z �
0
Z R
0
� sen� d� d�
= �kR2Z �
0
sen� d� = �kR2 [� cos�]�0 = 2�kR2:
�densidad �nita aunque en el centro es in�nita�
¿Cuál es el centro de masa?
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 0 / 5 1
Ejemplo. Halle la masa de una esfera de radio R si la densidad en cada puntoes inversamente proporcional a su distancia desde el centro de la esfera.(Esto es � (�; �; �) = k=�).
m =
Z 2�
0
Z �
0
Z R
0
k
��2 sen� d� d� d�
= 2�k
Z �
0
Z R
0
� sen� d� d�
= �kR2Z �
0
sen� d� = �kR2 [� cos�]�0 = 2�kR2:
�densidad �nita aunque en el centro es in�nita�
¿Cuál es el centro de masa?
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 0 / 5 1
Ejemplo. Halle la masa de una esfera de radio R si la densidad en cada puntoes inversamente proporcional a su distancia desde el centro de la esfera.(Esto es � (�; �; �) = k=�).
m =
Z 2�
0
Z �
0
Z R
0
k
��2 sen� d� d� d�
= 2�k
Z �
0
Z R
0
� sen� d� d�
= �kR2Z �
0
sen� d� = �kR2 [� cos�]�0 = 2�kR2:
�densidad �nita aunque en el centro es in�nita�
¿Cuál es el centro de masa?
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 0 / 5 1
Ejemplo. Halle la masa de una esfera de radio R si la densidad en cada puntoes inversamente proporcional a su distancia desde el centro de la esfera.(Esto es � (�; �; �) = k=�).
m =
Z 2�
0
Z �
0
Z R
0
k
��2 sen� d� d� d�
= 2�k
Z �
0
Z R
0
� sen� d� d�
= �kR2Z �
0
sen� d�
= �kR2 [� cos�]�0 = 2�kR2:
�densidad �nita aunque en el centro es in�nita�
¿Cuál es el centro de masa?
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 0 / 5 1
Ejemplo. Halle la masa de una esfera de radio R si la densidad en cada puntoes inversamente proporcional a su distancia desde el centro de la esfera.(Esto es � (�; �; �) = k=�).
m =
Z 2�
0
Z �
0
Z R
0
k
��2 sen� d� d� d�
= 2�k
Z �
0
Z R
0
� sen� d� d�
= �kR2Z �
0
sen� d� = �kR2 [� cos�]�0
= 2�kR2:
�densidad �nita aunque en el centro es in�nita�
¿Cuál es el centro de masa?
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 0 / 5 1
Ejemplo. Halle la masa de una esfera de radio R si la densidad en cada puntoes inversamente proporcional a su distancia desde el centro de la esfera.(Esto es � (�; �; �) = k=�).
m =
Z 2�
0
Z �
0
Z R
0
k
��2 sen� d� d� d�
= 2�k
Z �
0
Z R
0
� sen� d� d�
= �kR2Z �
0
sen� d� = �kR2 [� cos�]�0 = 2�kR2:
�densidad �nita aunque en el centro es in�nita�
¿Cuál es el centro de masa?
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 0 / 5 1
Ejemplo. Halle la masa de una esfera de radio R si la densidad en cada puntoes inversamente proporcional a su distancia desde el centro de la esfera.(Esto es � (�; �; �) = k=�).
m =
Z 2�
0
Z �
0
Z R
0
k
��2 sen� d� d� d�
= 2�k
Z �
0
Z R
0
� sen� d� d�
= �kR2Z �
0
sen� d� = �kR2 [� cos�]�0 = 2�kR2:
�densidad �nita aunque en el centro es in�nita�
¿Cuál es el centro de masa?
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 0 / 5 1
Ejemplo. Halle la masa de una esfera de radio R si la densidad en cada puntoes inversamente proporcional a su distancia desde el centro de la esfera.(Esto es � (�; �; �) = k=�).
m =
Z 2�
0
Z �
0
Z R
0
k
��2 sen� d� d� d�
= 2�k
Z �
0
Z R
0
� sen� d� d�
= �kR2Z �
0
sen� d� = �kR2 [� cos�]�0 = 2�kR2:
�densidad �nita aunque en el centro es in�nita�
¿Cuál es el centro de masa?
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 0 / 5 1
Ejemplo. Hállese el volumen del cono seccionado en la esfera � = a por elcono � = �.
V =
Z 2�
0
Z �
0
Z a
0
�2 sen� d� d� d�
= 2� [� cos�]�0��3
3
�a0
=2
3�a3 (1� cos�) :
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 1 / 5 1
Ejemplo. Hállese el volumen del cono seccionado en la esfera � = a por elcono � = �.
V =
Z 2�
0
Z �
0
Z a
0
�2 sen� d� d� d�
= 2� [� cos�]�0��3
3
�a0
=2
3�a3 (1� cos�) :
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 1 / 5 1
Ejemplo. Hállese el volumen del cono seccionado en la esfera � = a por elcono � = �.
V =
Z 2�
0
Z �
0
Z a
0
�2 sen� d� d� d�
= 2� [� cos�]�0��3
3
�a0
=2
3�a3 (1� cos�) :
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 1 / 5 1
Ejemplo. Hállese el volumen del cono seccionado en la esfera � = a por elcono � = �.
V =
Z 2�
0
Z �
0
Z a
0
�2 sen� d� d� d�
= 2� [� cos�]�0��3
3
�a0
=2
3�a3 (1� cos�) :
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 1 / 5 1
Ejemplo. Hállese el volumen del cono seccionado en la esfera � = a por elcono � = �.
V =
Z 2�
0
Z �
0
Z a
0
�2 sen� d� d� d�
= 2� [� cos�]�0��3
3
�a0
=2
3�a3 (1� cos�) :
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 1 / 5 1
Ejemplo. Describa la super�cie � = 2a sen� y calcule el volumen de la regiónque acota.
V =
Z 2�
0
Z �
0
Z 2a sen�
0
�2 sen� d� d� d�
= 2�
Z �
0
��3
3
�2a sen�0
sen� d� =16a3�
3
Z �
0
sen4 � d�
=32a3�
3
Z �=2
0
sen4 � d� =32a3�
3
�1
2� 34� �2
�= 2a3�2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 2 / 5 1
Ejemplo. Describa la super�cie � = 2a sen� y calcule el volumen de la regiónque acota.
V =
Z 2�
0
Z �
0
Z 2a sen�
0
�2 sen� d� d� d�
= 2�
Z �
0
��3
3
�2a sen�0
sen� d� =16a3�
3
Z �
0
sen4 � d�
=32a3�
3
Z �=2
0
sen4 � d� =32a3�
3
�1
2� 34� �2
�= 2a3�2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 2 / 5 1
Ejemplo. Describa la super�cie � = 2a sen� y calcule el volumen de la regiónque acota.
V =
Z 2�
0
Z �
0
Z 2a sen�
0
�2 sen� d� d� d�
= 2�
Z �
0
��3
3
�2a sen�0
sen� d� =16a3�
3
Z �
0
sen4 � d�
=32a3�
3
Z �=2
0
sen4 � d� =32a3�
3
�1
2� 34� �2
�= 2a3�2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 2 / 5 1
Ejemplo. Describa la super�cie � = 2a sen� y calcule el volumen de la regiónque acota.
V =
Z 2�
0
Z �
0
Z 2a sen�
0
�2 sen� d� d� d�
= 2�
Z �
0
��3
3
�2a sen�0
sen� d�
=16a3�
3
Z �
0
sen4 � d�
=32a3�
3
Z �=2
0
sen4 � d� =32a3�
3
�1
2� 34� �2
�= 2a3�2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 2 / 5 1
Ejemplo. Describa la super�cie � = 2a sen� y calcule el volumen de la regiónque acota.
V =
Z 2�
0
Z �
0
Z 2a sen�
0
�2 sen� d� d� d�
= 2�
Z �
0
��3
3
�2a sen�0
sen� d� =16a3�
3
Z �
0
sen4 � d�
=32a3�
3
Z �=2
0
sen4 � d� =32a3�
3
�1
2� 34� �2
�= 2a3�2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 2 / 5 1
Ejemplo. Describa la super�cie � = 2a sen� y calcule el volumen de la regiónque acota.
