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GELE2511 Chapitre 3 :Serie de Fourier
Gabriel Cormier, Ph.D.
Universite de Moncton
Hiver 2013
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 1 / 35
Introduction
Contenu
Contenu
Analyse sinusoıdale
Serie de Fourier
Coefficients
Symetrie
Formes alternatives
Spectre
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 2 / 35
Introduction
Introduction
Ce chapitre presente une nouvelle methode d’analyse de signaux et decircuits : la serie de Fourier.
On verra qu’on peut decomposer n’importe quel signal periodique enune somme de sinusoıdes.
Cette decomposition du signal permet d’analyser le contenufrequentiel d’un signal et determiner son spectre.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 3 / 35
Serie de Fourier
Serie de Fourier
On peut demontrer que les sinusoıdes sont les signaux les plus facilesa utiliser lors de l’analyse de circuits ou de systemes.
Les sinusoıdes permettent de rapidement calculer la reponse d’unsysteme en regime permanent, sans calculer la reponse transitoire.
Si l’entree a un systeme est une sinusoıde, la sortie sera aussi unesinusoıde, de meme frequence (l’amplitude et la phase peuventchanger).
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 4 / 35
Serie de Fourier
Serie de Fourier
Les sinusoıdes sont les seuls signaux periodiques a posseder cettepropriete.
Pour les autres sources periodiques (ex : triangulaire), il faut trouverune autre methode d’analyse.
La serie de Fourier permet de prendre n’importe quel signalperiodique, et le decomposer en une somme de sinusoıdes.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 5 / 35
Serie de Fourier
Serie de Fourier
Le mathematicien Jean-Batiste Fourier decouvrit qu’on pouvaitdecomposer n’importe quel signal periodique en une somme desinusoıdes.
Pour une fonction periodique f(t), sa serie de Fourier est :
Serie de Fourier
f(t) = av +
∞∑n=1
an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)
ou av, an et bn sont les coefficients de la serie de Fourier, et ω0 est lafrequence fondamentale.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 6 / 35
Serie de Fourier
Serie de Fourier
Les frequences qui sont des multiples de ω0 sont appeles desharmoniques.
Ex : 2ω0 est la deuxieme harmonique,Ex : 5ω0 est la cinquieme harmonique.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 7 / 35
Serie de Fourier
Coefficients de la serie de Fourier
Les coefficients sont calcules selon :
av =1
T
∫Tf(t)dt (valeur moyenne)
an =2
T
∫Tf(t) cos(nω0t)dt
bn =2
T
∫Tf(t) sin(nω0t)dt
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 8 / 35
Serie de Fourier
Exemple
Calculer la serie de Fourier dusignal periodique suivant.
v(t)
t
Vm
0 T 2T
L’equation de v(t) entre 0 et T est :
v(t) =VmTt
L’equation pour av est :
av =1
T
∫T
VmTt dt =
Vm2
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 9 / 35
Serie de Fourier
Exemple (2)
On calcule an :
an =2
T
∫T
VmTt cos(nω0t) dt
=2VmT 2
(1
n2ω20
cos(nω0t) +t
nω0sin(nω0t)
) ∣∣∣∣∣T
0
=2VmT 2
(1
n2ω20
(cos(2πn)− 1)
)= 0 pour tout n
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 10 / 35
Serie de Fourier
Exemple (3)
On calcule bn :
bn =2
T
∫T
VmTt sin(nω0t) dt
=2VmT 2
(1
n2ω20
sin(nω0t) +t
nω0cos(nω0t)
) ∣∣∣∣∣T
0
=2VmT 2
(0− T
nω0(cos(2πn)− 1)
)= −Vm
nπ
La serie de Fourier de v(t) est :
v(t) =Vm2− Vm
π
∞∑n=1
1
nsin(nω0t)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 11 / 35
Serie de Fourier
Exemple (4)
Reconstruction du signal (si T = 1s) :
0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
Original
0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
n = 7
0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
n = 15
0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
n = 51
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 12 / 35
Serie de Fourier
Reconstruction du signal
On voit bien, selon la figure precedente, que plus le nombred’harmoniques utilisees est eleve, plus le signal original est reconstruitfidelement.
