Geometría y Trigonometría - Página Web de CECyTE BCcecytebc.edu.mx/HD/archivos/guias_didacticas/geo_y_trig_2012-1... · y de portada por cualquier medio, ... Aprendamos a utilizar

Geometría yTrigonometría

Clemente Mora González Jefe del Departamentode Fomento Editorial

Leticia Mejia GarcíaCoordinadora de Fomento Editorial

Ulises Ramírez HernándezCoordinador de Diseño Gráfico

Miguel Antonio González VidalesGestión Administrativa

Mayra Guzmán GallegoDiseño Gráfico

DIRECCIÓN GENERALAv. Panamá #199 Esquina con Buenos Aires.Col. Cuauhtémoc SurTels. 01 (686) 9 05 56 00 al 08

Correo Electrónico: [email protected]ágina Web: www.cecytebc.edu.mx

CICLO ESCOLAR 2012-1Prohibida la reproducción total o parcialde esta obra incluido el diseño tipográficoy de portada por cualquier medio,electrónico o mecánico, sin el consentimientopor escrito del editor.

GESTIÓNDITORIAL

Nota:

Al personal Docente interesado en enriquecer el contenido del presente documento, le agradeceremos hacernos llegar sus comentarios o aportacionesa los siguientes correos:

[email protected]@cecytebc.edu.mx

José Guadalupe Osuna MillánGobernador del Estado

de Baja California

Javier Santillán PérezSecretario de Educación

y Bienestar Social del Estado

CECYTE BC

Adrian Flores LedesmaDirector General

Jesús Gómez EspinozaDirector Académico

Ricardo Vargas RamírezDirector de Administración y Finanzas

Olga Patricia Romero CázaresDirectora de Planeación

Argentina López BuenoDirectora de Vinculación

Ángela Aldana TorresJefe del Departamento de Evaluación Académica

MUNICIPIO DE MEXICALI

Cristina de los Ángeles Cardona RamírezDirectora del Plantel Los Pinos

Laura Gómez RodríguezEncargada del Plantel San Felipe

Carlos Zamora SerranoDirector del Plantel Bella Vista

Jesús Ramón Salazar TrillasDirector del Plantel Xochimilco

Rodolfo Rodríguez GuillénDirector del Plantel Compuertas

Abraham Limón CampañaDirector del Plantel Misiones

Francisco Javier Cabanillas GarcíaDirector del Plantel Guadalupe Victoria

Román Reynoso CervantesDirector del Plantel Vicente Guerrero

MUNICIPIO DE TIJUANA

Martha Xóchitl López FélixDirectora del Plantel El Florido

María de los Ángeles Martínez VillegasDirectora del Plantel Las Águilas

Amelia Vélez MárquezDirectora del Plantel Villa del Sol

Bertha Alicia Sandoval FrancoDirectora del Plantel Cachanilla

Rigoberto Gerónimo González RamosDirector del Plantel Zona Río

Jorge Ernesto Torres MorenoDirector del Plantel El Niño

Joel Chacón RodríguezDirector del Plantel El Pacífico

Efraín Castillo SarabiaDirector del Plantel Playas de Tijuana

Benito Andrés Chagoya MorteraDirector del Plantel Altiplano

Juan Martín Alcibia MartínezDirector del Plantel La Presa

MUNICIPIO DE ENSENADA

Alejandro Mungarro JacintoDirector del Plantel Ensenada

Emilio Rios MaciasDirector del Plantel San Quintín

MUNICIPIO DE ROSARITO

Manuel Ignacio Cota MezaDirector del Plantel Primo Tapia

Héctor Rafael Castillo BarbaDirector del Plantel Rosarito Bicentenario

MUNICIPIO DE TECATE

Christopher Díaz RiveraEncargado del Plantel Tecate

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ecto

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MENSAJE DEL GOBERNADOR DEL ESTADO

Jóvenes Estudiantes de CECYTE BC: La educación es un valuarte que deben apreciar durante su estancia en el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, dado la formación y calidad educativa que les ofrece la Institución y sus maestros.

Por ello, asuman el compromiso que el Gobierno del Estado hace para brindarles educación media superior, a fin de que en lo futuro tengan mejores satisfacciones de vida, y se conviertan en impulsores y promotores del crecimiento exitoso, con la visión que tiene nuestra entidad en el plano nacional.

Esta administración tiene como objetivo crear espacios y condiciones apropiadas para que en un futuro inmediato, el campo laboral tenga profesionistas técnicos de acuerdo al perfil de la industria que cada día arriba a nuestra entidad; por lo que los invito a ser mejores en sus estudios, en su familia y en su comunidad.

En ustedes se deposita la semilla del esfuerzo y dedicación que caracteriza a los bajacalifonianos. Son el estandarte generacional que habrá de marcar la pauta de nuestro desarrollo.Como Gobierno del Estado, compartimos el reto de ser formadores de los futuros profesionistas técnicos que saldrán del CECYTE BC.

Unamos esfuerzos, Gobierno, Sociedad, Maestros y Alumnos, para brindar y recibir una mejor educación en Baja California, ser punta de desarrollo humano, crecimiento industrial y económico, y factor importante del progreso de México.

MENSAJE DEL SECRETARIO DE EDUCACIÓN

Alumno de CECYTE BC:

La educación es una herramienta que aumenta tus oportunidades de desarrollo personal, y permite ampliar tu horizonte de posibilidades de progreso económico y social.

Bajo esa perspectiva, el Gobierno del Estado de Baja California asume con responsabilidad su compromiso con los jóvenes en la tarea de crear espacios educativos en el nivel medio superior, y ofrecerles programas de estudios tecnológicos que les permitan integrarse con competencia a fuentes de trabajo y/o continuar estudios superiores.

El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, es un ejemplo de lo anterior. En las escuelas de esta Institución, los estudiantes pueden encontrar el camino de la superación, y el apoyo para alcanzar las metas que visualizan para forjar su futuro.

Entre esos apoyos se encuentran la publicación y entrega de este material educativo, que el CECYTE BC distribuye, con el objetivo de que lo utilices en beneficio de tus estudios.

La tarea que han desarrollado maestros, alumnos y autoridades aducativas en torno a CECYTE BC, han convertido a esta Institución en un modelo para la formación de generaciones de profesionistas técnicos que demanda el sector productivo que se asienta en la región.

Además de eso, el Colegio se ha destacado por alentar el acercamiento de los padres de familia con la escuela, como una acción tendiente a fortalecer los vínculos que deben existir entre ellos, los docentes y administrativos en el proceso educativo, por ser esta, una responsabilidad compartida.

Por todo esto, te felicito por realizar tus estudios en un plantel del CECYTE BC. Te exhorto a valorar este esfuerzo que hace la sociedad a través de la Administración Estatal, y a que utilices con pertinencia los materiales que se te otorgan para apoyar tu formación profesional.

Adrian Flores Ledesma DIRECTOR GENERAL DEL CECYTE BC

Atentamente

PRESENTACIÓN

El libro que tienes en tus manos representa un importante esfuerzo del Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, que a través de sus academias de profesores te proporciona material de calidad para el estudio de las distintas asignaturas que cursarás en tu preparación como Bachiller Técnico.

Los contenidos corresponden a los programas establecidos para cada una de las asignaturas de acuerdo a la reforma integral de la educación media superior, y enriquecidos por las competencias comunes del Sistema Nacional de Bachillerato.

Este ejemplar, encierra conocimientos, aprendizaje, análisis y habilidades que deberás de poner en práctica en tu vida diaria, convertida en una acción educativa más, que el Colegio te ofrece para obtener una mejor formación académica.

Te invitamos a que valores y obtengas el mayor provecho a esta obra, que fue diseñada especialmente para lo más preciado del Colegio: sus Alumnos.

gradecimiento

Un especial agradecimiento a los Docentes y Administrativos de CECYTE BC, que colaboraron e hicieron posible la edición de estas Guías de Aprendizaje Básicas y Material Didáctico.

El Colegio

• MANUAL DE QUÍMICA II •Mario Báez VázquezASESOR ACADÉMICO DEL DIRECTOR GENERAL DEL CECYTEBC

• GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA •Andrés Sarabia LeyCOORDINADOR DE FORMACIÓN PROPEDÉUTICA, D.G.Andrés Aguilar MeztaDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• INGLÉS 2 •Mauro Alberto Ochoa SolanoAlonso Palominos TapiaBertha Alicia Canceco JaimeAlejandra AgúndezDOCENTES DEL PLANTEL ENSENADA

• QUÍMICA 2 •Saúl Torres AcuñaAgustín Valle RuelasDOCENTES DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• LECTURA, EXPRESIÓN ORAL Y ESCRITA 2 •María Guadalupe Valdivia MartínezDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASMaría Elena Padilla GodoyCOORDINADORA DE FORMACIÓN VALORAL, D.G.

María Trinidad Salas LeyvaCAPTURISTA DEL DEPARTAMENTO DE DOCENCIA, D.G.Lina Rodríguez EscárpitaENCARGADA DEL GRUPO OVIEDO MOTA

• CÁLCULO • Silvia Elisa Inzunza Ornelas Manuel Norberto Quiroz Ortega Javier Iribe Mendoza María Del Carmen Equihua Quiñonez Alvaro Soto Escalante María Guadalupe Bañuelos Cisneros DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• INGLÉS 4 • Adriana Cera MoralesDOCENTE DEL GRUPO PORTALESVerónica Murillo EsquiviasDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASManuel Arvizu Ruíz Joaquín Alberto Pineda Martínez Lina Roxana Cárdenas MezaJuan Olmeda González Juliana Camacho CamachoDOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• FÍSICA I • Andrés Sarabia LeyCOORDINADOR DE FORMACIÓN PROPEDÉUTICA, D.G. Juan Francisco Cuevas Negrete Silvia Elisa Inzunza Ornelas Manuel Norberto Quiroz Ortega Javier Iribe Mendoza María Del Carmen Equihua Quiñonez Alvaro Soto Escalante María Guadalupe Bañuelos Cisneros DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• ECOLOGÍA • Aidé Aracely Pedraza MendozaClara Angélica Rodríguez SánchezDOCENTES DEL PLANTEL COMPUERTASGloria Mosqueda Contreras Sulma Loreto Lagarda LagardaPetra Cantoral Gómez Eva Pérez Vargas DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• MATEMÁTICAS APLICADA • Manuel Norberto Quiroz OrtegaSilvia Elisa Inzunza OrnelasDOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA Eloísa Morales CollínIsmael Castillo OrtízDOCENTES DEL PLANTEL COMPUERTAS

• BIOQUÍMICA • José Manuel SotoDOCENTE DEL GRUPO PORTALESAidé Araceli Pedraza MendozaDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS Alejandra MachucaCristina FélixDOCENTES DEL PLANTEL MISIONESEnid Quezada MatusSergio Alberto Seym GuzmánDOCENTES DEL GRUPO CENTENARIO

Alberto Caro EspinoJEFE DEL DEPARTAMENTO DE DOCENCIADenisse Samaniego ApodacaRESPONSABLE DE FORMACIÓN PROFESIONAL

SEGUNDO SEMESTRE

CUARTO SEMESTRE

SEXTO SEMESTRE

COORDINACIÓN Y REVISIÓN ACADÉMICA

Índice:

Competencia I…………………………………………………………………………………………………………………………..15

Saberes

1. Conceptos básicos de la Geometría Euclidiana 2. Tipos de líneas y ángulos 3. Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una transversal o secante

Ejemplos

1. Como obtener el valor de ángulos dadas ciertas condiciones 2. Como encontrar ángulos entre rectas paralelas

Ejercicios

1. Poniendo letras y números en su lugar 2. Ángulos por todas partes 3. Ángulos entre paralelas

Competencia II…………………………………………………………………………………………………………………………..42

Saberes

1. Generalidades de los Triángulos

2. Teoremas de importancia en los Triángulos

Ejemplos

1. Como calcular ángulos faltantes de triángulos e identificar triángulos congruentes

2. Aprendamos a utilizar la semejanza entre triángulos y apliquemos los teoremas de Tales y

Pitágoras

Ejercicios

1. A encontrar ángulos y lados faltantes en los triángulos

2. A usar el Teorema de Tales, los Triángulos Semejantes y Teorema de Pitágoras

Competencia III……………………………………………………………………………………………………….………………..68

Saberes

1. Generalidades de los polígonos

2. Circunferencia y círculo

3.Área y volumen de figuras geométricas

Ejemplos

1. Ejercitando nuestro cerebro con los polígonos

2. Practicando con las circunferencias

3. Practicando con áreas y volúmenes

Ejercicios

1. Miscelánea de ejercicios con polígonos

2. Miscelánea de ejercicios con circunferencias

3. A calcular áreas y volúmenes

Competencia IV………………………………………………………………………………………………………………………..103

Saberes

1. Funciones trigonométricas en el plano cartesiano y en el triángulo rectángulo

2. Resolución de triángulos rectángulos y aplicaciones

3. Triángulos oblicuángulos

4. Identidades trigonométricas

Ejemplos

1. Practicando con las funciones trigonométricas

2. A resolver y aplicar los triángulos rectángulos

3. Aplicando la Ley de Senos y la Ley de Cosenos


Ejercicios

1. Ejercitándose con las funciones trigonométricas

2. Aplicando tus conocimientos con los triángulos rectángulos

3. Demostrando tus conocimientos con la Ley de Senos y la Ley de Cosenos

4. Ejercitándose con las identidades trigonométricas

Competencia V………………………………………………………………………………………………………………………..150

Saberes

1. Ecuaciones Trigonométricas

2. Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

Ejemplos

1. Calentamiento con las ecuaciones trigonométricas

2. Trabajando con las ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Ejercicios

1. Ejercitando el cerebro con las ecuaciones trigonométricas

2. A practicar las ecuaciones exponenciales y logarítmicas

15

1. Conceptos básicos de la Geometría Euclidiana.

2. Tipos de líneas y ángulos.

3. Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una transversal o secante.

1. Como obtener el valor de ángulos dadas ciertas condiciones.

2. Como encontrar ángulos entre rectas paralelas.

1. Poniendo letras y números en su lugar.

2. Ángulos por todas partes

3. Ángulos entre paralelas.

Competencia

1 • Explicar los conceptos básicos de la Geometría Euclidiana.

• Utilizar los distintos tipos de líneas, rectas, ángulos y pares de ángulos para la resolución de problemas prácticos.

Saberes

Ejercicios

Ejemplos

16

ATRIBUTOS DE LA COMPETENCIA

Emplea el lenguaje de la notación matemática para representar la simbología de un punto, líneas rectas, semirrectas, segmentos de recta, rectas perpendiculares y paralelas y ángulos.

Argumenta la naturaleza de las matemáticas como una herramienta para interpretar un axioma, postulado, lema, teorema, corolario, razonamiento deductivo e inductivo.

Maneja los conceptos y valores de los ángulos agudos, obtusos, rectos, llanos, ángulos complementarios y suplementarios.

Domina el algoritmo para convertir de grados a radianes y viceversa.

Aplica principios algebraicos y aritméticos para encontrar distintos tipos de ángulos en situaciones diversas.

Elije la estrategia aritmética o algebraica más conveniente, para la resolución de un problema dado en donde intervienen ángulos formados por rectas paralelas.

RESULTADOS DE APRENDIZAJE

Domina los conceptos fundamentales de la Geometría Euclidiana, así como aplica principios algebraicos y aritméticos para resolver problemas de geometría plana en diversas situaciones.

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Punto. El concepto de punto es difícil de definir. Nos lo podemos imaginar como la huella que dejaría la punta infinitamente afilada de un lápiz. Hay que imaginarlo tan pequeño que carezca de dimensiones; es decir, que no posea longitud, ni ancho, ni fondo.

Los puntos se designan con una letra mayúscula y se representan con un círculo pequeño o una cruz, como se puede observar en las siguientes figuras:

A • “ Se lee punto A” B “Se lee punto B”

Línea. Es un concepto matemático que tiene distintas acepciones. Podemos definirla como la "huella" que deja el desplazamiento de un punto, como el borde o limite de una superficie o como la intersección de dos superficies. La línea posee solo una dimensión: la longitud.

Línea recta Línea curva

Superficie. Para la geometría, la superficie es una extensión en la que solo se consideran dos dimensiones, el ancho y el largo. Por lo tanto se dice que la superficie es una variedad bidimensional.

Algunos ejemplos pueden ser una sombra, la cara de un cuerpo geométrico (la pantalla de la televisión) o las paredes de una habitación (Véanse las figuras).

Saberes

Nombre Conceptos básicos de la geometría Euclidiana No. 1

Instrucciones para el alumno

Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor

Saberes a adquirir

Conceptos de punto, línea, superficie, plano, proposición, axioma, postulado, definición, lema, teorema corolario, razonamiento deductivo e inductivo.

Manera didáctica de lograrlos

Mediante exposición y

tareas

18

Superficies

Plano. El plano, en geometría, es una superficie plana que contiene infinitos puntos y rectas (o sea

que se le pueden trazar un infinito de rectas por los puntos que lo forman), es uno de los entes

geométricos fundamentales junto con el punto y la recta. Se dice que un plano se extiende hacia el

infinito.

