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Objectifs
• comprendre et être capable d’utiliser les lois de Kirchhoff; • reconnaître les éléments en série ou en parallèle dans un circuit
complexe; • obtenir les dipôles équivalents d’éléments en série ou en parallèle; • calculer correctement des diviseurs de tension ou des diviseurs de
courant simple ou en cascade; • savoir mettre à zéro (annuler) une source de tension ou de courant; • savoir transformer un circuit électrique complexe en son équivalent
Thévenin et son équivalent Norton • être capable de passer d’un équivalent Thévenin à un équivalent
Norton et vice-versa; • utiliser un équivalent Thévenin ou Norton entre deux bornes d’un
circuit pour déduire la tension ou le courant par ces bornes; • comprendre clairement ce que signifie un système linéaire avec ses
avantages; • exploiter les caractéristiques d’un système linéaire dont le principe
de superposition des sources. 2/73
Plan du cours
Lois de Kirchhoff
Dipôles équivalents
Transformations de sources
Théorèmes de Thévenin et de Norton
Transfert maximal de puissance
Principe de superposition
3/73
+
- v
a b c
d e f
- Une jonction où au moins deux éléments électriques ont une connexion commune est appelée nœud - Dans chaque élément, on peut définir une variable tension v et une variable courant i
Noeuds
Éléments
Parcours fermés a-b-c-d-e-f-a
a-b-e-f-a b-c-d-e-b
Éléments, nœuds et parcours fermés
4/73
Lois de Kirchhoff
i1 – i2 + i3 + i4 – i5 = 0
- v1 + v2 + v3 – v4 = 0
Loi des courants La somme algébrique des courants à un nœud d’un circuit électrique est égale à zéro en tout temps.
i1 i2
i3 i4
i5
Loi des tensions La somme algébrique des tensions dans un parcours fermé d’un circuit électrique est égale à zéro en tout temps.
v1
v4
v3
v2
- +
- +
+ -
+ -
a
b c
d 6/73
Lois de Kirchhoff-lois de Maxwell Loi des courants provient de la 3e loi de Maxwell (dite de Gauss) sur les charges électriques en version statique (dE/dt=0)
Loi des tensions provient de la 1ère loi de Maxwell (dite de Faraday ou d’induction) en version statique (dH/dt=0)
D ⋅d
S = [Q]V∫
doncddt
D ⋅d
S = d
Ddt∫ ⋅d
S = ε dE
dt∫ = 0 = ddt[Q]v = Ik
k∑∫
E ⋅d = − d
dt
B ⋅dS
S∫∫∫ = −µ dHdtS∫∫ ⋅d
S = 0
avecE
a
b
∫ ⋅d =Vab
8/73
Exemple
+
-
3 V 2 A
+
+
+
+
+ -
-
-
-
-
v2 v6
v4
3 V
6 V i6
i4
1 A 1 A
i3
Déterminer i3, i4, i6, v2, v4 et v6
i3 = -3 A, i4 = 3 A, i6 = 4 A, v2 = -3 V, v4 = -6 V, v6 = 6 V
10/73
1. Équivalent série de résistances
V
-
+
R1
R2
i
v2
-
+
R3
v3
v1 +
+ -
-
V
-
+
Req
i
321eq RRRR ++=
15/73
2. Équivalent série de condensateurs
-
+
v
C1
C2
CN
v1 + -
v2 + -
vN + -
i
-
+
v Ceq
i
∑=
=N
1k keq C1
C1
16/73
1. Diviseur de tension par résistances
vRRR
Rv321
kk ++=
v
-
+
R1
R2
i
v2
-
+
R3
v3
v1 +
+ -
-
Req = Rkk∑
vk =RkReq
19/73
2. Diviseur de tension par condensateurs
vCC
vk
eqk =
-
+
v
C1
C2
CN
v1 + -
v2 + -
vN + -
i
1Ceq
= 1Ckk
∑
20/73
1. Équivalent parallèle de résistances
i
i1 i2
R1 R2 v1 v2 Req
i
v
-
+
v
-
+
21eq R1
R1
R1 +=
+ +
- -
23/73
2. Équivalent parallèle de condensateurs
i
i1 i2
C1 C2 v1 v2 v
-
+
+ +
- - Ceq
i
v
-
+
21eq CCC +=
24/73
1. Diviseur de courant par résistances
i
i1 i2
R1 R2 v1 v2 v
-
+
+ +
- -
iRR
ik
eqk =
27/73
i1 =R2
R1+ R2i
Élément Équivalent série
Diviseur de tension
Équivalent parallèle
Diviseur de courant
Résistance Inductance Condensateur
∑=
=N
1kkeq RR
vR
Rv N
1kk
kk
∑=
=
∑=
=N
1k keq C1
C1 ∑
=
=N
1kkeq CCv
C1C
1v N
1k kk
k
∑=
= iC
Ci N
1kk
kk
∑=
=
∑=
=N
1k keq R1
R1 i
R1R
1i N
1k kk
k
∑=
=
∑=
=N
1kkeq LL
vL
Lv N
1kk
kk
∑=
= ∑=
=N
1k keq L1
L1
Récapitulatif
i
L1L
1i N
1k kk
k
∑=
=
30/73
Équivalence de sources réelles
Sous certaines conditions, la source de tension non idéale et la source de courant non idéale sont équivalentes.
