Geodesia - Astronomia de Posicion

8/16/2019 Geodesia - Astronomia de Posicion

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEINGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVILDEPARTAMENTO ACADÉMICO DE VIALIDAD Y GEOMÁTICA

MEJORAMIENTO DE LAS CLASES DE TEORÍA

GRUPO 4 CURSO: Geodesia Satelital

TV217-I

DOCENTES: Ing.

INTEGRANTES:

SECCIÓN:“G”

LIMA – PERÚ2016

INDICE


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2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIE!A CIVILGE"DESIA SATELITAL

¿Qué ! "#G$%!'(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((()

ASTRONOMIA DE POSICIÓN*************(***********((4

LOS MOVIMIENTOS EN LATIERRA**********************4

LA "TACI"N############################..#############.$

LA

TASLACI"N#############################..###########%

LA&CESI"N#################################.#########%

LA ES+ERA TERRESTRE*((************((************((*((,

C""DENADAS

GE"GAFICAS........................................................................................'

LAS C.G. L"NGITUD ( LATITUD###############.#######.#####..#.##.)

TRIGONOMETRIA ES+ERICA*************(************11

DEFINICI"NES*ASICAS##################################.

##11 TIANGUL"

ESFEIC"####################################.#11

TIANGUL"&"LA#####################################.#..12

RELACIONES EN UN TRI-NGULO

ES+.RICO*************(****1)


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+


F,/las 0/ndaentales de ie oden de la tigonoetaes03i4a#########.1+

F,/las de*essel############################.

##########..1+F,/las de *essel aa el ti5ng/lo ola###########..

##############1%

F6ULA DE LAC"TANGENTE##########################.######1%

F6ULA DECAGN"LI#####################################18

+ÓRMULAS +UNDAMENTALES DE SEGUNDO ORDEN DELA TRIGONOMETRÍAES+.RICA************************************((16

+ÓRMULAS DE/ORDA************************((****(16

REGLA DEL PENT-GONO DENEPER**********************1,

RESOLUCIÓN DE TRI-NGULOSES+.RICOS******************(1,

+ORMA DIMENSIONES DE LA TIERRA

¿Qué ! "# G$%!'La geodesia es la ciencia que estudia la forma y dimensiones de la Tierra. Esto incluye ladeterminación del campo gravitatorio externo de la tierra y la superficie del fondo oceánico.Dentro de esta definición, se incluye también la orientación y posición de la tierra en elespacio.

na parte fundamental de la geodesia es la determinación de la posición de puntos sobre lasuperficie terrestre mediante coordenadas !latitud, longitud, altura". La materiali#ación deestos puntos sobre el terreno constituyen las redes geodésicas, conformadas por una serie de

puntos !vértices geodésicos o también se$ales de nivelación", con coordenadas que

configuran la base de la cartograf%a de un pa%s, por lo que también se dice que es &lainfraestructura de las infraestructuras&.


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$


Los fundamentos f%sicos y matemáticos necesarios para su obtención, sit'an a la geodesiacomo una ciencia básica para otras disciplinas, como la topograf%a, fotogrametr%a,cartograf%a, ingenier%a civil, navegación, sistemas de información geográfica, sin olvidar otros tipos de fines como los militares.

Desde el punto de vista del ob(etivo de estudio, se puede establecer una división de lageodesia en diferentes especialidades, aunque cualquier traba(o geodésico requiere laintervención de varias de estas subdivisiones)

• Geodesia geométrica: determinación de la forma y dimensiones de la Tierra en suaspecto geométrico, lo cual incluye fundamentalmente la determinación decoordenadas de puntos en su superficie.

• Geodesia física: estudio del campo gravitatorio de la Tierra y sus variaciones,mareas !oceánicas y terrestres" y su relación con el concepto de altitud.

• Astronomía geodésica: determinación de coordenadas en la superficie terrestre a

partir de mediciones a los astros.• Geodesia espacial: determinación de coordenadas a partir de mediciones efectuadas

a satélites artificiales !*+, -L/, L0, D10/" y relación con la definición desistemas de referencia.

• Microgeodesia: medida de deformaciones en estructuras de obra civil o peque$asextensiones de terreno mediante técnicas geodésicas de alta precisión.

