Garqig - iom.num.edu.mniom.num.edu.mn/enkhbat/books/Mathematical_economics.pdf · Matematikiïn tämdägt bolon togtmoluud V Matematikiïn tämdägt bolon togtmoluud Tämdäglägää

Garqig

Olonlog bolon xälläg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Olonlogiïn oïlgolt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Olonloguudyn xoorondox xarćaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Olonlog däärx üïldlüüd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Olonlog däärx üïldlüüdiïn xuuliud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Yrjwär olonlog bolon buulgalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Xällägiïn toolol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Toon sistemüüd tädgääriïn arifmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Natural, büxäl, racional bolon bodit toonuud . . . . . . . . . . . . . . 8Bodit toon däärx üïldlüüd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Absolµt xämjigdäxüün . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Faktorial bolon binomyn koäfficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Täg²itgäl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Täncätgäl bi² . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Tögsgölög niïlbär . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Zärägt bolon ¶zguur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Logarifm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Kompleks toonuud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Sälgämäl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Güïlgämäl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Xäsägläl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Daraalal bolon cuwaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Toon daraalal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Funkcän daraalal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Tögsgölgüï cuwaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Funkcän bolon zärägt cuwaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Teïloryn cuwaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Furégiïn cuwaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

II Garqig

Sanxüügiïn matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Ängiïn xüü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Niïlmäl xüü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Togtmol tölbör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Dinamik togtmol tölbör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Tölböriïn xöngölöltiïn toocoolol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Yniïn toocoolol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Xöröngö oruulaltyn ²injilgää . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Älägdäl xorogdol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Tägiïg todorxoïlox toon arga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Näg xuw´sagqiïn funkc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Yndsän oïlgoltuud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46ugaman funkc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Kwadrat funkc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Olon gi²üünt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Butarxaï racional funkc, ängiïn butarxaïn zadargaa . . . . . . . . 50Iltgägq funkc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Logarifm funkc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Trigonometriïn funkcuud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Trigonometriïn urwuu funkcuud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Giperbollog funkcuud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Urwuu giperbollog funkcuud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Ädiïn zasgiïn zarim funkcuud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Näg xuw´sagqiïn funkciïn differencial toolol . . . . . . . . . . 60Funkciïn x¶zgaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Tasraltgüï qanar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Differencialqlal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62I ärämbiïn ulamjlalyn ädiïn zasgiïn utga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Öörqlöltiïn xämjää bolon mädrämj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Dundaj utgyn teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Dääd ärämbiïn ulamjlaluud bolon Teïloryn zadargaa . . . . . . . 70Ulamjlaluudyn tuslamjtaïgaar funkciïg angilax . . . . . . . . . 72Ädiïn zasgiïn funkciïn ²injilgää, a²giïn maksimum . . . . . . 75

Näg xuw´sagqiïn funkciïn integral toolol . . . . . . . . . . . . . . . 79Todorxoïgüï integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Todorxoï integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Todorxoï integraluudyn xüsnägt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Örgötgösön integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Parametrt integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Integral toollyn ädiïn zasgiïn xäräglää . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Garqig III

Differencial täg²itgäl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92I ärämbiïn differencial täg²itgäl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92n-r ärämbiïn ²ugaman differencial täg²itgäl . . . . . . . . . . . . . 93Togtmol koäfficienttäï I ärämbiïn ²ugaman differencial

täg²itgäliïn sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

lgawart täg²itgäl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98I ärämbiïn ²ugaman ¶lgawart täg²itgäl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Ädiïn zasgiïn zagwaruud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99II ärämbiïn ²ugaman ¶lgawart täg²itgäl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Ädiïn zasgiïn zagwaruud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Togtmol koäfficienttäï n-r ärämbiïn ²ugaman ¶lgawart täg²it-

gäl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Olon xuw´sagqiïn funkciïn differencial toolol . . . . . . . . 105Yndsän oïlgolt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105IRn ogtorguïn cägüüdiïn olonlog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105X¶zgaar bolon tasraltgüï qanar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Olon xuw´sagqiïn funkciïn differencialqlal . . . . . . . . . . . . . . 107Bütän differencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Zaaglaltgüï äkstremal´ bodlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Zaaglalttaï äkstremal´ bodlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Xamgiïn baga kwadratyn arga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Aldaany tarxalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Ädiïn zasgiïn xäräglää . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

ugaman algebr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Wektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118uluun bolon xawtgaïn täg²itgäl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Matric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Todorxoïlogq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124ugaman täg²itgäliïn sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Gaussyn ¶lgan zaïluulax arga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Krameriïn düräm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Baïr solix arga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Urwuu matric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Matriciïn xuwiïn utgyn bodlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Matrican zagwaruud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

ugaman programmqlal bolon tääwriïn bodlogo . . . . . . . . . . . 133ugaman programmqlalyn bodlogyn normal´ xälbär . . . . . . . . . 133Simpleks arga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Xosmog simpleks arga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Anxny simpleks xüsnägt üüsgäx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Xosmog qanar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

IV Garqig

Tääwriïn bodlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Toon statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Yndsän oïlgoltuud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Näg xämjääst ögögdliïn ²injilgää . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Statistik parametruud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Olon xämjääst ögögdliïn ²injilgää . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Xarćaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Nööciïn ²injilgää . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Xugacaan cuwaany ²injilgää . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Magadlalyn onol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Sanamsargüï üzägdäl tädgääriïn magadlal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Nöxcölt magadlal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Sanamsargüï xuw´sagq ba tädgääriïn tarxalt . . . . . . . . . . . . . . . . 158Diskret tarxalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Tasraltgüï tarxalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Zarim tasraltgvï tarxaltuud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Sanamsargüï wektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Tüüwriïn statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Tüüwär . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Cägän ünälgää . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Itgäx zawsryn ünälgää . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Statistik ²injüürüüd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Normal´ tarxaltyn ²injüürüüd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172Xvsnägtvvd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Nom züï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Matematikiïn tämdägt bolon togtmoluud V

Matematikiïn tämdägt bolon togtmoluud

Tämdäglägää bolon tämdägtüüd

IN natural toonuudyn olonlog

IN0 täg orolcson natural toonuudyn olonlog

ZZ büxäl toonuudyn olonlog

Q racional toonuudyn olonlog

IR bodit toonuudyn olonlog

IR+ sörög bi² bodit toonuudyn olonlog

IRn bodit toon koordinattaï n xämjääst wektoruudyn olonlog

C kompleks toonuudyn olonlog√x y2 = x, x ≥ 0 baïx sörög bi² y too (kwadrat ¶zguur)

n√x yn = x, x ≥ 0 baïx sörög bi² y too (n zärgiïn ¶zguur)

n∑i=1

xi xi toonuudyn niïlbär: x1 + x2 + . . .+ xn

n∏i=1

xi xi toonuudyn ürjwär: x1 · x2 · . . . · xn

n! 1 · 2 · . . . · n (n-iïn faktorial)

mina, b a ba b toonuudyn minimum: xäräw a ≤ b bol a , a ≥ b bol b

maxa, b a ba b toonuudyn maksimum: xäräw a ≥ b bol a, a ≤ b bol b

dxe y ≥ x baïx xamgiïn baga büxäl y too (däärääs n´ toïmlox)

bxc y ≤ x baïx xamgiïn ix büxäl y too (dooroos n´ toïmlox)

sgn x signum: xäräw x > 0 bol 1, x = 0 bol 0, x < 0 bol −1

|x| x bodit toony absolµt xämjigdäxüün:

xäräw x ≥ 0 bol x, x < 0 bol −x utga awna(a, b) zadgaï zawsar, ö. x. a < x < b

[a, b] bitüü zawsar, ö. x. a ≤ x ≤ b

(a, b] baruun talaasaa bitüü xagas zadgaï zawsar, ö. x. a < x ≤ b

[a, b) baruun talaasaa zadgaï xagas zadgaï zawsar, ö. x. a ≤ x < b

≤, ≥ baga buµu täncüü; ix buµu täncüü

±, ∓ nämäx daraa n´ xasax; xasax daraa n´ nämäx

def= todorxoïlolt ësoor täncüü

:= züün tal n´ baruun talyn xäsgäär todorxoïlogdono

VI Matematikiïn tämdägt bolon togtmoluud

∀ duryn ; . . . büriïn xuw´d

∃ . . . or²in baïx; . . . (¶daj näg) or²in baïna

p ∧ q kon´µnkc; p ba q

p ∨ q diz´µnkc; p buµu q

p =⇒ q implikaci; p-ääs q mördönö

p⇐⇒ q än qacuu; p n´ q-täï än qacuu

¬p ügüïsgäl; p bi²

a ∈M a n´ M olonlogiïn älement

a /∈M a n´ M olonlogiïn älement bi²(nk

) binomyn koäfficient

A ⊂ B A n´ B-iïn däd olonlog

∅ xooson olonlog

‖ · ‖ norm (wektoryn, matriciïn, . . . )

rang (A) A matriciïn rang

det A, |A| A matriciïn todorxoïlogq

δij Kronekeriïn tämdägt : xäräw i = j bol 1, i 6= j bol 0

limn→∞

an n n´ ∞ ruu tämüüläx üed an daraallyn x¶zgaar

limx→x0

f(x) x0 cäg däärx f funkciïn x¶zgaar

limx↓x0

f(x) x0 cäg däärx f funkciïn baruun öröösgöl x¶zgaar

limx↑x0

f(x) x0 cäg däärx f funkciïn züün öröösgöl x¶zgaar

Uε(x∗) x∗ cägiïn ε-orqin

f(x)∣∣ba

=[f(x)

]ba= f(b)− f(a)

Matematikiïn togtmoluud

π = 3.141 592 653 589 793 . . .

e = 2.718 281 828 459 045 . . .

1 = 0.017 453 292 520 . . . =π

1801′ = 0.000 290 888 209 . . .

1′′ = 0.000 004 848 137 . . .

1

Olonlog bolon xälläg

Olonlogiïn oïlgolt

M olonlog näg utgataï todorxoïlogdson, ¶lgaataï älement-düüiïn bül

älementüüd olonlogiïg bürdüülägqid

a ∈M ⇐⇒ a n´ M olonlogt xar³¶alagdanaa /∈M ⇐⇒ a n´ M olonlogt xar³¶alagdaxgüï

dürsläx 1. älementüüdiïg tooqix zamaar: M = a, b, c, . . .2. älementüüdiïg todorxoïlogq ²inj qanaryntuslamjtaïgaar: M = x ∈ Ω |A(x) ünän

xooson ¶mar q älementgüï olonlog; tämdäglägää: ∅olonlog

niïcgüï erönxiï älementgüï olonloguud: M ∩N = ∅olonloguud

Olonloguudyn xoorondox xarćaa

Olonloguudyn aguulagdal (däd olonlog)

M ⊂ N ⇐⇒ (∀x ∈M =⇒ x ∈ N) M n´ N -iïn däd olonlog(aguulagdal)

M ⊂ N ∧ (∃x ∈ N : x /∈M) M nŃ -iïn jinxänä dädolonlog

P(M) = X |X ⊂M M -iïn büx däd olonlogu-udyn olonlog

Qanaruud:

M ⊂M refleksiw qanar

M ⊂ N ∧ N ⊂ P =⇒ M ⊂ P tranzitiw qanar

∅ ⊂M ∀M ∅ n´ büx olonloguudyndäd olonlog

• Däd olonlogiïn öör tämdägläl: M ⊆ N (jinxänä däd olonlog: M ⊂N).

2 Olonlog bolon xälläg

Täncüü olonloguud

M = N ⇐⇒ (∀ x ∈M ⇐⇒ x ∈ N) täncüü baïx qanar

Qanaruud:

M ⊂ N ∧ N ⊂M ⇐⇒ M = N ärämbiïn qanar

M = M refleksiw qanar

M = N =⇒ N = M simmetr qanar

M = N ∧ N = P =⇒ M = P tranzitiw qanar

Olonlog däärx üïldlüüd

M ∩N = x |x ∈M ∧ x ∈ N M ba N olonloguudyn ogt-lolcol; M ba N olonloguu-dad zäräg xar³¶alagdax äle-mentüüdääs bürdänä (1)

M ∪N = x |x ∈M ∨ x ∈ N M ba N olonloguudyn nägdäl ;M buµu N olonloguudyn ¶dajnägd n´ xar³¶alagdax älemen-tüüdääs bürdänä (2)

M \N = x |x ∈M ∧ x /∈ N M baN olonloguudyn ¶lgawar;N -d xar³¶alagdaxgüï M olon-logiïn älementüüdääs bürdänä(3)

CΩM = M = Ω \M ögögdsön Ω suur´ olonlogiïnxuw´d M -iïn güïcäält; ändM ⊂ Ω (4)

(1)

M N(2)

M N

(3)

M N(4)

Ω M

• A ∩ B = ∅ baïx (A, B n´ erönxiï älementgüï) A, B olonloguudygniïcgüï olonloguud gänä.

• Olonloguud däärx üïldlüüd n´ mön olonloguudyn xoorondox xar´-caanuud gäj närlägddäg.

Olonlog däärx üïldlüüdiïn xuuliud 3

Dawxardsan üïldlüüd

n⋃i=1

Mi = M1 ∪M2 ∪ . . . ∪Mn = x | ∃ i ∈ 1, . . . , n : x ∈Min⋂i=1

Mi = M1 ∩M2 ∩ . . . ∩Mn = x | ∀ i ∈ 1, . . . , n : x ∈Mi

Morgany xuuliud

(M ∪N) = M ∩N , (M ∩N) = M ∪N (2 olonlogiïn xuw´d),n⋃i=1

Mi =n⋂i=1

Mi ,n⋂i=1

Mi =n⋃i=1

Mi (n olonlogiïn xuw´d)

Olonlog däärx üïldlüüdiïn xuuliud

Nägdäl bolon ogtlolcol

A ∪ (B ∩A) = A A ∩ (B ∪A) = A

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

Nägdäl, ogtlolcol bolon ¶lgawar

A \ (A \B) = A ∩B (A ∪B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C)

A \ (B ∪ C) = (A \B) ∩ (A \ C) (A ∩B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C)

A \ (B ∩ C) = (A \B) ∪ (A \ C) A ∩B = ∅ ⇐⇒ A \B = A

Aguulagdlyn xarćaany üed nägdäl, ogtlolcol bolon ¶lgawar

A ⊂ B ⇐⇒ A ∩B = A ⇐⇒ A ∪B = B

A ⊂ B =⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C

A ⊂ B =⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C

A ⊂ B ⇐⇒ A \B = ∅


Nägdäl, ogtlolcol bolon güïcäält

Xäräw A ⊂ Ω bolon B ⊂ Ω bieldäg bol daraax xarćaanuud xüqintäï(üünd büx güïcäältüüd n´ Ω-taï xarćanguï awagdsan):

∅ = Ω Ω = ∅

A ∪A = Ω A ∩A = ∅

A ∪B = A ∩B A ∩B = A ∪B Morgany xuuliud x. 3

(A) = A A ⊂ B ⇐⇒ B ⊂ A

Yrjwär olonlog bolon buulgalt

Yrjwär olonlog

(x, y) ärämbälägdsän xos; ärämbäär n´ awq üzäj baïgaax ∈ X, y ∈ Y älementüüdiïn xoslol

(x, y) = (z, w) ⇐⇒ x = z ∧ y = w 2 ärämbälägdsän xostäncüü baïx

X × Y = (x, y) |x ∈ X ∧ y ∈ Y ürjwär olonlog, dekartürjwär, ²uluun ürjwär

n olonloguudyn ²uluun ürjwärn∏i=1

Xi = X1 ×X2 × . . .×Xn = (x1, . . . , xn) | ∀ i ∈ 1, . . . , n : xi ∈ Xi

X ×X × . . .×X︸︷︷︸n udaa

= Xn; IR× IR× . . .× IR︸︷︷︸n udaa

= IRn

• X1×. . .×Xn olonlogiïn älementüüdiïg, ö. x. (x1, . . . , xn)-g n xämjääst,n = 2 bol xos, n = 3 bol gurwalsan xos gänä; tüünqlän IR2 n´ büx xosu-udyn, IRn n´ büx n xämjääst bodit toon koordinat büxiï wektoruudynolonlogiïg tus tus tämdäglänä.

Buulgalt (xarćaa)

A ⊂ X × Y X olonlogiïg Y olonlogt bu-ulgasan buulgalt; X, Y olon-loguudyn dekart ürjwäriïndäd olonlog

DA = x ∈ X | ∃ y : (x, y) ∈ A A-iïn todorxoïlogdox muj

WA = y ∈ Y | ∃x : (x, y) ∈ A A-iïn utgyn muj

A−1 = (y, x) | (x, y) ∈ A A-iïn xuw´d urwuu buulgalt

Xällägiïn toolol 5

• (x, y)∈A baïg. Tägwäl y n´ x-d xargalzax älement (utga) bolno. Xäräw¶mar näg x ∈ X-iïn xuw´d cor ganc y ∈ Y älement xargalzaj baïwalA-g X-ääs Y -d buulgasan näg utgataï buulgalt gänä. Näg utgataï buul-galtyg funkc gäj närlääd, f -äär tämdägläwäl buulgaltyn düräm ësoory= f(x). Xäräw A bolon tüüniï urwuu buulgalt A−1 (urwuu funkc f−1)n´ nägän zäräg näg utgataï bol A-g (xargalzan f -g) xarilcan näg utgataï(inéktiw) buulgalt (funkc) gädäg.

ugaman buulgalt

f(λx+ µy) = λf(x) + µf(y) ²ugaman buulgaltyg (funkc)todorxoïlox qanar, λ, µ ∈ IR

• f : IRn → IRm, g : IRm → IRp

gäsän 2 ²ugaman buulgaltuudyn ürjwärh(x) = g(f(x)) n´ mön ²ugaman buulgalt baïx bögööd h = g f gäjtämdäglänä.

Xällägiïn toolol

Xälläg bolon xällägän xälbär

p xälläg ünän (t) äswäl xudal (f) gäj todorxoïloxbolomjtoï ögüülbär

p(x) xällägän xälbär x xuw´sagqaas xamaarsan ögüülbär; zöwxönx-iïn todorxoï utga orluulsny daraa xäl-läg üüsgäx ögüülbär

• Uniwersal ∀ (∀x : p(x); ügqilbäl: duryn x-iïn xuw´d p(x) xälläg ünän) äswäl or²in baïxyn ∃ (∃x : p(x); ügqilbäl: p(x) ögüülbär ünän baïxx oldono ) kwantoruudyn tuslamjtaïgaar xällägän xälbäriïn ünäniïutgyg todorxoïlj bolno.

Niïlmäl xällägüüd

• Ynäniï utgyn xüsnägtiïg a²iglan xällägüüdääs ²inä xälläg üüs-gäj bolno. Niïlmäl xällägiïg 1 baïrt (ügüïsgäl), 2 baïrt (daraagiïnxüsnägtiïg üz) bolon ¬, ∧, ∨, =⇒, ⇐⇒ xällägüüdiïn xoslol xälbäräärilärxiïlägdäx olon baïrt gäj angilna.

• Bürdüülägq xällägüüdiïn ünäniï utgaas xamaaraxgüïgäär ürgäljünän (xudal) utga awdag bol tawtalogi buµu tuïlyn ünän (tuïlynxudal) xälläg gäj närlädäg.


Näg baïrt xarćaa (ünäniï utgyn xüsnägt)

Ygüïsgäl ¬p (p bi²) p ¬pt ff t

2 baïrt xarćaa (ünäniï utgyn xüsnägt)

Xarćaa un²ix p t t f f

q t f t f

kon´µnkc p ba q p ∧ q t f f f

diz´µnkc p buµu q p ∨ q t t t f

implikaci p-ääs q mördönö p =⇒ q t f t t

äkwiwalent p n´ q-täï än qacuu p⇐⇒ q t f f t

• Implikaci n´ (p-ääs q mördönö) mön xäräw . . . bol . . . gäsän xäl-bärtäï baïna. p n´ ugtwar nöxcöl q n´ dügnält gäj närlägdänä.

• Ugtwar nöxcöl p n´ dügnält q-d zaïl²güï, xarin q n´ p-iïn xuw´dxürälcäätäï nöxcöl bolno. Än qacuu xällägiïn öör xälbär n´ zaïl²güïbögööd xürälcäätäï nöxcöl.

Xällägiïn toolol 7

Tawtalogi bolon xällägiïn toolol

p ∨ ¬ p law of excluded middle(excluded third)

¬ (p ∧ ¬ p) zörqliïn xuul´

¬ (¬ p) ⇐⇒ p ügüïsgäliïn ügüïsgäl

¬ (p =⇒ q) ⇐⇒ (p ∧ ¬ q) implikaciïn ügüïsgäl

¬ (p ∧ q) ⇐⇒ ¬ p ∨ ¬ q Morgany xuul´

¬ (p ∨ q) ⇐⇒ ¬ p ∧ ¬ q Morgany xuul´

(p =⇒ q) ⇐⇒ (¬ q =⇒ ¬ p) äsräg baïr²lyn xuul´

[(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ r)] =⇒ (p =⇒ r) tranzitiw xuul´

p ∧ (p =⇒ q) =⇒ q rule of detachment

q ∧ (¬ p =⇒ ¬ q) =⇒ p ²uud bus batalgaanyzarqim

[(p1 ∨ p2) ∧ (p1 =⇒ q) ∧ (p2 =⇒ q)] =⇒ q distinction of cases

Bürän indukciïn zarqim

Bodlogo: n natural toonoos xamaarsan A(n) xällägiïg duryn n-iïnxuw´d batlax.

Indukciïn äxläl: A(n) xällägiïg n-iïn äxniï utgad xüqintäïg xaru-ulna (ixäwqlän n = 0 äswäl n = 1 üed).

Indukciïn taamaglal: A(n) xällägiïg n = k üed ünän gäj üznä.

Indukciïn alxam: Indukciïn taamaglalyn tuslamjtaïgaar A(n)xällägiïg n = k + 1 üed bieläxiïg batalna.

8 Toon sistemüüd tädgääriïn arifmetik

Toon sistemüüd tädgääriïn arifmetik

Natural, büxäl, racional bolon bodit toonuud

Natural toonuud: IN = 1, 2, 3, . . ., IN0 = 0, 1, 2, 3, . . .

xuwaagq n = m · k baïx k ∈ IN natural toooldoj baïwal m ∈ IN-g n ∈ IN toonyxuwaagq gänä.

anxny too 1 bolon n gäsän zöwxön 2 xuwaagqtaïn > 1 baïx natural too

xamgiïn ix erönxiï XIEX(n,m) = maxk ∈ IN : n bolonxuwaagq m-g zäräg xuwaax k too xamgiïn baga erönxiï XBEX(n,m) = mink ∈ IN : n bolonxuwaagdagq m-d zäräg xuwaagdax k too

• n ∈ IN, n > 1 too büriïg anxny toonuudyn zärägtüüdiïn ürjwärxälbärtäï biqij bolno.

n = p r11 · p r22 · . . . · p rk

k pj anxny toonuud, rj natural toonuud

Büxäl toonuud: ZZ = . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .

Racional toonuud: Q=

mn

| m ∈ ZZ , n ∈ IN• Racional toony arawtyn butarxaï dürsläl n´ tögsgölög äswäl üetbaïna. Tögsgölög äswäl üet arawtyn bütarxaï dürsläl büxiï too büxänracional too bolno.

Bodit toonuud: IR• Q olonlogiïg tögsgölgüï olon cifr büxiï üet bi² arawtyn butarxaïtoonuudaar örgötgöx zamaar bodit toon olonlogiïg üüsgänä.

x =k∑

j=−∞rjg

j g suur´taï dürsläl

g = 2: 2-tyn g = 8: 8-tyn g = 10: 10-tyn butarxaï dürsläl

10-tyn butarxaïg g suur´taï dürsläld ²iljüüläx

1. Äeräg arawtyn butarxaïn zadargaa x: x = n+ x0, n ∈ IN, x0 ∈ IR

2. Büxäl xäsäg n toog g-d xuwaax zamaar ²iljüüläx

q0 = n, qj−1 = qj · g + rj , 0 ≤ rj < g, j = 1, 2, . . .

3. Butarxaï xäsäg x0 toog g-äär ürjüüläx zamaar ²iljüüläx

g · xj−1 = sj + xj , 0 < xj < 1, j = 1, 2, . . .

4. Yr dün: x = (rk . . . r2r1.s1s2 . . .)g

Bodit toon däärx üïldlüüd 9

g suur´taï dürsläliïg 10-tyn butarxaïd (IGorneryn sxema²iglan) ²iljüüläx

x=(rk . . . r2r1.s1s2 . . . sp)g = (. . . ((rkg + rk−1)g + rk−2)g + . . .+ r2)g + r1

+(. . . ((sp/g + sp−1)/g + sp−2)/g + . . .+ s1)/g

Bodit toon däärx üïldlüüd

Ängiïn xuuliud

a+ b = b+ a baïr sälgäx xuul´

a · b = b · a

(a+ b) + c = a+ (b+ c) bülägläx xuul´

(a · b) · c = a · (b · c)

(a+ b) · c = a · c+ b · c xaalt zadlax xuul´

a · (b+ c) = a · b+ a · c

(a+ b)(c+ d) = ac+ bc+ ad+ bd xaalt zadlaj ürjüüläx

a

b=a · cb · c

butarxaïg örgötgöx

(b, c 6= 0)

a · cb · c

=a

b butarxaïg xuraax (b, c 6= 0)

a

c± b

c=a± b

c ijil xuwaar´taï butarx-

aïnuudyg nämj, xasax (c 6=0)

a

c± b

d=a · d± b · c

c · d duryn butarxaïnuudyg

nämj, xasax (c, d 6= 0)

a

b· cd

=a · cb · d

butarxaïnuudyg ürjüüläx(b, d 6= 0)

abcd

=a

b:c

d=a · db · c

butarxaïnuudyg xuwaax(b, c, d 6= 0)


Todorxoïloltuud

n∑i=1

ai = a1 + a2 + . . .+ an daraallyn gi²üüdiïn niïlbär

n∏i=1

ai = a1 · a2 · . . . · an daraallyn gi²üüdiïn ürjwär

Yïldliïn dürmüüd

n∑i=1

(ai + bi) =n∑i=1

ai +n∑i=1

bin∑i=1

(c · ai) = c ·n∑i=1

ai

n∑i=1

ai = n · a (ai = a üed)m∑i=1

n∑j=1

aij =n∑j=1

m∑i=1

aij

n∑i=1

ai =n−1∑i=0

ai+1

n∏i=1

ai =n−1∏i=0

ai+1

n∏i=1

(c · ai) = cn ·n∏i=1

ain∏i=1

ai = an (ai = a üed)

Xuw´sagqiïn dugaaraas ül xamaarax qanar

n∑i=1

ai =n∑k=1

akn∏i=1

ai =n∏k=1

ak

Absolµt xämjigdäxüün

Todorxoïlolt

|x| =

x xäräw x ≥ 0

−x xäräw x < 0 x toony absolµt xämjigdäxüün

Faktorial bolon binomyn koäfficient 11

Yïldliïn düräm bolon qanaruud

|x| = x · sgnx | − x| = |x|

|x| = 0 ⇐⇒ x = 0

|x · y| = |x| · |y| ∣∣∣∣xy∣∣∣∣ = |x|

|y|, y 6= 0

Gurwaljny düräm:

|x+ y| ≤ |x|+ |y| (täncätgäl bieläx zaïl²güï bögöödxürälcäätäï nöxcöl n´ sgnx = sgn y)∣∣∣|x| − |y|∣∣∣ ≤ ∣∣x+ y| (täncätgäl bieläx zaïl²güï bögöödxürälcäätäï nöxcöl n´ sgnx =−sgn y)

Faktorial bolon binomyn koäfficient

Todorxoïloltuud

n! = 1 · 2 · . . . · n (n ∈ IN)-iïn faktorial(nk

)=n · (n− 1) · . . . · (n− k + 1)

1 · 2 · . . . · k binomyn koäfficient(k, n ∈ IN, k ≤ n; un²ix:n-ääs k-aar awsan)(

nk

)=

n!

k!(n− k)!xäräw k ≤ n bol

0 xäräw k > n bol örgötgösön todorxoïloltk, n∈ IN0, 0! = 1 gäj üznä(

00

)= 1

(n0

)= 1

(n1

)= n

(nn

)= 1

Paskaliïn gurwaljin :

k=1

k=2

k=3

n=0: 1n=1: 1 1n=2: 1 2 1n=3: 1 3 3 1n=4: 1 4 6 4 1n=5: 1 5 10 10 5 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Qanaruud(nk

)=(

nn− k

) täg² xämt qanar(

nk

)+(

nk − 1

)=(n+ 1k

) niïlbäriïn qanar(

n0

)+(n+ 1

1

)+ . . .+

(n+mm

)=(n+m+ 1

m

) niïlbäriïn teorem(

n0

)(mk

)+(n1

)(m

k − 1

)+ . . .+

(nk

)(m0

)=(n+mk

)n∑k=0

(nk

)= 2n

• Binomyn koäfficientiïn todorxoïlolt n ∈ IR-iïn xuw´d mön xäräglägdänä.Änä toxioldold niïlbäriïn qanar bolon teorem n´ bas xüqintäï.

Täg²itgäl

Ilärxiïlliïg xuwirgax

(a± b)2 = a2 ± 2ab+ b2 (binomyn tom³ëo)

(a+ b)(a− b) = a2 − b2

(a± b)3 = a3 ± 3a2b+ 3ab2 ± b3 (a± b)(a2 ∓ ab+ b2) = a3 ± b3

an − bn

a− b= an−1 + an−2b+ an−3b2 + . . .+ abn−2 + bn−1,

a 6= b, n = 2, 3, . . .

x2 + bx+ c =(x+

b

2

)2

+ c− b2

4(bütän kwadrat ¶lgax)

Binomyn teorem

(a+ b)n =n∑k=0

(nk

)an−kbk

= an +(n1

)an−1b+ . . .+

(n

n− 1

)abn−1 + bn, n ∈ IN

Täg²itgäl 13

Täncätgäliïg xuwirgax

Xäräw täncätgäliïn 2 tald ijil üïldäl xärägläxäd täncätgäl xäwäärxadgalagdana.

a = b =⇒ a+ c = b+ c, c ∈ IR

a = b =⇒ a− c = b− c, c ∈ IR

a = b =⇒ c · a = c · b, c ∈ IR

a = b, a 6= 0 =⇒ c

a=c

b, c ∈ IR

a = b =⇒ an = bn, n ∈ IN

a2 = b2 =⇒

a = b xäräw sgn a = sgn b

a = −b xäräw sgn a = −sgn b

Täg²itgäliïg bodox

Xäräw täncätgäl xuw´sagquud aguuldag bol ädgäär xuw´sagqiïn zarimutgad täncätgäl ünän bolowq öör zarim utgad xudal baïj bolno. Iïmääsögögdsön täg²itgäliïg bodno gädäg n´ ug täncätgäliïg ünän baïlgadagxuw´sagqiïn büx utguudyg todorxoïlox ¶wdal µm.

ax+ b = 0 =⇒

x = − b

a xäräw a 6= 0x duryn xäräw a = b = 0²iïdgüï xäräw a = 0, b 6= 0

(x− a)(x− b) = 0 =⇒ x = a buµu x = b

(x− a)(y − b) = 0 =⇒ (x = a ba y duryn) buµu

(x duryn ba y = b)

x bodit xuw´sagqiïn xuw´d kwadrat täg²itgäl :

x2 + px+ q = 0 =⇒

x = −p2±√p2

4− q xäräw p2 > 4q (¶lgaataï 2

bodit ²iïdtäï)

x = −p2

xäräw p2 = 4q (dawxacsan 2

bodit ²iïdtäï)

bodit ²iïdgüï xäräw p2 < 4q


Täncätgäl bi²


x < y ∧ y < z =⇒ x < z (x, y, z, u, v ∈ IR)

x < y =⇒ x+ z < y + z

x < y ∧ z > 0 =⇒ x · z < y · z

x < y ∧ z < 0 =⇒ x · z > y · z

0 < x < y ∧ 0 < u < v =⇒ x · u < y · v

0 < x < y =⇒ 1x>

1y

x

y<u

v∧ y > 0 ∧ v > 0 =⇒ x

y<x+ u

y + v<u

v

Bernulliïn täncätgäl bi²

(1 + x)n ≥ 1 + nx x > −1, n ∈ IN

Ko²i-warciïn täncätgäl bi²

n∑i=1

xiyi ≤(

n∑i=1

x 2i

) 12

·(

n∑i=1

y 2i

) 12

Tögsgölög niïlbär

Arifmetik cuwaa:

ak+1 = ak + d =⇒ sn =n∑k=1

ak =n(a1 + an)

2

Geometr cuwaa:

ak+1 = q · ak =⇒ sn =n∑k=1

ak = a1qn − 1q − 1

(q 6= 1)

Zärägt bolon ¶zguur 15

Zarim tögsgölög niïlbärüüd

niïlbär utga

1 + 2 + 3 + . . .+ n 12n(n+ 1)

1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 1) n2

2 + 4 + 6 + . . .+ 2n n(n+ 1)

12 + 22 + 32 + . . .+ n2 16n(n+ 1)(2n+ 1)

12 + 32 + 52 + . . .+ (2n− 1)2 13n(4n2 − 1)

22 + 42 + 62 + . . .+ (2n)2 23n(n+ 1)(2n+ 1)

13 + 23 + 33 + . . .+ n3 14n

2(n+ 1)2

13 + 33 + 53 + . . .+ (2n− 1)3 n2(2n2 − 1)

23 + 43 + 63 + . . .+ (2n)3 2n2(n+ 1)2

1 + x+ x2 + . . .+ xnxn+1 − 1x− 1

(x 6= 1)

sinx+ sin 2x+ . . .+ sinnxcos x2 − cos(n+ 1

2 )x2 sin x

2

cosx+ cos 2x+ . . .+ cosnxsin(n+ 1

2x)− sin x2

2 sin x2

Zärägt bolon ¶zguur

Büxäl iltgägqtäï zärägt (a ∈ IR; n ∈ IN; p, q ∈ ZZ )

äeräg iltgägqtäï zärägt: an = a · a · . . . · a︸︷︷︸n udaa

, a0 = 1

sörög iltgägqtäï zärägt: a−n =1an

(a 6= 0)


ap · aq = ap+q ap · bp = (a · b)p (ap)q = (aq)p = ap·q

ap

aq= ap−q

ap

bp=(ab

)p(a, b 6= 0)


zguur, bodit iltgägqtäï zärägt (a, b ∈ IR; a, b > 0; m,n ∈ IN)

n zärgiïn ¶zguur: u = n√a ⇐⇒ un = a, u ≥ 0


n√a · n

√b = n

√a · b

n√a

n√b

= n

√a

b(b 6= 0) (a, b > 0)

m√

n√a = n

√m√a = m·n

√a n

√am = ( n

√a)m (a ≥ 0)

racional iltgägqtäï

zärägt: a1n = n

√a, a

mn = n

√am

bodit iltgägqtäï

zärägt: ax = limk→∞

aqk , qk ∈ Q, limk→∞

qk = x

• Bodit iltgägqtäï zärägtiïn xuw´d büxäl iltgägqtäï zärägt däär bieläxüïldliïn dürmüüd mön xüqintäï.

Logarifm

a suur´taï logarifm: x = loga u ⇐⇒ ax = u, a > 1, u ≥ 0

Suur´ a = 10: log10 u = lg u arawtyn logarifm

Suur´ a = e: loge u = lnu natural logarifm


loga(u · v) = loga u+ loga v loga(uv

)= loga u− loga v

loga uv = v · loga u logb u =loga uloga b

(u, v > 0, b > 1)

Kompleks toonuud 17

Kompleks toonuud

i: i2 = −1 xuurmag nägj

z = a+ b i, a, b ∈ IR z ∈ C kompleks toony dekartyn sis-temiïn xälbär

z = r(cosϕ+ i sinϕ) = reiϕ z ∈ C kompleks toony tuïlyn sis-temiïn xälbär (Äïleriïn xarćaa)

Re z = a = r cosϕ z toony bodit xäsäg

Im z = b = r sinϕ z toony xuurmag xäsäg

|z| =√a2 + b2 = r z toony absolµt xämjigdäxüün

arg z = ϕ z toony argument

z = a− b i z = a + b i toond xargalzax xosmogxälbär

Zarim tusgaï xälbäriïn kompleks toonuud

ei0 = 1, e±iπ

3 =12

(1±

√3 i)

e±iπ

2 = ±i, e±iπ

4 =12

√2(1± i)

e±iπ = −1, e±iπ

6 =12

(√3± i

)bodit tänxläg

xuurmag tänxläg

0

s z = a+ b i

r

a

b

ϕ

Dekartyn xälbärääs tuïlyn xälbärt ²iljüüläx

a, b ögögdsön =⇒ r =√a2 + b2,

ϕ n´ cosϕ =a

r, sinϕ =

b

rtäg²itgäliïn ²iïd

Tuïlyn xälbärääs dekartyn xälbärt ²iljüüläx

r, ϕ ögögdsön =⇒ a = r · cosϕ, b = r · sinϕ


zk = ak + bk i = rk(cosϕk + i sinϕk) = rkeiϕk , k = 1, 2 toonuud ögögdsön.


z1 ± z2 = (a1 ± a2) + (b1 ± b2) i

z1 · z2 = (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1) i

z1 · z2 = r1r2 [cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)] = r1r2 ei(ϕ1+ϕ2)

z1z2

=r1r2

[cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)] =r1r2

ei(ϕ1−ϕ2)

z1z2

=z1z2

|z2|2=a1a2 + b1b2 + (a2b1 − a1b2) i

a 22 + b 2

2

(a 22 + b 2

2 > 0)

z · z = |z|2 1z

=z

|z|2

zn = a täg²itgäliïn ²iïd (¶zguur gargax)

Tuïlyn xälbärt biqigdsän a = reiϕ toony xuw´d n ¶zguuruud n´ tool-lyn äx däär töwtäï n

√r radius büxiï toïrog däär baïrlana

zk = n√r e

iϕ+ 2kπ

n , k=0, 1, . . . , n−1 .

Ädgäär toonuudyn radiantuudynbodit tänxlägtäï üüsgäx öncög n´

ϕ+ 2kπn

, k = 0, 1, . . . , n− 1.

Nägj toïrgiïn xuwaagdal

Zurag däär

z6 = 1

täg²itgäliïn ¶zguuruud boloxz1 = e0, z2 = ei

π3 , z3 = ei

2π3 ,

z4 = eiπ, z5 = ei4π3 , z6 = ei

5π3 .

cägüüdiïn tuslamjtaïgaar|z| = 1 nägj toïrog 6 segmentädxuwaagdsan baïna.

−1 0 1

−i

0

i

..

..

..............

......

.......

...................................................................................................

.......

........................r

rrr

r rz1

z2z3

z4

z5 z6

+

19

Kombinatorik

Sälgämäl

• Ögögdsön n älementüüdiïn xuw´d tädgääriïn duryn ärämbälältiïgsälgämäl gäj närlänä.Xäräw n älementüüdiïn dotor ijil älementüüdiïnxäsäg baïwal dawtalttaï sälgämäl bolno. Xäräw i-r xäsgiïn älemen-tüüdiïn too ni bol n1 + n2 + . . .+ np = n nöxcöl bielnä.

dawtaltgüï dawtalttaï

sälgämäl sälgämäl

¶lgaataï sälgä-mälüüdiïn too

Pn = n!Pn1,...,np

=n!

n1!n2! · . . . · np!n1+n2+. . .+np = n

1,2,3,4-iïn sälgämälüüd (n = 4):

1 2 3 4 2 1 3 4 3 1 2 4 4 1 2 31 2 4 3 2 1 4 3 3 1 4 2 4 1 3 21 3 2 4 2 3 1 4 3 2 1 4 4 2 1 31 3 4 2 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3 11 4 2 3 2 4 1 3 3 4 1 2 4 3 1 21 4 3 2 2 4 3 1 3 4 2 1 4 3 2 1

4! = 24

1,2,3,4-iïn dawtalttaï sälgämälüüd (n = 4, n1 = 1, n2 = 2, n3 = 1):

1 2 2 3 2 1 2 3 2 2 3 1 3 1 2 21 2 3 2 2 1 3 2 2 3 1 2 3 2 1 21 3 2 2 2 2 1 3 2 3 2 1 3 2 2 1

4!1! · 2! · 1!

= 12

Güïlgämäl

• Ögögdsön n ¶lgaataï älementüüdääs awsan k, 1 ≤ k ≤ n toony äle-mentüüdiïn ärämbä xargalzsan songoltyg güïlgämäl (bucaaltgüï) gänä.Xäräw älement bürääs k xürtäl toogoor songox bolomjtoï bol dawtalt-taï güïlgämäl garna.

bucaaltgüï bucaalttaï

¶lgaataï güïlgä-mälüüdiïn too

V kn =

n!(n− k)!

1 ≤ k ≤ n

Vk

n = nk

20 Kombinatorik

1,2,3,4 toonuudyn xuw´d 2 älementiïn güïlgämäl (n = 4, k = 2):

1 2 2 1 3 1 4 11 3 2 3 3 2 4 21 4 2 4 3 4 4 3

4!2!

= 12

1,2,3,4 toonuudyn xuw´d 2 älementiïn bucaalttaï güïlgämäl(n = 4, k = 2):

1 1 2 1 3 1 4 11 2 2 2 3 2 4 21 3 2 3 3 3 4 31 4 2 4 3 4 4 4

42 = 16

Xäsägläl

• Ögögdsön n ¶lgaataï älementüüdääs ärämbä toocoxgüïgäär awsan k, 1 ≤k ≤ n älementüüdiïn songoltyg xäsägläl gänä. Xäräw älement büriïgärämbä toocoxgüïgäär k xürtäl toogoor songowol bucaalttaï xäsäglälgäj närlänä.

bucaaltgüï bucaalttaï

¶lgaataï xäsäglä-lüüdiïn too

C kn =

(nk

)1 ≤ k ≤ n

Ck

n =(n+ k − 1

k

)

1,2,3,4 toonuudyn xuw´d 2 älementiïn xäsägläl (n = 4, k = 2):

1 2 2 3 3 41 3 2 41 4

(42

)= 6

1,2,3,4 toonuudyn xuw´d 2 älementiïn bucaalttaï xäsägläl (n = 4, k =2):

1 1 2 2 3 3 4 41 2 2 3 3 41 3 2 41 4

(4 + 2− 1

2

)= 10

21

Daraalal bolon cuwaa

Toon daraalal

a : K → IR, K ⊂ IN funkciïg (toon) daraalal gääd an-äär tämdägläe.K = IN üed ug daraalal an = a(n), n = 1, 2, . . . gi²üüdääs bürdänä. Kolonlogiïn tögsgölög bolon tögsgölgüï äsäxääs xamaarqtögsgölög äswältögsgölgüï daraalal gäj närlädäg.

Oïlgoltuud

il daraalal an = a(n) dürmäär ögögdönö

rekursiw daraalal an+1 = a(an, an−1, . . . , an−k)

zaaglagdsan daraalal ∃ C ∈ IR: |an| ≤ C ∀n ∈ K

ösöx daraalal an+1 ≥ an ∀n ∈ IN

ärs ösöx daraalal an+1 > an ∀n ∈ IN

buurax daraalal an+1 ≤ an ∀n ∈ IN

ärs buurax daraalal an+1 < an ∀n ∈ IN

niïldäg daraalal(g x¶zgaar ruu)

Duryn ε > 0 toony xuw´d n(ε)dugaar oldood büx n ≥ n(ε)-iïnxuw´d |an − g| < ε nöxcöl bieldägbol g toog an daraallyn x¶z-gaar gänä. Tämdäglägää: lim

n→∞an = g

äswäl n→∞ üed an → g.

sarnidag daraalal x¶zgaar n´ or²dogguï daraalal

tögs sarnidag daraalal(xargalzan +∞ ba −∞örgötgösön x¶zgaar ruu)

duryn c toony xuw´d n(c) dugaaroldood büx n ≥ n(c)-iïn xuw´dan > c (xargalzan an < c ) nöxcölbieldäg daraalal

tögs bi² sarnidag niïldäggüï äswäl tögsdaraalal sarnidaggüï daraalal

täg daraalal g = 0 rüü tämüüldäg daraalal

tämdäg sööljilsön gi²üüd n´ nämäx, xasax tämdägdaraalal sööljlön awdag daraalal

arifmetik daraalal an+1−an = d ∀n ∈ IN, d =togtmol

geometr daraalal an+1

an= q ∀n ∈ IN, q =togtmol

• Duryn ε > 0 toony xuw´d |an−a| < ε baïx daraallyn tögsgölgüï olonan gi²üüd oldoj baïwal a-g an daraallyn x¶zgaaryn cäg gänä.

22 Daraalal bolon cuwaa

Niïlältiïn teoremuud

• Daraalal n´ xamgiïn ixdää 1 x¶zgaartaï baïna.• Monoton daraalal niïläx zaïl²güï bögööd xürälcäätäï nöxcöl n´ ugdaraalal zaaglagdsan baïx ¶wdal.• Zaaglagdsan daraalal n´ dor xa¶j näg x¶zgaaryn cägtäï.• Xäräw a n´ an daraallyn x¶zgaaryn cäg bol an daraalal a ruuniïldäg däd daraalaltaï baïna.

Niïlältiïn qanaruud

limn→∞

an = a, limn→∞

bn = b bolon α, β ∈ IR baïg. Tägwäl:

limn→∞

(αan+βbn)=αa+βb limn→∞

anbn = ab

limn→∞

anbn

=a

b, b, bn 6= 0 lim

n→∞|an| = |a|

limn→∞

k√an = k

√a, a, an ≥ 0, k = 1, 2, . . .

limn→∞

1n

(a1 + . . .+ an) = a A ≤ an ≤ B =⇒ A ≤ a ≤ B

Zarim tusgaï daraallyn x¶zgaaruud

limn→∞

1n

= 0 limn→∞

n

n+ α= 1, α ∈ IR

limn→∞

n√λ = 1, λ > 0 lim

n→∞

(1 +

1n

)n= e

limn→∞

(1− 1

n

)n=

1e

limn→∞

(1 +

λ

n

)n= eλ, λ ∈ IR

Funkcän daraalal

Gi²üün bür n´ D ⊂ IR zawsart todorxoïlogdson bodit utgataï funkcbaïx fn, n ∈ IN daraallyg funkcän daraalal gänä. fn(x) daraalalx¶zgaartaï baïx x ∈ D-iïn büx utguudyg funkcän daraallyn niïlältiïnmuj gänä (änä mujiïg D-täï dawxacna gäj üznä).

• fn funkcän daraallyn x¶zgaar funkc f n´

f(x) = limn→∞

fn(x), x ∈ D gäj todorxoïlogddog.

Jigd niïlält

• Duryn ε > 0 bodit toony xuw´d x-ääs ül xamaarax n(ε) dugaar oldoodn ≥ n(ε) bolon x ∈ D büriïn xuw´d |f(x) − fn(x)| < ε nöxcöl bieljbaïwal fn, n ∈ IN funkcän daraallyg f x¶zgaar funkc ruu D mujidjigd niïlj baïna gädäg.

Tögsgölgüï cuwaa 23

• fn, n ∈ IN funkcän daraalal D ⊂ IR mujid jigd niïläx zaïl²güïbögööd xürälcäätäï nöxcöl n´ duryn ε > 0 bodit toony xuw´d x-ääs ülxamaarax n(ε) dugaar oldood n ≥ n(ε) bolon m ∈ IN büriïn xuw´d

|fn+m(x)− fn(x)| < ε ∀ x ∈ D Ko²iïn nöxcöl

nöxcöl bieläx ¶wdal.

Tögsgölgüï cuwaa

a1 + a2 + a3 + . . . =∞∑k=1

ak Xäsgiïn niïlbär :

s1 = a1

s2 = a1 + a2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .sn = a1 + a2 + . . .+ an

• Xäräw sn gäsän xäsgiïn niïlbäriïn daraalal niïldäg bol∞∑k=1

ak

tögsgölgüï cuwaag niïldäg gänä. sn xäsgiïn niïlbäriïn daraallynx¶zgaar s n´ cuwaany niïlbär bolno (xäräw or²in baïdag bol):

limn→∞

sn = s =∞∑k=1

ak

• sn xäsgiïn niïlbäriïn daraalal sarnidag bol∞∑k=1

ak cuwaag sarnidag

gänä.