V =
Z 2�
0
Z �
0
Z 2a sen�
0
�2 sen� d� d� d�
= 2�
Z �
0
��3
3
�2a sen�0
sen� d� =16a3�
3
Z �
0
sen4 � d�
=32a3�
3
Z �=2
0
sen4 � d�
=32a3�
3
�1
2� 34� �2
�= 2a3�2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 2 / 5 1
Ejemplo. Describa la super�cie � = 2a sen� y calcule el volumen de la regiónque acota.
V =
Z 2�
0
Z �
0
Z 2a sen�
0
�2 sen� d� d� d�
= 2�
Z �
0
��3
3
�2a sen�0
sen� d� =16a3�
3
Z �
0
sen4 � d�
=32a3�
3
Z �=2
0
sen4 � d� =32a3�
3
�1
2� 34� �2
�
= 2a3�2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 2 / 5 1
Ejemplo. Describa la super�cie � = 2a sen� y calcule el volumen de la regiónque acota.
V =
Z 2�
0
Z �
0
Z 2a sen�
0
�2 sen� d� d� d�
= 2�
Z �
0
��3
3
�2a sen�0
sen� d� =16a3�
3
Z �
0
sen4 � d�
=32a3�
3
Z �=2
0
sen4 � d� =32a3�
3
�1
2� 34� �2
�= 2a3�2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 2 / 5 1
Área de super�cie
~u = �x {̂+ fx (xi; yj)�x k̂
~v = �y |̂+ fy (xi; yj)�y k̂
~u� ~v =
������{̂ |̂ k̂�x 0 fx (xi; yj)�x0 �y fy (xi; yj)�y
������=��fx(xi; yj) {̂� fy(xi; yj) |̂+ k̂
��x�y
�Tij = k~u� ~vk =q[fx (xi; yj)]
2+ [fy (xi; yj)]
2+ 1 �A
A (S) = l��mm;n!1
nXj=1
mXi=1
�Tij
=
ZZR
q[fx (x; y)]
2+ [fy (x; y)]
2+ 1 dA
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 3 / 5 1
Área de super�cie
~u = �x {̂+ fx (xi; yj)�x k̂
~v = �y |̂+ fy (xi; yj)�y k̂
~u� ~v =
������{̂ |̂ k̂�x 0 fx (xi; yj)�x0 �y fy (xi; yj)�y
������=��fx(xi; yj) {̂� fy(xi; yj) |̂+ k̂
��x�y
�Tij = k~u� ~vk =q[fx (xi; yj)]
2+ [fy (xi; yj)]
2+ 1 �A
A (S) = l��mm;n!1
nXj=1
mXi=1
�Tij
=
ZZR
q[fx (x; y)]
2+ [fy (x; y)]
2+ 1 dA
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 3 / 5 1
Área de super�cie
~u = �x {̂+ fx (xi; yj)�x k̂
~v = �y |̂+ fy (xi; yj)�y k̂
~u� ~v =
������{̂ |̂ k̂�x 0 fx (xi; yj)�x0 �y fy (xi; yj)�y
������
=��fx(xi; yj) {̂� fy(xi; yj) |̂+ k̂
��x�y
�Tij = k~u� ~vk =q[fx (xi; yj)]
2+ [fy (xi; yj)]
2+ 1 �A
A (S) = l��mm;n!1
nXj=1
mXi=1
�Tij
=
ZZR
q[fx (x; y)]
2+ [fy (x; y)]
2+ 1 dA
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 3 / 5 1
Área de super�cie
~u = �x {̂+ fx (xi; yj)�x k̂
~v = �y |̂+ fy (xi; yj)�y k̂
~u� ~v =
������{̂ |̂ k̂�x 0 fx (xi; yj)�x0 �y fy (xi; yj)�y
������=��fx(xi; yj) {̂� fy(xi; yj) |̂+ k̂
��x�y
�Tij = k~u� ~vk =q[fx (xi; yj)]
2+ [fy (xi; yj)]
2+ 1 �A
A (S) = l��mm;n!1
nXj=1
mXi=1
�Tij
=
ZZR
q[fx (x; y)]
2+ [fy (x; y)]
2+ 1 dA
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 3 / 5 1
Área de super�cie
~u = �x {̂+ fx (xi; yj)�x k̂
~v = �y |̂+ fy (xi; yj)�y k̂
~u� ~v =
������{̂ |̂ k̂�x 0 fx (xi; yj)�x0 �y fy (xi; yj)�y
������=��fx(xi; yj) {̂� fy(xi; yj) |̂+ k̂
��x�y
�Tij = k~u� ~vk
=
q[fx (xi; yj)]
2+ [fy (xi; yj)]
2+ 1 �A
A (S) = l��mm;n!1
nXj=1
mXi=1
�Tij
=
ZZR
q[fx (x; y)]
2+ [fy (x; y)]
2+ 1 dA
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 3 / 5 1
Área de super�cie
~u = �x {̂+ fx (xi; yj)�x k̂
~v = �y |̂+ fy (xi; yj)�y k̂
~u� ~v =
������{̂ |̂ k̂�x 0 fx (xi; yj)�x0 �y fy (xi; yj)�y
������=��fx(xi; yj) {̂� fy(xi; yj) |̂+ k̂
��x�y
�Tij = k~u� ~vk =q[fx (xi; yj)]
2+ [fy (xi; yj)]
2+ 1 �A
A (S) = l��mm;n!1
nXj=1
mXi=1
�Tij
=
ZZR
q[fx (x; y)]
2+ [fy (x; y)]
2+ 1 dA
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 3 / 5 1
Área de super�cie
~u = �x {̂+ fx (xi; yj)�x k̂
~v = �y |̂+ fy (xi; yj)�y k̂
~u� ~v =
������{̂ |̂ k̂�x 0 fx (xi; yj)�x0 �y fy (xi; yj)�y
������=��fx(xi; yj) {̂� fy(xi; yj) |̂+ k̂
��x�y
�Tij = k~u� ~vk =q[fx (xi; yj)]
2+ [fy (xi; yj)]
2+ 1 �A
A (S) = l��mm;n!1
nXj=1
mXi=1
�Tij
=
ZZR
q[fx (x; y)]
2+ [fy (x; y)]
2+ 1 dA
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 3 / 5 1
Área de super�cie
~u = �x {̂+ fx (xi; yj)�x k̂
~v = �y |̂+ fy (xi; yj)�y k̂
~u� ~v =
������{̂ |̂ k̂�x 0 fx (xi; yj)�x0 �y fy (xi; yj)�y
������=��fx(xi; yj) {̂� fy(xi; yj) |̂+ k̂
��x�y
�Tij = k~u� ~vk =q[fx (xi; yj)]
2+ [fy (xi; yj)]
2+ 1 �A
A (S) = l��mm;n!1
nXj=1
mXi=1
�Tij
=
ZZR
q[fx (x; y)]
2+ [fy (x; y)]
2+ 1 dA
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 3 / 5 1
Ejemplos
Ejemplo. Determine el área de la elipseobtenida de la intersección del planoz = 2x+ 2y + 1 con el cilindro x2 + y2 = 1.
A (S) =
ZZR
q[@xz]
2+ [@yz]
2+ 1dA
=
ZZR
q[2]
2+ [2]
2+ 1dA
=
ZZR
3dA =
ZZD
3r dr d�
=
Z 2�
0
Z 1
0
3r dr d�
= 3 [�]2�0
�r2
2
�10
= 3 � 2� � 12= 3�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 4 / 5 1
Ejemplos
Ejemplo. Determine el área de la elipseobtenida de la intersección del planoz = 2x+ 2y + 1 con el cilindro x2 + y2 = 1.
A (S) =
ZZR
q[@xz]
2+ [@yz]
2+ 1dA
=
ZZR
q[2]
2+ [2]
2+ 1dA
=
ZZR
3dA =
ZZD
3r dr d�
=
Z 2�
0
Z 1
0
3r dr d�
= 3 [�]2�0
�r2
2
�10
= 3 � 2� � 12= 3�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 4 / 5 1
Ejemplos
Ejemplo. Determine el área de la elipseobtenida de la intersección del planoz = 2x+ 2y + 1 con el cilindro x2 + y2 = 1.