♦♦♦♦ PROPOSICIÓN, AXIOMA, POSTULADO, DEFINICIÓN, LEMA, TEOREMA Y COROLARIO

Proposición matemática. Es un enunciado verdadero. Las proposiciones matemáticas se clasifican

en axiomas, postulados, teoremas, corolarios y lemas.

Axioma. Es una proposición de la cual hemos aceptado que su significado es verdadero, sin

necesidad de demostrarse. Ejemplos:

1) Toda cantidad puede reemplazarse por su igual. 2) Si a cantidades iguales se agregan o se quitan cantidades iguales, los resultados son

iguales. 3) El todo es igual a la suma de sus partes.

Postulado. En la actualidad se utilizan de manera indistinta las proposiciones, axiomas y

postulados, cuyo significado hemos aceptado que es verdadero, sin embargo, es conveniente

señalar que en matemáticas el axioma tiene aplicación general mientras que el postulado se aplica

de manera particular, es decir, el axioma: el todo es mayor que cualquiera de sus partes, se puede

aplicar en matemáticas de manera general; mientras el postulado: dos puntos determinan una

recta y solo una, tiene aplicación en matemáticas de manera particular, en este caso en geometría.

Ejemplos:

1. La recta es la distancia más corta entre dos puntos.

2. Toda figura puede hacerse cambiar de posición sin alterar su forma y dimensiones.

3. El punto medio de un segmento de recta es único.

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Definición. Es una proposición que implica casi siempre una descripción o convención de algo.

Ejemplos:

1. Ángulos opuestos por el vértice son aquellos en que los lados de uno son prolongaciones

de los lados del otro.

2. Paralelogramo es el cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos.

3. Dos ángulos que suman son complementarios.

Lema. Es una proposición que se establece y demuestra previo a la demostración de un teorema.

Se puede decir que un lema es un teorema a partir del cual se facilita la demostración de otros

teoremas.

Teorema. Es una proposición sujeta a demostración, la cual se apoya en axiomas y lemas para su

desarrollo. Ejemplos:

1. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

2. La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a dos rectos, es decir 180°.

3. Los lados opuestos por un paralelogramo son iguales.

4. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no

adyacentes a él.

Corolario. Es una proposición cuya validez se desprende de la validez de un teorema y, donde su demostración requiere un ligero razonamiento y en ocasiones ninguno.

Del teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180° se obtiene:

Corolario 1: La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 90°.

Corolario 2: Si dos ángulos de un triángulo son respectivamente iguales a dos ángulos del otro, el tercer ángulo de uno es igual al tercer ángulo del otro.

Razonamiento deductivo. Para realizar la demostración de proposiciones geométricas se utiliza el método deductivo, el cual consiste en el encadenamiento de conocimientos que se suponen que son verdaderos (axiomas y postulados) de tal manera que se obtengan nuevos conocimientos.

El razonamiento deductivo, aplicado a la demostración del conocimiento matemático, es una herramienta muy importante, ya que la aceptación de una proposición como verdadera no puede basarse en la experimentación, pues ésta depende de las condiciones particulares en las que se realice; tampoco se puede basar en la observación, a causa de que la vista resulta engañosa; ni en la medición, porque el resultado de ella está ligado a la pericia de quien mide y a la precisión del instrumento utilizado.

20

A continuación se presenta un esquema de los elementos que integran la demostración geométrica:

Razonamiento inductivo

El razonamiento es el proceso mediante el cual se sacan conclusiones a partir de la información. En ocasiones, la gente saca conclusiones basadas en sus propias observaciones. Al observar varias veces que una acción produce el mismo resultado, se concluye, en general, que esa acción tendrá siempre el mismo resultado. A esta clase de razonamiento se le llama razonamiento inductivo. Y a la conclusión que se saca del razonamiento inductivo se le llama generalización. Ejemplo:

Supóngase que alguien cortó, de una hoja de papel, tres triángulos diferentes:

2 2 2

1 3 1 3 1 3

Las esquinas de cada triángulo se cortaron y colocaron juntas tal como se muestran a continuación:

1 2 3 1 2 3 1 2 3

¿Qué se observa acerca de la suma de las medidas de los ángulos?, ¿Es cierto para todos los triángulos? Por lo tanto la generalización será:

La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, siempre da 180˚

T E O R E M A

D E M O S T R A C IO N G E O M E T R IC A

F IG U R A C O N C L U S IO NR A Z O N A M IE N T OT E S ISH IP O T E S IS

Ilu s tra la p ro p o s ic ió n q u e se d e s e a d e m o s tra r.

S u p u e s to s q u e s e a c e p ta n c o m o v e rd a d e ro s y q u e s irv e n c o m o b a s e p ara e l ra z o n a m ie n to .

E s lo q u e s e d e s e a d e m o s tra r.

C o n ju n to d e a f irm a c io n e s y ra z o n e s o rd e n a d a s ló g ic a m e n te y q u e re la c io n a n d o la h ip ó te s is c o n la te s is , p erm ite n la d e d u c c ió n d e lo q u e s e q u ie re d e m o s tra r.

T e s is o p ro p o s ic ió n d e d u c id a m e d ia n te ra zo n am ie n to .

T E O R E M A

D E M O S T R A C IO N G E O M E T R IC A

F IG U R A C O N C L U S IO NR A Z O N A M IE N T OT E S ISH IP O T E S IS

Ilu s tra la p ro p o s ic ió n q u e se d e s e a d e m o s tra r.

S u p u e s to s q u e s e a c e p ta n c o m o v e rd a d e ro s y q u e s irv e n c o m o b a s e p ara e l ra z o n a m ie n to .

E s lo q u e s e d e s e a d e m o s tra r.

C o n ju n to d e a f irm a c io n e s y ra z o n e s o rd e n a d a s ló g ic a m e n te y q u e re la c io n a n d o la h ip ó te s is c o n la te s is , p erm ite n la d e d u c c ió n d e lo q u e s e q u ie re d e m o s tra r.

T e s is o p ro p o s ic ió n d e d u c id a m e d ia n te ra zo n am ie n to .

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Nombre Poniendo letras y números en su lugar No. 1


Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu profesor.

Actitudes a formar Responsabilidad Manera didáctica

de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema

Competencias genéricas a desarrollar

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Manera didácticas de lograrlas

Participación activa cuando surjan las respuestas ó dudas.

Ejercicios

1. Examinar las proposiciones siguientes e identificar con una A si es axioma, una P si es postulado, una D si es definición o una T si es teorema:

• Si a cantidades iguales se suman cantidades iguales los resultados son iguales. ( )

• Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. ( )

• El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de

los cuadrados construidos sobre los catetos. ( )

• Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido. ( )

• Todo número es igual a sí mismo. ( )

• Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles son iguales. ( )

• Dos ángulos que suman son suplementarios. ( )

• Dado un segmento, hay un punto y sólo uno que lo divide en dos partes iguales. ( )

• En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales. ( )

• Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos-internos son iguales. ( )

• Mediatriz de un segmento es la perpendicular trazada en su punto medio. ( )

• Ángulo central es aquel que tiene su vértice en el centro del círculo. ( )

2. Indicar de que teorema es consecuencia inmediata cada corolario (un teorema puede tener más de un corolario).

Teorema:

a) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. ( )

b) Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido. ( )

c) En todo triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. ( )

Corolario:

1. Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto, ni más de un obtuso.

2. Todo triángulo equilátero tiene sus tres ángulos iguales.

3. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90°.

4. Dos triángulos rectángulos son iguales si tienen respectivamente iguales sus catetos.

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RECTA. La línea recta se representa con una figura como la siguiente:

A B El símbolo se lee “recta AB”.

Las puntas de flecha indican que la figura se puede prolongar en ambos sentidos tanto como se

quiera.

La línea recta también se puede designar con una sola letra minúscula.

m El símbolo se lee “recta m”

SEMIRRECTA O RAYO. Una semirrecta se representa con una figura como la siguiente:

O A El símbolo se lee “rayo OA”

La figura indica que el rayo tiene su rigen en O, pasa por A en línea recta y se prolonga

indefinidamente como indica la flecha.

SEGMENTO DE RECTA. Un segmento de recta, o simplemente, un segmento se representa con una

figura como la siguiente:

El símbolo se lee “segmento AB". También se lee “segmento m”

Saberes

Nombre Tipos de líneas y ángulos No. 2


Analiza la información que se presenta en este apartado, y aplica tus principios aritméticos y algebraicos para representar ideas.

Saberes a adquirir

Tipos de líneas: Rectas, semirrectas, segmentos de recta, rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas.


Revisando la información, realizando tareas y participando activamente en el grupo.

m

23

♦♦♦♦TIPOS DE LÍNEAS

Según la posición de una recta con respecto a otra, dos rectas pueden ser: perpendiculares, paralelas y oblicuas.

Rectas perpendiculares. Si dos rectas al cruzarse formas ángulos rectos, se dice que son

perpendiculares entre sí.

Las rectas perpendiculares se representan de la siguiente manera AB ⊥ CD.

Rectas paralelas. Dos líneas rectas son paralelas, si se prolongan indefinidamente y nunca se

cruzan. Las rectas paralelas se representan por un par de rayas verticales ||.

A B

Se lee “ AB paralela a CD”

C D

Rectas oblicuas. Dos rectas que se cruzan sin formar ángulos rectos se llaman oblicuas, como se

muestra en la figura:

A B

C

D

24

♦♦♦♦ ÁNGULOS

Definición de ángulo: Se denomina ángulo a la abertura comprendida entre dos semirrectas o rayos que parten de un punto común llamado vértice y las semirrectas o rayos reciben el nombre de lados del ángulo.

Nomenclatura del ángulo: Para nombrar un ángulo se puede utilizar cualquiera de las formas siguientes:

Formas de notación:

a) o se lee “ángulo a”

b) ∡B o se lee “ángulo B”

c) ∡ABC se lee “ángulo ABC”

d) ∡CBA se lee “ángulo CBA”

e)

Cuando dos o más ángulos tienen el mismo vértice, el uso de una sola letra mayúscula para referirse a uno de ellos crea confusión, por ello, debe utilizarse la notación con tres letras mayúsculas, en la cual la letra del vértice va en medio.

Ejemplo:

En esta figura, es mejor denotar los tres ángulos

posibles de la siguiente manera:

∡ABC

∡ABD

∡DBC

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Ángulo Agudo Ángulo Recto Ángulo Obtuso

Es aquél cuya magnitud es menor que 90º

Es aquél cuya magnitud es igual a 90º

Es aquél cuya magnitud es mayor que 90º

Bisectriz de un ángulo: Es la semirrecta que partiendo del vértice, divide al ángulo en dos partes iguales.

Ángulo Nulo Ángulo Llano Ángulo Cóncavo Ángulo Perigonal


Es aquél cuya magnitud es igual a

180º

Es aquél cuya magnitud es mayor que 180º pero menor

que 360º


La semirrecta VP es la bisectriz del

ángulo ∡MVN

26

PAREJA DE ÁNGULOSPAREJA DE ÁNGULOSPAREJA DE ÁNGULOSPAREJA DE ÁNGULOS

ÁngulosÁngulosÁngulosÁngulos adyacentesadyacentesadyacentesadyacentes

Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice.

BAC es adyacente con DAC

Ángulos Ángulos Ángulos Ángulos opuestos por el opuestos por el opuestos por el opuestos por el vérticevérticevérticevértice

- Dos líneas que se intersectan generan ángulos opuestos por el vértice. – Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

1 = 2 y 3 = 4

ÁnguloÁnguloÁnguloÁngulos s s s complementarioscomplementarioscomplementarioscomplementarios

- Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 90°.

El BAC es adyacente al DAC y viceversa.

Ángulos Ángulos Ángulos Ángulos suplementariossuplementariossuplementariossuplementarios

- Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 180°.

El BAC es adyacente al DAC y viceversa.

27

♦♦♦♦ UNIDADES DE MEDIDA DE LOS ÁNGULOS

Medidas de ángulos. La magnitud de un ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la apertura o separación que hay entre ellos, es decir, que dependen de la amplitud o separación que hay entre las dos rectas que lo forman.

Medir un ángulo, es comparar su amplitud con la de otro al que se considera como patrón, los

cuales utilizan como unidades de medición los grados sexagesimales ó los radianes.

Sistema sexagesimal

Este es el sistema más común, creado por los sumerios, basándose éstos en los 360 días del año,

es decir que su unidad se obtiene al dividir la circunferencias en 360 partes iguales, cada una de las

cuales, recibe el nombre de GRADOS.

Esta circunferencia esta dividida en 360 partes ó 360 grados.

Un grado entonces, es equivalente en fracción a quebrado a 1/360 de la circunferencia total, es decir, que un grado es igual a una de las 360 partes en las que se divide una circunferencia. Donde el grado se divide a su vez, en 60 minutos y éste en 60 segundos, representándose de la siguiente forma: Grados (°), minuto (´), segundo (”)

(1 grado = 60 minutos)

(1 minuto = 60 segundos)

28

0

Sistema circular.

La unidad utilizada en este sistema es el radian. Donde un radian, es el ángulo cuyas lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

Longitud del arco “AB” es igual al radio (r ) de la circunferencia, ∡ AOB = 1 radian.

Relación entre grados y radianes

Se sabe que el radio ( r ) cabe 6.283 veces alrededor de la circunferencia, entonces, tenemos que:

(ya que 1 radio = 1 radián; )

En conclusión, la fórmula que relaciona grados con radianes es:

. Dividiendo todo entre 2 obtenemos una relación equivalente:

A

B 1 radián

r

r r

29

Nombre Como obtener el valor de ángulos dadas ciertas condiciones No. 1


1. Repasa los conocimientos estudiados sobre ángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación.

Actitudes a formar

Orden Manera didáctica de lograrlas

Exposición y preguntas sobre el tema




Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros.

1. Cambiar las siguientes cantidades dadas en grados, a radianes:

(Para cambiar de grados a radianes, se multiplica el ángulo por el factor ).

a)

b)

Solución: a)

b)

2. Transformas las siguientes cantidades dadas en radianes, a grados:

(Para cambiar de radianes a grados, se multiplica por el factor )

a)

b)

Solución:

a)

b)

Ejemplos

Nota: Si no sabes usar

bien tu calculadora,

pregúntale a tu

profesor.

30

3. Encontrar el complemento y suplemento de 3435 ′° . Recuerda que

; 068990 ′°=° y 06179180 ′°=° .

a) El complemento es: 715434350689 ′°=′°−′°

b) El suplemento es : 71144343506179 ′°=′°−′°

4. Si dos ángulos se representan por A y B, plantear la ecuación de cada problema y

después hallar sus valores.

Los ángulos son suplementarios y uno es 15 grados menor que el doble del otro.

Datos Planteo Operaciones solución A = A

5. Hallar el valor de en la siguiente figura:

Solución:

Para resolver este problema se plantean un par de ecuaciones. Hay muchas opciones para

plantearlas; A continuación se toma una de estas opciones:

(son ángulos opuestos por el vértice)

(son ángulos opuestos por el vértice)

Podemos expresar estas ecuaciones de la siguiente manera: ;

Que al resolverlas por suma y resta tenemos;

31

Nombre Ángulos por todas partes No. 2


Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.

Actitudes a formar

Orden Responsabilidad

Manera didáctica de lograrlas

Ejercicios y tareas sobre el tema




Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas

1. Observa el mapa con atención y contesta las preguntas indicadas:

1. ¿Cuáles vialidades son paralelas a la calle Avinguda 308?

2. ¿Cuáles vialidades son perpendiculares a la calle Avinguda 308?

3. ¿Cuál vialidad es oblicua a la calle Avinguda 308?

4. Si te toparas con un turista en la intersección de Avinguda 313 y Avinguda 302, ¿cómo le

dirías para que llegara a un Burger King que se localiza en la intersección de Doctor

Fleming y Arcadi Balaguer?

Ejercicios

32

2. Llenar las siguientes tablas:

Transformación de grados a radianes

Transformación de radianes a grados

3. Hallar el ángulo desconocido que falta

4. La figura muestra una entrada vista desde arriba. Si abres la puerta de forma tal que la

medida del sea igual a , ¿Cuántos grados más deberías abrir la puerta para que el

ángulo entre la pared y la puerta sea de .

Grados Radianes

Radianes

Grados

33

5. Hallar el valor del en cada una de las siguientes figuras:

A. B. C.

6. Indicar que clase de ángulo es:

a) El complemento de un ángulo agudo.

b) El suplemento de un ángulo obtuso.

c) El suplemento de un ángulo recto.

7. Hallar dos ángulos complementarios tales que:

a) Uno sea el doble que el otro.

b) Uno sea °20 mayor que el otro.

c) Uno sea °10 menor que el triple del otro.

d) Uno sea °5 menor que el cuádruplo del otro.

e) Uno sea °6 mayor que el doble del otro.

