Elaboró: afmorales

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Impreso en México Tercera edición de: Geometría Analítica Febrero 2009, Chilpancingo, Gro. Edición: Unidad Académica de Ingeniería Diseño de portada: Arq. Angelino Feliciano García Universidad Autónoma de Guerrero Dr. Arturo Contreras Gómez Rector Unidad Académica de Ingeniería M en C. Apolonio Bahena Salgado Director Autor: M en C. Angelino Feliciano Morales Derechos reservados. Unidad Académica de Ingeniería Se autoriza la reproducción total o parcial, previa cita del autor.

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUERRERO

UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA ANALÍTICA

ANGELINO FELICIANO MORALES

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GEOMETRÍA ANALÍTICA PRESENTACIÓN El presente material de Geometría Analítica tiene como finalidad apoyar a los estudiantes que asisten al Programa Educativo de Ingeniero en Computación de la Unidad Académica de Ingeniería. Dado que es un material básico, con el cual se pretende reforzar lo que han trabajado en sus cursos de bachillerato. Una de las características de la mayoría de la población escolar que acude a nuestra Institución, son de escasos recursos económicos y por tanto no es fácil dotarse de una buena bibliografía particular para satisfacer sus necesidades de consulta por lo costoso de los libros, entonces este material es una alternativa que les permitirá cubrir dicha necesidad. Por otro lado, se sabe que la educación es de vital importancia para el desarrollo integral del ser humano y esto se logra precisamente alcanzando un buen nivel académico, con el cual se está en condiciones de poder contribuir en el desarrollo de nuestra sociedad. De ninguna manera se pretende que el material sea un trabajo terminado, porque se puede mejorar con las aportaciones, críticas de los profesores y estudiantes. Se espera que los estudiantes contribuyan con sus aportaciones, debido a que ellos son los que les toca padecer las deficiencias que en algunas ocasiones se presentan en nuestra práctica docente

ANGELINO FELICIANO MORALES

Chilpancingo, Gro. Febrero de 2009.

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ÍNDICE PRIMERA UNIDAD 1.0 SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES 1.1 Sistema coordenado lineal 01 1.2 Plano cartesiano 02 1.3 Localización de puntos en el plano 03 1.4 División de un segmento en una razón dada 04 1.5 Punto medio de un segmento 06 1.6 Distancia entre dos puntos 07 1.7 Área de un polígono 09 1.8 Inclinación y pendiente de una recta 11 1.9 Rectas paralelas y perpendiculares .13 1.10 Ángulo entre dos rectas 14 SEGUNDA UNIDAD 2.0 LA LÍNEA RECTA 2.1 Ecuación de la recta dado un punto y su pendiente 19 2.2 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos 21 2.3 Ecuación simétrica de la recta 22 2.4 Ecuación general de la recta 24 2.5 Forma normal de la ecuación de la recta 27 2.6 Reducción de la forma general de la ecuación de una recta a la forma

normal 29

TERCERA UNIDAD 3.0 LA CIRCUNFERENCIA 3.1 Ecuación ordinaria de la circunferencia 33 3.2 Ecuación general de la circunferencia 34 3.3 Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos 36 3.4 Tangente a la circunferencia 38 CUARTA UNIDAD 4.0 LA PARÁBOLA 4.1 Ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuyos ejes

coinciden con los ejes coordenados. 44

4.2 Ecuación de la parábola con vértice fuera del origen y eje paralelo a uno de los ejes coordenados.

46

QUINTA UNIDAD 5.0 LA ELIPSE 5.1 Ecuación de la elipse de centro en el origen y cuyos ejes focales

coinciden con los ejes coordenados. 49

5.2 Ecuación de la elipse de centro ) ,( khC y ejes paralelos a los ejes coordenados

53

SEXTA UNIDAD 6.0 LA HIPÉRBOLA 6.1 Ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes

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coordenados 58 6.2 Asíntotas de la hipérbola 60 6.3 Ecuación de la hipérbola de centro ) ,( khC y cuyos ejes son paralelos

a los ejes coordenados 61

SÉPTIMA UNIDAD 7.0 COORDENADAS POLARES 7.1 Introducción 65 7.2 Relación entre los sistemas de coordenadas cartesianas y polares 66 7.3 Graficación en coordenadas polares 69 Bibliografía

PRIMERA UNIDAD

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1

1.0 SISTEMA DE COODENADAS RECTANGULARES La Geometría Analítica es una ciencia que combina el Álgebra y la Geometría, estableciendo relaciones mutuas entre los lugares geométricos y las ecuaciones que las representan, mediante métodos y procedimientos algebraicos, estudia las propiedades de las figuras, contribuyendo a la solución de múltiples problemas geométricos. Además, las ilustraciones gráficas de las funciones algebraicas y de otra índole, la Geometría Analítica permite realizar con mayor objetividad y accesibilidad la solución de ciertos problemas. 1.1 SISTEMA COORDENADO LINEAL La primera relación que se debe establecer de acuerdo con lo expuesto es entre los números reales y los puntos de una recta. Considerando sobre la recta un punto O , llamado origen, situado arbitrariamente y señalando a partir de dicho punto hacia la derecha y hacia la izquierda, divisiones iguales, de manera que entre cada división se tome la misma unidad de longitud. Por convención, las divisiones consecutivas situadas a la derecha de O , se hacen corresponder con los enteros positivos: L;3;2;1 y las divisiones situadas a la izquierda de O , con los enteros negativos:

L;3;2;1 −−− etcétera. Figura 1 Para el caso de una recta colocada verticalmente, igualmente por convención, los enteros positivos se ubican arriba del O y los negativos abajo del mismo punto. El punto O representa el valor cero. Las puntas de las flechas señalan el sentido positivo de las rectas en ambas figuras.

Figura 2

PRIMERA UNIDAD

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2

Con el mismo criterio, todos los números reales pueden ser representados en la recta numérica. Así, los números fraccionarios estarán representados por puntos situados entre dos divisiones correspondientes a los números enteros. Respecto a la localización de números irracionales en la recta, es preciso utilizar valores aproximados. Por ejemplo, el valor numérico de 2 con cuatro decimales es 1.4142, basta tomar una aproximación de1.4 para representarse en la recta numérica. 1.2 PLANO CARTESIANO

Trazando dos rectas numéricas, perpendiculares, de modo que presenten un origen común. Las rectas 'XX y 'YY se llaman ejes coordenados, 'XX es el eje X , 'YY es el eje Y .

Figura 3

Los sentidos positivos de los ejes se indican con puntas de flecha. Si P es un punto del plano que determinan los ejes coordenados, su distancia al eje Y , se llama abscisa y se representa por x , y su distancia al eje X se llama ordenada, representándose por y .

La abscisa y la ordenada de un punto reciben el nombre de coordenadas rectangulares o coordenadas cartesianas. Para expresar un punto P se emplea el símbolo ) ,( yxP . Cuando se tiene un punto fijo, las coordenadas son valores numéricos desconocidos representados por variables con subíndices o bien por las primeras letras del alfabeto. Por ejemplo: ) ,( 111 yxP o ) ,(1 baP . Para el caso, en que el punto se mueve en el plano, las coordenadas son desconocidas y se recomienda utilizar variables para representar el punto P , es decir, ) ,( yxP . Con relación a los signos de la abscisa y la ordenada se tienen las siguientes reglas:

A. La abscisa es positiva a la derecha de 'YY y negativa a la izquierda.

B. La ordenada es positiva arriba de 'XX y negativa debajo.

PRIMERA UNIDAD

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3

Los ejes coordenados dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, las cuales se distribuyen de la manera siguiente:

Figura 4

1,3 LOCALIZACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO

Para localizar un punto en el plano se realiza el siguiente procedimiento.

Se localiza en el eje “ X ” las unidades que indique el primer elemento de la pareja ) ,( yx tomando en cuenta su respectivo signo. De forma similar se hace con el segundo elemento de dicha pareja. Posteriormente se trazan rectas perpendiculares a los ejes coordenados y la intersección de estas rectas determinan el punto que se desea localizar.

Ejemplos

1. Localizar el punto ( )2,3−P en el plano cartesiano.

Solución

Se localizan 3 unidades negativas a partir del origen sobre el eje X y midiendo sobre la recta paralela a Y que pasa por P , 2 unidades positivas.

Figura 5

En la figura aparecen indicados los respectivos signos de la abscisa y la ordenada en cada cuadrante.

Segundo cuadrante

Tercer cuadrante Cuarto cuadrante

Primer cuadrante

PRIMERA UNIDAD

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4

2. En forma similar, localiza en el plano los siguientes puntos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7,14,4;0,7;6,1;4,4 −−−− UyTSRQ .

3. Probar gráficamente que los puntos ( ) ( ) ( )16Cy31B74A −−− ,,;, están en línea

recta.

4. ¿Cuál es valor de la ordenada en cualquier punto del eje X ?

5. ¿Qué determina la serie de puntos cuya abscisa es en todos ellos igual a 5− ?

6. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son respectivamente los puntos ( ) ( )3,73,1 QyP − . ¿Cuáles las coordenadas del tercer vértice? (dos soluciones).

1.4 DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA Un punto cualquiera P divide un segmento AB en dos partes AP y PB , que tienen un sentido determinado. Figura 6

La razón de los segmentos AP y PB se llama razón de división: es decir, en cualquiera de las tres situaciones se tiene:

rPBAP

= , donde r es la razón de división

Si P está entre A y B , rPBAP

= , el valor de r es positivo, porque AP y PB tienen el

mismo sentido.

Si P está antes de A , rPBAP

= el valor de r es negativo, porque AP y PB tienen

sentidos opuestos; además r está en intervalo de 01 <<− x .

Si P está después de B , rPBAP

= , r es negativo, porque AP y PB tienen sentidos

opuestos, y el valor de la razón es menor que –1( 1−<r ). NOTAS : Cuando 1r −= será imposible( porque será una indeterminación) Si P coincide con A , entonces 0r = .

PRIMERA UNIDAD

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5

En general, dado el segmento AB donde, ) ,( 11 yxA y ) ,( 22 yxB , siendo ) ,( yxP el punto de división, entonces se tiene:

Figura 7

Utilizando conocimientos de proyecciones se obtiene:

r''''

PBAP

==BPPA (1.1)

r''''''''

PBAP

==BPPA (1.2)

Analizando (1) se tiene:

1'' xxPA −= (1.3)

xxBP −= 2'' (1.4)

Sustituyendo (1.3) y (1.4) en (1.1) se obtiene:

rPBAP

2

1 =−−

=xx

xx

Por tanto: xx

xxr−−

=2

1 (1.5)

Despejando la variable x nos queda.

21

21

21

r )1(r

r

xxrxxxrxxrxxxx

+=++=+−=−

1r ,1

r 21 −≠++

=rxxx (1.6)

De la expresión (1.2) por un razonamiento similar se concluye que:

1r ,1

ry y 21 −≠++

=r

y (1.7)

PRIMERA UNIDAD

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6

Ejemplo 1. Determinar las coordenadas del punto M que divide en la razón de 2:3 al segmento que

une los puntos ( )2,6−A y ( )7,4B Solución

Como la razón es positiva, entonces el punto M se localiza entre el punto A y el punto B, tal como se observa en la gráfica.

Calculando el valor de x .

2510

23818

32

33

38

318

x

321

386

321

4326

x

−=−

=++−

=+

+−=

=+

+−=

+

+−=

)(

Calculando el valor de y .

Figura 8

4520

23146y

32

33

314

36

321

)7(322

y

==++

=

=+

+=

+

+=

Por tanto el )4 ,2(−M satisface la condición.

2. Calcular las coordenadas del punto P de la recta que une los puntos ( )6,4 −−A y ( )2,8 −B . De manera que AP = 3PB.

3. Conociendo ( )6,3M − y ( )2,5N , determinar el punto ( )yx,P sobre la prolongación de

MN, que diste el doble de M que de N. 1.5 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

En general, la obtención de las coordenadas cartesianas del punto medio de un segmento, se considera como el promedio de las abscisas y de las ordenadas de los extremos, y se determina por medio de las siguientes fórmulas:

221 x xx +

= 2

21 y yy += (1.8)

Ejemplo: determinar las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos

)2 ,4(−A y ), B( 86 − .

