1

Genetikus algoritmusok a gépészetben Próbatestek gyártásának optimálása genetikus

algoritmusokkal

Készítette:

Jónás Szabolcs

G1-MAG

Témavezető:

Dr. Kamondi László

Tanszékvezető, egyetemi docens

Gép- és Terméktervezési Tanszék

Gép- és Terméktervezési Tanszék

Tudományos Diákköri Dolgozat

2

Tartalom

Bevezető ............................................................................................................................................. 3

A Genetikus Algoritmusok .................................................................................................................. 4

A genetikus algoritmusok alapfogalmai ............................................................................................. 8

Néhány gépészeti probléma ............................................................................................................ 11

A Small Punch vizsgálat .................................................................................................................... 14

A genetikus algoritmus háttere ........................................................................................................ 16

Körpakolás ........................................................................................................................................ 18

A körpakolás matematikája .......................................................................................................... 19

A darabszám meghatározása ........................................................................................................... 21

Összefoglalás .................................................................................................................................... 25

Felhasznált irodalom ........................................................................................................................ 26

3

Bevezető

A jelen dolgozatban a genetikus algoritmusokkal foglalkozunk. A genetikus

algoritmusok az ún. evolúciós módszerek egyik fajtája. Az evolúciós algoritmusok a

mesterséges intelligencia fejlesztésében játszanak úttörő szerepet.

A dolgozatban egy korszerű anyagvizsgálati módszerhez szükséges próbatest

kivágási tervét vizsgáljuk genetikus algoritmusokkal. Az anyagvizsgálat az ún. Small

Punch vizsgálat jelenleg szabványosítás útján van, mivel Magyarországon nincs

meghonosodva, ezért az angol terminust használjuk.

A cél, hogy genetikus algoritmusok segítségével határozzuk meg azt a

maximális darabszámú próbatestet, ami kinyerhető az egyszeri mintából adott

szerszám esetén, ami egy reprezentatív vizsgálat sorozathoz szükséges.

A dolgozatban bemutatom, hogy mik is azok a genetikus algoritmusok.

Hogyan működnek, és mire jók. Néhány ipar közeli alkalmazáson keresztül

ismertetem jelentőségüket.

A dolgozat második felében pedig egy olyan módszert mutatok be, amely a

próbatest kivágási tervét optimálja, illetve meghatározza azt az n darabszámot,

ami kinyerhető az anyagdarabkából.

4

„Mivel minden fajnak sokkal több egyede születik, mint amennyi életben maradhat,

és mivel ennek következtében a létért való küzdelem gyakran ismétlődik, világos,

hogy bármely lénynek, amely ha tetszőlegesen kicsiny mértékben is, de saját

előnyére változik, az élet összetett és gyakran változó feltételei között jobb esélye

lesz a túlélésre, és ezzel a természetes kiválasztódásra. Az öröklés elve alapján

pedig bármely kiválasztott változat az új, módosult alakjában fog továbbterjedni.”

C. Darwin – A fajok eredete

A Genetikus Algoritmusok

Az evolúciós algoritmusok a természetet veszik alapul. A természetes

kiválasztódás elvét igyekszenek utánozni. Az evolúciós elmélet mai napig nem

teljesen tisztázott kérdéseket vet fel, gondoljunk csak az emberi egyedfejlődésre

[2].

A genetikus algoritmus (GA) a globális optimáló eljárásokkal rokon módszer.

Elvi hátterét a darwini evolúciós elmélet adja. Nagyon széles körben használható

módszerről van szó, így azokon a területeken, ahol a sok lehetséges megoldás

közül a legjobbat kell megkeresni. A legjobb megoldás kiválasztásához egy értékelő

függvényt (fitness függvény) kell találni, aminek meg kell feleljen a megoldás. Talán

épp ez a függvény a legbonyolultabb kérdés, hiszen ha több paraméter is létezik,

akkor a függvény is sokkal bonyolultabb. A GA futása közben a biológiából

kölcsönzött terminussal élve egy populációt vizsgál. Az összes GA-sal kapcsolatos

cikkben, könyvben a genetika kifejezéseit alkalmazzák. Az elnevezések valóban

hasonlóan működnek, mint a természetben [1][2].

5

Az evolúciós algoritmus egy iteratív és sztochasztikus folyamat, amely a

populáción alapszik. Minden egyed egy potenciális megoldást kínál az adott

problémára. A megoldás egy kódoló/dekódoló részegységből áll *2+. Vannak szülők,

mint a kiinduló populáció tagjai, amelyek keresztezésével „születnek” az utódok.