20EL/3/+40E

ASTRONOMIA DE POSIION

La astronom%a de posición es la parte de de esta ciencia que se encarga de medir y estudiar la posición, parala(es y el movimiento propio de los astros. Es una disciplina muy antigua,tanto como la astronom%a.

4 pesar de que casi son sinónimos, se considera como la parte experimental o técnica que permite medir la posición de los astros y los instrumentos que la 5acen posible, mientras quela 4stronom%a de posición usa la posición de los astros para elaborar un modelo de sumovimiento o definir los conceptos que se usan. er%a pues la parte teórica. e 5anenglobado las dos partes en la misma categor%a. Esta parte de la astronom%a sigue vigente

porque la teor%a forma parte de los rudimentos de la ciencia, mientras que la práctica intenta

medir con la máxima precisión posible la posición de los astros usando medios modernoscomo el satélite 6ipparcos.


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La astronom%a de posición tiene pues por ob(eto situar en la esfera celeste la posición de losastros midiendo determinados ángulos respecto a unos planos fundamentales.

u cometido es definir los distintos tipos de coordenadas astronómicas y sus relaciones.También se encarga de definir conceptos fundamentales de la astronom%a.

Describe el movimiento de los astros, planetas, satélites y fenómenos como los eclipses ytránsitos de los planetas por el disco del ol. También estudia el movimiento diurno y elanual del ol y las estrellas. on tareas fundamentales de la misma la determinación de la5ora y la determinación para la navegación de las coordenadas geográficas.

!OS MO"IMIENTOS EN !A TIERRA

!A ROTAI#N

La Tierra, como los demás cuerpos celestes, no se encuentra en reposo, sino que está su(eta amás de die# movimientos. En este curso sólo vamos a estudiar los cuatro más importantes.

La rotación.7 La Tierra cada 89 5oras, exactamente cada 8: 5 ;< minutos, da una vueltacompleta alrededor de un e(e ideal que pasa por los polos, en dirección 1este7Este, ensentido directo !contrario al de las agu(as del relo(", produciendo la impresión de que es elcielo el que gira alrededor de nuestro planeta. 4 este movimiento, denominado rotación, sedebe la sucesión de d%as y noc5es, siendo de d%a el tiempo en que nuestro 5ori#onte apareceiluminado por el ol, y de noc5e cuando el 5ori#onte permanece oculto a los rayos solares.La mitad del globo terrestre quedará iluminada, en dic5a mitad es de d%a mientras que en el

lado oscuro es de noc5e. En su movimiento de rotación, los distintos continentes pasan deld%a a la noc5e y de la noc5e al d%a.

!A TRAS!AI#N

El movimiento de traslación es un important%simo movimiento de la Tierra, por el cualnuestro globo se mueve alrededor del ol impulsado por la gravitación, y en un tiempo de:.


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8


Bomo resultado de ese largu%simo camino, la Tierra marc5a por el espacio a la velocidad de8>,; @ilómetros por segundo, recorriendo en una 5ora A?


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7


requieren constantes correcciones de dic5as coordenadas celestes para un a$o en concreto.4ctualmente el patrón está establecido para el comien#o del a$o 8???.

:" El lento pero continuo desli#amiento que tiene lugar entre las constelaciones y los signos#odiacales, que vinculados a las estaciones siguen a la Tierra en su movimiento. 3ientras

que a5ora, durante las noc5es invernales, observamos algunas constelaciones como Tauro y*éminis, el ol se encuentra en las constelaciones estivales como Escorpio y agitario.ien, dentro de A:.??? a$os en las noc5es de invierno se observarán a Escorpio y agitariomientras que el ol se encontrará en las constelaciones como Tauro y *éminis,constelaciones que se 5abrán convertido en estivales. -eamos un dibu(o de este movimiento.

6ay un segundo fenómeno que se superpone con la precesión, es la n$taci%n, un peque$omovimiento de vaivén del e(e de la Tierra. Bomo la Tierra no es esférica, sino ac5atada por los polos, la atracción de la Luna sobre el abultamiento ecuatorial de la Tierra provoca elfenómeno de nutación. 2ara 5acernos una idea de este movimiento, imaginemos que,mientras el e(e de rotación describe el movimiento cónico de precesión, recorre a su ve# una

peque$a elipse o bucle en un periodo de AC,< a$os, y en una vuelta completa de precesión!8;.=


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'


!A ES&ERA TERRESTRE

Bomo los diámetros ecuatorial y polar son casi iguales, para resolver numerosos problemasde astronom%a y navegación, se supone que la Tierra es una esfera denominada esferaterrestre.

