Geometria Anal´ıtica e Vetores Notas de Aulapulino/GeometriaAnalitica/TextoGA/... · 206 Geometria Anal´ıtica e Vetores Considerando a base ordenada γ1 = {~u1, ~u2} e a base

Geometria Analıtica e VetoresNotas de Aula

Petronio Pulino

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PULINUS

Geometria Analıtica e VetoresNotas de Aula

Petronio PulinoDepartamento de Matematica Aplicada

Instituto de Matematica, Estatıstica e Computacao Cientıfica

Universidade Estadual de Campinas

e-mail: [email protected]

www.ime.unicamp.br/∼pulino/GeometriaAnalitica/

Janeiro de 2018

Sumario

1 Matrizes e Sistemas Lineares 1

1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Tipos Especiais de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5 Inversa de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.7 Matrizes em Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.8 Operacoes Elementares. Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.10 Forma Escalonada. Forma Escada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.11 Matrizes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.12 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.13 Matrizes Congruentes. Lei da Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1.14 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

1.15 Sistemas de Equacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1.16 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2 Vetores no Plano e no Espaco 111

2.1 Conceitos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.2 Operacoes com Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.2.1 O Plano Cartesiano e o Espaco Tridimensional . . . . . . . . . . . . 116

2.2.2 Adicao de Vetores e Multiplicacao por Escalar . . . . . . . . . . . . . 119

2.2.3 Adicao de Ponto com Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2.4 Dependencia e Independencia Linear. Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

2.6 Mudanca de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

2.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

3 Produto Escalar 151

3.1 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3.2 Norma Euclidiana. Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3.3 Definicao de Angulo e Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3.4 Projecao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

3.5 Base Ortogonal. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

3.6 Processo de Ortogonalizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

3.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

i

ii SUMARIO

3.8 Distancia de Ponto a Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

3.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

4 Produto Vetorial. Produto Misto 201

4.1 Orientacao do Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

4.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

4.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

4.5 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

4.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

5 Estudo da Reta no Espaco 229

5.1 Equacao Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

5.2 Posicao Relativa de Reta e Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

5.3 Angulo entre Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

5.4 Distancia de Ponto a Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

5.5 Distancia entre Reta e Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

5.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

6 Estudo do Plano no Espaco 259

6.1 Equacao Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

6.2 Equacao Geral. Vetor Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

6.3 Posicao Relativa de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

6.4 Angulo entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

6.5 Angulo entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

6.6 Distancia de Ponto a Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

6.7 Distancia entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

6.8 Distancia entre Plano e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

6.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

7 Mudanca de Coordenadas 301

7.1 Sistemas de Coordenadas em IE2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

7.1.1 Translacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

7.1.2 Rotacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

7.1.3 Rotacao Composta com uma Translacao . . . . . . . . . . . . . . . . 322

7.2 Sistemas de Coordenadas em IE3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

7.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

8 Conicas 341

8.1 Conicas – Forma Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

8.1.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

8.1.2 Hiperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

8.1.3 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

8.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

8.3 Diagonalizacao de Matrizes Simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

SUMARIO iii

8.3.1 Autovalores e Autovetores de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . 366

8.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

8.5 Aplicacao da Rotacao e da Translacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

8.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

8.7 Classificacao das Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

8.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

Referencias Bibliograficas 419

iv SUMARIO

Petronio Pulino Geometria Analıtica e Vetores

4Produto Vetorial. Produto Misto

Sumario

4.1 Orientacao do Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

4.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

4.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

4.5 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

4.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

201

202 Geometria Analıtica e Vetores

4.1 Orientacao do Espaco

Inicialmente apresentamos os conceitos necessarios para a orientacao do espaco de vetores

V 2 de maneira geometrica, sem uma formalizacao matematica. Para isso, vamos exemplificar

considerado a base canonica β = {~e1, ~e2 }, onde ~e1 = (0, 1) e ~e2 = (0, 1), e a base ordenada

γ = { ~u1, ~u2 } , onde ~u1 = (2, 1) e ~u2 = (−2, 1), para o espaco de vetores V 2, ilustradas

na Figura 4.1.

✲

✻

0✲~e1

✻~e2

✟✟✟✟✟✯ ~u1

❍❍❍❍

❍❨~u2

Figura 4.1: Orientacao do espaco de vetores V 2

Observando a Figura 4.1, notamos que podemos levar de forma contınua o vetor ~u1 sobre

o vetor ~e1 e levar de forma contınua o vetor ~u2 sobre o vetor ~e2, sempre pelo caminho

mais curto, sem que em nenhum momento desse processo os vetores ~u1 e ~u2 deixam de ser

linearmente independentes.

Vamos observar tambem a matriz P de mudanca da base γ para a base β, que e dada por:

P =

[

2 −2

1 1

]

.

Note que a matriz de mudanca de base P tem determinante positivo, bem com a matriz

P−1 de mudanca da base β para a base γ, uma vez que

det(P−1) =1

det(P )> 0 .

Considerando qualquer um dos criterios apresentados acima, dizemos que as bases ordenadas

β e γ tem a mesma orientacao.

Exemplo 4.1.1 Apresente a mesma analise considerando a base canonica β = {~e1, ~e2 } e

a base ordenada γ = { ~u1 = (1,−2) , ~u2 = (1, 2) } para o espaco de vetores V 2. Represente

graficamente os vetores das duas bases no plano cartesiano para auxiliar nessa analise.

Resolucao – A resolucao pode ficar a cargo do leitor.

Petronio Pulino 203

Voltando ao objetivo de conceituar a orientacao do espaco de vetores V 2, consideramos a

base canonica β = {~e1, ~e2 } e a base ordenada γ = { ~u1 = (1, 2) , ~u2 = (1,−2) } para o

espaco de vetores V 2, ilustradas na Figura 4.2.

✲

✻

0✲~e1

✻~e2

✁✁✁✁✁✁✕~u1

❆❆❆❆❆❆❯ ~u2


Observando a Figura 4.2, notamos que podemos levar de forma contınua o vetor ~u1 sobre o

vetor ~e1 e levar de forma contınua o vetor ~u2 sobre o vetor ~e2, sempre pelo caminho mais

curto. Entretanto, em algum momento desse processo os vetores ~u1 e ~u2 deixam de ser

linearmente independentes.

Vamos observar tambem a matriz P de mudanca da base γ para a base β, que e dada por:

P =

[

1 1

2 −2

]

.

Note que a matriz de mudanca de base P tem determinante negativo, bem com a matriz

P−1 de mudanca da base β para a base γ, uma vez que

det(P−1) =1

det(P )< 0 .

Considerando qualquer um dos criterios apresentados acima, dizemos que as bases ordenadas

β e γ tem orientacao oposta.

Exemplo 4.1.2 Apresente a mesma analise considerando a base canonica β = {~e1, ~e2 } e

a base ordenada γ = { ~u1 = (−2, 1) , ~u2 = (2, 1) } para o espaco de vetores V 2. Represente

graficamente os vetores das bases no plano cartesiano para auxiliar nessa analise.



Exemplo 4.1.3 Considere a base ordenada γ1 = { ~u1 = (1, 1) , ~u2 = (−1, 1) } e a base

ordenada γ2 = {~v1 = (1,−2) , ~v2 = (−1,−2) } para o espaco de vetores V 2, como ilustra

a Figura 4.3. Verifique se as bases ordenadas γ1 e γ2 tem a mesma orientacao, ou tem

orientacao oposta.

