Geometr¶‡a Proyectiva del Plano - dea.unsj.edu.ardea.unsj.edu.ar/imagenes/recursos/geo.pdf · 2 CAP¶ITULO 1. GEOMETR ¶IA PROYECTIVA DEL PLANO de vectores bajo esta relaci¶on

Capıtulo 1

Geometrıa Proyectiva del Plano

1.1 El plano proyectivo 2D

Un punto en el plano se puede representar por el par de coordenadas (x, y) en IR2. Ası, es comunidentificar el plano con IR2. Considerando a IR2 como un espacio vectorial, el par de coordenadas(x, y) es un vector – un punto es identificado como un vector. En esta seccion se introducira lanotacion de coordenadas homogeneas para puntos y lıneas sobre un plano.

Vectores filas y Columnas

En secciones posteriores consideraremos los mapeos lineales entre espacios vectoriales, y repre-sentaremos tales mapeos como matrices. Se sabe que el producto de una matriz por un vector esotro vector, la imagen bajo el mapeo. Esto hace la distincion entre vectores filas y vectores columna,ya que una matriz puede ser multiplicada a la derecha por un vector columna y a la izquierda porun vector fila. Las entidades geometricas seran representadas por vectores columna. Un sımboloen negrita como por ejemplo x, siempre representara un vector columna, y su traspuesta un vectorfila, x>. De acuerdo con esta convencion, un punto en el plano sera representado por el vectorcolumna (x, y)>, en lugar de su traspuesto, el vector fila (x, y). Si se escribe x = (x, y)>, amboslados de esta ecuacion representan vectores fila.

1.1.1 Puntos y Lıneas

Representacion homogenea de lıneas

Una lınea en el plano se representa por la ecuacion ax + by + c = 0, valores diferentes de a, b yc dan diferentes lıneas. Ası, una lınea puede representarse por el vector columna (a, b, c)>. Lacorrespondencia entre lıneas y vectores (a, b, c)> no es uno a uno, pues las lıneas ax + by + c = 0y (ka)x + (kb)y + (kc) = 0 son las mismas para toda constante k 6= 0. En efecto, dos vectoresrelacionados entre sı por un factor de escala son considerados equivalentes. Una clase de equivalencia

1

2 CAPITULO 1. GEOMETRIA PROYECTIVA DEL PLANO

de vectores bajo esta relacion de equivalencia se conoce como vector homogeneo. El conjunto declases de equivalencia de vectores en IR3− (0, 0, 0)> forman el Espacio Proyectivo IP 2. La notacion−(0, 0, 0)> indica que el vector 0, el cual no corresponde a una lınea esta excluido.

Representacion homogenea de puntos

Un punto x = (x, y)> pertenece a la lınea l = (a, b, c)> si y solo si ax+ by + c = 0. Esta ecuacion sepuede escribir utilizando el producto interno (producto escalar) de vectores como (x, y, 1)(a, b, c)> =(x, y, 1)l = 0; el vector (x, y, 1)> es el punto (x, y)> en IR2 representado como un vector de 3componentes. Note que para cualquier constante k 6= 0 y lınea l la ecuacion (kx, ky, k)l = 0 si ysolo si (x, y, 1)l = 0. Es natural, por lo tanto, considerar el conjunto de vectores (kx, ky, k)> paradistintos valores de k como que representan el mismo punto (x, y)> en IR2. De esta manera, aligual que con las lıneas, los puntos se representan por vectores homogeneos. Un vector homogeneoarbitrario, representativo de un punto tiene la forma x = (x1, x2, x3)>, que representa el punto(x1/x3, x2/x3)> en IR2. Los puntos considerados como vectores homogeneos son tambien elementosde IP 2.

Resultado 1.1.1 Un punto x pertenece a la lınea l si y solo si

x>l = 0. (1.1)

Note que la expresion x>l es el producto escalar de los vectores x y l respectivamente. El productoescalar x>l = l>x =< x, l >. En general la expresion l>x sera la preferida. Se debe distinguir entrelas coordenadas homogeneas x = (x1, x2, x3)> de un punto, el cual es un vector de 3 coordenadasy la representacion en coordenadas inhomogeneas (x, y)> del mismo punto, el cual es un vector de2 coordenadas.

Grados de libertad (dof)

Es claro que para especificar un punto se necesitan dos valores, llamados la coordenada x y lacoordenada y. De manera analoga una lınea queda determinada por dos parametros (las dosrelaciones independientes a : b : c) y ası posee dos grados de libertad.

Interseccion de lıneas

Dadas dos lıneas l = (a, b, c)> y l′ = (a′, b′, c′)> se desea encontrar el punto de interseccion. Delalgebra vectorial se sabe que el producto cruz de dos vectores produce un vector que es perpendiculara ellos. Tambien se sabe que el producto punto entre dos vectores perpendiculares es igual a cero.Por lo tanto se puede afirmar que l>(l × l′) = l′>(l × l′) = 0. Si se define el punto x como l × l′

obtenemos la representacion homogenea que satisface las ecuaciones l>x = 0 y l′>x = 0, lo quequiere decir que el punto x es la interseccion de las rectas ya que pertenece a ellas. Entonces,

1.1. EL PLANO PROYECTIVO 2D 3

Resultado 1.1.2 La interseccion de dos lıneas l y l′ es el punto

x = l× l′. (1.2)

Ejemplo 1.1.3 Considere el problema de determinar la interseccion de las lıneas x = 1 e y = 1.La lınea x = 1 es equivalente a −x + 1 = 0, y tiene una representacion homogenea dada porl = (−1, 0, 1)>. La lınea y = 1 es equivalente a −y + 1 = 0, y tiene una representacion homogeneadada por l′ = (0,−1, 1)>. De lo expresado anteriormente el punto de interseccion es,

x = l× l′ =

∣∣∣∣∣∣

i j k−1 0 10 −1 1

∣∣∣∣∣∣=

111

el cual es el punto inhomogeneo (1, 1)>.

Lınea que pasa por dos puntos

Se puede obtener una expresion para la lınea que pasa por dos puntos utilizando un razonamientosimilar al utilizado en el parrafo anterior. Definiendo una lınea l como

l = x× x′, (1.3)

se puede verificar que ambos puntos pertenecen a la lınea l ası definida.

1.1.2 Puntos Ideales y la Lınea en el infinito

Interseccion de lıneas paralelas

Considere dos lıneas paralelas ax+by+c = 0 y ax+by+c′ = 0. Estas dos lıneas estan representadaspor los vectores homogeneos l = (a, b, c)> y l′ = (a, b, c′)>. Calculando la interseccion de estas doslıneas segun el razonamiento aplicado anteriormente (resultado 1.1.2) se obtiene l × l′ = (c′ −c)(b,−a, 0)>, ignorando el factor de escala (c′ − c), obtenemos el punto (b,−a, 0)>. Ahora, si seintenta obtener la representacion inhomogenea de este punto, se consigue (b/0,−a/0)>, lo cual notiene sentido, excepto sugerir que el punto de interseccion posee coordenadas infinitamente grandes.En general, los puntos con coordenadas homogeneas (x, y, 0)> no corresponden a algun punto finitode IR2. Esta observacion esta de acuerdo con la idea usual que lıneas paralelas se encuentran en elinfinito.

Ejemplo 1.1.4 Considere las dos lıneas x = 1 y x = 2. Aquı, las dos lıneas son paralelas, ypor lo tanto se intersectan en el infinito. En notacion homgenea las lıneas son l = (−1, 0, 1)>,l′ = (−1, 0, 2)>, y del resultado 1.1.2 su punto de interseccin es,


x = l× l′ =

∣∣∣∣∣∣

i j k−1 0 1−1 0 2

∣∣∣∣∣∣=

010

el cual es el punto en el infinito en la direccion del eje y.

Los vectores homogeneos x = (x1, x2, x3)> tales que x3 6= 0 corresponden a puntos finitos en IR2.Podemos aumentar este espacio vectorial agregando los puntos cuya ultima coordenada x3 = 0.El espacio resultante es el conjunto de todos los vectores homogeneos de 3 coordenadas, llamadoel espacio proyectivo IP 2. Los puntos con la ultima coordenada x3 = 0 se conocen como puntosideales, o puntos en el infinito. El conjunto de todos los puntos ideales se puede escribir en formagenerica como (x1, x2, 0)>, con un punto particular especificado por la relacion x1 : x2. Note queeste conjunto yace sobre una unica lınea, la lınea en el infinito, denotada por el vector homogeneol∞ = (0, 0, 1)>.

Utilizando el resultado anterior se puede encontrar que la lınea l = (a, b, c)> intersecta a l∞ en elpunto ideal (b,−a, 0)>. Una lınea l′ = (a, b, c′)> paralela a l intersecta a l∞ en el mismo punto ideal,independientemente del valor de c′. En coordenadas inhomogeneas (b,−a)> es el vector tangente ala lınea, y ortogonal a la lınea normal (a, b)>, y ası representa la direccion de la lınea. Si la direccionde la lınea cambia, tambien cambia el punto ideal sobre la lınea l∞. Por esta razon, la lınea en elinfinito se puede considerar como el conjunto de las direcciones de las lıneas del plano. Note comoel concepto de puntos en el infinito sirve para simplificar las propiedades de interseccion de puntos ylıneas. En el plano proyectivo IP 2, se puede decir que 2 lıneas se intersectan en un punto y que dospuntos distintos pertenecen a una unica lınea. Esto no es cierto en la geometrıa Euclıdea estandarde IR2, en la cual las lıneas paralelas forman un caso especial. El estudio de la geomtrıa de IP 2 seconoce como geometrıa proyectiva. En un estudio puramente geometrico libre de coordenadas dela geometrıa proyectiva, no se hacen distinciones entre puntos del infinito y puntos ordinarios.

Un modelo para el plano proyectivo

Una forma util de pensar a IP 2 es como un conjunto de rayos en IR3. El conjunto de todos losvectores k(x1, x2, x3)>, conforme k varıa forma un rayo a traves del origen. Este rayo se puedepensar como que representa un unico punto en IP 2. En este modelo, las lıneas en IP 2 son planos quepasan por el origen. Se puede verificar que dos rayos no identicos yacen exactamente sobre un plano,y que cualesquiera de dos planos se intersectan en un rayo. Esto es analogo a dos puntos distintosdefinen unıvocamente a una lınea, y dos lıneas siempre se intersectan en un punto. Los puntos y laslıneas se pueden obtener intersectando este conjunto de rayos y planos con el plano x3 = 1. Comose ilustra en la figura 1.1, los rayos representando puntos ideales y el plano representando a l∞ sonparalelos al plano x3 = 1.

Dualidad

El rol de puntos y lıneas puede intercambiarse en lo que concierne a las propiedades de los mismos.En particular, la ecuacion de incidencia basica l>x = 0 para puntos y lıneas es simetrica, debido


π

l

xO

x 1

x

x 3

2

idealpoint

Figura 1.1: Un modelo del plano proyectivo. Los puntos y las lıneas de IP 2 son representados porrayos y planos, a traves del origen de IR3. Las lıneas que yacen en el plano x1x2 representan puntosideales, y el plano x1x2 representa l∞.

a que l>x = 0 implica que x>l = 0. Es decir, para una lınea fija l, los distintos vectores x quesatisfagan la ecuacion anterior son todos los puntos que pertenecen a la misma, del mismo modopara un punto fijo x, los distintos vectores l son el conjunto de lıneas que se interectan en x.

Similarmente, las ecuaciones 1.2 y 1.3 representan la interseccion de dos lıneas y la lınea queintersecta dos puntos.

Resultado 1.1.5 Principio de Dualidad. Para cualquier teorema de la geometrıa proyectiva bidi-mensional corresponde un teorema dual, el cual puede obtenerse intercambiando los roles de lospuntos y de las lıneas en el teorema original.

Note que una vez que un teorema sea probado, su dual no necesita probarse. La prueba del teoremadual sera dual a la prueba del teorema original.

1.1.3 Conicas y Conicas Duales

Una conica es una curva descrita por una ecuacion de segundo grado en el plano. En la geometrıaEuclıdea las conicas son de tres tipos: hiperbolas, elipses y parabolas (ademas existen las conicasdegeneradas de las cuales nos ocuparemos posteriormente). Clasicamente, estos tres tipos de conicassurgen como secciones conicas generadas por planos de diferente orientacion intersectando un cono(las conicas degeneradas surgen de planos que contienen el vertice del cono).

La ecuacion de una conica en coordenadas inhomogeneas es


ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1.4)

es decir un polinomio de grado 2. Sustituyendo en la ecuacion 1.4, x 7→ x1/x3, y 7→ x2/x3 seobtiene la ecuacion de la conica en coordenadas homogeneas, es decir,

ax21 + bx1x2 + cx2

2 + dx1x3 + ex2x3 + fx23 = 0 (1.5)

o en forma matricial

x>Cx = 0 (1.6)

donde la matriz de coeficientes de la conica (C) esta dada por,

a b/2 d/2b//2 c e/2d/2 e/2 f

. (1.7)

Note que la matriz de coeficientes de la conica es simetrica. Como en el caso de la representacionde puntos y lıneas en coordenadas homogeneas, solo las relaciones de los elementos de la matriz sonimportantes, debido a que multiplicar C por un escalar distinto de cero no afecta las ecuacionesanteriores. Ası, C es una representacion homogenea de una conica. La conica tiene 5 grados delibertad dados por las relaciones a : b : c : d : e : f o en forma equivalente por los seis elementosde la matriz simetrica menos uno que se puede utilizar como factor de escala.

Cinco puntos definen una conica

Suponga que se desea calcular la conica que pasa a traves de un conjunto xi de puntos. La preguntaque debemos realizar es, cuantos puntos podemos especificar libremente para que la conica quededeterminada unıvocamente? De la ecuacion 1.5 cada punto xi coloca una restriccion sobre loscoeficientes de la conica, ya que si la conica pasa a traves del punto (xi, yi) entonces,

ax2i + bxiyi + cy2

i + dxi + eyi + f = 0.

Se puede escribir esta restriccion como,

(x2

i xiyi y2i xi yi 1

)c = 0

donde c = (a, b, c, d, e, f)> es la conica C representada como un vector de 6 coordenadas. Agru-pando las restricciones para 5 puntos se obtiene,


Figura 1.2: (a) Puntos x satisfaciendo x>Cx = 0 pertenecen a una conica de puntos. (b) Las lıneasl satisfaciendo l>C∗l = 0 son tangentes a la conica de puntos C. La conica C es la envolvente delas lıneas l.

x21 x1y1 y2

1 x1 y1 1x2

2 x2y2 y22 x2 y2 1

x23 x3y3 y2

3 x3 y3 1x2

4 x4y4 y24 x4 y4 1

x25 x5y5 y2

5 x5 y5 1

c = 0 (1.8)

y la conica es el vector nulo de esta matriz de 5x6 elementos.

Lıneas tangentes a conicas

La lınea l tangente a una conica en el punto x tiene una forma particularmente simple en coorde-nadas homogeneas:

Resultado 1.1.6 La lınea l tangente a C en el punto x esta dado por la ecuacion

l = Cx. (1.9)

Prueba: la lınea l = Cx pasa a traves de x, debido a que l>x = x>Cx = 0. Si l posee un puntode contacto con la conica, entonces es una tangente. De otro modo, suponga que l intersecta ala conica en otro punto y. Entonces, x>Cy = l>y = 0. Del razonamiento anterior sigue que(x + αy)>C(x + αy) = 0 para todo α, lo cual significa que la lınea completa que pasa por x y pory pertenece a la conica C, lo que constituye una conica degenerada.


Conicas Duales

La conica C definida en los parrafos anteriores se deberıa llamar en forma apropiada conica depuntos. Dado el principio de dualidad de IP 2 no es sorprendente que exista tambien una conicadefinida por una ecuacion de lıneas. Esta conica dual, tambien se representa por una matriz de 3x3elementos, y denotaremos como C∗. Una lınea l tangente a la conica C satisface la ecuacion

l>C∗l = 0 (1.10)

donde la matriz C∗ es la matriz adjunta de C. Para una matriz simetrica no singular C∗ = C−1.La ecuacion para la conica dual se puede derivar directamente para el caso de que C sea de rangocompleto. En este caso, en un punto x sobre la conica C la tangente es l = Cx. Invirtiendo, seencuentra el punto x en el cual la lınea l es tangente a la conica C, es decir x = C−1l. Debido a queel punto x pertenece a la conica, satisface x>Cx = 0, reemplazando se obtiene, (C−1l)>C(C−1l) =l>C−1l = 0. Estas conicas duales son conocidas tambien como conicas envolventes, la razon esilustrada en la figura 1.2. Una conica dual posee 5 grados de libertad. De manera similar a que 5puntos definen una conica, 5 lıneas en posicion general definen una conica dual.

Conicas degeneradas

Si la matriz C no es de rango completo, entonces la conica se llama degenerada. Las conicas depuntos degeneradas incluyen dos lıneas (rango 2) y una lınea repetida (rango 1).

Ejemplo 1.1.7 La conicaC = lm> + ml>

esta compuesta de dos lıneas l y m. Los puntos sobre l satisfacen l>x = 0, y estan sobre la conicapues x>Cx = (x>l)(m>x) + (x>m)(l>x) = 0. Similarmente, los puntos que satisfacen m>x = 0tambien satisfacen x>Cx = 0. La matriz C es simetrica y tiene rango 2. El vector nulo es x = l×mel cual es el punto de interseccion de l y m.

Las conicas de lıneas degeneradas incluyen dos puntos (rango 2) y un punto repetido (rango 1). Porejemplo, la conica de lıneas C∗ = xy> + yx> tiene rango 2 y consiste de lıneas pasando a travesde alguno de los puntos x e y. Note que para matrices que no son invertibles (C∗)∗ 6= C.