Las coordenadas geográficas.7 on aquellas coordenadas que indican la posición delobservador en la superficie terrestre. Estas coordenadas tienen gran importancia ennavegación, ya que uno de los problemas fundamentales es obtener la situación, por e(emplo, de un observador o de un barco.

4ntes de explicar estas coordenadas vamos a definir los puntos y l%neas de nuestra esferaterrestre)

A.E(e y polos) la Tierra gira alrededor de un e(e denominado E(e de la Tierra, o E(e del3undo, o L%nea de los 2olos. 4 los extremos de este e(e se llaman 2olo +orte !2+" y 2olour !2".

8.Ecuador) es el c%rculo máximo normal al E(e de la Tierra. Los polos están separados >?del Ecuador. El Ecuador divide a la Tierra en dos semiesferas o 5emisferios, llamados6emisferio +orte y 6emisferio ur, seg'n el 2olo que tienen en su centro.

:.2aralelos) son los c%rculos menores paralelos al EcuadorF 5ay infinitos paralelos perotienen nombre especial los siguientes)

7Trópico de Báncer) paralelo del 6emisferio +orte separado del Ecuador 8: 8=.

7Trópico de Bapricornio) paralelo simétrico al 2aralelo de Báncer en el 6emisferio ur, por tanto también separado del Ecuador a 8: 8=.

7B%rculo 2olar Grtico) 2aralelo que se encuentra separado del 2olo +orte 8: 8=.


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)


7B%rculo 2olar 4ntártico) paralelo que está separado del 2olo ur 8: 8=.

La Tierra queda dividida por estos paralelos en cinco #onas que reciben diferentes nombresque veremos en la siguiente unidad didáctica.

!AS OORDENADAS GEOGR'&IAS

Bontinuamos 5ablando de las coordenadas geográficas y en concreto de las #onas en las quequeda dividida la Tierra por los c%rculos de los paralelos.

7na #ona tórrida) es la #ona comprendida entre los paralelos de latitud 8: 8= +orte y 8:8= ur y que coincide con la máxima y m%nima declinación del ol, y por tanto, este astroalcan#a grandes alturas en esta #ona llegando a culminar en el cenit dos veces al a$o. 2or ello, los rayos solares inciden casi normalmente sobre dic5a #ona y es la más calurosa.

7Dos #onas templadas) son las que están limitadas por los trópicos y los c%rculos polares.4ll%, los rayos solares inciden más oblicuamente, nunca culmina el ol en el cenit y alaumentar la latitud el ol alcan#a menos altura y, por tanto, la temperatura en esta #ona esmenos elevada que en la anterior.

7 Las #onas glaciares) son las extremas comprendidas entre los c%rculos polares y los polos.4ll%, los rayos del ol inciden muy oblicuamente, calentando poco. En estas #onas los d%as ylas noc5es tienen mayores duraciones, tanto mayor cuanto mayor es la latitud, 5asta llegar alos polos en que la noc5e y el d%a tienen una duración de seis meses, aunque existen loscrep'sculos que duran unos dos meses, nos referimos al ol de 3edianoc5e.

9.3eridianos) son los c%rculos máximos que pasan por los polos.Entre los infinitos meridianos se distinguen especialmente el 3eridiano del lugar, que pasa

por un punto donde se encuentra el observador. uponiendo que el observador está en el1este el meridiano es el 2n1ps2n.

Los polos dividen a este meridiano en dos partes, la mitad que pasa por el observador !2n12s" se llama meridiano superior, a la otra mitad se la denomina meridiano inferior. Engeneral, cuando 5ablamos sólo de meridiano nos referimos al meridiano superior.

2rimer meridiano) Es el meridiano que se toma como origen para medir las longitudesFactualmente es el 3eridiano de *reenHic5, llamado as% por pasar por el observatorio de esaciudad inglesa. 2or lo tanto, es lo mismo 5ablar de primer meridiano que de meridiano de*reenHic5. El meridiano de *reenHic5 también se divide en meridiano superior !2n*2s" ymeridiano inferior que es la parte opuesta.


