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GEOMETRIAANALITICANELLOSPAZIO(3DGeometry)
SISTEMADIRIFERIMENTONELLOSPAZIOLageometriaanaliticadellospazioèmoltosimileallageometriaanaliticadelpiano.Perquestomotivole
formulesonospessoun'estensionediquellegiàconosciute.
Per rappresentare lo spazio con un riferimento di tipo cartesiano si usano tre rette, a due a due
perpendicolari:gliassix,y,z.Ilpuntodiintersezionedegliassi,èdettoorigineesiindicaconO.Lecoordinatesonoquindix,y,z.L’origineOhacoordinateO(0;0;0).
Un punto generico Pè individuato da una terna ordinata di numeri reali, P(x;y;z); x, ye zsono dettirispettivamenteascissa,ordinataequotadelpuntoP.IlpuntoA(x;y)èlaproiezionediPnelpianoOxy.
FORMULARIO
Inparticolare,seilsegmentoABèparalleloall’assex,vale AB = xB − xA
seilsegmentoABèparalleloall’assey,vale AB = yB − yA seilsegmentoABèparalleloall’assez,valeAB = zB − zA
VETTORINELLOSPAZIOUnvettorenellospazioèindividuatodallesuecomponenticartesiane.
Adognipunto A ax;ay;az( ) èassociatounvettore OA! "!!
= a"= ax"i + ay
"j + az
"k che
hailprimoestremonell’origineOconmodulo:
!a = ax
2 + ay2 + az
2
2
Piùingenerale:
Le componenti di un vettore v!= AB" !""
con primo estremo in A xA; yA; zA( ) e secondo estremo inB xB; yB; zB( ) ,ossiailvettorecheloindentifica,cheneindicala“direzione”èdatoda:
AB! "!!
xB − xA; yB − yA; zB − zA( )
OPERAZIONIFRAVETTORI
Consideriamoduevettori a!ax;ay;az( ) e b
!bx;by;bz( ) .Analogamenteaquantoaccadeperilpiano:
⇒ SOMMA a!+!b = ax + bx; ay + by; az + bz( )
⇒ DIFFERENZA a!−!b = ax − bx; ay − by; az − bz( )
⇒ PRODOTTOPERUNOSCALARE, k ∈! k ⋅ !a = kax; kay; kaz( )
⇒ PRODOTTOSCALARE !a i!b = !a
!b cosθ
doveθ èl’angolofraiduevettori !a i!b = ax ⋅bx + ay ⋅by + az ⋅bz (evidenziandolecomponenti)
Vettoriparalleli
Dati due vettori a!ax;ay;az( ) e b
!bx;by;bz( ) , essi sono paralleli se e solo se essi hanno le componenti
proporzionali ossia: ∃k ∈! tale che !a = k
!b , ossia:
a!kbx;kby;kbz( ) . Se b
!bx;by;bz( ) ha le componenti tutte
nonnullesipuòanchescrivere:
!a "!b ⇔ ax
bx=ayby
=azbz
= k
Vettoriperpendicolari
Datiduevettori a!ax;ay;az( ) e b
!bx;by;bz( ) ,essisonoperpendicolariseesolosefradiessic’èunangolo
θ = π 2 equindi cosθ = cosπ 2 = 0 .Ciòcomportacheilloroprodottoscalaresia0,ossia:
!a ⊥!b ⇔ ax ⋅bx + ay ⋅by + az ⋅bz = 0
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ILPIANOELASUAEQUAZIONEL’equazione di un generico piano nello spazio ha equazione del tipo: ax + by + cz + d = 0
InfattiungenericopianosipuòscriverecomeilluogogeometricodeipuntiP x;y;z( ) dellospaziopercuiilvettore PP0! "!!
,con
P0 x0;y0;z0( ) è ortogonale al vettore !n a;b;c( ) , cheha la stessadirezionedella retta passanteperP0 e perpendicolare al
piano:
PP0! "!!
x − x0;y − y0;z − z0( ) ⊥ !n a;b;c( ) ⇔ PP0
! "!!i"n = 0
x − x0( ) ⋅a + y − y0( ) ⋅b + z − z0( ) ⋅c = 0 ossia ax + by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0 Ponendod = −ax0 − by0 − cz0 sihaappuntol’equazione ax + by + cz + d = 0
RICORDA: i coefficienti dell’equazione di un piano a, b, c rappresentano SEMPRE le componenti di un
vettore !n a;b;c( ) cherisultaortogonale,normalealpianostessoesichiamanocoefficientidirettividel
piano:ilvettore !n a;b;c( ) risultaortogonaleatutteledirezioniparallelealpiano.
Casiparticolari:
• Sed=0,ilpianopassaperl’origine(0;0;0).