8. Hallar dos ángulos suplementarios tales que:

a) Uno es el cuádruplo del otro.

b) Uno sea °20 mayor que el triple del otro.

c) Uno sea °60 menor que el doble del otro.

d) Uno sea °36 mayor que el doble del otro.

e) Uno sea °10 mayor que las 2/3 partes del otro

34

9. IDENTIFICAR ÁNGULOS. Afirma si los dos ángulos que se muestran son complementarios,

suplementarios o ninguno de los dos.

A. C.

B. D.

10. Hallar el valor de en cada una de las siguientes figuras:

A. B.

C. D.

35

E. F.

11.

12. Completa la siguiente tabla:

36

♦Pares de ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una

transversal (secante)

Dos paralelas cortadas por una transversal forman ocho ángulos, cuatro llamados internos por

estar situados dentro de las paralelas y cuatro llamados externos por estar fura de ellas.

En la figura son ángulos:

Internos: 3, 4, 5 y 6

Externos: 1, 2, 7 y 8

Se llaman ángulos correspondientes a dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (uno

interno y otro externo).

Los ángulos correspondientes tienen la propiedad de ser congruentes, es decir, sus medidas son

iguales, lo cual se demuestra en el teorema correspondiente.

Saberes

Nombre Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una transversal o secante.

No. 3


Lee y analiza la información que se te presenta y aclara cualquier duda con tu profesor

Saberes a adquirir

Ángulos alternos internos y externos, opuestos por el vértice, correspondientes y colaterales internos y externos.


Mediante exposición y tareas.

37

En la figura anterior son pares de ángulos correspondientes:

El es correspondiente con el ;




Se llaman ángulos alternos-internos a dos ángulos situados a uno y otro lado de la transversal

(alternos) y dentro de las paralelas (internos).

En la figura anterior son ángulos alternos internos:

Con base en la propiedad (demostrable) de que los ángulos correspondientes son iguales, se

puede deducir que los ángulos alternos-internos son iguales.

Como por ser correspondientes y por otra parte

por ser opuestos por el vértice, se deduce que

por propiedad transitiva de la igualdad.

Con un razonamiento análogo al anterior se deduce que: .

Se llaman ángulos alternos-externos a dos ángulos situados a uno y otro lado de la transversal

(alternos) y fuera de las paralelas (externos). En la figura son ángulos alternos-externos:

Los ángulos alternos-externos son iguales.

Como por ser correspondientes, y por otra parte

por ser opuestos por el vértice, se deduce que

por la propiedad transitiva de la igualdad.

Con un razonamiento análogo al anterior se deduce que

Se llaman ángulos colaterales-internos a dos ángulos situados del mismo lado de la transversal

(colaterales) y dentro de las paralelas (internos). En la figura son ángulos colaterales-internos:

38

Los ángulos colaterales-internos tienen la propiedad de ser suplementarios.


por formar un ángulo llano, se deduce que

Porque toda cantidad puede ser substituida por si igual. Con un razonamiento

análogo al anterior se deduce que

Se llaman ángulos colaterales-externos a dos ángulos situados del mismo lado de la transversal

(colaterales) y fuera de las paralelas (externos). En la figura son ángulos colaterales-externos:

Los ángulos colaterales-externos tienen la propiedad de ser suplementarios.


por formar un ángulo llano, se deduce que

=180 porque toda cantidad pude ser substituida por su igual.

Ejemplos

Nombre Como encontrar ángulos entre rectas paralelas No. 2


1. Repasa los conocimientos estudiados sobre ángulos entre paralelas. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación.

Actitudes a formar

orden Manera didáctica de lograrlas






39

Ejemplo 1.Encuentre la medida de los ángulos indicados con letras minúsculas en la figura.

Suponga que las líneas horizontales son paralelas. Justifique su respuesta.

(Ángulos alternos-internos)

Forman un ángulo llano

.

Ejemplo 2. Hallar el valor de , y establecer las relaciones establecidas.

(Ángulos alternos internos)

(Ángulos alternos internos)

(La 1ra. ecuación por 2)

Sustituir el valor encontrado de en una ecuación cualquiera:

.

40

1. Pon en línea en blanco si los pares de ángulos que se muestran son correspondientes,

alternos-internos, alternos-externos, colaterales-internos y colaterales-externos

_________________ __________________

__________________ __________________

__________________ __________________

_________________ __________________

__________________ __________________

2. Hallar los ángulos que se te piden en la siguiente figura, suponga

que .

Ejercicios

Nombre Ángulos entre paralelas No. 3



Actitudes a formar

Orden Responsabilidad







41

3. En la figura de la izquierda, hallar los valores de los

ángulos señalados con letras minúsculas, si

Las líneas oblicuas son paralelas.

4. Hallar los valores de y según sea el caso, en cada una de las siguientes

figuras. Considere que las rectas son paralelas.

a) c)

b) d)

5.

En las siguientes figuras . Hallar el valor de “x”.

En este ejercicio es bisectriz del ∡AOC.

42

1. Generalidades de los Triángulos

2. Teoremas de importancia en los Triángulos

1. Como calcular ángulos faltantes de triángulos e identificar triángulos congruentes

2. Aprendamos a utilizar la semejanza entre triángulos y apliquemos los teoremas de Tales

y Pitágoras

Competencia

2 • Explicar la definición y clasificación de los triángulos

• Utilizar los teoremas del ángulo interior y ángulo exterior

• Aplicación del Teorema de Tales

• Aplicación de Triángulos semejantes

• Aplicación del Teorema de Pitágoras

Saberes

Ejemplos

43

1. A encontrar ángulos y lados faltantes en los triángulos

2. A usar el Teorema de Tales, los Triángulos Semejantes y Teorema de Pitágoras


Emplea sus conocimientos para definir y clasificar a los triángulos.

Argumenta la naturaleza de las matemáticas como una herramienta para calcular el valor de los ángulos interiores y exteriores de los triángulos.

Maneja los conceptos de triángulos congruentes para identificarlos en distintos contextos.

Domina el algoritmo para resolver problemas en donde se aplica el teorema de tales.

Aplica principios algebraicos y aritméticos para resolver problemas cotidianos, en donde se aplican los conocimientos sobre triángulos semejantes.

Elije la estrategia aritmética o algebraica para resolver problemas cotidianos en donde se usa el Teorema de Pitágoras.

RESULTADOS DE APRENDIZAJE Domina los conceptos fundamentales, así como aplica principios y teoremas fundamentales sobre los triángulos.

Ejercicios

44

TRIÁNGULOS

Definición y notación: El triángulo es un polígono de tres LADOS, que viene determinado por tres puntos no colineales llamados VÉRTICES.

Los vértices se pueden denotar por letras mayúsculas: A, B y C. Los lados son los segmentos que unen dos vértices del triángulo y se denotan con la misma letra que el vértice opuesto. Es decir: El lado “a” es el segmento que une los vértices B y C, el lado “b” es el segmento que une los vértices A y C y el lado “c” que es el segmento que une los vértices A y B. (Figura 1)

Figura 1 Figura 2

Saberes

Nombre Generalidades de los Triángulos No. 1


Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con tu profesor.

Saberes a adquirir

• Definición, notación y

clasificación de los

triángulos.

• Teoremas del ángulo

interior y exterior de los

triángulos.

• Criterios de congruencia

entre triángulos.



45

Ángulos interiores: son aquellos formados por cada par de lados consecutivos del triángulo. Se denominan por las tres letras mayúsculas de los vértices o por una letra griega ubicada entre los lados del ángulo. (Figura 1)

Ángulos exteriores: son los ángulos formados por un lado del triángulo y la prolongación de otro hacia la región exterior. (Figura 2)

Notación de triángulos

Los triángulos se nombran por sus tres letras de sus vértices anteponiendo un símbolo en forma de triángulo. Ejemplo: En la figura anterior el triángulo se denota como ∆ ABC.

♦♦♦♦Clasificación de los triángulos

Los triángulos se clasifican según sus lados y sus ángulos.

Según sus lados Según sus ángulos

equilátero tres lados iguales acutángulo tres ángulos agudos

isósceles Por lo menos dos lados iguales rectángulo un ángulo recto

escaleno tres lados desiguales obtusángulo un ángulo obtuso

Además, a los triángulos en general que no sont rectángulos se les llama oblicuángulos.

Por la medida de sus lados:

46

Por la medida de sus ángulos

(Ángulo recto)

Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a .

M N Hipótesis

son ángulos interiores

de un triángulo.

Tesis

Trazo auxiliar: Trazar por ,

Plan: Al trazar por uno de sus vértices del triángulo la paralela al lado opuesto, se obtiene un ángulo llano del cual se demuestra que sus partes son iguales a los ángulos del triángulo dado.

47

RAZONAMIENTO

Afirmación Razón

1. 1. Por construcción

2. 2. Por ser alternos internos

3. 3. Por formar un ángulo llano.

4. 4. Substituyendo ( 2 ) en ( 3 ).

Teorema: Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores

no adyacentes con él.

Criterios de congruencia entre triángulos

• Primer criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido

respectivamente iguales, son iguales. .).....( lallal =

48

• Segundo criterio: Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado

respectivamente iguales, son iguales. .).....( alaala =

• Tercer criterio: Dos triángulos que tienen sus tres lados respectivamente

iguales, son iguales. .).....( llllll =

• Cuarto criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al

lado mayor respectivamente iguales, son iguales.

49

1. Hallar los valores de los ángulos faltantes en las siguientes figuras

a) b)

°=∠+∠+∠ 180CBA En el ABC∆ : °=∠+∠+∠ 180CBA

°=∠+°+° 1803550 C °=°+°+∠ 1809540A

°−°=∠ 85180C °=°−°=∠ 45135180A

°=∠ 95C (usando el )

( ∠y es un ángulo exterior)

Ejemplos

Nombre Como calcular ángulos faltantes de triángulos e identificar triángulos congruentes.

No. 1


1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación.

Actitudes a formar




1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos

contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.



50

2. Determinar que triángulos son congruentes y señalar en cada caso el postulado correspondiente.

a)

b)

c)

Soluciones:

a) III ∆≅∆ b) IIII ∆≅∆ c) IIIII ∆≅∆

lallal .... = ...... alaala = ...... llllll =

En el III∆ el ángulo de °60 En el II∆ el lado de 28 En el I∆ sus lados

no está comprendido entre los no está comprendido entre tienen medidas dife-

lados de 8 y 12. los ángulos de °40 y °85 rentes a las de los

triángulos II y III.

51

1. Mide los lados de los siguientes triángulos y escribe el nombre de cada uno de ellos.

Triángulo _____________ Triángulo __________ Triángulo ___________

Ejercicios

Nombre A encontrar ángulos y lados faltantes en los triángulos No. 1



Actitudes a formar

Orden y responsabilidad








52

2. Une según corresponda.

3. Une según corresponda.

Tiene sus 3 lados de

igual medida.

Tiene 2 de sus lados de

igual medida.

Tiene sus 3 lados de

diferente medida.

Triángulo

isósceles.

Triángulo

equilátero.

Triángulo

escaleno.

Tiene 3 ángulos agudos

agudos.

Tiene un ángulo de 90

grados

Tiene un ángulo mayor

de 90 grados

Triángulo

acutángulo.

Triángulo

obtusángulo.

Triángulo

rectángulo.

53

4. COMBINAR TRIÁNGULOS. En los ejercicios siguientes, combina la descripción del triángulo con su nombre específico: 1. Longitudes de los lados: 2cm, 3cm, 4 cm A. Equilátero 2. Longitudes de los lados: 3cm, 2cm, 3cm B. Escaleno 3. Longitudes de los lados: 4cm, 4cm, 4cm C. Obtusángulo 4. Medidas de los ángulos: D. Equiángulo

5. Medidas de los ángulos: E. Isósceles

6. Medidas de los ángulos: F. Rectángulo

5.

6.

54

4. Hallar los valores de “x” e “y” en cada inciso de las siguientes figuras:

b) Nota: ABC∆ es equilátero. °=∠ 90D

a)

5. Identificar en cada inciso los triángulos que son congruentes y dar el postulado de

congruencia que lo

Justifica.

a)

b)

55

c)

6. En las siguientes figuras III ∆≅∆ , hallar “x” e “y”.

56

El Teorema de Tales establece que:

Sí un sistema de rectas paralelas que cortan a dos transversales, determinan en ellos segmentos correspondientes proporcionales.

Aplicado a los triángulos establece que:

Toda paralela a un lado de un triangulo, divide a los otros dos lados en segmentos proporcionales.

A Q B La figura muestra al teorema de Tales

Demostración:

X n Y (1) AB II XY II PR (Rectas paralelas entre sí)

(2) QP y QR son transversales

P R (3) Por el teorema de Tales:

Saberes

Nombre Teoremas importantes de los Triángulos No. 2



Saberes a adquirir

• Teorema de tales

• Condiciones para que dos triángulos sean semejantes, y aplicaciones.

• Teorema de Pitágoras y aplicaciones


Mediante exposición

y tareas.

57

La figura anterior muestra el teorema de Tales de Mileto

Demostración:

(1) AB II XY II PR (Rectas paralelas entre sí)

(2) QP y QR son transversales

(3) Por el teorema de Tales:

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Relación entre dos figuras geométricas que tienen la misma forma, aunque distinto tamaño. Entre los elementos (puntos, rectas, ángulos,…) de esas dos figuras se establece una relación por la que cada elemento f le corresponde otro de f´. Dos figuras semejantes f y f´ cumplen con las siguientes relaciones métricas:

' ' ' ' ' '

AB BC ACK

A B B C A C= = =

Proporcionalidad de Segmentos: entre dos figuras semejantes, los pares de segmentos correspondientes son proporcionales. Si A, B, C son puntos de f y A’, B’, C’ los correspondientes puntos de f entonces se cumple que:

' ' ' ' ' '

AB BC ACK

A B B C A C= = =

La razón de proporcionalidad K se llama razón de semejanza. Por ejemplo, entre dos figuras semejantes cuya razón de semejanza es 2, cada segmento de la primera es de longitud doble que el correspondiente segmento de la segunda.

58

TEOREMA DE PITÁGORAS

“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

Ejemplo 1 Aplique el Teorema de Tales para hallar el valor de “x” .

Solución:

⇨ ⇨

por lo tanto

Ejemplos

Nombre Aprendamos a utilizar la semejanza entre triángulos y apliquemos los teoremas de Tales y Pitágoras.

No. 2



Actitudes a formar








59

11

220201020

112

==

=

x

x

x

3620

)240(3320

240

1020

3

24

==

=

=

y

y

y

Ejemplo 2: Cálculo de la altura de un árbol usando la longitud de su sombra, por medio de

triángulos semejantes:

En cualquier día soleado, se puede medir la altura de un árbol usando solo su sombra siguiendo el

siguiente procedimiento: Se entierra una vara o pértiga a un lado del árbol a medir y se toman las

siguientes medidas; la longitud de la sombra BC, la altura de la vara ab y la sombra que proyecta la

pértiga bc, dejando como incógnita la longitud AB que es la altura del árbol. A continuación se

hace la siguiente proporción,

AB BC

ab bc= , que al despejar AB nos queda

( )( )ab BCAB

bc=

Supongamos que se midieron las distancias BC = 12 m, ab = 1.5 m y bc = 2 m, la altura del árbol sería,

(1.5)(12)

92

AB = = metros

Ejemplo 3. Hallar el valor de “x” e “y” en la figura por medio de triángulos semejantes:

60

Ejemplo 4: Calcular el valor del cateto que falta en el triángulo rectángulo siguiente:

Si es la hipotenusa, entonces tenemos:

Despejando tenemos:

Sustituyendo datos y sacando raíz a ambos lados,

= a

Ejemplo 5 : Calcular el lado de un rombo cuyas diagonales miden 32 mm y 24 mm .

Puede observarse que se forman cuatro triángulos rectángulos

iguales, cuyos catetos son la mitad de cada diagonal.

Por lo tanto, la hipotenusa del triángulo es el lado del rombo.

=c

61

Ejercicio 1: Encuentre el valor de “x” en cada caso, aplicando el Teorema de Tales.

Ejercicio 2: En cada uno de los siguientes ejercicios, cada par de triángulos son semejantes. Calcular el valor que representan las letras:

Ejercicios

Nombre A usar el Teorema de Tales, los triángulos Semejantes y el Teorema de Pitágoras

No. 2



Actitudes a formar









62

Ejercicio 3: Ambrosio va a pintar un muro del que conoce la dimensión de su base pero le falta la altura porque no cuenta, por el momento, con una escalera para medirla.

¿Cómo podría Ambrosio conocer la altura del muro y con ello poder calcular el área que va a pintar?

Una forma de calcular la altura del muro, con mucha mayor precisión, es utilizando la geometría, por medio de las razones semejantes. Observe usted lo que hace Ambrosio:

63

La sombra que da el Sol cuando pasa por el muro a las 11 a.m. mide 16 m.

La sombra de Ambrosio, también a las 11 a.m., es de 3.0 m y él sabe que mide 1.75 m. Con esta información él podrá calcular la altura del muro, ya que si usted observa los dos dibujos, en cada uno de ellos hay un triángulo rectángulo semejante.