A (S) =
ZZR
q[@xz]
2+ [@yz]
2+ 1dA
=
ZZR
q[2]
2+ [2]
2+ 1dA
=
ZZR
3dA =
ZZD
3r dr d�
=
Z 2�
0
Z 1
0
3r dr d�
= 3 [�]2�0
�r2
2
�10
= 3 � 2� � 12= 3�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 4 / 5 1
Ejemplos
Ejemplo. Determine el área de la elipseobtenida de la intersección del planoz = 2x+ 2y + 1 con el cilindro x2 + y2 = 1.
A (S) =
ZZR
q[@xz]
2+ [@yz]
2+ 1dA
=
ZZR
q[2]
2+ [2]
2+ 1dA
=
ZZR
3dA =
ZZD
3r dr d�
=
Z 2�
0
Z 1
0
3r dr d�
= 3 [�]2�0
�r2
2
�10
= 3 � 2� � 12= 3�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 4 / 5 1
Ejemplos
Ejemplo. Determine el área de la elipseobtenida de la intersección del planoz = 2x+ 2y + 1 con el cilindro x2 + y2 = 1.
A (S) =
ZZR
q[@xz]
2+ [@yz]
2+ 1dA
=
ZZR
q[2]
2+ [2]
2+ 1dA
=
ZZR
3dA =
ZZD
3r dr d�
=
Z 2�
0
Z 1
0
3r dr d�
= 3 [�]2�0
�r2
2
�10
= 3 � 2� � 12= 3�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 4 / 5 1
Ejemplos
Ejemplo. Determine el área de la elipseobtenida de la intersección del planoz = 2x+ 2y + 1 con el cilindro x2 + y2 = 1.
A (S) =
ZZR
q[@xz]
2+ [@yz]
2+ 1dA
=
ZZR
q[2]
2+ [2]
2+ 1dA
=
ZZR
3dA =
ZZD
3r dr d�
=
Z 2�
0
Z 1
0
3r dr d�
= 3 [�]2�0
�r2
2
�10
= 3 � 2� � 12= 3�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 4 / 5 1
Ejemplo. Determine el área de lasuper�cie en el hemisferio superior dela esfera x2 + y2 + z2 = 2 cortado porel cilindro x2 + y2 = 1.
z =p2� x2 � y2;
@xz =�xp
2� x2 � y2;
@yz =�yp
2� x2 � y2:
A (S) =
ZZR
s��xp
2�x2�y2
�2+
��yp
2�x2�y2
�2+ 1dA
=
ZZR
rx2+y2+(2�x2�y2)
2�x2�y2 dA =
ZZR
s2
2� (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p2p
2� r2r dr d� =
p2 [�]
2�0
h��2� r2
�1=2i10
= 2p2��p2� 1
�= 2�
�2�
p2�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 5 / 5 1
Ejemplo. Determine el área de lasuper�cie en el hemisferio superior dela esfera x2 + y2 + z2 = 2 cortado porel cilindro x2 + y2 = 1.
z =p2� x2 � y2;
@xz =�xp
2� x2 � y2;
@yz =�yp
2� x2 � y2:
A (S) =
ZZR
s��xp
2�x2�y2
�2+
��yp
2�x2�y2
�2+ 1dA
=
ZZR
rx2+y2+(2�x2�y2)
2�x2�y2 dA =
ZZR
s2
2� (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p2p
2� r2r dr d� =
p2 [�]
2�0
h��2� r2
�1=2i10
= 2p2��p2� 1
�= 2�
�2�
p2�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 5 / 5 1
Ejemplo. Determine el área de lasuper�cie en el hemisferio superior dela esfera x2 + y2 + z2 = 2 cortado porel cilindro x2 + y2 = 1.
z =p2� x2 � y2;
@xz =�xp
2� x2 � y2;
@yz =�yp
2� x2 � y2:
A (S) =
ZZR
s��xp
2�x2�y2
�2+
��yp
2�x2�y2
�2+ 1dA
=
ZZR
rx2+y2+(2�x2�y2)
2�x2�y2 dA =
ZZR
s2
2� (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p2p
2� r2r dr d� =
p2 [�]
2�0
h��2� r2
�1=2i10
= 2p2��p2� 1
�= 2�
�2�
p2�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 5 / 5 1
Ejemplo. Determine el área de lasuper�cie en el hemisferio superior dela esfera x2 + y2 + z2 = 2 cortado porel cilindro x2 + y2 = 1.
z =p2� x2 � y2;
@xz =�xp
2� x2 � y2;
@yz =�yp
2� x2 � y2:
A (S) =
ZZR
s��xp
2�x2�y2
�2+
��yp
2�x2�y2
�2+ 1dA
=
ZZR
rx2+y2+(2�x2�y2)
2�x2�y2 dA =
ZZR
s2
2� (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p2p
2� r2r dr d� =
p2 [�]
2�0
h��2� r2
�1=2i10
= 2p2��p2� 1
�= 2�
�2�
p2�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 5 / 5 1
Ejemplo. Determine el área de lasuper�cie en el hemisferio superior dela esfera x2 + y2 + z2 = 2 cortado porel cilindro x2 + y2 = 1.
z =p2� x2 � y2;
@xz =�xp
2� x2 � y2;
@yz =�yp
2� x2 � y2:
A (S) =
ZZR
s��xp
2�x2�y2
�2+
��yp
2�x2�y2
�2+ 1dA
=
ZZR
rx2+y2+(2�x2�y2)
2�x2�y2 dA =
ZZR
s2
2� (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p2p
2� r2r dr d� =
p2 [�]
2�0
h��2� r2
�1=2i10
= 2p2��p2� 1
�= 2�
�2�
p2�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 5 / 5 1
Ejemplo. Determine el área de lasuper�cie en el hemisferio superior dela esfera x2 + y2 + z2 = 2 cortado porel cilindro x2 + y2 = 1.
z =p2� x2 � y2;
@xz =�xp
2� x2 � y2;
@yz =�yp
2� x2 � y2:
A (S) =
ZZR
s��xp
2�x2�y2
�2+
��yp
2�x2�y2
�2+ 1dA
=
ZZR
rx2+y2+(2�x2�y2)
2�x2�y2 dA
=
ZZR
s2
2� (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p2p
2� r2r dr d� =
p2 [�]
2�0
h��2� r2
�1=2i10
= 2p2��p2� 1
�= 2�
�2�
p2�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 5 / 5 1
Ejemplo. Determine el área de lasuper�cie en el hemisferio superior dela esfera x2 + y2 + z2 = 2 cortado porel cilindro x2 + y2 = 1.
z =p2� x2 � y2;
@xz =�xp
2� x2 � y2;
@yz =�yp
2� x2 � y2:
A (S) =
ZZR
s��xp
2�x2�y2
�2+
��yp
2�x2�y2
�2+ 1dA
=
ZZR
rx2+y2+(2�x2�y2)
2�x2�y2 dA =
ZZR
s2
2� (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p2p
2� r2r dr d� =
p2 [�]
2�0
h��2� r2
�1=2i10
= 2p2��p2� 1
�= 2�
�2�
p2�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 5 / 5 1
Ejemplo. Determine el área de lasuper�cie en el hemisferio superior dela esfera x2 + y2 + z2 = 2 cortado porel cilindro x2 + y2 = 1.
z =p2� x2 � y2;
@xz =�xp
2� x2 � y2;
@yz =�yp
2� x2 � y2:
A (S) =
ZZR
s��xp
2�x2�y2
�2+
��yp
2�x2�y2
�2+ 1dA
=
ZZR
rx2+y2+(2�x2�y2)
2�x2�y2 dA =
ZZR
s2
2� (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p2p
2� r2r dr d�
=p2 [�]
2�0
h��2� r2
�1=2i10
= 2p2��p2� 1
�= 2�
�2�
p2�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 5 / 5 1
Ejemplo. Determine el área de lasuper�cie en el hemisferio superior dela esfera x2 + y2 + z2 = 2 cortado porel cilindro x2 + y2 = 1.
