Criterio de Optimalidad Para problemas de ProgramacionGeometricas Generalizado sin Restricciones

Sea g : Dg → R, una funcion (donde Dg ⊂ Rn es el dominio de g) dada. Denotamos

h(y) := supx∈Dg

{g(x)− 〈x, y〉} ,

donde la funcion h : Rn → R es la funcion conjugada de g definida sobre el conjunto

Dh := {y ∈ Rn : supx∈Dg

{g(x)− 〈x, y〉} < +∞} ⊂ Rn .

DEFINICION 1 (Funcion conjugada).

Algunas de las propiedades basicas de la funcion conjugada son resumidas a continuacion:Observacion 2.1:Sea A un subconjunto de Dg y

h(y) := supx∈A{g(x)− 〈x, y〉} ,

donde h es la funcion conjugada de g definida sobre el conjunto

Dh := {y ∈ Rn : supx∈A{g(x)− 〈x, y〉} < +∞} .

Entonces Dh ⊂ Dh y h(y) ≥ h(y) (∀y ∈ Dh)Observacion 2.2(Desigualdad de Fenchel) La siguiente desigualdad puede ser derivada de la definicion 1.

g(x)− g(y) ≤ 〈x, y〉 (∀x ∈ Dg, ∀y ∈ Dh) .

De la definicion 1 se puede ver que la funcion conjugada puede no existir para todas las funcionesg ya que Dg puede ser un conjunto vacıo .

Sea la funcion conjugada h : Rn → R de la funcion dada g. El conjunto

{(y, a) : a ≥ g(x)− h(y , (y ∈ Dh, a ∈ R, ∀x ∈ Dg)}

es llamado epıgrafo de h y este es denotado por epih.

DEFINICION 2 (Epıgrafo).

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