Tämdäg sööljilsön cuwaany niïlältiïn ²injüür

Xäräw∞∑n=1

an cuwaany daraalsan 2 gi²üün n´ ¶lgaataï tämdägtäï bol

∞∑n=1

an cuwaag tämdäg sööljilsön gänä. an erönxiï gi²üüniï xuw´d

|an| ≥ |an+1|, n = 1, 2, . . . bolon limn→∞

|an| = 0Lebniciïn²injüür

nöxcöl bieldäg bol tämdäg sööljilsön cuwaa niïlnä.

Sörög bi² gi²üüdtäï cuwaany niïlältiïn ²injüür

an sörög bi² gi²üüdtäï cuwaany niïlältiïn zaïl²güï bögööd xüräl-cäätäï nöxcöl n´ tüüniï sn xäsgiïn niïlbäriïn daraalal däärääsääzaaglagdsan baïx ¶wdal.

0 ≤ an ≤ bn, n = 1, 2, . . . baïg.∞∑n=1

bn cuwaa niïldäg bol∞∑n=1

an cuwaa bas niïlnä.

∞∑n=1

an cuwaa sarnidag bol∞∑n=1

bn cuwaa bas sarnina.

xarćuu-laltyn²injüür


0<q<1 baïxan+1

an≤ q, n = 1, 2, . . . äswäl lim

n→∞

an+1

an< 1

bieldäg bol∞∑n=1

an cuwaa niïlnä;

an+1

an≥ 1, n = 1, 2, . . . äswäl lim

n→∞

an+1

an> 1 bieldäg bol

ug cuwaa sarnina.

¶zguuryn²injüür

0 < λ < 1 baïx n√an ≤ λ, n = 1, 2, . . . äswäl

limn→∞

n√an < 1 nöxcöl bieldäg bol

∞∑n=1

an cuwaa niïlnä;

n√an ≥ 1, n = 1, 2, . . . äswäl lim

n→∞n√an > 1 bieldäg bol

ug cuwaa sarnina.

Ko²iïn²injüür

Duryn gi²üüdtäï cuwaa

• Xäräw∞∑n=1

an cuwaa niïldäg bol limn→∞

an = 0.niïlältiïnzaïl²güïnöxcöl

•∞∑n=1

an cuwaa niïläx zaïl²güï bögööd xürälcäätäï nöxcöl n´ duryn

bodit ε > 0 toony xuw´d n(ε) ∈ IN dugaar oldood n > n(ε) bolon m ∈ INbüriïn xuw´d

|an + an+1 + . . .+ an+m| < ε bieläx ¶wdal. Ko²iïn nöxcöl


|an| cuwaa niïldäg bol∞∑n=1

an-g absolµt niïldäg cuwaa gänä.


an cuwaa absolµt niïldäg bol ug cuwaa niïlnä.

Cuwaany xuwirgalt

• Cuwaand tögsgölög toony gi²üüdiïg nämäx äswäl xasaxad cuwaanyniïlältiïn qanar öörqlögdöxgüï.• Niïldäg cuwaanuudyg gi²üünqlän nämäx, xasax äswäl togtmol toogoorürjüüläxäd niïlält xäwäär xadgalagddag:

∞∑n=1

an = a,∞∑n=1

bn = b =⇒∞∑n=1

(an± bn) = a± b,∞∑n=1

c · an = c · a

• Absolµt niïldäg cuwaany xuw´d gi²üüdiïn baïrlalyg (ärämbiïg)duryn baïdlaar solixod niïlält n´ xäwäär xadgalagdaxaas gadna niïl-bär n´ mön ijil baïna.

Funkcän bolon zärägt cuwaa 25

Zarim cuwaanuudyn niïlbär

1− 12

+13∓ . . .+

(−1)n+1

n+ . . . = ln 2

1 +12

+14

+ . . .+12n

+ . . . = 2

1− 13

+15∓ . . .+

(−1)n+1

2n− 1+ . . . =

π

4

1− 12

+14∓ . . .+

(−1)n

2n+ . . . =

23

1 +122

+132

+ . . .+1n2

+ . . . =π2

6

1− 122

+132∓ . . .+

(−1)n+1

n2+ . . . =

π2

12

1 +132

+152

+ . . .+1

(2n− 1)2+ . . . =

π2

8

1 +11!

+12!

+ . . .+1n!

+ . . . = e

1− 11!

+12!∓ . . .+

(−1)n

n!+ . . . =

1e

11 · 3

+1

3 · 5+ . . .+

1(2n− 1)(2n+ 1)

+ . . . =12

11 · 2

+1

2 · 3+ . . .+

1n(n+ 1)

+ . . . = 1

11 · 3

+1

2 · 4+ . . .+

1n(n+ 2)

+ . . . =34

Funkcän bolon zärägt cuwaa

Funkcän cuwaa

mar näg tögsgölgüï cuwaany xuw´d gi²üüd n´ funkcuud bol funkcäncuwaa gänä:

f1(x)+ f2(x)+ . . . =∞∑k=1

fk(x) xäsgiïn niïlbär : sn(x) =n∑k=1

fk(x)

• fk funkc büriïn todorxoïlogdox mujuudyn ogtlolclyg funkcäncuwaany todorxoïlogdox muj gääd D-äär tämdägläe. mar näg x ∈ D-iïn xuw´d sn(x) xäsgiïn niïlbäriïn daraalal s(x) x¶zgaar ruu niïljbaïwal änä cuwaag ug cäg däär niïldäg äsräg toxioldold sarnidag gänä.Funkcän cuwaa niïldäg büx x ∈ D cägüüdiïg ug cuwaany niïlältiïnmuj gääd D mujtaï adiltgaj üzdäg.

• sn daraallyn x¶zgaar funkc s : D → IR n´

limn→∞

sn(x) = s(x) =∞∑k=1

fk(x) gäj todorxoïlogdono.


• Xäräw sn xäsgiïn niïlbäriïn daraalal jigd niïldäg bol∞∑k=1

fk(x)

funkcän cuwaag D muj däär jigd niïldäg gänä Ifunkcän daraalal.

Weïer²trassiïn xarćuulax ²injüür

Xäräw∞∑n=1

an gäsän niïldäg cuwaa oldood ∀n∈ IN bolon ∀x∈D xuw´d

|fn(x)| ≤ an bieldäg bol∞∑n=1

fn(x) funkcän cuwaa D muj däär jigd

niïlnä.

• Xäräw fn, n ∈ IN funkc bür x0 cäg däär tasraltgüï bolon∞∑n=1

fn(x)

funkcän cuwaa D muj däär jigd niïldäg bol s(x) x¶zgaar funkc n´ x0

cäg däär tasraltgüï.

Zärägt cuwaa

Gi²üüd n´ fn(x) = an(x−x0)n, n ∈ IN0 xälbärt biqigdäx funkcän cuwaagx0 cäg däär töwtäï zärägt cuwaa gänä. x := x−x0 xuwirgaltaar täg cägttöwtäï zärägt cuwaand ²iljix bögööd caa²id änä xälbäriïg awq üzäxbolno. Zärägt cuwaany niïlältiïn muj däär s funkc n´ :

s(x) = a0 + a1x+ a2x2 + . . . =

∞∑n=0

anxn xälbärt biqigdänä.

Xäräw ug zärägt cuwaa x 6= 0 baïx x büriïn xuw´d sarnidaggüï äswäl büxx-iïn xuw´d niïldäggüï bol niïlältiïn radius gäj närlägdäx cor gancr > 0 too oldood |x| < r üed zärägt cuwaa niïlj, |x| > r üed sarnidag.|x| = r üed nämält ²injilgää ²aardlagataï. (Xäräw zärägt cuwaa n´zöwxön x = 0 cäg däär niïldäg bol r = 0, büx x ∈ IR-iïn xuw´d niïldägbol r = ∞ gäj üznä.)

Niïlältiïn mujiïg todorxoïlox

bn =∣∣∣∣ anan+1

∣∣∣∣ bolon cn = n√|an| baïg. Tägwäl:

bn daraalal niïlnä =⇒ r = limn→∞

bn

bn daraalal +∞ ruu tögs sarnina =⇒ r = ∞cn daraalal täg rüü niïlnä =⇒ r = ∞

cn daraalal c 6= 0 ruu niïlnä =⇒ r =1c

cn daraalal +∞ ruu tögs sarnina =⇒ r = 0

Teïloryn cuwaa 27

Zärägt cuwaany qanaruud (r > 0 niïlältiïn radius)

• Zärägt cuwaa x ∈ (−r, r) cäg büriïn xuw´d absolµt niïlnä. Ug cuwaan´ I ⊂ (−r, r) bitüü zawsar bürt jigd niïlnä.

• Zärägt cuwaany niïlbär s(x) n´ (−r, r) zawsart duryn ärämbiïnulamjlaltaï. Ulamjlalyg gi²üünqlän differencialqlax zamaar gar-gana.

• |t| < r baïx [0, t] bolon [t, 0] zawsart zärägt cuwaa n´ mön gi²üünqlänintegralqlagdana:

s(x) =∞∑n=0

anxn =⇒

s′(x) =∞∑n=1

nanxn−1 bolon

t∫0

s(x)dx =∞∑n=0

antn+1

n+ 1

•∞∑n=0

anxn,

∞∑n=0

bnxn zärägt cuwaanuud (−v, v) gäsän ijil zawsart niïldäg,

mön ijil niïlbärtäï bol ädgäär cuwaanuud n´ adiltgal täncüü: an = bn∀n = 0, 1, . . .

Teïloryn cuwaa

Xäräw f : D→ IR, D⊂ IR funkc n´ x0∈D cäg däär xürälcäätäï ärämbiïnulamjlaltaï bol Teïloryn gäj närlägdäx daraax cuwaag x0 cäg däärtodorxoïlj bolno:

∞∑n=0

f (n)(x0)n!

(x− x0)n, f (0)(x) = f(x) Teïloryn cuwaa

• Xäräw f funkc x0 cägiïn U orqind xürälcäätäï ärämbiïn ulamjlal-taï bolon I Teïloryn tom³ëony üldägdäl gi²üün n´ x ∈ U büriïnxuw´d täg rüü niïldäg bol Teïloryn cuwaa n´ r > 0 gäsän niïlältiïnradiustaï baïxaas gadna |x− x0| < r baïx x büriïn xuw´d:

f(x) =∞∑n=0

f (n)(x0)n!

(x− x0)n Teïloryn zadargaa

zadargaa xüqintäï.


Zärägt cuwaany xvsnägt

Niïlältiïn muj: |x| ≤ 1

funkc zärägt cuwaa, Teïloryn cuwaa

(1 + x)α 1 + αx+α(α− 1)

2!x2 +

α(α− 1)(α− 2)3!

x3 + . . . (α > 0)

√1 + x 1 +

12x− 1 · 1

2 · 4x2 +

1 · 1 · 32 · 4 · 6

x3 − 1 · 1 · 3 · 52 · 4 · 6 · 8

x4 ± . . .

3√

1 + x 1 +13x− 1 · 2

3 · 6x2 +

1 · 2 · 53 · 6 · 9

x3 − 1 · 2 · 5 · 83 · 6 · 9 · 12

x4 ± . . .

Niïlältiïn muj: |x| < 1


1(1 + x)α

1− αx+α(α+ 1)

2!x2 − α(α+ 1)(α+ 2)

3!x3 ± . . . (α > 0)

11 + x

1− x+ x2 − x3 + x4 − x5 ± . . .

1(1 + x)2

1− 2x+ 3x2 − 4x3 + 5x4 − 6x5 ± . . .

1(1 + x)3

1− 12(2 · 3x− 3 · 4x2 + 4 · 5x3 − 5 · 6x4 ± . . .

)1√

1 + x1− 1

2x+

1 · 32 · 4

x2 − 1 · 3 · 52 · 4 · 6

x3 +1 · 3 · 5 · 72 · 4 · 6 · 8

x4 ∓ . . .

13√

1 + x1− 1

3x+

1 · 43 · 6

x2 − 1 · 4 · 73 · 6 · 9

x3 +1 · 4 · 7 · 103 · 6 · 9 · 12

x4 ∓ . . .

arcsinx x+1

2 · 3x3+

1 · 32 · 4 · 5

x5+. . .+1·3·. . .·(2n− 1)

2·4·. . .·2n·(2n+ 1)x2n+1+. . .

arccosxπ

2− x− 1

2 · 3x3 − . . .− 1 · 3 · . . . · (2n− 1)

2 · 4 · . . . · 2n · (2n+ 1)x2n+1 − . . .

arctanx x− 13x3 +

15x5 − 1

7x7 ±. . .+ (−1)n

12n+ 1

x2n+1 ± . . .

Furégiïn cuwaa 29

Niïlältiïn muj: |x| ≤ ∞


sinx x− 13!x3 +

15!x5 − 1

7!x7 ±. . .+ (−1)n

1(2n+ 1)!

x2n+1 ± . . .

cosx 1− 12!x2 +

14!x4 − 1

6!x6 ± . . .+ (−1)n

1(2n)!

x2n ± . . .

ex 1 +11!x+

12!x2 + . . .+

1n!xn + . . .

ax 1 +ln a1!x+

ln2 a

2!x2 + . . .+

lnn an!

xn + . . .

sinhx x+13!x3 +

15!x5 + . . .+

1(2n+ 1)!

x2n+1 + . . .

coshx 1 +12!x2 +

14!x4 + . . .+

1(2n)!

x2n + . . .

Niïlältiïn muj: −1 < x ≤ 1


ln(1 + x) x− 12x2 +

13x3 − 1

4x4 ± . . .+ (−1)n+1 1

nxn ± . . .

Furégiïn cuwaa

s(x) = a0 +∞∑k=1

(ak cos

kπx

l+ bk sin

kπx

l

)xälbäriïn cuwaag trigonometriïn buµu Furégiïn cuwaa gänä. Ögögdsönf(x) funkc Furégiïn cuwaand zadrax zaïl²güï nöxcöl n´ ug funkciïnxuw´d üet, ö. x. f(x + 2l) = f(x) nöxcöl bieläx ¶wdal. Furégiïn koäf-ficientuud gäj närlägdäx ak, bk toonuud n´:

a0 =12l

∫f(x)dx, ak=

1l

∫f(x) cos

kπx

ldx, bk=

1l

∫f(x) sin

kπx

ldx.

Täg² xämtäï funkcuud

f täg² funkc, ö. x. f(−x) = f(x) =⇒ bk = 0, k = 1, 2, ...f sondgoï funkc, ö. x. f(−x) = −f(x) =⇒ ak = 0, k = 0, 1, 2, ...


Zarim Furégiïn cuwaany xüsnägt

2π urttaï zawsart todorxoïlogdson 2π üetäïgäär ürgäljläx funkcuud.

y =x xäräw −π < x < π0 xäräw x = π

= 2(

sinx1

− sin 2x2

+sin 3x

3± . . .

)−2π 0 2π 4π

−π

0

π

.............................................................................................................

.............................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

· · ·

y =

x xäräw −π

2 ≤ x ≤ π2

π− x xäräw π2 ≤ x ≤ 3π

2

=4π

(sinx12

− sin 3x32

+sin 5x

52∓ . . .

)−2π 0 2π 4π

−π

2

0

π

2

....................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................

.......................................................

.........................................................

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

y = |x| xäräw − π ≤ x ≤ π

=π

2− 4π

(cosx12

+cos 3x

32+

cos 5x52

+. . .)

−2π 0 2π 4π

0

π

......................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................................

...............................................................

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

.

y =

−α xäräw −π < x < 0α xäräw 0 < x < π0 xäräw x = 0, π

=4απ

(sinx

1+

sin 3x3

+sin 5x

5+ . . .

)−2π 0 2π 4π

−α

0

α

........................

...........................................

...........................................

...........................................

...........................................

...........................................

...........................................

......

.........................................................

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

· · · · · · ·

y = | sinx | xäräw − π ≤ x ≤ π

=2π− 4π

(cos 2x1 · 3

+cos 4x3 · 5

+cos 6x5 · 7

+ . . .

)−π 0 π 2π 3π

0

1............................................................................

...........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................

........................................

................................................................................

31

Sanxüügiïn matematik

Ängiïn xüü

Tämdäglägää

p tuxaïn xugacaan dax´ xüügiïn tüw²in (xuwiar)

t tuxaïn xüügiïn tüw²ind xamaarax nägj xugacaa

K0 anxny kapital, önöögiïn ünä cänäär

Kt t xugacaan dax´ kapitalyn xämjää

Zt t xugacaand olson ängiïn xüü

i xüügiïn tüw²in: i = p100

T ödriïn too

• Jiläärx xugacaa n´ xamgiïn ix tügäämäl xäräglägddäg bolowq xagasjil, uliral, saraar ilärxiïlägdsän xugacaag mön awq üzdäg. Uls bürtnäg jil äswäl sard toocoj buï xonogiïn too xarilcan adilgüï baïdag.

Ixänx toxioldold,30360

,bodit

360,bodit

boditgäsän tom³ëolluud a²iglagdana.

'Bodit' gädgäär bodit xonogiïn toog tämdägläw. Daraax tom³ëond Txugacaag 360 xonog baïxaar toocoj, nägj sar n´ 30 xonogtoï baïxaartom³ëolow.

Xüügiïn ündsän tom³ëololuud

T = 30 · (m2 −m1) + d2 − d1 xüü toocoj buï xonogiïn too;m1,m2 saruud; d1, d2 ödrüüd

Zt = K0 ·p

100· t = K0 · i · t ängiïn xüü

ZT =K0 · i · T

360=K0 · p · T100 · 360

xonogiïn ängiïn xüü

K0 =100 · Ztp · t

=Zti · t

kapital (t = 0 üe däx)

p =100 · ZtK0 · t

xüügiïn tüw²in (xuwiar)

i =Zt

K0 · t xüügiïn tüw²in

t =100 · ZtK0 · p

=Zt

K0 · i xugacaa

32 Sanxüügiïn matematik

t xugacaan dax´ kapital

Kt = K0(1 + i · t) = K0

(1 + i · T

360

) t xugacaan dax´ kapi-

talyn xämjää

K0 =Kt

1 + i · t=

Kt

1 + i · T360

önöögiïn ünä cänä

i =Kn −K0

K0 · t= 360 · Kn −K0

K0 · T xüügiïn tüw²in

t =Kn −K0

K0 · i xugacaa

T = 360 · Kn −K0

K0 · i xüü tölj buï xonogiïn

too

Xugacaany tölbör

• Anxny xugacaa 1m urttaïm xäsgüüdäd xuwaagdsan bögööd xäsäg büriïn

äxänd (togtmol tölbör) bolon xugacaany äcäst (ängiïn tölbör) tölögdöxtölbör r bol xäsäg bürt kapital n´ daraax xämjäätäï baïna:

R = r

(m+

m+ 12

· i)

togtmol tölbör

R = r

(m+

m− 12

· i)

ängiïn tölbör

Tuxaïlbal m = 12 (saryn tölbör bolon jiliïn xüü):

R = r(12 + 6, 5i) togtmol tölbör; R = r(12 + 5, 5i) ängiïn tölbör

Xüüg toocoolox busad arguud

ti = DiMiYi n´ i (i = 1: äxläx ognoo, i = 2: duusax ognoo) xugacaandxamaarax ödör, sar, jil bolon t = t2 − t1 n´ äxläxääs duusax xürtälxugacaand xamaarax bodit xonogiïn toog todorxoïldog baïg; Ti n´ i'xugarax' jiliïn xonogiïn too; i = 365 äswäl 366.

arga tom³ëo

30/360 t = [360 · (Y2 − Y1) + 30 · (M2 −M1) +D2 −D1] /360

bodit/360 t = (t2 − t1)/360

bodit/bodit t =T1

suur´ 1+ Y2 − Y1 − 1 +

T2

suur´ 2∗

∗ Xäräw xugacaa n´ jiliïn dotor bol zöwxön äxniï nämägdäxüün xäräglägdänä.

Niïlmäl xüü 33

Niïlmäl xüü

Xäd xädän ²iljix xugacaany üed tölj buï xüügiïn tölbör n´ kapital(ixänxdää ²iljix xugacaany äcäst) bolon a²ig däär nämägdäj toocog-doj buï xüüg niïlmäl xüü gänä.

Tämdäglägää

p nägj xugacaan dax´ xüügiïn tüw²in (xuwiar)

n ²iljix xugacaany too

K0 anxny kapital, önöögiïn ünä cänäär

Kn n xugacaany daraax kapitalyn xämjää, äcsiïn ünä cänä

i nägj ²iljix xugacaand noogdox (närläsän)

xüügiïn tüw²in: i =p

100q xurimtlalyn xüqin züïl (1 nägj xugacaany xuw´d): q = 1 + i

qn xurimtlalyn xüqin züïl (n nägj xugacaany xuw´d)

m xugacaany xäsgiïn too

d diskaunt xüqin züïl

im, im nägj m xugacaand xamaarax xüügiïn tüw²in

δ xüügiïn ärqim

Yndsän xüqin züïlsiïg xuwirgax xüsnägt

p i q d δ

p p 100i 100(q − 1) 100d

1− d100(eδ − 1)

ip

100i q − 1

d

1− deδ − 1

q 1 +p

1001 + i q

11− d

eδ

dp

100 + p

i

1 + i

q − 1q

d 1− e−δ

δ ln(1 +

p

100

)ln(1 + i) ln q ln

(1

1− d

)δ


Yndsän tom³ëo

Kn = K0 · (1 + i)n = K0 · qn niïlmäl xämjääniï tom³ëo

K0 =Kn

(1 + i)n=Kn

qn t = 0 xugacaan dax´ niïlmälxüügiïn önöögiïn ünä cänä

p = 100(

n

√Kn

K0− 1)

xüügiïn tüw²in (xuwiar)

n =logKn − logK0

log q xugacaa

n ≈ 69p

kapital 2 daxin ösöx xugacaagtoocoolox oïrolcoo tom³ëo

Kn = K0 · q1 · q2 · . . . · qn qj = pj

100 baïx pj , j=1, . . . , n xüügiïntüw²niï öörqlöltiïg toocoolsonäcsiïn ünä cänä

pr=100(

1+i1+r

−1)≈100(i−r) r infl¶ciïn tüw²in däx bodit

xüügiïn tüw²in

Xosolmol, xäsägqilsän ängiïn bolon xäsägqilsän niïlmäl xüü

Kt = K0(1 + it1)(1 + i)N (1 + it2) t xugacaany daraax kapital

• Änd N n´ ²iljix xugacaany integral toolol bögööd t1, t2 n´ ängiïnxüü tölögdöx ²iljix xugacaany xäsgiïn urtyg ilärxiïlnä.

• Toocoollyg x¶lbarqlax üüdnääs sanxüügiïn matematikt ixäwqlän,xosolmol xüügiïn tom³ëony orond büxäl bus zärägtäï niïlmäl tom³ëol-lyg a²igladag, ö. x. Kt = K0(1 + i)t, änd t = t1 +N + t2.

Xüläägdäj buï xüü (diskaunt)Änä toxioldold, xüügiïn tüw²in n´ äcsiïn ünä cäniïn näg xäsäg bolontodorxoïlogdson bolno (I diskaunt xüqin züïl x. 33).

d =K1 −K0

K1=Kt −K0

Kt · t diskauntqlagdsan xüügiïn tüw²in

Kn =K0

(1− d)n äcsiïn ünä cänä

K0 = Kn(1− d)n önöögiïn ünä cänä

Niïlmäl xüü 35

Ilüü dawtagdax niïlmäl xüü

Kn,m = K0 ·(1 + i

m

)n·m näg jild m udaa ²iljüülsän

xüügiïn n jiliïn daraax xämjää

im = im nägj xugacaand xamaarax xüügiïn

tüw²in

im = m√

1 + i− 1 nägj xugacaan dax´ ji²ig xüü

ie = (1 + im)m − 1 jiliïn xüügiïn ür a²igtaïtüw²in

pe = 100[(1 +

p

100m)m − 1

] jiliïn xüügiïn ür a²igtaï

tüw²in (xuwiar)

• Näg jilääs gadna toxirox öör xugacaag songon awq bolno.

• Nägj xugacaan dax´ ji²ig xüügiïn tüw²in bolox im-äär näg jild mudaa xüüg nägtgäx n´ i närläsän xüügiïn tüw²ind jild näg udaa nägt-gäsäntäï ijil xämjääniï äcsiïn ünä cäniïg biï bolgono; nägj xuga-caand xamaarax xüügiïn im tüw²näär jildm udaa xüüg nägtgäx n´ jildnäg udaa ür a²igtaï xüügiïn ie tüw²näär toocoolol xiïsnääs ilüü ixäcsiïn ünä cäniïg tus tus xaruulna.

Tasraltgüï niïlmäl xüü

Kn,∞ = K0 · ei·n tasraltgüï niïlmäl xüütäï üeiïn tooxämjää

δ = ln(1 + i) xüügiïn ärqim (i xüügiïn tüw²intäïtäncüü)

i = eδ − 1 närläsän xüü (δ ärqimtäï )

Tölbör tölögdöx dundaj xugacaa

Asuult: K1 + K2 + . . . + Kk-täïtäncäx niït ör tölbör n´ ¶mar tmxugacaand tölögdöx wä?

-KkK2K1

t10 t2 . . . tk

tölögdöx tölbör

ängiïn xüü:

tm =K1 +K2 + . . .+Kk −K0

i, änd K0 =

K1

1 + it1+ . . .+

Kk

1 + itkniïlmäl xüü:

tm =ln(K1 + . . .+Kk)− lnK0

ln q, änd K0 =

K1

qt1+ . . .+

Kk

qtktasraltgüï niïlmäl xüü:

tm =ln(K1 + . . .+Kk)− lnK0

δ, änd K0 = K1e−δt1 +. . .+Kke−δtk


Togtmol tölbör

Tämdäglägää

p xüügiïn tüw²inn tölbör xiïgdäx xugacaany interwal äswäl türääsläx xugacaaR nägj xugacaand noogdox türääs buµu nägj tölböriïn xämjää

q xurimtlalyn xüqin züïl: q = 1 + p100

Yndsän tom³ëo

Nöxcöl: iljix bolon türääsiïn xugacaa n´ xoorondoo ijil baïna.

Fduen = R · q · qn − 1q − 1

togtmol tölböriïn xämjää, äcsiïn ürdün

Pduen =R

qn−1· q

n − 1q − 1

togtmol tölböriïn önöögiïn ünä cänä

F ordn = R · qn − 1q − 1

ängiïn tölböriïn xämjää, äcsiïn ünäcänäär

P ordn =R

qn· q

n − 1q − 1

ängiïn tölböriïn önöögiïn ünä cänä

Pdue∞ =Rq

q − 1 iräädüïn togtmol möngöniï önöögiïn

ünä cänä, xugacaany äxänd xiïgdäxtölbör

P ord∞ =R

q − 1 iräädüïn togtmol möngöniï önöögiïn

ünä cänä, xüügiïn tüw²in n´ tölögdsönxämjäägäär

n=1

log q· log

(F ordn · q − 1

R+ 1)

=1

log q· log

R

R− P ordn (q − 1) xugacaa

Nägj xugacaan dax´ 1-iïn ünä cäniïg taïlbarlax xüqin züïls

togtmol ängiïn

nägj xugacaan dax´1-iïn ünä cänä

sn| = q · qn − 1q − 1

sn| =qn − 1q − 1

nägj xugacaan dax´1-iïn önöögiïn ünä cänä

an| =qn − 1

qn−1(q − 1)an| =

qn − 1qn(q − 1)

iljix xugacaa > türääsiïn xugacaaXäräw nägj xugacaany m tölbör n´ nägj ²iljix xugacaand xiïgddägbol däärx tom³ëon dax´ R tölbör n´ xargalzan R = r

(m+ m+1

2 · i)(togt-

mol tölbör) bolon R = r(m+ m−1

2 · i)(ängiïn tölbör) bolox µm. Ädgäär

R xuw´ xämjäänüüd n´ ²iljix xugacaany äcäst ¶rigddag tul ängiïntölbört xamaaragdax tom³ëololyg a²iglax ²aardlagataï boldog.

Togtmol tölbör 37

Yndsän too xämjää

an| nägj xugacaan dax´ 1-iïn önöögiïn ünä cänä (ängiïn tölbör)

an| nägj xugacaan dax´ 1-iïn önöögiïn ünä cänä (togtmol tölbör)

sn| nägj xugacaan dax´ 1-iïn äcsiïn ünä cänä (ängiïn tölbör)

sn| nägj xugacaan dax´ 1-iïn äcsiïn ünä cänä (togtmol tölbör)

a∞| nägj xugacaan dax´ 1-iïn önöögiïn ünä cänä (iräädüïn togt-mol möngöniï önöögiïn ünä cänä, xugacaany äxänd xiïgdäxtölbör)

a∞| nägj xugacaan dax´ 1-iïn önöögiïn ünä cänä (iräädüïn togt-mol möngöniï önöögiïn ünä cänä, xüü tölögdsönöör)

Too xämjääniï bolon önöögiïn ünä cäniïn xüqin züïls

an| =1q

+1q2

+1q3

+ . . .+1qn

=qn − 1qn(q − 1)

an| = 1 +1q

+1q2

+ . . .+1

qn−1=

qn − 1qn−1(q − 1)

sn| = 1 + q + q2 + . . .+ qn−1 =qn − 1q − 1

sn| = q + q2 + q3 + . . .+ qn = q · qn − 1q − 1

a∞| =1q

+1q2

+1q3

+ . . . =1

q − 1

a∞| = 1 +1q

+1q2

+ . . . =q

q − 1

iljix xüsnägt

an| an| sn| sn| qn

an| an|an|q

sn|1 + isn|

sn|q(1 + dsn|)

qn − 1qni

an| qan| an|qsn|

1 + isn|

sn|1 + dsn|

qn − 1qnd

sn|an|

1− ian|

an|q(1− dan|)

sn|sn|q

qn − 1i

sn|qan|

1− ian|

an|1− dan|

qsn| sn|qn − 1d

qn1

1− ian|

11− dan|

1 + isn| 1 + dsn| qn


Dinamik togtmol tölbör

Arifmetikaar ösq buï dinamik togtmol tölbör

Möngön ursgal (δ xüqin züïläär R tölbörtäï proporcoor ösq buï):

-

nn−1. . .10

R(1+(n−1)δ)R(1 + δ)R-

n10

R R(1+δ) R(1+(n−1)δ)

2 . . .

Fduen =Rq

q − 1

[qn − 1 + δ

(qn − 1q − 1

− n

)]

Pduen =R

qn−1(q − 1)

[qn − 1 + δ

(qn − 1q − 1

− n

)]

F ordn =R

q − 1

[qn − 1 + δ

(qn − 1q − 1

− n

)]

P ordn =R

qn(q − 1)

[qn − 1 + δ

(qn − 1q − 1

− n

)]

Pdue∞ =Rq

q − 1

(1 +

δ

q − 1

), P ord∞ =

R

q − 1

(1 +

δ

q − 1

)

Geometräär ösq buï dinamik togtmol tölbör

-

0 1 2 nn−1

Rbn−1R

. . .

Rb Rb2-

0 1 2 . . . n

Rbn−1RbR

Ösöltiïn tüw²in s-äär taïlbarlagdax togtmol b = 1 + s100 xüqin züïl

Fduen = Rq · qn − bn

q − b, b 6= q; Fduen = Rnqn, b = q

Pduen =R

qn−1· q

n − bn

q − b, b 6= q; Pduen = Rn, b = q

F ordn = R · qn − bn

q − b, b 6= q; F ordn = Rnqn−1, b = q

P ordn =R

qn· q

n − bn

q − b, b 6= q; P ordn =

Rn

q, b = q

Pdue∞ =Rq

q − b, b < q; P ord∞ =

R

q − b, b < q

Tölböriïn xöngölöltiïn toocoolol 39

Tölböriïn xöngölöltiïn toocoolol

Tämdäglägää

p xüügiïn tüw²in (xuwiar)n daxin tölbör xiïgdäx xugacaany tooi xüügiïn tüw²in: i = p

100

q xurimtlalyn xüqin züïl: q = 1 + i

S0 zääl, anxny ör tölbörSk k xugacaany daraax ör tölbörTk k-r xugacaany ör tölbörZk k-r xugacaany xüügiïn tölbörAk k-r xugacaany niït tölbör

Tölböriïn xöngölöltiïn töröl

• Togtmol ündsän tölbör: togtmol daxin tölbör: Tk = T =S0

n, xüü

buurax

• Togtmol tölbör: niït togtmol tölbör: Ak = A = togtmol, xüübuurax, tölbör nämägdäx

• Bucaan tölögdöx xugacaany äcäs däx öriïn xöngölölt: Ak = S0 · i,k = 1, . . . , n− 1; An = S0 · (1 + i)• Xöngölöltiïn xuwaar´t xolbogdox büx xüü, ündsän ör, niït tölbör,nämägdüülsän xüü zäräg n´ näg xüsnägtäd nägtgägdsän baïdag.

Niït tölböriïn ündsän tom³ëo

Ak = Tk + Zk ündsän tölbör bolon xüügääs bürdäx niïttölbör (togtmol tölbör)

Togtmol ündsän tölbör (²iljix xugacaa=tölbör xiïx xugacaa)

Tk =S0

n k-r üeiïn ündsän tölbör

Zk = S0 ·(

1− k − 1n

)i k-r üeiïn xüü

Ak =S0

n[1− (n− k + 1)i] k-r üeiïn niït tölbör

Sk = S0 ·(

1− k

n

) k-r üeiïn nämägdüülsän tölbör

P =S0i

n

[(n+ 1)an| −

1qn

(qqn−1

(q−1)2− n

q−1

)] niït xüügiïn

tölböriïn önöögiïnünä cänä


Togtmol tölbör (²iljix xugacaa=tölbör xiïx xugacaa)

A = S0 ·qn(q − 1)qn − 1

(niït) tölbör, togtmol

tölbör

S0 =A(qn − 1)qn(q − 1)

anxny ör tölbör

Tk = T1qk−1 = (A− S0 · i)qk−1 ündsän ör, daxin tölbör

Sk = S0qk−Aq

k−1q − 1

= S0−T1qk−1q − 1

nämägdüülsän tölbör

Zk = S0i− T1(qk−1−1) = A− T1qk−1 xüü

n =1

log q[logA− log(A− S0i)

] bucaan tölöx xugacaany

urt

Örgön a²iglagddag tölbörüüd

m xugacaa bürt togtmol A(m) tölbör xiïgddäg.

A(m) =A

m+ m−12 i

nägj xugacaany äcäst xiïgdäx tölbör

A(m) =A

m+ m+12 i

nägj xugacaany äxänd xiïgdäx tölbör

Tuxaïlbal: jiliïg sard ²iljüülän toocox tölbör (m = 12)

Amon =A

12 + 5, 5i sar büriïn äcäst xiïx tölbör

Amon =A

12 + 6, 5i sar büriïn äxänd xiïx tölbör

Xälbälzältäï xorogduulalt

Yndsän tölbör bolox Tk-d α xuwiïn nämält xälbälzäl (uram²uulal

tölbör) toocsonoor Tk = Tk ·(1 +

α

100

)= Tk · fα-g gargan awax µm.

Uram²uullyg toocson togtmol tölböriïn xälbälzältäï xorogduulalt

Sα = S0 · fα (xuuramq ör), iα =i

fα(xuurmag xüügiïn tüw²in) bolon

qα = 1 + iα n´ däärx tom³ëogoor toocoologdono.

Yniïn toocoolol 41

Yniïn toocoolol

Tämdäglägää

P ünä (xuwiar)Knom närläsän kapital buµu ünä cänäKreal bodit kapital, zax zääliïn ünän (üldäj buï) xugacaa, bucaan tölöx xugacaap, pe xüügiïn närläsän (ür a²igtaï) tüw²inbn,nom; bn,real nägj xugacaan dax´ 1-iïn ünä cänä (ängiïn

tölbör)a = C − 100 närläsän ünääs dää²xi xälbälzäld = 100− C närläsän ünääs doo²xi xälbälzälR bucaan tölögdöx xugacaany äcäs däx a²ig

qe = 1 +pe100 xurimtlalyn xüqin züïl (ür a²igtaï xüügiïn

tüw²in)

Yniïn tom³ëo

P = 100 · Kreal

Knom

närläsän bolon bodit kap-italaar ilärxiïlägdsänünä

P = 100 ·bn,realbn,nom

= 100 ·

n∑k=1

1qke

n∑k=1

1qk

togtmol tölböröörtölögdöj buï ör töl-böriïn ünä

P =100n

[n · p

pe+ bn,real

(1− p

pe

)] togtmol ündsän töl-

böriïg tölj buï örtölböriïn ünä

P =1qne

·(p ·

qne − 1qe − 1

+R

) bucaan tölögdöx xuga-

caany äcäst tölöx öriïnünä

P = p · (pe)−1 iräädüïn togtmolmöngöniï önöögiïnünä cäniïn ünä

ps =100C

(p− a

n

)=

100C

(p+

d

n

) duusgawar bolox xuga-

caany ängiïn orlogo;= bucaan tölögdöx xugacaany äcäst tölöx öriïn oïrolcoox üra²igtaï xüügiïn tüw²in

• Ynät caas, xuwćaa zäräg n´ zax zääl däär ünäär ilärxiïlägdsän baïdag.C gäsän ögögdsön üniïn xuw´d ür a²igtaï xüügiïn tüw²in n´ däärx


täg²itgälääs dääd ärämbiïn olon xuw´sagqtaï täg²itgäl gargax zamaartoocoologdono. (I x. 44).

Xöröngö oruulaltyn ²injilgää

Olon üet xugacaany kapitalyg tösöwlöx texnik n´ (diskauntqlagdsanmöngön ursgalyn arguud) xöröngö oruulaltyn a²igt ajillagaag toocooloxarga boldog. Xamgiïn tügäämäl arguud n´ kapitalyn ünälgääniï arga,orlogyn dotood tüw²niï arga, togtmol tölböriïn arga zäräg µm.Iräädüïn orlogo bolon zardluud n´ prognozloson ünälgäänüüd baïdag.

Tämdäglägää

Ii i ag²in dax´ orlogoEi i ag²in dax´ zardal bolon xöröngö oruulaltCi i ag²in dax´ cäwär a²ig, möngön ursgal: Ci = Ii − EiKI a²giïn önöögiïn ünä cänäKE zardlyn önöögiïn ünä cänäC cäwär önöögiïn ünä cänä, xöröngö oruulaltyn kapital ünä cänän xugacaany toop xüügiïn tüw²niï xülään zöw²öörögdöx dood xuw´ xämjääq älägdliïn xüqin züïl: q = 1 + p

100

Xöröngiïn ünälgääniï arga

KI =n∑i=0

Iiqi

a²giïn önöögiïn ünä cänä; iräädüïna²giïn niït önöögiïn ünä cänä

KE =n∑i=0

Eiqi

zardlyn önöögiïn ünä cänä; iräädüïnzardlyn niït önöögiïn ünä cänä

C = KI−KE=n∑i=0

Ciqi

cäwär a²giïn kapital ünä cänä,cäwär önöögiïn ünä cänä

• C = 0 üed xöröngö oruulalt n´ p xüügiïn tüw²ind xiïgdänä, C >0 üed ögööj n´ ilüü öndör baïna. Xäräw xöröngö oruulaltyn öör xädxädän bolomjit xuwilbar baïwal tädgäärääs xamgiïn öndör önöögiïnünä cänätäïg n´ songono.

Orlogyn dotood tüw²niï argaOrlogyn dotood tüw²in n´ xöröngö oruulaltyn önöögiïn cäwär ünäcänä n´ tägtäï täncüü baïx too xämjää µm. Xäräw xäd xädän xöröngö oru-ulaltyn songolt baïgaa bol tädgäärääs xamgiïn öndör orlogyn dotoodtüw²intäïg n´ songono.

Älägdäl xorogdol 43

Togtmol tölböriïn arga

FA =qn · (q − 1)qn − 1

togtmol tölböriïn xüqin züïl

AI = KI · FA a²giïn togtmol tölbörA = KE · FA zardlyn togtmol tölbörAP = AI −A cäwär togtmol tölbör

• AI = A üed xöröngö oruulaltyn ögööj n´ p-täï täncüü, xarin AI > Aüed xöröngö oruulaltyn ögööj n´ p-ääs ilüü baïna.

Älägdäl xorogdol

Älägdäl xorogdol n´ tonog töxöörömj, baraany üniïn buuraltyg todor-xoïlno. Anxny ünä (örtög, bütääx zardal) bolon älägdäl xorogdlynxoorondyn ¶lgaa n´ bürtgäliïn ünälgäägäär ilärxiïlägddäg.

n xärägläsän xugacaaA anxny ünäwk k-r jiliïn älägdäl xorogdolRk k jiliïn daraax bürtgäliïn ünä (Rn üldägdäl, äcsiïn ünä)

ugaman (²uluun ²ugaman) älägdäl xorogdol

wk = w =A−Rn

n jiliïn älägdäl xorogdol

Rk = A− k · w k jiliïn daraax bürtgäliïn ünä

Arifmetikaar buurax älägdäl xorogdol (jild d xämjäägäär buu-rax)

wk = w1 − (k − 1) · d k-r jiliïn älägdäl xorogdol

d = 2 · nw1 − (A−Rn)n(n− 1)

buuraltyn xämjää

Jilüüdiïn niïlbär (tusgaï xälbär): wn = d

wk = (n− k + 1) · d k-r jiliïn älägdäl xorogdol

d =2 · (A−Rn)n(n+ 1)

buuraltyn xämjää

Geometräär buurax älägdäl xorogdol (jild ömnöx jiliïn bürt-gäliïn ünääs s xuwiar buurax)


Rk = A ·(1− s

100

)k k jiliïn daraax bürtgäliïn ünä

s = 100 ·

(1− n

√RnA

) älägdäl xorogdlyn tüw²in

wk = A · s

100·(1− s

100

)k−1

k-r jiliïn älägdäl xorogdol

ugaman busaas ²ugaman jiliïn älägdäl xorogdold²iljüüläx n´Rn = 0 taamaglal bielägdäj baïx üed geometr progressiïg dke jilxürtäl (k = n+1− 100

s ) biqääd üüniï daraa ²ugaman progressiïg biqnä.

Tägiïg todorxoïlox toon arga

Zorilgo: Tasraltgüï funkc f(x)-iïn utgyg täg bolgox x∗-g olox. It-eraciïn processiïg zogsoox nariïwqlalyg ε-äär tämdägläe.

Utgyn xüsnägtx-iïn songoson utgand funkciïn utga f(x)-iïg olno. Funkciïn grafikdäärääs funkciïn utga tägtäï täncüü baïx baïrlalyg oïrolcoogoortodorxoïlno.

Interwalyg tallan xuwaax argaÖgögdsön xL ba xR -iïn xuw´d f(xL) < 0 bolon f(xR) > 0 baïg.

1. xM = 12 (xL + xR) bolon f(xM )-g olox.

2. Xäräw |f(xM )| < ε bol iteraciïg zogsooj x∗-iïn oïrolcoo utgaarxM -iïg awna.3. Xäräw f(xM ) < 0 bol xL := xM (xR öörqlögdöxgüï), f(xM ) > 0 bolxR := xM (xL öörqlögdöxgüï). 1-r alxamd ²iljix.

Xuuramq baïrlalyn arga (²ugaman interpol¶ci)Ögögdsön xL ba xR-iïn xuw´d f(xL) < 0 bolon f(xR) > 0 baïg.

1. xS = xL −xR − xL

f(xR)− f(xL)f(xL) bolon f(xS)-g olox.

2. Xäräw |f(xS)| < ε bol iteraciïg zogsoono. x∗-iïn oïrolcoo utga n´xS bolno.3. Xäräw f(xS) < 0 bol xL := xS (xR öörqlögdöxgüï), f(xM ) > 0 bolxR := xS (xL öörqlögdöxgüï). 1-r alxam ruu ²iljix.

• f(xL) > 0, f(xR) < 0 üed däärx argyg mön xärägläj bolno.

N´µtony argax0 ∈ U(x∗) cäg ögögdsön bögööd f funkc differencialqlagddag baïg.

Tägiïg todorxoïlox toon arga 45

1. xk+1 = xk −f(xk)f ′(xk)

-g olox.

2. Xäräw |f(xk+1)| < ε bol iteraciïg zogsoono. x∗-iïn oïrolcoo utgan´ xk+1 bolno.3. k := k + 1 gäj üzääd 1-r alxam ruu ²iljix.

• Xäräw zarim k-iïn xuw´d f ′(xk) = 0 bol iteraciïg öör anxny x0 cägääsdaxin äxlüülnä.• |xL−xR| < ε äswäl |xk+1−xk| < ε ²injüüräär iteraciïg mön zogsoojbolno.

Tämdäg ül xaïxrax düräm.n∑k=0

akxk olon gi²üüntiïn äeräg ¶zguuruu-

dyn too n´ w äswäl w−2, w−4 baïna. Yünd w n´ ak koäfficientuudyntämdgää ääljlän sol´son too (tägiïg oruulaxgüï).

46 Näg xuw´sagqiïn funkc

Näg xuw´sagqiïn funkc

Yndsän oïlgoltuud

Df ⊂ IR mujiïn x älement bürt cor ganc y ∈ IR too xargalzuuldagy = f(x) buulgaltyg x ∈ IR xuw´sagqiïn f bodit funkc gänä.Tämdäglägää : f : Df → IR.

utgyn muj Wf = y ∈ IR | y = f(x) baïx ∃x ∈ Df

xarilcan näg y∈Wf älement büriïn xuw´d y = f(x) baïxutgataï funkc cor ganc x ∈ Df too oldono

urwuu funkc xäräw f n´ xarilcan näg utgataï funkc boly = f(x) baïx y → x buulgalt n´ mön xaril-can näg utgataï bögööd f -iïn urwuu funkc gäjnärlägddäg. Tämdäglägää: f−1 : Wf→ IR

Ösöx, täg² xämt bolon üet qanar

ösöx funkc f(x1) ≤ f(x2) ∀x1, x2 ∈ Df , x1 < x2

buurax funkc f(x1) ≥ f(x2) ∀x1, x2 ∈ Df , x1 < x2

ärs ösöx funkc f(x1) < f(x2) ∀x1, x2 ∈ Df , x1 < x2

ärs buurax funkc f(x1) > f(x2) ∀x1, x2 ∈ Df , x1 < x2

täg² funkc f(−x) = f(x) ∀ x ∈ (−a, a) ∩Df , a>0

sondgoï funkc f(−x) = −f(x) ∀ x∈(−a, a) ∩Df , a>0

üet funkc (p üetäï) f(x+ p) = f(x) ∀x, x+ p ∈ Df

• x∗ cägiïn ε orqin (= x∗ cägääs ε-aas baga zaïd or²ix büx cägüüdiïnolonlog) : Uε(x∗) = x ∈ IR : |x− x∗| < ε, ε > 0

Zaaglagdax qanar

däärääsää zaaglagdsan funkc ∃ K : f(x) ≤ K ∀x ∈ Df

dooroosoo zaaglagdsan funkc ∃ K : f(x) ≥ K ∀x ∈ Df

zaaglagdsan funkc ∃ K : |f(x)| ≤ K ∀x ∈ Df

Yndsän oïlgoltuud 47

Äkstremumyn qanaruud

supremum dääd torgon xil (xamgiïn baga dääd xilK); sup

x∈Df

f(x)

infimum dood torgon xil (xamgiïn ix dood xilK); inf

x∈Df

f(x)

global´ maksimumyn cäg f(x∗) ≥ f(x) ∀x ∈ Df baïx x∗∈Df cäg

global´ maksimum f(x∗) = maxx∈Df

f(x)

lokal´ maksimumyn cäg f(x∗) ≥ f(x) ∀x ∈ Df ∩ Uε(x∗) baïxx∗ ∈ Df cäg

global´ minimumyn cäg f(x∗) ≤ f(x) ∀x ∈ Df baïx x∗∈Df cäg

global´ minimum f(x∗) = minx∈Df

f(x)

lokal´ minimumyn cäg f(x∗) ≤ f(x) ∀ x ∈ Df ∩ Uε(x∗) baïxx∗ ∈ Df cäg

Muruïltyn qanaruud

güdgär funkc f(λx1 + (1− λ)x2) ≤ λf(x1) + (1− λ)f(x2)

ärs güdgär funkc f(λx1 + (1− λ)x2) < λf(x1) + (1− λ)f(x2)

xotgor funkc f(λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf(x1) + (1− λ)f(x2)

ärs xotgor funkc f(λx1 + (1− λ)x2) > λf(x1) + (1− λ)f(x2)

• Ädgäär täncätgäl bi²üüd duryn x1, x2 ∈ Df bolon λ ∈ (0, 1) toobüriïn xuw´d ünän baïna. Güdgär, xotgor qanaruud n´ λ = 0 bolon λ = 1üed mön xüqintäï.