Resolucao – Inicialmente vamos analisar o sinal do determinante da matriz P de mudanca

da base γ2 para a base γ1. Como γ1 e uma base ortogonal, podemos escrever os elementos

da base γ2 em funcao dos elementos da base γ1 da seguinte forma:

~v1 =〈~v1, ~u1 〉〈 ~u1, ~u1 〉

~u1 +〈~v1, ~u2 〉〈 ~u2, ~u2 〉

~u2 = −1

2(1, 1) − 3

2(−1, 1)

~v2 =〈~v2, ~u1 〉〈 ~u1, ~u1 〉

~u1 +〈~v2, ~u2 〉〈 ~u2, ~u2 〉

~u2 = −3

2(1, 1) − 1

2(−1, 1)

Assim, a matriz P de mudanca da base γ2 para a base γ1 e dada por:

P =

−1

2−3

2

−3

2−1

2

=⇒ det(P ) =1

4− 9

4= −5

4< 0 .

Portanto, as bases γ1 e γ2 tem orientacao oposta, uma vez que det(P ) < 0.

Pela Figura 4.3, notamos que podemos levar de forma contınua o vetor ~v1 sobre o vetor

~u1 e levar de forma contınua o vetor ~v2 sobre o vetor ~u2, sempre pelo caminho mais curto.

Entretanto, em algum momento desse processo os vetores ~v1 e ~v2 deixam de ser linearmente

independentes. Portanto, por esse criterio, concluımos tambem que as bases γ1 e γ2 tem

orientacao oposta. E importante observar que essa analise para verificar a orientacao das

bases tem um forte apelo geometrico.

✲

✻

0��✒

~u1

❅❅

❅❅❅■

~u2

❆❆❆❆❆❆❯~v2

✁✁✁✁✁✁☛ ~v1


Petronio Pulino 205


ordenada γ2 = {~v1 = (1,−2) , ~v2 = (1, 2) } para o espaco de vetores V 2, como ilustra a

Figura 4.4. Verifique se as bases ordenadas γ1 e γ2 tem a mesma orientacao, ou tem

orientacao oposta.


✲

✻

0✟✟

✟✟✟✯ ~u1

❍❍❍❍

❍❨~u2

✁✁✁✁✁✁✕~v2

❆❆❆❆❆❆❯ ~v1



ordenada γ2 = {~v1 = (1, 2) , ~v2 = (1,−2) } para o espaco de vetores V 2, como ilustra a

Figura 4.5. Verifique se as bases ordenadas γ1 e γ2 tem a mesma orientacao, ou tem

orientacao oposta.


✲

✻

0✟✟

✟✟✟✯ ~u1

❍❍❍❍

❍❨~u2

✁✁✁✁✁✁✕~v1

❆❆❆❆❆❆❯ ~v2



Considerando a base ordenada γ1 = { ~u1, ~u2 } e a base ordenada γ2 = {~v1, ~v2 } para o

espaco de vetores V 2. Dizemos que as bases γ1 e γ2 tem amesma orientacao se podemos

levar de forma contınua os vetores de uma das bases sobre os vetores da outra base, sempre

pelo caminho mais curto, sem que em nenhum momento desse processo os tres vetores nunca

deixam de ser linearmente independentes. Caso contrario, dizemos que as bases γ1 e γ2

tem orientacao oposta. E importante observar que essa analise para verificar a orientacao

das bases tem um forte apelo geometrico, o que com toda certeza torna essa analise de difıcil

realizacao no espaco de vetores V 3.

O segundo criterio, que e algebrico, para orientacao do espaco de vetores V 2, analisa o sinal

do determinante da matriz de mudanca de base, apresenta uma formalizacao matematica

mais factıvel com os objetivos do texto. Assim, considerando as bases γ1 e γ2 para o

espaco de vetores V 2. Dizemos que as bases γ1 e γ2 tem a mesma orientacao se, e

somente se, a matriz P de mudanca da base γ1 para a base γ2 tem determinante positivo.

Caso contrario, dizemos que as bases γ1 e γ2 tem orientacao oposta. E importante

ressaltar que o determinante da matriz P−1 de mudanca da base γ2 para a base γ1 tem o

mesmo sinal do determinante da matriz P . Esse criterio sera estudado com uma formalizacao

matematica mais cuidadosa quando da caracterizacao da orientacao do espaco de vetores V 3.

Finalmente, para caracterizar a orientacao do espaco de vetores V 2 consideramos uma classe

A na qual qualquer par de bases ordenadas tem a mesma orientacao, e uma outra classe

B na qual qualquer par de bases ordenadas tem orientacao oposta. Assim, a orientacao

do espaco de vetores V 2 fica caracterizada escolhendo qualquer uma das classes A ou B.

Fizemos uso do espaco de vetores V 2 com o objetivo de apresentar, de forma didatica,

os dois conceitos que sao utilizados para orientacao do espaco do espaco de vetores V 3.

Observamos que o conceito de deformacao contınua de uma base em uma outra base, que

tem um forte apelo geometrico, pode apresentar algumas dificuldades para a formalizacao

da orientacao do espaco de vetores V 3. Assim, nesse texto iremos fazer uso do conceito mais

algebrico que analisa o sinal do determinante da matriz de mudanca de base para separar as

bases do espaco de vetores V 3 nas classes A e B, caracterizando sua orientacao.

Petronio Pulino 207

Orientacao do Espaco de Vetores V 3

Definicao 4.1.1 Sejam β = { ~u1, ~u2, ~u3 } e γ = {~v1, ~v2, ~v3 } duas bases para o espaco

de vetores V 3. Dizemos que a base β tem a mesma orientacao da base γ se, e somente

se, a matriz P de mudanca da base β para a base γ tem determinante positivo.

Recordando sobre matriz de mudanca de base, sabemos que a matriz P e invertıvel e que

P−1 e a matriz de mudanca da base γ para a base β. Alem disso, tem–se

det(P−1) =1

det(P )> 0 ,

uma vez que det(P ) > 0. Assim, a base γ tem a mesma orientacao da base β. Desse

modo, dizemos que as bases β e γ tem a mesma orientacao. Quando duas bases nao

tem a mesma orientacao, dizemos que as bases tem orientacao oposta, isto e, a matriz de

mudanca de base tem determinante negativo.

Desse modo, vamos separar as bases do espaco de vetores V 3 em duas classes da seguinte

forma: Escolhemos uma base qualquer β para V 3, e consideramos a classe A formada por

todas as bases cuja matriz de mudanca para a base β tenham determinante positivo.

A classe B e formada por todas as bases cuja matriz de mudanca para a base β tenham

determinante negativo.

Proposicao 4.1.1 Sejam as bases β1, β2 ∈ A. Entao, as bases β1 e β2 tem a mesma

orientacao.

Demonstracao – Sejam P1 a matriz de mudanca da base β1 para a base β, escolhida

para formar a classe A, e P2 a matriz de mudanca da base β2 para a base β. Sabemos que

a matriz P−1

2e a matriz de mudanca da base β para a base β2. Assim, a matriz P1 P

−1

2e

a matriz de mudanca da base β1 para a base β2. Desse modo, tem–se

det(P1 P−1

2) =

det(P1)

det(P2)> 0 ,

uma vez que det(P1) e det(P2) sao positivos. Portanto, as bases β1 e β2 pertencentes a

classe A tem a mesma orientacao. �

Proposicao 4.1.2 Sejam as bases γ1, γ2 ∈ B. Entao, as bases γ1 e γ2 tem a mesma

orientacao.

Demonstracao – Sejam M1 a matriz de mudanca da base γ1 para a base β, escolhida

para formar a classe A, e M2 a matriz de mudanca da base γ2 para a base β. Sabemos que

a matriz M−1

2e a matriz de mudanca da base β para a base γ2. Assim, a matriz M1 M

−1

2

e a matriz de mudanca da base γ1 para a base γ2. Desse modo, tem–se

det(M1 M−1

2) =

det(M1)

det(M2)> 0 ,

uma vez que det(M1) e det(M2) sao negativos. Portanto, as bases γ1 e γ2 pertencentes

a classe B tem a mesma orientacao. �


Proposicao 4.1.3 Sejam as bases β1 ∈ A e γ1 ∈ B. Entao, as bases β1 e γ1 tem

orientacao oposta.