z =p2� x2 � y2;
@xz =�xp
2� x2 � y2;
@yz =�yp
2� x2 � y2:
A (S) =
ZZR
s��xp
2�x2�y2
�2+
��yp
2�x2�y2
�2+ 1dA
=
ZZR
rx2+y2+(2�x2�y2)
2�x2�y2 dA =
ZZR
s2
2� (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p2p
2� r2r dr d� =
p2 [�]
2�0
h��2� r2
�1=2i10
= 2p2��p2� 1
�= 2�
�2�
p2�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 5 / 5 1
Ejemplo. Determine el área de lasuper�cie en el hemisferio superior dela esfera x2 + y2 + z2 = 2 cortado porel cilindro x2 + y2 = 1.
z =p2� x2 � y2;
@xz =�xp
2� x2 � y2;
@yz =�yp
2� x2 � y2:
A (S) =
ZZR
s��xp
2�x2�y2
�2+
��yp
2�x2�y2
�2+ 1dA
=
ZZR
rx2+y2+(2�x2�y2)
2�x2�y2 dA =
ZZR
s2
2� (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p2p
2� r2r dr d� =
p2 [�]
2�0
h��2� r2
�1=2i10
= 2p2��p2� 1
�
= 2��2�
p2�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 5 / 5 1
Ejemplo. Determine el área de lasuper�cie en el hemisferio superior dela esfera x2 + y2 + z2 = 2 cortado porel cilindro x2 + y2 = 1.
z =p2� x2 � y2;
@xz =�xp
2� x2 � y2;
@yz =�yp
2� x2 � y2:
A (S) =
ZZR
s��xp
2�x2�y2
�2+
��yp
2�x2�y2
�2+ 1dA
=
ZZR
rx2+y2+(2�x2�y2)
2�x2�y2 dA =
ZZR
s2
2� (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p2p
2� r2r dr d� =
p2 [�]
2�0
h��2� r2
�1=2i10
= 2p2��p2� 1
�= 2�
�2�
p2�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 5 / 5 1
Ejemplo. Hallese el área del paraboloide z = x2 + y2 seccionado por el planoz = 1.
A (S) =
ZZR
q1 + (2x)
2+ (2y)
2dA =
ZZR
p1 + 4 (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p1 + 4r2r dr d� =
�
6
�5p5� 1
�:
Ejemplo. Halle el área de la parte de la super�cie z = 23
�x3=2 + y3=2
�que
está sobre el rectángulo [0; 3]� [0; 3].
A (S) =
Z 3
0
Z 3
0
p1 + x+ ydy dx =
Z 3
0
�2
3(1 + x+ y)
3=2
�30
dx
=2
3
Z 3
0
h(4 + x)
3=2 � (1 + x)3=2idx
=2
3� 25
h(4 + x)
5=2 � (1 + x)5=2i30
=4
15
�75=2 � 45=2 � 45=2 + 1
�=4
15
�75=2 � 63
�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 6 / 5 1
Ejemplo. Hallese el área del paraboloide z = x2 + y2 seccionado por el planoz = 1.
A (S) =
ZZR
q1 + (2x)
2+ (2y)
2dA
=
ZZR
p1 + 4 (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p1 + 4r2r dr d� =
�
6
�5p5� 1
�:
Ejemplo. Halle el área de la parte de la super�cie z = 23
�x3=2 + y3=2
�que
está sobre el rectángulo [0; 3]� [0; 3].
A (S) =
Z 3
0
Z 3
0
p1 + x+ ydy dx =
Z 3
0
�2
3(1 + x+ y)
3=2
�30
dx
=2
3
Z 3
0
h(4 + x)
3=2 � (1 + x)3=2idx
=2
3� 25
h(4 + x)
5=2 � (1 + x)5=2i30
=4
15
�75=2 � 45=2 � 45=2 + 1
�=4
15
�75=2 � 63
�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 6 / 5 1
Ejemplo. Hallese el área del paraboloide z = x2 + y2 seccionado por el planoz = 1.
A (S) =
ZZR
q1 + (2x)
2+ (2y)
2dA =
ZZR
p1 + 4 (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p1 + 4r2r dr d� =
�
6
�5p5� 1
�:
Ejemplo. Halle el área de la parte de la super�cie z = 23
�x3=2 + y3=2
�que
está sobre el rectángulo [0; 3]� [0; 3].
A (S) =
Z 3
0
Z 3
0
p1 + x+ ydy dx =
Z 3
0
�2
3(1 + x+ y)
3=2
�30
dx
=2
3
Z 3
0
h(4 + x)
3=2 � (1 + x)3=2idx
=2
3� 25
h(4 + x)
5=2 � (1 + x)5=2i30
=4
15
�75=2 � 45=2 � 45=2 + 1
�=4
15
�75=2 � 63
�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 6 / 5 1
Ejemplo. Hallese el área del paraboloide z = x2 + y2 seccionado por el planoz = 1.
A (S) =
ZZR
q1 + (2x)
2+ (2y)
2dA =
ZZR
p1 + 4 (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p1 + 4r2r dr d�
=�
6
�5p5� 1
�:
Ejemplo. Halle el área de la parte de la super�cie z = 23
�x3=2 + y3=2
�que
está sobre el rectángulo [0; 3]� [0; 3].
A (S) =
Z 3
0
Z 3
0
p1 + x+ ydy dx =
Z 3
0
�2
3(1 + x+ y)
3=2
�30
dx
=2
3
Z 3
0
h(4 + x)
3=2 � (1 + x)3=2idx
=2
3� 25
h(4 + x)
5=2 � (1 + x)5=2i30
=4
15
�75=2 � 45=2 � 45=2 + 1
�=4
15
�75=2 � 63
�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 6 / 5 1
Ejemplo. Hallese el área del paraboloide z = x2 + y2 seccionado por el planoz = 1.
A (S) =
ZZR
q1 + (2x)
2+ (2y)
2dA =
ZZR
p1 + 4 (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p1 + 4r2r dr d� =
�
6
�5p5� 1
�:
Ejemplo. Halle el área de la parte de la super�cie z = 23
�x3=2 + y3=2
�que
está sobre el rectángulo [0; 3]� [0; 3].
A (S) =
Z 3
0
Z 3
0
p1 + x+ ydy dx =
Z 3
0
�2
3(1 + x+ y)
3=2
�30
dx
=2
3
Z 3
0
h(4 + x)
3=2 � (1 + x)3=2idx
=2
3� 25
h(4 + x)
5=2 � (1 + x)5=2i30
=4
15
�75=2 � 45=2 � 45=2 + 1
�=4
15
�75=2 � 63
�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 6 / 5 1
Ejemplo. Hallese el área del paraboloide z = x2 + y2 seccionado por el planoz = 1.
A (S) =
ZZR
q1 + (2x)
2+ (2y)
2dA =
ZZR
p1 + 4 (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p1 + 4r2r dr d� =
�
6
�5p5� 1
�:
Ejemplo. Halle el área de la parte de la super�cie z = 23
�x3=2 + y3=2
�que
está sobre el rectángulo [0; 3]� [0; 3].
A (S) =
Z 3
0
Z 3
0
p1 + x+ ydy dx =
Z 3
0
�2
3(1 + x+ y)
3=2
�30
dx
=2
3
Z 3
0
h(4 + x)
3=2 � (1 + x)3=2idx
=2
3� 25
h(4 + x)
5=2 � (1 + x)5=2i30
=4
15
�75=2 � 45=2 � 45=2 + 1
�=4
15
�75=2 � 63
�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 6 / 5 1
Ejemplo. Hallese el área del paraboloide z = x2 + y2 seccionado por el planoz = 1.
A (S) =
ZZR
q1 + (2x)
2+ (2y)
2dA =
ZZR
p1 + 4 (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p1 + 4r2r dr d� =
�
6
�5p5� 1
�:
Ejemplo. Halle el área de la parte de la super�cie z = 23
�x3=2 + y3=2
�que
está sobre el rectángulo [0; 3]� [0; 3].
A (S) =
Z 3
0
Z 3
0
p1 + x+ ydy dx
=
Z 3
0
�2
3(1 + x+ y)
3=2
�30
dx
=2
3
Z 3
0
h(4 + x)
3=2 � (1 + x)3=2idx
=2
3� 25
h(4 + x)
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=4
15
�75=2 � 45=2 � 45=2 + 1
�=4
15
�75=2 � 63
�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 6 / 5 1
Ejemplo. Hallese el área del paraboloide z = x2 + y2 seccionado por el planoz = 1.