Entonces, ¿cuánto vale la altura del muro?

Ejercicio 4: Martín necesita medir el ancho del río que pasa cerca de su propiedad, pero no puede llegar al otro lado. ¿Cómo podría medir el ancho del río?

Para resolver su problema, Martín le pide a unos amigos que le ayuden a hacer las siguientes

mediciones y observaciones:

64

Observemos que sucede si obtuvieron los siguientes datos:

¿Cuál será entonces el ancho del río?


Ejercicio 5. Para evitar que un poste de luz se rompa, Rocío debe colocar un cable de acero desde su punta hasta el piso como se muestra en el dibujo.

El poste mide de altura 4m y el cable en el piso debe estar separado 3m de la base del poste. Rocío debe comprar el cable de acero a la medida adecuada, pues no le debe faltar ni sobrar.

¿Qué debe hacer Rocío para saber cuánto comprar de cable?

65


Ejercicio 6: ¿A que distancia de la pared se encuentra la escalera de la siguiente figura?

Ejercicio 7: Calcula la distancia que debe recorrer un teleférico, sabiendo que debe salir de la

estación de servicio y llegar a la cima de la montaña, cuya altura es de 650m, como se muestra en

la figura.

66

Ejercicio 8: Antonio tiene un terreno rectangular cuyas medidas son 23m de largo por 41m de

ancho, por el cual debe atravesar un cable de teléfono para establecer comunicación de la bodega

ubicada en la parte final del terreno, empleando la mínima cantidad posible de cable de teléfono.

¿Qué medida deberá tener el cable?

Ejercicio 9: ¿Cuánto debe medir la varilla de soporte que se emplea para construir el soporte del

papalote que se muestra en la figura?

67

Ejercicio 10: Cuando se descubrió la pirámide Keops de Egipto, fácilmente pudieron medir cuánto medía cada lado de su base (233 m) y la longitud de su pendiente (186.784 m), pero la altura no la midieron físicamente, sino que la calcularon.

¿Cómo calcularía usted la altura de la gran pirámide?

Ejercicio 11: Calcula los centímetros de cuerda que se necesitan para formar las letras N, Z y X

dadas las siguientes dimensiones:

68

1. Generalidades de los polígonos

2. Circunferencia y círculo

3. Área y volumen de figuras geométricas

1. Ejercitando nuestro cerebro con los polígonos

2. Practicando con las circunferencias

3. Practicando con áreas y volúmenes

Competencia

3 • Explicar la definición y clasificación de los polígonos

• Calcular los ángulos interiores, ángulos exteriores y número de diagonales de los polígonos.

• Conocer las rectas y ángulos notables de la circunferencia

• Aplicación de las fórmulas para calcular el área de los polígonos en diferentes contextos

• Aplicación de las fórmulas para calcular el volumen de los cuerpos sólidos en diferentes contextos

Saberes

Ejemplos

69

1. Miscelánea de ejercicios con polígonos

2. Miscelánea de ejercicios con circunferencias

3. A calcular áreas y volúmenes


Emplea el lenguaje de la notación matemática para representar y clasificar a los polígonos.

Argumenta la naturaleza de las matemáticas como una herramienta para interpretar los ángulos interiores y exteriores de los polígonos.

Maneja y aplica los conceptos de rectas y ángulos notables de la circunferencia.

Domina el algoritmo para calcular el número de diagonales en los polígonos.

Elije la estrategia aritmética o algebraica más conveniente, para calcular áreas y volúmenes de las figuras más comunes en la geometría plana


¬ Domina los conceptos fundamentales de los polígonos y circunferencia para calcular sus ángulos interiores, ángulos exteriores y diagonales en distintos contextos.

¬ Calcula áreas y volúmenes de las figuras más comunes en la geometría.

Ejercicios

70

Definición

Etimológicamente la palabra polígono proviene de las raíces “POLI” que significa muchos y “GONOS” que significa ángulos, por lo tanto en un TRAZO QUE TIENE MUCHOS LADOS.

También se define como las figuras planas formadas por la unión de tres o más segmentos que forman una línea quebrada cerrada llamada línea poligonal.

LÍNEAS POLIGONALES: existen dos tipos de líneas, la quebrada que no forma polígonos, y la cerrada que es la que forma los polígonos.

Nombre Generalidades de los Polígonos No. 1



Saberes a adquirir

• Definición , notación y

clasificación de polígonos

• Clasificación de los

cuadriláteros

• Ángulos interiores y

exteriores de polígonos

• Diagonales en los polígonos



Saberes

71

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS

Se han establecido tres distintas clasificaciones de los polígonos:

1.- Por la amplitud de sus ángulos, los polígonos pueden ser clasificados como:

A) CONVEXOS: son aquellos cuyos ángulos son todos menores de 180º y solo pueden ser cortados por dos puntos mediante una recta secante.

B) CONCAVOS: Son los que tienen uno o varios ángulos mayores de 180º y pueden ser cortados en más de dos puntos por una recta secante.

2.- Por la medida de sus lados y sus ángulos pueden clasificarse en:

A) Regulares: son aquellos que tienen sus lados y ángulos iguales, es decir, que son equiláteros y equiángulos.

Los principales elementos de un polígono regular son: Centro (C ): Punto interior que está a la misma distancia de cada vértice. Radio (r ): Es el segmento que va del centro a cada vértice Apotema (a ): Distancia del centro al punto medio de un lado.

72

Ángulo interior de un polígono regular: Es el formado por dos lados consecutivos.

Ángulo exterior de un polígono regular: Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

Angulo central: Es el formado por dos radios consecutivos. Si n es el número de lados, entonces el ángulo central será.

Ángulo central La figura muestra un ángulo central

B) Irregulares: los que tienen a lo menos un lado con distinta medida o sus ángulos son diferentes.

La suma de los ángulos exteriores

de un polígono convexo es de

73

NOMBRE DE LOS POLÍGONOS REGULARES DE ACUERDO AL NÚMERO DE LADOS

Nombre Lados Forma Ángulo interior

Triángulo (o trígono) 3

60°

Cuadrilátero (o tetrágono) 4

90°

Pentágono 5

108°

Hexágono 6

120°

Heptágono (o Septágono) 7

128.571°

Octágono 8

135°

Nonágono (or eneágono) 9

140°

Decágono 10

144°

Endecágono (or undecágono) 11

147.273°

Dodecágono 12

150°

Tridecágono 13 152.308°

Tetradecágono 14 154.286°

Pentadecágono 15 156°

Hexadecágono 16 157.5°

Heptadecágono 17 158.824°

Octadecágono 18 160°

Eneadecágono 19 161.053°

Icoságono 20 162°

Triacontágono 30 168°

Tetracontágono 40 171°

Pentacontágono 50 172.8°

Hexacontágono 60 174°

Heptacontágono 70 174.857°

Octacontágono 80 175.5°

Eneacontágono 90 176°

Hectágono 100 176.4°

74

Chiliágono 1,000 179.64°

Miriágono 10,000 179.964°

Megágono 1,000,000 ~180°

Googológono 10100 ~180°

n-ágono n

(n-2) × 180° / n

Clasificación de los cuadriláteros convexos

75

Ángulos interiores de un polígono

• La suma de ángulos interiores (AI) de un polígono convexo de n lados es igual al numero de

lados del polígono menos dos (n -2) por 180°.

De lo anterior se obtiene el siguiente corolario:

• En un polígono regular de n lados, cada uno de sus ángulos interiores se obtiene al

dividir AI (suma de los ángulos interiores) entre n (número de lados) , esto es:

Diagonales en los polígonos

• El número de diagonales d que se pueden trazar desde un mismo vértice de un polífono

convexo de n lados es igual al número de lados menos tres.

• El número total de diagonales D que pueden trazarse desde todos los vértices de un

polígono convexo de n lados es igual a la mitad del producto del número de lados por el

número de lados disminuido en tres.

76

1. Calcula la suma de los ángulos interiores de un polígono de 15 lados.

Sustituyendo

2. Calcular la medida del ángulo central de un pentágono regular.

Solución: n = 5, medida del ángulo central =

3. Calcular la medida del ángulo interior de un pentágono regular.

Solución: n = 5,

Nombre Ejercitando nuestro cerebro con los polígonos No. 1



Actitudes a formar








Ejemplos

77

4. Calcular el número de lados de un polígono regular cuyo ángulo interior mide .

Eneágono

5. Calcular el número total de diagonales que se pueden trazar en un Hexágono.

n=6

6. ¿En qué polígono se cumple que el número de lados es igual al número de diagonales?

Solución:

Sea n = numero de lados; El número total de diagonales será también n

Que al sustituir queda: ⇒

Reordenando términos nos queda:

Factorizando: que nos conduce a

El polígono pedido es n = 5, que es un Pentágono.

78

1. Consulte los conocimientos estudiados para llenar la tabla siguiente:

Ejercicios

Nombre Miscelánea de ejercicios con polígonos No. 1



Actitudes a formar









79

2. Consulta la clasificación de los polígonos para llenar la siguiente tabla:

3. Consulte los conocimientos estudiados para llenar la tabla siguiente:

= suma de ángulos interiores = suma de ángulos exteriores

80

4. ¿Cuál de los siguientes polígonos es convexo y cuál no es convexo?

5. SELECCIÓN MÚLTIPLE

a) La medida de un ángulo exterior de un polígono regular de ocho lados es:

A) 360° B) 8° C) 45° D) 90° E) 180°

b) Si la medida de un ángulo exterior de un polígono regular es 30° entonces, el número de lados es: A) 36 B) 24 C) 3 D) 12 E) 10

c) Si la medida de un ángulo exterior de un polígono regular es 36°°°° entonces, el ángulo interior mide:

A) 90° B) 72° C) 36° D) 44° E) 144°

d) En el heptágono regular, la medida de cada ángulo interior es:

A) 120° B) 128,57° C) 900° D) 60° E) 180°

e) La fórmula que permite calcular la medida de un ángulo interior de un polígono regular de n lados es:

A) n B) 2−n C) ( )

n

n ο1802 ⋅− D) ( ) °⋅− 1802n E) n⋅2

f) La medida de cada ángulo exterior en un polígono regular de trece lados es:

A) 27,69° B) 13° C) 90° D) 130° E) 30°

81

6. Actividades de aplicación.

P1.- El ángulo exterior de un polígono mide 85o. ¿Cuánto medirá el ángulo interior correspondiente?

P2.- Calcular la suma de los ángulos interiores de un pentágono. Si fuera regular, ¿Cuánto mediría cada uno?

P3.- ¿Cuánto mide el ángulo interior de un hexágono regular?

P4.- ¿Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores suman 1260o?

P5.- ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior mide 45o?

P6.- ¿Puede haber un polígono regular cuyo ángulo exterior mida 75o? ¿Y con un ángulo interior de igual medida?

P7.- ¿Cuánto vale la suma del ángulo interior y del ángulo exterior de un decágono regular?

P8.- ¿Cuánto vale el ángulo interior de un polígono regular de doce lados?

P9.- ¿Cuánto vale el ángulo exterior de un pentágono regular?

P10.- El ángulo interior de un polígono regular mide 156o. ¿Cuántos lados tiene el polígono?

P11.- El ángulo exterior de un polígono regular vale 20o. ¿Cuántos lados tiene el polígono?

¿Cuántos lados posee el polígono cuyos ángulos interiores suman 2520o?

7. Recordando el valor de la suma de los ángulos interiores de un triángulo, encuentra el

valor de los ángulos señalados con letras minúsculas.

82

LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO

La circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están en un mismo plano y a igual distancia de otro punto interior fijo llamado centro.

El círculo es la superficie del plano limitada por una circunferencia.

Como se puede observar, la circunferencia es una línea y por lo tanto solo tiene longitud,

mientras que el círculo es una superficie y por lo tanto tiene área.

La circunferencia o círculo se representan con el símbolo Θ , la diferencia se obtienen del

contexto.

Nombre Circunferencia y círculo No. 2



Saberes a adquirir

• Líneas y ángulos

notables de la circunferencia



Saberes

83

Líneas Notables

AB Cuerda

CD Diámetro

Secante

Tangente

OI Radio

Cuerda: Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos (partes).

Tangente: Es la recta que toca a la circunferencia en un punto. Este punto único se

llama punto de tangencia o de contacto.

Radio: Es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto

cualquiera de la misma.

AC arco AC; BC arco BC; ACB arco ACB; CAB arco CAB

Arco: Es una parte de la circunferencia. Un arco se representa así: y se lee “arco”.

Semicircunferencia: Es un arco de longitud igual a la mitad de la circunferencia.

Arco menor: Es aquel que mide menos que una semicircunferencia.

Arco mayor: Es aquel que mide más que una semicircunferencia.

En la figura anterior AC y ABC son respectivamente, un arco menor y un arco mayor. El uso de las tres letras, en el segundo caso, es indispensable para distinguir los dos arcos.

El arco ACB es una semicircunferencia. En lo sucesivo la palabra arco se referirá a un arco menor, a menos que se especifique lo contrario.

84

ÁNGULOS NOTABLES

1. La medida de un ángulo central es igual a la del arco comprendido entre sus lados.

(Ver figura arriba)

2. Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad de la del arco comprendido entre sus lados.

(Ver figura arriba)

3. Todo ángulo formado por dos cuerdas que se cortan (ángulo interior) tiene por medida la

semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados.

(Ver figura arriba)

4. Todo ángulo formado por dos secantes que se cortan fuera de la circunferencia (ángulo

exterior) tiene por medida la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos

entre sus lados.

(Ver figura arriba)

85

1. Hallar los ángulos que se piden en las siguientes figuras:

Soluciones:

1. ABx =∠ , por lo tanto, AB = °110 3. °=°=°−°=−=∠ 302

60

2

40100

2

DEBCx

°=°−°=−= 70110180ABABCBC

Por lo tanto °=°==∠ 352

70

2

BCy

2. 2

BDACx

+=∠ ⇒ 2

10085

y+=° ⇒ y+°=° 100170

Por lo tanto °−°= 100170y = °70

Ejemplos

Nombre Practicando con las circunferencias No. 1



Actitudes a formar








86

1. Dar el nombre a cada una de las siguientes líneas:

a) AB es:

b) CD es:

c) OE es:

d) OF es:

e) EF es:

2. Dar el nombre que corresponde a cada uno de los siguientes ángulos:

Ejercicios

Nombre Miscelánea de ejercicios con circunferencias No. 2



Actitudes a formar









87

3. Si ABC es un triángulo inscrito, como se ilustra, hallar :

a) A∠ si arco a = °100 y arco °= 200c

b) A∠ si AB ⊥ BC y °= 100a

c) A∠ si AC es un diámetro y °= 100a

d) B∠ si ABC = °235

e) B∠ si a = °75 y c = 2 b

4. Si AB y CD son cuerdas que se cortan en E. como se ilustra, hallar:

a) x∠ si AC = °90 y BD = °70

b) x∠ si AC y BD miden °60 cada uno.

c) x∠ si AC + BD = °210

d) x∠ si BC + AD = °150

e) AC + BD si °=∠ 85x

f) AC + BD si °=∠ 100x

g) BC si °=∠ 60x y AD = °160

h) BC si °=∠ 72y y AD = 2 BC

5. Si AB y AC son secantes que se cortan en A, como se lustra, hallar:

a) A∠ si c = °90 y a = °40

b) A∠ si −c a = °82

c) A∠ si c = a + °40

d) a si c = °135 y °=∠ 40A

e) c si a = °60

88

ÁREAS Y VOLÚMENES

Definición de Área y Volumen.

Qué es un área.

Una unidad cuadrada es la superficie que encierra un cuadrado cuyo lado es 1 unidad (de longitud).

1 cm 1 centímetro cuadrado (

1 cm

Se llama área de una figura plana, por ejemplo, un polígono, al número de unidades cuadradas que

contiene su superficie. Como quiera que un rectángulo de 5 unidades de longitud y 4 unidades de anchura

se puede dividir en 20 cuadrados unidad, su área es de 20 unidades cuadradas.

4

5

Volúmenes.

Unidad cúbica es un cubo que tiene por arista la unidad de longitud. Por ejemplo, la pulgada cúbica es

un cubo cuya arista mide una pulgada.

1 cm 1 centímetro cúbico

1 cm 1 cm

Saberes

Nombre Áreas y volúmenes de figuras geométricas No. 2



Saberes a adquirir

• Áreas de figuras planas

• Volúmenes de sólidos

Manera didáctica de

lograrlos


tareas.

89

Se llama volumen de un cuerpo al número de unidades cúbicas que éste puede contener. Por

ejemplo, una caja cuadrada que tiene 3 unidades de longitud, 3 de anchura y 3 de de altura,

ocupa un volumen de 27 unidades cúbicas, o sea, que tiene una capacidad o espacio suficiente

para contener 27 cubos de una unidad de longitud por arista.

3

3

En las fórmulas relativas a volúmenes, éstos se expresan en unidades cúbicas, y éstas deben

ser de la misma denominación que la utilizada para medir las dimensiones. Por ejemplo, si en la

caja anterior, la unidad para medir tanto la anchura, la altura y la longitud hubieran sido metros, el

volumen sería 327m .