1.2 Transformaciones Proyectivas

Segun Felix Klein [?] la geometrıa es el estudio de las propiedades invariantes bajo grupos de trans-formaciones. Desde este punto de vista, la geometrıa proyectiva 2D es el estudio de las propiedadesdel plano proyectivo IP 2 que son invariantes bajo un grupo de transformaciones conocidas comoproyectividades.

Una proyectividad es un mapeo invertible de puntos en IP 2 a puntos en IP 2 que mapean lıneas enlıneas. Es decir,

1.2. TRANSFORMACIONES PROYECTIVAS 9

O

x yx

ππ/

//

x

x /

y

Figura 1.3: La proyeccion central mapea puntos de un plano a puntos de otro plano.La proyeccion tambien mapea lıneas a lıneas como puede verse considerando un plano a traves delcentro de pryeccion el cual se intersecta con los dos planos π y π′. Debido a que las lıneas sonmapeadas a lıneas, la proyeccion central es una proyectividad y se puede representar por un mapeolineal de coordenadas homogeneas x′ = Hx.

Definicion 1.2.1 Una proyectividad es un mapeo invertible h desde IP 2 a si mismo tal que 3 puntosx1, x2 y x3 pertenecen a la misma lınea si y solo si h(x1), h(x2) y h(x3) tambien pertenecen a lamisma lınea.

Las proyectividades forman un grupo, debido a que la inversa de una proyectividad es tambien unaproyectividad, y tambien lo es una composicion de proyectividades. Una proyectividad es llamadatambien una colineacion, una transformacion proyectiva o una homografıa. Todos estos terminosson sinonimos.

En la definicion 1.2.1, se define una proyectividad en terminos de un concepto geometrico libre decoordenadas de incidencias puntos lıneas. Es posible una definicion algebraica equivalente de unaproyectividad basada en el siguiente teorema,

Teorema 1.2.1 Un mapeo h : IP 2 → IP 2 es una proyectividad si y solo si existe una matriz de3× 3 no singular H tal que para cualquier punto en IP 2 representado por un vector x es cierto queh(x) = Hx.

Para interpretar este teorema, cualquier punto en IP 2 se representa como un vector homogeneode 3 coordenadas, x, y Hx es un mapeo lineal de coordenadas homogeneas. El teorema afirmaque cualquier proyectividad surge como una transformacion lineal en coordenadas homogeneas,e inversamente que cualquier de tal mapeo es una proyectividad. El teorema no sera probado,solo se mostrara que cualquier transformacion lineal invertible de coordenadas homogeneas es unaproyectividad.

Prueba: Sean x1, x2 y x3 3 puntos que pertenecen a una lınea l. Ası, l>xi = 0 para i = 1, · · · , 3.Sea H una matriz de 3× 3 elementos no singular. Se verifica que l>H−1Hxi = 0. De esta manera,


los puntos Hxi pertenecen a la recta H−>l, y se preserva la colinealidad por la transformacion. Loinverso es considerablemente mas difıcil de probar, es decir que cualquier proyectividad se alcanzade esta manera.

Como un resultado de este teorema, se pueden obtener definiciones alternativas de una transfor-macion proyectiva.

Definicion 1.2.2 Transformacion Proyectiva. Una transformacion proyectiva planar es una trans-formacion lineal de vectores homogeneos de 3 coordenadas representada por una matrix no singularde 3× 3 elementos:

x′1x′2x′3

=

h11 h12 h13

h21 h22 h23

h31 h32 h33

x1

x2

x3

, (1.11)

o mas brevemente x′ = Hx.

Note que la matriz H de la ecuacion anterior puede modificarse multiplicandola por un factor deescala distinto de cero, sin alterar la transformacion proyectiva. Consecuentemente, se dice queH es una matriz homogenea, ya que como en la representacion homogenea de un punto, solo larelacion de los elementos de la matriz es significativo. Hay 8 relaciones independientes de los 9elementos de la matriz y por lo tanto una transformacion proyectiva posee 8 grados de libertad.

Una transformacion proyectiva proyecta una figura en una figura proyectivamente equivalente,dejando todas sus propiedades proyectivas invariantes. En el modelo de rayos de la figura 1.1 unatransformacion proyectiva es simplemente una transformacion lineal de IR3.

Mapeo entre planos

Como un ejemplo de aplicacion del teorema 1.2.1, considerese la figura 1.3. La proyeccion a lo largode rayos a traves de un punto comun (el centro de la proyeccion) define un mapeo de un plano aotro. Es evidente que este mapeo punto a punto preserva lıneas, es decir que lıneas en un plano sonmapeadas a lıneas en el otro. Si se define un sistema de coordenadas en cada plano y se expresan lospuntos en coordenadas homogeneas, luego el mapeo de la proyeccion central se puede expresar porla ecuacion x′ = Hx donde H es una matriz de 3× 3 elementos no singular. Realmente, si los dossistemas de coordenadas definidos en los dos planos son Euclıdeos (rectilıneos) entonces el mapeodefinido por la proyeccion central es mas restrictivo que una transformacion proyectiva arbitraria.Esta es llamada una perspectividad y no una proyectividad completa, y se puede representar poruna transformacion con 6 grados de libertad.

Ejemplo 1.2.2 Eliminando la distorsion proyectiva de una imagen en perspectiva de un plano. Laforma se distorsiona bajo perspectiva de imagenes. Por ejemplo, en la figura 1.4a las imagenes delas ventanas no son rectangulares, aunque las originales si lo son. En general, lıneas paralelas en unplano de una escena no son paralelas en la imagen sino que convergen a un punto finito. En parrafos

1.2. TRANSFORMACIONES PROYECTIVAS 11

anteriores se ha visto que la imagen de una proyeccion central de un plano (o seccion de un plano),esta relacionado al plano original a traves de una transformacion proyectiva, y ası la imagen es unadistorsion proyectiva de la original. Es posible deshacer esta transformacion proyectiva calculandola transformacion inversa y aplicarla a la imagen. El resultado sera una nueva imagen sintetizadaen la cual los objetos en el plano seran mostrados con su forma geometrica correcta. Esto serailustrado para el frente del edificio de la figura 1.4a. Note que debido a que el piso y el frente deledificio no estan en el mismo plano, la transformacion proyectiva que se debe aplicar para rectificarel frente no es la misma que la que se debe utilizar para rectificar el piso.

Un metodo para calcular la transformacion se basa en seleccionar una seccion de la imagen corre-spondiente a una seccion plana de la escena original. Los sistemas de coordenadas de la imagen2D y de la escena original se eligen de acuerdo a la figura 1.3. Sean las coordenadas inhomogeneasde un par de puntos correspondientes x y x′ en la escena original y el plano de la imagen (x, y)y (x′, y′) respectivamente. Se utilizan coordenadas inhomogeneas debido a que estas son medidasdirectamente de la imagen y en la escena original. Se puede escribir la transformacion proyectivade la ecuacion 1.11 en la forma inhomogenea como,

x′ = h11x+h12y+h13

h31x+h32y+h33y′ = h21x+h22y+h23

h31x+h32y+h33.

Cada correspondencia de puntos genera 2 ecuaciones para lo elementos de H, los cuales luego demultiplicarlos se obtiene,

x′(h31x + h32y + h33) = h11x + h12y + h13

y′(h31x + h32y + h33) = h21x + h22y + h23

Estas ecuaciones son lineales en los elementos de H. Con cuatro correspondencias de puntos seobtienen 8 ecuaciones las cuales son suficientes para resolver H a menos de un factor de escala. Launica restriccion es que los cuatro puntos deben estar en posicion general, lo cual significa que nopueden haber 3 puntos colineales. Se calcula la transformacion H inversa y se aplica a la imagencompleta para deshacer los efectos de la distorsion proyectiva sobre el plano seleccionado. Losresultados se muestran en la figura 1.4b.

Con respecto a este ejemplo se pueden realizar tres observaciones:

1 El calculo de la transformacion H de esta manera no requiere conocimiento acerca de algunosde los parametros de la camara o de su ubicacion en el plano.

2 No siempre es necesario conocer las coordenadas de 4 puntos en la escena original pararemover la distorsion proyectiva, aproximaciones alternativas requieren menos y diferentetipo de informacion como se vera en la seccion ??.

3 Otros metodos mejores seran tratados en el capıtulo siguiente.

Las transformaciones proyectivas son importantes mapeos representando mas situaciones que lasimagenes de perspectiva de un plano de una escena. En la figura 1.5 se ilustran algunos ejemplos deestas transformaciones. Cada una de estas situaciones se cubriran posteriormente en estos apuntes.


Figura 1.4: Removiendo la distorsion de perspectiva. (a) La imagen original con distorsion deperspectiva – las lıneas de la ventana claramente convergen a un punto finito. (b) Vista ortogonalfrontal sintetizada de la pared del frente. La imagen (a) de la pared esta relacionada por mediode una transformacion proyectiva a la verdadera geometrıa de la pared. La transformacion inversase calcula mapeando las 4 esquinas proyectadas de la ventana a las esquinas de un rectangulo detamano apropiado. Las cuatro correspondencias de puntos determinan la transformacion. Latransformacion es luego aplicada a la imagen completa. Note que las secciones de la imagencorrespondientes al piso estan sujetas a distorsiones proyectivas diferentes. Esto tambien se puederemover por una transformacion proyectiva.

planar surface

image 2image 1

R,t

x

X

x

X

x

ximage 1

image 2/

x

x

Figura 1.5: Ejemplos de una transformacion proyectiva, x′ = Hx en imagenes en per-spectiva. (a) La transformacion proyectiva entre dos imagenes inducida por un plano del mundoreal (la concatenacion de las dos transformaciones proyectivas es una transformacion proyectiva);(b) La transfomacion proyectiva entre dos imagenes con el mismo centro de la camara (por ejem-plo, una camara rotando alrededor de su centro o una camara variando su distancia focal); (c) Latransformacion proyectiva entre la imagen de un plano (la parte de atras del edificio) y la imagende su sombra sobre otro plano (el plano de tierra).

1.3. UNA JERARQUIA DE TRASFORMACIONES 13

1.2.1 Transformaciones de lıneas y conicas

Transformacion de lıneas

Se mostro en la prueba del teorema 1.2.1 que si los puntos xi pertenecen a la lınea l, entonces lospuntos transformados x′i = Hxi bajo una transformacion proyectiva pertenecen a la lınea l′ = H−>l.De esta manera, se preserva la incidencia de puntos sobre lıneas, ya que l′>x′i = l>H−1Hxi = 0.Esto enuncia la regla de transformacion para lıneas: Bajo la transformacion de puntos x′ = Hx,una lınea se transforma como

l′ = H−>l. (1.12)

Se puede escribir alternativamente l′> = l>H−1. Notar la manera fundamentalmente diferenteen el cual las lıneas y puntos son transformados. Los puntos se transforman de acuerdo a H,mientras que las lıneas (como filas) se transforman de acuerdo a H−1. Esto puede explicarse enterminos de comportamiento covariante y contravariante. Se dice que los puntos se transformancovariantemente y que las lıneas lo hacen contravariantemente.

Transformacion de Conicas

Bajo una transformacion de puntos x′ = Hx, la ecuacion 1.6 se convierte en,

x>Cx = x′>[H−1

]CH−1x′ = x′>H−>CH−1x′

la cual es una forma cuadratica x′>C′x′ con C′ = H−>CH−1. Esta ecuacion enuncia la regla detransformacion para una conica:

Resultado 1.2.3 : Bajo una transformacion de puntos x′ = Hx, una conica C se transforma enC′ = H−>CH−1.

La presencia de H−1 en esta ultima ecuacion puede expresarse diciendo que una conica se transformacovariantemente. La regla de transformacion para una conica dual se obtiene de manera similar,que conduce al siguiente resultado.

Resultado 1.2.4 : Bajo una transformacion de puntos x′ = Hx, una conica dual C∗ se trans-forma en C∗′ = HC∗H>.

1.3 Una Jerarquıa de Trasformaciones

En esta seccion se describen las especializaciones importantes de una transformacion proyectivay sus propiedades geometricas. Se mostro en la seccion 1.2 que las transformaciones proyectivas


Figura 1.6: Distorsiones que surgen bajo proyeccion central. Imagenes de un piso de mo-saico. (a) Semejanza: El patron circular es proyectado como un cırculo. Un mosaico cuadradoes proyectado como un cuadrado. Las lıneas que son paralelas u ortogonales tienen la misma ori-entacion relativa en la imagen. (b) Afın: El cırculo es proyectado como una elipse. Las lıneasortogonales del mundo real no son proyectadas como lıneas ortogonales. Sin embargo, los ladosdel mosaico cuadrado, los cuales son paralelos en el mundo real son paralelos en la imagen. (c)Proyectiva: Lıneas paralelas del mundo real son proyectadas como lıneas convergentes. Mosaicosmas cercanos a la camara tienen una imagen mas grande que aquellos que se encuentran mas lejos.

forman un grupo. Este grupo se denomina el Grupo Lineal Proyectivo, y veremos que estas es-pecializaciones son subgrupos de este grupo. El grupo de las matrices invertibles de n × n conelementos reales es el Grupo General Lineal (real) de n dimensiones, o GL(n). Para obtener elgrupo lineal proyectivo se identifican las matrices relacionadas por un multiplicador escalar, dandoel grupo PL(n) (este es un grupo cociente de GL(n)). En el caso de transformaciones proyectivasdel plano n = 3. Los subgrupos importantes de PL(3) incluyen el grupo afın, el cual es el subgrupode PL(3) que consiste de matrices para las cuales la ultima fila es (0, 0, 1), y el grupo Euclıdeo, elcual es un subgrupo del grupo afın para el cual ademas la matriz de 2 × 2 superior izquierda esortogonal. Se podrıa tambien identificar el grupo Euclıdeo orientado en el cual la matriz de 2× 2superior izquierda posee determinante 1.

Se introduciran estas transformaciones comenzando por las mas especializadas, las isometrıas, yprogresivamente generalizandolas hasta que se alcancen las transformaciones proyectivas. Estodefine una Jerarquıa de Transformaciones. Los efectos de distorsion de varias transformacionesen la jerarquıa se muestra en la figura 1.6. Algunas transformaciones de mucho interes no songrupo, por ejemplo, las perspectividades (debido a que la composicion de 2 perspectividades es unaproyectividad, no una perspectividad).

Invariantes

Una alternativa para describir las transformaciones algebraicamente, es decir como una matrizactuando sobre coordenadas de puntos o curvas, es describir la transformacion en terminos deaquellos elementos o cantidades que son preservados o invariantes. Un invariante (escalar) de unaconfiguracion geometrica es una funcion de la configuracion cuyos valores no cambian por una trans-formacion particular. Por ejemplo, la separacion de dos puntos no cambia por una transformacionEuclıdea (traslacion y rotacion), pero no permanece invariante para una semejanza (traslacion,


rotacion y escalado isotropico). La distancia es un invariante Euclıdeo, pero no de semejanza. Losangulos entre dos lıneas son invariantes Euclıdeos y de semejanza.

1.3.1 Clase I: Isometrıas

Las isometrıas son transformaciones del plano IR2 que preservan la distancia Euclıdea (de iso=mismo,metrıa=medida). Una isometrıa esta representada por,

x′

y′

1

=

ε cos θ − sin θ txε sin θ cos θ ty

0 0 1

xy1

,

donde ε = ±1. Si ε = 1 la isometrıa preserva la orientacion y es una transformacion Euclıdea(una composicion de traslaciones y rotaciones). Si ε = −1 la isometrıa invierte la orientacion.Un ejemplo es la composicion de una reflexion, representada por la matriz diag(−1, 1, 1), con unatransformacion Euclıdea. Las transformaciones Euclıdeas modelan el movimiento de un cuerporıgido. Estas son las isometrıas mas importantes desde el punto de vista practico. Sin embargo, lasisometrıas que invierten la orientacion frecuentemente dan lugar a ambiguedades en recuperacionde estructura.

Se puede escribir una transformacion Euclıdea planar mas concisa en forma de bloque como,

x′ = HEx =(

R t0> 1

)x (1.13)

donde R es una matriz de rotacion de 2× 2 (una matriz ortogonal tal que R>R = RR> = I), t unvector de traslacion de dos dimensiones, y 0 un vector nulo de dimension 2. Los casos especialesson una rotacion pura (cuando t = 0) y una traslacion pura (cuando R = I). Una transformacionEuclıdea tambien se conoce como un desplazamiento.

Una transformacion Euclıdea planar posee tres grados de libertad, uno para la rotacion y dos parala traslacion. Por lo tanto se deben especificar tres parametros para definir la transformacion. Estatransformacion se puede calcular desde la correspondencia de dos puntos (4 coordenadas).

Invariantes

Los invariantes son muy utiles, por ejemplo, longitudes (la distancia entre dos puntos), angulos (elangulo entre dos lıneas), y el area.

Grupos y orientacion

Una isometrıa preserva la orientacion si la matriz superior izquierda 2 × 2 tiene determinante 1.Las isometrıas que preservan la orientacion forman un grupo, en cambio las que no preservan la


orientacion no forman grupo. Esta distincion es aplicable tambien al caso de las semejanzas yafinidades.

1.3.2 Clase II: Transformaciones de Semejanza

Una transformacion de semejanza o mas simplemente una similitud es una isometrıa compuestacon un escalado isotropico. En el caso de una transformacion Euclıdea compuesta con un escalado(sin reflexion), la representacion matricial de la semejanza es,

x′

y′

1

=

s cos θ −s sin θ txs sin θ s cos θ ty

0 0 1

xy1

. (1.14)

Esto se puede escribir mas concisamente en forma de bloque como,

x′ = HSx =(

sR t0> 1

)x (1.15)

donde el escalar s representa el escalado isotropico. Una transformacion de semejanza tambien sela conoce como una transformacion de igual-forma, debido a que preserva la forma. Una trans-formacion de semejanza planar posee cuatro grados de libertad, los tres grados de libertad de latransformacion Euclıdea y el escalado. Al igual que una transformacion Euclıdea, la transformacionde semejanza se puede especificar a partir de la correspondencia de dos puntos (4 coordenadas).