Cependant, lorsqu’il y a une discontinuite, il y a un pic qui apparaıtdans le signal reconstruit : on appelle ceci l’effet Gibbs.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 13 / 35
Symetrie
Calcul des coefficients
Le calcul des coefficients de la serie de Fourier est, generalement,assez long.
N’importe quoi qui simplifie la tache est benefique.
Selon le type de symetrie dans le signal, on peut grandementsimplifier le calcul des coefficients.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 14 / 35
Symetrie
Symetrie paire
Pour des fonctions paires, on peut demontrer que les coefficients de laserie de Fourier sont :
av =2
T
∫T/2
f(t)dt
an =4
T
∫T/2
f(t) cos(nω0t)dt
bn = 0
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 15 / 35
Symetrie
Symetrie impaire
Pour des fonctions impaires, on peut demontrer que les coefficients de laserie de Fourier sont :
av = 0
an = 0
bn =4
T
∫T/2
f(t) sin(nω0t)dt
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 16 / 35
Symetrie
Symetrie demi-onde
Pour des fonctions ayant la symetrie demi-onde, on peut demontrer que lescoefficients de la serie de Fourier sont :
av = 0
an = 0 pour n pair
an =4
T
∫T/2
f(t) cos(nω0t)dt pour n impair
bn = 0 pour n pair
bn =4
T
∫T/2
f(t) sin(nω0t)dt pour n impair
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 17 / 35
Symetrie
Symetrie quart-d’onde
Une fonction ayant la symetrie quart d’onde peut etre rendue paire ouimpaire en faisant un choix approprie de t = 0.
Selon le cas ou on rend la fonction paire ou impaire, les coefficientsseront differents.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 18 / 35
Symetrie
Symetrie quart-d’onde
Si on rend la fonction paire, on peut demontrer que les coefficients de laserie de Fourier sont :
av = 0
an = 0 pour n pair
an =8
T
∫T/4
f(t) cos(nω0t)dt pour n impair
bn = 0
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 19 / 35
Symetrie
Symetrie quart-d’onde
Si on rend la fonction impaire, on peut demontrer que les coefficients de laserie de Fourier sont :
av = 0
an = 0
bn = 0 pour n pair
bn =8
T
∫T/4
f(t) sin(nω0t)dt pour n impair
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 20 / 35
Symetrie
Exemple
Calculer la serie de Fourier dusignal periodique suivant.
i(t)
t
Im
−Im
On verifie la symetrie : la fonction est impaire, avec de la symetriedemi-onde et quart d’onde. On aura donc seulement besoin de calculer bn.Dans l’intervalle d’un quart de periode,
i(t) =4ImT
t
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 21 / 35
Symetrie
Exemple (2)
On calcule bn :
bn =8
T
∫T/4
4ImT
t sin(nω0t)dt
=32ImT 2
(sin(nω0t)
n2ω20
− t cos(nω0t)
nω0
) ∣∣∣∣∣T/4
0
=8Imn2π2
sin(nπ
2
)n est impair
La serie de Fourier est :
i(t) =8Imπ2
∞∑n=1,3,5,...
1
n2sin(nπ
2
)sin(nω0t)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 22 / 35
Symetrie
Exemple (3)
Reconstruction du signal (si T = 1s) :
0 0.5 1 1.5 2−1
−0.5
0
0.5
1
Fréquence (rad/s)
i(t)
Original
0 0.5 1 1.5 2−1
−0.5
0
0.5
1
Fréquence (rad/s)
i(t)
n = 3
0 0.5 1 1.5 2−1
−0.5
0
0.5
1
Fréquence (rad/s)
i(t)
n = 7
0 0.5 1 1.5 2−1
−0.5
0
0.5
1
Fréquence (rad/s)
i(t)
n = 11
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 23 / 35
Formes alternatives
Formes alternatives
Il existe 2 autres facons d’exprimer la serie de Fourier : sous formepolaire, ou forme exponentielle.