Az utódok véletlenszerű módosítása létrehozza a mutációt. A populáció egy tagja

(egyed), ha teljes mértékben kielégíti a fitness függvényt megoldódik a probléma.

Ha ez nem valósul meg egy lépésben, márpedig gyakran nem szokott, újabbnál

újabb populációkat hoz létre. Az új populációk a korábbi populációk egyedeinek

keresztezésével és/vagy mutációjával állítódnak elő (rekombinációs és mutációs

operátorok)[1][2].

Az evolúció, mint folyamat a kromoszómákon keresztül történik. Az

élőlényeknek olyan eszközeik vannak, amelyekkel kódolják az életet. A természetes

szelekció egy mechanizmus, amely a kromoszómák kapcsolatán alapszik. A

kromoszómáknak fő tulajdonsága, hogy képesek a következő generációt a

környezetnek sokkal megfelelőbben előállítani. Darwin elméletét (1859) használva

működik a GA, tehát elvileg az újabb egyedek jobban megfelelnek, és így tovább.

Tehát elviekben elegendően sok megoldás generálása előállítja a keresett

megoldást [1][2].

1. ábra Charles Darwin (1809-1882)

6

Mivel a genetikus algoritmusok elvei visszavezethetőek C. Darwin A fajok eredete

(a dolgozat mottója is egyben) című művére, néhány szót ejteni kell róla is.

Shrewsburyben született 1809-ben, és 1882-ben, Downe-ban halt meg. Angol

természettudós volt, kidolgozta az evolúció elméletet. Egy volt tanára lehetőséget

kínált számára, egy világ körüli tudományos expedíció formájában. 5 éven

keresztül, a Beagle nevű hajón utazva jutott el (1831) a világ számos pontjára, ahol

feljegyzéseket készített az élőlényekről. A napló feljegyzésekből később könyvet is

adtak ki, olyan népszerűségnek örvendett. Darwin elmélete ezen lejegyzett

gondolatok alapján alakult ki, miután rendszerezte, feldolgozta. A kor

gondolkodása aggasztotta, hiszen a keresztény vallási nézetekkel szembe megy az

evolúciós elmélet. Mivel voltak tényezők, amit nem tudott megmagyarázni sok

támadás érte, az egyház is elutasította. Később genetikával egyesített elméleteként

jött létre a neodarwinizmus irányzata.

Az irodalom szerint a GA-ok alkalmazhatóak a gépi tanulás területén, mivel a

probléma felfogható optimálási kérdésként is. A genetikus programozás (GP) az

irodalom szerint az egyik legfontosabb elérendő cél, hiszen minden programot

jelenleg kézzel írnak. A GP pedig kiküszöbölné azt a mellékidőt, amit a fejlesztés

vesz igénybe. A saját magukat fejleszteni, akár újat kifejleszteni tudó programok

ötlete nagyjából 50 éve merült fel. 1959-ben jelent meg a kifejezés: gépi tanulás.

Bár ezt a kifejezést Samuel magára a programozási folyamatra értette. Mitchell

1996-ban mondta az egyik legjobb definíciót a gépi tanulásra, mégpedig, hogy azon

számítógép algoritmusok, amelyek tapasztalat útján fejlesztik önnön magukat.

Kezdetben például repülőgép szárnyak paramétereinek meghatározására

használták, ekkor a módszert evolúciós stratégiának/programozásnak nevezték [2].

A GP célja, hogy egy kezdeti számú program populáció a kezdeti adatok

alapján készüljön el. Tehát valamilyen elv szerint, valamilyen célnak megfelelően

7

történjen meg a szoftverfejlesztés, azonban egyszerre több program is készülhet

[1].

Az evolúciós folyamatok reprodukciós fázisa egy viszonylag hosszú időt vesz

igénybe. Itt gondoljunk csak az élőlények fejlődése során létrejött formákra,

amelyek a fennmaradásuk érdekében alakultak ki. Ilyen példa lehet a halak

úszáshoz idomult formája, de szinte minden élőlény esetén megfigyelhetünk

valami különleges vonást. A természetben számos reprodukciós folyamat játszódik

le ezeken a szinteken. A leggyakoribb folyamat a mutáció, ez okozza az utódok és a

szülők közti különbségeket. A genetikus algoritmusokban a populációk minden

egyede egy függvénnyel írható le, a függvényeket vizsgálva megkaphatjuk, hogy az

elérni kívánt célt melyik elégíti ki a legjobban. Ez a jósági érték kvantitatív

információt hordoz a keresések irányításban.