Invariantes

Los invariantes se pueden obtener a partir de los invariantes Euclıdeos teniendo en cuenta el gradode libertad adicional dado por el escalado isotropico. Los angulos entre lıneas no son afectadospor la rotacion, la traslacion y el escalado, por o tanto forman un invariante de la semejanza. Enparticular, las lıneas paralelas son mapeadas como lıneas paralelas. La longitud entre dos puntosno es un invariante de la semejanza, pero la relacion entre dos longitudes si lo es, debido a que elescalado se cancela. En forma similar una relacion de areas es un invariante de la semejanza.

Estructura metrica

Un termino que se usa frecuentemente en la discusion sobre reconstruccion es metrica. La de-scripcion estructura metrica implica que la estructura esta definida a menos de una semejanza.

1.3.3 Clase III: Transformaciones Afın

Una transformacion afın o una afinidad es una transformacion lineal no singular seguida por unatraslacion. Esta transformacion posee una representacion matricial de la forma,


x′

y′

1

=

a11 a12 txa21 a22 ty0 0 1

xy1

. (1.16)

o en forma de bloque,

x′ = HAx =(

A t0> 1

)x (1.17)

donde A es una matriz no singular de 2× 2. Una transformacion afın planar posee seis grados delibertad correspondientes a los seis elementos de la matriz. Esta transformacion puede especificarsea partir de la correspondencia de tres puntos (6 coordenadas). Una forma util para comprender losefectos geometricos de la componente lineal A de una transformacion afın es como la composicion dedos transformaciones fundamentales, normalmente rotaciones y escalado no isotropico. La matrizafın A siempre se puede descomponer como,

A = R(θ)R(−φ)DR(φ) (1.18)

donde R(θ) y R(φ) son rotaciones por θ y φ respectivamente, y D es una matriz diagonal de laforma,

D =(

λ1 00 λ2

)

Esta descomposicion se obtiene directamente del metodo SVD (descomposicion en valor singular),escribiendo, A = UDV> = (UV>)(VDV>) = R(θ)R(−φ)DR(φ) debido a que U y V sonmatrices ortogonales.

De aquı que la matriz afın A se puede entender como la concatenacion de una rotacion (por φ),un escalado por λ1 y λ2 respectivamente en las direcciones rotadas x e y , una rotacion hacia atras(por −φ) y finalmente otra rotacion (por θ). Lo unico nuevo comparado a una semejanza es elescalado no isotropico. Esto esta acompanado por los dos grados de libertad extras que posee laafinidad con respecto a la semejanza. Estos son, el angulo φ especificando la direccion del escalado,y la relacion de los parametros de escalado λ1 : λ2. La esencia de una afinidad es el escalado endirecciones ortogonales, orientadas en un angulo particular. Ejemplo esquematicos se pueden veren la figura 1.7.

Invariantes

Debido a que una transformacion afın incluye un escalado no isotropico, los invariantes de lastransformaciones de semejanza, relacion de longitudes y angulos entre lıneas no son preservadosbajo una afinidad. Tres importantes invariantes son:


φ

deformationrotation

θ

Figura 1.7: Distorsiones que surgen de una transformacion planar afın. (a) Rotacion porR(θ). (b) Una deformacion R(−φ)DR(φ). Note que las direcciones de escalado en la deformacionson ortogonales.

1. Lıneas paralelas. Considere dos lıneas paralelas. Estas se intersectan en un punto (x1, x2, 0)>

en el infinito. Bajo una transformacion afın este punto es mapeado a otro punto en el infinito.Consecuentemente, las lıneas paralelas son mapeadas a lıneas las cuales aun se intersectan enel infinito, y ası son paralelas despues de la transformacion.

2. Relacion de longitudes de segmentos de lıneas paralelas. El escalado de la longitudde un segmento de lınea depende solo del angulo entre las lıneas y las direcciones de escalado.Suponga que la lınea forma el angulo α con el eje x de la direccion de escalado horizontal,

entonces la magnitud del escalado es√

λ21 cos2 α + λ2

2 sin2 α. Este escalado es comun a todaslas lıneas con la misma direccion, y ası se cancela en una relacion de longitudes de segmentosparalelos.

3. Relacion de areas. Este invariante se puede deducir directamente de la descomposicion1.18. Las rotaciones y traslaciones no afectan el area, ası solo el escalado por λ1 y λ2 tieneimportancia aquı. El efecto es que el area es escalada por λ1λ2 que es igual al det(A). Por lotanto el area de cualquier objeto es escalado por este determinante, y por lo tanto se cancelaen una relacion de areas.

Una afinidad preserva la orientacion o la invierte dependiendo de si el det(A) es positivo o negativorespectivamente. Entonces como det(A) = λ1λ2 la propiedad depende solo de los signos de losfactores de escala.

1.3.4 Clase IV: Transformaciones Proyectivas

Una transformacion proyectiva fue definida en la ecuacion 1.11. Esta es en general una trans-formacion lineal no singular de coordenadas homogeneas. Esta transformacion generaliza unatransformacion afın, la cual es la composicion de una transformacion lineal no singular generalde coordenadas inhomogeneas y una traslacion. En la seccion 1.2 observamos la accion de unatransformacion proyectiva. Ahora investigaremos su forma de bloque,


x′ = HPx =(

A tv> v

)(1.19)

donde el vector v = (v1, v2)>. La matriz posee 9 elementos donde solo sus relaciones son significa-tivas, ası la transformacion se puede especificar por medio de 8 parametros. Note que no siemprees posible escalar la matriz de tal manera que v sea la unidad ya que este podrıa ser 0. Puede cal-cularse una transformacion proyectiva entre dos planos desde la correspondencia de cuatro puntos(8 coordenadas), en donde tres puntos no pueden ser colineales en algun plano (ver figura 1.4).

Distinto al caso de las afinidades, no es posible distinguir entre proyectividades que preservan laorientacion o aquellas que la invierten en IP 2.

Invariantes

El invariante proyectivo mas importante es la relacion cruz de cuatro puntos colineales: una relacionde longitudes sobre una lınea es invariante bajo afinidad, pero no bajo una proyectividad. Sinembargo, una relacion de relaciones o relacion cruz de longitudes sobre una lınea es un invarianteproyectivo.

1.3.5 Resumen y Comparacion

Las afinidades (6 grados de libertad) ocupan el punto medio entre las semejanzas (4 grados delibertad) y las proyectividades (8 grados de libertad). Ellas generalizan las semejanzas debido a quelos angulos no se preservan bajo una afinidad, ası las formas son sesgadas bajo la transformacion.Por otro lado, su accion es homogenea sobre el plano: para una afinidad dada el det(A) escalael area de un objeto (por ejemplo un cuadrado) de la misma manera en cualquier lugar sobre elplano; y la orientacion de una lınea transformada depende solo de su orientacion inicial y no de suposicion en el plano. En contraste, para una transformacion proyectiva dada, el escalado de areasvarıa con la posicion (por ejemplo, bajo perspectiva un cuadrado mas distante sobre le plano poseeuna imagen mas pequena que otra que esta mas cerca, como en la figura 1.6; y la orientacion de unalınea transformada depende de la orientacion y la posicion de la lınea fuente (sin embargo, se veramas adelante que el punto de fuga depende solo de la orientacion de la lınea y no de su posicion).La diferencia clave entre una transformacion proyectiva y una afın es que el vector v no es nulopara una proyectividad. Este es responsable de los efectos no lineales de la proyectividad. Compareel mapeo de un punto ideal (x1, x2, 0)> bajo una afinidad y bajo una proyectividad: Primero latransformacion afın,

(A t0> 1

)

x1

x2

0

=

A

(x1

x2

)

0

. (1.20)

Segundo, la transformacion proyectiva,


(A tv> v

)

x1

x2

0

=

A

(x1

x2

)

v1x1 + v2x2

. (1.21)

En el primer caso el punto ideal permanece ideal (es decir en el infinito). En el segundo caso, elpunto ideal es mapeado a un punto finito. Es esta habilidad la cual le permite a una transformacionproyectiva modelar puntos de fuga.

1.3.6 Descomposicion de una transformacion proyectiva

Una transformacion proyectiva puede descomponerse en una cadena de transformaciones, dondecada matriz en la cadena representa un transformacion mas alta en la jerarquıa que la anterior

H = HSHAHP =(

sR t0> 1

)(K 00> 1

)(I 0

v> v

)=

(A tvv> v

)(1.22)

donde A es una matriz no singular dada por A = sRK + tv>, y K una matriz triangular superiornormalizada cuyo det(K) = 1. Esta descomposicion es valida siempre y cuando v 6= 0, y es unicasi s se elige positivo.

Cada una de las matrices HS , HA, HP es la esencia de una transformacion de este tipo (como loindican los subscriptos S, A y P). Considere el proceso de rectificar la imagen en perspectiva de unplano como la del ejemplo 1.2.2: HP (2 grados de libertad) mueve la lınea del infinito, HA (2 gradosde libertad) afecta las propiedades afines, pero no mueve la lınea del infinito; y finalmente, HS esuna transformacion de semejanza general (4 grados de libertad) la cual no afecta las propiedadesafines y proyectivas. La transformacion HP es una elacion (elation), descrita en p587.

Ejemplo 1.3.1 La transformacion proyectiva

H =

1.707 0.586 1.02.707 8.242 2.01.0 2.0 1.0

se puede descomponer en

H =

2 cos 45 −2 sin 45 12 sin 45 2 cos 45 2

0 0 1

0.5 1 00 2 00 0 1

1 0 00 1 01 2 1

.

Esta descomposicion se puede emplear cuando el objetivo es determinar solo parcialmente la trans-formacion. Por ejemplo, si se desean medir relaciones de longitud de la imagen en perspectiva deun plano, luego solo es necesario determinar (rectificar) la transformacion hasta una semejanza.Tomando la inversa de H en 1.22 se obtiene H−1 = H−1

P H−1A H−1

S . Debido a que H−1P , H−1

A y H−1S


son transformaciones proyectivas, afın y de semejanza, una transformacion proyectiva general sepuede tambien descomponer en la forma de

H = HPHAHS =(

I 0v> v

)(K 00> 1

) (sR t0> 1

)(1.23)

Note que los valores reales de R, K, t y v seran diferentes de los obtenidos por 1.22.

Grupo Matriz Distorsion Propiedades Invariantes

Proyectivo (8 dof)

h11 h12 h13

h21 h22 h23

h31 h32 h33

Concurrencia, colinealidad orden de

contacto: interseccion (1 punto); tan-gencia (2 puntos); inflecciones (3 pun-tos de contacto con lıneas); discon-tinuidades tangentes y cusps. Relacioncruz.

Afın (6 dof)

a11 a12 txa21 a22 ty0 0 1

Paralelismo, relacion de areas, relacion

de longitudes sobre lıneas paralelas ocolineales (por ejemplo punto medio),combinaciones lineales de vectores (porejemplo centroides). La lınea en el in-finito.

Semejanza (4 dof)

sr11 sr12 txsr21 sr22 ty0 0 1

Relacion de longitudes, angulos. Los

puntos circulares.

Euclıdea (2 dof)

r11 r12 txr21 r22 ty0 0 1

Longitudes, areas

Tabla 1.1: Propiedades geometricas invariantes a transformaciones planares comunes.La matiz A = [aij ] es una matriz de 2 × 2 invertible, R = [rij ] es una matriz de rotacion 2D,y (tx, ty) un vector de traslacion 2D. La columna de distorsion muestra los efectos tıpicos de latransformacion de un cuadrado. Las transformaciones mas altas en la tabla pueden producir todaslas acciones de los de abajo. Esto va desde Euclıdea, donde solo ocurren traslaciones y rotaciones,a proyectivas donde el cuadrado se puede transformar a cualquier cuadrilatero arbitrario, cuando3 puntos no son colineales.

1.3.7 El numero de invariantes

La pregunta que naturalmente surge es cuantos invariantes hay para una configuracion geometricadada bajo una transformacion particular?. Primero, el termino numero necesita precisarse, porquesi una cantidad es invariante, tal como una longitud bajo una transformacion Euclıdea, luego


cualquier funcion de esta cantidad es invariante. Consecuentemente, se busca un argumento decuenta para el numero de invariantes funcionalmente independientes. Considerando el numero deparametros de una transformacion que deben eliminarse para formar un invariante se puede decirque,

Resultado 1.3.2 El numero de invariantes funcionalmente independientes es igual a, o mas grandeque, el numero de grados de libertad de la configuracion menos el numero de grados de libertad dela transformacion.

Por ejemplo, una configuracion de 4 puntos en posicion general tiene 8 grados de libertad (2 paracada punto), y ası 4 invariantes de semejanza, 2 de afinidad y ninguno proyectivo, debido a queestas transformaciones poseen 4, 6 y 8 grados de libertad respectivamente. La tabla 1.1 resume losgrupos de transformaciones 2D y sus invariantes. Las transformaciones mas abajo en la tabla sonespecializaciones de las superiores. Una transformacion en la parte inferior de la tabla hereda losinvariantes de las transformaciones superiores.

1.4 La Geometrıa Proyectiva de 1D

El desarrollo de la geometrıa proyectiva de una lınea, IP 1, se establece de la misma manera que ladel plano. Un punto x sobre la lınea se representa en coordenadas homogeneas por (x1, x2)>, y unpunto para el cual x2 = 0 es un punto ideal de la lınea. Se utilizara la notacion x para representarel vector de 2 dimensiones (x1, x2)>. Una transformacion proyectiva de una lınea esta representadapor una matriz homogenea de 2× 2,

x′ = H2×2x

y posee 3 grados de libertad correspondientes a los 4 elementos de la matriz menos uno para escaladototal. La transformacion proyectiva de una lınea se puede determinar de la correspondencia de 3puntos (cada punto tiene una coordenada).

La Relacion Cruz

La relacion cruz es el invariante proyectivo basico de IP 1. Dados 4 puntos xi la relacion cruz sedefine como

Cruz(x1, x2, x3, x4) =|x1x2||x3x4||x1x3||x2x4|

donde

|xixj | = det

(xi1 xj1

xi2 xj2

).

1.4. LA GEOMETRIA PROYECTIVA DE 1D 23

Figura 1.8: Transformaciones proyectivas entre lıneas. Hay cuatro conjuntos de cuatro puntoscolineales en esta figura. Cada conjunto esta relacionado a los otros por una proyectividad de lıneaa lınea. Debido a que la relacion cruz es un invariante bajo una proyectividad, la relacion cruz tieneel mismo valor para todos los conjuntos mostrados.

Algunos comentarios acerca de la relacion cruz:

• El valor de la relacion cruz no depende de que sea usada una representacion particular ho-mogenea de un punto xi debido a que los factores de escala se cancelan entre numerador ydenominador.

• Si cada punto xi es finito y la representacion homogenea se elige tal que x2 = 1, entonces|xixj | representa la distancia con signo desde xi hasta xj .

• La definicion de la relacion cruz es tambien valida cuando uno de los puntos xi es un puntoideal.

• El valor de la relacion cruz es un invariante bajo cualquier transformacion proyectiva de unalınea: si x′ = H2×2x entonces,

Cruz(x′1, x′2, x

′3, x

′4) = Cruz(x1, x2, x3, x4) (1.24)

La prueba de esta afirmacion se deja como ejercicio. En forma equivalente, la relacion cruzes invariante al marco de coordenadas proyectivo elegido para la lınea.

La figura 1.8 ilustra algunos ejemplos de transformaciones proyectivas entre lıneas con relacionescruz equivalentes. Bajo una transfromacion proyectiva del plano, una transformacion proyectiva1D es inducida por cualquier lınea en el plano.

Lıneas Concurrentes

Una configuracion de lıneas concurrentes es dual a puntos colineales sobre una lınea. Esto significaque lıneas concurrentes sobre un plano tambien tienen la geometrıa de IP 1. En particular 4 lıneasconcurrentes tienen una relacion cruz como la ilustrada en la figura 1.9a.


ll

l

l

l

xx

x

x 1

1

2

2

3

4

4

3

1

2

3

l

x

xx

xc

x 1

x2

x3

x 4

4

Figura 1.9: Lıneas Concurrentes. (a) Cuatro lıneas concurrentes li intersectan la lınea l en loscuatro puntos xi. La relacion cruz de estas lıneas es un invariante a transformaciones proyectivasdel plano. Su valor esta dado por la relacion cruz de los puntos, Cruz(x1, x2, x3, x4). (b) Puntoscoplanares xi son proyectados sobre una lınea l (tambien en el plano) por una proyeccion con centroc. La relacion cruz de los puntos imagen xi es invariante a la posicion de la lınea imagen l.

Note como la figura 1.9 puede pensarse como que representa la proyeccion de puntos en IP 2 en unaimagen unidimensional. En particular, si c representa el centro de la camara, y la lınea l representauna lınea imagen (analogo 1D del plano imagen), entonces los puntos xi son las proyecciones de lospuntos xi en la imagen. La relacion cruz de los puntos xi caracteriza la configuracion proyectivade los 4 puntos imagen. Note que la posicion real de la lınea imagen es irrelevante con respecto alo que le concierne a la configuracion proyectiva de los 4 puntos imagen; diferentes elecciones de lalınea imagen dan configuraciones proyectivamente equivalentes de los puntos imagen.

La geometrıa proyectiva de lıneas concurrentes es importante para la comprension de la geometrıaproyectiva de lıneas epipolares.