Demonstracao – Sejam P1 a matriz de mudanca da base β1 para a base β, escolhida

para formar a classe A, e M1 a matriz de mudanca da base γ1 para a base β. Sabemos que

a matriz M−1

1e a matriz de mudanca da base β para a base γ1. Assim, a matriz P1 M

−1

1

e a matriz de mudanca da base β1 para a base γ1. Desse modo, tem–se

det(P1 M−1

1) =

det(P1)

det(M1)< 0 ,

uma vez que det(P1) e positivo e det(M1) e negativos. Portanto, as bases β1 ∈ A e

γ1 ∈ B tem orientacao oposta. �

Proposicao 4.1.4 A formacao das classes A e B, para separar as bases do espaco de

vetores V 3, nao dependem da escolha inicial da base β ∈ V 3 para obter a classe A.

Demonstracao – Considere que a formacao das classes A′ e B′, para separar as bases do

espaco de vetores V 3, obtidas atraves da escolha da base β′.

Inicialmente vamos considerar que as bases β e β′ tem a mesma orientacao, isto e, a matriz

P de mudanca da base β para a base β′ tem o determinante positivo, bem como a matriz

P−1 de mudanca da base β′ para a base β tem o determinante positivo.

Considere uma base qualquer γ′ pertencente a classe A′. Assim, as bases β′ e γ′ tem a

mesma orientacao. Desse modo, as bases γ′ e β tem a mesma orientacao, pela propriedade

transitiva, uma vez que ter a mesma orientacao e uma classe de equivalencia, veja o item (c)

do Exercıcio 4.2.6. Logo, a base γ′ pertence a classe A. Portanto, mostramos que a classe

A′ esta contida na classe A.

De modo analogo, considere uma base qualquer γ pertencente a classe A. Assim, as bases

β e γ tem a mesma orientacao. Desse modo, as bases γ e β′ tem a mesma orientacao, pela

propriedade transitiva, uma vez que ter a mesma orientacao e uma classe de equivalencia,

veja o item (c) do Exercıcio 4.2.6. Logo, a base γ pertence a classe A′. Assim, mostramos

que a classe A esta contida na classe A′. Portanto, mostramos que as classes A e A′ sao

iguais, assim como as classes B e B′ tambem sao iguais.

Finalmente, considerando que as bases β e β′ tem a orientacao oposta, isto e, a matriz P

de mudanca da base β para a base β′ tem o determinante negativo, bem como a matriz

P−1 de mudanca da base β′ para a base β tem o determinante negativo. De maneira

analoga, podemos mostrar agora que as classes A e B′ sao iguais, assim como as classes

B e A′ tambem sao iguais, o que completa a demonstracao. �

Petronio Pulino 209

Definicao 4.1.2 Sejam as classes A e B formadas para separar as bases do espaco de

vetores V 3. Dizemos que o espaco de vetores V 3 esta orientado escolhendo a classe A, ou

a classe B, para orientar o espaco de vetores V 3. As bases pertencentes a classe escolhida

para orientar o espaco V 3 sao denominadas bases positivas, e as bases pertencentes a

outra classe sao denominadas bases negativas.

E muito importante a orientacao do espaco de vetores V 3 na definicao do produto vetorial.

Vamos entender essa importancia com a seguinte colocacao.

Problema 4.1 Considere que a caracterizacao da orientacao do espaco de vetores V 3 fica

dada pela base ortonormal γ = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Dados dois vetores ~u, ~v ∈ V 3 linearmente

independentes, determinar um vetor ~w ∈ V 3 satisfazendo as seguintes propriedades:

(a) O vetor ~w deve ser ortogonal simultaneamente aos vetores ~u e ~v, isto e, o vetor ~w

deve ser ortogonal ao plano que contem os vetores ~u e ~v, como ilustra a Figura 4.6.

(b) A norma do vetor ~w deve ser igual a area do paralelogramo definido pelos vetores ~u

e ~v, como ilustra a Figura 4.6.

r ✲��✒

✻

❄

~v

~u

w1

w2

O ��✒✲

��

��π

Figura 4.6: Interpretacao Geometrica para o Problema 4.1

Verificamos facilmente que as condicoes (a) e (b) impostas ao vetor ~w nao sao suficientes

para que o Problema 4.1 tenha solucao unica. De fato, a primeira condicao e satisfeita para

um numero infinito de vetores de V 3. Impondo a segunda condicao, o Problema 4.1 fica

com duas solucoes, que sao os vetores ~w1 e ~w2 que ilustramos na Figura 4.6.

Desse modo, necessitamos impor mais uma condicao ao Problema 4.1, para determinar o

vetor ~w de modo unico. Essa condicao sera fornecida pela orientacao do espaco de vetores

V 3, isto e, devemos pedir que o conjunto γ′ = { ~u, ~v, ~w } e a base ortonormal γ tenham a

mesma orientacao. Podemos ver facilmente que o conjunto γ′ e linearmente independente.

Portanto, γ′ e uma base positiva. Acredito que nesse momento estamos preparados para

apresentar um estudo sobre o produto vetorial de dois vetores de V 3, que sera realizado na

secao 4.3.


Exemplo 4.1.6 Considere a base ordenada γ1 = { ~u1, ~u2, ~u3 }, onde

~u1 = (1, 0, 1) , ~u2 = (0, 1, 0) e ~u3 = (1, 0,−1) ,

e a base ordenada γ2 = {~v1, ~v2, ~v3 }, onde

~v1 = (1,−2,−3) , ~v2 = (−1, 1, 2) e ~v3 = (1, 2,−2) ,

para o espaco de vetores V 3. Verifique se as bases ordenadas γ1 e γ2 tem a mesma

orientacao, ou tem orientacao oposta.

Resolucao – Vamos analisar o sinal do determinante da matriz P de mudanca da base

γ2 para a base γ1. Como γ1 e uma base ortogonal, podemos escrever os elementos da base

γ2 em funcao dos elementos da base γ1 da seguinte forma:

~v1 =〈~v1, ~u1 〉〈 ~u1, ~u1 〉

~u1 +〈~v1, ~u2 〉〈 ~u2, ~u2 〉

~u2 +〈~v1, ~u3 〉〈 ~u3, ~u3 〉

~u3

= −2

2(1, 0, 1) − 2

1(0, 1, 0) +

4

2(1, 0,−1)

~v2 =〈~v2, ~u1 〉〈 ~u1, ~u1 〉

~u1 +〈~v2, ~u2 〉〈 ~u2, ~u2 〉

~u2 + −〈~v3, ~u2 〉〈 ~u3, ~u3 〉

~u3

=1

2(1, 0, 1) +

1

1(0, 1, 0) − 3

1(1, 0,−1)

~v3 =〈~v3, ~u1 〉〈 ~u1, ~u1 〉

~u1 +〈~v3, ~u2 〉〈 ~u2, ~u2 〉

~u2 +〈~v3, ~u3 〉〈 ~u3, ~u3 〉

~u3

= −1

2(1, 0, 1) +

2

1(0, 1, 0) +

3

2(1, 0,−1)

Assim, a matriz P de mudanca da base γ2 para a base γ1 e dada por:

P =

−11

2−1

2

−2 1 2

2 −3

2

3

2

=⇒ det(P ) = −3

2+ 2 − 3

2− 3 +

3

2+ 1 = −3

2< 0 .

Portanto, as bases γ1 e γ2 tem orientacao oposta, uma vez que o determinante da matriz

de mudanca de base P tem sinal negativo.

Exemplo 4.1.7 Considere a base ordenada γ = { ~u1, ~u2, ~u3 }, onde

~u1 = (1, 0,−1) , ~u2 = (0, 1, 0) e ~u3 = (1, 0, 1) ,

e a base canonica β = {~e1, ~e2, ~e3 }, onde

~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1) ,

para o espaco de vetores V 3. Verifique se as bases ordenadas γ e β tem a mesma

orientacao, ou tem orientacao oposta, analisando os dois criterios apresentados.