Bodit funkciïn dürsläl

täg (¶zguur) f(x0)=0 bieläx x0∈Df too

funkciïn grafik f funkciïn xuw´d täg² öncögt koordi-natyn sistemiïn tuslamjtaïgaar IR2 xawt-gaï däär (x, y) = (x, f(x)) ärämbälägdsän xo-suud dürsläx

täg² öncögt koor- xämjääsäär xuwaagdsan, öör xoorondoodinatyn sistem ortogonal tänxlägüüdääs bürdäx xawtgaïn

koordinatyn sistem; tänxlägüüdiïg x, y-äärixäwqlän tämdäglääd xäwtää (absciss) bolonbosoo (ordinat) tänxläg gäj närlänä


ugaman funkc

a, b, λ ∈ IR baïg.

²ugaman funkc y = f(x) = ax

affin ²ugamanfunkc

y = f(x) = ax+ b

x

y

0 1− ba

a

b

y=ax+b

y=axa

ugaman funkciïn qanaruud

f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) f(λx) = λf(x) f(0) = 0

Affin ²ugaman funkciïn qanaruud

f(x1)− f(x2)x1 − x2

= a f

(− ba

)= 0, a 6= 0 f(0) = b

• Affin ²ugaman funkciïg ixäwqlän ²ugaman funkctäï adiltgajüzdäg.• Jigd xämjääsäär xuwaagdsan x, y tänxlägüüd büxiï koordinatyn sis-temd ²ugaman funkciïn grafik n´ ²uluun ²ugam baïna.

Kwadrat funkc y = f(x) = ax2 + bx + c (a 6= 0)

Diskriminant: D = p2 − 4q

änd p =b

a, q =

c

a

x

y

x1 −p2 x2

D>0

D=0

D<0

zguuruud

D > 0 : x1,2 =12

(−p±

√D)

2 bodit ²iïdtäï

D = 0 : x1 = x2 = −p2

dawxacsan 2 bodit ²iïdtäï

D < 0 : bodit ²iïdgüï

Olon gi²üünt 49

Äkstremumyn cägüüd

a > 0 : minimumyn cägtäï xmin = −p2

a < 0 : maksimumyn cägtäï xmax = −p2

• a > 0 (xargalzan a < 0) üed f funkc n´ ärs güdgär (xotgor) baïx-

aas gadna f -iïn grafik n´

(−p

2, −aD

4

)oroïtoï dää² (doo²) xarsan

parabol baïna.

Olon gi²üünt

pn(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0, an 6= 0, ai ∈ IR, n ∈ IN0

xälbäriïn y = pn(x) : IR → IR funkciïg büxäl racional funkc buµu nzärgiïn olon gi²üünt gänä.• Algebryn ündsän teorem ësoor n zärgiïn olon gi²üünt büriïg

pn(x) = an(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn−1)(x− xn)ürjwärdürsläl

xälbärt biqij bolno. xi n´ olon gi²üüntiïn bodit äswäl kompleks toon¶zguuruud. Kompleks ¶zguuruud n´ ürgälj xosmog xälbärtäïgää xamtbaïna. Olon gi²üüntiïn ürjwär xälbäriïn dürsläld (x − xi) ²ugamanürjwär p udaa orj baïwal xi-g p ärämbiïn ¶zguur gänä. Olon gi²üüntiïnbolon tüüniï ulamjlalyn utga n´ daraax tom³ëogoor bodogddog:

bn−1 := an, bi := ai+1 + abi+1, i = n− 2, . . . , 0, pn(a) = a0 + ab0

cn−2 := bn−1, ci := bi+1 + aci+1, i = n− 3, . . . , 0, p′n(a) = b0 + ac0

Gorneryn sxem

an an−1 an−2 . . . a2 a1 a0

a − abn−1 abn−2 . . . ab2 ab1 ab0

bn−1 bn−2 bn−3 . . . b1 b0 pn(a)

a − acn−2 acn−3 . . . ac1 ac0

cn−2 cn−3 cn−4 . . . c0 p′n(a)

Daraax xarćaa xüqintäï:

pn(x) = pn(a) + (x− a) · (bn−1xn−1 + bn−2x

n−2 + · · ·+ b1x+ b0)


Butarxaï racional funkc, ängiïn butarxaïn zadargaa

r(x) =pm(x)qn(x)

=amx

m + am−1xm−1 + · · ·+ a1x+ a0

bnxn + bn−1xn−1 + · · ·+ b1x+ b0, am 6= 0, bn 6= 0

xälbäriïn y = r(x) funkciïg butarxaï racional gänä. Tuxaïlbal m < nüed zöw racional m ≥ n üed zöw bi² racional gäj angilna.

• Zöw bi² butarxaï racional funkc n´ xuwaagq olon gi²üüntiïn tus-

lamjtaïgaar r(x) = p(x) + s(x) xälbärt biqigdänä. Änd p(x) n´ (asimp-tot) olon gi²üünt bolon s(x) n´ zöw bi² butarxaï racional funkc (I olon gi²üüntiïn ürjwär dürsläl).

r(x)-iïn xuwaariïg tägääs ¶lgaataï baïlgax olon gi²üüntiïn¶zguuruud xürtwäriïn büx ¶zguuruud

r(x)-iïn xürtwäriïg tägääs ¶lgaataï baïlgax xuwaariïn büxtuïluud ¶zguuruud bolon xürtwär däx dawxardlyn ärämbä n´

xuwaariïnxaas baga baïx xürtwär, xuwaariïn büxerönxiï ¶zguuruud

r(x)-iïn xürtwär däx dawxardlyn ärämbä n´ xuwaariïnxaaszasagdax ix baïx xürtwär, xuwaariïn büx erönxiï ¶zguuruudtasraltyncägüüd

Zöw butarxaï racional funkciïn ängiïn butarxaïn zadargaa

1.Xuwaar´ dax´ olon gi²üünt qn(x)-iïg bodit koäfficienttäï ²uga-man bolon xosmog kompleks ¶zguuruud büxiï kwadrat olon gi²üün-tüüdiïn ürjwär xälbäräär dürsläx:

qn(x) = (x− a)α(x− b)β . . . (x2 + cx+ d)γ . . .

2.Döxöx ²iïd

r(x) =A1

x− a+

A2

(x− a)2+ . . .+

Aα(x− a)α

+B1

(x− b)+

B2

(x− b)2

+ · · ·+ Bβ(x− b)β

+ . . .+C1x+D1

x2 + cx+ d+ · · ·+ Cγx+Dγ

(x2 + cx+ d)γ+ . . .

3.Ai, Bi, Ci, Di, . . . (bodit) koäfficientuudyg todorxoïlox :

a) Xamgiïn baga erönxiï xuwaar´ olood

b) xamgiïn baga erönxiï xuwaariar ürjüüläx.

c) x = a, x = b orluulgaar . . . Aα, Bβ , . . . oldono

d) Koäfficientuudyg xarćuulsnaar üldäx ül mädägdägqdiïnxuw´d ²ugaman täg²itgälüüd garna.

Iltgägq funkc 51

Iltgägq funkc

y = ax iltgägq funkc, a ∈ IR, a > 0a suur´

x iltgägq

Tuxaïn toxioldol a = e:

y = ex = exp(x) e suur´taï iltgägq funkc

Todorxoïlogdox muj: Df = IR

Utgyn muj: Wf = IR+ = y | y > 0

• y = ax iltgägq funkciïn urwuu n´ y = loga x logarifm funkc baïna(I x. 52).• üïldliïn dürmüüd I zärägt (x. 15)• a > 1 üed iltgägq funkciïn ösölt n´ y = xn zärägt funkctäï xarću-ulaxad ilüü baïna.

x

y

0

1

f(x)=ax

a>1

x

y

0

1

f(x)=ax

a<1

ösöx iltgägq funkc buurax iltgägq funkc

Sörög zäräg

a−x =(

1a

)x, a > 0

xuwirgaltaar sörög (äeräg) iltgägqtäï funkciïn utga n´ äeräg (sörög)iltgägqtäï funkciïn utgad ²iljinä.

Suur´ a, 0 < a < 1

b =1a

üed a−x = bx

dürmäär a, 0 < a < 1 suur´taï iltgägq funkciïg b, b > 1 suur´taïiltgägq funkcäd xuwirgaj bolno.


Logarifm funkc

y = loga x logarifm funkc, a ∈ IR, a > 1

x argument

a suur´

Tuxaïn toxioldol a = e:

y = lnx natural logarifm funkc

Tuxaïn toxioldol a = 10:

y = lg x arawtyn logarifm funkc

Todorxoïlogdox muj: Df = IR+ = x ∈ IR |x > 0

Utgyn muj: W = IR

• y = loga x utga n´ x = ay xarćaagaar todorxoïlogdono.

• Yïldliïn dürmüüd I logarifm (x. 15).

• y = loga x logarifmfunkciïn urwuu n´ iltgägqfunkc baïna (I x. 51). Ijilxämjääs büxiï x bolon ytänxlägüüdtäï koordinatynsistemd y = ax funkciïngrafik n´ y = x bissek-trissiïn xuw´d y = loga xfunkciïn grafiktaï täg²xämtäï baïna.

x

y

0 1

loga x

a > 1

ösöx logarifm funkc

Suur´ a, 0 < a < 1

b =1a

üed loga x = − logb x

dürmäär a, 0 < a < 1 suur´taï logarifm funkciïg b, b > 1 suur´taïlogarifm funkcäd ²iljüülj bolno.

Trigonometriïn funkcuud 53

Trigonometriïn funkcuud

Cacragiïn teorem ësoor kongruänt gur-waljnuudyn xuw´d taluudyn xarćaatäncüü baïdag. Täg² öncögt gurwaljnyxuw´d ädgäär xarćaa n´ al´ näg täg²bi² öncgöör näg utgataï todorxoïlogdono.Todorxoïlolt ësoor

·x

ac

b

sinx =a

c, cosx =

b

c, tanx =

a

b, cotx =

b

a.

Xäräw x n´ π2 bolon 2π-iïn xoorond baïx moxoo öncög bol a, b xärqmüüdiïn

tämdgiïg täg² öncögt koordinatyn sistemiïn baïrlalaar n´ toocno.

iljiltiïn bolon täg² xämiïn qanar

sin(π2 +x

)=sin

(π2− x

)=cosx sin(π+x)=− sinx

cos(π2 +x

)=− cos

(π2− x

)=− sinx cos(π+x)=− cosx

tan(π2 +x

)=− tan

(π2−x

)=− cotx tan(π+x)=tanx

cot(π2 +x

)=− cot

(π2−x

)=− tanx cot(π+x)=cotx

sin(

3π2 +x

)=− cosx cos

(3π2 +x

)=sinx

tan(

3π2 +x

)=− cotx cot

(3π2 +x

)=− tanx

Yet qanar

sin(x+ 2π) = sinx cos(x+ 2π) = cosx

tan(x+ π) = tanx cot(x+ π) = cotx

x

y

0 π2 π

1

−1

sinx cosx

x

y

0−π2

π2

tanx

cot x


Funkciïn zarim oncgoï utguud

Öncgiïn radian 0 π6

π4

π3

π2

xämjääs

Öncgiïn gradus 0 30 45 60 90

xämjääs

sinx 0 12

12

√2 1

2

√3 1

cosx 1 12

√3 1

2

√2 1

2 0

tanx 0 13

√3 1

√3 −

cotx −√

3 1 13

√3 0

Trigonometriïn funkcuudyn xuwirgalt (0 ≤ x ≤ π2 )

sinx cosx tanx cotx

sinx −√

1− cos2 xtanx√

1 + tan2 x

1√1 + cot2 x

cosx√

1− sin2 x − 1√1 + tan2 x

cotx√1 + cot2 x

tanxsinx√

1− sin2 x

√1− cos2 x

cosx− 1

cotx

cotx

√1− sin2 x

sinxcosx√

1− cos2 x1

tanx−

sin2 x+ cos2 x = 1, tanx=sinxcosx

(cosx 6=0), cotx=cosxsinx

(sinx 6=0)

Niïlbäriïn teoremuud

sin(x± y)=sinx cos y ± cosx sin y cos(x± y)=cosx cos y ∓ sinx sin y

tan(x± y)=tanx± tan y

1∓ tanx tan ycot(x± y)=

cotx cot y ∓ 1cot y ± cotx

Dawxar öncgiïn tom³ëonuud

sin 2x=2 sinx cosx=2 tanx

1 + tan2 xcos 2x=cos2 x−sin2 x=

1− tan2 x

1 + tan2 x

tan 2x=2 tanx

1− tan2 x=

2cotx−tanx

cot 2x=cot2 x−12 cotx

=cotx−tanx

2

Trigonometriïn urwuu funkcuud 55

Xagas öncgiïn tom³ëonuud (0 < x < π üed )

sinx

2=

√1− cosx

2tan

x

2=

√1− cosx1 + cosx

=sinx

1 + cosx=

1− cosxsinx

cosx

2=

√1 + cosx

2cot

x

2=

√1 + cosx1− cosx

=sinx

1− cosx=

1 + cosxsinx

Trigonometriïn funkcuudyn zärägtüüd

sin2 x =12(1− cos 2x) cos2 x =

12(1 + cos 2x)

sin3 x =14(3 sinx− sin 3x) cos3 x =

14(3 cosx+ cos 3x)

sin4 x =18(3− 4 cos 2x+ cos 4x) cos4 x =

18(3 + 4 cos 2x+ cos 4x)

Trigonometriïn urwuu funkcuud

• Trigonometriïn urwuu funkcuud n´ mön arktrigonometriïn funkcuudgäj närlägddäg. Ji²ää n´ x = sin y xarćaanaas y = arcsinx funkctodorxoïlogdono (ark sinus äswäl urwuu sinus).

x

y

0 1−1

π

π2

−π2

arcsinx

arccosx

x

y

0

−π2

π2

πarccot x

arctanx

Todorxoïlogdox bolon utgyn mujuud

trigonometriïn todorxoïlogdox utgyn

urwuu funkc muj muj

y = arcsinx −1 ≤ x ≤ 1 −π2≤ y ≤ π

2

y = arccosx −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π

y = arctanx −∞ < x <∞ −π2< y <

π

2y = arccotx −∞ < x <∞ 0 < y < π


Giperbollog funkcuud

y = sinhx =12(ex − e−x) − giperbollog sinus, Df = IR, Wf = IR

y = coshx =12(ex + e−x) − giperbollog konus, Df = IR, Wf = [1,∞)

y = tanhx =ex − e−x

ex + e−x− giperbollog tangens, Df =IR, Wf =(−1, 1)

y = cothx =ex + e−x

ex − e−x− giperbollog kotangens

Df = IR \0, Wf = (−∞,−1) ∪ (1,∞)

Urwuu giperbollog funkcuud

Giperbollog sinus, tangens, kotangens bolon baruun talt giperbollogkonus funkcuudyn urwuunuudyg urwuu giperbollog funkcuud gäj när-lädäg.

y = arsinhx − urwuu giperbollog sinus, Df = IR, Wf = IR

y = arcoshx − urwuu giperbollog kosinus, Df = [1,∞), Wf = [0,∞)

y = artanhx − urwuu giperbollog tangens, Df = (−1, 1), Wf = IR

y = arcothx − urwuu giperbollog kotangens,Df = (−∞,−1) ∪ (1,∞), Wf = IR \0

1 x

y

0

1

sinhxcoshx

tanhx

cothx

x

y

0 1

1

arsinhx

arcoshx

artanhx

arcothx

Ädiïn zasgiïn zarim funkcuud 57

Ädiïn zasgiïn zarim funkcuud

Tämdäglägää

x bütäägdäxüüniï too xämjää (nägjäär)

p bütäägdäxüüniï ünä (nägj toon xämjääniï möngön ilärxiïläl)

E ündäsniï orlogo, ündäsniï bütäägdäxüün(nägj xugacaany möngön ilärxiïläl)

Mikro bolon makro ädiïn zasgiïn funkcuud

x = x(p) ärältiïn funkc (üniïn xariultyn funkc);erönxiïdöö buurdag; x zaragdsan ba²aardagdax baraany too xämjää

p = p(x) niïlüülältiïn funkc, erönxiïdöö ösdög; x niïlüülj buï too xämjää

U(p) = x(p) · p ärgäc, borluulalt (ögööjiïn funkc, or-logyn funkc); p ünääs xamaarna

K(x) = Kf+Kv(x) togtmol ba xuw´sax zardlyn niïlbär boloxzardlyn funkc

k(x) =K(x)x

dundaj zardal; nägjiïn zardal

kf (x) =Kf

x dundaj togtmol zardal; nägjiïn togtmol

zardal

kv(x) =Kv(x)x

dundaj xuw´sax zardal; nägjiïn xuw´saxzardal

G(x)=U(x)−K(x) a²ig (üïl ajillagaany a²ig)

D(x)=U(x)−Kv(x) marjinal orlogo

g(x) =G(x)x

dundaj a²ig; nägjiïn a²ig

C = C(E) (makro ädiïn zasgiïn) xäräglääniï funkc,xäräglääniï baraany zardal; gol tölöw ös-dög funkc

S(E) = E − C(E) (makro ädiïn zasgiïn) xadgalamjiïnfunkc


• Dundaj funkc f(x) = f(x)x -iïn utga n´ koordinatyn äx ba grafikiïn

(x, f(x)) cägüüdiïg daïrsan ²uluuny öncgiïn koäfficienttäï täncüü.Änä n´ nägj x-d xargalzax funkciïn utgyg ilärxiïlnä.

• G(x) = 0 üed U(x) = K(x) täg²itgäliïg xangaj buï x cägiïg xugar-lyn cäg gäj närlänä. Änä cägiïg oloxdoo (xugarlyn cägiïn ²injilgää)oïrolcoo toocon bodox argyg a²igladag.

• Nägjiïn a²ig n´ nägjiïn ünä ba nägjiïn zardlyn ¶lgawartaïtäncüü: g(x) = p(x) − k(x). Nägjiïn marjinal orlogo n´ ünä ba nägjxuw´sax zardlyn ¶lgawar µm.

Logistik funkc

y = f(t) =a

1 + b · e−ct,

a, b, c > 0t

y

f(t)a1+b

a

Änä funkciïn xuw´d %f (t) = y′

y = p(a − y) bolon y′ = py(a − y) (I dif-ferencial täg²itgäl) xamaarluud bielnä. Yünd p proporcionaliïnkoäfficient, y impulsiïn xüqin züïl, (a−y) saaruulagq xüqin züïl.• Ösöltiïn xurd bolox %f (t) n´ duryn t xugacaand saaruulagq xüqinzüïltäï ²uud proporcional´. f funkciïn ösölt n´ impulsiïn bolonsaaruulagq xüqin züïlsiïn ürjwärtäï ²uud proporcional´.

Nööciïn funkc (xöröö ²üdät funkc)

y = f(t) = iS − S

Tt,

(i− 1)T ≤ t < iT,

T > 0, i = 1, 2, . . .tT

y

S

• Xugacaany iT , i = 0, 1, 2, . . . ag²ind aguulax n´ düürgägdsän üedbaraany (nööciïn) niïlüülält togtmol xugacaand [(i − 1)T, iT ) inter-waltaï xärägjinä.

Komperc-Makäxamyn funkc (möxliïn xuul´)

y = f(t) = a · bt · cdt

, a, b, c ∈ IR, d > 0

• Änä funkc n´ y′ = p(t)y (I differencial täg²itgäl) täg²itgäliïgp(t) = p1 + p2 · dt = ln |b|+ ln |c| · ln d · dt proporcionaliïn koäfficient-taïgaar xangadag. [t, t+dt] xugacaand xorogdox xün amyn too n´ t nasandam´darq buï y=f(t) xün amyn tootoï proporcional´.

Ädiïn zasgiïn zarim funkcuud 59

Yeqilsän xälbälzältäï xandlagyn funkc

y = f(t) = a+ bt+ c · sin dt,

a, b, c, d ∈ IR

t

y

0 πd

a

a+ bt

f(t)

• Ulirlyn (jiliïn) xälbälzliïg todor-xoïlj buï sin dt üet funkctäï ²ugamanxandlagyn a+ bt funkc dawxacna.

Tasraltgüï (äksponencial´) ösölt

y = f(t) = a0 · qαt

Änä funkc n´ cag xugacaanaas xamaarsan ösöltiïn tölöw baïdlyg (xünam, möngön xöröngö gäx mät) ilärxiïlnä; üünd a0 t = 0 üeiïn anxnyutga, α ösöltiïn xurd.

Örgötgösön äksponencial´ ösölt

y = f(t) = a+ b · qt,a, b > 0, q > 1

• Funkc bolon funkciïn öörqlöltiïn (ösöltiïn) xurd %f (t) =y′

y(I x.

68) n´ xoëulaa ösdög. Tüünqlän limt→∞

%f (t) = ln q.

Kobb-Duglasyn üïldwärläliïn funkc (näg orctoï toxioldold)

Togtmol mädrämjtäï funkc (I x. 68)

x = f(r) = c · rα, c, α > 0

r orc ba garcyn (too xämjääniï nägjiïn xuw´d) xoorondox xamaarlygilärxiïlnä (I x. 116).

X¶zgaarlalttaï üïldwärläliïn funkc (näg xüqin züïliïn xuw´d)

x = f(r) =a · r if r ≤ r

b if r > r,a, b > 0

• Änä funkc n´ näg xüqin züïliïg togtmol gäj üzsän üed busad xüqinzüïlsääs xamaardag.

60 Näg xuw´sagqiïn funkciïn differencial toolol

Näg xuw´sagqiïn funkciïn differencial toolol

Funkciïn x¶zgaar

x0 cäg rüü niïldäg xn∈Df baïx duryn xn daraallyn xuw´d limn→∞

f(xn)=a bol a ∈ IR toog x0 cäg däärx f funkciïn x¶zgaar gänä. Tämdäglägää:limx→x0

f(x)=a (äswäl x→ x0 üed f(x) → a).

• Däärx todorxoïloltod nämält xn>x0 (xn<x0) x¶zgaarlasan nöxcölbieldäg bol baruun öröösgöl (züün öröösgöl) x¶zgaaryn tuxaï ¶rigdana.Tämdäglägää: lim

x↓x0f(x) = a ( lim

x↑x0f(x) = a). Funkciïn x¶zgaar or²dog bol

baruun bolon züün öröösgöl x¶zgaaruud täncüü.

• Xäräw f(xn) daraalal sarnidag bol f funkciïg x0 cäg däär x¶z-gaargüï gänä. Xäräw funkciïn utga ¶mar näg cäg däär x¶zgaarlaltgüïösdög (buurdag) (örgötgösön x¶zgaar) bol lim

x→x0f(x) = ∞ (xargalzan

−∞) tämdägläl xäräglägddäg.

X¶zgaaryn üïldliïn dürmüüd

Xäräw limx→x0

f(x) = a bolon limx→x0

g(x) = b x¶zgaaruud or²dog bol:

limx→x0

(f(x)± g(x)) = a± b, limx→x0

(f(x) · g(x)) = a · b,

limx→x0

f(x)g(x)

=a

b, g(x) 6= 0, b 6= 0.

00bolon ∞

∞ xuw´d Lopitaliïn düräm

f, g funkcuud x0 cägiïn orqind differencialqlagdaad limx→x0

f ′(x)g′(x) =

K (tögsgölgüï utga awq bolno) x¶zgaar or²dog, mön g′(x) 6= 0 baïg.limx→x0

f(x) = 0, limx→x0

g(x) = 0 äswäl limx→x0

|f(x)| = limx→x0

|g(x)| = ∞ nöx-

clüüdiïn al´ näg n´ bieldäg bol limx→x0

f(x)g(x) = K xarćaa xüqintäï.

• x→ ±∞ toxioldol bolomjtoï.

• 0·∞ äswäl∞−∞ toxioldluud n´ 00 ,

∞∞ xälbärüüdiïn al´ nägd ²iljinä.

00,∞0 äswäl 1∞ toxioldluud n´ f(x)g(x) = eg(x) ln f(x) xuwirgaltaar 0 ·∞xälbärt ²iljinä.

Tasraltgüï qanar 61

Zarim quxal x¶zgaaruud

limx→±∞

1x

= 0, limx→∞

ex = ∞, limx→−∞

ex = 0,

limx→∞

xn = ∞ (n ≥ 1), limx→∞

lnx=∞, limx↓0

lnx = −∞,

limx→∞

xn

eαx= 0 (α ∈ IR, α > 0, n∈ IN), lim

x→∞qx = 0 (0 < q < 1),

limx→∞

qx = ∞ (q > 1), limx→∞

(1+

α

x

)x= eα (α∈ IR)

Tasraltgüï qanar

limx→x0

f(x) = f(x0) bieldäg bol f : Df → IR funkciïg x0 ∈ Df cäg däär

tasraltgüï gänä.

• Än qacuu todorxoïlolt: duryn (xangalttaï baga) ε> 0 toony xuw´dδ > 0 too oldood |x−x0|< δ üed |f(x)−f(x0)|< ε nöxcöl bieldäg bol ffunkciïg x0 cäg däär tasraltgüï.

• Xäräw x ∈ Df cäg bür däär funkc tasraltgüï bol tüüniïg tasraltgüïfunkc gädäg.

Tasraltyn qanaruud

tögsgölög üsrält limx↓x0

f(x) 6= limx↑x0

f(x)

tögsgölgüï üsrält al´ näg öröösgöl x¶zgaar n´ tögsgölgüï

tuïl ∣∣ limx↓x0

f(x)∣∣ = ∣∣ lim

x↑x0f(x)

∣∣ = ∞

p ∈ IN ärämbiïntuïl

limx→x0

(x− x0)pf(x) x¶zgaar or²dog, tägääs

¶lgaataï, tögsgölög baïx x0 cägzasagdaxtasralt

limx→x0

f(x) = a or²dog bolowq f n´ x = x0 däär

todorxoïlogdoogüï äswäl f(x0) 6= a

• Butarxaï racional funkciïn xuw´d xürtwäriïg tägääs ¶lgaataï baïl-gax xuwaariïn ¶zguur boldog cägüüd tuïl bolno (I butarxaï racionalfunkc, x. 50).

Tasraltgüï funkciïn qanaruud

• f bolon g funkcuud xargalzan Df , Dg mujuud däär tasraltgüï bol

f + g, f − g, f · g bolon f

gfunkcuud Df ∩Dg muj däär tasraltgüï baïna

(süüliïn funkciïn xuw´d g(x) 6= 0).


• f funkc [a, b] bitüü zawsart tasraltgüï bol fmax xamgiïn ix bolon fmin

xamgiïn baga utguudaa ögögdsön zawsar däär awna. fmin bolon fmax-iïnxoorond or²ix too bür ¶daj näg cäg däärx funkciïn utgataï täncüü.

Tasraltgüï funkciïn x¶zgaaryn xuw´d üïldliïn dürmüüd

Xäräw f tasraltgüï bol limx→x0

f(g(x)) = f

(limx→x0

g(x)).

Tuxaïn toxioldluud:

limx→x0

(f(x))n =(

limx→x0

f(x))n

, limx→x0

af(x) = a

(lim

x→x0f(x)

), a > 0

limx→x0

ln f(x) = ln(

limx→x0

f(x)), f(x) > 0

Differencialqlal

lgawart xarćaa bolon ulamjlal

∆y

∆x=f(x+∆x)− f(x)

∆x= tanβ

dy

dx= lim∆x→0

f(x+∆x)− f(x)∆x

= tanα

Xäräw däärx x¶zgaar or²dog bolf funkciïg x cäg däär differen-cialqlagddag gänä. Änä toxioldold ugfunkc n´ mön tasraltgüï. Xäräw ∀x ∈ Df

xuw´d f differencialqlagddag boltüüniïg Df däär differencialqlagddaggänä.

x

s

s

x x+∆x

f(x+∆x)

f(x)αβ

Däärx x¶zgaaryg ulamjlal gäj närlääddy

dx-äär (äswäl

df

dx, y′(x), f ′(x))

tämdägläe.∆y

∆x¶lgawart xarćaa n´ (x, f(x)) bolon (x+∆x, f(x+∆x))

cägüüdiïg daïrsan ogtlogqiïn öncgiïn koäfficientiïg todorxoïlno.

Differencialqlal 63

Ulamjlal n´ f funkciïn grafikiïn xuw´d (x, f(x)) cäg däär tatsan²ürgägqiïn öncgiïn koäfficient bolno.

Ulamjlalyn dürmüüd

funkc ulamjlal

togtmol ürjigdäxüün a · u(x) a · u′(x), a bodit too

niïlbäriïn düräm u(x)± v(x) u′(x)± v′(x)

ürjwäriïn düräm u(x) · v(x) u′(x) · v(x) + u(x) · v′(x)

noogdworyn dürämu(x)v(x)

u′(x) · v(x)− u(x) · v′(x)[v(x)]2

oncgoï toxioldol:1

v(x)− v′(x)

[v(x)]2

dawxar funkciïnu(v(x)) (xarg.y=u(z), z=v(x)) u′(z) · v′(x)

(dydx = dy

dz ·dzdx

)düräm

urwuu funkcäärdifferencialqlax

f(x)1

(f−1)′(f(x))

(dy

dx= 1/

dx

dy

)

logarifmdifferencialqlal

f(x) (ln f(x))′ · f(x)

dald funkc F (x, y) = 0 baïxy=f(x) ögögdsön

f ′(x) = −Fx(x, y)Fy(x, y)

erönxiï iltgägqfunkc

u(x)v(x) (u > 0) u(x)v(x)×

×(v′(x) lnu(x) + v(x)

u′(x)u(x)

)


• Xäräw urwuu äswäl ln f(x) funkc n´ anxny funkcaas ilüü x¶lbar za-maar differencialqlagddag bol urwuu bolon logarifm funkciïn dif-ferencialqlal xäräglägdänä.

Differencialqlal 65

Älementar funkcuudyn ulamjlaluud

f(x) f ′(x) f(x) f ′(x)

c = togtmol 0 lnx1x

x 1 loga x1

x · ln a=

1x

loga e

xn n · xn−1 lg x1x

lg e

1x

− 1x2

sinx cosx

1xn

− n

xn+1cosx − sinx

√x

12√x

tanx 1 + tan2 x =1

cos2 x

n√x

1n

n√xn−1

cotx −1− cot2 x = − 1sin2 x

xx xx(lnx+ 1) arcsinx1√

1− x2

ex ex arccosx − 1√1− x2

ax ax ln a arctanx1

1 + x2

arccotx − 11 + x2

sinhx coshx

coshx sinhx tanhx 1− tanh2 x

cothx 1− coth2 x arsinhx1√

1 + x2

arcoshx1√

x2 − 1artanhx

11− x2

arcothx − 1x2 − 1


Differencial

x0 cäg däär differencialqlagddag f funkciïn xuw´d

∆y = ∆f(x0) = f(x0 +∆x)− f(x0) = f ′(x0) ·∆x+ o(∆x)

tom³ëo xüqintäï. Änd o(·) (baga o) n´ lim∆x→0

o(∆x)∆x

= 0 xarćaa bieläx

Landaugiïn tämdägt.

dy = df(x0) = f ′(x0) ·∆x

äswäl

dy = f ′(x0) · dx

gäj todorxoïlogdox xarćaag ffunkciïn x0 cäg däärx differencialgänä. Änä n´ x0 argumentyg ∆x-ääröörqlöxöd funkciïn ösöltiïn golxäsgiïg todorxoïldog:

∆f(x0) ≈ f ′(x0) ·∆x .

x

yf(x)

x0 x0+∆x

dy

∆y

I ärämbiïn ulamjlalyn ädiïn zasgiïn utga

• Ädiïn zasagt funkciïn I ärämbiïn ulamjlyg axiu funkc (üzüülält)gäj närlädäg. Änä n´ ül xamaarax x-iïg näg nägjäär nämägdüüläxäd, ö.x.∆x = 1 (Idifferencial) üed funkciïn utgyn öörqlöltiïg oïrolcoo-goor ilärxiïlnä. Axiu funkciïn gol sanaa n´ daraax tom³ëo µm.

∆f(x) = f(x+ 1)− f(x)

• Axiu funkciïn tuslamjtaïgaar ädiïn zasgiïn asuudluudyg sudlaxn´ axiu ²injilgäänd xamaardag. Iïmd xuw´sagqdyn nägjiïg todorx-oïlox n´ quxal. Tuxaïlbal:

f ′-iïn xämjix nägj = f -iïn xämjix nägj / x-iïn xämjix nägj

Öörqlöltiïn xämjää bolon mädrämj 67

Ädiïn zasgiïn funkcuudyn xämjix nägj ba axiu funkcuud

t.n. too xämjääniï nägj, m.n. möngöniï nägj, x.n. xugacaany nägj

funkc f -iïn x-iïn xäm- axiu funkc f ′-iïnf(x) nägj jix nägj f ′(x) nägj

zardal m.n. t.n. axiu zardalm.n.

t.n.

nägjiïnzardal

m.n.

t.n.t.n. nägjiïn axiu

zardal

m.n./t.n.

t.n.

ärgäc, borluu-lalt(toon xa-maaraltaï)

m.n. t.n. axiu ärgäcm.n.

t.n.

ärgäc (ünääsxamaaraltaï)

m.n.m.n.

t.n.axiu ärgäc m.n.

m.n./t.n.

üïldwärläliïnfunkc

t.n.(1) t.n.(2) axiubütäägdäxüün

t.n.(1)

t.n.(2)

dundaj ögööjt.n.(1)

t.n.(2)t.n.(2)

axiu dundajögööj

t.n.(1)/t.n.(2)

t.n.(2)

a²ig m.n. t.n. axiu a²ig m.n./t.n.

nägjiïn a²ig m.n./t.n. t.n. nägjiïn axiua²ig

m.n./t.n.

t.n.

xäräglääniïfunkc

m.n./x.n.m.n.

x.n.axiuxäräglääniïxarćaa

100%

xadgalamjm.n.

x.n.

m.n.

x.n.axiuxadgalamjiïnxarćaa

100%


Öörqlöltiïn xämjää bolon mädrämj

Oïlgoltuud

∆x

x x-iïn dundaj xarćanguï

öörqlölt (x 6= 0)

∆f(x)∆x

=f(x+∆x)− f(x)

∆x f -iïn dundaj xarćanguï

öörqlölt (¶lgawart xarćaa)

Rf (x) =∆f(x)∆x

· 1f(x)

f -iïn x cäg däärx öörqlöltiïndundaj xämjää

Ef (x) =∆f(x)∆x

· x

f(x) f -iïn x cäg däärx dundaj mädrämj

%f (x) = lim∆x→0

Rf (x) =f ′(x)f(x)

f -iïn x cäg däärx öörqlöltiïnxämjää; ösöltiïn xämjää

εf (x) = lim∆x→0

Ef (x) = x · f′(x)f(x)

f -iïn x cäg däärx (cägän) mädrämj

• Dundaj mädrämj ba mädrämj n´ x bolon f(x)-iïn xämjääsiïn nägjiïnsongoltoos xamaaraxgüï (xämjääsgüï xämjigdäxüün) µm.Mädrämj n´ x-iïg 1%-aar ixäsgäxäd f(x)-iïn öörqlöltiïn xuwiïg (xarćanguï öörqlölt)oïrolcoogoor todorxoïldog.

• Xäräw y = f(t) n´ t xugacaanaas xamaarsan ädiïn zasgiïn xämjigdäxüüniïösöltiïg (öörqlölt) todorxoïldog bol %f (t) n´ t ag²in dax´ xugacaanynägj öörqlöltöd f(t)-iïn oïrolcoo öörqlöltiïn xuwiïg zaana.

• f funkc n´ (x cäg däär)

mädrämjtäï xäräw |εf (x)| > 1 f(x) n´ x-ääs xarćanguïxüqtäï öörqlögddög,

proporcionalmädrämjtäï

xäräw |εf (x)| = 1 x bolon f(x)-iïn xarćan-guï öörqlöltüüd oïrolcoo-goor täncüü,

mädrämjgüï xäräw |εf (x)| < 1 f(x) n´ x-ääs xarćanguï sulöörqlögddög,

tögs mädrämjgüï xäräw εf (x) = 0 ²ugaman döxöltiïn üedx öörqlögdöxöd f(x) n´öörqlögdöxgüï bol

gäj tus tus närlägdänä.

Öörqlöltiïn xämjää bolon mädrämj 69

Mädrämj bolon öörqlöltiïn xämjääniï xuw´d üïldliïn dür-müüd

düräm mädrämj öörqlöltiïn xämjää

togtmolxämjigdä-xüün

εcf (x) = εf (x) (c ∈ IR) %cf (x) = %f (x) (c ∈ IR)

niïlbär εf+g(x) = f(x)εf (x)+g(x)εg(x)f(x)+g(x) %f+g(x) = f(x)%f (x)+g(x)%g(x)

f(x)+g(x)

ürjwär εf ·g(x) = εf (x) + εg(x) %f ·g(x) = %f (x) + %g(x)

noogdwor ε fg(x) = εf (x)− εg(x) % f

g(x) = %f (x)− %g(x)

dawxarfunkc

εfg(x) = εf (g(x)) · εg(x) %fg(x) = g(x)%f (g(x))%g(x)

urwuufunkc

εf−1(y) =1

εf (x)%f−1(y) =

1εf (x) · f(x)

Dundaj funkciïn mädrämj

εf (x) = εf (x)− 1 f dundaj funkc (f(x) =f(x)x

, x 6= 0)

• Xäräw tuxaïn toxioldold U(p) = p · x(p) n´ güïlgää bolon x(p) n´ärältiïg todorxoïldog bol U(p) = x(p) uqir ärältiïn üniïn mädrämjn´ güïlgääniï üniïn mädrämjääs ürgälj nägäär baga baïna.

Amoros-Robinsony erönxiï täg²itgäl

f ′(x) = f(x) · εf (x) = f(x) ·(1 + εf (x)

)Amoros-Robinsony tuxaïn täg²itgäl

V ′(y) = x ·(

1 +1

εN (x)

)x ünä,y = N(x) ärält,N−1 N -iïn urwuu funkc,U(x) = x ·N(x) = V (y) = y ·N−1(y) güïlgääV ′ marjinal güïlgää,εN (x) güïlgääniï üniïn mädrämj


Dundaj utgyn teorem

Differencial toollyn dundaj utgyn teorem

f funkc n´ [a, b] däär tasraltgüï bolon (a, b) däär differencialqlagddag

bolf(b)− f(a)

b− a= f ′(ξ) nöxcöl bieläx (¶daj näg) ξ ∈ (a, b) too

oldono.

Differencial toollyn erönxiï dundaj utgyn teorem

f , g funkcuud n´ [a, b] xärqim däär tasraltgüï bolon (a, b) däär differen-

cialqlagddag baïg. Mön x ∈ (a, b) büriïn xuw´d g′(x) 6= 0 bieldäg bol

f(b)− f(a)g(b)− g(a)

=f ′(ξ)g′(ξ)

nöxcliïg xangax (¶daj näg) ξ ∈ (a, b) too oldono.

Dääd ärämbiïn ulamjlaluud bolon Teïloryn zadargaa

Dääd ärämbiïn ulamjlaluud

f ′, f ′′ := (f ′)′, f ′′′ := (f ′′)′, . . . , f (n) := (f (n−1))′ ulamjlaluud n´ or²inbaïdag bol f funkciïg n udaa differencialqlagdddag gänä; f (n)-iïg f -iïn n-r ärämbiïn ulamjlal (n = 1, 2, . . .) gäj un²ixaas gadna f (0)-oorf -iïg oïlgono.

Teïloryn teorem

f funkc n´ x0 cägiïn Uε(x0) orqind n + 1 udaa differencialqlagddagbaïg. Mön x ∈ Uε(x0) gäj üzé. Tägwäl

f(x) = f(x0) +f ′(x0)

1!(x− x0) +

f ′′(x0)2!

(x− x0)2 + . . .

+f (n)(x0)

n!(x− x0)n +

f (n+1)(ξ)(n+ 1)!

(x− x0)n+1

bieläx ξ too (dundaj utga) x0 bolon x-iïn xoorond oldox bögöödsüüliïn gi²üün n´ Lagranjiïn xälbär däx üldägdäl gäj närlägdäädf(x)-iïg däärx n zärgiïn olon gi²üüntäär solixod garax aldaag todor-xoïldog.

• Mön (x cäg däärx zadargaand x0 cägiïn orond x+ζh, 0 < ζ < 1 dundajutgyg a²iglax zamaar) daraax tom³ëogoor ögögdöj bolno

f(x+h)=f(x) +f ′(x)

1!h+

f ′′(x)2!

h2 +. . .+f (n)(x)n!

hn+f (n+1)(x+ζh)

(n+ 1)!hn+1

Dääd ärämbiïn ulamjlaluud bolon Teïloryn zadargaa 71

• Teïloryn tom³ëony Makloreny xälbär (x0 = 0, ζx, 0<ζ < 1 -dundajutga):

f(x)=f(0) +f ′(0)

1!x+

f ′′(0)2!

x2 + . . .+f (n)(0)n!

xn +f (n+1)(ζx)(n+ 1)!

xn+1

Älementar funkcuudyn Teïloryn tom³ëonuud ( x0 = 0 cägdäärx zadargaa)

funkc Teïloryn olon gi²üünt üldägdäl gi²üün

ex 1 + x+x2

2!+x3

3!+ . . .+

xn

n!eζx

(n+ 1)!xn+1

ax

(a > 0) 1 +ln a1!x+ . . .+

lnn an!

xnaζx(ln a)n+1

(n+ 1)!xn+1

sinx x− x3

3!± . . .+ (−1)n−1 x2n−1

(2n−1)!(−1)n

cos ζx(2n+ 1)!

x2n+1

cosx 1− x2

2!+x4

4!∓ . . .+ (−1)n

x2n

(2n)!(−1)n+1 cos ζx

(2n+ 2)!x2n+2

ln(1 + x) x− x2

2+x3

3∓ . . .+ (−1)n−1x

n

n(−1)n

xn+1

(1 + ζx)n+1

11 + x

1− x+ x2 − x3 ± . . .+ (−1)nxn(−1)n+1

(1 + ζx)n+2xn+1

(1 + x)α 1 +(α1

)x+ . . .+

(αn

)xn

(α

n+1

)(1+ζx)α−n−1xn+1

Oïrolcoo tom³ëonuud

Xangalttaï baga x-iïn xuw´d, ö. x. xäräw |x| 1 bol x0 = 0 cägdäärx Teïloryn olon gi²üüntiïn ündsän gi²üüd n´ (xargalzan ²uga-man bolon kwadratlag döxölt) xäräglääniï olon toxioldold xangalttaï


oïrolcoo döxölt boldog. Xüsnägtääs |x| ≤ a üed aldaa n´ ε < 0, 001 baïxbolomjit a x¶zgaaruudyg xarj bolno (I Teïloryn cuwaa).

Funkcuudyn döxöltiïn tom³ëonuudyn xüsnägt

funkc, tüüniï döxöltiïn tom³ëo bolomjit x¶zgaar a

11 + x

≈ 1− x 0, 031

1n√

1 + x≈ 1− x

n0, 036

√n (x > 0)

sinx ≈ x 0,181

tanx ≈ x 0,143

ax ≈ 1 + x ln a 0, 044 · (ln a)−1

n√

1 + x ≈ 1 +x

n

(1 + x)α ≈ 1 + αx

cosx ≈ 1− x2

20,394

ex ≈ 1 + x 0,044

ln(1 + x) ≈ x 0,045

Ulamjlaluudyn tuslamjtaïgaar funkciïg angilax

Monoton qanar

f funkc [a, b] zawsart todorxoïlogdson bögööd ulamjlaltaï baïg. Tägwäl

f ′(x) = 0 ∀x ∈ [a, b] ⇐⇒ f n´ [a, b] däär togtmol

f ′(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b] ⇐⇒ f n´ [a, b] däär ösöx

f ′(x) ≤ 0 ∀x ∈ [a, b] ⇐⇒ f n´ [a, b] däär buurax

f ′(x) > 0 ∀x ∈ [a, b] =⇒ f n´ [a, b] däär ärs ösöx

f ′(x) < 0 ∀x ∈ [a, b] =⇒ f n´ [a, b] däär ärs buurax

Ulamjlaluudyn tuslamjtaïgaar funkciïg angilax 73

• Süüliïn 2 qanaryn urwuu ögüülbärüüd n´ zöwxön sularsan xälbärtxüqintäï: xäräw f n´ [a, b] däär ärs ösöx (buurax) funkc bol f ′(x) ≥ 0(xargalzan f ′(x) ≤ 0) baïna.

Äkstremumyn zaïl²güï nöxcöl

Xäräw f funkc x0 ∈ (a, b) cäg däär (lokal´ äswäl global´) äkstremumyn

cägtäïgääs gadna änä cäg däär differencialqlagddag bol f ′(x0) = 0baïna. Änä täg²itgäliïg xangax x0 cäg büriïg f funkciïn säjigtäïcägüüd gädäg.

• Däärx qanar zöwxön f funkc differencialqlagddag cägüüd däärxäräglägdänä. Todorxoïlogdox mujiïn xiliïn bolon f funkc differ-encialqlagddaggüï cägüüd n´ mön äkstremumyn cäg baïj bolno.

Äkstremumyn xürälcäätäï nöxcöl

Xäräw f funkc (a, b) ⊂ Df zawsart n udaa differencialqlagddag bolonn n´ täg² too üed

f ′(x0) = f ′′(x0) = . . . = f (n−1)(x0) = 0, f (n)(x0) 6= 0 xarćaanuud

bieldäg bol f n´ x0 ∈ (a, b) cäg däär äkstremumyn cägtäï baïna.

x0 cägiïn xuw´d f (n)(x0)< 0 bieldäg bol maksimumyn, f (n)(x0)> 0 üedminimumyn cäg bolno.

• Tuxaïlbal :

f ′(x0) = 0 ∧ f ′′(x0) < 0 =⇒ f funkc n´ x0 cäg däär lokal´maksimumtaï,

f ′(x0) = 0 ∧ f ′′(x0) > 0 =⇒ f funkc n´ x0 cäg däär lokal´minimumtaï.

• Xäräw f funkc n´ a, b xiliïn cägüüd däär tasraltgüï, differen-cialqlagddag bol

f ′(a) < 0 (f ′(a) > 0) =⇒ f funkc n´ a cäg däär lokal´maksimumtaï (minimum),

f ′(b) > 0 (f ′(b) < 0) =⇒ f funkc n´ b cäg däär lokal´maksimumtaï (minimum).

• Xäräw f funkc x0 säjigtäï cägiïn Uε(x0) = x | |x − x0| < ε, ε > 0orqind differencialqlagdaad änä cäg däärx f ′ ulamjlal n´ tämdgääöörqildög bol x0 n´ äkstremumyn cäg bolno. Tuxaïlbal x < x0 üed


f ′(x) > 0 bolon x > x0 üed f ′(x) < 0 bol maksimumyn cäg, xäräw ulamjla-lyn tämdäg n´ sörögöös äeräg rüü ²iljdäg bol lokal´ minimumyn cäg.

• Xäräw Uε(x0) orqind f ′-iïn tämdäg öörqlögdöxgüï togtmol bol ffunkc n´ x0 cäg däär äkstremumgüï. Änä toxioldold bosoo nugaral-tyn cägtäï gäj ¶r´dag.

Ösöx qanar

• Xäräw [a, b] zawsart f ′(x) > 0 bolon f ′′(x) ≥ 0 nöxclüüd bieldäg bol ffunkciïg ösdög güdgär , f ′(x) > 0 bolon f ′′(x) ≤ 0 nöxclüüd bieläx üedösdög xotgor gänä.

