Upload
bie-n-na
View
1.511
Download
41
Embed Size (px)
Citation preview
LEMBAGA KAJIAN PENGEMBANGAN PENDIDIKAN (LKPP)
LAPORAN MODUL PEMBELAJARAN BERBASIS SCL
Judul:
PENINGKATAN KUALITAS DAN KUANTITAS TINGKAT KELULUSAN MAHASISWA DENGAN MODEL PEMBELAJARAN
PROBLEM SOLVING-LEARNING (PSL) MATA KULIAH MEKANIKA
Oleh:
Drs. Bansawang BJ, M.Si
Dibiayai oleh Dana DIPA Universitas Hasanuddin
sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Pekerjaan
Nomor: 469/H4.23/PM.05/2008 Tanggal 04 Pebruari 2008
JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN PEBRUARI, 2008
ii
LEMBAGA KAJIAN DAN PENGEMBANGAN PENDIDIKAN
Lantai Dasar Gedung Perpustakaan Universitas Hasanuddin
HALAMAN PENGESAHAN
LAPORAN MODUL PEMBELAJARAN
PROGRAM TRANSFORMASI DARI TEACHING KE LEARNING UNIVERSITAS HASANUDDIN 2008
Judul : Peningkatan Kualitas dan Kuantitas Tingkat Kelulusan
Mahasiswa Dengan Model Pembelajaran Problem
Solving Learning (PSL) Mata Kuliah Mekanika
Nama lengkap : Drs. Bansawang BJ, M.Si
NIP : 132 126 374
Pangkat/Golongan : Penata Tk.I / IIId
Jurusan : Fisika
Fakultas /Universitas : MIPA Universitas Hasanuddin
Jangka waktu kegiatan : 1 (satu) bulan
Mulai 04 Januari 04 Pebruari 2008
Biaya yang diajukan : Rp 4.000.000,00 (Empat juta rupiah),-
Dibiayai oleh Dana DIPA Universitas Hasanuddin sesuai
dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Pekerjaan
Nomor : 469/H4.23/PM.05/2008
Tanggal : 04 Pebruari 2008
Makassar, 04 Pebruari 2008 Mengetahui: a.n Dekan Fakultas MIPA UNHAS Pembuat Modul, Pembantu Dekan I Drs. H. Hasyim Bariun, MS Drs. Bansawang BJ, M.Si Nip. 130 878 519 Nip. 132 126 374
iii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat, karunia
dan hidayah-Nya sehingga laporan Modul Pembelajaran Program Transformasi Dari
Teaching ke Learning ini kami dapat selesaikan. Modul berbasis Student Centered
Learning (SCL) ini untuk matakuliah Mekanika diberi judul: Peningkatan Kualitas dan
Kuantitas Tingkat Kelulusan Mahasiswa Dengan Model Pembelajaran Problem
Solving Learning (PSL) Mata Kuliah Mekanika
Isi materi modul ini terdapat dua bagian yakni model pembelajaran sistem SCL dan
materi bahan ajar yang disusun berdasarkan GBBP dan SAP matakuliah Mekanika pada
Jurusan Fisika FMIPA UNHAS.
Akhirnya ucapan terima kasih kepada Ketua UPT-MKU Unhas yang telah
merekomendasikan kami untuk ikut pelatihan SCL dan para pemateri selama pelatihan
yang telah banyak memberi pemahaman tentang metode SCL serta Reviewer yang telah
meluangkan waktunya mengoreksi laporan Modul ini. Dan yang lebih penting kami
ucapkan terima kasih kepada Ketua dan Sekretaris Lembaga Kajian dan Pengembangan
Pendidikan Universitas Hasanuddin (LKPP-Unhas) yang telah memberi kami kesempatan
mengikuti pelatihan dan membiayai pembuatan Modul SCL ini melalui Dana DIPA
Universitas Hasanuddin sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Pekerjaan Nomor :
469/H4.23/PM.05/2008 Tanggal 04 Pebruari 2008. Demikian pula ucapan terima kasih
kepada Dekan FMIPA dan Ketua Jurusan Fisika sebagai fasilitator untuk kelancaran
pembuatan Modul SCL ini. Semoga modul ini dapat bermanfaat bagi mahasiswa yang
mengambil matakuliah Mekanika serta pembaca yang berminat mempelajari mekanika.
. Dapat dipastikan bahwa isi modul ini masih banyak kekurangannya baik dari segi
materi yang tidak termuat dalam modul ini karena didasarkan pada GBPP maupun
kesalahan-kesalahan teks dan bahkan kesalahan konsep. Oleh karena itu diharapakan
kepada pembaca atas kritik dan sarannya sehingga nantinya dapat dijadikan acuan untuk
memperbaiki isi modul ini.
Makassar, Pebruari 2008
iv
MODUL MATERI
PEMBELAJARAN BERBASIS SCL
Matakuliah : MEKANIKA
BAB I DINAMIKA PARTIKEL DALAM SATU DIMENSI
Oleh:
Drs.Bansawang BJ, M.Si
PROGRAM STUDI FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN
Makassar Pebruari 2008
v
PETA KEDUDUKAN MODUL
vi
DAFTAR ISI
Modul I
Judul : Dinamika Partikel Dalam Satu Dimensi
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang B. Ruang Lingkup Isi C. Kaitan Modul D. Sasaran Pembelajaran Modul
BAB II. PEMBELAJARAN
A. Modul Pegangan Tutor
B. Modul Pegangan Mahasiswa BAB III. PENUTUP
DAFTAR PUSTAKA
vii
RINGKASAN DINAMIKA PARTIKEL DALAM SATU DIMENSI
I.1 Pengantar
Dalam mekanika jika kita hanya menggambarkan gerak suatu benda, maka kita
membatasi diri pada kinematika yaitu dengan pertanyaan dimana (posisi) dan kapan
(waktu); sedangkan jika kita ingin menghubungkan gerak suatu benda terhadap gaya-gaya
penyebabnya dan juga sifat/karakteristik benda yang bergerak tersebut, maka kita
menghadapi permasalahan dinamika. Jadi kinematika zarrah artinya penggambaran gerak
suatu zarrah tanpa menghubungkan dengan gaya penyebabnya, sedangkan dinamika adalah
penggambaran gerak benda dengan mengaitkannya dengan gaya-gaya penyebabnya.
I.2 Dinamika Sistem Banyak Titik Materi
Pada uraian yang lalu telah di bahas mengenai dinamika partikel titik materi, maka
sekarang akan diperluas ke system banyak materi. Dalam rangka perluasan tersebut, maka
harus dibedakan antara gaya luar yang bekerja pada system partikel-partikel dengan gaya
internal yang berasal dari proses interaksi antara partikel ke k dengan yang lainnya. Jika
kedua macam gaya itu bekerja, maka hukum kedua Newton berbentuk:
+==kj
ikj
ekkk FFpF
)()(rrv&
r (I.2.1)
di mana suku pertama pada ruas kanan melambangkan gaya luar (gaya eksternal) dan suku
kedua sebagai gaya internal yang berhubungan dengan interaksi partikel ke j dengan ke k.
I.3 Gerak Dengan Gaya Konstan
Secara umum aksi gaya pada sebuah partikel dapat bergantung pada posisi,
kecepatan dan waktu. Persamaan geraknya adalah:
( )trrFrm ,, &rr&& = (I.3.1) Persamaan ini adalah sebuah persamaan diferensial orde dua dalam koordina ruang dan
setelah diintegrasi dua kali akan diperoleh lintasan partikel. Bila persamaan (I.3.1)
diintegrasi terhadap waktu, akan diperoleh:
viii
= tt
t
t
dtFdtrm00
&&
atau
= tt
dtFvrm0
)( 0& (I.3.2)
I.4 Gaya Bergantung Pada Waktu: F=F(t)
Dalam kasus ini, gaya akan diberikan )(tFF = yang bergantung waktu secara eksplisit, sehingga hokum Newton kedua dapat ditulis sebagai:
)(tFdtdvm = (I.4.1)
bila diintegrakan dengan mengasumsikan bahwa v=v0 pada t=t0, maka:
+= tt
dttFm
vv0
)(10 (I.4.2)
I.5 Gaya Bergantung Pada Kecepatan: F=F(v)
Dalam banyak keadaan sehari-hari, sering ditinjau keadaan dimana dilakukan
penambahan pada gaya konstan dengan gaya yang fungsi dari kecepatan Dalam kasus ini,
persamaan waktu dapat dituliskan sebagai:
== )()( vFdvmvtt Dan posisi adalah:
== )()( vFvdvmtxx (I.5.7) I.6 Gaya Bergantung Pada Posisi: F=F(x) Ada beberapa keadaan dimana persamaan gerak obyek bergantung pada posisi,
misalnya gaya gravitasi, gaya Coulomb dan gaya elastic. kasus
ix
= xx
dxxFmvmv0
)(21
21 2
02 (I.6.1)
Dan bila ditinjau energi potensial dengan menamakan V(x) sebagai fungsi potensial,
maka:
=x
x
dxxFxVxV0
)()()( 0 (I.6.2)
Dengan melakukan penggabungan persamaan (I.6.3) dengan (I.6.4), diperoleh:
ExV
dtdxm
ataukonsExVTxVT
=+
=+=+
)(21
tan)()()(2
00
(I.6.3)
Sebagai gambaran gerak partikel dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan (I.6.3),
yaitu:
[ ]m
xVEdtdxv )(2 =
= (I.6.4)
Integrasinya menghasilkan:
[ ] =
)(20
xVEm
dxtt (I.6.5)
x
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam mekanika jika kita hanya menggambarkan gerak suatu benda, maka kita
membatasi diri pada kinematika yaitu dengan pertanyaan dimana (posisi) dan kapan
(waktu); sedangkan jika kita ingin menghubungkan gerak suatu benda terhadap gaya-gaya
penyebabnya dan juga sifat/karakteristik benda yang bergerak tersebut, maka kita
menghadapi permasalahan dinamika.
Jadi kinematika zarrah artinya penggambaran gerak suatu zarrah tanpa
menghubungkan dengan gaya penyebabnya, sedangkan dinamika adalah penggambaran
gerak benda dengan mengaitkannya dengan gaya-gaya penyebabnya. Dalam hal ini gaya
sebagai penyebab gerak beragam jenisnya yakni ada gaya konstan, bergantung waktu,
bergantung posisi dan bergantung pada kecepatan.
B. Ruang Lingkup Isi
Dalam modul ini anda akan mempelajari konsep hukum Newton yang menjelaskan
gerak sebuah benda, baik ditinjau sebagai sistem titik materi maupn sebagai sistem banyak
titik materi yang didalamnya memuat defenisi kecepatan dan percepatan, Pengantar
hukum-hukum Newton tentang gerak, Dinamika Sistem Banyak Titik materi, Aplikasi
gaya konstan, Gaya bergantung waktu, Gaya bergantung kecepatan, Gaya konservatif dan
energi potensial. Contoh-contoh penerapannya diambil dalam kehidupan sehari-hari.