1.5 Recuperacion de propiedades afines y metricas a partir deimagenes

Regresando a la rectificacion proyectiva del ejemplo 1.2.2 donde el objetivo buscado fue remover ladistorsion proyectiva en la imagen en perspectiva de un plano para extenderlo a que propiedadesde semejanza (angulos, relacion de longitudes) se podrıan obtener midiendo sobre el plano original.En ese ejemplo, la distorsion proyectiva fue removida completamente especificando la posicion de 4puntos de referencia sobre el plano (un total de 8 grados de libertad), y explicitamente calculando latransformacion mapeando los 4 puntos de referencia a sus imagenes. En efecto, esto sobre especificala geometrıa, una transformacion proyectiva tiene solo 4 grados de libertad mas que una semejanza,tal que es solo necesario especificar 4 grados de libertad (no 8) para determinar las propiedadesmetricas. En geometrıa proyectiva, estos 4 grados de libertad estan asociados con la geometrıa delos objetos: la lınea en el infinito l∞ (2 grados de libertad), y los dos puntos circulares (2 grados delibertad) sobre l∞. Esta asociacion es frecuentemente un camino mas intuitivo de razonar acerca

1.5. RECUPERACION DE PROPIEDADES AFINES Y METRICAS A PARTIR DE IMAGENES25

del problema que la descripcion equivalente en terminos de especificar matrices en la cadena dedescomposicion (ecuacion 1.22).

En los apartados siguientes se muestra que la distorsion proyectiva se puede remover una vez quese especifique la imagen de l∞, y la distorsion afın extraıda una vez que sean especificadas lasimagenes de los puntos circulares. Entonces la distorsion remanente es solo una semejanza.

1.5.1 La lınea en el Infinito

Bajo una transformacion proyectiva los puntos ideales pueden mapearse en puntos finitos (ecuacion1.21), consecuentemente l∞ es mapeada a una lınea finita. Sin embargo, si la transformacion esuna afinidad, luego l∞ no es mapeada a una lınea finita, sino que permanece en el infinito. Esto esevidente directamente de la transformacion de lıneas (ecuacion 1.12):

l′∞ = H−>A l∞ =

(A−> 0

−t>A−> 1

)

001

=

001

= l∞.

Lo inverso es tambien verdad, es decir una transformacion afın es la transformacion lineal masgeneral que fija l∞ y se puede comprender en lo que sigue. Se requiere que un punto en el infinito,por ejemplo x = (1, 0, 0)>, sea mapeado a un punto en el infinito. Esto requiere que h31 = 0.Similarmente, h32 = 0, ası la transformacion es una afinidad. Para resumir,

Resultado 1.5.1 La lınea en el infinito, l∞, es una lınea fija bajo la transformacion proyectiva Hsi y solo si H es una afinidad.

Sin embargo, l∞ no es fija punto a punto bajo una transformacion afın: la ecuacion 1.20 mostro quebajo una afinidad un punto sobre l∞ es mapeado a otro punto sobre l∞, pero no es el mismo puntoa menos que A(x1, x2)> = k(x1, x2)>. Se mostrara ahora que identificar l∞ permite recuperar laspropiedades afines (paralelismo, relacion de areas).

1.5.2 Recuperacion de propiedades afines a partir de una imagen

Una vez que la lınea proyectada en el infinito se identifica en una imagen de un plano, es luegoposible realizar mediciones afines sobre el plano original. Por ejemplo, lıneas pueden identificarsecomo paralelas en el plano original si las lıneas proyectadas se intersectan sobre la proyeccionde l∞. Esto es porque las lıneas paralelas en el plano Euclıdeo se intersectan en l∞, y despuesde una transformacion proyectiva las lıneas aun se intersectan en la imagen de l∞ debido a quelas intersecciones son preservadas por las proyectividades. De manera sinilar, una vez que l∞ esidentificada puede calcularse una relacion de longitudes sobre la lınea a partir de la relacion cruzde los tres puntos especificando las longitudes junto con la interseccion de la lınea con l∞ (lo cualprovee el cuarto punto para la relacion cruz), y ası siguiendo.


l

/

π ππ1 2 3

H H

H

P P

A

l = H ( )P

Figura 1.10: Rectificacion Afın. Una transformacion proyectiva mapea l∞ desde (0, 0, 1)> sobreel plano Euclıdeo π1 a una lınea finita l sobre el plano π2. Si se construye una transformacionproyectiva tal que l es mapeada hacia atras a (0, 0, 1)> entonces del resultado 1.5.1 la transformacionentre el primer y el tercer plano debe ser una transformacion afın ya que se preserva la posicioncanonica de l∞. Esto significa que las propiedades afines del primer plano puede medirse desde eltercer plano, es decir el tercer plano esta dentro de una afinidad del primero.

Sin embargo un camino menos tortuoso el cual es mas adecuado para algoritmos computacionaleses simplemente transformar la l∞ identificada a su posicion canonica l∞ = (0, 0, 1)>.

La matriz (proyectiva) que logra esta transformacion puede aplicarse a todo punto en la imagenpara rectificarla afinamente, es decir, despues de la transformacion se pueden realizar medicionesafines directamente desde la imagen rectificada. La idea clave, se ilustra en la figura 1.10.

Si la lınea del infinito proyectada es la lınea l = (l1, l2, l3)>, entonces dado que l3 6= 0 una transfor-macion proyectiva de puntos adecuada la cual mapeara l otra vez a l∞ = (0, 0, 1)> es,

H = HA

1 0 00 1 0l1 l2 l3

(1.25)

donde HA es cualquier transformacion afın (la ultima fila de H es l>). Se puede verificar que bajola transformacion de lıneas, ecuacion 1.12, H−>(l1, l2, l3)> = (0, 0, 1)> = l∞.

Ejemplo 1.5.2 Rectificacion Afın. En la imagen en perspectiva de un plano, la lınea en el infinitosobre el plano global es proyectada como la lınea de fuga (horizonte) del plano. Como se ilustraen la figura 1.11 la lınea de fuga l se puede calcular intersectando lıneas paralelas proyectadas. Laimagen es luego rectificada aplicando una transformacion proyectiva (ecuacion 1.25) de tal maneraque l sea mapeada a su posicion canonica l∞ = (0, 0, 1)>.

Este ejemplo muestra que las propiedades afines se pueden recuperar simplemente especificandouna lınea (2 grados de libertad). Esto es equivalente a especificar solo la componente proyectiva dela descomposicion en cadena de la transformacion (ecuacion 1.22).


Figura 1.11: Rectificacion afın por medio de lınea del horizonte. La lınea del horizonte delplano proyectado en (a) es calculado en (c) de la interseccion de 2 conjuntos de lıneas paralelasproyectadas. La imagen es entonces proyectivamente ...... para producir la imagen (b) afinamenterectificada. En la imagen afın rectificada las lıneas paralelas son ahora paralelas. Sin embargo, losangulos no tienen sus valores reales debido a que son distorsionados afinamente. Ver tambien lafigura 1.15.


Figura 1.12: Dos ejemplos de uso de relaciones de igual distancia sobre una lınea para determinarel punto en el infinito. Los intervalos en la lınea usados son mostrados como lıneas blancas de trazofino y grueso delineadas por puntos. Esta construccion determina la lınea en el horizonte (lınea defuga) del plano. Comparar con la figura 1.11c.

Relaciones de distancia sobre una lınea

Se puede determinar el punto en el infinito sobre una lınea dado dos intervalos sobre la mismacon una relacion de longitudes conocida. Un caso tıpico es cuando tres puntos a′, b′ y c′ sonidentificados en una imagen. Suponga que a, b y c sean los puntos colineales correspondientessobre la lınea global, y la relacion de longitudes d(a,b) : d(b, c) = a : b es conocida (donde d(x,y)es la distancia Euclıdea entre los puntos x e y). Es posible encontrar el punto de fuga utilizandola expresion de la realcion cruz. Equivalentemente, se puede proceder de la siguiente manera,

1. Medir la relacion de distancias en la imagen, d(a′,b′) : d(b′, c′) = a′ : b′.

2. Los puntos a, b y c se pueden representar como las coordenadas 0, a y a + b en un marco decoordenadas sobre la lınea 〈a,b, c〉. Para propositos de calculo computacionales, estos puntosson representados por vectores homogeneos bidimensionales (0, 1)>, (a, 1)> y (a + b, 1)>. Demanera similar, a′, b′ y c′ tienen coordenadas 0, a′ y a′ + b′ los cuales pueden tambien serrepresentados como vectores homogeneos.

3. Relativo a los marcos coordenados del punto anterior, calcular la transformacion proyectiva1D H2×2 que mapea a 7→ a′, b 7→ b′ y c 7→ c′.

4. La imagen del punto en el infinito (con coordenadas (1, 0)>) bajo H2×2 es el punto de fugasobre la lınea 〈a′,b′, c′〉.

Un ejemplo de puntos de fuga calculados de esta manera se muestra en la figura 1.12.

Ejemplo 1.5.3 Construccion geometrica de puntos de fuga a partir de una relacion de longitudes.Los puntos de fuga mostrados en la figura 1.12 pueden tambien calcularse por una construccionpuramente geometrica que consiste en los siguientes pasos:


ov/

b/

c /

lba/

baa c

Figura 1.13: Una construccion geometrica para determinar la imagen del punto en el infinito sobreuna lınea, dada una relacion de longitudes conocida. Los detalles son mencionados en el texto.

1. Dados: tres puntos colineales, a′, b′ y c′, en una imagen correspondientes a puntos globalescolineales con relacion a : b.

2. Dibujar cualquier lınea l a traves de a′ (no coincidente con la lınea a′c′), y marcar los puntosa = a′, b y c tal que los segmentos de lınea 〈ab〉, 〈bc〉 tengan relacion de longitudes a : b.

3. Unir bb′ y cc′ e intersectarlo en o.

4. La lınea a traves de o paralela a l encuentra a la lınea a′c′ en el punto de fuga v′

Esta construccion es ilustrada en la figura 1.13.

1.5.3 Los puntos circulares y sus duales

Bajo cualquier transformacion de semejanza hay 2 puntos sobre l∞ que son fijos. Estos son lospuntos circulares (tambien llamados puntos absolutos) I, J, con coordenadas canonicas,

I =

1i0

J =

1−i0

.

Los puntos circulares son un par de puntos ideales complejos conjugados. Para demostrar que sonfijos bajo una semejanza que preserva la orientacion, tenemos:

I′ = HSI =

s cos θ −s sin θ txs sin θ s cos θ ty

0 0 1

1i0

= se−iθ

1i0

= I


con una prueba analoga para J. Una reflexion (una semejanza que invierte la orientacion) inter-cambia I y J. Lo inverso es tambien verdad, es decir si los puntos circulares son fijos, entonces latransformacion lineal es una semejanza. La prueba se deja como ejercicio. Para resumir,

Resultado 1.5.4 Los puntos circulares, I, J, son puntos fijos bajo la transformacion proyectivaH si y solo si H es una semejanza que preserva la orientacion.

El nombre puntos circulares es debido a que todo cırculo intersecta a l∞ en estos puntos. Paraprobar esto, se toma la ecuacion 1.5 de una conica. Para el caso de un cırculo a = c y b = 0.Entonces,

x21 + x2

2 + dx1x3 + ex2x3 + fx23 = 0

donde a = 1. Esta conica intersecta a l∞ en los puntos ideales para los cuales x3 = 0, es decir,

x21 + x2

2 = 0

cuya solucion es I = (1, i, 0)>, J = (1,−i, 0)>, es decir cualquier cırculo intersecta a l∞ en los puntoscirculares. En geometrıa Euclıdea se sabe que un cırculo queda determinado por tres puntos.Los puntos circulares proveen un calculo alternativo. Un cırculo puede calcularse utilizando laformula general de una conica definida por 5 puntos (ecuacion 1.8), donde los 5 puntos son los trespuntos con el agregado de los puntos circulares. En la seccion 1.5.5 se mostrara que identificarlos puntos circulares (o equivalentemente sus duales, como se indica a continuacion) permite larecuperacion de las propiedades de semejanza (angulos, relacion de longitudes). Algebraicamente,los puntos circulares son las direcciones ortogonales de la geometrıa Euclıdea, (1, 0, 0)> y (0, 1, 0)>,empaquetadas en una unica entidad compleja conjugada, es decir

I = (1, 0, 0)> + (0, 1, 0)>.

Consecuentemente, no es de sorprenderse que una vez que se identifiquen los puntos circulares, laortogonalidad, y otras propiedades metricas quedaran determinadas.

La conica dual a los puntos circulares

La conica,C∗∞ = IJ> + JI> (1.26)

es dual a los puntos circulares. La conica C∗∞ es una conica de lıneas degenerada (rango 2), (seccion1.1.3) que consta de dos puntos circulares. En el sistemas de coordenadas Euclıdeo esta dado por

C∗∞ =

1i0

(

1 −i 0)

+

1−i0

(

1 i 0)

=

1 0 00 1 00 0 0


La conica C∗∞ bajo transformaciones de semejanza, de maneara analoga fija las propiedades de lospuntos circulares. Una conica es fija si la misma matriz resulta (a menos de un factor de escala)bajo la regla de transformacion. Debido a que C∗∞ es una conica dual se transforma de acuerdoal resultado 1.2.4 (C∗∞ = HC∗H>), y se puede verificar que bajo una transformacion de puntosx′ = HSx,

C∗′∞ = HSC∗

∞H>S = C∗

∞

Lo inverso tambien se verifica, por lo tanto,

Resultado 1.5.5 La conica dual C∗∞ es fija bajo la transformacion proyectiva H si y solo si H esuna semejanza.

Algunas propiedades de C∗∞ son,

1. C∗∞ posee 4 grados de libertad: una matriz homogenea simetrica de 3× 3 posee 5 grados delibertad, pero la restriccion det(C∗∞) = 0 reduce sus grados de libertad en 1.

2. l∞ es el vector nulo de C∗∞. Esto es claro de la definicion, los puntos circulares pertenecen al∞ , tal que I>l∞ = J>l∞ = 0, entonces

C∗∞l∞ = (IJ>+ JI>)l∞ = I(J>l∞) + J(I>l∞) = 0.

1.5.4 Angulos en el plano proyectivo

En la geometrıa Euclıdea el angulo entre 2 lıneas se calcula como el producto escalar de sus normales.Para las lıneas l = (l1, l2, l3)> y m = (m1,m2,m3)> con normales paralelas a (l1, l2)> y (m1,m2)>

respectivamente, el angulo se calcula como,

cos θ =l1m1 + l2m2√

(l21 + l22)(m21 + m2

2)(1.27)

El problema con esta expresion es que las dos primeras componentes de las lıneas l y m no tienenbien definidas las propiedades de la transformacion bajo transformaciones proyectivas (ellas no sontensores), y ası la ecuacion 1.27 no se puede aplicar antes de una transformacion afın o proyectivadel plano. Sin embargo, una expresion analoga a la 1.27 la cual es invariante a transformacionesproyectivas es,

cos θ =l>C∗∞m√

(l>C∗∞l)(m>C∗∞m)(1.28)

donde C∗∞ es la conica dual a los puntos circulares. Es claro que en un sistema de coordenadasEuclıdea 1.28 se reduce a la ecuacion 1.27. Se puede verificar que 1.28 es invariante a transfor-maciones proyectivas usando la regla de transformacion para lıneas (ecuacion 1.12) (l′ = H−>l y


conicas duales (resultado 1.2.4) (C∗′ = HC∗H>) bajo la transformacion de puntos x′ = Hx. Porejemplo, el numerador se transforma en,

l>C∗∞m 7→ l>H−1HC∗

∞H>H−>m = l>C∗∞m.

Tambien se puede verificar que la escala del objeto homogeneo se cancela entre el numerador y eldenominador. Ası, la ecuacion 1.28 es invariante al marco proyectivo. Para resumir,

Resultado 1.5.6 Una vez que la conica C∗∞ es identificada sobre el plano de proyeccion entoncesse pueden medir los angulos euclıdeos por medio de la formula (1.28).

Resultado 1.5.7 la lıneas l y m son ortogonales si l>C∗∞m = 0.

Geometricamente, si l y m satisfacen l>C∗∞m = 0, entonces las lıneas son conjugadas (seccion1.6.1) con respecto a la conica C∗∞.

Relacion de Longitudes

La relacion de longitudes se puede tambien medir una vez que se identifique C∗∞. Considere eltriangulo mostrado en la figura 1.14 con vertices a, b y c. De la trigonometrıa estandar, regla delseno, la relacion de longitudes d(b, c) : d(a, c) = sinα : sinβ, donde d(x,y) es la distancia Euclıdeaentre los puntos x e y. Usando (1.28), se pueden calcular cosα y cos β de las lıneas l′ = a′ × b′,m′ = c′ × a′ y n′ = b′ × c′ para cualquier marco proyectivo en el cual C∗∞ este especificada.Consecuentemente, sinα y sinβ y por lo tanto las relaciones d(b, c) : d(a, c) se pueden determinarde los puntos mapeados proyectivamente.

1.5.5 Recuperacion de las propiedades metricas a partir de imagenes

Una aproximacion completamente analoga a la de la seccion 1.5.2 y la figura 1.10, en donde laspropiedades afines son recuperadas especificando l∞, se pueden recuperar las propiedades metricasdesde una imagen de un plano transformando los puntos circulares a su posicion canonica. Supongaque los puntos circulares son identificados en una imagen, y que la imagen es rectificada por unatransformacion proyectiva H que mapea los puntos circulares proyectados a su posicion canonica( en (1,±i, 0)>) sobre l∞. Del resultado 1.5.4 la transformacion entre el plano global y la imagenrectificada es entonces una semejanza ya que es proyectiva y los puntos circulares son fijos.

Rectificacion metrica usando C∗∞

La conica dual C∗∞ empaqueta toda la informacion requerida para una rectificacion metrica. Per-mite que sean determinadas las componentes afines y proyectivas de una transformacion proyectiva,dejando solo las distorsiones de semejanza. Esto es evidente desde la formula de la transformacion.


b

cc

n

m

/ /a b

/

/

/

a l /

α β

Figura 1.14: Relacion de longitudes. Una vez que es identificada C∗∞ la relacion de longitudesEuclideana d(b, c) : d(a, c) se puede medir de la figura distorsionada proyectivamente.