Funkciïn muruïltyn ²inj qanaruud

f funkc n´ (a, b) zawsart 2 udaa differencialqlagddag baïg. Tägwäl

f n´ (a, b) zawsart ⇐⇒ f ′′(x) ≥ 0∀x ∈ (a, b)

güdgär funkc ⇐⇒ f(y)− f(x) ≥ (y − x)f ′(x)∀x, y ∈ (a, b)

f n´ (a, b) zawsart ⇐= f ′′(x) > 0∀x ∈ (a, b)ärs güdgär funkc ⇐⇒ f(y)− f(x) > (y − x)f ′(x)∀x, y ∈ (a, b), x 6= y

f n´ (a, b) zawsart ⇐⇒ f ′′(x) ≤ 0∀x ∈ (a, b)

xotgor funkc ⇐⇒ f(y)− f(x) ≤ (y − x)f ′(x)∀x, y ∈ (a, b)

f n´ (a, b) zawsart ⇐= f ′′(x) < 0∀x ∈ (a, b)ärs xotgor funkc ⇐⇒ f(y)− f(x) < (y − x)f ′(x)∀x, y ∈ (a, b), x 6= y

Muruïlt

Muruïn qigläl ba x tänxlägiïn xoorondox α öncgiïn öörqlölt∆α bolonbürxsän numyn urtyn öörqlölt ∆s iïn xarćaany ∆s → 0 üeiïn x¶z-gaaryg muruïn muruïlt gänä:

C = lim∆s↓0

∆α

∆s.

Ädiïn zasgiïn funkciïn ²injilgää, a²giïn maksimum 75

muruïn dürsläl muruïlt C

täg² öncögt sistemiïnf ′′(x)

(1 + (f ′(x))2)3/2

xälbär y = f(x)

parametrt xälbärx(t)y(t)− y(t)y(t)

(x2(t) + y2(t))3/2

x = x(t), y = y(t) änd x(t) =dx

dt, y(t) =

dy

dt

• Muruïlt C n´ y = f(x) muruïg P (x, f(x)) cägt ²ürgäx toïrgiïnradiusyn urwuutaï täncüü baïna.

• Xäräw muruï güdgär bol muruïlt C sörög bi², xotgor bol äeräg bi²baïna.

Nugaraltyn cägiïn zaïl²güï nöxcöl

Xäräw f funkc (a, b) zawsart 2 udaa differencialqlagdaad xw cäg däärnugaraltyn cägtäï (güdgär bolon xotgor baïx zawsruudyn uulzwar cäg)

bol f ′′(xw) = 0.

Nugaraltyn cägiïn xürälcäätäï nöxcöl

f n´ (a, b) zawsart 3 udaa tasraltgüï differencialqlagddag funkc baïg.

f ′′(xw) = 0 nöxcliïg xangax xw-iïn xuw´d f ′′′(xw) 6= 0 nöxcöl bieldäg

bol nugaraltyn cäg bolno.

Ädiïn zasgiïn funkciïn ²injilgää, a²giïn maksimum

Tämdäglägää

f(x) =f(x)x

dundaj funkc

f ′(x) axiu funkc

K(x) = Kv(x) +Kf niït zardal=xuw´sax zardal + togtmol zardal

k(x) =K(x)x

nägjiïn niït zardal

kv(x) =Kv(x)x

nägjiïn xuw´sax zardal

G(x) = U(x)−K(x) a²ig = borluulalt − zardal

g(x) =G(x)x

nägjiïn a²ig

• x = 1 üed f(1) = f(1) tul funkciïn utga n´ dundaj utgataï ijilbaïna.


Dundaj bolon axiu funkc

f ′(x) = 0 =⇒ f ′(x) = f(x) (onowqtoï baïxzaïl²güï nöxcöl)

• Dundaj funkc n´ axiu funkctäï täncüü cäg däär l äkstremumyncägtäï baïna.

Tuxaïlbal: K ′v(xm) = kv(xm) = kv,min

• Xamgiïn baga dundaj zardlyn xm cäg däär nägjiïn axiu zardal bolonxuw´sax zardal n´ täncüü (bogino xugacaany dood ünä, dald üniïn x¶z-gaar).

K ′(x0) = k(x0) = kmin

• Nägjiïn xamgiïn baga niït zardlyn xuw´d axiu zardal bolon dundajzardal xoorondoo täncüü (onowqtoï zardal; urt xugacaany dood ünä).

Polipol´ ba monopol´ zax zääl däx a²giïn maksimum

G(x) = U(x) −K(x) = p · x −K(x) → max gäsän äkstremal´ bodlogyn²iïd n´ x∗ bolog.

• Polipol´ (tögs örsöldöönt) zax zääld niïlüülägqiïn talaas bütäägdäxüüniïünä p-g togtmol gäj üznä. Monopol´ (niïlüülältiïn) zax zääld üniïnfunkc p = p(x) n´ zax zääliïn niït ärältiïn funkc bolno.

Polipol´; niït a²giïn maksimum

K ′(x∗) = p, K ′′(x∗) > 0 (maksimum baïxxürälcäätäï nöxcöl)

• Axiu zardal n´ zax zääliïn ünätäï täncüü x∗ cäg däär tögs örsöldööntzax zääliïn niïlüülägq n´ xamgiïn ix a²ig olno. Zardlyn funkciïngüdgär baïx muj däär maksimumyn cäg x∗ oldono.

Polipol´; nägjiïn a²giïn maksimum

g′(x0)=k′(x0)=0, g′′(x0)=−k′′(x0)<0 (maksimum baïxxürälcäätäï nöxcöl)

• Dundaj zardal xamgiïn baga baïx cäg däär nägjiïn a²ig maksimumbaïna (onowqtoï zardal).

Polipol´; ²ugaman niït zardlyn funkc,xüqin qadlyn x¶zgaar x0

x∗ = x0

Ädiïn zasgiïn funkciïn ²injilgää, a²giïn maksimum 77

• Xüqin qadlyn x¶zgaar däär a²giïn maksimum or²ino. Änä n´ xugar-lyn cäg (x. 58-d üz) (0, x0) zawsar däär äeräg baïx nöxcöl µm.

• Nägjiïn minimum zardal ba nägjiïn maksimum a²ig n´ xamt xüqinqadlyn x¶zgaar däär or²ino.

Monopol´; niït a²giïn maksimum

K ′(x∗) = U ′(x∗), G′′(x∗) < 0 (maksimum baïxxürälcäätäï nöxcöl)

• Maksimum a²giïn cäg däär axiu orlogo ba axiu zardal xoorondootäncüü (Kurnagiïn cäg).

Monopol´; nägjiïn a²giïn maksimum

p′(x) = k′(x), g′′(x) < 0 (maksimum baïxxürälcäätäï nöxcöl)

• Yniïn bolon dundaj zardlyn funkcuudyn grafikt tatsan ²ürgägqüüdiïnöncgiïn koäfficient täncüü baïx x cäg däär nägjiïn a²giïn maksimumutgaa awna.

Onowqtoï xämjää (zaxialgyn onowqtoï xämjää)

cs zaxialga tus büriïn zaxialgynzardal (m.n.)

ci nööciïn örtög (t.n. nägjiïn,t.n., x.n.)

d ärält, nööciïn buuralt(t.n./x.n.)

r üïldwärläliïn tüw²in (xurd),nööciïn nämägdält (t.n./x.n.)

T xugacaany ürgäljläl (x.n.)

x (ül mädägdägq) zaxialgynxämjää (t.n.)

x

zardal

xmin

ppC(x)

CI(x)

CS(x)

m.n., t.n., x.n. xargalzan möngön, toon bolon xugacaany nägjüüd

• Nööciïn buuraltyn tüw²in d, nööciïn nämägdältiïn tüw²in c > dn´ togtmol gäj üznä (c = d üed onolyn xuw´d nööc xäräggüï)

• Zaxialgyn bolon nööciïn zardlaas bürdäx todorxoï xugacaany niïtzardal minimum baïx zaxialgyn xämjää x∗-g olox ²aardlagataï baïg.


Yïldwärläliïn xämjää ixsäx tusam zaxialgyn zardal baga baïx bolowqnööciïn zardal öndör baïna.

• Daraagiïn xüsnägtäd änä zagwaryn mädäällüüd ögögdsön.

Xolbogdox toon mädää

t0 =x

r zaxialgyn üïldwärlältiïn xugacaa

T0 =x

d üïldwärlältiïn bolon nööciïnüe ²atny urt

lmax =(1− d

r

)x nööciïn xamgiïn ix xämjää

l =(

1− d

r

)· x2

dundaj nööc

D = d · T [0, T ] zawsar dax´ niït ärält

n =D

x=dT

x [0, T ] zawsart üïldwärlägdäxzaxialgyn too

CS(x) =D

x· cs [0, T ] zawsar dax´ zaxialgyn zardal

CI(x) =(

1− d

r

)· x2· ci · T [0, T ] zawsar dax´ niït nööc

C(x) = CS(x) + CI(x) üe ²atny niït zardal

Zaxialgyn onowqtoï xämjääniï tom³ëo

x∗ =

√2dcs(

1− dr

)ci

-

6

t0 T0 t

lmax

• Xäräw nööciïn büx nämägdäl (r → ∞) nööciïn cikliïn äxänd baïsanbol

x∗ =√

2dcsci

Xarri Wilsony zaxialgyn xämjääniï tom³ëo

üed lmax = x (xörööniï ²üdän muruï, x. 58) bielnä.

• Xudaldan awq xadgalsan baraa üïldwärläliïn processt ürgäjläna²iglagdaj baïgaa üed zaxialgyn onowqtoï xämjääniï bodlogoadil bütäctäï: togtmol zaxialgyn zardal cöönxiïg sanal bolgono, gäxdäätom zaxialguud nööcöös xamaardag uqir ixiïg sanal bolgono.

79

Näg xuw´sagqiïn funkciïn integral toolol

Todorxoïgüï integral

Duryn x ∈ (a, b) cägiïn xuw´d F ′(x) = f(x) xarćaa bieldäg baïx F :(a, b) → IR funkc büriïg f : (a, b) → IR funkciïn äx funkc gänä. Büxäx funkcuudyn olonlog F + C |C ∈ IR n´ f -iïn (a, b) zawsar däärxtodorxoïgüï integral gäj närlägddäg; C n´ integralqlalyn togtmol.

Tämdäglägää:

∫f(x)dx = F (x) + C .

Integralqlalyn dürmüüd

togtmolürjigdäxüün

∫λf(x)dx = λ

∫f(x)dx, λ ∈ IR

niïlbär

∫[f(x)± g(x)]dx =

∫f(x)dx±

∫g(x)dx

xäsägqlänintegralqlax

∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−

∫u′(x)v(x)dx

orluulanintegralqlax

∫f(g(x)) · g′(x)dx =

∫f(z)dz, z = g(x)

(xuw´sagqiïg solix)

tuxaïn toxioldolf = 1

g

∫g′(x)g(x)

dx = ln |g(x)|+ C, g(x) 6= 0

²ugamanorluulga

∫f(ax+ b)dx =

1aF (ax+ b) + C, a, b ∈ IR,

(F n´ f -iïn äx funkc) a 6= 0

Butarxaï racional funkciïg integralqlax∫amx

m + am−1xm−1 + . . .+ a1x+ a0

bnxn + bn−1xn−1 + . . .+ b1x+ b0dx

Olon gi²üüntiïn xuwaalt bolon ängiïn butarxaïn zadargaa n´ olongi²üünt bolon tusgaï ängiïn funkcuudyg integralqlaxad xäräglägdänä.Ängiïn funkcuud n´ I todorxoïgüï integraluudyn xüsnägt däx tom³ëonu-udyn tuslamjtaïgaar integralqlagddag. Quxal zarimaas n´ durdwal(x− a 6= 0, k > 1, p2 < 4q gäj üznä):

80 Näg xuw´sagqiïn funkciïn integral toolol

∫dx

x− a= ln |x− a|+ C∫

dx

(x− a)k= − 1

(k − 1)(x− a)k−1+ C∫

dx

x2 + px+ q=

2√4q − p2

arctan2x+ p√4q − p2

+ C

∫Ax+B

x2 + px+ qdx =

A

2ln(x2 + px+ q) +

(B − 1

2Ap

)∫dx

x2 + px+ q

Todorxoï integral

x tänxlägiïn [a, b] zawsar bolonzaaglagdsan f funkciïn grafikaarxa²igdsan mujiïn talbaï A nń∑i=1

f(ξ(n)i )∆x(n)

i niïlbäräär oïrolcoo-

goor ilärxiïlägdänä, änd ∆x(n)i =

x(n)i − x

(n)i−1 bolon

n∑i=1

∆x(n)i = b− a. x

y

r f(x)

a x(n)i−1 ξ

(n)i

f(ξ(n)i )

A

x(n)i

b

Todorxoï ugtwar nöxcöl bieläx üed n → ∞ bolon ∆x(n)i → 0 üeiïn

x¶zgaar awaxad mujiïn talbaï A-taï täncüü baïx f funkciïn [a, b]

xärqmäär awsan todorxoï (Rimany) integral:

∫ b

a

f(x)dx = A garna.

Yïldliïn qanaruud bolon dürmüüd∫ a

a

f(x)dx = 0

∫ b

a

f(x)dx = −∫ a

b

f(x)dx

∫ b

a

[f(x)± g(x)]dx =∫ b

a

f(x)dx±∫ b

a

g(x)dx

∫ b

a

λf(x)dx = λ

∫ b

a

f(x)dx, λ ∈ IR

∫ b

a

f(x)dx =∫ c

a

f(x)dx+∫ b

c

f(x)dx

∣∣∣∣∣∫ b

a

f(x)dx

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f(x)|dx, a < b

Todorxoï integraluudyn xüsnägt 81

Integral toollyn 1-r dundaj utgyn teorem

Xäräw f n´ [a, b] däär tasraltgüï bol∫ b

a

f(x)dx = (b− a)f(ξ)

nöxcöl bieläx ¶daj näg ξ ∈ [a, b] too oldono.

Integral toollyn erönxiïlsön 1-r dundaj utgyn teorem

Xäräw f n´ [a, b] däär tasraltgüï, g n´ [a, b] däär integralqlagddag bögöödduryn x ∈ [a, b]-iïn xuw´d g(x) ≥ 0 äswäl g(x) ≤ 0 nöxcöl bieldäg bol∫ b

a

f(x)g(x)dx = f(ξ)∫ b

a

g(x)dx

baïx ¶daj näg ξ ∈ [a, b] too oldono.

Xäräw f n´ [a, b] däär tasraltgüï bol x ∈ [a, b]-iïn xuw´d∫ x

a

f(t)dt n´

differencialqlagdana, üünd F (x) =∫ x

a

f(t)dt =⇒ F ′(x) = f(x) .

Integral toollyn ündsän teorem

Xäräw f n´ [a, b] däär tasraltgüï, mön F n´ f -iïn [a, b] däärx äx funkcbol∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a) xarćaa bielnä.

Todorxoï integraluudyn xüsnägt

Yndsän integraluud (togtmoloos integralqlaxyg oruulaagüï.)

zärägt funkcuud∫xn dx =

xn+1

n+ 1(n ∈ ZZ , n 6= −1, x 6= 0 n < 0)∫

xα dx =xα+1

α+ 1(α ∈ IR, α 6= −1, x > 0)∫

1xdx = ln |x| (x 6= 0)


iltgägq bolon logarifm funkcuud∫ax dx =

ax

ln a(a ∈ IR, a > 0, a 6= 1)

∫ex dx = ex∫lnxdx = x lnx− x (x > 0)

trigonometriïn funkcuud∫sinxdx = − cosx∫cosxdx = sinx∫tanxdx = − ln | cosx| (x 6= (2k + 1)

π

2)∫

cotxdx = ln | sinx| (x 6= kπ)

trigonometriïn urwuu funkcuud∫arcsinxdx = x arcsinx+

√1− x2 (|x| ≤ 1)∫

arccosxdx = x arccosx−√

1− x2 (|x| ≤ 1)∫arctanxdx = x arctanx− 1

2ln(1 + x2)∫

arccotxdx = x arccotx+12

ln(1 + x2)

racional funkcuud∫dx

1 + x2= arctanx

∫dx

1− x2= ln

√1 + x

1− x(|x| < 1)

∫dx

x2 − 1= ln

√x− 1x+ 1

(|x| > 1)


irracional funkcuud∫dx√

1− x2= arcsinx (|x| < 1)

∫dx√

1 + x2= ln(x+

√x2 + 1)

∫dx√x2 − 1

= ln(x+√x2 − 1) (|x| > 1)

giperbol funkcuud∫sinhxdx = coshx∫coshxdx = sinhx∫tanhxdx = ln coshx∫cothxdx = ln | sinhx| (x 6= 0)

urwuu giperbol funkcuud∫arsinhxdx = x arsinhx−

√1 + x2

∫arcoshxdx = x arcoshx−

√x2 − 1 (x > 1)∫

artanhxdx = x artanhx+12

ln(1− x2) (|x| < 1)∫arcothxdx = x arcothx+

12

ln(x2 − 1) (|x| > 1)

Racional funkcuudyn integraluud∫(ax+ b)n dx =

(ax+ b)n+1

a(n+ 1)(n 6= −1)

∫dx

ax+ b=

1a

ln |ax+ b|


∫ax+ b

fx+ gdx =

ax

f+bf − ag

f2ln |fx+ g|

∫dx

(ax+ b)(fx+ g)=

1ag − bf

(∫a

ax+ bdx−

∫f

fx+ gdx

)∫

dx

(x+ a)(x+ b)(x+ c)=

1(b− a)(c− a)

∫dx

x+ a

+1

(a− b)(c− b)

∫dx

x+ b+

1(a− c)(b− c)

∫dx

x+ c∫dx

ax2 + bx+ c

=

2√

4ac− b2arctan

2ax+ b

4ac− b2xäräw b2<4ac

1√b2 − 4ac

(ln(1− 2ax+ b√

b2 − 4ac)− ln(1+

2ax+ b√b2 − 4ac

))xäräw 4ac < b2

∫dx

(ax2 + bx+ c)n+1

=2ax+ b

n(4ac− b2)(ax2 + bx+ c)n+

(4n− 2)an(4ac− b2)

∫dx

(ax2 + bx+ c)n∫xdx

(ax2 + bx+ c)n+1

=bx+ 2c

n(b2 − 4ac)(ax2 + bx+ c)n+

(2n− 1)bn(b2 − 4ac)

∫dx

(ax2 + bx+ c)n

∫dx

a2 ± x2=

1aS änd S =

arctanx

axäräw “ + ”

12

lna+ x

a− xxäräw “− ” bolon |x| < |a|

12

lnx+ a

x− axäräw “− ” bolon |x| > |a|(a 6= 0)

∫dx

(a2 ± x2)n+1=

x

2na2(a2 ± x2)n+

2n− 12na2

∫dx

(a2 ± x2)n∫dx

a3 ± x3= ± 1

6a2ln

(a± x)2

a2 ∓ ax+ x2+

1a2√

3arctan

2x∓ a

a√

3


Irracional funkcuudyn integraluud∫ √(ax+ b)n dx =

2a(2 + n)

√(ax+ b)n+2 (n 6= −2)

∫dx

x√ax+ b

=

1√b

ln

∣∣∣∣∣√ax+ b−

√b

√ax+ b+

√b

∣∣∣∣∣ xäräw b > 0

2√−b

arctan

√ax+ b

−bxäräw b < 0

∫ √ax+ b

xdx = 2

√ax+ b+ b

∫dx

x√ax+ b∫ √

a2 − x2 dx =12

(x√a2 − x2 + a2 arcsin

x

a

)∫x√a2 − x2 dx = −1

3

√(a2 − x2)3

∫dx√a2 − x2

= arcsinx

a∫xdx√a2 − x2

= −√a2 − x2

∫ √x2 + a2 dx =

12

(x√x2 + a2 + a2 ln

(x+

√x2 + a2

))∫x√x2 + a2 dx =

13

√(x2 + a2)3

∫dx√x2 + a2

= ln(x+

√x2 + a2

)∫

xdx√x2 + a2

=√x2 + a2

∫ √x2 − a2 dx =

12

(x√x2 − a2 − a2 ln

(x+

√x2 − a2

))∫x√x2 − a2 dx =

13

√(x2 − a2)3


∫dx√x2 − a2

= ln(x+

√x2 − a2

)∫

xdx√x2 − a2

=√x2 − a2∫

dx√ax2 + bx+ c

=

1√a

ln∣∣∣2√a√ax2 + bx+ c+ 2ax+ b

∣∣∣ xäräw a > 0

− 1√−a

arcsin2ax+ b√b2 − 4ac

xäräw a < 0, 4ac < b2

∫xdx√

ax2 + bx+ c=

1a

√ax2 + bx+ c− b

2a

∫dx√

ax2 + bx+ c

∫ √ax2 + bx+ cdx =

2ax+ b

4a

√ax2 + bx+ c+

4ac− b2

8a

∫dx√

ax2 + bx+ c

Trigonometriïn funkcuudyn integraluud∫sin axdx = −1

acos ax∫

sin2 axdx =12x− 1

4asin 2ax

∫sinn axdx = − 1

nasinn−1 ax cos ax+

n− 1n

∫sinn−2 axdx (n ∈ IN)

∫xn sin axdx = −1

axn cos ax+

n

a

∫xn−1 cos axdx (n ∈ IN)

∫dx

sin ax=

1a

ln∣∣∣tan

ax

2

∣∣∣∫

dx

sinn ax= − cos ax

a(n− 1) sinn−1 ax+n− 2n− 1

∫dx

sinn−2 ax(n > 1)

∫cos axdx =

1a

sin ax

∫cos2 axdx =

12x+

14a

sin 2ax


∫cosn axdx =

1na

sin ax cosn−1 ax+n− 1n

∫cosn−2 axdx

∫xn cos axdx =

1axn sin ax− n

a

∫xn−1 sin axdx

∫dx

cos ax=

1a

ln∣∣∣tan

(ax2

+π

4

)∣∣∣∫

dx

cosn ax=

1n− 1

[sin ax

a cosn−1 ax+ (n− 2)

∫dx

cosn−2 ax

](n > 1)

∫sin ax cos axdx =

12a

sin2 ax

∫sin ax cos bxdx = −cos(a+ b)x

2(a+ b)− cos(a− b)x

2(a− b)(|a| 6= |b|)

∫tan axdx = −1

aln | cos ax|

∫tann axdx =

1a(n− 1)

tann−1 ax−∫

tann−2 axdx (n 6= 1)

∫cot axdx =

1a

ln | sin ax|

∫cotn axdx = − 1

a(n− 1)cotn−1 ax−

∫cotn−2 axdx (n 6= 1)

Iltgägq bolon logarifm funkcuudyn integraluud∫eax dx =

1aeax

∫xneax dx =

1axneax − n

a

∫xn−1eax dx

∫ln axdx = x ln ax− x

∫lnn xx

dx =1

n+ 1lnn+1 x

∫xm lnn xdx =

xm+1(lnx)n

m+ 1− n

m+ 1

∫xm lnn−1 xdx (m 6=−1, n 6=−1)


Örgötgösön integral

x = b cäg f funkciïn tuïl baïg. Mön f n´ zaaglagdsan bögööd 0 <ε < b− a baïx [a, b− ε] zawsart integralqlagddag gäj üzé. Xäräw f -iïn[a, b−ε] däärx integral n´ ε→ 0 üed x¶zgaartaï bol änä x¶zgaaryg f -iïn[a, b] däär örgötgösön integral gäj närlänä:∫ baf(x)dx = lim

ε→+0

∫ b−εa

f(x)dx(integralyn doorxfunkc zaaglagdaagüï)

• Xäräw x = a n´ f -iïn tuïl bol däärxtäï töstäïgäär:∫ baf(x)dx = lim

ε→+0

∫ ba+ε

f(x)dx(integralyn doorxfunkc zaaglagdaagüï)

• Xäräw [a, b] xärqmiïn dotood cäg x = c n´ tuïl bol f -iïn [a, b] däärxörgötgösön integral n´ f -iïn [a, c] bolon [c, b] däärx örgötgösön inte-graluudyn niïlbärtäï täncüü.

• f funkc n´ x ≥ a-iïn xuw´d todorxoïlogdood [a, b] zawsar bürt inte-gralqlagddag gäj üzé. Xäräw b → ∞ üed f -iïn [a, b] däärx integralynx¶zgaar or²in baïdag bol tüüniïg f -iïn [a,∞) däärx örgötgösön inte-gral gänä (a→ −∞ üed töstäïgäär):∫ ∞

a

f(x)dx = limb→∞

∫ b

a

f(x)dx,∫ b

−∞f(x)dx = lim

a→−∞

∫ b

a

f(x)dx

(zaaglagdaagüï zawsar)

Parametrt integral

Xäräw a ≤ x ≤ b, c ≤ t ≤ d üed f(x, t) funkc n´ t-iïn bäxlägdsänutgand [a, b] xärqim däär x-äär integralqlagddag bol t-ääs xamaarax

F (t) =b∫a

f(x, t)dx funkciïg parametrt integral gänä (t parametrtäï).

• Xäräw f n´ t xuw´sagqaar tuxaïn differencialqlagddag bolon ft tux-aïn ulamjlal n´ tasraltgüï bol F funkc (t xuw´sagqiïn xuw´d) dif-ferencialqlagdaad daraax xarćaa xüqintäï:

F (t) =dF (t)dt

=∫ b

a

∂f(x, t)∂t

dx .

• ϕ, ψ n´ c ≤ t ≤ d däär differencialqlagddag funkcuud baïg. Xäräwf(x, t) n´ ϕ(t) < x < ψ(t), c ≤ t ≤ d muj däär t xuw´sagqaar tasraltgüïtuxaïn ulamjlaltaï bol f -iïn ϕ(t) bolon ψ(t) xilüüdtäï parametrtintegral n´ c ≤ t ≤ d zawsart t xuw´sagqaar differencialqlagdana,üünd

Integral toollyn ädiïn zasgiïn xäräglää 89

F (t) =ψ(t)∫ϕ(t)

f(x, t)dx =⇒

F (t) =ψ(t)∫ϕ(t)

∂f(x, t)∂t

dx+ f(ψ(t), t)ψ(t)− f(ϕ(t), t)ϕ(t) .

• Tuxaïn toxioldol: F (x) =x∫0

f(ξ)dξ =⇒ F ′(x) = f(x)

Integral toollyn ädiïn zasgiïn xäräglää

Niït a²ig

G(x) =∫ x

0

[e(ξ)− k(ξ)]dξ

k(x) x nägjiïn axiu zardal;e(x) x nägjiïn axiu orlogo

Xäräglägqiïn ilüüdäl ((x0, p0) täncwäriïn cägiïn xuw´d)

KR(x0) = E∗ − E0 =∫ x0

0

pN (x)dx− x0 · p0

pN : x→ p(x) buurq buï ärältiïn funkc, p0 = pN (x0),E0 = x0 · p0 jinxänä niït orlogo,

E∗ =∫ x0

0

pN (x)dx onolyn bolomjit niït orlogo

• Xäräglägqiïn ilüüdäl gädäg n´ onolyn bolomjit bolon jinxänä niïtorlogyn zörüü. Änä n´ (xäräglägqiïn talaas üzwäl) täncwäriïn cäg däärxa²giïn xämjüür µm.

Yïldwärlägqiïn ilüüdäl ((x0, p0) täncwäriïn cägiïn xuw´d)

PR(x0) = E0 − E∗ = x0 · p0 −∫ x0

0

pA(x)dx

pA : x→ pA(x) ösöj buï niïlüülältiïn funkc,pN : x→ pN (x) buurq buï ärältiïn funkc,pA(x0) = pN (x0) =: p0 n´ zax zääliïn täncwäriïn cägiïg todorxoïlno;E0, E∗ jinxänä bolon onolyn bolomjit niït orlogo.

• Yïldwärlägqiïn ilüüdäl n´ jinxänä ba onolyn bolomjit niït or-loguudyn zörüü µm. Änä n´ (üïldwärlägqiïn talaas üzwäl) täncwäriïncäg däärx borluulaltyn a²giïg xaruulna.


Tasraltgüï möngön güïlgää

K(t) xugacaanaas xamaarsan tölböriïn xämjää,R(t) = K ′(t) xugacaanaas xamaarsan möngön güïlgää,α xüügiïn tasraltgüï tüw²in (ärqim)

K[t1,t2] =∫ t2

t1

R(t)dt [t1, t2] zawsar dax´ tölböriïnxämjää

K[t1,t2](t0) =∫ t2

t1

e−α(t−t0)R(t)dt t0 < t1 üe däx önöögiïn ünä cänä

K[t1,t2](t0) =R

αeαt0

(e−αt1−e−αt2

) R(t) ≡ R =togtmol üe däxönöögiïn ünä cänä

Kt1(t0) =∫ ∞

t1

e−α(t−t0)R(t)dt cag xugacaany xuw´d x¶zgaar-lagdaagüï R(t)-iïn önöögiïn ünäcänä

Kt1(t0) =R

αe−α(t1−t0) cag xugacaany üed x¶zgaarlag-

daagüï R(t) ≡ R üe däx togtmolmöngön güïlgääniï önöögiïn ünä

Ösöltiïn ¶wcZarim ädiïn zasgiïn üzüülält bieläx y = f(t) > 0 n´ f(0) = y0 gäsänanxny nöxclöör todorxoïlogdono.

• Xäräw [0, t] zawsar däärx absolµt ösölt n´ änä zawsryn urttaï pro-porcional´ bol:

=⇒ y = f(t) =c

2t2 + y0 (c proporcionaliïn koäfficient)

• Ösöltiïn xurd f ′(t)f(t) togtmol, ö. x f ′(t)

f(t) = γ bol :

=⇒ y = f(t) = y0eγt (γ ösöltiïn ärqim )

tuxaïn toxioldol: kapitalyn tasraltgüï niïlmäl xüütäï üed:

=⇒ Kt = K0eδt (Kt = K(t) t üe däx kapital; K0 anxny kapital; δ xüügiïn ärqim)

• Xäräw ösöltiïn xurd zarim integralqlagddag γ(t) funkctäï täncüü,ö. x. f

′(t)f(t) = γ(t) bol:

=⇒ y = f(t) = y0e∫ t0 γ(z)dz = y0eγt ,

Integral toollyn ädiïn zasgiïn xäräglää 91

üünd γ =1t

∫ t

0

γ(z)dz n´ [0, t] däärx ösöltiïn dundaj ärqim µm.

92 Differencial täg²itgäl

Differencial täg²itgäl

n ärämbiïn erdiïn differencial täg²itgäl

F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0 dald xälbär

y(n) = f(x, y, y′, . . . , y(n−1)) il xälbär

• a ≤ x ≤ b zawsryn x büriïn xuw´d däärx differencial täg²it-gäliïg xangax n udaa tasraltgüï differencialqlagddag y(x) funkciïg[a, b] zawsart differencial täg²itgäliïn (tuxaïn) ²iïd gänä. Dif-ferencial täg²itgäl bolon differencial täg²itgäliïn sistemiïn büx²iïdüüdiïn olonlogiïg erönxiï ²iïd gäj närlänä.

• Xäräw x = a cäg däär ²iïdiïn xuw´d nämält nöxclüüd tawigdsan bolanxny utgyn bodlogo garna. Xäräw nämält nöxclüüd n´ a bolon b cägüüddäär ögögdwöl zaxyn bodlogyn tuxaï ¶rigdana.

I ärämbiïn differencial täg²itgäl

y′ = f(x, y) äswälP (x, y) +Q(x, y)y′ = 0 äswälP (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0

• x, y xawtgaïn cäg bürt f(x, y)-iïn tuslamjtaïgaar ²iïdiïn muruïn²ürgägq qigläliïg xargalzuulax zamaar qigläliïn talbaïg todorxoïl-dog. Ijil qigläl büxiï qigläliïn talbaïn muruïnuudyg izoklinuudgänä.

lgagddag differencial täg²itgäl

y′ = r(x)s(y) äswäl P (x) +Q(y)y′ = 0 äswäl P (x)dx+Q(y)dy = 0

xälbäriïn differencial täg²itgäliïg xuw´sagquudyg n´ ¶lgax zamaar

ürgälj R(x)dx = S(y)dy xälbärt biqij bolno. Änä n´ y′-iïgdy

dx-

äär sol´j täg²itgäliïg xuwirgasan xälbär µm. 2 talaas n´ integralawsny daraa erönxiï ²iïd n´:∫

R(x)dx =∫S(y)dy =⇒ ϕ(x) = ψ(y) + C

I ärämbiïn ²ugaman differencial täg²itgäl

y′ + a(x)y = r(x)

r(x) 6≡ 0 nägän törliïn bus differencial täg²itgäl ;r(x) ≡ 0 nägän törliïn differencial täg²itgäl

n-r ärämbiïn ²ugaman differencial täg²itgäl 93

• Erönxiï ²iïd n´ xargalzax nägän törliïn differencial täg²it-gäliïn erönxiï ²iïd yh bolon nägän törliïn bus täg²itgäliïn tuxaïn²iïd ys-iïn niïlbär baïna:

y(x) = yh(x) + ys(x)

Nägän törliïn differencial täg²itgäliïn erönxiï ²iïd

y′+a(x)y = 0 täg²itgäliïn erönxiï ²iïd yh(x) n´ xuw´sagquudyg ¶lgaxzamaar oldono

yh(x) = Ce−∫a(x) dx, C = togtmol

Nägän törliïn bus differencial täg²itgäliïn tuxaïn ²iïd

y′+a(x)y = r(x) täg²itgäliïn tuxaïn ²iïd ys(x) n´ ys(x) = C(x)e−∫a(x) dx

(togtmolyg xuw´sgax) orluulgyn tuslamjtaïgaar bodogdono.Orluulgynür dünd, C(x) n´

C(x) =∫r(x)e

∫a(x) dx dx gäj oldono.

n-r ärämbiïn ²ugaman differencial täg²itgäl

an(x)y(n) + . . .+ a1(x)y′ + a0(x)y = r(x), an(x) 6≡ 0

r(x) 6≡ 0 nägän törliïn bus differencial täg²itgäl,r(x) ≡ 0 nägän törliïn differencial täg²itgäl

• Nägän törliïn bus differencial täg²itgäliïn erönxiï ²iïd n´xargalzax nägän törliïn differencial täg²itgäliïn erönxiï ²iïd yhbolon nägän törliïn bus differencial täg²itgäliïn tuxaïn ²iïd ys-iïn niïlbär baïna:



Xäräw ak koäfficient funkcuud n´ tasraltgüï bol yk, k = 1, . . . , n(funkcuudyn fundamental sistem) gäsän n funkcuud oldood xargalzaxnägän törliïn differencial täg²itgäliïn erönxiï ²iïd yh(x) n´daraax xälbärt biqigdänä:

yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + . . .+ Cnyn(x)

• y1, . . . , yn funkcuud n´ fundamental sistem baïx zaïl²güï bögöödxürälcäätäï nöxcöl n´ yk funkcuud nägän törliïn differencial täg²it-gäliïn ²iïdüüd baïx bögööd ¶daj näg x0 ∈ IR cäg däär Bronskiïn todor-


xoïlogq

W (x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣y1(x) y2(x) . . . yn(x)y′1(x) y′2(x) . . . y′n(x)...

.... . .

...

y(n−1)1 (x) y

(n−1)2 (x) . . . y

(n−1)n (x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣tägääs ¶lgaataï baïx ¶wdal. Ädgäär funkcuudyg daraax n anxny utgynbodloguudyg bodox zamaar olj bolno (k = 1, . . . , n):

an(x)y(n)k + . . .+ a1(x)y′k + a0(x)yk = 0,

y(i)k (x0) =

0, i 6= k − 1

1, i = k − 1i = 0, 1, . . . , n− 1

• (Ärämbiïg buuruulax). Xäräw n-r ärämbiïn nägän törliïn differen-cial täg²itgäliïn tuxaïn ²iïd y mädägdäj baïxad y(x) = y(x)

∫z(x)dx

gäsän orluulgaar n-r ärämbiïn ²ugaman (nägän törliïn äswäl nägän tör-liïn bus) differencial täg²itgäliïg (n − 1)-r ärämbiïn täg²itgäld²iljüülnä.


Xäräw y1, . . . , yn n´ fundamental sistem bol

ys(x) = C1(x)y1(x) + . . .+ Cn(x)yn(x) togtmolyg xuw´sgax

argyg a²iglan C1, . . . , Cn funkcuudyn ulamjlaluudyn xuw´d daraax²ugaman täg²itgäliïn sistem bodox zamaar nägän törliïn bus differ-encial täg²itgäliïn tuxaïn ²iïdiïg olno:

y1C′1 + y2C

′2 + . . . + ynC

′n = 0

y′1C′1 + y′2C

′2 + . . . + y′nC

′n = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y(n−2)1 C ′1 + y

(n−2)2 C ′2 + . . . + y

(n−2)n C ′n = 0

y(n−1)1 C ′1 + y

(n−1)2 C ′2 + . . . + y

(n−1)n C ′n =

r(x)an(x)

Äcäst n´ integralqlax zamaar C1, . . . , Cn funkcuud oldono.

Äïleriïn differencial täg²itgäl

Xäräw n ärämbiïn erönxiï ²ugaman differencial täg²itgäld koäffi-cient funkcuud n´ ak(x) = akx

k, ak ∈ IR, k = 0, 1, . . . , n xälbärtäï bol

anxny(n) + . . .+ a1xy

′ + a0y = r(x).

• x = eξ orluulga n´ (urwuu xuwirgalt ξ = lnx) y(ξ)-iïn xuw´d togt-mol koäfficienttäï ²ugaman differencial täg²itgäld xürgänä. Xar-galzax xarakteristik täg²itgäl n´

n-r ärämbiïn ²ugaman differencial täg²itgäl 95

anλ(λ− 1) . . . (λ− n+ 1) + . . .+ a2λ(λ− 1) + a1λ+ a0 = 0

Togtmol koäfficienttäï ²ugaman differencial täg²itgäl

any(n) + . . .+ a1y

′ + a0 = r(x), a0, . . . , an ∈ IR

• Erönxiï ²iïd n´ xargalzax nägän törliïn differencial täg²it-gäliïn erönxiï ²iïd bolon nägän törliïn bus differencial täg²it-gäliïn tuxaïn ²iïdiïn niïlbär bolno:



Fundamental sistemiïn yk gäsän n funkcuud n´ y = eλx ( döxöx ²iïd)xälbärtäïgäär songogdono. λk n´

anλn + . . .+ a1λ+ a0 = 0

gäsän xarakteristik olon gi²üüntiïn n ¶zguuruud baïg. Xarakteristiktäg²itgäliïn λk gäsän n ¶zguuruudad xargalzax fundamental sistemiïnn funkcuud n´ daraax xüsnägtäär todorxoïlogddog:

¶zguurynxälbär

¶zguurynärämbä

fundamentalsistemiïn funkcuud

ängiïn eλkx

λk boditp-dawxardsan eλkx, xeλkx, . . . , xp−1eλkx

ängiïn eax sin bx, eax cos bxλk = a± bixosmogkompleks p-dawxardsan

eax sin bx, xeax sin bx, . . . , xp−1eax sin bx,

eax cos bx, xeax cos bx, . . . , xp−1eax cos bx

Nägän törliïn differencial täg²itgäliïn erönxiï ²iïd yh n´

yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + . . .+ Cnyn(x) xälbärt biqigdänä.


Xäräw baruun tal r n´ ängiïn xälbärtäï bol tuxaïn ²iïd ys n´ daraaxxüsnägtäd todorxoïlson argyn tuslamjtaïgaar todorxoïlogdono:


r(x)döxöx ²iïd

ys(x)qiqirgääniï toxiol-dold döxöx ²iïd

Amxm + . . .+A1x+A0 bmx

m + . . .+ b1x+ b0

Aeαx aeαx

A sinωx

B cosωx a sinωx+ b cosωx

A sinωx+B cosωx

Xäräw döxöx²iïdiïnnämägdäxüünn´ nägän törliïndifferencialtäg²itgäliïgxangaj baïwalal´ q nämägdäxüünn´ nägän törliïndifferencialtäg²itgäliïn²iïd bi² boloxxürtäl döxöx²iïdiïg x-äärürjüülnä.

ädgäär funkcuudynxoslol

xargalzax döxöx²iïdüüdiïnxoslol

Zöwxönqiqirgääniïtoxioldlyg agu-ulj baïgaa xäsägtdäärx dürmiïgxärägläj bolno.

Togtmol koäfficienttäï I ärämbiïn ²ugaman differencialtäg²itgäliïn sistem

y′1 = a11y1 + . . . + a1nyn + r1(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y′n = an1y1 + . . . + annyn + rn(x)aij ∈ IR

Wektor tämdäglägää

y′ = Ay + r änd

y=

y1...yn

, y′ =

y′1...y′n

, r =

r1(x)...rn(x)

, A =

a11 . . . a1n

.... . .

...an1 . . . ann

• Erönxiï ²iïd n´ y(x) = yh(x) + ys(x) xälbärtäï baïna. Änd yhn´ y′ = Ay nägän törliïn sistemiïn erönxiï ²iïd, ys n´ y′ = Ay+rnägän törliïn bus sistemiïn tuxaïn ²iïd.

Togtmol koäfficienttäï I ärämbiïn ²ugaman differencial täg²itgäliïn sistem 97

Nägän törliïn sistemiïn erönxiï ²iïd

I toxioldol A n´ diagonal´ xälbärt ²iljdäg, zöwxön bodit λk,

k = 1, . . . , n xuwiïn utguudtaï (dawxardsan xuwiïn utguud n´ tusdaatoocogdono) bolon vk n´ xargalzax xuwiïn wektoruud n´ baïg. Tägwälnägän törliïn sistemiïn erönxiï ²iïd n´

yh(x) = C1eλ1xv1 + . . .+ Cneλnxvn

II toxioldol A n´ diagonal´ xälbärt ²iljdäg, xargalzax xuwiïnwektoruud n´ vk = a + bi, vk+1 = a − bi baïx λk = α + βi, λk+1 = α −βi xosmog kompleks xuwiïn utguudtaï baïg. Tägwäl yh erönxiï ²iïdädk, k + 1 gi²üüd n´ daraax xälbärtäï biqigdänä:

yh(x) = . . .+ Ckeαx(a cosβx−b sinβx)+Ck+1eαx(a sinβx+b cosβx)+. . .

III toxioldol A n´ diagonal´ xälbärt ²iljdäggüï, V n´ A-aasJordany normal´ xälbärt ²iljüüläx tösöötäï xuwirgaltyn matricbaïg. J(λk, nk), k = 1, . . . , s gäsän Jordany blokiïn xämjääs nk-g anx-aarwal V matriciïg baganuudaar n´ biqij bolno:

V = (v11, . . . ,v1n1 , . . . ,vk1, . . . ,vknk, . . . ,vs1, . . . ,vsns

).

Nägän törliïn sistemiïn erönxiï ²iïd n´

yh(x) = . . . + Ck1eλkxvk1 + Ck2eλkx[ x1!

vk1 + vk2

]+ . . .

+ Cknkeλkx

[xnk−1

(nk − 1)!vk1 + . . .+

x

1!vk,nk−1 + vknk

]+ . . .

vk1 xuwiïn wektoruudyg toocoolox : (A− λkE)k1 = 0

vkj gol wektoruudyg toocoolox : (A−λkE)vkj = vk,j−1, änd j = 2, . . . , nk

Xäräw kompleks xuwiïn utguud taaraldwal II toxioldoltoï adilaargüïcätgänä.

Nägän törliïn bus sistemiïn tuxaïn ²iïd

Tuxaïn ²iïd n´ togtmolyg xuw´sgax arga äswäl döxöx ²iïdiïn tus-lamjtaïgaar oldono (I xüsnägt x. 95), änd büx koordinatuudyn xuw´dr(x)-iïn büx toxioldluudyg awq üznä. Qiqirgääniï toxioldold anxnydöxölt n´ x-äär ürjigdsän döxöltiïn funkcäär örgötgögdönö.

98 lgawart täg²itgäl

lgawart täg²itgäl

I ärämbiïn ²ugaman ¶lgawart täg²itgäl

∆y = a(n)y + b(n) (∗)

Xäräw ∆f(n) = a(n)f(n) + b(n) täncätgäl ∀n ∈ Df , Df ⊂ IN0 xuw´dbieldäg bol y = f(n) funkciïg (∗) ¶lgawart täg²itgäliïn ²iïd gänä,üünd ∆y = y(n+ 1)− y(n) = f(n+ 1)− f(n).

• Xäräw a(n), b(n) n´ bodit toon daraalluud bol (∗) n´

y = f(n) = y0 ·n−1∏k=0

[a(k) + 1] +n−2∑k=0

b(k) ·n−1∏l=k+1

[a(l) + 1] + b(n− 1)

gäsän ²iïdtäï. Yünd f(0) = y0 ∈ IR duryn baïdlaar songogdoxoos gadna:

n−1∏k=0

[a(k) + 1] :=

[a(0) + 1] · . . . · [a(n− 1) + 1] n = 1, 2, . . .1 n = 0

n−1∏l=k+1

[a(l) + 1] :=

[a(k + 1) + 1] · . . . · [a(n− 1) + 1] n = k + 2, . . .1 n = k + 1

a(n) ≡ a = togtmol, b(n) ≡ b = togtmol baïx tuxaïn toxioldold (∗)¶lgawart täg²itgäliïn ²iïd n´ daraax xälbärtäï

y=f(n)=

y0 ·n−1∏k=0

[a(k) + 1] xäräw b(n) ≡ b = 0

y0(a+ 1)n +n−1∑k=0

b(k)(a+ 1)n−1−k xäräw a(n) ≡ a

y0(a+ 1)n xäräw a(n) ≡ a, b(n) ≡ 0

y0(a+ 1)n + b · (a+ 1)n − 1a

xäräw a(n)≡a 6=0, b(n)≡b

y0 + b · n xäräw a(n) ≡ 0, b(n) ≡ b

Ädiïn zasgiïn zagwaruud 99

Ädiïn zasgiïn zagwaruud

y(n) ündäsniï orlogo, n = 0, 1, 2, . . .

c(n) xäräglää, n = 0, 1, 2, . . .

s(n) xadgalamjiïn niïlbär, n = 0, 1, 2, . . .

i(n) xöröngö oruulalt, n = 0, 1, 2, . . .

Buldingiïn ündäsniï orlogyn ösölt

Zagwaryn tom³ëolol:

y(n) = c(n) + i(n), c(n) = α+ βy(n), ∆y(n) = γi(n)

α orlogoos ül xamaarax xäräglääniï xäsäg, α ≥ 0

β orlogoos xamaarax xäräglääniï proporcionaliïnkoäfficient, 0<β < 1

γ xöröngö oruulaltyn dawtamj, γ > 0

∆y(n) = γ(1− β)y(n)− αγ, n = 0, 1, 2, . . . Buldingiïn zagwar

Zagwaryn ²iïd: y = f(n) =α

1− β+(y0 −

α

1− β

)(1 + γ(1− β))n

• y(0) = y0 > c(0) üed y = f(n) funkc ärs ösnö.

Xarrodsyn ündäsniï orlogyn ösölt

Zagwaryn tom³ëolol:

s(n) = αy(n), i(n) = β∆y(n), i(n) = s(n)

αy(n) ündäsniï orlogyn xadgalamjiïn xäsäg, 0 < α < 1

β xöröngö oruulalt ba ündäsniï orlogyn ösölt xoërynproporcionaliïn koäfficient, β > 0, β 6= α

Xarrodsyn zagwar

∆y(n) =α

βy(n), y(0) = y0, n = 1, 2, . . .

Änä zagwaryn ²iïd n´: y = f(n) = y0 ·(α

β

)n


Äcekidyn zagwar

Tom³ëolol:

d(n) = α− βp(n), d(n) = n d(n) ärält,

q(n+ 1) = γ + δp(n) p(n) ünä

α > 0, β > 0, γ > 0, δ > 0 q(n) niïlüülält

Ärält ba niïlüülältiïg täncüü gäj üznä.

∆p(n) =α− γ

β−(

1 +δ

β

)p(n), p(0) = p0, n = 1, 2, . . .

kowebynzagwar

Zagwaryn ²iïd: y = p(n) =α− γ

β + δ+(p0 −

α− γ

β + δ

)(− δβ

)n• p(n)-iïn utga n´ p∗ =

α− γ

β + δtogtmolyn oïrolcoo xälbälzänä. iïd

n´ δ ≥ β üed sarnina, δ < β üed täncwäriïn ünä p∗ rüü niïlnä.

c, d

p(0)p(1) p∗

d(n)

c(n+1)

s

sss ssss

d(0)

c(1)d(1)

c(2)

c, d

p(0)p(1) p(2)

d(n)

c(n+1)

ssss s

sd(0)

c(1)d(1)

c(2) d(2)

niïläx sarnix

II ärämbiïn ²ugaman ¶lgawart täg²itgäl

∆2y + a∆y + by = c(n), a, b, c ∈ IR (∗)

xälbäriïn täg²itgäliïg togtmol koäfficienttäï II ärämbiïn ²uga-man ¶lgawart täg²itgäl gänä. ∆2f(n) := f(n+ 2)− 2f(n+ 1) + f(n) nÍI ärämbiïn ¶lgawar.