A GA-ok a legkiterjedtebb evolúciós eszközök. A GA-k szelekciós,

keresztezési és mutációs operátort alkalmaznak működésük során. A GA-ok intuitív

módon képezik a jobbnál jobb egyedeket, egyszerű műveleteken keresztül. A

fittnes függvény és a cél közötti értéket fel lehet használni az egyedek

rangsorolására, aszerint hogy megoldandó problémát mennyire elégíti ki. Az

irodalom szerint az evolúciós algoritmusokat (EA) hegymászó algoritmusokat

kombinálva nagyon hatékony módszert kaphatunk. A GA-kat intenzíven használják

helyi minimum keresésére, ezeket a Mimetikus Algoritmusoknak nevezik [2].

A GA-ok jelenleg a leginkább elterjedt számítási módszereket jelöli a

mesterséges intelligencia (MI) evolúciójában [3].

8

A genetikus algoritmusok alapfogalmai

A populáció az egyedek adott időpillanatban vett halmazát nevezzük. Az

egyedek a lehetséges megoldásokat reprezentálják. Ebben a halmazban benne

vannak a lehetséges megoldások és ugyanazon egyedek benne lehetnek

többszörösen is. A számítások során az egyedeket kódolják, ez az egyed

genotípusa. A tulajdonságokat a fenotípusok írják le. A kimeneti változók a gének,

a felvett értékek az allélok.

A genetikus algoritmusok egy iterációs folyamatként fogható fel, amely

folyamat minden lépése új populációt állít elő. Ezen folyamat lépései a generációk.

Amennyiben az aktuális populáció legjobb megoldását változtatás nélkül viszi

tovább az algoritmus, úgy elitista megvalósításnak nevezzük.

2. ábra Az öröklődés szemléltetése

A 2. ábra azt mutatja meg, hogy az utódok a szülők genomjainak

kereszteződéséből jönnek létre, ahogy a valóságban is. Az egyik és másik szülő

genomjait véletlenszerűen összekeverve jönnek létre az új egyedek, amelyek

később egymással is és a szülők genomjaival variálva is hozhatnak létre új egyedet.

Minden új egyed az előző generáció legjobb egyediből származik.

9

A fitness függvény vagy rátermettségi függvény a megoldásokat értékeli. Ez

az a függvény, aminek a globális minimumát kell keresni. Minél rátermettebb az

adott egyed, annál inkább nő a „túlélési esélye”. Ezen függvény megválasztása a

legnehezebb illetve a legfontosabb lépés az algoritmus felépítésében.

A szelekció az egyedkiválasztás operátora. Ennek segítségével az algoritmus

a jónak tekintett szülőket kiválasztja, hogy létrehozza az utódokat.

3. ábra A szelekció és a túlélés

A genetikus algoritmusok értékei között hibaszámítást kell végezni, hogy az

egyes egyedek saját állapotuk alapján jellemezhetővé váljanak. A minél kisebb hiba

nagyobb túlélést biztosít.

Genetikus algoritmusok speciális esetei

- szimulált hűtés: a fémek hőkezelésének folyamata az analógia

- tabu keresés: tabulista, egyelemű populáció

- sztochasztikus hegymászó: lokális optimumkeresési feladatok

- hangya kolónia: útkeresési problémák megoldása

10

Az alábbi folyamatábra szemlélteti a genetikus algoritmusok működését (4.

ábra).

4. ábra Folyamatábra

Eszerint első lépésben a kezdeti értékek megválasztása történik. A fitness

függvénnyel megtörténik az összehasonlítás, majd ezekből kiválasztja a

legrátermettebbeket, majd keresztezi/mutálja az eredményeket. Az így nyert új

egyedek vizsgálata történik. Ha megfelel a peremfeltételnek az adott egyed, akkor

véget ér az algoritmus, ha nem, akkor újra keresztezés/mutáció útján új egyedek

létrehozásával folytatódik a számítás.

Inicializálás

Kezdeti értékelés

Szelekció

Mutáció

Értékelés

Megfelel?

11

Néhány gépészeti probléma

A tervezés manapság fő célja, hogy a ismerjük a termék egész életciklusát.

Kiindulva az ötlettől, egészen az újrahasznosításig vagy éppen megsemmisítésig.