Si la transformacion de puntos es x′ = Hx, donde el marco de coordenadas de x es Euclıdeo y el dex′ proyectivo, C∗∞ se transforma de acuerdo al resultado 1.2.4 (C∗′ = HC∗H>). Usando la cadenade descomposicion (ecuacion 1.23) para H se obtiene,

C∗∞′ = (HPHAHS)C∗

∞(HPHAHS)>

= (HPHA)C∗∞(H>

AH>P )

=(

KK> KK>vv>KK> v>KK>v

). (1.29)

Es claro que los componentes proyectivos v y afines K se determinan directamente de la imagen deC∗∞, pero (debido a que C∗∞ es invariante a transformaciones de semejanza por el resultado 1.5.5)los componentes de la semejanzas quedan indeterminados. Consecuentemente,

Resultado 1.5.8 Una vez que la conica C∗∞ es identificada en el plano proyectivo entonces ladistorsion proyectiva se puede rectificar hasta una semejanza.

Realmente, se puede obtener una homografıa de rectificacion adecuada directamente de la C∗∞′ en

una imagen usando la descomposicion en valores singulares (SVD): escribiendo la SVD de C∗∞′

como

C∗∞′ = U

1 0 00 1 00 0 0

U>

entonces por inspeccion de (1.29) la rectificacion de la proyectividad es H = U hasta una semejanza.Los dos ejemplos siguientes muestran situaciones tıpicas donde C∗∞ se puede identificar en unaimagen, y de aquı obtener la rectificacion metrica.

Ejemplo 1.5.9 Rectificacion Metrica I Suponga que una imagen ha sido afinamente rectificada(como en el ejemplo 1.5.2 anterior), entonces se requieren dos restricciones para especificar los dos


Figura 1.15: Rectificacion metrica por medio de lıneas ortogonales (I). La transformacionafın requerida para rectificar metricamente una imagen afın puede calcularse de lıneas ortogonalesproyectadas. (a) Dos pares de lıneas (no paralelas) identificadas sobre la imagen rectificada afina-mente (figura 1.11) corresponden a lıneas ortogonales en el plano del mundo real. (b) La imagenmetrica rectificada. Note que en la imagen metrica rectificada todas las lıneas ortogonales lo sontambien en el mundo real, los cuadrados del mundo real tienen relacion de aspecto unitaria, y loscırculos son circulares.

grados de libertad de los puntos circulares con el fin de obtener la rectificacion metrica. Estas dosrestricciones se pueden obtener de dos angulos rectos proyectados sobre el plano.

Suponga que las lıneas l′ y m′ en una imagen rectificada afinamente se corresponden con un parde lıneas ortogonales l y m sobre un plano del mundo real. Del resultado 1.5.7, l′>C∗∞

′m′ = 0, yusando (1.29) con v = 0,

(l′1 l

′2 l

′3

) (KK> 00> 0

)

m′1

m′2

m′3

= 0

lo que es una restriccion lineal sobre la matriz de 2 × 2 S = KK>. La matriz S = KK> essimetrica con tres elementos independientes, y por lo tanto posee 2 grados de libertad. La condicionde ortogonalidad se reduce a la ecuacion (l

′1, l

′2)S(m

′1,m

′2)> = 0 que se puede escribir como,

(l′1m

′1, l

′1m

′2 + l

′2m

′1, l

′2m

′2)s = 0,

donde s = (s11, s12, s22)> es la matriz S escrita como un vector de tres dimensiones. Dos pares deestas lıneas ortogonales proveen dos restricciones que se pueden apilar para dar una matriz de 2×3con s determinado como el vector nulo. Ası, S, y de aquı que K se obtiene por descomposicion deCholesky a menos de un factor de escala. La figura 1.15 muestra un ejemplo de dos pares de lıneasortogonales usadas para rectificar metricamente la imagen rectificada afinamente en la figura 1.11.

Alternativamente, las dos restricciones necesarias para la rectificacion metrica se pueden obtener


Figura 1.16: Rectificacion metrica por medio de lıneas ortogonales (II). (a) La conica C∗∞es determinada sobre el plano proyectado en perspectiva (la pared del frente del edificio) usandolas 5 pares de lıneas ortogonales mostradas. La conica C∗∞ determina los puntos circulares, yequivalentemente la transformacion proyectiva necesaria para rectificar metricamente la imagen(b). La imagen mostrada en (a) es la misma imagen en perspectiva que la de la figura 1.4, dondela distorsion de perspectiva fue eliminada especificando la posicion en el mundo real de 4 puntosen la imagen.

de la imagen de un cırculo proyectado o de dos relaciones de longitudes. En el caso de un cırculo, laconica proyectada es una elipse en la imagen rectificada afinamente, y la interseccion de esta conicacon l∞ (conocida) directamente determina los puntos circulares. La conica C∗∞ alternativamentepuede identificarse directamente en una imagen en perspectiva, sin identificar primero l∞, como seilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.5.10 Rectificacion Metrica II. Se comienza aquı desde la imagen en perspectiva originaldel plano. Suponga que las lıneas l y m son imagenes de lıneas ortogonales sobre el plano del mundoreal, entonces por el resultado 1.5.7, l>C∗∞m = 0, y de manera similar a restringir una conica paraque contenga un punto (ecuacion 1.8), esto provee una restriccion lineal de los elementos de C∗∞,es decir,

(l1m1, (l1m2 + l2m1)/2, l2m2, (l1m3 + l3m1)/2, (l2m3 + l3m2)/2, l3m3)c = 0,

donde c = (a, b, c, d, e, f)> es la matriz de la conica C∗∞ escrita como un vector de 6 dimen-siones. Juntando 5 de estas restricciones se forma una matriz de 5× 6, y c y por lo tanto C∗∞ sepuede obtener como el vector nulo. Esto demuestra que C∗∞ puede determinarse linealmente de lasimagenes de 5 pares de lıneas las cuales son ortogonales en el plano del mundo real. Un ejemplode rectificacion metrica usando estas restricciones se ilustra en la figura 1.16.


l x

y

C

Figura 1.17: La relacion polo–polar. La lınea l = Cx es la polar del punto x con respecto a laconica C, y el punto x = C−1l es el polo de l con respecto a C. La polar de x intersecta a la conicaen los puntos de tangencia de las lıneas desde x. Si y esta sobre l entonces y>l = y>Cx = 0. Lospuntos x e y que satisfacen y>Cx = 0 son conjugados.

Estratificacion

Note que en el ejemplo 1.5.10 las distorsiones proyectivas y afines se determinan en un paso especi-ficando C∗∞. En el ejemplo anterior 1.5.9 primero fueron removidas las distorsiones proyectivas yluego las afines. Esta aproximacion de dos pasos es llamado estratificado. Aproximaciones analogasson utilizadas en aplicaciones 3D, y son empleadas en reconstruccion 3D y autocalibracion, cuandose obtiene una metrica desde una reconstruccion proyectiva 3D.

1.6 Mas propiedades de las conicas

Ahora introducimos una importante relacion geometrica entre un punto, una linea y una conica lacual es llamada polaridad.

1.6.1 La relacion polo–polar

Un punto x y una conica C definen una lınea l = Cx. La lınea l es llamada la polar de x conrespecto a la conica C, y el punto x es el polo de la lınea l con respecto a la conica C.

• la lınea polar l = Cx del punto x con respecto a la conica C intersecta a la conica en dospuntos. Las dos lıneas tangentes a C en estos puntos se intersectan en x.

Esta relacion es ilustrada en la figura 1.17.

1.6. MAS PROPIEDADES DE LAS CONICAS 37

Prueba: Considere un punto y sobre la conica C. La lınea tangente en y es Cy, y esta lıneacontiene a x si x>Cy = 0. Usando la simetrıa de C, la condicion x>Cy = (Cx)>y = 0 es queel punto y pertenezca a la lınea Cx. Ası, la lınea polar Cx intersecta a la conica en el punto yen el cual la lınea tangente contiene a x. Conforme el punto x se aproxima a la conica las lıneastangentes se juntan y tienden a ser colineales, y sus puntos de contacto sobre la conica se juntancada vez mas. En el lımite cuando x yace sobre la conica C, la lınea polar tiene dos puntos decontacto en x, y entonces,

• Si el punto x esta sobre C entonces la polar es la lınea tangente a la conica en x.

Ejemplo 1.6.1 Un cırculo de radio r centrado en el eje x en x = a tiene la ecuacion (x−a)2+y2 =r2, y esta representado por la matriz,

C =

1 0 −a0 1 0−a 0 a2 − r2

La lınea polar del origen esta dada por l = C(0, 0, 1)> = (−a, 0, a2−r2)>. Esta es una lınea verticalen x = (a2 − r2)/a. Si r = a el origen yace sobre el cırculo. En este caso la lınea polar es el eje yy es tangente al cırculo.

Es evidente que la conica induce un mapeo entre puntos y lıneas de IP 2. Este mapeo es unaconstruccion proyectiva ya que involucra solo intersecciones y tangencias, propiedades que sonpreservadas por transformaciones proyectivas. Un mapeo proyectivo entre puntos y lıneas es llamadouna correlacion.

Definicion 1.6.1 Una correlacion es un mapeo invertible desde puntos de IP 2 a lıneas de IP 2. Estarepresentado por una matriz no singular de 3× 3 A como l = Ax.

Una correlacion provee un camino sistematico para dualizar relaciones involucrando puntos y lıneas.No necesita estar representado por una matriz simetrica, pero solo consideraremos las correlacionessimetricas aquı, debido a su asociacion con las conicas.

• Puntos Conjugados: Si el punto y esta sobre la lınea l = Cx entonces y>l = y>Cx = 0.Cualquiera dos puntos x, y que satisfacen y>Cx = 0 son conjugados respecto a la conica C.

La relacion de conjugados es simetrica:

• Si x esta sobre la polar de y entonces y esta sobre la polar de x.

Esto se puede ver simplemente analizando la simetrıa de la matriz de la conica – El punto x estasobre la polar de y si x>Cy = 0, y el punto y esta sobre la polar de x si y>Cx = 0. Debido aque x>Cy = y>Cx, si una forma es 0 tambien lo es la otra. Hay una relacion de conjugacion paralıneas: dos lıneas l y m son conjugadas si l>C∗m = 0.


Diagonal Ecuacion Tipo de Conica

(1, 1, 1) x2 + y2 + w2 = 0 Conica Impropia – puntos no reales(1, 1,−1) x2 + y2 − w2 = 0 Cırculo(1, 1, 0) x2 + y2 = 0 Punto real unico (0, 0, 1)>

(1,−1, 0) x2 − y2 = 0 Dos lıneas x = ±y(1, 0, 0) x2 = 0 Lınea unica x = 0 contado dos veces

Tabla 1.2: Clasificacion Proyectiva de las conicas de puntos. Cualquier conica plana esproyectivamente equivalente a una de los tipos mostradas en la tabla. Aquellas conicas para lascuales εi = 0 para algun i son conocidas como conicas degeneradas, y estan representadas por unamatriz de rango menor a 3. La columna de tipo de conica solo describre los puntos reales – porejemplo una conica compleja x2 + y2 = 0 consiste de todos los pares de lıneas x = ±iy.

1.6.2 Clasificacion de las Conicas

Se describe a continuacion la clasificacion proyectiva y afın de las conicas.

Forma Normal Proyectiva para una conica

Debido a que C es una matriz simetrica posee autovalores reales, y se puede descomponer comoel producto C = U>DU, donde U es una matriz ortogonal, y D es diagonal. Aplicando latransformacion proyectiva representada por U, la conica C es transformada a otra conica C′ =U−>CU−1 = U−>U>DUU−1 = D. Esto muestra que cualquier conica es equivalente bajotransformaciones proyectivas a una con matriz diagonal. Sea D = diag(ε1d1, ε2d2, ε3d3) dondeεi = ±1 o 0 y cada di > 0. Ası, D se puede escribir en la forma

D = diag(s1, s2, s3)>diag(ε1, ε2, ε3)diag(s1, s2, s3)

donde s2i = di. Note que diag(s1, s2, s3)> = diag(s1, s2, s3), la conica D es transformada a una

conica con matriz diagonal diag(ε1, ε2, ε3), con cada εi = ±1 o 0. Posteriores transformaciones sepueden llevar a cabo por matrices de permutacion para asegurar que los valores de εi = 1 ocurranantes que los valores de εi = −1 los cuales a su vez preceden a los valores de εi = 0. Finalmente,multiplicando por −1 si fuera necesario, se puede asegurar que hay al menos tantas entradas +1como −1. Los distintos tipos de conicas pueden ahora enumerarse, tal como muestra la tabla 1.6.2.

Clasificacion afın de las conicas

Es bien conocida la clasificacion de las conicas (no degeneradas, propias) en la geometrıa Euclıdea:hiperbola, elipse y parabola. Como se mostro antes en la geometrıa proyectiva estos tres tiposde conicas son proyectivamente equivalentes a un cırculo. Sin embargo, en la geometrıa afın laclasificacion Euclıdea es aun valida debido a que depende solo de la relacion de l∞ a la conica. Larelacion para estos tres tipos de conicas se ilustra en la figura 1.18.

1.7. PUNTOS Y LINEAS FIJAS 39

ll l

Figura 1.18: Clasificacion afın de conicas de puntos. Una conica es una (a) elipse, (b) parabolao (c) hiperbola; de acuerdo a si (a) no tiene interseccion real, (b) es tangente a (2 puntos de contacto)o (c) tiene 2 intersecciones reales con l∞. Bajo una transformacion afın l∞ es una lınea fija, y sepreservan las intersecciones. Ası, esta clasificacion no es alterada por una afinidad.

1.7 Puntos y lıneas fijas

Se ha visto, por medio de los ejemplos de l∞ y los puntos circulares, que estos puntos y lıneaspueden ser fijos bajo transformaciones proyectivas.

Aquı, los planos origen y destino son identificados (son los mismos) tal que la transformacion mapeapuntos x a puntos x′ en el mismo sistema de coordenadas. La idea clave es que un autovectorcorresponde a un punto fijo de la transformacion, debido a que para un autovector e con autovalorλ,

He = λe

y e y λe representan el mismo punto. Frecuentemente los autovectores y autovalores tienen signifi-cado fısico o geometrico en aplicaciones de vision por computadora. Una matriz de 3× 3 elementosposee 3 autovalores y consecuentemente una transformacion proyectiva plana tiene a lo mas trespuntos fijos, si los autovalores son distintos. Debido a que la ecuacion caracterıstica es cubica eneste caso, uno o los tres autovalores, y sus correspondientes autovectores son reales. Un desarrollosimilar se puede obtener para lıneas fijas, ya que las lıneas se transforman por l′ = H−>l, entoncesse corresponden a los autovectores de H>.

La relacion entre los puntos fijos y las lıneas fijas se muestra en la figura 1.19. Note que las lıneasson fijas como un conjunto, no fijas punto a punto, es decir un punto sobre la lınea es mapeadoa otro punto sobre la misma lınea. No hay misterio aquı: La transformacion proyectiva del planoinduce una transformacion proyectiva 1D sobre la lınea. Una transformacion proyectiva 1D estarepresentada por una matriz homogenea de 2 × 2. Esta proyectividad 1D tiene 2 puntos fijoscorrespondientes a los 2 autovectores de la matriz de 2 × 2. Estos puntos fijos son aquellos dela transformacion proyectiva 2D. Una especializacion mas concierne a los autovalores repetidos.Suponga que dos de los autovalores (por decir λ2, λ3) son identicos, y que hay dos autovectoresdistintos (e2, e3), correspondientes a λ2 = λ3. Entonces la lınea conteniendo los autovectores e2,e3 sera fija punto a punto, es decir es un lınea de puntos fijos. Por suposicion sea x = αe2 + βe3;entonces


e

e

e

1

2

3

e

e

e

1

2

3

x x /

H

Figura 1.19: Puntos y lıneas fijas de la transformacion proyectiva del plano. Hay trespuntos fijos, y tres lıneas fijas a traves de estos puntos. Los puntos y lıneas fijas pueden sercomplejos. Algebraicamente, los puntos fijos son los autovectores, ei, de la transformacion depuntos (x′ = Hx), y las lıneas fijas los autovectores de la transformacion de lıneas (l′ = H−>l).Note que las lıneas fijas no son fijas punto a punto: bajo la transformacion, los puntos sobre lalıneas son mapeados a otros puntos sobre la lınea; solo los puntos fijos son mapeados sobre ellosmismos.

Hx = λ2αe2 + λ2βe3 = λ2x

es decir un punto sobre la lınea a traves de 2 autovectores degenerados es mapeado a si mismo (solodifieren en la escala). Otra posibilidad es que λ2 = λ3, pero haya solo un correspondiente autovector.En este caso el autovector tiene dimension algebraica igual a 2, pero dimension geometrica iguala 1. Entonces hay menos puntos fijos (2 en lugar de 3). Se examina ahora los puntos fijos y laslıneas fijas de la jerarquıa de los subgrupos de la transformacion proyectiva (seccion 1.3). Lastransformaciones afines y las formas mas especializadas, tienen 2 autovectores los cuales son puntosideales (x3 = 0), y los cuales corresponden a los autovectores de la matriz de 2×2 superior izquierdade la transformacion. El tercer autovector por lo general es finito.

Una matriz Euclıdea

Los dos puntos fijos ideales son el par complejo conjugado de puntos circulares I, J, con autovalorescorrespondientes a ejθ, e−jθ, donde θ es el angulo de rotacion. El tercer autovector, el cual tieneautovalor unitario, es llamado el polo. La transformacion Euclıdea es igual a una rotacion pura porθ alrededor de este punto (sin traslacion).