II ärämbiïn ²ugaman ¶lgawart täg²itgäl 101

• Xäräw c(n) = 0 ∀n = 0, 1, 2, . . . bol nägän törliïn, busad toxioldoldnägän törliïn bus täg²itgäl bolno.

• ∆2f(n) + a∆f(n) + bf(n) = c(n) ∀n ∈ Df bol Df ⊂ 0, 1, 2, . . . baïx ffunkciïg (∗) täg²itgäliïn ²iïd gäj närlänä.

• (∗) nägän törliïn bus ²ugaman ¶lgawart täg²itgäliïn erönxiï ²iïdn´ xargalzax ∆2y + a∆y + by = 0 nägän törliïn täg²itgäliïn erönxiï²iïd bolon (∗)-iïn tuxaïn ²iïdiïn niïlbär baïna.

II ärämbiïn nägän törliïn ¶lgawart täg²itgäliïn erönxiï²iïd

λ2 + aλ+ b = 0 xarakteristik täg²itgäl awq üzé.

iïd n´ λ1,2 = −a2± 1

2

√a2 − 4b tom³ëogoor bodogdono. D = a2 − 4b

diskriminantaas xamaaraad 2 bodit äswäl dawxardsan 2 bodit mön xos-mog kompleks ²iïdüüdtäï baïj bolno. Iïmääs (∗)-d xargalzax nägän tör-liïn ¶lgawart täg²itgäliïn erönxiï ²iïdiïg dürsläxdää 3 toxioldlu-udad xuwaadag, üünd C1, C2 n´ duryn bodit togtmoluud.

I toxioldol D > 0 : λ1 =12

(−a+

√D), λ2 =

12

(−a−

√D)

iïd: y = f(n) = C1(1 + λ1)n + C2(1 + λ2)n

II toxioldol D = 0 : λ1 = λ2 =: λ = −a2

iïd: y = f(n) = C1(1 + λ)n + C2n(1 + λ)n

III toxioldol D < 0 : α := −a2, β :=

12

√−D

iïd:

y = f(n) = C1 [(1 + α)2 + β2]n2 cosϕn+ C2 [(1 + α)2 + β2]

n2 sinϕn

änd tanϕ =β

1 + α(α 6= −1) ba ϕ =

π

2(α = −1).

II ärämbiïn nägän törliïn bus ¶lgawart täg²itgäliïn erönxiï²iïd

Nägän törliïn bus täg²itgäliïn erönxiï ²iïd n´ nägän törliïn täg²it-gäliïn erönxiï ²iïd bolon (∗) nägän törliïn bus täg²itgäliïn tux-aïn ²iïdiïn niïlbär baïna. Baruun tal c(n)-iïn todorxoï bütcääs xam-aarsan qig xandlagyn funkcäd xargalzax qig xandlagyn argaar tuxaïn


²iïdiïg olj bolno. Yl mädägdäx koäfficientuud n´ xarćuulaltyn ürdünd toocoologddog.

baruun tal döxöx ²iïd

c(n) = aknk + . . .+ a1n+ a0 C(n) = Akn

k + . . .+A1n+A0

c(n) = a cosωn+ b sinωn C(n) = A cosωn+B sinωn(α 6=0 buµu β 6=ω; III tox. üz, x. 101)

Ädiïn zasgiïn zagwaruud

y(n) ündäsniï orlogo c(n) xäräglää

i(n) xuwiïn xöröngö oruulalt H niïgmiïn zardal

Zagwaryn tom³ëolol (n = 0, 1, 2, . . .)

y(n)=c(n) + i(n) +H ündäsniï orlogo n´ xäräglää, xuwiïnxöröngö oruulalt, niïgmiïn zardal gäjxuwaagdana

c(n)=α1y(n− 1) 0 < α1 < 1; xäräglää n´ öngörsön üeiïnündäsniï orlogotoï proporcional´ (α1 ür-jigq )

i(n)=α2[c(n)− c(n− 1)] α2 > 0; xuwiïn xöröngö oruulalt n´xäräglääniï ösölttäï proporcional´ (α2

xurdasgagq)

Samuäl´säniï ürjigq xurdasgagqtaï zagwar

∆2y + (2− α1 − α1α2)∆y + (1− α1)y = H

α1 ≤ α2 < 1üeiïn ²iïd :

y = f(n) =H

1− α1+ (α1α2)

n2 (C1 cosϕn+ C2 sinϕn)

• f ²iïd n´ x¶z-

gaarH

1− α1-iïn orqind

buurax dalaïctaï xäl-bälzänä.

n

y

r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r rf(n)

H1−α1

Togtmol koäfficienttäï n-r ärämbiïn ²ugaman ¶lgawart täg²itgäl 103

Togtmol koäfficienttäï n-r ärämbiïn ²ugaman ¶lgawarttäg²itgäl

yk+n + an−1yk+n−1 + . . .+ a1yk+1 + a0yk = c(k) (k ∈ IN) (1)

• ai ∈ IR, i = 0, 1, . . . , n − 1 togtmol koäfficientuudtaï (1) xälbäriïn²ugaman ¶lgawart täg²itgäliïg a0 6= 0 üed n-r ärämbiïn gänä.

• Xäräw n-iïn xuw´d daraalsan k anxny utguud ögögdsön bol n-r äräm-biïn (1) ¶lgawart täg²itgäl n´ cor ganc yk = f(k) ²iïdtäï.

• f1(k), f2(k),. . . , fn(k) n´

yk+n + an−1yk+n−1 + . . .+ a1yk+1 + a0yk = 0 (2)

nägän törliïn ¶lgawart täg²itgäliïn duryn ²iïdüüd bol γi ∈ IR, i =1, . . . , n (duryn) togtmoluud büxiï

f(k) = γ1f1(k) + γ2f2(k) + . . . + γnfn(k) (3)

²ugaman äwlüüläg n´ mön (2) nägän törliïn ¶lgawart täg²itgäliïn²iïd bolno.

• Xäräw (2) täg²itgäliïn f1(k), f2(k),. . . , fn(k), n ²iïdüüd n´ fun-

damental sistem, ö. x.

∣∣∣∣∣∣f1(0) f2(0) . . . fn(0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .f1(n−1) f2(n−1) . . . fn(n−1)

∣∣∣∣∣∣ 6= 0 nöxcöl

bieldäg bol (3) n´ (2) nägän törliïn ¶lgawart täg²itgäliïn erönxiï²iïd baïna.

• Xäräw yk,s n´ (1) nägän törliïn bus ²ugaman ¶lgawart täg²it-gäliïn tuxaïn ²iïd, yk,h n´ xargalzax (2) nägän törliïn ²ugaman ¶l-gawart täg²itgäliïn erönxiï ²iïd bol (1) nägän törliïn ²ugamanbus ¶lgawart täg²itgäliïn erönxiï ²iïd n´ yk = yk,h + yk,s xälbärt

biqigdänä.

n-r ärämbiïn nägän törliïn ¶lgawart täg²itgäliïn erönxiï²iïd

λn + an−1λn−1 + . . .+ a1λ+ a0 = 0

xarakteristik täg²itgäliïn ¶zguuruud n´ λ1, . . . , λn baïg. Tägwäl ädgäär¶zguuruudyn törlöös xamaarq todorxoïlogdox f1(k), . . . , fn(k) gäsän n²ugaman xamaaralgüï ²iïdüüd n´ fundamental sistem üüsgänä. ( I IIärämbiïn ¶lgawart täg²itgältäï töstäïgäär, x. 100).

n-r ärämbiïn nägän törliïn bus ¶lgawart täg²itgäliïn tux-aïn ²iïd

(1) nägän törliïn bus ¶lgawart täg²itgäliïn tuxaïn ²iïdiïg oloxodixänx toxioldold qig xandlagyn arga ür düntäï baïdag. Änä toxioldoldqig xandlagyn funkciïg baruun tal n´ ¶mar xälbärtäïgääs xamaarqsongono (I II ärämbiïn ¶lgawart täg²itgäl, x. 100). Qig xandlagyn


funkciïg (1)-d orluulan, koäfficientuudyn xarćuulalt xiïx zamaarül mädägdäx koäfficientuudyg todorxoïlno.

105

Olon xuw´sagqiïn funkciïn differencial toolol

Yndsän oïlgolt

IRn däx funkc

x = (x1, x2, . . . , xn)> ∈ Df ⊂ IRn wektoryg f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) bodittoond xargalzuulax näg utgataï buulgaltyg (bodit) olon xuw´sagqiïnbodit toon funkc gänä. Tämdäglägää: f : Df → IR, Df ⊂ IRn.

Df = x ∈ IRn | ∃ y ∈ IR : y = f(x) todorxoïlogdox muj

Wf = y ∈ IR | ∃x ∈ Df : y = f(x) utgyn muj

Grafik dürsläl

(x1, x2, y) koordinatyn sistemd x1, x2 ül xamaarax 2 xuw´sagqiïn y =f(x1, x2) funkcuudyg 3 xämjääst dürsläld xaruulj bolno.

f funkciïg tasralt-güï gäj üzwäl (x1, x2, y)cägüüdiïn olonlogn´ gadarguug üüsgänä.f(x1, x2) = C =togtmolbaïx (x1, x2) cägüüdiïnolonlogiïg f funkciïnC öndört (tüw²in) xar-galzax öndriïn ²ugamäswäl tüw²niï ²ugamgänä. Ädgäär ²ugamuudx1, x2 xawtgaïd baïrladag.

x1

x2

y

IRn ogtorguïn cägüüdiïn olonlog

x, y n´ xargalzan (x1, . . . , xn) bolon (y1, . . . , yn) koordinattaï IRn og-torguïn cägüüd baïg. Änä cägüüdiïg tädgäär rüü qigläsän x = (x1, . . . , xn)>

bolon y = (y1, . . . , yn)> bäxlägdsän wektoruudtaï adiltgaj bolno.

‖x‖2 =

√n∑i=1

x2i x wektoryn Ewklidiïn norm, mön

|x|-äär tämdäglänä I wektor, x. 118

‖x‖1 =n∑i=1

|xi| x wektoryn niïlbär norm

‖x‖∞ = maxi=1,...,n

|xi| x wektoryn maksimum norm

‖x− y‖ x,y ∈ IRn cägüüdiïn xoorondox zaï

Uε(x)=y∈ IRn | ‖y − x‖ < ε x cägiïn ε orqin, ε>0

106 Olon xuw´sagqiïn funkciïn differencial toolol

• Däärx normuudyn xuw´d ‖x‖∞ ≤ ‖x‖2 ≤ ‖x‖1 täncätgäl bi² xüqintäï;‖x‖-äär duryn norm, ixänx toxioldold ‖x‖2 gäsän Ewklidiïn normygtämdäglädäg.

• XäräwM olonlogt aguulagdax ¶mar näg Uε(x) orqin oldoj baïwal x-gM ⊂ IRn olonlogiïn dotood cäg gänä.M -iïn büx dotood cägüüdiïn olon-logiïgM -iïn dotor gäj närlääd intM -äär tämdägläe. Uε(x) orqin bürtx-ääs ¶lgaataïM -iïn cäg olddog bol x-iïgM olonlogiïn x¶zgaaryn cäggänä.

• int M = M bol M olonlog n´ zadgaï, xarin büx x¶zgaaryn cägüüdääaguuldag bol bitüü gäj närlägdänä.

• Xäräw x ∈ M büriïn xuw´d ‖x‖ ≤ C baïx C too olddog bol M ⊂ IRn

olonlogiïg zaaglagdsan gänä.

X¶zgaar bolon tasraltgüï qanar

Cägän daraalal

IN-g IRn-d buulgasan buulgaltyg xk ⊂ IRn cägän daraalal gänä. Daraal-lyn xk älementüüdiïn baïguulagquudyg x

(k)i , i = 1, . . . , n gäj tämdägläe.

x = limk→∞

xk ⇐⇒ limk→∞

‖xk − x‖ = 0 xk cägän daraallyn xx¶zgaaryn cäg rüü niïlält

• xk cägän daraalal x x¶zgaaryn cäg rüü niïläx zaïl²güï bögööd

xürälcäätäï nöxcöl n´ x (k)i , i = 1, . . . , n daraalal bür n´ x-iïn i-r

baïguulagq xi rüü niïläx ¶wdal.

Tasraltgüï qanar

xk 6= x0 bolon xk ∈ Df baïx, x0 cäg rüü niïldäg xk cägän daraallynxuw´d lim

k→∞f(xk) = a xarćaa bieldäg bol a ∈ IR toog f funkciïn x0 cäg

däärx x¶zgaar gänä. Tämdäglägää: limx→x0

f(x) = a.

• f funkc x0 cäg däär x¶zgaartaï (ö. x. x0 ruu niïldäg ¶mar näg daraal-lyn xuw´d xargalzax funkciïn utgyn daraalal n´ nägän ijil utga ruuniïldäg) bögööd tär n´ x0 cäg däärx funkciïn utgataï täncüü bol ugfunkciïg x0 ∈ Df cäg däär tasraltgüï gänä:

limx→x0

f(x) = f(x0) ⇐⇒ limk→∞

f(xk) = f(x0) ∀ xk änd xk → x0

• Än qacuu todorxoïlolt: Xäräw ¶mar näg duryn ε > 0 toony xuw´dδ > 0 oldood ‖x − x0‖ < δ gädgääs |f(x) − f(x0)| < ε nöxcöl bielnä gäjmörddög bol f funkc x0 cäg däär tasraltgüï.

• f funkc x ∈ Df cäg bür däär tasraltgüï bol tüüniïg Df däär tas-raltgüï gänä.

Olon xuw´sagqiïn funkciïn differencialqlal 107

• Xäräw f, g funkcuud n´ xargalzan Df , Dg todorxoïlogdox mujuud

däärää tasraltgüï bol f ± g, f · g bolon f

gfunkcuud n´ Df ∩ Dg däär

tasraltgüï, süüliïn funkciïn xuw´d änä qanar zöwxön g(x) 6= 0 baïxx-iïn utguud däär xüqintäï.

Nägän törliïn funkc

f(λx1, . . . , λxn) = λα · f(x1, . . . , xn) ∀ λ ≥ 0

f n´ α ≥ 0 zärgiïn nägän töröl

f(x1, . . . , λxi, . . . , xn) = λαif(x1, . . . , xn) ∀ λ ≥ 0

f n´ αi ≥ 0 zärgiïn tuxaïn nägän töröl

α = 1: ²ugamlag nägän törölα > 1: dääd ärämbiïn ²ugamlag nägän törölα < 1: dood ärämbiïn ²ugamlag nägän töröl

• ugamlag nägän törliïn funkciïn xuw´d xuw´sagquudyn propor-cional´ ösöltöd funkciïn utgyn proporcional´ ösölt xargalzana. Änä²altgaanaar mön orluulaltyn togtmol mädrämjtäï funkcuud gäj när-lägddäg.

Olon xuw´sagqiïn funkciïn differencialqlal

Differencialqlalyn oïlgolt

lim∆x→0

f(x0 +∆x)− f(x0)− g(x0)>∆x

‖∆x‖= 0

nöxcliïg xangax g(x0) wektor olddog bol f : Df → IR, Df ⊂ IRn

funkciïg x0 cäg däär (bütän) differencialqlagddag funkc gänä.

• Xäräw däärx g(x0) wektor olddog bol tüüniïg gradient gäj närlääd∇f(x0) äswäl grad f(x0)-äär tämdägläe. f funkc x ∈ Df cäg däär dif-ferencialqlagddag bol tüüniïg Df däär differencialqlagddag gänä.

Tuxaïn ulamjlal

Xäräw f : Df → IR, Df ⊂ IRn funkciïn xuw´d x0 = (x01, . . . , x

0n)> cäg däär

lim∆xi→0

f(x01, . . . , x

0i−1, x

0i +∆xi, x

0i+1, . . . , x

0n)− f(x0

1, . . . , x0n)

∆xi

x¶zgaar or²dog bol tüüniïg f funkciïn x0 cäg däärx xi xuw´sagqaar

awsan (I ärämbiïn) tuxaïn ulamjlal gäj närlääd∂f

∂xi

∣∣∣x=x0

,∂y

∂xi,

fxi(x0) äswäl ∂xif -äär tämdäglädäg.


• f funkc n´ x ∈ Df cäg bür däär büx xuw´sagqiïnxaa xuw´d tuxaïnulamjlaluudtaï bol tüüniïg tuxaïn ulamjlagddag gänä. Büx tuxaïnulamjlaluud n´ tasraltgüï toxioldold f funkc n´tasraltgüï tuxaïndifferencialqlagddag gäj närlägdänä.

• Tuxaïn ulamjlal bodox üed differencialqilj baïgaagaas busadbüx xuw´sagquudyg togtmol gäj üznä. Iïmääs näg xuw´sagqiïn funkciïndifferencialqlax düräm xäräglägddäg (tuxaïlbal togtmol nämägdäxüünbolon togtmol ürjigdäxüüntäï üed differencialqlax düräm , I x. 63,65).

Gradient

Xäräw f : Df → IR, Df ⊂ IRn funkc n´ Df däär tasraltgüï tuxaïndifferencialqlagddag bol mön ug mujid bütän differencialqlagdana,änd gradient n´ tuxaïn ulamjlaluudaas zoxioson bagana wektor:

∇f(x) =(∂f(x)∂x1

, . . . ,∂f(x)∂xn

)>

x cäg däärx f funkciïn gradient(mön gradf(x) gäj tämdäglänä)

• Xäräw f funkc bütän differencialqlagddag bol

f ′(x; r) = limt↓0

f(x + tr)− f(x)t

qigläliïn ulamjlalyn xuw´d (änä toxioldold duryn r ∈ IRn qigläliïnxuw´d or²dog) f ′(x; r) = ∇f(x)>r täncätgäl xüqintäï, ∇f(x) n´ f -iïnx cäg däärx ärs buulgaltyn qigläl µm.

• Gradient ∇f(x0) n´ n = 2 üed f -iïn f(x0) tüw²in däx ²ugamynx0 cägt tatsan ²ürgägqtäï, äswäl n > 2 üed x | f(x) = f(x0) olon-logiïn x0 cägt xargalzax ∇f(x0)>(x − x0) = 0 ²ürgägq xawtgaïtaïortogonal´ baïna. n = 2 üed tüw²niï ²ugamyn ²ürgägqiïn qigläl däxqigläliïn ulamjlal n´ täg utgataï baïx bögööd änä n´ funkciïn ²uga-man döxöltiïn utga änä qiglälüüdäd togtmol boloxyg xaruulna.

Olon xuw´sagqiïn funkciïn differencialqlal 109

Dawxar funkciïn ulamjlalyn düräm

n xuw´sagqiïn uk = gk(x1, . . . , xn), k = 1, . . . ,m bolon m xuw´sagqiïn ffunkcuud xargalzan x = (x1, . . . , xn)>, u = (u1, . . . , um)> cägüüd däärbütän differencialqlagddag baïg. Tägwäl

F (x1, . . . , xn) = f(g1(x1, . . . , xn), . . . , gm(x1, . . . , xn))

dawxar funkc n´ x cäg däär bütän differencialqlagdana, üünd

∇F (x) = G′(x)>∇f(u) ⇐⇒Fx1(x)...

Fxn(x)

=

∂x1g1(x) . . . ∂x1gm(x)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∂xng1(x) . . . ∂xngm(x)

fu1(u)

...fum

(u)

∂F (x)∂xi

=m∑k=1

∂f

∂uk(g(x)) · ∂gk

∂xi(x) baïguulagqaar

Tuxaïn toxioldol m = n = 2;f(u, v) n´ u = u(x, y),v = v(x, y) baïx funkc :

∂f

∂x=∂f

∂u· ∂u∂x

+∂f

∂v· ∂v∂x

∂f

∂y=∂f

∂u· ∂u∂y

+∂f

∂v· ∂v∂y

• G′(x) n´ funkcän matric äswäl g1, . . . , gm funkcuudyn sistemiïnkobyn matric gäj närlägdänä.

Dääd ärämbiïn ulamjlaluud

Tuxaïn ulamjlaluud n´ mön funkcuud uqir todorxoï nöxcöl bieläx üedtuxaïn ulamjlaluudtaï baïna.

∂2f(x)∂xi∂xj

= fxixj(x) =

∂

∂xj

(∂f(x)∂xi

) II ärämbiïn tuxaïn

ulamjlaluud

∂3f(x)∂xi∂xj∂xk

= fxixjxk(x) =

∂

∂xk

(∂2f(x)∂xi∂xj

) III ärämbiïn tux-

aïn ulamjlaluud

warciïn teorem (differencialqlalyn baïr solix). Xäräw fxixj

bolon fxjxituxaïn ulamjlaluud n´ x cägiïn orqind tasraltgüï bol

daraax xarćaa xüqintäï: fxixj(x) = fxjxi

(x) .

• Erönxiïlöl: Xäräw k-r ärämbiïn tuxaïn ulamjlaluud or²dog bögöödtädgäär n´ tasraltgüï bol tuxaïn ulamjlaluudyg toocooloxod differ-encialqlax daraalal nölöölöxgüï.


Gessiïn matric

Hf (x) =

fx1x1(x) fx1x2(x) . . . fx1xn

(x)fx2x1(x) fx2x2(x) . . . fx2xn

(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .fxnx1(x) fxnx2(x) . . . fxnxn(x)

2 udaa tuxaïn dif-ferencialqlagddagf funkciïn xcäg däärx Gessiïnmatric

• warciïn teoremiïn nöxcöl bieläx üed Gessiïn matric n´ täg²xämtäï.

Bütän differencial

Xäräw f : Df → IR, Df ⊂ IRn funkc n´ x0 cäg däär bütän differen-cialqlagddag (I x. 107) bol daraax xarćaa bielnä:

∆f(x0) = f(x0 +∆x)− f(x0) = ∇f(x0)>∆x+o(‖∆x‖)

Yünd o(·) n´ lim∆x→0

o(‖∆x‖)‖∆x‖

= 0 qanaryg xangax Landaugiïn tämdägt.

dxi, i = 1, . . . , n-äär ül xamaarax xuw´sagqiïn n baïguulagquudyn öörqlöltüüdiïgtämdägläwäl f funkciïn x0 cäg däärx bütän differencial

∇f(x0)>∆x =∂f

∂x1(x0)dx1 + . . .+

∂f

∂xn(x0)dxn

n´ funkciïn gol ösöltiïg todorxoïlno (²ugaman döxölt); dxi differ-encial, ∆xi tögsgölög (baga) öörqlölt:

∆f(x) ≈n∑i=1

∂f

∂xi(x) ·∆xi

ürgägq xawtgaïn täg²itgäl

Xäräw f : Df → IR, Df ⊂ IRn funkc x0 cäg däär differencialqlagddagbol tüüniï grafik n´ (x0, f(x0)) (²ugaman döxölt) cäg däär

(∇f(x0)−1

)>(x− x0

y − f(x0)

)= 0 äswäl y = f(x0)+∇f(x0)>(x−x0)

täg²itgäl büxiï ²ürgägq xawtgaïtaï baïna .

Zaaglaltgüï äkstremal´ bodlogo 111

Tuxaïn mädrämj

f : Df → IR, Df ⊂ IRn funkc tuxaïn differencialqlagddag bolxämjääsgüï xämjigdäxüün εf,xi(x) (tuxaïn mädrämj) n´ i-r baïguulagqxi-iïn xarćanguï öörqlöltöös xamaarax funkciïn utgyn xarćanguïösöltiïg oïrolcoogoor ilärxiïldäg:

εf,xi(x) = fxi

(x)xif(x)

f funkciïn x cäg däärxi-r tuxaïn mädrämj

Tuxaïn mädrämjtäï xolbootoï xarćaanuud

n∑i=1

xi ·∂f(x)∂xi

= α · f(x1, . . . , xn) Äïleriïn nägän törliïnxarćaa; f n´ α zärgiïnnägän törliïn funkc

εf,x1(x) + . . .+ εf,xn(x) = α tuxaïn mädrämjüüdiïnniïlbär= nägän törliïn zäräg

ε(x) =

εf1,x1(x) . . . εf1,xn

(x)

εf2,x1(x) . . . εf2,xn(x)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

εfm,x1(x) . . . εfm,xn(x)

f1, . . . , fm funkciïnmädrämjüüdiïn matric

• εfi,xj (x) xämjigdäxüün n´ i = j üed ²uud , i 6= j üed niït mädrämjgäj närlägdänä.

Zaaglaltgüï äkstremal´ bodlogo

Xürälcäätäï olon udaa (tuxaïn) differencialqlagddag f : Df → IR,Df ⊂ IRn funkc ögögdsön baïg. f -iïn lokal´ äkstremumyn cäg (I x.47) x0-iïg olox bodlogo awq üzé, üünd x0 n´ Df -iïn dotood cäg.

Äkstremumyn zaïl²güï nöxcöl

x0 lokal´ äkstremumyn cäg=⇒∇f(x0)=0 ⇐⇒ fxi(x0) = 0, i=1, . . . , n

x0 lokal´ minimumyn cäg =⇒∇f(x0)=0 ∧Hf (x0)sörög bi²todorxoïlogdson

x0 lokal´ maksimumyn cäg =⇒∇f(x0)=0 ∧Hf (x0)äeräg bi²todorxoïlogdson

• ∇f(x0) = 0 baïx x0 cägüüdiïg f funkciïn säjigtäï cägüüd gänä.x0 säjigtäï cägiïn ¶mar näg orqind f(x) < f(x0) < f(y) baïxaar x,y cägüüd olddog bol x0 n´ f funkciïn suudlyn cäg gäj närlägdänä.Suudlyn cägüüd n´ äkstremumyn cäg boloxgüï.


• Df mujiïn xiliïn cägüüd bolon f funkciïn ulamjlal or²doggüïcägüüdiïg tusad n´ sudlax ²aardlagataï (ji²ää n´ x0 cägiïn orqindfunkciïn utguudyg ²injläx zamaar). Äeräg bolon sörög bi² todorx-oïlogdson matriciïn talaar I x. 124-d üz.

Äkstremumyn xürälcäätäï nöxcöl

∇f(x0) = 0 ∧ Hf (x0) äeräg todorxoïlogdson =⇒ x0 lokal´minimumyn cäg

∇f(x0) = 0 ∧ Hf (x0) sörög todorxoïlogdson =⇒ x0 lokal´maksimumyn cäg

∇f(x0) = 0 ∧ Hf (x0) al´ n´ q bi² =⇒ x0 suudlyn cäg

Tuxaïn toxioldol n = 2

f(x) = f(x1, x2):

∇f(x0) = 0 ∧ A > 0 ∧ fx1x1(x0) > 0 =⇒ x0 lokal´ minimumyn cäg

∇f(x0) = 0 ∧ A > 0 ∧ fx1x1(x0) < 0 =⇒ x0 lokal´ maksimumyn cäg

∇f(x0) = 0 ∧ A < 0 =⇒ x0 suudlyn cäg

Änd A = detHf (x0) = fx1x1(x0) · fx2x2(x0)− [fx1x2(x0)]2. A = 0 ed x0-iïgsäjigtäï cäg äsäx talaar dügnält xiïx bolomjgüï.

Zaaglalttaï äkstremal´ bodlogo

Näg äswäl 2 udaa tasraltgüï (tuxaïn) differencialqlagddag f : D → IR,gi : D → IR, i = 1, . . . ,m < n, D ⊂ IRn funkcuud ögögdsön bax = (x1, . . . , xn)> baïg. Zaaglalttaï äkstremal´ bodlogyn äktremumyncägüüdiïg olox bodlogo awq üzé:

f(x) −→ max /min

g1(x) = 0, . . . , gm(x) = 0(C)

• G = x ∈ D | g1(x) = 0, . . . , gm(x) = 0 n´ (C) bodlogyn bolomjitcägüüdiïn olonlog µm.

• rank G′ = m baïx regul¶r nöxcöl bieldäg baïg, änd G′ n´ m × nxämjääst, g1, . . . , gm I funkcuudyn sistemiïn funkcän matric bolonG′ matriciïn m ²ugaman xamaaralgüï baganuudyg i1, . . . , im, üldäxbaganuudyg im+1, . . . , in gäj dugaarla¶.

Zaaglalttaï äkstremal´ bodlogo 113

lgan zaïluulax arga

1. xij , j=1, . . . ,m xuw´sagquudyg (C) bodlogyn gi(x)=0, i = 1, . . . ,mzaaglaltuudaas ¶lgax: xij = gij (xim+1 , . . . , xin) .

2. xij , j = 1, . . . ,m xuw´sagquudyg f funkcäd orluulax: f(x) =f(xim+1 , . . . , xin).

3. n − m xuw´sagqtaï f funkciïn säjigtäï cägüüdiïg olj äk-stremumyn törliïg todorxoïlox (I x. 111 dax´ nöxclüüd).

4. (C) bodlogyn säjigtäï cägüüdiïg oloxyn tuld 1. alxam ësoorüldägdäl xij , j = 1, . . . ,m gäsän m xuw´sagquudyg toocoolox.

• f funkciïn xuw´d gargasan äkstremumyn törliïn dügnält n´ (C)bodlogyn xuw´d mön xüqintäï.

Lagranjiïn ürjigdäxüüniï arga

1. gi(x) = 0 zaaglalt bürt λi ∈ IR, i = 1, . . . ,m gäsän Lagranjiïnürjigdäxüüniïg (olox ëstoï) xargalzuulax.

2. (C) bodlogod xargalzax Lagranjiïn funkciïg biqix, änd λ =(λ1, . . . , λm)>:

L(x,λ) = f(x) +m∑i=1

λigi(x) .

3. x bolon λ xuw´sagqaas xamaarsan L(x,λ) funkciïn xuw´d (x0,λ0)säjigtäï cägüüdiïg

Lxi(x,λ) = 0, i=1, . . . , n; Lλi(x,λ) = gi(x) = 0, i=1, . . . ,m

(erönxiï toxioldold ²ugaman bus) täg²itgäliïn sistemääs olox.

x0 n´ (C) bodlogyn säjigtäï cäg bolno.

4. Xäräw n × n xämjääst ∇ 2xxL(x0,λ0) (L funkciïn Gessiïn matri-

ciïn x xuw´sagqaar awsan xäsäg) n´ T =z∈ IRn |∇gi(x0)>z = 0, i =1, . . . ,m olonlog däär äeräg todorxoïlogdson , tuxaïlbal

z>∇ 2xxL(x0,λ0)z > 0 ∀ z ∈ T, z 6= 0,

bol x0 n´ (C) bodlogyn xuw´d lokal´ minimumyn, ∇ 2xxL(x0,λ0)

n´ sörög todorxoïlogdson toxioldold x0 lokal´ maksimumyn cägbolno.


Lagranjiïn ürjigdäxüüniï ädiïn zasgiïn taïlbar

Daraax (ödöögq parametrtäï) bodlogyn äkstremumyn cäg x0 n´

f(x) → max /min;

gi(x)− bi = 0, i = 1, . . . ,m(Cb)

b = b0 üed cor ganc or²dog bögööd λ0 = (λ01, . . . , λ

0m)> n´ x0 cägt

xargalzax Lagranjiïn ürjigdäxüüniï wektor baïg. Mön rank G′ = mgäsän regul¶r nöxcöl bieldäg gäj üzé ( x. 112-iïg üz). f∗(b) -oor b =(b1, . . . , bm)> baruun talyn wektoroos xamaarsan (Cb) bodlogyn onowq-toï utgyg tämdägläwäl

∂f∗

∂bi(b0) = −λ0

i ,

ö. x. −λ0i n´ (Cb) bodlogyn onowqtoï utgyn öörqlölt däx baruun talyn

i-r baïguulagqiïn nölöög (oïrolcoogoor) ilärxiïlnä.

Xamgiïn baga kwadratyn arga

(xi, yi), i = 1, . . . , N (xi xämjiltiïn buµu xugacaanycägüüd, yi xämjiltiïn ut-guud) xos cägüüd ögögdsön baïg.Xämjiltiïn utguudyg bolomjitsaïn döxsön y = f(x,a) xand-lagyn funkciïg olox, üünda = (a1, . . . , aM ) wektor onowqtoïbaïdlaar xandlagyn funkciïgtodorxoïlox M parameträäsbürdänä.

x

y

r r r rr r r

r

f(x,a)=a1+a2x

• [zi] =N∑i=1

zi n´ Gaussiïn xaaltyg tämdägläe.

S =N∑i=1

(f(xi,a)−yi)2 −→ min aldaany kwadratuudynniïlbäriïg minimal´qlax

N∑i=1

(f(xi,a)− yi) ·∂f(xi,a)∂aj

= 0 minimumyn zaïl²güï nöxcöl(normal´ täg²itgäl) , j=1, 2, . . . ,M

• Minimumyn zaïl²güï nöxcöl n´ ∂S∂aj

= 0 xarćaanaas garax bögööd

f xandlagyn funkciïn todorxoï xälbärääs xamaarna. x = (x1, . . . , xn)>

baïx erönxiï xälbäriïn f(x,a) xandlagyn funkciïn xuw´d töstäï täg²it-gälüüd biqigddäg.

Aldaany tarxalt 115

Xandlagyn funkciïn zarim xälbär

f(x, a1, a2) = a1 + a2x ²ugaman funkc

f(x, a1, a2, a3) = a1 + a2x+ a3x2 kwadrat funkc

f(x,a) =M∑j=1

aj · gj(x) örgötgösön ²ugaman funkc

• Däärx toxioldluudad normal´ täg²itgälüüdiïn ²ugaman sis-tem garna:

²ugaman xandlagyn funkc kwadrat xandlagyn funkc

a1 ·N + a2 · [xi] = [yi]

a1 · [xi] + a2 · [x 2i ] = [xiyi]

a1 ·N + a2 · [xi] + a3 · [x 2i ] = [yi]

a1 · [xi] + a2 · [x 2i ] + a3 · [x 3

i ] = [xiyi]

a1 · [x 2i ] + a2 · [x 3

i ] + a3 · [x 4i ] = [x 2

i yi]

ugaman xandlagyn funkciïn xuw´d il ²iïd

a1 =[x 2i ] · [yi]− [xiyi] · [xi]N · [x 2

i ]− [xi]2, a2 =

N · [xiyi]− [xi] · [yi]N · [x 2

i ]− [xi]2

X¶lbarqlal

• x′i = xi − 1N [xi] xuwirgaltaar [x′i] = 0 bolox uqir normal´ täg²it-

gäliïn sistem x¶lbarqlagdana.

• y = f(x) = a1 · ea2x iltgägq döxöltiïn funkciïn xuw´d T (y) =ln y xuwirgaltaar (f(x) > 0 üed) normal´ täg²itgälüüdiïn ²ugamansistemd ²iljdäg.

• f(x) = a · (1 + be−cx)−1 (a, b, c > 0) logistik funkciïn xuw´d amädägddäg bol a

y = be−cx =⇒ Y = ln a−yy = ln b− cx xuwirgalt n´ a1 =

ln b, a2 = −c gäj orluulax zamaar normal´ täg²itgälüüdiïn ²ugamansistemd ²iljüülnä.

Aldaany tarxalt

Aldaany tarxalt n´ funkciïn utgyn toocoond garax ül xamaaraxxuw´sagqiïn aldaany nölöög sudalna.


Tämdäglägää

jinxänä utga y, x1, . . . , xn änd y=f(x)=f(x1, . . . , xn)

oïrolcoo utga y, x1, . . . , xn, änd y=f(x) = f(x1, . . . , xn)

absolµt aldaa δy = y − y, δxi = xi − xi, i = 1, . . . , n

absolµt aldaany xil ∆ |δy| ≤ ∆y, |δxi| ≤ ∆xi, i = 1, . . . , n

xarćanguï aldaa δy

y,δxixi, i = 1, . . . , n

xarćanguï aldaany xil

∣∣∣∣δyy∣∣∣∣ ≤ ∆y

|y|,

∣∣∣∣δxixi∣∣∣∣ ≤ ∆xi

|xi|, i = 1, . . . , n

• f funkc bütän differencialqlagddag bol tüüniï absolµt aldaandax´ ül xamaarax xuw´sagqiïn aldaa δxi-iïn tarxaltyn xuw´d:

∆y ≈∣∣∣∣∂f(x)∂x1

∣∣∣∣∆x1 + . . .+∣∣∣∣∂f(x)∂xn

∣∣∣∣∆xn− f(x)-iïn absolµt aldaany xil

∆y

|y|≈∣∣∣∣ x1

y· ∂f(x)∂x1

∣∣∣∣ · ∆x1

|x1|+ . . .+

∣∣∣∣ xny · ∂f(x)∂xn

∣∣∣∣ · ∆xn|xn|− f(x)-iïn xarćanguï aldaany xil

Ädiïn zasgiïn xäräglää

Kobb-Duglasyn üïldwärläliïn funkc

y = f(x) = c · xa11 · xa2

2 · . . . · xann xi i-r xüqin züïliïn orc

(c, ai ≥ 0) y garc

• Kobb-Duglasyn funkc n´ r = a1 + . . . + an zärgiïn I nägän törliïnfunkc. fxi(x) = ai

xif(x), ö. x. εf,xi(x) = ai bieläx uqir ai zärgüüd n´

üïldwärläliïn (tuxaïn) mädrämjüüd bolno.

Orluulaltyn axiu xurd

Yïldwärläliïn funkc y = f(x1, . . . , xn)-iïn y0-täï täncüü I tüw²niï²ugam (izokwant) awq üzäj buï üed k-r xüqin züïliïg näg nägjäärnämägdüüläxäd ijilxän garctaï baïlgaxyn tuld busad n´ togtmol üedxi xuw´sagqiïg xädän nägjäär öörqlöx wä gäsän bodlogo awq üzé. Zarimtaamaglal bielägdäj baïxad xk = ϕ(xi) funkciïg il xälbäräär (I il

Ädiïn zasgiïn xäräglää 117

funkc) todorxoïlj bolno. Änä funkciïn ulamjlalyg orluulaltyn axiuxurd gäj tämdäglänä:

ϕ′(xi) = − fxi(x)

fxk(x)

orluulaltyn axiu xurd(k-r xüqin züïliïg i-äär orluulna)

Koll opciony üniïn mädrämj

Blak-olćyn tom³ëo Pcall = P · Φ(d1)− S · e−iT · Φ(d2)

üünd d1 = 1σ√T

[ln P

S + T ·(i+ σ2

2

)]ba d2 = d1 − σ

√T . Änä tom³ëo n´

xuwćaany talaarx koll opciony Pcall üniïg P (odoo baïgaa jinxänäünä), S (xudaldagdax ünä), i (xüügiïn ärsdälgüï tüw²in, tasralgüïniïlmäl), T (opciony üldägdäl xäsäg), σ2 (xuwćaa olgox üe büriïnwariac) zäräg orcuudaas xamaaruulj oldog. Yünd Φ n´ standart nor-

mal´ tarxaltyn funkc ba ϕ n´ tüüniï n¶gtyn funkc: ϕ(x) = 1√2π· e− x2

2 .

i-r orc∆xi-äär öörqlögdsön (busad n´ togtmol) üed koll üniïn öörqlöltiïg∂Pcall∂xi

·∆xi tuxaïn ulamjlalyn tuslamjtaï olno, üünd

∆ =∂Pcall∂P

= Φ(d1) > 0 delta; xuwćaany ünä P -iïnöörqlöltöös xamaarax mädrämj

Λ =Pcall∂σ

= P · ϕ(d1) ·√T > 0 lambda; σ-iïn öörqlöltöös xam-

aarsan koll üniïn mädrämj

118 ugaman algebr

ugaman algebr

Wektor

a =

a1

...an

ai baïguulagquudtaïn xämjääst wektor

e1 =

10...0

, e2 =

01...0

, . . . , en =

0...01

koordinatyn sistemiïnsuur´ wektoruud,nägj wektoruud

• IRn n´ n xämjääst wektoruudyn ogtorguï; IR1 toon ²uluun; IR2 xawtgaï; IR3 (3 xämjääst) ogtorguï.


λa = λ

a1

...an

=

λa1

...λan

λ bodittoogoorürjüüläx

λa

a(λ>1)

a± b =

a1

...an

±

b1...bn

=

a1 ± b1...

an ± bn

nämäx,xasax a

b

a+b

a · b =

a1

...an

·

b1...bn

=n∑i=1

aibi skal¶r ürjwär

a · b = a>b, a> = (a1, . . . , an) skal¶r ürjwäriïn öörtämdägläl; a> n´ a-iïnxörwösön wektor

a× b = (a2b3 − a3b2)e1

+(a3b1 − a1b3)e2 + (a1b2 − a2b1)e3

a, b ∈ IR3-iïn xuw´dwektor ürjwär

|a| =√

a>a =

√n∑i=1

a 2i a wektoryn modul´

• a = (a1, . . . , an)> ∈ IRn wektor büriïn xuw´d a = a1e1 + . . . + anenxarćaa xüqintäï.

uluun bolon xawtgaïn täg²itgäl 119

Skal¶r ürjwär bolon moduliïn qanaruud

a>b = b>a a>(λb) = λa>b, λ ∈ IR

a>(b + c) = a>b + a>c |λa| = |λ| · |a|

a>b = |a| · |b| · cosϕ (a, b ∈ IR2, IR3; zurgiïg vz)a

b

ϕ

|a + b| ≤ |a|+ |b| gurwaljny täncätgäl bi²

|a>b| ≤ |a| · |b| Ko²i-warciïn täncätgäl bi²

Wektoruudyn ²ugaman äwlüüläg

Xäräw b n´ a1, . . . ,am ∈ IRn wektoruudyn λ1, . . . , λm ∈ IR skal¶r koäffi-cientuudaar xargalzan ürjigdsän niïlbär, ö. x.

b = λ1a1 + . . .+ λmam (*)

bol tüüniïg a1, . . . ,am wektoruudyn ²ugaman äwlüüläg gäj närlädäg.

• Xäräw (∗)-d λ1 + λ2 + . . .+ λm = 1 bolon λi ≥ 0, i = 1, . . . ,m nöxclüüdbieldäg bol b-g a1, . . . ,am wektoruudyn güdgär ²ugaman äwlüüläg gäjnärlänä.

• Xäräw (∗)-d λ1 +λ2 + . . .+λm = 1 nöxcöl bieldäg xarin λi, i = 1, . . . ,mn´ duryn toonuud bol b n´ a1, . . . ,am wektoruudyn affin ²ugamanäwlüüläg bolox µm.

• Xäräw (∗)-d λi ≥ 0, i = 1, . . . ,m nöxcöl bieldäg bol b n´ a1, . . . ,amwektoruudyn konus ²ugaman äwlüüläg gäj närlägdänä.

ugaman xamaaral

a1, . . . ,am ∈ IRn gäsän m wektoruudyn xuw´d

λ1a1 + . . .+ λmam = 0

baïx, nägän zäräg täg bi² λ1, . . . , λm toonuud olddog bol tädgääriïg²ugaman xamaaraltaï gänä.

Äsräg toxioldold a1, . . . ,am wektoruud n´ ²ugaman xamaaralgüï.

• IRn ogtorguïd ²ugaman xamaaralgüï wektoruud xamgiïn ixdää n baïna.

• Xäräw a1, . . . ,an ∈ IRn wektoruud n´ ²ugaman xamaaralgüï bol tädgäärn´ IRn ogtorguïn suur´ bolno, ö. x. a ∈ IRn wektor bür n´ näg utgataïgaar

a = λ1a1 + . . .+ λnan xälbärt biqigddäg.

120 ugaman algebr

uluun bolon xawtgaïn täg²itgäl

IR2 dax´ ²uluun

Ax+By + C = 0 erönxiï xälbär

x

y

a

b

α

y = mx+n, m=tanα il xälbär

y − y1 = m(x− x1) cäg-qiglält xälbär

y − y1x− x1

=y2 − y1x2 − x1

2 cägt xälbär

x = x1 + λ(x2 − x1)−∞ < λ <∞

2 cägt xälbäriïn parametrt dürsläl

x1 =(x1

y1

), x2 =

(x2

y2ed

); x. 120-d

IR3 dax´ 2 cägt xälbärtäï xarćuul

x

a+y

b= 1 xärqimt täg²itgäl

tanϕ =m2 −m1

1 +m1m2

ogtlolcson l1, l2 2 ²u-luuny xoorondox öncög

l1

l2 ϕ

l1 ‖ l2 : m1 = m2 paralell baïx nöxcöl

l1 ⊥ l2 : m2 = − 1m1

ortogonal´ baïx nöxcöl

IR3 dax´ ²uluun

cäg-qiglält (parametrt) xälbär: x0 bäxlägdsän wektort xargalzax l²uluuny P0(x0, y0, z0) cäg bolon a = (ax, ay, az)> qiglüülägq wektorögögdsön

x = x0 + λa−∞ < λ <∞

baïguu-lag-qaar :

x = x0 + λaxy = y0 + λayz = z0 + λaz

x0

x

λa

s0

sP0 s l

2 cägt xälbär: x1, x2 bäxlägdsän wektoruudad xargalzax l ²uluunyP1(x1, y1, z1) bolon P2(x2, y2, z2) 2 cägüüd ögögdsön

x=x1+λ(x2−x1)−∞ < λ <∞

baïguu-lag-qaar :

x = x1 + λ(x2 − x1)y = y1 + λ(y2 − y1)z = z1 + λ(z2 − z1)

x1 x2x

l

s0

sP1 sP2 s

uluun bolon xawtgaïn täg²itgäl 121

IR3 dax´ xawtgaï

parametrt xälbär: x0 bäxlägdsän wektort xargalzax xawtgaïnP0(x0, y0, z0) cäg bolon a = (ax, ay, az)>, b = (bx, by, bz)> 2qiglüülägq wektoruud ögögdsön

x = x0 + λa + µb−∞ < λ <∞−∞ < µ <∞

baïguu-lag-qaar:

x = x0+λax+µbxy = y0 +λay +µbyz = z0 +λaz +µbz

a

b

sx0x

0x = x0 + λa + µb xawtgaïn normal´ wektor :

n = a× b

P0 cägiïg aguulsan xawtgaïntäg²itgäliïn normal´ xälbär

n · x = D änd D = n · x0, n = (A,B,C)>

baïguulagqaar: Ax+By + Cz = D

E

n

..

Gessiïn normal´ xälbär

n · x−D

|n|= 0

baïguulagqaar:Ax+By + Cz −D√

A2 +B2 + C2= 0

n · x = D xawtgaï bolon p bäxlägdsän wektort xargalzaxP cägiïn xoorondox zaïn wektor d :

d =n · p−D

|n|2n

n · x = D xawtgaï bolon p bäxlägdsänwektort xargalzax P cägiïn xooron-dox δ xamgiïn baga zaï (tämdäg tooc-son)

E

sPd

..

δ =n · p−D

|n|

122 ugaman algebr

Matric

aij , i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , n gäsän m ·n bodit toonuudyn (älement) täg²öncögt xüsnägtiïg (m,n) xämjääst matric gääd A-aar tämdägläe:

A =

a11 . . . a1n

.... . .

...am1 . . . amn

= (aij) i = 1, . . . , mj = 1, . . . , n

i möriïn dugaar, j baganyn dugaar; (m, 1) xämjääst matriciïgbagana, (1, n) xämjääst matriciïg mör wektor gänä.

• A matriciïn ²ugaman xamaaralgüï mör wektoruudyn xamgiïn ix toon´ möriïn, ²ugaman xamaaralgüï bagana wektoruudyn xamgiïn ix toon´ baganyn rang bolno.• Möriïn rang=baganyn rang nöxcöl bielnä, ö. x. rank (A)=möriïnrang=baganyn rang.


A = B ⇐⇒ aij = bij ∀ i, j täncüü baïx

λA : (λA)ij = λaij bodit toogoor ürjüüläx

A±B : (A±B)ij = aij ± bij nämäx, xasax

A> : (A>)ij = aji xörwüüläx

A ·B : (A ·B)ij =p∑r=1

airbrj ürjüüläx

Nöxcöl: A, B matricuud niïctäï, ö. x. A n´ (m, p) xämjäästmatric, B n´ (p, n) xämjääst matric bol AB ürjwär matric n´(m,n) xämjäästäï baïna.

Matricuudyg ürjüüläxFalkiïn sxem

b11

...bp1

. . .

. . .

b1j

...bpj

. . .

