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Ondes, turbulence, turbulence d’ onde
une introduction ...
GDR turbu, ENS-Lyon
Claude Cambon
Laboratoire de M écanique des Fluides et d’AcoustiqueCNRS – ECL – UCB Lyon I – INSA
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1
2
Collaboration et documents
• Equipe ondes et turbulence : Fabien S. Godeferd, Julian F. Scott, LukasLiechtenstein, Alex Delache, Benjamin Favier
• Documents (hors articles)-) http://www.lmfa.ec-lyon.fr/Fabien.Godeferd/perso/ (Summer School in Barcelone)
-) http://gdr-turbulence.pmmh.espci.fr/Cargese/cargese-turbulence.html
-) Livre Homogeneous Turbulence Dynamics, Sagaut & Cambon, CUP, 2008
• Zakharov et al. 1991, articles Newell et al., Waleffe (1992,1993), + récents Galtier etal.
GDR turbu, ENS-Lyon lundi 31 mars, 2008Claude Cambon
3
Résum é
• Rappels de turbulence, cascade, description spectrale
• Ondes, relation de dispersion, interactions faibles
• Dynamique linéaire: mélange de phase (rotation rapide)
• Modèle non-linéaire, triades, triades résonantes, EDQNM et turbulence d’ ondes d’inertie
• Coexistence de turbulence “faible” et “forte”, stratification stable, MHD
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Quantifier la cascade (THI)
• Espace physique
Equation de Karman-Howarth (1938) → 〈(δuL)3〉 = −
4
5εr
︸ ︷︷ ︸(4/5) Kolmo 41
• Espace de FourierEquation de Lin (1949)
(∂
∂t+ 2νk2
)E(k, t) = T (k, t) →
∫ ∞
k
T (p)dp = ε
Utile en turbulence forte et en turbulence d’ onde (équations cinétiques)
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Antonia (Cargèse 2007)
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Kaneda (Cargèse)
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7
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
10-2 10-1 100 101 102
E(K
)
K
10-1410-1210-1010-810-610-410-2100102104
10-2 10-1 100 101 102 103 104 105 106 107E
(K)
K
-0.5
0
0.5
1
1.5
10-2 10-1 100 101 102
K
K TNL(K)
2νK3E(K)
-0.5
0
0.5
1
1.5
10-2 10-1 100 101 102 103 104 105 106 107
K
K TNL(K)
2νK3E(K)
d’ après Wouter Bos,
Rλ = 30, 105, EDQNM (THI)
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Temps caractéristique
dans les fermetures spectrales DIA, EDQNM
η = νk2, ku′, ε1/3k2/3, Cte
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Ondes, turbulence d’ onde(s)
• Modes de Fourier spatio-temporels u(x, t) =∑
Aeı(k·x−σt)
• Loi de dispersion σ = σ(k) (renormalisation nonlinéaire ?) A = a±1(k, εt) ?
• Ondes non dispersives σ = ±k·Cg (cf. convection par une vitesse constante,mais signe PLUS et MOINS)
• Exemples, σ = ±kc0 (acoust.), σ = ±k·B0√
σµ = ±k‖B0√σµ (Alfvèn, MHD)
σ = fk‖k (inertie, rotation), σ = ±N
k⊥k (gravité, stratification stable), σ = β
kxk2
(Rossby) ...
• Propriétés: ANISOTROPIE (sauf acoustique, ondes de surface, ...), champs coupléscin-pot (sauf rotation), faible intermittence ? vaste domaine (gas de phonons ...)
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Interactions faibles ? sans fermeture, triades
Ondes créées par mécanisme extérieur (gradient, forces massiques, champ couplés),
non-linéarité quadratique, base des modes propres ȧs + ısσkas ∝ ûuȧs(k, t) =∑
s′,s′′=0,±1∫
k+p+q=0eı(sσk+s
′σp+s′′σq)t
︸ ︷︷ ︸effet de phases “rapide”
Mss′s′′as(p, t)as(q, t)︸ ︷︷ ︸non-linéarité
d3p
s = 0,±1, triade k + p + q = 0, non-linéarité réduite si sσk + s′σp + s′′σq grand ?
Ondes ou pas ondes ? ondes NON dispersives ? pseudo-ondes (vitesse convectante) ?
annulation possible de la phase (reson.) ou non
Dynamique statistique, < aa >, < aaa >, pourquoi ?