Petronio Pulino 211

4.2 Exercıcios

Exercıcio 4.2.1 Considere as bases ordenadas para o espaco de vetores V 3, β = {~v1, ~v2, ~v3 }e γ = {~w1 , ~w2 , ~w3}, cuja matriz P de mudanca da base β para a base γ e dada por:

P =

−1 1 0

1 0 1

0 1 −1

.

Verifique se as bases β e γ tem mesma orientacao ou orientacao oposta.

Exercıcio 4.2.2 Considere as bases ordenadas para o espaco de vetores V 3, γ = {~v1, ~v2, ~v3 }e β = {~w1 , ~w2 , ~w3}, cujos vetores estao relacionados da forma:

~w1 = −~v1 + ~v2 + ~v3

~w2 = ~v1 − ~v2 + ~v3

~w3 = ~v1 + ~v2

Verifique se as bases γ e β tem mesma orientacao ou orientacao oposta.

Exercıcio 4.2.3 Considere as bases ordenadas para o espaco de vetores V 3, γ = { ~u, ~v, ~w }e β = {~u, ~v, ~r}. Sabendo–se que as base γ e β tem orientacao oposta e que os vetores

~r e ~w tem a mesma direcao, isto e, ~r = λ~w, e normas iguais, determine o valor do

parametro λ.

Exercıcio 4.2.4 Considere as bases ordenadas para o espaco de vetores V 3, γ = { ~u, ~v, ~w }e β = {~u, ~v, ~r}. Sabendo–se que as base γ e β tem a mesma orientacao e que os vetores

~r e ~w tem a mesma direcao, isto e, ~r = λ~w, e normas iguais, determine o valor do

parametro λ.

Exercıcio 4.2.5 Considere as seguintes bases ordenadas para o espaco de vetores V 3

γ = { ~u, ~v, ~w } e β = {~u, ~v + 2~w, ~v + ~r} ,

onde os vetores ~r e ~w tem a mesma direcao, isto e, ~r = λ~w, e normas iguais. Sabendo–se

que as base γ e β tem orientacao oposta, determine os valores do parametro λ.

Exercıcio 4.2.6 Sejam β, γ, α bases ordenadas para o espaco de vetores V 3. Mostre que

ter a mesma orientacao e uma relacao de equivalencia, isto e, tem as seguintes

propriedades:

(a) Reflexiva – A base β tem a mesma orientacao da base β.

(b) Simetrica– Se a base β tem a mesma orientacao da base γ, entao a base γ tem a

mesma orientacao da base β.

(c) Transitiva – Se a base β tem a mesma orientacao da base γ, e a base γ tem a

mesma orientacao da base α, entao a base β tem a mesma orientacao da base α.


4.3 Produto Vetorial

Definicao 4.3.1 Considere que a orientacao do espaco de vetores V 3 seja dada pela base

ortonormal β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Definimos o produto vetorial dos vetores ~u, ~v ∈ V 3, que

denotamos pelo vetor ~u ∧ ~v ∈ V 3 , da seguinte forma:

(a) Se os vetores ~u e ~v sao linearmente dependentes, entao ~u ∧ ~v = ~0.

(b) Se os vetores ~u e ~v sao linearmente independentes, entao o vetor ~u ∧ ~v ∈ V 3 tera

as seguintes caracterısticas:

1. A norma do vetor ~u∧~v sera igual a area do paralelogramo formado pelos vetores

~u e ~v, isto e,

‖ ~u ∧ ~v ‖ = ‖ ~u ‖‖~v ‖ sin θ , (4.1)

onde θ e medida do angulo entre os vetores ~u e ~v, e h = ‖~v ‖ sin θ e a altura

do paralelogramo, como ilustra a Figura 4.7.

r ✲��✒~v

~u

��✒✲

hθ..................

..................

..................

.................

Figura 4.7: Paralelogramo definidos pelos vetores ~u e ~v

2. O vetor ~u ∧ ~v e ortogonal aos vetores ~u e ~v, isto e, o vetor ~u ∧ ~v e ortogonal

ao plano que contem os vetores ~u e ~v, como ilustra a Figura 4.8.

3. O conjunto de vetores { ~u, ~v, ~u∧~v } ⊂ V 3 e uma base positiva para o espaco de

vetores V 3, isto e, tem a mesma orientacao da base escolhida para orientar V 3.

r ✲��✒

✻

~v

~u

~u ∧ ~v

O��✒✲

hθ..................

..................

..................

.................

��

��π

Figura 4.8: Interpretacao Geometrica do Produto Vetorial

Petronio Pulino 213

Teorema 4.3.1 Considere que a orientacao do espaco de vetores V 3 seja dada pela base

ortonormal β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Dados os vetores ~u, ~v ∈ V 3 cujas matrizes de coordenadas

com relacao a base ordenada β sao expressas, respectivamente, por:

[~u]β =

a1

b1

c1

e [~v]β =

a2

b2

c2

. (4.2)

Entao, o produto vetorial dos vetores ~u e ~v e calculado da seguinte forma:

~u ∧ ~v =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~q1 ~q2 ~q3

a1 b1 c1

a2 b2 c2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

, (4.3)

onde o determinante e interpretado formalmente da seguinte maneira:

~u ∧ ~v =

∣

∣

∣

∣

b1 c1b2 c2

∣

∣

∣

∣

~q1 −∣

∣

∣

∣

a1 c1a2 c2

∣

∣

∣

∣

~q2 +

∣

∣

∣

∣

a1 b1a2 b2

∣

∣

∣

∣

~q3 . (4.4)

Note que o termo da direita da equacao (4.4) pode ser escrito da seguinte forma:

~u ∧ ~v = (b1 c2 − b2 c1) ~q1 + (a2 c1 − a1 c2) ~q2 + (a1 b2 − a2 b1) ~q3 . (4.5)

Demonstracao – Basicamente devemos mostrar que o vetor ~w dado da forma:

~w =

∣

∣

∣

∣

b1 c1b2 c2

∣

∣

∣

∣

~q1 −∣

∣

∣

∣

a1 c1a2 c2

∣

∣

∣

∣

~q2 +

∣

∣

∣

∣

a1 b1a2 b2

∣

∣

∣

∣

~q3 , (4.6)

tem as mesmas propriedades do vetor ~u∧~v descritas na Definicao 4.3.1 de produto vetorial

dos vetores ~u e ~v, isto e, ~w = ~u ∧ ~v.

(a) Se os vetores ~u, ~v ∈ V 3 sao linearmente dependentes, isto e, ~u = λ~v ou ~v = λ~u,

podemos verificar facilmente que todos os determinantes na equacao 4.6 sao nulos. Portanto,

mostramos que o vetor ~w = ~0 = ~u ∧ ~v.

(b) Considere que os vetores ~u, ~v ∈ V 3 sao linearmente independentes. Vamos mostrar

que o vetor ~w tem as mesmas caracterısticas do vetor ~u ∧ ~v descritas na Definicao 4.3.1.

1. Devemos mostrar que ‖ ~w ‖ = ‖ ~u ∧ ~v ‖. Para isso, vamos calcular o quadrado da norma

dos respectivos vetores. Tomando a equacao (4.6), tem–se:

‖ ~w ‖2 =

∣

∣

∣

∣

b1 c1b2 c2

∣

∣

∣

∣

2

+

∣

∣

∣

∣

a1 c1a2 c2

∣

∣

∣

∣

2

+

∣

∣

∣

∣

a1 b1a2 b2

∣

∣

∣

∣

2

= (b1 c2 − b2 c1)2 + (a2 c1 − a1 c2)

2 + (a1 b2 − a2 b1)2 .