C. Kaitan Modul Modul ini merupakan modul pertama yang disajikan tiga Minggu (6 kali
pertemuan). Setelah mahasiswa mempelajari ( memahami ) Fisika Dasar ( Dinamika
Partikel ) dan sebelum mahasiswa mempelajari Modul ke dua Dinamika Partikel Dalam
Dua dan Tiga Dimensi
D. Sasaran Pembelajaran Modul
Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan dapat:
1. Menjelaskan Hukum-hukum Newton dalam koordinat Cartesian satu dimensi
untuk sistem titik materi dan sistem banyak titik materi.
2. Menjelaskan dinamika partikel oleh gaya konstan, gaya bergantung waktu, posisi
dan kecepatan
3. Menentukan gaya konservatif dan merumuskan energi potensial
xi
BAB II. MODUL PROSES PEMBELAJARAN SCL
A. Modul Pegangan Tutor a. Kompetensi yang akan dicapai adalah:
Dapat menyelesaikan soal dengan benar yang memuat gerak sistem dalam satu
dimensi untuk macam-macam aplikasi gaya yang bergantung pada waktu, posisi
dan kecepatan.
Skenario
Matakuliah : Mekanika
Pendekatan SCL : Collaborative Learning (Problem Solving Learning)
Project : Membuat makalah dan menyelesaikan soal-soal latihan
pada Modul Pembelajaran
b. Kegiatan Mahasiswa: Langkah-langkah kegiatan yang akan dilakuan mahasiswa selama dalam proses
pembelajaran berbasis SCL.
1. Mahasiswa mengikuti kuliah pengantar dari dosen pakar.
2. Mahasiswa didampingi oleh dosen membentuk kelompok-kelompok kecil (5-
7 mahasiswa), yang dipimpin oleh seorang ketua dan seorang sekretaris.
3. Melakukan aktivitas pembelajaran mandiri dari sumber-sumber belajar
(Bahan Ajar, Jurnal, Referensi, dll.), baik yang sudah disiapkan oleh dosen
maupun sumber-sumber lainnya.
4. Melakukan diskusi kelompok mandiri (tanpa tutor), melakukan curah
pendapat bebas (brainstorming) antar anggota dalam membahas penyelesaian
soal.
5. Berkonsultasi kepada narasumber yang ahli pada permasalahan-permasalahan
yang ditemukan untuk memperoleh pengertian yang benar dan mendalam.
6. Masing-masing kelompok menyerahkan laporan final penyelesaian soal
beserta agenda kegitan masing-masing anggota kelompoknya kepada dosen
pengampuh matakuliah dan mempresentasikan dalam panel diskusi.
7. Mengikuti kuliah khusus (kuliah pakar) untuk masalah yang belum jelas atau
belum ditemukan jawabannya dari sumber lainnya.
xii
c. Proses Pembelajaran
Agar dapat memahami materi pembelajaran dan menyelesaikan soal-soal latihan,
yang perlu dilakukan oleh setiap kelompok dalam pembelajaran SCL adalah:
1. Identifikasi semua istilah-istilah yang penting dan mencari artinya. Bila ada
yang belum jelas ditanyakan kepada narasumber.
2. Identifikasi semua persamaan-persamaan dan kegunaannya.
3. Uraikan langkah-langkah setiap persamaan ke persamaan berikutnya.
4. Identifikasi persamaan-persamaan yang digunakan dalam menyelesaikan
Soal-soal latihan
5. Buat penyelesaian soal-soal latihan.
d. Jadwal Kegiatan
Minggu ke
I - III Materi Aktivitas
Pertemuan ke-1
Kontrak Perkuiahan Dinamika Partikel Titik Materi dan Sistem
Partikel Banyak Titik Materi Kuliah/Ceramah
Pertemuan ke-2
Dinamika Partikel untuk gaya konstan, gaya bergantung waktu, posisi dan kecepatan
Kuliah/Ceramah
Pertemuan ke-3
Kerja kelompok (tanpa tutor)
Pertemuan ke-4
Makalah: Dinamika Partikel untuk Gaya Konstan dan Gaya Bergantung Waktu
Presentasi Kelompok/diskusi
Pertemuan ke-5
Makalah: Dinamika Partikel untuk Gaya Bergantung Posisi dan Kecepatan
Presentasi Kelompok/diskusi
xiii
Pertemuan ke-6
Pembahasan Soal-soal Latihan Diskusi
e. Strategi Pembelajaran 1. Diskusi kelompok difasilitasi oleh tutor 2. Diskusi kelompok tanpa tutor 3. Konsultasi pada pakar 4. Kuliah khusus dalam kelas. 5. Aktivitas pembelajaran individual menggunakan sumber-sumber belajar lainnya.
f. Bahan bacaan dan Sumber Informasi Lainnya. 1. Referensi/Buku Ajar/Jurnal 2. Diktat/Hand-Out 3. Nara sumber (Dosen Pengampuh). 4. Petunjuk Untuk Tutor
h. Lembar Penilaian
No. NIM Nilai/Bobot
Deskripsi Kinerja Keterangan
Membuat tulisan yang memuat aplikasi hukum Newton untuk gaya konstan, gaya bergantung pada waktu, posisi dan kecepatan.
1. Kelengapan isi yang inovatif, jelas, terurai dan kerjasama kelompok (12%)
2. Kelengapan isi yang inovatif, jelas namun kurang terurai (10%)
3. Kelengkapan isi lengkap, kurang jelas dan kurang terurai tidak ada kerjasama kelompok (8%)
4. Kelengkapan isi, kejelasan, keteruraian dan kerjasama kelompok sangat kurang (6%)
xiv
B. Modul Pegangan Mahasiswa
LEMBAR KERJA MAHASISWA
Nama :
Nim :
Klp :
Membuat tulisan yang memuat aplikasi hukum Newton untuk gaya konstan, gaya bergantung pada waktu, posisi dan kecepatan
BAB. III PENUTUP Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak mengikuti tes evaluasi untuk
menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda telah mempelajari dan
memahami modul ini hingga dinyatakan memenuhi syarat kelulusan dari hasil evaluasi,
maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/ modul berikutnya.
Apabila anda telah menyelesaikan seluruh evaluasi dari setiap modul, maka hasil
yang berupa nilai dari fasilitator dapat dijadikan sebagai bahan rujukan sebagai penentu
standar kelulusan mata kuliah mekanika.
DAFTAR PUSTAKA
1. Arya, P.Atam, 1990, Introduction to Classical Mechanics, Prentice Hall,
Englewood Cliffs, New Jersey
2. Takwale, R.G and Puranik, P.S, 1983, Introduction to Classical Mechanics, Tata
McGraw-Hill Publising Company Ltd, New Delhi
3. Goldstein, Herbert, 1980, Classical Mechanics, 2nd Ed, Addison-Wesley Publishing
Company, Massachusetts
xv
MODUL MATERI
PEMBELAJARAN BERBASIS SCL
Matakuliah : MEKANIKA
BAB II DINAMIKA PARTIKEL DALAM DUA DAN TIGA DIMENSI
Oleh:
Drs.Bansawang BJ, M.Si
PROGRAM STUDI FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN
Makassar Pebruari 2008
xvi
PETA KEDUDUKAN MODUL
xvii
DAFTAR ISI
Modul II
Judul : Dinamika Partikel Dalam Dua dan Tiga Dimensi
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Ruang Lingkup Isi
C. Kaitan Modul
D. Sasaran Pembelajaran Modul
BAB II. PEMBELAJARAN
A. Modul Pegangan Tutor
B. Modul Pegangan Mahasiswa
BAB III. PENUTUP
DAFTAR PUSTAKA
xviii
RINGKASAN DINAMIKA PARTIKEL DALAM DUA DAN TIGA DIMENSI
Dalam modul ini akan ditinjau kecepatan dan percepatan dalam system koordinat
selinder maupu koordinat bola. Untuk maksud tersebut, tinjua hubungan antara koordinat
Cartesian (x,y,z) dengan koordinat silinder ),,( z ), yakni:
dan hubungan inversnya adalah:
( )
22
1
22
11
21
22
cossintanyx
yyx
xyxyx
+=
+==
+=
Vektor posisi rr dapat diperoleh dengan meninjau suatu posisi dalam koordinat silinder adalah:
zzr += r Dengan mendiferensialkan vector posisi di atas, maka kita dapat menurunkan vektor
kecepatan, yaitu:
( )
zz
dtzdzz
dtdz
dtd
dd
dtd
zzdtd
dtrdv
&&&
rr
++=+++=
+==
dimana 0 =
dtzd , sehingga:
zzv &&&r ++= Selanjutnya dengan cara yang sama, percepatan dalam koordinat silinder dapat diperoleh
xix
( )
zzzz
xzzzdtd
dd
dtd
dd
dtzdzzz
dtd
dd
zzdtd
dtrd
dtvda
)&&)&&&&)&&&
)&&)&)&&)&&)&&)&&
&)&&)
&)&&)&&)
&)&&
)&)&&
)&)&&)&&
)&)&&
&&&rrr
+++=++++=
++++++=
++++++=
++===
)2()(
0.
2
2
2
2
Dengan demikian percepatan dalam system koordiant selinder adalah :
( ) ( ) zza 22 &&&&&&&&&r +++=
Selanjutnya kita tinjau sistem dalam koordinat bola ( ) ,,r . Penggunaan system koordinat ini seringkali digunakan pada keadaan system simetri bola, seperti pada kasus
gaya Coulomb dan gaya gravitasi. Juga dapat diperlihatkan hubungan ketiga vektor satuan
dan ,, kji dalam koordinat Cartesian dengan vector satuan dalam koordiant bola, yakni:
cossinsincossincossin kjizr ++=+= cossincoscoscossincos kjiz +== cossin ji += Selanjutnya kita dapat menyatakan kecepatan dan percepatan dalam sistem
koordinat bola, yakni:
( )[ ]
dtrdrrr
rrdtd
dtrdv
,
+=
==
&
rr
maka akan diperoleh kecepatan dalam system koordinat bola, sebagai berikut:
( ) sin &&&r rrrrv ++=
xx
Hambatan Gaya Gesek Sebagai Fungsi Kecepatan
Kita asumsikan bahwa gesekan udara berubah linear dengan kecepatan. Karena
gesekan udara selalu merupakan dengan gerak benda, arah gaya gesekan berlawanan arah
dengan vr . Jadi persamaan yang menjelaskan gerak tersebut adalah:
vbgmdt
rdm rrr
=22
dimana b adalah konstanta perbandingan untuk gaya gesek, dan
kzixr +=r kzixv &&r += kgg =r
Persamaan-persamaan ini, dapat diintegralkan dengan metode penyelesaian kasus satu
dimensi. Jadi, asumsikan bahwa pada t = 0, ( ) ( )0,0, 00 =zx pada ( )000 , zxv &&= dan dengan mengintegralkan didapatkan:
( )mbtxx = exp0&& ( )mbtz
bmg
bmgz
++= exp0&&
dan diintegralkan lagi:
( )( )mbtbmxx = exp10&
( )( )mbtbzm
bgmt
bmgz
++= exp10
2
2 &
xxi
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pada modul I yang lalu telah diuraikan tentang gerak titik materi maupun system
banyak titik materi, namun terbatas pada gerak satu dimensi. Pada hal dalam kehidupan
sehari-hari banyak dijumpai gerak benda dalam dua dan tiga dimensi dengan berbagai
macam system koordianat. Dalam hal ini, akan diturunkan gerak partikel tanpa
memperhatikan gaya yang menghasilkan gerak. Akan diturunkan posisi, kecepatan dan
percepatan sebuah partikel dalam dua dan tiga dimensi untuk system koordianat yang
berbeda. Misalkan posisi sebuah partikel di titik P dalam bidang XY dapat dinyatakan oleh
koordianat (x,y) atau dalam vector posisi r = (x,y), dimana r adalah jarak dari titik asal.