. . .

b1n

...bpn

B

A

a11 . . . a1p

......

ai1 . . . aip

......

am1 . . . amp

......· · · · · · · · · cij =

p∑r=1

airbrj C = A · B

Matric 123

Yïldliïn dürmüüd (λ, µ ∈ IR; O = (aij) n´ aij = 0 ∀ i, j baïx tägmatric)

A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C)

(A + B)C = AC + BC A(B + C) = AB + AC

(A>)> = A (A + B)> = A> + B>

(λ+ µ)A = λA + µA (λA)B = λ(AB) = A(λB)

(AB)C = A(BC) AO = O

(AB)> = B>A> (λA)> = λA>

Tusgaï matricuud

kwadrat matric mör bolon baganyn toonuud täncüü

I nägj matric aii=1, i 6=j bol aij=0 baïx kwadrat matric

D diagonal´ matric i 6= j bol dij = 0 baïx kwadrat matric,tämdäglägää: D = diag (di), di = dii

täg² xämt matric A> = A baïx kwadrat matric

ül böxöx matric detA 6= 0 baïx kwadrat matric

böxöx matric detA = 0 baïx kwadrat matric

A-iïn urwuu matric AA−1 = I baïx A−1 matric

ortogonal´ matric AA> = I baïx ül böxöx matric

äeräg todorxoï- ∀x 6= 0,x ∈ IRn xuw´d x>Ax > 0 baïxlogdson matric täg² xämt matric

sörög bi² todorxoï- ∀x∈ IRn xuw´d x>Ax ≥ 0 baïxlogdson matric täg² xämt matric

sörög todorxoï- ∀x 6= 0,x ∈ IRn xuw´dlogdson matric x>Ax < 0 baïx täg² xämt matric

äeräg bi² todorxoï- ∀x∈ IRn xuw´d x>Ax ≤ 0 baïxlogdson matric täg² xämt matric

Zarim ül böxöx matricuudyn qanaruud

I> = I det I = 1 I−1 = I

AI = IA = A A−1A = I (A−1)−1 = A

(A−1)> = (A>)−1 (AB)−1 = B−1A−1 det(A−1) =1

detA

124 ugaman algebr

Urwuu matric

A−1 =1

det A

(−1)1+1 detA11 . . . (−1)1+n det An1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(−1)n+1 det A1n . . . (−1)n+n detAnn

Aik n´ A matricaas i-r mör bolon k-r baganyg daraxad garax dädmatric (Ix. 129 toon algoritmiïg üz)

Matriciïn todorxoïlogdox ²injüüd

• Bodit täg² xämt (n, n) xämjääst A = (aij) matric äeräg todorxoïlog-dox zaïl²güï bögööd xürälcäätäï nöxcöl n´ tüüniï n gol minoruud äerägbaïx ¶wdal:∣∣∣∣∣∣

a11 . . . a1k

. . . . . . . . . . . .ak1 . . . akk

∣∣∣∣∣∣ > 0 k = 1, . . . , n.

• Bodit täg² xämt (n, n) xämjääst A = (aij) matric sörög todorxoïlog-dox zaïl²güï bögööd xürälcäätäï nöxcöl n´ tüüniï n gol minoruudyndaraalal sörögöös äxlääd tämdäg sööljilsön baïx ¶wdal (äswäl än qacu-ugaar: xäräw −A n´ äeräg todorxoïlogdson bol):

(−1)k

∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1k

. . . . . . . . . . . .ak1 . . . akk

∣∣∣∣∣∣ > 0 k = 1, . . . , n.

• Bodit täg² xämt matric n´ äeräg todorxoïlogdox (sörög bi², sörög,äeräg bi² todorxoïlogdox) zaïl²güï bögööd xürälcäätäï nöxcöl n´tüüniï büx xuwiïn utguud (I xuwiïn utgyn bodlogo x. 130) n´ äeräg(sörög bi², sörög, äeräg bi²) baïx ¶wdal.

Todorxoïlogq

Kwadrat (n, n) xämjääst A matriciïn xuw´d

D = det A =

∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1n

.... . .

...an1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣ = ai1(−1)i+1 detAi1 + . . .+ ain(−1)i+n detAin

gäj rekursiwaar todorxoïlogdoxD toog tüüniïtodorxoïlogq gänä. ÄndAik n´ A matricaas i-r mör, k-r baganyg daraxad garax matric. (1, 1)xämjääst matriciïn todorxoïlogq n´ tüüniï cor ganc älement baïna.Däärx todorxoïloltoor todorxoïlogqiïg toocooloxyg i-r möriïn xuw´dLaplasiïn zadargaa gädäg.

ugaman täg²itgäliïn sistem 125

• Duryn mör buµu bagana, tuxaïlbal k-r baganad xargalzax zadargaaga²iglaj D-iïn mön ijil utgyg olj bolno:

D = det A =

∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1n

.... . .

...an1 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣ = a1j(−1)1+j det A1j+. . .+anj(−1)n+j detAnj .

Tuxaïn toxioldluud (Sarrµsiïn düräm)

n = 2: n = 3:

a11 a12

a21 a22

− +

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

− − − + + +

det A = a11a22 − a12a21 detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

n-r ärämbiïn todorxoïlogqiïn qanaruud

• Matriciïn 2 mör äswäl 2 baganuudyn baïryg solixod todorxoïlogqn´ tämdgää öörqilnö.

• Xäräw matriciïn 2 mör (bagana) xoorondoo täncüü bol todorxoïlogqiïnutga n´ tägtäï täncüü.

• Matriciïn al´ näg mör (bagana ) däär tüüniï öör möriïg (baganyg)toogoor ürjüülj nämäxäd todorxoïlogq n´ öörqlögdöxgüï.

• Xäräw matriciïn al´ näg möriïg (baganyg) toogoor ürjüüläxädtüüniï todorxoïlogqiïn utga n´ mön tär toogoor ürjigdänä.

• Daraax xarćaanuud xüqintäï:detA = detA>, det(A ·B) = det A · det B,

det(λA) = λn det A (λ bodit too).

ugaman täg²itgäliïn sistem

a11x1 + . . .+ a1nxn = b1Ax = b baïguulagqaar: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + . . .+ amnxm = bm

(∗)

²ugaman täg²itgäliïn sistemiïn xuw´d xäräw b = 0 bol (baïguu-lagqaar: bi = 0 ∀ i = 1, . . . ,m) nägän törliïn, b 6= 0 bol (baïguulagqaar:

126 ugaman algebr

¶daj näg i ∈ 1, . . . ,m-iïn xuw´d bi 6= 0) nägän törliïn bi² gäj när-lägddäg. Xäräw (∗) n´ niïctäï (ö. x., ²iïdtäï) bol büx ²iïdüüdiïn olon-logiïg erönxiï ²iïd gänä.

• (∗) sistem niïctäï baïx zaïl²güï bögööd xürälcäätäï nöxcöl n´rank (A) = rank (A, b).• m = n üed (∗) sistem cor ganc ²iïdtäï baïx zaïl²güï bögööd xüräl-cäätäï nöxcöl n´ detA 6= 0.• Ax = 0 nägän törliïn sistem n´ ürgälj x = 0 ilärxiï ²iïdtäïbaïna.

• m = n üed Ax = 0 nägän törliïn sistem tägääs ¶lgaataï ²iïdtäïbaïx zaïl²güï bögööd xürälcäätäï nöxcöl n´ detA = 0.• Xäräw xh n´ Ax = 0 nägän törliïn sistemiïn erönxiï ²iïd bolonxs n´ (∗) sistemiïn tuxaïn ²iïd bol (∗) nägän törliïn bus sistemiïnerönxiï x-iïn xuw´d daraax xarćaa bielnä:

x = xh + xs

Gaussyn ¶lgan zaïluulax arga

lgan zaïluulax

Änä ²atand (m,n) xämjääst A matric büxiï Ax = b ²ugaman täg²it-gäliïn sistemääs alxam bürt tuxaïn mör däx bolomjit xuw´sagqiïgdaraagiïn bolomjit xuw´sagq buµu mör oldoxgüï boltol n´ ¶lgan zaïlu-uldag. Zaïluulsan xuw´sagquudyg caa²dyn toocoond a²iglaxyn tuldxuw´sagq zaïluulsan mörüüdiïg tämdäglänä.

Gaussyn ¶lgan zaïluulax arga 127

Toocoolox algoritm (¶lgan zaïluulax alxmyn äxniï ²at)

1. apq 6= 0 baïx matriciïn älement olox. Xäräw matriciïn büx äle-mentiïn xuw´d aij = 0 bol ¶lgan zaïluulax alxam duusna. xq n´ ¶l-gagdax xuw´sagq, p n´ ¶lgagdax mör bol apq-g gol älement gänä.

2. q baganyg täg bolgox :

p möriïgaiqapq

älementäär ürjüülj, i 6= p baïx büx i mörüüdääs

xasax:

aij := aij −aiqapq

apj , j = 1, . . . , n; i = 1, . . . , p− 1, p+ 1, . . . ,m

bi := bi −aiqapq

bp, i = 1, . . . , p− 1, p+ 1, . . . ,m

3. p möriïg täg²itgäliïn sistemääs xasaj, tämdäglänä.

4. Xäräw üldsän täg²itgäliïn sistem n´ zöwxön 1 möriïg aguuljbaïwal ¶lgan zaïluulax alxam duusna.

Niïctäï äsäxiïg togtoox

Yldäj baïgaa Ax = b sistemiïg awq üzé.

I toxioldol A = 0,b 6= 0 =⇒ (∗) täg²itgäliïn sistem niïcgüï.

II toxioldol A = 0,b = 0 =⇒ (∗) täg²itgäliïn sistem niïctäï. Yldsän

sistemiïg xasax.

III toxioldol A 6= 0 =⇒ (∗) täg²itgäliïn sistem niïctäï.Yldsän sistem n´ zöwxön ganc möröösbürdänä. Yüniïg ¶lgan zaïluulax alxamdtämdäglägdsän busad mörüüdtäï nägtgäx.

Bucaaj orluulax

Tämdäglägdsän täg²itgälüüd diagonal´ matrictaï sistemiïg üüsgänä(täg²itgäl bürt ömnöx täg²itgälüüdäd zaïluulagdsan xuw´sagquud tox-ioldoxgüï).

I toxioldol Xäräw ¶lgan zaïluulax alxmyn too n−1 bol (∗) sistemn´ cor ganc ²iïdtäï. Mädägdäj baïgaa xuw´sagquudyg süüliïnxääs n´äxniï täg²itgäl xürtäl orluulj zöwxön 1 xuw´sagq aguulsan täg²itgälbüriïg bodox zamaar ug ²iïdiïg toocoolno.

II toxioldol Xäräw ¶lgan zaïluulax alxmyn too k n´ k < n − 1nöxcliïg xangadag bol (∗) sistem tögsgölgüï olon ²iïdtäï. Ädgäär

128 ugaman algebr

²iïdüüdiïg dürsläxdää süüliïn täg²itgäliïn al´ näg xuw´sagqiïgüldäj buï n − k xuw´sagquudaar ilärxiïlääd tädgääriïg parametruudgäj üznä. Daraa n´ I toxioldoltoï adilaar süüliïnxääs n´ äxniï täg²it-gäl xürtäl orluulax zamaar ädgäär parametruudaas xamaarsan k xuw´sagqiïg¶lgana.

Gaussiïn ¶lgan zaïluulax argyn xuwilbar• Xäräw awq üzäj buï täg²itgäliïn sistem niïctäï bol mör baganygdaxin dugaarlax zamaar a11-g, k-r alxmyn daraa a1,k+1-g (ö. x., diago-nal´ älementüüd) gol älementäär songoj bolno. Änä toxioldold täg²it-gäliïn sistem n´ Gaussiïn ¶lgan zaïluulax argyg xärägläsniï daraa

RxB + SxN = c

xälbärt ²iljinä, änd R n´ baruun dääd gurwaljin matric (xB suur´xuw´sagqid, xN suur´ bi² xuw´sagqid). SxN (sistem cor ganc ²iïdtäïüed) xälbär toxioldoxgüï baïj bolno. Diagonaliïn dääd xäsgiïg tägbolgowol R = D (diagonal´ matric) äswäl R = I xälbärt ²iljinä.Süüliïn toxioldold bucaaj orluulax ²at ²aardlagagüï.

• I Baïr solix arga (x. 129) n´ Gaussiïn ¶lgan zaïluulax argyn nägxuwilbar µm.

Krameriïn düräm

Xäräw A ül böxöx matric bol Ax = b ²ugaman täg²itgäliïn ²iïdx = (x1, . . . , xn)> n´:

xk=det Ak

det A, änd Ak=

a11 . . . a1,k−1 b1 a1,k+1 . . . a1n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 . . . an,k−1 bn an,k+1 . . . ann

, k=1, . . . , n

Baïr solix arga

affin ²ugaman täg²itgäliïn sistem wektor dürsläl

y1 = a11x1 + . . . + a1nxn + a1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ym = am1x1 + . . . + amnxn + am

y = Ax + a

yi xamaarax xuw´sagq, suur´ xuw´sagq (i = 1, . . . ,m)

xk ül xamaarax xuw´sagq, suur´ bi² xuw´sagq (k = 1, . . . , n)ai = 0 yi n´ ²ugaman funkc

a = 0 täg²itgäliïn sistemiïg nägän törliïn gänä

Baïr solix arga 129

Suur´ xuw´sagqiïg suur´ bi² xuw´sagqaar solix

Suur´ xuw´sagq yp-g suur´ bi² xuw´sagq xq-äär solix.

Nöxcöl: apq 6= 0. apq-g gol älement gäj närlädäg.

xuuqin sistem ²inä sistem

xB = AxN + a üünd xB = BxN + b üünd

xB = (y1, . . . , ym)> xB = (y1, . . . , yp−1, xq, yp+1, . . . , ym)>

xN = (x1, . . . , xn)> xN = (x1, . . . , xq−1, yp, xq+1, . . . , xn)>

↓ ↓. . . xk . . . xq . . . 1

......

......

yi = . . . aik . . . aiq . . . ai...

......

...→ yp = . . . apk . . . apq . . . ap

......

......

tuslax bagana . . . bpk . . . ∗ . . . bp

. . . xk . . . yp . . . 1...

......

...yi = . . . bik . . . biq . . . bi...

......

...→ xq = . . . bpk . . . bpq . . . bp

......

......

Baïr solix dürmüüd

(A1) bpq :=1apq

(A2) bpk := −apkapq

k=1, . . . , q−1, q+1, . . . , n bp := − apapq

(A3) biq :=aiqapq

i=1, . . . , p−1, p+1, . . . ,m

(A4) bik := aik + bpk · aiq i=1, . . . , p−1, p+1, . . . ,m;k = 1, . . . , q−1, q+1, . . . , n

bi := ai + bp · aiq i=1, . . . , p−1, p+1, . . . ,m

• Tuslax bagana n´ (A4) dürmäär x¶lbarqlaxad xärägtäï .

Urwuu matric

Xäräw A n´ ül böxöx matric bol y = Ax nägän törliïn sistemd y ↔ xgäsän ²iljilt ürgälj bolomjtoï. Yr dünd n´ x = By gäj oldono, ändB = A−1:

xy = A

=⇒ y

x = A−1

130 ugaman algebr

Gaussiïn ¶lgan zaïluulax argyn tuslamjtaïgaarA−1 matriciïg daraaxxüsnägtiïn daguu toocoolj bolno:

(A | I) =⇒ (I |A−1)

• Ygqilbäl: A bolon I nägj matriciïg zärägcää örgötgösön xälbäräärbiqääd A n´ I-d ²iljixäär Gaussiïn ¶lgan zaïluulax argyg xärägläxädbaruun gar tald n´ A−1 urwuu matric üüsnä.

Matriciïn xuwiïn utgyn bodlogo

Xäräw

Ar = λr baïguulagqaar:a11r1 + . . . + a1nrn = λr1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1r1 + . . . + annrn = λrn

baïx r 6= 0 wektor olddog bol λ ∈ C toog kwadrat (n, n) xämjääst Amatriciïn xuwiïn utga gänä.

λ xuwiïn utgad xargalzax däärx täg²itgäliïg xangasan r wektoryg Amatriciïn xuwiïn wektor gäj närlädäg. Änä n´ (A − λI)x = 0 gäsännägän törliïn ²ugaman täg²itgäliïn ²iïd µm.

Xuwiïn utgyn qanaruud

• Xäräw r1, . . . , rk n´ λ xuwiïn utgad xargalzax xuwiïn wektoruud bol

r = α1r1 + . . .+ αkrk

n´ nägän zäräg täg bi² αi toonuudyn xuw´d mön λ-d xargalzax xuwiïnwektor bolno.

• λ too A matriciïn xuwiïn utga baïx zaïl²güï bögööd xürälcäätäïnöxcöl n´

pn(λ) := det(A− λI) = 0

baïx ¶wdal. pn(λ) gäsän n zärgiïn olon gi²üüntiïg A matriciïn xarak-teristik olon gi²üünt gänä. Xarakteristik olon gi²üüntiïn ¶zguurλ-iïn dawxardlyn too n´ λ xuwiïn utgyn algebriïn dawxardal gäj när-lägddäg.

• λ xuwiïn utgad xargalzax ²ugaman xamaaralgüï wektoruudyn too n´

n− rank (A− λI)

baïx bögööd tüüniïg λ xuwiïn utgyn geometr dawxardal gädäg. Änä n´λ xuwiïn utgyn algebriïn dawxardlaas xäträxgüï.

Matrican zagwaruud 131

• Xäräw rj , j = 1, . . . , k n´ öör xooroondoo ¶lgaataï λj , j = 1, . . . , kxuwiïn utguudad xargalzax xuwiïn wektoruud bol tädgäär n´ ²ugamanxamaaralgüï.

• (n, n) xämjääst D = diag (dj) dioganal´ matric n´ λj = dj , j = 1, . . . , ngäsän xuwiïn utguudtaï.

• Bodit täg² xämt matriciïn xuwiïn utguud n´ ürgälj bodit toonuudbaïna.Tädgäärt xargalzax xuwiïn wektor bür n´ bodit xälbärt dürslägdänä.lgaataï xuwiïn utguudad xargalzax xuwiïn wektoruud n´ öör xoorondooortogonal´ baïna.

Matrican zagwaruud

Orc garcyn ²injilgää

r = (ri) ri i-r tüüxiï ädiïn niït zardal

e = (ek) ek k-r bütäägdäxüüniï üïldwärläliïnxämjää

A = (aik) aik k-r nägj bütäägdäxüünd i-r tüüxiï ädiïn²aardagdax zardal

r = A · e orc-garcyn ²uud ²injilgää

e = A−1 · r orc-garcyn urwuu ²injilgää (nöxcöl: Aül böxöx)

Orc garcyn niïlmäl ²injilgää

r = (ri) ri i-r tüüxiï ädiïn niït zardal

e = (ek) ek äcsiïn k-r bütäägdäxüüniï üïldwärläliïnxämjää

Z = (zjk) zjk äcsiïn k-r bütäägdäxüüniï nägjid²aardagdax j-r zagwaryn bütäägdäxüüniïzardal

A = (aij) aij i-r tüüxiï ädiïn j-r zawsrynbütäägdäxüüniï nägjid ²aardagdaxzardal

r = A ·Z · e

132 ugaman algebr

Leontéwyn zagwar

x = (xi) xi i-r bütäägdäxüüniï niït garc

y = (yi) yi i-r bütäägdäxüüniï cäwär garc

A = (aij) aij j-r nägj bütäägdäxüün üïldwärläxäd ²aar-dagdax i-r bütäägdäxüüniï xämjää

y = x−Ax

x = (I −A)−1y Nöxcöl: I −A ül böxöx matric

Zax zääliïn ²injilgääniï ²iljiltiïn zagwar

m = (mi) mi T xugacaan dax´ i-r bütäägdäxüüniï zaxzääliïn xuwćaa,0 ≤ mi ≤ 1, m1 + . . .+mn = 1

z = (zi) zi T + k · ∆T xugacaany i-r bütäägdäxüüniï zaxzääliïn xuwćaa,k = 1, 2, . . ., 0 ≤ zi ≤ 1, z1 + . . .+ zn = 1

s = (si) si togtwortoï (xugacaanaas ül xamaarax) zaxzääliïn i-r bütäägdäxüüniï zax zääliïn xuw´-caa; 0 ≤ si ≤ 1, s1 + . . .+ sn = 1

A = (aij) aij j-r bütäägdäxüüniïg T + ∆T ag²ind xudal-dan awax, T ag²ind i-r bütäägdäxüüniïg xu-daldan awagqdyn xäsäg. Yünd 0 ≤ aij ≤ 1,

i, j = 1, . . . , n,n∑j=1

aij = 1 i = 1, . . . , n

z = (Ak)>m

A n´ xudaldan awagqdyn xälbälzliïn matric ba s n´ (A> − I)s = 0(s1 + . . .+ sn = 1) nägän törliïn ²ugaman sistemiïn tägääs ¶lgaataï²iïd.

133

ugaman programmqlal bolon tääwriïn bodlogo

ugaman programmqlalyn bodlogyn normal´ xälbär

α11x1 + α12x2 + . . . + α1nxn ≤ α1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .αr1x1 + αr2x2 + . . . + αrnxn ≤ αrβ11x1 + β12x2 + . . . + β1nxn ≥ β1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .βs1x1 + βs2x2 + . . . + βsnxn ≥ βsγ11x1 + γ12x2 + . . . + γ1nxn = γ1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .γt1x1 + γt2x2 + . . . + γtnxn = γt

nöxcliïg xangax büx x = (x1, x2, . . . , xn)> wektoruudyn xuw´d, ögögdsönzorilgyn funkc z(x) = c>x+c0 = c1x1 +c2x2 + . . .+cnxn+c0 -d xamgiïnbaga (minimumyn bodlogo) äswäl xamgiïn ix utga (maksimumyn bodlogo)olgodog x∗ = (x∗1, x

∗2, . . . , x

∗n)> wektoryg olox bodlogyg ²ugaman program-

mqlalyn ( äswäl optimizaciïn bodlogo) gäj närlädäg. Däärx nöxcliïgbodlogyn zaaglalt buµu x¶zgaarlalt gäj närlänä. Bodlogyn zaaglal-tyg xangaj buï x = (x1, . . . , xn)> wektoruudyg bolomjit wektor gänä.xi xuw´sagqiïn xuw´d xi ≥ 0 (sörög bi²) nöxcöl bielägdäxgüï bol änäxuw´sagqiïg qölööt buµu x¶zgaarlaltgüï xuw´sagq gädäg.

• Xäräw maksimum äswäl minimum olox ²ugaman programmqlalyn bod-logyn xuw´d xi ≥ 0, i = 1, . . . , n zaaglalaas busad n´ täncätgäl xälbärtäïbol tüüniïg ²ugaman programmqlalyn bodlogyn normal´ xälbär gänä:

z = c>x + c0 −→ min /max; Ax = a, x ≥ 0 normal´ xälbär

Normal´ xälbärt ²iljüüläx

Nämält xuw´sagq si-g oruulax zamaar täncätgäl bi² zaaglalyg tän-cätgäl zaaglald oruulna:

αi1x1 + αi2x2 + . . .+ αinxn ≤ αi =⇒αi1x1 + . . .+ αinxn + si = αi, si ≥ 0

βi1x1 + βi2x2 + . . .+ βinxn ≥ βi =⇒βi1x1 + . . .+ βinxn − si = βi, si ≥ 0

xi qölööt =⇒ xi := ui − vi, ui ≥ 0, vi ≥ 0orluulalt xiïj qölööt xuw´sagqiïg zaïluuldag. Maksimumyn bodlo-gyg minimum ruu äswäl minimumyn bodlogyg maksimumyn bodlogoruu xörwüülj bolno:

z = c>x + c0 −→ max =⇒ z := −z = (−c)>x− c0 −→ minz = c>x + c0 −→ min =⇒ z := −z = (−c)>x− c0 −→ max

134 ugaman programmqlal bolon tääwriïn bodlogo

Simpleks arga

ugaman bi² täg²itgälüüdiïn sistemiïn ²aardlagataï xuwirgaltxiïxiïn tuld I Gaussyn zaïluulax arga (x. 126) äswäl I baïr solixargyg (x. 129) a²iglana.

Suur´ ilärxiïläl

Ax = a, z−c>x = c0 täg²itgälüüdiïn sistemiïn (A n´ (m,n) xämjäästmatric, x, c ∈ IRn, a ∈ IRm, c0 ∈ IR) mör bürääs xi xuw´sagqiïg zaïlu-ulna. Normal´ xälbärt däärx xuwirgaltyg güïcätgäwäl zaïluulagdsanxuw´sagq (suur´ xuw´sagq) wektor xB ba üldsän xuw´sagq (suur´ bi²xuw´sagq) wektor xN -iïn xoorond daraax xamaaral garna:

Zaïluulax arga Baïr solix arga

z → maxIxB + BxN = b

z + d>xN = d0

xB ≥ 0, xN ≥ 0

z → min

xB = BxN + b

z = d>

xN + d0

xB ≥ 0, xN ≥ 0

xüsnägt: xüsnägt:

xB1 . . . xBmz xN1 . . . xNn−m

=

1 0 b11 . . . b1,n−m b1

. . ....

......

...

1 0 bm1 . . . bm,n−m bm

0 . . . 0 1 d1 . . . dn−m d0

xN1 . . . xNn−m1

xB1 = b11 . . . b1,n−m b1...

......

...

xBm = bm1 . . . bm,n−m bm

z = d1 . . . dn−m d0

z baganyg golduu biqixgüï orxidog.

• Xäräw Ax = a n´ IxB + BxN = a xälbärtäï bol daraax xamaaral

xvqintäï: b= b=a, d0 = d0 =c>B a + c0, B =−B, d>=−d>

=c>BB − c>N ,üünd c>= (c>B , c

>N ).

• bi ≥ 0 ba bi ≥ 0, i = 1, . . . ,m üeiïn suur´ ilärxiïlliïg bolomjitsuuriïn ilärxiïläl buµu simpleks xüsnägt gäj närlänä.

Onowqtoï ²injüür (simpleks ²injüür)

di ≥ 0 bolon di ≥ 0, i = 1, . . . , n−m nöxcliïg xangaj buï simpleks xüs-nägtääs (iïm simpleks xüsnägtiïg onowqtoï simpleks xüsnägt gädäg)²ugaman programmqlalyn bodlogyn onowqtoï ²iïdiïg ²uud todorx-oïlj bolno:

x ∗B = b, x ∗

N = 0, z∗ = d0 xargalzan x ∗B = b, x ∗

N = 0, z∗ = d0.

Simpleks arga 135

Simpleks arga

Anxny simpleks xüsnägtääs äxälj güïcätgäsän algoritm n´ onowqtoïsimpleks xüsnägt olox äswäl ²ugaman programmqlalyn bodlogyn ²iïdgüïgtogtoono.


1. dq < 0 baïx dq, q= 1, . . . , n−mälement songono. q-r bagana n´qiglüülägq bagana. xNq

n´ ²inäsuur´ xuw´sagq bolno. Xäräw iïmsörög älement oldoxgüï bol Ionowqtoï ²injüür bielnä.

1. dq < 0 baïx dq, q = 1, . . . ,n−m älement songono. q-r baganan´ qiglüülägq bagana. Xäräw iïmälement or²ixgüï bol I onowq-toï ²injüür bielnä.

2. Äeräg biq > 0 älementüüdiïgbaganaas songood

bpbpq

= minbiq>0

bibiq

.

nöxcliïg xangax bpq-g olno. p-r mör n´ qiglüülägq mör. xBp

xuw´sagq suurias xasagdana. bpqqiglüülägq älement. Xäräw biq-r baganand äeräg älementüüdor²ixgüï bol bodlogo ²iïdgüïbuµu z →∞.

2. Qiglüülägq baganyn büx sörögbiq<0 älementüüdiïg olno.

bp

−bpq= minbiq<0

bi

−biq.

nöxclöös bpq älement oldono.p-r mör n´ qiglüülägq mör, bpqn´ qiglüülägq älement. Xäräwsörög älement biq or²ixgüï bol²ugaman programmqlalyn bodl-ogo ²iïdgüï buµu z → −∞.

3. p-r möriïn älementüüdiïg bpq-d xuwaana. xNq

baganyn p-r baïr-lalaas busad gazar I Gaussynzaïluulax arga ësoor täg bolno.Yüniï ür dünd ²inä simpleksxüsnägt üüsnä. 1-r alxam ruu²iljinä.

3. I Baïr solix ar-gaar xuw´sagquudyg solino:xBp

⇐⇒ xNqYr dünd n´ ²inä

simpleks xüsnägt garna. 1 -ralxam ruu ²iljinä.

• Xäräw iterac bür däär bp > 0 (xargalzan bp > 0) bol simpleks arga n´tögsgölög.

• Xäräw onowqtoï simpleks xüsnägtänd dq = 0 (xargalzan dq = 0) bolalgoritmiïn 2 ba 3 alxmuudyg ürgäljlüülän güïcätgäj, öör onowqtoïsimpleks xüsnägt gargana. Änä onowqtoï ²iïd n´ ömnöx xüsnägtääs ¶l-gaataï baïj bolno.

• Xäräw x(1), . . . ,x(k) wektoruud onowqtoï ²iïd bol tädgääriïn ²ugaman

güdgär äwlüüläg bolox x∗ = λ1x(1) + . . . + λkx

(k) (k∑i=1

λi = 1, λi ≥ 0), i =

1, . . . , k wektor n´ mön onowqtoï ²iïd µm.


Xosmog simpleks arga

Xosmog simpleks xüsnägt

dj ≥ 0 (xargalzan dj ≥ 0, j = 1, . . . , n−m) üeiïn suur´ ilärxiïlliïgxosmog simpleks xüsnägt gänä.

• Xosmog simpleks xüsnägtiïg a²iglasan daraax algoritm n´ onowq-toï simpleks xüsnägtiïg olox äswäl ²ugaman programmqlalyn bodlogyn²iïdgüïg togtoono.


1. bp<0 baïx bp, p = 1, . . . ,m äle-ment olox. p-r mör n´ qiglüülägqmör. xBp

xuw´sagqiïg suuriaszaïluulna. Xäräw iïm älementbaïxgüï bol I onowqtoï ²in-jüür bielnä.

1. bp < 0 baïx bp, p = 1, . . . ,mälementüüd olno. p-r mör n´qiglüülägq mör. Xäräw iïm äle-ment or²ixgüï bol I onowqtoï²injüür bielnä.

2. bpj < 0 baïx büx älemen-tüüdiïg p möröös olj

dq−bpq

= minbpj<0

dj−bpj

nöxclöös bpq-g todorxoïlno.

xNq ²inä suur´ xuw´sagq ba bpqn´ qiglüülägq älement. Xäräw p-r mörönd sörög bpj älementüüdor²ixgüï bol ²ugaman program-mqlalyn bodlogo ²iïdgüï. Änäüed bolomjit olonlog xoosonbaïna.

2. bpj > 0 baïx älementüüddotroos

dq

bpq= minbpj>0

dj

bpj.

baïx bpq älement songono. q-rbagana n´ qiglüülägq bagana,bpq n´ qiglüülägq älement

bolno. Xäräw äeräg bpj älementor²ixgüï bol ²ugaman pro-grammqlalyn bodlogo ²iïdgüï.

3. p möriïn älementüüdiïg bpq-d xuwaana. xNq

baganyn büx äle-mentüüdiïg I Gaussyn zaïluu-lax arga ësoor p-ääs busad gazartäg bolgoxod ²inä xosmog sim-pleks xüsnägt üüsnä. 1 -r alxamruu ²iljix.

3. I Baïr solix argaar xBp ⇐⇒xNq

xuw´sagquudyg sol´j, ²inäxosmog simpleks xüsnägt gar-gana. 1-r alxam ruu ²iljix.

Anxny simpleks xüsnägt üüsgäx 137

Anxny simpleks xüsnägt üüsgäx

a ≥ 0 bieläx ²ugaman programmqlalyn I normal´ bodlogyn xuw´dgüïcätgäsän daraax algoritm n´ simpleks xüsnägt üüsgäx äswäl ²ugamanprogrammqlalyn bodlogyn ²iïdgüïg togtoono. Xäräw a < 0 bol xar-galzax Ax = a täg²itgäliïn baruun talyg −1-äär ürjüülj a-g äerägbolgono.


1. i-r täg²itgäl büriïn züüntald zoxiomol yi xuw´sagquudnämäxäd daraax täg²itgälüüsnä:

Iy + Ax = a, y = (yi)

1. Bodlogyn x¶zgaarlaltyg 0 =−Ax + a xälbärt biqij, züüntald baïgaa tägüüdiïg yi gäsänzoxiomol xuw´sagquudaar solino.Tägwäl daraax täg²itgäl üüsnä:

y = −Ax + a, y = (yi)

2. Zorilgyn funkc z − c>x =c0 bolon tuslax qanaryn funkc

h =m∑i=1

(−yi)-g xüsnägtänd nämj

biqnä:

h+n∑k=1

δkxk = δ0 üünd

δk =m∑i=1

(−aik), δ0 =m∑i=1

(−ai)

2. z = c>x + c0 zorilgyn funkcbolon tuslax qanaryn funkc

h =m∑i=1

yi -g xüsnägtänd nämj

biqnä:

h =n∑k=1

δkxk = δ0 üünd

δk =m∑i=1

(−aik), δ0 =m∑i=1

ai

y z h x =

I 0 0 A a

0> 1 0 −c1 . . . −cn c0

0> 0 1 δ1 . . . δn δ0

Däärx xüsnägt n´

x 1

y= −A a

z= c> c0

h= δ1 . . . δn δ0

Däärx xüsnägt n´

h =m∑i=1

(−yi) → max

y + Ax = a, x ≥ 0, y ≥ 0tuslax qanaryn bodlogyn sim-pleks xüsnägt µm.

h =m∑i=1

yi → min

y = −Ax + a, x ≥ 0, y ≥ 0 .tuslax qanaryn bodlogyn sim-pleks xüsnägt bolno.



3. Tuslax qanaryn bodlogygsimpleks argaar bodno. Änäbodlogyn onowqtoï xüsnägt n´daraax xälbärtäï:

3. Tuslax qanaryn bodlogygsimpleks argaar bodno. Änä bod-logyn onowqtoï simpleks xüs-nägt n´ daraax xälbärtäï:

xB yB z h xN yN =

1. . .

11

. . .1

1

1 h0

z ba h baganuudyg orxij bolno.

xN yN 1

xB=

yB=

z=

h= h0

I toxioldol h0 < 0 (xargalzan h0 > 0) üed anxny ²ugaman program-mqlalyn bodlogo ²iïdgüï uqir n´ bolomjit olonlog xooson.

II toxioldol Xäräw h0 = 0 (xargalzan h0 = 0) üed suur´t ¶mar q zox-iomol xuw´sagq baïxgüï bol yN baganyg bolon tuslax qanaryn funkciïgzaïluulsny daraa anxny ²ugaman programmqlalyn bodlogyn simpleksxüsnägt garq irnä.

III toxioldol Xäräw h0 = 0 (xargalzan h0 = 0) mön suur´t zox-

iomol xuw´sagqid üldsän bol baïr solix zamaar (yB ⇐⇒ xN ) suur´tüldsän xuw´sagquudyg oruulna. Yüniïg güïcätgäx ¶wcad baïr solix ar-gyg ürgäljlüüläx bolomjgüï bol änä xüsnägtiïn yB= mörüüdiïg bolonyN baganuudyg tüünqlän tuslax qanaryn zorilgyn funkciïg zaïluulna.Yüniï daraa ündsän bodlogyn simpleks xüsnägt garq irnä.

• Sanamj 1. Xäräw 1-r alxam däär ai ≥ 0-d xargalzax i-r mör n´ xksuur´ xuw´sagqiïg aguulj baïgaa bol änä mörönd zoxiomol xuw´sagqiïgoruulax ²aardlagagüï µm. Änä üed δk bolon xargalzax δk-g

∑(−aik)-äär,

δ0-g∑

(−ai)-äär, δ0-g∑ai-äär tus tus solino.

• Sanamj 2. 3-r alxam däär yN baganuudyg xüsnägtääs zaïluulna.

• 1-r ²at (anxny simpleks xüsnägt üüsgäx) bolon 2-r ²at (simpleksarga)-iïg nägtgän xoër ²attaï simpleks arga gäj närlädäg.

Xosmog qanar 139

Xosmog qanar

ugaman programmqlalyn bodlogyn x¶lbar tawil

z(x) = c>x → maxAx ≤ ax ≥ 0

⇐⇒w(u) = a>u → min

A>u ≥ cu ≥ 0

ugaman programmqlalyn erönxiï xälbär

z(x,y) = c>x + d>y → maxAx + By ≤ aCx + Dy = b

x ≥ 0, y qölööt

⇐⇒

w(u,v) = a>u + b>v → minA>u + C>v ≥ c

B>u + D>v = du ≥ 0, v qölööt

ündsän bodlogo xosmog bodlogo

Qanaruud

• Xosmog bodlogyn xosmog n´ ündsän bodlogo baïna.

• Sul xosmogiïn teorem. Xäräw x bolon (x,y)> n´ ündsän bodlogynbolomjit cäg bögööd u bolon (u,v)> n´ xargalzax xosmog bodlogynbolomjit cäg bol z(x) ≤ w(u) (xargalzan z(x,y) ≤ w(u,v)) nöxcölbielnä.

• Xüqtäï xosmogiïn teorem. x∗ bolon (x∗,y∗)> n´ ündsän bodlogynbolomjit cäg bögööd u∗ bolon (u∗,v∗)> n´ xargalzax xosmog bodlogynbolomjit cäg baïg.Xäräw z(x∗) = w(u∗) (xargalzan z(x∗,y∗) = w(u∗,v∗))nöxcöl bielj baïwal x∗ bolon (x∗,y∗)> n´ ündsän bodlogyn, u∗ bolon(u∗,v∗)> n´ xosmog bodlogyn onowqtoï ²iïd bolno.

• Bolomjit ²iïd x∗ bolon (x∗,y∗)> n´ ündsän bodlogyn onowqtoï ²iïdbaïx zaïl²güï bögööd xürälcäätäï nöxcöl n´ xargalzax xosmog bodlogynbolomjit ²iïd u∗ bolon (u∗,v∗)> or²ix bögööd z(x∗) = w(u∗) (xar-galzan z(x∗,y∗) = w(u∗,v∗)) nöxcöl bieläx ¶wdal.

• Xäräw ündsän bolon xosmog bodloguud n´ bolomjit ²iïdüüdtäï bolädgäär bodloguud n´ onowqtoï ²iïdüüdtäï baïxaas gadna z∗ = w∗ täncät-gäl bielnä.

• Xäräw ündsän (xosmog) bodlogo ²iïdgüï bol z → +∞ (xargalzan w →−∞) ësoor xosmog (ündsän) bodlogo mön ²iïdgüï.

• Güïcäältiïn teorem. Bolomjit cäg x∗ n´ onowqtoï ²iïd bolox za-ïl²güï bögööd xürälcäätäï nöxcöl n´ xosmog bolomjit cäg u∗ or²ixbögööd x∗, Ax∗ − a, u∗ bolon A>u∗ − c wektoruudyn xuw´d daraax nöx-clüüd (güïcäältiïn nöxcöl) bielägdäx ¶wdal µm:


Xäräw (A>u∗ − c)i > 0 bol x∗i = 0 xäräwu∗i > 0 bol (Ax∗ − a)i = 0

Xäräw (Ax∗ − a)i > 0 bol u∗i = 0 xäräwx∗i > 0 bol (A>u∗ − c)i = 0

Süüdriïn ünä

A²giïn wektor n´ c, nööciïn wektor n´ a baïx üïldwärläliïn tölöwlöltiïnündsän bodlogod xargalzax xosmog bodlogyn ²iïd u∗ = (u∗1, . . . , u

∗m)> bol

zarim taamaglal bielägdäj baïgaa üed daraax ögüülbär ünän: ai nööciïgnägjäär nämägdüüläxäd a²ig n´ ui nägjäär (süüdriïn ünä) nämägdänä.

Tääwriïn bodlogo

Bodlogyn tawil

ai ≥ 0, i = 1, . . . ,m nööc büxiï Ai gäsän m niïlüülägq baïguullagaas,bj ≥ 0, j = 1, . . . , n ärält büxiï n xäräglägq baïguullaga Bj-d nägäntörliïn bütäägdäxüün tääwärläx ²aardlagataï baïg. i-r cägääs j-r cägtxürgäx nägj aqaany tääwärlältiïn ünä cij bol niït zardlyg xamgiïnbaga baïlgax bodlogo n´ tääwriïn bodlogo µm.

Matematik zagwar (tääwriïn bodlogo)

z =m∑i=1

n∑j=1

cijxij → min;

zaaglal:n∑j=1

xij = ai, i = 1, . . . ,mm∑i=1

xij = bj , j = 1, . . . , n

xij ≥ 0 ∀ i, j

• X = (xij) n´ (m,n) xämjääst matric bögööd älementüüd n´ Ai-ääsBj-rüü tääwärläx bütäägdäxüüniï too xämjääg ilärxiïlnä. Xäräw X =(xij) n´ bodlogyn zaaglalyg xangaj baïgaa bol üüniïg bolomjit ²iïd(tääwriïn tölöwlögöö) gäj närlädäg.

• Tääwriïn bodlogo ²iïdtäï baïx zaïl²güï bögööd xürälcäätäï nöxcöln´m∑i=1

ai =n∑j=1

bj ärält niïlüülält täncüü baïx nöxcöl

bieläx ¶wdal.

• Ärämbälägdsän (ik, jk)2lk=1 xos indeksiïn olonlogiïn xuw´d xäräw

ik+1 = ik, k = 1, 3, . . . , 2l − 1jk+1 = jk, k = 2, 4, . . . , 2l − 2, j2l = j1

nöxcöl bielägdäj baïwal üüniïg cikl gäj närläe.

Tääwriïn bodlogo 141

• Xäräw J+(X) = (i, j) |xij > 0 indeksiïn olonlogt xos indeks nämjörgötgösön JS(X) olonlog n´ cikliïg aguulaagüï bögööd m+n−1 äle-mentääs togtson bol bolomjit ²iïd X n´ suur´ ²iïd bolno.

Tääwriïn bodlogyn algoritm

X gäsän suur´ ²iïdääs äxälnä

1. ui + vj = cij ∀ (i, j) ∈ JS(X) baïxaar ui, i = 1, . . . ,m ba vj ,j = 1, . . . , n toonuudyg olno. Xäräw wij := cij − ui − vj ≥ 0, i =1, . . . ,m, j = 1, . . . , n bol X n´ onowqtoï ²iïd.

2. wpq < 0 baïx (p, q)-g songood, (i1, j1) := (p, q)-ääs äxälsän JS(X)∪(p, q) olonlogiïn Z cikliïg olno.

3. inä bolomjit cäg X-iïg daraax dürmäär todorxoïlno:

xij := xij +(−1)k+1xrs, (i, j) ∈ Z, üünd xrs := minxikjk | (ik, jk) ∈Z, k = 2, 4, . . . , 2l. Indeksiïn olonlog JS(X) := JS(X)∪(p, q)\(r, s) däär todorxoïlogdson X ²iïd n´ suur´ ²iïd bolno. 1-ralxam ruu ²iljix.

Tääwriïn algoritmyn xüsnägtän xälbär

Tääwriïn bodlogyn algoritmyg daraax xüsnägtänd xij ∈ X, (i, j) ∈JS(X) bolon wij , (i, j) /∈ JS(X) xuw´sagquudyg baïrluulax zamaar ilärx-iïlj bolno. Xüsnägtänd oroogüï üldsän xij , (i, j) /∈ JS(X) bolon wij ,(i, j) ∈ JS(X) xuw´sagquudyn utguudyg täg gäj üznä. Cikliïg daraaxji²äänd täg² öncögtöör xaruulaw.

xm1 wm2 · · · wmq · · · wmn

......

......

xp1 xp2 · · · wpq < 0 · · · wpm

......

......

w2,1 w22 · · · x2q · · · x2m

w1,1 x12 · · · x1q · · · w1m

4 älementtäï cikl

um

...

up

...

u2

u1

v1 v2 · · · vq · · · vm

ui, vj , wij utguudyg oloxdoo, u1 = 0 gäj üzän daraax nüdnüüdiïg a²iglana(xüsnägttäï xarćuul):


v2 = c12 (w12 = 0 uqir), vq = c1q (w1q = 0 uqir), u2 = c2q − vq (w2q = 0uqir), vm = c2m − u2 (w2m = 0 uqir), up = . . . , v1 = . . . , um = . . . gäxmät. Tuxaïlbal däärx xüsnägtänd wpq < 0 bolon xp2 ≤ x1q (xrs = xp2)baïg.

inä xüsnägtiïg daraax argaar bodno:

xm1 wm2 · · · wmq · · · wmn

......

......

xp1 wp2 · · · xpq · · · wpm

......

......

w2,1 w22 · · · x2q · · · x2m

w1,1 x12 · · · x1q · · · w1m

um

...

up

...

u2

u1

v1 v2 · · · vq · · · vm

Xüsnägtiïn utguudyg olno: xp2 = 0, xpq = xp2, x12 = x12 + xp2,x1q = x1q − xp2.

u1 = 0 gäj üzääd, däärxtäï ijil zarqmaar ui, vj , wij utguud toocoolog-dono.

Anxny suur´ ²iïd olox düräm

Züün dääd öncgiïn arga

Züün dääd öncögt xamgiïn ix bolomjit bütäägdäxüüniïg baïrluulna.Ärält ba niïlüülält n´ täncääd xooson bolson näg niïlüülägq äswäl nägxäräglägq baïguullagyg zaïluulj üïldliïg dawtana. Zöwxön xamgiïnsüüliïn alxamd xäräglägq ba niïlüülägq xoëulang n´ zaïluulna.

Xamgiïn baga örtgiïn arga

Xamgiïn ix bolomjit bütäägdäxüüniï xämjääg xamgiïn baga örtögtäïnüdänd baïrluulna. Ärält ba niïlüülält n´ täncääd xooson bolsonnüdtäï näg niïlüülägq buµu xäräglägqiïg zaïluulna. Süüliïn alxamdäär niïlüülägq ba xäräglägq xoëulang zaïluulna.

Fogeliïn arga

Mör buµu bagana tus büriïn xuw´d xamgiïn ix ünä ba xamgiïn bagaüniïn ¶lgawaryg olno. Xamgiïn ix ¶lgawart xargalzaj buï mör buµubaganand xamgiïn ix zardaltaï nüdänd xamgiïn ix xämjääg baïrlu-ulna. Ärält ba niïlüülält täncsän xooson nüdtäï niïlüülägq äswäl

Tääwriïn bodlogo 143

xäräglägqiïg zaïluulna. lgawaryg daxin ²inäqlän bodox zamaar üïldliïgdawtana. Zöwxön süüliïn alxam däär niïlüülägq ba xäräglägq xoëulangzaïluulna.

144 Toon statistik

Toon statistik

Yndsän oïlgoltuud

Statistik ²injilgääniï gol zorilgo n´ sanamsargüï xämjigdäxüüniïgsudlax ¶wdal µm. Ajiglaltyn ür dünd utgaa awdag xämjigdäxüüniïgsanamsargüï xämjigdäxüün gädäg.Xäräw sanamsargüï xämjigdäxüün n´ tögsgölög äswäl toologdom toonyutga awdag bol tüüniïg diskret sanamsargüï xämjigdäxüün gänä. marnäg interwalaas utgaa awdag boltasraltgüï sanamsargüï xämjigdäxüünbolno. Sanamsargüï xämjigdäxüüniï, ajiglagdsan x1, . . . , xn utguudygtüüwriïn utga gäj närlääd (x1, . . . , xn)-g n xämjääst tüüwär gäj när-lädäg. Tüüwriïn utguudyg x(1) ≤ x(2) ≤ . . . ≤ x(n) gäj ärämbälbäl äräm-bälägdsän tüüwär garna, üünd xmin =x(1), xmax =x(n).

Näg xämjääst ögögdliïn ²injilgää

Diskret xämjigdäxüün

Sanamsargüï xämjigdäxüüniï a1 < . . . < ak baïx utguud n´ a1, . . . , akbolog. (x1, . . . , xn) n´ n xämjääst tüüwär.