• Senell’equazionedelpianomancaunadellevariabili,ilpianoèparalleloall’assediquellavariabile
(ossiaèperpendicolarealpianodelleduevariabilipresenti):
• Senell’equazionedelpianomancanoduevariabili,ilpianoèparalleloalpianodiquellevariabili:
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PIANOPERTREPUNTIUnpianoèunivocamentedeterminatodallaconoscenzadisuoitrepuntinonallineati.Per trovarne l’equazione basta risolvere un sistema 3x3 imponendo il passaggio dei tre punti
nell’equazionecartesiana:
Se i punti sonoallineati, esistono infiniti pianipassantiper i trepunti allineati (sono i pianidel fascio
passanteperlarettadeterminatadaipuntiallineati).
PIANOPASSANTEPERUNPUNTO,PARALLELOADUNPIANODATOL’equazionedelpianopassanteperP0 x0;y0;z0( ) eparalleloalpiano ax + by + cz + d = 0 èdatada:
a ⋅ x − x0( ) + b ⋅ y − y0( ) + c ⋅ z − z0( ) = 0
Ricordaresemprecheunpianononèdefinitounivocamentedaivaloria,b,c;infattisesimoltiplicaosidividea,b,cperun
qualsiasinumerononnullo,siottieneun’altraequazionedellostessopiano.Ingeneralepossiamoporreunadiquestevariabili
ugualia1ecalcolareunivocamentelealtre.
POSIZIONERECIPROCADIDUEPIANIConsideriamoduepianidiequazione α :ax + by + cz + d = 0 eβ : ′a x + ′b y + ′c z + ′d = 0 .
PIANIPARALLELI: α ! β ⇔ "n ! ′"n ⇔ a
′a= b
′b= c
′c(con ′a , ′b , ′c ≠ 0 )
PIANIPARALLELIECOINCIDENTI: α ! β et α ≡ β ⇔ a
′a= b
′b= c
′c= d
′d
PIANIPERPENDICOLARI: α ⊥ β ⇔ !n ⊥ ′!n ⇔ a ⋅ ′a + b ⋅ ′b + c ⋅ ′c = 0
DISTANZADIUNPUNTODAUNPIANO
Datoilpianoα :ax + by + cz + d = 0 eilpunto A xA; yA; zA( ) ,lamisuradellaDISTANZAdiAdalpianoèdatada:
d A;α( ) = axA + byA + czA + d
a2 + b2 + c2
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LARETTAELASUAEQUAZIONE1)UnarettanellospazioèdefinitasesiconosceunsuopuntoP0 x0;y0;z0( ) eunvettorecheneidentificaladirezione
!v = l;m;n( ) .AlloraunpuntoP x;y;z( ) appartieneatalerettaseesolose:
PP0! "!!
x − x0;y − y0;z − z0( ) # "v l;m;n( ) ossia PP0! "!!
= k ⋅ "v ,con k ∈! .
x = x0 + kly = y0 + kmz = z0 + kn
⎧
⎨⎪
⎩⎪
k ∈! Equazioniparametriche
RICORDA:
I coefficienti l, m, n si chiamano coefficienti direttivi della retta: il vettore !v = l;m;n( ) individua la
direzionedellaretta.
2)Setuttiicoefficientidirettivisonononnulli,sipuòscriverel’equazionedellarettainformacartesiana:
x − x0l
= y − y0m
= z − z0n
Equazionicartesiane
Seunodeicoefficientidirettiviènullo(adesempion=0),delsistemainizialesiscrive:
x − x0l
= y − y0m
; z − z0 = 0
3) Infineuna rettanello spazio si puòdeterminare come intersezionediduepianinonparalleli enon
coincidenti:
ax + by + cz + d = 0′a x + ′b y + ′c z + ′d = 0
⎧⎨⎪
⎩⎪Equazionecomeintersezionediduepiani
Equazionedellarettapassanteperduepunti A xA; yA; zA( ) e B xB; yB; zB( ) :
• Equazioniparametriche:
la retta AB ha la direzione del vettore AB! "!!
xB − xA; yB − yA; zB − zA( ) quindi
l;m;n( ) = xB − xA; yB − yA; zB − zA( ) dacuileequazioniparametriche:x = xA + kly = yA + kmz = zA + kn
⎧
⎨⎪
⎩⎪
k ∈!
• Equazionecartesiana:
eliminandoilparametrokdalleequazioniprecedenti(quandol,m,ntuttinonnulli)siricava:x − xAxB − xA
= y − yAyB − yA
= z − zAzB − zA
cheècomunquelacondizionediallineamentoditrepuntinellospazio.
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DallarettacomeintersezionediduepianiallarettainformaparametricaInquestosenso,bastaporreunadelletrevariabiliugualeakericavarelealtreduevariabiliinfunzionedikstesso;siottieneunsistemaconletreequazionicercate.
DallarettainformaparametricaallarettacomeintersezionediduepianiInquestosenso,bastaricavareilparametrokpresenteinunadelletreequazioniedandareasostituirenellealtredueequazionicherimangonolequalisarannoappuntoiduepianiincidenti.