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Turbulence faible (avec) et forte (sans) rotation
• cas 3D sans frontières, la résonance triple existe (pas vrai en eaux peu profondes...): non-linéarité ∼ o(Ro), Ωt ∼ Ro−2
• possibilité de justifier une hypothèse QN de cumulants (4) nuls (Benney & Newell,1969, “Random Phase Approx”)
• On passe de l’ EDQNM(3) à la théorie de turbulence d’ onde par la limite de EDtendant vers 0 (Bellet et al. 2006)...
1µ−ıX → 2πδ(X) + ıP
(1X
)...
• ... en utilisant les modes propres des ondes d’ inertie, qui sont aussi les modespropres du rotationnel AVEC et SANS rotation (helical modes, ondes d’ hélicité).
• Mais il n’ y a pas que la limite asymptotique de turbulence d’ onde avec non-linéaritérestreinte aux triades résonantes ! Presque tous les transitoires dûs au mélange dephase sont intéressants (cf polémique avec Peter Davidson).
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Rotation, m élange de phase: lin éaire et/ou non-lin éaire
• Relevance of linear solution depends on the order and type of statistical correlations-) doubles: 2 point 1 time: eıσkt, e−ıσkt
-) doubles: 2 point 2 time: eıσk(t±t′)
-) triples: 3 point 1 time: eı(±σk±σp±σq)t → nonlinear · · · ·
〈ω33〉 =∑ ∫
exp[ıft(cos θk + s′ cos θp + s
′′ cos θq]S(k,p, ǫt)d3pd3k
(cos θk = k3/k) Need for initial triple correlations at THREE point. Many othercorrelations.
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10−1
100
101
102
10−1
100
Ω t / 2 π
S ω
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Ω(t-tini)
Sω
3
∝ (Ωt)0.75
DNS C1: f=0.5π LE: f=1.88, M=32LE: f=1.88, M=50LE: f=3.88, M=32LE: f=3.88, M=50
Cyclonic / anticyclonic asymmetry: (643 LES ?) Bartello et al. (1994), Morize et al.(2005), Gence & Frick (2001), Staplehurst et al. (2008), van Bokhoven et al. (2008). No
need for centrifugal inst.
d
dt〈ω33〉 = 6Ω〈
∂u3∂x3
ω23〉 + 4th-order, viscous
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Equations exactes pour la th éorie non-lin éaire
(∂
∂t+ 2νk2
)e(k, cos θ, t) = T (e)(k, cos θ, t)
Poincaré transformation ûi(k, t) =∑
s=±1 Ni(sk)eısft cos θas(k, ǫt),
T (e) =
∫ t
t0
∑
s,s′,s′′=±1
∫
p+q=k
eıf(t−t′)(s cos θk+s
′ cos θp+s′′ cos θq)
Sss′s′′(k,p, t, ǫt′)d3pdt′
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Syst ème dynamique de triade isol ée
Fiortjoft, Kraichnan (2D), Waleffe (3D) : pas de rotation
ȧs(k) = (s′p − s′′q)Gkpqa
∗s′(p)a
∗s′′(q),
ȧ′s(p) = (s′′q − sk)Gkpqa
∗s′′(q)a
∗s(k)
ȧ′′s (q) = (sk − s′p)Gkpqa
∗s(k)a
∗s′(p)
Avec rotation, Gkpq → GkpqeıX , triades résonantes,
X = f(s cos θk + s′ cos θp + s′′ cos θq) = 0, avec
k cos θk + p cos θp + q cos θq = 0 :
cosθks′q − s′′p
=cosθp
s′′k − sq=
cosθqsp − s′k
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Analogie avec le “solide d’ Euler”
• Moment angulaire dans les axes principaux d’ inertie
I1Ω̇1 = (I2 − I3)Ω2Ω3, (1)
I2Ω̇2 = (I3 − I1)Ω3Ω1 (2)
I3Ω̇3 = (I1 − I2)Ω1Ω2, (3)
• Lois de conservation: énergie rot. (I1Ω21 + ...) → énergie cin. (triade),
norme du moment angulaire (I1Ω1)2 + ... → helicité (triade)
• Signes (s, s′, s′′), I1 → sk, instabilité par rapport au moment intermédiaire
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Results. NONLINEAR statistical theory
• From classical EDQNM (isotropic, no rotation, Orszag 1970, Bos & Bertoglio, 2006)...