Hn(aj) aj-iïn absolµt dawtamj; aj , j = 1, . . . , kutguudyg awdag tüüwriïn utgyn too

hn(aj) = 1nHn(aj) aj-iïn xarćanguï dawtamj;

0 ≤ hn(aj) ≤ 1, j = 1, . . . , k,k∑j=1

hn(aj) = 1

j∑i=1

Hn(ai) xurimtlagdsan absolµt dawtamj, j = 1, . . . , k

j∑i=1

hn(ai) xurimtlagdsan xarćanguï dawtamj, j = 1, . . . , k

Fn(x) =∑

j:aj≤xhn(aj) tur²iltyn tarxaltyn funkc (−∞<x<∞)

Tasraltgüï xämjigdäxüün

n xämjääst (x1, . . . , xn) tüüwär bolon Kj = [xj,l;xj,u), j = 1, . . . ,m angi-lal ögögdsön

xj,l j-r angiïn dood x¶zgaar

xj,u j-r angiïn dääd x¶zgaar

uj = 12 (xj,l + xj,u) j-r angiïn dundaj

Hj j-r angiïn absolµt dawtamj; Kj-r angidbagtsan tüüwriïn utgyn too

hj = 1nHj j-r angiïn xarćanguï dawtamj

Fn(x) =∑

j:xj,u≤xhj tur²iltyn tarxaltyn funkc (−∞ < x <∞)

Statistik parametruud 145

Statistik parametruud

Dundjuud

xn = 1n

n∑i=1

xi angilagdaagüï ögögdliïnarifmetik dundaj

x(n) = 1n

m∑j=1

ujHj angilagdsan ögögdliïn ar-ifmetik dundaj

x(n) =

x(n+1

2 ) n sondgoï12 [x( n

2 ) + x( n2 +1)] n täg²

tur²iltyn median

x = n√x1 · x2 · . . . · xn (xj > 0) geometr dundaj

Sarniltyg xämjix

R = xmax − xmin wariaciïn öörqlölt

s2 = 1n−1

n∑i=1

(xi − xn)2 angilagdaagüï ögögdliïntur²iltyn dispers

s2 = 1n−1

m∑j=1

(uj − x(n))2Hj angilagdsan ögögdliïntur²iltyn dispers

s =√s2 tur²iltyn standart xazaïlt

(aldaa)

s 2∗ = s2 − b2

12 epardyn (b urttaï togtmolangiïn) zaswar

ν =s

xn wariaciïn koäfficient (xn 6= 0)

d = 1n

n∑i=1

|xi − x(n)| x(n) medianaas xazaïgdsan absolµtxazaïltyn dundaj

d = 1n

n∑i=1

|xi − xn| xn dundjaas xazaïgdsan absolµtxazaïltyn dundaj

q-kwantil´

xq =

12 [x(nq) + x(nq+1)] nq ∈ IN

x(bnqc+1) äsräg toxioldold q-kwantil´ (0 < q < 1)

Tuxaïn toxioldold:

x0.5 = x(n); x0.25 dood xäsäg ; x0.75 dääd xäsäg

146 Toon statistik

Tur²iltyn tarxaltyn täg² xämiïn koäfficient

g1 =

1n

n∑i=1

(xi − xn)3√(1n

n∑i=1

(xi − xn)2)3

g1 =

1n

m∑j=1

(uj − x(n))3Hj√√√√( 1n

m∑j=1

(uj − x(n))2Hj

)3

(angilagdaagüï ögögdöl) (angilagdsan ögögdöl)

Tur²iltyn tarxaltyn nalaltyn koäfficient

g2 =

1n

n∑i=1

(xi − xn)4(1n

n∑i=1

(xi − xn)2)2 − 3 g2 =

1n

m∑j=1

(uj − x(n))4Hj(1n

m∑j=1

(uj − x(n))2Hj

)2 − 3

(angilagdaagüï ögögdöl) (angilagdsan ögögdöl)

r ärämbiïn moment (angilagdaagüï ögögdöl)

mr =1n

n∑i=1

xri tur²iltyn anxny moment

µr =1n

n∑i=1

(xi − xn)r tur²iltyn töw moment

• Tuxaïlbal, m1 = xn, µ2 =n− 1n

s2.

Olon xämjääst ögögdliïn ²injilgää

x bolon y xämjigdäxüüniï (x1, y1), . . . , (xn, yn) tüüwär ögögdsön.

Tur²iltyn utguud

xn =1n

n∑i=1

xi x xämjigdäxüüniï dundaj

yn =1n

n∑i=1

yi y xämjigdäxüüniï dundaj

Olon xämjääst ögögdliïn ²injilgää 147

Tur²iltyn utguud

s2x =1

n−1

n∑i=1

(xi−xn)2 =1

n−1

(n∑i=1

x2i−nx2

n

) x xämjigdäxüüniïtur²iltyndispers

s2y =1

n−1

n∑i=1

(yi−yn)2 =1

n−1

(n∑i=1

y2i −ny2

n

) y xämjigdäxüüniïtur²iltyndispers

sxy =1

n− 1

n∑i=1

(xi−xn)(yi−yn) tur²iltynkowariac

=1

n− 1

(n∑i=1

xiyi−nxnyn

)rxy =

sxy√s2x · s2y

(−1 ≤ rxy ≤ 1) tur²iltynkorrel¶ciïnkoäfficient

Bxy = r2xy tur²iltyn deter-minaciïn koäffi-cient

ugaman regress

n∑i=1

[yi − (a + bxi)]2 = mina,b

n∑i=1

[yi − (a + bxi)]2 nöxcliïg xangax a ba b

koäfficientuudyg tur²iltyn (²ugaman) regressiïn koäfficien-tuud gänä.

y = a+ bx tur²iltyn regressiïn funkc (²ugaman regressiïnfunkc)

a = yn − bxn, b =sxys2x

= rxy

√s2ys2x

s2 =1

n− 2

n∑i=1

[yi − (a+ bxi)

]2=n− 1n− 2

· s 2y

(1− r 2

xy

) tur²iltyn üldägdäl dispers

148 Toon statistik

Kwadrat regress

n∑i=1

(yi−(a+ bxi+ cx2i ))

2 = mina,b,c

n∑i=1

(yi−(a+bxi+cx2i ))

2 nöxcliïg xangax

a, b bolon c koäfficientuud n´ tur²iltyn (kwadrat) regressiïnkoäfficientuud bolno. Ädgäär n´ daraax sistemiïn ²iïd µm:

a · n + bn∑i=1

xi + cn∑i=1

x2i =

n∑i=1

yi

an∑i=1

xi + bn∑i=1

x2i + c

n∑i=1

x3i =

n∑i=1

xiyi

an∑i=1

x2i + b

n∑i=1

x3i + c

n∑i=1

x4i =

n∑i=1

x2i yi

y = a+ bx+ cx2 tur²iltyn kwadratdispers

s2 =1

n− 3

n∑i=1

[yi − (a+ bxi + cx 2

i )]2 tur²iltyn üldägdäldispers

Äksponencial´ regress

n∑i=1

(ln yi−(ln a+bxi))2 = mina,b

n∑i=1

(ln yi−(ln a+bxi))2 nöxcliïg xangax a

bolon b koäfficientuudyg tur²iltyn (äksponencial) regressiïnkoäfficientuud gänä ( änd yi > 0, i = 1, . . . , n gäj üznä).

y = aebx tur²iltyn (äksponencial) regressiïn funkc

a = e1n

n∑i=1

ln yi−bxn

, b =

n∑i=1

(xi − xn)(ln yi − 1n

n∑i=1

ln yi)

n∑i=1

(xi − xn)2

Xarćaa

n baraanaas bürdsän baraany sags W ögögdsön gäj üzé. i-r baraany ünäpi, toon xämjää n´ qi i = 1, . . . , n baïg.

Xarćaa 149

Tämdäglägää

Wi = pi · qi i-r baraany ünälämjn∑i=1

Wi=n∑i=1

piqi W baraany sagsny niït ünälämj

piτ , pit suur´ ba ögögdsön xugacaan dax´ i-r baraany ünä(xargalzan suur´ ba jinxänä ünä)

qiτ bzw. qit suur´ ba ögögdsön xugacaan dax´ i-r baraany tooxämjää (suur´ ba odoogiïn too xämjää)

Indeks

mWi =

Wit

Wiτ=

pit · qitpiτ · qiτ

i-r baraany üniïn indeks

IWτ,t =

n∑i=1

Wit

n∑i=1

Wiτ

=

n∑i=1

pitqit

n∑i=1

piτqiτ

W baraany sagsny üniïn indeks; xu-daldaany indeks äswäl xäräglägqiïnzardlyn indeks

IPaa,pτ,t =

n∑i=1

pitqit

n∑i=1

piτqit

Paaqiïn üniïn indeks

IPaa,qτ,t =

n∑i=1

pitqit

n∑i=1

pitqiτ

Paaqiïn too xämjääniï indeks

ILas,pτ,t =

n∑i=1

pitqiτ

n∑i=1

piτqiτ

Lasperiïn üniïn indeks

ILas,qτ,t =

n∑i=1

piτqit

n∑i=1

piτqiτ

Lasperiïn too xämjääniï indeks

• Paaqiïn indeks n´ komponentuudyn (ünä ba too xämjää) xarćanguïdundaj öörqlöltiïg jingiïn üzüülältäär ögögdsön xugacaand ilärx-iïlnä.

• Lasperiïn indeks n´ komponentuudyn (ünä ba too xämjää) xarćanguïdundaj öörqlöltiïg jingiïn üzüülältäär suur´ xugacaand ilärxiïlnä.

150 Toon statistik

Drobiqiïn indeks

Xäräw sagsny baraanuudyg ijil xämjäägäär xämjij bolj baïwal ädgäärbaraanuudyg nöxöx baraa gäj närlänä. Baraa tus büriïn xuw´d daraaxindeks todorxoïlogddog.

IDro,pτ,t =

n∑i=1

pit · qitn∑i=1

qit

/ n∑i=1

piτ · qiτn∑i=1

qiτ

=ptpτ

Drobiqiïn üniïn indeks n´(pτ > 0) dundaj üniïnöörqlöltiïg todorxoïlno

IDro,str,ττ,t =

n∑i=1

piτ · qitn∑i=1

qit

/ n∑i=1

piτ · qiτn∑i=1

qiτ

suur´ ünätäï xolbootoï Dro-biqiïn bütciïn indeks

IDro,str,tτ,t =

n∑i=1

pit · qitn∑i=1

qit

/ n∑i=1

pit · qiτn∑i=1

qiτ

bodit ünätäï xolbootoï Dro-biqiïn bütciïn indeks

• Drobiqiïn bütciïn indeks n´ xiïswär ba nominal dundaj ünääs bürd-sän statistik parametruud µm.

Nööciïn ²injilgää

Sudlaj buï (tA, tE) xugacaany statistik ²injilgääniï olonlogiïgögögdsön üeiïn äx olonlog gänä. Xäräw tA xugacaanaas ömnöx bolon tE xu-gacaany daraax olonlog tägtäï täncüü bol tüüniïg xaalttaï äx olon-log, busad toxioldold näälttäï gäj närlänä. Zöwxön todorxoï xuga-caand biï bolson äx olonlogiïg suur´ xugacaand tulguurlasan äx olon-log gäj närlädäg.

Tämdäglägää

Bj tj xugacaan dax´ äx olonlog, tA ≤ tj ≤ tE

BA or BE äxniï tA bolon äcsiïn xugacaa tE üeiïn äx olonlog

Zi (ti−1, ti] xugacaany bolomjit olonlog (nägj)

Ai (ti−1, ti] xugacaany orluulagdax (soligdox) olonlog

Xugacaan cuwaany ²injilgää 151

Äx olonlogiïn xuwirgalt

Bj = BA + Z(j) −A(j) tj xugacaany äx olonlog:

Z(j) =j∑i=1

Zi bolomjit olonloguudyn niïlbär

A(j) =j∑i=1

Ai orluulagdax olonloguudyn niïlbär

Dundaj olonlog

Z =1m

m∑i=1

Zi dundaj bolomjit xurd

A =1m

m∑i=1

Ai orluulagdax dundaj xurd

B =1

tm − t0

m∑j=1

Bj−1(tj − tj−1)

m toony xugacaany interwalynxuw´d toocson dundaj äx olonlog(xäräw xugacaany öörqlölt bürdäx olonlogiïg xämjij bolno gäjüzwäl)

B=1

tm − t0

B0(t1 − t0)2

+m−1∑j=1

Bj · (tj+1 − tj−1)2

+Bm(tm − tm−1)

2

xugacaany m interwalyn xuw´dtoocson dundaj äx olonlog.(Xäräw xugacaany büx tj momentbürd Bj-g xämjij bolno gäwäl)

Xäräw tj−tj−1 =togtmol bol büx j-iïn xuw´d:

B =1m

m−1∑j=0

Bj äswäl B =1m

B0

2+m−1∑j=1

Bj +Bm2

baïna.

Dundaj ürgäljläx xugacaa

ν =B(tm − t0)

A(m)=B(tm − t0)

Z(m) xaalttaï äx olonlog

ν =2B(tm − t0)A(m) + Z(m)

or ν =2B(tm − t0)

A(m−1) + Z(m−1) näälttäï äx olonlog

Xäräw bolomjit olonlog baïx bolon orluulagdax qanar tm xugacaand

bielbäl 2-r tom³ëo xüqintäï.

152 Toon statistik

Xugacaan cuwaany ²injilgää

Xugacaany daraallyn xuw´d ajiglagdsan sanamsargüï xämjigdäxüüniïyt = y(t), t = t1, t2, . . . toon daraallyn utguudyg xugacaan cuwaa gäjnärlänä.

Nämägdäxüün bolon ürjigdäxüüniï qanar

y(t) = T (t) + Z(t) + S(t) +R(t) bolon y(t) = T (t) · Z(t) · S(t) ·R(t)

T (t) xandlagyn komponent (funkc) Z(t) cikliïn komponentS(t) ulirlyn komponent R(t) stoxastik komponent

Xandlagyn tölöw baïdal

T (t) = a+ bt ²ugaman xandlaga

T (t) = a+ bt+ ct2 kwadrat xandlaga

T (t) = a · bt äksponencial´ xandlaga

• Äksponencial´ T (t) = a · bt xandlaga n´

T ∗(t) = lnT (t),a∗ = ln a,b∗ = ln b

xuwirgaltaar T ∗(t) = a∗ + b∗t ²ugaman toxioldold ²iljdäg.

Xamgiïn baga kwadratyn arga

Änä argad T (t) = a + bt ²ugaman bolon T (t) = a + bt + ct2 kwadratxandlagyn parametriïn ünälgääg güïcätgänä ( x. 114-d üz).

Dundjiïg ünäläx arga

Änä argaar n ajiglaltyn utguud bolox y1, . . . , yn-äär xandlagyn kompo-nentiïg (funkciïg) ünälnä.

m sondgoï

Tm+12

= 1m (y1 + y2 + . . .+ ym)

Tm+32

= 1m (y2 + y3 + . . .+ ym+1)

...

Tn−m−12

= 1m (yn−m+1 + . . .+ yn)

Xugacaan cuwaany ²injilgää 153

m täg²

Tm2 +1 = 1

m ( 12y1 + y2 + . . .+ ym + 1

2ym+1)

Tm2 +2 = 1

m ( 12y2 + y3 + . . .+ ym+1 + 1

2ym+2)...

Tn−m2

= 1m ( 1

2yn−m + . . .+ yn−1 + 12yn)

Ulirlyn toxiruulga

Ögögdsön p xugacaa bolon nägj xugacaand ajiglagdsan k utguudyn tus-lamjtaïgaar xugacaan cuwaany toxiruulgyg

y∗ij = sj + rij (i = 1, . . . , k; j = 1, . . . , p)

täg²itgäläär güïcätgänä. Änä n´ ulirlyn komponent sj-g aguulsan cuwaanynämägdältäï zagwar µm. sj-iïn ünälgääg sj-äär tämdägläe.

y ∗·j =1k

k∑i=1

y∗ij , j = 1, . . . , p xugacaany dundaj

y∗ =

1p

p∑j=1

y ∗·j niït dundaj

sj = y∗·j − y∗

ulirlyn dundaj

y∗11 − s1, y∗12 − s2, . . . , y∗1p − sp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y∗k1 − s1, y∗k2 − s2, . . . , y∗kp − sp

ulirlyn toxiruulgataïxugacaany cuwaa

Iltgägq zagwar

y1, . . . , yt xugacaan cuwaany xuw´d t + 1 ag²in dax´ taamaglal yt+1 =αyt+α(1−α)yt−1+α(1−α)2yt−2+. . . utgyg yt+1 = αyt+(1−α)yt rekurenttom³ëogoor y1 = y1 üed bolon zagwarqlax parametr α (0 < α < 1)-äärtoocoj olno.

α parametriïn nölöö α ix α baga

xuuqin xuw´sagquudyg awq üzäx baga xüqtäï

²inäxän xuw´sagquudyg awq üzäx xüqtäï baga

xugacaany cuwaag zagwarqlax baga xüqtäï

154 Magadlalyn onol

Magadlalyn onol

Sanamsargüï üzägdäl tädgääriïn magadlal

Yl öörqlögdöx nägän ijil gadaad nöxcliïn üed ¶mar näg obékt däärxäd xädän nöxcöl bolon dürmiïg ²algax zorilgoor xiïj buï oroldlogyg(qarmaïlt, xämjilt, tur²laga xiïx gäx mät) tur²ilt gänä. Aliwaatur²iltyn ür düng üzägdäl gäx ba tuxaïn tur²iltand ilräx todorx-oïgüï üzägdliïg sanamsargüï gänä.

Tur²iltyn bolomjit ür dün bolox ω-uudyn olonlog Ω-g tüüwriïn og-torguï (üzägdliïn ogtorguï, ündsän ogtorguï) gäj närlädäg. Ω-iïn dädolonlog A-g sanamsargüï üzägdäl gänä (A ¶wagdax ⇐⇒ ω ∈ A).

Yndsän oïlgoltuud

ω, ω ∈ Ω ägäl üzägdäl

Ω zaïl²güï üzägdäl = ürgälj ¶wagdax üzägdäl

∅ bolomjgüï üzägdäl = xäzää q ül ¶wagdax üzägdäl

A ⊆ B A üzägdäl B-g daguulna

A = B ⇐⇒ A ⊆ B ∧B ⊆ A 2 üzägdäl täncüü

A ∪B A äswäl B (äswäl xoëulaa) ¶wagdax üzägdäl (nägdäl)

A ∩B A ba B nägän zäräg ¶wagdax üzägdäl (ogtlolcol)

A \B A ¶wagdaj, B äs ¶wagdax üzägdäl (¶lgawar)

erlineA := Ω \A A-iïn äsräg üzägdäl (güïcäält)

A ∩B = ∅ A ba B niïcgüï (ogtlolcolgüï)

Yzägdliïn qanaruud

A ∪Ω = Ω A ∩Ω = A

A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

A ∪B = B ∪A A ∩B = B ∩A

A ∪B = A ∩B A ∩B = A ∪B

A ∪A = Ω A ∩A = ∅

A ⊆ A ∪B A ∩B ⊆ A

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

Sanamsargüï üzägdäl tädgääriïn magadlal 155

Yzägdlüüdiïn talbar

∞⋃n=1

An An üzägdlüüdääs dor xa¶j näg n´ ¶wagdax üzägdäl

∞⋂n=1

An An üzägdlüüd nägän zäräg ¶wagdax üzägdäl

∞⋂n=1

An =∞⋃n=1

An,∞⋃n=1

An =∞⋂n=1

An De Morgany xuul´

• Tur²iltyn ür düngiïn olonlog E-iïn xuw´d üzägdlüüdiïn talbar n´daraax nöxclüüdiïg xangana:

(1) Ω ∈ E, ∅ ∈ E(2) A ∈ E =⇒ A ∈ E

(3) A1, A2, . . . ∈ E =⇒∞⋃n=1

An ∈ E.

• Xäräwn⋃i=1

Ai = Ω ba Ai ∩ Aj = ∅ (i 6= j) baïwal talbaryn däd olon-

log A1, A2, . . . , An-g üzägdlüüdiïn güïcäd sistem gänä (ö. x. tur²iltyndünd Ai üzägdlüüdiïn zöwxön näg n´ ¶wagdana).

Xarćanguï dawtamj

Yl xamaarax tur²iltyg n udaa dawtan xiïxäd A ∈ E üzägdäl m udaa

¶wagdsan bol hn(A) =m

ntoog A üzägdliïn xarćanguï dawtamj gänä.

Xarćanguï dawtamjiïn qanaruud

0 ≤ hn(A) ≤ 1, hn(Ω) = 1, hn(∅) = 0, hn(A) = 1− hn(A)

hn(A ∪B) = hn(A) + hn(B)− hn(A ∩B)

hn(A ∪B) = hn(A) + hn(B) if A ∩B = ∅

A ⊆ B =⇒ hn(A) ≤ hn(B)

Magadlalyn songodog todorxoïlolt

Xäräw tüüwriïn ogtorguï Ω = ω1, ω2, . . . , ωk tögsgölög bol A üzägdliïnxuw´d

P(A) =ωi ∈ A baïx ωi-iïn too

k=

A-g iwääx toxioldlyn too

toxioldluudyn büx bolomjiïn too

toog A üzägdliïn songodog magadlal gänä.ωi ägäl üzägdlüüd n´ ijil magadlaltaï (ijil bolomjtoï) baïna. Ö. x.P(ωi) =

1k, i = 1, . . . , k (üzägdlüüdiïn Laplasyn talbar).

156 Magadlalyn onol

Songodog magadlalyn qanaruud

0 ≤ P(A) ≤ 1, P(Ω) = 1, P(∅) = 0, P(A) = 1− P(A)

P(A ∪B) = P(A) + P(B)− P(A ∩B), A ⊆ B =⇒ P(A) ≤ P(B)

A ∩B = ∅ üed P(A ∪B) = P(A) + P(B)

Magadlalyn aksiomatik todorxoïlolt

Aksiom 1: Sanamsargüï üzägdäl A ∈ E büriïn magadlal P(A) n´0 ≤ P(A) ≤ 1 xarćaag xangana.

Aksiom 2: Zaïl²güï üzägdliïn magadlal 1-täï täncüü: P(Ω) = 1.

Aksiom 3: Xarilcan niïcgüï A ∈ E ba B ∈ E üzägdlüüdiïn zöwxönnäg n´ ¶wagdax magadlal A ba B üzägdliïn magadlaluudyn niïl-bärtäï täncüü, ö. x. A ∩B = ∅ nöxcöld P (A ∪B) = P(A) + P(B).

Aksiom 3': Xos xosooroo niïcgüï A1, A2, . . . üzägdlüüdiïn zöwxönnäg n´ ¶wagdax magadlal n´ Ai, i = 1, 2, . . . , üzägdäl tus büriïn ma-gadlaluudyn niïlbärtäï täncüü. Ö. x. xäräw Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j bol

P(∞⋃i=1

Ai) =∞∑i=1

P(Ai) (σ additiw qanar).

Magadlal däär xiïx üïldliïn dürmüüd

P(∅) = 0, P(A ∪B) = P(A) + P(B)− P(A ∩B)

P(A) = 1− P(A), P(A \B) = P(A)− P(A ∩B)

A ⊆ B =⇒ P(A) ≤ P(B)

P(A1 ∪A2 ∪ . . . ∪An) =n∑i=1

P(Ai)−∑

1≤i1<i2≤nP(Ai1 ∩Ai2)

+∑

1≤i1<i2<i3≤nP(Ai1 ∩Ai2 ∩Ai3)− . . .+ (−1)n+1P(A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An)

Nöxcölt magadlal

P(B) 6= 0 baïx A ba B üzägdliïn xuw´d P(A |B) =P(A ∩B)P(B)

ilärxiïläl

n´ A üzägdliïn B nöxcöl däx nöxcölt magadlalyg ilärxiïldäg.

Nöxcölt magadlal 157

Qanaruud

B ⊂ A üed P(A |B) = 1 A ∩B = ∅ üed P(A |B) = 0

A ⊂ B üed P(A |B) =P(A)P(B)

P(A |B) = 1− P (A |B)

P(A1 ∪A2 |B) = P(A1 |B) + P(A2 |B) xäräw A1 ∩A2 = ∅

Yrjwäriïn teorem:

P(A ∩B) = P(B) · P(A |B) = P(A) · P(B |A)

Yrjwäriïn örgötgösön teorem:

P(A1 ∩ . . . ∩An)= P(A1) · P(A2 |A1) · P(A3 |A1 ∩A2) · . . . · P(An |A1 ∩ . . . ∩An−1)

• Xäräw A1, . . . , An n´ üzägdlüüdiïn güïcäd sistem bol daraax 2tom³ëo xüqintäï.

Güïcäd magadlalyn tom³ëo

P(B) =n∑i=1

P(Ai)P(B |Ai)

Baïesiïn tom³ëo

P(Aj |B) =P(Aj)P(B |Aj)n∑i=1

P(Ai)P(B |Ai)j = 1, . . . , n

Änd P(A1), . . . , P(An)-g B üzägdäl ¶wagdaxaas ömnöx magadlaluud, xarinP(A1 |B), . . . , P(An |B)-g B üzägdäl ¶wagdsany daraax magadlaluud gäjnärlänä.

Yl xamaarax qanar

Xäräw A ba B üzägdlüüdiïn xuw´d P(A∩B) = P(A) ·P(B) (xamaaralgüïüzägdlüüdiïg ürjüüläx teorem) nöxcöl bielj baïwal tädgääriïg xam-aaralgüï gänä. Ändääs daraax mördlögöög gargan awq bolno.

P(A ∩B) = P(A) · P(B) ⇐⇒ P(A |B) = P(A) (P(B) > 0)

Xäräw A1, . . . , An üzägdlüüdiïn al´ q 2 n´ xamaaralgüï bol ädgäär nüzägdliïg xos xosooroo xamaaralgüï gänä. Ö. x. i 6= j büriïn xuw´dP(Ai∩Aj) = P(Ai)·P(Aj) bielnä gäsän üg. Xäräw 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ nbaïx Ai1 , . . . , Aik gäsän k üzägdlüüdääs togtox sanamsargüï tüüwär bak ∈ 2, . . . , n büriïn xuw´d P(Ai1 ∩ . . .∩Aik) = P(Ai1) · . . . ·P(Aik) nöxcölbielj baïwal A1, . . . , An üzägdlüüdiïg güïcäd xamaaralgüï gäj närlänä.

158 Magadlalyn onol

Sanamsargüï xuw´sagq (xämjigdäxüün) ba tädgääriïn tarxalt

Tüüwriïn ogtorguï Ω däär todorxoïlogdson X : Ω → IR gäsän boditxuw´sagqiïn buulgaltyg sanamsarguï xuw´sagq buµu sanamsargüï xämjigdäxüüngänä. Yünd x ∈ IR xuw´d ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x ∈ E, ö. x. X ≤ x n´üzägdäl baïna. FX(x) := P(X ≤ x), −∞ < x < ∞ gäj todorxoïlogdoxFX : x → FX(x) ∈ [0, 1] funkciïg X-iïn tarxaltyn funkc (tarxalt)gänä.

Tarxaltyn funkciïn qanaruud

limx→−∞

FX(x) = 0 limx→∞

FX(x) = 1

xäräw x0 < x1 bol FX(x0) ≤ FX(x1) (FX ül buurax, monoton)

limh↓0

FX(x+ h) = FX(x) (FX baruun öröösgöl tasraltgüï)

P(X = x0) = FX(x0)− limh↑0

FX(x0 + h)

P(x0 < X ≤ x1) = FX(x1)− FX(x0)

P(x0 ≤ X < x1) = limh↑0

FX(x1 + h)− limh↑0

FX(x0 + h)

P(x0 ≤ X ≤ x1) = FX(x1)− limh↑0

FX(x0 + h)

P(X > x0) = 1− FX(x0)

Xäräw tarxaltyn funkc FX n´ ²atalsan (ö. x., xäsägqilsän togtmol)baïwal sanamsargüï xuw´sagq X-iïg diskret (diskret tarxalttaï),

FX n´ differencialqlagddag (ö. x.,dFX(x)

dxor²dog) bol X-iïg tas-

raltgüï (tasraltgüï tarxalttaï) gänä I x. 160.

Diskret tarxalt

Xäräw diskret sanamsargüï xämjigdäxüün X n´ x1, x2, . . . , xn (x1 < . . . <xn) äswäl x1, x2, . . . (x1 < x2 < . . .) utguudyg awdag, ö. x. k = 1, 2, . . . xuw´dutguud n´ lim

h↑0FX(xk + h) 6= FX(xk) bol

xk x1 x2 . . .

P(X = xk) p1 p2 . . .

∑k

pk = 1

xüsnägtiïg X-iïn tarxaltyn xüsnägt gänä. pk = P(X = xk) n´ X-iïnbolomjit utguudyn magadlal, x1, x2, . . . n´ FX funkciïn üsrältiïncägüüd bolno.

Diskret tarxalt 159

Tämdäglägää

EX =∑k

xkpk matematik dundaj

(nöxcöl:∑k

|xk|pk <∞)

Var (X) =∑k

(xk − EX)2pk

=∑k

x2kpk − (EX)2

wariac (dispers)

(nöxcöl:∑k

x2kpk <∞)

σX =√Var (X) standart xazaïlt

σXEX

(EX 6= 0) wariaciïn koäfficient

µr = E(X − EX)r =∑k

(xk − EX)rpk r-r ärämbiïn töwiïn moment

(r = 2, 3, . . .)

γ1 =µ3

(µ2)3/2 asimmetr

γ2 =µ4

(µ2)2− 3 äkcess

Zarim diskret tarxaltuud

bolomjit utgynmagadlal pk

EX Var (X)

diskret jigd tarxaltpk = P(X = xk) = 1

n

(k = 1, . . . , n)1n

n∑k=1

xk1n

n∑k=1

x2k−(EX)2

binom tarxalt ∗

(0≤p≤1, n ∈ IN)pk=

(nk

)pk(1−p)n−k

(k = 0, . . . , n)np np(1− p)

gipergeometr tar- ∗

xalt (M ≤ N , n ≤ N)pk =

(Mk

)(N−Mn−k

)(Nn

) ∗∗ n · MN

nMN(1−M

N

)×

×(1− n−1

N−1

)geometr tarxalt ∗

(0<p<1)pk = (1− p)k−1p

(k = 1, 2, . . .)1p

1− p

p2

Puassony tarxalt ∗

(λ > 0)pk =

λk

k!e−λ

(k = 0, 1, 2, . . .)λ λ

∗ P(X = k) = pk; ∗∗ max 0, n − (N − M) ≤ k ≤ min M, n.

160 Magadlalyn onol

Rekursiw tom³ëo (pk+1 = f(pk))

binom tarxalt:n− k

k + 1· p

1− p· pk

geometr tarxalt: (1− p) · pk

gipergeometr tarxalt:n− k

k + 1· M − k

N −M − n+ k + 1· pk

Puassony tarxalt:λ

k + 1· pk

Binom approksimac (döxölt)

limN→∞

(Mk

)(N−Mn−k

)(Nn

) =(n

k

)pk(1−p)n−k änd

M=M(N), limN→∞

M(N)N

=p

• Iïmd xürälcäätäï ix N -iïn xuw´d

(Mk

)(N−Mn−k

)(Nn

) ≈(n

k

)pk(1− p)n−k,

p =M

Nbielnä.

Puassony approksimac

limn→∞

(nk

)pk(1− p)n−k =

λk

k!e−λ, k = 0, 1, . . ., änd

p = p(n), limn→∞

n · p(n) = λ = togtmol

• Xürälcäätäï ix n-iïn xuw´d

(n

k

)pk(1− p)n−k ≈ λk

k!e−λ, üünd λ =

n · p bielnä.

Tasraltgüï tarxalt

Tasraltgüï sanamsargüï xämjigdäxüün X-iïn tarxaltyn funkc n´ FX

bol tüüniï 1-r ärämbiïn ulamjlal fX(x) =dFX(x)

dx= F ′X(x)-iïg

ug sanamsargüï xämjigdäxüüniï n¶gt (magadlalyn tarxaltyn n¶gt)gänä. Ööröör xälbäl:

FX(x) =x∫

−∞fX(t) dt .

Zarim tasraltgvï tarxaltuud 161

Tämdäglägää

EX =∞∫−∞

xfX(x)dx X-iïn matematik dundaj (∞∫−∞

|x|fX(x)dx<∞)

Var (X) =∞∫−∞

(x− EX)2fX(x)dx =∞∫−∞

x2fX(x)dx− (EX)2

wariac (dispers; nöxcöl :∞∫−∞

x2fX(x)dx <∞)

σX =√Var (X) standart xazaïlt

σXEX

(EX 6= 0) wariaciïn koäfficient

µr = E(X − EX)r =∞∫−∞

(x− EX)rfX(x)dx

r-r ärämbiïn töwiïn moment (r = 2, 3, . . .)

γ1 =µ3

(µ2)3/2 asimmetr γ2 =

µ4

(µ2)2− 3 äkcess

Zarim tasraltgvï tarxaltuud

Jigd tarxalt

f(x) =

1

b− axäräw a<x<b

0 busad toxioldold

EX =a+ b

2

Var (X) =(b− a)2

12a b

1b− a

-

6

x

•

•.............................................................

Iltgägq tarxalt

f(x) =

0 xäräw x ≤ 0λe−λx xäräw x > 0

EX =1λ

Var (X) =1λ2 1

λ

λ

-

6

x

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

•

.

.

.

.

.

.

162 Magadlalyn onol

Normal´ tarxalt, N(µ, σ2)-tarxalt (−∞ < µ <∞, σ > 0)

f(x) = 1√2πσ2 · e

− (x−µ)2

2σ2

(−∞ < x <∞)

EX = µ

Var (X) = σ2µ−σ µ µ+σ

-

6

x

1√2πσ2

.....................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Standart normal´ tarxalt

f(x) =1√2π

· e− x22 , EX = 0, Var (X) = 1

Lognormal´ tarxalt

f(x) =

0 xäräw x ≤ 01√

2πσ2xe−

(ln x−µ2)2σ2 xäräw x > 0

EX = eµ+ σ22

Var (X) = e2µ+σ2(eσ

2−1)

-

6

x

eσ22 −µ

√2πσ2

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

EX EX+σXEX−σX

Weïbulliïn tarxalt (a > 0, b > 0, −∞ < c <∞)

f(x) =

0 xäräw x ≤ c

ba

(x−ca

)b−1e−( x−c

a )b

xäräw x > c

EX = c+ a · Γ(b+1b

)Var (X)=a2

[Γ(b+2b

)−Γ 2

(b+1b

)]

-

6

x...........................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

EXEX−σX EX+σXc

Zarim tasraltgvï tarxaltuud 163

Beta tarxalt (p > 0, q > 0)

f(x) =

xp−1(1− x)q−1

B(p, q)xäräw 0 < x < 1

0 busad toxioldold

1

1

2

-

6

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

EX

(p, q) = (2, 4)

EX =p

p+ q

Var (X) =pq

(p+ q)2(p+ q + 1)

1

1

2

-

6

x....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

EX

(p, q) = (4, 2)

m qölööniï zäräg bvxiï t-tarxalt (m ≥ 3)

f(x) =Γ(m+1

2

)√πmΓ

(m2

) (1 +x2

m

)−m+12

,

EX = 0, Var (X) =m

m− 2

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

0.1

0.2

-

6

x

m→∞m = 3m = 1 .........................................................

..............................................................................................................................................................

.....................................................

................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .

. . . .. . .

............................ .

. . ............................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

............ ............ ............

............ ............ ............ ............ ............ ............ ........................

........................................................................................................................ ............ ............

........................

............................................................

........................

............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ .....

164 Magadlalyn onol

(m, n) qölööniï zäräg bvxiï F-tarxalt (m ≥ 1, n ≥ 1)

f(x) =

0 xäräw x ≤ 0

Γ(m+n

2

)m

m2 n

n2 x

m2 −1

Γ(m2

)Γ(n2

)(n+mx)

m+n2

xäräw x > 0,

EX =n

n− 2(n ≥ 3),

Var (X) =2n2

n−4· m+n−2m(n−2)2

(n ≥ 5) 1 2 3 4

0.5

1.0

-

6

x

(m,n) = (5, 5)

(m,n) = (50, 20)

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. . . .................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

m qölööniï zäräg bvxiï χ2-tarxalt (m ≥ 1)

f(x)=

0 xäräw x≤0

xm2 −1e−

x2

2m2 Γ(m2

) xäräw x≥0

EX = m

Var (X) = 2m10 15

0.05

0.10

0.15

-

6

x

m = 5

m = 8

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. . ..

..................

. . . . . . . . ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . ............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

EX EX

Sanamsargüï wektor

Xäräw X1, X2, . . . , Xn n´ nägän ijil Ω ogtorguï däär todorxoïlogdsonsanamsargüï xuw´sagqid bol X = (X1, . . . , Xn) wektoryg sanamsargüïwektor gäx bögöödX1, . . . , Xn-iïg tüüniï komponentuud gänä. (x1, . . . , xn) ∈IRn baïx FX : FX(x1, . . . , xn) = P(X1 ≤ x1, . . . , Xn ≤ xn) funkciïg Xsanamsargüï wektoryn tarxaltyn funkc gäj närlänä.

Qanaruud

limxi→−∞

FX(x1, . . . , xi, . . . , xn) = 0, i = 1, . . . , n,

limx1 →∞

.

.

.xn →∞

FX(x1, . . . , xn) = 1

limh↓0

FX(x1, . . . , xi + h, . . . , xn) = FX(x1, . . . , xi, . . . , xn), i = 1, . . . , n

FXi(x) = limxj →∞j 6= i

FX(x1, . . . , xi−1, x, xi+1, . . . , xn), i = 1, . . . , n

(marginal tarxaltyn funkc)

Sanamsargüï wektor 165

Yl xamaarax qanar

Xäräw (x1, . . . , xn) ∈ IRn büriïn xuw´d

FX(x1, . . . , xn) = FX1(x1) · FX2(x2) · . . . · FXn(xn)

nöxcöl bielägdäj baïwal X1, . . . , Xn-iïg ül xamaarax gänä.

Xoër xämjääst sanamsargüï wektor

• XäräwX = (X1, X2) wektoryn xuw´d FX(x1, x2) =x1∫−∞

x2∫−∞

fX(t1, t2)dt1dt2,

(x1, x2) ∈ IR2 gäj todorxoïlogdox (ö. x.∂2FX(x1, x2)∂x1∂x2

= fX(x1, x2) baïx)

fX gäsän n¶gtyn funkc or²in baïwal X-g tasraltgüï gänä.

Xäräw büx (x1, x2) ∈ IR2 xuw´d fX(x1, x2) = fX1(x1) · fX2(x2) nöxcliïgxangax bol X1 (fX1 - n¶gttaï) bolon X2 (fX2 - n¶gttaï) sanamsargüïwektoruud n´ xamaaralgüï baïna.

• X1 ba X2 n´ bolomjit utguudyn magadlal n´ xargalzan pi = P(X1 =x

(i)1 ), i = 1, 2, . . . bolon qj = P(X2 = x

(j)2 ), j = 1, 2, . . . baïx diskret

tarxaltuud bol X = (X1, X2) wektoryg bolomjit utguudyn magadlaln´ pij = P(X1 = x

(i)1 , X2 = x

(j)2 ) baïx diskret tarxalt gäj närlädäg.

Xäräw büx i, j = 1, 2, . . .-iïn xuw´d pij = pi · qj bol X1 ba X2 sanamsargüïxuw´sagqid xamaaralgüï baïna.

Xoër xämjääst sanamsargüï wektoryn anxny momentuud

matematik dundaj diskret tasraltgüï

EX1

∑i

∑j

x(i)1 pij

∞∫−∞

∞∫−∞

x1fX(x1, x2)dx1dx2

EX2

∑i

∑j

x(j)2 pij

∞∫−∞

∞∫−∞

x2fX(x1, x2)dx1dx2

Xoër xämjääst sanamsargüï wektoryn 2-r ärämbiïn moment

dispers diskret tasraltgüï

Var (X1) = σ2X1

= E(X1−EX1)2

∑i

∑j

(x(i)1 −EX1)

2pij

∞∫−∞

∞∫−∞

(x1−EX1)2fX(x1, x2)dx1dx2

Var (X2) = σ2X2

= E(X2−EX2)2

∑i

∑j

(x(j)2 −EX2)

2pij

∞∫−∞

∞∫−∞

(x2−EX2)2fX(x1, x2)dx1dx2

166 Magadlalyn onol

kowariac:

cov (X1, X2) = E(X1 − EX1)(X2 − EX2) = E(X1X2)− EX1 · EX2∑i

∑j

(x(i)1 − EX1)(x

(j)2 − EX2)pij diskret tarxalt

∞∫−∞

∞∫−∞

(x1−EX1)(x2−EX2)fX(x1, x2)dx1dx2 tasraltgüï tarxalt

Korrel¶c

ρX1X2 =cov (X1, X2)√

Var (X1)Var (X2)=

cov (X1, X2)σX1σX2

korrel¶ciïnkoäfficient

• Korrel¶ciïn koäfficient n´ X = (X1, X2) wektoryn X1 ba X2 kom-ponentuudyn xoorondyn xarilcan xamaarlyg (²ugaman) taïlbarlana.

• −1 ≤ ρX1X2 ≤ 1• Xäräw ρX1X2 = 0 bol X1, X2 n´ korrel¶c xamaaralgüï baïna.

• Xäräw X1, X2 n´ xamaaralgüï bol xoorondoo korrel¶c xamaaralgüï.

Xoër xämjääst normal´ tarxalt

fX(x1, x2) =1

2πσ1σ2

√1− ρ2

×

× e−

12(1− ρ2)

[(x1 − µ1)2

σ21

− 2ρ(x1 − µ1)(x2 − µ2)

σ1σ2+

(x2 − µ2)2

σ22

]−∞ < µ1, µ2 <∞; σ1 > 0, σ2 > 0, −1 < ρ < 1; −∞ < x1, x2 <∞ baïx 2xämjääst normal tarxaltyn n¶gt

Momentuud:

EX1 = µ1, EX2 = µ2,

Var (X1) = σ21 ,

Var (X2) = σ22 ,

cov (X1, X2) = ρσ1σ2

Yl xamaarax 2 sanamsargüï xämjigdäxüüniï niïlbär

• XäräwX1 baX2 n´ xargalzan pi = P(X1 =x(i)1 ), i = 1, 2, . . ., qj = P(X2 =

x(j)2 ), j = 1, 2, . . . magadlaluud büxiï ül xamaarax diskret sanamsargüïxämjigdäxüünüüd bol

P(X1 +X2 = y) =∑

i,j: x(i)1 +x

(j)2 =y

pi qj .

Sanamsargüï wektor 167

Tuxaïn toxioldold x(i)1 = i, i = 1, 2, . . . ba x(j)

2 = j, j = 1, 2, . . . bol

P(X1 +X2 = k) =k∑i=1

P(X1 = i)P(X2 = k − i), k = 1, 2, . . .

• Xäräw X1 ba X2 n´ xargalzan fX1 , fX2 n¶gt büxiï ül xamaarax, tas-raltgüï sanamsargüï xämjigdäxüünüüd bol Y = X1 +X2 n´ daraax n¶gtbüxiï tasraltgüï sanamsargüï xämjigdäxüün baïna

fY (y) =∞∫−∞

fX1(x)fX2(y − x)dx .

• Erönxiï toxioldold, E(X1 +X2) = EX1 +EX2 xolboo bielnä. Xarinül xamaarax sanamsargüï xämjigdäxüünüüdiïn xuw´d Var (X1 +X2) =Var (X1) + Var (X2) baïna.

Xamaaralgüï sanamsargüï xämjigdäxüünüüdiïn niïlbäriïn ji²ää

• Xäräw X1 ba X2 n´ xargalzan (n1, p), (n2, p) parametrüüd büxiï bi-nom tarxaltuud bol X1 +X2 niïlbär (n1 +n2, p) parametrüüdtäï binomtarxalttaï baïna.• X1, X2 n´ xargalzan λ1, λ2 parametr büxiï Puassony tarxalttaï bolX1 +X2 n´ λ1 + λ2 parametrtäï Puassony tarxalttaï baïna.• Xäräw X1, X2 n´ xargalzan (µ1, σ

21), (µ2, σ

22) parametrüüd büxiï nor-

mal´ tarxalttaï bol tädgääriïn ²ugaman äwlüüläg α1X1 + α2X2 n´(α1µ1 + α2µ2, α

21σ

21 + α2

2σ22) parametrüüdtäï normal´ tarxalttaï baïna.

Yünd α1, α2 ∈ IR .

• X1, X2 n´ xargalzan m ba n qölööniï zäräg büxiï χ2-tarxalttaï boltädgääriïn niïlbärX1+X2 n´m+n qölööniï zäräg büxiï χ2 tarxalttaïbaïna.

Yl xamaarax xoër sanamsargüï xämjigdäxüüniï ürjwär

• XäräwX1, X2 n´ xargalzan pi = P(X1 =x(i)1 ), i = 1, 2, . . . ba qj = P(X2 =

x(j)2 ), j = 1, 2, . . . magadlaluudtaï ül xamaarax, diskret sanamsargüïxämjigdäxüünüüd bol

P(X1 ·X2 = y) =∑

i,j: x(i)1 ·x(j)

2 =y

pi qj .

• Xäräw X1, X2 n´ xargalzan fX1 , fX2 n¶gt büxiï xamaaralgüï, tasralt-güï sanamsargüï xämjigdäxüünüüd bol Y = X1 · X2 n´ daraax n¶gttaïsanamsargüï xämjigdäxüün bolno

fY (y) =∞∫−∞

fX1(x)fX2

(yx

) dx

|x|.

168 Tüüwriïn statistik

Tüüwriïn statistik

Tüüwär

MX äx olonlogoos songogdson n xämjääst matematik tüüwär gädäg n´koordinatuud n´ bie bienääs ül xamaarsan, X-täï adilxan tarxalttaïX = (X1, . . . , Xn) sanamsargüï wektor µm. X-iïn ajiglalt bolox x =(x1, . . . , xn) älementiïg todorxoï tüüwär gänä.

Cägän ünälgää

g : θ → g(θ) tarxalt buµu funkciïn ül mädägdäx parametr θ-iïnbolomjit döxöltiïn utgyg oloxyn tuld ünälgääg a²igladag.

θ-g ünäläxäd zoriulagdsan bögööd todorxoï tüüwär x = (x1, . . . , xn)-ääs xamaarsan tüüwriïn funkc tn = Tn(x)-g θ-iïn ünälgääniï utga(ünälägq) gäj närlääd tn = θ(x) = θ gäj tämdäglänä. Xargalzax matem-atik tüüwär X-iïn ünälgääniï funkc Tn = Tn(X) = θ(X)-g cägänünälgää buµu ünälgääniï funkc gäj närlänä.

Cägän ünälgääniï qanaruud

• Xäräw ETn = g(θ) bol Tn-g g(θ)-iïn xazaïltgüï ünälgää gänä.

• Xäräw limn→∞

ETn =g(θ) bol (Tn)n=1,2,...-g g(θ)-iïn asimptot

xazaïltgüï ünälgää gäj närlänä.

• Xäräw duryn baga äeräg ε-iïn xuw´d limn→∞

P(|Tn − g(θ)| < ε) = 1

bieldäg bol (Tn)n=1,2,...-g g(θ)-iïn (sul) niïctäï ünälgää gänä.

Matematik dundaj ba wariaciïn ünälgää

ünälgääniïparametr

ünälägq sanamj

matematik dun-daj µ = EX

µ = xn =1

n

n∑i=1

xiarifmetikdundaj

wariac (dispers)σ2 = Var (X) σ2 = s∗2 =

1

n

n∑i=1

(xi − EX)2EX mädägdäjbaïgaa üedxäräglägdänä

σ2 = s2X =

1

n − 1

n∑i=1

(xi − xn)2tur²iltynwariac

(dispers)

Cägän ünälgää 169

Busad ünälgää

üzägdliïnmagadlalp=P(A)

p = hn(A)hn(A) n´ A-iïnxarćanguïdawtamj

kowariac σXY

=cov (X, Y ) σXY = 1n−1

n∑i=1

(xi−xn)(yi−yn)tur²iltynkowariac

korrel¶ciïnkoäfficientρXY

ρXY =σXY√s2

Xs2Y

tur²iltynkorrel¶ciïnkoäfficient

Xamgiïn ix ünäniï xuw´ büxiï arga

Taamaglal: Tarxaltyn funkc F mädägdänä. θ = (θ1, . . . , θp) ∈ Θ ⊂ IRp

parametr mädägdäxgüï

• θ → L(θ; x) = p(θ; x1) · . . . · p(θ; xn) =n∏

i=1

p(θ; xi) funkciïg

x = (x1, . . . , xn) tüüwriïn xamgiïn ix ünälgääniï xuw´ büxiï funkcgäj närlänä. Yünd

p(θ; xi) =

n¶gt fX(xi), xäräwX tasraltgüï bolgancaarqilsanmagadlalP(X = xi) xäräwX diskret bol.