FasciodipianiaventiperasseunadatarettaIlfasciodipianiaventiperasseunarettaèl’insiemedituttiipianicontenentilarettastessa.Selarettaè
individuatacomeax + by + cz + d = 0′a x + ′b y + ′c z + ′d = 0
⎧⎨⎪
⎩⎪,ilfasciodipianisipuòscriverecome:
ax + by + cz + d + k ′a x + ′b y + ′c z + ′d( ) = 0 Ovviamente, con un solo parametro reale k, il fascio comprende tutti i piani, tranne il piano′a x + ′b y + ′c z + ′d = 0 ,analogamenteaquantoavvieneperifascidirettenelpiano.
POSIZIONIRECIPROCHEDIDUERETTEDuerettenellospaziosonocomplanari(quandoappartengonoadunostesso piano; in tal caso possono essere incidenti, parallele distinte,parallelecoincidenti)oppuresonosghembe,senonsonocomplanari.
RETTEPARALLELEDueretteconvettoridirezione
!v = l;m;n( ) e !w = ′l ; ′m ; ′n( ) sonoparalleleseesolose
!v " !w⇔ !v = k !w,k ∈#⇔ l′l= m
′m= n
′n
RETTEPERPENDICOLARIDueretteconvettoridirezione
!v = l;m;n( ) e !w = ′l ; ′m ; ′n( ) sonoperpendicolariseesolose
!v ⊥ !w⇔ !v i
!w = 0⇔ l ⋅ ′l +m ⋅ ′m + n ⋅ ′n = 0
RETTESGHEMBEOINCIDENTISe iduevettoridirezionenonsonoparalleli, leduerettesonosghembequandononhannopuntiincomuneoppureincidentiquandohannounpuntoincomune.N.B.Dueretteperpendicolaripossonoesseresiaincidentisiasghembe,comeinfigura:retsono
perpendicolarieincidentimentresetsonoperpendicolariesghembe.
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RETTEEPIANIConsideriamo un pianoα con vettore normale
!n a;b;c( ) non nullo e una retta r con vettore direzione !v = l;m;n( ) nonnullo.Siha:
Rettaparallelaalpiano r !α ⇔ "n ⊥ "v ⇔ a ⋅ l + b ⋅m + c ⋅n = 0 Inparticolareseilpianoelarettahannoalmenounpuntoincomune,alloralarettagiacesulpiano.
Rettaperpendicolarealpiano
r ⊥ α ⇔ !n " !v ⇔ l
a= mb= nc
DISTANZEDISTANZADIUNPUNTODAUNPIANODatoilpianoα :ax + by + cz + d = 0 eilpunto A xA; yA; zA( ) ,laDISTANZAdiAdalpianoèdatada:
d A;α( ) = axA + byA + czA + d
a2 + b2 + c2
DISTANZAFRADUEPIANIPARALLELISeα ,β sonoduepianiparalleli,ladistanzafraessisicalcolacomed P;β( ) ,essendoPunpuntosceltoapiaceresulpianoα .
DISTANZADIUNPUNTODAUNARETTANonc’èunaformulaspecifica!Note le coordinate di P e l’equazione della retta r (forma parametrica o
cartesiana),unmetodopuòesserequelloditrovarel’intersezioneHfrailpiano
passanteperP,perpendicolareallarettare larettarstessa; ladistanzasarà
PH.
DISTANZATRADUERETTEPARALLELENonc’èunaformulaspecifica!Se r ed s sono due rette parallele, la loro distanza si può calcolare come la
distanzatraunpuntoRsceltoapiaceresurelarettas.
DISTANZAFRADUERETTESGHEMBENonc’èunaformulaspecifica!Sipossonotrovareipunti R∈r, S ∈s talicheilvettore RS
! "!siaperpendicolaresiaalladirezionedirche
alladirezionedis.Fattoquesto,ladistanzafralerettesghembesarà:d r;s( ) = RS .
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SUPERFICIESFERICALasuperficiesfericaèilluogogeometricodeipuntidellospaziochehannotuttilastessadistanzardaun
puntofissodettocentroC x0;y0;z0( ) .
Equazioni x − x0( )2 + y − y0( )2 + z − z0( )2 = r2
Oppure: x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0 ,conC −a2; −b2; −c2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ e r =
12
a2 + b2 + c2 − 4d
L’equazione precedente rappresenta quella di una superficie sferica se e solo sea2 + b2 + c2 − 4d ≥ 0 (condizionedirealtà).
PianoesferaDatounpianoα eunasuperficiesfericadicentroCeraggior,siha:
− Sed C;α( ) < r ,ilpianointersecalasferainuncerchio;− Sed C;α( ) = r ,ilpianoèperpendicolareallasfera(PC ⊥ α )− Sed C;α( ) > r ,ilpianononintersecalasfera.
EquazionedelpianotangenteaunasferaDataunasuperficiesfericadicentroCeraggioreunsuopuntoP x1;y1;z1( ) , ilpiano tangente inPallasuperficiesfericahavettoreperpendicolaredatoda PC
! "!!.
AREADIUNTRIANGOLONELLOSPAZIOAreadiuntriangolodivertici A x1, y1, z1( ), B x2, y2, z2( ), C x3, y3, z3( ) :
A = 12
x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1
2
+y1 z1 1y2 z2 1y3 z3 1
2
+x1 z1 1x2 z2 1x3 z3 1
2