Un caso especial es el de una traslacion pura (es decir cuando θ = 0). Aquı los autovalores sontriplemente degenerados. La lınea en el infinito es fija punto a punto y hay un haz de lıneas fijas atraves del punto (tx, ty, 0)> el cual corresponde a la direccion de la traslacion. Consecuentemente,las lıneas paralelas a t son fijas. Este es un ejemplo de una elacion.

Una matriz de semejanza

Los dos puntos fijos ideales son otra vez los puntos circulares. Los autovalores son 1, sejθ, se−jθ.Se puede comprender la accion como una rotacion y un escalado isotropico por s alrededor del

1.7. PUNTOS Y LINEAS FIJAS 41

punto fijo finito. Note que los autovalores de los puntos circulares otra vez codifican el angulo derotacion.

Una matriz afın

Los dos puntos fijos ideales pueden ser reales o complejos conjugados, pero la lınea fija l∞ =(0, 0, 1)> a traves de estos puntos es real en cualquiera de los casos.


Capıtulo 2

Geometrıa Proyectiva yTransformaciones de 3D

2.1 Puntos y Transformaciones Proyectivas

Un punto X en el espacio 3D esta representado en coordenadas homogeneas como un vector de 4elementos. Especıficamente, el vector homogeneo X = (X1, X2, X3, X4)> con X4 6= 0 representa elpunto (X,Y, Z)> de IR3 con coordenadas inhomogeneas,

X = X1X4

, Y = X2X4

, Z = X3X4

.

Por ejemplo, una representacion homogenea de (X,Y, Z)> es X = (X, Y, Z, 1)>. Los puntos ho-mogeneos con X4 = 0 representan puntos en el infinito.

Una transformacion proyectiva sobre IP 3 es una transformacion lineal sobre vectores homogeneosde 4 dimensiones representada por una matriz de 4×4 elementos no singular: X′ = HX. La matrizH que representa la transformacion es homogenea y posee 15 grados de libertad. Los grados delibertad estan dados por los 16 elementos de la matriz menos uno que se utiliza como escala.

Como en el caso de la transformacion proyectiva planar, el mapeo es una colineacion (las lıneas sonmapeadas a lıneas), lo cual preserva las relaciones de incidencia tales como el punto de interseccionentre una lınea y un plano, y el orden de contacto.

2.2 Representacion y transformacion de planos, lıneas y cuadricas

En IP 3 los puntos y los planos son duales, y su representacion y desarrollo es analogo a la dualidadpunto–lınea en IP 2. La lıneas son auto–duales en IP 3.

43

44 CAPITULO 2. GEOMETRIA PROYECTIVA Y TRANSFORMACIONES DE 3D

2.2.1 Planos

Un plano en el espacio IR3 se puede escribir como,

π1X + π2Y + π3Z + π4 = 0. (2.1)

Claramente, si esta ecuacion se multiplica por un escalar distinto de cero no se vera afectada,ya que solo las tres relaciones independientes π1 : π2 : π3 : π4 de los coeficientes del plano sonsignificativas. Por lo tanto, un plano posee 3 grados de libertad en el espacio IR3. La representacionhomogenea del plano es el vector de 4 dimensiones π = (π1, π2, π3, π4)>.

Convirtiendo la ecuacion 2.1 a coordenadas homogeneas, reemplazando X 7→ X1/X4, Y 7→ X2/X4,Z 7→ X3/X4 se obtiene,

π1X1 + π2X2 + π3X3 + π4X4 = 0

o en notacion matricial,

π>X = 0 (2.2)

la cual expresa que el punto X esta sobre el paso π.

Las primeras tres componentes de π corresponden al plano normal de la geometrıa Euclıdea –utilizando notacion inhomogenea la ecuacion 2.2 se convierte en la ecuacion familiar del plano,n.X + d = 0, donde n = (π1, π2, π3)> (vector gradiente), X = (X, Y, Z)>, X4 = 1 y d = π4.De esta forma, d

‖n‖ es la distancia al plano desde el origen.

Relaciones de union e incidencia

En IP 3 existen numerosas relaciones geometricas entre planos, puntos y lıneas. Por ejemplo,

1. Un plano queda definido unıvocamente por la union de tres puntos, o la union de un punto yuna lınea, en posicion general (es decir los puntos no son colineales o el punto no pertenece ala lınea).

2. Dos planos distintos se intersectan en una unica lınea.

3. Tres planos distintos se intersectan en un unico punto.

Estas relaciones tienen representaciones algebraicas las cuales seran desarrolladas para el caso depuntos y planos. La representaciones de las relaciones involucrando lıneas no son tan simples comolas estudiadas en para el caso de IP 2, (por ejemplo l = x × y), y por lo tanto seran estudiadascuando se introduzca las representaciones de lıneas en la seccion 2.2.2.

2.2. REPRESENTACION Y TRANSFORMACION DE PLANOS, LINEAS Y CUADRICAS 45

Tres puntos definen un plano

Suponga que tres puntos Xi pertenecen al plano π. Entonces cada punto satisface la ecuacion 2.2y ası π>Xi = 0, i = 1, . . . , 3. Apilando estas ecuaciones en una matriz se obtiene,

X>1

X>2

X>3

π = 0. (2.3)

Debido a que tres puntos X1, X2 y X3 en posicion general son linealmente independientes, lamatriz de 3 × 4 elementos compuesta por los puntos como filas posee rango tres (3). El planoπ definido por lo puntos es ası obtenido univocamente a menos de un factor de escala como elespacio nulo derecho unidimensional. Si la matriz posee rango 2, y consecuentemente el espacionulo tambien es de dimension 2, entonces los puntos son colineales, y definen un haz de planos conla lınea de puntos colineales como su eje.

En IP 2, donde los puntos son duales a la lıneas, una lınea l a traves de los puntos x, y se puedeobtener por un mecanismo similar como el espacio nulo de la matriz de 2×3 elementos formada porlos puntos x> y y> como filas. Sin embargo, una formula mas directa y conveniente es l = x × y.En IP 3 la expresion analoga se obtiene de las propiedades de los menores y determinantes.

El punto de partida es la matriz M = [X, X1, X2, X3] compuesta por un punto generico X y lostres puntos Xi que definen el plano π. El determinante de M, detM = 0 cuando X pertenecea π debido a que el punto X se puede expresar como una combinacion lineal de los puntos Xi,= 1, . . . , 3. Expandiendo el determinante de M alrededor de la columna X se obtiene,

detM = X1D234 − X2D134 + X3D124 − X4D123

donde Dijk es el determinante formado por las filas ijk de la matriz de 3×4 elementos [X1, X2, X3].Debido a que el detM = 0 para puntos sobre el plano π se pueden extraer los coeficientes como,

π = (D234, −D134, D124, −D123)> . (2.4)

Esta es la solucion vectorial (el espacio nulo) de la ecuacion 2.3 anterior.

Ejemplo 2.2.1 Suponga que los tres puntos que definen el plano son,

X1 =(

X1

1

)X2 =

(X2

1

)X3 =

(X3

1

)

donde X = (X, Y, Z)>. Entonces


D234 =

∣∣∣∣∣∣

Y1 Y2 Y3

Z1 Z2 Z3

1 1 1

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

Y1 − Y3 Y2 − Y3 Y3

Z1 − Z3 Z2 − Z3 Z3

0 0 1

∣∣∣∣∣∣=

((X1 − X3

)×

(X2 − X3

))1

y de manera similar para las otras componentes obteniendo,

π =

(X1 − X3

)×

(X2 − X3

)

−X>3

(X1 × X2

) .

Este es el resultado familiar de la geometrıa vectorial Euclıdea donde, por ejemplo, el plano normalse calcula como

(X1 − X3

)×

(X2 − X3

).

Tres planos definen un punto

El desarrollo aquı es dual al caso de que tres puntos definen un plano. El punto de interseccion Xde los tres planos πi se puede calcular directamente como el espacio nulo (derecho) de la matriz de3 × 4 elementos de los planos como filas, es decir,

π>1

π>2

π>3

X = 0. (2.5)

Una solucion directa para X, en terminos de determinantes de las submatrices de 3 × 3, se obtienepor una formula analoga a la ecuacion 2.4.

Los siguientes dos resultados son analogıas directas de sus contrapartes bidimensionales.

Transformacion Proyectiva

Bajo la transformacion de puntos X′ = HX, un plano se transforma como,

π′ = H−>π (2.6)

Puntos parametrizados sobre un plano

los puntos X sobre el plano π se pueden escribir como

X = Mx (2.7)


Figura 2.1: Una lınea se puede especificar por sus puntos de interseccion con dos planos ortogonales.Cada punto de interseccion tiene dos grados de libertad, lo que demuestra que una lınea en IP 3

tiene un total de cuatro grados de libertad.

donde las columnas de la matriz M de 4 × 3 elementos generan el espacio nulo de rango 3 de π>,es decir π>M = 0, y el vector de 3 dimensiones x (que es un punto sobre el plano proyectivo IP 2)parametriza puntos sobre el plano π. La matriz M no es unica, por supuesto. Suponga que el planoπ = (a, b, c, d)> y a no es cero, entonces M> se puede escribir como M> = [p|I3×3], dondep = (−b/a, −c/a, −d/a)>. Esta representacion parametrizada es simplemente la analoga en 3Dde la lınea en IP 2 definida como una combinacion lineal de su especio nulo 2D como x = µa+λb,donde l>a = l>b = 0.

2.2.2 Lıneas

Una lınea esta definida por la union de dos puntos o la interseccion de dos planos. Las lıneas poseen4 grados de libertad en el espacio de 3 dimensiones. Un camino conveniente para contar estos gradosde libertad es pensar la lınea como definida por su interseccion con 2 planos ortogonales, como en lafigura 2.1. El punto de interseccion sobre cada plano se especifica por dos parametros, produciendoun total de 4 grados de libertad para la lınea.

Las lıneas son muy difıciles de representar en el espacio de 3 dimensiones debido a que una rep-resentacion natural para un objeto con 4 grados de libertad requiere de un vector homogeneo de5 componentes. El problema es que un vector homogeneo de 5 componentes no puede usarsefacilmente en expresiones matematicas junto a vectores de 4 componentes representando puntos yplanos. Para solucionar este problema se han propuesto un gran numero de representaciones delıneas, y estas difieren en su complejidad matematica. Se estudiaran 3 de estas representaciones.En cada caso la representacion provee un mecanismo para definir una lınea como: La union de dospuntos, una version dual donde la lınea se define por la interseccion 2 planos, y tambien un mapeoentre las dos definiciones anteriores. Las representaciones tambien permiten que sean calculadas


las relaciones de union e incidencia, por ejemplo el punto en el cual una lınea intersecta a un plano.

I. Espacio nulo y representacion de alcance

Esta representacion se construye sobre la nocion geometrica intuitiva de que una lınea es un haz(familia de un parametro) de puntos colineales, y se define por dos de estos puntos. De manerasimilar, una lınea es el eje de un haz de planos, y se define por la interseccion de dos planos cualquieradel haz. En ambos casos los puntos o planos reales no son importantes (en efecto 2 puntos poseen6 grados de libertad y se representan por 2 vectores de 4 dimensiones). Esta nocion es capturadamatematicamente representando una lınea como el alcance (span) de 2 vectores. Suponga que A,B son dos puntos en el espacio (no coincidentes). Entonces la lınea que une estos dos puntos estarepresentada por el alcance (span) del espacio fila de la matriz W de 2 × 4 elementos compuestade A> y B> como filas:

W =(

A>

B>

).

Entonces:

1. El alcance (span) de W> es el haz de puntos λA + µB sobre la lınea.

2. El alcance (span) del espacio nulo derecho bidimensional de W es el haz de planos con lalınea como eje.

Es evidente que otros dos puntos cualquiera, A′> y B′>, sobre la lınea generaran una matriz W′

con el mismo alcance (span) de W, tal que el alcance (span), y de aquı que la representacion, esindependiente de los puntos particulares utilizados para definirlo.

Para probar la propiedad del espacio nulo, suponga que P y Q son una base para el espacio nulo.Entonces WP = 0 y consecuentemente A>P = B>P = 0, tal que P es un plano que contienelos puntos A y B. De manera similar, Q es un plano distinto que tambien contiene los puntos Ay B. Ası A y B pertenecen a ambos planos (linealmente independientes) P y Q, tal que la lıneadefinida por W es la interseccion de los planos. Cualquier plano del haz, con la lınea como eje,esta dada por el alcance (span) λ′P + µ′Q.

La representacion dual de la lınea como la interseccion de dos planos, P y Q se obtiene de manerasimilar. La lınea esta representada como el alcance (span) (del espacio fila) de la matriz W∗ de2 × 4 compuesta de P> y Q> como filas:

W∗ =(

P>

Q>

).

con las propiedades

1. El alcance (span) de W∗> es el haz de planos λ′P + µ′Q con la lınea como eje.


2. El alcance (span) del espacio nulo bidimensional de W∗ es el haz de puntos sobre la lınea.

Las dos representaciones estan relacionadas por W∗W> = WW∗> = 02×2, donde 02×2 es unamatriz nula de 2 × 2 elementos.

Ejemplo 2.2.2 El eje X esta representado por

W =(

0 0 0 11 0 0 0

)W∗ =

(0 0 1 00 1 0 0

)

donde los puntos A y B son el origen y el punto ideal en la direccion de X, y P, Q son los planosXY y XZ respectivamente.

Las relaciones de union e incidencia tambien se calculan desde los espacios nulos.

1. El plano π definido por la union del punto X y la lınea W se obtiene del espacio nulo de

M =(

WX>

).

Si el espacio nulo de M es de dimension 2 entonces X esta en W, de otra manera Mπ = 0.

2. El punto X definido por la interseccion de la lınea W con el plano π se obtiene del espacionulo de

M =(

W∗

π>

).

Si el espacio nulo de M es de dimension 2 entonces la lınea W esta sobre el plano π, de otromodo MX = 0.

Estas propiedades pueden derivarse casi por inspeccion. Por ejemplo, el primero es equivalente atres puntos definiendo un plano 2.3.

La representacion de alcance (span) es muy util en implementaciones numericas practicas en dondelos espacios nulos se pueden calcular simplemente utilizando el algoritmo SVD disponible en lamayorıa de los paquetes de calculo con matrices. La representacion es tambien util en problemasde estimacion, donde no es frecuente que la entidad siendo estimada este sobre–parametrizada.

II. Matrices de Plucker

Aquı una lınea se representa por una matriz homogenea antisimetrica de 4 × 4 elementos. Enparticular, la lınea que una los dos puntos A y B se representa por la matriz L con elementos

lij = AiBj − BiAj


o de manera equivalente en notacion vectorial como,

L = AB> − BA> (2.8)

Veamos algunas propiedades de L:

1. L tiene rango 2. Su espacio nulo bidimensional es generado por el haz de planos con la lıneacomo eje (en efecto AW∗> = 0, con 0 una matriz nula de 4 × 2 elementos).

2. La representacion tiene los 4 grados de libertad requeridos para una lınea. Esto se deducecomo sigue: la matriz antisimetrica tiene 6 elementos distintos de cero independientes, perosolo sus 5 relaciones son significativas, y por lo tanto debido a que det L = 0 los elementossatisfacen una restriccion (cuadratica). El numero neto de grados de libertad es entonces 4.

3. La relacion L = AB> − BA> es la generalizacion al espacio de 4 dimensiones de la formuladel producto vectorial l = x × y de IP 2 para la lınea l definida por dos puntos x e yrepresentados por vectores de dimension 3.

4. La matriz L es independiente de los puntos A y B utilizados para definirla, ya que si se usaun punto diferente C de la lınea, con C = A + µB, entonces la matriz resultante es

L = AC> − CA> = A(A> + µB>

)− (A + µB)A> = AB> − BA> = L.

5. Bajo la transformacion de puntos X′ = HX, la matriz transforma como L′ = HLH>, esdecir es un tensor de valencia 2.

Ejemplo 2.2.3 De la ecuacion 2.8 el eje X se representa como,

L =

0001

(1 0 0 0

) −

1000

(0 0 0 1

)=

0 0 0 −10 0 0 00 0 0 01 0 0 0

donde los puntos A y B son (como en el ejemplo anterior) el origen y el punto ideal en la direccionX respectivamente.

Una representacion Plucker dual L∗ se obtiene por la lınea formada por la interseccion de los dosplanos P y Q,

L∗ = PQ> − QP> (2.9)

y tiene propiedades similares a L. Bajo la transformacion de puntos X′ = HX, la matriz transformacomo L∗′

= H−>LH−1. La matriz L∗ se puede obtener directamente desde L por una simpleregla de escritura:


l12 : l13 : l14 : l23 : l42 : l34 = l∗34 : l∗42 : l∗23 : l∗14 : l∗13 : l∗12. (2.10)

La regla de correspondencia es muy simple: los ındices de las componentes original y dual siempreincluyen todos los numeros 1, 2, 3, 4, ası si el original es ij entonces el dual posee aquellosnumeros de 1, 2, 3, 4 los cuales no son ij. Por ejemplo 12 7→ 34.

Las propiedades de union e incidencia se representan muy bien en esta notacion:

1. El plano definido por la union del punto X y la lınea L es

π = L∗X

y L∗X = 0 si y solo si, X esta en L.

2. El punto definido por la interseccion de la lınea L con el plano π es

X = Lπ

y Lπ = 0 si y solo si, L esta sobre π.

Las propiedades de dos (o mas) lıneas L1, L2, . . . pueden obtenerse del espaciom nulo de la matrizM = (L1, L2, . . .). Por ejemplo si las lıneas son coplanares entonces M> tiene un espacio nulounidimensional correspondiente al plano π de las lıneas.