(4.7)


Vamos calcular o quadrado da norma do vetor ~u ∧ ~v. Tomando a equacao (4.1), tem–se:

‖ ~u ∧ ~v ‖2 = ‖ ~u ‖2 ‖~v ‖2 (sin θ)2

= ‖ ~u ‖2 ‖~v ‖2 ( 1 − (cos θ)2 )

= ‖ ~u ‖2 ‖~v ‖2 − ‖ ~u ‖2 ‖~v ‖2 cos θ)2

= ‖ ~u ‖2 ‖~v ‖2 − 〈 ~u,~v 〉2

(4.8)

Note que podemos escrever a equacao (4.8) da seguinte forma:

‖ ~u ∧ ~v ‖2 = ( (a1)2 + (b1)

2 + (c1)2 )( (a2)

2 + (b2)2 + (c2)

2 ) − ( a1a2 + b1b2 + c1c2 )2 . (4.9)

O primeiro termo do lado direito da equacao (4.9) pode ser escrito da forma:

(a1a2)2 + a2

1b22+ a2

1c22+ b2

1a22+ (b1b2)

2 + b21c22+ c2

1a22+ c2

1b22+ (c1c2)

2 . (4.10)

O segundo termo do lado direito da equacao (4.9) pode ser escrito da forma:

−(a1a2)2 − 2a1b2a2b1 − 2a1c2a2c1 − (b1b2)

2 − 2b1c2b2c1 − (c1c2)2 . (4.11)

Somando as expressoes dadas em (4.10) e (4.11), cancelando os termos iguais e agrupando

adequadamente os termos restantes, obtemos

‖ ~u ∧ ~v ‖2 = (b1 c2 − b2 c1)2 + (a2 c1 − a1 c2)

2 + (a1 b2 − a2 b1)2 . (4.12)

Portanto, das equacoes (4.7) e (4.12), mostramos que

‖ ~w ‖2 = ‖ ~u ∧ ~v ‖2 ⇐⇒ ‖ ~w ‖ = ‖ ~u ∧ ~v ‖ . (4.13)

2. Vamos mostrar que o vetor ~w e ortogonal aos vetores ~u e ~v, isto e,

〈 ~w, ~u 〉 = 0 e 〈 ~w,~v 〉 = 0 .

Note que os vetores ~w, ~u e ~v sao escritos com relacao a base ortonormal β da forma:

~w =

∣

∣

∣

∣

b1 c1b2 c2

∣

∣

∣

∣

~q1 −∣

∣

∣

∣

a1 c1a2 c2

∣

∣

∣

∣

~q2 +

∣

∣

∣

∣

a1 b1a2 b2

∣

∣

∣

∣

~q3

~u = a1~q1 + b1~q2 + c1~q3

~v = a2~q1 + b2~q2 + c2~q3

(4.14)

Petronio Pulino 215

Assim, o produto escalar entre os vetores ~w e ~u e dado por:

〈 ~w, ~u 〉 =

∣

∣

∣

∣

b1 c1b2 c2

∣

∣

∣

∣

a1 −∣

∣

∣

∣

a1 c1a2 c2

∣

∣

∣

∣

b1 +

∣

∣

∣

∣

a1 b1a2 b2

∣

∣

∣

∣

c1

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 b1 c1

a1 b1 c1

a2 b2 c2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

(4.15)

provando que os vetores ~w e ~u sao ortogonais.

De modo analogo, o produto escalar entre os vetores ~w e ~v e dado por:

〈 ~w, ~u 〉 =

∣

∣

∣

∣

b1 c1b2 c2

∣

∣

∣

∣

a2 −∣

∣

∣

∣

a1 c1a2 c2

∣

∣

∣

∣

b2 +

∣

∣

∣

∣

a1 b1a2 b2

∣

∣

∣

∣

c2

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a2 b2 c2

a1 b1 c1

a2 b2 c2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

(4.16)

provando que os vetores ~w e ~v sao ortogonais. Portanto, mostramos que o vetor ~w e

ortogonal aos vetores ~u e ~v, isto e, o vetor ~w e paralelo aos vetores ~u e ~v.

3. Consideramos que os vetores ~u e ~v sao linearmente independentes, e provamos que o

vetor ~w e ortogonal aos vetores ~u e ~v. Logo, o conjunto γ = { ~u, ~v, ~w } e linearmente

independente no espaco de vetores V 3. Assim, γ e uma base para o espaco V 3.

Vamos mostra agora que o conjunto γ = { ~u, ~v, ~w } e uma base positiva, isto e, tem a

mesma orientacao da base ortonormal β. Desse modo, os vetores ~w e ~u ∧ ~v tem o mesmo

sentido, provando que ~u ∧ ~v = ~w.

Para mostrar que as bases β e γ tem a mesma orientacao, vamos analisar o sinal do

determinante da matriz P de mudanca da base γ para a base β.

Das relacoes entre os vetores das bases γ e β, dadas em (4.14), temos que a matriz de

mudanca de base e representada da seguinte forma:

P =

a1 a2

∣

∣

∣

∣

b1 c1b2 c2

∣

∣

∣

∣

b1 b2 −∣

∣

∣

∣

a1 c1a2 c2

∣

∣

∣

∣

c1 c2

∣

∣

∣

∣

a1 b1a2 b2

∣

∣

∣

∣

(4.17)


Desenvolvendo o determinante da matriz P pela terceira coluna, tem–se:

det(P ) =

∣

∣

∣

∣

b1 b2c1 c2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b1 c1b2 c2

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

a1 a2c1 c2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 c1a2 c2

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

a1 a2b1 b2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 b1a2 b2

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

b1 c1b2 c2

∣

∣

∣

∣

2

+

∣

∣

∣

∣

a1 c1a2 c2

∣

∣

∣

∣

2

+

∣

∣

∣

∣

a1 b1a2 b2

∣

∣

∣

∣

2

= ‖ ~w ‖2 > 0 ,

(4.18)

provando que as bases β = { ~q1, ~q2, ~q3 } e γ = { ~u, ~v, ~w } tem a mesma orientacao.

Portanto, os vetores ~w e ~u ∧ ~v tem o mesmo sentido, provando que ~w = ~u ∧ ~v, o que

completando a demonstracao. �

Exemplo 4.3.1 Considere a orientacao do espaco de vetores V 3 dada pela base canonica

β = {~e1, ~e2, ~e3 }, onde ~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1). Calcule o

produto vetorial dos vetores ~u = (1, 0, 1) e ~v = (2, 1,−1).

Resolucao – Sabemos que o produto vetorial dos vetores ~u e ~v, relativamente a base

base canonica β, e calculado da seguinte forma:

~u ∧ ~v =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~e1 ~e2 ~e3

1 0 1

2 1 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −~e1 + 3~e2 + ~e3 = (−1, 3, 1) .

uma vez que as matrizes de coordenadas dos vetores ~u e ~v com relacao a base canonica β

sao expressas, respectivamente, por:

[~u]β =

101

e [~v]β =

21

−1

.

Exemplo 4.3.2 Considere a orientacao do espaco de vetores V 3 dada pela base ortonormal

β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Dados os vetores ~u, ~v ∈ V 3 cujas matrizes de coordenadas com relacao

a base ordenada β sao expressas, respectivamente, por:

[~u]β =

a1

b1

c1

e [~v]β =

a2

b2

c2

,

podemos verificar facilmente que ~u ∧ ~v = −~v ∧ ~u.



β = {~e1, ~e2, ~e3 }. Determine a area do triangulo formado pelos vetores

~u = (1, 1, 1) e ~v = (1,−1, 1) .


Petronio Pulino 217



produto vetorial dos vetores ~u = (1, 2, 3) e ~v = (1, 1, 1).


canonica β, e calculado da seguinte forma:

~u ∧ ~v =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~e1 ~e2 ~e3

1 2 3

1 1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −~e1 + 2~e2 − ~e3 = (−1, 2,−1) ∈ V 3 . (4.19)

uma vez que as matrizes de coordenadas dos vetores ~u e ~v com relacao a base canonica β

sao expressas, respectivamente, por:

[~u]β =

123

e [~v]β =

111

.