Perímetros y áreas de las figuras más comunes

Figura Perímetro Área

Triángulo

= semiperímetro

Cuadrado

3

90

Rectángulo

Paralelogramo cualquiera

Rombo

Trapecio

Polígono regular cualquiera

91

Fórmulas alternativas para encontrar áreas de polígonos regulares comunes, considerando la

medida del lado. ( ladol = )

Pentágono: 2721.1 lA = ; Hexágono : 2598.2 lA = ; Eptágono: 2634.3 lA =

Octágono: 2828.4 lA = ; Eneágono:

2182.6 lA = ; decágono: 2694.7 lA =

Sector circular

Polígono cualquiera

El perímetro se obtiene El área se obtiene triangulando

Sumando cada lado. el polígono y sumando las áreas

de dichos triángulos.

92

ÁREAS LATERALES , ÁREAS TOTALES Y VOLÚMENES DE LAS FIGURAS MÁS COMUNES

Área Volumen

Cubo

a

a a

Paralepípedo rectángulo

c

b

a

Prisma recto cualquiera

Pirámide regular cualquiera

El volumen de una

pirámide regular

cualquiera, es igual a 1/3

del producto del área de

la base por su altura

El volumen de un

prisma recto

cualquiera, es igual al

producto del área de su

base por su altura.

93

Cilindro circular recto

Cono circular recto

Esfera

94

222 )16(=+ xx

2562 2 =x 642

12822

))((2

2

===== xxxbhA

1282 =x

EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁREAS

1) Hallar el área del siguiente triángulo:

Solución:

25.382

)7)(11(

2cm

bhA ===

2) Hallar el área de un triángulo rectángulo si los catetos son iguales y la hipotenusa vale 16.

Solución:

X = 16 Por Pitágoras Área:

Base = x

Altura = x

Ejemplos

Nombre Practicando con áreas y volúmenes No. 1



Actitudes a formar








95

3) Hallar la altura de un triángulo si el área es igual a 25 y el lado a la cual pertenece la altura dada es igual a 5

Solución: 2

bhA = que al despejar “h” nos da 10

5

)25(22 ===b

Ah

4) Hallar el área de un cuadrado si el perímetro es igual a 10.

Solución: Perímetro = 104 =l Área:

El lado será 5.24

10 ==l 25.6)5.2( 22 === lA

5) Si el área de un cuadrado es 81, hallar la longitud de la diagonal.

Solución:

2lA = La diagonal forma triángulos rectángulos cuyos catetos valen 9

281 l= Usando Pitágoras 222 )(diagonalll =+

9=l 222 )9()9( +=d

6) En un paralelogramo, hallar la altura si el área es igual a 21 y la base supera en cuatro unidades

a la altura.

Solución: Sea xh = Abh=

4+= xb 21)4( =+xx

02142 =−+ xx

0)3)(7( =−+ xx

7−=x ; 3=x

La altura es 3=h y la base 74 =+x

96

7) Hallar el área de un trapecio isósceles CDEF, si = B = 22, = b = 12 y a = 13

Solución:

D E 22-12 = 10

Por Pitágoras:

C G F

El área del trapecio será:

unidades cuadradas

8) Hallar el área de un rombo si una de las diagonales es 10, y el lado es 13.

Solución: Si suponemos que la diagonal d = 10, entonces la mitad de esta

diagonal es 5. Puede entonces observar que se forma un triángulo

rectángulo cuya hipotenusa es , que al aplicar Pitágoras da:

D = la otra diagonal

⇒

Obteniendo raíz a ambos lados queda

La diagonal completa será D = 24

Por lo tanto el área del rombo será unidades cuadradas

97

9) Hallar el área de un triángulo equilátero si la altura es igual a 6.

¿Por qué 32

ah = ?

En la figura, se toma a uno de los triángulos formados por la

altura h y se aplica Pitágoras:

22

2

2h

aa +

= ⇒ 2

22

4h

aa =− 22

4

3ha =⇒

Al obtener la raíz a ambos lados da 32

ah = . En este

ejemplo, como 6=h se obtiene el lado a de la siguiente manera:

32

6a= que al despejar a se obtiene

Por lo tanto el área será

10) Calcular el área sombreada de la siguiente figura. Cada punto lleno representa el centro de un arco de circunferencia o el centro de un círculo.

Paso 1: En el triángulo rectángulo, la medida de los catetos será , que al resolver

da, ⇒ .

Paso 2: El área de ese triángulo es:

Paso 3: Área del sector circular

Paso 4: El área del segmento circular, no sombreado, es la resta

del sector circular y el triángulo:

Paso 5: El área sombreada será la resta de la media circunferencia menos

el segmento circular no sombreado:

98

222 956.61)6(721.1721.1 cmcmlA ===

EJEMPLOS RESUELTOS DE VOLUMEN

1) Hallar el volumen de la siguiente figura. Considere que 8=r cm.

Solución: =r2 altura del cilindro circular recto; r3 = altura del cono.

La figura está formada por un cilindro circular recto y un cono.

Paso1: El volumen del cilindro circular recto es:

π=V 322 99.3216)16()8( cmcmcmhr == π

Paso 2: El volumen del cono será:

322 495.1608)24()8(3

1

3

1cmcmcmhrV === ππ

Paso 3: Paso 3: El volumen total de la figura es:

3485.4825495.160899.3216 cmVT =+=

2) Hallar el volumen de una pirámide regular de base pentagonal de altura 20 cm si la

longitud del lado de la base pentagonal es igual a 6 cm.

Paso 1: Área de la base pentagonal

Paso 2: Fórmula del volumen

)20)(926.61(3

1

3

1 2 cmcmhAV b ==

304.413 cmV =

99

EJERCICIOS DE ÁREAS

1) Hallar el lado de un cuadrado si: a) El perímetro es igual a 44 , b) La diagonal es igual a 8.

2) Si el área de un cuadrado es 81, hallar: a) El lado, b) El perímetro, c) La diagonal.

3) Hallar el área de un triángulo rectángulo si: a) Los catetos miden 5 y 6; b) los catetos son

iguales y c) la hipotenusa mide 16.

4) Hallar el área de: a) Un triángulos cuyos lados son iguales a 5, 12 y 13; b) Un triángulo isósceles

cuya base es 30 y cuyos lados iguales miden 17.

5) Hallar el área de un triángulo equilátero si: a) Un lado es igual a 10; b) El perímetro es igual a

36; c) La altura es igual a 35 .

6) Hallar El área del trapecio isósceles CDEF, si b = 17, a = 10 y h = 6.

D E

C G F

Nombre A calcular áreas y volúmenes No. 3



Actitudes a formar









Ejercicios

100

7) Dado un trapecio isósceles, hallar las bases, si los lados iguales miden 5, la altura 3 y el área 39.

8) Hallar el área de un rombo si:

a) Las diagonales son 8 y 9 c) El perímetro es 40 y una de las diagonales es 12 b) Las diagonales son 11 y 7 d)El perímetro es 32 y la diagonal menor es igual

al lado.

9) Hallar el área de un octágono de 4 cm de lado y apotema 4.828 cm.

10) En las siguientes figuras, encontrar el área de la región sombreada. El punto resaltado

representa el centro de una circunferencia o de un círculo.

11)

a) La figura ABC es un equilátero. .10cmCABCAB === P, M y N son los puntos medios

de los lados. Calcule el área de la parte sombreada de la figura.

b) El ABCD es un cuadrado cmOA 4= . Calcule el área de la parte sombreada de la figura.

a) b)

101

EJERCICIOS DE VOLÚMENES

12) Calcular el volumen de las siguientes figuras:

a) b) c)

13) Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 5 cm de arista

14) Calcular la diagonal de un paralepípedo rectángulo de 10 cm de largo, 4 cm de ancho y 5 cm de

alto.

3 m

102

15) Calcular el volumen de las siguientes figuras:

a) c)

c) cmwcml 4,6 == y cmh 8= d) Prisma recto

103

1. Funciones trigonométricas en el plano cartesiano y en el triángulo rectángulo

2. Resolución de triángulos rectángulos y aplicaciones

3. Triángulos oblicuángulos


1. Practicando con las funciones trigonométricas

2. A resolver y aplicar los triángulos rectángulos

3. Aplicando la Ley de Senos y la Ley de Cosenos


Competencia

4 • Explicar las funciones trigonométricas en el plano cartesiano

• Resolver triángulos rectángulos y sus aplicaciones con el uso de las funciones trigonométricas

• Aplicar la Ley de Senos y la Ley de Cosenos

• Emplear las ocho identidades trigonométricas fundamentales

Saberes

Ejemplos

104

1. Ejercitándose con las funciones trigonométricas

2. Aplicando tus conocimientos con los triángulos rectángulos

3. Demostrando tus conocimientos con la Ley de Senos y la Ley de Cosenos

4. Ejercitándose con las identidades trigonométricas


Emplea el lenguaje de la notación matemática para representar las seis funciones trigonométricas

Argumenta la naturaleza de las matemáticas como una herramienta para interpretar las funciones trigonométricas en diferentes contextos

Domina el algoritmo para resolver triángulos rectángulos y sus aplicaciones

Aplica principios algebraicos y aritméticos para aplicar la Ley de Senos y la Ley de Cosenos

Elije la estrategia aritmética o algebraica más conveniente para resolver identidades trigonométricas


Domina los conceptos fundamentales de la trigonometría, así como aplica principios algebraicos y aritméticos para resolver triángulos rectángulos y oblicuángulos en distintos contextos.

Ejercicios

105

EL PLANO DE COORDENADAS Y ÁNGULOS

Para el estudio de ángulos en un sistema de coordenadas, es útil definir un ángulo en términos de

una rotación. Un ángulo se forma por la rotación de un segmento de recta o rayo sobre su

extremo; la posición inicial del segmento se llama lado inicial del ángulo; la posición final del

segmento se llama lado final; el punto de rotación, se llama vértice del ángulo (ver figura).

Saberes

Nombre Funciones trigonométricas en el plano cartesiano y en el triángulo rectángulo

No. 1



Saberes a adquirir

¬ Ángulos en posición normal

¬ Ángulos coterminales

¬ Valor de las funciones trigonométricas para cualquier ángulo.

¬ Valor de las funciones trigonométricas para ángulos especiales

¬ Gráfica de las funciones trigonométricas



tareas

106

La cantidad y dirección de rotación es la medida del ángulo, cuya unidad más común es el grado,

definido como 1/360 de la rotación total. Si la rotación es en el sentido contrario a las manecillas

del reloj, la medición es positiva; pero si la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj, la

medición será negativa. Si la rotación es completa en el sentido contrario de las manecillas del

reloj, se tendrá un ángulo cuya medida será de 360° , con los lados inicial y final coincidentes. En

la figura siguiente se muestran diversos ángulos y sus medidas o valores.

Ángulo en posición normal. Un ángulo se encuentra en posición normal dentro de un sistema de

coordenadas sólo si su vértice coincide con el origen y su lado inicial se encuentra sobre el eje

positivo x . En las figuras abajo se muestran dos ángulos en posición normal, uno positivo y otro

negativo.

107

En la figura siguiente se muestran diferentes ángulos con el mismo lado terminal o final. Tales

ángulos se denominan ángulos coterminales. En dicha figura, los ángulos de 45° y 405° son

coterminales. Los ángulos de 315− ° y 405° también lo son. Las medidas de los ángulos

coterminales difieren en múltiplos de .

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA CUALQUIER ÁNGULO

Sea θ un ángulo, colocado en posición normal, y sea ( , )P x y un punto cualquiera, distinto del

origen, perteneciente al lado terminal del ángulo. Las seis funciones trigonométricas de θ se

definen, en términos de la abscisa, la ordenada y la distancia de P como sigue:

senoθ = sen θ = tan

ordenada y

dis cia r= cosecanteθ = csc θ =

tandis cia r

ordenada y=

cosenoθ = cos θ = tan

abscisa x

dis cia r= secante θ = sec θ =

tandis cia r

abscisa x=

tangente θ = tan θ = ordenada y

abscisa x= cotangente θ = cot θ =

abscisa x

ordenada y=

108

Al trabajar con un triángulo rectángulo cualquiera, es conveniente designar los vértices de los

ángulos como A, B, C, y los lados opuestos a los ángulos como, a, b, c, respectivamente. Con

relación al ángulo A, el lado a recibe el nombre de cateto opuesto y el b de cateto adyacente; con

relación al ángulo B, el cateto adyacente es a, y el cateto opuesto es b. Al lado c se llama siempre

hipotenusa.

Si ahora se coloca el triángulo en un sistema de coordenadas (véase figura abajo) de tal manera

que el ángulo A quede en posición normal, las coordenadas del punto B, en el lado terminal del

ángulo A, son ( , )b a y su distancia es 2 2c a b= + . En estas condiciones, las funciones

trigonométricas del ángulo A, pueden definirse en términos de los lados del triángulo rectángulo,

como sigue:

sen A = .a c opuesto

c hipotenusa= csc A =

.

c hipotenusa

a c opuesto=

cos A = .b c adyacente

c hipotenusa= sec A =

.

c hipotenusa

b c adyacente=

tan A = .

.

a c opuesto

b c adyacente= cot A =

.

.

b c adyacente

a c opuesto=

109

VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESPECIALES

Es fácil determinar las funciones trigonométricas de ángulos cuadrantales. Al aplicar las

definiciones de estas funciones, puede usarse cualquier punto P ubicado sobre el lado final del

ángulo. En la figura , P se ha escogido de manera que r = OP = 1

Compruébense los valores de la tabla 1: Nótese que, para ciertos valores de θ , algunas funciones

tienen valores indefinidos. ¿Por qué?

Tabla 1

110

Las funciones trigonométricas de otros ángulos especiales también pueden determinarse

mediante el empleo de relaciones geométricas.

Se puede recurrir a las figuras siguientes para obtener los valores de las funciones trigonométricas

de ángulos especiales:

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

• Representación de las funciones trigonométricas en el círculo unitario

Sea θ un ángulo cualquiera dado, en posición normal. (En la figura 2-20 se muestra θ en cada

uno de los cuadrantes). Descríbase una circunferencia con centro en el vértice O, y cuyo radio de

tome como unidad. Esta circunferencia corta el lado inicial OX de θ en A, el semi-eje positivo de

las Y en B, y el lado final deθ en P. Trácense también las tangentes a la circunferencia en A y B. Las

tangentes trazadas cortan el lado final de θ (o su prolongación en sentido contrario a partir de O)

en los puntos Q y R respectivamente.

C B

111

En cada una de las figuras, los triángulos rectángulos OMP, OAQ y OBR son semejantes y, en

consecuencia,

MPOPMPsen == /θ OROBORMPOP === //cscθ

OMOPOM == /cosθ OQOAOQOMOP === //secθ

AQOAAQOMMP === //tanθ BROBBRMPOM === //cotθ

Los segmentos de recta MP, OM, AQ, etc., son segmentos dirigidos tales que la magnitud de cada

función viene dada por la longitud del segmento respectivo, y el signo de la función corresponde al

sentido indicado. Los segmentos dirigidos OQ y OR se consideran positivos cuando están

determinados sobre el lado final del ángulo, y negativos cuando están determinados sobre la

prolongación, en sentido contrario, del lado final.

GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

A continuación se da una tabulación de valores, para que el alumno en un eje de coordenadas

rectangulares grafique las funciones trigonométricas

Tabla 2. Los valores del ángulo x están expresados en radianes.

112

113

1. Encuéntrese, para cada caso, el ángulo coterminal positivo más pequeño:

a) 840° b) 115− °

Solución

Hágase un diagrama para cada ángulo. Súmese o réstese 360° , hasta obtener un ángulo cuyo

valor se encuentre entre 0° y 360° .

840 360 480

480 360 120

° − ° = °° − ° = °

115 360 245− ° + ° = °

Ejemplos

Nombre Practicando con las funciones trigonométricas No. 1



Actitudes a formar




1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.



114

2. El lado final de un ángulo θ contiene el punto ( 5, 12)P = − − de la figura.

Determínese los valores del seno, coseno, tangente de θ , cosecanteθ , secanteθ y

cotangenteθ .

Solución:

El valor de r se encuentra mediante el teorema de Pitágoras

2 2( 5) ( 12) 169 13r = − + − = =

Nota: La distancia r siempre se considerará positiva. Lo

único que puede ser negativo son sus componentes

x e y que determinan la ubicación del cuadrante.

Entonces: sen θ = 12 12

13 13

− = − cscθ12

13−=

cos θ = 5 5

13 13

− = − 5

13csc −=θ

tan θ = 12 12

5 5

− =−

12

5tan =θ

3. Sea cos θ = 6

10− y θ un ángulo en el cuadrante II. Encuéntrese sen θ y tan θ .

Solución: De la función cos θ = 6 6

10 10

−− =

Se tiene que 6x = − y 10r = . Por tanto, se

puede encontrar el valor de y por Pitágoras.