Conditions: ssssp iRvetRR ==
36/73
Équivalent Thévenin
Circuit inconnu a
b
VT RT
a
b a
b
Tout dipôle qui comporte uniquement des résistances électriques et des sources indépendantes et commandées est équivalent à une unique source de tension idéale VT (tension de Thévenin) en série avec une resistance RT (résistance de Thévenin).
Circuit équivalent Thévenin
- +
- +
40/73
Utilité de l’équivalent Thévenin
Circuit A
Circuit B
Circuit A -
+ v
VT RT
- +
VT RT
- + Circuit
B
1. Décomposition d’un circuit complexe en parties simples:
2. Transfert maximal de puissance: Optimisation du transfert de puissance vers une charge résistive après avoir identifié RT.
VT RT
- +
Rch 41/73
Comment identifier un circuit équivalent Thévenin ?
VT = tension aux bornes du dipôle en circuit ouvert
RT = résistance équivalente du dipôle lorsque toutes les sources indépendantes du dipôle sont annulées.
VT ? RT ? VT RT
a
b - +
Cas 1: Sources indépendantes seulement…
42/73
Vs = 0 V -
+
Court circuit
is = 0 Circuit ouvert
Comment annule-t-on les sources de tension et de courant ?
Comment identifier un circuit équivalent Thévenin ?
Cas 1: Sources indépendantes seulement
On ne peut mettre à zéro une source commandée: cela reviendrait aussi à mettre à zéro la variable de commande.
Attention
43/73
a V
R1
R2 Rch
a
b
VT
RT
Rch
Circuit équivalent Diviseur de tension
Exemple 1 (source indépendante seulement)
21
21
RRRRRT +
=VRR
RVT21
2
+=
44/73
Exemple 2
Vs -
+
R1 R2
R3 R
i
Trouver le courant i dans R en utilisant le théorème de Thévenin
VT =R3
R1 + R3Vs1. Tension Thévenin ?
231
31T R
RRRRR ++
=2. Résistance Thévenin ?
3. Courant dans la charge R ? T
T
RRVi+
=45/73
Exemple 3
+
- 5 V
5 Ω 30 Ω
20 Ω 3 V
i
+
-
Déterminer le courant i en réduisant le circuit de droite à sa forme la plus simple.
i = 224 mA
46/73
Exemple 4
R3
R1
- +
is
vs
R2 R
a
b
is = 2 A, R1 = 6 Ω, R2 = 3 Ω, R3 = 2 Ω, vs = 6 V
VT = 6 V
RT = 4 Ω
Trouver l’équivalent Thévenin
47/73
Comment identifier un circuit équivalent Thévenin ?
1 - Circuit ouvert Circuit ouvert ó R infinie entre a et b On calcule la tension Vab-co 2 - Court-circuit
Court-circuit ó R nulle entre a et b On calcule le courant Iab-cc
VT = Vab-co
VT ? RT ?
RT =Vab−coIab−cc
VT RT
a
b - +
Cas 2: Sources indépendantes et commandées ou sources indépendantes seules
48/73
Exemple 1 (présence de source commandée)
-
+
i
- +
6 Ω 10 Ω
6 Ω20 V
2i
Trouver l’équivalent Thévenin
a
b
VT = 12 V
RT = 13.6 Ω 49/73
Transfert maximal de puissance
VT
-
+
RT
R
i
Puissance dans la charge R
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=RR
VRPT
T
51/73
Transfert maximal de puissance (suite)
R = RT
P
R RT RT RT
T
2T
max R4VP =
Puissance maximale
T
2T
max R4VP =
dP/dR=0
52/73
Rendement de Thévenin pour un transfert maximal de puissance
Le rendement de transfert de puissance est
entrée
sortie
pp=η
Lors d’un transfert maximum de puissance, la puissance d’entrée est
T
2
entrée R2v
p T=
Lors d’un transfert maximum de puissance, la puissance de sortie est
Tsortie R
vpp T
4
2
max ==
Rendement maximal de Thévenin = 50% 53/73
P (W)
2 4 6
Un circuit électrique est connectée à une résistance variable, la puissance fournie à la résistance a été mesurée telle que donnée sur la figure. Déterminer le circuit équivalent de Thévenin.
1 3 5
R (Ω)
12.5
Exemple 1:
54/73
Déterminer la charge Rch qui permettra un transfert maximal de puissance pour le circuit suivant. Déterminer la puissance maximale transférée. Déterminer le rendement de transfert de puissance de la source Vs vers la charge Rch.