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!AS OORDENADAS GEOGR'&IAS !ATIT(D ) !ONGIT(D

Explicados estos c%rculos máximos podemos estudiar las coordenadas geográficas oterrestres &latitud& y &longitud&.

Latitud) es el arco de meridiano contado desde el Ecuador al punto donde se encuentra elobservador. e representa por la letra f o por l. La latitud siempre es menor de >? y se llamalatitud +orte cuando el observador o el lugar se encuentran en el 6emisferio +orte y sellama latitud ur cuando está en el 6emisferio ur. En los cálculos a las latitudes +orte se


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les da signo positivo y a las latitudes ur signo negativo. Los puntos que se encuentran en lamisma latitud se encuentran en el mismo paralelo.

Bolatitud) se llama as% al complemento de la latitud !cI >? 7 f", por tanto, es el arco demeridiano comprendido entre el observador y el polo del mismo nombre que la latitud.

Longitud) es el arco de Ecuador contado desde el meridiano superior de *reenHic5 5asta elmeridiano superior del lugar. e cuenta menos de AC?, llamándose longitud 1este !J"

cuando, vista desde fuera de la Tierra y el 2olo +orte arriba, el lugar queda a la i#quierda delmeridiano superior de *reenHic5 y longitud Este !E" cuando, en estas condiciones, el lugar queda a la derec5a del meridiano superior de *reenHic5. 2odemos decir que los paralelosson los lugares geométricos de los puntos que tienen la misma latitud y los meridianos sonlos lugares geométricos de los puntos que tienen la misma longitud. e representa por els%mbolo L.

Bonociendo las coordenadas geográficas ! f, L " podemos situar el punto donde nosencontramos en la superficie terrestre. 2ara ello se toma en el Ecuador a partir del meridianosuperior de *reenHic5 un arco igual a la longitud, si está el 2olo +orte arriba, 5acia lai#quierda si es longitud 1este o 5acia la derec5a si es longitud EsteF en caso de tener el 2olosur arriba los sentidos son opuestos. 2or el extremo de dic5o arco tra#amos el meridiano del


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lugar. obre este meridiano del lugar tomamos un arco igual a la latitud, el punto marcadocorresponde a las coordenadas conocidas.

T0/*1+13ET0/4 EKE0/B4D&3&$! 5!&3#!:

Esfera:

El lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan una distancia !quellamaremos radio" de un punto llamado centro. 6ay que 5acer notar que aunque laesfera es un volumen tridimensional finito en el espacio euclidiano su superficie esuna superficie bidimensional ilimitada. obre esta superficie podemos definir una

geometr%a, la cual llamaremos geometría esférica, que difiere en varios puntos de lageometr%a euclidiana.

írc$lo m*+imo:

Es la intersección de un plano que pasa por el centro y la esfera. Este c%rculo máximodivide a la esfera en dos 5emisferios. Bualquier plano que no pase por el centro de laesfera la interseca en un círculo menor .

Polos de $n círc$lo m*+imo:

!1 simplemente polos" on los extremos del diámetro de la esfera perpendicular a

ese c%rculo máximo.Bon estas definiciones podemos entonces definir la distancia esférica entre dos puntoscomo la medida sobre el c%rculo máximo que los une, entendiendo por distancia el arco máscorto que los une. Esta distancia se 5ará en medidas angulares ! i.e. radianes o gradossexagesimales". 2or la propia definición la distancia de un polo a un punto cualquiera de suc%rculo máximo es siempre igual a un cuadrante ! ".

TRI-NGULO ES+.RICO


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1+


El tri*ng$lo esférico es la porción de superficie esférica limitada por tres c%rculos máximos,con la condición de que cada uno de los arcos que limita la figura es menor que unasemicircunferencia. Los vértices de este triángulo se suelen denotar por letras may'sculas ysus lados opuestos por la letra min'scula correspondiente.

Los ángulos se definen a partir del diedro definido por los lados y el centro de la esfera,mientras que los lados se corresponden a los ángulos interiores. Tanto ángulos como radiosson, por tanto, medidas angulares.

TRI'NG(!O PO!AR Dado un triángulo esférico decimos que es triángulo polar del primero sicumple)

• Bada vértice de es polo de su lado correspondiente , o .