PRIMERA UNIDAD

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7

Solución

Aplicando las fórmulas de punto medio, se tiene: 3

26

1182

122

264

−=−

=+−

=

==+−

=

y

x

Por tanto, el punto medio es : )3 ,1( −M , tal como se ilustra en la gráfica. Figura 9

1.6 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Si se desea determinar la distancia entre los puntos ( )11, yxP y ( )22 , yxQ , entonces se debe trazar por P , una recta paralela al eje X y por Q otra recta paralela al eje Y . Estas rectas se cortan en el punto ( )12 , yxR , formando el triángulo rectángulo PQR .

Figura 10

Por el teorema de Pitágoras, se obtiene: 22 )()( QRPRPQ += (1.9)

PRIMERA UNIDAD

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8

De acuerdo a la figura 1.10, se tiene: 12 xxPR −= y 12 yyQR −= .

Luego, sustituyendo en (9), 212

212 ) y (y ) x (xPQ −+−= (1.10).

La expresión (10), también puede escribirse como: 221

221 ) y (y) x (xPQ −+−=

En consecuencia, la distancia entre dos puntos es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias de las correspondientes coordenadas. Caso particular Si uno de los puntos está en el origen y ( )11, yxP es el otro punto, entonces la fórmula se

reduce a: 22 yxOP += (1.11) Ejemplos 1. Determinar la distancia del origen al punto ( )8,6P .

Solución Utilizando la fórmula (11), se tiene:

10100

643686 2222

==

+=+=+= yxOP

Figura 11

2. Calcular la distancia entre los puntos ( )5,3 −−A y ( )6,4 −B .

Solución Utilizando la fórmula (1.3) se tiene:

21

212 )()( yyxxAB 2 −+−=

22 ))5(6())3(4( −−−+−−=

22 )56()34( +−++=

50149)1(7 22 =+=−+= Figura 12

PRIMERA UNIDAD

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9

3. Calcular el perímetro del triángulo determinado por los vértices ( ) ( ) ( )5,32,4;2,1 −−− CyBA .

4. Verificar que el triángulo formado por los vértices ( ) ( ) ( )4,92,2;2,1 CyBA −− corresponden a un triángulo rectángulo.

5. Verificar que el cuadrilátero formado por los vértices: ( ) ( ) ( ) ( )2,25,0;6,3;3,1 −SyRQP determinan un paralelogramo.

6. Calcular las longitudes de las medianas del triángulo cuyos vértices son: ( ) ( ) ( )3,67,6;5,2 −− RyQP .

1.7 ÁREA DE UN POLÍGONO Convencionalmente se ha establecido que, si un móvil recorre el perímetro o contorno de una figura en sentido contrario al movimiento de las manecillas de un reloj, el área debe considerase positiva. Pero, si se hace, siguiendo el mismo sentido del movimiento de las manecillas, el área será negativa. Es sabido que, existen varias formas para determinar el área de un polígono, sin embargo, en el presente material se obtendrá una fórmula que permita calcular el área de un triángulo en función de las coordenadas de sus vértices. Sean ( ) ( ) ( )332211 ,,;, yxRyxQyxP y los vértices de un triángulo cualquiera.

Figura 13 Trazando las proyecciones de '';' QQyRRPP perpendiculares al eje X , resulta que el área del triángulo PQRΔ puede expresarse como:

QQPPtrapeciodelárea

QQRRtrapeciodeláreaRRPPtrapeciodeláreaPQRldeÁrea''

''''−

+=Δ (1.12)

Esto es:

( ) ( )

2

22

2'''

2''´''

2''''

31331113

133131

yxyxyxyx

xxyxxy

RPRRRPPPRPRRPPRRPPtrapeciodelÁrea

−+−=

−+

−=

×+

×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

(1.13)

PRIMERA UNIDAD

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10

En forma similar se obtiene:

2

2'''

2'''''

2''''

23223332 yxyxyxyx

QRQQQRRRQRQQRRQQRRtrapeciodelÁrea

−+−=

×+

×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= (1.14)

2

2'''

2'''''

2''''

21221112 yxyxyxyx

QPQQQPPPQPQQPPQQPPtrapeciodelÁrea

−+−=

×+

×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= (1.15)

Sustituyendo las ecuaciones (1.13), (1.14) y (1.15) en (1.12), se obtiene:

2312312133221 yxyxyxyxyxyxPQRdelÁrea −−−++

=Δ (1.16)

Para mayor facilidad, la ecuación (1.16) puede expresarse en forma de determinante, quedando de la siguiente manera:

111

21

111

21

33

22

11

33

22

11

yxyxyx

yxyxyx

PQRdelÁrea ==Δ (1.17)

Esta fórmula es aplicable para cualquier polígono. Por ejemplo, véase, el procedimiento para calcular el área de un pentágono.

Figura 14 La fórmula se expresa de la siguiente forma:

111

21

111

21

111

21

55

44

11

44

33

11

33

22

11

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

Área ++= (1.18)

PRIMERA UNIDAD

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11

O bien

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

2

21

45342312511554433221

415354243132521

yxyxyxyxyxyxyxyxyxyx

yyxyyxyyxyyxyyxÁrea

−−−−−++++=

−+−+−+−+−=

1,8 INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA

Se llama ángulo de inclinación de un segmento, al ángulo formado por el lado positivo del eje X y el segmento, el cual se representa por el símbolo θ , este ángulo se debe considerar con dirección contraria a las manecillas del reloj.

Figura 15

La pendiente de una recta no vertical es la tangente trigonométrica del ángulo θ que se forma con la dirección positiva del eje X , esto es: θtan=m . El ángulo de inclinación del segmento puede tomar cualquier valor entre πθ ≤≤0 o bien ( oo 1800 ≤≤θ ). La pendiente de una recta puede expresarse en términos de dos puntos cualesquiera de dicha recta. Sean los puntos ), y(x) y Q, yP(x 2211 dos puntos cualesquiera de la recta L , entonces

se tiene: θtan12

12 =−−

=xxyym (1.19)

Figura 16

L

PRIMERA UNIDAD

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12

Si la recta es vertical, entonces todos los puntos tienen la misma primera coordenada, es decir, el valor del denominador de la ecuación de la pendiente es cero y por tanto el cociente es una indeterminación. Así pues, las rectas verticales no tienen pendiente(o pendiente infinita).

NOTAS:

Cuando la recta L es paralela al eje X , o coincide con el eje X , entonces el valor de la pendiente es cero.

Si la inclinación de un ángulo está comprendido entre 2

0 πθ << ( o900 <<θ ),

entonces la pendiente es positiva.

Si el ángulo de inclinación está comprendido entre παπ<<

2( oo 300180 <<θ ),

entonces la pendiente es negativa.

Ejemplos: 1. Calcular la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos:

)2 ,4( )6 ,5( −QyP .

Solución

Graficando los puntos y la recta en el plano cartesiano, tal como se aprecia en la figura 17. Figura 17

A simple vista, el ángulo es menor que 2π , entonces la pendiente debe ser positiva.

Aplicando las fórmulas que permiten determinar el valor de la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta, se obtiene.

94

94

5462

12

12

=

−−

=−−−

=−−

=

m

xxyym

547523 4182.094tan

94tan

1

′′′==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

−

oradianesθ

θ

θ

2. Obtener la pendiente y la inclinación de la recta que pasa por los puntos )3 ,7( )5 ,1( −− QyP

PRIMERA UNIDAD

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13

1.9 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Si dos rectas forman un ángulo de )180 ó (0 radianes ó 0 ooπ , entonces se deduce que éstas rectas no se intersectan entre si y por tanto se les llama rectas paralelas, luego entonces tienen la misma inclinación y la misma pendiente, así pues, dos o más rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales, pero si las rectas forman un

ángulo de )90(2

o radianes π, entonces se dice que las rectas son perpendiculares y sus

pendientes son recíprocas y de signo contrario, es decir el producto de las pendientes de las dos rectas es igual a 1− . ( 121 −=mm ). Ejemplos 1. Prueba que la recta que pasa por los puntos )2,6(),1( −−− 5 QyP es paralela a la

recta que pasa por los puntos )1,5(),2( −−− S 4 yR .

Solución

Graficando los puntos y las respectivas rectas en el plano cartesiano, se tiene.

Figura 18

Aplicando la fórmula (1.19) para calcular las pendientes y poder analizar las condiciones de paralelismo.

73

2541

73

1652

12

122

12

121

=++−

=−−

==

=++−

=−−

==

xxyy

mm

xxyy

mm

RS

PQ

Como las pendientes son iguales, entonces las dos rectas son paralelas. 2. Prueba que la recta que pasa por los puntos ),(),( 3 5Q y 3 4P −− es

perpendicular a la recta que pasa por los puntos ),(),( 2 4 Sy 7 2R −− . 3. Determinar que la figura formada por los vértices 0) R(1,y 4 4Q ,3 5P ),(),( −

corresponden a un triángulo rectángulo.

PRIMERA UNIDAD

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14

1.10 ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Dos rectas ( )21 l y l que se cortan forman ángulos suplementarios ( )21 y θθ ; cada uno de ellos puede ser considerado como el ángulo formado por dichas rectas y se miden en dirección contraria a las manecillas de un reloj (dirección positiva). La recta a partir de la cual se mide el ángulo se llama recta inicial; la recta hacia la cual se dirige el ángulo se llama recta final. Las pendientes de las rectas inicial y final se llaman pendiente inicial y pendiente final. Sean las rectas 21 l y l de inclinación 1α y 2α ; cuyas pendientes son 1m y 2m , respectivamente.

Figura 19 Por Geometría elemental se tiene: un ángulo exterior de un triangulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a éste. Por tanto, en el triángulo ABC se obtiene el ángulo 1ACB θ= , luego:

112 θαα += despejando 1θ , queda

121 ααθ −= Aplicando la tangente a los dos miembros de la ecuación, se tiene.

( )211 ααθ −= tantan aplicando la identidad ( )12

1221 1 αα

ααααtantan

tantantan+

−=− , se tiene:

12

121 1 αα

ααθtantan

tantantan+

−= , pero se sabe que: 22 m=αtan y 11 m=αtan , luego:

12

121 mm1

mm+−

=θtan . (1.20)

Esta misma fórmula es aplicable para calcular el ángulo 2α .

PRIMERA UNIDAD

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15

Ejemplos 1. Calcular la medida del ángulo interior del triángulo en el vértice P , sabiendo que los

vértices del triángulo son: ( ) ( ) ( )0,14,4;3,5 RyQP − Solución Graficando los puntos, se tiene:

Figura 20

Calculando las pendientes de los lados del triangulo, se obtiene:

43

5130mm 1PR −=

−+

== ; 34

1404mm 2RQ =

−−

== y 71

75434mm 3PQ −=

−=

−+

==

Aplicando la fórmula 12

121 mm1

mm+−

=θtan , se tiene:

( )

)1(tan

1tan

1

425425

4211

425

7431

743

1tan

1

31

31

−=

=

==+

=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+

+−=

+−

=

θ

θ

θmmmm

o457858.0 == radθ 2. Determinar el valor de las pendientes de las medianas del triángulo cuyos vértices son:

( ) ( ) ( )1,23,8;6,2 −−CyBA 3. Determinar la pendiente de la recta perpendicular a la recta que pasa por los puntos

( ) ( )2,34,5 −−− ByA 4. Calcular la medida de los ángulos interiores del triángulo, cuyos vértices son los

puntos: ( )1,2−P ; ( )4,3Q y ( )2,5 −R . 5. Comprobar que los puntos ( )1 1P , , ( )3 5Q , , ( )0 8R , y ( )2 4S −, son vértices de un

paralelogramo y calcular la medida del ángulo obtuso.

PRIMERA UNIDAD

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16

Problemas propuestos

1. Localiza los siguientes puntos.

( ) ( ) ( )2,337,

29;2,

31;4,5;2,3 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− EyDCBA

2. ¿Cuál es valor de la ordenada en cualquier punto del eje de X ?

3. ¿Cuál coordenada es nula en un punto cualquiera del eje Y ? 4. Que determina el conjunto de puntos cuya abscisa es en todos ellos igual a 5− .

5. Probar gráficamente que los puntos ( ) ( ) ( )1,63,1;7,4 −−− CyBA están en línea

recta. 6. Probar gráficamente que el punto ( )3,2 −−O es el centro de la circunferencia que

pasa por los puntos ( ) ( ) ( )7,61,2;1,6 −−− RyQP .

7. Un cuadrado mide 6 unidades. Cuáles son las coordenadas de sus vértices: si un vértice es el origen y dos de sus lados coinciden con '' OYyOX .

8. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son respectivamente los puntos

( ) ( )3,73,1 ByP − ). ¿Cuáles son las coordenadas del tercer vértice? (dos soluciones).

9. Los puntos ( ) ( ) ( )4,20,4;0,0 −− CyBA son vértices de un paralelogramo.

Determinar cuáles son las coordenadas del cuarto vértice. (tres soluciones). 10. Obtener las coordenadas del punto de división del segmento AB en cada uno de los

siguientes incisos.

a. ( ) ( )212,34,6 =−− rQyP

b. ( ) ( )547,62,3 =−− rQyP

c. ( ) ( )235,44,2 −=rQyP

11. Determinar las coordenadas del punto del segmento que une ( ) ( )4,912,6 −−− QyP y

que se encuentra a cuádruple distancia de P que de Q . 12. Determinar la longitud de los segmentos que unen cada par de puntos.

a. ( ) ( )4,52,3 −−−− ByA

PRIMERA UNIDAD

Elaboró: afmorales

17

b. ( ) ( )6,542,5 ByA −

c. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

35,

41

32,

21 ByA

13. Calcular el valor del perímetro de los siguientes triángulos, cuyos vértices son:

a. ( ) ( ) ( )3,43,2;5,1 −− CyBA b. ( ) ( ) ( )7,91,1;2,3 CyBA −− c. ( ) ( ) ( )2,31,5;2,9 −−− CyBA

14. Probar que los siguientes vértices determinan triángulos isósceles. a. ( ) ( ) ( )5,32,4;2,1 −−− CyBA b. ( ) ( ) ( )7,51,3;8,4 −− CyBA c. ( ) ( ) ( )2,54,6;6,1 CyBA −−−

15. Probar que el triángulo formado por los 3 puntos dados en cada caso, es un triángulo

rectángulo. a. ( ) ( ) ( )4,92,2;2,1 CyBA −− b. ( ) ( ) ( )3,36,8;1,1 −− CyBA c. ( ) ( ) ( )1,13,3;8,6 −− CyBA

16. Probar que el cuadrilátero cuyos vértices son: ( ) ( ) ( ) ( )2,25,0;6,3;3,1 −DyCBA

determinan un paralelogramo.

17. Verificar que la circunferencia cuyo centro es ( )1,2 −O pasa por los puntos ( ) ( ) ( )5,54,2;2,6 −−− RyQP .

18. Calcular las coordenadas del punto equidistante de los puntos

( ) ( ) ( )1,17,7;6,0 RyQP −− 19. Calcular las longitudes de las medianas del triángulo cuyos vértices son:

( ) ( ) ( )3,67,6;5,2 −− RyQP .

20. Dado que los siguientes vértices ( ) ( ) ( ) ( )7,810,1;1,2;4,5 SyRQP −−− determinan un paralelogramo. Probar que sus diagonales se cortan mutuamente por mitad.

PRIMERA UNIDAD

Elaboró: afmorales

18

21. Determinar el área de los siguientes polígonos formados por sus respectivos vértices. a. ( ) ( ) ( )8,43,2;2,5 −−− RyQP b. ( ) ( ) ( ) ( )3,50,2;7,4;2,9 −− SyRQP c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5,07,2;0,4;1,9;7,6 −−−− TySRQP

22. El área del triángulo cuyos vértices son: ( ) ( ) ( )2,4,2;6, RyaQaP es 228u . Determinar el valor de a . (dos soluciones).

23. Determinar la inclinación de cada recta según la pendiente dada.

a. 1=m b. 1−=m c. 8.1=m

d. 33

=m

e. 33

−=m

24. Calcular las pendientes de los lados del triángulo cuyos vértices son:

( ) ( ) ( )10,77,2;4,4 −−− CyBA

25. Determinar las pendientes de las medianas del triángulo cuyos vértices son: ( ) ( ) ( )1,23,8;6,2 −−CyBA .

26. Probar que los puntos ( ) ( ) ( ) ( )5,42,1;1,10;8,7 −−− DyCBA son vértices

consecutivos de un paralelogramo. 27. Comprobar que los puntos ( ) ( ) ( ) ( )1,67,4;0,3;4,3 DyCBA −−− son vértices de

un trapezoide. 28. Comprobar que los puntos ( ) ( ) ( ) ( )2,40,8;3,5;1,1 −SyRQP son vértices de un

paralelogramo y calcular la medida del ángulo obtuso.

SEGUNDA UNIDAD

Elaboró: afmorales

19

2.0 LA LÍNEA RECTA Considerando que todos tienen una idea intuitiva de lo que es una línea recta y de acuerdo a los Axiomas Euclides, se enuncian las siguientes propiedades.

Por dos puntos distintos pasa una y sólo una recta. Dos rectas distintas se cortan en un sólo punto o bien son paralelas.

Desde el punto de vista analítico, una línea recta es una ecuación lineal o de primer grado en dos variables. Recíprocamente, la representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación es de primer grado en dos variables es una línea recta. Una línea recta, queda perfectamente determinada si se conocen dos condiciones, las cuales son:

Conociendo dos de sus puntos: ), y(x) y Q, yP(x 2211 . Conociendo un punto y su dirección (pendiente o coeficiente angular).

Figura 21

La pendiente o el coeficiente angular de una línea recta es la tangente del ángulo que la recta forma con el sentido positivo del eje X . La magnitud de la pendiente m puede ser positiva o bien negativa. Si el ángulo θ es agudo, entonces la pendiente será positiva, pero si el ángulo θ es obtuso, entonces la pendiente será negativa.

2.1 ECUACIÓN DE LA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE

Sea la recta AB de pendiente m que pasa por el punto fijo ),( 111 yxP y ),( yxP es otro punto de coordenadas desconocidas que se localiza sobre la misma recta, entonces la

expresión 1

1xxyy

m−−

= es la pendiente de la recta que pasa por el punto ),( 111 yxP . Quitando

el denominador, se obtiene: )( 11 xxmyy −=− . (2.1)

SEGUNDA UNIDAD

Elaboró: afmorales

20

La expresión (2.1), es la ecuación de la recta solicitada, la cual debe satisfacer todos los puntos ),( yxP que están sobre la recta; tal como se aprecia en la figura 22.

Figura 22 Ejemplos 1. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto )3 ,1(P y cuya pendiente es

23

=m .

Solución

Graficando la recta que pasa por el punto )3 ,1(P y cuya pendiente es: 23

=m .

Procedimiento:

Se localiza el punto )3 ,1(P en el plano. A partir de este punto, se avanza 2 unidades hacia la derecha, después 3 unidades hacia arriba. En seguida, se procede a trazar la recta que pasa por )3 ,1(P , a la cual se le va calcular la ecuación.

Figura 23

Ahora, se procede a calcular la ecuación de la recta, utilizando la fórmula de punto-pendiente.

)( 11 xxmyy −=−

0323 =+− yx

SEGUNDA UNIDAD

Elaboró: afmorales

21

Sustituyendo el punto )3 ,1(P y el valor de la pendiente 23

=m en la fórmula, queda:

)1(233 −=− xy realizando operaciones, se obtiene.

032306233

3362)1(3)3(2

=+−=+−−

−=−−=−

yxyxxy

xy

2. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto )2,4( −P y cuya pendiente

es 53

−=m .

3. Obténgase la ecuación de la recta que pasa por el punto )3,4( −− P , sabiendo que

forma un ángulo de 4

3π con la dirección positiva del eje de las X .

2.2 ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

Geométricamente, una recta queda perfectamente definida por dos puntos cualesquiera y analíticamente, la ecuación de una recta también queda perfectamente determinada conociendo las coordenadas de dos puntos. Sea la recta AB que pasa por los puntos

) ,( 11 yxP y ) ,( 22 yxQ , siendo ) ,( yxR otro punto de la recta, tiene por ecuación:

12112

121 )( xxxx

xxyy

yy ≠−−−

=− (2.2)

Figura 24

SEGUNDA UNIDAD

Elaboró: afmorales

22

Ejemplos: 1. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos )3 ,3(−P y

)1 ,2(Q .(bosquejar la gráfica). Solución

Aplicando la fórmula; )( 112

121 xx

xxyy

yy −−−

=− ; se tiene:

)3(32313 +

+−

=− xy

)3(523 +−=− xy

0952062155

62155)3(2)3(5

=−+=++−

−−=−+−=−

yxxy

xyxy

Figura 25

2. Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos )3 ,4(P y )2,1( −Q . (bosquejar la gráfica).

3. Obtener la ecuación de la recta perpendicular mediatriz del segmento que une los puntos )3 ,4(−P y )7 ,6(Q . (bosquejar la gráfica).

2.3 ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA

Sea 0≠a y 0≠b los segmentos de una recta determinada sobre los ejes X y Y ; es decir, sus intersecciones con los ejes coordenados, entonces )0 ,(aA y ) ,0( bB son dos puntos de la recta. Por tanto, el problema de obtener la ecuación de una recta, cuando se conocen los segmentos que intersectan los ejes coordenados se reduce a calcular la ecuación de una recta que pasa por dos puntos, esto es:

( )

( )

( )axaby

axa

by

xxxxyyyy

−−=

−−−

=−

−−−

=−

000

112

121

aplicando la fórmula (2.2) y simplificando, queda

0952 =−+ yx

SEGUNDA UNIDAD

Elaboró: afmorales

23

abaybxabbxay

=++−=

ordenando términos, se tiene:

abab

abay

abbx

=+ dividiendo por ab se obtiene la ecuación solicitada

1=+by

ax (2.3)

Graficamente, se ilustra con la figura 26

Figura 26

Ejemplos: 1. Determinar la ecuación simétrica de la recta cuya intersección con el eje X es 2 y que

pasa por el punto ),( 3 0P − . (Bosquejar la gráfica) Solución

Dado que 2=a y 3−=b ; entonces al sustituir en la fórmula, se tiene:

1=+by

ax

132=

−+

yx ésta es la ecuación simétrica de la recta

Figura 27 2. Expresar en forma simétrica la ecuación de la recta 1836 =− yx (Bosquejar la gráfica). 3. Calcular los puntos de intersección de la recta 0685 =−+ yx con los ejes coordenados.

SEGUNDA UNIDAD

Elaboró: afmorales

24

2.4 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Por lo estudiado en los temas precedentes, se concluye que la ecuación de una recta es una ecuación de primer grado con dos variables. Recíprocamente, toda ecuación de primer grado con dos variables representa una recta.

La ecuación general de primer grado es de la forma:

0=++ cbyax (2.4)

donde a o b debe ser diferente de cero y c puede o no ser cero.

Si 0=b , entonces 0≠a y la ecuación general se reduce a la forma: acx −= ; esta

ecuación es de la forma kx = , es decir; es una recta paralela al eje Y .

Si 0≠a y 0≠b , pero 0=c , entonces la ecuación (2.4) se reduce a: xbay −= , es

decir; son de la forma mxy = , las cuales pasan por el origen.

Si 0≠b , entonces la ecuación (2.4) se reduce a bcx

bay −−= ; la cual es de la forma

bmxy += y por tanto, esta expresión es la ecuación de la recta, cuya pendiente es

bam −= y cuya ordenada al origen es

bc

− .

Ejemplos 1. Expresar en la forma general la ecuación de la recta que pasa por el punto )2 ,3(A y es

paralela a la recta de la ecuación: 02443 =−− yx Solución

Se debe despejar y de la ecuación dada para obtener en valor de m . 2434 +−=− xy multiplicando por ( )1− y realizando las operaciones, queda:

643

424

43

2434

−=

−=

−=

xy

xy

xy

Por tanto la pendiente es: 43

=m

Luego se aplica la formula (2.1), para obtener la ecuación general de la recta, a partir de:

)2 ,3(A y 43m = .

SEGUNDA UNIDAD

Elaboró: afmorales

25

( )

( ) ( )

014308493

93843324

3432

=−−=+−−

−=−−=−

−=−

yxyxxy

xy

xy

Por tanto, la ecuación solicitada es: 0143 =−− yx Graficando las dos ecuaciones, se tiene: Figurah28

2. Calcular los valores de los coeficientes de la ecuación general de una recta que pasa

por los puntos )4 ,1(−P y )2 ,3( −Q . (Bosquejar la gráfica). 3. Determinar la ecuación de la perpendicular mediatriz del segmento que une los puntos.

( ) ( )3,81,2 −ByA . 4. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )5,4 −−P y es paralela a la

recta de ecuación 01025 =−− yx . 5. Si un lado de un paralelogramo está determinado por el segmento que une los puntos

( ) ( )6,71,2 QyP . Obténgase la ecuación del lado opuesto, si se sabe que pasa por el punto )6,4(R .

