Geometría Analítica - R. Figueroa G.pdf

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GEOMETRA ANALTICAPara cen tros de enseanza su p e rio r

STIMA EDICIN 2006

Impreso en:E D I C I O N E S

Jr. Loreto 1696 Brea (Lima 5) Telefax 423 8469 E-mail: [email protected]

Todos los derechos reservados conforme al Decreto Ley N 26905

HECHO EL DEPSITO LEGAL N 15010599-2572 RAZN SOCIAL : RICARDO FIGUEROA GARCA

DOMICILIO: Jr. Loreto 1696 Brea

Este libro no puede reproducirse total o parcialmente por ningn medio electrnico, mecnico o fotocopia u otros medios sin el previo y expreso permiso del autor.

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PROLOGO

Aunque en esta renovada Edicin se han conservado ios iineam ientos esenciales de las anteriores ediciones esta obra difiere de aquellas en que se han incluido nuevas m aterias y otras se presentan de un modo ms moderno habindose aadido una serie completa de nuevos ejercicios.

El contenido de este libro est organizado de acuerdo con el sistema de instruccin personalizada, por lo que , las definiciones y teoremas principales se titulan en forma destacada, se numeran y distribuyen, para fcil referencia y para mantener la estructura ms importante del material ante los ojos del lector. El nmero 2.4, por ejemplo, se refiere a la Seccin, Definicin o Teorema cuartos del Captulo 2.

Cada tema desarrollado de los 11 captulos que consta la obra (Conceptos Preliminares, Grfica de una ecuacin, Lugares Geomtricos, Linea Recta, Circunferencia, Transformacin de Coordenadas, Parbola, Elipse, Hiprbola, ecuacin de Segundo Grado > Coordenadas Polares) estn suficientem ente motivadas y reforzadas por una gran variedad de ejemplos ilustrativos de todos los niveles de dificultad, a lgunos sobre dem ostraciones de teoremas, otros para fija r ideas presentadas en el texto y ayudar al estudiante a alcanzar el dom inio en las tcnicas de la geometra analtica y que le perm itirn resolver con xito los num erosos ejercicios propuestos, cuyas respuestas dadas al final del libro, verificarn las soluciones alcanzadas.

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Aprovecho la oportunidad para expresar mi agradecim iento al equipo con quien trabaj durante varios meses, haciendo los dibujos del libro en computadora, armando, revisando y corrigiendo errores, y; en fin, trabajando intensam ente para resolver las dificultades inherentes a la publicacin del texto.

Asim ismo una mencin especial de gratitud va dirigida a dos personas: al seor Jo ige Galarza E., encargado de la diagramacin y a la seorita Abilia Snchez P. por su dedicacin y abnegada labor en el tipeo de la obra. Creo que la excelente colaboracin de ambos ha sido inestimable.

Finalmente, se ha tenido especial cuidado en reducir las erratas lo ms posible. A un cuando todo autor suea con producir un libro excento de errores ninguno ha logrado esa aspiracin, al menos que yo sepa. Por tanto, agradecera que me hagan notar cualquier error que pueda haber persistido todava.

EL AUTOR

DEDICATORIA

. t la memoria de mi querida e inolvidable madre, a cuyos sacrificios debo el haberme aficionado al estudio, dedico

testa obra como smbolo de mi gratitud.

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VCONTENIDO

Q CONCEPTOS PRELIMINARES_________

1.1 Campo de la Geometra Analtica 11.2 Segmentos orientados 11.3 Sistema coordenado lineal 3

Ejercicios : Grupo 1 101.4 El sistema coordenado rectangular 121.5 Distancia entre dos puntos 13

Ejercicios : Grupo 2 191.6 Divisin de un segmento en una razn dada 20

Ejercicios : Grupo 3 301.7 Pendiente de una recta 331.8 Rectas paralelas y perpendiculares 35

Ejercicios : Grupo 4 421.9 Frmula del ngulo entre dos rectas 44

Ejercicios : Grupo 5 491.10 El rea del tringulo 50

Ejercicios ; Grupo 6 561.11 Demostraciones analticas 57

Ejercicios : Grupo 7 60

G RAFICA DE UNA ECUACION

2.1 Introduccin 632.2 Coordenadas al origen 652.3 Criterios de simetra 662.3.1 Simetra respecto al eje X 672.3.2 Simetra respecto al eje Y 672.3.3 Simetra respecto al origen 682.4 Extensin 69

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VI Contenido

2.5 Asntotas / 722.5.1 Asntotas horizontales 732.5.2 Asntotas verticales 732.5.3 Asntotas oblicuas 75 Grficas de funciones racionales 76 Grficas de ecuaciones de la forma

yJ = funcin racional o x! = funcin racional 82 Grficas de ecuaciones que contienen races cuadradas 90 Grficas de ecuaciones con valor absoluto 93

Ejercicios : Grupo 8 962.6 La grfica por factorizacin 972.7 Interseccin de curvas 100


LUGARES GEOMETRICOS

3.1 Introduccin 1053.2 Deduccin de la ecuacin de un lugar geomtrico 105

Ejercicios : Grupo-10 119

LA ILINEA RECTA

4.1y

Introduccin 1234.2 Ecuaciones para una recta 1234.2.1 La forma punto - pendiente 1244.2.2 La forma de los dos puntos 124

Ejercicios : Grupo II 1324.2.3 La forma pendiente y ordenada al origen 1344.2.4 La forma de las coordenadas al origen 134

Ejercicios : Grupo 12 1384.2.5 La forma general 1394.3 Relaciones entre dos rectas coplanares 1404.3.1 Rectas paralelas 1414.3.2 Rectas coincidentes 1414.3.3 Rectas perpendiculares 1414.3.4 Rectas oblicuas 142

Ejercicios : Grupo 13 1544.4 Forma normal de la ecuacin de una recta 1574.5 Reduccin a la forma normal 1594.6 Distancia y sentido de un punto a una recta 160

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Contenido V II

4.7 Bisectriz de un ngulo 169ejercicios : Grupo 14 171

4.8 Familia de rectas en el plano 1734.8.1 Familia de rectas paralelas a una recta dada 1734.8.2 Familia de rectas perpendiculares a una recta dada 1744.8.3 Familia de rectas qUe pasan por la interseccin de dos rectas 174

Ejercicios : Grupo 15 1814.9 Puntos arriba y debajo de una recta 183


LA CIRCUNFERENCIA

5.1 Introduccin 191Ejercicios : Grupo 17 204

5.2 Ecuacin general de una circunferencia 2065.3 La circunferencia y tres condiciones 2075.4 Potencia de punto con relacin a una circunferencia 208

Ejercicios : Grupo 18 2145.5 Familia de circunferencias 2165.5.1 Familia de circunferencias que pasan por la interseccin

de dos circunferencias dadas 2165.5.2 El eje radical 217

Ejercicios : Grupo 19 2235.6 Tangentes a una circunferencia 225

Ejercicios : Grupo 20 2325.7 Lugares geomtricos relativos a una circunferencia 233

Ejercicios : Grupo 21 2365.8 Conjunto de puntos asociados con circunferencias 238


TRANSFORM ACION DE COORDENADAS

6.1 Introduccin 2456.2 Traslacin de ejes 2456.3 Simplificacin de una ecuacin por traslacin 2466.4 Otras aplicaciones de la traslacin de ejes 248

Ejercicios : Grupo 23 2536.5 Rotacin de ejes 255


INTRODUCCION A LAS SECCIONES CONICAS 267

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LA PARABOLA

V III ________________________________________________________________ Contenido

7.1 Introduccin 2737.2 Elementos de una parbola 2737.3 Formas cartesianas de. la ecuacin de una parbola 274

Primera forma : Parbola de eje coincidente con el eje X 274Segunda forma : Parbola de eje coincidente con el eje Y 275Ejercicios : Grupo 25 280Tercera forma : Parbola de eje paralelo al eje X 281Cuarta forma : Parbola de eje paralelo aleje Y 281Ejercicios : Grupo 26 287

7.4 Ecuacin general de una parbola 288Ejercicios : Grupo 27 292

7.5 Ecuacin de la tangente a una parbola 293Ejercicios: Grupo 28 302

7.6 Cuerda de contacto 3047.7 Dimetro de una parbola 3057.8 La funcin cuadrtica 307

Ejercicios : Grupo 29 3127.9 Propiedades de una parbola 313

Ejercicios : Grupo 30 3247.10 Aplicaciones de la parbola 326

Ejercicios: Grupo 31 3307.11 Lugares geomtricos relativos a una parbola 331

Ejercicios: Grupo 32 3357.12 Conjunto de punto asociados con parbolas 336

Ejercicios : Grupo 33 .i *v-

339

LA ELIPSE

8.1 Definicin 3418.2 Formas cartesianas de la ecuacin de una elipse 341

Primera forma : Elipse con centro en el origen y eje mayorcoincidente con el eje X 341

Segunda forma : Elipse con centro en el origen y eje mayorcoincidente con el eje Y 345

Ejercicios : Grupo 34 350Tercera forma : Elipse con eje mayor paralelo-s^fSje X 352Cuarta forma : Elipse con eje mayor paralelo al eje Y 353Ejercicios : Grupo 35 358

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Contenido IX

8.3 Ecuacin general de la elipse en posicin ordinaria 360Ejercicios : Grupo 36 364

8.4 Ecuacin general de la elipse en posicin no ordinaria 365Ejercicios : Grupo 37 370

8.5 Tangente a una elipse 371Ejercicios : Grupo 38 377

8.6 Cuerda de contacto 3798.7 Dimetro de una elipse 3818.7.1 Dimetros conjugados 382

Ejercicios : Grupo 39 3848.8 Propiedades de la elipse 385

Ejercicios : Grupo 40 3938.9 Lugares geomtricos relativos a una elipse 394

Ejercicios: Grupo 41 3988.10 Conjunto de puntos asociados con elipses 399


LA HIPERBOLA

9.1 Definicin 4039.2 Formas cartesianas de la ecuacin de una hiprbola 403

Primera forma : Hiprbola con centro en el origen y ejetransverso coincidente con el eje X 403

Segunda forma : Hiprbola con centro en el origen y ejetransverso coincidente con el eje Y 405

Asntotas de una hiprbola 406Ejercicios: Grupo 43 412Tercera forma : Hiprbola con eje focal paralelo al eje X 413Cuarta forma : Hiprbola con eje focal paralelo al eje Y 414Ejercicios: Grupo 44 418

9.3 Hiprbola equiltera 4199.4 Casos especiales de hiprbolas equilteras 4209.5 Hiprbolas conjugadas 424

Ejercicios : Grupo 45 4269.6 Ecuacin general de una hiprbola en posicin ordinaria 427

Ejercicios : Grupo 46 4309.7 Ecuacin general de una hiprbola en posicin no ordinaria 430

Ejercicios : Grupo 47 4349.8 Tangentes a una hiprbola 435

Ejercicios : Grupo 48 4399.9 Cuerda de contacto 440

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X Contenido

9.10.1 Dimetros conjugados 443Ejercicios: Grupo 49 445

9.11 Propiedades de la hiprbola 445Ejercicios : Grupo 50 457

9.12 Lugares geomtricos relativos a una hiprbola 459Ejercicios : Grupo 51 462

9.13 Conjunto de puntos asociados con hiprbolas 463Ejercicios : Grupo 52 465

I ] LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO

10.1 Clasificacin de las cnicas de ecuacin A x2+C y2+D x+E y+F = 0

10.2 Ecuacin general de las cnicas Ejercicios : Grupo 53

10.3 Clasificacin de las cnicas de ecuacin general Ejercicios : Grupo 54

COORDENADAS POLARES

467467478479 488

1 1 . 1 definiciones 4911 1 . 2 Relaciones entre coordenadas polares y rectangulares 493

Ejercicios : Grupo 55 49611.3 Distancia entre dos puntos 49811.4 Area del Tringulo 498

Ejercicios : Grupo 56 49911.5 Ecuacin polar de la recta 5001 1 .6 Ecuacin polar de la circunferencia 505

Ejercicios : Grupo 57 50611.7 Ecuacin polar de las cnicas 507

Ejercicios: Grupo 58 5111 1 .8 Grficas de ecuaciones polares 512

Ejercicios : Grupo 5911.9 Intersecciones de grficas para ecuaciones polares 522

Ejercicios : Grupo 60 5241 1 . 1 0 Lugares geomtricos en coordenadas polares 525


RESPUESTAS A EJERCICIOS PROPUESTOS 530

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CONCEPTOS PRELIMINARES

f f f f l CAMPO DE LA GEOMETRIA A N A LIT IC A

La Geometra Analtica es una de las partes de las Matemticas que tiene por objeto el estudio de las relaciones entre el lgebra y la geometra euclidiana. Difiere en procedimiento de la que se estudia en la escuela secundaria por el hecho de que aquella emplea un sistema de coordenadas.

La geometra analtica comprende en su estudio de puntos, rectas, curvas, ngulos y superficies a los nmeros reales, por lo que debemos estar familiarizados con algunas de sus propiedades. Aunque en este libro no se toma inters en mostrar como tales propiedades se derivan de los axiomas de adicin, multiplicacin y orden, ya que estas consideraciones pertenecen al curso de Matemtica Bsica, sin embargo, dada su importancia y con la finalidad de darle mayor objetividad al curso, indicaremos en su oportunidad as propiedades aplicadas. As, pues, emplearemos parte de nuestro tiempo en aprender a construir una curva que corresponda a una ecuacin dada, y el resto en formar una ecuacin cuando se den las condiciones suficientes para determinarla.