• Los vértices correspondientes de y están en el mismo 5emisferio.

Proposici%n , Si es triángulo polar de , entonces es triángulo polar de .

2ara demostrar esto !lo 5aremos sólo para un ángulo y su lado correspondiente" tenemos quever que es polo de y que y están en el mismo 5emisferio. La segunda parte es

trivial. 2ara la primera parte demostraremos que y .

Bomo es polo de tenemos la distancia ! ". 2rocedemos

análogamente para . 2or lo tanto y es polo de .

Proposici%n - Si es triángulo polar de entonces:

• Los vértices de uno son suplementarios de los lados del otro ! ",

! "

• Los lados de uno son suplementarios de los vértices del otro ! ",

! "

Bomo es polo de y y son arcos de c%rculos máximos entonces . Es

obvio además que) y .


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1$


Bomo es polo de entonces . 4nálogamente . umando lasexpresiones obtenemos)

RE!AIONES EN (N TRI'NG(!O ES&.RIOEntre los lados:

El lado de un triángulo esférico es siempre menor que la suma de los otros dos y

mayor que su diferencia ! ".La suma de los tres lados de un triángulo esférico es siempre menor que cuatro rectos! ".

Entre los *ng$los:

la suma de los tres ángulos de un triángulo esférico es mayor que dos rectos y menor

que seis ! ".

Entre *ng$los / lados:

i un triángulo esférico tiene dos lados iguales sus lados opuestos también lo son! ".i un triángulo esférico tiene dos lados desiguales a mayor ángulo se opone mayor

lado ! ".

RM(!AS &(NDAMENTA!ES DE PRIMER ORDEN DE !ATRIGONOMETR0A ES&.RIA0esolver un triángulo esférico es calcular tres elementos del mismo una ve# que se conocenlos otros tres. 2ara ello emplearemos las fórmulas fundamentales de la trigonometr%aesférica. Las de primer orden nos relacionan los ángulos y lados enteros a través de susfunciones trigonométricas. Las de segundo orden relacionan los semielementos de lostriángulos esféricos a través de esas mismas funciones.

&%rm$las de 1essel2ara encontrar las relaciones entre lados y ángulos del triángulo esférico partimos de un

sistema de coordenadas rectangulares.


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1%


+&u7# ): Ded/44i,n de las ela4iones ente lados : 5ng/los

El punto dista del origen una unidad y tiene coordenadas . 2or inspecciónde la figura :!a" vemos que estas coordenadas se pueden expresar mediante)

;1<

=/e es/lta se lo iso >/e /n 4a?io a 4oodenadas es03i4as.

i a5ora 5acemos un giro en torno al e(e de amplitud !figura :!b"" vemos que el

punto sigue distando una unidad del origen, pero sus coordenadas esféricasson a5ora)

;2<

2ero, como 5icimos una rotación en torno a un e(e fi(o, las expresiones !A" y !8" estánrelacionadas mediante una matri# de giro)

;+


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Esta expresión matricial parece darnos las relaciones entre los ángulos y los lados de untriángulo esférico, pero esto es cierto siempre y cuando la nomenclatura de los ángulos enlas figuras :!a" y :!b" sean consecuentes con un triángulo esférico. e puede ver que estanomenclatura coincide con la realidad en la figura :!c". 2or tanto, podemos 5acer cuentas enesa expresión matricial y encontrar unas fórmulas relacionando ángulos y lados del triánguloesférico)

;$<

;%<

;8<

Estas tres fórmulas son totalmente generales y se pueden obtener para otros ángulosmediante permutaciones c%clicas de los ángulos.

La primera fórmula de essel también recibe el nombre de teorema del coseno. La segundafórmula de essel se conoce como teorema del seno.

RM(!AS DE 1ESSE! PARA E! TRI'NG(!O PO!AR -eamos a5ora lo que ocurre cuando aplicamos estas fórmulas al triángulo polar. i dostriángulos son polares la proposición 8 nos dice que sus ángulos y lados correspondientes

son suplementarios, por tantoy . 4nálogamente y .

4plicando estas relaciones a la ecuación !9" obtenemos la relación

, pero si esto es válido para el triángulo polar también será válido, en general, para cualquier triángulo, de modo que)

;7<

4plicándolo a la ecuación !