B. Ruang Lingkup Isi
Dalam modul ini, akan ditinjau gerak sistem dalam dua dan tiga dimensi dalam
berbagai macam system koordianat. Dalam hal ini, akan diturunkan gerak partikel tanpa
memperhatikan gayanya dalam dua dan tiga dimensi dengan sistem koordianat yang
berbeda. Pokok-pokok bahasan yang akan dibahas adalah Kinematika dalam sistem
koordinat berbeda, Operator del dalam koordinat silinder dan bola, Dinamika dalam dua
dan tiga dimensi, Gerak Peluru dengan tanpa gesekan dan dengan gesekan udara
C. Kaitan Modul
Modul ini merupakan modul ke dua yang disajikan dua minggu ( 4 kali )
pertemuan setelah mahasiswa telah memahami Dinamika Partikel Dalam Satu Dimensi
dan sebelum mahasiswa mempelajari Modul ke tiga Gerak Dalam Medan Gaya Sentral.
D. Sasaran Pembelajaran Modul
Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan dapat:
1. Menurunkan kecepatan dan percepatan dalam koordinat Cartesian dalam dua dan
tiga dimensi, koordinat polar, selinder dan bola
2. Menurunkan operator del dalam selinder dan bola
3. Menentukan dan merumuskan energi potensial
4. Merumuskan dan menyelesaikan persamaan gerak peluru baik dengan maupun
tanpa gesekan udara
xxii
BAB II. MODUL PROSES PEMBELAJARAN SCL
A. Modul Pegangan Tutor
a. Kompetensi yang akan dicapai adalah: Dapat menjelaskan kecepatan dan percepatan dalam beberpa sistem koordinat yang
berbeda dan menyelesaikan soal dengan benar yang memuat gerak sistem dalam
dua dan tiga dimensi dengan mengambil contoh gerak osilator dan gerak peluru.
b. Skenario Matakuliah : Mekanika
Pendekatan SCL : Collaborative Learning (Problem Solving Learning)
Project : Menyelesaikan soal-soal latihan pada Modul Pembelajaran
c. Kegiatan Mahasiswa: Langkah-langkah kegiatan yang akan dilakuan mahasiswa selama dalam proses
pembelajaran berbasis SCL.
1. Mahasiswa mengikuti kuliah pengantar dari dosen pakar.
2. Mahasiswa didampingi oleh dosen membentuk kelompok-kelompok kecil (5-
3. 7 mahasiswa), yang dipimpin oleh seorang ketua dan seorang sekretaris.
4. Melakukan aktivitas pembelajaran mandiri dari sumber-sumber belajar (Bahan
Ajar, Jurnal, Referensi, dll.), baik yang sudah disiapkan oleh dosen maupun
sumber-sumber lainnya.
5. Melakukan diskusi kelompok mandiri (tanpa tutor), melakukan curah pendapat
bebas (brainstorming) antar anggota dalam membahas penyelesaian soal.
6. Berkonsultasi kepada narasumber yang ahli pada permasalahan-permasalahan
yang ditemukan untuk memperoleh pengertian yang benar dan mendalam.
7. Masing-masing kelompok menyerahkan laporan final penyelesaian soal beserta
agenda kegitan masing-masing anggota kelompoknya kepada dosen pengampuh
matakuliah dan mempresentasikan dalam panel diskusi.
8. Mengikuti kuliah khusus (kuliah pakar) untuk masalah yang belum jelas atau
belum ditemukan jawabannya dari sumber lainnya.
d. Proses Pembelajaran
Agar dapat memahami materi pembelajaran dan menyelesaikan soal-soal latihan,
yang perlu dilakukan oleh setiap kelompok dalam pembelajaran SCL adalah:
xxiii
1. Identifikasi semua istilah-istilah yang penting dan mencari artinya. Bila ada
yang belum jelas ditanyakan kepada narasumber.
2. Identifikasi semua persamaan-persamaan dan kegunaannya.
3. Uraikan langkah-langkah setiap persamaan ke persamaan berikutnya.
4. Identifikasi persamaan-persamaan yang digunakan dalam menyelesaikan soal-
soal latihan
5. Buat penyelesaian soal-soal latihan.
e. Jadwal Kegiatan
Minggu ke IV-V Materi Aktivitas
Pertemuan ke-7
Dinamika Partikel Dalam Dua dan Tiga Dimensi Kuliah/Ceramah
Pertemuan ke-8
1. Kinematika Dalam Sistem Koordinat Berbeda
2. Operator Del Dalam Koordianat Selinder Dan Bola
3. Fungsi Energi Potensial
Presentasi Kelompok/diskusi
Pertemuan ke-9
Gerak Peluru Tanpa Hambatan (Gaya Gesek) Udara
Gerak Peluru Hambatan Gaya Gesek Sebagai Fungsi Kecepatan
Presentasi Kelompok/diskusi
Pertemuan ke-10
Pembahasan Soal-soal Latihan Diskusi
f. Strategi Pembelajaran 1. Diskusi kelompok difasilitasi oleh tutor 2. Diskusi kelompok tanpa tutor 3. Konsultasi pada pakar 4. Kuliah khusus dalam kelas. 5. Aktivitas pembelajaran individual menggunakan sumber-sumber belajar
lainnya.
g. Bahan bacaan dan Sumber Informasi Lainnya. 1. Referensi/Buku Ajar/Jurnal 2. Diktat/Hand-Out 3. Nara sumber (Dosen Pengampuh). 4. Petunjuk Untuk Tutor
xxiv
h. Lembar Penilaian
No. NIM Nilai/Bobot
Deskripsi Kinerja Keterangan
Membuat tulisan yang memuat gerak sistem dalam dua dan tiga dimensi dengan mengambil contoh gerak osilator dan gerak peluru.
1. Kelengapan isi yang inovatif, jelas, terurai dan kerjasama kelompok (8%)
2. Kelengapan isi yang inovatif, jelas namun kurang terurai (6%)
3. Kelengkapan isi lengkap, kurang jelas dan kurang terurai tidak ada kerjasama kelompok (4%)
4. Kelengkapan isi, kejelasan, keteruraian dan kerjasama kelompok sangat kurang (2%)
B. Modul Pegangan Mahasiswa
LEMBAR KERJA MAHASISWA
Nama :
Nim :
Klp :
Membuat tulisan yang memuat gerak sistem dalam dua dan tiga dimensi dengan
mengambil contoh gerak osilator dan gerak peluru
xxv
BAB. III PENUTUP Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes evaluasi untuk
menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat
kelulusan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke
topik/ modul berikutnya.
Apabila anda telah menyelesaikan seluruh evaluasi dari setiap modul, maka hasil
yang berupa nilai dari fasilitator dapat dijadikan sebagai bahan verifikasi sebagai penentu
standar kelulusan mata kuliah mekanika.
DAFTAR PUSTAKA
1. Arya, P.Atam, 1990, Introduction to Classical Mechanics, Prentice Hall,
Englewood Cliffs, New Jersey
2. Takwale, R.G and Puranik, P.S, 1983, Introduction to Classical Mechanics, Tata
McGraw-Hill Publising Company Ltd, New Delhi
3. Goldstein, Herbert, 1980, Classical Mechanics, 2nd Ed, Addison-Wesley Publishing
Company, Massachusetts
xxvi
MODUL MATERI
PEMBELAJARAN BERBASIS SCL
Matakuliah : MEKANIKA
BAB III GERAK DALAM MEDAN-GAYA SENTRAL
Oleh:
Drs.Bansawang BJ, M.Si
PROGRAM STUDI FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN
Makassar Pebruari 2008
xxvii
PETA KEDUDUKAN MODUL
xxviii
DAFTAR ISI
Modul III
Judul : Gerak Dalam Medan Gaya Sentral
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Ruang Lingkup Isi
C. Kaitan Modul
D. Sasaran Pembelajaran Modul
BAB II. PEMBELAJARAN
A. Modul Pegangan Tutor
B. Modul Pegangan Mahasiswa
BAB III. PENUTUP
DAFTAR PUSTAKA
xxix
RINGKASAN
GERAK DALAM MEDAN-GAYA SENTRAL III.1 Gaya Sentral dan Energi Potensial
Gaya sentral adalah gaya yang bekerja pada sebuah partikel yang selalu mengarah
pada satu titk yang dinamakan pusat (asal) dari gaya. Jadi aksi gaya sentral pada partikel
yang berjarak r dari pusat gaya dapat dinyataka sebagai:
rrFrF )rrr
)()( = (III.1.1)
dimana r) adalah vector satuan ke arah radial. Dari bentuk gaya ini, mempunyai implikasi bahwa momentum sudut partikel adalah kekal atau tidak berubah. Dengan kata lain, jika
gaya sentral adalah isotropik yakni rrFrF )rr
)()( = , maka gaya sentral adalah gaya konservatif., sehingga energi mekanik partikel adalah kekal. Jadi kita akan sampai pada
kesimpulan bahwa untuk gaya sentral, momentum sudut dan energi akan kekal (konstan)
Hukum kekekalan ini adalah hasil dari sifat simetri radial dalam kasus ini. Selanjutnya
vector satuan dapat ditulis sebagai rrrv) = , sehingga persamaan di atas dapat dituli sebagai:
rrrFFv
)(= (III.1.2)
Jika gaya sentral adalah gaya konservatif dan diasosiakan dengan sebuah fungsi energi
potensial V(r) sedemikian bahwa:
)()()( rVrVgradrF == vr (III.1.3)
Dalam koordinat bola, operator gradient adalah:
+
+=
sin11
rrrr
))r
III.2 Gerak Gaya Sentral Sebagai Benda Sistem Satu Badan
xxx
Sistem yang terdiri atas beberapa titik massa yang paling sederhana adalah system
dua badan , namun masih cukup umum untuk memperoleh gambaran mengenai dinamika
system banyak titik massa. Yang menarik bagi system dua badan ini ialah dapatnya
direduksi menjadi system satu badan .