A (S) =
ZZR
q1 + (2x)
2+ (2y)
2dA =
ZZR
p1 + 4 (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p1 + 4r2r dr d� =
�
6
�5p5� 1
�:
Ejemplo. Halle el área de la parte de la super�cie z = 23
�x3=2 + y3=2
�que
está sobre el rectángulo [0; 3]� [0; 3].
A (S) =
Z 3
0
Z 3
0
p1 + x+ ydy dx =
Z 3
0
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3=2
�30
dx
=2
3
Z 3
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h(4 + x)
3=2 � (1 + x)3=2idx
=2
3� 25
h(4 + x)
5=2 � (1 + x)5=2i30
=4
15
�75=2 � 45=2 � 45=2 + 1
�=4
15
�75=2 � 63
�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 6 / 5 1
Ejemplo. Hallese el área del paraboloide z = x2 + y2 seccionado por el planoz = 1.
A (S) =
ZZR
q1 + (2x)
2+ (2y)
2dA =
ZZR
p1 + 4 (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p1 + 4r2r dr d� =
�
6
�5p5� 1
�:
Ejemplo. Halle el área de la parte de la super�cie z = 23
�x3=2 + y3=2
�que
está sobre el rectángulo [0; 3]� [0; 3].
A (S) =
Z 3
0
Z 3
0
p1 + x+ ydy dx =
Z 3
0
�2
3(1 + x+ y)
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�30
dx
=2
3
Z 3
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3� 25
h(4 + x)
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=4
15
�75=2 � 45=2 � 45=2 + 1
�=4
15
�75=2 � 63
�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 6 / 5 1
Ejemplo. Hallese el área del paraboloide z = x2 + y2 seccionado por el planoz = 1.
A (S) =
ZZR
q1 + (2x)
2+ (2y)
2dA =
ZZR
p1 + 4 (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p1 + 4r2r dr d� =
�
6
�5p5� 1
�:
Ejemplo. Halle el área de la parte de la super�cie z = 23
�x3=2 + y3=2
�que
está sobre el rectángulo [0; 3]� [0; 3].
A (S) =
Z 3
0
Z 3
0
p1 + x+ ydy dx =
Z 3
0
�2
3(1 + x+ y)
3=2
�30
dx
=2
3
Z 3
0
h(4 + x)
3=2 � (1 + x)3=2idx
=2
3� 25
h(4 + x)
5=2 � (1 + x)5=2i30
=4
15
�75=2 � 45=2 � 45=2 + 1
�=4
15
�75=2 � 63
�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 6 / 5 1
Ejemplo. Hallese el área del paraboloide z = x2 + y2 seccionado por el planoz = 1.
A (S) =
ZZR
q1 + (2x)
2+ (2y)
2dA =
ZZR
p1 + 4 (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p1 + 4r2r dr d� =
�
6
�5p5� 1
�:
Ejemplo. Halle el área de la parte de la super�cie z = 23
�x3=2 + y3=2
�que
está sobre el rectángulo [0; 3]� [0; 3].
A (S) =
Z 3
0
Z 3
0
p1 + x+ ydy dx =
Z 3
0
�2
3(1 + x+ y)
3=2
�30
dx
=2
3
Z 3
0
h(4 + x)
3=2 � (1 + x)3=2idx
=2
3� 25
h(4 + x)
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15
�75=2 � 45=2 � 45=2 + 1
�
=4
15
�75=2 � 63
�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 6 / 5 1
Ejemplo. Hallese el área del paraboloide z = x2 + y2 seccionado por el planoz = 1.
A (S) =
ZZR
q1 + (2x)
2+ (2y)
2dA =
ZZR
p1 + 4 (x2 + y2)dA
=
Z 2�
0
Z 1
0
p1 + 4r2r dr d� =
�
6
�5p5� 1
�:
Ejemplo. Halle el área de la parte de la super�cie z = 23
�x3=2 + y3=2
�que
está sobre el rectángulo [0; 3]� [0; 3].
A (S) =
Z 3
0
Z 3
0
p1 + x+ ydy dx =
Z 3
0
�2
3(1 + x+ y)
3=2
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dx
=2
3
Z 3
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h(4 + x)
3=2 � (1 + x)3=2idx
=2
3� 25
h(4 + x)
5=2 � (1 + x)5=2i30
=4
15
�75=2 � 45=2 � 45=2 + 1
�=4
15
�75=2 � 63
�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 6 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el área de la super�cie de una esfera de radio a que estáentre los planos z = t1 y z = t2.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 7 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el área de la super�cie de una esfera de radio a que estáentre los planos z = t1 y z = t2.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 7 / 5 1
Como x2 + y2 + z2 = a2, entonces
z =pa2 � x2 � y2;
@xz =�xp
a2 � x2 � y2; @yz =
�ypa2 � x2 � y2
�T =
vuut �xpa2 � x2 � y2
!2+
�yp
a2 � x2 � y2
!2+ 1
=
sx2 + y2 + (a2 � x2 � y2)
a2 � x2 � y2
=
sa2
a2 � x2 � y2 =ap
a2 � x2 � y2=
apa2 � r2
:
A (S) =
Z 2�
0
Z r2
r1
apa2 � r2
r dr d� =h�2�a
pa2 � r2
ir2r1
= 2�a
�qa2 � r21 �
qa2 � r22
�= 2�a (t1 � t2) = 2�ah:
Observe que esta área corresponde a la de un cilindro circular recto de radio ay altura h = t1 � t2.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 8 / 5 1
Como x2 + y2 + z2 = a2, entonces
z =pa2 � x2 � y2; @xz =
�xpa2 � x2 � y2
;
@yz =�yp
a2 � x2 � y2
�T =
vuut �xpa2 � x2 � y2
!2+
�yp
a2 � x2 � y2
!2+ 1
=
sx2 + y2 + (a2 � x2 � y2)
a2 � x2 � y2
=
sa2
a2 � x2 � y2 =ap
a2 � x2 � y2=
apa2 � r2
:
A (S) =
Z 2�
0
Z r2
r1
apa2 � r2
r dr d� =h�2�a
pa2 � r2
ir2r1
= 2�a
�qa2 � r21 �
qa2 � r22
�= 2�a (t1 � t2) = 2�ah:
Observe que esta área corresponde a la de un cilindro circular recto de radio ay altura h = t1 � t2.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 8 / 5 1
Como x2 + y2 + z2 = a2, entonces
z =pa2 � x2 � y2; @xz =
�xpa2 � x2 � y2
; @yz =�yp
a2 � x2 � y2
�T =
vuut �xpa2 � x2 � y2
!2+
�yp
a2 � x2 � y2
!2+ 1
=
sx2 + y2 + (a2 � x2 � y2)
a2 � x2 � y2
=
sa2
a2 � x2 � y2 =ap
a2 � x2 � y2=
apa2 � r2
:
A (S) =
Z 2�
0
Z r2
r1
apa2 � r2
r dr d� =h�2�a
pa2 � r2
ir2r1
= 2�a
�qa2 � r21 �
qa2 � r22
�= 2�a (t1 � t2) = 2�ah:
Observe que esta área corresponde a la de un cilindro circular recto de radio ay altura h = t1 � t2.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 8 / 5 1
Como x2 + y2 + z2 = a2, entonces