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+ÓRMULA DE LA COTANGENTEEsta fórmula se obtiene dividiendo la ecuación !


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1'


;12

<

Las otras cuatro expresiones se obtienen permutando los elementos.

Tri*ng$los esféricos sing$laresExisten dos clases de triángulos que poseen una caracter%stica especial que ayuda a que loscálculos se simplifiquen notablemente, estos dos triángulos son)

Tri*ng$los rect*ng$los:

aquellos triángulos en los que uno de sus ángulos vale .

Tri*ng$los rectil*teros:

aquellos triángulos en los que uno de sus lados vale .

ue las fórmulas se simplifican de un modo amplio es obvio, pongamos un e(emplo) si

tomamos la primera fórmula de essel !ecuación !9""y tenemos un triángulo rectángulo en el cual la fórmula se simplifica

a .

REG!A DE! PENT'GONO DE NEPER Esta es una regla mnemotécnica para la resolución de triángulos esféricos. upongamos quetenemos un triángulo rectángulo con o un triángulo rectilátero con . Enese caso podemos constru%r un pentágono tal y como se indica en la figura 9.

&ig$ra 2: 0egla de los pentágonos de +eper

http://www.lawebdefisica.com/apuntsfis/astronomia/#eq:1besselhttp://www.lawebdefisica.com/apuntsfis/astronomia/#im:pentagonoshttp://www.lawebdefisica.com/apuntsfis/astronomia/#im:pentagonoshttp://www.lawebdefisica.com/apuntsfis/astronomia/#eq:1besselhttp://www.lawebdefisica.com/apuntsfis/astronomia/#im:pentagonos


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La regla del pentágono de +eper dice que el coseno de un elemento situado en un vértice esigual al producto de las cotangentes de los elementos situados en los vértices continuos eigual al producto de los senos de los elementos situados en vértices opuestos.

2or e(emplo, en el caso de un triángulo rectángulo tenemos

que .

RESO!(I#N DE TRI'NG(!OS ES&.RIOSBomo ya se di(o, resolver un triángulo esférico es, dados tres datos, calcular los otros tres.Existen métodos generales que sólo emplean las fórmulas de essel para cumplir esteob(etivo, aunque usar cualquiera de las otras fórmulas o analog%as es igualmente válido.

6ay que 5acer notar que los ángulos y lados de los triángulos esféricos se definen entrey , con lo que a la 5ora de resolverlos empleando arco7cosenos y arco7tangentes no se

nos presenta ninguna ambigMedad, pero a la 5ora de emplear arco7senos no sabemos si elángulo o lado están en el primer cuadrante o en el segundo.

ea pues un triángulo esférico de ángulos , y y lados , y F veamos cómo seresuelve en función de los datos conocidos)

onocidos 3 / : e calcula el lado con la primera fórmula de essel para y,a5ora que conocemos los tres lados, calculamos los otros dos ángulos con la primerafórmula de essel para y .

onocidos 3 / : En este caso la solución no es 'nica. Empleando la segunda fórmulade essel para los datos conocidos obtenemos el valor , que nos da dos soluciones parael ángulo . 45ora 5acemos dos veces !una para cada valor de " un sistema deecuaciones con la primera fórmula de essel para y y obtenemos los dos valorescorrespondientes de . 2or 'ltimo, aplicamos para cada valor de la primera fórmula deessel y obtenemos los dos valores del ángulo que falta.

onocidos 3 / : 4plicamos la primera fórmula de essel para el triángulo polar para y, una ve# que obtenemos el ángulo que nos faltaba por conocer, volvemos aaplicar la primera fórmula de bessel para el triángulo polar para y .

onocidos 3 / : De nuevo la solución no es 'nica. tili#ando la segunda fórmula deessel obtenemos los dos valores posibles de . Traba(ando análogamente al segundo caso,usamos dos sistemas !uno para cada valor de " entre las primeras fórmulas de essel parael triángulo polar para y y tenemos los dos valores de . 2or 'ltimo, con la

primera fórmula de essel para el triángulo polar para obtenemos el correspondientevalor .

onocidos 3 / : En este caso empleamos la primera fórmula de essel para calcular los tres ángulos.

onocidos 3 / : En este caso empleamos la primera fórmula de essel para calcular los tres lados.

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