SEGUNDA UNIDAD

Elaboró: afmorales

26

Problemas propuestos 1. Conociendo un punto de la recta y la pendiente o bien el ángulo de inclinación que

forma con la dirección positiva del eje X , obtener la ecuación correspondiente en cada uno de los incisos.

a. ( ) 2;4,3 =mA .

b. (21;

43;

41

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ mA

c. ( )4

3;2,4 πα =−−A

d. ( )3

;0,2 πα =−A

2. Obtener la ecuación de la recta que pasa por cada par de puntos. a. ( ) ( )2,32,1 −− ByA b. ( ) ( )4.3,8.66.4,2.3 −−− ByA

c. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

21

31

21

32 , By, A

3. Determinar la ecuación de la perpendicular mediatriz del segmento que une cada par

de puntos.

a. ( ) ( )3,81,2 −ByA b. ( ) ( )2,74,1 ByA −− c. ( ) ( )3,41,8 −−−− ByA

4. Si un lado de un paralelogramo está determinado por el segmento que une los puntos

( ) ( )6,71,2 ByP . Obtener la ecuación del lado opuesto si se sabe que pasa por el punto ( )6,4R .

5. Desde el punto ( )6,5 −P se traza una perpendicular a la recta que pasa por los

puntos ( ) ( )3,61,4 ByA −− . Obténgase la ecuación de ésta perpendicular.

SEGUNDA UNIDAD

Elaboró: afmorales

27

2.5 FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA Considerando el segmento OP de longitud l y uno de sus extremos siempre en el origen, como se lustra en la figura 29.

Figura 29 La posición exacta de este segmento de recta en el plano coordenado está determinado por el ángulo w , que es ángulo positivo engendrado por el radio vector OP al girar alrededor del origen. La longitud ρ se considera siempre positiva y la variación de los valores del ángulo w está comprendido entre )3600(20 oo ww ≤≤≤≤ π . Luego, para el par de valores ρ y w la recta l trazada por ( )11, yxP es perpendicular a OP . La ecuación de la recta l se obtiene mediante la fórmula de punto pendiente trabajada en el epígrafe (2.1). Para cualquier posición de la recta l , se tiene: senwywx ρρ == 11 cos . Por tanto, las coordenadas del punto son: ( )senwwP ρρ ,cos . Para las posiciones de la recta l , el ángulo de inclinación del segmento OP es w ; su pendiente es la wtan y el ángulo varía entre )1800(0 oo ww ≤≤≤≤ π . Cuando el ángulo varía entre )360180(2 oo ww ≤≤≤≤ ππ su pendiente será ( ) ϑθπ tantantan =+=w . Por tanto, cualquier posición de la recta OP tiene como pendiente wtan . Dado que la recta l es

perpendicular a OP entonces su pendiente es ww

cottan

1−=− .

Sustituyendo las nuevas coordenadas en la fórmula )( 11 xxmyy −=− , se tiene:

( )wxsenw

wsenwy coscos ρρ −−=− realizando operaciones, se obtiene:

( ) 0coscoscoscos

22

22

=+−+

+−=−

wwsenysenwwxwwxwsenysenw

ρρ

ρρ

0cos =−+ ρysenwwx (2.5)

SEGUNDA UNIDAD

Elaboró: afmorales

28

Ejemplos 1. Determinar la ecuación de la recta que dista 4 unidades del origen, si la recta normal

tiene un ángulo de inclinación de 6

5π .

Solución

Como 41506

5=== ρπ yw o y utilizando la fórmula 0cos =−+ ρysenwwx , se tiene:

046

56

5cos =−+ππ ysenx , pero

21

65

23

65cos =−=

ππ seny , luego se obtiene:

0421

23

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− yx , simplificando se tiene:

0421

23

=−+− yx ecuación de la recta en su forma normal

083 =+− yx ecuación de la recta en su forma general

Figura 30

2. En un círculo de de centro en el origen y radio igual 5. Determina la ecuación de su tangente en el punto ( )4,3−P . Solución

0554

53

=+− yx ecuación de la tangente en su forma normal

034 =+ yx ecuación de la recta del segmento OP .

SEGUNDA UNIDAD

Elaboró: afmorales

29

2.6 REDUCCIÓN DE LA FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA A LA FORMA NORMAL

Sabiendo que la forma general de la ecuación de una recta es: 0=++ CByAx y la forma normal de la ecuación de una recta es: 0cos =−+ pyenwwx . Si ambas ecuaciones representan la misma recta, entonces sus coeficientes deben ser proporcionales, por tanto.

Cp

Bsenw

Aw −

==cos

Representando el valor común de estas razones por K entonces: KAw =cos (2.6) KBsenw = (2.7) KCp −= (2.8) Elevando al cuadrado las dos primeras ecuaciones y sumando se obtiene 222cos AKw = 222 BKwsen =

( )

( ) 1cos

222

22222

=+

+=+

BAKBAKwsenw

0;1

1

222

222

≠++±

=

+=

BABA

K

BAK

Sustituyendo el valor de K en las ecuaciones (24), (25) y (26), se obtiene

222222;cos

BAcp

BABsenw

BAAw

+±−=

+±=

+±= y

Por tanto, la recta definida por la forma general tiene por ecuación en la forma normal.

222222 BAcy

BABx

BAA

+±+

+±+

+± (2.9)

Donde el signo del radical debe sujetarse a las siguientes condiciones:

I. Si 0≠C , el signo del radical es opuesto a C . II. Si 0=C y 0≠B , el radical y B tienen el mismo signo. III. Si 0== BC , el radical y A tienen el mismo signo.

SEGUNDA UNIDAD

Elaboró: afmorales

30

Ejemplos 1. Expresar en la forma normal la ecuación 01243 =−+ yx y determinar los valores de:

ρyw .

Solución Como 0≠C se tiene: 525169 ==+ . Luego, se divide la ecuación por 5 y se procede a expresar la ecuación en la forma normal.

05

1254

53

=−+ yx de donde se obtiene:

53cos =w y

54

=senw .

Luego:

512

512

9273.09273.01301.531301.53

)8000.0()6000.0(cos 11

==

====

== −−

ρρ yy

radianeswradianeswww

senwwoo

Figura 31

2. Expresar la ecuación: 01534 =−− yx en su forma normal. 3. Expresar la ecuación: 01534 =−− yx en su forma normal

SEGUNDA UNIDAD

Elaboró: afmorales

31

Problemas propuestas

1. Obtener la ecuación de la recta en su forma normal (bosquejar su gráfica).

a. 3;6

== ρπw

b. 9;2

3== ρπw

c. 2;4

5== ρπw

d. 5;6

11== ρπw

e. )(5;53cos cuadrante2do=−= ρw

2. Expresar en la forma la ecuación de la recta (bosquejar sus gráfica).

a. 60125 =+ yx . b. 0623 =+− yx

c. 134=+

yx

d. ( )243

−= xy

e. 7

524 −=

yx

3. Obtener la ecuación de la recta en su forma normal, a partir de la siguiente información.

a. ( )215,3 =−− mP y

b. ( ) ( )1,45,1 QP y

4. Calcular la distancia entre la recta y el punto dado.

a. ( )2,9;030125 Pyx =−+

b. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=++

21,3;01243 Pyx

TERCERA UNIDAD

Elaboró: afmorales

33

3.0 LA CIRCUNFERENCIA En la prehistoria, con la invención de la rueda se dio inicio el desarrollo de la tecnología que se tiene actualmente, por ello, la Circunferencia es un elemento geométrico de gran importancia. La circunferencia, está presente en la vida cotidiana de la sociedad, gracias a esto se pueden desarrollar técnicas de gran precisión con productos como: Cds, relojes, etc. También proporciona seguridad a la hora de comprar objetos como: una bicicleta, ya que se sabe que en ella han trabajado ingenieros que conocen muy bien la Circunferencia, lo cual garantiza la calidad del producto. Además, es común ver en los libros de Geometría que se define al círculo como el conjunto de puntos en un mismo plano, de los cuales uno de ellos se le llama centro y los otros tienen la propiedad de equidistar de éste. Siguiendo con esta idea, se aprecia que se habla del interior y exterior de un círculo; y que el nombre de circunferencia es utilizado para designar la longitud de un círculo; por tanto la circunferencia se define como: “el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano, de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio”. Circunferencia Figura 32

3.1 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA Sea ) ,( yxP un punto cualquiera de la circunferencia de centro ) ,( khC y radio r , entonces por la definición de la circunferencia, el punto ) ,( yxP debe satisfacer la condición geométrica: CPr =

Aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos y de acuerdo a la figura 25 se tiene.

rkyhxCP =−+−= 22 )()(

Elevando al cuadrado, queda.

222 )()( rkyhx =−+− (3.1)

Figura 33 La ecuación (3.1) se llama ecuación ordinaria de la circunferencia.

TERCERA UNIDAD

Elaboró: afmorales

34

Notas: Cuando el centro coincide con el origen, entonces la ecuación se reduce a:

222 ryx =+ Si 0=r , entonces la ecuación se reduce a: 022 =+ yx y representa un punto.

Ejemplos: 1. Obtener la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a 5

unidades.

Solución

Como 5=r y )0 ,0(C , entonces se tiene:

Figura 34 2. Dado el punto )4 ,2( −−C y radio 3=r . Obtener la ecuación de la circunferencia. 3. Obténgase la ecuación de la circunferencia con centro en )4,2( − C y radio 3=r . 4. Dada la ecuación 034622 =−+++ yxyx . Determinar el radio r , centro C y la gráfica de

la circunferencia. 5. Si la ecuación 0651233 22 =+−+−− yxyx representa una circunferencia, entonces

obténgase el centro C , radio r y respectiva gráfica.

3.2 ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA Desarrollando la ecuación ordinaria de la circunferencia y ordenando términos, se obtiene:

222 )()( rkyhx =−+−

22222 22 rkykyhxhx =+−++− 022 22222 =−++−−+ rkhkyhxyx

Este resultado se puede escribir en la siguiente forma:

0 22 =++++ FEyDxyx (3.2) donde: hD 2−= , kE 2−= y 222 rkhF −+=

25yx 22 =+

TERCERA UNIDAD

Elaboró: afmorales

35

Por tanto, la ecuación (3.2) se le llama ecuación general de la circunferencia. Ahora se procede a verificar que toda ecuación general representa una circunferencia. Esto se comprueba pasando de la ecuación general a la forma ordinaria de la ecuación.

FEyyDxxFEyDxyx−=−+++

=++++22

22 0 (3.3)

Completando cuadrados en la ecuación general, se obtiene:

FEDEEyyDDxx −+=+++++4444

222

22

2

44

22

2222 FEDEyDx −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + (3.4)

La ecuación (3.4) está en la forma ordinaria, donde las coordenadas del centro y el radio

son: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

2 ,

2EDC y FEDFEDr 4

21

44 22

22−+=

−+= (3.5)

Comparando las ecuaciones (3.1) y (3.4), se aprecia que el valor de la expresión

FED 422 −+ es determinante para la ecuación de la circunferencia, la cual tiene tres posibilidades.

Si 0422 >−+ FED , la ecuación (3.4) representa una circunferencia real de centro

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

2 ,

2EDC y radio FEDr 4

21 22 −+= .

Si 0422 =−+ FED , la ecuación (3.4) representa un solo punto, es decir, una

circunferencia de radio cero ( 0=r ) con centro en el punto ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

2 ,

2EDC .

Si 0422 <−+ FED , la ecuación (3.4) reprenda una circunferencia imaginaria, es

decir no existe lugar geométrico en el campo de los números reales.

TERCERA UNIDAD

Elaboró: afmorales

36

Ejemplos: 1. Dada la ecuación 01561022 22 =−+−+ yxyx reducirla a la forma ordinaria y

representarla gráficamente.