z =pa2 � x2 � y2; @xz =
�xpa2 � x2 � y2
; @yz =�yp
a2 � x2 � y2
�T =
vuut �xpa2 � x2 � y2
!2+
�yp
a2 � x2 � y2
!2+ 1
=
sx2 + y2 + (a2 � x2 � y2)
a2 � x2 � y2
=
sa2
a2 � x2 � y2 =ap
a2 � x2 � y2=
apa2 � r2
:
A (S) =
Z 2�
0
Z r2
r1
apa2 � r2
r dr d� =h�2�a
pa2 � r2
ir2r1
= 2�a
�qa2 � r21 �
qa2 � r22
�= 2�a (t1 � t2) = 2�ah:
Observe que esta área corresponde a la de un cilindro circular recto de radio ay altura h = t1 � t2.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 8 / 5 1
Como x2 + y2 + z2 = a2, entonces
z =pa2 � x2 � y2; @xz =
�xpa2 � x2 � y2
; @yz =�yp
a2 � x2 � y2
�T =
vuut �xpa2 � x2 � y2
!2+
�yp
a2 � x2 � y2
!2+ 1
=
sx2 + y2 + (a2 � x2 � y2)
a2 � x2 � y2
=
sa2
a2 � x2 � y2 =ap
a2 � x2 � y2=
apa2 � r2
:
A (S) =
Z 2�
0
Z r2
r1
apa2 � r2
r dr d� =h�2�a
pa2 � r2
ir2r1
= 2�a
�qa2 � r21 �
qa2 � r22
�= 2�a (t1 � t2) = 2�ah:
Observe que esta área corresponde a la de un cilindro circular recto de radio ay altura h = t1 � t2.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 8 / 5 1
Como x2 + y2 + z2 = a2, entonces
z =pa2 � x2 � y2; @xz =
�xpa2 � x2 � y2
; @yz =�yp
a2 � x2 � y2
�T =
vuut �xpa2 � x2 � y2
!2+
�yp
a2 � x2 � y2
!2+ 1
=
sx2 + y2 + (a2 � x2 � y2)
a2 � x2 � y2
=
sa2
a2 � x2 � y2
=ap
a2 � x2 � y2=
apa2 � r2
:
A (S) =
Z 2�
0
Z r2
r1
apa2 � r2
r dr d� =h�2�a
pa2 � r2
ir2r1
= 2�a
�qa2 � r21 �
qa2 � r22
�= 2�a (t1 � t2) = 2�ah:
Observe que esta área corresponde a la de un cilindro circular recto de radio ay altura h = t1 � t2.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 8 / 5 1
Como x2 + y2 + z2 = a2, entonces
z =pa2 � x2 � y2; @xz =
�xpa2 � x2 � y2
; @yz =�yp
a2 � x2 � y2
�T =
vuut �xpa2 � x2 � y2
!2+
�yp
a2 � x2 � y2
!2+ 1
=
sx2 + y2 + (a2 � x2 � y2)
a2 � x2 � y2
=
sa2
a2 � x2 � y2 =ap
a2 � x2 � y2
=ap
a2 � r2:
A (S) =
Z 2�
0
Z r2
r1
apa2 � r2
r dr d� =h�2�a
pa2 � r2
ir2r1
= 2�a
�qa2 � r21 �
qa2 � r22
�= 2�a (t1 � t2) = 2�ah:
Observe que esta área corresponde a la de un cilindro circular recto de radio ay altura h = t1 � t2.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 8 / 5 1
Como x2 + y2 + z2 = a2, entonces
z =pa2 � x2 � y2; @xz =
�xpa2 � x2 � y2
; @yz =�yp
a2 � x2 � y2
�T =
vuut �xpa2 � x2 � y2
!2+
�yp
a2 � x2 � y2
!2+ 1
=
sx2 + y2 + (a2 � x2 � y2)
a2 � x2 � y2
=
sa2
a2 � x2 � y2 =ap
a2 � x2 � y2=
apa2 � r2
:
A (S) =
Z 2�
0
Z r2
r1
apa2 � r2
r dr d� =h�2�a
pa2 � r2
ir2r1
= 2�a
�qa2 � r21 �
qa2 � r22
�= 2�a (t1 � t2) = 2�ah:
Observe que esta área corresponde a la de un cilindro circular recto de radio ay altura h = t1 � t2.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 8 / 5 1
Como x2 + y2 + z2 = a2, entonces
z =pa2 � x2 � y2; @xz =
�xpa2 � x2 � y2
; @yz =�yp
a2 � x2 � y2
�T =
vuut �xpa2 � x2 � y2
!2+
�yp
a2 � x2 � y2
!2+ 1
=
sx2 + y2 + (a2 � x2 � y2)
a2 � x2 � y2
=
sa2
a2 � x2 � y2 =ap
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apa2 � r2
:
A (S) =
Z 2�
0
Z r2
r1
apa2 � r2
r dr d�
=h�2�a
pa2 � r2
ir2r1
= 2�a
�qa2 � r21 �
qa2 � r22
�= 2�a (t1 � t2) = 2�ah:
Observe que esta área corresponde a la de un cilindro circular recto de radio ay altura h = t1 � t2.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 8 / 5 1
Como x2 + y2 + z2 = a2, entonces
z =pa2 � x2 � y2; @xz =
�xpa2 � x2 � y2
; @yz =�yp
a2 � x2 � y2
�T =
vuut �xpa2 � x2 � y2
!2+
�yp
a2 � x2 � y2
!2+ 1
=
sx2 + y2 + (a2 � x2 � y2)
a2 � x2 � y2
=
sa2
a2 � x2 � y2 =ap
a2 � x2 � y2=
apa2 � r2
:
A (S) =
Z 2�
0
Z r2
r1
apa2 � r2
r dr d� =h�2�a
pa2 � r2
ir2r1
= 2�a
�qa2 � r21 �
qa2 � r22
�= 2�a (t1 � t2) = 2�ah:
Observe que esta área corresponde a la de un cilindro circular recto de radio ay altura h = t1 � t2.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 8 / 5 1
Como x2 + y2 + z2 = a2, entonces
z =pa2 � x2 � y2; @xz =
�xpa2 � x2 � y2
; @yz =�yp
a2 � x2 � y2
�T =
vuut �xpa2 � x2 � y2
!2+
�yp
a2 � x2 � y2
!2+ 1
=
sx2 + y2 + (a2 � x2 � y2)
a2 � x2 � y2
=
sa2
a2 � x2 � y2 =ap
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:
A (S) =
Z 2�
0
Z r2
r1
apa2 � r2
r dr d� =h�2�a
pa2 � r2
ir2r1
= 2�a
�qa2 � r21 �
qa2 � r22
�
= 2�a (t1 � t2) = 2�ah:
Observe que esta área corresponde a la de un cilindro circular recto de radio ay altura h = t1 � t2.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 8 / 5 1
Como x2 + y2 + z2 = a2, entonces
z =pa2 � x2 � y2; @xz =
�xpa2 � x2 � y2
; @yz =�yp
a2 � x2 � y2
�T =
vuut �xpa2 � x2 � y2
!2+
�yp
a2 � x2 � y2
!2+ 1
=
sx2 + y2 + (a2 � x2 � y2)
a2 � x2 � y2
=
sa2
a2 � x2 � y2 =ap
a2 � x2 � y2=
apa2 � r2
:
A (S) =
Z 2�
0
Z r2
r1
apa2 � r2
r dr d� =h�2�a
pa2 � r2
ir2r1
= 2�a
�qa2 � r21 �
qa2 � r22
�= 2�a (t1 � t2)
= 2�ah:
Observe que esta área corresponde a la de un cilindro circular recto de radio ay altura h = t1 � t2.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 8 / 5 1
Como x2 + y2 + z2 = a2, entonces
z =pa2 � x2 � y2; @xz =
�xpa2 � x2 � y2
; @yz =�yp
a2 � x2 � y2
�T =
vuut �xpa2 � x2 � y2
!2+
�yp
a2 � x2 � y2
!2+ 1
=
sx2 + y2 + (a2 � x2 � y2)
a2 � x2 � y2
=
sa2
a2 � x2 � y2 =ap
a2 � x2 � y2=
apa2 � r2
:
A (S) =
Z 2�
0
Z r2
r1
apa2 � r2
r dr d� =h�2�a
pa2 � r2
ir2r1
= 2�a
�qa2 � r21 �
qa2 � r22
�= 2�a (t1 � t2) = 2�ah:
Observe que esta área corresponde a la de un cilindro circular recto de radio ay altura h = t1 � t2.