Vannak módszerek számos tényezőre vonatkozóan, azonban vannak esetek,

amikor több lehetséges megoldás közül is lehet választani. Ezen megoldásokhoz

különböző megkötéseket, kényszereket kell felírni, amelynek eredményeként egy

többtalálatos megoldás halmazt kapunk. Maga a megoldás halmaz nem intuitív,

hiszen előre definiálunk jó néhány értéket, azonban az ismeretlen értékeket

analitikusan megoldani többnyire nem lehet.

A genetikus algoritmusok fő alkalmazási területei a szélsőérték keresések,

gráfok megoldásai, játékelméleti kérdések stb. Ezeket a feladatokat át lehet ültetni

jól megfogalmazva a gépészet területére.

Kezdetben repülőgépszárnyak optimálása, tervezése volt a cél, de műholdak

pályájának számítása, sőt a műholdakban lévő berendezések optimálása is

megtörtént a NASA-nál, így sokkal kisebb helyen elfértek az egységek, így tömeget

tudtak minimalizálni, ezáltal költséget takarítottak meg.

A genetikus algoritmusokba számos szempontot lehet beállítani, amit az

iteráció során figyelembe vesz az algoritmus. Ekkor egy specifikációs halmazt

kapunk eredményül. Ilyen specifikáció lehet a tömeg, a forma, az anyag, stb.

A [10] tanulmányban tartókat optimáltak. A cél, hogy adott terhelés esetén

megkapják az a két tartót, amely a legjobban kielégíti az anyagköltség minimumát.

A geometria részben ismert volt.

A gravitációt elhanyagolták, a stabilitási kérdések egyszerűsítése végett. A

tartót közepes szilárdságú szerkezeti acélból tervezték. A geometria (5. ábra) W és

12

h értékei ismertek voltak. A cél, hogy az 1 és 2 jelű tagok külső/belső átmérőjét

(lehet cső, de lehet rúd is) meghatározzák, továbbá az ábra szerinti s paramétert.

5. ábra Tartó optimálása

Több feltételezéssel is élte az egyes számítások során. Elsőként

megvizsgálták, hogy az 1-es tag cső, a 2-es tag rúd. Majd megvizsgálták, hogy mi

van, ha mindkét tag cső.

Abban az esetben, amikor a 2-es jelű tag cső volt, akkor az s értéke illetve az

anyag mennyisége is nagyobb volt, mint, ha csak rúdnak feltételezzük.

A [8] tanulmányban gördülő elemes csapágyak fejlesztésében használták a

genetikus algoritmusokat. Célfüggvénynek a maximális kifáradási határt vették. A

kinematikus kényszereket formálisan kezelték. A tervezési paraméterek, mint a

csapágy külső illetve belső átmérője, gördülő elemek száma, stb. volt. További

ismeretleneket is tartalmazott a feladat.

Az optimálás eredményeként sikerült egy olyan csapágyat tervezniük,

amelynek a kifáradási határa jobb, mint a katalógusokban szereplőké.

Konvergencia vizsgálatokat végeztek, amelyek eredményeként kiderült, hogy

nincsenek terhelésből fakadó extrém nagy értékek.

13

6. ábra 100 generáció után a legjobb értékek dinamikus teherviselő képességre

A 6. ábra a [8] tanulmányból való, és azt mutatja, hogy miként változott a

dinamikus teherviselő képessége a csapágynak. 7000 generáció után 26500N-os

dinamikus tényező értéket vettek fel az egyedek.

A [9] cikkben fogaskerék fogprofil optimálását végezték el. A feladat célja,

hogy az üzemeléskor keletkező zajokat csökkenthessék. A fordulatszám

függvényében vizsgálták a zajmértékét, és sikerült olyan fogprofilt kialakítaniuk,

amely csendesebb a kiindulási állapotétól.

14

A Small Punch vizsgálat

Ebben az alfejezetben a Small Punch vizsgálatot mutatjuk be, hogy az

olvasónak legyen képe az alkalmazott genetikus algoritmus céljáról.

A vizsgálat lényege, hogy egy kis (Ø8x0,5mm) tárcsát kilyukasztanak egy

golyóval, és felveszik az erő-elmozdulás diagramot, amiből különféle módszerek

segítségével meghatározhatóak az adott anyag mechanikai jellemzői

(szakítóvizsgálati mérőszámok, törésmechanikai mérőszámok, stb.).