Exemple 2:
Vs = 180 V -
+
30 Ω
150 Ω Rch
a
b
Rendement = 35.7 % Rch = RT = 25 Ω Pmax = 225 W
55/73
Déterminer la charge Rch qui permettra un transfert maximal de puissance pour le circuit suivant. Déterminer la puissance maximale transférée. Déterminer le rendement de transfert de puissance de la source Vs vers la charge Rch.
Exemple 2:
Vs = 8 V -
+
2 Ω
2 Ω Rch
a
b
Rendement = 16.7%
Rch = RT = 1 Ω
Pmax= VT2/4RT= 4W
56/73
VT = 2/(2+2)*8=4V
Pin= 8*(8/(2+2||1)) = 8*3=24W
2W 4W
18W
3A
2A 1A
Équivalent Norton
iN RN
a
b
a
b
Tout dipôle qui comporte uniquement des résistances électriques et des sources indépendantes et commandées est équivalent à une unique source de courant idéale iN (courant de Norton) en parallèle avec une resistance RN (résistance de Norton).
Circuit équivalent Norton
- +
58/73
Comment identifier un circuit équivalent Norton ?
iN = courant en court-circuit du dipôle
RN = résistance équivalente du dipôle lorsque toutes les sources indépendantes du dipôle sont annulées.
Cas 1: Sources indépendantes seulement
iN RN
a
b IN ? RN ?
59/73
Exemple 2
5.6 A
a
b
Déterminer la puissance maximale transférable à une charge Rch en utilisant un circuit équivalent Norton du circuit suivant.
30 Ω 150 Ω
3 Ω
Rch
Pmax = 175 W
61/73
2 - Circuit ouvert Circuit ouvert ó R infinie entre a et b On détermine la tension vab-co
iN ? RN ? iN RN
a
b
iN = iab-cc
RN = Vab−coiab−cc
1 - Court-circuit Court-circuit ó R nulle entre a et b On détermine le courant iab-cc
Comment identifier un circuit équivalent Norton ?
Cas 2: Sources indépendantes et commandées ou sources indépendantes seules
62/73
Exemple 1
-
+
2 Ω
3 Ω16 V
10 ix a
b
0.9 A
ix
Rch
Trouver l’équivalent Norton vu des bornes a et b puis estimer la puissance maximale transférable à une charge Rch
Pmax = 0.75 W
63/73
Exemple 2
3 Ω6 Ω
2 ia
b
2.5 A i
Trouver l’équivalent Norton vu des bornes a et b.
+ - 4 Ω 1 Ω
IN = 1 A
RN = 3 Ω
64/73
Équivalents Thévenin et Norton
Remarques
RT = RN
VT = RN iN
(Résistances Thévenin et Norton)
(Sources Thévenin et Norton)
iN RN
a
b VT
RT
a
b - +
Thévenin Norton
VT = Vco IN = Icc
65/73
Systèmes linéaires
F x y Entrée Sortie
Système
Définition d’un système linéaire
y = F(x)
Superposition: x1 y1
x2 y2
x1 + x2 y1 + y2
Homogénéité: x y
K . x K . y
alors
alors 67/73
Exemple d’un système linéaire
Déterminer si la loi d’Ohm est linéaire: v = R i
Superposition ? Homogénéité ?
x R i v Entrée Sortie
Système
68/73
Exemple d’un système non linéaire
La dissipation d’une puissance dans une résistance est-elle linéaire?
Superposition ? Homogénéité ?
[ ]2 x R i p Entrée Sortie
Système
p = R i2
69/73
Linéarité des circuits électriques
Résistance
Condensateur
Inductance
Transformateur idéal
Source commandée
iRv =
dtdvCi =
dtdiLv =
aiietvav 2
121 −==
12 vv µ=
1m2 irv =1m2 vgi =
12 ii α=70/73
Systèmes linéaires
• Circuit avec deux sources: Vs1 et Vs2 (ça pourrait être une source tension et une source courant cependant) (il pourrait aussi y avoir plusieurs sources de tout acabit)
• Sortie: I1, le courant traversant R1
(ça pourrait être une autre résistance, ou même une tension) • I1 = aVs1 + bVs2
• a et b déterminées par superposition des sources – on annule la source Vs2 (Vs2=0), I1=aVs1 – on annule la source Vs1 (Vs1=0), I1=bVs2
71/73
Principe de superposition
Lorsqu’un circuit électrique linéaire est excité par plusieurs sources, l’analyse du circuit peut être effectuée en considérant une seule source indépendante à la fois, les autres sources indépendantes étant annulées. La réponse totale sera égale à la somme de toutes les réponses individuelles.
Exemple 1: Sources indépendantes seulement
Vs Is -
+
R1
R2
i
Trouver le courant i en utilisant le principe de superposition.
21
1
RRIRVi ss
++=
72/73
Exemple 2 Sources indépendantes et commandées
Vs 3 i -
+
R1 i
Trouver le courant i en utilisant le principe de superposition.
-
+ Is
R2
321
2
++−=RRIRVi ss
73/73