Selanjutnya vector letak ttik pusat massa bila diterapkan untuk system dua badan
ditentukan oleh:
21
2211
mmrmrm
mrm
Ri
ii
++==
r (III.2.1)
Untuk sistem dua badan, energi kinetic dinyatakan sebagai:
221
212212
1
2222
12112
1
)(21)( r
mmmmRmm
rmrmT
&&
r&
r&
+++=+=
(III.2.2a)
atau
2212
21 rRMT
r&& += (III.2.2b)
dimana telah diambil 21 mmM += sebagai massa total system, )( 2121
mmmm+= sebagai
massa tereduksi system yakni system dua badan. Berdasarkan uraian ini, Lagrangian
system akan dapat dinyatakan sebagai:
;),(
...),,(2
212
21 rrUrRML
rrrUTL&&&
r&&
r&r
+==
(III.2.3)
III.3 Persamaan Gerak Dalam Medan Potensial Sentral
Hukum Kepler II yang membicarakan luasan yang disapu oleh garis hubung
planet dengan matahari pada asasnya hanyalah merupakan konsekuensi hokum kekekalan
momentum sudut.
=== sinrmL
dtdA konstan (III.3.1)
xxxi
Selanjutnya akan diturunkan persamaan orbit yakni hubungan r = r( ) atau = (r). Dalam hal ini, waktu sebenarnya merupakan parameter dan lebih menguntungkan jika dinyatakan dalam sudut karena keliling daripada suatu lingkaran adalah 2 , maka :
==
)(2
22
222
rVr
LE
drrLdt
rLd
(III.3.2)
atau
=
)(22 2
22 rV
rLEr
drLo
(III.3.3)
III.4 Orbit Medan Gaya Sentral Dan Potensial Efektif
Untuk menurunkaan gerak partikel dibawah aksi sebuah gaya sentral, kita telah
perlihatkan bahwa geraknya masih terbatas pada dua dimensi. Selanjutnya dengan
menggunakan kekekalan momentum sudut dan energi, kita telah mereduksi gerak dua
dimensi menjadi gerak satu dimensi. Tinjau kekekalan energi total, yakni:
)(
)(2 2
22
21
rVVT
rVr
LrE
senrad ++=++= & (III.4.1)
dimana Trad dan Vsent adalah adalah masing-masing menyatakan energi kinetic ke arah
radial dan gerak ke arah sudut. Seperti halnya gerak 1-D dalam potensial, jika kita
ungkapkan & dalam bentuk momentum sudut, persamaan gerak dalam arah radial dapat ditulis sebagai :
32
)(r
LrFr +=&& (III.4.2)
xxxii
BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang
Untuk mendapatkan persamaan gerak dibawah pengaruh medan-gaya sentral, selain
dengan hukum Newton dapat pula diperoleh melalui persamaan Euler-Lagrange dengan
merumuskan fungsi keadaan system yang disebut fungsi Lagrange. Suatu system yang
bergerak terhadap satu titik dimana potensial interaksi dimisalkan hanya bergantung pada
jarak relatifnya saja.
Gerak partikel dibawah aksi gaya sentral masih terbatas pada dua dimensi. Dengan
menggunakan kekekalan momentum sudut dan energi, dapat direduksi gerak dua dimensi
menjadi gerak satu dimensi. Dapat ditegaskan bahwa gaya sentral adalah gaya yang
bergantung posisi dan konservatif.
B. Ruang Lingkup Isi
Dalam modul ini, akan ditinjau Gaya sentral dan energi Potensial, Gerak gaya
sentral sebagai benda sistem satu badan, Sifat-sifat umum gaya sentral, Persamaan-
persamaan gerak di bawah pengaruh medan-gaya sentral, Orbit medan gaya sentral dan
potensial efektif
C. Kaitan Modul Modul ini merupakan modul ke tiga yang disajikan selama dua minggu ( 4x
pertemuan) setelah mahasiswa mempelajari Dinamika Partikel Dalam Dua dan Tiga
Dimensi dan sebelum mahasiswa mempelajari Formulasi Lagrange.
D. Sasaran Pembelajaran Modul
Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan dapat:
1. Menjelaskan hubungan antara gaya sentral dengan energi potensial.
2. Menurunkan gaya sentral sebagai sistem satu badan dan menyebutkan sifat-sifat
umum gaya sentral.
3. Merumuskan dan menyelesaikan persamaan gerak dibawah pengaruh medan-
gaya sentral
4. Menjelaskan potensial efektif dan orbit medan-gaya sentral.
xxxiii
II. MODUL PROSES PEMBELAJARAN SCL
A. Modul Pegangan Tutor a. Kompetensi yang akan dicapai adalah:
Dapat menjelaskan gerak dibawah pengaruh medan-gaya sentral dan
konsekuensinya serta menyelesaikan soal dengan benar yang memuat gerak sistem
dibawah pengaruh medan-gaya sentral.
Skenario
Matakuliah : Mekanika
Pendekatan SCL : Collaborative Learning (Problem Solving Learning)
Project : Menyelesaikan soal-soal latihan pada Modul Pembelajaran
b. Kegiatan Mahasiswa: Langkah-langkah kegiatan yang akan dilakuan mahasiswa selama dalam proses
pembelajaran berbasis SCL adalah:
1. Mahasiswa mengikuti kuliah pengantar dari dosen pakar.
2. Mahasiswa didampingi oleh dosen membentuk kelompok-kelompok kecil (5-
7 mahasiswa), yang dipimpin oleh seorang ketua dan seorang sekretaris.
3. Melakukan aktivitas pembelajaran mandiri dari sumber-sumber belajar (Bahan
Ajar, Jurnal, Referensi, dll.), baik yang sudah disiapkan oleh dosen maupun
sumber-sumber lainnya.
4. Melakukan diskusi kelompok mandiri (tanpa tutor), melakukan curah pendapat
bebas (brainstorming) antar anggota dalam membahas penyelesaian soal.
5. Berkonsultasi kepada narasumber yang ahli pada permasalahan-permasalahan
yang ditemukan untuk memperoleh pengertian yang benar dan mendalam.
6. Masing-masing kelompok menyerahkan laporan final penyelesaian soal beserta
agenda kegitan masing-masing anggota kelompoknya kepada dosen pengampuh
matakuliah dan mempresentasikan dalam panel diskusi.
7. Mengikuti kuliah khusus (kuliah pakar) untuk masalah yang belum jelas atau
belum ditemukan jawabannya dari sumber lainnya.
xxxiv
c. Proses Pembelajaran
Agar dapat memahami materi pembelajaran dan menyelesaikan soal-soal latihan,
yang perlu dilakukan oleh setiap kelompok dalam pembelajaran SCL adalah:
1. Identifikasi semua istilah-istilah yang penting dan mencari artinya. Bila ada
yang belum jelas ditanyakan kepada narasumber.
2. Identifikasi semua persamaan-persamaan dan kegunaannya.
3. Uraikan langkah-langkah setiap persamaan ke persamaan berikutnya.
4. Identifikasi persamaan-persamaan yang digunakan dalam menyelesaikan soa-
soal latihan
5. Buat penyelesaian soal-soal latihan.
d. Jadwal Kegiatan
Minggu ke VI-VII Materi Aktivitas
Pertemuan ke-11
Gaya sentral dan energi Potensial Gerak gaya sentral sebagai benda system
satu badan Sifat-sifat umum gerak di bawah pengaruh
gaya sentral
Kuliah/Ceramah/
diskusi
Pertemuan ke-12
Persamaan-persamaan gerak di bawah
medan gaya sentral
Kuliah/Ceramah/
diskusi
Pertemuan ke-13
Orbit medan gaya sentral dan potensial efektif
Hukum Kepler untuk Gerak Planet
Kuliah/Ceramah/
diskusi
Pertemuan ke-14
Pembahasan Soal-soal Latihan Diskusi
Minggu ke
VIII
EVALUASI (MID TES)
xxxv
e. Strategi Pembelajaran 1. Diskusi kelompok difasilitasi oleh tutor 2. Diskusi kelompok tanpa tutor 3. Konsultasi pada pakar 4. Kuliah khusus dalam kelas. 5. Aktivitas pembelajaran individual menggunakan sumber-sumber belajar
lainnya.
f. Bahan bacaan dan Sumber Informasi Lainnya. 1. Referensi/Buku Ajar/Jurnal 2. Diktat/Hand-Out 3. Nara sumber (Dosen Pengampuh). 4. Petunjuk Untuk Tutor
g. Lembar Penilaian
No. NIM Nilai/Bobot
Deskripsi Kinerja Keterangan
Menyelesaikan soal-soal yang diberikan secara analitik pada buku kerja.
.
1. Kelengapan isi yang inovatif, jelas, terurai dan kerjasama kelompok (8%)
2. Kelengapan isi yang inovatif, jelas namun kurang terurai (6%)
3. Kelengkapan isi lengkap, kurang jelas dan kurang terurai tidak ada kerjasama kelompok (4%)
4. Kelengkapan isi, kejelasan, keteruraian dan kerjasama kelompok sangat kurang (2%)
xxxvi
B. Modul Pegangan Mahasiswa
LEMBAR KERJA MAHASISWA
Nama :
Nim :
Klp :
Soal Evaluasi:
1. Sesuai dengan teori nuklir Yukawa, gaya tarik-menarik antara sebuah neutron dan
proton di dalam inti atom digambarkan sebuah fungsi potensial yang berbentuk:
r
rkrV )exp()( = dimana k dan adalah konstanta dan k
xxxvii
BAB. III PENUTUP Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak mengikuti tes evaluasi untuk
menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat
kelulusan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke
topik/ modul berikutnya.
Apabila anda telah menyelesaikan seluruh evaluasi dari setiap modul, maka hasil
yang berupa nilai dari fasilitator dapat dijadikan sebagai bahan rujukan sebagai penentu
standar kelulusan mata kuliah mekanika.