Sol. Dividiendo por 2, y organizando la ecuación, se tiene:

21535 22 =++− yyxx

49

425

215

493

4255 22 ++=++++− yyxx

1623

25 22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +− yx

Por tanto el centro y el radio son: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

23 ,

25C y 4=r

Figura 35

2. Dada la ecuación 097108483636 22 =+−++ yxyx reducirla a la forma ordinaria y representarla gráficamente.

3. Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos

)2 ,6(P , )0 ,8(Q y cuyo centro está sobre la recta 0273 =++ yx . 4. Obtener el perímetro de la circunferencia que pasa por los puntos )3 ,2(−P , )4 ,1(Q y

con centro sobre la recta cuya ecuación es: 543 =+ yx

3.3 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS Es sabido que por un punto pueden pasar una infinidad de rectas, en cambio por dos puntos sólo puede pasar una sola recta. En el caso de la circunferencia por uno y dos puntos pueden pasar una infinidad de circunferencias, pero por tres puntos no alineados sólo puede pasar una sola circunferencia. Además, estos tres puntos determinan un triángulo, cuyas mediatrices se intersectan en un punto denominado circuncentro. Por tanto con las ecuaciones de dos mediatrices es suficiente para obtener el punto de intersección. Ejemplos 1. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos. )2 ,1( −P , )4 ,3( −Q

y )0 ,5(R .

TERCERA UNIDAD

Elaboró: afmorales

37

Solución El punto medio y la pendiente del segmento PQ , son: punto medio ( )32R −, ; pendiente

1m1 −= . Ahora, el punto medio y la pendiente del segmento QR , son: punto medio ( )24S −, ; pendiente 2m3 = . Graficando los puntos dados; los puntos medios de las dos

rectas mediatrices y haciendo centro en el punto de intersección, se obtiene la figura 28.

Figura 36

Como la pendiente del segmento PQ es 1m1 −= ; entonces la pendiente de la perpendicular mediatriz es: 1m2 = . Aplicando la fórmula de punto pendiente, se obtiene la ecuación: 5yx =− y se le llama ecuación . Utilizando el mismo criterio con el

segmento QR ; se tiene: la pendiente de la mediatriz es 21m4 −= . Luego, al aplicar la

fórmula de punto pendiente, se llega a la ecuación 0y2x =+ y se le llama ecuación .

Resolviendo el sistema de ecuaciones de y , se obtiene el punto ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

35

310C , que es

el centro de la circunferencia. Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos, se obtiene la longitud del radio:

( )9

50925

925

35

3105rCP

2222 =+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −== .

Por tanto, la ecuación de la circunferencia es: 950

35y

310x

22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − o bien

025y10x20y3x3 22 =++−+ 2. Calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: )1 ,2(P , )3 ,4(−Q y

)5 ,6(−R .

TERCERA UNIDAD

Elaboró: afmorales

38

3.4 TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA La obtención de la ecuación de la recta tangente a la circunferencia se simplifica considerablemente aplicando la propiedad que dice: “la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado al punto de contacto”. Para resolver este tipo de problemas existe otro procedimiento, que es aplicable a todas las cónicas, el cual consiste en combinar la ecuación de la recta bmxy += con la ecuación de la cónica y obligar a que la expresión 042 =− acb . Las coordenadas del punto de contacto T deben satisfacer la ecuación bmxy += lo cual proporciona otra ecuación que combinada con la ecuación 042 =− acb , permite calcular la pendiente, la ordenada al origen de la ecuación de la recta tangente y en consecuencia su ecuación. En este caso se tienen, tres posibilidades.

Obtener la ecuación de la tangente a una circunferencia, dada la ecuación y el punto de contacto.

Determinar la ecuación de la tangente a una circunferencia, dada la ecuación y la

pendiente de la recta tangente.

Calcular la ecuación de la tangente a una circunferencia, dada la ecuación y un punto exterior.

Ejemplo 1. Sea la ecuación de la circunferencia 0454822 =−−−+ yxyx y )6 ,3(−T el punto de

tangencia, determinar la ecuación de recta tangente.

Solución

Siendo la recta tangente perpendicular al radio que va del punto de contacto al centro de la circunferencia, entonces se necesita calcular primero las coordenadas del centro, después la pendiente m del radio CTr = , luego se aplica la condición de perpendicularidad que dice: “si dos rectas son perpendiculares entonces sus pendientes son recíprocas y de signo contrario”. Reduciendo la ecuación de la circunferencia a la forma ordinaria, se tiene:

65)2()4( 22 =−+− yx

de donde: )2 ,4(C

por tanto, la pendiente del radio es: 74

74

4326

12

121 −=

−=

−−−

=−−

=xxyym

Luego, la pendiente de la recta tangente es: 47

2 =m .

TERCERA UNIDAD

Elaboró: afmorales

39

Ahora, se procede a determinar la ecuación de la recta tangente con la fórmula (2.1) de de la unidad anterior.

)3(476 +=− xy realizando operaciones y simplificando, queda:

04547 =+− yx Figura 37

2. Determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia 0206822 =+−−+ yxyx en el punto ( )5,3T . Representar geométricamente las respectivas ecuaciones.

TERCERA UNIDAD

Elaboró: afmorales

40

Problemas propuestos

1. Determinar la ecuación general de la circunferencia de cada uno de los siguientes incisos y representarlas gráficamente.

a. ( ) 34,2 =ryC

b. ( ) 255,5 =ryC

c. ( ) 537,2 =− ryC

d. 23

25,

27

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− ryC

e. ( ) 53,2 =ryC 3. Calcular la ecuación de la circunferencia de centro ( )5,4C ; cuyo radio es igual a 3

unidades de longitud y representarla geométricamente.

4. Determinar la ecuación de la circunferencia de centro ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

43- ,C

32 ; cuyo radio es igual a

5 unidades y representarla geométricamente. 5. Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos ( ) ( )5,43,2 −QyP .

Determinar la ecuación de la circunferencia y representarla geométricamente. 6. Calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto ( )5,7 −P ; cuyo centro

es el punto de intersección de las rectas 025201097 =+−=−− yxyyx y representarla geométricamente.

7. Determinar el perímetro de la circunferencia que tiene por ecuación

,06220302525 22 =−−++ yxyx y representarla geométricamente. 8. Obtener el área del círculo determinada por la ecuación ,0103127299 22 =+−++ yxyx

y representarla geométricamente. 9. Verificar que las ecuaciones: 013121644 22 =++−+ yxyx ;

05536481212 22 =++−+ yxyx , representan circunferencias concéntricas y bosquejar su gráfica.

10. Determinar la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos

( ) ( ) ( )6,44,1;2,2 QyQP −− y representarla geométricamente.

TERCERA UNIDAD

Elaboró: afmorales

41

11. Determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia 0206822 =+−−+ yxyx en el punto ( )5,3T . Representar geométricamente las respectivas ecuaciones.

12. Obtener las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia

02561222 =+−−+ yxyx cuya la pendiente sea igual a 2. Representar geométricamente las respectivas ecuaciones.

13. Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el punto ( )7,2−P a la

circunferencia 0128222 =+−++ yxyx . Representar geométricamente las respectivas ecuaciones.

CUARTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

43

4.0 LA PARÁBOLA La parábola aparece en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Se aprecia claramente cuando se lanza un balón bombeado o se golpea una pelota de tenis. La curva que describe la pelota en su movimiento, es una trayectoria parabólica. Al dibujar este desplazamiento, se puede considerar la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal "" x y altura "" y alcanzada por la pelota. Una vez situada la parábola en un sistema de coordenadas cartesianas, se distinguen dos hechos. Primero: se tiene un punto extremo, que corresponde al instante en el que la pelota alcanza la altura máxima; este punto es el vértice de la parábola. Segundo: cuando las alturas a las que llega la pelota son las mismas en posiciones horizontales equidistantes de la abcisa del vértice. La parábola es una de las curvas con mayor utilidad en la tecnología actual. Un ejemplo son las antenas parabólicas que sirven para captar la señal de televisión emitida vía satélite. Con ella se pueden ver emisoras de televisión de todas partes del mundo. De igual forma, la parábola también se emplea para fabricar faros de automóviles. La ecuación de la parábola se deduce a partir de su definición como el legar geométrico de un punto que se mueve de acuerdo con una ley especifica. Definición: Figura 38 El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz. Designando por F al foco y con l , la directriz de la parábola. La recta α coincide con el eje X y pasa por F , además, es perpendicular a l y se llama eje de la parábola. Sea A el punto de intersección del eje y la directriz de la parábola. El punto V es el punto medio del segmento AF y se llama vértice de la parábola. El segmento 21BB que une dos puntos diferentes de la parábola se llama cuerda, en particular una cuerda ( 21CC ) que pasa por el foco F se llama cuerda focal. La cuerda focal 21LL perpendicular al eje se llama lado recto ( LR ). Si P es un punto cualquiera de la parábola, entonces la recta FP que une el foco F con el punto P se llama radio focal ó radio vector.

La parábola, es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.

CUARTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

44

4.1 ECUACION DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE, UN EJE COORDENADO

Considerando la parábola de vértice en el origen y cuyo eje coincide con el eje X , entonces el foco F está sobre el eje X . Sean )0 ,( pF sus respectivas coordenadas, por definición de la parábola se tiene: la ecuación de la recta directriz l es px −= . Sea ) ,( yxP un punto cualquiera de la parábola y por el punto P , se traza el segmento PA perpendicular a l . Por definición de la parábola, el punto P debe satisfacer la condición geométrica.

PAFP = . (4.1)

dado que: PAFP = , entonces al utilizar la definición de distancia entre dos puntos se obtiene:

222 )( )( pxypx +=+− elevando al cuadrado

222 )( )( pxypx +=+− desarrollando binomios, se tiene: 22222 2 2 ppxxyppxx ++=++− simplificando, queda

pxy 4 2 = (4.2)

Figura 39

Por tanto, para valores de y reales y diferentes de cero, p y x deben ser del mismo signo, esto significa que se tienen dos posibilidades.

Si 0>p , se deben excluir todos los valores negativos de x , y todo el lugar geométrico se localiza a la derecha del eje Y ; es decir, la gráfica es una curva abierta que se extiende indefinidamente hacia la derecha del eje Y , hacia arriba y hacia abajo del eje X .

Si 0<p , todos los valores positivos de x se deben excluir y todo el lugar geométrico

esta ubicado a la izquierda del eje Y . Dado que la abscisa del foco es p , entonces la longitud del lado recto es igual al valor absoluto de p4 . Si el vértice coincide con el eje Y , entonces la ecuación es:

pyx 42 = . (4.3)

CUARTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

45

Ejemplos 1. Dada la ecuación xy 12 2 = , determinar su posición en el plano, el foco, lado recto y las

ecuaciones de la directriz y el eje de simetría. Solución Para determinar el foco se considera la expresión

124 =p

3124

==

pp

despejando p , queda.

Por tanto, las coordenadas del foco son:

)0 ,3(F , tal como se aprecia en la figura. El lado recto es: 12)3(44 === pLR La ecuación de la directriz es: 3−=x El eje de simetría es: 0=y Figura 40 2. Sea la ecuación 042 =+ yx , obtener el foco, el lado recto, la ecuación de la directriz, el

eje de simetría y bosquejar su gráfica de la ecuación. 3. Dados )0 ,0(V , )0 ,4(−F . Obténgase el lado recto, la ecuación de la parábola, la

ecuación de directriz y bosquejar la gráfica de la ecuación. 4. Dados )0 ,0(V , la ecuación de la directriz, 2−=y . Determinar el foco, el lado recto, la

ecuación de la parábola y trazar la gráfica de la ecuación. 5. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje Y , además

pasa por el punto )2 ,4( −Q . Obtener las coordenadas del foco, la ecuación de la parábola, la ecuación de la directriz, la longitud del lado recto y bosquejar la gráfica de la parábola.

CUARTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

46

4.2 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN Y EJE PARALELO A UNO DE LOS EJES COORDENADOS

Considerando la parábola de vértice en el punto ) ,( khV y cuyo eje es paralelo al eje X . Si los ejes coordenados son trasladados, de tal manera que el nuevo origen 'O coincida con el vértice ) ,( khV , entonces la ecuación de la parábola, el foco y la ecuación de la directriz son: )(4)( 2 hxpky −=− , ),( kphF + y phx −= . (4.4)

Figura 41

Si 0>p las ramas de parábola abren hacia la derecha y si 0<p las ramas de la parábola abren hacia la izquierda.

En forma similar, si el vértice es el punto ) ,( khV y cuyo eje es paralelo al eje Y ,

entonces la ecuación de la parábola, foco y ecuación de la directriz son: )(4)( 2 kyphx −=− , ),( pkhF + , pky −= . (4.5)

Si 0>p , las ramas de la parábola abren hacia arriba y si 0<p , las ramas de la

parábola abren hacia abajo. Ejemplos 1. Dados )3 ,2(V , )3 ,6(F . Determinar la ecuación de la parábola, la ecuación de la

directriz, el lado recto y bosquejar la gráfica de la ecuación.