Por la geometra plana se sabe que un segmento rectilneo es una porcin de recta ( comprendida entre dos puntos A y B , cuya longitud se representa por AB o BA. No se hace mensin de su sentido. En el estudio de la geometra analtica es necesario considerar tanto la longitud como el sentido.

El sentido de un segmento es el de la traslacin de un mvil que lo recorre partiendo del origen o punto inicial A al extremo o punto final B. Se indica escribien

C D SEGMENTOS ORIENTADOS

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2 Captulo I: Conceptos preliminares

do primero el origen y despus el extremo , esto es :B

El segmento AB ser positivo o negativo segn que su sentido sea el positi-* /

vo o el negativo de la recta t que lo contiene. As, si la recta est orientada positivamente, de izquierda a derecha, como lo indica la flecha (Figura 1.1), entonces el segmento orientado AB tiene longitud positiva y el segmento BA, longitud negativa. Por lo que podemos escribir:

B = - BA (1)de donde :

B + BA = 0

l --------------- 4 ------------------------------- ^ (Sentido)V____________________________________________________ )

FIGURA 1.1

Consideremos ahora la posicin de un tercer punto C, sobre el segmento orientado, con relacin a los puntos A y B

TEOREMA 1.1 Teorema de Chasles_______________________________________Cualquiera que sea la posicin de tres puntos A , B y C, de una

misma recta , se verifica siempre la relacinC = B + BC

V____________________________________________________________________________

Demostracin. En efecto, existen 3! = 6 ordenaciones posibles de los puntos A , B, y C sobre una misma recta l , dos de las cuales se muestran en la

Figura 1.2

FIGURA 1.2

En la Figura 1,2a se tiene : AC + CB = BAPero, segn la relacin (1), CB = - BC , por lo que :

C - BC = B => C = B + BC En forma similar, en la Figura 1.2b : CB = CA + AB Por ser, CB = - BC y CA = - AC , la relacin anterior se convierte en :

- BC = - C + B => C = B + BC

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Seccin 1.3: Sistema coordenado lineal 3

La demostracin del Teorema 1.1 para las otras cuatro posiciones diferentes de os puntos A , B y C se deja como ejercicio.

m SISTEM A COORDENADO LIN EAL__________________________

Sobre una recta orientada XX cuya direccin positiva es de izquierda a derecha, coloquemos el punto fijo O , llamado origen. Si A es un punto a una unidad y a la derecha de O, entonces el punto P, contiene x, veces la unidad establecida de longitud OA ; luego diremos que el punto P, corresponde al nmero positivo x r Anlogamente, si P,es un punto cualquiera de la recta X'X situado a la izquierda O, diremos que el punto que el punto P2 corresponde al nmero negativo \r De esu, modo cualquier nmero real x puede representarse por un punto P sobre la recta XX. recprocamente, cualquier punto dado P situado sobre la recta XX representa un nmero real x, cuyo valor numrico es igual a la longitud del segmento OP y cuyo signo es positivo o negativo segn que P est a la derecha o a la izquierda de O. A esta correspondencia biunvoca que existe entre puntos de una recta numrica y los nmeros reales se llama sistema coordenado lineal.

X

4 Captulo 1: Conceptos preliminares

Pero , OA = x, , AB = d(A , B) y OB = entonces : x, + d(A , B) = x, de donde :

d(A , B) = x2 - x,

| OBSERVACIONES

(1) La distancia dirigida entre dos puntos de un sistema coordenado lineal se obtiene restando la coordenada del origen de la coordenada del extremo.

(2) Cuando la distancia de A(x,) a B(x,) est en el sentido positivo , x2 > x , , entonces x2 - x, es un nmero positivo (Figura 1.4). Es dec ir:AB > 0 , si A est a la izquierda de B.

(3) Cuando la distancia de A(x,) a B(x,) est en el sentido negativo, x2 < x , entonces x2 - x, es un nmero negativo (Figura 1.5). Es d ec ir: FIGURA 1.5AB < 0, si A est a la derecha de B.

X'-(x2) (0) (x,)

X

(0)A-O-

(x.) (x2)X

FIGURA 1.4

DEFINICION 1.1 Distancia no dirigidaEn un sistema coordenado linea l, la distancia no dirigida en

tre dos puntos A(xt) y B(x2) se define como el valor absoluto de la longitud del segmento rectilneo que une esos dos puntos , esto es :

d(A , B) = I x - x I = V(x, - x )2 (3)

Los signos de valor absoluto se usan en esta ecuacin para no especificar cul de las coordenadas x, y x, es la m ayor, pues : | x2 - x, I = I x, - x2l

| OBSERVACION 1.1 Si es una recta orientada, entonces existe una funcind : ( x ( - > R

llamada distancia no dirigida entre dos puntos A y B de l , que cumple las siguientes propiedadesa) d( A , B) > 0 , V A . B e Rb) d(A , B) = 0 A = Bc) d(A , B) = d(B , A) , VA , B e Rd) d(A , C) < d{A , B) + d{B , C) , VA , B , C e R (Desigualdad triangular).

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EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 5

E J E M P L O S IL U S T R A T IV O S( e j e m p l o T ) Segmentos orientados

Sobre una recta l se ubican consecutivamente los puntos A , C , D y B ; siendo D punto medio de AB. Demostrar que

CD = ~ (CB - C)

Demostracin. En efecto, por el teorema de ChaslesD = C + CD => CD = D - C (1)

Tambin: CB = CD + D B = > C D = CB-DB (2)Sumando ambos extremos de (1) y (2) se tiene :

2CD = D - C + CB - DB Como D es punto medio de AB AD = DB , por lo que :

2CD = CB - C => CD = i(C B - C)

( E J E M P L O 2 ) Segmentos orientadosSobre una recta ( se dan los puntos A , B , C y E ; de modo que

AB = BC , CE = 2AC y AD = | (AE). Demostrar que AD = AB + AC.

Demostracin. Efectivamente, por el teorema de Chasles se tiene :E = C + CE

=> E = C + 2C = 3C

Si D = ^() => D = |( C )

Luego , 2D = 3(C) = C + 2C = (B + BC) + 2C

Como B = BC => 2D = 2B + 2C => D = B + C

( E J E M P L O 3 J Segmentos orientados_____________________________________Sobre una recta t se toman los puntos consecutivos A , B , C y

D en el cual M es punto medio de AD (M en BC). Si MC - MB = 2 y AC + BD = 24, calcular AD.

Solucin. Por el teorema de Chasles : AC = AM + MC (1)BD = BM + MD

2 ACD

FIGURA 1.6

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Captulo I: Conceptos preliminares

Como MD = M BD = BM + AM sumando ambos extremos de las re laciones (1 ) y (2 ) obtenemos :C + BD = 2AM + MC + B~M

= AT> + (MC - MB) 24 = AD + 2 , de donde : AD = 22

(2)

c

1) 0 a (x = a v x = - a ) ,se sigue que :

a) I x - 2 1 =5 (x - 2 = 5) v (x - 2 = -5) (x = 7) v (x = -3)

Luego , dibujamos en la recta real los puntos A(-3) y B(7)

b) | 3x - 5 I = 7 - x (7 - x > 0) a (3x - 5 = 7 - x) v (3x - 5 = - 7 + x) ( x < 7 ) a ( x = 3 v x = - 1)

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EJERCICIOS ILUSTRATIVOS 7

Como ambas soluciones satisfacen la desigualdad x < 7 , ubicamos en la recta real los puntos A(- 1) y B(3)

X ' ----------------- * X(-D (3)

c) |x + 2 l + | x 1 I = 5Segn la definicin de valor absoluto

x + 2 , si x > -2 , . r x - 1 , si x > 1x + 2 I

r x + , s i x - . . r x - l ,"i -x - 2 , si x < -2 l x - l l = i - x + l , si x < 1

Entonces en la ecuacin dada :Si x < - 2 => (- x - 2) + (- x + l ) = 5. x = - 3

- 2 < x < 1 => (x + 2) + (- x + 1) = 5 3 = 5 (Absurdo) x > l =$ (x + 2) + ( x - 1) = 5 c=> x = 2

Por lo tanto , trazamos en la recta real los puntos A(- 3) y B(2)

X - * , , , S------------ > x (-3) < A m C___________________ B____ ^ x(a) |3a + bj + bj ^a + 3bj (b)

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8 Captulo 1: Conceptos preliminares

C e j e m p l o 7 ) Trazado de un conjunto solucin con intervalos____________Caracterizar geomtricamente la posicin de los puntos , cu

yas coordenadas satisfacen las desigualdades dadas.

a) 2x ~ 1 < 1 b) x2 + x - 1 2 > 0 c) I x + 5 1 < 2x - 2Solucin. Aprovechando las propiedades de los nmeros reales para desigualda

des procedemos a resolver cada ejercicio

a) _ 1 < o l < ox - 2 x - 2

o ( x + 1 < O a x - 2 > O ) v ( x + 1 > 0 a x - 2 < 0 )

(x < - ! a x > 2 ) v (x > - 1 a x < 2 )o ( 0 ) v (- 1 < x < 2)

Por lo tanto, el conjunto solucin es el intervalo acotado [ -1 , 2 > , esto es , lospuntos que satisfacen la desigualdad dada se encuentran dentro del segmentolimitado por los puntos A (-l) y B (2), incluyendo A.

A B-o-( -1) (2)

b) Completando el cuadrado en la desigualdad dada se tiene :

x2+ x + l > 1 2 + l (x + i ) 2> ^4 4 V 21 4

De la propiedad : x2>a x S - V a x>Va ,se sigue que

V J . 4 5 Y 4 . 1 < 7 , 1 > 7(X + ^J 2 T ~ X + 2 - " 2 0 "2 "2

o x < - 4 x > 3Por tanto, la posicin de los puntos que satisfacen la desigualdad estn dados fuera del segmento limitado por los puntos A(-4) y B(3), incluyendo ambos.

X *-* o-------------------------- * i X(-4) (0) (3)

c) |x + 5| ; segmento acotado por los puntos A(-7) y B(-3)

X --------------------- o-------------------o-----*---- . o--------------------- * X (-7) (-3) (0)

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EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 9

CEJEMPLO 8 ) Hallar las distancias dirigida y no dirigida entre los puntos A(-2) y B(-7)

Solucin. Por el Teorema 1.2 : d(A , B) = x2 - x, = -7 - (-2) = -5y por la Definicin 1.1 : d(A , B) = | x, -x , I = |-5 | = 5 O

EJEMPLO 9 ) La distancia entre dos puntos es 4 , si la coordenada de uno delos puntos es (-1) t ha lla r el otro punto. In terpretar

geomtricamente el resultado.

Solucin. Supngase que A = (-1), d(A , B) = 4 y B(x2) es el punto buscado. Por L Definicin 1.1: d(A , B) = I x2 - x, I , entonces si

I x j - (-1) | =4 |x 2 + I I =4o x2 + 1 = 4 x2 + 1 = -4 x2 = 3 x2 = -5

Por lo tanto , hay dos soluciones : B(3) y B(-5)Interpretacin geomtrica.

(.---------- 4 ----------- + ----------- 4 ----------- ^

X -------------------- 1------ *------ .----- ----- *------ .------ ---------------------- * X (-5) (-1 ) (3)

( e j e m p l o 1 0 ) Hallar los puntos de triseccin y el punto medio del segmento dirigido cuyos extremos son los puntos A(-8) y B(10)

Solucin. Sean P(xt) y Q(x2) los puntos de triseccin y M(x) el punto medio del segmento dirigido AB.

A_________________ P________ M_______Q________________ B(-8) (x,) (x) (x2) ( 10)

AP 1 Si pg = y pb = 2A P , y por el Teorema 1.2 : xB - xp = 2(xp - xA)10 - x, = 2 [x, - (-8) ] , de donde : x, = - 2

O es el punto medio de PB => PQ = QB => \Q - xp = xB - \cz X,- (-2) = 10 - x 2 x, = 4

M es el punto medio de AB => AM = MB => x - (-8) = 10 - x x = 1En consecuencia , los puntos solucin son : P(-2) , Q(4) y M( 1)

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[ e j e m p l o 1 1 ) El segmento orientado de extremos A(-1) y B(3) se prolonga hasta el punto P de manera ^ ue 2AP = 3AB. Hallar la coorde

nada del punto Q(x) que divide al segmento PB en la razn 1/3

Solucin. Supngase que P(x,). Si 2AP = 3AB , entonces por el Teorema 1.2 :2[ x, - (-1) ] = 3[ 3 - (-1) ] , de donde x, = 5 ^ p(5)

S i g = 4 = 3PQ = QB .=* 3(x - 5) = 3 - X x = 9/2 Q(9/2)

[E J E M P L O 1 2 ) El punto P(1) divide al segmento AB en la razn 3/2. Si I ABI = 15 , hallar las coordenadas de A y B.

