Gauss Elimination

11.03.2009

1

LİNEER SİSTEMLER

Lineer Sistemler (Linear Systems)

• Uygulamalı matematiğin ve mühendisliğin birçok alanında Uygu a a ate at ğ ve ü e d s ğ b ço a a dalineer denklem sistemlerine çok sık rastlanmaktadır.

bxA

Lin. Sis. | Üçgen Yapılı Lin. Sis. | Gauss Eliminasyon Yönt. | LU Çarpanlarına Ayırma

A, m×n’lik bir matristir ve lineer sistemlerde “katsayılar matrisi” olarak adlandırılır. b, m-boyutlu “sonuç vektörü” ve x, n-boyutlu “bilinmeyenler vektörü”dür.

LİNEER SİSTEMLER


• n×n boyutlu bir lineer denklem sistemi aşağıdaki koşullardan y ğbirini sağladığında “tekil” olarak adlandırılır.

1. A katsayılar matrisinin tersinin bulunmaması

2. det(A) = 0

3. rank(A) < n

4. A z = 0 ( z ≠ 0 olan bir vektör)

• Lineer denklem sisteminin tekil olup olmamasının sonuca


etkisi ise şöyledir:

Tekil olmamaTekil olmaTekil olma

Tek çözümÇözümsüzSonsuz sayıda çözüm

11.03.2009

2

LİNEER SİSTEMLER


• Bir lineer denklem sisteminin çözümü genel olarak şöyle g yifade edilebilir:

bAAxA

bAx11


bAx 1

ÜÇGEN YAPILI LİNEER SİSTEMLER

Üçgen Yapılı Lineer Sistemler (Triangular Lin. Sys.)

• Katsayılar matrisinin köşegeninin altı veya üstünün tüm elemanlarının sıfıra eşit olduğu durumlarda sözkonusu sisteme “üçgen yapılı” lineer sistem denir. Örneğin

Yukarıdaki örneklerden soldakine “üst üçgen matrisi”, sağdakine ise “alt üçgen matrisi” denir.

333231

2221

11

33

2322

131211

0

00

00

0

aaa

aa

a

Lveya

a

aa

aaa

U


üçgen matrisi denir.

jiamatrisiüçgenAlt

jiamatrisiüçgenÜst

ij

ij

,0

,0

11.03.2009

3


Üçgen Yapılı Lineer Sistemler (Triangular Lin. Sys.)

• Üst üçgen matrisli sistemlerin çözümü

• Alt üçgen matrisli sistemlerin çözümü

nnnn abx

1,,1,1

niaxabx ii

n

ijjijii


1111 abx

niaxabx ii

i

jjijii ,,2,

1

1


Üçgen Yapılı Lineer Sistemler (Triangular Lin. Sys.) – Örnek

• Aşağıdaki üst üçgen matrisli sistemin çözümünü elde ediniz.

8

4

2

400

110

132

3

2

1

x

x

x

284 33 xx

11x


1232

24

1321

232

xxxx

xxx

2

2

3

2

x

x

11.03.2009

4

GAUSS ELİMİNASYON YÖNTEMİ

Gauss Eliminasyon Yöntemi

• Basit cebirsel işlemlerle bir katsayılar matrisini üst üçgen ya da altüçgen matrisine dönüştürmek kolayca mümkündür. Ardından dahaçg ş yönce de gösterilmiş olan çözüm yöntemleri ile amaca ulaşılmış olur.

• Köşegen üzerindeki elemanlar en üst satırdan başlanarak pivotolarak seçilir ve adım adım en alt satıra kadar yöntem uygulanır. Budurumda n×n boyutlu bir kare matris için belli bir yapı oluşmuşolur. Gauss Eliminasyon Yönteminde (şart olmamakla birlikte)köşegen üzerindeki elemanlar 1’e eşit gelecek şekilde düzenlenir.

Al i


• Algoritma:– Genişletilmiş Katsayılar Matrisi üzerinde cebirsel işlemler ile köşegen

altındaki elemanların sıfıra eşitlenmesi

– Basit cebirsel bir işlem ile köşegen üstündeki elemanların 1’e eşitlenmesi


Genişletilmiş Katsayılar Matrisi

bAA

bAx

~ bAA

nnnnn

n

n

b

b

b

b

b

aaa

aaa

aaa

A

2

1

21

22221

11211


nnnnn

n

n

baaa

baaa

baaa

A

21

222221

111211

~

11.03.2009

5


Gauss Eliminasyon Yöntemi – Örnek

8394

2242 321 xxx

2242 1x

10732

8394

321

321

xxx

xxx

10

8

732

394

3

2

x

x

10732

8394

2242~A


10732



İleri doğru Eliminasyon (1. Sütundan başlanır):

4110

1121

10732

8394

1121

10732

8394

2242~A

Önce birinci sütundaki köşegen elemanını 1 yapacak şekilde tüm satır uygun katsayı ile çarpılır.Sonra ilk satır uygun değerler ile çarpılarak ikinci ve


12510

4110 Sonra ilk satır uygun değerler ile çarpılarak ikinci ve üçüncü satıra eklenir, öyle ki, bu satırlardaki 1. sütun elemanları 0 olur.

Burada 1. satır önce 2’ye bölünüyor. Sonra birinci satır -4 ile çarpılıp ikinci satıra ekleniyor. Son olarak yine birinci satır 2 ile çarpılıp üçüncü satıra ekleniyor.

11.03.2009

6



İşlemlere 2. sütun ile devam edilir.

8400

4110

1121

12510

4110

1121

Ve son sütun ile işlem eliminasyon işlemi biter.

11211121 x


2

4

1

100

110

121

2100

4110

1121

3

2

1

x

x

x

Gauss Eliminasyon Yönt. için Elektronik Müh. Uygulaması


V2= 0 V

V1= 0 V

R1= 20 R4= 25

R3= 10

i1

i2


R5= 30 R2= 10

V3= 200 V

i3

200101030

0201025

01020

13233

12322

3121

iiiii

iiiii

iiii

11.03.2009

7



0201025

01020 3121

iiiii

iiii

200101030

0201025

13233

12322

iiiii

iiiii

0102030 1i


200

0

0

501010

105520

102030

3

2

1

i

i

i



0

0

105520

31321

0

0

105520

102030

200

0

0

4000

35031250

31321

200

0

0

31403500

35031250

31321

200

0

501010

105520

200

0

501010

105520

Ai 22 Ai 22


Aiiii

Aiii

Aii

303

1

3

2

203

50

3

125

520040

1321

232

33

Documents

Gauss Elimination