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 8 / 5 1
Como x2 + y2 + z2 = a2, entonces
z =pa2 � x2 � y2; @xz =
�xpa2 � x2 � y2
; @yz =�yp
a2 � x2 � y2
�T =
vuut �xpa2 � x2 � y2
!2+
�yp
a2 � x2 � y2
!2+ 1
=
sx2 + y2 + (a2 � x2 � y2)
a2 � x2 � y2
=
sa2
a2 � x2 � y2 =ap
a2 � x2 � y2=
apa2 � r2
:
A (S) =
Z 2�
0
Z r2
r1
apa2 � r2
r dr d� =h�2�a
pa2 � r2
ir2r1
= 2�a
�qa2 � r21 �
qa2 � r22
�= 2�a (t1 � t2) = 2�ah:
Observe que esta área corresponde a la de un cilindro circular recto de radio ay altura h = t1 � t2.G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 8 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el área de la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 4z quequeda arriba del paraboloide z = x2 + y2.
�x2 + y2 + z2 = 4z
z = x2 + y2
=)�x2 + y2 + (z � 2)2 = 4
z = r2
=) r2 +�r2 � 2
�2= 4
=) r2 + r4 � 4r2 + 4 = 4=) r2
�r2 � 3
�= 0 =) r =
p3
Por otra parte, como x2 + y2 + (z � 2)2 = 4 entonces
@z
@x= � x
z � 2 y@z
@y= � y
z � 2 ;
además(z � 2)2 = 4� x2 � y2 = 4� r2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 9 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el área de la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 4z quequeda arriba del paraboloide z = x2 + y2.
�x2 + y2 + z2 = 4z
z = x2 + y2
=)�x2 + y2 + (z � 2)2 = 4
z = r2
=) r2 +�r2 � 2
�2= 4
=) r2 + r4 � 4r2 + 4 = 4=) r2
�r2 � 3
�= 0 =) r =
p3
Por otra parte, como x2 + y2 + (z � 2)2 = 4 entonces
@z
@x= � x
z � 2 y@z
@y= � y
z � 2 ;
además(z � 2)2 = 4� x2 � y2 = 4� r2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 9 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el área de la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 4z quequeda arriba del paraboloide z = x2 + y2. �
x2 + y2 + z2 = 4zz = x2 + y2
=)�x2 + y2 + (z � 2)2 = 4
z = r2
=) r2 +�r2 � 2
�2= 4
=) r2 + r4 � 4r2 + 4 = 4=) r2
�r2 � 3
�= 0 =) r =
p3
Por otra parte, como x2 + y2 + (z � 2)2 = 4 entonces
@z
@x= � x
z � 2 y@z
@y= � y
z � 2 ;
además(z � 2)2 = 4� x2 � y2 = 4� r2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 9 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el área de la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 4z quequeda arriba del paraboloide z = x2 + y2. �
x2 + y2 + z2 = 4zz = x2 + y2
=)�x2 + y2 + (z � 2)2 = 4
z = r2
=) r2 +�r2 � 2
�2= 4
=) r2 + r4 � 4r2 + 4 = 4=) r2
�r2 � 3
�= 0 =) r =
p3
Por otra parte, como x2 + y2 + (z � 2)2 = 4 entonces
@z
@x= � x
z � 2 y@z
@y= � y
z � 2 ;
además(z � 2)2 = 4� x2 � y2 = 4� r2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 9 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el área de la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 4z quequeda arriba del paraboloide z = x2 + y2. �
x2 + y2 + z2 = 4zz = x2 + y2
=)�x2 + y2 + (z � 2)2 = 4
z = r2
=) r2 +�r2 � 2
�2= 4
=) r2 + r4 � 4r2 + 4 = 4=) r2
�r2 � 3
�= 0 =) r =
p3
Por otra parte, como x2 + y2 + (z � 2)2 = 4 entonces
@z
@x= � x
z � 2 y@z
@y= � y
z � 2 ;
además(z � 2)2 = 4� x2 � y2 = 4� r2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 9 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el área de la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 4z quequeda arriba del paraboloide z = x2 + y2. �
x2 + y2 + z2 = 4zz = x2 + y2
=)�x2 + y2 + (z � 2)2 = 4
z = r2
=) r2 +�r2 � 2
�2= 4
=) r2 + r4 � 4r2 + 4 = 4
=) r2�r2 � 3
�= 0 =) r =
p3
Por otra parte, como x2 + y2 + (z � 2)2 = 4 entonces
@z
@x= � x
z � 2 y@z
@y= � y
z � 2 ;
además(z � 2)2 = 4� x2 � y2 = 4� r2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 9 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el área de la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 4z quequeda arriba del paraboloide z = x2 + y2. �
x2 + y2 + z2 = 4zz = x2 + y2
=)�x2 + y2 + (z � 2)2 = 4
z = r2
=) r2 +�r2 � 2
�2= 4
=) r2 + r4 � 4r2 + 4 = 4=) r2
�r2 � 3
�= 0
=) r =p3
Por otra parte, como x2 + y2 + (z � 2)2 = 4 entonces
@z
@x= � x
z � 2 y@z
@y= � y
z � 2 ;
además(z � 2)2 = 4� x2 � y2 = 4� r2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 9 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el área de la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 4z quequeda arriba del paraboloide z = x2 + y2. �
x2 + y2 + z2 = 4zz = x2 + y2
=)�x2 + y2 + (z � 2)2 = 4
z = r2
=) r2 +�r2 � 2
�2= 4
=) r2 + r4 � 4r2 + 4 = 4=) r2
�r2 � 3
�= 0 =) r =
p3
Por otra parte, como x2 + y2 + (z � 2)2 = 4 entonces
@z
@x= � x
z � 2 y@z
@y= � y
z � 2 ;
además(z � 2)2 = 4� x2 � y2 = 4� r2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 9 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el área de la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 4z quequeda arriba del paraboloide z = x2 + y2. �
x2 + y2 + z2 = 4zz = x2 + y2
=)�x2 + y2 + (z � 2)2 = 4
z = r2
=) r2 +�r2 � 2
�2= 4
=) r2 + r4 � 4r2 + 4 = 4=) r2
�r2 � 3
�= 0 =) r =
p3
Por otra parte, como x2 + y2 + (z � 2)2 = 4 entonces
@z
@x= � x
z � 2 y@z
@y= � y
z � 2 ;
además(z � 2)2 = 4� x2 � y2 = 4� r2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 9 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el área de la parte de la esfera x2 + y2 + z2 = 4z quequeda arriba del paraboloide z = x2 + y2. �
x2 + y2 + z2 = 4zz = x2 + y2
=)�x2 + y2 + (z � 2)2 = 4
z = r2
=) r2 +�r2 � 2
�2= 4
=) r2 + r4 � 4r2 + 4 = 4=) r2
�r2 � 3
�= 0 =) r =
p3
Por otra parte, como x2 + y2 + (z � 2)2 = 4 entonces
@z
@x= � x
z � 2 y@z
@y= � y
z � 2 ;
además(z � 2)2 = 4� x2 � y2 = 4� r2:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 4 9 / 5 1
De este manera se tiene que
ds =
s1 +
�@z
@x
�2+
�@z
@y
�2dA
=
s1 +
��xz � 2
�2+
��yz � 2
�2dA
=
s1 +
x2
(z � 2)2+
y2
(z � 2)2dA =
s(4� x2 � y2) + x2 + y2
4� x2 � y2 dA
=
r4
4� r2 dA =2p4� r2
dA:
Luego el área de super�cie es:
A(S) =
Z 2�
0
Z p3
0
2p4� r2
r dr d� = 2�h�2�4� r2
�1=2ip30
= 4�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 5 0 / 5 1
De este manera se tiene que
ds =
s1 +
�@z
@x
�2+
�@z
@y
�2dA =
s1 +
��xz � 2
�2+
��yz � 2
�2dA
=
s1 +
x2
(z � 2)2+
y2
(z � 2)2dA =
s(4� x2 � y2) + x2 + y2
4� x2 � y2 dA
=
r4
4� r2 dA =2p4� r2
dA:
Luego el área de super�cie es:
A(S) =
Z 2�
0
Z p3
0
2p4� r2
r dr d� = 2�h�2�4� r2
�1=2ip30
= 4�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 5 0 / 5 1
De este manera se tiene que
ds =
s1 +
�@z
@x
�2+
�@z
@y
�2dA =
s1 +
��xz � 2
�2+
��yz � 2
�2dA
=
s1 +
x2
(z � 2)2+
y2
(z � 2)2dA
=