Solucin. Sean A(x,) y B(x,)AP 3 S i ^ - = y => 2AP = 3 PB c=> 2(1 -x,) = 3(x,- 1) (Teorema 1.2)

=> 2x, + 3x, = 5 (1)Dado que (AB I =15 => |x 2 - x , | =15 x2 - x, = 15 (2)Resolviendo simultneamente la ecuacin (1) con las ecuaciones (2), obtenemos :

Xj = -8 , x2 = 7 x, = 10 , x, = -5Por lo tanto , los extremos del segmento AB son :

A(-8) y B(7) A(10) y B(-5)

EJERCICIOS: Grupo 1

1. Sobre una recta se toma 4 puntos consecutivos A, B, C, y D. Si E y F son puntos medios de AB y CD, demostrar que EF = 1(AC + BD). /

2. Sobre una recta ( se toman los puntos consecutivos A, B, C. y D, de modo que

= . Si BC x CD = 28 y CD - BC = 7 , hallar el valor del segmento AC.E3C C/D3. Sobre una recta /' se dan los puntos consecutivos A, B, C, y D. Se toma M punto

medio de AB y N punto medio de CD; si AC = 18 y BD = 4, hallar el valor de MN.

4. Sobre un sistema coordenado lineal trazar los puntos

A(-3/2), B(V3 ) , C(-3/7) , D(V7) , E(- V2 ) 1 \

5. Trazar los puntos cuyas coordenadas satisfacen a las ecuaciones dadas,

a) 13x - 1 | = 2x + 5 J d) 2 - 5 1 - 3 1 = 5x - 8

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EJERCICIOS : Grupo I_____ (_ 11

b) I x2 - 4 I = 4 - 2x e) I x - 4 12 - 5 1 x - 4 I + 6 = Oc) I x + 2 1 + 1 x - 3 1 = i y f) 2 1 x + 1 ! - 3 1 x - 2 1 + I x 5 1 = x + 2

6. Si a < b , ubicar los nmeros dados en la recta real y dar la relacin de orden que cumplen . ( Gua: Ejemplo 6)

a + 7b , a + 3h , 7a + b , 3a + b , a + b 8 4 8 4 2 /

7. Caracterizar geomtricamente la posicin de los puntos cuyas coordenadas satisfacen a las siguientes desigualdades

a) 1 < JL lI < 2 d) U - .8 I - * + I * + 4 | < 35 x + 1 3 x + 2

b) 3x2 - 5x > 2 e) 12x - 3 |2 + 2 12x - 3 1 - 8 < 0

c) x(3x + 2) : (x + 2)2 f) I x2 - 5x I < 6

8. En la recta real se consideran cuatro puntos A, B, C, y D que cumplen

-) | A - B l - l A - C l = I B - C lLL) | B - A I - I B - D | = I A - D |

U ) IA - D | < I C - A |Ubicar los puntos en dicha recta.

9. En los ejercicios siguientes se dan la distancia entre dos puntos y uno de los puntos; se pide hallar, en cada caso, el otro punto. Interpretar geomtricamente el resultado. (Gua: Ejemplo 9) - A n/ i/ - > 1 :a) d(A , B) = 5 , B(-2) / c) d(A , B) = 3 , A(-5)b) d(A , B) = 8 , A(3) J d) d(A , B) = 6 , B(2 ) P ' ^ h ^

^------------------- .S ' ^ 10. En los ejercicios siguientes se dan los puntos A y B. Hallar los puntos P y Q que

trisecan al segmento AB. (Gua: Ejemplo 10)

a) A(2) , B(14) b) A(-2) , B(9)

14. En un sistema coordenado lineal, A(x,) y B(x2) son los puntos extremos dados de un segmento dirigido. Demostrar que la coordenada (x) de un punto P que

AP x. + r x,divide a AB en la razn dada r = -Q=- , es : x = - , r * -1

PB 1 + r2. El segmento que une los puntos A(-2) y B(4) se prolonga hasta un punto P(x) ,

de modo que AP = 3BP. Hallar las coordenada del punto P.12.

13. En un segmento rectilneo limitado por los puntos A(-4) y B(2) se prolonga hasta y el punto P(x), de modo que 5 BP = 2 AP. Hallar la coordenada del punto Q(x) que divide al segmento PB en la razn r = 3/2 (Gua: Ejemplo 11).

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12 Captulo /. Conceptos preliminares

14. Dados los puntos A(-1) , B{3) y C(6) . determinar el punto P(x) que divide al segmento AB en la misma razn en que divide al segmento BC.

15. Determinar la coordenada del punto M conociendo :

a) A (-1 ), B(3) y r ^ = - 2 b) A(1) B( '3) V r = g j* = ' 3

16. El punto P(-3) divide al segmento orientado AB en la razn 1/3. Hallar las coordenadas de A y B , sabiendo que I AB I = 8 . (Gua: Ejemplo 12).

17. Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento dividido en tres partes iguales por los puntos P(-17) y Q(-5)

18. Dados los punios A(5) y B (-3), determinar:

a) la coordenada del punto M simtrico al punto A con respecto al punto Bb) la coordenada del punto N simtnco al punto B con respecto al punto A

[Sugerencia: a) AM = 2BM , b) BN = 2ANJ.

lO F a EL S ISTEM A COORDENADO RECTANGULAR_____________

Consideremos dos rectas perpendiculares entre si, que se interceptan en el punto O y dividen al plano en cuatro cuadrantes. La recta horizontal OX se llama eje X o eje de las abscisas, y la recta vertical OY se llama eje Y o eje de las ordenadas Su interseccin O es el origen de coordenadas. El sentido positivo de la recta horizontal es hacia !a derecha y el de la vertical hacia arriba.

Cualquier punto P en el plano est identificado por un par ordenado ( x , y ) de nmeros reales asociados con l. El nmero x, llamado abscisa, representa la distancia dirigida desde el eje Y al punto, y el nmero y, llamado ordenada, ia distancia dirigida desde eje X al punto. Ambos nmeros constituyen las coordenadas dei punto P y se simboliza P(x , y) o P = (x , y). El modelo para su representacin se llama sistema coordenado rectangular o plano cartesiano y se le simboliza por Rr, esto es

R1 = { (x , y) x e y son nmeros reales }Los puntos A y B son, respectivamente, las proyecciones del punto P sobre

los ejes X e Y. Sobre el signo que asumen las abscisas y ordenadas en los cuatro cuadrantes del plano se indica en la Figura 1.8.

En seguida dos afirmaciones que nos permiten identificar cada punto del plano cartesiano con los elementos del mismo.

a) A cada par de nmeros reales (x , y) le corresponde uno y solamente un punto P del plano coordenado.

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Seccin 1.5: Distancia entre dos punios 13

FIGURA 1.8

b) Recprocamente a cada punto P del plano le corresponde uno y solamente un par de coordenadas (x , y).

La localizacin de un punto en el plano por medio de sus coordenadas se llama trazado del punto. Por ejemplo, para trazar el punto P(-4,5), sealamos primero el punto A sobre el eje X, cuatro unidades a la izquierda del eje Y, luego el punto B, sobre el eje Y, cinco unidades arnba del eje X. La interseccin de las paralelas a ambos ejes trazados de los puntos A y B localizan al punto P. (Figura 1.9)

I OBSERVACION 1.2Todos los puntos situados sobre una recta paralela al eje Y tienen la misma coordenada x , y todos los puntos sobre una recta paralela al eje X tienen la misma coordenada y. As, los puntos A (2 , l ), B(2 ,4), C(2 , -3) estn sobre una lnea vertical, y los puntos D(-3 , 3), E(0 , 3), F(5 , 3) estn sobre una lnea horizontal.

0 9 D ISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

TEOREMA 1.2 La frmula de la distancia

La distancia entre dos puntos cualesquiera del plano cartesiano A(Xj , y,) y B(x2 , y2) viene dada por la frmula

d(A , B) = V(x2 - x,)! + (y, - y ,)2 (4)

Demostracin. Sean P(x( , y) y Q (x ,, y) dos puntos cualesquiera sobre una lnea horizontal. Entonces, por la Definicin 1.1 :

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14 Captulo I: Conceptos preliminar'^

( P , Q ) = | x 2 -x, I (1)Del mismo modo,-si M (x , y r) y N(x , y,) son dos puntos cualesquiera sobre una lnea vertical, entonces

d(M . N) = I y2 - y , ! (2)Consideremos ahora A (x ,, y,) y B (x ,, y2) dos puntos cualesquiera en el plano (Figura 1.10). Si la recta que contiene a A y B no es paralela a ninguno de los ejescoordenados, dibujamos una recta que pase por A paralela al eje X y una recta que pase por B paralela al eje Y, si C es el punto de interseccin de estas paralelas, sus coordenadas, segn la Observacin 1.2, son (x2, y,).Luego, por el Teorema de Pitgoras :

I B 12 = IC 12 + I CB I :Pero, por (1) y (2):

I AC I = I x, - x, I , I CB | = I y2 - y, I c=> I B 12 = (x2- x ,)2 + (y2 - y ,)2 Por lo que :

d (A , B) = V(x2 - x ,)2 + (y2 - y ,)2

E J E M P L O S IL U S T R A T IV O S( EJEM PLO 1 ) La abscisa d un punto es -6 y su distancia al punto A(1 ,3) es

V74. Hallar la ordenada del punto.

Solucin. Sqa P(-6 , y) el punto cuya ordenada se desea conocer.Si d (A , P) = V74

Seccin 1.5: Distancia entre dos punios 15

En efecto, por la frmula de la distancia, tenemos :I C I = V(4 + 3)2 + (-4 - I0)2 = 7 V5 I B I = V(1 + 3)2+ (2 - 10)2 = 4 VJ |BC| = V(4 - l )2 + (-4 - 2)2 = 3

16 Capitulo I . Conceptos prp/,,, (

( EJEM PLO 5 J Demostrar que el^eodriltero cuyos vrtices son A(-6 -2 ) B(-2 , -1), C(-1 , 3), D(-5 , 2) es un rombo. Hallar su rea

Demostracin. Debemos probar que I AB I = I BC I = I CD | = i DA I y I AC ! ^ | Bf> En efecto, por el Teorema 1.3

) AB | = V(-2 + 6)2 + (-1 + 2)- = V7 I BC I = V(-l + 2)2 + (3 + l ) 2' = \rf7 ICD I = V(-5 + \y+ (2-3): = Vj7 ! DA I = V(-6 + 5)2 + (-2 - 2)2 = VT7 IC I = V(-l +6) +(3 + 2)J = 5 VI IbdI = V(-5 + 2)- + (2 + 1)' = 3 VI Por lo que :IB I = I BC I = I CD I = I DA I y I C I ^ BD

C E J E M P L O 6 ^ Dos de los vrtices de un tringulo equiltero son los puntos A(3 , 1) y B(-1 , -1). hallar las coordenadas del tercer vrtice.

Solucin. Sean (x , y) las coordenadas del tercer vrtice CPara que el tringulo sea equiltero es necesario que I AB I = I BC I = ICA |

I B I = V(-1 - 3)2 + (-1 - l )2 = 2 V5 De I B I = I BC I : 2 V5 = V(x + 1)2 + (y + 1)-

o x2 + y2 + 2x + 2y = 18 (1 )De | B I = i C | : 2 V5 = V(x - 3)2 + (y - l )2

c=> x2 + y2 - 6x - 2y ) = 10 (2 )Restando (1) - (2) se obtiene

2x + y = 2 => y = 2 - 2 x (3)Como se sabe, (3) representa la mediatriz del segmento AB. Sustituyendo (3) en (1) se tiene : x2 + (2 -2x)2 + 2x + 2(2 - 2x) = 18 x2 - 2x - 2 = 0 de donde : x, = 1 - VI x, = 1 + VIValores que sustituidas en (3) dan :

y, = 2 VI y, = -2 VI Hay , por lo tanto, dos soluciones : C(1 - VI , 2 VI) C(l + VI , -2 VI)

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Seccin 1.5: Distancia entre dos puntos 17

f EJEMPLO 7 ) Los extremos de la cuerda de una circunferencia, cuyo radio es 3^5, son A(10 , -8) y B(7 , 1). Determinar las coordenadas

del centro de sta.

Solucin. Sea C(x , y) el centro de la circunferencia d(A , C) = d(B , C ), por ser radios

=> \/(x - 10)2 + (y + 8)2 = V(x - 7)2 + (y - l )2,de donde x = 3y + 19 (1)Dado que : IBCI = 3^5 => V(x - 7)2 + (y - l )2 = 3^5

*=> x2 + y2 - 14x - 2y + 5 = 0 (2)Resolviendo, por simultneas (1) y (2), obtenemos

C(13 , -2) C(4 , -5)

( EJEMPLO 8 J Determinar el punto Q simtrico al punto P(-1 , 6) con respecto a la recta que pasa por los puntos A(-5 , -1) y B(3 , 3)

Solucin. Como se sabe la recta que pasa por los puntos A y B es mediatriz del segmento de extremos P y Q, pues ambos estn a la misma distancia de

dicha recta. En consecuencia I AP| = IAQ | => V(-l + 5)2 + (6 + 1 )2 = V(x + 5Y + (y + l )2

x2 + y2 + 1 Ox + 2y = 39 (1)I BPI = I BQ | V(-l - 3)2 + (6 - 3)2 = V(x - 3)2 + (y - 3)2

.=> x2 + y2 - 6x - 6y = 7 (2)Restando (1) - (2 )obtenemos2x + y = 3 ^

\CL

V__

___

\V ^ R ( 3 ,3)

^ V s . - T T ~V

' " " T I " A - ~ OQ(x.y)

, VFIGURA 1.15

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18 Capitulo 1: Conceptos preliminares

Si a es el ngulo de inclinacin del segment AB con respecto al eje pos itiv t'bx . y d = d(A , B) , las frmulas

X = d Cos a Y = d Sena (7) expresan las proyecciones de un segmento arbitrario sobre los ejes coordenados mediante su longitud y su ngulo de inclinacin o ngulo polar a. De las ecuaciones (7) se deducen las frmulas

d = dX2 + Y3 Cosa = X Sena =

FIGURA 1.16 Y

VX2 + Y2(8)

dX2 + Y2que expresan la longitud y el ngulo polar del segmento mediante sus proyecciones sobre los ejes coordenados.