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100 101 102 103 104
E(K
)
K
K4 K-5/3
K2
t=2.6t=2.8t=3.2t=4.0
• ... to EDQNM3 → (A) QNM energy equation (Bellet et al., JFM, 2006)
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Angle-dependent spectrum
• Isotropy breaking by spectral transfer T (e)(k): directional anisotropy:
4πk2e(k, tf ) = 4πk2e(k, cos θ︸︷︷︸
k‖/k
, tf ) 1e-08
1e-06
0.0001
0.01
1
100
0.1 1 10 100
• Spherical averaging → E(k, tf ), prefactor E ∼Ωt k
−3, not 2D !
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AQNM and DNS
1e−10
1e−09
1e−08
1e−07
1e−06
1e−05
0.0001
0.001
0.01
1 10 100k
E(k
n,θ
m)
cos θ ≈ 1
cos θ ≈ 0
k−2
1e-08
1e-06
0.0001
0.01
1
100
0.1 1 10 100
5123 DNS by Liechtenstein et al., JOT, 2005
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Inertial wave-turbulence, resonant interactions, 2D or no t 2D
• Low dimension of active manifolds : overestimated in forced ? DNS/LES ?‘TRUE’ 2D embedded in 3D : a DIRAC singularity
E(k) ∼ f2k−3, e(k⊥, k‖) =E(k⊥)
2πk⊥︸ ︷︷ ︸∼f2k−4⊥
δ(k‖)
• integral singularity from theoretical wave-turbulence
e(k⊥k‖) ∼ k−1/2‖ k
−7/2⊥ (k‖ ≪ k⊥) = k
−4x−1/2 Galtier 2003
E(k) ∼f
tk−3, e(k, x ∼ 0) ∼ k−4 Bellet et al. 2006
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0 1 2 3 4 5 6 70
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5F1 = F2 = 30 Hz
q Catherine Simand, voisinage d’ un
vortex intense, (Baroud et al., Mueller & Thiele, Morize et al. ??)
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Wave aspects
gC
Forcingzone
k
n
Mc Ewan (1967), Mowbray &
Rarity (1967), Godeferd & Lollini, JFM (1999)
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Stratification stable : ANTI 2D et cascade toroidale
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Mode non-propagatif: toroidal et QG
POLO
TORO
WAVE
TOTAL
VORTEX
Toroidal/poloidal
(Craya-Herring, standard) and “Vortex/wave” (f/N− depending)
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g Ω
(a)
(b)
(c)
(d)
Conical regionin which energyconcentrates
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1e−10
1e−09
1e−08
1e−07
1e−06
1e−05
1e−04
0.001
0.01
1 10 100k
E(k
n,θ
m)
cos θ ≈ 1
cos θ ≈ 0
(a) 1e−10
1e−09
1e−08
1e−07
1e−06
1e−05
1e−04
0.001
0.01
1 10 100k
E(k
n,θ
m)
cos θ ≈ 1
cos θ ≈ 0
(b)
Angle-dependent toroidal and poloidal modes (Liechtenstein, 2006)
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(a) (b)
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Pure stratification: Generalized Lin equations
(∂
∂t+ 2νk2
)e(tor) = T (tor) (4)
(∂
∂t+ 2νk2
)e(w) = T (w) (5)
(∂
∂t+ 2νk2 + 2ıN
k⊥k
)Z ′ = T (z
′) (6)
Energy spectra e(tor),(pol),(pot)(k⊥, k‖), imbalance deviator Z′,
ℜZ ′ = e(pol) − e(pot), e(w) = e(pol) + e(pot).A lot of information can be generated, vs. second and third-order structure functions.
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The toroidal cascade. Why not 2D ?
• Why the toroidal component only ? e(1)·...∂u∂t + ω × u + ∇(p + u
2
2
)− bn,
u̇(1) + e(1)·∑
p+q=k(ω̂(p) × û(q)) = 0,
û = u(1)e(1) + u(2)e(2), ω̂ = ık(u(1)e(2) − u(2)e(1)
)
• Following Kraichnan and Waleffe (1992, 1993): stability of a single triad
u̇(1)k = (p
2⊥ − q
2⊥)Gu
(1)∗p u
(1)∗q , (7)
u̇(1)p = (q2⊥ − k
2⊥)Gu
(1)∗q u
(1)∗k , (8)
u̇(1)q = (k2⊥ − p
2⊥)Gu
(1)∗k u
(1)∗p , (9)
• quasi 2D or not, reverse or direct cascade ? cylinder to cylinder, shell to shell, angleto angle : very rich and various morphology ...