A próbatesteket célszerűen az üzemelő berendezés falából kell venni,

ugyanis így a tényleges üzemi körülmények hatását tudjuk vizsgálni. A

mintavételezés általában roncsolásos módon történik (pl.: koronafúró

segítségével). Azonban a teljes keresztmetszetből történő mintavételezés újabb

hibaforrás is egyben, hiszen helyre kell állítani a berendezést (pl.: javító hegesztés

alkalmazása). Ennek a hibaforrásnak a kiküszöbölésére lett kidolgozva a felületi

mintavételezésre alkalmas készülékek családja. Ezek a mintavételező készülékek az

üzemelő szerkezet falának felső rétegéből vágnak le egy darabot, analóg módon a

fagylaltkanalazáshoz. Az így lemunkált anyagdarab geometriája az alkalmazott

szerszámtól függően változhat (pl.: gömbsüveg, csónakforma). A leválasztott

anyagdarabból lehet szikraforgácsolás útján eltávolítani a próbatesteket.

7. ábra Mintavételezés 8. ábra Próbatest 9. ábra Befogó készülék

15

10. ábra Metszetek 11. ábra VEM modell 12. ábra Mérések, számítások

Az ábrákon a SP vizsgálat lépései követhetőek végig. A 7. ábra a

mintavételezés elvét mutatja. Egy gömbsüveg alakú kivágó szerszám segítségével

lehet leválasztani az anyagot az üzemelő szerkezet falából. A 8. ábra a kivágott

anyagdarabból kimunkált próbatest geometriáját mutatja. A vizsgálatot a 9. ábra

szerinti elrendezésű befogó készülékben végezhetjük. Ez a készülék a Bay Zoltán

Intézetben alkalmazott készülék. A vizsgálat során egy kis golyót nyomunk a

tárcsába. A vizsgálat után a deformálódott próbatestet mutatja az 10. és a 11.

ábra. A 11. ábra MSC Marc végeselem rendszerben készült. A modell és a mérések

között összehasonlítást végeztünk egy korábbi feladat kapcsán, ezt (illetve az erő-

elmozdulás diagramot) a 12. ábra szemlélteti. A feladat kapcsán hazai tudományos

cikkek is jelentek meg [4], [5], [6].

A Small Punch-csal foglalkozó szakirodalmak szerint egy kicsit befolyásolja a

próbatest orientációja a nyerhető jellemzők értékét, így korlátoznunk kell a

módszert. Ez a korlátozás, hogy csak azonos irányban állhatnak a próbatestek.

16

A genetikus algoritmus háttere

A megoldás elvi háttere a logisztikából jól ismert kamion pakolási példa (bin

packing problem). A kamion pakolási probléma elnevezés azt takarja, hogy van egy

kamion konténer, amibe a lehető legtöbb dobozt pakoljuk be úgy, hogy a lehető

legkevesebb levegő (üres tér) maradjon benn, úgy, hogy a lepakolás majd a lehető

leggyorsabban történjen (természetesen figyelembe lehet venni, hogy több helyre

szállítunk, de az csak bonyolítja a kérdést). Ha ennek analógiájára képzeljük el a

feladatunkat, akkor a kamion konténernek feleltethetjük meg az anyagdarabot, a

csomagoknak pedig a kis tárcsáinkat. Folytatva az analógiát, a levegő a fel nem

használható anyagmennyiségnek felel meg. Az alap problémát megfordítva jutunk

tehát a próbatest mennyiségének maximumának kereséséhez, tehát hány darab

próbatestet tudunk kivenni az anyagdarabból. Mivel a genetikus algoritmusok a

globális minimum megtalálására lettek kifejlesztve alapvetően, így gyakorlatilag a

hulladék anyag minimumát kell megtalálni, ami n darab tárcsa árán lehet elérni.

Mivel a próbatestek átmérője nagyobb, mint az irodalmakban említett

leválasztott anyagdarab vastagság, kerüljenek a próbatestek egy-egy szeleten

elhelyezésre. A probléma redukálása egy újabb ismert optimálási problémára

vezet, mégpedig a terítéktervezésre (CSP-Cutting Stock Problem). Ennek lényege,

hogy egy olyan algoritmust kell írni, amely a legjobb teríték tervet adja

eredményül, tehát a legtöbb próbatest gyártható le. Az egyes szeleteknek más-más

mérete van, így gyakorlatilag többször lefuttatva, paramétereket változtatva

határozhatjuk meg próbatest darabszámot. Ez a probléma ismert körpakolási

problémát adja eredményül, amire számos megoldás létezik. További kitétel, hogy

a kivágást végző szerszám egy gömbsüveget választ le. Mivel a gömbsüveg szeletei

a gömb tulajdonságiból fakadóan nem azonos vastagságúak a széleken illetve a

középfelületen, így a körből egy négyszöget kell kialakítani. Tehát egy négyszög

17

alapú hasábunk van. A négyszögbe kell tehát a legtöbb kört tenni. A 13. ábra egy

lehetséges megoldást mutat be, ahol az egységnégyzetbe 10 kört írunk be.