Solución Como el eje es paralelo al eje X , entonces la ecuación es de la forma:

)2(4)3( 2 −=− xpy Para calcular el valor de p considérese la siguiente expresión

4426 ==−== VFp

CUARTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

47

La ecuación de la directriz es: 242 −=−=−= phx El lado recto es: 1616)4(44: ===pLR Por tanto, la ecuación de la parábola es:

041166

03216 96

0321696

)2(1696

2

2

2

2

=+−−

=+−+−

=−=+−

−=+−

xyy

xyy

xyy

xyy

La gráfica se muestra a continuación

Figura 42

2. Dados )5 ,2(−V , la ecuación de la directriz 8=y . Determinar el foco, el lado recto, la ecuación de la parábola y bosquejar la gráfica de la ecuación.

3. Dada la ecuación 044842 =+−− xyy . Obtener el vértice, el foco, la ecuación de la

directriz, lado recto y bosquejar la gráfica de la ecuación. 4. Dada la ecuación 017462 =+−+ yxx . Obtener el vértice, el foco, la ecuación de la

directriz, lado recto y bosquejar la gráfica de la ecuación.

sustituyendo el valor de p , y realizando las operaciones indicadas, queda:

CUARTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

48

Problemas propuestos 1. Determinar el foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto de cada una

de las siguientes ecuaciones.

a yx 122 = b xy 82 = c 062 =+ yx

2. Obtener los elementos de la parábola con vértice en el origen:

a Ecuación de la directriz 5−=y b )1,0( − F c Ecuación de la directriz 04 =+y

3. Determinar los elementos de la parábola, sabiendo que el eje coincide con el eje X y

que pasa por el punto ( )4,2−P . 4. Dado ( ) ( )2,54,5 −FyV . Determinar la ecuación de la parábola, ecuación de la

directriz, la longitud del lado recto y representar su gráfica en el plano. 5. Dado ( )2,4 −V y la ecuación de la directriz 6=x . Obtener el valor de p , la ecuación

de la parábola, el foco, el lado recto y representar la gráfica en el plano. 6. Dada la ecuación .0922442 =−−+ yxx Calcular el vértice, el valor de p , el foco, el

lado recto, la ecuación de la directriz y representarla geométricamente. 7. Dada la ecuación .0456122 =+−+ yxy Calcular el vértice, el valor de p , el foco, el

lado recto, la ecuación de la directriz y representarla geométricamente.

QUINTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

47

5.0 LA ELIPSE La elipse tiene propiedades de reflexión similares a la parábola, por ejemplo, cuando se coloca un emisor de ondas en un foco, éstas se reflejarán en las paredes de la elipse y convergerán en el otro. También, se puede mencionar la aplicación de este concepto en la formulación de las leyes de Kepler.

Kepler (1571-1630) determinó que los movimientos de los planetas se rigen por leyes matemáticas. Esta aplicación de la matemática para describir fenómenos naturales fue muy novedosa en su época. La primera ley de Kepler establece que los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos. La elipse es un lugar geométrico que en el plano cumple la siguiente condición: la suma de la distancia de uno de los dos focos a cualquier punto de la elipse y la distancia de ese mismo punto de la elipse al otro foco es siempre la misma cantidad, es decir 21 ll + .

Figura 43

La segunda ley de Kepler establece que los planetas barren áreas iguales de la elipse en tiempos iguales. Esta ley de áreas equivale a que la velocidad angular de un planeta, varía en su movimiento alrededor del Sol. Es decir, que cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio), su velocidad es menor que cuando está más cerca de éste (perihelio). Las regiones coloreadas en anaranjado y verde (de igual área) son barridas en tiempos iguales. En el mismo tiempo, en la región anaranjada, el planeta debe recorrer un arco de elipse de mayor longitud, por lo que debe ir más rápido.

Figura 44

QUINTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

48

La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del periodo de revolución de un planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de la elipse. Su ecuación se escribe como: 32 RP = . Donde P , el periodo de tiempo que tarda el planeta en dar una vuelta alrededor del Sol; R es la distancia entre el centro de la elipse y el extremo más alejado de la trayectoria que describe la elipse (llamado semieje mayor).

Figura 45

La elipse se define como: “el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos”.

Figura 46

Los puntos fijos se llaman focos y se representan por 1F y 2F ; la recta l que coincide con el eje X pasa por los focos se le denomina eje focal. El eje focal corta a la elipse en dos puntos 1A y 2A llamados vértices. El segmento 21 AA comprendido entre los vértices se le llamará eje mayor. El punto C del eje focal es el punto medio del segmento que une los dos focos y se le denominará centro. La recta 'l que coincide con el eje Y pasa por C y es perpendicular al eje focal se le llamará eje normal. El eje normal 'l corta a la elipse en dos puntos 1B y 2B , y el segmento 21BB se llama eje menor. Al segmento 21GG que une dos puntos cualesquiera de la elipse se denomina cuerda. En particular una cuerda que

QUINTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

49

pasa por los focos 21EE se llama cuerda focal. Una cuerda focal 21LL que es perpendicular al eje focal se le denomina lado recto. Una cuerda 21DD que pasa por el punto C se le llama diámetro. Si P es un punto cualquiera de la elipse, entonces los segmentos PF1 y 2PF que une los focos con el punto P se les denominan radio vectores de P .

5.1 ECUACION DE LA ELIPSE DE CENTRO EN EL ORIGEN Y CUYOS EJES FOCALES CONCIDEN CON LOS EJES COORDENADOS.

Considerando la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X . Los focos 1F y 2F están sobre el eje X . Como el centro O es el punto medio del segmento

21FF , entonces las coordenadas de 1F y 2F son 0 ,(c y 0 ,( c− respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea ) ,( yxP un punto cualquiera de la elipse, entonces por la definición de elipse se tiene que el punto ) ,( yxP debe satisfacer la condición geométrica.

aPFPF 221 =+ , donde a es una constante positiva mayor que c .

Figura 47 A partir de la figura, se deduce la ecuación de la elipse:

aPFPF 221 =+ sea la condición geométrica. (5.1) Utilizando el concepto de distancia entre dos puntos, se tiene.

ayc)(x yc)(x 22222 =++++− (5.2) 2222 2 yc)(x a yc)(x ++−=+− elevando al cuadrado

2222222 44 yc)(xyc)(xa a yc)(x +++++−=+− reduciendo términos semejantes 22222 44 c)(xyc)(xa a c)(x ++++−=− desarrollando los binomios

2222222 2442 ccxxyc)(xa a ccxx +++++−=+− simplificando la ecuación

cxa yc)(xa 444 222 +=++ dividiendo la ecuación por 4, queda.

QUINTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

50

cx a yc)(xa +=++ 222 nuevamente elevando al cuadrado

2224222 2)( xccxa a yc)(x a ++=++ desarrollando el binomio nuevamente 22242222 2)2( xccxa a yccx(x a ++=+++

22242222222 22 xccxa a yacacxaxa ++=+++ simplificando, queda 224222222 ca a yaxcxa −=+− factorizando 22 ax y , se obtiene

)()( 22222222 ca a yacax −=+− como ca > entonces 022 >− ca haciendo 222 cab −= y sustituyendo, se tiene

222222 b a yabx =+ dividiendo por 22ba

baba

baya

baxb

22

22

22

22

22

22=+ simplificando se obtiene la ecuación de la elipse

Por tanto, by

ax 12

2

2

2=+ es la ecuación solicitada. (5.3)

Como a y a− son las intersecciones con el eje X , entonces las coordenadas de los vértices 1A y 2A son )0 ,(a y )0 ,( a− respectivamente y la longitud de 21AA es igual a a2 . Las intersecciones con el eje Y son b y b− . Por tanto, las coordenadas de los extremos

1B y 2B del eje menor son , b)( 0 y b), −0( respectivamente y la longitud del eje menor es b2 . De la ecuación (5.3) se tiene que, la elipse es simétrica con respecto a los ejes

coordenados y al origen, despejando y de la ecuación (5.3) se obtiene.

22 xaaby −±= (5.4)

De (5.4) se obtienen valores de x en el intervalo axa ≤≤− . Al despejar x de la ecuación

(5.3) se obtiene 22 ybbax −±= (5.5)

En (5.5) se tienen valores de y en el intervalo byb ≤≤− .

Como la abcisa del foco es c .Si en la (5.4) se sustituye x por ese valor se obtienen las coordenadas correspondientes, las cuales son:

aby

baby

caaby

2

2

22

±=

±=

−±=

QUINTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

51

Por tanto, la longitud de cada uno de los focos es ab22 es decir (

abLR

22= ). Un elemento

importante de la elipse es su excentricidad, la cual se define como la razón ac y se

representa usualmente por la letra e ; esto es: a

baace

22 −== (5.6)

Como ac < , entonces 1<e . Ahora, se analizará el caso en que el centro de la elipse está en el origen, pero su eje focal coincide con el eje Y , entonces las coordenadas de los focos son: , c)( 0 y c), −0( . En esta situación, se utiliza el mismo procedimiento empleado en la deducción de la ecuación (5.3), es decir, se obtiene la siguiente ecuación de la elipse:

a

y

b

x 12

2

2

2=+ (5.7)

Ejemplos: 1. Calcular la ecuación de la elipse, el lado recto, la excentricidad, los vértices y bosquejar

la gráfica, a partir de la siguiente información. 122 =a , 102 =c y el eje mayor coincide con el eje X .

Solución. Como el eje de la elipse coincide con el eje X , entonces la ecuación es de la forma:

b

y

a

x 12

2

2

2=+

Por tanto, se necesitan calcular los valores de a , b y c .

6122

==

aa despejando a

5102

==

cc despejando c

luego, se despeja b de la siguiente expresión.

222 cba +=

2536

222

222

−=

−=

=−

b

cab

bca

11±=b Figura 48

QUINTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

52

Por tanto, los elementos de la elipse son:

yx 11136

22=+ ó 03963611 22 =−+ yx

6667.33

11622

6)11(22 2

=====abLR

165

625

6113622

<==−

=−

==a

baace

)0,6()0,6( 21 y −AA

)11,0()11,0( 21 −BB y

)0,5()0,5( 21 y −FF

2. Dada la siguiente información: )8080 21 −,( A) y , (A , ) , (F 601 y ), (F 602 − . Determinar, los vértices 21 y BB , el lado recto, la excentricidad, la ecuación de la elipse y bosquejar la gráfica.

3. Dada la ecuación 100y25x4 22 =+ . Obtener los vértices 21 y AA ; 21 y BB ; los

focos 21 y FF ; el lado recto, la excentricidad y trazar la gráfica. 4. Dada la ecuación 256816 22 =+ yx . Determinar los vértices 21 y AA ; 21 y BB ; los focos

21 y FF ; el lado recto, la excentricidad y trazar la gráfica de la ecuación.

5. Dados el ) , (F 301 y la excentricidad 21

=e . Obtener los vértices 21 y AA ; 21 y BB ; el

lado recto; la ecuación y bosquejar su gráfica.

QUINTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

53

5.2. ECUACIÓN DE LA ELIPSE DE CENTRO ) ,( khC Y EJES PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS

Considerando la elipse de centro en el punto ) ,( khC y cuyo eje focal es paralelo al eje X . Sean a2 y b2 las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse, respectivamente. Si los ejes coordenados son trasladados de manera que el nuevo origen 'O coincida con el centro ) ,( khC de la elipse, entonces con referencia a los nuevos ejes la ecuación es:

1)()(

2

2

2

2=

−+

−

b

ky

a

hx (5.8)

Figura 49 Los vértices y los focos son: ) ,() ,( 21 kah AkahA −+ ) ,() ,( 21 bkh BbkhB −+

) ,() ,( 21 kch FkchF −+ En forma similar se puede obtener la ecuación de la elipse de centro ) ,( khC y cuyo eje

focal sea paralelo al eje Y . Por tanto, la ecuación es: 1)()(

2

2

2

2=

−+

−

a

ky

b

hx (5.9)

Los vértices y los focos son: ) ,() ,( 21 akh AakhA −+ ) ,() ,( 21 kbh BkbhB −+

) ,() ,( 21 ckh FckhF −+

QUINTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

54

Ejemplos: 1. Dados )5 ,7(−C , 102 =a , 62 =b y cuyo eje es paralelo al eje X . Obténgase la ecuación

de la elipse, los vértices 21 y AA , 21 y BB , 21 y FF , lado recto, la excentricidad y trazar la grafica de la figura. Solución

Como el eje de la elipse es paralelo al eje X , entonces la ecuación es de la

forma: 1)()(

2

2

2

2=

−+

−

b

ky

a

hx

Luego 5=a , 3=b El valor de c , se obtiene de la expresión 222 cba +=

416925 22 ==−=−=∴ bac Sustituyendo estos valores en la forma de la ecuación

19

)5(25

)7( 22=

−+

+ yx desarrollando los binomios y realizando las operaciones, se

obtiene: ( ) ( )

225625250254411269

1225

25102549149

22

22

=+−+++

=+−+++

yyxx

yyxx

225625441250126259 22 =++−++ yxyx 0841250126259 22 =+−++ yxyx ecuación general de la elipse.