DAFTAR PUSTAKA
1. Arya, P.Atam, 1990, Introduction to Classical Mechanics, Prentice Hall,
Englewood Cliffs, New Jersey
2. Takwale, R.G and Puranik, P.S, 1983, Introduction to Classical Mechanics, Tata
McGraw-Hill Publising Company Ltd, New Delhi
3. Goldstein, Herbert, 1980, Classical Mechanics, 2nd Ed, Addison-Wesley Publishing
Company, Massachusetts
xxxviii
MODUL MATERI
PEMBELAJARAN BERBASIS SCL
Matakuliah : MEKANIKA
BAB IV FORMULASI PERSAMAAN LAGRANGE
Oleh:
Drs.Bansawang BJ, M.Si
PROGRAM STUDI FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN
Makassar Pebruari 2008
xxxix
PETA KEDUDUKAN MODUL
xl
DAFTAR ISI
Modul IV
Judul : Formulasi Persamaan Lagrange
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Ruang Lingkup Isi
C. Kaitan Modul
D. Sasaran Pembelajaran Modul
BAB II. PEMBELAJARAN
A. Modul Pegangan Tutor
B. Modul Pegangan Mahasiswa
BAB III. PENUTUP
DAFTAR PUSTAKA
xli
RINGKASAN
FORMULASI PERSAMAAN LAGRANGE
I. Persamaan Kendala
Secara matematis, dikira bahwa pemecahan masalah mekanika cukup dengan
menemukan penyelesaian kombinasi persamaan diferensial:
)(eij
jii FFrm += rr&& setelah menyatakan gaya-gaya yang bersangkutan. Akan tetapi dari sudut fisika,
pandangan semacam ini terlalu menyederhanakan gambaran situasi fisis yang
sesungguhnya. Dalam hubungan tersebut masih perlu dipertimbangkan pula kendala-
kendala yang membatasi gerak system. Contoh kendala semacam itu misalnya gerak benda
tegar, dimana vector letak relative ijrr haruslah tetap.
Kendala-kendala yang dimaksud berfungsi membatasi gerak system; yang secara
teknis dapat sebagai syarat batas. Adapun kendala-kendala itu dapat diperinci dalam
berbagai bentuk khas; tetapi secara umum polanya cukup dikelompokkan dalam dua
bentuk; yakni yang disebut holonomik dan nonholonomik . Dalam hubungan ini, bila
terdapat suatu fungsi scalar yang berhubungan dengan persamaan yang mengaitkan
koordinat partikel pada suatu saat sedemikian dipenuhi:
0),...,,( 321 =trrr rrr (1)
maka dikatakan kendala itu bersifat holonomik. Contoh sederhana kendala holonomik
adallah kendala bagi gerak benda tegar yang dapat disajikan dengan persamaan:
( ) 022 = ijji Crr rr
II. Prinsip dAlembert
Pergeseran maya rv (sesaat) didefenisikan sebagai perubahan konfigurasi system akibat perpindahan infinitesimal sembarang dengan gaya-gaya dan kendala-kendala yang
menimbulkannya pada suatu waktu. (digunakan untuk membedakan terhadap pengertian
perpindahan sesungguhnya)
xlii
Suatu system dalam keadaan setimbang , maka menurut hukum pertama Newton,
yakni 0=i
iF sehingga akibatnya kerja semu 0==i
ii rFdW . Kalau gaya Fi
dikupas atas gaya yang bekerja aiF dan gaya kendala (fi ) , yakni:
ii
aii fFF += (2)
Bila kita batasi diri dengan system dimana kerja semu oleh gaya kendala fi , maka
kerja semu oleh gaya total terhadap system dalam keadaan setimbang, adalah:
0= ii
ai rF (3)
karena rv tidak selalu lenyap karena tidak bebas betul mengingat keterkaitannya dengan kendala-kendala. Oleh karena itu , agar aiF lenyap (dalam arti statis maupun dinamis),
maka dAlembert mengemukakan:
Zarah-zarah dalam system akan sebanding dibawah aksi gaya sesungguhnya
bila ditambahkan gaya efektif ipr& yang sama besar tetapi berlawanan, yang
berarti telah mengubah dari keadaan dinamis menjadi statis semu
( ) =+i
ii
iiia
i rfrpF 0rr
&r
(4)
Jadi prinsip dAlembert , yakni:
( ) =i
iia
i rpF 0r&
r (5a)
yaitu usaha dari semua gaya yang diterapkan dikurang turunan momentum terhadap waktu
0= ir (perkalian dot) dengan syarat:
0= i
ikendalai rf
(5b)
III Persamaan Gerak Euler-Lagrange
Dengan menandai Tvm iii
= 221 sebagai energi kinetic system, maka dari prinsip dAlembert dapat diturunkan persamaan:
0=
jj
jjj
qQqT
qT
dtd &
(6)
xliii
Dengan mengingat bahwa kendala yang kita tinjau hanya yang holonomik, maka
jq bersifat bebas diantara anggotanya, dan karena itu jq sembarang sehingga koefiennya haruslah lenyap, maka;
jjj
QqT
qT
dtd =
& (7)
dimana j
i
ii
j
ii
iij q
rFqrrmQ
== &&
, adalah gaya umum.
Selanjutnya bila Qj diganti dengan mengandaikan bahwa system yang ditinjau
bersifat konservatif , yakni VFi = , maka:
0=
ii qL
qL
dtd
& (8)
yang dikenal sebagai persamaan gerak Euler-Lagrange yang diturunkan untuk gerak
partikel (benda titik) didalam medan-gaya konservatif.
Sekarang kita tinjau perluasan pada system monogenic yaitu gaya yang dapat
diperoleh dari potensial yang bergantung pada kecepatan atau dengan kata lain energi
potensial yang kita tinjau bersifat tidak konservatif yang kita andai dengan ),( jj qqU & ,
maka syarat bagi gaya umum Qj adalah:
+
=jj
j qU
dtd
qUQ & (9)
dengan ),( jj qqU & dinamakan sebagai potensial umum
xliv
BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang
Secara matematis, dikira bahwa pemecahan masalah mekanika cukup dengan
menemukan penyelesaian persamaan diferensial yang diturunkan dari hukum Newton.
Akan tetapi dari sudut fisika, pandangan semacam ini terlalu menyederhanakan gambaran
situasi fisis yang sesungguhnya. Dalam hubungan tersebut masih perlu dipertimbangkan
pula kendala-kendala yang membatasi gerak system.
Dengan persamaan Lagrange, maka persamaan gerak Newton telah digeneralisir.
Akan tetapi bila hanya terbatas pada sistem yang konservatif saja, maka generalisasi itu
kurang berarti. Untuk itu akan ditunjukkan bahwa perumusan ini masih tetap berlaku
sekalipun tidak konservatif; asalkan dipenuhi syarat tertentu.
B. Ruang Lingkup Isi
Dalam modul ini anda akan mempelajari Kendala dan koord. Umum, Prinsip
dAlembert, Sajian energi kinetik dalam koordinat umum, Persamaan gerak Euler-
Lagrange.
C. Kaitan Modul
Modul ini merupakan modul ke empat yang disajikan selama dua minggu ( 4x
pertemuan) setelah mahasiswa mempelajari Gerak Dalam Medan-Gaya Sentral dan
sebelum mahasiswa mempelajari Prinsip Variasi: Persamaan Lagrange dan Hamilton.
D. Sasaran Pembelajaran Modul
Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan dapat:
1. Melakukan transformasi dari koordinat biasa ke koordinat umum.
2. Menjelaskan perpindahan semu dan kerja semu
3. Menurunkan sajian energi kinetik dalam sistem koordinat umum yang tidak
mengandung waktu secara eksplisit dalam transformasi koordinatnya..
4. Menurunkan persamaan Euler- Lagrange dari Hukum Newton dengan
menggunakan prisip dAlembert.
5. Menentukan energi potensial pada berbagai sistem fisis dan merumuskan
fungsi Lagrangenya.
6. Menerapkan Persamaan Euler-Lagrange untuk berbagai macam sistem
dalam Fisika.
xlv
BAB II MODUL PROSES PEMBELAJARAN SCL
A. Modul Pegangan Tutor
a. Kompetensi yang akan dicapai adalah: Dapat melakukan transformasi koordinat dan menjelaskan konsekuensinya, serta
merumuskan Lagrangian pada berbagai sistem fisis dan menerapkannya pada
persamaan gerak Euler-Lagrange untuk mendapatkan persamaan dinamikanya.
Skenario
Matakuliah : Mekanika
Pendekatan SCL : Collaborative Learning (Problem Solving Learning)
Project : Menyelesaikan soal-soal latihan pada Modul Pembelajaran
b. Kegiatan Mahasiswa Langkah-langkah kegiatan yang akan dilakuan mahasiswa selama dalam proses
pembelajaran berbasis SCL.
1. Mahasiswa mengikuti kuliah pengantar dari dosen pakar.
2. Mahasiswa didampingi oleh dosen membentuk kelompok-kelompok kecil (5-
7 mahasiswa), yang dipimpin oleh seorang ketua dan seorang sekretaris.
3. Melakukan aktivitas pembelajaran mandiri dari sumber-sumber belajar (Bahan
Ajar, Jurnal, Referensi, dll.), baik yang sudah disiapkan oleh dosen maupun
sumber-sumber lainnya.
4. Melakukan diskusi kelompok mandiri (tanpa tutor), melakukan curah pendapat
bebas (brainstorming) antar anggota dalam membahas penyelesaian soal.
5. Berkonsultasi kepada narasumber yang ahli pada permasalahan-permasalahan yang
ditemukan untuk memperoleh pengertian yang benar dan mendalam.
6. Masing-masing kelompok menyerahkan laporan final penyelesaian soal beserta
agenda kegitan masing-masing anggota kelompoknya kepada dosen pengampuh
matakuliah dan mempresentasikan dalam panel diskusi.
7. Mengikuti kuliah khusus (kuliah pakar) untuk masalah yang belum jelas atau belum
ditemukan jawabannya dari sumber lainnya.
xlvi
c. Proses Pembelajaran
Agar dapat memahami materi pembelajaran dan menyelesaikan soal-soal latihan,
yang perlu dilakukan oleh setiap kelompok dalam pembelajaran SCL adalah:
1. Identifikasi semua istilah-istilah yang penting dan mencari artinya. Bila ada
yang belum jelas ditanyakan kepada narasumber.
2. Identifikasi semua persamaan-persamaan dan kegunaannya.
3. Uraikan langkah-langkah setiap persamaan ke persamaan berikutnya.
4. Menidentifikasi persamaan-persamaan yang digunakan dalam
menyelesaikan soal-soal latihan dan menyelesaikan soal-soal latihan.
d. Jadwal Kegiatan
Minggu ke IX-X Materi Aktivitas
Pertemuan ke-17
Kendala dan koord. umum Prinsip dAlembert Sajian energi kinetik dalam
koordinat umum Gaya umum dan kendala
Kuliah/Ceramah/
diskusi
Pertemuan ke-18
Persamaan gerak Euler- Lagrange untuk partikel tunggal
Persamaan gerak Euler-Lagrange untuk system partikel
Kuliah/Ceramah/
diskusi
Pertemuan ke-19
Perluasan Persamaan Euler-Lagrange untuk
sistem Monogenik Kuliah/Ceramah/
diskusi
Pertemuan ke-20
Pembahasan Soal-soal Latihan Diskusi
e. Strategi Pembelajaran 1. Diskusi kelompok difasilitasi oleh tutor 2. Diskusi kelompok tanpa tutor 3. Konsultasi pada pakar 4. Kuliah khusus dalam kelas. 5. Aktivitas pembelajaran individual menggunakan sumber-sumber belajar
lainnya.
xlvii
f. Bahan bacaan dan Sumber Informasi Lainnya. 1. Referensi/Buku Ajar/Jurnal 2. Diktat/Hand-Out 3. Nara sumber (Dosen Pengampuh). 4. Petunjuk Untuk Tutor
g. Lembar Penilaian
No. NIM Nilai/Bobot
Deskripsi Kinerja Keterangan
Memformulasikan persamaan Lagrange melalui Hukum Newton dengan benar dan menyelesaikan soal-soal yang diberikan
.