Az optimális pakolások n=30 darabszámig ismertek. 2-16 között

matematikai módszerekkel lettek megoldva, e fölött számítógépes modellek

végezték a számítást. Közelítő pontossággal 200 darab körig ismert a probléma

megoldása.

13. ábra A feladat

A képlékeny alakítás területén, mint sávterv ismert a kérdés. Az analitikus

megoldások szerint az optimális pakolások a szabályos háromszögek csúcsaiban

elhelyezett körök adják.

18

Körpakolás

A probléma, hogy van egy adott terület, és abba a lehető legtöbb kört úgy

pakoljuk be, hogy azok ne fedjék egymást. Az európai történelem első

körpakolással kapcsolatos feladat Malfatti (1731-1807) nevéhez fűződik.

Malfatti kérdése, hogy egy adott derékszögű háromszög alapú hasábba,

hogyan lehet három (nem feltétlenül egyenlő átmérőjű) hengert elhelyezni, úgy

hogy a térfogatuk a legnagyobb legyen. A megoldása szerint 3 olyan kör, amelyek

egymást is érintik, és a háromszög oldalait is. A probléma általánosítása

tetszőleges háromszögekre híresült el Malfatti-körök néven (14. ábra).

14. ábra Malfatti körök 15. ábra Bólyai Farkas problémája

A feladattal már Bólyai Farkas (1775-1856) is foglakozott. Ő a körpakolási

sorozat sűrűségét vizsgálta. Tentamen című munkájában 19 kört helyez el egy

szabályos háromszögben. A problémának itt egy gyakorlati kérdés volt az apropója.

A cél, hogy háromszög alapú kertbe úgy telepítsenek fákat, hogy azok egymás

életterét ne csökkentsék (15. ábra) [7], ennek az elrendezésnek a határértéke

π/12.

A körpakolás három dimenzióra általánosított alakja a Kepler-probléma

néven ismeret. Kepler szerint a lapközepes köbös elrendezés a leggazdaságosabb

elrendezési lehetőség, ez 74%-os kihasználtságot ad eredményül, de jelenleg ez

nincsen bizonyítva. Ez anyagtudományban is érdekes kérdés lehet.

19

A feladattal kapcsolatos másik magyar vonatkozás, Lázár Dezső nevéhez

fűződik, aki 1930-ban vetette fel a problémát, sajnos publikálni nem tudta

eredményeit halála miatt.

A körpakolás matematikája

A körpakolás matematikai leírásakor meg kell felelni néhány könnyen

belátható kényszernek. Ilyen kényszer, hogy a négyszögbe pakolt kisebb körök

egymást ne fedjék, illetve, hogy a négyszögbe essenek egészen.

Tehát a feladat, hogy a következő függvényt optimáljuk:

𝜇 𝑥, 𝑦 = 𝑚𝑖𝑛1≤𝑖,𝑗≤𝑛 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 2

+ 𝑦𝑖 − 𝑦𝑗 2

𝑚𝑎𝑥𝜇 𝑥, 𝑦

𝑥, 𝑦 ∈ [0,1]𝑛 , 𝑛 > 1, 𝑛 𝑒𝑔é𝑠𝑧

Az egyenletek az n pont távolságát maximálja az egységnégyzetben. Az x és

az y a pontok koordinátáit írják le. Továbbá a négyzethez viszonyított helyzetet is

leírja a függvény.

16. ábra Körpakolás

A körpakolás ezek szerint megfelel egy-egy pont lerakásának. A pontok

közötti távolságoknak tehát ki kell egyenlítenie a definiált feltéteknek.

A körpakolás sűrűségét a

20

𝑑𝑛 = 𝑛𝑟𝑛2𝜋

összefüggés írja le.