s(4� x2 � y2) + x2 + y2
4� x2 � y2 dA
=
r4
4� r2 dA =2p4� r2
dA:
Luego el área de super�cie es:
A(S) =
Z 2�
0
Z p3
0
2p4� r2
r dr d� = 2�h�2�4� r2
�1=2ip30
= 4�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 5 0 / 5 1
De este manera se tiene que
ds =
s1 +
�@z
@x
�2+
�@z
@y
�2dA =
s1 +
��xz � 2
�2+
��yz � 2
�2dA
=
s1 +
x2
(z � 2)2+
y2
(z � 2)2dA =
s(4� x2 � y2) + x2 + y2
4� x2 � y2 dA
=
r4
4� r2 dA =2p4� r2
dA:
Luego el área de super�cie es:
A(S) =
Z 2�
0
Z p3
0
2p4� r2
r dr d� = 2�h�2�4� r2
�1=2ip30
= 4�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 5 0 / 5 1
De este manera se tiene que
ds =
s1 +
�@z
@x
�2+
�@z
@y
�2dA =
s1 +
��xz � 2
�2+
��yz � 2
�2dA
=
s1 +
x2
(z � 2)2+
y2
(z � 2)2dA =
s(4� x2 � y2) + x2 + y2
4� x2 � y2 dA
=
r4
4� r2 dA
=2p4� r2
dA:
Luego el área de super�cie es:
A(S) =
Z 2�
0
Z p3
0
2p4� r2
r dr d� = 2�h�2�4� r2
�1=2ip30
= 4�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 5 0 / 5 1
De este manera se tiene que
ds =
s1 +
�@z
@x
�2+
�@z
@y
�2dA =
s1 +
��xz � 2
�2+
��yz � 2
�2dA
=
s1 +
x2
(z � 2)2+
y2
(z � 2)2dA =
s(4� x2 � y2) + x2 + y2
4� x2 � y2 dA
=
r4
4� r2 dA =2p4� r2
dA:
Luego el área de super�cie es:
A(S) =
Z 2�
0
Z p3
0
2p4� r2
r dr d� = 2�h�2�4� r2
�1=2ip30
= 4�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 5 0 / 5 1
De este manera se tiene que
ds =
s1 +
�@z
@x
�2+
�@z
@y
�2dA =
s1 +
��xz � 2
�2+
��yz � 2
�2dA
=
s1 +
x2
(z � 2)2+
y2
(z � 2)2dA =
s(4� x2 � y2) + x2 + y2
4� x2 � y2 dA
=
r4
4� r2 dA =2p4� r2
dA:
Luego el área de super�cie es:
A(S) =
Z 2�
0
Z p3
0
2p4� r2
r dr d� = 2�h�2�4� r2
�1=2ip30
= 4�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 5 0 / 5 1
De este manera se tiene que
ds =
s1 +
�@z
@x
�2+
�@z
@y
�2dA =
s1 +
��xz � 2
�2+
��yz � 2
�2dA
=
s1 +
x2
(z � 2)2+
y2
(z � 2)2dA =
s(4� x2 � y2) + x2 + y2
4� x2 � y2 dA
=
r4
4� r2 dA =2p4� r2
dA:
Luego el área de super�cie es:
A(S) =
Z 2�
0
Z p3
0
2p4� r2
r dr d�
= 2�h�2�4� r2
�1=2ip30
= 4�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 5 0 / 5 1
De este manera se tiene que
ds =
s1 +
�@z
@x
�2+
�@z
@y
�2dA =
s1 +
��xz � 2
�2+
��yz � 2
�2dA
=
s1 +
x2
(z � 2)2+
y2
(z � 2)2dA =
s(4� x2 � y2) + x2 + y2
4� x2 � y2 dA
=
r4
4� r2 dA =2p4� r2
dA:
Luego el área de super�cie es:
A(S) =
Z 2�
0
Z p3
0
2p4� r2
r dr d� = 2�h�2�4� r2
�1=2ip30
= 4�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 5 0 / 5 1
De este manera se tiene que
ds =
s1 +
�@z
@x
�2+
�@z
@y
�2dA =
s1 +
��xz � 2
�2+
��yz � 2
�2dA
=
s1 +
x2
(z � 2)2+
y2
(z � 2)2dA =
s(4� x2 � y2) + x2 + y2
4� x2 � y2 dA
=
r4
4� r2 dA =2p4� r2
dA:
Luego el área de super�cie es:
A(S) =
Z 2�
0
Z p3
0
2p4� r2
r dr d� = 2�h�2�4� r2
�1=2ip30
= 4�:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 5 0 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el volumen del sólido acotado por abajo por el planoz = 1� y y arriba por el paraboloide z = 1� x2 � y2.
�z = 1� x2 � y2
z = 1� y=) 1� x2 � y2 = 1� y=) x2 + y2 = y
=) r2 = r sen � =) r = sen �:
Luego, utilizando simetría se obtiene
V =
Z �
0
Z sen �
0
Z 1�r2
1�r sen �r dz dr d�
=
Z �
0
Z sen �
0
��1� r2
�� (1� r sen �)
�r dr d�
=
Z �
0
Z sen �
0
�r sen � � r2
�r dr d� =
Z �
0
�r3
3sen � � r4
4
�sen �0
d�
=1
12
Z �
0
sen4 � d� =1
12
�3
8� � 1
4sen 2� +
1
32sen 4�
��0
=1
12
�3
8�
�=
�
32:
G A D � g a r e n a s d @ u i s . e d u .c o (U IS ) C á lc u lo I I I S e g u n d o S em e s t r e d e 2 0 1 1 5 1 / 5 1
Ejemplo. Encuentre el volumen del sólido acotado por abajo por el planoz = 1� y y arriba por el paraboloide z = 1� x2 � y2.
�z = 1� x2 � y2
z = 1� y
=) 1� x2 � y2 = 1� y=) x2 + y2 = y
=) r2 = r sen � =) r = sen �:
Luego, utilizando simetría se obtiene
V =
Z �
0
Z sen �
0
Z 1�r2
1�r sen �r dz dr d�
=
Z �
0
Z sen �
0
��1� r2
�� (1� r sen �)
�r dr d�
=
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Ejemplo. Encuentre el volumen del sólido acotado por abajo por el planoz = 1� y y arriba por el paraboloide z = 1� x2 � y2.
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Ejemplo. Encuentre el volumen del sólido acotado por abajo por el planoz = 1� y y arriba por el paraboloide z = 1� x2 � y2.
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z = 1� y=) 1� x2 � y2 = 1� y=) x2 + y2 = y
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Ejemplo. Encuentre el volumen del sólido acotado por abajo por el planoz = 1� y y arriba por el paraboloide z = 1� x2 � y2.
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z = 1� y=) 1� x2 � y2 = 1� y=) x2 + y2 = y
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Ejemplo. Encuentre el volumen del sólido acotado por abajo por el planoz = 1� y y arriba por el paraboloide z = 1� x2 � y2.
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z = 1� y=) 1� x2 � y2 = 1� y=) x2 + y2 = y
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Ejemplo. Encuentre el volumen del sólido acotado por abajo por el planoz = 1� y y arriba por el paraboloide z = 1� x2 � y2.
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Ejemplo. Encuentre el volumen del sólido acotado por abajo por el planoz = 1� y y arriba por el paraboloide z = 1� x2 � y2.
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Ejemplo. Encuentre el volumen del sólido acotado por abajo por el planoz = 1� y y arriba por el paraboloide z = 1� x2 � y2.
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z = 1� y=) 1� x2 � y2 = 1� y=) x2 + y2 = y
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Ejemplo. Encuentre el volumen del sólido acotado por abajo por el planoz = 1� y y arriba por el paraboloide z = 1� x2 � y2.
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Ejemplo. Encuentre el volumen del sólido acotado por abajo por el planoz = 1� y y arriba por el paraboloide z = 1� x2 � y2.
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Ejemplo. Encuentre el volumen del sólido acotado por abajo por el planoz = 1� y y arriba por el paraboloide z = 1� x2 � y2.
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Ejemplo. Encuentre el volumen del sólido acotado por abajo por el planoz = 1� y y arriba por el paraboloide z = 1� x2 � y2.
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Ejemplo. Encuentre el volumen del sólido acotado por abajo por el planoz = 1� y y arriba por el paraboloide z = 1� x2 � y2.
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