1. Kelengapan isi yang inovatif, jelas, terurai dan kerjasama kelompok (8%)
2. Kelengapan isi yang inovatif, jelas namun kurang terurai (6%)
3. Kelengkapan isi lengkap, kurang jelas dan kurang terurai tidak ada kerjasama kelompok (4%)
4. Kelengkapan isi, kejelasan, keteruraian dan kerjasama kelompok sangat kurang (2%)
B. Modul Pegangan Mahasiswa
LEMBAR KERJA MAHASISWA
Nama :
Nim :
Klp :
xlviii
TES EVALUASI
1.Tinjaulah gerak partikel bermassa m bergerak dalam bidang. Dengan menggunakan
koordinat polar (r, ) sebagai koordinat umum, hitunglah: a. Perpindahan x dan y b. Gaya umum pada partikel yang digerakkan oleh gaya zyx kFjFiFF ++=
2. Tentukan fungsi Lagrange bagi bandul ganda seperti pada gbr.1 di bawah ini dan cari
pula
persamaan geraknya.
2. Bandul titik materi m bergerak sepanjang bidang datar, digantungkan padanya suatu
titik
materi M yang dapat bergerak
mendatar seperti pada gbr. Tentukan Lagrangian sistem dan cari persamaan gerak.
xlix
BAB. III PENUTUP Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak mengikuti tes evaluasi untuk
menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat
kelulusan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke
topik/ modul berikutnya.
Apabila anda telah menyelesaikan seluruh evaluasi dari setiap modul, maka hasil
yang berupa nilai dari fasilitator dapat dijadikan sebagai bahan rujukan dalam menentukan
standar kelulusan mata kuliah mekanika.
DAFTAR PUSTAKA
1. Arya, P.Atam, 1990, Introduction to Classical Mechanics, Prentice Hall,
Englewood Cliffs, New Jersey
2. Takwale, R.G and Puranik, P.S, 1983, Introduction to Classical Mechanics, Tata
McGraw-Hill Publising Company Ltd, New Delhi
3. Goldstein, Herbert, 1980, Classical Mechanics, 2nd Ed, Addison-Wesley Publishing
Company, Massachusetts
l
MODUL MATERI
PEMBELAJARAN BERBASIS SCL
Matakuliah : MEKANIKA
BAB V PRINSIP VARIASI :
PERSAMAAN LAGRANGE DAN HAMILTON
Oleh:
Drs.Bansawang BJ, M.Si
PROGRAM STUDI FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN
Makassar Pebruari 2008
li
PETA KEDUDUKAN MODUL
lii
DAFTAR ISI
Modul V
Judul : Prinsip Variasi: Persamaan Lagrange dan Hamilton
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Ruang Lingkup Isi
C. Kaitan Modul
D. Sasaran Pembelajaran Modul
BAB II. PEMBELAJARAN
A. Modul Pegangan Tutor
B. Modul Pegangan Mahasiswa
BAB III. PENUTUP
DAFTAR PUSTAKA
liii
RINGKASAN
PRINSIP VARIASI: PERSAMAAN LAGRANGE DAN HAMILTON
I Asas Variasi Hamilton dan Penurunan Persamaan Lagrange
Jika sebuah sistem mempunyai n derajat kebebasan maka konfigurasi dari sistem
tersebut akan dapat didefinisikan oleh n koordinat. Misalnya konfigurasi sistem pada saat t,
dinyatakan oleh (q1, q2, q3, .qn) [q(t)] dan pada saat lain konfigurasi sistem adalah [q(t)], maka sistem seperti ini selalu terdapat sebuah fungsi keadaan yang disebut
Lagrangian ),,( tqqL ii & dengan dtdq
q ii =& . Integrasi Lagrangian terhadap waktu sepanjang suatu lintasan disebut integral aksi
(I), yakni:
dttqqLIt
tii= 2
1
),,( & (1)
Prinsip Hamilton menyatakan bahwa untuk sistem monogenic (potensial system
yang bergantung pada koordinat dan kecepatan), perubahan sistem dari t=t1 ke t=t2
melewati lintasan yang membuat integral aksi I stasioner (ekstremum). Supaya I
merupakan suatu ekstremum (mencapai nilai ekstrim) maka variasi dari I haruslah sama
dengan nol dalam selang waktu t1 dan t2, ( prinsip Hamilton), yakni:
0''2
1
2
1
2
1
'
'
== dtLdtLdtLIt
t
t
t
t
t
(2)
dimana
]),(),([ ],'),'('),'('[''
ttqtqLLttqtqLL
ii
ii&
&==
dan
')'('
)'('
,'),()()'('
dttdq
tq
ttttqtqtq
ii
iii
=+=+=
&
Sekarang kita coba menerapkan variasi persamaan (2) di atas, dengan menuliskan
kembali sebagai:
liv
dtqqLq
qLI
t
ti
iii
+
=2
1
&& (3a)
sehingga:
+
=2
1
2
1
t
t ii
ii
t
t i ii
qqLddtq
qL
dtd
qLI && (3b)
Karena q(t1) dan q(t2) tertentu, maka 0)()( 21 == tqtq , sehingga suku ke dua otomatis lenyap. Karena q dan dt sembarang , maka haruslah dipenuhi
0=
ii qL
qL
dtd
& (4)
Tampak bahwa dengan metode variasi dapat diperoleh persamaan Lagrange. Hal
yang penting mengenai metode variasi, kita dapat memperluasnya bukan hanya terbatas
dalam mengungkapkan persamaan gerak suatu system fisis, melainkan juga berbagai
system yang mempunyai harga ekstremum. Seperti diketahui, metode ini pertama kali
diketahui relevansinya dalam matematika yang dinamakan kalkulus variasi yang pertama
kali diperkenalkan oleh Euler.
II Persamaan Lagrange Untuk Sistem Non-Holonomik dan Pengali Lagrange
Penurunan persamaan Lagrange dari prinsip dAlembert disyaratkan bahwa
kendala harus holonomik. Demikian pula dengan prinsip variasi dapat dipertahankan
untuk kendala non-holonomik dimana hubungan antara koordinat-koordinat umum
diketahui, yang dapat dituliskan sebagai:
mldtadqa ltkn
klk ,...3,2,1,0
1==+
= (5)
dan
,01
=+=
ltk
n
klk aqa & (6)
III Hukum Kekekalan dan Sifat Simetri
lv
Meskipun besaran ii qq &dan yang menentukan keadaan sistem berubah terhadap
waktu, akan tetapi dari sistem niscaya terdapat besaran-besaran kekal sebagai fungsi dari
)(dan)( tqtq ii & yang harganya merupakan tetapan. Di antara beberapa tetapan, ada yang
sangat penting yang diturunkan dari sifat homogenitas dan isotropi ruang dan waktu.
Sebagai konsekuensi homogenitas waktu, maka Lagrangian sistem yang tertutup
tak bergantung waktu secara eksplisit, atau dengan kata lain bersifat invarian terhadap
translasi waktu secara infinitesimal. Turunan total Lagrangian terhadap waktu ditentukan
oleh:
qqLq
qL
dtdL
i ki
i i
&&&& += (7)
Sebagai catatan bahwa jika Lagrangian bergantung waktu secara eksplisit, maka ruas
kanan pada persamaan di atas masih harus ditambahkan tL . Kemudian dengan bantuan
persamaan Lagrange,
=
ii q
Ldtd
qL
& , sehingga diperoleh:
LqLqH
iii = && (8)
adalah fungsi Hamilton yang merupakan besaran energi yang senantiasa tetap (tidak
berubah sepanjang waktu) selama gerakan sistem tertutup Dengan demikian, Hamiltonian
tiada lain adalah energi total dengan syarat:
Transformasi ke koordinat umum tidak mengandung waktu Sistemnya konservatif
Selanjutnya persamaan Hamilton dalam perubah p dan q yang disebut sebagai variabel-
variabel kanonik adalah:.
i
ii
i qHp
pHq
== && ; (9)
Dan karena bentuknya sederhana maka disebut persamaan kanonik Hamilton.
lvi
BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang
Setelah kita mengikuti penurunan persamaan gerak suatu system melalui asas
dAlembert pada modul 4 yang lalu, maka pada uraian modul ini akan ditunjukkan metode
umum memperoleh persamaan Lagrange tanpa harus memperkenalkan konsep gaya semu
dan perpindahan semu.
Fungsi yang menentukan keadaan fisis suatu system ditentukan oleh fungsi
Lagrange. Dalam memperoleh persamaan gerak system melalui asas dAlembert kita telah
mengenalkan konsep perindahan semu infinitesimal dan mensyaratkan koefisiennya lenyap
untuk memperoleh persamaan gerak tesebut. Dalam formulasi hukum-hukum fisika
dinyatakan dalam fungsi Lagrange dan persamaan Lagrange.
B. Ruang Lingkup Isi Dalam modul ini anda akan mempelajari Asas variasi Hamilton dan Penurunan
Persamaan Lagrange, Aplikasi kalkulus variasi untuk persoalan jarak terpendek dan
persoalan waktu tersingkat, Persamaan Lagrange untuk system non holonomik dan
Metode pengali Lagrange, Persamaan Lagrange dengan Kendala, Hukum kekekalan dan
sifat simetri: Koordinat siklik, Persamaan gerak Hamilton, Beberapa aplikasi metode
pengali Lagrange dan persamaan gerak Hamilton.
C. Kaitan Modul
Modul ini merupakan modul ke 5 (lima) yang disajikan selama tiga minggu ( 6x
pertemuan) setelah mahasiswa mempelajari Formulasi Persamaan Lagrange dan sebelum
mahasiswa mempelajari Transformasi Kanonik.
D Sasaran Pembelajaran Modul
Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan dapat:
1. Menurunkan persamaan Euler-Lagrange dari prinsip variasi aksi.
2. Menerapkan kalkulus variasi untuk mendapatkan jarak terpendek dan waktu
tersingkat.