2 2 26 10y+ =

por tanto

Como θ está en el cuadrante II, se tiene que 8y = , así,

sen θ = 8 4

10 5= y tan θ =

8 4

6 3= −

−

115

4. Si se tiene un ángulo θ en el cuadrante III y csc θ = -2, encuéntrese sen θ , cos θ ,

tan θ , sec θ y cot θ .

Solución: De csc θ = -2 se obtiene una función recíproca, con lo que sen θ = 1

2− . Para obtener

los valores de las demás funciones, se debe conocer los valores de las coordenadas de un punto

sobre el lado final de θ .

De la definición de cosecante se tiene que csc 2

21

θ = − =−

, de donde 1y = − y 2r = (ver

figura). Del teorema de Pitágoras: 2 2 2( 1) 2 ,x + − = se obtiene 3x = ± y como se tiene un

ángulo en el cuadrante III, 3x = − . De aquí se sigue que,

cos θ = 3

2− sec

2 2 3

33θ = − = −

tan 1 3

33θ = − = − cot 3θ = −

5. Determínese los valores de a) 360 ,sen ° b) tan( 270 )− ° y c) sec540° .

Solución: Hágase un dibujo para cada ángulo y evalúese con base a la tabla 1.

;01

0360 ==°sen ( )

0

1270tan =°− =indefinido 1

1

1540sec −=

−=°

116

6. Determínese 60 ,cos60sen ° ° y tan 60°

Solución: Dibujando un ángulo como el de la figura 2-16, se puede escoger un punto P sobre la

recta del lado final, de tal manera que por comodidad 2.r OP= = Sea A el punto desde el que

se levanta una perpendicular el eje x , con lo que PAO∆ es un triángulo rectángulo de 30° y

60° . La longitud del lado opuesto al ángulo de 30° es la mitad de la longitud de la hipotenusa, lo

que lleva a la conclusión de que OA = ½ (2) =1. La longitud del lado opuesto al ángulo de 60° es

3 veces la longitud del lado más corto, con lo que se concluye que PA = 3 . De lo anterior se

tiene que las coordenadas de P son 1, 3;x y= = por lo tanto:

También podemos usar el teorema de Pitágoras para demostrar los valores de los lados del

triángulo de la figura.

222 )2()3()1( =+

431 =+

3

602

sen ° = 1

cos602

° = tan 60 3° =

7. Determínese los valores de sec150 ,° csc150° y cot150° .

Solución:

Dibújese el ángulo y el triángulo PAO con 2r = . De la figura 2-17, se tiene

(180 150 ) 30 .POA∠ = ° − ° = ° El triángulo POA es un triángulo rectángulo de 30° y 60° y las

coordenadas del punto P son 3, 1,x y= − = de donde se tiene que:

2 2 3

sec15033

° = = −−

csc150 2° = , cot150 3° = −

117

8. Determínese los valores de 315 ,cos315sen ° ° y tan 315° .

Como en los ejemplos anteriores, dibújese una recta con 2r = (ver figura). Entonces,

(360 315 ) 45 .POA∠ = ° − ° = ° El triángulo considerado es el POA∆ rectángulo de 45° y 45° .

La longitud de la hipotenusa es 2 veces la longitud de cada uno de los lados restantes. De aquí

que 2( ) 2OA = y 2.OA= En forma similar, 2PA= y las coordenadas de P serán

2x = , 2y = − .

Podemos usar Pitágoras para demostrar el valor de los lados del triángulo

222 )2()2()2( =+

2 + 2 = 4

2

3152

sen ° = − , 2

cos3152

° = ,

2

tan315 12

−° = = −

9. Determínese sec( 135 )− ° , csc( 135 )− ° y cot( 135 )− ° .

Viendo la figura se observa que 225 180 45POA∠ = ° − ° = ° , donde las coordenadas de P son

2x= − y 2y = − , con lo cual nos da:

2

sec( 135 ) 22

− ° = = −−

2

csc( 135 ) 22

− ° = = −−

118

I. En los siguientes ejercicios, evalúense las funciones sen θ , cosθ ,tan θ , cscθ , secθ y cotθ

del ángulo θ en posición normal, cuya recta del lado final pasa por los puntos cuyas coordenadas

se indican. Dense las respuestas en la forma más sencilla posible.

1. (3, 4)P − 2. ( 5, 12)P − − 3. (8,15)P 4. ( 9,12)P −

II. Supóngase que θ es la medida de un ángulo en posición normal, cuyo lado final se encuentre

en el cuadrante indicado para cada caso. En los ejercicios siguientes se da el valor de una función;

encuéntrese el valor de las funciones restantes. Exprésese la respuesta en la forma más sencilla

posible:

1. 4

5senθ = − ; cuadrante III 2.

4

5senθ = ; cuadrante II

3. 8

cos10

θ = − ; cuadrante II 4. 3

tan ;2

θ = − cuadrante II

5. 3

tan ;4

θ = − cuadrante IV 6. 13

sec ;12

θ = cuadrante IV

7. 3

cos ;2

θ = cuadrante IV 8. 4

csc ;3

θ = − cuadrante III

Ejercicios

Nombre Ejercitándose con las funciones trigonométricas No. 1



Actitudes a formar









119

III. Los ejercicios 1 a 16 se refieren a ángulos en posición normal, para los cuales hay que

determinar las seis funciones trigonométricas. Cuando el valor sea indefinido, establézcase

también.

1. °210 2. °135 3. °300 4. °315 5. °540 6. °720 7. °630 8. °450

9. °240 10. °225 11. °330 12. °45 13. °−180 14. °− 270 15. °− 450 16. °− 225

IV. Los ejercicios 1 al 10 son aseveraciones. Dígase si son verdaderas o falsas (V o F).

1. °=°− 45cos)45cos( 2. °−=°− 120)120( sensen 3. °=°− 30tan)30tan(

4. °=° 6030cos sen 5. °=° 60cos30sen 6. 1)135(cos)135( 22 =°+°sen

7. )6030cos(60cos30cos °+°=°+° 8. )3060(3060 °+°=°+° sensensen

9. 22 )180(tan1)180(sec °+=° 10. °⋅°=° 60cos602120 sensen

V. Hallar el valor numérico de:

1. °°° 60cot30cos302sen 2. °°° 45tan30cot60sen

3. °°+°° 30tan60cos45cos30sen 4. °+°° 45sec30tan60cot 2

5. °+° 45tan260tan 22 6. °+° 60sec30cot2

7. °−° 30445tan3 sen 8. °

°+°30csc

45cot45tan

9. °

°−°60sec

30cos60sen 10.

°°°

45csc

60sec45cos

Te ponemos las respuestas de los ejercicios V para que te orientes:

1) 2

1; 2) 3)

12

3223 +); 4)

3

7; 5) 5; 6) )13(2 + ; 7) 1

8) 1; 9) 0 ; 10) 1

120

Generalidades para resolver triángulos rectángulos:

En esta sección y la siguiente se aplicarán las funciones trigonométricas al problema de la solución

de triángulos. Se empezará por considerar el triángulo rectángulo.

En un triángulo rectángulo se tienen cinco elementos fundamentales. Loa ángulos agudos y los

tres lados. Loa dos ángulos agudos son complementarios por lo que conociendo una de ellos el

otro se puede obtener restando a 90° el valor del ángulo conocido. Si se conocen dos elementos

fundamentales de un triángulo rectángulo, que no sean dos ángulos, es posible resolver el

triángulo, es decir, se pueden calcular los valores de los demás elementos.

En general se presentan dos casos:

a) Cuando se conoce un lado y un ángulo.

b) Cuando se conocen dos lados.

La resolución se hace con aplicación de las funciones trigonométricas y con el teorema de

Pitágoras. Se recomienda tratar de trabajar con las funciones seno, coseno y tangente, ya que

estas funciones son las que aparecen directamente en la calculadora.

Saberes

Nombre Resolución de triángulos rectángulos y aplicaciones No. 2



Saberes a adquirir

¬ Como encontrar los elementos de un triángulo rectángulo usando funciones trigonométricas

¬ Aplicaciones prácticas usando triángulos rectángulos

Manera didáctica de

lograrlos


tareas

121

Consideraciones a tomar en los problemas de aplicación:

Al aplicar la resolución de triángulos rectángulos a problemas de orden práctico generalmente

se hace referencia a ángulos llamados de elevación y de depresión.

Llamaremos visual a la línea recta que va del ojo del observador al objeto observado.

Se llama ángulo de elevación al que forma la horizontal con la visual que se halla por encima de la

horizontal y el mismo plano vertical.

Se llama ángulo de depresión al que forma la horizontal con la visual, el cual se halla por

debajo de la horizontal y el mismo plano vertical.

En la figura, la persona A observa a la persona B con un ángulo de depresión, mientras que la

persona B observa a la persona A con un ángulo de elevación

122

1. Resolver el triángulo rectángulo ABC si 65 20A ′∠ = ° y c = 75 m.

Datos Incógnitas 90B A∠ = ° − ∠

90C∠ = ° B∠ = 89 60 65 20′ ′= ° − °

65 20A ′∠ = ° a = 24 40′= °

c = 75 m b = Nota: Al formar una función, tomamos un lado conocido y

un lado desconocido.

a

senAc

= cosb

Ac

=

75

asenA= cos

75

bA =

75 65 20sen a′° = 75cos65 20 b′° =

75(0.9088) a= 75(0.4173) b=

68.16 a= 31.30 b=

Solución: 24 20 ; 68.16 ; 31.30 .B a m b m′∠ = ° = =

Ejemplos

Nombre A resolver y aplicar los triángulos rectángulos No. 2



Actitudes a formar








123

2. Resolver el triángulo rectángulo ABC si a = 32.45 m y 29 18 .A ′∠ = °

Datos Incógnitas AB ∠−°=∠ 90

°=∠ 90C =∠B 81290689 ′°−′°=

8129 ′°=∠A b = 2460 ′°=

a = 32.45 m c = Tomamos un lado conocido y uno desconocido,

que al despejar c da:

Sustituimos,

Ahora podemos usar Pitágoras para hallar lado b:

3. Resolver el triángulo ABC si a = 45.2 m y b = 20.5 m.

Datos Incógnitas

°=∠ 90C =∠A

a = 45.2 m =∠B

b = 20.5 m c =

Con los lados conocidos podemos usar la tangente: Podemos usar Pitágoras para el lado c:

⇨ ⇨

, con lo cual

Podemos encontrar ∠B restando ∠A de

124

4. Un topógrafo encuentra que el ángulo de elevación del asta de una bandera como el de la

figura, es de °7.61 ( 2461 ′° ). La observación se hace desde una altura de 1.5 m sobre el

nivel del piso y a una distancia de 10 m del asta. En estas condiciones, determínese la

altura del asta.

Solución: El problema se reduce a encontrar el lado f del triángulo de la figura 2-27 y sumarle

1.5, que es la altura sobre el nivel del piso donde se encuentra el punto de observación.

10

7.61tanf=°

)7.61(tan10 °=f

57.18=f

Al valor obtenido hay que sumarle 1.5m, que es la

Altura sobre el nivel del piso, así :

Altura del asta = 18.57 + 1.5 = 20.07 m .

5. Un vigilante se encuentra en la ventana del faro de la figura, a una altura de 32 m sobre el

nivel del océano. El ángulo de depresión del barco es de °27 . ¿A qué distancia se

encuentra el barco del faro?

Solución:

Podemos formar el triángulo ABC como

en la figura 2-28b. El lado b será la

solución del problema.

b

3227tan =°

80.6227tan

32 =°

=b m

125

I. Resolver el triángulo rectángulo ABC, dados:

1) c = 54 0437 ′°=∠A 6) a = 156 6349 ′°=∠A

2) c = 458 8164 ′°=∠A 7) a =245 0454 ′°=∠A

3) c = 12 °=∠ 49A 8) b = 842 4179 ′°=∠B

4) a = 67 0342 ′°=∠A 9) a = 120 °=∠ 61A

5) b = 25 °=∠ 57B 10) b = 261.7 1243 ′°=∠A

Respuestas:

1) 74.42;99.32;0252 ==′°=∠ baB 6) 765.132;858.204;4240 ==′°=∠ bcB

2) 63.198;70.412;2425 ==′°=∠ baB 7) 68.173;32.300;0235 ==′°=∠ bcB

3) 87.7;056.9;41 ==°=∠ baB 8) 08.857;11.160;6410 ==′°=∠ caA

4) 12.73;17.99;0347 ==′°=∠ bcB 9) 516.66;205.137;29 ==°=∠ bcB

5) 808.29;235.16;33 ==°=∠ caA 10) 87.359;33.247;9346 ==′°=∠ caB

Ejercicios

Nombre Aplicando tus conocimientos con los triángulos rectángulos No. 2



Actitudes a formar









126

II. Resolver el triángulo rectángulo ABC, dados:

1) a = 36 b = 58 6) c = 326 a = 28

2) a = 18.9 b = 32 7) c = 156.8 a = 99.46

3) a = 425 b = 260 8) c = 89 a = 72

4) c = 47 b = 33 9) c = 149 a = 51

5) c = 729.5 b = 617.5 10) c = 137 b = 105

Respuestas:

1) 26.68;0158;0531 =′°=∠′°=∠ cBA 6) 795.324;4085;654 =′°=∠′°=∠ bBA

2) 16.37;6259;4330 =′°=∠′°=∠ cBA 7) 219.121;8350;2239 =′°=∠′°=∠ bBA

3) 22.498;7231;3358 =′°=∠′°=∠ cBA 8) 316.52;36;54 =°=∠°=∠ bBA

4) 466.33;6344;4245 =′°=∠′°=∠ aBA 9) 140;9569;1020 =′°=∠′°=∠ bBA

5) 41.388;0557;0132 =′°=∠′°=∠ aBA 10) 88;2050;8539 =′°=∠′°=∠ aBA

III. Resolver los siguientes problemas aplicados, usando triángulos rectángulos.

1. Cuando los rayos del Sol tienen una inclinación de °49 sobre la horizontal, el árbol de la figura

proyecta una sombra de 8.8 m sobre el piso, desde la base del mismo. ¿Cuál es la altura del árbol?

Resp: 10.1 m

127

2. Determínese la distancia AB y CB a través del lago mostrado en la figura.

3. El techo se define, en meteorología, como la distancia vertical del suelo a la base de las nubes,

Para medir el techo se coloca un reflector apuntando verticalmente hacia la nube. La figura

muestra un meteorólogo tratando de determinar cuál es la altura del techo. ¿Cuál es el valor de

esta altura?

Resp: 540 m

4. El barco de la figura navega en línea recta a lo largo de la costa. Cuando se encuentra

directamente frente el faro (L), el ángulo formado entre la línea del barco al faro y un hotel (H), es

de °53 . En estas condiciones, ¿Cuál es la distancia (d) que hay entre el barco y el faro?

128

5. Un aeroplano se encuentra volando a una altura de 760 pies cuando los motores fallan

repentinamente. Determínese el ángulo de deslizamiento θ , necesario para que el aeroplano

pueda llegar a un terreno plano que se encuentra a 5000 pies del lugar donde sucede la falla de los

motores de la figura.

Resp: °6.8

6. Un observador de aves mira el nido de un águila, en el claro del risco de la figura. ¿Qué distancia

hay entre el nido del águila y la cima del risco?

Resp: 7.65 m

7. El copiloto del aeroplano de la figura, que vuela a una altura de 8000 pies sobre el nivel del

océano, descubre una isla. Calcúlese la anchura de la isla.

129

8. Un topógrafo hace dos observaciones, como se muestra en la figura, con objeto de obtener el

valor de la altura de la montaña ahí mostrada. Determínese la altura de la cima de la montaña h,

sobre el nivel del altiplano, si la distancia entre los dos puntos de observación es 200 pies.

9. Un topógrafo desea medir la altura h de un edificio, pero no puede medir la distancia que hay

entre los puntos B y C como se ve en la figura. Primero se sitúa en B y mide el ángulo de elevación

a la parte superior del edificio (punto D) resultando de . Después retrocede 350 m, y desde A

mide el ángulo de elevación al punto D, obteniendo . Con estos datos hallar la altura del

edificio.

Resp: 261.3 m

10.

Con los datos de la figura, estima la altura del acantilado. La altura del mástil es de 6 m.

130

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

En un triángulo oblicuángulo se tienen seis elementos fundamentales: Los tres lados y los tres

ángulos. De tal manera que puede haber tres ángulos agudos o un ángulo obtuso y dos agudos,

pues conociendo dos ángulos, el tercero se puede obtener restándole a °180 la suma de los dos

primeros.

El triángulo oblicuángulo se puede resolver si se conocen tres elementos, no todos ángulos, excepción hecha con base en el caso ambiguo.

En general se presentan cuatro casos:

a) Cuando se conoce un lado y dos ángulos.

b) Cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

c) Cuando se conocen dos lados y un ángulo comprendido.

d) Cuando se conocen los tres lados.

De modo que la resolución de estos cuatro casos se hace con la aplicación de la ley de senos,

de los cosenos o de ambas.