( e j e m p l o 9 ) Dadas las proyecciones del segmento AB sobre los ejes coordenados X = 5 , Y = -4 ; hallar las coordenadas de su extremo,

sabiendo que su origen est en el punto A(-2 , 3)

Solucin. Haciendo uso de las ecuaciones (5) y (6) tenemos :X = x -x , => 5 = x, - (-2) =* x , = 3

j- B(3 , -1)Y = y - y c* -4 = y2 -(3) =* y = - l

( e j e m p l o 1 0 ) La longitud del segmento MN es igual a 13; su origen est en el punto M(3 , -2), la proyeccin sobre el eje de abscisas es igual

a -12. Hallar las coordenadas del extremo de este segmento, si forma con el eje de ordenadas : a) un ngulo agudo , b) un ngulo obtuso.

Solucin. Supngase que N = (x2 - y2)Si X = -12 => x2 - x, = -12

y como x, = 3 => x, = 3 - 12 = -9 | MN 1 = 13 => V(-9 - 3)2 + (y2 + 2)2 = 13 , de donde :(y, + 2)2 = 25 y2 + 2 = 5 y2 + 2 = -5

o y2 = 3 y2 = -7 Luego, los puntos buscados son :

a) N(-9 , 3) , b) N(-9 , -7)

fNc

Y j "Ni

N

EJERCICIOS : Grupo 2 19

EJERCICIOS: Grupo 2

1. Hallar la distancia que separa a los puntos A y B. escribir el resultado en la forma ms simplificada posible.

a) A(m , n ) , B (m-^ 1^ , n + ^ ^ ) b) A(Sena , C osa ), B(- Sen(3, CosP)

2 . La ordenada de un punto es 8 y su distancia al punto B(5 , -2 ) es 2V4T; liailar la abscisa del punto. (Gua: Ejemplo 1). v = ^ /

3. Determinar el valor de b si la distancia entre los puntos A(7 , 1 ) y B(3 , b) es 5.

4. Usando la frmula de la distancia, demostrar que los puntos dados son colineales (Gua: Ejemplo 2). a) A(-2 ,-5) , B(1 ,-1) , C(4 , 3)

5. Determinar la naturaleza de cada uno de los siguientes tringulos cuyos vrtices son los puntos dados. (Gua: Ejemplo 4)a) A(-5 , 3 ), B(3 , 2 ), C(-1 ,-4) c) A(3 ,1) ,B( -1 , -1 ) , C ( 1 - , 2 V3)b) A(2 , -1) , B(6 , 7) , C(-4 , -3) d) A(6 , 5 ), B(3 , 7 ), C(2 , -1)

6. Hallar las coordenadas del punto P que equidista de los tres puntos dados (Gua: Ejemplo 3). a) A(-11 , 3) , B(6 , 10) , C(1 , 11)

b) R(2 , 3 ), S(4 , -1), T(5 , 2)

7. Demostrar que el cuadriltero cuyos vrtices son A(-8 , -3), B(-2 , 6) , C(8 , 5) y D(2 , -4) es un paralelogramo. (Gua: Ejemplo 5. Lados iguales dos a dos y diagonales de diferente longitud).

8 . Demostrar que el cuadriltero con vrtices en A(-2 , -1), B(5 , -4), C(-1 , -18) y D(-8 , -15) es un rectngulo. (Gua: Ejemplo 5. Lados iguales dos a dos y diagonales de igual longitud).

9. El lado desigual de un tringulo issceles tiene por extremos los puntos A(2 , -1) y B(-1 , 2) y los lados iguales miden cada uno unidades, hallar el vrtice opuesto al lado desigual. (Gua: Ejemplo 6).

10. Hallar un punto sobre la grfica de SB = {(x , y) | x - 3y - 9 = 0} que equidista de los puntos A(3 , 3) y B(8 , -2)

11. Los extremos de la cuerda de una circunferencia, cuyo radio es 5, son A(2 , 6) y B(1 , -1). Hallar las coordenadas del centro de la circunferencia.

12. Dos vrtices de un tringulo equiltero son los puntos A(1 , 0) y B(-1 , 2^3). Hallar las coordenadas del tercer vrtice. (Gua: Ejemplo 6).

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20 Capitulo I: Conceptos preliminares

13. Dados tres vrtices A(3 , -7) , B(5 , -7) , C(-2 , 5) de un paralelogramo ABCD, cuyo cuarto vrtice D es opuesto a B, determinar las longitudes de las diagonales de este paralelogramo.

14. El lado de un rombo es igual a 5V10 y dos de sus vrtices opuestos son los puntos P(4 , 9) y Q(-2 , 1) Calcular el rea de este rombo.

15. Los puntos A(-\3 . 1 ) . B(0 , 2) y C(-2\;3 , 2) son vrtices de un tringulo. Calcular su ngulo externo con el vrtice en el punto A (Sug. Calcular las longitudes de los lados del tringulo y luego aplicar la ley de los cosenos).

16. La longitud del segmento MN es igual a 17, su extremo est en el punto N(-7 , 3) y la proyeccin sobre el eje de ordenadas es igual a 15. Hallar las coordenadas del origen de este segmento, si se sabe que forma con el eje de abscisas ,a) un ngulo agudo , b) un ngulo obtuso. (Gua: Ejemplo 9).

17. Hallar en el eje X un punto M, cuya distancia hasta el punto N(2 , -3) es igual a 5.

18. Dados los puntos M(2 , 2) y N(5 , -2), hallar en el eje de abscisas un punto P de modo que el ngulo MPN sea recto.

19. Por el punto M(1 , -2) se ha trazado una circunferencia de radio 5 , tangente al eje X. Determinar el centro de la misma.

20. Determinar las coordenadas del punto P, simtrico al punto Q(1 . 2) con respecto a la recta que pasa por los puntos A(-1 , 0) y B(-1 , -2). (Gua: Ejemplo 8).

21. Los vrtices de un tringulo son : A(-3 . 6) , B(9 , -10) y C(-5 , 4). Hallar el centro C y el radio r de la circunferencia circunscrita en l. (Gua: Ejemplo 3).

D IV IS IO N DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA

Sean A ( x , y,) y B (x . , y,) dos puntos del plano que determinan el segmento dirigido AB. Trataremos de hallar las coordenadas x e y de un punto P que est contenido en l o en su prolongacin, de modo que divida a ste es una razn dada, esto es :

M = r (1)Para determinar x , por los puntos A , P y B tracemos perpendiculares al eje X , tal como se indica en la Figura 1.18. Llamemos a los pies de estas perpendiculares C , Q y D respectivamente.

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Seccin 1.6: Divisin de un segmento en una razn dada 21

Por la geometra elemental sabemos que tres rectas paralelas determinan sobre dos secantes segmentos proporcionales. Esto es

AP CQ PB QD

Dado que CQ = x - \t y QD = x2 - x , entoncesAP _ x - X, mPB x, - x

Luego, de (1 ) y (2) se sigue que :x - xl _ x, + r x2 r * -1Xj- x i + r

De manera semejante, podemos comprobar que

y . + r y2+ r r * - l

Hemos demostrado pues el siguiente teorema.

FIGURA 1.18

TEOREMA 1.4 Si A ( x , , y,) y B (x ,, y2) son los extremos de un segmento diri- rigido AB , las coordenadas de un punto P(x , y) que divide a

este segmento en la razn dada , r = , son :

x =x, + r x,

1 + r y 1 + ra) Si r > 0 , el punto P es interno al segmento dirigido ABb) Si r < 0 , el punto P es externo al segmento dirigido AB

_ y, + r y2 t * - l (5)

Para el caso particular en que r = ) tenemos el siguiente corolario.COROLARIO Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido cuyos

extremos son A(x, , y,) y B(x2 , y2) estn dadas por :

x = i ( x , + x2) , y = I ( y , + y2) a (6)

E JE M P L O S IL U S T R A T IV O S - 1( EJEM PLO 1 ) El segmento que une A(-2 , -1) con B(2 ,2) se prolonga hasta

C. Sabiendo que BC = 3AB , hallar las coordenadas de C.

Solucin. Resolveremos el problema por dos mtodos.

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22 Captulo!: Conceptos preliminares

Mtodo 1. Consiste en hacer uso de las"Guaciones (5) del Teorema 1.4

AComo el punto C(x , y) est en la prolongacin de AB , entonces r = - 4/3 , luego :

_ x, + r x2 -2 + (-4/3)(2) _ ~ T T T ~ 1-4/3 " ,4

y = Y, + r Y, _ -1 +(-4/3)(2) } C(14 , 11)1 + r 1-4/3

Mtodo 2. Consiste en escribir directamente la razn dada y hacer uso del Teorema 1 .2 , esto es , s i :

BC = 3 ^ xc - xB _ yc - yB _ 3 _ x - 2 _ y - 2 _AB xB- x A yB- y A 2 - (-2) " 2 - (-1)de donde : x = 14 , y = 1 , por lo que C( 14 , 1 1 ) IZ1Es evidente que este mtodo es mucho ms prctico que el anterior, pues aqu no es necesario conocer, de antemano, el signo de la razn y recordar las frmulas del Teorema 1.4.

( EJEM PLO 2 ) Hallar los puntos de triseccin del segmento cuyos extremos son los puntos A(-5 , 3) y B(4 , 21).

Solucin. Sean P y Q los puntos de triseccin del segmento AB. Entonces s i :ap _ i . . Xi> - xA yp - y a i .PB ~ 2 xB - xp yB - y 2 j 1 * r 1

x - (-5) _ y - 3 1 A p Q B^ 4 - x 21 - y 2 - 'i ? ) \

de donde : x = -2 , y = 9 , por lo que P(-2 , 9)Q es punto medio de PB , entonces, segn las ecuaciones (6), tenemos :

x = | ( -2 + 4) = 1 , y = 1 (9 + 21)= 15 . Porto tanto : Q (1 , 15)

\Jv'VJSKi

( EJEM PLO 3 ) Si A es punto medio del segmento cuyos extremos son Q (-5 ,2) y R(1 , 6) y B es el punto que est a una tercera parte de la

distancia que separa a S(-2 , 6) de T(1 , 9), hallar la d(A , B). >.

Solucin. Si A es punto medio de QR => a ( A(-2 , 4)Sean (x , y) las coordenadas de B.

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s ^/3 _ ^ - Xs _ v y s _ tB T 2/3 " 2 ~ yT - y - 2 |*--------1/3 ------- +------------------- 2/3------------------i

o----------------o oX - (-2) _ y -6 _ J_ S B T

1 - x 9 - y 2

de donde obtenemos : x = -1 , y = 7 B (-l , 7)

d (A , B) = V (-l + 2)2 + (7 - 4)2 = VT

( EJEMPLO 4 ) Sean los puntos A(-1 , -2) y B(0 , 0 ), y sea r la razn en que elpunto P(a , b) de la grfica de SU : 2y = 4 + x , divide al segmen

to AB . Hallar el valor de r y las coordenadas de P.

Solucin. Si P(a , b) e S => 2b = 4 + a => b = - i (4 + a) (1)AP Xp - xA _ Vp - yAPB xB - x,, y , - yp

V = b j ^ ) , de donde : b = 2a (2)0 = y - = > de donde : x = 1 , y = 14/5 >=> P(1 , 14/5)

M es punto medio del segmento AB => M(2 , 3)

d(P , M) =V(2- l )2 + (3 - 14/5)2 _ V26 5

( EJEMPLO 6 ) El segmento de extremos A(-2 , 4) y B(1 , 0) es dividido por los puntos P y Q en las razones -3/2 y -2/3 respectivamente. Hallar

la d (P , Q).

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24 Captulo I: Concp!(,s preliminares

Solucin. Como las razones son negativas, los puntos P y Q se encuentran en la prolongacin del segment AB. Luego , si P = (x , y ) , y

AP _ _3 xP- x A _ yP- yA _ 3.PB ' 2 x - xp y - y 2

-oX - (2) _ y - (-4) 3 Q A B P

^ 1 - x 0 - y ' 2

de donde : x = 7 , y = 8 => P(7 , 8)

^ x, - (-2) y , -(-4) 21 - x, 0 - y , 3

de donde : x, = -8 , y, = - 12 => Q = (-8 , -12)

d(P , Q) = V(7 + 8)- + (8 + 12)2 = 25

[E JE M P L O 7 J Hallar las coordenadas de los vrtices de un tringulo sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados

son M(-2, 1) , N (5 , 2 ) y P(2 ,-3).