Luego, se procede a calcular los vértices

)5 ,2()5 ,57(),( 111 −=+−=+ AAkahA )5 ,12()5 ,57(),( 112 −=−−=− AAkahA

)8 ,7()35 ,7() ,( 111 −=+−=+ B B bkhB )2 ,7()35 ,7() ,( 112 −=−−=− B B bkhB

En seguida se obtienen los focos y LR.

)5 ,3()5 ,47() ,( 111 −=+−=+ F F kchF )5 ,11()5 ,47() ,( 112 −=−−=− F F kchF

518

5)9(22 2===

abLR ,

54

==ace .

Figura 50

QUINTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

55

2. Dados )8 ,2(1A , )2 ,2(2 −A , )6 ,2(1F , )0 ,2(2F . Obténgase el centro ) ,( khC , la ecuación de la elipse, los vértices 21 y BB , lado recto, la excentricidad y trazar la gráfica de la figura.

3. Dada la ecuación 02918832 22 =+−−+ yxyx . Determinar los elementos de la elipse y

representarla geométricamente. 4. Dada la ecuación 036243649 22 =+−++ yxyx Obténgase los elementos de la elipse y

representarla geométricamente.

QUINTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

56

Problemas propuestos 1. Dados los siguientes elementos de la elipse: ( ) ( ) ( )0,304;04 121 Fy, A, A − .

Determinar la ecuación, los demás elementos de la figura y representarla geométricamente.

2. Dada la ecuación .04001625 22 =−+ yx Calcular los elementos de la elipse y

representarla geométricamente. 3. Dada la ecuación .04843 22 =−+ yx Calcular los elementos de la elipse y representarla

geométricamente.

4. Dados los elementos de la elipse: ( ) ( )3202;02 21 =− ey, F, F . Obtener los demás

elementos faltantes. 5. Dados los siguientes elementos de la elipse: ( ) ( )11;15 21 , F, F y el diámetro focal mide

6 unidades. Obtener la ecuación de la elipse, así como los demás elementos respectivos y representar su gráfica en el plano.

6. Dados los elementos de la elipse: ( ) ( ) 823;83 2121 =BBy, F, F . Obtener la ecuación

de la elipse, así como los elementos faltantes y representar su gráfica en el plano. 7. Dada la ecuación .031150642516 22 =−+++ yxyx Calcular los elementos de la elipse y

representarla geométricamente. 8. Dada la ecuación .0923632916 22 =−−−+ yxyx Calcular los elementos de la elipse y

representarla geométricamente.

9. Dados los elementos de la elipse: ( ) ( )3117;11 21 =ey, A, A . Obtener los demás

elementos faltantes y representarla geométricamente en el plano.

SEXTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

57

6.0 LA HIPÉRBOLA La hipérbola es una curva abierta de dos ramas, producida por la intersección de un cono circular recto y un plano que corta las dos secciones del cono. Tiene propiedades de reflexión análogas a las de la elipse, por ejemplo, si se dirige un haz de luz en dirección del foco 1F se reflejará antes de llegar a él en dirección de 2F . A continuación se enuncia la definición del lugar geométrico. Definición: Figura 51 Los puntos fijos llamados focos, se designarán por 1F y 2F . La constante se acostumbra representarla por a2 . La línea recta que pasa por los focos coincide con el eje X se llama eje focal. El eje focal corta a la hipérbola en dos puntos 1A y 2A , llamados vértices. El Segmento 21AA se le denomina eje transverso. El punto medio C del eje transverso se llama centro. La recta ( 'l ) que pasa por C y es perpendicular al eje focal ( l ) se denomina eje normal. El eje normal no corta a la hipérbola; sin embargo, el segmento 21BB que tiene a C como punto medio se le llama eje conjugado. El segmento que une dos puntos cualesquiera de la hipérbola se denomina cuerda ( '

21GG ), estos puntos pueden estar en la misma rama ó bien un punto puede estar en una rama y el otro en la otra rama. Una cuerda que pasa por un foco ( 21EE ) se conoce como cuerda focal. Una cuerda focal que es perpendicular al eje focal se llama lado recto ( 21LL ). Una cuerda que pasa por C se le denomina diámetro ( 21DD ). Si P es un punto cualquiera de la hipérbola, entonces los segmentos PF1 y 2PF que unen los focos con dicho punto P se llaman radios vectores.

La hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos. kPFPF =− 12 , es decir 21FFk < .

SEXTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

58

6.1 ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CUYOS EJES COINCIDEN CON LOS EJES COORDENADOS

Considerando la hipérbola de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X , los focos 1F y 2F están sobre el eje X . Como el centro O es el punto medio del segmento

21FF , entonces las coordenadas de los focos son )0 ,(1 cF y )0 ,(2 cF − respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea )y ,(xP un punto cualquiera de la hipérbola, entonces el punto P debe satisfacer la condición geométrica:

aPFPF 221 =− (6.1) Donde a es una constante positiva, y ca 22 < .

Figura 52 La condición (6.1) es equivalente a:

aPFPF 221 =− (6.2)

aPFPF 221 −=− (6.3) La ecuación (6.2) es verdadera cuando el punto P está sobre la rama izquierda y la ecuación (6.3) es verdadera cuando el punto P está sobre la rama derecha. Considerando la definición, se de deduce la ecuación de la hipérbola de la siguiente manera.

aycxycx 2)()( 2222 =++−+− 2222 )(2)( ycxaycx +++=+− elevando al cuadrado

2222222 )()(44)( ycxycxaaycx ++++++=+− desarrollando los binomios 2222222 2)(442 ccxxycxaaccxx ++++++=+− simplificando

222 )(444 ycxaacx ++=−− multiplicando por ( )1− y dividiendo por 4, se obtiene 222 )( ycxaacx ++−=+ nuevamente elevando al cuadrado

( )2224222 )(2 ycxaacxaxc ++=++ desarrollando el binomio por el lado derecho

SEXTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

59

( )22224222 22 yccxxaacxaxc +++=++ realizando operaciones por el lado derecho 22222224222 22 yacacxaxaacxaxc +++=++ simplificando

222222422 yacaxaaxc ++=+ agrupando términos semejantes, se obtiene 422222222 acayaxaxc −=−− factorizando los términos comunes

)()( 22222222 acayaxac −=−− pero 222 acb −= , por tanto se tiene

222222 bayaxb =− sustituyendo 2b y dividiendo por 22ba , se tiene

22

22

22

22

22

22

baba

baya

baxb

=− simplificando, se obtiene la ecuación de la hipérbola

12

2

2

2=−

by

ax (6.4)

De la ecuación (6.4) se tiene que las intersecciones con el eje X son a y a− . Por tanto, las coordenadas de los vértices son: )0,(1 aA y )0,(2 aA − respectivamente, la longitud del eje transverso, es igual a a2 . Aunque no existen intersecciones con el eje Y , los dos puntos )01 , b(B y b),( B −02 se consideran como extremos del eje conjugado. En consecuencia, la longitud del eje conjugado es b2 . La ecuación (6.4) muestra que la hipérbola es simétrica con respecto a los ejes coordenados y al origen. Despejando y de la ecuación (6.4) resulta.

22 axaby −±= (6.5)

Para que los valores de y sean reales, x debe estar en el intervalo ax −≤<∞− y ∞<≤ xa . Despejando x de la ecuación (6.4 se obtiene.

22 bybax +±= (6.6)

donde x es real para cualquier valor de y . Las ecuaciones (6.5) y (6.6), junto con la simetría del lugar geométrico, muestran que la hipérbola no es una curva cerrada, sino que consta de dos ramas diferentes, una se extiende hacia la derecha, arriba y abajo del eje X , y la otra se extiende hacia la izquierda y por arriba y por abajo del eje X .

Sustituyendo cx = en la ecuación (6.5), se tiene: a

bbabac

aby

2222 ±=±=−±= de donde

se obtiene que el lado recto es ab22 y la excentricidad está definida por:

22 baace +== )

como ac > , entonces la excentricidad de la hipérbola es mayor que la unidad ( 1>e ). Si el centro de la hipérbola está en el origen, pero su eje focal coincide con el eje Y ,

entonces su ecuación es: 12

2

2

2=−

bx

ay . (6.7

SEXTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

60

6.2 ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA

Transformando la ecuación (6.5) en 2

21

xax

aby −±= . (6.8)

Si un punto de la hipérbola se mueve a lo largo de la curva, de manera que su abcisa x aumenta numéricamente sin límite, entonces el radical de la ecuación (6.8) se aproxima

cada vez más a la unidad; y por tanto, tomar la forma de xaby ±= (6.9)

Las ecuaciones xaby = y x

aby −= , se denominan asíntotas de la hipérbola.

De igual manera, las asíntotas de la hipérbola con eje focal paralelo al eje Y , son:

xbay ±= (6.10)

Ejemplos: 1. Dado )0 ,3(1F , )0 ,3 (1 −F y 42 =a . Obtener la ecuación de la hipérbola, así como los

demás elementos faltantes y trazar su gráfica.

Solución: Por la información que se proporciona, se deduce que el eje focal de la hipérbola coincide

con el eje X . Por tanto la ecuación es de la forma: 12

2

2

2=−

by

ax

Luego, se tiene:

3 6221

===

ccFF

2 42

==

aa

Luego, 54922 =−=−= acb

Por tanto, la ecuación es: 154

22=−

yx o bien 02045 22 =−− yx

52

)5(22 2===

abLR

123>==

ace

Los vértices son:

)0,2()0,( 11 AaA = )5 ,0() ,0( 11 BbB = )0,2()0,( 22 −=− AaA )5,0(),0( 12 −=− BbB

SEXTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

61

Las asíntotas son: xxaby

25

==

xxaby

25

−=−= .

Figura 53

2. Dados los siguientes elementos )7,0(1 A , )7,0(2 −A , )0 ,5(1B y )0,5(2 −B . Obtener la ecuación de la hipérbola, así como los demás elementos restantes y trazar su gráfica.

3. Dada la ecuación 3694 22 =− yx . Obténganse los elementos de la hipérbola y

bosquéjese su gráfica. 4. Dada la ecuación 044 22 =+− yx . Obténganse los elementos de la hipérbola y

bosquéjese su gráfica.

6.3 ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CUYOS EJES SON PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS

Considerando la hipérbola de centro ) ,( khC y eje focal paralelo al eje X . Sean a2 la longitud del eje transverso, b2 la longitud del eje conjugado y la longitud entre los focos es

c2 respectivamente. Si los ejes coordenados son trasladados de tal manera que el nuevo origen '0 coincida con el punto ) ,( khC de la hipérbola, entonces la ecuación es de la

forma: 1)()(2

2

2

2=

−−

−

bky

ahx (6.11)

Las asíntotas son de la forma: ( )hxabky −±=− (6.12)

Los vértices son:

),(1 kahA + ) ,(1 bkhB + ),(2 kahA − ) ,(2 bkhB −

SEXTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

62

Los focos son:

) ,(1 kchF + ) ,(2 kchF −

En forma similar, se puede obtener la ecuación de la hipérbola de centro ) ,( khC y cuyo eje focal sea paralelo al eje Y . Por tanto, la ecuación es de la forma:

1)()(2

2

2

2=

−−

−

bhx

aky (6.13)

Las asíntotas son: ( )hxbaky −±=− (6.14)

Los vértices son de la forma:

),(1 akhA + ; ),(2 akhA − ) ,(1 kbhB + ; ) ,(2 kbhB −

Los focos son:

) ,(1 ckhF + ) ,(2 ckhF −

Ejemplos 1. Dada la siguiente información: )5 ,3(C , 42 =a , 62 =b y cuyo es paralelo al eje X .

Obténgase los demás elementos y trazar su gráfica.