3. Menjelaskan persamaan Lagrange untuk sistem non-holonomik dan metode
pengali Lagrange.
lvii
4. Menjelaskan sifat-sifat simetri kaitannya dengan koordinat siklik pada
fungsi Lagrange
5. Menentukan kendala pada berbagi sistem fisis dan menerapkan pada
persamaan Euler-Lagrange dengan kendala untuk mendapatkan persamaan
gerak dan gaya kendalanya.
6. Menurunkan formulasi Hamiltonian suatu sistem dari Lagrangian atau
sebaliknya. dan mencari persamaan kanonik Hamilton.
lviii
BAB II MODUL PROSES PEMBELAJARAN SCL
A. Modul Pegangan Tutor
a. Kompetensi yang akan dicapai adalah: Dapat mencari Hamiltonian sistem dari Lagrangian atau sebaliknya dan mencari
persamaan kanonik Hamilton.
Skenario
Matakuliah : Mekanika
Pendekatan SCL : Collaborative Learning (Problem Solving Learning)
Project : Menyelesaikan soal-soal latihan pada Modul Pembelajaran
b. Kegiatan Mahasiswa: Langkah-langkah kegiatan yang akan dilakuan mahasiswa selama dalam proses
pembelajaran berbasis SCL.
1. Mahasiswa mengikuti kuliah pengantar dari dosen pakar.
2. Mahasiswa didampingi oleh dosen membentuk kelompok-kelompok kecil (5-
7 mahasiswa), yang dipimpin oleh seorang ketua dan seorang sekretaris.
3. Melakukan aktivitas pembelajaran mandiri dari sumber-sumber belajar
(Bahan Ajar, Jurnal, Referensi, dll.), baik yang sudah disiapkan oleh dosen
maupun sumber-sumber lainnya.
4. Melakukan diskusi kelompok mandiri (tanpa tutor), melakukan curah
pendapat bebas (brainstorming) antar anggota dalam membahas penyelesaian
soal.
5. Berkonsultasi kepada narasumber yang ahli pada permasalahan-permasalahan
yang ditemukan untuk memperoleh pengertian yang benar dan mendalam.
6. Masing-masing kelompok menyerahkan laporan final penyelesaian soal
beserta agenda kegitan masing-masing anggota kelompoknya kepada dosen
pengampuh matakuliah dan mempresentasikan dalam panel diskusi.
7. Mengikuti kuliah khusus (kuliah pakar) untuk masalah yang belum jelas atau
belum ditemukan jawabannya dari sumber lainnya.
c. Proses Pembelajaran
lix
Agar dapat memahami materi pembelajaran dan menyelesaikan soal-soal latihan,
yang perlu dilakukan oleh setiap kelompok dalam pembelajaran SCL adalah:
1. Identifikasi semua istilah-istilah yang penting dan mencari artinya. Bila ada
yang belum jelas ditanyakan kepada narasumber.
2. Identifikasi semua persamaan-persamaan dan kegunaannya.
3. Uraikan langkah-langkah setiap persamaan ke persamaan berikutnya.
4. Menidentifikasi persamaan-persamaan yang digunakan dalam menyelesaikan
soal-soal latihan dan menyelesaikan soal-soal latihan.
d. Jadwal Kegiatan
Minggu ke IX-X Materi Aktivitas
Pertemuan ke-21
Asas variasi Hamilton dan Penurunan Persamaan Lagrange
Aplikasi kalkulus variasi: Persoalan jarak terpendek dan Persoalan waktu tersingkat
Kuliah/Ceramah/
diskusi
Pertemuan ke-22
Persamaan Lagrange untuk system non holonomik dan Metode pengali Lagrange, Persamaan Lagrange dengan Kendala
Hukum kekekalan dan sifat simetri: Koordinat siklik, Persamaan gerak Hamilton
Kuliah/Ceramah/
diskusi
Pertemuan ke-23
Penurunan Persamaan gerak Hamilton Beberapa aplikasi metode pengali
Lagrange dan persamaan gerak Hamilton
Kuliah/Ceramah/
diskusi
Pertemuan ke-24
Pembahasan Soal-soal Latihan Diskusi
e. Strategi Pembelajaran 1. Diskusi kelompok difasilitasi oleh tutor
2. Diskusi kelompok tanpa tutor
3. Konsultasi pada pakar
lx
4. Kuliah khusus dalam kelas.
5. Aktivitas pembelajaran individual menggunakan sumber-sumber belajar
lainnya.
f. Bahan bacaan dan Sumber Informasi Lainnya. 1. Referensi/Buku Ajar/Jurnal
2. Diktat/Hand-Out
3. Nara sumber (Dosen Pengampuh).
4. Petunjuk Untuk Tutor
h. Lembar Penilaian
No. NIM Nilai/Bobot
Deskripsi Kinerja Keterangan
Memformulasikan persamaan Lagrange melalui Hukum Newton dengan benar dan menyelesaikan soal-soal yang diberikan
.
1. Kelengapan isi yang inovatif, jelas, terurai dan kerjasama kelompok (8%)
2. Kelengapan isi yang inovatif, jelas namun kurang terurai (6%)
3. Kelengkapan isi lengkap, kurang jelas dan kurang terurai tidak ada kerjasama kelompok (4%)
4. Kelengkapan isi, kejelasan, keteruraian dan kerjasama kelompok sangat kurang (2%)
5. Modul Pegangan Mahasiswa
LEMBAR KERJA MAHASISWA
Nama :
Nim :
Klp :
lxi
TES EVALUASI
1. Lagrangian suatu system diberikan
( ) cossin21 2222 mgrrrmVTL +== &
a) Carilah persamaan gerak
b) Cari harga stasioner 0 (syarat && ) 2. Hamiltonian suatu system diberikan
22
21)exp(
2kqtbqp
apH +=
dengan a,b,,k konstan. Carilah Lagrangian system 3. Lagrangian suatu system dengan satu derajat kebebasan diberikan oleh:
( )2222 2sinsin21 qtqqtqmL ++= &&
a. Carilah Hamiltonian system tersebut. Periksa apakah Hamiltonian kekal
b. Definisikan koordinat baru Q=qsinwt. Tuliskan Lagrangian dan Hamiltonian
dalam koordinat yang baru. Apakah Hamiltonian dalam koordinat yang baru juga
kekal.
4. Diberikan Hamiltonian suatu system:
121
22
21
21 2
121),( qqpqppqH +=
adalah tetapan, p1 dan p2 adalah momentum umum. a. Dapatkan 2 buah besaran yang kekal (tetapan gerak)
b. Tuliskan Lagrangian sistem
lxii
BAB. III PENUTUP Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes evaluasi untuk
menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat
kelulusan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke
topik/ modul berikutnya.
Apabila anda telah menyelesaikan seluruh evaluasi dari setiap modul, maka hasil
yang berupa nilai dari fasilitator dapat dijadikan sebagai bahan verifikasi sebagai penentu
standar kelulusan mata kuliah mekanika.
DAFTAR PUSTAKA
1. Arya, P.Atam, 1990, Introduction to Classical Mechanics, Prentice Hall,
Englewood Cliffs, New Jersey
2. Takwale, R.G and Puranik, P.S, 1983, Introduction to Classical Mechanics, Tata
McGraw-Hill Publising Company Ltd, New Delhi
3. Goldstein, Herbert, 1980, Classical Mechanics, 2nd Ed, Addison-Wesley Publishing
Company, Massachusetts
lxiii
MODUL MATERI
PEMBELAJARAN BERBASIS SCL
Matakuliah : MEKANIKA
BAB VI TRANSFORMASI KANONIK DAN TEORI HAMILTON-JACOBI
Oleh:
Drs.Bansawang BJ, M.Si
PROGRAM STUDI FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN
Makassar Pebruari 2008
lxiv
PETA KEDUDUKAN MODUL
lxv
DAFTAR ISI
Modul VI
Judul : Transformasi Kanonik dan Teori Hamilton-Jacobi
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Ruang Lingkup Isi
C. Kaitan Modul
D. Sasaran Pembelajaran Modul
BAB II. PEMBELAJARAN
A. Modul Pegangan Tutor
B. Modul Pegangan Mahasiswa
BAB III. PENUTUP
DAFTAR PUSTAKA
lxvi
RINGKASAN
TRANSFORMASI KANONIK DAN TEORI HAMILTON-JACOBI
I. Transformasi Kanonik
Persamaan Lagrange tak berubah dibawah transformasi titk, maka persamaan
Hamilton juga demikian. Akan tetapi untuk persamaan Hamilton sesungguhnya
dimungkinkan rangkuman yang lebih luas. Ini disebabkan karena dalam persamaan
Hamilton, perlakuan terhadap momentum p juga merupakan perubah yang sama
kedudukannya dengan koordinat q. Oleh karena itu transformasi titik buat persamaan
Hamilton, dapat diperluas hingga meliputi 2s perubah bebas p dan q. Jadi kedua-duanya
harus ditransformasikan menurut:
),,(),,(
tpqPPptpqQQq
iiiii
iiiiii
==
(1)
Mulai sekarang p dan P adalah momentum umum dan variabel Q dan P disebut
variabel kanonik.
Untuk merumuskan transformasi kanonik kita meninjau kembali prinsip variasi,
yakni:
02
1
=
dtHqpt
t iii & (2)
yang pada uraian lalu telah digunakan menurunkan persamaan gerak Hamilton. Menurut
keterangan di atas, variasi ini berlaku untuk sembarang system koordinat dan momentum.