Solucin. Sean A (x , , y , ) , B(x2, y2) y C (x ,, y j las coordenadas de los vrtices del tringulo. Si M , N y P son puntos medios de la lados AB , BC y AC

respectivamente, tenemos: r ,r 10 o.x, + x3 = 2(5) = 10 / ' V V M (2 )

. - A - r v j. v _ i /m - axi + x, = 2(2) = 4 (3)Sumando : 2(x, + x2 + x3) = 10 = x, + x, + x, = 5 (4)Resolviendo (4) con (1), (2) y (3) obtenemos :

x, = -5 , x2 = 1 , x, = 9 Anlogamente para las ordenadas tenemos :

y , + y 2 = 2(1) = 2y 2 + y, = 2(2 )= 4 y, + y, = 2(-3) = -6

Sumando : 2(y, + y2 + y,) = 0 => y, + y, + y, = 0 Resolviendo esta ltima ecuacin con las tres primeras resulta : y, = -4 , y 2 = 6 , y, = -2Por lo que, los vrtices son :

A(-5 , -4) , B(1 , 6) y C(9 , -2) O

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(/E JEM PLO 8 ) En el tringulo de vrtices A(x, , y,) , B(x2 , y2) y C(x3 , y3) demostrar que las coordenadas del baricentro G(x , y) son :x = ^ (x , + x2 + x3) , y 1 (y, + y 2 + y 33 \J 1 1 . '2 ' > 3 /

Demostracin. En efecto, por la geometra elemental, se sabe que las medianas de un tringulo se cortan en un punto, llamado baricentro, qui

est a una distancia 2/3 del vrtice y a 1/3 de la base. (Figura 1.20)

Luego :

r - AC = =2GD 1/3X G ' X A 1 0 > 1

X D X G

1 1Cl

1

X - X, y-y2 + y3

= 2-y

' ' f o-V ^ c i

2 2 de donde obtenemos:

x = { (x , + x2 + x3) , y = -^y, + y, + y,)V fix r-S

( EJEMPLO 9 ) Si G(2 , 3) es el baricentro de un tringulo ABC y G,(4 , 6) , G2(3 , -1) son los baricentro de dos tringulos formados unien

do G con los vrtices A, B y C; determinar las coordenadas de estos vrtices.

Solucin. Sean A(x , , y , ) , B(x2 , y2) y C(x3 , y3) las coordenadas de los vrtices del tringulo

Segn las frmulas obtenidas en el ejemplo anterior: x, + x2 + x, = 3(2) = 6 (1)yi + y2 + y3 = 3(3) = 9 (2)

En el AAGC : 4 = y(x , + 2 + y, + y , = 15 (4)

En el AGBC : 3 = - j(x 2 + 2 + x,) => x, + x3 = 7 (5)

-1 = j ( y 2 + 3 + y,) = y2 + y, = -6 (6) FIGURA 1.21Resolviendo (3) y (5) con (1) se tiene : x, = -1 , x2 = -4 , x, = 11y de (4) y (6) con (2) se obtiene : y t = 15 , y2 = -6 , y3 = 0

A(-l , 15) , B(-4 , -6) y C( l l ,0)

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(EJEM PLO 10) Sea da el tringulo A( 1 ,1), B( 1 , 3) y C(-2 , -3). Hallar la longitud de los lados, el centro de gravedad y la longitud de la bisectriz

del ngulo A.

Solucin, a) Longitud de los ladosIB I = Vfl - 1): + (3 - l ) ! = 1 I BC I = \ r(-1 - l ) + (-3 - 3)2 = 3\'5 ICI = V(1 + 2)3 + (1 +})> = 5

b) Coordenadas del baricentro : G(x , y)Segn las frmulas obtenidas en el Ej. 8 ;

x = I ( x 1 + x2+ x , ) = | ( 1 + 1 - 2 ) = 0

y = ^(y, + y2 + y , ) = + 3 - 3 ) = i

Por lo que : G = (0 , 1/3)RP ARc) Por el teorema de la bisectriz : crL LA

FIGURA 1.22

Luego , xp - xR y p -y By c - y.

x - 1-2 - x

BP _ PC "

y - 3-3 -7

de donde obtenemos : x = 1/7 , y = 9/7 P = (1/7, 9/7)

En consecuencia : IAPI = V(l/7 - l )2 + (9/7 - l )2 = ^VTo

(EJEMPLO 1 l ) Sea el tringulo de vrtices A(6 , 7), B(2 ,1 ) y C(-1 ,3). Por el punto D en que la bisectriz del ngulo externo del vrtice B

interseca a la prolongacin del lado AC, se traza una paralela al lado BC; hallar las coordenadas del punto en que dicha paralela interseca a la prolongacin del lado B.

Solucin. I AB I = \'(2 - 6): + (1 - 7)J = 2\T3 I BC I = V (-1 -2)- + (3- 1 ): = V

Por el Teorema de la bisectriz :

D _ AB ^ AD _DC BC DC

Como D es exterior al segmento AC => r = -2 Luego :

x - 6 " A - O -N.=> D = (-8S } -1)

FIGURA 1.23

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Seccin 1.6: Divisin de un segmento en uno razn dada 27

Se sabe por geometra elemental que una paralela a uno de los lados de un tringulo, determina sobre los otros dos, segmentos proporcionales, esto es,

A - Is A x = - 2 - 2Si BC II PD ^ ^ S ~8+ 1 X' l

CD BP \ -3 - 7 _ 1 -7-1-3 y - I

P = (-2 , -5)

=> y = - 5 -1-3 y - 1 1

( e j e m p l o 1 2 ) Se tiene un tringulo ABC. El punto P(19/3,11/3) divide al segmento AB en la relacin AP : PB = 1 : 2. El punto A(13/3 , 4/31

divide al segmento BC en la relacin BQ : QC = 1 : 2. El punto R(13/3 , 8) divide al segmento AC en la relacin AR : RC = 2 : 1. Hallar las coordenadas de los vrtices del tringulo.

Solucin. Sean A(x , , y , ) , B(x2, y;) y C(x3, y,) las coordenadas de los vrtices del tringulo.

19/3 - x, = _1c AP _ 1 _ /Sl PB ~ 2 ~ 1 , , , ,

= i => 2y , + y 2= l l (2 )

x, - 19 /3 = 2 ^ 2x. + x< = 19

J2 2

13T M = T = 2xr + x 3= 13

4/3 - y2 _ 1

= 2 o j X> ' 13' 3RC {13/3- X , = 2 cr x, + 2x =13 (5)

^ = 2


[EJEMPLO 13) Los vrtices de un cuadriltero son A(-4 , 6), B(-2 , -1), C(8 , 0)y D(6 ,11). Hallar la razn r = BP : PD en que la diagonal AC

divide a BD, donde P es el punto de interseccin de las diagonales.R P A PSolucin. Sean r = y r, = ^

Haciendo uso de las frmulas (5) del Teorema .4 se tiene :

_ -2 + r (6) -4 + r, (8)1 + r ~ 1 + r,

de donde : r, 5r+ 1r + 5

y =_ -1 + r ( I I ) _ 6 + r, (0)1 + r 1 + r.

de donde : r, = 5r-1-- 1 1 - I Ir

De (1) y (2) se sigue que : 5r + 1 r + 55r - 7

1 - 1 Ir=> 5r: + 2 r - 3 = 0 o r = 3/5 r = -l

Dado que r * -1 , entonces r = 3/5

[EJEM PLO 1 4 ) En el tringulo ABC de vrtices A(-1 , 6), B(-3, -4) y C(5 , 0) cada lado est dividido en tres partes iguales: el lado AB por los

puntos D y E , el lado BC por los puntos F y G , el lado CA por los puntos H e 1. Hallar los puntos L , M y N intersecciones de los segmentos BI y CD , AF y CE , AG y BH respectivamente.

Solucin. Hallemos los puntos de triseccin de cada lado del tringulo

Lado A B : AD _ 1 DB 2. => x + 1

-3 - x_ y -6 _ 1

-4 - y 20 x = - 5/3 , y = 8/3 :D = (-5/3 , 8/3)

fc= (--5/3 - 23 8/3 -

1 2 w - - !>

Lado AC : AI _ 1 1C 2 - - x' *y - 6 _ 10 - y 2

x = 1 , y = 4 C=> 1 = (1 ,4)

H - ( 1 + 5 2 . 4 : ) = (3 ,2)

Lado BC : BF _ 1FC 2

, x + 3 _ 5 - x

y + 4 _ 10 - y 2

x = -1/3 , y = -8/3 ^ F = (-1/3 , -8/3)

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Seccin 1.6: Divisin de un segmento en una razn dada

La interseccin L(x , y) de las medianas BI y CD de los tringulos ABH y ACT respectivamente, determina sobre estos, segmentos proporcionales, esto es :

x + 3 _ x - 5 x = 0BLLI l d \ y 4 = 2 J v = 2 4 - y 8/3 - y JPara el punto M(x , y) y las medianas AF y EC, tenemos

x + I _ x -5 ^ x = _ 1/2AM CM MF ME

--------------------- W A " 1 / -n- 1/3' X -7/3 X \ M = (-1/2 .-1/2)= o y = . 1/2 J y = - 1/2 -8/3 - y -2/3 - y J

y para el punto N(x , y) y las medianas BH y AG :

ANNG

x + ! _ x + 3 ^ x = y2 = - M N ^ / 7/3' x 3 ' x \ N (372 ,7/2)* NH \ _ ^ 6 _ = y 4 0 v = 1/2 / / V . J r .

-4/3 - y 2 - y ^ y 1/2

(EJEMPLO 15) En una lmina homognea que tiene la forma de un cuadrado, de lado igual a 12, se ha hecho un corte cuadrangular (Figura

1.26), las rectas del corte pasan por el centro del cuadrado; los ejes coordena*dos estn dirigidos por los lados de la lmina. Determinar el centro de gravedad de esta, lmina.

Solucin. El centro de gravedad de una lmina homognea es el punto de equilibrio de dicha placa. Como se sabe, la posicin del centro de gravedad

de una lmina triangular es el baricentro (interseccin de las medianas), el de una lmina rectangular es su centro geomtrico (interseccin de sus diagonales), el de un polgono regular y lmina circular es su centro geomtrico, etc. Entonces para

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30 Captulo /. Conceptos prelii uares

hallar el centro de gravedad de una lmina homognea cualquiera, se divide sta en n sublminas homogneas, todas de figuras geomtricas cuyos centros de gravedad conocemos. Luego, si A, , A2 , A , An son respectivamente, las reas decada sublmina y G ^ x , , y , ) , G,(x2, y2) , G,(x.,, y , ) ,. -Gn(xn , y j son sus respectivos centros de gravedad, entonces las coordenadas del centro de gravedad G de la lmina dada, estn dadas p o r :

I x A^ i c

nX a .

y G =X y , A t

= 1_____nX a ,

)

Por las condiciones del problema dividimos la lmina dada en tres sublminas cuadradas (Figura 1.27) cuyos centros de gravedad son G,(3 , 9) , G,(3 , 3) y G,(9 , 3). Ahora, en concordancia con las frmulas (7) podemos escribir :

x,A, + x2A2 + x.A,A, + A2 y c =

y,A, + y2A2 + y,A,A, A, + A2 + A j

Pero como A, = A2 = = A (rea del cuadrado del lado 6) , entonces :

=A(x, + x2 + X3) i

3A = 3 (XI + X2 + X,) r o - 3A - 3 Hemos obtenido as las coordenadas del baricentro del tringulo de vrtices G. y G, (Figura 1.27). Por lo tanto :

xG= j ( 3 + 3 + 9 )= 5 , yc = I ( 9 + 3 + 3) = 5 ^ G(5 , 5)

A(y, + y2 + y,) i . ,; = - T T L = T (y. + *2 + y>)

EJERCICIOS: Grupo 3

1. Hallar las coordenadas de un punto P(x , y) que divide al segmento que determinan A y B en la relacin r = AP : PBa) A(-2 , 1 ) , B(3 , -4), r = - 8/3 b) A(-5 , 2 ), B(1 , 4 ), r = - 5/3

2. Dos vrtices de un tringulo son A(2 , -3) y B(-5 , 1). El tercer vrtice C est sobre el eje Y y el punto de interseccin de las medianas sobre el eje X. Hallar el punto C.

3. En los ejercicios siguientes, calcular los puntos de triseccin del segmento cuyos extremos son S y T. (Gua: Ejemplo 2)a) S(2 , 5 ), T(-10 , -1) b) S(-5 , 3 ) , T(4 , 21)

4. Sean m y n enteros positivos, demostrar que las coordenadas del punto P(x , y) que divide al segmento de recta P,P2 en la razn m/n , son :

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EJERCICIOS Grupo.! 31

x = nx' + mx* y = ny + my?m + n y m + n

5. El segmento que une A(-1 , 2) con B(2 , -5) se prolonga hasta C(x , y), sabiendo que AC = 3 AB , hallar las coordenadas de C: (Guia: Ejemplo 1).

6. El punto A est a 2/3 de distancia de P(1 , 10) a Q(-8 , 4) y B est en el punto medio del segmento que une R(0 , -7) con T(6 , -11). Hallar la cl(A , B) (Gua: Ejemplo 5).

7. Los puntos medios de los lados de un tringulo son P(2 , 5), Q(4 , 2) y R(1 , 1). Hallar las coordenadas de los tres vrtices. (Gua: Ejemplo 7).