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Coexistence of weak and strong turbulence: MHD
θ
Β
k
Alfven-wave turbulence competing with
strong turbulence with additional Joule dissipation effect (Moffat 1967, T. Alboussière,
etc)
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Remarques finales. Probl èmes ouverts
1. Intérêt de l’ espace de Fourier 3D, k·û = 0, modes (propres) solénoidaux
2. Cascade mieux décrite (et comprise ?) 〈(δu‖)3〉 contre T i(k‖, k⊥) ?
-) Equation(s) de Lin exactes pour les modes d’ énergie pertinents et les termes de
déséquilibre
-) Une façon systématique de construire les corrélations triples en accord avec la
conservation détaillée (triade)
-) MAIS problème de renormalisation non-linéaire (ED) en turbulence “forte” ?
Renormaliser la fréquence σ ?
3. Turbulence forte et faible face à face ? D’ abord comprendre la cascade induite par le
mode non-propagatif. Cas MHD ? (pas une simple fréquence de coupure visqueuse)
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• Introduire un term kV0 dans une version isotropisée pour tenir compte d’ ondes(non-dispersives) ?? MHD, ANISOTROPIE, PLUS et MOINS ...
• Intérêt de modèles purement linéaires de mélange de phase: effets (croissance!)transitoires, corrélations en DEUX temps et statistique lagrangienne (compétition
ondes-tourbillons, stratifié-tournant, plasmas)
• Formalisme hamiltonien, en linéaire (H = k·U + σ(k)) et non-linéaire ?(IMPASSE !)
• Pas d’ interactions résonantes pour les triades ? (ex. σ = N, f/N = 1) →quartets (IMPASSE !)
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Towards a theory of axisymmetric weak+strong HAT turbulenc e
• Work remain to be done for toroidal, QG, + main waves interactions (catalytic ?)
• Toro-polo with Elsasser variables, MHD, plasmas, dumbell ? ALFIN. Weaklycompressible turbulence.
• Not to forget DNS/LES with dedicated post-processing (Marenostrum project, etc) eteffets de frontières. Eviter la schizophénie ! ANISO
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Strong anisotropy
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Anisotropic description
• ANISOTROPY/ inhomogeneity/ Intermitency
• structure functions or correlations, two-point : Rij(r) = 〈ui(x)uj(x + r)〉
r
u(x)
u(x + r)
-) Single-point: componentality only
-) Two-point: directional anisotropy
• Low dimension parameterization, SO(3) symmetry group (Arad et al.,PRE,1999)
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Anisotropic description. 3D Fourier space
• Anisotropic scalar (e. g. spherical harmonics) for both ‘physical’ and ‘spectral’
1
2Rii(r) →
1
2R̂ii(k) = e(k)
∑rmn (r)Y
mn (θr, φr) →
∑ϕmn (k)Y
mn (θk, φk)
Avoiding a ‘schizophrenic’ viewpoint ! (Cambon & Teissèdre 1985, CRAS Paris)
• A trace-deviator decomposition restricted to solenoidal space
R̂ij = U(k)Pij︸ ︷︷ ︸isotropic
+ E(k)Pij︸ ︷︷ ︸directional︸ ︷︷ ︸
eP
+ℜ (Z(k)NiNj)︸ ︷︷ ︸polarization
.
(Cambon & Jacquin, JFM, 1989), Pij = δij −kikik2 , N ‘helical mode’. Helicity ?
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Rotating turbulence, MHD simplified case, k ⊥ ûΒ Ω
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Collaboration et documentsRésuméQuantifier la cascade (THI)Ondes, turbulence d' onde(s)Interactions faibles ? sans fermeture, triadesTurbulence faible (avec) et forte (sans) rotationRotation, mélange de phase: linéaire et/ou non-linéaireEquations exactes pour la théorie non-linéaireSystème dynamique de triade isoléeAnalogie avec le ``solide d' Euler''Results. NONLINEAR statistical theoryAngle-dependent spectrumAQNM and DNSInertial wave-turbulence, resonant interactions, 2D or not 2DWave aspectsStratification stable : ANTI 2D et cascade toroidaleMode non-propagatif: toroidal et QGPure stratification: Generalized Lin equationsThe toroidal cascade. Why not 2D ?Coexistence of weak and strong turbulence: MHDRemarques finales. Problèmes ouvertsTowards a theory of axisymmetric weak+strong HAT turbulenceStrong anisotropyAnisotropic descriptionAnisotropic description. 3D Fourier space