La forme polaire permet de mieux identifier l’amplitude et la phasedes composantes d’un signal.
La forme exponentielle est souvent plus simple pour les calculsmathematiques. C’est la forme la plus utilisee en traitement de signal.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 24 / 35
Formes alternatives
Forme polaire
Forme polaire :
f(t) = av +
∞∑n=1
|An| cos(nω0t+ θn)
ou
|An| =√a2n + b2n
θn = tan−1(−bnan
)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 25 / 35
Formes alternatives
Forme exponentielle
Forme exponentielle :
f(t) =
∞∑n=−∞
Cnejnω0t
ou
Cn =1
T
∫Tf(t)e−jnω0t dt
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 26 / 35
Formes alternatives
Relations entre les formes
A partir de la forme exponentielle, la forme polaire est :
C0 +
∞∑n=1
2|Cn| cos(nω0t+ θn)
et la forme trigonometrique est :
A0 +
∞∑n=1
An cos(nω0t) +Bn sin(nω0t)
ou2Cn = An − jBn, C0 = A0
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 27 / 35
Spectres
Spectre
Une fonction periodique est completement definie par ses coefficientsde Fourier et sa periode. Si on connaıt av, an, bn et ω0, on peutconstruire f(t).
Si on connaıt an et bn, on connaıt aussi l’amplitude An et la phase θnde chaque harmonique.
La forme exponentielle de la serie de Fourier permet d’obtenirdirectement l’amplitude et la phase des harmoniques.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 28 / 35
Spectres
Spectre
On peut representer graphiquement une fonction periodique en termesde l’amplitude et la phase de chaque frequence presente dans le signal.
On appelle ceci le spectre de la fonction. Ce graphe permet devisualiser quelles frequences ont une amplitude importante ; danscertains cas, la majorite du signal est contenue dans quelquesharmoniques.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 29 / 35
Spectres
Exemple
Donner le spectre de la fonctionsuivante si Vm = 5V et τ = T/5.
v(t)
t−τ/2
Vm
τ/2 T
0
On utilise la forme exponentielle.
Cn =1
T
∫ τ/2
−τ/2Vme
−jnω0t dt
=VmT
(e−jnω0t
−jnω0t
) ∣∣∣∣∣τ/2
−τ/2
=2Vmnω0T
sin(nω0τ
2
)
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 30 / 35
Spectres
Exemple (2)
On peut ecrire sous une autre forme :
Cn =Vmτ
T
sin(nω0τ/2)
nω0τ/2=
sin(nπ/5)
nπ/5
= sinc(nπ/5)
en remplacant par les valeurs du probleme.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 31 / 35
Spectres
Exemple (3)
Le spectre d’amplitude :
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
n
|Cn|
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 32 / 35
Spectres
Exemple (4)
Le spectre de phase :
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
0
60
120
180
n
θ n(d
egre
s)
Puisque Cn est reel (dans ce cas-ci), la phase est seulement 0◦ ou 180◦.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 33 / 35
Valeur RMS
Valeur RMS
La valeur RMS d’un signal peut etre calculee a partir de la serie deFourier. On remplace la fonction f(t) par sa serie de Fourier :
Frms =
√√√√a2v +
∞∑n=1
(An√2
)2
Par contre, il est generalement plus simple de calculer la valeur RMSa partir de la fonction, plutot que la serie de Fourier.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 34 / 35
Conclusion
Conclusion
Les points cles de ce chapitre sont :
Calcul de la serie de Fourier d’une fonction periodique.
Utilisation de la symetrie pour simplifier le calcul.
Calcul du spectre d’un signal periodique.
Gabriel Cormier (UdeM) GELE2511 Chapitre 3 Hiver 2013 35 / 35