8 . Un tringulo tiene por vrtices A(-1 , 3), B(3 , 5) y C(5 , -1). Por el punto E(15, 4, 11/4) del lado BC se traza una paralela a AC que corta al lado AB en el punto D. Hallar las coordenadas de D.

9. Dados los puntos P(2 , 1) y Q(5 , 3) tales que PB = 2AP , 3AQ = 4AB ; hallar las coordenadas de los puntos A y B.

10. Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es dividido en tres partes iguales por los puntos P(2 , 2) y Q(1 , 5).

11. Si G(3 , 4) es el baricentro de un tringulo ABC y G,(4/3 , 2 ), G2(3 ,19/3) son losbaricentros de los tringulos formados uniendo G con los vrtices A , B y C; determinar las coordenadas de estos vrtices. (Gua: Ejemplo 9).

12. El punto P(3, 6) es la interseccin de los segmentos OA y BC . Si P divide a ambos segmentos en la misma relacin y 0 (0 , 0), A(5 , 1 0 ) , B(5 , 2 ) , hallar las coordenadas del extremo C.

13. Dado el tringulo de vrtices A(1 , 3), B(-2 , -3), C(3 , -1), hallar la longitud de la bisectriz trazada desde el vrtice A.

14. Los vrtices de un tringulo son A(2 , -5), B(1 , -2) y C(4 , 7); hallar el punto de interseccin del lado AC con la bisectriz del ngulo interno el vrtice B. (Gua: Ejemplo 10).

15. Los vrtices de un tringulo son A(3 , -5) , B(-3 , 3) y C(-1 , -2). Determinar la longitud de la bisectriz del ngulo interno del vrtice A.

16. Los vrtices de un tringulo son A(-1 , -1), B(3 , 5) y C(-4 ,1). Hallar el punto de interseccin de la bisectriz del ngulo externo del vrtice A con la prolongacin del lado BC.

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32 Captulo 1: Conceptos preliminaresX

17. Los vrtices de un tringulo son A(3 , ->), B(1 , -3) y C(2 , -2). Hallar la longitud de la bisectriz del ngulo externo del vrtice B.

18. Hallar el punto de interseccin de la bisectriz del ngulo interior en B con el lado AC , del tringulo de vrtices A(-2 , 2), B(2 , 5) y C(11 , -7). (Gua: Ejemplo 10)

19. Sean A(2 , 1), B(5 , 5) y C(8 , 1) los vrtices de un tringulo. Si P divide a BC en la razn r = 2 y Q divide a AC en la misma razn; mostrar que R, interseccin de AP y BQ, divide a estos segmentos en la razn s = 3.

20. Los vrtices de un cuadriltero son A(-3 , 12), B(3 , -4), C(5 , -4) y D(5 , 8). Hallar la razn r = BP : PD en que la diagonal AC divide a BD, donde P es el punto de interseccin de las diagonales. (Gua: Ejemplo 13).

21. En el tringulo ABC de vrtices A(2 , 9), B(-5 , -3) y C(5 , -1), cada lado est dividido en tres partes iguales: El lado AB por los puntos D y E, el lado BC por los puntos F y G, el lado CA por los puntos H e I. Hallar los puntos L , M y N intersecciones de los segmentos Bl y CD , AF y CE , AG y BH respectivamente. (Gua: Ejemplo 14).

22. En una lmina homognea que tiene la forma de un rectngulo, con los lados iguales a a y b, se ha hecho un corte rectangular (Figura 1.28); las rectas del corte pasan por el centro, los ejes coordenados estn dirigidos por los lados de la lmina. Determinar el centro de gravedad de esta lmina. (Gua: Ejemplo 15).

23. De una lmina homognea que tiene la forma de un cuadrado de lado 2a, se ha recortado un tringulo (Figura 1.29); la lnea de crte une los puntos medios de los lados adyacentes y los ejes coordenados estn dirigidos por los lados de la lmina. Determinar el centro de gravedad de la misma. (Gua: Ejemplo 15).

FIGURA 1.28 FIGURA 1.29

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Seccin 1.7: Pendientes de una recta 33

K Q PENDIENTES DE UNA RECTA______________________________

Dada una recta 31 en el plano R2, indicaremos su direccin por el ngulo que forma con el eje X; es decir, por la inclinacin de una recta 3J se entiende el ngulo a que hace 31 con la parte positiva del eje X, medido en sentido antihorario, desd-' el eje X al encuentro de 31 (Figura 1.30)

DEFINICION 1.2 Pendiente de una recta___________________________________La pendiente de una recta no vertical es la tangente de su

ngulo de inclinacin, se denota por m , y se escribem = Tga

como un enunciado simblico.V__________________________________ JUna recta vertical no tiene pendiente, ya que la tangente de 90 no existe. Todas las dems rectas tienen pendiente. Cuando al ngulo de inclinacin es agudo (Figura 1.30a), es decir, si 0 < a < 90, la pendiente m es positiva. Cuando el ngulo de inclinacin es obtuso (Figura 1.30b), es decir, si 90 < a < 180, la pendiente es negativa.Consideremos ahora una recta no vertical y seleccionemos sobre ella puntos distintos A(x, , y,) y B(Xj , y2) como en la Figura 1.31. Al movernos de A hasta B, el cambio de altura es y, - y ( (elevacin) , mientras que el cambio horizontal ha sido x, - x, (desplazamiento o avance). El cociente (y, - y () / (x, - x,) es una medida de la

FIGURA 1.30

La inclinacin de una recta paralela o coincidente con el eje X se define como cero. Para cualquier otra recta : 0 < a < 180La direccin de una recta se expresa convenientemente por la tangente de su ngulo de inclinacin, por lo que establecemos la siguiente definicin.

a) 0 a < 90 b) 90 < a S 180

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inclinacin de la recta, de modo que

m - elevacin _ y ~ y desplazamiento x2 - x,

TEOREMA 1.5 La pendiente m, de la recta no vertical que pasa por los puntos A ( x , , y,) y B(x2 , y2) es :

m :

Demostracin. En efecto, sean los puntos A , B y Q la interseccin de una horizontal por A con una vertical por B, cuyas coordenadas se muestran

en la Figura 1.31.En a), la inclinacin de la recta es el ngulo a, y como a = 9, entonces, Tga = Tg0 , de modo q u e :

= o)AQ * 2 -x,

La inclinacin de la recta en la Figura 1.31b es el ngulo obtuso a, y como a y 9 son suplementarios, se deduce que :

Tga = - Tg0 =

= |2)X, -X2 X j-X ,

Por tanto, de (1) y (2) vemos que la pendiente de una recta que pasa por A y B es :y2-y.m =

a) Recta con m > 0 b) Recta con m < 0

y j

y.) Q(*i y.)

FIGURA 1.31

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Seccin 1.8. Recias paralelas y perpendiculares 35

C T 1 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

(TEOREMA 1.6 Pendientes de rectas paralelas

a

y Dos rectas no verticales son paralelas si y slo si, sus pendientes son iguales. Esto es :

? 11 .2?


Demostracin. Si las rectas JZ? y S2, son perpendiculares, entonces a, y a , difieren en 90s. En efecto, por el punto de interseccin de 3/ y 5?, dibuja

mos una recta horizontal como se muestra en la Figura 1.33, en donde se observaque a2 = a t + 90. Por tanto, si

1 % => Tga2 = Tg(oc, + 90) = - Cotg, = -

esto es, si 31. ,5?. => m = - >=> m. . m, = -1 (1)i 2 2 m , 1 2

Recprocamente, si m2 = --|J- => Tga2 = -C otga i , y oc2 = a, + 90

es decir ,s i ml . m = - 1 = J ? ,l (2 )En consecuencia, de (1) y (2), se sigue que :

m m = - l

E J E M P L O S IL U S T R A T IV O S( EJEM PLO 1 j Demostrar que los puntos A(1 , -1), B(3 , 2) y C(7 , 8) son coli-

neales en dos formas : a) Usando la frmula de la distancia, b)-Usando pendientes.

Demostracin. En efecto, haciendo uso de las frmulas (4) y (8) tenemos :a) Por distancias : b) Por pendientes

I B I = V(3 - 1)2 + (2+ 1 )2 = V n m _ 2+ 1 _ 3*B 3 -1 2I BC I = V(7 - 3)2 + (8 - 2)1 = 2VT3

I C I =V(7- l )2 + (8 + 1)- = Como : 3VI3 = 2VT3 + V

=> | AC I = I B I +1 A , B y C son colineales

AC I = V(7 - l )2 + (8 + 1)- = 3V3 mBC = = |

m - 8 + 1 - 3| AC I = I AB I + I BC I m* c " 7 -1 ~ 2

A , B y C son colineales

( EJEM PLO 2 ) Un punto P(x , y) equidista de los puntos A(-2 , 3) y B(6 , 1), y la pendiente de la recta que une dicho punto a C(5 , 10) es 2.

Hallar sus coordenadas.

Solucin. Si P(x , y) equidista de A y B, entonces d(A , P) = d(B , P), por lo que :V(x + 2)2 + (y - 3)2 = V(x - 6)2 + (y - l )2 => 4x - y = 6 (1)

V - 10Dado que mcp = 2 => x ^ = 2 2x - y = 0 (2)

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Seccin 1.8: Rectas paralelas y perpendiculares 37

Resolviendo por simultneas (1) y (2) obtenemos : x = 3 , y = 6P = (3 , 6)

( EJEM PLO 3 ) Si la recta ^ que contiene a los puntos A(a , 2) y B(0 , 2a) esparalela a la recta 3tv que contiene a los puntos C(-a , 3) v

0(1 , -2 a ) , hallar el valor de a.

Polucin. Si A y B 6 => m, = m ^ = 2a ' 2U - 3

C y D e 3 => m2 = mCD =

Luego, por el Teorema 1.6 : 11 &2 m, = m2 => 2? a 2 = 3~a 2ade donde : a = - 2/3 O

( EJEM PLO 4 ) Si la recta ^ que contiene a los puntos A(1 , -2 ) y B(3 , a) es perpendicular a la recta que contiene a los puntos C(-3 , 1)

y D(a , 4), hallar el valor de 5m, + m2.

Solucin. Si A y B e => m ,= a * 2 (1)

C y D e .2? => m2 = G - ^ (2)

Si ^ se2 m, . m2 = - 1 1= (-y y ) (g-G-y) = - 1 , de donde a = - 12/5 Sustituyendo en (1) y (2) obtenemos : m, = - 1/5 , m2 = 5

5m, + m2 = 4 Q

( EJEM PLO 5 ) Demostrar que los puntos A(-1 , 3), B(5 , 0), C(7 , 4) y D(1 , 7) son los vrtices de un paralelogramo.

Solucin. En efecto, por el Teorema 1.5, tenemos :

m = ^ G = . ! m = J = . lAB 5+1 2 ^ 7 -1 2

Dado que m ^ = m^. => AB 11 DC Del mismo modo, para los lados D y BC, se tiene :

mAD= f n = 2 mBc= 7 T 3 = 2 Como mAD = mBC AD i I BCPor lo tanto, el cuadriltero ABCD es un paralelogramo. FIGURA 1.34

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Obsrvese que las pendientes de los lados AB y DC son cada una el negativo del recproco de las pendientes de los lados AD y BC, por lo que el cuadriltero ABCD tiene lados opuestos paralelos y dos lados adyacentes perpendiculares y concluimos que ABCD es tambin un rectngulo. Q

l EJEM PLO 6 ) Una recta de pendiente m = 7/3 pasa por el punto A ' 1 2 );hallar las coordenadas de dos puntos sobre la recta c n

V58 unidades de A.

Solucin. Sea P(x , y) uno de los puntos buscados

Si ^ i r f = i ** y - 2 = i ( x - '> w

Se sabe adems que d(A , P) = V58 =* V(x - 1 )2 + (y - 2)J = V58 Teniendo en cuenta (1) y elevando al cuadrado obtenemos :

( x - l ) - + 4p (x - l )2 = 58 =* (x - 1)2 = 9' ' 9 ' q a P x - l = 3 x - l = - 3 o--------------------- -------

. . h------ 458------ +-------V58------- i x = 4 o x = -2Sustituyendo en (1) se tiene : y = 9 y = - 5Por lo tanto, los puntos requeridos son : p(4 , 9) y Q(-2 , -5) d

l E J E M P L O 7 J El punto A(-2 , 1) es el vrtice correspondiente al ngulo recto de un tringulo rectngulo issceles. El punto P(1 , 4) divide al

cateto AC en la relacin AP : AC = 1 : 2. Hallar las coordenadas del vrtice B.

Solucin. Sean los vrtices B = (x , y) y c = (x, , y t)

- c = (4 , 7)Como el AABC es issceles => | AB I = | a c j . es decir

V(x + 2)2 + (y - l )2 = \'(4 + 2)! + (7TJp = (x + 2)2 + (y - l )2 = 72 (1 )

Pendiente de AC : m, = 7 - 14 + 2 V - 1Pendiente de AB : m, = -2 x + 2

Si AC AB m, . m,

= 1

Y j

4

A ^

S __________ r }

1 1 1 1 1 1

-2 \

v______

1

J

=> y - i = - (x + 2) (2) FIGURA 1.35

Sustituyendo (2) en (1) se tiene : (x + 2)! = 36 x + 2 = 6 x + 2 = - 6

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Seccin 1.8: Rectas paralelas y perpendiculares 39

o x, = 4 x, = - 8 Luego, en (2): y, = - 5 y2 = 7Por lo tanto, hay dos soluciones : B(4 , -5) o B(-8 , 7) ( EJEM PLO 8 J Sean A(-2 , 1 ) y B(4 , 7) los vrtices de un tringulo ABC ; sa

biendo que las alturas se cortan en el punto P(4/3 , 5/3), hallar las coordenadas del vrtice C.