Ley de los senos. En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos

opuestos; es decir,

senC

c

senB

b

senA

a ==

Saberes

Nombre Triángulos oblicuángulos No. 3



Saberes a adquirir

¬ Aplicación de la Ley de Senos

¬ Aplicación de la Ley de los Cosenos



tareas

131

Ley de los cosenos. En todo triángulo, el cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los

cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo

comprendido; es decir,

Abccba cos2222 −+=

Baccab cos2222 −+=

Cabbac cos2222 −+=

Conociendo un lado y dos ángulos (Ley de Senos)

Ejemplo 1. Resolver el triángulo oblicuángulo ABC si a = 22 m, °=∠ 35A y °=∠ 65B .

Datos Incógnitas

Ejemplos

Nombre Aplicando la Ley de Senos y la Ley de Cosenos No. 3



Actitudes a formar








132

Solución:

Cálculo del lado b Cálculo del lado c

Que al despejar b queda: Que al despejar c queda:

Conociendo dos lados y un ángulo no comprendido entre los lados conocidos (Ley de Senos)

Ejemplo 2.

Datos: Incógnitas

lado c

Solución:

Cálculo del ángulo B

Cálculo del ángulo C

Cálculo del lado c

Por lo tanto

133

Conociendo dos lados y el ángulo comprendido entre esos dos lados (Ley de Cosenos)

Ejemplo 3. Resolver el triángulo oblicuángulo ABC si a = 125 m, b = 230 m, 0135 ′°=∠C .

Datos Incógnitas

Cálculo del lado c Cálculo del ángulo A

Cabbac cos2222 −+= Se puede usar la Ley de senos

)8175.0(5750052900156252 −+=c

25.47006685252 −=c

69.14675.21518 ==c

Cálculo del ángulo B:

NOTA: Si hubiéramos decidido halar al por la Ley de Senos tendríamos:

⇨ ⇨

Podemos observar que el valor obtenido no concuerda con el cálculo anterior para el ángulo B,

pero al observar el triángulo nos percatamos que se trata de un ángulo mayor a . En este caso

se realiza la siguiente operación: .

134

Conociendo los tres lados (Ley de Cosenos)

Ejemplo 4. Resolver el triángulo oblicuángulo ABC si a = 36, b = 48 y c = 30.

Cálculo del ángulo A Cálculo del ángulo B

Baccab cos2222 −+=

Que al despejar tenemos: )30)(36(2

483036

2cos

222222 −+=−+=ac

bcaB

)30)(48(2

363048

2cos

222222 −+=−+=bc

acbA 0500.0cos −=B

6625.0cos =A 2592 ′°=∠B

03486625.0cos1 ′°==∠ −A Por último: 833825920348180 ′°=′°−′°−°=∠C

135

I. Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos:

1. a = 15 5148 ′°=∠B °=∠ 54C 6. a = 74 2463 ′°=∠A 2534 ′°=∠B

2. a = 85 0265 ′°=∠B 0150 ′°=∠C 7. a = 82 2451 ′°=∠B 71109 ′°=∠C

3. a = 364 5150 ′°=∠A 5457 ′°=∠B 8. b = 678 0136 ′°=∠A 5344 ′°=∠C

4. a = 478 6377 ′°=∠B °=∠ 45C 9. c = 246 6538 ′°=∠B 5257 ′°=∠C

5. a = 128 0462 ′°=∠A 0238 ′°=∠C 10. c = 931 7540 ′°=∠B 92129 ′°=∠C

Respuestas:

1. 5477 ′°=∠A ; b = 11.45; c = 12.42 6. 6281 ′°=∠C ; b = 47.19; c = 81.63

2. 0364 ′°=∠A ; b = 85.58; c = 72.31 7. 1019 ′°=∠A ; a = 34.05; c = 98.62

3. °=∠ 72C ; b = 400.40; c = 450.31 8. 5199 ′°=∠B ; a = 405.36; c = 482.16

4. 4257 ′°=∠A ; b = 554.14; c = 401.18 9. 9383 ′°=∠A ; a = 290.14; b = 182.82

5. °=∠ 79B ; b = 141.43; c = 89.36 10. 439 ′°=∠A ; a = 177.75; c = 700.95

Ejercicios

Nombre Demostrando tus conocimientos con la Ley de Senos y la Ley de Cosenos

No. 3



Actitudes a formar









136

II. Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos:

1. a = 525, b = 380, 0258 ′°=∠A 5. a = 551, c = 608, 2160 ′°=∠A

2. a = 25, b = 30, 0150 ′°=∠A 6. a = 85, b = 45, 02110 ′°=∠A

3. a = 740, b = 380, 0258 ′°=∠A 7. a = 10, b = 6, 0120 ′°=∠A

4, a = 14, c = 12, 0335 ′°=∠A 8. b = 15, c = 8, 5139 ′°=∠B

Respuestas:

1. 80.613;9383;1038 =′°=∠′°=∠ cCB 5. 96.460;5173;3346 =′°=∠′°=∠ bCB

2. 93.28;1462;9067 =′°=∠′°=∠ cCB 6. 17.58;5539;5429 =′°=∠′°=∠ cCB

3. 11.865;5495;5525 =′°=∠′°=∠ cCB 7. 48.15;44147;6511 =′°=∠′°=∠ cCB

4. 91.21;93114;1529 =′°=∠′°=∠ bCB 8. 31.20;3419;20121 =′°=∠′°=∠ aCA

III. Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos:

1. a = 78, b = 54, 0242 ′°=∠C 5. b = 129, c = 87, 4127 ′°=∠A

2. a = 67, b = 33, °=∠ 36C 6. a = 124, b = 175, 6283 ′°=∠B

3. a = 886, b = 747, 4571 ′°=∠C 7. b = 46, c = 18, 24115 ′°=∠A

4. a = 455, b = 410, 9162 ′°=∠C 8. b = 45, c = 31, 9155 ′°=∠A

Respuestas:

1. 66.52;0444;94 =′°=∠°=∠ cBA 5. 2.65;7337;90115 =′°=∠′°=∠ aCB

2. 73.44;2425;81118 =′°=∠′°=∠ cBA 6. 76.138;9551;5444 =′°∠′°=∠ cA

3. 26.965;1247;5460 =′°=∠′°=∠ cBA 7. 2.56;7416;1347 =′°=∠′°=∠ aCB

4. 2.449;5553;6463 =′°∠′°=∠ cA 8. 4.37;1043;0481 =′°=∠′°=∠ aCB

137

IV. Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos:

1. a = 25, b = 36, c = 44 4. a = 6.34, b = 7.30, c = 9.98

2. a = 380, b = 400, c = 150 5. a = 12, b = 18, c = 20

3. a = 120, b = 80, c = 100 6. a = 83, b = 54, c = 41

Respuestas:

1. 1490;4554;5234 ′°=∠′°=∠′°=∠ CBA 4. 0593;0546;0239 ′°=∠′°=∠′°=∠ CBA

2. 9521;2386;9271 ′°=∠′°=∠′°=∠ CBA 5. 8579;2463;0236 ′°=∠′°=∠′°=∠ CBA

3. 6455;5241;9482 ′°=∠′°=∠′°=∠ CBA 6. 9124;0533;15121 ′°=∠′°=∠′°=∠ CBA

V. Resuélvase los siguientes problemas usando la ley de senos:

1. ¿A qué distancia está la muchacha del castillo situado en el punto C?

138

2. Una joven caminante que se encuentra en el punto A de la figura desea dirigirse al punto C, que

se encuentra a 2.8 km en línea recta. A causa de las condiciones del terreno, decide seguir la

trayectoria de A a B para de ahí dirigirse hacia C. ¿Cuál será la distancia total que deberá recorrer?

Respuesta: 3.2 km

3. El globo de la figura, que está sujeto al punto A por una cuerda, es desplazado por el viento

hasta el punto C. Si un observador se encuentra en el punto B, ¿Cuál es la longitud de la cuerda

que sujeta al globo? La distancia entre A y B son 1526 m.

Respuesta: 1512 m

139

4. Un parque de béisbol está trazado como se muestra en la figura. Calcúlese la distancia que hay

desde home ( H ) hasta el punto C en el jardín central, siguiendo una trayectoria recta. La distancia

de H a A es también 315 pies. Al unir con una recta los puntos A y C, el ángulo H se corta a la

mitad.

Respuesta: 378.70 pies

VI. Resuélvase los siguientes problemas usando la ley de los cosenos.

1. Un topógrafo encuentra que el ángulo en el punto A de la figura, desde donde se observa los

puntos B y C, en cada orilla del lago, es °72 . Encuéntrese la distancia a través del lago

determinando la separación que hay entre los puntos B y C.

Respuesta: 21.7 m

140

2. En la figura se muestra un terreno de forma triangular, cuyo frente corresponde a las calles

Vine y Wilson. Calcúlese la longitud del lado restante.

Respuesta: 28.47 m

3. Un golfista golpea la pelota desde el punto de saque ( tee ) y la envía hasta el punto P de la

figura . ¿A qué distancia se encuentra la pelota del hoyo?

Respuesta: 158.1 yardas

P

141

VII. Subraya la respuesta correcta en los siguientes ejercicios:

1. ¿Cuál es la longitud del lado c?

a) 7.67 b) 8.12 c) 6.25 d) 7.34

2. ¿Cuánto vale el ángulo B de la siguiente figura?

a) b) c) d)

142

3. El área del triángulo ABC es:

a) b) c) d)

4. Las diagonales de un paralelogramo miden 8.54 y 5 cm y el ángulo que forman es de

. Calcule los lados a y b.

a) a = 5 cm b) a = 4 cm c) a = 6 cm d) a = 7 cm

b = 6.31 cm b = 2.76 cm b = 3.60 cm b = 5.23 cm

143

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Una identidad trigonométrica es un a igualdad que se cumple para cualquier valor del ángulo que

aparece en la igualdad.

Las relaciones fundamentales son las siguientes:

1csc =θθsen ( 1 )

1seccos =θθ ( 2 )

1cottan =θθ ( 3 )

θθθ

costan

sen= ( 4 )

θθθ

sen

coscot = ( 5 )

1cos 22 =+ θθ sen ( 6 )

θθ 22 sectan1 =+ ( 7 )

θθ 22 csc1cot =+ ( 8 )

Nombre Identidades trigonométricas No. 4



Saberes a adquirir

¬ Aplicar las ocho identidades trigonométricas fundamentales a) Relación inversa b) Relación por

cociente c) Relación

pitagórica

Manera didáctica

de lograrlos


y tareas

Saberes

144

Las ocho relaciones fundamentales agrupadas anteriormente son identidades y se pueden usar

para deducir otros menos fundamentales.

El método mas simple para demostrar que un a ecuación en una identidad, consiste en convertir

uno de los miembros para la educación en la forma que tiene el otro miembro. Tal como se indico,

no existe un método general para lleva r a efecto estas conversiones, pero las indicaciones

siguientes pueden ser útiles como guía en este tipo de operacione3s:

1.- Generalmente es más conveniente trabar con el miembro mas complicado de la identidad.

2.- Si uno de los miembros contiene uno o más operaciones indicadas, estas se deben efectuar

como primer paso.

3.- Si uno de los miembros contiene mas de una función, mientras que el otro miembro contiene

solo una, se convierten las funciones del primer miembro en términos de la función que entra en

el segundo, de acuerdo con la relación fundamental.

4.- Si el numerador de uno de loe miembros contiene varios términos y el denominador solamente

uno, se puede en ciertos casos, efectuar la conversión deseada expresado el miembro en cuestión

como una suma de funciones y aplicando luego las relaciones fundamentales.

5.- De ser posible, uno de los miembros debe ser factorizado. Después de ello, quizá sea posible

distinguir el paso siguiente.

6.- Algunas veces, para obtener las conversiones deseadas es necesario multiplicar el numerador y

el denominador de un miembro por un mismo factor. Esto es equivalente al multiplicar la función

por la unidad.

7.- Si no es posible aplicar ninguna de las indicaciones anteriores, las funciones del miembro mas

complicado se conviertan en senos y cosenos, y se simplifica.

145

Ejemplo 1. Demostrar que es una identidad.

θθ

θθθtan2

cos

tancos =+sen

Simplificado: θθ

θθθθ

tan2cos

tancos

cos=+sen

Por definición: θθθ tan2tantan =+

θθ tan2tan2 =

Ejemplo 2. Demostrar que la siguiente ecuación es una identidad

θθθθ 4422 coscos −=− sensen

Por diferencias de cuadrados, trabajando el lado derecho:

)cos)(cos(cos 222222 θθθθθ −+=− sensensen

Como 1cos 22 =+ θθ sen , la expresión anterior se transforma en:

)cos)(1(cos 2222 θθθ −=− sensen

Ejemplos

Nombre Calentamiento con las identidades No. 4



Actitudes a formar








146

Finalmente

θθθ 2222 coscos −=− sensen

Ejemplo 3. Demostrar la identidad trigonométrica:

xxx sectancsc =

Por definición: xx

senx

senxsec

cos

1 =⋅

xx

seccos

1 =

Si despejamos la identidad 2 tendremos que

xx secsec =

Si x = °30

csc °30 tan °30 = °30sec

(2.0000) (0.5774) = 1.1547

1.1547 = 1.1547

Ejemplo 4. Demostrar la igualdad.

Cos A (sec A – cos A) = sen2

A

Multiplicando: cosA secA - cos 2 A = sen 2 A

Por identidad: cosA Acos

1 - cos

2A = sen

2A

Por lo tanto: 1 - cos2

A = sen2

A

sen 2 A = sen 2 A

Si A = °45

1 - °)45(cos = (sen °45 ) 2 A

1 – 0.50 = 0.50

147

0.50 = 0.50

Ejemplo 5. Demostrar la siguiente identidad.

csc 2 A + cot 2 A csc 2 A = csc 4 A

Por identidad:

(1 + cot 2 A) + cot 2 A (1 + cot 2 A) = csc 4 A

Desarrollando la expresión:

1 + cot 2 A + cot 2 A +cot 4 A = csc 4 A

1 + 2cot2

A + cot4

A = csc4

A

Factorizando:

(1 + cot2

A)2

= csc4

A

csc4

A = csc4

A

Ejemplo 6. Hallar la demostración de:

sec4

A – 2sec2

A tan2

A+ tan4

A = 1

Factorizando:

(sec2

A - tan2

A)2

= 1

Por la identidad:

1+ tan2

A = sec2

A

Sustituyendo:

(1+ 2tan/ A - 2tan/ )2

= 1

Simplificando:

(1)2

= 1

1= 1

148

EJERCICIOS

Demostrar que cada una de las siguientes ecuaciones es una identidad. Aplicar las ocho

identidades fundamentales.

1. cot A (tan A + cot A) = csc 2 A

2. sen A (csc A – sen A) = cos2

A

3. (sec A – tan A) ( sec A + tan A) = 1

4. sec 2 A + csc 2 A = sec 2 A csc 2 A

5. A

A

sec

tan1− +

A

A

tan

sec =

AA

A

tansec

tan1+

6. A

senA

cos1− -

senA

Acos1+ = 0

7. senA

AAAsen tantan1 2 −+ = cot A - cos 2 A

Ejercicios

Nombre Ejercitándose con las identidades trigonométricas No. 4



Actitudes a formar









149

8. x

xsenx

cos1

tan

− =

x

x

cos

cos1+

9. x

xx

tan1

tancot

−−

= cot x + 1

10. xx

xsenx

cotcsc

tan

− - senx = tanx

11.y

y

cos1

cos31

++

= ysen

yy2

2cos3cos21 −+

12.x

senx

cos1+ + cotx = cscx

13. )cos(sec

tan12

2

ysenyy

y

++

= y

y

tan1

sec

+

14.12

cos2

33

−+

ysen

yysen =

1tan

sec

−−y

senyy

15.y

y2tan1

tan2

− +

1cos2

12 −y

= senyy

senyy

−+

cos

cos

150

1. Ecuaciones Trigonométricas

2. Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

1. Calentamiento con las ecuaciones trigonométricas

2. Trabajando con las ecuaciones exponenciales y logarítmicas

1. Ejercitando el cerebro con las ecuaciones trigonométricas

2. A practicar las ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Competencia

5 • Explicar el algoritmo para resolver ecuaciones trigonométricas

• Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas, y algunas aplicaciones.

Saberes

Ejemplos

Ejercicios

151


Domina el algoritmo para resolver ecuaciones trigonométricas

Aplica principios algebraicos y aritméticos para desarrollar el método más pertinente en la resolución de las ecuaciones exponenciales.

Elije la estrategia aritmética o algebraica más conveniente para resolver ecuaciones logarítmicas


Domina los conceptos fundamentales del álgebra y la trigonometría, así como aplica las estrategias más pertinentes para resolver ecuaciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

152

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones

trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las

funciones trigonométricas.

Para resolver la ecuación trigonométrica calculamos el número finito de valores del ángulo en un

intervalo especificado para los que se satisface la ecuación.

Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que

tener presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución de una

ecuación trigonométrica.

