Laczkó László

Ismételjük a geometriát egy feladaton keresztül!

Készült a Fazekas Mihály Oktatási Kulturális és Sport Alapítvány

támogatásával

Az ábrák elektronikus változatát Véges Márton (2009c) diák készítette

A feladat:

Az ABC hegyesszögű háromszög C-nél levő szöge 45°, M a háromszög magasságpontja. Bizonyítsuk be, hogy CM = AB!

MMAATTEEMMAATTIIKKAA IISSMMÉÉTTEELLJJÜÜKK AA GGEEOOMMEETTRRIIÁÁTT EEGGYY FFEELLAADDAATTOONN KKEERREESSZZTTÜÜLL!!

2/5

I. megoldás

A DM szakasz hossza legyen x, az MA szakaszé y.

1. Az ADC háromszög egyenlő szárú, derékszögű (mert a C-nél lévő szög 45°-os, a D-nél lévő pedig derékszög, [mivel AD a magasság] és a háromszög belső szögösszege 180°).

⇒ DC hossza x+y.

2. A BDM háromszög is egyenlő szárú, derékszögű.

⇒ DB=x.

3. A CDM és a ADB háromszögek egybevágók, mert két-két oldaluk és közbezárt szögük egyenlő. ⇒

Az egybevágóságból következik, hogy a két háromszögben az egymásnak megfelelő oldalak egyenlők, azaz CM=AB.

MMAATTEEMMAATTIIKKAA IISSMMÉÉTTEELLJJÜÜKK AA GGEEOOMMEETTRRIIÁÁTT EEGGYY FFEELLAADDAATTOONN KKEERREESSZZTTÜÜLL!!

3/5

II. megoldás

A BAD∠ = FCB∠, mert merőleges szárú hegyesszögek.

A BAD, MCD háromszögek derékszögűek, és még van egy-egy egyenlő szögük, ráadásul az AD és CD egymásnak megfelelő oldalak egyenlők (az ADC háromszög egyenlő szárú derékszögű), ezért a két háromszög egybevágó.

Ebből következik, hogy a derékszöggel szemközti (egymásnak megfelelő) oldalak is egyenlők: CM=AB.

MMAATTEEMMAATTIIKKAA IISSMMÉÉTTEELLJJÜÜKK AA GGEEOOMMEETTRRIIÁÁTT EEGGYY FFEELLAADDAATTOONN KKEERREESSZZTTÜÜLL!!

4/5

III. megoldás

Az AC, CB oldalak hosszát jelölje b és a.

1. A BEC egyenlő szárú derékszögű háromszög, ezért

BC=a=CE 2⋅ és AE = b −CE = b − 21

a.

2. Az MEA egyenlő szárú derékszögű háromszög, ezért ME=AE.

3. Felírjuk a cosinus tételt az ABC háromszögre:

222

22222

22

245cos2

CMbab

abbaabbaBA

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=−+=°⋅−+=

(2245cos =° ;

22

222

2

22

22

2bababababa +−=+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− )

Megjegyzés: A második sor az MEA derékszögű háromszögre felírt Pitagorasz-tétel.

3. Mivel BA, CM pozitív számok, a négyzeteik egyenlőségéből következik: BA = CM.

MMAATTEEMMAATTIIKKAA IISSMMÉÉTTEELLJJÜÜKK AA GGEEOOMMEETTRRIIÁÁTT EEGGYY FFEELLAADDAATTOONN KKEERREESSZZTTÜÜLL!!

5/5

IV. megoldás

Tükrözzük az M pontot a CB oldalra, a tükörképet M’ jelöli.

1. Tétel: M’ a háromszög köré írt körön van.

2. CM = CM’ a tükrözés miatt.

3. CBM∠ = 45°.

4. AB=CM’, mert mindegyikhez 45°-os kerületi szög tartozik.

Így AB=CM.