Ejemplo 2.2.4 La interseccion del eje X con el plano X = 1 esta dado por X = Lπ como

X =

0 0 0 −10 0 0 00 0 0 01 0 0 0

100

−1

=

1001

el cual es el punto inhomogeneo (X, Y, Z)> = (1, 0, 0)>.

III. Coordenadas de lıneas de Plucker

Las coordenadas de lıneas de Plucker son los 6 elementos no cero de la matriz de Plucker anti-simetrica de 4 × 4 elementos (2.8) L, denominada1

1

L = l12, l13, l14, l23, l42, l34. (2.11)

1El elemento l42 es convencionalmente utilizado en lugar de l24 ya que esto elimina los negativos en muchas delas formulas subsecuentes.


Este es un vector homogeneo de 6 componentes, y por lo tanto es un elemento de IP 5. Evaluandoel det L = 0 que las coordenadas satisfacen la ecuacion,

l12l34 + l13l42 + l14l23 = 0. (2.12)

Un vector de dimension 6 L solo corresponde a una lınea en el espacio de 3 dimensiones si satisfacela ecuacion 2.12.

La interpretacion geometrica de esta restriccion es que las lıneas de IP 3 definen una superficie(co–dimension 1) en IP 5 que es conocida como la Cuadrica de Klein, un cuadrica debido a que losterminos de 2.12 son cuadraticos en las coordenadas de lıneas de Plucker.

Suponga dos lıneas L y L que son las uniones de los puntos A, B y A, B respectivamente. Las lıneasse intersectan si y solo si los cuatro puntos son coplanares. Una condicion necesaria y suficientepara esto es que el det

[A, B, A, B

]= 0. Se puede demostrar que el determinante se expande

como,

det[A, B, A, B

]= l12l34 + l12l34 + l13l42 + l13l42 + l14l23 + l14l23 =

(L|L

). (2.13)

Ya que las coordenadas de Plucker son independientes de los puntos particulares usados paradefinirlas, el producto bilineal

(L|L

)es independiente de los puntos utilizados en la derivacion y

solo depende de las lıneas L y L. Entonces se tiene,

Resultado 2.2.5 Dos lıneas L y L son coplanares (y ası se intersectan) si y solo si(L|L

)= 0

Este producto aparece en un gran numero de formulas utiles:

1. Un vector de dimension 6 L solo representa una lınea en IP 3 si (L|L) = 0. Esto es simple-mente repetir la restriccion de la cuadrica de Klein 2.12 anterior.

2. Suponga que las lıneas L y L son las intersecciones de los planos P, Q y P, Q respectivamente.Entonces, (

L|L)

= det(P, Q, P, Q

)

y otra vez las lıneas se intersectan si y solo si(L|L

)= 0.

3. Si L es la interseccion de los dos planos P y Q y L es la union de dos puntos A y B, entonces

(L|L

)=

(P>A

) (Q>B

)−

(Q>A

) (P>B

). (2.14)

Las coordenadas de Plucker son utiles en derivaciones algebraicas. Seran utilizadas al definir elmapeo desde una lınea en el espacio de 3 dimensiones a su imagen.


2.2.3 Cuadricas y cuadricas duales

Una cuadrica es una superficie en IP 3 difinida por la ecuacion

X>QX = 0 (2.15)

donde Q es una matriz simetrica de 4 × 4 elementos. Muchas de las propiedades de las cuadricasse obtiene directamente de aquella para las conicas. Para mencionar algunas:

1. Una cuadrica tiene 9 grados de libertad. Estos corresponden a los 10 elementos independientesde la matriz simetrica de 4 × 4 elementos menos uno para escalado.

2. Nueve puntos en posicion general definen una cuadrica.

3. Si la matriz Q es singular, entonces la cuadrica es degenerada, y se puede definir por menorcantidad de puntos.

4. Una cuadrica define una polaridad entre un punto y un plano, de manera similar a la polaridaddefinida por una conica entre un punto y una lınea. El plano π = QX es el plano polar delpunto X respecto a al cuadrica Q. En el caso de que Q sea no singular y el punto X estefuera de la cuadrica, el plano polar esta definido por los puntos de contacto con la cuadricaQ del cono de rayos a traves de X tangente a Q. Si X esta sobre Q, entonces QX es el planotangente a Q en X.

5. La interseccion del plano π con una cuadrica Q es una conica C. El calculo de la conica puedeser enganoso debido a que requiere de un sistema de coordenadas para el plano. Recordarde la ecuacion 2.7 que un sistema de coordenadas para el plano se puede definir por elespacio complemento a π como X = Mx. Los puntos sobre π estan sobre la cuadricasi X>QX = x>M>QMx = 0. Estos puntos pertenecen a la conica C, debido a quex>Cx = 0, con C = M>QM.

6. Bajo la transformacion de puntos X′ = HX, una cuadrica (de puntos) transforma como,

Q′ = H−>QH−1 (2.16)

La dual de una cuadrica es tambien una cuadrica. Las cuadricas duales son ecuaciones sobreplanos: los planos tangentes π a la cuadrica de puntos Q satisfacen π>Q∗π = 0, donde Q∗ =adjunta(Q), o Q−1 si Q es invertible. Bajo la transformacion de puntos X′ = HX, una cuadricadual transforma como

Q∗′= HQ∗H>. (2.17)

El algebra de proyectar una cuadrica es lejos mas simple para una cuadrica dual que para unacuadrica de puntos.


2.2.4 Clasificacion de la cuadricas

Debido a que la matriz, Q, que representa una cuadrica es simetrica, puede descomponerse comoQ = U>DU donde U es una matriz ortogonal real y D es una matriz diagonal real.

Ademas, escalando apropiadamente las filas de U, se puede escribir Q = H>DH donde D esdiagonal con elementos iguales a 0, 1 o −1. Se puede asegurar, ademas, que los elementos igualesa cero de la matriz D aparecen al final de la diagonal, y que los elementos +1 aparecen primero.Ahora, reemplazar Q = H>DH por D es equivalente a una transformacion proyectiva efectuadapor la matriz H (2.16). Ası, hasta una equivalencia proyectiva, se puede asumir que la cuadricaesta representada por una matriz D de la forma simple dada.

La firma de la matriz diagonal D, denotada por σ(D), se define como el numero de elementos+1 menos el numero de elementos −1. Esta definicion se puede extender a matrices simetricasreales arbitrarias Q definiendo σ(Q) = σ(D) tal que Q = H>DH, donde H sea una matriz real.Se puede probar que la firma esta bien definida, siendo independiente de la eleccion particular deH. Debido a que la matriz que representa una cuadrica esta definida solo a menos de un signo,se puede asumir que su firma es no–negativa. Entonces el tipo proyectivo de una cuadrica quedaunıvocamente determinado por su rango y su firma. Esto permitira enumerar las diferentes clasesde equivalencias proyectivas de las cuadricas.

Una cuadrica representada por una matriz diagonal diag(d1, d2, d3, d4) corresponde a un conjuntode puntos satisfaciendo la ecuacion d1X2 + d2Y 2 + d3Z2 + d4T 2 = 0. Se puede colocar T = 1y conseguir una ecuacion para puntos no ideales sobre la cuadrica. (ver la Tabla 2.1). Las figuras2.2 a 2.4 muestran ejemplos de superficies cuadricas.

Rango σ Diagonal Ecuacion Realizacion4 4 (1, 1, 1, 1) X2 + Y 2 + Z2 + 1 = 0 No puntos reales

2 (1, 1, 1, −1) X2 + Y 2 + Z2 = 1 Esfera0 (1, 1, −1, −1) X2 + Y 2 = Z2 + 1 Hiperboloide de una hoja

3 3 (1, 1, 1, 0) X2 + Y 2 + Z2 = 0 Un punto en (0, 0, 0, 1)>

1 (1, 1, −1, 0) X2 + Y 2 = Z2 Cono en el origen2 2 (1, 1, 0, 0) X2 + Y 2 = 0 Lınea unica (eje Z)

0 (1, −1, 0, 0) X2 = Y 2 Dos planos (X = ±Y )1 1 (1, 0, 0, 0) X2 = 0 El plano X = 0

Tabla 2.1: Categorizacion de las cuadricas de puntos.

Cuadricas regladas

Las cuadricas caen en dos clases – Cuadricas regladas y no regladas. Una cuadrica reglada es aquellacuadrica que contiene una lınea recta. Mas particularmente, la cuadrica reglada no degenerada(el hiperboloide de una hoja) contiene dos familias de lıneas rectas llamadas generadoras. Parapropiedades de la cuadricas regladas, referirse a [?].

2.3. CUBICAS PLEGADAS O RETORCIDAS 55

Figura 2.2: Cuadricas no regladas. Esta figura muestra dibujos de una esfera , un elipsoide, unhiperboloide de dos hojas y un paraboloide. Todas ellas son proyectivamente equivalentes.

Las cuadricas mas interesantes son las cuadricas de rango 4. Note que estas dos cuadricas di-fieren incluso en su tipo topologico. La cuadrica de firma 2 (la esfera) es (obviamente suficiente)topologicamente una esfera. Por otro lado, el hiperboloide de una hoja no es topologicamenteequivalente (homomorfico) a una esfera. En efecto, este es topologicamente un toroide (torus)(topologicamente equivalente a S1 × S1). Esto da la mas clara indicacion de que ellas no sonproyectivamente equivalentes.

2.3 Cubicas plegadas o retorcidas

La cubica plegada puede considerarse como la analoga tridimensional a la conica. Una conica enel plano proyectivo bidimensional se puede describir como una curva parametrizada dada por laecuacion,

x1

x2

x3

= A

1θθ2

=

a11 + a12θ + a13θ2

a21 + a22θ + a23θ2

a31 + a32θ + a33θ2

(2.18)

donde A es una matriz de 3 × 3 elementos no singular.

De manera analoga, una cubica plegada se define como una curva en IP 3 dada en forma parametricacomo,

x1

x2

x3

x4

= A

1θθ2

θ3

=

a11 + a12θ + a13θ2 + a14θ3

a21 + a22θ + a23θ2 + a24θ3

a31 + a32θ + a33θ2 + a34θ3

a41 + a42θ + a43θ2 + a44θ3

(2.19)

donde A es una matriz de 4 × 4 elementos no singular.


Figura 2.3: Cuadricas regladas. Se muestran dos ejemplos de un hiperboloide de una hoja. Estassuperficies estan representadas por las ecuaciones X2+Y 2 = Z2+1 y XY = Z respectivamente,y son proyectivamente equivalentes. Note que estas dos superficies estan construidas a partir dedos conjuntos disjuntos de lıneas rectas, y que cada lınea de un conjunto se intersecta con todaslas lıneas del otro conjunto.

Figura 2.4: Cuadricas Degeneradas. Las dos cuadricas degeneradas mas importantes son elcono y los dos planos. Estas dos cuadricas son regladas. La matriz que representa el cono tienerango tres, y el vector nulo representa el punto nodal del cono. La matriz que representa los dosplanos no coincidentes tiene rango 2, y los dos generadores del espacio nulo de rango 2 son dospuntos en la lınea interseccion de los planos.

2.4. LA JERARQUIA DE LAS TRANSFORMACIONES 57

Figura 2.5: Varias vistas de la cubica plegada (t3, t2, t)>. La curva es pensada como un tubo parafavorecer la visualizacion.

Debido a que una cubica es quizas un objeto poco familiar, se muestran en la figura 2.5 variasvistas de la curva. En efecto, una cubica de este tipo es una curva espacial bastante benigna??????

Propiedades de una cubica retorcida

Sea c una cubica plegada no singular. Entonces c no esta contenida en algun plano de IP 3; intersectaa un plano generico en tres puntos distintos. Una cubica plegada tiene 12 grados de libertad (delas 15 posibles de la matriz A, menos 3 para una proyectividad 1D sobre la parametrizacion θ,la cual deja la curva inalterada). Requerir que la curva pase a traves del punto X coloca dosrestricciones en c, debido a que X = A(1, θ, θ2, θ3)> son tres relaciones independientes, pero solo2 restricciones una vez que θ es eliminada. Ası, hay una unica c a traves de 6 puntos en posiciongeneral. Finalmente, todas las cubicas plegadas no degeneradas son proyectivamente equivalentes.Esto es claro de la definicion dada por la ecuacion 2.19: una transformacion proyectiva A−1 mapeac a la forma estandar c(θ) = (1, θ

′, θ

′2, θ′3)>, y debido a que todas las cubicas plegadas pueden

ser mapeadas a esta curva, entonces todas la cubicas plegadas son proyectivamente equivalentes.

En [Semple79] se da una clasificacion de varios casos especiales de una cubica plegada, tal comouna conica y lıneas coincidentes. La cubica plegada se parece al horoptero para la geometrıa dedos vistas y juega el rol central en la definicion del conjunto degenerado para el reseccionamientode la camara.

(esto ultimo es un asco – Traducir de nuevo)

2.4 La jerarquıa de las transformaciones

Hay un gran numero de especializaciones de una transformacion proyectiva en el espacio tridimen-sional, que seran muy utilizadas en este curso. Las especializaciones son analogas a las estudiadaspara la geometrıa planar. Cada especializacion es un sub–grupo, y se identifica por su forma ma-


Grupo Matriz Distorsion Propiedades invariantes

Proyectivo (15dof)[

A tv> v

]figura Interseccion y tangencia de superfi-

cies en contacto. Signo de la cur-vatura Gausiana.

Afın (12 dof)[

A t0> 1

]figura Paralelismo de planos, relacion de

volumen, centroides. El plano en elinfinito, π∞.

Semejanza (7 dof)[

sR t0> 1

]figura La conica absoluta, Ω∞.

Euclıdea (6 dof)[

R t0> 1

]figura Volumen.

Tabla 2.2: Propiedades geometrica invariantes de las transformaciones del espacio tridi-mensional La matriz A es una matriz de 3×3 elementos, R es una matriz de rotacion en el espaciotridimensional, t = (tX , tY , tZ)> un vector de traslacion en 3D, v un vector generico en 3D, ves un escalar, y 0 = (0, 0, 0)> un vector nulo en 3D. La columna distorsion muestra los efectostıpicos de las transformaciones sobre un cubo. las transformaciones que aparecen en las primerasfilas de la tabla pueden producir todas las acciones de las transformaciones en las ultimas filas,donde solo traslaciones y rotaciones ocurren.

tricial, o equivalentemente por sus invariantes. En la tabla 2.2 se resumen estas especializaciones.Esta tabla lista solo las propiedades adicionales de las transformaciones del espacio tridimensionalsobre sus contrapartes bidimensionales. Las transformaciones del espacio tridimensional tambienposeen los invariantes listados en la tabla ?? para las transformaciones bidimensionales.

Los 15 grados de libertad de una transformacion proyectiva se obtienen de los 7 grados delibertad de una semejanza (tres para la rotacion, tres para la traslacion y uno para el escaladoisotropico), 5 para el escalado afın, y tres para la parte proyectiva de la transformacion.

Dos de las caracterizaciones mas importantes de estas transformaciones son los angulos y elparalelismo. Por ejemplo, despues de una transformacion afın, las lıneas que eran paralelas original-mente permanecen paralelas, pero los angulos son distorsionados; y despues de una transformacionproyectiva el paralelismo es perdido.

En los parrafos siguientes se describira brevemente una descomposicion de una transformacionEuclıdea que sera util cuando se discuta los movimientos especiales.

2.4.1 La descomposicion espiral

Una transformacion Euclıdea en el plano se puede considerar como una especializacion de unatransformacion Euclıdea del espacio de 3 dimensiones con la restriccion que el vector traslacion tpermanezca en el plano, y el eje de rotacion sea perpendicular al plano. Sin embargo, las accionesEuclıdeas en el espacio 3 dimensional son mas generales que esto debido a que el eje de rotacion y

2.4. LA JERARQUIA DE LAS TRANSFORMACIONES 59

t

y

x

yO /

/

/

S

y

x

yO /

/

/

R( )θ

θ

O Ox x

Figura 2.6: Movimiento Euclıdeo 2D y un eje espiral. (a) El sistema de coordenadas x, yse someta a una traslacion t⊥ y a una rotacion θ para alcanzar el sistema de coordenadas x′, y′.El movimiento esta en el plano ortogonal al eje de rotacion. (b) Este movimiento es equivalente auna unica rotacion alrededor del eje espiral S. El eje espiral yace sobre el bisector perpendicularde la lınea uniendo los puntos correspondientes, tal que el angulo entre las lıneas uniendo S alos puntos correspondientes es θ. En la figura los puntos correspondientes son los orıgenes de lossistemas de coordenadas y θ tiene 90.

la traslacion en general no son perpendiculares. La descomposicion espiral permite que cualquieraccion Euclıdea (una rotacion compuesta con una traslacion) sea reducida a una situacion casi tansimple como para el caso 2D. La descomposicion espiral es tal que,

Resultado 2.4.1 Cualquier traslacion y rotacion particular es equivalente a una rotacion alrededorde un eje espiral junto con una traslacion a lo largo del eje espiral. El eje espiral es paralelo al ejede rotacion.

En el caso de una traslacion y un eje de rotacion ortogonal (denominado movimiento planar), elmovimiento es equivalente a una rotacion sola alrededor del eje espiral.

Prueba Una prueba geometrica constructiva se puede visualizar facilmente a traves de un dibujo.Considere primero el caso 2D – una transformacion Euclıdea sobre el plano. Es evidente a partirde la figura 2.6 que existe un eje espiral para una transformacion 2D. Para el caso 3D, se debedescomponer la traslacion t en dos componentes t = t‖ + t⊥, paralela y perpendicular respectiva-mente a la direccion del eje de rotacion (t‖ = (t.a)a, t⊥ = t − (t.a)a. Entonces el movimientoEuclıdeo es particionado en dos partes: primero una rotacion alrededor del eje espiral, el cual cubrela rotacion y t⊥; segundo una traslacion por t‖ a lo largo del eje espiral. El movimiento completose muestra en la figura 2.7.