Így a probléma a maximális sűrűség körpakolás megtalálásaként is

felírhatjuk. Ha két körpakolást valamilyen úton (például tükrözés stb.) átvihetjük

egy másikba, akkor azt azonosnak vesszük, így az nem számít új megoldásnak. Ez a

geometriai modellje a feladatnak.

21

A darabszám meghatározása

A feladat tehát, hogy meghatározzuk azt az n darabszámú próbatestet, amit

ki lehet nyerni az anyagdarabból. A korábbiakban már redukálva lett a probléma,

így csak a megoldást mutatjuk be. A megoldáshoz a SciLab ingyenes programot

használtuk, amely a MatLabhoz hasonlóan működik.

Elsőként az y=x2 függvény optimumát kerestem meg, mint példafeladat. A

függvény egy parabola, annak a minimuma pedig jelen esetben 0. 85 lépésben

történt megoldás, azt az alábbi diagram (17. ábra) szemlélteti. A több lépés nem

hozott gyorsabb megoldást is, mivel próbálkozás útján sikerült meghatároznia 10-

nél kevesebb lépésben is. Az eredményeket Excelben ábrázolva kaphatunk egy

görbét is, ami azt mutatja, hogy hány lépésben jutunk el az optimális megoldáshoz.

A programot a kivágás feladatához igazítva jutunk el egy megoldáshoz.

17. ábra Teszt

A SciLab program tartalmaz egy előre definiált genetikus algoritmust, amit

hozzá lehet idomítani a kijelölt feladatunkhoz. Mivel a feladat egy anyag kihozatali

probléma, a képlékenyalakításból megismert összefüggést optimálhatjuk.

-0,00001

0

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

0,00007

0,00008

0,00009

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Érté

k

Iteráció

22

𝛾 =𝑛 ∙ 𝐴𝑝𝑟ó𝑏𝑎𝑡𝑒𝑠𝑡

𝐴ö𝑠𝑠𝑧𝑒𝑠

∙ 100%

Ahol n a próbatestek száma, Apróbatest a próbatest felülete, az Aösszes pedig a

lemez felülete.

Alább látható a program kódja:

function y=f(x, a, b)

y =((sum(x*%pi*16))/(sum(x*%pi*16)*a*b))*100

endfunction

PopSize = 100;

Proba_cross = 0.7;

Proba_mut = 0.1;

NbGen = 10;

NbCouples = 110;

Log = %T;

pressure = 0.05;

ga_params = init_param();

ga_params = add_param(ga_params,"minbound",[-2; -2]);

ga_params = add_param(ga_params,"maxbound",[2; 2]);

ga_params = add_param(ga_params,"dimension",2);

ga_params = add_param(ga_params,"beta",0);

ga_params = add_param(ga_params,"delta",0.1);

ga_params = add_param(ga_params,"init_func",init_ga_default);

ga_params = add_param(ga_params,"crossover_func",crossover_ga_default);

ga_params = add_param(ga_params,"mutation_func",mutation_ga_default);

ga_params = add_param(ga_params,"codage_func",coding_ga_identity);

ga_params = add_param(ga_params,"selection_func",selection_ga_elitist);

ga_params = add_param(ga_params,"nb_couples",NbCouples);

ga_params = add_param(ga_params,"pressure",pressure);

a=16;

b=8;

[pop_opt, fobj_pop_opt, pop_init, fobj_pop_init] = ..

optim_ga(f, PopSize, NbGen, Proba_mut, Proba_cross, Log, ga_params);

disp([min(fobj_pop_opt) mean(fobj_pop_opt) max(fobj_pop_opt)])

[fmin ,k] = min(fobj_pop_opt)

23

xmin = pop_opt(k)

[fmax ,k] = max(fobj_pop_opt)

xmax = pop_opt(k)

Az a és b paraméterek változtatásával lehet a lemez méretét beállítani. A

többi sorban a genetikus algoritmus kezdeti egyedszámát, keresztezési

paramétereket, stb. lehet változtatni.

Ha a=8 és b=8 esetét vesszük, és a próbatest átmérőjét 8 mm-nek vesszük,

akkor algoritmus futásának az eredménye: 1.5625. Ekkor egyetlen próbatest férne

a lemezbe, mint ahogy az várható, de marad fenn hulladék is. Az 1. táblázatban

láthatjuk néhány esetre lefuttatva a számítást.