Saberes

Nombre Ecuaciones trigonométricas No. 1



Saberes a adquirir

¬ Concepto de ecuación trigonométrica

¬ Resolución de ecuaciones trigonométricas



y tareas

153

Ecuaciones que se resuelven mediante operaciones algebraicas simples

No existe un método general para la resolución de las ecuaciones trigonométricas. Los métodos de

resolución son parcialmente algebraicos y parcialmente trigonométricos.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación: 0coscos2 =− θθθsen para

Factorizado: 0)12(cos =−θθ sen

Igualando cada factor a cero, se obtiene:

0cos =θ °== − 00cos1θ

012 =−θsen 2

1=θsen °== − 302

11senθ

Solución: , . También puedes dar la solución en radianes:

rad, (Si tienes duda pregunta a tu maestro porqué también son soluciones).

Ejemplos

Nombre Calentamiento con las ecuaciones trigonométricas No. 1



Actitudes a formar








154

Ejemplo2. Resuelva la ecuación para

Solución: Factorizando

Iguale a cero cada factor y simplifique:

La solución con este factor:

Esta igualdad no interesa puesto que no

puede ser mayor que 1. La única solución es la anterior.

Resuelva las ecuaciones siguientes para

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. 12.

7.

Ejercicios

Nombre Ejercitando el cerebro con las ecuaciones trigonométricas No. 1



Actitudes a formar









155

Función Exponencial

Una función exponencial es una función definida por ecuaciones del tipo:

, donde , b ≠ 1

Donde b es una constante, llamada la base y el exponente en una variable. El dominio de f es el

conjunto R de números reales.

A las funciones exponenciales se acostumbra a llamarlas funciones de crecimiento puesto que su

uso mas extenso esta en la descripción de diferentes clases de fenómenos de crecimiento. Estas

funciones se usan para describir crecimiento de poblaciones de personas, de animales, de

bacterias; desintegración radio activa, formación de nuevas sustancias químicas.

Es una reacción; aumento o disminución en la temperatura de una sustancia cuando se calienta o

se enfría; aumento de dinero colocado a intereses; absorción de la luz al pasar por el aire, agua o

vidrio; descenso de la presión atmosférica cuando aumenta la altura; aumento del aprendizaje de

una destreza como la natación.

La base exponencial es un número irracional, denotando por “e” y es la base exponencial de uso

mas frecuente tanto en la parte teórica como practico.

Saberes

Nombre Ecuaciones exponenciales y logarítmicas No. 2



Saberes a adquirir

¬ Concepto de función exponencial

¬ Concepto y propiedades de los logaritmos

¬ Concepto de cologaritmo

¬ Aplicación de las ecuaciones exponenciales y logarítmicas



y tareas

156

La función:

xexf =)(

Se le dice la función exponencial por uso tan extenso. Las razones para la preferencia para “e”

como una base son claras en cursos mas avanzadas. El numero irracional “e” con cinco cifras

decimales es:

e=2.71828

LOGARITMOS

Logaritmo de un número es el exponente a que hay que elevar otro número llamado base para

obtener el número dado. Así:

14 =°

441 =

1642 =

6443 =

Luego, siendo la base 4, el logaritmo de 1 es 0, por que 0 es el exponente a que hay que elevar la

base 4 para que de 1; el log 4 es 1; es log 16 es 2, el log 64 es 3, etc.

Esta forma de representación se llama forma exponencial.

Base. Cualquier número positivo se puede tomar como base de un sistema de logaritmo.

La forma exponencial de las relaciones anteriores, las podemos representar de otra forma que se

denomina forma logarítmica:

Forma exponencial Forma logarítmica

14 =°

441 =

1642 =

6443 =

157

SISTEMAS DE LOGARITMO

Pudiendo tomarse como base de un sistema de logaritmos cualquiera numero positivo, el número

del sistema es ilimitado. No obstante, los sistemas usados generalmente son dos: El sistema de

logaritmo Vulgares o Briggs cuya base es 10, y el sistema de logaritmos naturales o neperianos

creados por Neper, cuya base es el número inconmensurable

e= 2,71828181828…

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1.- Logaritmo de un Producto. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de

los factores.

NMMN bbb logloglog +=

2.- Logaritmo de un Cociente. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo de dividiendo

menos el logaritmo de divisor.

NMN

Mbbb logloglog −=

3.- Logaritmo de una Potencia. El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por

el logaritmo de la base.

MPM bP

b loglog =

4.- Logaritmo de una Raíz. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad sub-radical

dividido entre el índice de la raíz.

log n M = n

Mlog

Para todos los casos si b, M y N son números reales positivos, 1≠b y p es cualquier número real.

158

Logaritmos de Briggs

Observando la progresión en forma exponencial:

1000010

100010

10010

1010

110

4

3

2

1

0

==

==

=

00001.010

0001.010

001.010

01.010

1.010

5

4

3

2

1

==

==

=

−

−

−

−

−

Podemos deducir fácilmente la forma logarítmica de los logaritmos de base 10. Cuando la base es

10 se acostumbra omitir este número en la notación. Tú podrás notar que en la calculadora

tampoco aparece el número 10, lo cual significa que es un logaritmo base 10.

log 1 = 0 log 0.1=-1

log 10 = 1 log 0.01=-2

log 100 = 2 log 0.001= -3

log 1000 = 3 log 0.0001=-4

log 10000 = 4 log 0.00001= -5

CARACTERISTICA Y MANTISA

El logaritmo de todo número que no sea una potencia de 10 consta de una parte entera y una

parte decimal. La parte entera se llama característica, y la parte decimal, mantisa.

La mantisa siempre es positiva, pero la característica puede ser cero si el número esta

comprendido entre 1 y 10; positiva si el número es mayor que 10 o negativa si el numero es menor

que 1. Las potencias de 10 solo tienen característica; su mantisa es cero.

159

COLOGARITMO

Se llama cologaritmo de un número al logaritmo de si inverso; también se le conoce como

antilogaritmo.

Ejemplos:

{ticacaracteris

135log = 321matisa

54441.

log 5350 = 3.7284

log 0.025 = -1.6021

Cologaritmo: 1.5441= 35

Cologaritmo: 3.7284= 5350.56

Cologaritmo: -1.6021= 0.025

Para calcular el logaritmo de un número, basta activar la tecla “log” en una calculadora científica,

programable o graficadora preferentemente Casio, Texas Instruments o Hewlett Packard. Utilizar

imitaciones puede calcular resultados ambiguos o errados. Para calcular el cologaritmo o

antilogaritmo, antes de activar la tecla “log” se presiona la tecla “shift” en la calculadora Casio y

“2nd” o “INV” para las Texas Instruments o Hewlett Packard.

ECUACIONES EXPONENCIALES

Las ecuaciones exponenciales son ecuaciones en las cuales la incógnita está en el exponente.

Para resolver ecuaciones exponenciales, se aplican logaritmos a los dos miembros de la ecuación y

se despeja la incógnita.

160

Ejemplo 1. Graficar la función exponencial:

Proponer valores:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 8

1− 4

1

2

1 1 2 4 8

Gráfica hecha con una calculadora graficadora

Ejemplos

Nombre Trabajando con las ecuaciones exponenciales y logarítmicas No. 2



Actitudes a formar








161

Ejemplo 2. Construir la grafica de la función exponencial mostrada para 33 pp x−

o equivalente,

Proponer valores:

x -3 -1 0 1 3

y 27 3 1 3

1

27

1

Ejemplo 3. Construir la grafica de la función:

Proponer valores:

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 14.33 12.71 11.27 10 8.87 7.87 6.98

162

Ejemplo 4. Hallar el resultado de 632 x 0.285 aplicando logaritmo.

log (632x0.285) = log 632 + log 0.285

= 2.8007 + (-0.5452) = 2.2555

colog 2.2555 = 180.09

Ejemplo 5. Hallar por log el valor de:

331.81 x 0.0004 x 54.72 =

Aplicando la propiedad de logaritmos para multiplicación:

log 331.81+log 0.0004 + log 54.72=

2.5209+ (-3.3979)+1.7381= 0.8611

colog 0.8611= 7.2627

Aplicando la ley de los signos = -7.2627

Ejemplo 6. Por logaritmos, resolver la división:

5342.14

90.8753 =

Aplicando la propiedad de logaritmos en la división:

log 8753.90 - log 14.5342 =

3.9422 - 1.1624 = 2.7798

colog 2.7798 = 602.2821

163

Ejemplo 7. Hallar el valor de la potencia:

750.9 =

Aplicando la propiedad de exponentes en logaritmos.

7(log 9.50) =

7(0.9777) = 6.8441

colog 6.8441 = 6983372.961

Ejemplo 8. Hallar el valor de la expresión por logaritmos.

95.816

08146.04328x

Aplicado las propiedades de los logaritmos:

log 4328 + log 0.08146 - log 81695 =

3.6363 + (-1.0890) - 2.9122 =

3.6363 - 1.0890 - 2.9122 = -0.3649

colog - 0.3649 = 0.4349 = 0.4315

Ejemplo 9. Resolver la expresión por logaritmos.

039.016.8

07497.048.200

x

x=

Aplicando las propiedades logarítmicas:

(log 200.48 + log 0.07497) – (log 8.16 + log 0.039) =

( ))1251.1(3021.2 −+ – ( ))4089.1(9117.0 −+ =

(2.3021 – 1.1251) – (0.9117 – 1.4089) =

1.177 + 0.4972= 1.6742

colog 1.6742 = 47.2285

164

Ejemplo 10. Hallar el valor del producto de potencias.

Resolviendo por logaritmos:

=+ 6log4log 94

73

6039.03458.02580.0)7781.0()6020.0( 94

73 =+=+

colog 0.6039 = 4.0167

Ejemplo 11. Hallar por logaritmos.

=62.7918.0

007.09.434

x

x

Aplicando propiedades:

=4

1 [(log 43. + log 0.007) – (-0.18 + log 79.62)]

=4

1 [(1.6424 – 2.1549) – (-0.7447 + 1.9010)]

=4

1 [(- 0.5124) – (1.1563)] =

4

1 (-1.6687)

= -0.4172

colog -0.4172 = 0.3827

165

Ejemplo 12. Calcular la operación de radicales por logaritmos.

=×7

5

13.724

88.019.43

Por logaritmos:

2

1 log 43.19 +

5

1 log 0.88 -

7

1 log 724.13 =

= 0.8177 + (-0.0111) – 0.4085

= 0.8177 – 0.111 – 0.4085

= 0.3980

Finalmente se obtiene colog 0.3980 = 2.5006

Ejemplo 13. Resolver la ecuación:

Aplicando propiedades de logaritmos:

x (log 7) = log 85

Despejando x:

x = 7log

85log x=

8451.0

9294.1

x = 2.2831

166

Ejemplo 14. Resolver la ecuación:

Por propiedades logaritmos:

(3x+2) log 6 = log 216

3x+2 = 6log

216log 3x+2 =

7781.0

3344.2

3x+2 = 3 que al despejar x nos da:

x3 = 3 - 2

x = 3

1

“ESTUDIO DE POBLACIÓN”

Una de las poblaciones más importantes de logaritmos tanto de Briggs como Neperianos y la

notación exponencial es en el estudio de la población y su crecimiento.

La dotación de servicios, crea la necesidad de ejecutar proyecciones del crecimiento de la

población a determinado numero de años. Agua potable, electricidad, salud, alcantarillado y

sistema de transporte son algunos de los servicios para los cuales es necesario realizar las

proyecciones del crecimiento de la población.

Estos estudios de crecimiento se apoyan en datos estadísticos recabados generalmente cada 10

años por medio de los censos de población.

Las poblaciones crecen por nacimientos, inmigración y anexión, principalmente; de crecer por

muerte y emigración. Cada uno de estos elementos tienen gran influencia por los factores sociales,

económicos y del medio ambiente que son inherentes a la localidad, otros son de origen regional,

nacional y mundial.

Existen varios métodos de predicción de población futura, los cuales indican la formación de un

juicio para la toma de decisiones con relación a la población del proyecto dentro de un periodo de

tiempo considerado. Localidades próximas a centros turísticos, agrícolas, industriales, el

conocimiento de hoteles y otros nos permite conocer la población flotante, misma que en muchos

casos puede implicar necesidades extraordinarias en lo referente al suministro del servicios

públicos.

167

Ejemplo 15. De acuerdo a los Censos de Población y Vivienda ejecutados por el INEGI (instituto

Nacional de Estadística, Geográfica e Informática), los siguientes datos representan la

población de Mexicali, Baja California desde el año 1930 a 2000, hallar la población para:

(a) 2008 (b) 2010 (c) 2015 (d) 2025 (e) 2050

DATOS DE POBLACION

AÑO POBLACION MEXICANA

1930 14,482 Habitantes








MÉTODO GEOMÉTRICO

ktUCePPf = en donde:

TiTuc

PiPuck

−−= lnln

Puc = Población Ultimo Censo

Pi = Población Inicial, un censo antes de Puc

t = Diferencia de años

Tuc = Año del ultimo censo

Ti = Año del censo de Pi

168

Sustituyendo:

19902000

601938ln764902ln

−−=k

0240.010

3079.135475.13 =−=k

Finalmente:

a) )8)(0240.0(2008 764902ePf =

)2117.1(7649022008 =Pf

9268092008 =Pf hab

b) )10)(0240.0(2010 764902ePf =

9723812010 =Pf hab

c) )15)(0240.0(2015 764902ePf =

357,096,12015 =Pf hab

d) )25)(0240.0(2025 764902ePf =

742,393,12025 =Pf hab

e) )50)(0240.0(2050 764902ePf =

564,539,22050 =Pf hab

Para aplicar la fórmula ktUCePPf = , hay que activar la tecla xe . Para calculadoras Texas

Instruments aplastar las teclas ND2 y luego xe mientras que para las calculadoras Casio hay que

aplastar shift y luego xe .

169

Ejemplo 16. La población de Eureka situada en el extremo Norte de California en la frontera con el

estado de Oregon, contaba con 50,000 habitantes en 1930. Para 1960 la población había

aumentado a 75,000 personas. ¿Cuál será la población esperada para el año 2010 en Eureka,

California?

ktUCePPf =

0135.019301960

50000ln75000ln =−−=k

)50)(0135.0(2010 75000ePf =

)9640.1(750002010 =Pf

302,1472010 =Pf hab

170

1. Construir la gráfica de cada función exponencial para 44 ≤≤− x . Fijar puntos de la gráfica

para x entero y luego unirlos con una curva continua.

(a) xy 3= (b) )3(4 xy = (c)

xy −= 2 (d) xy 2= (e) )2(4 xy −=

2. Utilizando la calculadora científica, encontrar el logaritmo de cada uno de los números.

(a) log 5.32 (b) log 28.14 (c) log 3.50 (d) log 9.93 (e) log 8.72 (f) log 47

(g) log 846000 (h) log 0.000094 (i) log 5.039 (j) log 213 (k) log 0.00093 (l) log 0.19

3. Utilizando una calculadora científica, hallar el cologaritmo del logaritmo de x.

(a) log x = 0.9226 (j) log x = 0.00089 -2 (b) log x = 0.8929 (k) log x = 0.4769-3 (c) log x = 0.7913 (l) log x = 5.9323-8 (d) log x = 0.4954 (m) log x = - 0.1837 (e) log x = 9.4146 (n) log x = -0.6396 (f) log x = 0.9698 – 4 (o) log x = -2.9258 (g) log x = 4.4140 (p) log x = 2.318 (h) log x = 1.6130 (q) log x = 2.5735 (i) log x = 0.6809-3 (r ) log x = 0.4385

Ejercicios

Nombre A practicar las ecuaciones exponenciales y logarítmicas No. 2



Actitudes a formar









171

4. Resolver las siguientes operaciones por logaritmos.

(a) (82.6)(957) (b) (6152)(48.2) (c) 41.17/ 6714 (d) (6752000)(0.00918)

(e) 7)496.9(

(f) 6)000304.0(

(g) 4 13.309

(h) 91.526

(i) 02442.0

)0778.0()5034.2( 5

(j) )555)(00972.0(

)0347.0( 4

−

(k) 5749.0

)78.5( 2

(l) 017.0

)991.15)(8594

(m) 6

74

1148.0

)0007423.0()639000(

5. Encuentre el valor de x en cada uno de los siguientes problemas

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

172

6. Según los Censos de Población y Vivienda realizados por el INEGI, las siguientes cifras

representan la población de Tijuana, Baja California de 1960 a 2000. Aplicando el método

geométrico, ejecutar una proyección para los años:

(a) 2008 (b) 2010 Datos de Población

(c) 2015

(d) 2025 Año Población Tijuana

(e) 2050 1960 165,673 hab

1970 340,596

1980 461,260

1990 747,381

2000 1,210,820

7. Los siguientes datos representan la población de Ensenada, Baja California durante los censos

de 1|960 a 2000. Aplicando el método geométrico, realizar una proyección de crecimiento para

los años.

(a) 2009 Datos de población

(b) 2010 Año Población Ensenada

(c) 2012 1960 64,917

(d) 2013 1970 115,418

(e) 2025 1980 175,387

(f) 2050 1990 259,979

2000 370,730

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