Solucin. Sean (x , y) las coordenadas del tercer vrtice C.De la Figura 1.36 obtenemos lo siguiente :

7 - (5/3)_ (5/3) -1 = I *> (4/3) + 2 5

Si AP _L BC mBC =

Si PB _L AC mAC =

4 - (4/3)

. y -7

= 2

= -5 mAP x - 4

.=> 5x + y -2 5 = 0 (1)

1 y - 1 _ 1mpB x + 2

c= x + 2y = 0 (2 )Resolviendo, por simultneas , (1) y (2) obtenemos :

x = 6 , y = -3 C = ( 6 , - 3 )

r 7

i

h - b

x / t i

W / 1 1X / i 1r / i 1

-----\ 1*2 0

-3L

4 1 ; >x 1 i i

r

FIGURA 1.36

( EJEMPLO 9 ) Dado el tringulo de vrtices en A(-10 , -13), B(-2 , 3) y C(2 , 1 );hallar la longitud de la perpendicular bajada desde el vrtice B

a la mediana trazada desde el vrtice C.

Solucin. Si M es punto medio de AB , entonces

M = ( ^ ^ , (-6,-5)

Los puntos M, P y C son colineales, luego :

- 1 +5x + 6

Pendiente de MC : mu

Si BP1M C mMP = -

1 + 6

. 1 + 5 2 + 8

1

=> 3x - 4y = 2 (1)

y - 3 _ 4mMC x + 2 3

= 4x + 3y = 1 (2)Resolviendo, por simultneas, (1) y (2) obtenemosx - 2/5 , y = - 1/5 => P = (2/5 , - 1/5)

I BPI = V(2/5 + 2)2 + (- 1/5 - 3)2 = 4

FIGURA 1.37

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40 Captulo h: Conceptos preliminares

(E J E M P L O 1 0 ) Los puntos A(1 . 1), 3(5 , -2) y C(3 , 4) son tres vrtices de un paralelogramo. Hallar todas las posibles coordenadas del cuarto

vrtice.

Solucin. El problema admite tres soluciones : los paralelogramos ABCD , ADBC y

ABD"C. Como AB 11 DD , C 11 DD y BC 11 DD, los puntos A, B y C constituyen los vrtices de un tringulo mediano, es decir, son los puntos medios de los lados del tringulo fundamental DDD . En consecuencia, para resolver el problema, usaremos el mtodo empleado en el ejemplo 7 de la pgina 24, esto es, sean D = (x, , y,),D = (x2, y,) y D" = ( x , , y,) las coordenadas del cuarto vrtice , entonces :x , + x , = 2 (l ) = 2

x2 + x3 = 2(5) = 10

x,-+ X, = 2(3) = 6

y, + y2 = 2( 1) = 2 y2 + y, = 2(-2) = - 4 y, + y, = 2(4) = 8 FIGURA 1.38

Sumando miembro a miembro cada una de estas ecuaciones tenemos :2(x, + x2 + x,) = 18 , 2(y, + y, + y3) = 6

=> x, + x2 + x, = 9 , y, + y2 + y, = 3Finalmente, resolviendo por simultneas, estas ecuaciones con las anteriores, obtenemos :

D = (-1 ,7)

. x, = 7 ; y, = 7 . y 2 = - 5 D ' = ( 3 , - 5 ) y D = (7 , 1)

(EJEMPLO i T ) Tres vrtices de un paralelogramo ABCD son A(-4 ,1), B(2 , 3)y C(8 , 9).

a) Hallar el vrtice D, sabiendo que AC es una de las diagonalesb) Sean M. N los puntos de triseccin de AD , hallar M y Nc) Hallar el punto S , punto de interseccin del segmento BM con la diagonal AC.

Solucin. Como las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio,entonces, P es punto medio de la diagonal AC, luego

P = , 4 * ) = (2 ,5 )

P tambin es punto medio de BD ; si D = (x , y)j i l = 2 x = 2 .

1 ^ = 5 0 y = 7 I=* D = (2 , 7)

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Seccin !.H: Rectas paralelas y pcrpe/u :nres

b) Sean (x , y) las coordenadas del punto M

Si AM x + 4 _ y - 1 2 - x 7 - yMD 2

de donde : x = - 2 , y = 3 = N es punto medio de M D :

-2 + 2 3 + 7N = ("

M = (-2 , 3)

)= (0,5)2 2c) Sean (x , y) las coordenadas del punto

S = { BM } f l { C } _____Como ios puntos M, S y B son colineales, entonces FIGURA 1.39

41

x + 2 2 + 3 J(Obsrvese que los puntos M, S y B estn sobre una lnea horizontal, pues mMB = 0) Tambin los puntos A , S y C son colineales, entonces

m = m =* X l i - J - l i = 1 ^ 2x - 3y + II = 0as a c x + 4 8 + 3 3 J

Para y = 3 => 2x - 3(3) + 11=0 x = - 1 => S = (-1 , 3) Q

[EJEM PLO 12) Desde el punto A(9 , 1) se traza una perpendicular a una recta 3 que pasa por P(-1 , -1) y Q(1 , 2) y que la corta en B ;

tomando AB como base de un tringulo issceles cuyo tercer vrtice C se encuentra sobre el eje X, determinar el baricentro del tringulo ABC.

Solucin. La pendiente de la recta .2? es miv = +- Como P, Q y B(x , y) son colineales

3 y - 2 3

de donde : 3x - 2y + 1 = 0 (1)

Si AB 1 V(x - 9)2 + (1 - O)2 = V(x - 3)2 + (5 - O)2, de donde : x = 4 C = (4 , 0) Coordenadas del baricentro;

x = 1(9 + 4 + 3) = - y , y = 1 ( 1 + 0 + 5 ) = 2 ^ G = (16/3,2)

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Captulo /. Conceptos preliminares

EJERCICIOS; Grupo 4

1. Una recta de pendiente 2/5 pasa por el punto P(3 , -4) y por A(x , -2) y B(-7 , y). Hallar la abscisa de A y la ordenada de B.

2. Una recta de pendiente -3/2 pasa por el punto P(6 , -2) y por los puntos A(x ,x + 2) y B(x + 6 , y). Hallar la distancia entre A y B.

3. Un punto P(x , y) equidista de los puntos A(-3 , 2) y B(5 , -2) y la pendic larecta que une dicho punto a C(-1 , -2) es -1/2. Halle sus coordenadas.

4. En los ejercicios siguientes determinar los valores de k para los cuales los puntos dados son colineales. (Gua: Ejemplo 1)

a) A(k , 3) , B(-4 , -5 - k) , C(2k + 1 , 8 )b) A(-1 , k - 6) , B(2k - 1 , 3 ) , C(-9 , 4 - k).

5. Demostrar, por medio de pendientes, que los puntos dados son los vrtices de un paralelogramo. (Gua: Ejemplo 5).

a) A(9 ,2 ) , B(11 , 6) , C(3 , 5) , D(1 , 1)b) A(4 , 0) , B(7 , 5) , C(-2 , 3) , D(-5 , -2)c) A(-1 , -5) , B(2 , 1) , C(1 ,5 ) , D(-2.-1)

6. Hallar los valores de k de modo que los puntos dados sean vrtices de un tringulo rectngulo, recto en B.

a) A(-1 , k - 4) , B(2k , -1) , C(-2 , 2k + 3)b) A(2k , 5) , B(1 , k) , C(2k - 1 ,-7)c) A(3 , k) , B(k , k - 3) , C ( 2 - k , - 1 )

7. Por medio de pendientes, demostrar que el cuadriltero de vrtices A(1 , -4), B(8 , -2), C(-4 , 16) y D(-3 , 2) es un trapecio.

8. Los puntos dados son los vrtices de un cuadriltero ABCD, usando pendientes mostrar si es o no un rectngulo.

a) A(-2 , -1 ) , B(5 , -4) , C(-1,-18) y D(-8,-15)b) A(-1 , 3) , B(5 , 7) , C(9 , 1) y D(3 , -3)

9. Dados los puntos A(-1 , 5 ), B(3 , 2) y C(4 , 3 ), hallar la pendiente de la recta

Seccin 1.9: Frmula del ngulo entre dos rectas 43

11. Hallar la pendiente de la recta que pasa por el punto medio del segmento queune los puntos M(-3 , 2) y N(7 , 6) y el punto P(x , y) tal que AP : PB = 1 : 2,siendo A(0 , 2) y B(5 ,0).

12. Un punto M(x , y) dista del punto C(2 , 5), VTo unidades. La pendiente del segmento que une a M con A(7 , 5) es 1/2; hallar las coordenadas de M.

13. La pendiente de una recta que pasa por el punto A(3 , 2) es igual a 3/4. Situar dos puntos P y Q sobre la recta que distan 5 unidades de A. (Gua: Ejemplo 6).

14. Sea P(x, y) un punto que equidista de los puntos A(-3, 4) y B(3,2). Si la pendiente de la recta que pasa por P y el origen es 3/5, halle las coordenadas de P.

15. Sean A(3 ,1) y B(-2 , -6) los vrtices de un tringulo, sabiendo que las alturas se cortan en el punto P(4 , -4), hallar las coordenadas del tercer vrtice.

16. Los puntos A, B y C dados , son tres vrtices de un paralelogramo. Hallar todas las posibles coordenadas del cuarto vrtice. (Gua: Ejemplo 10).

a) A(0 , 0) , B(1 ,4 ) , C(5 , 1)b) A(3 , 12) , B(8 , 1) , C(-2 , -5)

17. Sean A (5 , 3), B(-1 ,2) y C(1 , -1) tres vrtices de un paralelogramo ABCD, hallar la distancia del cuarto vrtice D al punto P(-2 , 6).

18. Se tiene un tringulo de vrtices A(-4 , -3), B(1 , 4) y C(7 , 10). Por el punto E cuya ordenada es 8 y est sobre BC, se traza una paralela al lado AB. Hallar las coordenadas del punto en que dicha paralela corta a AC.

19. Dado el tringulo de vrtices A(1 , 2), B (5, 3) y C(4 , 4); calcular las coordenadas del pie de la perpendicular trazada desde el vrtice B a la mediana trazada desde el punto C.(Gua: Ejemplo 9).

20. Los puntos A(-2 , 5), B(1 , -1), C(7 , 1) y D son vrtices de un paralelogramo

ABCD, siendo B y D vrtices opuestos. Sean M e AB tal que AM = ^ AB y N

punto medio de BC. Hallar la interseccin de los segmentos MC y DN.

f i n FORM ULA DEL ANGULO ENTRE DOS RECTAS___________

Consideraremos dos rectas cualesquiera no perpendiculares 3 ^ y 3L ninguna de las cuales es paralela al eje Y, y deduciremos una frmula para el ngulo de 3? a en funcin de sus pendientes.

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Dado que al cortarse dos rectas coplanares se forman varios ngulos, para evitar confusin hacemos la siguiente definicin.

DEFINICION 1.3 Angulo entre dos rectasSi dos rectas se cortan, designemos por ,2?2 la recta con mayor

inclinacin a 2 (recta final), y por JZ, la recta de menor inclinacin a, (recta inicial). Entonces el ngulo 0 entre las rectas se define por

9 = a , - a.

FIGURA 1.41v____________________

FIGURA 1.42

La Figura 1.41 muestra un caso en que el ngulo 0 de .2? a ^ es agudo, y la Figura 1.42, un caso en que ese ngulo es obtuso.

TEOREMA 1.8 Si Sf. y 3>. son dos rectas que se cortan con pendientes m, y mI l Lrespectivamente, y si 0 es el ngulo en y ,2?, entonces

TgB= (11)1 + r r i j . m2con tal que ^ sea la recta con mayor inclinacin , y 0 * 90.

Demostracin. En efecto, en las Figuras 1.41 y 1.42 se observa claramente quea, = a, + 0

ya que a, es un ngulo externo de un tringulo cuyos ngulos internos no adyacentes son a, y 0. Por consiguiente

0 = a 2 - a.Si aplicamos tangentes a ambos extremos de esta igualdad resulta que :

_ Tgct, - Tgg,1 + Tga, . Tga,

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Seccin 1.9: Frmula deI ngulo entre celas 45

y si designamos Tga2 y Tga, por m, y m, respectivamente, obtenemosm, - m,

Tg9 = = i !s I + mt . m2Hay dos casos especiales en que no se puede emplear esta frmula :

(1) Si las dos rectas son perpendiculares entre si, entonces m, m2 + l = 0, y la divisin entre cero no tiene sentido

(?.) Si o S2 es paralela al eje Y, entonces TgO, o TgO, no est definida.

Jota. En ocasiones, cuando se desconoce el lado de la recta de mayor o menor ngulo de inclinacin a , se puede hacer uso de la frmula

l m -m . iT g o = I r V m '-. m j

EJEMP OS ILUSTRATIVOS( EJEMPLO 1 ] El ngulo que forma la recta .2? que pasa por A(2 , -1) y B(x , 3),

con la recta &2, que pasa por C(-1 , 5) y D(8 , 2) es 135 Hallela abscisa de B.