1. táblázat Eredmények néhány esetre

a b f

8 8 1.5625

8 16 0.78125

8 32 0.390625

24 24 0.173611

A feltételezés, hogy a leválasztott tárcsa legnagyobb szeltét biztosító

téglalap területe 24x24mm. A megoldást az alábbi ábra mutatja a Wolfram Alpha

egy programja szerint. Nyilvánvaló, hogy ennél többet nem lehet bele tenni, de

meg lehet vizsgálni genetikus algoritmussal is.

24

18. ábra Megoldás

A célfüggvény megváltoztatása legyen most a sűrűségfüggvény és a szelet

terület hányadosa. Az algoritmus ebben az esetben 11.45 db kört hoz ki. Jól látszik,

hogy ez nem lehetséges, így további fejlesztés szükséges.

Az algoritmus ebben a formában csak a fedés kényszerét tartalmazza, azaz

két kör nem lehet egymáson, azonban még nem tartalmaz számos másikat, így azt

sem, hogy ne vegye figyelembe a hulladékot. Az internetes fórumok szerint a

SciLab környezet jelen formájában nem alkalmas teljes mértékben a feladat teljes

körű megoldására, így már a továbbfejlesztési lehetőséget is magában rejti a

feladat.

A következő lépés, hogy egy alkalmasabb környezetben egy jól működő

genetikus algoritmust használó körpakoló programot fejlesszünk.

25

Összefoglalás

A dolgozatban, nagyvonalakban bemutattam a genetikus algoritmusokat. Az

anyag mennyisége miatt ez ilyen terjedelemben nem is lehetséges

mélyrehatóbban. Bemutattam néhány példán keresztül, hogy alkalmasak lehetnek

gépészeti tervezési feladatok ellátására, ha jól vannak megfogalmazva az

algoritmusok. Más algoritmusokkal kombinálva a genetikus algoritmusokat, sokkal

jobb megoldásokat nyerhetünk.

Bemutattam a célkitűzés alapjául szolgáló próbatestes vizsgálatot, annak

néhány alkalmazását. Így érthetővé vált a feladat miértje.

A próbatestek kinyerésére megpróbáltam egy algoritmust készíteni

valamilyen sikerrel. Bizonyos határokon belül megfelelő kihozatalt jósol, azonban

egy határ felett ez már nem működik a hulladék mennyisége miatt.

A későbbiekben célom, hogy egy olyan algoritmust fejlesszek ki, amellyel

teljes mértékben le lehet követni a feladatot, illetve a valós eredményt kapjuk

meg, továbbá megadja azt az elrendezést is, amit analitikusan ki lehet találni.

26

Felhasznált irodalom

[1] Genetic Programming – An Introduction: Banzhaf, W., Nordin, P., Robert E. K. ,

Frank D. F. - Morgan Kaufmann Publishers, Inc.

[2] Introduction to Genetic Algorithms: S. N. Sivanandam, S. N. Deepa – Springer,

2008

[3] Numerikus Módszerek, Optimalizálás: Paláncz, B. – Oktatási segédlet, 2011

[4] Determination of Material Properties Using Small Punch Test: Sz., Jónás, Sz.,

Szávai, P., Rózsahegyi, R., Beleznai - XXVII. microCAD, Miskolc

[5] Small Punch vizsgálat alkalmazása mechanikai anyagjellemzők

meghatározására: Jónás Sz.; Szávai Sz.; Rózsahegyi P.; Beleznai R.; Kelenföldi B. -

XVIII. FMTÜ, Kolozsvár

[6] Determination of aged mechanical properties of NPP components using

instrumented hardness testing and other miniature specimen testing techniques:

Lenkey G., Szavai S., Rózsahegyi P., Köves T., Jónás S., Beleznai R. -

INTERNATIONAL CONFERENCE, “STRUCTURAL INTEGRITY and Life of NPP

Equipment”, SIL – 2012, Kyiv, Ukraine, October 2 – 5, 2012

[7] Egybevágó körök pakolásai négyzetekbe: Szeidl Rita Betti , Szakdolgozat, 2011

[8] Optimum design of rolling element bearings using genetic algorithms : B.

Rajeswara Rao, Rajiv Tiwari - Mechanism and Machine Theory 42 (2007) 233–250

[9] Corrigendumto: Optimum profile modifications of spur gears by

meansofgeneticalgorithms - Marco Barbieri, Giorgio Bonori, Francesco Pellicano -

Journal of Sound and Vibration 331 (2012) 4825–4829

27

[10] Design of truss-structures for minimum weight using genetic algorithms :

Kalyanmoy Deb, Surendra Gulati - Finite Elements in Analysis and Design 37 (2001)

447-465