Oleh karena itu, buat perubah baru P dan Q juga harus memenuhi asas variasi:
02
1
=
dtKQPt
t ii& (3)
Dengan demikian menurut uraian di atas, dari kedua persamaan (2) dan (3)
haruslah dipenuhi syarat:
( ) ( )tFKQPHqp iiii += && (4)
dimana :
F adalah fungsi sembarang yang punya turunan kedua yang kontinu adalah konstanta skala yang selalu dapat dibuat sama dengan satu
dengan melakukan transformasi yang tepat.
lxvii
Berdasarkan persamaan (4), maka dapat dilihat bahwa F adalah merupakan fungsi dari
perubah koordinat lama dan baru serta waktu; yakni ),,( tQqFF = . Fungsi pembangkit ini dikenal sebagai fungsi pembangkit jenis pertama . Dengan demikian transformasi ini
bersifat kanonik karena memenuhi persamaan transformasi dari Lagrangian, yakni:
),,(),,(),,( tQqFdtdtQQLtqqL += && (5)
Daftar fungsi pembangkit persamaan kanonik
),,(1 tQqF ),,(2 tPqF ),,(3 tQpF ),,(4 tPpF
qFp = 1
qFp = 2
pFp = 3
pFp = 4
QFP = 1
PFQ = 2
QFP = 3
PFQ = 4
tFHK += 1
tFHK += 2
tFHK += 3
tFHK += 4
II. Kurung Poisson
Misalakan f(q,p,t) suatu fungsi terhadap koordinat, momentum dan waktu. Turunan
totalnya terhadap waktu adalah:
+
+=
kk
kk
k
ppfq
qf
tf
dtdf && (6)
Dengan memasukkan harga kk pq && dan dari persamaan Hamilton pada persamaan (6), kita
dapat menyatakan :
[ ]fHtf
dtdf ,+
= (7) dengan
[ ]
=
k kkkk pf
qH
qf
pHfH , (8)
Pernyataan (8) dikenal sebagai kurung Poisson (Poisson bracket) besaran H dan f.
lxviii
Selanjutnya dapat pula ditunjukkan bahwa syarat yang harus dipenuhi suatu
transformasi QPqp ,, bila dinyatakan dalam kurung Poisson bersifat kanonik adalah: [ ] [ ] [ ] ikkikiki qpppqq === ,,0,, (9)
[ ] [ ][ ] ikqpki
qpkiqpki
PQ
PPQQ
===
,
,,
,
0,,
(10)
III. Persamaan Hamilton-Jacobi
Pada uraian yang lalu besaran aksi telah diketahui sebagai fungsi dari koordinat dan
waktu. Dalam hal ini, menurut persamaan integral aksi, perubahan aksi dari suatu lintasan
ke lintasan lain, adalah:
dtttLq
qLq
qLI
t
t
+
+=
2
1
&&
Disisi lain );,();,( i tqqLpqtpqH iiii
ii && = , maka akan diperoleh persamaan buat aksi I(q,t) yang ditentukan oleh:
0);,( =+ tpqH
tI (11)
Sementara pqI = , maka dengan mengganti dari dalam Hamiltonian diperoleh:
0;,...,,,,,,21
21 =
+
tqI
qI
qIqqqH
tI
nn (12)
yang menentukan besaran aksi I(q,t). Persamaan diferensial parsial orde satu terhadap
waktu ini dikenal sebagai persaman Hamilton-Jacobi. Seperti halnya persamaan Lagrange
dan persamaan kanonik Hamilton, maka juga persamaan Hamilton-Jacobi adalah
merupakan adalah basis dalam menentukan metode umum mengintegralkan persamaan
gerak.
Selanjutnya persamaan Hamilton-Jacobi akan mengambil bentuk yang lebih
sederhana bila H tidak bergantung pada waktu secara eksplisit; yaitu bila system
konservatif. Ketergantungan aksi terhadap waktu ditentukan oleh suku Et, sehingga aksi
akan dapat dinyatakan sebagai:
EtqItqI = )(),( 0 (13) yang dikenal sebagai solusi umum persamaan Hamilton-Jacobi
lxix
BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang
Perlu dikemukakan bahwa transformasi kanonik dalam sajian Hamiltonian
memiliki banyak sekali kemungkinan yang tidak mengubah arti perubah lama dan
keperubah baru. Dalam hal ini karena transformasi dari koordinat dan momentum lama ke
koordinat dan momentum yang baru kiranya tidak lagi mesti sebagai perubah yang
berhubungan dengan ruang.
Pilihan koordinat umum q sebenarnya tidak ada pembatasan; dan dapat berupa s besaran
yang secara tunggal menentukan kedudukan system dalam ruang..Dalam hal ini persamaan
Lagrange sama sekali tak bergantung pada pilihan koordinat, atau dengan kata lain
persamaan Lagrange bersifat invariant (tak berubah) terhadap transformasi kumpulan
q1,q2,q3,ke koordinat lain yang bebas Q1,Q2,Q3 yang dikenal sebagai transformasi titik
B. Ruang Lingkup Isi
Dalam modul ini anda akan mempelajari Transformasi kanonik dan Fungsi
generator, Beberapa gambaran tentang transformasi kanonik, Kurung Poisson, Persamaan
Hamilton-Jacobi
C. Kaitan Modul Modul ini merupakan modul ke 6 (terakhir) yang disajikan selama 2 (dua)
minggu ( 3x pertemuan) setelah mahasiswa mempelajari Prinsip Variasi: Persamaan
Lagrange-Hamilton
D. Sasaran Pembelajaran Modul Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan dapat:
1. Menjelaskan manfaat transformasi kanonik dan menurunkan jenis-jenis fungsi
generatornya.
2. Menentukan suatu transformasi sistem fisis adalah kanonik dengan menggunakan
fungsi generator.
3. Menerapkan kurung Poisson dalam menjelaskan suatu transformasi bersifat
kanonik.
4. Menentukan solusi persamaan gerak dari suatu Hamiltonian dengan menggunakan
persamaan Hamilton-Jacobi.
lxx
BAB II MODUL PROSES PEMBELAJARAN SCL
A. Modul Pegangan Tutor a. Kompetensi yang akan dicapai adalah:
Dapat menentukan apakah suatu transformasi bersifat kanonik dengan
menggunakan berbagai macam metode.
Skenario
Matakuliah : Mekanika
Pendekatan SCL : Collaborative Learning (Problem Solving Learning)
Project : Menyelesaikan soal-soal latihan pada Modul Pembelajaran
b. Kegiatan Mahasiswa: Langkah-langkah kegiatan yang akan dilakuan mahasiswa selama dalam proses
pembelajaran berbasis SCL.
1. Mahasiswa mengikuti kuliah pengantar dari dosen pakar.
2. Mahasiswa didampingi oleh dosen membentuk kelompok-kelompok kecil (5-
7 mahasiswa), yang dipimpin oleh seorang ketua dan seorang sekretaris.
3. Melakukan aktivitas pembelajaran mandiri dari sumber-sumber belajar
(Bahan Ajar, Jurnal, Referensi, dll.), baik yang sudah disiapkan oleh dosen
maupun sumber-sumber lainnya.
4. Melakukan diskusi kelompok mandiri (tanpa tutor), melakukan curah
pendapat bebas (brainstorming) antar anggota dalam membahas penyelesaian
soal.
5. Berkonsultasi kepada narasumber yang ahli pada permasalahan-permasalahan
yang ditemukan untuk memperoleh pengertian yang benar dan mendalam.
6. Masing-masing kelompok menyerahkan laporan final penyelesaian soal
beserta agenda kegitan masing-masing anggota kelompoknya kepada dosen
pengampuh matakuliah dan mempresentasikan dalam panel diskusi.
7. Mengikuti kuliah khusus (kuliah pakar) untuk masalah yang belum jelas atau
belum ditemukan jawabannya dari sumber lainnya.
c. Proses Pembelajaran
lxxi
Agar dapat memahami materi pembelajaran dan menyelesaikan soal-soal latihan,
yang perlu dilakukan oleh setiap kelompok dalam pembelajaran SCL adalah:
1. Identifikasi semua istilah-istilah yang penting dan mencari artinya. Bila ada
yang belum jelas ditanyakan kepada narasumber.
2. Identifikasi semua persamaan-persamaan dan kegunaannya.
3. Uraikan langkah-langkah setiap persamaan ke persamaan berikutnya.
4. Menidentifikasi persamaan-persamaan yang digunakan dalam menyelesaikan soal-
soal latihan dan menyelesaikan soal-soal latihan.
d. Jadwal Kegiatan
Minggu ke IX-X Materi Aktivitas
Pertemuan ke-25
Transformasi kanonik dan Fungsi generator,
Beberapa gambaran tentang transformasi kanonik,
Kuliah/Ceramah/
diskusi
Pertemuan ke-26
Kurung Poisson, Persamaan Hamilton-Jacobi
Kuliah/Ceramah/
diskusi
Pertemuan ke-27
Pembahasan Soal-soal Latihan Kuliah/Ceramah/
diskusi
Pertemuan ke-28
EVALUASI (Final Tes) Diskusi
e. Strategi Pembelajaran 1. Diskusi kelompok difasilitasi oleh tutor 2. Diskusi kelompok tanpa tutor 3. Konsultasi pada pakar 4. Kuliah khusus dalam kelas. 5. Aktivitas pembelajaran individual menggunakan sumber-sumber belajar
lainnya.
f. Bahan bacaan dan Sumber Informasi Lainnya. 1. Referensi/Buku Ajar/Jurnal
lxxii
2. Diktat/Hand-Out 3. Nara sumber (Dosen Pengampuh). 4. Petunjuk Untuk Tutor
h. Lembar Penilaian
No. NIM Nilai/Bobot
Deskripsi Kinerja Keterangan
Menentukan transformasi kanonik dan menyelesai-kan soal-soal latihan yang diberikan
.
1. Kelengapan isi yang inovatif, jelas, terurai dan kerjasama kelompok (8%)
2. Kelengapan isi yang inovatif, jelas namun kurang terurai (6%)
3. Kelengkapan isi lengkap, kurang jelas dan kurang terurai tidak ada kerjasama kelompok (4%)
4. Kelengkapan isi, kejelasan, keteruraian dan kerjasama kelompok sangat kurang (2%)
B. Modul Pegangan Mahasiswa
LEMBAR KERJA MAHASISWA
Nama :
Nim :
Klp :
TES EVALUASI
1. Transformasi berikut:
cossinsincos
pqPpqQ
+==
a. Tunjukkan bahwa transformasi ini adalah kanonik untuk semua harga .
lxxiii
b. Dapatkan generatornya (gunakan tipe II)
2. Carilah syarat agar transformasi berikut:
2, xPxpQ ==
dimana dan adalah konstan, merepresentasikan sebuah transformasi kanonik untuk system satu derajat kebebasan.
3. Persamaan transformasi:
122222
21
2211
211
2sin,seccos2
2cos,
qpPpqQpq
qppPqQ
==
==
adalah kanonik. Tentukan fungsi generatornya.
4. Jika Lagrangian ),,( tqqL & diganti oleh:
dt
tqdFtqqLtqqL ),(),,(),,( += && dimana F(q,t) adalah sebuah fungsi tetapan, persamaan gerak Lagrange akan invariant.
Buktikan bahwa transformasi ini kanonik dan carilah fungsi generator yang berkaitan
dengan transformasi ini.
BAB. III PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul terakhir ini, anda berhak untuk mengikuti tes
evaluasi untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda telah
menyelesaikan seluruh evaluasi dari setiap modul, maka hasil yang diperoleh berupa nilai
dari fasilitator dapat dijadikan sebagai bahan rujukan dalam menentukan standar
kelulusan mata kuliah mekanika.
lxxiv
DAFTAR PUSTAKA
1. Arya, P.Atam, 1990, Introduction to Classical Mechanics, Prentice Hall,
Englewood Cliffs, New Jersey
2. Takwale, R.G and Puranik, P.S, 1983, Introduction to Classical Mechanics, Tata
McGraw-Hill Publising Company Ltd, New Delhi
3. Goldstein, Herbert, 1980, Classical Mechanics, 2nd Ed, Addison-Wesley Publishing
Company, Massachusetts