Solución De la información proporcionada se tiene:

2=a , 3=b y 13=c

Por tanto la ecuación es: 19

)5(4

)3( 22

=−

−− yx ó bien 055405449 22 =−+−− yxyx

Obteniendo los vértices de la hipérbola.

),(),(),( 5 5A5 23Vk ahV 111 =+=+ ),(),(),( 5 1A5 23Vk ahV 222 =−=−

)8 ,3()35 ,3() ,( 111 BBbkhB =+=+ )2,3()35,3(),( 222 BBbkhB =−=−

SEXTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

63

Calculando los focos de la hipérbola

)5 ,133() ,( 11 +=+ FkchF )5 ,133() ,( 22 −=− FkchF

El lado recto es 92

)9(22 2===

abLR

La excentricidad es: 1213

>==ace

Las asíntotas son: 01923

0123=−+

=+−yxyx

La gráfica es:

Figura 54

2. Dados los elementos )5 ,4(1 −F , )3,4(2 −−F y )1,4(1 −−V . Obténgase los demás

elementos de la hipérbola y trazar su gráfica. 3. Dados los elementos de la hipérbola: ( ) ( ) 64,5;12,5 2121 =−− BByFF . Calcular la

ecuación de la hipérbola, las asíntotas respectivas, así como los demás elementos faltantes y representar su gráfica en el plano.

4. Dada la siguiente ecuación: 011385449 22 =++−− yxyx . Obtener los elementos

faltantes de la hipérbola y bosquejar su gráfica. 5. Dada la ecuación .0413649 22 =−+−− yxyx Calcular los elementos de la hipérbola,

las asíntotas de la figura y representarla geométricamente.

SEXTA UNIDAD

Elaboró: afmorales

64

Problemas propuestos

1. Dados los siguientes elementos de la hipérbola: ( ) ( ) 420,4;0,4 21 =− ayFF .

Obtener la ecuación de la hipérbola, las asíntotas respectivas, así como los demás elementos respectivos y representar su gráfica en el plano.

2. Dados los siguientes elementos de la hipérbola: ( ) ( )3,0;3,0 21 −AA y la distancia

focal es igual 10. Obtener la ecuación de la hipérbola, las asíntotas respectivas, así como los demás elementos respectivos y representar su gráfica en el plano.

3. Dada la ecuación: .012254925 22 =+− yx Determinar las asíntotas de la figura, así

como los demás elementos faltantes y trazar la gráfica del lugar geométrico. 4. Dada la ecuación: .0164 22 =−− yx Determinar las asíntotas de la figura, así como

los demás elementos faltantes y trazar la gráfica del lugar geométrico. 5. Dados los elementos de la hipérbola: ( ) ( ) 64,5;12,5 2121 =−− BByFF . Calcular la

ecuación de la hipérbola, las asíntotas respectivas, así como los demás elementos faltantes y representar su gráfica en el plano.

6. Dados los elementos de la hipérbola: ( ) ( ) ( )4,44,3;4,5 121 −−− AyFF . Calcular la

ecuación de la hipérbola, las asíntotas respectivas, así como los demás elementos faltantes y representar su gráfica en el plano.

7. Dada la ecuación .06836894 22 =−−−− yxyx Calcular los elementos de la

hipérbola, las asíntotas de la figura y representarla geométricamente. 8. Dada la ecuación .0413649 22 =−+−− yxyx Calcular los elementos de la

hipérbola, las asíntotas de la figura y representarla geométricamente.

SÉPTIMA UNIDAD

Elaboró: afmorales

65

7.0 COORDENADAS POLARES

7.1 INTRODUCCIÓN En este material, se han utilizado coordenadas rectangulares para localizar puntos y graficar algunos lugares geométricos en el plano, ahora introduciremos un tipo distinto de coordenadas, llamadas “coordenadas polares”, con las cuales, es posible describir de manera sencilla otros tipos de curvas que en coordenadas cartesianas tienen cierto grado de dificultad. En un sistema de coordenadas polares, un punto puede ser localizado por medio de una red de circunferencias concéntricas con centro en 0 ; llamado polo y semirrectas o rayos que se originan en 0 . Tómese como eje de referencia una semirrecta horizontal ( )OA dirigida hacia la derecha de 0 la cual llamaremos eje polar. Especificando una distancia dirigida r a partir de 0 , y un ángulo θ medido en radianes, cuyo lado inicial sea el eje polar y como lado terminal, el rayo OP .

Figura 55a Figura 55b La posición del punto P con relación al eje polar y al polo queda determinada cuando se conocen θyr ; en particular, r se llama radio vector y θ ángulo polar, ángulo vectorial o argumento de P . Las coordenadas polares de un punto se denotan por ( )θ,r . La línea

recta que pasa por el polo y es perpendicular al eje polar se llama el eje a ( )o902π

.

Notas: en coordenadas polares se adoptan las siguientes convenciones.

Si el ángulo 0>θ , se mide en sentido opuesto al giro de las manecillas de un reloj, a partir del eje polar. Pero, si 0<θ ; entonces se miden en el mismo sentido.

Para ubicar un punto ( )θ,r− se mide r a lo largo del rayo πθ + Las coordenadas del polo son ( )θ,0O , donde θ puede ser cualquier ángulo.

SÉPTIMA UNIDAD

Elaboró: afmorales

66

Ejemplos: graficar los siguientes puntos.

1. ( ) ( )2,675,7,4

7,5,6

,4 SyRRP o−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ππ

.

Figura 56

Nota: la descripción de un punto en coordenadas polares, no es única; es decir, un punto ( )θ,r y ( ) Z∈+ nnr ;2, πθ ; son equivalentes.

2. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

613,2

65,2;

67,2;

611,2;

6,2 πππππ TySRRP

7.2 RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS Y

POLARES. En algunas ocasiones es recomendable utilizar coordenadas polares y cartesianas es un mismo problema. Para efectuar la transformación se debe conocer las relaciones que existen entre las coordenadas rectangulares y las coordenadas polares de cualquier punto del lugar geométrico.

Figura 57

SÉPTIMA UNIDAD

Elaboró: afmorales

67

Las relaciones se obtienen cuando el polo y el eje polar se hacen coincidir con el origen y la parte positiva del eje X del sistema rectangular, tal como se ilustra en la figura 57. Sea P un punto cualquiera que tenga por coordenadas rectangulares ( )yx, y por coordenadas polares ( )θ,r . Por tanto de la figura 57, se deducen las siguientes relaciones:

θθ rsenyrysen =→= (7.1)

θθ coscos rxrx

=→= (7.2)

( ) ( ) R∈∀=∴ rrsenryx ,,cos, θθ De la figura 47 se obtiene

→=+ 222 ryx 22 yxr += (7.3)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=→= −

xy

xy 1tantan θθ (7.4)

22 yxr +=∴ y ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

xy1tanθ (7.5)

Consideremos primero, el paso de una ecuación rectangular a una ecuación en forma polar, ésta ecuación contiene las variables yx y . Por tanto, al sustituir la yx y por sus valores de las ecuaciones y se obtiene la ecuación polar, aunque no siempre en su forma más simple. Veamos ahora la transformación de una ecuación polar a su forma rectangular. La ecuación contiene las variables θyr , y pueden usarse las ecuaciones

, , , y que contienen las θyr en función de yx y . Ejemplos 1. Determinar las coordenadas polares del punto P cuyas coordenadas rectangulares

son: ( )3,1 − . Solución Sabiendo que 31 −== yx y , se tiene:

( )

35

3tan

13tantan

231

1

11

22

πθ

θ

θ

=

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

=+=+=

−

−−

xy

yxr

SÉPTIMA UNIDAD

Elaboró: afmorales

68

Por lo tanto las coordenadas polares son: ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

35,2, πθ PrP

Ahora, representemos gráficamente la información obtenida.

Figura 58

2. Obtener las coordenadas rectangulares del punto P cuyas coordenadas polares son:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

32,4 π

.

Solución

Como 3

24 πθ == yr se tiene:

32234

324

2214

32cos4cos

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

πθ

πθ

senrseny

rx

Por tanto las coordenadas rectangulares son: ( ) ( )32,2, −= PyxP . Figura 59

SÉPTIMA UNIDAD

Elaboró: afmorales

69

3. Obtener la ecuación cartesiana de la siguiente ecuación polar θcos1

1−

=r .

Sol. 0122 =−− xy 4. Determinar la ecuación polar de la siguiente ecuación cartesiana 3+= xy .

Sol. θθ cos

3−

=sen

r

7.3 GRAFICACIÓN EN COORDENADAS POLARES

La grafica de una ecuación polar se puede trazar ubicando los puntos en el sistema polar y después se unen para bosquejar la grafica de la misma forma que en coordenadas rectangulares. Los valores del argumento deben estar comprendidos en el intervalo

πθ 20 ≤≤ , pero si el argumento queda fuera del intervalo se ajustará al intervalo indicado y el valor de r depende de la longitud del radio vector. Ejemplos 1. Graficar la ecuación θsenr = .

Solución Construyamos la tabla de valores θ θsenr = θ θsenr =0 0000.0 12/13π 2588.0−12/π 2588.0 6/7π 5000.0−6/π 5000.0 4/5π 7071.0−4/π 7071.0 3/4π 8660.0−3/π 8660.0 12/17π 9659.0−12/5π 9659.0 2/3π 0000.1−2/π 0000.1 12/19π 9659.0−12/7π 9659.0 3/5π 8660.0−

3/2π 8660.0 4/7π 7071.0−4/3π 7071.0 6/11π 5000.0−6/5π 5000.0 12/23π 2588.0−12/11π 2588.0 π2 0000.0

π 0000.0 Figura 60

SÉPTIMA UNIDAD

Elaboró: afmorales

70

2. Graficar la ecuación θcos1+=r

Solución Construyamos la tabla de valores θ θcos1+=r θ θcos1+=r0 0000.2 12/13π 0341.0 12/π 9659.1 6/7π 1340.0 6/π 8660.1 4/5π 2929.0 4/π 7071.1 3/4π 5000.0 3/π 5000.1 12/17π 7412.0 12/5π 2588.1 2/3π 0000.1 2/π 0000.1 12/19π 2588.1 12/7π 7412.0 3/5π 5000.1

3/2π 5000.0 4/7π 7071.1 4/3π 2929.0 6/11π 8660.1 6/5π 1340.0 12/23π 9659.1 12/11π 0341.0 π2 0000.2

π 0000.0 Luego, se construye la gráfica. Figura 61

3. Graficar θ2senr = 4. Graficar ( )θsenr −= 13 5. θ2cos2=r

SÉPTIMA UNIDAD

Elaboró: afmorales

71

Problemas propuestos

1. Construye el triángulo, cuyos vértices son: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

65,4

47,2;

3,5 πππ RyQP .

2. Obtener las coordenadas polares de los siguientes puntos, dados en coordenadas rectangulares.

a. ( )2,2P b. ( )3,2−Q c. ( )2,3 −R

d. ( )1,3 −S

e. ( )33,3T 3. Determinar las coordenadas rectangulares de los siguientes puntos, dados en

coordenadas polares.

a. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2,1 π

b. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3,2 π

c. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

613,2 π

d. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

23,1 π

e. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

3,3 π

4. Determínese la ecuación en la forma polar de las siguientes ecuaciones dadas en coordenadas rectangulares.

a. 025 =− yx b. 2=+ yx

c. 0222 =−+ xyx

d. 106422 =+−+ yxyx

e. 0632 22 =−− yx 5. Obténgase la ecuación en el sistema rectangular de las siguientes ecuaciones dadas

en coordenadas polares. a. θcos5=r b. 7=θrsen c. θθ cos+= senr d. θθ cosrrsen = e. 22cos2 =θr

BIBLIOGRAFÍA

Elaboró: afmorales

Bibliografía

1. Caballero, A. y colaboradores., (1989). Geometría Analítica, México, Editorial, Esfinge. 2. De la Borbolla, F.J.;(1988). Geometría Analítica, Estado de México, Editorial, Esfinge. 3. Lehmann, C.H; (1981). Geometría Analítica. México, D. F., Editorial, Limusa. 4. de Oteyza, E. y colaboradores, (1994). Geometría Analítica. Nacaulpan de Juárez,

Estado de México. Editorial, Prentice Hall. 5. Riddle, D. F., (1997). Geometría Analítica. México, D.F., Editorial, Thomson. 6. Bohuslov, R., (1970). Geometría Analítica. México, D. F., Editorial Uteha