La descomposicion espiral se puede determinar de los puntos fijos de la matriz de 4×4 elementosque representa la transformacion Euclıdea.


tO

θ

O /

S

a

screwaxis

t

O O /

S

O /

a

screwaxis S /

Figura 2.7: Movimiento Euclıdeo 3D y la descomposicion espiral. Cualquier rotacionEuclıdea R y traslacion t se pueden lograr por (a) una rotacion alrededor de un eje espiral, seguidapor (b) una traslacion a lo largo del eje espiral por t‖. Aquı a es la direccion unitaria del eje derotacion (tal que Ra = a), y t se descompone como t = t⊥ + t‖, los cuales son las componentesvectoriales perpendicular y paralela respectivamente a la direccion del eje de rotacion. El punto Ses el punto mas cercano a O sobre el eje espiral (tal que la lınea desde S a O es perpendicular a ladireccion de a). De manera similar, S′ es el punto sobre el eje espiral mas cercano a O′.

2.5 El plano en el Infinito

En geometrıa proyectiva planar, la identificacion de la lınea en el infinito permitio medir laspropiedades afın del plano. La identificacion de los puntos circulares permitio medir las propiedadesmetricas. En geometrıa proyectiva tri dimensional las entidades geometricas correspondientes sonel plano en el infintio π∞, y la conica absoluta, Ω∞.

El plano en el infinito tiene la posicion canonica π∞ = (0, 0, 0, 1)> en el espacio afın tri di-mensional. El contiene las direcciones D = (x1, x2, x3, 0)>), y permite la identificacion de laspropiedades afın tales como el paralelismo. En particular:

• Dos planos son paralelos si y solo si su lınea de interseccion esta sobre π∞.

• Una lınea es paralela a otra lınea, o a un plano, si el punto de interseccion esta sobre π∞.

Entonces en IP 3 se tiene que cualquier par de planos se intersectan en una lınea, con planos paralelosintersectandose en una lınea en el plano del infinito.

El plano π∞ es una representacion geometrica de los 3 grados de libertad requeridos para especificarlas propiedades afines en un sistema de coordenadas proyectivo. Brevemente, el plano en el infinitoes un plano fijo bajo cualquier transformacion afın, pero ”ve” (es movido por) una transformacionproyectiva. Los 3 grados de libertad de π∞ miden de esta manera la componente proyectiva deuna homografıa general – esto se deduce de los 15 dof de esta transformacion general comparado auna afinidad (12 dof). Mas formalmente:

Resultado 2.5.1 El plano en el infinito, π∞, es un plano fijo bajo una transformacion proyectivaH si y solo si H es una afinidad.

2.5. EL PLANO EN EL INFINITO 61

La prueba es analoga a la realizada para el caso bidimensional. Es util clarificar dos puntos:

1. El plano π∞ es en general, solo fijo como un conjunto bajo una afinidad, no es fijo punto apunto.

2. Bajo una afinidad particular ( por ejemplo, un movimiento Euclıdeo) pueden haber otrosplanos fijos ademas de π∞. Sin embargo, solo π∞es fijo bajo una afinidad cualquiera.

Estos puntos son ilustrados en mas detalle en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.5.2 Considerese la transformacion Euclıdea representada por la matriz

HE =(

R 00> 1

)=

cos θ − sin θ 0 0sin θ cos θ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

. (2.20)

Esto es una rotacion por theta alrededor del eje Z con una traslacion cero (es un movimientoespiral planar). Geometricamente es evidente que la familia de planos XY ortogonales al eje derotacion son simplemente rotados alrededor del eje Z por esta transformacion. Esto significa quehay un haz de planos fijos ortogonales al eje Z. Los planos son fijos como un conjunto, pero nopunto a punto ya que cualquier punto (finito) (no sobre el eje) es rotado en cırculos horizontalespor esta accion Euclıdea. Algebraicamente, los planos fijos de H son los autovectores de H>. Eneste caso los autovalores son eiθ, e−iθ, 1, 1 y los correspondientes autovectores de H>

E son

E1 =

1i00

E2 =

1−i00

E3 =

0010

E4 =

0001

.

Los autovectores E1 y E2 no corresponden a planos reales, y no los discutiremos aquı. Los au-tovectores E3 y E4 son degenerados. Ası, hay un haz de planos fijos que son generados por estosautovectores. El eje de este haz de planos es la lınea de interseccion de los planos (perpendicularesal eje Z) con π∞, y el haz incluye a π∞.

El ejemplo tambien ilustra la conexion entre la geometrıa del plano proyectivo, IP 2, y el espacioproyectivo, IP 3. Un plano π intersecta a π∞ en la lınea del infinito, l∞ sobre el plano π. Unatransformacion proyectiva de IP 3 induce una transformacion proyectiva del plano subordinada sobreπ.

Propiedades afines de una reconstruccion

En reconstruccion de imagenes se puede observar que las coordenadas proyectivas de la escena(Euclıdea) pueden ser reconstruidas desde vistas multiples. Una vez que π∞ es identificado en


el espacio proyectivo tridimensional, es decir, se conocen sus coordenadas proyectivas, es entoncesposible determinar las propiedades afınes de la reconstruccion tales como si entidades geometricasson paralelas – son paralelas si se intersectan sobre π∞.

Una aproximacion mas algorıtmica es transformar IP 3 tal que el plano π∞ identificado sea movidoa su posicion canonica en π∞ = (0, 0, 0, 1)>. Antes de este mapeo , se tiene la situacion en quela escena Euclıdea, donde π∞ tiene las coordenadas (0, 0, 0, 1)>, y nuestra reconstruccion estarelacionada por una transformacion proyectiva que fija π∞ en (0, 0, 0, 1)>. Del resultado ?? quela escena y la reconstruccion estan relacionadas por una transformacion afın. Ası las propiedadesafines pueden ahora ser mediadas directamente desde las coordenadas de las entidades.

2.6 La conica absoluta

La conica absoluta, Ω∞, es una conica de puntos en π∞. En un sistemas de coordenadas metricasπ∞ = (0, 0, 0, 1)>, y los puntos en Ω∞ satisfacen,

X21 + X2

2 + X23

X4

= 0. (2.21)

Noque las dos ecuaciones se requieren para definir a Ω∞.

Para las direcciones sobre π∞ (es decir puntos con X4 = 0) la ecuacion que define la conicaabsoluta se puede escribir como,

(X1, X2, X3)I(X1, X2X3)> = 0

tal que Ω∞ corresponde a la conica C con la matriz C = I. De esta manera es una conicaunicamente de puntos imaginarios sobre π∞.

La conica Ω∞ es una representacion geometrica de los 5 grados de libertad adicionales quese requieren para especificar las propiedades metricas es un sistema de coordenadas afın. Unapropiedad clave de Ω∞ es que es una conica fija bajo una transformacion de semejanza. Masformalmente:

Resultado 2.6.1 La conica absoluta, Ω∞, es una conica fija bajo la transformacion de perspectivaH si y solo si, H es una transformacion de semejanza.

Prueba: Debidoa que la conica absoluta pertenece al plano en el infinito, una transformacion defijacion debe fijar el plano en el infinito, y de aquı que debe ser afın. Tal transformacion es de laforma:

HA =(

A t0> 1

).

2.6. LA CONICA ABSOLUTA 63

Ω π

d

d

1

2

Ω π

d

l

Figura 2.8: Ortogonalidad y Ω∞. (a) Sobre π∞ las direcciones ortogonales d1, d2 son conjugadasrespecto a Ω∞. (b) Una direccion normal al plano d y la lınea de interseccion l del plano con π∞son la relacion polo–polar con respecto a Ω∞.

Restringido al plano en el infinito, la conica absoluta esta representada por la matriz I3×3, y debidoa que es fija por HA, se tiene que A−>IA−1 = I (a menos de un factor de escala), y tomandoinversas da AA> = I. Esto significa que A es ortogonal, y de aquı que representa una rotacionescalada, o una rotacion escalada con reflexion. Esto completa la prueba.

Aunque Ω∞ no tiene puntos reales, comparte las propiedades de cualquier conica – tal como queuna lınea intersecta una conica en dos puntos; la relacion polo–polar, etc. Se dan a continuacionalgunas propiedades particulares de Ω∞,

1. Ω∞ es solo fija como un conjunto por una semejanza general; no es fija punto apunto. Estosignifica que bajo una semejanza un punto sobre Ω∞puede viajar a otro punto sobre Ω∞,pero que no es mapeado a un punto fuera de la conica.

2. Todos los cırculos intersectan a Ω∞ en dos puntos. Suponga que el plano de soporte delcırculo es π. Entonces, π intersecta a π∞ en una lınea, y esta lınea intersecta a Ω∞en dospuntos. Estos dos puntos son los puntos circulares de π.

3. Todas las esferas intersectan a π∞en Ω∞.

Propiedades metricas

Una vez que Ω∞ ( y su plano de soporte π∞) ha sido identificado en el espacio proyectivo de 3dimensiones, entonces se pueden medir las propiedades metricas, tales como angulos y longitudesrelativas.

Considere dos lıneas con direcciones (vectores de 3 dimensiones) d1 y d2. El angulo entre estas


direcciones en un sistema de coordenadas global Euclıdeo esta dado por,

cos θ =(d>

1 d2)√(d>

1 d1)(d>2 d2)

. (2.22)

Esto se puede escribir como,

cos θ =(d>

1 Ω∞d2)√(d>

1 Ω∞d1)(d>2 Ω∞d2)

. (2.23)

donde d1 y d2 son los puntos de interseccion de las lıneas con el plano π∞ conteniendo la conicaΩ∞, y Ω∞ es la representacion matricial de la conica absoluta en ese plano. La expresion 2.23se reduce a la 2.22 en un sistema de coordenadas Euclıdeo , donde Ω∞ = I. Sin embargo, laexpresion es valida en cualquier sistema de coordenadas proyectivo como se puede verificar desdelas propiedades de la transformacion de puntos y conicas.

No hay una formula simple para el angulo entre dos planos calculado a partir de las direcciones ysus superficies normales.

Ortogonalidad y polaridad

Se muestra ahora una representacion geometrica de ortogonalidad en un espacio proyectivo basadosobre la conica absoluta. El dispositivo principal sera la relacion polo–polar entre un punto y unalınea inducida por una conica.

Una consecuencia inmediata de 2.23 es que las dos direcciones d1 y d2 son ortogonales si d>1 Ω∞d2 =

0. Ası la ortogonalidad esta codificada por la (conjugacy) con respecto a la conica Ω∞. La granventaja de esto es que la (conjugacy) es una relacion proyectiva, tal que en un sistema de coorde-nadas proyectivo (obtenido por una transformacion proyectiva del espacio tridimensional Euclıdeo)las direcciones se pueden identificar como ortogonales si son conjugadas con respecto a Ω∞ enese sistema de coordenadas (en general la matriz de Ω∞no es I en un sistema proyectivo). Larepresentacion geometrica de la ortogonalidad se muestra en la figura 2.8.

Esta representacion es util cuando se considera la ortogonalidad entre rayos en una camara, porejemplo, para determinar la normal al plano a traves del centro de la camara. Si los puntos imagenson conjugados con respecto a la imagende Ω∞ entonces los rayos correspondientes son ortogonales.

Otra vez, una aproximacion mas algorıtmica es transformar proyectivamente las coordenadas talque Ω∞sea mapeada a su posicion canonica 2.21, y luego se pueden determinar las propiedadesmetricas directamente desde esas coordenadas.

2.7. LA CUADRICA DUAL ABSOLUTA 65

2.7 La Cuadrica dual absoluta

Recuerda que Ω∞ estadefinida por 2 ecuaciones – esta es una conica sobre el plano en el infinito.La dual de la conica absoluta Ω∞ es una cuadrica dual degenerada en el espacio tridimensionalllamada la cuadrica dual absoluta, y denotada como Q∗

∞. Geometricamente Q∗∞ consiste de los

planos tangentes a Ω∞, tal que Ω∞ es el ”rim” de Q∗∞. Esta es llamada una ”rim cuadrica”.

Piense en el conjunto de planos tangente a un elipsoide, y luego aplaste (squash) el elipsoide a unpanqueque.

Algebraicamente Q∗∞ esta representado por una matriz homogenea de rango 3 de 4|times4 ele-

mentos, la cual en el espacio metrico tridimensional tiene la forma canonica,

Q∗∞ =

(I 0

0> 1

). (2.24)

Se mostrara que cualquier plano en la envolvente de la cuadrica absoluta dual es tangente a Ω∞, talque Q∗

∞ es verdaderamente una dual de Ω∞. Considere un plano representado por π = (v>, k)>.Este plano esta en la envolvente definida por Q∗

∞ si y solo si π>Q∗∞π = 0, lo cual dado la forma

de la ecuacion 2.24 es equivalente a v>v = 0. Ahora, v representa la lınea en la cual el plano(v>, k)> encuentra el plano en el infinito. Ası, la envolvente de Q∗

∞ se construye exactamente deaquellos planos tangentes a la conica absoluta.

Debido a que este es un hecho importante, lo consideramos desde otro angulo. Considere la conicaabsoluta como el lımite de una serie de elipsoides aplastados, llamados cuadricas representados porla matriz Q = diag(1, 1, 1, k). Conforme k → ∞, estas cuadricas se mueven junto al plano en elinfinito, y en el lımite los unicos puntos que ellas contienen son los puntos (X1, X2, X3, 0)> conX2

1 + X22 + X2

3 = 0, esto es puntos sobre la conica absoluta. Sin embargo, la dual de Q es lacuadrica Q∗ = Q−1 = diag(1, 1, 1, k−1), lo cual en el lımite se convierte en la cuadrica dual ala conica absoluta Q∗

∞ = diag(1, 1, 1, 0).

La cuadrica dual Q∗∞ es una cuadrica degenerada y tiene 8 grados de libertad (una matriz simetrica

tiene 10 elementos independientes, pero la escala es irrelevante y la condicion de determinante ceroreduce los grados de libertad en 1). Esta es unna representacion geometrica de los 8 grados delibertad que son requeridos para especificar las propiedades metricas en un sistema de coordenadasproyectivo.

Q∗∞ tiene una ventaja significativa sobre Ω∞ en manipulaciones algebraicas pues ambos π∞ y Ω∞

estan contenidos en un unico objeto geometrico (distinto a Ω∞ la cual requiere de dos ecuaciones2.21 para especificarla). Sus tres propiedades mas importantes son,

Resultado 2.7.1 La cuadrica dual absoluta Q∗∞, es fija bajo una transformacion proyectiva H si

y solo si H es una semejanza.

Prueba Se deduce directamente desde la invariancia de la conica absoluta bajo una transfor-macion de semejanza, ya que la relacion de tangencia planar entre Q∗

∞ y Ω∞ es invariante a latransformacion. No obstante, damos una prueba directa independiente.


Ya que Q∗∞ es una cuadrica dual , se transforma de acuerdo a (??), ası es fija bajo H si y solo si

Q∗∞ = HQ∗

∞H>. Aplicando esto con una transformacion arbitraria,

H =(

A tv> k

)

se encuentra que

(I 0

0> 0

)=

(A tv> k

) (I 0

0> 0

) (A> vt> k

)=

(AA> Avv>A> v>v

)

lo cual debe ser verdad a menos de un factor de escala. Por inspeccion, esta ecuacion se mantienesi y solo si v = 0 y A es una matriz ortogonal escalada (escalada, de rotacion y posible reflexion).En otras palabras, H es una transformacion de semejanza.

Resultado 2.7.2 El plano en el infinito π∞ es el vector nulo de Q∗∞.

Esto es facilmente verificado cuando Q∗∞ tiene su forma canonica dada por la ecuacion 2.24, en un

sistema de coordenadas metrico ya que, con π∞ = (0, 0, 0, 1)>, Q∗∞π∞ = 0. Esta propiedad

se mantiene si cualquier sistema de coordenadas como se puede deducir algebraicamente desdelas propiedades de transformacion de planos y cuadricas duales: Si X

′= HX, entonces Q∗

∞′=

HQ∗∞H>, π

′∞ = H−>π∞, y

Q∗∞

′π

′∞ =

(HQ∗

∞H>)

H−>π∞ = HQ∗∞π∞ = 0.

Resultado 2.7.3 El angulo entre dos planos π1 y π2 esta dado por

cos θ =π>

1 Q∗∞π2√

(π>1 Q∗∞π1)(π>

2 Q∗∞π2). (2.25)

Prueba Considere dos planos con coordenadas Euclıdeas π1 = (n>1 , d1)>, π2 = (n>

2 , d2)>.En un sistema de coordenadas Euclıdeo, Q∗

∞ tiene la forma de la ecuacion 2.24, y la ecuacion 2.25se reduce a

cos θ =n>

1 n2√(n>

1 n1)(n>2 n2)

el cual es el angulo entre los planos expresado en terminos del producto escalar de sus normales.

Si los planos y Q∗∞ son transformados proyectivamente, la ecuacion 2.25 aun determinara el angulo

entre los planos debido a las propiedades de la transformacion (covariante) de planos y cuadricasduales.

2.7. LA CUADRICA DUAL ABSOLUTA 67

Los detalles de la ultima parte de la prueba se dejan como ejercicio para el lector., pero son unaanalogıa directa 3D de la derivacion del resultado 1.5.6 sobre el angulo entre dos lıneas en IP 2

calculado utilizando el dual de los puntos circulares. Los planos en IP 3 son los analogos a las lıneasen IP 2, y la cuadrica dual absoluta es la analoga de la dual de los puntos circulares.

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Geometr¶‡a Proyectiva del Plano - dea.unsj.edu.ardea.unsj.edu.ar/imagenes/recursos/geo.pdf · 2 CAP¶ITULO 1. GEOMETR ¶IA PROYECTIVA DEL PLANO de vectores bajo esta relaci¶on