γ = { ~q1, ~q2, ~q3 }, onde

~q1 =

√2

2(1, 0,−1) , ~q2 = (0, 1, 0) e ~q3 =

√2

2(1, 0, 1)

Dados os vetores ~u = (1, 2, 3), ~v = (1, 1, 1) ∈ V 3 cujas matrizes de coordenadas com

relacao a base ordenada γ sao dadas por:

[~u]γ =

−√2

2

2√2

e [~v]γ =

0

1√2

.

Determine o produto vetorial dos vetores ~u e ~v, relativamente a base ortonormal γ.


ortonormal γ, e calculado da seguinte forma:

~u ∧ ~v =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~q1 ~q2 ~q3

−√2 2 2

√2

0 1√2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0~u1 + 2~u2 −√2~u3 = (−1, 2,−1) ∈ V 3 . (4.20)

E importante observar nos Exemplos 4.3.4 e 4.3.5 que β e γ sao duas bases positivas para

o espaco de vetores V 3, isto e, as bases β e γ tem a mesma orientacao, veja a resolucao

do Exemplo 4.1.7. Assim, os vetores ~u ∧ ~v ∈ V 3 dados pelas equacoes (4.19) e (4.20),

sao iguais. Desse modo, fica evidente a importancia da orientacao do espaco de vetores

V 3 para a definicao e para o calculo do produto vetorial. Gostaria de ressaltar que o fato

exemplificado nos Exemplos 4.3.4 e 4.3.5 nada mais e que uma consequencia da propriedade

3(c) da Definicao 4.3.1 de produto vetorial, isto e, { ~u, ~v, ~u ∧ ~v } e uma base positiva.


Teorema 4.3.2 Considere a orientacao do espaco de vetores V 3 dada pela base ortonormal

β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Para quaisquer vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3 e λ ∈ IR tem–se

(a) ~u ∧ (~v + ~w) = ~u ∧ ~v + ~u ∧ ~w.

(b) (~v + ~w) ∧ ~u = ~v ∧ ~u + ~w ∧ ~u.

(c) ~u ∧ (λ~v) = (λ~u) ∧ ~v = λ(~u ∧ ~v).

(d) ~u ∧ ~v = −~v ∧ ~u.

Demonstracao – Por simplicidade considere que as matrizes de coordenadas do vetores

~u, ~v, ~w ∈ V 3 com relacao a base ordenada β sao expressas, respectivamente, por:

[~u]β =

a1b1c1

, [~v]β =

a2b2c2

e [~w]β =

a3b3c3

.

A prova segue do calculo formal do produto vetorial e das propriedades de determinante. �


β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Prove que

‖ ~u ∧ ~v ‖2 + 〈 ~u,~v 〉2 = ‖ ~u ‖2 ‖~v ‖2 , (4.21)

para todo ~u, ~v ∈ V 3, denominada Identidade de Lagrange.

Resolucao – Sabemos que

‖ ~u ∧ ~v ‖ = ‖ ~u ‖‖~v ‖ sin(θ) e 〈 ~u,~v 〉 = ‖ ~u ‖‖~v ‖ cos(θ) . (4.22)

onde θ e a medida do angulo entre os vetores ~u e ~v. Assim, obtemos

‖ ~u ∧ ~v ‖2 + 〈 ~u,~v 〉2 = ‖ ~u ‖2 ‖~v ‖2( sin(θ) )2 + ‖ ~u ‖2 ‖~v ‖2( cos(θ) )2

= ‖ ~u ‖2 ‖~v ‖2( ( sin(θ) )2 + ( cos(θ) )2 )

= ‖ ~u ‖2 ‖~v ‖2

(4.23)

uma vez que (sin(θ) )2 + ( cos(θ) )2 = 1, o que completa a prova.


β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Prove que

(a) ‖ ~u ∧ ~v ‖ ≤ ‖ ~u ‖‖~v ‖ para todo ~u, ~v ∈ V 3.

(b) ‖ ~u ∧ ~v ‖ = ‖ ~u ‖‖~v ‖ ⇐⇒ ~u ⊥ ~v.

Resolucao – A prova segue imediato da Identidade de Lagrange.

Petronio Pulino 219


β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Se os vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3 satisfazem a condicao

~u + ~v + ~w = ~0 , (4.24)

prove que ~u ∧ ~v = ~v ∧ ~w = ~w ∧ ~u.

Resolucao – Fazendo o produto vetorial de ambos os membros da equacao (4.24) pelo

vetor ~v, obtemos

( ~u + ~v + ~w ) ∧ ~v = ~0 ∧ ~v =⇒ ~u ∧ ~v + ~v ∧ ~v + ~w ∧ ~v = ~0 =⇒ ~u ∧ ~v = ~v ∧ ~w ,

uma vez que ~v ∧ ~v = ~0 e ~w ∧ ~v = −~v ∧ ~w.

Finalmente, fazendo o produto vetorial de ambos os membros da equacao (4.24) pelo vetor

~w, obtemos

( ~u + ~v + ~w ) ∧ ~w = ~0 ∧ ~v =⇒ ~u ∧ ~w + ~v ∧ ~w + ~w ∧ ~w = ~0 =⇒ ~v ∧ ~w = ~w ∧ ~u ,

uma vez que ~w ∧ ~w = ~0 e ~u ∧ ~w = −~w ∧ ~u, o que completa a prova.


β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Se os vetores ~u, ~v, ~w, ~r ∈ V 3 satisfazem as condicoes

~u ∧ ~v = ~w ∧ ~r e ~u ∧ ~w = ~v ∧ ~r ,

prove que os vetores ~u − ~r e ~v − ~w sao linearmente dependentes.

Resolucao – Considerando as condicoes para os vetores ~u, ~v, ~w, ~r, tem–se

~u ∧ ~v + ~v ∧ ~r = ~w ∧ ~r + ~u ∧ ~w =⇒ ~u ∧ ~v − ~r ∧ ~v = −(~r ∧ ~w) + ~u ∧ ~w

Da equacao acima, obtemos

(~u − ~r) ∧ ~v = (~u − ~r) ∧ ~w =⇒ (~u − ~r) ∧ ~v − (~u − ~r) ∧ ~w = ~0

Agrupando os termos da equacao acima, tem–se

(~u − ~r) ∧ (~v − ~w) = ~0 ,

provando que os vetores ~u − ~r e ~v − ~w sao linearmente dependentes.

Exemplo 4.3.10 Considere que a orientacao do espaco de vetores V 3 seja dada pela base

ortonormal β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Se os vetores ~u, ~v, ∈ V 3 sao linearmente independentes, e

~w ∧ ~u = ~w ∧ ~v = ~0 para ~w ∈ V 3 ,

prove que o vetor ~w = ~0. Apresente uma interpretacao geometrica.


4.4 Exercıcios

Em todos os Exercıcios , considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar

〈 · , · 〉 , definido da seguinte forma:

〈 ~u,~v 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3

para todo ~u = (x1 , x2 , x3) , ~v = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3. Alem disso, a norma proveniente

desse produto escalar, denominada Norma Euclidiana, definida da seguinte forma:

‖ ~u ‖ =√

〈 ~u, ~u 〉 =√

(x1)2 + (x2)2 + (x3)2

para todo ~u = (x1 , x2 , x3) ∈ V 3.

Considere a orientacao do espaco de vetores V 3 dada pela base canonica β = {~e1, ~e2, ~e3 },onde

~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1) .

Assim, o produto vetorial entre dois vetores do espaco V 3 fica definido da forma:

~u ∧ ~v =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~e1 ~e2 ~e3

x1 x2 x3

y1 y2 y3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

x2 x3

y2 y3

∣

∣

∣

∣

~e1 −∣

∣

∣

∣

x1 x3

y1 y3

∣

∣

∣

∣

~e2 +

∣

∣

∣

∣

x1 x2

y1 y2

∣

∣

∣

∣

~e3

= (x2 y3 − x3 y2)~e1 + (x3 y1 − x1 y3)~e2 + (x1 y2 − x2 y1)~e3

para todo ~u = (x1 , x2 , x3) , ~v = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3.