• Büx θ ∈ Θ-iïn xuw´d L(θ; x) ≥ L(θ; x) baïx θ = θ(x) =(θ1, . . . , θp)-g θ-iïn xamgiïn ix ünäniï xuw´ büxiï ünälgää gäjnärlänä.

• Xäräw L n´ θ-öör differencialqlagddag bol θ(x) n´∂ lnL(θ;x)

∂θj=

0, j = 1, . . . , p täg²itgäliïn ²iïd (xamgiïn ix ünäniï täg²it-gäl) bolno.

Momentiïn arguud

Taamaglal: Tarxaltyn funkc F mädägdänä. θ = (θ1, . . . , θp) ∈ Θ ⊂ IRp

parametr mädägdäxgüï.

Cägän ünälgääniï änäxüü arga n´ θ1, . . . , θp parametruud ba µr (r =2, 3, . . .) momentuudyn xamaaral däär suurilax ba F -tarxaltyn funkciïnmatematik dundaj utga µ-g a²iglana. Änäxüü xamaarald µ-g µ =1

n

n∑i=1

xi-äär, µr-g µr =1

n

n∑i=1

(xi − µ)-äär tus tus sol´j xargalzax

täg²itgälüüdiïg bodwol θj , j = 1, . . . , p parametrüüdiïn momentiïnünälgää bolox θj = T ∗

j (m1, m2, . . . , mp) oldono.


Itgäx zawsryn ünälgää

Tarxaltyn ül mädägdäx parametr θ-iïn öndör magadlaltaïgaar zawsartor²ix ünälgääg togtoox zorilgoor zawsryn ünälgääg a²iglana.

• Matematik tüüwär X = (X1, . . . , Xn)-ääs xamaarq θparametriïn xuw´d todorxoïlogdson sanamsargüï interwalI(X) = [gu(X); go(X)], gu(X) < go(X) n´

P(gu(X) ≤ θ ≤ go(X)) ≥ ε = 1 − α

nöxcliïg xangaj baïwal üüniïg ε itgäx tüw²intäï (0 < ε < 1)xoër talt itgäx zawsar gäj närlänä.

• I(x) = [gu(x); g0(x)], x ∈ X-g θ-iïn todorxoï itgäx zawsar gänä.

• Xäräw gu ≡ −∞ äswäl go ≡ +∞ bol [−∞; go(X)] bolon[gu(X); ∞]-g xargalzan näg talt itgäx zawsar gäj närläx bögööd

P(θ ≤ go(X)) ≥ ε ba P(θ ≥ gu(X)) ≥ ε bielnä.

Normal´ tarxaltyn parametrüüdiïn näg talt itgäx zawsar

matematik dundaj µ :

σ2 mädäg-däj buï:

(−∞; xn + z1−α

σ√n

]buµu

[xn − z1−α

σ√n; +∞

)σ2 ül

mädägdäx:

(−∞; xn + tn−1;1−α

s√n

]buµu

[xn − tn−1;1−α

s√n; +∞

)wariac σ2 :

µ mädäg-däj buï:

[0;

n · s∗2

χ2n;α

]buµu

[n · s∗2

χ2n;1−α

; +∞)

µ ülmädägdäx:

[0;

(n − 1) · s2

χ2n−1;α

]buµu

[(n − 1) · s2

χ2n−1;1−α

; +∞)

Yünd xn = 1n

n∑i=1

xi, s∗2 = 1n

n∑i=1

(xi − µ)2, s2 = 1n−1

n∑i=1

(xi − xn)2;

zq, tm;q, χ2m;q - kwantilüüd, x. 177-nd I b, II, III xüsnägtiïg üz.

Statistik ²injüürüüd 171

Normal´ tarxaltyn parametrüüdiïn xoër talt itgäx zawsar

matematik dundaj µ :

σ2 mädägdäj buï:

[xn − z1− α

2

σ√

n; xn + z1− α

2

σ√

n

]

σ2 ül mädägdäx:

[xn − tn−1;1− α

2

s√

n; xn + tn−1;1− α

2

s√

n

]

wariac σ2 :

µ mädägdäj buï:

[n · s∗2

χ2n;1− α

2

;n · s∗2

χ2n; α

2

]

µ ül mädägdäx:

[(n − 1) · s2

χ2n−1;1− α

2

;(n − 1) · s2

χ2n−1; α

2

]

Yünd xn =1

n

n∑i=1

xi, s∗2 =1

n

n∑i=1

(xi −µ)2, s2 =1

n − 1

n∑i=1

(xi −xn)2;

zq, tm;q, χ2m,q - kwantilüüd, x. 177-nd I b, II, III xüsnägtiïg üz.

Itgäx tüw²in ε = 1 − α üeiïn

p = P(A) magadlalyn asimptot itgäx zawsar

[gu; go] =

1

n + z2q

x +z2

q

2− zq

√x(n − x)

n+

z2q

4

;

1

n + z2q

x +z2

q

2+ zq

√x(n − x)

n+

z2q

4

Yünd q = 1 −α

2, n tur²iltand A üzägdäl xädän udaa garq iräxiïg x

xaruulna.


Statistik ²injüürüüd

Yl mädägdäx tarxalt F -täï xolbootoï statistik taamaglalyg tüündxargalzax tüüwriïn tuslamjtaïgaar statistik ²injüür güïcätgäj²algana.

Taamaglal: F = Fθ, θ ∈ Θ

• Täg taamaglal H0 : θ ∈ Θ0 (⊂ Θ);• Örsöldögq taamaglal H1 : θ ∈ Θ1 (⊂ Θ \ Θ0)• Xäräw H0 : θ = θ0 , ö. x. Θ0 = θ0 bol H0-g ängiïn taamaglal gänä.Äsräg toxioldold H0 n´ niïlmäl gäj närlägdänä.

• H0 : θ = θ0 ba H1 : θ 6= θ0 (ö. x. θ > θ0 ba θ < θ0) üed xoër talt²injüüriïg a²iglana. H0 : θ ≤ θ0 ba H1 : θ > θ0 äswäl H0 : θ ≥ θ0

ba H1 : θ < θ0 üed näg talt ²injüür a²iglagddag.

injüüriïn aq xolbogdol

1. Täg taamaglal H0-g (²aardlagataï bol örsöldögq taamaglalH1-g) däw²üülnä.

2. Matematik tüüwriïn xuw´d statistik ²injüür T =T (X1, . . . , Xn)-g baïguulna (änä toxioldold xäräw H0 ünän bol T -iïn tarxalt mädägdäx ëstoï).

3. Xäräw H0 ünän bol kritik muj K∗-g songono. Gol tölöw α =0.05; 0.01; 0.001. (Statistik ²injüür T n´K∗ mujaas utgaa awaxp∗ magadlal n´ aq xolbogdlyn tüw²in α-ääs (0 < α < 1) ixgüïbaïxaar statistik ²injüür T -iïn xälbälzliïn muj al´ bolox ixbaïx ëstoï.)

4. iïdwär gargax düräm: Xäräw ¶mar näg todorxoï (x1, . . . , xn)tüüwriïn xuw´d statistik ²injüür T -iïn utga t n´ (t =T (x1, . . . , xn)) K∗-d or²in baïwal (t ∈ K∗) H0-g ügüïsgäj, H1

taamaglalyg xülään zöw²öörnö. Äsräg toxioldold H0 taamaglalygxülään awna.

iïdwäriïn bütäc

²iïdwär bodit baïdal

H0 zöw H0 xudal

H0 -g n¶caana 1-r törliïn aldaa zöw ²iïdwär

H0 -g ül n¶caana zöw ²iïdwär 2-r törliïn aldaa

P((1-r törliïn aldaa)) ≤ α.

Normal´ tarxaltyn ²injüürüüd 173

Normal´ tarxaltyn ²injüürüüd

Näg tüüwärt bodlogo: Normal´ tarxaltyn äx olonlogoos songogdson nxämjääst tüüwär n´ x = (x1, . . . , xn) baïg. Normal tarxaltyn matem-atik dundaj µ, wariac n´ σ2 bolog.

taamaglalH0 H1

taamag-lal

T ²injvv-riïn utga t

T -iïntarxalt

kritikmuj

Gaussyn ²injvvr

a) µ = µ0, µ 6= µ0

b) µ ≤ µ0, µ > µ0

c) µ ≥ µ0, µ < µ0

σ2

mädäg-däj buï

xn − µ0

σ

√n N(0; 1)

|t| ≥ z1− α2

t ≥ z1−α

t ≤ −z1−α

ängiïn t ²injvvr

a) µ = µ0, µ 6= µ0

b) µ ≤ µ0, µ > µ0

c) µ ≥ µ0, µ < µ0

σ2

vl mä-dägdäx

xn − µ0

s

√n

tm(m=n−1)

|t| ≥ tn−1;1− α2

t ≥ tn−1;1−α

t ≤ −tn−1;1−α

a) σ2 =σ20, σ2 6=σ2

0

t ≥ χ2n;1− α

2

∨ t ≤ χ2n; α

2

b) σ2 ≤σ20, σ2 >σ2

0

µmädäg-däj buï

n · s∗2

σ20

χ2n t ≥ χ2

n;1−α

c) σ2 ≥σ20, σ2 <σ2

0 t ≤ χ2n;α

Xi-kwadrat²injvvr

a) σ2 =σ20, σ2 6=σ2

0

t ≥ χ2n−1;1− α

2

∨ t ≤ χ2n−1; α

2

b) σ2 ≤σ20, σ2 >σ2

0

µvl mä-dägdäx

(n − 1) · s2

σ20

χ2m

(m=n−1) t ≥ χ2n−1;1−α

c) σ2 ≥σ20, σ2< σ2

0 t ≤ χ2n−1;α

a) 2 talt, b) ba c) näg talt ²injvvr


Xoër tvvwärt bodlogo: x = (x1, . . . , xn1) bolon x′ = (x′1, . . . , x′

n2)

n´ xargalzan µ1, µ2 matematik dundaj bolon σ21, σ2

2 wariactaï nor-mal´ tarxalttaï sanamsargvï xämjigdäxvvniï äx olonlogoos songogdsonn1 bolon n2 xämjääst tvvwrvvd µm. (T statistik ²injvvr):

taamaglalH0 H1

T -iïnutga

T -iïntarxalt

kritikmuj

lgawaryn arga (x, x′ n´ xamaaraltaï tvvwär , n1 = n2 = n,D = X − X′ ∈ N(µD, σ2

D), µD = µ1−µ2, σ2D vl mädägdäx)

a) µD =0, µD 6=0

b) µD ≤0, µD >0

c) µD ≥0, µD <0

d

sD

√n

tm-tarxaltm = n − 1

|t| ≥ tn−1;1− α2

t ≥ tn−1;1−α

t ≤ −tn−1;1−α

Dawxar t-²injvvr (taamaglal: x, x′ n´ vl xamaarax tvvwrvvd,X ∈N(µ1, σ2

1), X′ ∈N(µ2, σ22), σ2

1 = σ22)

a) µ1 =µ2, µ1 6=µ2

b) µ1 ≤µ2, µ1 >µ2

c) µ1 ≥µ2, µ1 <µ2

x(1)−x(2)

sg×

×√

n1n2

n1+n2

(sg-iïg door vz)

tm-tarxaltm=n1+n2−2

|t| ≥ tm;1− α2

t ≥ tm;1−α

t ≤−tm;1−α

(m=n1+n2−2)

Wälqiïn ²injvvr (taamaglal: x, x′ n´ vl xamaarax tvvwrvvd,X ∈N(µ1, σ2

1), X′ ∈N(µ2, σ22), σ2

1 6= σ22)

a) µ1 =µ2, µ1 6=µ2

b) µ1 ≤µ2, µ1 >µ2

c) µ1 ≥µ2, µ1 <µ2

x(1) − x(2)√s21

n1+ s2

2

n2

oïrolcoogoortm-tarxalt

m ≈[c2

n1−1+ (1−c)2

n2−1

]−1

c = s21/n1

s21/n1+s2

2/n2

|t| ≥ tm;1− α2

t ≥ tm;1−α

t ≤−tm;1−α

F-²injvvr (x, x′ n´ vl xamaarax tvvwrvvd, X ∈ N(µ1, σ21),

X′ ∈ N(µ2, σ22), µ1, µ2 - vl mädägdäx)

a) σ21 =σ2

2, σ21 6=σ2

2

b) σ21 ≤σ2

2, σ21 >σ2

2

s21/s2

2

Fm1,m2 -tarxalt(m1 = n1 − 1)(m2 = n2 − 1)

t≥Fm1,m2;1− α2

buµut≤Fm1,m2;1− α

2

t≥Fm1,m2;1−α

c) σ21 ≥σ2

2, σ21 <σ2

2 s22/s2

1 Fm2,m1 -tarxalt t≥Fm2,m1;1−α

a) 2 talt, b) ba c) näg talt ²injvvrvvd. Yvnd nk, xk ba s2k n´ k-r tvvwriïn

xuw´d (k=1, 2, ) xargalzan tvvwriïn xämjää, arifmetik dundaj ba tur²iltyntvvwriïn wariacyg tus tus tämdäglänä. d ba s2

D n´ xamaaraltaï tvvwriïn ut-guudaar zoxiogdson di =xi−x′

i, i=1, 2, . . . , n ¶lgawart cuwaany arifmetikdundaj ba tur²iltyn tvvwriïn wariacyg tus tus tämdäglänä.sg =

√[(n1 − 1)s2

1 + (n2 − 1)s22](n1 + n2 − 2)−1.

Standart normal´ tarxalt 175

Xvsnägt 1 a Standart normal´ tarxaltyn tarxaltyn funkc Φ(x)

x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04

0.0 .500000 .503989 .507978 .511966 .5159530.1 .539828 .543795 .547758 .551717 .5556700.2 .579260 .583166 .587064 .590954 .5948350.3 .617911 .621720 .625516 .629300 .6330720.4 .655422 .659097 .662757 .666402 .670031

0.5 .691462 .694974 .698468 .701944 .7054010.6 .725747 .729069 .732371 .735653 .7389140.7 .758036 .761148 .764238 .767305 .7703500.8 .788145 .791030 .793892 .796731 .7995460.9 .815940 .818589 .821214 .823814 .826391

1.0 .841345 .843752 .846136 .848495 .8508301.1 .864334 .866500 .868643 .870762 .8728571.2 .884930 .886861 .888768 .890651 .8925121.3 .903200 .904902 .906582 .908241 .9098771.4 .919243 .920730 .922196 .923641 .925066

1.5 .933193 .934478 .935745 .936992 .9382201.6 .945201 .946301 .947384 .948449 .9494971.7 .955435 .956367 .957284 .958185 .9590701.8 .964070 .964852 .965620 .966375 .9671161.9 .971283 .971933 .972571 .973197 .973810

2.0 .977250 .977784 .978308 .978822 .9793252.1 .982136 .982571 .982997 .983414 .9838232.2 .986097 .986447 .986791 .987126 .9874552.3 .989276 .989556 .989830 .990097 .9903582.4 .991802 .992024 .992240 .992451 .992656

2.5 .993790 .993963 .994132 .994297 .9944572.6 .995339 .995473 .995604 .995731 .9958552.7 .996533 .996636 .996736 .996833 .9969282.8 .997445 .997523 .997599 .997673 .9977442.9 .998134 .998193 .998250 .998305 .998359

3.0 .998650 .998694 .998736 .998777 .998817

x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4


Xvsnägt 1 a Standart normal´ tarxaltyn tarxaltyn funkc Φ(x)

x 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 .519938 .523922 .527903 .531881 .5358560.1 .559618 .563559 .567495 .571424 .5753450.2 .598706 .602568 .606420 .610261 .6140920.3 .636831 .640576 .644309 .648027 .6517320.4 .673645 .677242 .680822 .684386 .687933

0.5 .708840 .712260 .715661 .719043 .7224050.6 .742154 .745373 .748571 .751748 .7549030.7 .773373 .776373 .779350 .782305 .7852360.8 .802338 .805105 .807850 .810570 .8132670.9 .828944 .831472 .833977 .836457 .838913

1.0 .853141 .855428 .857690 .859929 .8621431.1 .874928 .876976 .879000 .881000 .8829771.2 .894350 .896165 .897958 .899727 .9014751.3 .911492 .913085 .914657 .916207 .9177361.4 .926471 .927855 .929219 .930563 .931888

1.5 .939429 .940620 .941792 .942947 .9440831.6 .950529 .951543 .952540 .953521 .9544861.7 .959941 .960796 .961636 .962462 .9632731.8 .967843 .968557 .969258 .969946 .9706211.9 .974412 .975002 .975581 .976148 .976705

2.0 .979818 .980301 .980774 .981237 .9816912.1 .984222 .984614 .984997 .985371 .9857382.2 .987776 .988089 .988396 .988696 .9889892.3 .990613 .990863 .991106 .991344 .9915762.4 .992857 .993053 .993244 .993431 .993613

2.5 .994614 .994766 .994915 .995060 .9952012.6 .995975 .996093 .996207 .996319 .9964272.7 .997020 .997110 .997197 .997282 .9973652.8 .997814 .997882 .997948 .998012 .9980742.9 .998411 .998462 .998511 .998559 .998605

3.0 .998856 .998893 .998930 .998965 .998999

x 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Standart normal´ tarxalt 177

Xvsnägt 1 b Standart normal´ tarxaltyn kwantil´ zq

q zq q zq q zq

0.5 0 0.91 1.34076 0.975 1.959960.55 0.12566 0.92 1.40507 0.98 2.053750.6 0.25335 0.93 1.47579 0.985 2.170090.65 0.38532 0.94 1.55478 0.99 2.326350.7 0.52440 0.95 1.64485 0.995 2.57583

0.75 0.67449 0.955 1.69540 0.99865 3.000000.8 0.84162 0.96 1.75069 0.999 3.090230.85 1.03644 0.965 1.81191 0.9995 3.290530.9 1.28155 0.97 1.88080 0.999767 3.50000

Xvsnägt 2 ttarxaltyn kwantil´ tm;q

HHHHHmq 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995 0.999 0.9995

1 3.08 6.31 12.71 31.82 63.7 318.3 636.62 1.89 2.92 4.30 6.96 9.92 22.33 31.63 1.64 2.35 3.18 4.54 5.84 10.21 12.94 1.53 2.13 2.78 3.75 4.60 7.17 8.615 1.48 2.02 2.57 3.36 4.03 5.89 6.876 1.44 1.94 2.45 3.14 3.71 5.21 5.967 1.41 1.89 2.36 3.00 3.50 4.79 5.418 1.40 1.86 2.31 2.90 3.36 4.50 5.049 1.38 1.83 2.26 2.82 3.25 4.30 4.7810 1.37 1.81 2.23 2.76 3.17 4.14 4.5911 1.36 1.80 2.20 2.72 3.11 4.02 4.4412 1.36 1.78 2.18 2.68 3.05 3.93 4.3213 1.35 1.77 2.16 2.65 3.01 3.85 4.2214 1.35 1.76 2.14 2.62 2.98 3.79 4.1415 1.34 1.75 2.13 2.60 2.95 3.73 4.0716 1.34 1.75 2.12 2.58 2.92 3.69 4.0117 1.33 1.74 2.11 2.57 2.90 3.65 3.9718 1.33 1.73 2.10 2.55 2.88 3.61 3.9219 1.33 1.73 2.09 2.54 2.86 3.58 3.8820 1.33 1.72 2.09 2.53 2.85 3.55 3.8521 1.32 1.72 2.08 2.52 2.83 3.53 3.8222 1.32 1.72 2.07 2.51 2.82 3.50 3.7923 1.32 1.71 2.07 2.50 2.81 3.48 3.7724 1.32 1.71 2.06 2.49 2.80 3.47 3.7525 1.32 1.71 2.06 2.49 2.79 3.45 3.7326 1.31 1.71 2.06 2.48 2.78 3.43 3.7127 1.31 1.70 2.05 2.47 2.77 3.42 3.6928 1.31 1.70 2.05 2.46 2.76 3.41 3.6729 1.31 1.70 2.05 2.46 2.76 3.40 3.6630 1.31 1.70 2.04 2.46 2.75 3.39 3.6540 1.30 1.68 2.02 2.42 2.70 3.31 3.5560 1.30 1.67 2.00 2.39 2.66 3.23 3.46120 1.29 1.66 1.98 2.36 2.62 3.16 3.37

∞ 1.28 1.64 1.96 2.33 2.58 3.09 3.29


Xvsnägt 3 Standart normal´ tarxaltyn n¶gtyn funkc ϕ(x)

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 39730,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 39180,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 38250,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3725 3712 36970,4 3683 3668 3653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 35380,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 33520,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 31440,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 29200,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 26850,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444

1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 22031,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 19651,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 17361,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 15181,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 13151,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 11271,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 09571,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 08041,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 06691,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551

2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 04492,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 03632,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 02902,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 02292,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 01802,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 01392,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 01072,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 00812,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 00612,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046

3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 00343,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 00253,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 00183,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 00133,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 00093,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 00063,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 00043,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 00033,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 00023,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001

Ftarxaltyn kwantil´ 179

Xvsnägt 4a q = 0.95-d xargalzax Ftarxaltyn kwantil´ Fm1,m2; q

@@m2

m1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 161 200 216 225 230 234 37 239 41 2422 18.5 19.0 19.2 19.2 19.3 19.3 19.4 19.4 19.4 19.43 10.1 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.794 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.965 4.68 4.64 4.60 4.56 4.50 4.44 4.42 4.41 4.37 4.366 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.067 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.648 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.359 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.1410 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.9811 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.8512 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.7513 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.6714 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.6015 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.5416 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.4917 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.4518 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.4119 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.3820 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.3521 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.3222 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.3023 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.2724 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.2525 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.2227 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.2028 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.1929 4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.1830 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.1632 4.15 3.29 2.90 2.67 2.51 2.40 2.31 2.24 2.19 2.1434 4.13 3.28 2.88 2.65 2.49 2.38 2.29 2.23 2.17 2.1236 4.11 3.26 2.87 2.63 2.48 2.36 2.28 2.21 2.15 2.1138 4.10 3.24 2.85 2.62 2.46 2.35 2.26 2.19 2.14 2.0940 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.0842 4.07 3.22 2.83 2.59 2.44 2.32 2.24 2.17 2.11 2.0644 4.06 3.21 2.82 2.58 2.43 2.31 2.23 2.16 2.10 2.0546 4.05 3.20 2.81 2.57 2.42 2.30 2.22 2.15 2.09 2.0448 4.04 3.19 2.80 2.57 2.41 2.29 2.21 2.14 2.08 2.0350 4.03 3.18 2.79 2.56 2.40 2.29 2.20 2.13 2.07 2.0355 4.02 3.16 2.78 2.54 2.38 2.27 2.18 2.11 2.06 2.0160 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.9965 3.99 3.14 2.75 2.51 2.36 2.24 2.15 2.08 2.03 1.9870 3.98 3.13 2.74 2.50 2.35 2.23 2.14 2.07 2.02 1.9780 3.96 3.11 2.72 2.49 2.33 2.21 2.13 2.06 2.00 1.95100 3.94 3.09 2.70 2.46 2.31 2.19 2.10 2.03 1.97 1.93125 3.92 3.07 2.68 2.44 2.29 2.17 2.08 2.01 1.96 1.91150 3.90 3.06 2.66 2.43 2.27 2.16 2.07 2.00 1.94 1.89200 3.89 3.04 2.65 2.42 2.26 2.14 2.06 1.98 1.93 1.88400 3.86 3.02 2.62 2.39 2.23 2.12 2.03 1.96 1.90 1.851000 3.85 3.00 2.61 2.38 2.22 2.11 2.02 1.95 1.89 1.84

∞ 3.84 3.00 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83


Xvsnägt 4a q = 0.95-d xargalzax Ftarxaltyn kwantil´ Fm1,m2; q

@@m2

m1 12 14 16 20 30 50 75 100 500 ∞1 244 245 246 248 250 252 253 253 254 2542 19.4 19.4 19.4 19.4 19.5 19.5 19.5 19.5 19.5 19.53 8.74 8.71 8.69 8.66 8.62 8.58 8.56 8.55 8.53 8.534 5.91 5.87 5.84 5.80 5.75 5.70 5.68 5.66 5.64 5.635 4.68 4.64 4.60 4.56 4.50 4.44 4.42 4.41 4.37 4.366 4.00 3.96 3.92 3.87 3.81 3.75 3.72 3.71 3.68 3.677 3.57 3.53 3.49 3.44 3.38 3.32 3.29 3.27 3.24 3.238 3.28 3.24 3.20 3.15 3.08 3.02 3.00 2.97 2.94 2.939 3.07 3.03 2.99 2.93 2.86 2.80 2.77 2.76 2.72 2.7110 2.91 2.86 2.83 2.77 2.70 2.64 2.61 2.59 2.55 2.5411 2.79 2.74 2.70 2.65 2.57 2.51 2.47 2.46 2.42 2.4012 2.69 2.64 2.60 2.54 2.47 2.40 2.36 2.35 2.31 2.3013 2.60 2.55 2.51 2.46 2.38 2.31 2.28 2.26 2.22 2.2114 2.53 2.48 2.44 2.39 2.31 2.24 2.21 2.19 2.14 2.1315 2.48 2.42 2.38 2.33 2.25 2.18 2.14 2.12 2.08 2.0716 2.42 2.37 2.33 2.28 2.19 2.12 2.09 2.07 2.02 2.0117 2.38 2.33 2.29 2.23 2.15 2.08 2.04 2.02 1.97 1.9618 2.34 2.29 2.25 2.19 2.11 2.04 2.00 1.98 1.93 1.9219 2.31 2.26 2.21 2.15 2.07 2.00 1.96 1.94 1.89 1.8820 2.28 2.22 2.18 2.12 2.04 1.97 1.93 1.91 1.86 1.8421 2.25 2.20 2.16 2.10 2.01 1.94 1.90 1.88 1.82 1.8122 2.23 2.17 2.13 2.07 1.98 1.91 1.87 1.85 1.80 1.7823 2.20 2.15 2.11 2.05 1.96 1.88 1.84 1.82 1.77 1.7624 2.18 2.13 2.09 2.03 1.94 1.86 1.82 1.80 1.75 1.7325 2.16 2.11 2.07 2.01 1.92 1.84 1.80 1.78 1.73 1.71

12 14 16 20 30 50 75 100 500 ∞26 2.15 2.09 2.05 1.99 1.90 1.82 1.78 1.76 1.71 1.6927 2.13 2.08 2.04 1.97 1.88 1.81 1.76 1.74 1.68 1.6728 2.12 2.06 2.02 1.96 1.87 1.79 1.75 1.73 1.67 1.6529 2.10 2.05 2.01 1.94 1.85 1.77 1.73 1.71 1.65 1.6430 2.09 2.04 1.99 1.93 1.84 1.76 1.72 1.70 1.64 1.6232 2.07 2.01 1.97 1.91 1.82 1.74 1.69 1.67 1.61 1.5934 2.05 1.99 1.95 1.89 1.80 1.71 1.67 1.65 1.59 1.5736 2.03 1.98 1.93 1.87 1.78 1.69 1.65 1.62 1.56 1.5538 2.02 1.96 1.92 1.85 1.76 1.68 1.63 1.61 1.54 1.5340 2.00 1.95 1.90 1.84 1.74 1.66 1.61 1.59 1.53 1.5142 1.99 1.94 1.89 1.83 1.73 1.65 1.60 1.57 1.51 1.4944 1.98 1.92 1.88 1.81 1.72 1.63 1.58 1.56 1.49 1.4846 1.97 1.91 1.87 1.80 1.71 1.62 1.57 1.55 1.48 1.4648 1.96 1.90 1.86 1.79 1.70 1.61 1.56 1.54 1.47 1.4550 1.95 1.89 1.85 1.78 1.69 1.60 1.55 1.52 1.46 1.4455 1.93 1.88 1.83 1.76 1.67 1.58 1.53 1.50 1.43 1.4160 1.92 1.86 1.82 1.75 1.65 1.56 1.51 1.48 1.41 1.3965 1.90 1.85 1.80 1.73 1.63 1.54 1.49 1.46 1.39 1.3770 1.89 1.84 1.79 1.72 1.62 1.53 1.48 1.45 1.37 1.3580 1.88 1.82 1.77 1.70 1.60 1.51 1.45 1.43 1.35 1.32100 1.85 1.79 1.75 1.68 1.57 1.48 1.42 1.39 1.31 1.28125 1.83 1.77 1.73 1.66 1.55 1.45 1.40 1.36 1.27 1.25150 1.82 1.76 1.71 1.64 1.53 1.44 1.38 1.34 1.25 1.22200 1.80 1.74 1.69 1.62 1.52 1.41 1.35 1.32 1.22 1.19400 1.78 1.72 1.67 1.60 1.49 1.38 1.32 1.28 1.17 1.131000 1.76 1.70 1.65 1.58 1.47 1.36 1.30 1.26 1.13 1.08

∞ 1.75 1.69 1.64 1.57 1.46 1.35 1.28 1.24 1.11 1.00

Ftarxaltyn kwantil´ 181

Xvsnägt 4b q = 0.99-d xargalzax Ftarxaltyn kwantil´ Fm1,m2; q

@@m2

m1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 4052 4999 5403 5625 5764 5859 5928 5981 6022 60562 98.5 99.0 99.2 99.2 99.3 99.3 99.4 99.4 99.4 99.43 34.1 30.8 29.5 28.7 28.2 27.9 27.7 27.5 27.3 27.24 21.2 18.0 16.7 16.0 15.5 15.2 15.0 14.8 14.7 14.65 16.3 13.3 12.1 11.4 11.0 10.7 10.5 10.3 10.2 10.16 13.7 10.9 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.877 12.2 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.628 11.3 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.819 10.6 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.2610 10.0 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.8511 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.5412 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.3013 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19 4.1014 8.86 6.51 5.56 5.04 4.70 4.46 4.28 4.14 4.03 3.9415 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.8016 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 3.6917 8.40 6.11 5.18 4.67 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68 3.5918 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.5119 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.4320 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.3721 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.40 3.3122 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.2623 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.2124 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.1725 7.77 5.57 4.68 4.18 3.86 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

26 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.0927 7.68 5.49 4.60 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.0628 7.64 5.45 4.57 4.07 3.76 3.53 3.36 3.23 3.12 3.0329 7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.50 3.33 3.20 3.09 3.0030 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.9832 7.50 5.34 4.46 3.97 3.65 3.43 3.25 3.13 3.02 2.9334 7.44 5.29 4.42 3.93 3.61 3.39 3.22 3.09 2.98 2.8936 7.40 5.25 4.38 3.89 3.57 3.35 3.18 3.05 2.95 2.8638 7.35 5.21 4.34 3.86 3.54 3.32 3.15 3.02 2.92 2.8340 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.8042 7.28 5.15 4.29 3.80 3.49 3.27 3.10 2.97 2.86 2.7844 7.25 5.12 4.26 3.78 3.47 3.24 3.08 2.95 2.84 2.7546 7.22 5.10 4.24 3.76 3.44 3.22 3.06 2.93 2.82 2.7348 7.20 5.08 4.22 3.74 3.43 3.20 3.04 2.91 2.80 2.7150 7.17 5.06 4.20 3.72 3.41 3.19 3.02 2.89 2.78 2.7055 7.12 5.01 4.16 3.68 3.37 3.15 2.98 2.85 2.75 2.6660 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.6365 7.04 4.95 4.10 3.62 3.31 3.09 2.93 2.80 2.69 2.6170 7.01 4.92 4.08 3.60 3.29 3.07 2.91 2.78 2.67 2.5980 6.96 4.88 4.04 3.56 3.26 3.04 2.87 2.74 2.64 2.55100 6.90 4.82 3.98 3.51 3.21 2.99 2.82 2.69 2.59 2.50125 6.84 4.78 3.94 3.47 3.17 2.95 2.79 2.66 2.55 2.47150 6.81 4.75 3.92 3.45 3.14 2.92 2.76 2.63 2.53 2.44200 6.76 4.71 3.88 3.41 3.11 2.89 2.73 2.60 2.50 2.41400 6.70 4.66 3.83 3.37 3.06 2.85 2.69 2.56 2.45 2.371000 6.66 4.63 3.80 3.34 3.04 2.82 2.66 2.53 2.43 2.34

∞ 6.63 4.61 3.78 3.32 3.02 2.80 2.64 2.51 2.41 2.32


Xvsnägt 4b q = 0.99-d xargalzax Ftarxaltyn kwantil´ Fm1,m2; q

@@m2

m1 12 14 16 20 30 50 75 100 500 ∞1 6106 6143 6170 6209 6261 6302 6324 6334 6360 63662 99.4 99.4 99.4 99.4 99.5 99.5 99.5 99.5 99.5 99.53 27.1 26.9 26.8 26.7 26.5 26.4 26.3 26.2 26.1 26.14 14.4 14.3 14.2 14.0 13.8 13.7 13.6 13.6 13.5 13.55 9.89 9.77 9.68 9.55 9.38 9.24 9.17 9.13 9.04 9.026 7.72 7.60 7.52 7.40 7.23 7.09 7.02 6.99 6.90 6.887 6.47 6.36 6.27 6.16 5.99 5.86 5.79 5.75 5.67 5.658 5.67 5.56 5.48 5.36 5.20 5.07 5.00 4.96 4.88 4.869 5.11 5.00 4.92 4.81 4.65 4.52 4.45 4.42 4.33 4.3110 4.71 4.60 4.52 4.41 4.25 4.12 4.05 4.01 3.93 3.9111 4.40 4.29 4.21 4.10 3.94 3.81 3.74 3.71 3.62 3.6012 4.16 4.05 3.97 3.86 3.70 3.57 3.49 3.47 3.38 3.3613 3.96 3.86 3.78 3.66 3.51 3.38 3.31 3.27 3.19 3.1714 3.80 3.70 3.62 3.51 3.35 3.22 3.15 3.11 3.03 3.0015 3.67 3.56 3.49 3.37 3.21 3.08 3.01 2.98 2.89 2.8716 3.55 3.45 3.37 3.26 3.10 2.97 2.90 2.86 2.78 2.7517 3.46 3.35 3.27 3.16 3.00 2.87 2.80 2.76 2.68 2.6518 3.37 3.27 3.19 3.08 2.92 2.78 2.71 2.68 2.59 2.5719 3.30 3.19 3.12 3.00 2.84 2.71 2.64 2.60 2.51 2.4920 3.23 3.13 3.05 2.94 2.78 2.64 2.57 2.54 2.44 2.4221 3.17 3.07 2.99 2.88 2.72 2.58 2.51 2.48 2.38 2.3622 3.12 3.02 2.94 2.83 2.67 2.53 2.46 2.42 2.33 2.3123 3.07 2.97 2.89 2.78 2.62 2.48 2.41 2.37 2.28 2.2624 3.03 2.93 2.85 2.74 2.58 2.44 2.37 2.33 2.24 2.2125 2.99 2.89 2.81 2.70 2.54 2.40 2.33 2.29 2.19 2.17

12 14 16 20 30 50 75 100 500 ∞26 2.96 2.86 2.78 2.66 2.50 2.36 2.29 2.25 2.16 2.1327 2.93 2.82 2.75 2.63 2.47 2.33 2.25 2.22 2.12 2.1028 2.90 2.80 2.72 2.60 2.44 2.30 2.23 2.19 2.09 2.0629 2.87 2.77 2.69 2.57 2.41 2.27 2.20 2.16 2.06 2.0330 2.84 2.74 2.66 2.55 2.39 2.25 2.17 2.13 2.03 2.0132 2.80 2.70 2.62 2.50 2.34 2.20 2.12 2.08 1.98 1.9634 2.76 2.66 2.58 2.46 2.30 2.16 2.08 2.04 1.94 1.9136 2.72 2.62 2.54 2.43 2.26 2.12 2.04 2.00 1.90 1.8738 2.69 2.59 2.51 2.40 2.23 2.09 2.01 1.97 1.86 1.8440 2.66 2.56 2.48 2.37 2.20 2.06 1.98 1.94 1.83 1.8042 2.64 2.54 2.46 2.34 2.18 2.03 1.98 1.91 1.80 1.7844 2.62 2.52 2.44 2.32 2.15 2.01 1.93 1.89 1.78 1.7546 2.60 2.50 2.42 2.30 2.13 1.99 1.91 1.86 1.76 1.7348 2.58 2.48 2.40 2.28 2.12 1.97 1.89 1.84 1.73 1.7050 2.56 2.46 2.38 2.26 2.10 1.95 1.87 1.82 1.71 1.6855 2.53 2.42 2.34 2.23 2.06 1.91 1.83 1.78 1.67 1.6460 2.50 2.39 2.31 2.20 2.03 1.88 1.79 1.75 1.63 1.6065 2.47 2.37 2.29 2.18 2.00 1.85 1.76 1.72 1.60 1.5770 2.45 2.35 2.27 2.15 1.98 1.83 1.74 1.70 1.57 1.5480 2.42 2.31 2.23 2.12 1.94 1.79 1.70 1.65 1.53 1.49100 2.37 2.27 2.19 2.07 1.89 1.74 1.65 1.60 1.47 1.43125 2.33 2.23 2.15 2.03 1.85 1.69 1.60 1.55 1.41 1.37150 2.31 2.20 2.12 2.00 1.83 1.67 1.57 1.52 1.38 1.33200 2.27 2.17 2.09 1.97 1.79 1.63 1.53 1.48 1.33 1.28400 2.23 2.13 2.04 1.92 1.74 1.58 1.48 1.42 1.25 1.191000 2.20 2.10 2.02 1.90 1.72 1.54 1.44 1.38 1.19 1.11

∞ 2.18 2.08 2.00 1.88 1.70 1.52 1.42 1.36 1.15 1.00

Puassony tarxaltyn magadlal 183

Xvsnägt 5 Puassony tarxaltyn magadlal pk =λk

k!e−λ

@@kλ 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

0 0,904837 0,818731 0,740818 0,670320 0,606531 0,548812 0,496585

1 0,090484 0,163746 0,222245 0,268128 0,303265 0,329287 0,347610

2 0,004524 0,016375 0,033337 0,053626 0,075816 0,098786 0,121663

3 0,000151 0,001091 0,003334 0,007150 0,012636 0,019757 0,028388

4 0,000004 0,000055 0,000250 0,000715 0,001580 0,002964 0,004968

5 0,000002 0,000015 0,000057 0,000158 0,000356 0,000696

6 0,000001 0,000004 0,000013 0,000036 0,000081

7 0,000001 0,000003 0,000008

@@kλ 0,8 0,9 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0 0,449329 0, 406570 0,367879 0,223130 0,135335 0,082085 0,049787

1 0,359463 0,365913 0,367879 0,334695 0,270671 0,205212 0,149361

2 0,143785 0,164661 0,183940 0,251021 0,270671 0,256516 0,224042

3 0,038343 0,049398 0,061313 0,125510 0,180447 0,213763 0,224042

4 0,007669 0,011115 0,015328 0,047067 0,090224 0,133602 0,168031

5 0,001227 0,002001 0,003066 0,014120 0,036089 0,066801 0,100819

6 0,000164 0,000300 0,000511 0,003530 0,012030 0,027834 0,050409

7 0,000019 0,000039 0,000073 0,000756 0,003437 0,009941 0,021604

8 0,000002 0,000004 0,000009 0,000142 0,000859 0,003106 0,008101

9 0,000001 0,000024 0,000191 0,000863 0,002701

10 0,000004 0,000038 0,000216 0,000810

11 0,000007 0,000049 0,000221

12 0,000001 0,000010 0,000055

13 0,000002 0,000013

14 0,000003

15 0,000001


Xvsnägt 5 Puassony tarxaltyn magadlal pk =λk

k!e−λ

@@kλ 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

0 0,018316 0,006738 0,002479 0,000912 0,000335 0,000123 0,000045

1 0,073263 0,033690 0,014873 0,006383 0,002684 0,001111 0,000454

2 0,146525 0,084224 0,044618 0,022341 0,010735 0,004998 0,002270

3 0,195367 0,140374 0,089235 0,052129 0,028626 0,014994 0,007567

4 0,195367 0,175467 0,133853 0,091226 0,057252 0,033737 0,018917

5 0,156293 0,175467 0,016623 0,127717 0,091604 0,060727 0,037833

6 0,104196 0,146223 0,160623 0,149003 0,122138 0,091090 0,063055

7 0,059540 0,104445 0,137677 0,149003 0,139587 0,117116 0,090079

8 0,029770 0,065278 0,103258 0,130377 0,139587 0,131756 0,112599

9 0,013231 0,036266 0,068838 0,101405 0,124077 0,131756 0,125110

10 0,005292 0,018133 0,041303 0,070983 0,099262 0,118580 0,125110

11 0,001925 0,008242 0,022529 0,045171 0,072190 0,097020 0,113736

12 0,000642 0,003434 0,011264 0,026350 0,048127 0,072765 0,094780

13 0,000197 0,001321 0,005199 0,014188 0,029616 0,050376 0,072908

14 0,000056 0,000472 0,002228 0,007094 0,016924 0,032384 0,052077

15 0,000015 0,000157 0,000891 0,003311 0,009026 0,019431 0,034718

16 0,000004 0,000049 0,000334 0,001448 0,004513 0,010930 0,021699

17 0,000001 0,000014 0,000118 0,000596 0,002124 0,005786 0,012764

18 0,000004 0,000039 0,000232 0,000944 0,002893 0,007091

19 0,000001 0,000012 0,000085 0,000397 0,001370 0,003732

20 0,000004 0,000030 0,000159 0,000617 0,001866

21 0,000001 0,000010 0,000061 0,000264 0,000889

22 0,000003 0,000022 0,000108 0,000404

23 0,000001 0,000008 0,000042 0,000176

24 0,000003 0,000016 0,000073

25 0,000001 0,000006 0,000029

26 0,000002 0,000011

27 0,000001 0,000004

28 0,000001

29 0,000001

χ2tarxaltyn kwantil´ 185

Xvsnägt 6 χ2 (Xi-kwadrat)tarxaltyn kwantil´ χ2m; q

@@@mq

0.005 0.01 0.025 0.05 0.1 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995

1 (1) (2) (3) (4) (5) 2.71 3.84 5.02 6.63 7.882 0.0100 0.020 0.051 0.103 0.21 4.61 5.99 7.38 9.21 10.603 0.0717 0.115 0.216 0.352 0.58 6.25 7.81 9.35 11.34 12.844 0.207 0.297 0.484 0.711 1.06 7.78 9.49 11.14 13.28 14.865 0.412 0.554 0.831 1.15 1.61 9.24 11.07 12.83 15.09 16.756 0.676 0.872 1.24 1.64 2.20 10.64 12.59 14.45 16.81 18.557 0.989 1.24 1.69 2.17 2.83 12.02 14.07 16.01 18.48 20.288 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 13.36 15.51 17.53 20.09 22.969 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59

10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 15.99 18.31 20.48 23.21 25.1911 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 17.28 19.68 21.92 24.73 26.7612 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 18.55 21.03 23.34 26.22 28.3013 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 19.81 22.36 24.74 27.69 29.8214 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 21.06 23.68 26.12 29.14 31.3215 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 22.31 25.00 27.49 30.58 32.8016 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 23.54 26.30 28.85 32.00 34.2717 5.70 6.41 7.56 8.67 10.09 24.77 27.59 30.19 33.41 35.7218 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 25.99 28.87 31.53 34.81 37.1619 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 27.20 30.14 32.85 36.19 38.58

20 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 28.41 31.41 34.17 37.57 40.0021 8.03 8.90 10.28 11.59 13.24 29.62 32.67 35.48 38.93 41.4022 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 30.81 33.92 36.78 40.29 42.8023 9.26 10.20 11.69 13.09 14.85 32.01 35.17 38.08 41.64 44.1824 9.89 10.86 12.40 13.85 15.66 33.20 36.42 39.36 42.98 45.5625 10.52 11.52 13.12 14.61 16.47 34.38 37.65 40.65 44.31 46.9326 11.16 12.20 13.84 15.38 17.29 35.56 38.89 41.92 45.64 48.2927 11.81 12.88 14.57 16.15 18.11 36.74 40.11 43.19 46.96 49.6428 12.46 13.56 15.31 16.93 18.94 37.92 41.34 44.46 48.28 50.9929 13.12 14.26 16.05 17.71 19.77 39.09 42.56 45.72 49.59 52.34

30 13.79 14.95 16.79 18.49 20.60 40.26 43.77 46.98 50.89 53.6740 20.71 22.16 24.43 26.51 29.05 51.81 55.76 59.34 63.69 66.7750 27.99 29.71 32.36 34.76 37.69 63.17 67.51 71.42 76.16 79.4960 35.53 37.48 40.48 43.19 46.46 74.40 79.08 83.30 88.38 91.9670 43.28 45.44 48.76 51.74 55.33 85.53 90.53 95.02 100.43 104.2380 51.17 53.54 57.15 60.39 64.28 96.58 101.88 106.63 112.33 116.3390 59.20 61.75 65.65 69.13 73.29 107.57 113.15 118.14 124.12 128.31100 67.33 70.06 74.22 77.93 82.36 118.50 124.34 129.56 135.81 140.18

(1)=0.00004; (2)=0.00016; (3)=0.00098; (4)=0.0039; (5)=0.0158


Nom züï

1. Amman, H.M. (ed.) (1996): Handbook of Computational Economics. Elsevier:Amsterdam2. Anthony, M., Biggs, N. L. (1996): Mathematics for Economics and Finance.Methods and Modelling. Cambridge University Press: Cambridge3. Baltagi, B.H. (1999): Econometrics, 2nd edition. Springer: Berlin, Heidelberg4. Baltagi, B.H. (1998): Solutions Manual for Econometrics. Springer: Berlin, Hei-delberg5. Baxter, M., Rennie, A. (1997): Financial Calculus. An Introduction to DerivativePricing. Cambridge University Press: Cambridge6. Chiang, A.C. (1984): Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rdedition. McGraw-Hill: New York7. Cissell, R., Cissell, H., Flaspohler, D.C. (1990): Mathematics of Finance.Houghton Miin: Boston8. Elliott, R. J., Kopp, P. E. (1999): Mathematics of Financial Markets. Springer:New York, Berlin, Heidelberg9. Elton, F., Gruber, M. (1992): Futures and Options, 4th edition. Wiley: NewYork10. Glenberg, A.M. (1998): Learning from Data: An Introduction to StatisticalReasoning. Erlbaum: Mahwah (NJ)11. Jacques, I. (1999): Mathematics for Economics and Business. Addison-Wesley:Harlow12. Jerey, A. (1995): Handbook of Mathematical Formulas and Integrals. Aca-demic Press: San Diego (Calif.)13. Levy, A. (1992): Economic Dynamics. Applications of Dierence Equations,Dierential Equations and Optimal Control. Avebury: Aldershot14. Manseld, E. (1994): Statistics for Business and Economics: Methods and Ap-plications, Norton: New York15. Moore, J. C. (1999): Mathematical Methods for Economic Theory. Springer:Berlin16. Pestman, W.R. (1998): Mathematical Statistics an Introduction. de Gruyter:Berlin, New York17. Simon, C. P., Blume L. (1994): Mathematics for Economists. Norton: New York18. Sirjaev, A.N. (1996): Probability, 2nd edition (Transl. from the Russian).Springer: New York, Heidelberg19. Sydsaeter, K., Strom A., Berck, P. (1993): Economists' Mathematical Manual,3rd edition. Springer: Berlin, Heidelberg20. Watson C., Billingsley, P., Croft, D., Huntsberger, D. (1993): Statistics forManagement and Economics, 5th edition. Houghton Miin: Boston21. Wilmott, P., Howison, S., Dewynne, J. (1998): The Mathematics of Financialderivatives. A Student Introduction. Cambridge University Press: Cambridge

Documents

Garqig - iom.num.edu.mniom.num.edu.mn/enkhbat/books/Mathematical_economics.pdf · Matematikiïn tämdägt bolon togtmoluud V Matematikiïn tämdägt bolon togtmoluud Tämdäglägää