Solucin. Si (A y B) e ^ = m, = ^ + 1 - 4

y si (C y D) e m =

x - 2 x - 2 2 -5 1

J 8+1

13 x - 2Luego , si Tg9 = ----- Tg 135 = . .

l+(-)(lT2)Como Tg 135 = -1 -=> -1 = ~* + , de donde : x = 10 D3x - 6 - 4

( EJEM PLO 2 ) Hallar el ngulo obtuso que forman las rectas -2? con pendientem y la recta .5? con pendiente m ~ 1 .

m + 1Solucin. Por la frmula (11) del Teorema 1.8 , se tiene :

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{ EJEM PLO 3 ) Dos rectas se cortan formando un ngulo cuya tangente es 3/2.Si una de las rectas pasa por los puntos A(-2 , -1) y B(2 , 3),

hallar la pendiente de la otra recta.

Solucin. Obsrvese que en este ejemplo se desconoce el lado de la recta de mayor o menor inclinacin , por que lo si designamos con m, = mAU

o m, = 2 ~+ \ = 4 y m la Pend'en,e de la otra recta, entonces segn la frm'-'~ '12):Toe = 1 = I _m - 1/2 I = i M d l

D 2 11+ ( l/2)m I lm + 2*

=>3|m + 2 | = 2 | 2 m - l | < = > m = 8 m = -4/7 Q

( EJEM PLO 4 j Demostrar que A(-2, 5 ), B(-3, -3) y C(5 , 1) forman los vrtices de un tringulo issceles, mostrando para ello que dos de sus

ngulos son iguales.

Demostracin. La orientacin, en sentido antihorario, de los lados del tringulo se muestra en la Figura 1.43. Hallemos la pendiente de cada uno de

e llos:4m, = m 5 + 3 = 8 , m = m = ' AB . 2 + 3

1 + 3 12bc 5 + 3

Aplicando la frmula (11) en cada vrtice se tiene :n y m, _ .4/7 . 8 _ 12

TgA =

Tgc

1 + m.i mj 1-32/7

m,- m, 8- 1/21 + m: . m. 1 + 8/2 "

m,- m2 1/2 + 4/7

p ~A . . Y - i

llIm, I *I II iI 1 11 i -------------( - ^ V c

-3; 1 - 2 0 5

----- -3V

FIGURA 1.43-4/14 2

Dado que TgB =TgC m(^B) = m(.C), por lo tanto, el tringulo ABC es issceles.

[~EJEM PLO 5 ) Hallar la pendiente de la recta 5^ que biseca el ngulo que la recta 7\, que pasa por A(10 , 9) y B(3 , -15), hace con la recta

72 que pasa por A( 10 , 9) y C(2 , 3).

Solucin. Si (A y B) e =* m, = = y

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Seccin 1.9: Frmula del ngulo entre di - v rectas 47

( A y C ) e m, =

/AComo Tg(y) = ^

9 - 3

10-2m, - m

m . m. y Tg(A) =

Entonces (24/7>' m - m (3/4> 1 + (24/7)rn 1 + (3/4)m

de donde : 117m! - 88m - 117 = 0

[ EJEM PLO 6 J Hallar un punto situado en la parte positiva del eje X, desde el cual se ve el segmento de extremos A(-3 , 4) y B(3 , 8), bajo un

ngulo de 45.

Solucin. Sea P = (x , 0) el punto buscado.Uniendo P con los extremos del

segmento dado , tenemos :

m =m , = - A - , m. = m ,= ' 4b p i x - 3 AP 2 x + 3

- 4 8m, - m, * * * .- iTg 45 = 1------! ,=> | = * + J x J1 rr m1 + m ,. m, , ^ ( L )

de donde : x2 - 4x - 13 = 0 x = 2 VTT Como x > 0 => P = (2 + V l7 , 0) Q FIGURA 1.45

( EJEM PLO 7 J Si la hipotenusa de un tringulo rectngulo issceles tiene pendiente m , hallar la suma de las pendientes de los catetos.

Solucin. Por ser el AABC rectngulo issceles,los ngulos iguales A y C miden 45

m - m m - m,Luego, si TgC = - 1 = ^ Aa a 1 + m . m, 1 + m . m.

de donde : m, = m - 1' m + 1

AB 1 BC => m2 = - l/m 1 t=> m2 = -

Por lo que : m, + m = -A ^ 1 2 1 - m-

m + 1 m - 1

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48 Captulo I : Conceptos prelim inares

[ E J E M P L O 8 ) Si A(-3 , 2) y B(2 , 5) son dos vrtices de un tringulo rectngulo ABC recto en B, y el vrtice C est en el eje X; hallar la

medida del ngulo A.

5 - 2Solucin. Pendiente de AB : m, = ^ _ 2 2 + 3 5

0 -5S iA B IB C c=> m ,= - I /m , =>- x - 2

de donde obtenemos x = 5 => C = (5 , 0)

0 - 2 1Pendiente de AC : m, =

Por lo que , si TgA

' 5 + 3

m, - m,

TgA = 3/5 + 1/4 + (3/5)(-1/4)

1 + m, . m,

= 1 => A = 45

, entonces

r

k 5 m,

- -

ti

1__ B

1\ i \\

\2 1 \

111, 1-3 O

V2 C(x , 0) ' A

FIGURA 1.47

[ E J E M P L O 9 J Los vrtices de un tringulo son A(3 , 3), B(1 , -3) y C(-1 , 2).Hallar el valor del ngulo agudo que forma la mediana que co

rresponde al lado AB con la mediatriz del lado AC.

Solucin. Las coordenadas de M, punto medio de B, son :

M = . ^ x ) = (2.0)

Pendiente de la mediana CM : m, =

Pendiente del lado C : m =

0 - 2 2 + 1

2 -3 I- 1- 3 4

Pendiente de la mediatriz del lado AC : mt = - 4

Luego , T g a : - mi _ (- 2/3) + 4 _ jo1 + m ,. m 1 + C-2/3)(-4) 11a = are Tg( 10/11)

( e j e m p l o 1 0 ) Dados dos vrtices opuestos A(3 , 0) y C(-4 , 1) de un cuadrado, hallar las coordenadas de los otros dos vrtices.

Solucin. Sean B = ( x, , y,) y D = (x: , y2) las coordenadas de los otros dos vrtices.

Pendiente de la diagonal AC : m = 1 -0 - 4-3

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Seccin 9: Frmula del ngulo entre Jos recias 49

_ m - m,En el AABC : Tga - ( 1)1 + m . mDado que el cuadriltero ABCD es un cuadrado la m(a) = 45, por lo que en (1) se tiene :

-1/7- m,I = - , . , de donde : m, = - 4/3

. 4x + 3y = 12

3x, - 4y, = - 16

ab= ^ =AB X] . 3

- 1BC x,+ 4

De (2) y (3), por simultneas, obtenemos : x, = 0 , y, =4 => B = (0 , 4)

M es punto medio de AC => M = - ~

M es tambin punto medio de BD

(2)

(3)

0+ 12

f0 + x. 4 + y;( - 4 i ) = ( 2 - !

Por igualdad de pares ordenados obtenemos : x; = - I , y = - 3 D = (-1 , -3) CU

EJERCICIOS: Grupo 5

1. Dos rectas se cortan formando un ngulo de 45 La recta de menor inclinacin pasa por P(-2 , 1) y Q (9 , 7 ), y la recta de mayor inclinacin pasa por A(3 , 9) y B(-2 , y). Hallar la ordenada de B. (Gua: Ejemplo 1).

2. Hallar el valor del ngulo determinado por la recta que pasa por A(-3 , 1) y B(4 , 3) con la recta que pasa por C(1 , 2) y D(6 , 7).

3. Hallar el ngulo que forman la recta que pasa por A(-4 , 5) y B(3 , 9) pon la recta que pasa por C(-2 , 4) y D(9 , 1).

4. Hallar las tangentes de los ngulos interiores del tringulo cuyos vrtices son los puntos dadosa) A(-2 , 1 ) , B(3 , 4 ) , C(5 , 2) ' b) A(4 , 1) , B(-1 , 3 ), C(-5 , -2)

5. Demostrar que A(-1 , 2 ) , B(3 , -2) y C (6 , 5) forman los vrtices de un tringulo issceles, mostrando para ello que dos de sus ngulos son iguales.

6. Tres rectas .S?, , -3| y .S?3 se interceptan en M(-6 , 4 ), si y .2j^coptenen a los puntos A(2 , 2) y B (0 , 0) respectivamente y 2?, es bisectriz del ngulo que hacen 5?, y hallar la pendiente de (Gua: Ejemplo 5).

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50 Capitulo I: Conceptos preliminares

7. Los vrtices de un tringulo son A(-4 , -1), B(4 , b) y C(-6 , 13). Hallar el valor de b si la altura que pasa por C intercepta a la mediatriz que pasa por B formando un ngulo de 45.

8. Dado el tringulo A(-2 , 3), B(-4 , -4) y C(3 , -2), hallar el ngulo que forman la mediatriz del lado B con la mediana trazada desde C. (Gua: Ejemplo 9).

9. Hallar las coordenadas de los puntos situados sobre el eje X, desde los cuales se ve el segmento que une A(-2 , 3) con 8(5 , 7) bajo un ngulo de 45

10. Sea r la recta que pasa por los puntos A(2 , 1) y B(4 , -3). Cul es la pendiente de una recta St tal que el ngulo entre r y & es 45a.

11. Dados dos vrtices opuestos de un cuadrado A (2 , 2) y C(-5 , 3), hallar los otros dos vrtices. (Gua: Ejemplo 10).

C T O EL AREA DEL TRIANG ULO _________________________________

En esta seccin desarrollaremos una frmula para el rea de un tringulo en funcin de las coordenadas de sus vrtices. Se presentan dos casos.

CASO 1. Cuando uno de los vrtices coincide con el origen Sean A(x, , y,) y B(x2 , y,) las coordenadas de los otros dos vrtices. En la Figura 1.50 podemos observar que

a(AOAB) + a(AOMA) = a(AONB) + a(NMAB)

=> a(AOAB) + I(x ,y ,) =

= ^ ( x 2y2) + ^ (y , + y2)(x, - x2)

= j ( x , y. - x 2y , + x , y 2)

^ a(AOAB) = i ( x , y 3 - x2y,)

Esta frmula del rea puede recordarse ms fcilmente escribindola como un determinante , esto es :

I NOTA. Si los vrtices son numerados en sentido antihorario, esta frmula da el rea. Si no son numerados de esta manera, obtenemos el negativo del rea. Sin embargo, ello

FIGURA 1.50

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Seccin 1.10: El rea del tringulo 51

no importa, pues la expresin que est dentro de las barras en el segundo miembro de (13), es el valor absoluto del desarrollo del determinante.

CE J E M P L O 1 ) Hallar el rea del tringulo de vrtices A(0 , 0) , B(-2 , 3) y C(4 , 2).

\Solucin. Usaremos la frmula (13) con los vrtices numerados en sentido horario

y antihorario,a) En sentido horario :

a(AABC) = I I ' 2 3 |2 I 4 2 I

= i I (-2)(2) - (4)(3) I = -i- I -16 I = 8u2

y I (4)(3) - (2)(2) I = I |16| = 8u2

b) En sentido antihorario :i 14 2i

a(AABC) = 3|

CASO 2. Cuando ninguno de los vrtices coincide con el origen

Sea el tringulo de vrtices A (x ,, y , ) , B(x2, y2)C(x3, y3). En la Figura 1.51 , se tiene :

a(AABC) = a(AOAB) + a(AOBC) - a(AOAC)Segn el caso 1 :

a(AOAB) = | ( x ,y 2- x 2y,)

a(AOBC) = I ( x 2y3-X jy2)

a(AOAC) = I (x ,y , - x3y,)

Luego : a(AABC) = -~ y, + i X 2 y 2 . i x , y, iX 2 y 2 2 x , y 3 2 X 3 y j

FIGURA 1.51

_ i x . y, x , y, x r y *l 1- +2 X 2 y 2 X 3 y, X 3 y, l J

La expresin entre corchetes es el desarrollo , por los elementos de la tercera columna, del determinante

\ y , 1 x 2 y 3 > x, y ,1

As, hemos demostrado el siguiente teorema.

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Capitulo i: Conceptos preliminares

TEOREMA 1.9 El rea del tringuloEl rea de un tringulo que tiene por vrtices los puntos

A(x, , y,) , B(x2 , y2) y C (x ,, y,) est dado por

x , y . 1^ y 2 1 x, y 3 1

debindose tomar el valor absoluto del determinante.

S - 2 (14)

Para fines prcticos, el determinante de la frmula (14) se puede escribir

x ^ y ,y,' y ,

(15)

cuyo desarrollo es :

s = x , y 2 + x 2y 3 + x, y , - x , y 3 - x , y 3 - x 2y , 1

I OBSERVACIONES

1 .

2.

En la frmula (15) , los productos que se indican por flechas con trazo lleno se toman con su propio signo, mientras que los productos sealados por flechas con trazo punteado se toman con signo contrario.

La frmula (15) se puede generalizar para cal

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Geometría Analítica - R. Figueroa G.pdf