Exercıcio 4.4.1 Considere a orientacao do espaco de vetores V 3 dada pela base canonica

β = {~e1, ~e2, ~e3 }. Determine o vetor ~x ∈ V 3 de modo que seja ortogonal aos vetores

~u, ~v ∈ V 3 e satisfazendo a seguinte condicao

〈 ~x, ~w 〉 = 2 ,

onde ~u = (1, 2, 1), ~v = (−1, 1, 3) e ~w = (1, 1, 1).

Exercıcio 4.4.2 Considere as seguintes bases ordenadas para o espaco de vetores V 3

γ = { ~u, ~v, ~w } e β = { ~u + λ~v, ~u + ~v − 2~w, ~v + λ~w } .

Determine, se possıvel, os valores do escalar λ de modo que as bases ordenadas γ e β tem

a mesma orientacao.

Exercıcio 4.4.3 Considere a orientacao do espaco de vetores V 3 dada pela base ortonormal

β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Sabendo que a medida do angulo entre os vetores ~u, ~v ∈ V 3 e igual a

θ =π

3, ‖ ~u ‖ = 6 e ‖~v ‖ = 2, calcule ‖ ~u ∧ ~v ‖.

Petronio Pulino 221


γ = { ~q1, ~q2, ~q3 }, onde

~q1 =

√2

2(1, 0, 1) , ~q2 = (0, 1, 0) e ~q3 =

√2

2(1, 0,−1)

Dados os vetores ~u = (1, 2, 3), ~v = (1, 1, 1) ∈ V 3

(a) Determine a matriz de coordenadas do vetor ~u com relacao a base ortogonal γ.

(b) Determine a matriz de coordenadas do vetor ~v com relacao a base ortogonal γ.

(b) Determine o produto vetorial dos vetores ~u e ~v, relativamente a base ortonormal γ.

(c) Comente o resultado obtido com os resultados dos Exemplos 4.3.4 e 4.3.5.


β = {~e1, ~e2, ~e3 }.

(a) Determine a area do paralelogramo ABCD sendo

−→AB = (1, 1,−1) e

−−→AD = (2, 1, 4) .

(b) Mostre que a altura h de um triangulo ABC relativa ao lado AB e dada por:

h =‖−→AB ∧ −→

AC ‖‖−→AB ‖

.

(c) Determine a distancia de um ponto C a reta r que passa pelos ponto A e B.

Faca inicialmente uma representacao geometrica dos problemas.


β = {~e1, ~e2, ~e3 }. Determine o vetor ~x ∈ V 3 satisfazendo as seguintes condicoes

~x ∧ ~u = ~0

~x � ~v =3

2

onde ~u = (2, 3, 1) e ~v = (4,−2, 1).


β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Se os vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3 satisfazendo a condicao

~u ∧ ~v = ~u ∧ ~w ,

prove que os vetores ~u e ~v − ~w sao linearmente dependentes.



β = {~e1, ~e2, ~e3 }. Dados os pontos A = (2, 0, 2), B = (3, 1,−1) e C = (1,−1, 1) do

espaco IE3.

(a) Determine a area do triangulo ABC.

(b) Determine a distancia do ponto C a reta r que passa pelos pontos A e B.

Faca inicialmente uma representacao geometrica dos problemas.


β = {~e1, ~e2, ~e3 }. Determine o vetor ~u ∈ V 3 satisfazendo as seguintes condicoes

~u ∧ ~v = ~w e ‖ ~u ‖ =√3 ,

onde ~v = (0, 1, 1) e ~w = (−2,−1, 1).


β = {~e1, ~e2, ~e3 }. Determine a area do triangulo ABC definido pelo vetores−→AB e

−−→BC

dados por:−→AB = (1,−1, 1) e

−−→BC = (−1, 1, 2) ,

como ilustra a Figura 4.9.

r��✒

A

r

❅❅❅❅❅❅❘

B

rC

✥✥✥✥✥✥✥✥

✥✥✥✥✥✥✥

Figura 4.9: Ilustracao do triangulo ABC


β = {~e1, ~e2, ~e3 }. Determine o vetor ~x ∈ V 3 satisfazendo as seguintes condicoes

~x ∧ ~u = ~w

~x � ~v = 5

onde ~u = (1, 0, 1), ~v = (1,−1,−2) e ~w = (−2,−2, 2).

Petronio Pulino 223

4.5 Produto Misto

Definicao 4.5.1 Considere a orientacao do espaco de vetores V 3 dada pela base ortonormal

β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Definimos o produto misto dos vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3, que denotamos

por [~u, ~v, ~w], da seguinte forma:

[~u, ~v, ~w] = 〈 ~u ∧ ~v, ~w 〉 . (4.25)

Vamos apresentar uma interpretacao geometrica do produto misto dos vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3.

Sabemos que a norma do vetor resultante do produto vetorial dos vetores ~u e ~v e definida

da seguinte forma:

‖ ~u ∧ ~v ‖ = ‖ ~u ‖‖~v ‖ sin(θ1) , (4.26)

onde θ1 e a medida do angulo entre os vetores ~u e ~v, e Ap = ‖ ~u ∧ ~v ‖ representa a area

do paralelogramo formado pelos vetores ~u e ~v.

A altura do paralelepıpedo, que vamos denotar por h, e igual a norma da projecao do vetor

~w sobre a direcao do vetor ~r = ~u ∧ ~v. Sabemos que a projecao do vetor ~w sobre a direcao

do vetor ~r = ~u ∧ ~v e o vetor dado por:

−−→proj~r(~w) =

〈 ~u ∧ ~v, ~w 〉‖ ~u ∧ ~v ‖2 ~u ∧ ~v (4.27)

Assim, a norma do vetor projecao e dada por:

h = ‖−−→proj~r(~w) ‖ =| 〈 ~u ∧ ~v, ~w 〉 |‖ ~u ∧ ~v ‖2 ‖ ~u ∧ ~v ‖ =

| 〈 ~u ∧ ~v, ~w 〉 |‖ ~u ∧ ~v ‖ . (4.28)

Sabemos que o volume do paralelepıpedo, que vamos denotar por Vp, e igual a area da base,

que e a area do paralelogramo formado pelos vetores ~u e ~v, vez sua altura. Assim, tem–se

que Vp e calculado da seguinte forma:

Vp = Ap × h = ‖ ~u ∧ ~v ‖ | 〈 ~u ∧ ~v, ~w 〉 |‖ ~u ∧ ~v ‖ = | 〈 ~u ∧ ~v, ~w 〉 | = | [~u, ~v, ~w] | . (4.29)

r ✲��✒

✄✄✄✄✄✄✄✄✗ ~w

~v

~u

��

��

✄✄✄✄✄✄✄✄

✄✄✄✄✄✄✄✄

��

✻

✻~u ∧ ~v

Figura 4.10: Interpretacao Geometrica do Produto Misto

Portanto, o modulo do produto misto dos vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3 representa o volume do

paralelepıpedo formado pelos vetores ~u, ~v, ~w, como ilustra a Figura 4.10.




volume do paralelepıpedo formado pelos vetores

~u = (1, 1, 1) , ~v = (2,−1, 1) e ~w = (1, 1,−1) .



β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Dados os vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3 mutuamente ortogonais, e sabendo que

‖ ~u ‖ = 4, ‖~v ‖ = 2 e ‖ ~w ‖ = 3, calcule [~u, ~v, ~w].



β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Dados os vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3 de modo que o vetor ~w e ortogonal aos

vetores ~u e ~v, a medida do angulo entre os vetores ~u e ~v e igual a θ =π

4. Sabendo que

‖ ~u ‖ = 6, ‖~v ‖ = 2 e ‖ ~w ‖ = 2, calcule [~u, ~v, ~w].



β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Dados os vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3, prove que

| [~u, ~v, ~w] | ≤ ‖ ~u ‖‖~v ‖‖ ~w ‖ . (4.30)

Em quais condicoes vale a igualdade?

Resolucao – Atraves da aplicacao da desigualdade de Cauchy–Schwarz, obtemos

| [~u, ~v, ~w] | = | 〈 ~u ∧ ~v, ~w 〉 | ≤ ‖ ~u ∧ ~v ‖‖ ~w ‖ . (4.31)

No Exemplo 4.3.7, mostramos que ‖ ~u ∧ ~v ‖ ≤ ‖ ~u ‖‖~v ‖, consequencia da Identidade de

Lagrange. Desse modo, substituindo na desigualdade acima, obtemos

| [~u, ~v, ~w] | = | 〈 ~u ∧ ~v, ~w 〉 | ≤ ‖ ~u ∧ ~v ‖‖ ~w ‖ ≤ ‖ ~u ‖‖~v ‖‖ ~w ‖ . (4.32)

Sabemos que vale a igualdade em Cauchy–Schwarz se, e somente se, os vetores ~u ∧ ~v e ~w

sao linearmente dependentes, isto e, ~u ∧ ~v = λ~w ou ~w = λ(~u ∧ ~v) para algum λ ∈ IR.

No mesmo Exemplo 4.3.7, mostramos que ‖ ~u ∧ ~v ‖ = ‖ ~u ‖‖~v ‖ ⇐⇒ ~u ⊥ ~v, consequencia

da Identidade de Lagrange. Portanto, com as duas condicoes descritas acima, isto e, os

vetores ~u, ~v, ~w sao mutuamente ortogonais, obtemos a igualdade

| [~u, ~v, ~w] | = | 〈 ~u ∧ ~v, ~w 〉 | = ‖ ~u ∧ ~v ‖‖ ~w ‖ = ‖ ~u ‖‖~v ‖‖ ~w ‖ , (4.33)

o que completa a prova.

Petronio Pulino 225


β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Dados os vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3 cujas matrizes de coordenadas com

relacao a base ordenada β sao expressas, respectivamente, por:

[~u]β =

a1

b1

c1

, [~v]β =

a2

b2

c2

e [~w]β =

a3

b3

c3

. (4.34)

Entao, o produto misto dos vetores ~u, ~v e ~w e calculado da seguinte forma:

[~u, ~v, ~w] =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

. (4.35)

Demonstracao – Sabemos que o produto vetorial dos vetores ~u e ~v, relativo a base

ortonormal β, e calculado da seguinte forma:

~u ∧ ~v =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~q1 ~q2 ~q3

a1 b1 c1

a2 b2 c2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

b1 c1b2 c2

∣

∣

∣

∣

~q1 −∣

∣

∣

∣

a1 c1a2 c2

∣

∣

∣

∣

~q2 +

∣

∣

∣

∣

a1 b1a2 b2

∣

∣

∣

∣

~q3 (4.36)

Em seguida vamos calcular o produto escalar entre os vetores ~u ∧ ~v e ~w. Sabemos que o

vetor ~w e escrito da seguinte forma:

~w = a3~q1 + b3~q2 + c3~q3 , (4.37)

assim, obtemos

[~u, ~v, ~w] = 〈 ~u ∧ ~v, ~w 〉 =

∣

∣

∣

∣

b1 c1b2 c2

∣

∣

∣

∣

a3 −∣

∣

∣

∣

a1 c1a2 c2

∣

∣

∣

∣

b3 +

∣

∣

∣

∣

a1 b1a2 b2

∣

∣

∣

∣

c3 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

. (4.38)

onde o determinante foi desenvolvido pela terceira linha, o que completa a demonstracao. �



produto misto dos vetores ~u = (1, 1, 1), ~v = (2,−1, 1) e ~w = (1, 1,−1).

Resolucao – Sabemos que o produto misto e calculado da forma:

[~u, ~v, ~w] =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 1

2 −1 1

1 1 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 1 + 1 + 2 + 1 + 2 − 1 = 6 .



β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Sejam os vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3. Entao,

(a) [~u, ~v, ~w] = −[~v, ~u, ~w]

(b) [~u, ~v, ~w] = [~v, ~w, ~u]

Demonstracao – Por simplicidade, considere que as matrizes de coordenadas dos vetores

~u, ~v, ~w com relacao a base ordenada β sao expressas, respectivamente, por:

[~u]β =

a1b1c1

, [~v]β =

a2b2c2

e [~w]β =

a3b3c3

. (4.39)

Pelo Teorema 4.5.1, sabemos que o produto misto dos vetores ~u, ~v e ~w e calculado

formalmente da seguinte forma:

[~u, ~v, ~w] =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

. (4.40)

Fazendo uso da propriedade de determinante, que cada permutacao de duas linha entre si

troca o sinal do determinante. Assim, permutando a primeira linha com a segunda linha,

obtemos

[~u, ~v, ~w] =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a2 b2 c2

a1 b1 c1

a3 b3 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −[~v, ~u, ~w] , (4.41)

em seguida realizamos a permutacao da segunda linha com a terceira linha, obtendo

[~u, ~v, ~w] =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a2 b2 c2

a3 b3 c3

a1 b1 c1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= [~v, ~w, ~u] , (4.42)

o que completa a demonstracao. �


β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Dados os vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3, prove que

(a) [~u, ~v, ~w] = −[~u, ~w, ~v]

(b) [~u, ~v, ~w] = [~w, ~u, ~v]

(c) [~u, ~v, ~w] = −[~w, ~v, ~u]


E importante observar que tanto o Teorema 4.5.2 quanto o Exemplo 4.5.6 mostram que no

produto misto a permutacao de dois vetores entre si causa a troca de sinal.

Petronio Pulino 227

4.6 Exercıcios


β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Se os vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3 satisfazem a condicao

~u ∧ ~v + ~v ∧ ~w + ~w ∧ ~u = ~0 ,

entao, os vetores ~u, ~v, ~w sao linearmente dependentes, isto e,

a~u + b~v + c~w = ~0 ,

onde os escalares a, b, c ∈ IR sao nao todos nulos.


β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Dados os vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3, prove a identidade

[~u, ~v, (~w + a~u + b~v)] = [~u, ~v, ~w] ,

para quaisquer escalares a, b ∈ IR.


β = {~e1, ~e2, ~e3 }, onde

~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1) .

Calcule o produto misto dos vetores ~u = (1,−1, 2), ~v = (2,−2, 1) e ~w = (3,−1, 2).


β = {~e1, ~e2, ~e3 }. Determine o volume do paralelepıpedo definido pelos vetores

~u = (−1,−3, 1) , ~v = (1, 0, 1) e ~w = (2, 1, 1) .


β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Mostre que os vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3 sao linearmente dependentes se, e

somente se, o produto misto dos vetores ~u, ~v, ~w e nulo, isto e,

[~u, ~v, ~w] = 〈 ~u ∧ ~v, ~w 〉 = 0 .

Faca uma interpretacao geometrica.


β = { ~q1, ~q2, ~q3 }. Dados os vetores ~u, ~v, ~w ∈ V 3 de modo que o vetor ~w e ortogonal aos

vetores ~u e ~v, a medida do angulo entre os vetores ~u e ~v e igual a θ =π

6. Sabendo que

‖ ~u ‖ = 4, ‖~v ‖ = 2 e ‖ ~w ‖ = 2, calcule [~u, ~v, ~w].


β = {~e1, ~e2, ~e3 }. Determine o volume do paralelepıpedo definido pelos vetores

~u = (−1,−3, 1) , ~v = (1, 0, 1) e ~w = (2, 1, 1) .


Referencias Bibliograficas

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